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J. Phys. III France 5 (1995) 161-174 FEBRUARY 1995, PAGE 161

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Physics Abstracts

43.20 43.25 46.30

Influence des elllets de tempdrature quasi-statiques dupremier ordre sur [es dispositifs h ondes de surface

transverses sur sillons gravds

S. Ballandras, E. Gavignet et E. Bigler

Laboratoire de Physique et M6trologie des Oscillateurs du CNRS, Assoc16 h l'Universit6 de

Franche-Comt6-Besangon, 32 Avenue de l'observatoire, 25044 Besangon Cedex, France

(Re~u le 30 juin 1994, acceptd le 24 octobre 1994)

R4sum4. La pr6sente Etude consiste h calculer le coefficient de temp6rature du premier ordre

d'un r6sonateur h ondes transverses de surface se propageant sous un r6seau de sillons grav6s de

forme quelconque. Ce calcul fait intervenir un mod61e analytique de propagation des ondes sur

un substrat anisotrope d6velopp6 par Auld et une m6thode de perturbation mise au point par

Tiersten. Cette approche th60rique a 6t6 mise en muvre pour trotter le cas de dispositifs h sillons

grav6s de profil rectangulaire sur quartz. On montre ainsi qu'il existe des coupes de quartz h

simple rotation pr6sentant un coefficient de temp6rature du premier ordre th60rique proche de

z6ro. L'influence de la profondeur de gravure des sillons sur ce coefficient est 6galement mise

en Evidence th60riquement.

Abstract. The present study is devoted to the theoretical calculation of the first order quasi-

static temperature coefficient of surface transversewaves which can propagate under shallow

groove gratings. The model presented here associates an analytical description of non-perturbed

surface transverse waves on an anisotropic substrate developed by Auld and Tiersten's perturba-

tion method. This approach has been implemented in the case of quartz delay lines corrugated

with rectangular grooves. It is shown that singly rotated quartz cuts can be theoretically found

exhibiting a first-order temperature coefficient close to zero. The sensitivity of this coefficient

versus the groove depth is also theoretically demonstrated.

1. Introduction

Depuis sa mise au point par Ash en 1970 [ ii, le transducteur h peignes interdigit6s d6pos6 en

surface d'un mat6dau p16zo61ectdque pour l'excitation d'ondes 61ectro-acoustiques a fait

l'objet d'un grand nombre d'6tudes [2-4]. Celles-ci, destin6es h comprendre les m6canismes

mis en jeu par ce type de transduction, ant penis de montrer que 1e transducteur ~ peignes

interdigit6s congu initialement pour l'excitation d'ondes de surface de Rayleigh pouvait ser-

Q Les Editions de Physique 1995

162 JOURNAL DE PHYSIQUE III N° 2

vir h engendrer des ondes se propageant vers la profondeur du substrat comme cela est repr6-

sent6 en figure 1. Cette propr16t6 du transducteur d6pend de la nature et de l'odentation cRs-

talline du substrat [4] et elle fut d'abord consid6r6e comme un effet parasite dans les

dispositifs h ondes de Rayleigh.

excitation b la fr6quence f

a~P

-+-+a

p.cos(fl) ~jInterf6rences constructives si

p.cos(fl)=

V/f

0ndes de volume

de vitesse v, direction

Fig. I. Excitation d'ondes par peignes interdigit6s.

[Elastic waves excited by an interdigital transducer.]

La d6tection des ondes de volume de polarisation transverse ainsi excit6es est possible en

utilisant un transducteur identique h celui d'excitation, soit plac6 en surface inf6rieure du

substrat, soit sur la surface sup6rieure, en tenant compte des r6flexions sur la surface inf6-

rieure [5].

Toutefois, le guidage de ces ondes dans le but de confiner leur 6nergie 61ectroacoustiquedans une cavit6 r6sonnante situ6e entre les transducteurs d'excitation et de d6tection implique

l'existence d'une structure miroir r6fl6chissant totalement, sans pertes et en phase, l'onde

61astique incidente. La difficult6 de r6aliser une telle structure dans le cas pr6sent explique le

peu d'int6rdt pour les applications r6sonateurs de ce type de dispositif.Auld puis plus tard Plessky et Gulyaev ont cependant montr6 [6, 7] que la pr6sence d'une

structure de discontinuit6s p6riodiques sur la surface intertransducteur perrnet le confinement

en surface de l'onde transverse de volume p16zo61ectriquement coup16e dont la longueurd'onde acoustique est voisine de deux fois le pas du r6seau ainsi constitu6, c'est-h-dire la

fr6quence de Bragg de la structure. Une mfime structure p6riodique, de pas 16g6rement sup6-rieur, pourra fitre utilis6e comme r6seau r6flbcteur de part et d'autre des transducteurs d'exci-

tation en assurant ainsi les fonctions de guidage en surface et de r6flexion des ondes [6].

Ainsi, ii sera donc possible d'emmagasiner l'6nergie 61ectroacoustique dans l'espace inter-

transducteur que l'on d6signera par le terrne de cavit6, l'ensemble cavit6-transducteurs-

r6flecteurs forrnant ainsi le r6sonateur h ondes de surface transverses. Suivant l'orientation

cristalline du substrat, ii sera possible d'exciter une onde de propri6t6s voisines de celles

d'un mode de cisaillement d'6paisseur (rapide ou lent) utilis6 classiquement dans les r6-

sonateurs h ondes de volume. Dans le cas du quartz par exemple, la polarisation d'une onde

transverse de surface se propageant en surface d'une plaque de coupe AT (~fi=0°,6=

35°) sera trbs proche du mode de cisaillement d'6paisseur rapide d'un r6sonateur sur coupe

N° 2 EFFETS DE TEMPERATURE SUR ONDES DE SURFACE TRANSVERSES 163

BT dont l'angle 0 est proche de celui de la coupe AT moins 90° (cf. Fig. 2). On a done h

partir d'une teile coupe r6alis6 des r6sonateurs h ondes transverses de surface dont la vitesse

est trbs sup6rieure (+ 60 9b) h celles des ondes de Rayleigh et therrniquement compens6es. De

telles propri6t6s s'avbrent particulibrement int6ressantes pour les applications hautes-

fr6quences des dispositifs h ondes transverses de surface.

Ondes de °2 Ondes transverses

volume ai de surface

°3

ill+90°fl/

~ ~fl/

fl/&

Fig. 2. Polarisation de l'onde transverse de surface sur coupe AT de quartz et du mode de cisaillement

d~6paisseur p16zo61ectriquement couple sur coupe BT.

[Polarizations of the surface transverse wave propagating on an AT cut and the thickness shear bulk wave

in a BT-cup plate.]

On se propose done de mod61iser les ph6nombnes therrniques quasi statiques du premierordre perturbant la fr6quence d'un dispositif h ondes transverses de surface afin de perrnettre

une recherche syst6matique, pour un mat6dau donn6, des coupes cristallines peu sensibles h

ces effets. On pr6sentera tout d'abord le modble de modes coup16s utilis6 pour le calcul des

caract6ristiques de l'onde non perturb6e [8]. Celles-ci seront ensuite utilis6es pour la mise en

oeuvre de la m6thode de perturbation qui perrnet de calculer rigoureusement le coefficient de

temp6rature du l~~ordre pour un mat6riau dont les propri6t6s 61astiques non lin6aires sont

connues [9, 10]. Enfin, le modble propos6 sera appliqu6 au cas du quartz, pour un r6seau de

discontinuit6s grav6es de profit rectangulaire. On pourra 6galement appr6cier l'influence de la

profondeur de gravure sur le coefficient calcu16, qui apparait comme un parambtre ajustabled'optiriiisation du comportement therrnique du dispositif.

2. Propagation en r4gime lindaire

2.I. EQUATION DE PROPAGATION. L'expression la plus simple pour une otlde harmonique

de fr6quence angulaire w, de polarisation transversale et dont l'6nergie est p16g6e en surface est

donn6e par


u~ =A e~ ~~~ e~ ~*3 e/~~, u~ = u~ =

0 (1)

oh l'axe a~ d6signe la direction transversale du d6placement m6canique dans 1e plan de la

surface, a~ la norrnale h cette surface, a~ la direction de propagation.

Dans l'6quation (1), A est l'amplitude des ondes, a est une constante caract6risant le p16-

geage de l'onde et fl est la constante de propagation. Une telle onde ne repr6sente pas un

mode acoustique satisfaisant les conditions aux limites de la surface libre. Cependant, si la

surface porte un r6seau de discontinuit6s p6riodiques (sillons grav6s ou bandes d6pos6es), on

peut en s'appuyant sur le th60r6me de Bloch-Floquet [11] chercher une solution sous la

forrne d'un d6veloppement p6riodique en s6rie de modes coup16s comme suit :

U =

~~

~ -a,a~ -jfl

n

~n

~ ' ~ "~~ e~"

avec fl=

p +2 nn

~° A

~~ n ~ 2. (2)

II faut remarquer qu'une telle onde purement transversale ne pourra se propager qu'en sur-

face de substrat d'orientations cristallines pr6cises. Par exemple, dans le cas du quartz, cette

propagation ne peut exister que sur des coupes h simple rotation (~fi=0°, 6 quelconque)

suivant la direction Z' (axe Z toum6 de 6, les orientations cristallographiques sont donn6es

suivant la norrne IEEE [12]). Cette condition start remplie, on 6crit l'6quation de propaga-

tion relative au problbme Iii

d~ u~d~

u~d~

u~d~

u~~° dt~ ~~~ da) ~ ~ ~~~

da~ da~~ ~~~ da)

~~~

oh p~ d6signe la masse volumique du substrat en coordonn6es naturelles (a~,a~,a~ [13]et

C~~, C~~ et C~~ les seules constantes 61astiques non nulles intervenant dans le problbme. En

injectant les d6placements (2) dans l'6quation (3), on obtient une relation entre les coeffi-

cients a~ d6crivant l'att6nuation de l'onde suivant la profondeur du substrat en fonction de

wet de fl~

~ ~ Cs5 ~66 ~~~~~~

p C0 ~e~ ~~~V~C ~~~

~66~~~j

p~ +~

c~~

De l'6quation (4), on 61iminera la solution relative h une onde d'6nergie croissante suivant les

a~ n6gatifs. En associant cette Equation aux conditions aux limites qui vont Eke maintenant

d6crites, ii sera possible d'6valuer num6riquement les caract6ristiques de l'onde pour un fl~donn6.

2.2. CONDITIONS Aux LiA4ITBS. En s'inspirant de la fagon dont sont d6crites les conditions

aux limites par Tuan [14] pour la r6flexion d'une onde de Rayleigh sur une discontinuit6, on

6crit les relations entre terrnes de contrainte en surface de propagation pour les prob16mes de

r6seaux h sillons grav6s et h bandes m6talliques d6pos6es. On montrera en particulier que les

conditions de Datta-Husinger [15] habituellement mises en oeuvre pour le prob16me traits ici

ne sont qu'un cas particulier de conditions plus g6n6rales. On consid6re tout d'abord le r6-

seau de sillons grav6s dont on repr6sente une p6riode en figure 3.

Le profit'du sillon de profondeur h, suppos6 infini suivant a~, la norrnale h a~ dons le plan

a~ =0, est suppos6 fitre d6crit par une fonction f telle que :


a~ =

h ~f(a~)

a~

a~

Substrat p16zodlectrique

Fig. 3. Profil g6n6ral de sillon grav6 en surface de propagation.

[General profile of a groove at the propagation surface.]

hf(a~= a~ (5)

La condition de propagation de l'onde en surface du substrat y impose la nullit6 des contrain-

tes, ce qui se traduit par :

(~v~ =

0 (6)

avec (~ le tenseur des contraintes et j la norrnale h la surface de propagation dont les compo-

santes, compte tenu de l'6quation (5), peuvent fide approch6es dans le cas d'obstacles de fai-

ble hauteur de la fagon suivante :

~1~~' ~2~~' ~3~~~~~)~ ~~~

i~

Afin de r6duire la difficult6 introduite par la pr6sence de l'obstacle, celui-ci start suppos6 de

faible profondeur devant la largeur d'onde acoustique, on d6veloppe les contraintes en s6rie

de Taylor-MC Laurin en surface de propagation. II vient ainsi

d(~( 0, a3 ) h~ f~~ ~3 ~~ ~J~ ~' ~~+ ~~~(j

=(j( °> ~3 + ~f~ ~3

da~~

~ ~~~

En associant les 6quations (7) et (8) h la condition (6), et en limitant celle-ci aux terrnes du

premier ordre suivant h, ii vient la condition aux limites m6caniques pour le r6seau de sillons

grav6s :


d f( a~ ) d(~( 0, a~~12~ ~' ~3 ~

ja~(3~ ~'~3 f~ ~3 ja~ ~~~

Compte tenu des orientations cristallines impos6es, on montre que T~~=T~~=T~~=0, ce

qui implique que l'6quation (9) ne devra fitre v6rifi6e que pour I=

I.

Dans le cas du r6seau de bandes m6talliques d6pos6es, la condition aux limites m6caniques

impose l'6galit6 des contraintes h l'interface entre m6tal et substrat, soit

T,2( o, a3 =T12( o, a~ (io)

puisque les terrnes T~~ et T~~ sont nuts comme cela a 6t6 6tabli plus haut (les terrnes prim6s

sont relatifs h la bande m6tallique).

Il s'agit done d'exprimer la contrainte T(~ en a~ =0. Pour ce faire, on 6crit l'6quation de

propagation d'une onde de mdme polarisation que celle d6crite par l'6quation (2) dans la

bande m6tallique isotrope. II vient

d~ u( dT(~ dT(~p( ~ = + (l I)

dt da~ da~

La condition aux limites m6canique associde h cette Equation dtablit la nullit6 des contraintes

en surface de la bande m6tallique. La norrnale h cette surface s'6crira telle qu'en

Equation (7). La bande 6tant de faible 6paisseur h, on peut utiliser le d6veloppement (8) pour

exprimer les contraintes s'y 6tablissant. En se limitant une fois encore aux terrnes d'ordre I

suivant h, on obtient l'expression de T(~suivante :

, jdf( a~ ) dT(~( 0, a~~12~ ~' ~3 ~

a~~ ~~3~ ~'~3 f( a3 j~~(l~)

Compte tenu de (11) qui perrnet d'61iminer le terrne dT(~/da~ de l'6quation (12), on 6tablit

l'expression de T(~ dans la bande m6tallique en a~ =0. A l'interface, on applique pour finir

la continuit6 des d6placements et l'6quation (lo) prend alors la forrne

j~

T(~) df( a~ )j~12( °, a3 )"

h P~ ~° ~1 ~ ~ f( a3 ) + 1~~3 ja(13)

2 3

En remplagant f(a~) par une combinaison de fonctions de Heaviside d6crivant un obstacle de

forrne rectangulaire, on retrouve les conditions de Datta et Hunsiger comme annonc6 plushaut [15].

2.3. RELATION DE DISPERSION. Partant des Equations (9) et (13), it est possible de calculer

les termes d'amplitude des modes transverses de surface. Pour ce faire, it est n6cessaire de

limiter le nombre de modes guid6s pour simplifier le calcul. Or, dans le cas de discontinuit6s

de faible 6paisseur (quelques pourcents de A) et en se limitant aux fr6quences proches de la

fr6quence de Bragg de la structure, Auld a montr6 [6] qu'une solution dite de modes coup16s,

constitute des modes n =-I et n=0, sufft h d6crire correctement les propr16t6s acousti-

ques du guide pour les ondes transverses de surface. Cette troncature a 6t6 6galement adopt6e

pour la pr6sel~te Etude. On ddcrit rapidemel~t la proc6dure de calcul mise en oeuvre. Dans le cas

des sillons grav6s tout d'abord, on d6veloppe l'6quation (9) des conditions aux limites.


II vient alors

~

ii

~ ~~~ ~" ~ ~~56 /~n A~ e'~" ~3

=h

f d f( a~ )

n

aa~( C56 "n + jc~~ p~ ) +

~ f~ ~3 ~~ ~66 ~~ ~Jfln ~nj

~n ~~~ ~~ (~~~

En effectuant le produit de cette expression avec la fonction exp(jfl~a~) et en int6grant sui-

vant a~ sur une p6riode A, on 61imine les terrnes orthogonaux du membre de gauche. On

obtient la nouvelle forrne des conditions aux limites :

+Oa

~66 ~q ~ J~56 /~q ~q l ~ ~~ ~66 ~~ ~J/~n ~n ~56 ~J(/~q /~n ~

n=-Oa

x ( C~~ n~ + jC~~ fl~ ) A~ j( a~ e~~~~ A'~ ~~ da~. (15)~o

En ne consid6rant que les modes n=-I et n=0 dans l'6quation(15), on obtient un

systbme de deux Equations h deux inconnues dont la nullit6 du d6ten%nant assure la compa-

tibilit6. L'annulation du d6terrninant conduit h une fonction implicite reliant w, fl~ et a~. On

peut toutefois d6crire analytiquement cette relation de dispersion compte tenu d'un certain

nombre d'hypothbses simplificatrices [16]. Pour la pr6sente Etude, une r6solution num6riquedu prob16me a 6t6 pr6f6r6e afin d'6viter toute omission pr6judiciable. On obtient une expres-

sion de mdme nature pour le problbme du r6sonateur h bandes m6talliques d6pos6es. Aprbsd6veloppement des terrnes de l'6quation (13) puis en effectuant le produit du r6sultat avec la

fonction exp(jfl~a~), les conditions aux limites s'6crivent

(~66~q~J~56/~q)Aq"~ ~ ([p~C9~-2C(~fl~+n~~~

A+ C[~ fl~ fl A f( a~ e~~~~ fl'~ ~3 da~) (16)

~ ~

II est done possible de tracer pour chaque prob16me la courbe de dispersion reliant fl~ h w.

Celle-ci est report6e en figure 4 pour le cas des bandes m6talliques. Elle montre l'existence

d'une bande d'arrfit caract6ristique de la propagation des ondes transverses de surface sur un

r6seau p6riodique. On est alors en mesure de calculer les caract6ristiques de propagation

d'une onde transverse de surface pour une pulsation w proche de ladite bande d'arrdt. Ces

conditions de propagation correspondent aux applications lignes ~ retard ou r6sonateurs. On

a done accbs h tous les terrnes de la relation (2) pour une approche de modes coup16s

( n =I et n =

0 ).

3. Mdthode de perturbation. Cas des sillons gravds

La m6thode de perturbation pr6sent6e ici s'inspire d'un mod61e propos6 par Sihna et Tiersten

pour la pr6diction des effets de temp6rature dans les dispositifs h ondes de surface de Ray-

leigh [10]. Elle est fondle sur un modble de propagation non lin6aire des ondes en milieu

perturbs [9] couple h une analyse variationnelle des propri6t6s m6caniques des ondes

61astiques [17]. Dal~s le cas le plus g6n6ral, on consid6re les forrnes suivantes d'6quations

variationnelles de propagation [17] pour la m6thode de perturbation mise en oeuvre ici


~ ~

- '

W 'l

~a h-2000 I fl~

h-1500I ~'

~3 h- tOOO I ~3

c h-tOOO IcI

h-t500I I

I Ih-t500

I

~ ~h-2000 I

fl O

A

Parfie r6elle de la Parfie imaginaire de la

constante de propagation fl (m-I) constante de propagation fl ~m-1)

Fig. 4. Relation entre w et fl~, cas des bandes m6talliques d6pos6es.

lRelation between w and fl, case of deposited tltin metal strips.]

~ ~

a la(PO ~°~ ~i ~~ ~~

~< $ ~<~m $ ~~

v v k m

~ , ~~ Id d§PO ~° ~i ~i ~~ ~i j~~ ~<kjm ja

~~ ~~~~

v v m

dans lesquelles tous les terrnes de d6placement et les constantes relatives au substrat sont

exprim6es en coordonn6es mat6Relles [13], l'indice sup6rieur 0 est relatif au mode non per-

turb6 et d;~~~ est un tenseur prenant en compte les effets des perturbations ext6rieures [13] :

A,~~~ = C,~j~ + H;~y~ (18)

oh la notion A et H se r6flre ~ une perturbation quasi-statique par rapport ~ la ft6quence de

propagation.

Pour le prob16me des sillons grav6s, on adjoint aux Equations les conditions aux limites sui-

vantes :

~ dUl

car on suppose que la perturbation ne modifie pas fondamentalement les caract6ristiques de

l'onde transverse de surface. Ces conditions aux limites (19) perrnettent d'61iminer les terrnes

d'int6grale de surface apparaissant dans la forrne int6grale foible de (17), et l'on obtient

alors :

N° 2 EFFETS DE TEMPtRATURE SUR ONDES DE SURFACE TRANSVERSES 169

o o

~ ~ ~dU, dU~

PO ~°O ~< ~i ~~aa~ ~<kjm da

~~ (~°)v v m

oodU, dU

~~~~ v~v~v

~~~ ~~~~

v~v~v

~~k~~~

~~~~~

La m6thode de perturbation identifie alors les ddplacements au premier ordre (u,=

u)) puissoustrait l'dquation(20b) h (20a). On pose encore que w+w~ =

2w~ et on obtient une

expression proportionnelle h la variation de fr6quence angulaire induite par la perturbation,

compte tenu de (18), oh seuls les effets du 1~~ ordre sont consid6r6s :

du$* au)

CD CDo

~~vda~ ~kJm da~

~~

"(21)

CDo 2 p~ ~o( u(* u( dvq~q~v

II faut maintenant exprimer le tenseur fl,y~ dons le cas d'une perturbation therrnique statique.On suppose tout d'abord que le substrat peut se dilater librement dans toutes les directions

spatiales, ce qui implique un stat de contraintes statiques nulles. Si, d'autre part, on considbre

I'existence d'un point fixe du substrat (a~=a~=a~=0 par exemple) autour duquel ii

n'existe pas de rotation rigide, on obtient la forrne suivante de fl,~ [9] :

ikjm ~pkjm ~<p ~ ~ikqm ~q ~ ~ikjmuv ~uv ~ j~~ ( ~ ~0 (~~)

ohC~~~~~~

reprdsentent les constantes non lin6aires du matdriau (constantes dlastiques du 3~ or-

dre), dC,~~~/dT les dddv6es prem16res des constantes dlastiques du 2~ordre introduites par

Tiersten et Sinha [8] etS~j

les ddforrnations statiques fonctions des coefficients de dilatation

a~~et de la vaRation quasi statique de temp6rature T- T~ ( T~ est la temp6rature de r6f6rence,

voisine de 25 °C). On 6crira finalement le tenseur de perturbation tel que suit II 8]

ikjm ~ikjm~ ~ ~D) ~~~~

Si les propri6t6s therrno61astiques du substrat sont homog6nes, on sort le tenseur de perturba-tion de l'int6grale triple du num6rateur de (21), it vient ainsi :

dU)~ d~

~ ~° ~Ljm§ ~ ~D )

v

~~k ~~m~~

~

(24)

"O 2 P0 "O U(~ U( dVv~v~v

Compte tenu de la relation (2) d£crivant la polarisation de l'onde, l'6quation (24) prend la

forrne suivante :

JOURNAL DE PHYSIQUE III T 5, N° 2, FEBRUARY 1995


co co~ T T~ )

= ~x

co~ 2 p~ co~

+ Oa~ ~~ ~m ~~~ ~m ~1212 ~J~flm ~~ fl~ ~m) ~1213 ~ fl~ flm °13131 ~nm

x~'~

~ ~

(25)

~ ~n ~m ~nm

n, m

aVeC I"

le~ ~~~ ~ ~~~ ~~ e~~~~ ~"'~ ~3 dVnm

V

Cette relation (25) est vraie quelle que soit la pulsation w~. Cependant, puisqu'il est question

d'6tudier une onde se propageant h la limite de la bande d'arrdt pour laquelle fl~ est rdel,

l'int6grale l~~ sera plus simple h effectuer. En ce qui conceme les homes d'int6gration de

I~~, on effectuera les calculs sur une seule p6dode A suivant a~ et pour une longueur des

sillons unitaires (suivant a~ ). Pour a~ it est n6cessaire de consid6rer l'dquation (5) pour pren-

dre en compte rigoureusement l'influence des sillons. Dans le cas d'un substrat occupant un

espace semi-infini, l'int6grale I~ sera telle que :

l~hf( a3 ) ~ ~

~~~

O

O

~-~

~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~~ ~~~~ ~~2 d~3 d~l (26)

On s'int6resse maintenant h une forrne de sillon rectangulaire de largeur A/2. Dans ce cas,

f(a~) sera nulle pour A/2<a~< I et vaudra I de 0 h A/2. On obtient alors, aprbs int6-

gration

I~~=-~ ~~~~ (l -e~~~"fi~~m~ )2 (n~ + n~)

oh

~nm jn~n " ~ ~ '~

A~~ =I si n = m

(27)

On obtient alors l'expression finale de la vaRation relative de fr6quence angulaire limit6e au

premier ordre d'une ligne h retard h ondes transverses de surface due h une perturbation ther-

mique quasi-statique avec

+on A*A~ ~~ ~ A~(I-e~~~~"~~"' )(B)

W~WO

,m=-~~"n+"m~~

(T T) (28)"

+~A* A ~

~~ ~ ~° ~~n,

~-°°

~"(m~

~~~ ~ ~~~ ~~ ~ ~~

avec B=

( aln~ Hi

212+ Jflm "1 PI "m °1213 ~ PI Pm °~~~~

4. Application numdrique. Cas du quartz

On se propose d'appliquer le mod~le d6velopp6 pr6c6demment au cas du quartz dont les

propri6t6s 61astiques et therrno61astiques semblent favorables h l'existence de coupes


compens6es en tempdrature pour les ondes transverses de surface (propR6t6s proches de cel-

les des ondes de cisaillement d'6paisseur). On va done rechercher parrni toutes les coupes h

simple rotation ~fi=

0°, 90° < 6 < 90° ) celles dont le coefficient de temp6rature du

1~~ ordre 0~ est nut. Conforrn6ment h l'6quation (28), ce coefficient s'6cRt :

f (~ ~~A~~( I e~ ~~~~ ~ ~~~ (B

~_ ~ ~n~ + n~

~~~)~~

~~~ ~~n,

m~Oa

~~ ~~~~~~ ~

~~ ~~ ~ ~~~~

D'autre part, puisqu'aussi bien le mod61e de propagation lin6aire que la m6thode de perturba-tion tiennent compte de la profondeur de corrugation, on a cherch6 h mettre en Evidence son

influence sur le coefficient 6~.Les constantes dlastiques du deux16me ordre utilis6es ici sont celles de Slobodnik [19] et

les constantes non lin6aires sont celles de Thurston [20]. Los ddrivdes premibres des constan-

tes 61astiques lin6aires ont 6td calcu16es par Tiersten et Sinha [8]. Les r6sultats obtenus sont

pr6sent6s en figure 5.

~0~~-

o.oooi

fl Q 5e-05

~$~

0

~

~Q~ c -5e-05# ~

oJ ~~

~Q~ ~

fi 0 9e-07

7e~l7 ~~

w 6e-07)50

~4e ~17 ~~

cJ 0~

~j°? Profondeur de50 ~~

Angle de coupe Th6ia~~°~~~~ ~~~ ~~

(en degr6s)

Fig. 5. Repr6sentation tridimensionnelle du coefficient 6~ en fonction de l'angle de coupe 6 et de la

profol~deur de gravure h.

[3-D representation of the coefficient 6~ versus cut angle 6 and groove depth h-j


Les calculs effectu6s pour 6 variant de 90° h + 90° par pas de 5°, pour MA variant de 2 9b

h 20 9b par pas de 2 fb montrent l'existence de 3 r6gions d'angles 6 pour lesquelles le coeffi-

cient de temp6rature du premier ordre 6~ est proche de z6ro. D'autre part, on souligne l'in-

fluence de la profondeur de gravure qui perrnet dans la r6gion 20° < 6 < 30°, d'annuler le

coefficient 6~. Les r6gions correspondant respectivement aux angles 6=

65° et 6=

-59°

semblent moins sensibles h la variation de profondeur de gravure, ce qui perrnet d'esp6rer

une meilleure r6p6tabilit6 dans la r6alisation pratique de r6sonateurs h quartz peu sensibles

aux effets de temp6rature du l~~ ordre.

Malgr6 l'absence de r6sultats exp6rimentaux perrnettant de valider la pertinence des cat-

culs pr6sent6s, il est int6ressant de comparer l'6volution du coefficient de temp6rature du

l~~ ordre des ondes transverses de surface en fonction de l'angle Th6ta h celui des ondes de

cisaillement d'£paisseur de polarisation 61ectrom6canique voisine. En effet, l'onde transverse

de surface se propageant sur un substrat de coupe 6 pr6sente des caract6ristiques de propaga-

tion tr6s proche de l'onde de cisaillement d'6paisseur p16zo61ectriquement coup16e dans un

rdsonateur de coupe 6+90°. Aussi peut-on superposer le coefficient de temp6rature du

l~~ ordre des ondes STIV en fonction de 6 pour une profondeur de gravure donn6e au coeffi-

cient de tempdrature du l~~ ordre des ondes de cisaillement d'6paisseur pidzo61ectriquementexcitables [21] ddcald de 90° (Fig. 6).

p

jj;r, h=ioo00 I

ondes de volumej "' ~ ~jh- sore

~-

~ h= 1000

~~ $~j ~

,.~ ~fl ;? ,"~'-

,flJ J .'

Q z /,,'E ~

i;1'

~ ~" / '

'~ b-

~ C~-O

1J ~., .J

_~'. ,-' 7

z ',., .j"

flJ ~, l'5fi~O -loo -80 -60 -40 -20 20 4D 60 80 looQ

Angle de coupe Th6ta (en degr6s)

Fig. 6. Comparaison entre coefficients de temp6rature du l~~ ordre des ondes transverses de surface et

des modes de cisaillement d'6paisseur p16zo61ectriquement coup16s sur coupes de quartz h simple rota-

tion.

[Comparison between first order temperature coefficients of surface transverse waves and thickness shear

bulk waves piezoelectrically coupled versus cut angle o-1


Au voisinage de la coupe BT (9=

54° ), on note une bonne concordance entre (es deux

modmes qui prdvoient un effet de compensation de temp6rature pour cette valeur d'angle. Ii

s'agirait done d'un mode voisin de l'onde de cisaillement d'6paisseur de la coupe AT dont la

loi de comportement frdquence-tempdrature est r6gie par une fonction cubique. On peut done

s'attendre h un comportement similaire de l'onde STiV sur coupe BT. En ce qui conceme (es

valeurs positives de 9, d'importantes diff6rences apparaissent entre (es deux courbes. En par-ticu1ier, la compensation correspondant h la coupe BT des ondes de volume pr6visible en

0=

36° n'apparait sur la courbe du coefficient de temp6rature des ondes transverses de sur-

face que pour des grandes profondeurs de gravure. De plus, au voisinage de cette coupe, on

note une inversion de signe de la pente de la courbe compar6e h celle des ondes de volume.

Ce ph6nom~ne s'avbre quelle que soit la profondeur du sillon grav6. Ii sera done n6cessaire

de ddterminer expdrimentalement s'il s'agit16 d'une propri6t6 intrins~que aux ondes transver-

ses de surface sur substrat de quartz. D'autres mat6riaux pourraient 6galement faire 1'objet de

tels calculs afin d'estimer la coh6rence des rdsultats obtenus. Ce type de test est bien entendu

assujetti h la connaissance des propri6tds non lin6aires du mat6riau.

5. Conclusion

On a pr6sentd un modme thdorique permettant de pr6voir rigoureusement la valeur du coeffi-

cient de tempdrature du premier ordre d'un r6sonateur h ondes transverses de surface h

sillons grav6s. Le calcul a 6t6 mis en ~euvre pour1e cas du quartz, pour une forme rectangu-

laire de corrugation. On a pu montrer thdoriquement l'existence de coupes compens6es en

tempdrature au premier ordre. De plus, l'influence de la profondeur de gravure sur cet effet

de compensation offre un degr6 de libert6 suppldh~entaire pour la r6alisation pratique de r6-

sonateurs h ondes de surface transverses.

Afin de comp16ter la prdsente Etude, ii faut encore, du point de vue th60rique, d6finir l'in-

fluence du profi1de corrugation sur la sensibilitd des ondes de surface transverses aux effets

de tempdrature quasi-statique, ce point devra tenir compte des contraintes technologiques, li-

mitant (es profits dtud16s h ceux r6alisables pratiquement. D'autre part, on cherchera h adap-

ter 1e modble de perturbation aux cas des bandes m6talliques d6posdes, qui semblent plus

faciles h rdaliser technologiquement. Finalement, des mesures seront ndcessaires pour confir-

mer la validitd de l'approche thdorique faisant l'objet du pr6sent article.

Bibliographie

[11 Ash E. A., Surface wave grating reflectors and resonators, IEEE Microwave Theory Tech. Sympo-

sium Digest (1970) 385-386.

[21Lewis M.,«

Surface skimming bulk waves, SSBW», Ultrasonics Symp. Proc., IEEE cat.

77CH1264-ISU (1977) pp. 744-752.

[3] Lee D. L.,«

S-band SSBW delay lines for oscillator application », Ultrasonics Symp. Proc., IEEE

cat. n° 80 CH1602-2 (1980) pp. 261-266.

[4] Goodberlet M. A., Lee D. L., The excitation and detection of surface-generated bulk waves, IEEE

Trans. Sonics Ultrason. SU-31 n° 2, pp. 67-76 (1984).

[5] Hoummady M., Auld B. A., Hauden D., Bigler E.,«

Excitation et d6tection par des transducteurs

interdigit6s des ondes transversales horizontales guid6es darts une plaque de quartz»,

l~~ Congr~s Frangais d'Acoustique, Lyon, avril 1990.

[6] Auld B. A., Gagnepain J. J., Tan M., Horizontal shear waves on corrugated surfaces, Elect. Lett. 12

(1976) 650-651.

[7] Gulyaev Yu. V. and Plesskii V. P., Sov. Tech. Phys. Lett. 3 (1977) 87-88.


[8] Tiersten H. F. and Sinha B. K., A perturbation analysis of the attenuation and dispersion of surface

waves, J. Appl. Phys. 49 (1978) 87-95.

[9] Sinha B. K., Tiersten H. F., First temperature derivati~es of the fundamental elastic constants of

quartz, J. Appl. Phys. 50 (1979) 2732-2739.

[10] Sinha B. K. and Tiersten H. F., On the temperature dependence of the velocity of surface waves in

quartz, J. Appl. Phys. 51 (1980) 4659-4665.

[I ii Auld B. A., Acoustic fields and waves in solids, R. E. Krieger Ed, vol. II (Publishing Company,

Malabar, Florida, 1990) pp. 159-170.

[12] IEEE Standard on Piezoelectricity 176-1949, Proc. IRE, vol. 37 (1949) pp. 1378-1395.

[13] Thurston R. N., Physical Acoustics, Principle and Methods, Part A Wave Propagation in Fluids and

Solids, Warren P. Mason Ed., vol. I (Academic Press, 1965).

[14] Tuan H. S., Li R. C. M., J. Acoust. Soc. Am. 55 (1974) 1212.

[15] Datta S., Hunsinger B., First order reflexion coefficient of surface acoustic waves from thin strip

overlays, J. Appl. Phys. 50 (1979) 5661-5665.

[16] Bigler E., Auld B. A., Ritz E. and Sang E.,«

An analysis of the influence of design parameters on

the resonant frequency and Q-factor of surface transverse wave (STW) resonators », Proc. 45th

Ann. Freq. Cont. Symp., Los Angeles, june 1991.

[17] Baumhauer J. C, and Tiersten H. F.,«

Nonlinear electroelastic equations for small fields superposed

on a bias », J. Acoust. Soc. Am. 54 (1973) 1017-1074.

[18] Ballandras S., Bigler E.. Surface acoustic wave devices with low sensitivity to mechanical and ther-

moelastic stresses, J. Appl. Phys. Lett. 72 (1992) 3272-3281.

[19] Slobodnik A. J., Conway E. D., Delmonico R. T., Microwave Acoustics Handbook, vol. IA : Sur-

face Wave Velocities (Air Force Cambridge Research Labs, 1973).

[20] Thurston R. N., Mcskimin H. J., Andreacht P., Third order elastic coefficients of quartz, J. Appl.

Phys. 37 (1966) 267-275.

[21] Heising R. A.,«

Qualtz crystals for electrical circuits, their design and manufacture »,Original

printing 1946, D. (Van Nostrand Company Inc.) Reprinted 1982 (EIA, Washington) pp. 25-29.

influence des effets de temp�rature quasi-statiques du premier ordre sur les dispositifs � ondes...

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