series de tiempo

Series de Tiempo

Ing. Alvin Henao

yt

t

Series De Tiempo Ejemplos

1. Series económicas:

- Precios de un artículo

- Tasas de desempleo

- Tasa de inflación

- Índice de precios, etc.

2. Series Físicas:

- Meteorología

- Cantidad de agua caída

- Temperatura máxima diaria

- Velocidad del viento (energía eólica)

- Energía solar, etc.

3. Geofísica:

- Series sismologías

4. Series demográficas:

- Tasas de crecimiento de la población

- Tasa de natalidad, mortalidad

- Resultados de censos poblacionales

5. Series de marketing:

- Series de demanda, gastos, ofertas

6. Series de telecomunicación:

- Análisis de señales

7. Series de transporte:

- Series de tráfico

Tomado de: http://ciberconta.unizar.es/LECCION/seriest/100.HTM#_Toc523661810

Series de Tiempo

• Modelos Deterministas:

– Métodos de extrapolación simple.

– Modelos de promedio móvil

• Modelos estocásticos

Ing. Alvin Henao

Series de tiempo

Modelos deterministas

• Métodos de extrapolación simple:

121

121

21

21

loglog

log

tt

tt

t

rt

t

t

yCCy

yCCy

tCCy

Aey

tCCyTendencia lineal

Crecimiento exponencial

Regresión log lineal

Tendencia autorregresiva

Tendencia autorregresiva

logarítmica

Ing. Alvin Henao

Series de tiempo

Modelos deterministas

• Modelos de promedio móvil:

)(1

21 mtttt yyym

y

Ing. Alvin Henao

• Modelos Ewma (Exponentially weighted moving

average)

tt

tttt

yy

yyyy

0

1

2

2

11

)1(ˆ

...)1()1(ˆ

Series de tiempo estocásticas

Conceptos claves:

• Correlación

• Estacionariedad

Ing. Alvin Henao

Colección de variables aleatorias

en el tiempo

Serie de rendimientos en Acciones

IGBC

Rendimientos Acciones

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0 100 200 300 400 500

Tiempo

IGB

C

Periodo

Ene/06 -

Nov/07


• Estacionariedad

Serie estrictamente estacionaria:

Ing. Alvin Henao

},,Pr{},,Pr{ 11 ttktttkt yyyy La distribución de probabilidad conjunta es invariante

con respecto al tiempo

Serie débilmente estacionaria:

Media, varianza y covarianza constantes

Media y varianza son finitos


• Autocorrelación o Correlación serial

0)(

),(

)()(

),(

l

t

ltt

ltt

lttl

yVar

yyCov

yVaryVar

yyCov

Ing. Alvin Henao

Para una muestra: (FAC-Función de autocorrelación muestral)

10,

)(

))((ˆ

1

2

1

Tl

yy

yyyyT

t

t

T

lt ltt

l


• Ruido Blanco:

Serie independiente e idénticamente

distribuida

Ing. Alvin Henao

Implica estacionariedad

l = 0

RUIDO BLANCO Yt

0,719 0,906

0,342 0,849

0,962 0,981

0,583 0,097

0,195

0,669

0,391

0,961 0,044

0,911 0,990

0,119 0,910

0,669 0,491

0,752

• Ing. Alvin Henao

Series de tiempo estocásticas Pruebas para determinar si l = 0

T-ratio: l ~N(0,1/T)

0ˆ:

0ˆ:

)ˆ21(

ˆ

1

1

2

l

l

l

i i

l

Ha

Ho

T

ratiot

Ing. Alvin Henao

Criterio para rechazar Ho:

2Zratiot )2/1(100

2

Z


Test Pormanteau (Box – Pierce)

miHa

Ho

TmQ

i

m

m

l l

,...,1,0ˆ:

0ˆˆ:

ˆ)(*

1

1

2

Ing. Alvin Henao


2)( mQ )1(1002


Prueba Ljung - Box

miHa

Ho

lTTTmQ

i

m

m

l

l

,...,1,0ˆ:

0ˆˆ:

ˆ)2()(

1

1

2

Ing. Alvin Henao


2)( mQ )1(1002

Función de Autocorrelación (FAC)

Función de Autocorrelación Parcial (FACP)

Ing. Alvin Henao

Ing. Alvin Henao

FACP

1,...,2,1,

,3,2,

1

1

,1,1

1

1

,1

1

1

,1

1

kj

kif

kif

jkkkkjkkj

k

j

jjk

k

j

jkjkkkk

2

)(1

02/1

n

tif kkkk kk

Ing. Alvin Henao

MODELOS AR, MA, ARMA

Ing. Alvin Henao

MODELOS AR • Estructura General:

tptpttt YYYY 22110 Modelo AR(P)

ttt YY 110 Modelo AR(1)

tttt YYY 22110 Modelo AR(2)

• Propiedades:

111

1)()(1

11

12

1

2

0

1

1

0

1

1

0

p

p

Modelo AR(P)

Modelo AR(1)

Modelo AR(1)

Ing. Alvin Henao

MODELOS AR

• Propiedades:

01

01

0)1(

0

)0(

2

21

2

21

2

21

1

2211

022112211

p

p

l

kll

k

ll

lll

llllll

XXX

XX

BB

BB

Ec. Característica de la FAC

Estacionariedad implica Raíces mayores que 1 en módulo.

Las inversas de las raíces se denominan RAICES

CARACTERISTICAS y deben ser menores que 1 en módulo

Ing. Alvin Henao

MODELOS MA • Estructura General:

qtqttttY 2211 Modelo MA(q)

11 tttY Modelo MA(1)

• Propiedades:

10

11

10

)1(

2

1

1

2

11

2

1

2

0

l

l

k

YE

l

k

t

Modelo MA(1)

t

q

qt BBY )1( 1

Ing. Alvin Henao

MODELOS MA

• Propiedades:

3

3

12

2

111

11

222

2

2

10 )1()(

ttttt

ttt

qt

Y

Y

YVar

Invertibilidad

Ing. Alvin Henao

Modelos ARMA(p,q)

t

q

qt

p

p

p

i

q

i

itititit

BBYBB

YY

)1()1( 101

1 1

0

Débilmente estacionario si raíces características <1

)(1 1

0

p

Ing. Alvin Henao

Pronósticos

No Estacionariedad

Ing. Alvin Henao

Random Walk

hhhhh

hhhhhhhh

hhhhh

ttt

yyyyyE

yyyEyyyEy

yyyyEy

yy

)1(ˆ,...},|{

,...},|{,...},|{)2(ˆ

,...},|{)1(ˆ

11

12112

11

1

Process is not mean reverting

laslleVar

le

y

h

hlhh

tttt

2

1

21

)]([

...)(

...

As AR representation

As MA representation

Ing. Alvin Henao

Random Walk with drift

110

120212

101

0

1

1

...

2

}{

)(

ttt

t

tt

ttt

yty

yyy

yy

ValueInitialy

Trend

WNis

yyE

yy

Time trend Random walk

process 2)( tVar i

Ing. Alvin Henao

Unit Root Test – Dickey Fuller

)(

1

1

1

110

11

stdratiotDF

yy

yy

ttt

ttt

Simple way:

Augmented Dickey Fuller Test:

Arima Models

0:&0:1

1:

1:

10

1

1

11

1

0

1

1

1

ccc

p

i

ititctt

t

p

i

itittt

HH

xxcx

or

H

H

xxcx

Ing. Alvin Henao

Modelos Generales no

estacionarios de Raíz Unitaria

Modelos ARIMA (p,d,q): modelo Integrado

Autorregresivo y

de Promedio Móvil

Tiene raíz unitaria

Ing. Alvin Henao

Modelamiento con Eviews

Ing. Alvin Henao

Ing. Alvin Henao

• Ing. Alvin Henao

Ing. Alvin Henao

series de tiempo

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