Statistika 1 bagian 2

Penaksiran parameter

• 𝑋1,𝑋2, …., 𝑋𝑛 sampel acak ukuran n dari populasi ukuran N

• Rataan: 𝑋 = 1

𝑛 𝑋𝑖𝑛𝑖<1

• Variansi: 𝑆2 = 1

𝑛;1 𝑋𝑖 − 𝑋 𝑛𝑖<1 **2

• Simpangan baku: S = 𝑆2

2

Penaksiran Parameter

• Pendugaan parameter mean dan proporsi untuk 1 populasi dan 2 populasi

• Bila sampel ukuran n diambil dengan pengembalian dari populasi berukuran N yang mempunyai mean μ dan simpangan baku σ, maka untuk n cukup besar rataan 𝑋 mendekati distribusi normal dengan mean μ𝑋 = μ, dan simpangan baku σ𝑋 = σ/ 𝑛

• Z = 𝑛 𝑋 − μ /σ →~N 0,1

3

Contoh

• Populasi: P 𝑋 = 1 = 3/10, P 𝑋 = 3 = 1/10, P 𝑋 = 4 = 1/10, P 𝑋 = 5 = 1/10, P 𝑋 = 6 = 3/10, P 𝑋 = 7 = 1/10

• μ = 4, σ2 = 5 • n=36 sampel dengam pengembalian • 𝑋 → ~ N μ𝑋 , σ𝑋

• μ𝑋 = μ = 4, σ𝑋 = 5/ 36 = 0,373

• P 3,8 < 𝑋 ≤ 4,5 = Φ4,45 ;4

0,373 - Φ

3,85 ;4

0,373 =

Φ 1,21 - Φ −0,40 = 0,8869 – 0,3446 = 0,5423

4

Contoh sampling dengan pengembalian

X ~ f 𝑥 = 1

4, x = 0,1,2,3, μ=

0:1:2:3

4= 3

2,

σ2=0;3/2 2: 1;3/2 2: 2;3/2 2: 3;3/2 2

4=5/

4 n = 2 dengan pengembalian 0,0,0 , 0,1,1/2 , 0, 2, 1 , 0,2, 1 ,

0, 3, 11

2, 1, 0, 1/2 , 1, 1, 1 ,

1, 2, 11

2, 1, 3, 2 , 2, 0, 1 , 2, 1, 1

1

2,

2, 2, 2 , 2, 3, 21

2, 3, 0, 1

1

2, 3, 1, 2 ,

3, 2, 21

2, 3, 3, 3

5

Sebaran rataan

𝑋 # P 𝑋 = 𝑥

1 1 1/16

1/2 2 2/16

1 3 3/16

11

2 4 4/16

2 3 3/16

21

2 2 2/16

3 1 1/16

6

7

Sampling tanpa pengembalian

• Sampel acak ukuran n diambil tanpa pengembalian dari populasi ukuran N dengan mean μ dan simpangan baku σ, maka rataan sampel 𝑋 memiliki distribusi hampiran normal dengan mean μ𝑋 = μ dan simpangan baku σ𝑋

= σ

𝑛

𝑁 ; 𝑛

𝑁 ;1

8

Sampel tanpa pengembalian

• 0, 1, 1/2 , 0, 2, 1 , 0, 3, 11

2, 1, 2, 1

1

2,

1, 3, 2 , 2, 3, 21

2, 1, 0,

1

2, 2, 0, 1 ,

3, 0, 11

2, 2, 1, 1

1

2, 3, 1, 2 , 3, 2, 2

1

2

• # = 12

• P 𝑋 =1

2 =

2

12, P 𝑋 = 1 =

2

12, P 𝑋 = 1

1

2 =

4

12, P 𝑋 = 2 =

2

12, P 𝑋 = 2

1

2 =

2

12

9

10

Teorema Limit Pusat

• Bila suatu sampel acak ukuran n diambil dari populasi takhingga dengan nilai mean μ dan variansi σ2, maka rataan sampel 𝑋 akan menghampiri distribusi normal dengan mean μ𝑋 = μ dan simpangan baku σ𝑋 = σ/ 𝑛;

• Z = 𝑋 ;μ

σ/ 𝑛 → ~ N 0, 1

• X = umur bola lampu, X ~ N μ = 800 jam, σ = 40 jam . n = 16. P 𝑋 ≤ 775 = Φ

775;800

40/ 16 = Φ

;25

10 = Φ −2,5 =

0,0062

11

Distribusi t

• Variansi populasi σ2 tidak diketahui. Taksiran σ2 diberikan oleh 𝑆2; σ 2 = 𝑆2

• 𝑆2 = 1

𝑛;1 𝑋𝑖 − 𝑋 2𝑛𝑖<1 =

𝑛 𝑋2; 𝑋 2

𝑛 𝑛;1

• n ≥ 30, 𝑛 𝑋 ;μ

𝑆 → ~ N 0,1

• n < 30, 𝑆2 berfluktuasi , 𝑛 𝑋 ;μ

𝑆 → ~ 𝑡𝑛;1

• Simetri: 𝑡1;α = - 𝑡α

12

13

14

Contoh

• P −𝑡,025 < 𝑇 ≤ 𝑡,05 = 1 - ,05 - ,025 = ,925 • n=15, tentukan k sehingga P 𝑘 < 𝑇 ≤ −1,761 = 0,045.

Dari tabel 𝑡0,05;14 = 1,761. -𝑡,05;14 = -1,761. k terletak di kiri -𝑡,05;14 = -1,761, misal k = -𝑡α. Diperoleh ,045 = ,05 – α. α =,005. k = -𝑡,005;14 = -2,977. P −2,977 < 𝑇 ≤ −1,761 = 0,045

• Produsen bohlam menyatakan umur rata-rata bohlam produksinya 500 jam. Setiap bulan diuji n = 25 bohlam. Bila -𝑡,05;24 < T < 𝑡,05;24 produksi in-control. Kesimpulan bila 𝑋 =

518, S = 40. T = 25 518 ;500

40 = 2,25 > 𝑡,05;24 = 1,711.

P 𝑇24 > 2,25 ≅ 0,02. Bila μ > 500, nilai t akan lebih wajar. Disimpulkan terjadi peningkatan mutu produksi

15

Distribusi selisih rataan

• Populasi 1: μ1, σ1, 𝑛1, 𝑋 1 • Populasi 2: μ2, σ2, 𝑛2, 𝑋 2 • Distribusi 𝑋 1 - 𝑋 2

• Populasi 1: 3, 5, 7: μ1 = 5, σ1 = 8/3, 𝑛1 = 2. Populasi 2: 0, 3: μ2 = 3/2, σ2 = 9/4, 𝑛2 = 3

• Nilai rataan sampel populasi 1: 3, 3, 3 , 3, 5, 4 , 3, 7, 5 , 5, 3, 4 , 5, 5, 5 , 5, 7, 6 , 7, 3, 5 , 7, 5, 6 , 7, 7, 7 . Populasi 2: 0,0,0,0 , 0, 0, 3, 1 , 0, 3, 0, 1 , 3, 0, 0, 1 , 0, 3, 3, 2 , 3, 0, 3, 2 , 3, 3, 0, 2 , 3, 3, 3, 3

• Selisih rataan: 9× 8 = 72

16

17

𝑋 1

𝑋 2 3 4 5 4 5 6 5 6 7

0 3 4 5 4 5 6 5 6 7

1 2 3 4 3 4 5 4 5 6

1 2 3 4 3 4 5 4 5 6

1 2 3 4 3 4 5 4 5 6

2 1 2 3 2 3 4 3 4 5

2 1 2 3 2 3 4 3 4 5

2 1 2 3 2 3 4 3 4 5

3 0 1 2 1 2 3 2 3 4

18

𝑋 1 − 𝑋 2 # P

0 1 1/72

1 5 5/72

2 12 12/72

3 18 18/72

4 18 18/72

5 12 12/72

6 5 5/72

7 1 1/72

19

Mean dan Variansi

• μ1 = 3:5:7

3 = 5, Var 𝑋1 =

3;5 2: 5;5 2: 7;5 2

3

= 8

3

• μ2 = 0:3

2 =

3

2 ; Var 𝑋2 =

0;3

2

2: 3;

3

2

2

2 =

9

4

20

Mean dan Variansi selisih rataan

• μ𝑋 1;𝑋 2 = μ𝑋 1 - μ𝑋 2 = μ1 − μ2

• Var 𝑋 1 − 𝑋 2 = Var 𝑋 1 − 𝑋 2 = Var 𝑋 1 +

Var 𝑋 2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋1

𝑛1+

𝑉𝑎𝑟 𝑋2

𝑛2

• μ𝑋 1;𝑋 2 = 5 – 1,5 = 3,5

• Var 𝑋 1 − 𝑋 2 = 8

3

2 +

9

4

3 =

25

12

21

Distribusi selisih rataan

• Z = 𝑋 1 ; 𝑋 2 ; μ1;μ2

𝑉𝑎𝑟 𝑋1 /𝑛1:𝑉𝑎𝑟 𝑋2 /𝑛2 → ~ N 0, 1

• Contoh 𝑛1 = 5, N μ1 = 50, σ1 = 3 ; 𝑛2 = 4, N μ2 = 40, σ2 = 2 . Tentukan P 𝑋 1 − 𝑋 2 ≤ 8,2 . μ𝑋 1;𝑋 2 = 50 – 40 = 10,

Var 𝑋 1 − 𝑋 2 = 9

5 +

4

4 = 2,8, σ𝑋 1;𝑋 2 = 2,8 =

1,673. P 𝑋 1 − 𝑋 2 ≤ 8,2 = Φ8,2 ;10

1,673 =

Φ −1,08 = 0,1401

22

Contoh

• Televisi merek A mempunyai nilai mean umur μ1 = 6,5 tahun dan simpangan baku σ1 = 0,9 tahun. Merek B mempunyai mean μ2 = 6 tahun, simpangan baku σ2 = 0,8 tahun. Tentukan peluang sebuah sampel 36 televisi A mempunyai rataan sekurang-kurangnya satu tahun lebih lama dari rataan umur 49 merek B. μ𝑋 1;𝑋 2 = 6,5 – 6 =

0,5, σ𝑋 1;𝑋 2 = ,81

36+

,64

49 = 0,189.

P 𝑋 1 − 𝑋 2 > 1 = 1 - Φ1 ;0,5

0,189 = 1 – 0,996 =

0,004

23

Latihan

1. Suatu mesin minuman diatur agar volume minuman yang dikeluarkan rata-rata 50 ml dan simpangan baku 15 ml. Secara periodik mesin diperiksa dengan mengambil sampel 40 gelas kemudian dihitung rataannya. Bila rataan 40 gelas berada dalam selang μ𝑋 ±2σ𝑋 mesin berkerja dengan baik, bila tidak mesin diatur kembali. Kesimpuan apa yang diperoleh bila rataan 40 gelas adalah 𝑋 = 236 ml. Berikan penjelasannya

2. Suatu baterai memcapai usia rata-rata 30 jam. 16 baterai diuji setiap bulan. Bila nilai t terletak antara -𝑡,025 dan 𝑡0,025 produksi in control. Kesimpulan apa yg diperoleh bila 𝑋 = 27,5 jam dan simpangan baku s = 5 jam

24

Penaksiran parameter

• Satu populasi. Penaksiran mean. μ = 𝑋 . Sebaran 𝑋 berpusat di μ. σ𝑋 = σ/ 𝑛 → 0, n → ∞, rataan menghasilkan ragam yang kecil (akurat)

• P 𝑋 − 𝑧𝛼2

σ

𝑛< μ < 𝑋 + 𝑧𝛼

2

σ

𝑛 = 1 – α

• Selang konfidensi 1 − α 100% untuk μ: 𝑋 ± 𝑧α

2

σ

𝑛.

• n=36 > 30, 𝑋 = 2,6, S = 0,3. σ ≅ 𝑆 = 0,3, 𝑧,025 = 1,96. 95% SK untuk μ: 2,6 ± 1,96×

,3

36 =

2,6 ± 0,10 →(2,50; 2,70)

25

Selisih dua mean

• 1 − α 100% selang konfidensi untuk

μ1 − μ2: 𝑋 1 − 𝑋 2 𝑧α2

𝑉𝑎𝑟 𝑋1

𝑛1+

𝑉𝑎𝑟 𝑋2

𝑛2

• 𝑛1 = 50, 𝑛2 = 75, 𝑋 1 = 76, 𝑆1 = 6, 𝑋 2 =82, 𝑆2 = 8. Tentukan selang konfidensi 96% untuk μ1 − μ2; 𝑋 1 − 𝑋 2 = 76 – 82 = -6. 𝑧,02 =

2,05. -6 ± 2,0564

75+

36

50 : (-8,57; -3,43)

26

Variansi tidak diketahui

• 𝑛1 < 30, 𝑛2 < 30, sampel kecil, σ1 = σ2 = σ

• 𝑆𝑝 = 𝑛1;1 𝑆2 1 : 𝑛2;1 𝑆2 2

𝑛1:𝑛2;2

• Selang konfidensi utk μ1 − μ2: (𝑋 1 − 𝑋 2 ) ±

𝑡α2,𝑣𝑆𝑝

1

𝑛1+

1

𝑛2

• 𝑛1 = 12, 𝑛2 = 10, 𝑋 1 = 85, 𝑆1= 4, 𝑋 2 = 81, 𝑆2 = 5. Tentukan selang konfidensi 90% untuk selisih mean.

𝑋 1 − 𝑋 2 = 85 – 81 = 4. 𝑆𝑝 = 11×16:9×25

12:10;2 = 20,05 = 4,478,

α = 10%, 𝑡,05;20 = 1,725. SK : 4 ±1,725 × 4,4781

12+

1

10 →

,69; 7,31 Metode I lebih unggul dari metode II

27

Proporsi

• p proporsi sukses percobaan binomial. Penaksir 𝑝 =

𝑋

𝑛, x menyatakan banyak sukses dari n

ulangan.

• Selang konfidensi 1 − α 100% untuk parameter

p: 𝑝 ± 𝑧α2

𝑝 𝑞

𝑛

• n=500, 160 menyukai seafood. Selang konfidensi 95% untuk proporsi sesunguhnya yg

menyukai seafood: 0,32 ±1,96,32×68

500 = 0,32 ±

0,04

28

Selisih proporsi

• Selang konfidensi 1 − α 100% untuk 𝑝1 − 𝑝2 : 𝑝 1 -

𝑝 2 ± 𝑧α2

𝑝 1𝑞 1

𝑛1+

𝑝 2𝑞 2

𝑛2

• 2400 dari 5000 penduduk kota dan 1200 dari 2000 penduduk disekitar kota setuju dgn rencana pembangunan gedung serba guna. Tentukan selang konfidensi 90% untuk selisih proporsi sebenarnya

𝑝 1 =2400

5000= 0,48, 𝑝 2 =

1200

2000= 0,60. 𝑝 1 − 𝑝 2 =

− 0,12. 𝑆𝐾:−0,12 ±,48×,52

5000+

,60×,40

2000= −0,12 ±

0,0214 → −0,1414;−0,0986

29

Latihan

1. Sistem peluncuran roket yg baru dipertimbangkan utk digunakan. Sistem lama peluang keberhasilan 0,8. Sistem baru dari 40 peluncuran, 34 berhasil a. Selang konfidensi 95% utk p b. apakah sistem baru lebih baik

2. 52 dari 100 penduduk kota dan 34 dari 125 penduduk sekitar kota setuju dgn pembangunan listrik tenaga nuklir. Tentukan selang konfidensi 96% untuk selisih selisih proporsi

30