tomografy di 2 dimensi

PendahuluanPembahasan

Penutup

Tomografi di 2D

Muhammad Jakfar

May 17, 2013Aplikasi Masalah Invers, Topik Analisis

Muhammad Jakfar Tomografi di 2D

Penutup

Daftar isi

1 PendahuluanDeskripsiKajian Teori

2 PembahasanMetode transformasi RadonMetode ReguralisasiPerbandingan Metode

3 PenutupKesimpulan

Penutup

DeskripsiKajian Teori

Latar belakang:

Tomografi 2-dimensi merupakan salah satu perekonstruksian citra.Transformasi Radon merupakan pendekatan langsung terhadappermasalahan pencitraan tomografi. Sehingga biasanya untukmenyelesaikan masalah pencitraan tomografi digunakan inverstransformasi Radon. Jika datanya diskrit, bisakah pencitraantomografi menggunakan metode regularisasi? Disini akandijelaskan penggunaan metode regularisasi untuk pencitraantomografi serta mencari metode regularisasi apa yang terbaikdalam permasalahan pencitraan tomografi.

Penutup

Latar belakang:Tomografi 2-dimensi merupakan salah satu perekonstruksian citra.Transformasi Radon merupakan pendekatan langsung terhadappermasalahan pencitraan tomografi. Sehingga biasanya untukmenyelesaikan masalah pencitraan tomografi digunakan inverstransformasi Radon. Jika datanya diskrit, bisakah pencitraantomografi menggunakan metode regularisasi? Disini akandijelaskan penggunaan metode regularisasi untuk pencitraantomografi serta mencari metode regularisasi apa yang terbaikdalam permasalahan pencitraan tomografi.

Penutup

Tujuan:

1. merekonstruksi citra tomografi 2D menggunakan inverstransformasi Radon.2. merekonstruksi citra tomografi 2D menggunakan metoderegularisasi.3. mencari metode reguralisasi terbaik dalam pencitraan tomografi2D.4. membandingkan hasil pencitraan tomografi 2 D dengan metodeinvers transformasi Radon dan metode regularisasi terbaik.

Penutup

Tujuan:1. merekonstruksi citra tomografi 2D menggunakan inverstransformasi Radon.

2. merekonstruksi citra tomografi 2D menggunakan metoderegularisasi.3. mencari metode reguralisasi terbaik dalam pencitraan tomografi2D.4. membandingkan hasil pencitraan tomografi 2 D dengan metodeinvers transformasi Radon dan metode regularisasi terbaik.

Penutup

Tujuan:1. merekonstruksi citra tomografi 2D menggunakan inverstransformasi Radon.2. merekonstruksi citra tomografi 2D menggunakan metoderegularisasi.

3. mencari metode reguralisasi terbaik dalam pencitraan tomografi2D.4. membandingkan hasil pencitraan tomografi 2 D dengan metodeinvers transformasi Radon dan metode regularisasi terbaik.

Penutup

Tujuan:1. merekonstruksi citra tomografi 2D menggunakan inverstransformasi Radon.2. merekonstruksi citra tomografi 2D menggunakan metoderegularisasi.3. mencari metode reguralisasi terbaik dalam pencitraan tomografi2D.

4. membandingkan hasil pencitraan tomografi 2 D dengan metodeinvers transformasi Radon dan metode regularisasi terbaik.

Penutup

Tujuan:1. merekonstruksi citra tomografi 2D menggunakan inverstransformasi Radon.2. merekonstruksi citra tomografi 2D menggunakan metoderegularisasi.3. mencari metode reguralisasi terbaik dalam pencitraan tomografi2D.4. membandingkan hasil pencitraan tomografi 2 D dengan metodeinvers transformasi Radon dan metode regularisasi terbaik.

Penutup

Teori Dasar

Tomografi?

diturunkan dari kata yunani tomos (potongan) dan graphein(gambar).

merupakan teknik pencitraan yang menghasilkan gambaranpotongan lintang suatu objek.

diaplikasikan dalam bidang medis (mendiagnosa dantreatment), biologi, geografi, astronomi, arkeologi, industri dll.

Kata kunci matematika: Transformasi Radon, TransformasiFourier, Regularisasi SVD, Regularisasi Tikhonov.

Penutup

Teori Dasar

Tomografi?

Penutup

Teori Dasar

Tomografi?

Penutup

Teori Dasar

Tomografi?

Penutup

Teori Dasar

Contoh aplikasi dalam bidang medis

Penutup

Teori Dasar

Pencitraan tomografi?Tomografi merupakan teknik pencitraan yang menghasilkangambaran potongan lintang suatu objek melalui pengolaanterhadap sinyal proyeksi trans-aksial dari objek tersebut. Sinyalproyeksi trans-aksial diperoleh dengan cara memberikan radiasiterhadap obyek dalam berbagai sudut orientasi.

Penutup

Metode transformasi RadonMetode ReguralisasiPerbandingan Metode

Transformasi Radon

Transformasi Radon merepresentasikan citra sebagaikumpulan sinyal 1D hasil proyeksi citra tersebut pada berbagaisudut orientasi.

Transformasi Radon dari suatu citra pada sumbu proyeksidinyatakan sebagai integral garis dari fungsi representasi citraf (x , y) pada arah yang tegak lurus dengan sumbu proyeksinya.

Hasil transformasi Radon dalam domain transformasidinyatakan sebagai sinyal Pθ(r), dimana r merupakan jaraktitik yang di transformasikan terhadap titik pusat koordinatcitra asal, dan θ merupakan sudut orientasi proyeksi

Penutup

Transformasi Radon

Penutup

Transformasi Radon

Penutup

Transformasi Radon

Penutup

Transformasi Radon

Ilustrasi transformasi Radon dalam koordinat asal kartesian

Penutup

Transformasi Radon

Fungsi Pθ(r) dikenal sebagai tansformasi Radon dari fungsi f (x , y).Pθ(r) =

∫`(θ,r)garis

f (x , y)d`

Pθ(r) =∞∫−∞

∞∫−∞

f (x , y)∂(x cos θ + y sin θ − r)dxdy

Penutup

Transformasi Radon

Dalam image processing toolbox Matlab, transformasi Radondapat dilakukan dengan memanggil fungsi berikut:

[R,xp]=radon(I,theta)

dimana R = hasil transformasi Radon terhadap citra asal I, padajangkauan orientasi arah theta dan jangkauan lebar daerahproyeksi pada koordinat transformasi xp.

Penutup

Transformasi Radon

Berikut code simulasi transformasi Radon terhadap gambarsegitiga yang diambil dari fungsi tomo.m menggunakan Matlab:

Penutup

Transformasi Radon

Hasil transformasi Radon pada citra segitiga.

Penutup

Transformasi Radon Invers

Invers transformasi Radon merepresentasikan citra asal.

Invers tansformasi Radon diperoleh dari teorema irisanproyeksi.

Invers tansformasi Radon terdiri dari 2 tahapan, yaitu:1. proyeksi balik.2. Konvolusi Proyeksi balik.

Penutup

Invers tansformasi Radon terdiri dari 2 tahapan, yaitu:

1. proyeksi balik.2. Konvolusi Proyeksi balik.

Penutup

Invers tansformasi Radon terdiri dari 2 tahapan, yaitu:1. proyeksi balik.

2. Konvolusi Proyeksi balik.

Penutup

Teorema irisan proyeksi

Penutup

Bukti:Definisi transformasi Fourier 1-dimensi dari Pθ(r)

Pθ(ρ) =∞∫−∞

Pθ(r)e−2jπρrdr

Substitusikan Pθ =∞∫−∞

∞∫−∞

f (x , y)∂(x cos θ + y sin θ − r)dxdy(r).

Pθ(ρ) =∞∫−∞

e−2jπρr∞∫−∞

∞∫−∞

f (x , y)∂(x cos θ + y sin θ − r)dxdydr

Pθ(ρ) =∞∫−∞

∞∫−∞

f (x , y)e−2jπρr∂(x cos θ + y sin θ − r)dxdydr

Penutup

Pθ(ρ) =∞∫−∞

Pθ(r)e−2jπρrdr

∞∫−∞

Pθ(ρ) =∞∫−∞

∞∫−∞

Pθ(ρ) =∞∫−∞

∞∫−∞

Penutup

Pθ(ρ) =∞∫−∞

Pθ(r)e−2jπρrdr

∞∫−∞

Pθ(ρ) =∞∫−∞

∞∫−∞

Pθ(ρ) =∞∫−∞

∞∫−∞

Penutup

Pθ(ρ) =∞∫−∞

Pθ(r)e−2jπρrdr

∞∫−∞

Pθ(ρ) =∞∫−∞

∞∫−∞

Pθ(ρ) =∞∫−∞

∞∫−∞

Penutup

Pθ(ρ) =∞∫−∞

Pθ(r)e−2jπρrdr

∞∫−∞

Pθ(ρ) =∞∫−∞

∞∫−∞

Pθ(ρ) =∞∫−∞

∞∫−∞

Penutup

Bukti:Menggunakan sifat fumgsi delta Dirac, diperoleh

Pθ(ρ) =∞∫−∞

∞∫−∞

f (x , y)e−2jπρ(x cos θ+y sin θ)dxdy

Pθ(ρ) =∞∫−∞

∞∫−∞

f (x , y)e−2jπ(xρ cos θ+yρ sin θ)dxdy

Pθ(ρ) = F (ρcosθ + ρsinθ)dengan F adalah tranformasi Fourier 2-dimensi dari f (x , y) dalambentuk polar.Bukti selesai.

Penutup

Pθ(ρ) =∞∫−∞

∞∫−∞

Pθ(ρ) =∞∫−∞

∞∫−∞

Penutup

Pθ(ρ) =∞∫−∞

∞∫−∞

Pθ(ρ) =∞∫−∞

∞∫−∞

Pθ(ρ) = F (ρcosθ + ρsinθ)

dengan F adalah tranformasi Fourier 2-dimensi dari f (x , y) dalambentuk polar.Bukti selesai.

Penutup

Pθ(ρ) =∞∫−∞

∞∫−∞

Pθ(ρ) =∞∫−∞

∞∫−∞

Penutup

Menghitung Pθ(r)

Dari ini, kita hitung Pθ(ρ) =tranformasi Fourier 1-dimensi{Pθ(r)}Kemudian kita ambil invers tranformasi Fourier 2-dimensi kebentuk f (x , y)Masalah : ini membutuhkan konversi bentuk polar ke bentukpersegiSolusi : Konvolusi proyeksi balik.

Penutup

Menghitung Pθ(r)

Dari ini, kita hitung Pθ(ρ) =tranformasi Fourier 1-dimensi{Pθ(r)}

Kemudian kita ambil invers tranformasi Fourier 2-dimensi kebentuk f (x , y)Masalah : ini membutuhkan konversi bentuk polar ke bentukpersegiSolusi : Konvolusi proyeksi balik.

Penutup

Menghitung Pθ(r)

Dari ini, kita hitung Pθ(ρ) =tranformasi Fourier 1-dimensi{Pθ(r)}Kemudian kita ambil invers tranformasi Fourier 2-dimensi kebentuk f (x , y)

Masalah : ini membutuhkan konversi bentuk polar ke bentukpersegiSolusi : Konvolusi proyeksi balik.

Penutup

Menghitung Pθ(r)

Dari ini, kita hitung Pθ(ρ) =tranformasi Fourier 1-dimensi{Pθ(r)}Kemudian kita ambil invers tranformasi Fourier 2-dimensi kebentuk f (x , y)Masalah : ini membutuhkan konversi bentuk polar ke bentukpersegi

Solusi : Konvolusi proyeksi balik.

Penutup

Menghitung Pθ(r)

Dari ini, kita hitung Pθ(ρ) =tranformasi Fourier 1-dimensi{Pθ(r)}Kemudian kita ambil invers tranformasi Fourier 2-dimensi kebentuk f (x , y)Masalah : ini membutuhkan konversi bentuk polar ke bentukpersegiSolusi : Konvolusi proyeksi balik.

Penutup

Untuk menghitung invers tranformasi Fourier 2-dimensi dariF (u, v) di koordinat polar, harus menggunakan Jacobian daritransformasi koordinat polar

dudv = |ρ|dθdρ

sehingga

f (x , y) =∞∫−∞

∞∫−∞

F (u, v)e2πj(xu+yv)dudv

f (x , y) =∞∫−∞

π∫0

Pθ(ρ)e2πj(xρcosθ+yρsinθ)|ρ|dθdρ

f (x , y) =π∫0

[∞∫−∞|ρ|Pθ(ρ)e2πjρ(xcosθ+ysinθ)dρ]dθ

Penutup

dudv = |ρ|dθdρ

sehingga

f (x , y) =∞∫−∞

∞∫−∞

f (x , y) =∞∫−∞

π∫0

f (x , y) =π∫0

Penutup

dudv = |ρ|dθdρ

sehingga

f (x , y) =∞∫−∞

∞∫−∞

f (x , y) =∞∫−∞

π∫0

f (x , y) =π∫0

Penutup

maka gθ(t) diberikan sebagai

gθ(t) =∞∫−∞|ρ|Pθ(ρ)e2πjρtdρ

gθ(t) = invers transformasi Fourier 2-dimensi {|ρ|Pθ(ρ)}gθ(t) = h(t) ∗ Pθ(r)

dengan h(t) = invers transformasi Fourier 2-dimensi {|ρ|}

f (x , y) =π∫0

gθ(xcosθ + ysinθ)dθ

Penutup

f (x , y) =π∫0

Penutup

gθ(t) = invers transformasi Fourier 2-dimensi {|ρ|Pθ(ρ)}

gθ(t) = h(t) ∗ Pθ(r)

f (x , y) =π∫0

Penutup

f (x , y) =π∫0

Penutup

f (x , y) =π∫0

Penutup

f (x , y) =π∫0

Penutup

f (x , y) =π∫0

Penutup

Karena telah diperoleh hubungan proyeksi fungsi citra dengancitranya, maka dengan mudah dapat menulis porgramperekonstruksian.Berikut code simulasi transformasi Radon invers menggunakanMatlab:(ilustrasi code sebagai lanjutan code transformasi Radonsebelumnya)

Penutup

Hasil transformasi Radon invers (citra segitiga).

Penutup

Masalah Maju Regularisasi

Hasil masalah maju merepresentasikan citra sebagaikumpulansinyal 1D hasil proyeksi citra tersebut pada berbagaigaris orientasi.

Hasil masalah maju dari suatu citra pada sumbu proyeksidinyatakan sebagai integral garis dari fungsi representasi citraf (x , y) pada arah yang tegak lurus dengan sumbu proyeksinya.

Hasil masalah maju dinyatakan sebagai sinyal b.

Penutup

Dalam tomografy 2D, fungsi yg direkontruksi adalah

f : [0,N]x [0,N]→ Rf (t) = f (t1, t2)maka model masalah ini, pada observasi ke-i, adalah integlalsepanjang garis

bi =N∫0

f (ti (τ)) dτ dengan `(r , θ) = {t : t = t ′ + rd}

dengan d adalah vektor satuan yg memilliki sudut polar θ

Penutup

Dalam tomografy 2D, fungsi yg direkontruksi adalahf : [0,N]x [0,N]→ R

f (t) = f (t1, t2)maka model masalah ini, pada observasi ke-i, adalah integlalsepanjang garis

bi =N∫0

Penutup

Dalam tomografy 2D, fungsi yg direkontruksi adalahf : [0,N]x [0,N]→ Rf (t) = f (t1, t2)

maka model masalah ini, pada observasi ke-i, adalah integlalsepanjang garis

bi =N∫0

Penutup

Dalam tomografy 2D, fungsi yg direkontruksi adalahf : [0,N]x [0,N]→ Rf (t) = f (t1, t2)maka model masalah ini, pada observasi ke-i, adalah integlalsepanjang garis

bi =N∫0

Penutup

bi =N∫0

Penutup

bi =N∫0

Penutup

bi =N∫0

Penutup

Cara pendiskritisasian dengan membagi domain ke dalam N2 .

Asumsikan fungsi f (t) bernilai konstan fklf (t) = fkl untuk t1εIk , t2εIldengan k = 1, ...,NIk = [k − 1, k]

Penutup

Cara pendiskritisasian dengan membagi domain ke dalam N2 .Asumsikan fungsi f (t) bernilai konstan fkl

f (t) = fkl untuk t1εIk , t2εIldengan k = 1, ...,NIk = [k − 1, k]

Penutup

Cara pendiskritisasian dengan membagi domain ke dalam N2 .Asumsikan fungsi f (t) bernilai konstan fklf (t) = fkl untuk t1εIk , t2εIl

dengan k = 1, ...,NIk = [k − 1, k]

Penutup

Cara pendiskritisasian dengan membagi domain ke dalam N2 .Asumsikan fungsi f (t) bernilai konstan fklf (t) = fkl untuk t1εIk , t2εIldengan k = 1, ...,N

Ik = [k − 1, k]

Penutup

Cara pendiskritisasian dengan membagi domain ke dalam N2 .Asumsikan fungsi f (t) bernilai konstan fklf (t) = fkl untuk t1εIk , t2εIldengan k = 1, ...,NIk = [k − 1, k]

Penutup

Sehingga

bi =N∫0

f (ti (τ)) dτ

Karena Datany Diskrit, maka menjadibi =

∑(k,l)ε`(r ,θ) fkl∆Lkl

dengan ∆Lkl adalah panjang sinar di pixel (k, l)

Penutup

Sehingga

bi =N∫0

f (ti (τ)) dτ

Penutup

Sehingga

bi =N∫0

f (ti (τ)) dτ

Karena Datany Diskrit, maka menjadi

bi =∑

(k,l)ε`(r ,θ) fkl∆Lkldengan ∆Lkl adalah panjang sinar di pixel (k, l)

Penutup

Sehingga

bi =N∫0

f (ti (τ)) dτ

Penutup

Sehingga

bi =N∫0

f (ti (τ)) dτ

Penutup

Sehingga

bi =N∫0

f (ti (τ)) dτ

Penutup

Persamaan di atas adalah sistem persamaan linear di N2 dngan fkltak diketahui.

Misalxj = fkl , j = (l − 1)N + kmaka sistem persamaan menjadibi = Σj=1aijxijdengan

{∆Likl , jika (k , l)εL(r , ϕ)

0 , jika Lainnya

Penutup

Persamaan di atas adalah sistem persamaan linear di N2 dngan fkltak diketahui.Misal

xj = fkl , j = (l − 1)N + kmaka sistem persamaan menjadibi = Σj=1aijxijdengan

0 , jika Lainnya

Penutup

Persamaan di atas adalah sistem persamaan linear di N2 dngan fkltak diketahui.Misalxj = fkl , j = (l − 1)N + k

maka sistem persamaan menjadibi = Σj=1aijxijdengan

0 , jika Lainnya

Penutup

Persamaan di atas adalah sistem persamaan linear di N2 dngan fkltak diketahui.Misalxj = fkl , j = (l − 1)N + kmaka sistem persamaan menjadi

bi = Σj=1aijxijdengan

0 , jika Lainnya

Penutup

Persamaan di atas adalah sistem persamaan linear di N2 dngan fkltak diketahui.Misalxj = fkl , j = (l − 1)N + kmaka sistem persamaan menjadibi = Σj=1aijxij

dengan

0 , jika Lainnya

Penutup

Persamaan di atas adalah sistem persamaan linear di N2 dngan fkltak diketahui.Misalxj = fkl , j = (l − 1)N + kmaka sistem persamaan menjadibi = Σj=1aijxijdengan

0 , jika Lainnya

Penutup

Persamaan di atas adalah sistem persamaan linear di N2 dngan fkltak diketahui.Misalxj = fkl , j = (l − 1)N + kmaka sistem persamaan menjadibi = Σj=1aijxijdengan

0 , jika Lainnya

Penutup

Dalam software regularisasi Matlab, masalah maju tersebet dapatdilakukan dengan memanggil fungsi berikut:

[A,x,b]=tomo(N,f)

dimana A,x,b,N seperti yang didefinisikan di atas.

Penutup

Berikut code simulasi masalah maju regularisasi terhadap gambarsegitiga P menggunakan Matlab:

Penutup

Hasil masalah maju pada citra segitiga.

Penutup

Masalah Mundur Regularisasi SVD

Masalah mundur adalah Diketahui A, b diketahui dan xditanya sedemikian hingga Ax = b.

Jika A memiliki invers, maka x = A−1b dengan A−1 adalahinvers A

Tetapi det(A)=0 sehingga A tak punya invers

Maka dicari estimasi xreg yang menyebabkan |Axreg − b|minimal. Sehingga menghasilkan ATAxreg = ATb

jika ATA punya invers maka estimasi xreg =(ATA

)−1ATb

yang dikenal sebagai regularisasi SVD

Penutup

)−1ATb

Penutup

)−1ATb

Penutup

)−1ATb

Penutup

Regularisasi SVD.Formula regularisasi SVD adalah sebagai berikut:

xreg =∑ 〈b,Axi 〉xi

µidengan µi adalah nilai singular ke-i dan xi adalah xi adalah vektoreigen orthonormal yang berkorespondensi dengan µi .

Penutup

Hasil pencitraan segitiga menggunakan reguralisasi SVD tidakberhasil

Penutup

Q.: Apa yang bisa dilakukan?

A.: Pemotongan nilai singular, karena melihat interval nilaisingular dari matriks A

Penutup

Q.: Apa yang bisa dilakukan?

A.: Pemotongan nilai singular, karena melihat interval nilaisingular dari matriks A

Penutup

Q.: Dari tabel nilai singular matriks A

A.: sehingga dilakukan pemotongan nilai singular

Penutup

Q.: Dari tabel nilai singular matriks A

A.: sehingga dilakukan pemotongan nilai singular

Penutup

hasil rekontruksi menggunakan reguralisasi SVD dengan memotong3 nilai singular kurang berhasil

Penutup

Masalah Mundur Regularisasi Tikhonov

Hal tersebut terjadi karena Nilai singular A sangat kecil, yangmengakibatkan xreg besar.

Sehingga dimasukkan regulator α, sehingga pendekatan xtikhadalah

xtikh =(ATA + αI

)−1ATb, yang dikenal sebagai regularisasi

Tikhonov

Penutup

Hal tersebut terjadi karena Nilai singular A sangat kecil, yangmengakibatkan xreg besar.

Sehingga dimasukkan regulator α, sehingga pendekatan xtikhadalahxtikh =

(ATA + αI

)−1ATb, yang dikenal sebagai regularisasi

Tikhonov

Penutup

Regularisasi Tikhonov.Formula regularisasi Tikhonov adalah sebagai berikut:

xtikh =∑ µi 〈b,Axi 〉xi

α + (µi )2

dengan α adalah regulator, µi adalah nilai singular ke-i dan xiadalah xi adalah vektor eigen orthonormal yang berkorespondensidengan µi .

Penutup

Mencari regulator terbaik dengan memperhatikan L-curve

L-curve adalah kurva yang mengiterasikan regulatorα sehinggameminimalisasikan |Ax − b|2 dan |x |2

Penutup

Mencari regulator terbaik dengan memperhatikan L-curveL-curve adalah kurva yang mengiterasikan regulatorα sehinggameminimalisasikan |Ax − b|2 dan |x |2

Penutup

Mencari regulator terbaik dengan memperhatikan L-curveL-curve adalah kurva yang mengiterasikan regulatorα sehinggameminimalisasikan |Ax − b|2 dan |x |2

Penutup

Perhatikan L-curve

diperoleh error minimal untuk regulator=4.5805e−06.

Penutup

Perhatikan L-curve

Penutup

Perhatikan L-curve

Penutup

Hasil rekontruksi menggunakan reguralisasi Tikhonov

Penutup

Perbandingan Metode

Figure: hasil invers transformasi Radon

Figure: hasil regularisasi Tikhonov α = 4.5805e−06

Penutup

Perbandingan Metode

Akan dibandingkan hasil pencitraan tomografi menggunakanmetode transformasi Radon invers dengan metode regularisasi.

Dari hasil gambar terlihat pencitraan tomografi menggunakanmetode transformasi Radon invers lebih baik dari pada metoderegularisasi. Hal ini karena transformasi Radon merupakanpendekatan langsung terhadap permasalahan pencitraantomografi. .

Namun harus dibuktikan juga secara matematik, yaitu denganmecari nilai error masing-masing metode.

Penutup

Perbandingan Metode

Penutup

Perbandingan Metode

Penutup

Perbandingan Metode

Penutup

Perbandingan Metode

Hasil error pencitraan tomografi dari masing-metode denganmencari nilai maksimal dari |Xij − X ′ij |, dengan X adalah citraasli, X ′ adalah citra hasil tomografi dan Xij adalah entri Xpada piksel (i , j).

Nilai error metode transformasi Radon invers.ξtransformasiRadon = 1.5442

Nilai error metode regularisasi Tikhonov.ξregularisasiTikhonov = 207.1827

Penutup

Perbandingan Metode

Nilai error metode transformasi Radon invers.

ξtransformasiRadon = 1.5442

Penutup

Perbandingan Metode

Nilai error metode regularisasi Tikhonov.

ξregularisasiTikhonov = 207.1827

Penutup

Perbandingan Metode

PenutupKesimpulan

Kesimpulan

Dari hasil diatas diperoleh bahwa untuk menyelesaikan maslahinvers tomografi 2D, selain menggunakan invers transformasiRadon dapat juga menggunakan metode regularisasi.Dan metode regularisasi terbaik untuk menyelesaikan masalahtersebut adalah menggunakan regularisasi tikhonov denganregulator 4.5805e−06. Tapi hasil pencitraan metode regulasi tidaksebaik pencitraan metode transformasi Radon invers.

PenutupKesimpulan

TERIMA KASIH.

tomografy di 2 dimensi

Documents