teoria dos campos conceituais
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Educação Matemática
Números e operações aritméticas segundo Terezinha Nunes, Tânia Maria Mendonça
Campos, Sandra Magina e Peter Bryant
Dificuldades do sistema de numeração decimal: um exemplo da relação entre desenvolvimento e
educação
Será que é suficiente saber contar para compreender as ideias matemáticas que existem implícitas num sistema de numeração?
Organização da sequência numérica
• Composição aditiva• Organização de natureza multiplicativa: 20 indica 2 x 10; 30 = 3 x 10. Essa organização multiplicativa representa que as unidades contadas podem ter valores diferentes: podem ser unidades simples, dezenas, centenas, unidades de milhar etc.
Apresentação do grupo 1• Situações em que a criança precisa contar unidades de valores diferentes, e coordená-los numa quantia única.
Idade4 anos
Raramente resolvem problemas de contagem de moedas
5 anos
Ainda apresentam dificuldades para contar moedas.
6 anos
A maioria das crianças resolve problemas de contagem de dinheiro.
7 anos
Ainda podemos observar dificuldade na compreensão da composição aditiva dos números.
Síntese• A compreensão da composição aditiva, avaliada por meio da tarefa de contagem do total de dinheiro usando moedas de valores diferentes, é muito importante para o progresso da criança na aprendizagem de matemática no primeiro ano do ensino elementar.
Explicitando quantidades não percebidas
• Uma moeda de 5 centavos não apresenta a quantidade “cinco” à percepção: ela representa a quantidade por uma convenção.
Transformando o sistema de numeração em instrumento de
pensamento• Mesmo que a criança saiba contar poderá não utilizar a contagem automática para resolver problemas numéricos. (Conservação)
• Contar e compreender a utilidade dos números são duas coisas bem diferentes.
Equívoco• Pensar que a conservação é um pré-requisito para a aprendizagem das noções mais elementares de aritmética.
Segundo Piaget:• A criança deve construir a compreensão da ideia de número a partir das noções que desenvolve de adição e subtração.
• Quando a criança compreende que as quantidades só se alteram por meio de adição e da subtração, ela chega a conclusão de que, se nada foi acrescentado e nada foi retirado das fileiras, as quantidades ficam iguais.
Apresentação do grupo 3• Algumas tarefas para avaliar outros aspectos da compreensão da ideia de número.
Por que ensinar o sistema de numeração que usamos, às
crianças?• Sem um sistema de numeração, é impossível trabalharmos com quantidades.
• O sistema de numeração nos permite registrar as quantidades de maneira mais exata do que a percepção e nos lembramos dessas quantidades quando precisamos.
• Os sistemas de numeração amplificam nossa capacidade de raciocinar sobre quantidades.
Esquemas• Em psicologia o termo esquemas é utilizado de forma semelhante àquele utilizado na vida quotidiana.
• É uma representação em que aparece apenas o essencial daquilo que é representado.
Esquemas de ação• Os esquemas de ação a partir dos quais a criança começa a compreender a adição e a subtração são representações das ações de juntar e retirar.
• Para solucionar um problema envolvendo adição de bombons a criança utiliza os dedos para representar os bombons.
• Esses esquemas permitem à criança resolver, de modo prático, questões sobre adição e subtração.
Teoremas em ação• Como a compreensão da criança se mostra em suas ações, sem que a criança saiba explicar oralmente, o psicólogo francês Gérard Vergnaud chamou essa forma de conhecimento de “teorema em ação”. Resolve o problema, mas não consegue explicar por ex. que o todo é igual a soma das partes.
• Os teoremas em ação constituem o conhecimento matemático que as crianças desenvolvem em sua vida diária.
Pensamento concreto• Ao solucionar um problema de subtração envolvendo bombons uma criança pode utilizar os dedos e ao encontrar a resposta saberá que sobraram tantos bombons e não dedos.
• O tipo de solução utilizando os dedos é chamada de pensamento concreto.
• O pensamento concreto não deve ser confundido com incapacidade de abstrair ou generalizar.
Função mais significativa da educação matemática
• Promover a coordenação dos esquemas de ação e de raciocínio que a criança desenvolve fora da sala de aula com as representações que fazem parte da cultura matemática.
Problemas simples de relações entre o todo e
suas partes• Paula tinha 5 flores. Depois sua mãe lhe deu 8 flores. Quantas flores Paula tem agora?
Raciocínio aditivo
• Desde o primeiro ano as crianças são capazes de usar esquemas de ação em coordenação com a contagem para resolver problemas de aritmética.
• Usamos a expressão raciocínio aditivo para enfatizar que, embora as operações de soma e subtração sejam distintas, elas estão relacionadas a uma mesma estrutura do raciocínio.
Problemas inversos de relação parte-todo
Carla tinha alguns doces. Ela jogou um jogo e ganhou 2 doces. Agora ela tem 12 doces. Quantos doces ela tinha?
Do esquema de ação para o conceito operatório
• Para atingir uma compreensão mais avançada, passando do conhecimento baseado em esquemas de ação para um conceito operatório de adição e subtração, é necessário que o aluno consiga coordenar os dois esquemas, reconhecendo a relação inversa que existe entre adição e subtração.
Problemas de Transformação
• Envolvem transformação: ou se acrescenta ou se retira uma quantidade de outra quantidade inicial.
Problemas inversos• A situação descrita no problema envolve um esquema de ação, mas a solução exigiria a aplicação do esquema inverso.
• Envolvem transformação: ou se acrescenta ou se retira uma quantidade de outra quantidade inicial.
Problemas comparativos• Problema aditivo que não envolve transformação.
Numa sala de aula há 9 alunos e 6 cadeiras.
A) Há mais cadeiras ou alunos?B) Quantos alunos a mais?
Esquemas de ação relacionados ao raciocínio
aditivo• Juntar• Retirar• Colocar em correspondência um-a-um.
• Cada um desses esquemas é utilizado pelas crianças na vida diária mesmo antes de entrar na escola.
Sugestões
• As calculadoras devem ser introduzidas na sala de aula à medida que os valores utilizados nos problemas aumentem.
• Os alunos devem trabalhar com retas numéricas na resolução de problemas para que possam explicitar seu próprio raciocínio.
• O registro é importante para que a solução possa ser discutida, validada e comparada.
Oferta especial da lojinha
• Todos os pacotes devem custar 15 reais. O que incluir em cada pacote?
R$3,00 R$5,00 R$2,00 R$6,00 R$4,00
A TEORIA DOS CAMPOS A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS: CONCEITUAIS:
Contribuições da Contribuições da Psicologia para a prática Psicologia para a prática
docentedocente Sandra MaginaPrograma de Pós-Graduaçãoem Educação MatemáticaPUC-SP
Emerge da resolução de problema
É fruto de uma tríade
Desenvolve por um longo período
de tempo
Inicia com validade restrita
ConhecimentoConhecimento
PRESSUPOSTO BÁSICO
EXEMPLO no CAMPO CONCEITUAL ADITIVOPara dominar as estruturas
aditivas, o aluno precisa ser capaz de resolver diversos tipos
de situações-problema
4 + 7Por trás de um simples
Pode-se encontrar situações tão sofisticadas que até alunos em torno de 11-12 anos encontram dificuldades
em resolvê-las
EXEMPLO 1 AO REDOR DA M ESA DA SALA DE JANTAR, ESTÃO
SENTADOS 4 GAROTOS E 7 GAROTAS. Q UANTASPESSOAS ESTÃO SENTADAS AO REDOR DA M ESA?
MARIA COMPROU UMA BONECA POR R$ 4,00 E FICOU COM R$ 7,00 NA CARTEIRA. QUANTO DINHEIRO ELA TINHA ANTES DA COMPRA?
CARLOS TEM 4 ANOS. M ARIA É 7 ANOS M AISVELHA QUE CARLOS. Q UANTOS ANOS TEM M ARIA?
JOSE JOGOU HOJE DUAS VEZES TASO. NO 1o JOGO ELE NÃO LEMBRA O QUE ACONTECEU. NO 2o JOGO ELE PERDEU 4 TASOS. AO CONTAR SEUS TASOS ELE VIU QUE GANHOU HOJE 7 TASOS. ELE GANHOU OU PERDEU NO 1o JOGO? QUANTO?
Comprei300
Vendi400
Comprei500
Vendi600
A negociata do A negociata do cavalocavalo
Ganhei, perdi ou empatei dinheiro?Quanto?
EXEMPLO 2
Comprei300
Vendi400
Comprei500
Vendi600
+ 100 + 100
+200
-800 +1000
A negociata do A negociata do cavalocavalo
Comprei300
Vendi400
Comprei500
Vendi600
Início
- 300
Término+ 600meio
- 100
A negociata do A negociata do cavalocavalo
CONCLUSÃOAs situações aditivas envolvem muitos diferentes conceitos que fazem parte dessa estrutura entre os quais citamos:
Conceito de medidas;Conceito de adição;
Conceito de subtração;
Conceito de transformação de tempo;
Relações de comparação;
Composição de quantidades
POR QUE FALAR EM CAMPO CONCEITUAL?
Uma Uma SITUAÇÃOSITUAÇÃO( por mais simples que ( por mais simples que seja)seja)
Por isso falamos na formação de um Por isso falamos na formação de um CAMPO CONCEITUALCAMPO CONCEITUAL, e não na formação , e não na formação de de CONCEITOCONCEITO
váriosvários CONCEITOSCONCEITOS
envolveenvolve
Um Um CONCEITOCONCEITO( por mais simples que ( por mais simples que seja)seja)
forma-seforma-se váriasvárias SITUAÇÕESSITUAÇÕES
TRIPÉ QUE SUBJAZ A FORMAÇÃO DE CADA CONCEITO
Conjunto deConjunto deINVARIANTES
Conjunto deConjunto deSITUAÇÃO
CONCEITOConjunto deConjunto de
REPRESENTAÇÕESSIMBÓLICAS
operatóriosoperatóriosdo conceitodo conceito
OBSERVAÇÕES IMPORTANTESSOBRE AS SITUAÇÕESSão elas que dão significado ao conceito. Quanto mais situações mais amplo o significado desse conceitoSOBRE OS INVARIANTESTratam das propriedades que definem o objeto e dos procedimentos adotados pelo aluno para resolver as situações
SOBRE AS REPRESENTAÇÕES SIMBÓLICASPermitem que o aluno se expresse sobre o conceito, relacionando o significado com as propriedades do objeto.
CABE AO PROFESSOR na sua prática em sala de
aula Identificar os conhecimentos
implícitos (invariantes) dos seus alunos, por meio de diagnósticos
Torná-los explícitos, por meio de diversas representações simbólicas, usando várias situações-problema (situações)
identificação dos processos usados na resolução dos problemas
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Contribuições da Psicologia Contribuições da Psicologia para a prática docentepara a prática docente
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