il disegno degli ovali armonici

EDOARDO DOTTO

IL DISEGNODEGLI OVALIARMONIC I

LE NOVE MUSE EDITRICE

UNIVERSITÁ DEGLI STUDI DI CATANIA - FACOLTÁ DI ARCHITETTURA - SIRACUSA

copertina_copertina 30/01/13 10:12 Pagina 1

EDOARDO DOTTO

IL DISEGNO DEGLI OVALI ARMONICI

LE NOVE MUSE

PREFAZIONE DI GIUSEPPE PAGNANO

© 2002 Le Nove Muse Editricevia S. Euplio, 68 - 95124 CataniaTel/Fax 095 [email protected]

Direttore editoriale: Ezio Costanzo

Edoardo DottoIl disegno degli ovali armoniciisbn 88-87820-19-2

Stampa Edi.Bo. srl, Catania, novembre 2002.

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INDICE

Prefazione di Giuseppe Pagnano p. 7

Ringraziamenti p. 12Introduzione p. 13Gli ovali armonici p. 21

OVALIOvali armonici generati dal triangolo sacro p. 41

1 : 2 ovale di ottava (diapason) p. 423 : 5 ovale di sesta p. 442 : 3 ovale di quinta (diapente) p. 463 : 4 ovale di quarta (diatessaron) p. 484 : 5 ovale di terza p. 505 : 6 ovale di terza minore p. 52altri ovali generati dal triangolo sacro p. 54

Ovali notevoli p. 59Ovale diagoneo: secondo ovale di Serlio p. 60Ovale aureo p. 64Ovale equilatero: quarto ovale di Serlio p. 68

APPENDICITavola sinottica dei rapporti notevoli p. 75Terne pitagoriche ed ovali armonici di altro ordine p. 81Corrispondenza tra la forma degli ovali e delle ellissi p. 85Indice delle illustrazioni p. 89Bibliografia p. 91Indice dei nomi e dei luoghi p. 95

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Ero studente del secondo anno di Architettura a Roma quando GiulioPerugini, professore di “Elementi di architettura e Rilievo dei monumen-ti”, attribuì a me e ad altri due studenti, come lavoro d’anno, il rilievo dellacripta Falconieri in S. Giovanni dei Fiorentini. Allora, per la prima volta, fuiposto di fronte al dilemma tra ellisse ed ovale. Lo scopo reale del lavorostava proprio nel desiderio del professore di verificare quale figura fossestata impiegata da Borromini in un edificio ancora così poco indagato emai rilevato. L’impegno di noi rilevatori in erba fu altissimo e ci condusse,dopo aver infisso nel terriccio molle del suolo due paletti nella posizionedei fuochi, trovati con la semplice regola dell’intersezione tra assemaggiore e cerchio dall’estremo del minore con raggio uguale a metà delmaggiore, a provare la “costruzione del giardiniere”. Fu con una certadelusione che scoprimmo il discostarsi dello zoccolo della cripta dallospago che definiva i punti della sola ellisse possibile con quei fuochi. Leprove e riprove furono innumerevoli, mutando posizione dei fuochi,poiché istintivamente l’ellisse ci appariva curva più perfetta e pura,

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PREFAZIONE DI GIUSEPPE PAGNANO

generata da un intrinseca ragione interna, più che un qualsiasi ovaledefinito dal montaggio di archi di circonferenza. Alla fine dovemmo arren-derci all’evidenza che i quattro paletti infissi nei centri definivano proprioquegli archi di circonferenza al contatto tra lo zoccolo e la matita passatanel cappio del laccio che fungeva da compasso. Nella figura inserita daPortoghesi nel suo Borromini si legge l’eco di quel rilievo. Il grandeBorromini aveva scelto l’ovale e doveva avervi riconosciuto una tensionedella curva non inferiore a quella dell’ellisse. Da allora la mia stima nei con-fronti di questa figura è cresciuta a dismisura.

Negli ultimi dieci anni ho seguito con interesse sempre più crescentela riflessione su questo dilemma negli interventi di Valerio, di De Rubertis,di Zerlenga, di Docci e di Migliari ed infine ho trovato chi con passione haaccettato di occuparsene quasi a tempo pieno, Edoardo Dotto. Ci ha giàfornito una creativa rilettura sul tema della costruzione degli ovali pubbli-cata da “Disegnare” ed ora ci anticipa una parte delle riflessioni che staconducendo nell’ambito di una vasta ricerca sull’architettura “ovata” deltardobarocco.

La novità di questo suo contributo risiede tutta nell’aver saputo rico-noscere la confluenza tra due diversi campi d’indagine del pensiero archi-tettonico antico: il ragionare sulla forma geometrica ed il ricercare le belleproporzioni che la musica poteva definire mediante il concetto di conso-

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nanza. Non solo si scopre che il triangolo sacro, forma perfetta e magicaper eccellenza, consente di costruire ovali diversi dai più noti della tratta-tistica ma genera ovali tutti definiti da rapporti tra gli assi che sono quelliarmonici.

Il fatto stesso che alcuni edifici presentino ovali armonici generati da untriangolo sacro dimostra che gli antichi conoscevano queste figure e nericonoscevano l’intrinseca bellezza. Di fronte a questa prova di cono-scenza stanno i trattati che l’ignorano. Ci si chiede come mai. La cosa nonè chiara e richiederà ulteriori indagini e interpretazioni. Riteniamo che gliantichi conoscessero perfettamente la costruzione degli ovali armonici esemplicemente non intendessero rivelarla. Un “sapere segreto” o megliouna conoscenza perfettamente custodita nella cerchia d’una scuola o d’unclan familiare o entro un grande cantiere, come avverrà in futuro per altrisaperi che non era utile rendere di pubblico dominio, come per la ste-reotomia nei cantieri gotici o per la costruzione delle cupole - come ciricorda Cono Terranova - nei cantieri tardobarocchi.

L’ovale armonico è infinitamente più facile da usare rispetto agli ovaliserliani poiché di esso si definiscono, prima della costruzione geometrica,le dimensioni massime. In ciò questo ovale s’apparenta all’ellisse, definitaanch’essa a partire dalla dimensione degli assi. L’ovale armonico è sempreinscritto in un rettangolo dato, mentre con le regole di Serlio non si defi-

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niscono le dimensioni degli assi ma solo la posizione dei centri oppure sifissa una sola dimensione e si lascia che l’altra sia definita dalla costruzio-ne. Nel progettare una pianta secondo il metodo additivo di matrice rina-scimentale si definiscono prima i quadrilateri di suddivisione della superfi-cie interna disponibile e poi se ne ricerca l’articolazione geometrica delcontorno di ciascuno. Negli schizzi di Peruzzi per l’ospedale degli Incurabilicompare sempre il rettangolo d’inviluppo degli ovali. Un ambiente ovatopoteva porsi così come alternativa ad uno rettangolare, come appare neltrattato di Palladio in cui alcuni vani quadrati sono risolti in circolari e altrirettangolari in vani ovali per le scale. Con la regola degli ovali armonici sipotevano proporzionare questi spazi con la stessa regola con cui si fissa-vano le proporzioni degli spazi rettangolari.

Sappiamo tutto dell’ellisse e conosciamo il suo codificatore, nonsappiamo invece molto dell’ovale al di fuori della regola delle policentri-che enunciata da Euclide. Come mai l’architettura greca non ha usatol’ovale anche se fa un uso smodato di una figura affine, l’ovolo, e della suatraduzione tridimensionale, l’ovoide? L’ovolo non è altro che un mezzoovale raccordato ad una semicirconferenza di raggio uguale all’asseminore. Due metà policentriche dell’ovolo determinano un ovale costrui-to su un quadrato ruotato. Eppure non ci sono ovali nell’architetturagreca, né in pianta né nella decorazione, o almeno non siamo riusciti a

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ritrovarne un esempio. Invece l’ovolo addirittura conferisce il suo nomead una delle modanature di base e la sua concatenazione plastica in formadi ovoidi con guscio alternati ai dardi costituisce il kymation ionico cheattraversa inalterato 25 secoli.

Anche i romani non usano mai l’ovale al di fuori dell’anfiteatro o quasimai, perché di recente ho rilevato in un disegno antico la rappresentazio-ne d’un organismo centrico con tre cappelle ovali. Il caso dell’anfiteatro èstato di recente con acutezza dibattuto dagli studiosi dellaRappresentazione nello straordinario numero di “Disegnare” dedicato alColosseo ma ancora non è chiaro del tutto quale fosse la forma primiti-va di questo tipo di edifici alle sue origini e s’ignora per quale procedi-mento figurativo e geometrico si sia definita proprio la forma ovata e nonun’altra. Restano, quindi, aperte molte questioni sul tema dell’ovale.Intanto, qui, Dotto ce ne rischiara di nuova luce alcune.

Giuseppe Pagnano

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Questo lavoro è il risultato parziale di una ricerca sugli ovali a quattro centri, enasce dall’imprevista connessione di semplici idee.

Negli ultimi mesi ho avuto la possibilità di approfondire questo argomentocome titolare di assegno di ricerca presso il Dipartimento di Analisi,Rappresentazione e Progetto nelle aree del Mediterraneo, presso la Facoltà diArchitettura di Siracusa dell’Università di Catania, sotto la guida del professoreGiuseppe Pagnano. Col passare del tempo, l’iniziale interesse puramente geo-metrico per l’ovale ha lasciato spazio alla ricerca delle relazioni tra gli schemigenerativi e la forma architettonica.

Non sarei mai stato in grado di svolgere queste riflessioni, se non avessi avutoil supporto di persone che a vario titolo mi hanno continuamente sostenuto eincoraggiato. A loro va la mia più sincera gratitudine.

Tra esse, ringrazio, primo fra tutti, il professore Giuseppe Pagnano, per avermiaiutato con saggezza, generosità e affetto in ogni fase di questo studio, masoprattutto per avere condiviso con me l’entusiasmo per l’intuizione che sta allabase di questo lavoro.

Ringrazio Antonio Gennaro, che ha gestito con competenza ed amichevoleimpegno gli aspetti pratici legati alla realizzazione del volume.

Ringrazio Emilia Wanderlingh, che ha risolto con la sua fiducia ogni mio dubbiosull’esito di questo lavoro. La ringrazio anche per l’amorevole e attenta letturadel testo.

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RINGRAZIAMENTI

«In diversi modi si possono fare delle forme ovali, ma di quattro modine darò la regola».

I quattro modi descritti da Serlio nel Primo libro del suo trattato1 di fattosono stati considerati, dal Cinquecento fino ai giorni nostri, come i modicanonici di costruire le figure ovali. Su molti trattati di architettura e digeometria queste costruzioni sono le uniche riportate.

A dispetto dell’enorme diffusione e della permanenza dei quattro tipidescritti da Serlio, una ricognizione della storia della pianta ovale dalRinascimento fino ai giorni nostri, che non escludesse anche l’analisi dellepiante degli anfiteatri romani, mostrerebbe come, di queste quattrocostruzioni, solo due siano state in realtà utilizzate di frequente e comead esse si affianchi una grande varietà di schemi geometrici per la costru-zione di ovali, talvolta molto distanti da quelli riportati da Serlio. In epocatardorinascimentale, barocca e tardobarocca, infatti, il rinnovato interesseper le architetture a pianta ovale ha certamente determinato l’urgenza di

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INTRODUZIONE

1 La prima edizione del trattato di Sebastiano Serlio fu edita a Parigi nel 1545. Si è fattoperò riferimento all’edizione italiana: S. Serlio, Tutte le opere di A rchitettura et Prospettivadi Sebastiano Serlio Bolognese, Venezia 1600, pp. 13 e 14.

descrivere una serie di costruzioni geometriche che potessero ricoprirel’intera gamma delle proporzioni tra gli assi delle figure, da quelle quasi cir-colari a quelle molto allungate, e che potessero consentire il disegno diovali di varia forma, da quelli simili all’ellisse a quelli che da esso più sidistaccavano (figura 1).

Gli ovali presi in considerazione nel presente lavoro sono soltanto aquattro centri, quindi composti da quattro archi di circonferenza (figura2). Questi ovali, molto semplici da tracciare, sono formalmente piuttostodiversi dall’ellisse che ha le stesse dimensioni degli assi. Se è vero che perogni misura degli assi esiste una sola ellisse, esistono invece infiniti ovali,con le stesse misure ma di forme molto diverse2.

Alla univocità formale ed all’intrinseca bellezza dell’ellisse3 corrisponde

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2 Sul rapporto tra la forma dell’ovale e dell’ellisse cfr. V. Valerio, Sul disegno e sulla formadegli anfiteatri, in «Disegnare idee immagini», anno IV, n. 6, pp 25-34, ed anche R. Migliari,Ellissi ed ovali. Epilogo di un conflitto , in «Palladio», n. 16, Roma 1995, pp. 93–102.3 Come è noto l’ellisse è una sezione conica, ottenuta con un piano obliquo, non paralleloalle generatrici ed all’asse. L’ovale invece è una curva policentrica che si ottiene dall’unionedi diversi archi di circonferenza che nei punti di contatto hanno tangente comune. Gli ovalihanno doppia simmetria ortogonale e possono essere composti da un minimo di quattro

Figura 1. Ovali con assi identici ma diforma diversa. In basso l’ellisse con glistessi assi.

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una enorme difficoltà di tracciamento sul terreno per figure di grandidimensioni4, come anche una serie di complicazioni per la divisione delperimetro in parti uguali ed il tracciamento delle tangenti e delle ortogo-nali in ogni suo punto5 (figura 3).

La costruzione di ovali sul foglio, come anche sul terreno o in alzato nelcantiere architettonico, è invece semplicissima, essendo riconducibile in

archi di circonferenza. Cfr. O. Zerlenga, La «forma ovata» in architettura. Rappresentazionegeometrica, Cuen, Napoli 1997.4 Il metodo detto ‘del giardiniere’, che sfrutta la considerazione secondo cui in un’ellisse ognipunto ha distanze dai fuochi la cui somma è costante, impone costruzioni con la corda che,per dimensioni degli assi dell’ordine di decine di metri, è piuttosto scomoda e non consentegrande precisione. Esistono altri metodi più complessi che sfruttano caratteristiche dell’ellissenote fin dall’antichità, contemplate dal trattato del matematico ellenistico Apollonio. In ognicaso il tracciamento di ellissi concentriche è molto complesso, dato che per ciascuna curva ènecessario reimpostare i fuochi. Cfr. R. De Rubertis, Un enigma avvincente: il tracciato ellitti-co del Colosseo , in «Disegnare idee immagini», a. X, n.18-19, Roma 1999, pp. 99- 106.5 Mentre la perpendicolare all’ovale in un suo punto coincide col raggio dell’arco di cir-conferenza, quindi si trova congiungendo ogni punto con il centro dell’arco cui il puntoappartiene, la perpendicolare in un punto dell’ellisse si trova tracciando la bisettrice del-l’angolo formato dalle rette che congiungono il punto con i fuochi. Cfr. V. Valerio, cit., A.Casale, A lcune ipotesi sul progetto e sulle geometrie del Colosseo , in «Disegnare idee

Figura 2. Costruzione generaledell’ovale a quattro centri.

ogni caso al tracciamento di porzioni di circonferenza. Il disegno si puòeseguire col solo uso del compasso sul foglio di carta, e con un picchettoe una corda nella pratica operativa.

Se da un lato è ormai assodato che la quasi totalità delle architetture a‘pianta ovata’ si basa su costruzioni di ovali e non di ellissi, ancora non ènota la casistica completa delle costruzioni degli ovali utilizzati6.

Come si diceva, la varietà delle forme degli ovali, anche a parità didimensioni degli assi, fa sì che esistano molte costruzioni che determina-no ovali di forma diversa. Per lungo tempo sono state disponibili suitrattati di architettura e di geometria solo costruzioni in cui, fissata la lun-

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immagini», a. X, n.18-19, Roma 1999, pp. 81-88, e Zerlenga, cit. 6 Attualmente chi scrive svolge una ricerca presso il Dipartimento di Analisi,Rappresentazione e Progetto nelle aree del Mediterraneo, presso la Facoltà di Architetturadi Siracusa dell’Università di Catania, tutor Prof. Giuseppe Pagnano, dal titolo Geometriedi Generazione degli organismi tardobarocchi. Tra l’altro, nel corso di questo lavoro si stasvolgendo una ricognizione delle piante ovali alla ricerca delle regole di costruzione real-mente utilizzate. Per quanto i risultati siano ancora parziali, è comunque evidente come lavarietà delle costruzioni degli ovali superi di gran lunga le costruzioni diffuse dai trattati diarchitettura.

Figura 3. Tracciamento della per-pendicolare e della tangente ad unpunto dell’ellisse.

ghezza di un asse, la dimensione dell’altro asse veniva ricavata di conse-guenza, si sono quindi utilizzate costruzioni dell’ovale con rapporto fissotra le dimensioni degli assi.

La prima volta che compare una costruzione dell’ovale in cui è possibi-le fissare liberamente le misure degli assi, è nel trattato di Abraham Bosse,pubblicato nel 16557 (figura 4). Questa costruzione, per quanto agile edelegante non ha avuto la diffusione che uno strumento così potenteavrebbe meritato. Nonostante non vi fossero altre costruzioni di questotipo pubblicate in precedenza, è comunque difficile immaginare che primadella metà del XVII secolo, non fosse possibile costruire ovali con misuredegli assi scelte a piacere, e che le uniche costruzioni disponibili fosseroquelle di Serlio.

Lo scopo di questo lavoro è descrivere una serie di costruzioni ele-mentari dell’ovale, in gran parte inedite, che si originano da semplicirapporti geometrici e che determinano ovali in cui il rapporto tra gli assiè riconducibile ai rapporti armonici dell’architettura antica o ad altri

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7 Abraham Bosse, Traité des geometrales et perspectives, Parigi, 1655. Cfr. Zerlenga, cit.,pp. 137 e sgg..

Figura 4. La costruzione diBosse per tracciare ovali conassi a piacere.

rapporti notevoli. Alcune di esse sono state determinate studiando casiconcreti dell’architettura antica o esempi di architettura ‘post-rinascimen-tale’ europea. I casi di studio hanno consentito una riflessione più ampiache ha portato ad una teoria generale, rendendo possibile definire costru-zioni di ovali in cui il rapporto tra gli assi è un rapporto armonico o unrapporto notevole.

Gran parte delle costruzioni che si presentano, sfrutta le proprietà deltriangolo rettangolo che ha i lati che misurano 3, 4 e 5 parti, il cosiddetto‘triangolo sacro’, le cui dimensioni formano la prima terna pitagorica.

Il lavoro è diviso in due parti. Nella prima si richiama la teoria classica delleproporzioni e si espongono i fondamenti per la costruzione degli ovaliarmonici. Nella seconda parte si descrivono gli ovali armonici e la lorocostruzione. La trattazione di alcuni ovali è corredata da esempi di appli-cazione tratti dalla storia dell’architettura.

In appendice si elencano i rapporti armonici e le loro caratteristichesalienti, si verificano le correlazioni formali tra gli ovali descritti e le ellissi esi prendono rapidamente in considerazione altre ‘famiglie’ di ovali

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armonici.La bibliografia in fondo al volume intende fornire riferimenti di caratte-

re generale, rimandando l’analisi dei singoli casi nella storia dell’architettu-ra a successivi sviluppi di questo studio.

Questo lavoro vuole costituire uno strumento per l’approfondimentodello studio delle architetture attraverso il disegno, condotto con l’intimasperanza che alcuni degli ovali descritti per la prima volta in questo lavoroappartengano a quei diversi modi cui faceva riferimento Serlio, accanto-nati per secoli al di fuori della storia dell’architettura e della geometria.

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La teoria delle proporzioni armoniche nella Grecia classica è di deriva-zione pitagorica ed ha origine nella teoria musicale del ‘tetracordo’1.

Per visualizzare con chiarezza e semplicità il problema2, si consideri unacorda di lunghezza unitaria. Ad essa si affianchi un’altra corda lunga quantola prima più un terzo, ed un’altra lunga quanto la prima più la metà. Siaggiunga una corda lunga il doppio della prima. Queste quattro corde,vibrando, emettono suoni tra loro ‘consonanti’, ed il rapporto tra le lorolunghezze manifesta armonia visiva (figura 5).

I rapporti numerici tra le grandezze sono rapporti armonici. Tra la I e laII corda si ha un rapporto di 3 : 4, che esprime musicalmente l’intervallo

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GLI OVALI ARMONICI

O ra, quei numeri che hanno il potere di dare ai suoni labellezza, la quale riesce tanto gradevo le all'o recchio , sonogli stessi che possono riempire di mirabile gio ia gli occhi el'animo nostro .

Leon Battista Alberti, De re aedificatoria, IX, 5.

1 Molti autori della cerchia pitagorica hanno descritto i rapporti armonici ed hanno svisce-rato le proprietà matematiche ad essi correlate. Tra questi certamente spiccano Ippaso,Archita e Filolao. E’ probabile che buona parte delle scoperte in questo campo derivassedall’influenza diretta della matematica egizia, con cui lo stesso Pitagora venne a contattonel corso di un viaggio. Cfr. H. Diels, W. Kranz, I Presocratici. Testimonianze e frammenti,Laterza, Bari 1981, pp. 114–131. 2 Archita dimostrò il legame tra i suoni e le lunghezze proponendo la costruzione dimonete metalliche di uguale diametro ma di diverso spessore, secondo dimensioni pari ad

di quarta3 che i greci chiamavano diatessaron. Il rapporto tra la I e la III corda è di 2 : 3, che corrisponde ad un interval-

lo musicale di quinta che i greci chiamavano diapente. Tra la I e la IV corda si ha un rapporto di 1 : 2 che corrisponde all’inter-

vallo di ottava che i greci chiamavano diapason. Dividendo l’unità in sei parti, le lunghezze delle sei corde corrispondono

numericamente a 6, 8, 9 e 12 parti. Tra loro alcune lunghezze hanno lostesso rapporto che altre corde hanno con la corda unitaria.

Tra la III e la IV, infatti, si ha un rapporto di quarta (9 : 12 è lo stesso di 3: 4). Tra la II e la IV si ha un rapporto di quinta (8 : 12 è lo stesso di 2 : 3).

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1, 1 1/3, 1 1/2, e 2 parti. I suoni che le monete emettono se fatte cadere contempora-neamente sono suoi armonici. Cfr. H. Diels, W. Kranz, cit., pag. 487 e sgg.3 Un intervallo musicale misura la differenza tra la frequenza di due note. Tale frequenza èmisurata in modo discreto con intervalli minimi, detti semitoni. L’intervallo tra il do ed il re,ad esempio è di due semitoni, ossia di un tono, ed equivale ad un intervallo di seconda.L’intervallo tra il do ed il mi è un intervallo di terza o di terza maggiore, mentre quello trail do ed il mi bemolle è di terza minore. L’intervallo di quarta, quindi è l’intervallo che esistead esempio tra il do ed il fa, o tra il re ed il sol . Cfr. P. Bona, Metodo completo per la divi-sione, Ricordi, Milano 1970.

A queste quattro corde venivano aggiunte altre due corde, una lunga trevolte l’unità, quindi 18 parti, che con la I corda forma un rapporto didiapason diapente4, l’altra lunga quattro volte l’unità, quindi 24 parti, checon la I corda forma un rapporto di doppio diapason, detto disdiapason.Queste corde, come è ovvio generano altri rapporti notevoli anche conla II, la III e la IV corda5.

In seguito venne accettato come rapporto armonico anche quello di8 : 9, cioè quello che si determina tra la II e la III corda. Questo intervallofu chiamato tono e corrisponde alla seconda maggiore.

Se si eccettua il solo intervallo di seconda, dapprima considerato spurio,tutti i rapporti armonici fondamentali (1 : 2, 2 : 3, 3 : 4) possono essereespressi con numeri naturali che vanno da 1 a 4. I percorsi teorici ed eso-terici del pitagorismo hanno indagato queste corrispondenze in modo

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4 Il valore dell’intervallo è infatti il due volte (diapason) e mezzo (diapente), cioè 6 : 12 : 18.5 La corda lunga 18 parti forma con la III un rapporto di diapason, con la IV un rapporto didiapente. La corda lunga 24 parti forma con la II un rapporto di diapason diapente, con laIV un rapporto di diapason. Le due corde di 18 e 24 parti formano tra loro un rapportodi diatessaron.

sorprendente, ipotizzando profonde relazioni col mondo naturale e colmondo delle idee.

Nel Rinascimento, con la crescita e la diffusione della ricerca teorica nelcampo della musica e della matematica, si sviluppò la teoria dei suoniarmonici e si sperimentarono altri intervalli musicali, cui possono farsi cor-rispondere altrettanti rapporti tra le lunghezze6.

Gli intervalli fondamentali che si ottengono in aggiunta a quelli di originepitagorica, sono:

3 : 5 intervallo di sesta4 : 5 intervallo di terza maggiore5 : 6 intervallo di terza minore5 : 8 intervallo di sesta minore5 : 9 intervallo di settima minore8 : 15 intervallo di settima maggiore

15 : 16 intervallo di seconda minore

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6 Cfr. R Wittkover, Principi architettonici nell’età dell’Umanesimo , Einaudi, Torino 1990, pp.101–146. Cfr. anche R. Migliari, Il disegno degli o rdini e il rilievo dell’architettura classica:C inque Pezzi Facili, in «Disegnare idee immagini», a. II, n. 2, Roma 1991, pp. 49-66.

Questi rapporti, essendo considerati intrinsecamente dotati di bellezza,insieme a quelli classici, sono stati utilizzati di frequente nel proporziona-mento delle piante e degli alzati degli edifici.

L’utilizzo di questi rapporti numerici tra le dimensioni delle architettureè un aspetto del recupero dell’eredità classica nel Rinascimento tutt’altroche trascurabile. Ciascun architetto, utilizzando semplici regole, aveva adisposizione uno strumento per la misurazione degli spazi che, mentrerendeva elementari i calcoli, giustificava autorevolmente le scelte propor-zionali, e soprattutto, nello spirito del Neoplatonismo, rendeva il singolomanufatto immagine del profondo equilibrio e dell’armonia del cosmo.

L’uso di queste tecniche si è mantenuto a lungo pressoché inalterato. Quali che fossero le complesse ragioni che hanno determinato il per-

petuarsi di quest’uso, è probabile che esso fosse in primo luogo direttaconseguenza della formazione degli architetti che in gran parte avvenivasu trattati rinascimentali o su libri e manuali da questi direttamente o indi-rettamente influenzati.

La semplicità con cui si possono descrivere le proporzioni armoniche,insieme alla loro indiscutibile capacità di affascinare quanti sono interessa-

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ti alla definizione ed al controllo della forma, ha fatto sì che esse abbianoattraversato la storia dell’occidente con una coerenza pressoché assoluta.

La riscoperta della forma ovale nell’architettura del Cinquecento, adopera di alcuni architetti italiani, primo fra tutti Baldassare Peruzzi7, pro-babilmente non derivava esclusivamente dal rinnovato interesse per ilrilievo dell’architettura antica e quindi anche degli anfiteatri romani. Conogni probabilità tale interesse discendeva dall’urgenza di rispondere a sol-lecitazioni di tipo progettuale che hanno posto questioni di ordine tipo-logico del tutto nuove, legate alla necessità di creare spazi centrici diforma allungata, che fossero quindi, concettualmente e spazialmente, unasorta di ‘crasi’ tra la navata e lo spazio circolare.

Nonostante questo, non vi è dubbio che proprio l’attento rilievo direttodegli anfiteatri romani abbia reso necessario comprendere a fondo i mec-canismi geometrici sottesi al tracciamento degli ovali.

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7 Cfr. W. Lotz, Spazi ovali nelle chiese del Rinascimento , in: idem, L’architettura delRinascimento , Electa, Milano 1989, pp. 15 e sgg.

Come si diceva, se si eccettuano alcune piccole anticipazioni8, il primo apubblicare in un trattato di architettura le costruzioni di figure ovali è statoSerlio nel 1545. Le costruzioni proposte sono ancora oggi le più diffuse ele più utilizzate, nonostante esse non consentano di determinare libera-mente la lunghezza di entrambi gli assi.

Nella prima costruzione riportata da Serlio (figura 6), i centri dei quattroarchi di circonferenza che determinano l’ovale sono disposti ai vertici diun rombo composto da due triangoli equilateri. Non vengono definite lemisure né dell’asse maggiore né dell’asse minore, ma vengono disegnatiquattro ovali concentrici, i quali, come è ovvio, hanno ciascuno un diversorapporto tra gli assi. Sommando infatti al numeratore ed al denominato-re della frazione che esprime il rapporto tra gli assi una stessa quantità (ladifferenza tra i raggi dei due ovali concentrici), il valore della frazionecambia. Tanto maggiore è il raggio, tanto minore è il rapporto tra gli assi,che avvicinandosi all’unità, approssima l’ovale ad una circonferenza.

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8 Nell’edizione di Vitruvio curata da Cesariano del 1521, compaiono due costruzioni del-l’ovale in seguito pubblicate da Serlio. Cfr. Zerlenga, cit., p. 99.

Nella seconda costruzione di Serlio si posizionano i centri ai vertici di unquadrato ruotato di 45°. Viene definita la lunghezza dell’asse maggiore,che vale due volte la diagonale del quadrato.

Nella terza costruzione di Serlio i centri sono posti sempre ai vertici diun quadrato ruotato di 45°, ma l’asse maggiore è pari alla diagonale delquadrato più due volte il suo lato.

Nella quarta costruzione i centri stanno, come nella prima, sui vertici didue triangoli equilateri accoppiati in modo da formare un rombo, e l’assemaggiore dell’ovale è pari a tre volte il lato del triangolo.

Nella prima costruzione non viene fissata altra misura che la distanza trai centri che si trovano sull’asse maggiore, determinando una famiglia diovali concentrici. Nella terza costruzione la misura dell’asse maggiore èlegata, in modo non immediato, alle misure del quadrato ruotato di 45°(Serlio fissa in primo luogo le dimensioni del doppio quadrato, ottenen-do di conseguenza le misure dell’ovale). Nella seconda e nella quartacostruzione, invece l’asse maggiore è fissato con chiarezza e di conse-guenza si ottiene la dimensione dell’asse minore.

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Nel caso del tracciamento degli ovali, la costruzione di figure in cui gliassi abbiano tra loro un rapporto armonico non è di immediata soluzio-ne.

Nelle tre costruzioni di Serlio in cui il rapporto tra gli assi è definito inmodo univoco (la seconda, la quarta e, anche se non immediatamente, laterza), non è possibile trovare rapporti armonici tra gli assi. Questecostruzioni determinano ovali che hanno, infatti, un rapporto tra gli assiche corrisponde ad un numero irrazionale.

I numeri irrazionali come è noto, sono quei numeri che non possonoessere rappresentati con una quantità finita di cifre. La radice quadrata di3, ad esempio, vale 1,7320508… cui seguono una quantità infinita didecimali che non si ripetono in modo periodico.

I pitagorici, nel V secolo a. C., rimasero ovviamente scossi da questascoperta. Ippaso fu uno di coloro che scoprirono e studiarono questinumeri, e, per averne diffuso la conoscenza fu maledetto e bandito dallacerchia dei pitagorici9. Tanta ostilità non deve apparire strana. I pitagorici

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9 Ippaso da Metaponto, visse tra la fine del VI ed il V secolo a.C.. Secondo Giamblico (cfr.

Figura 6. Le quattro costruzioni dell’ovale riportate da Serlio.

avevano assoluta fiducia nel ‘numero’, che consideravano capace didescrivere perfettamente la realtà. Per i pitagorici i numeri esprimevanopiù una realtà fisica che non uno strumento teorico, rappresentando piùdegli oggetti concreti che non un modello concettuale per raffigurare ilmondo10.

Un triangolo rettangolo (figura 7), ad esempio, che ha i cateti uguali a 1

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Diels–Kranz, cit., p. 137) «…colui che per primo divulgò la natura della commensurabilitàe dell’incommensurabilità a uomini che non meritavano d’essere messi a parte di questeconoscenze, venne in tal odio agli altri Pitagorici, che questi non solo lo cacciarono dallacomunità, ma anche gli costruirono un sepolcro come se fosse morto». Secondo altre fontifinì in mare ed annegò nel corso di una tempesta, per volere degli dei che lo punirono peravere divulgato questi segreti.10 Molte delle operazioni che i pitagorici compivano sui numeri, come anche la classifica-zione che di essi ne diedero, dipendevano dal fatto che essi si figuravano ciascun numerocome una serie di oggetti concreti simili tra loro, come una serie di sassolini di analogadimensione. Il numero per i pitagorici era essenzialmente il ‘numero naturale’. Ciascunoggetto reale, una pianta o un animale, poteva essere descritto attraverso il numerominimo di punti che servivano ad identificarlo, cui corrispondeva uno specifico numeronaturale. Cfr. W. J. Dauben, La Matematica, in AA.VV., Storia delle Scienze. Le scienzefisiche ed astronomiche, Einaudi, Torino 1991, vol. 2, pp. 267–274.

Figura 7. Triangoli notevoli in cui compaiono grandezze incommensurabili, esprimibili con numeri irrazionali.

e 2, ha l’ipotenusa uguale a √5, che vale 2,23606797… seguito da infinitecifre decimali e che è un numero irrazionale. Il paradosso con cui i pita-gorici si scontrarono è che se è possibile disegnare questa lunghezza,come ipotenusa del triangolo, non è però possibile descriverla con inumeri se non in modo approssimato. Questa incongruenza nella loroteoria finiva col distruggere l’idea della corrispondenza biunivoca tra inumeri e la realtà.

Il secondo ovale di Serlio ha un rapporto tra gli assi che vale √2, che èun numero irrazionale, ma che coincide col rapporto tra la diagonale delquadrato ed il suo lato, e che, benché non sia un rapporto armonico, èun rapporto notevole, determinato dall’uso di rapporti semplici.

Il terzo ed i quarto ovale di Serlio, invece, hanno rapporti tra gli assi chesi avvicinano molto al rapporto di quarta, cioè 3 : 4. Tra essi soprattuttoil quarto si basa su una costruzione semplice ed elegante che include iltriangolo equilatero, quindi è stata accettata da sempre come una dellecostruzioni fondamentali11.

31

11 L’ovale della terza costruzione di Serlio ha un rapporto tra gli assi di (2√2–1)/(√2+1).

Mark Wilson Jones12 ha mostrato come la maggior parte delle piantedegli anfiteatri romani sia costruita basandosi su ovali a quattro centri rife-ribili a due schemi fondamentali, cioè quelli in cui il triangolo sui cui verticisi trovano i centri è un triangolo equilatero (come nella prima e nella terzacostruzione di Serlio) o quelli in cui il triangolo di riferimento è un ‘trian-golo sacro’.

Il triangolo sacro è un triangolo rettangolo che ha i cateti che valgono 3e 4 unità e l’ipotenusa che vale 5 unità (figura 8). Questo triangolo

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Questo rapporto vale 0,757359313…, ed è approssimabile al rapporto 3 : 4, quindi alrapporto armonico di quarta (diatessaron), con uno scarto inferiore all’1%. L’ovale della quarta costruzione di Serlio ha un rapporto tra gli assi pari a (4-√3)/3. Questorapporto vale 0,755983064…, ed è anch’esso approssimabile al rapporto 3 : 4, quindi alrapporto di quarta, sempre con uno scarto minimo.12 M. Wilson Jones, Designing Amphiteatres, in «Mitteilungen des deutschen archaologi-schen Instituts, Romische Abteilung», n°100, Mainz am Rhein 1993, pp. 391-442. In questosaggio l’autore confronta i rilievi di dieci diversi anfiteatri romani allo scopo di rintracciarele matrici geometriche comuni. Anche se i diversi ovali non hanno tutti la stessa costru-zione, Wilson Jones trova che la maggior parte di essi è costruita utilizzando come trian-goli generatori o il triangolo equilatero, «inscribed equilateral», o il triangolo sacro, «inscri-bed Pytagorean».

Figura 8. Il triangolo sacro edapplicazione del teorema diPitagora.

soddisfa il teorema di Pitagora con numeri interi (32 + 42 = 52, cioè 9 +16 = 25) e la terna di numeri 3, 4, 5 contiene una serie di corrisponden-ze numeriche semplici che ha affascinato ogni civiltà matematica. Pressogli Egizi esso è stato utilizzato per dare proporzione a spazi architettoni-ci, diventando simbolo di una triade di divinità13. Già nel sesto secoloprima di Cristo, gli Indiani conoscevano altri triangoli rettangoli di questotipo14. Persino in Cina, dove l’interesse per la matematica era dettatosoltanto da questioni pratiche questo triangolo era noto e venivaammirato per le proprietà numeriche che esprime15 (figura 9).

Secondo la matematica classica il triangolo sacro costituisce un’espres-sione formale della prima ‘terna pitagorica’, cioè di una terna di numeri

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13 Secondo Plutarco i tre numeri 3, 4 e 5 rappresenterebbero le divinità egizie Horus, Isidee Osiride, e la loro relazione simboleggerebbe la leggenda della reviviscenza dei faraoni.Cfr. G. Diaz de Santillana, Pitagora e Pitagorismo , voce in Enciclopedia Italiana T reccani,Roma 1949, volume XXVII, pp. 434–437.14 Le lunghezze correlate che gli indiani conoscevano erano utilizzate per determinare ledimensioni di alcuni altari sacri. Oltre alla terna 3-4-5 gli indiani conoscevano le terne 15–36–39, 8–15–17. Cfr. G. Diaz de Santillana, cit. e W. J. Dauben, cit.15 Cfr. G. Diaz de Santillana, cit. e W. J. Dauben, cit.

Figura 9. Rilettura di cultura cinese del teorema di Pitagora appli-cato al triangolo sacro. Il teorema veniva detto di Gou-Gu.L’immagine è tratta dal Chiu Pei Suan Ching, trattato di mate-matica probabilmente originario del II secolo d. C..

interi che soddisfa la relazione a2 + b2 = c2. Per quanto difficili da trovaresenza la tecnica opportuna, le terne pitagoriche sono infinite16.

Il triangolo sacro e le sue proprietà geometriche sono alla base dellecostruzioni degli ovali armonici.

Consideriamo, per semplicità, solo un quarto del disegno di un ovale(figura 10). Se distendiamo i cateti di un triangolo rettangolo sui semiassi,a partire dalla loro origine, possiamo considerare gli estremi dell’ipotenu-sa come i luoghi dei centri degli archi di circonferenza che compongonol’ovale. Sul prolungamento dell’ipotenusa si troverà ovviamente il puntodi raccordo tra le due curve. Chiamando a, b e c rispettivamente i catetie l’ipotenusa del triangolo ed r il raggio dell’arco più piccolo il cui centrosi trova sul semiasse maggiore, come è ovvio il raggio dell’arco più grandeche ha centro sull’asse verticale varrà c + r .

La dimensione del semiasse minore, quindi, vale c + r – b, mentre ilsemiasse maggiore vale a + r .

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16 Cfr. l’appendice Terne pitagoriche ed ovali armonici di altro ordine.

Figura 10. Relazione tra le grandezzefondamentali dell’ovale.

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Se l’asse maggiore e la posizione dei centri sono state fissate utilizzandonumeri interi, quindi se a, b ed r sono numeri interi, affinché anche ladimensione dell’asse minore possa essere espressa da un numero intero,è necessario che anche c, quindi l’ipotenusa del triangolo generatore del-l’ovale, sia un numero intero. Perché si possa avere questa condizione,ovviamente il triangolo a, b, c deve essere un triangolo pitagorico, quindii numeri a, b, c devono formare una terna pitagorica.

Solo in questo modo si determinano ovali che hanno un rapporto tra gliassi composto da numeri interi. Tra questi rapporti è possibile ricercarerapporti armonici. Impiegare come triangolo generatore per un ovale untriangolo pitagorico garantisce, quindi, che le misure degli assi sianomisure commensurabili17 e che, se si utilizzano misure intere per l’assemaggiore e per i cateti del triangolo, anche la misura dell’asse minore sarà17 Due lunghezze si dicono commensurabili se esiste una lunghezza che sia sottomultiplodi entrambe. Due numeri si dicono commensurabili se hanno un divisore comune. In casocontrario non è possibile in alcun modo esprimere il rapporto tra i numeri o tra le lun-ghezze con un numero che ha una quantità finita di cifre decimali, quindi qualunque sforzocompiuto per calcolare tale rapporto determina una soluzione approssimata. Molte radiciquadrate, come anche il ‘pi greco’, sono numeri irrazionali.

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intera. Come si vedrà in seguito, basandosi sul triangolo sacro (3, 4, 5) èpossibile tracciare ovali che hanno rapporti tra gli assi identici a quellidefiniti dal tetracordo, cioè diapason, diapente e diatessaron, come ancheuna serie di altri ovali armonici.

Una considerazione a parte merita l’ovale in cui il triangolo di generato-re ha i cateti che misurano rispettivamente 1 e 2 parti, in cui l’ipotenusamisura √5, cioè un numero irrazionale. Un ovale con questo triangologeneratore e col cateto più grande uguale al semiasse maggiore, deter-mina un ovale aureo, quindi con l’asse minore uguale alla parte aurea del-l’asse maggiore18.

18 Questo numero costituisce un unicum nel campo matematico, essendo capace di espri-mere un rapporto che determina una progressione geometrica e contemporaneamente,insieme all’unità, costituisce la base per una serie di Fibonacci. E’ stato considerato, non asproposito, come espressione di uno dei criteri generatori delle forme naturali. LeCorbusier, tra gli altri, ha creduto di doversene servire per proporre un sistema di misureda estendersi alla progettazione urbana, come a quella architettonica e tipografica. Il fascinoche questo rapporto esprime e le sottili e potenti implicazioni nella risoluzione del tema del-l’accrescimento indefinito delle forme hanno focalizzato su questo numero l’attenzione distudiosi di ogni campo. Cfr. Le Corbusier, Il Modulor, Mazzotta, Milano 1974; Ghyka M. , Le

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Questa costruzione19, peraltro utilizzata più volte da Fischer Von Erlach,determina nell’ovale ottenuto la proporzione geometrica in assoluto piùricca di interesse e di corrispondenze col mondo fisico.

Moderne costruzioni dell’ovale20, spesso di derivazione seicentesca,consentono con semplicità di tracciare ovali a quattro o più centri perogni rapporto tra gli assi della figura. In nessuna di queste costruzioni, peròè presente un grado di rigore e di semplicità paragonabile a quello con-tenuto nelle costruzioni che si descrivono.

Tra queste costruzioni la più interessante per tracciare ovali a piacere(figura 11), è stata ottenuta generalizzando una costruzione attribuita alfisico seicentesco Christiaan Huygens21, che consente, fissati gli assi, di

nombre d’or, Gallimard, Paris 1976; Scimone A., La sezione Aurea. Storia culturale di unLeitmotiv della Matematica, Sigma edizioni, Palermo 1997. 19 Vedi oltre alle pagine 64-67.20 Cfr. E. Dotto, Note sulla costruzione degli ovali a quattro centri. Vecchie e nuove costru-zioni dell’ovale, in «Disegnare idee immagini», a. XII n. 23, Roma 2001, pp. 7-14. Cfr. ancheF. Ragazzo, Geometria delle figure ovoidali, in «Disegnare idee immagini», anno VI, n. 11,Roma 1995, pp. 17-24.21 Cfr. E. Dotto, cit. e O. Zerlenga, cit., pp. 209 e sgg., 221 e sgg..

Figura11. Costruzione derivatada quella di Christiaan Huygensper il tracciamento di ovali congli assi scelti a piacere.

definire anche gli angoli del triangolo generatore. Nella quasi totalità deicasi questa costruzione conduce a distanze dei centri dall’origine degli assiche non sono esprimibili con numeri interi.

Come si vedrà nelle prossime pagine, costruzioni elementari, basate sustrumenti teorici antichissimi consentono di costruire ovali in cui la rela-zione tra gli assi coincide con i rapporti numerici che, in occidente, hannoattraversato la storia della geometria, della musica e dell’architettura.

La fitta relazione che corre tra queste costruzioni e la pratica del disegnogeometrico, come anche con la teoria delle proporzioni, rende enigmati-ca l’assenza di molte delle costruzioni descritte dai trattati di architetturae di geometria, anche a dispetto del fatto che alcune di esse sono statetalvolta utilizzate, in diversi periodi della storia, per la definizione dellepiante di edifici.

La ricostruzione di questi schemi di tracciamento e la loro auspicabilediffusione, potrebbero consentire di riesaminare molte piante ovali sottouna luce differente, permettendo una più completa comprensione degliimpianti geometrici di riferimento nella composizione della forma archi-tettonica.

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OVALI

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Figura 12. Famiglia di ovali concentrici generati dal triangolo sacro.

OVALI ARMONICI GENERATI DAL TRIANGOLO SACRO

Se si costruisce un ovale in cui i centri stanno sugli estremi delle ipote-nuse di quattro ‘triangoli sacri’, cioè triangoli con lati uguali a 3, 4 e 5 parti,disposti simmetricamente con gli angoli retti sull’origine degli assi, utiliz-zando misure intere per i raggi degli archi di circonferenza che hannocentro sull’asse maggiore, si ottiene una famiglia di ovali concentrici conmisure degli assi espresse da numeri interi. Il cateto pari a 3 parti vienedisteso sull’asse maggiore, mentre quello lungo 4 parti sull’asse minore.

La differenza tra le misure dell’asse maggiore e dell’asse minore in ogniovale si mantiene costante ed è uguale a 2 parti.

Come si vede nella figura 12, per alcuni degli ovali costruiti il rapportotra gli assi sarà un rapporto armonico.

Di seguito si riportano le costruzioni degli ovali armonici principali,ottenuti fissando anticipatamente le dimensioni degli assi.

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Dopo aver tracciato gli assi dell’ovale in rapporto 1 : 2, si dividano isemiassi maggiori in quattro parti ed i semiassi minori in due parti.

Si distenda lungo due semiassi un triangolo rettangolo con i cateti pari atre parti (sul semiasse maggiore) e quattro parti (sul semiasse minore esul suo prolungamento) e si prolunghi l’ipotenusa dal lato del semiassemaggiore di una parte.

Si applichi la costruzione alle restanti tre coppie di semiassi, individuan-do nelle intersezioni tra gli assi e le quattro ipotenuse, i centri degli archidi circonferenza che definiscono l’ovale e, nelle estremità dei segmentiobliqui, i loro punti di raccordo.

Si disegni l’ovale cercato, tracciando gli archi di circonferenza con centrosui semiassi maggiori, di raggio pari ad una parte, e con centro sul pro-lungamento dei semiassi minori con raggio pari a sei parti.

OVALE DI OTTAVA 1 : 2DIAPASON

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Figura 13. Ovale di ottava.

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Dopo aver tracciato gli assi dell’ovale in rapporto 3 : 5, si dividano isemiassi maggiori in cinque parti ed i semiassi minori in tre parti.

Si distenda lungo due semiassi un triangolo rettangolo con i cateti pari atre parti (sul semiasse maggiore) e quattro parti (sul semiasse minore esul suo prolungamento) e si prolunghi l’ipotenusa dal lato del semiassemaggiore di due parti.


Si disegni l’ovale cercato, tracciando gli archi di circonferenza con centrosui semiassi maggiori, di raggio pari a due parti, e con centro sul prolun-gamento dei semiassi minori con raggio pari a sette parti.

OVALE DI SESTA 3 : 5

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Figura 14. Ovale di sesta.

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Dopo aver tracciato gli assi dell’ovale in rapporto 2 : 3, si dividano isemiassi maggiori in sei parti ed i semiassi minori in quattro parti.

Si distenda lungo due semiassi un triangolo rettangolo con i cateti pari atre parti (sul semiasse maggiore) e quattro parti (sul semiasse minore esul suo prolungamento) e si prolunghi l’ipotenusa dal lato del semiassemaggiore di tre parti.


Si disegni l’ovale cercato, tracciando gli archi di circonferenza con centrosui semiassi maggiori, di raggio pari a tre parti, e con centro sul prolunga-mento dei semiassi minori con raggio pari ad otto parti.

OVALE DI QUINTA 2 : 3DIAPENTE

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Figura 15. Ovale di quinta.

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Dopo aver tracciato gli assi dell’ovale in rapporto 3 : 4, si dividano isemiassi maggiori in otto parti ed i semiassi minori in sei parti.

Si distenda lungo due semiassi un triangolo rettangolo con i cateti pari atre parti (sul semiasse maggiore) e quattro parti (sul semiasse minore esul suo prolungamento) e si prolunghi l’ipotenusa dal lato del semiassemaggiore di cinque parti.


Si disegni l’ovale cercato, tracciando gli archi di circonferenza con centrosui semiassi maggiori, di raggio pari a cinque parti, e con centro sul pro-lungamento dei semiassi minori con raggio pari a dieci parti.

OVALE DI QUARTA 3 : 4DIATESSARON

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Figura 16. Ovale di quarta.

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Dopo aver tracciato gli assi dell’ovale in rapporto 4 : 5, si dividano isemiassi maggiori in dieci parti ed i semiassi minori in otto parti.

Si distenda lungo due semiassi un triangolo rettangolo con i cateti pari atre parti (sul semiasse maggiore) e quattro parti (sul semiasse minore esul suo prolungamento) e si prolunghi l’ipotenusa dal lato del semiassemaggiore di sette parti.


Si disegni l’ovale cercato, tracciando gli archi di circonferenza con centrosui semiassi maggiori, di raggio pari a sette parti, e con centro sul prolun-gamento dei semiassi minori con raggio pari a dodici parti.

OVALE DI TERZA 4 : 5

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Figura 17. Ovale di terza.

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Dopo aver tracciato gli assi dell’ovale in rapporto 5 : 6, si dividano isemiassi maggiori in dodici parti ed i semiassi minori in dieci parti.

Si distenda lungo due semiassi un triangolo rettangolo con i cateti pari atre parti (sul semiasse maggiore) e quattro parti (sul semiasse minore esul suo prolungamento) e si prolunghi l’ipotenusa dal lato del semiassemaggiore di nove parti.


Si disegni l’ovale cercato, tracciando gli archi di circonferenza con centrosui semiassi maggiori, di raggio pari a nove parti, e con centro sul prolun-gamento dei semiassi minori con raggio pari a quattordici parti.

OVALE DI TERZA MINORE 5 : 6

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Figura 18. Ovale di terza minore.

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Operando in modo analogo è possibile disegnare ovali armonici conrapporto tra gli assi pari a 8 : 9, cioè di seconda maggiore, e pari a 15 : 16,cioè di seconda minore. In questi casi occorrerà dividere l’asse maggiorerispettivamente in 36 e 64 parti. In figura si riportano gli ovali così ottenuti.

Rovesciando il triangolo sacro in modo da distendere sul semiassemaggiore il cateto pari a quattro parti, ed operando come descritto finora,si ottiene un’altra famiglia di ovali concentrici con assi di misura intera chein alcuni casi hanno anch’essi gli assi in rapporto armonico.

In figura si riportano ovali con rapporto 3 : 5, 2 : 3, 3 : 4 e 4 : 5. La brusca variazione di curvatura tra gli assi determina una discontinuità

visiva molto accentuata che rende questi ovali poco gradevoli. L’effetto,tuttavia si riduce per rapporti maggiori di 4 : 5.

ALTRI OVALI GENERATI DAL TRIANGOLOSACRO

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Figura 19. Ovali di seconda (8 : 9) e di seconda minore (15 : 16).

Figura 20. Ovali armonici con triangolo generatore rovesciato.

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Figura 21. Ridisegno schematico della pianta dell’anfiteatro di El Jem. L’ovale segnato in rossoè un ovale armonico di sesta (3 : 5). Come si vede, nell’anfiteatro esistono altri ovali concen-trici che sono ovali armonici. L’ovale immediatamente più grande, ad esempio è un ovalearmonico 3 : 4. In alto l’illustrazione utilizzata per lo studio, tratta da M. Wilson Jones, cit..

Anfiteatro di El Jem. Ovale armonico 3 : 5.

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Figura 22. Ridisegno schematico della pianta della Klosterkirche a Nova Paka, attribuita aChristian Dientzenhofer e realizzata attorno al 1709. L’ovale segnato in rosso è un ovalearmonico di quinta (2 : 3). In alto l’illustrazione utilizzata per lo studio, tratta da C. Norberg-Schulz, A rchitettura Tardobarocca, Electa, Milano 1980, p. 62.

Christian Dientzenhofer. Klosterkirche. Nova Paka. Ovale armonico 2 : 3.

Figura 23. Ridisegno schematico della pianta della Cappella de Nuestra Señora de losDesamparados, a Valencia, di Diego Martinez Ponce de Urrana, realizzata attorno al 1652.L’ovale segnato in rosso è un ovale armonico di quarta (3 : 4). L’ovale concentrico segnato intratteggio ha un rapporto tra gli assi di 5 : 7. In alto l’illustrazione utilizzata per lo studio, trattada C. Norberg-Schulz, A rchitettura Barocca, Electa, Milano 1980, p. 190.

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Diego Martinez Ponce. Nuestra Señora de los Desamparados. Valencia.Ovale armonico 3 : 4.

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OVALI NOTEVOLI

Oltre agli ovali armonici, è possibile disegnare altri ovali a quattro centriin cui il rapporto tra gli assi, benché sia un numero irrazionale e quindi nonpossa esser rappresentato da una frazione di numeri interi, è comunquedegno di nota.

A questo gruppo appartengono il secondo ed il quarto ovale di Serlio,oltre che l’ovale aureo.

L’ovale diagoneo (seconda costruzione di Serlio) può esser inscritto inun rettangolo i cui lati stanno tra loro come il lato di un quadrato e la suadiagonale. Questo rettangolo ha la caratteristica di non mutare forma seviene dimezzato tagliandolo secondo la direzione del lato minore.

L’ovale aureo può essere inscritto in un rettangolo che ha i lati inrapporto aureo. Questo rettangolo ha la caratteristica di non mutareforma se ad esso si sottrae una porzione quadrata.

L’ovale equilatero (quarta costruzione di Serlio) è generato da mezzotriangolo equilatero e determina un ovale con rapporto tra gli assiprossimo a 3 : 4.

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OVALE DIAGONEO 1 : √ 2SECONDO OVALE DI SERLIO

Dopo aver tracciato l’asse maggiore dell’ovale, lo si divida in quattroparti e si tracci la retta che contiene l’asse minore.

Si distenda lungo due semiassi un triangolo rettangolo isoscele con icateti pari ad una parte e si prolunghi l’ipotenusa dal lato del semiassemaggiore di una parte.


Si disegni l’ovale cercato, tracciando gli archi di circonferenza con centrosui semiassi maggiori, di raggio pari ad una parte, e con centro sui semiassiminori con raggio pari all’ipotenusa del triangolo più una parte.

61

Figura 24. Ovale diagoneo.

62

Figura 25. Dimensioni notevolidell’ovale diagoneo.

Se consideriamo il triangolo generatore con cateti uguali pari ad a, l’ipo-tenusa sarà a √ 2 (Figura 25).

Il raggio dell’arco maggiore vale quindi ad a (√ 2 + 1). Il semidiametro minore sarà pari al raggio ottenuto meno il cateto del

triangolo generatore, pari ad a, cioè sarà pari al raggio dell’arco maggioremeno la distanza tra il centro dell’arco e l’origine degli assi. Il suo valore èa (√ 2 + 1) - a, cioè a a√ 2.

Il semidiametro maggiore vale 2a, quindi il rapporto tra i semiassi, comeanche tra gli assi, vale 2/√ 2, cioè √ 2, che esprime il valore della diagona-le del quadrato di lato unitario.

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Figura 26. Ridisegno schematico della pianta della Casa di Campagna tratta dal libro sesto deltrattato Tutte le opere di architettura di Sebastiano Serlio Bo lognese, edito nel 1600. L’ovalesegnato in rosso è un ovale diagoneo e corrisponde alla seconda costruzione proposta dallostesso Serlio.

Sebastiano Serlio. Casa di campagna. Ovale diagoneo.

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OVALE AUREO 1 : Ø

Dopo aver tracciato l’asse maggiore dell’ovale, lo si divida in quattroparti e si tracci la retta che contiene l’asse minore.

Si distenda lungo due semiassi un triangolo rettangolo con i cateti pariad una parte sul semiasse maggiore, ed a due parti sul semiasse minore esi prolunghi l’ipotenusa dal lato del semiasse maggiore di una parte.


Si disegni l’ovale cercato, tracciando gli archi di circonferenza con centrosui semiassi maggiori, di raggio pari ad una parte, e con centro sui semiassiminori con raggio pari all’ipotenusa del triangolo più una parte.

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Figura 27. Ovale aureo.

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1 Questo valore coincide con una delle due soluzioni dell’equazione che discende dallaproporzione a : x = x : (a – x), che esprime numericamente la parte aurea di un segmento.La parte aurea è, infatti, media proporzionale tra l’intero segmento e la parte restante.L’equazione e x2 + ax – a2 = 0, che ha due radici reali che valgono (√5 – 1)/2 e (√5 + 1)/2,cioè Ø e Ø – 1.

Figura 28. Dimensioninotevoli dell’ovale aureoe costruzione della parteaurea di un segmento.

Se consideriamo il triangolo generatore con cateti pari ad a e 2a, l’ipo-tenusa avrà valore pari ad a √5 (Figura 28).

Il raggio dell’arco maggiore vale quindi a (√5 + 1). Il semidiametro minore sarà pari al raggio ottenuto meno il cateto del

triangolo generatore, pari a 2a, cioè sarà pari al raggio dell’arco maggioremeno la distanza tra il centro dell’arco e l’origine degli assi. Il suo valore èa (√5 + 1) - 2a, cioè a (√5 – 1).

Il semidiametro maggiore vale 2a, quindi il rapporto tra i semiassi, e diconseguenza tra gli assi vale (√5 – 1) /2, che è il numero Ø, che esprimeil rapporto aureo1.

Come si vede confrontando le figure, la costruzione dell’ovale aureo hadelle forti affinità con la costruzione grafica della parte aurea di unsegmento.

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Figura 29. Ridisegno schematico della pianta della Hofbibliothek di Vienna, realizzata da JohannBernhard Fischer von Erlach attorno al 1720. L’ovale segnato in rosso è un ovale aureo. In altol’illustrazione utilizzata per lo studio, tratta da H. Sedlmayr, J. B. Fischer von Erlach architetto ,Electa, Milano 1996, p. 315.

Johann Bernhard Fischer von Erlach. Hofbibliothek. Vienna.Ovale aureo.

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OVALE EQUILATERO ~3 : 4QUARTO OVALE DI SERLIO

Dopo aver tracciato l’asse maggiore dell’ovale, lo si divida in tre parti esi tracci la retta che contiene l’asse minore.

Si distenda sull’asse maggiore un triangolo equilatero con lato pari aduna parte, con la base coincidente col terzo medio e l’altezza su unsemiasse minore e si prolunghi un lato non coincidente con l’assemaggiore di una parte.

Si applichi la costruzione alle restanti tre coppie di semiassi, individuan-do nelle intersezioni tra gli assi ed i lati obliqui del triangolo, i centri degliarchi di circonferenza che definiscono l’ovale e, nelle estremità dei pro-lungamenti, i loro punti di raccordo.

Si disegni l’ovale cercato, tracciando gli archi di circonferenza con centrosui semiassi maggiori, di raggio pari ad una parte, e con centro sui semiassiminori con raggio pari a due parti.

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Figura 30. Ovale equilatero.

Se si considera l’asse maggiore diviso in tre parti uguali di lunghezza a, ilraggio dell’arco maggiore sarà pari a 2a. La distanza tra il suo centro e l’o-rigine degli assi è uguale all’altezza del triangolo equilatero di lato a, chevale a√3/2 (Figura 31).

Il valore della lunghezza dell’asse minore è quindi pari a 2a - a√3/2, cioèa (2-√3/2). Dato che il valore del semiasse maggiore è di a 3/2, il rapportotra gli assi è di (4-√3)/3 che è un numero irrazionale e corrisponde circaa 0,755983064….

Questo rapporto tra gli assi è approssimabile a 3 : 4 con uno scartomolto inferiore all’ 1%.

La costruzione di questo ovale è particolarmente elegante e la formache esso determina è molto simile a quella dell’ellisse che ha le stessedimensioni degli assi.

Ovviamente questa costruzione può essere utilizzata per generare altriovali concentrici, in cui l’impurità numerica del rapporto, pur non scom-

70

Figura 31. Dimensioni notevoli dell’ovaleequilatero.

parendo del tutto, si riduce sensibilmente mano a mano che aumenta ladimensione dell’asse maggiore in relazione al triangolo equilatero di base.

In questa maniera aggiungendo simmetricamente due parti all’assemaggiore e prolungando opportunamente i segmenti obliqui, utilizzandogli stessi centri si ottiene un ovale che ha rapporto tra gli assi di circa 5 : 4.Se si aggiungono altre due parti si ottiene un ovale di rapporto 6 : 5, e viadi seguito (Figura 32).

In questo modo, una costruzione semplice ed elegante può essere uti-lizzata per il disegno di figure ovali che nella pratica operativa si discosta-no di pochissimo dagli ovali armonici puri.

71

Figura 32. Famiglia di ovali concentrici all’ovaleequilatero. I rapporti tra gli assi sono moltovicini ai rapporti armonici.

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Figura 33. Ridisegno schematico della pianta del Tempio ovale tratta dal libro quinto del trattatoTutte le opere di architettura di Sebastiano Serlio Bolognese, edito nel 1600. L’ovale segnato inrosso è un ovale equilatero e corrisponde alla quarta costruzione proposta dallo stesso Serlio.

Sebastiano Serlio. Tempio ovale.Ovale equilatero.

APPENDICI

Figura 34. Grandezze notevoli deirettangoli armonici. Nelle tavole allepagine seguenti si riporta il valore del-l’angolo evidenziato in figura, comeanche i rapporti a/b e b/a.

74

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Di seguito si riportano i principali rapporti armonici utilizzati in architettura1.Essi sono stati introdotti in periodi molto diversi e di conseguenza hanno defini-zioni di vario tipo, che spesso si sovrappongono.

Ai rapporti fondamentali della matematica greca (diapason, diatessaron ediapente), si sono aggiunti il disdiapason, il doppio diapente, il doppio diatessa-ron il diapason diatessaron, tutti in periodo greco. Altri rapporti si sono aggiuntiin periodo romano e sono stati ripresi ed integrati nel Rinascimento.

Molti dei rapporti cui si fa riferimento hanno un corrispondente nella teoria deisuoni armonici, tanto che ciascun rapporto può essere identificato anche comeun intervallo musicale. Due corde tese con pari intensità di cui l’una sia lunga adesempio 3/4 dell’altra, emettono due note che hanno un intervallo di quarta,come il do ed il fa. Ad ogni rapporto mensurale corrisponde quindi un interval-lo sonoro.

A questi rapporti si aggiungono quelli derivati da semplici osservazioni geome-triche, come la sezione aurea o la diagonea, che godono di speciali proprietà.

Ciascun rapporto è stato visualizzato come un rettangolo di altezza unitaria,nel quale la base varia in relazione alla proporzione che si rappresenta. Perciascuno di essi, oltre ai diversi nomi, si è riportato il rapporto tra le lunghezzedei lati (come anche il suo inverso) e la misura sessagesimale dell’angolo che ladiagonale di ciascun rettangolo forma col suo lato maggiore.

Piuttosto che ordinare i vari rapporti secondo categorie tipologiche si è prefe-rito disporli da quello di valore più alto (il quadrato, il cui rapporto tra i lati èuguale ad 1) fino a quelli più allungati (il doppio diapason in cui il rapporto tra ilati è uguale a 0,25).

TAVOLA SINOTTICA DEI RAPPORTI NOTEVOLI

1 Lo schema che si riporta è la rielaborazione di una parte del materiale didattico elaborato dal Prof.Giuseppe Pagnano e da Antonio Gennaro, per il corso di Disegno dell’Architettura tenuto pressol’Università degli Studi di Palermo, A.A. 1992-93. Per un approfondimento del tema, cfr. R Wittkover, cit.

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Figura 35. I rapporti armonici. Prima parte.

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Figura 36. I rapporti armonici. Seconda parte.

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Figura 37. I rapporti armonici. Terza parte.

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Figura 38. I rapporti armonici. Quarta parte.

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Figura 42. Famiglia di ovali concentrici generati dal triangolo pitagoricocon lati 5-12-13. In nero sono evidenziati gli ovali armonici.

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Come si è visto alle pagine 35 e 36, per essere certi che le misure degli assidell’ovale siano misure intere, ossia espresse con numeri naturali, oltre al raggiodell’arco minore che costituisce la curva, devono essere interi anche i due catetie l’ipotenusa del triangolo generatore.

In un triangolo rettangolo affinché siano intere le misure dei tre lati, è neces-sario che le loro lunghezze formino una terna pitagorica, cioè uno specialegruppo di numeri che verifica il teorema di Pitagora con numeri interi.

Il ‘triangolo sacro’ che, come si è visto, genera gli ovali studiati, ha i lati cheformano la prima terna pitagorica (3–4–5).

Questa terna non è l’unica esistente, anzi è soltanto la prima di una serieinfinita. Le formule classiche per ricavare le terne pitagoriche sono le seguenti:

a = h2 - k2

b = 2 h kc = h2 + k2

con k e h interi e k < h.Sostituendo a h e k numeri interi a piacere si ottengono di conseguenza valori

di a, b e c che forniscono le misure intere dei lati di un triangolo rettangolo. Le prime terne pitagoriche che si ottengono sono:

a b c

3 4 55 12 137 24 258 15 179 40 41

Queste terne, ovviamente determinano triangoli che, generando famiglie di

TERNE PITAGORICHE ED OVALI ARMONICI DIALTRO ORDINE

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ovali disegnati con raggi interi, daranno origine a misure intere degli assi tra lequali possono esistere altri rapporti armonici.

Una ricognizione completa delle terne pitagoriche è ovviamente impossibile.Anche considerando soltanto le prime cinque terne, una ricerca completa degliovali armonici è piuttosto ardua. E’, però possibile, con relativa semplicità,svolgere una ricerca in campo numerico, quindi prevedere i diversi risultati perogni triangolo pitagorico generatore. Questa ricerca può essere agevolmentecondotta con l’aiuto di un foglio elettronico, che permette di riconoscere tra idiversi rapporti fra gli assi, i rapporti armonici.

Di seguito si trascrive una parte della tabella ottenuta studiando la terna5–12–13.

r min r max asse magg. asse min rapporto valore 1 14 12 4 1 : 3 3,00002 15 14 6 3 : 7 2,33333 16 16 8 1 : 2 2,00004 17 18 10 5 : 9 1,80005 18 20 12 3 : 5 1,66676 19 22 14 7 : 11 1,57147 20 24 16 2 : 3 1,50008 21 26 18 9 : 13 1,44449 22 28 20 5 : 7 1,4000

10 23 30 22 11 : 15 1,363611 24 32 24 3 : 4 1,333312 25 34 26 13 : 17 1,307713 26 36 28 7 : 9 1,285714 27 38 30 15 : 19 1,266715 28 40 32 4 : 5 1,2500

Tra i rapporti numerici, si ritrovano alcuni rapporti armonici che vengono evi-denziati in grassetto. Come si vede per ottenere un ovale che abbia rapportotra gli assi pari a 4 : 5, è necessario dividere il semiasse maggiore in 40 parti.Questo nella pratica sia del disegno che del cantiere non risulta agevole. Dairilievi effettuati da Wilson Jones risulta che l’anfiteatro di Aquincum è stato rea-lizzato con un ovale a quattro centri basato su un triangolo pitagorico con i latiproporzionali a 5–12–13, determinando dimensioni esterne in rapporto 11 : 15.L’uso di questo triangolo generatore, è comunque rarissimo anche nell’antichità.

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La situazione si complica ulteriormente se si utilizzano triangoli generatori conlati desunti da terne pitagoriche successive.

Se si considerano, ad esempio, i soli ovali con rapporto tra gli assi di 3 : 4, sihanno, per le diverse terne, i seguenti valori:

terna a b c r min r max asse magg. asse min3 - 4 - 5 3 4 5 5 10 16 12

5 - 12 - 13 5 12 13 11 24 32 247 - 24 - 25 7 24 25 17 42 48 368 - 15 - 17 8 15 17 16 33 48 369 - 40 - 41 9 40 41 23 64 64 48

I valori ottenuti determinerebbero costruzioni grafiche molto difficili da realiz-zare. Nell’ultimo caso, ad esempio, si dovrebbe dividere il diametro maggiore inben 128 parti per ottenere l’ovale cercato.

Una ricerca approfondita sulle terne pitagoriche e sugli ovali che esse possonogenerare riveste esclusivamente un interesse teorico che potrebbe sfociare inuna interessante indagine sulla ciclicità di questi rapporti. Tutto questo peròesula dagli scopi di questo lavoro.

Di seguito si riporta la tabella relativa alla terna 3–4–5 utilizzata per costruiregli ovali studiati.

r min r max asse magg. asse min rapporto valore1 6 8 4 1 : 2 2,00002 7 10 6 3 : 5 1,66673 8 12 8 2 : 3 1,50004 9 14 10 7 : 5 1,40005 10 16 12 3 : 4 1,33336 11 18 14 7 : 9 1,28577 12 20 16 4 : 5 1,25008 13 22 18 9 : 11 1,22229 14 24 20 5 : 6 1,2000

10 15 26 22 11 : 13 1,181811 16 28 24 6 : 7 1,166712 17 30 26 13 : 15 1,153813 18 32 28 7 : 8 1,142914 19 34 30 15 : 17 1,133315 20 36 32 8 : 9 1,125016 21 38 34 17 : 19 1,117617 22 40 36 9 : 10 1,111118 23 42 38 19 : 21 1,105319 24 44 40 10 : 11 1,100020 25 46 42 21 : 23 1,0952

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21 26 48 44 11 : 12 1,090922 27 50 46 23 : 25 1,087023 28 52 48 12 : 13 1,083324 29 54 50 25 : 27 1,080025 30 56 52 13 : 14 1,076926 31 58 54 27 : 29 1,074127 32 60 56 14 : 15 1,071428 33 62 58 29 : 31 1,069029 34 64 60 15 : 16 1,0667

Non tutti i rapporti armonici, come si vede, sono presenti nella tabella. Alcuni,come ad esempio quello di sesta minore (5 : 8), non possono essere ottenutiutilizzando numeri interi per le misure dei raggi.

Molte delle proporzioni armoniche, però, possono essere ottenute con misurefrazionarie dei raggi. Se si desidera disegnare un ovale con proporzione 5 : 8generato dal ‘triangolo sacro’, possiamo utilizzare per l’arco che ha centro suldiametro maggiore la misura di 2 parti e 1/3. Il semiasse maggiore vale così 3parti + 2 parti e 1/3, cioè 5 parti e 1/3, mentre il semiasse minore vale 5 parti +2 parti e 1/3 – 4 parti, cioè 3 parti e 1/3. Il rapporto tra 3 e 1/3 e 5 e 1/3 èappunto 5 : 8.

Lo stesso avviene per il rapporto di 5 : 9, in cui basta che il raggio che ha centrosull’asse maggiore misuri 1 parte e 1/2. Il semiasse maggiore vale 4 parti e 1/2 edil semiasse minore vale 2 parti e 1/2, quindi sono in rapporto di 5 : 9.

Figura 43. Costruzione dell’ovale di sestaminore (5 : 8) generato dal triangolosacro.

Figura 44. Costruzione dell’ovale disettima minore (5 : 9) generato dal trian-golo sacro.

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La gradevole continuità della curva dell’ellisse è dovuta soprattutto al fattoche nell’ellisse si ha una variazione costante della curvatura. Negli ovali, invece,ad ogni cambiamento di centro, benché in quel punto la tangente agli archi dicirconferenza si mantenga costante, si ha una brusca variazione di forma.Questo è tanto più vero quanto più l’ovale è allungato, quindi per rapporti tragli assi lontani dall’unità. La differenza tra l’ovale e l’ellisse tende a ridursi quandoil rapporto tra gli assi si avvicina a 3 : 4, per quanto essa vari molto in dipen-denza dell’inclinazione della retta che contiene i centri, quindi in relazione altriangolo generatore.

Proprio per distribuire questi cambi di curvatura, fin dal periodo romano,sono stati introdotti ovali composti da un numero di archi di circonferenzamaggiore di quattro. Se le piante degli anfiteatri romani erano composte ancheda otto o dodici archi di circonferenza, nella seconda metà del Settecento lanecessità di realizzare ponti di grande luce ha alimentato la ricerca di costru-zioni grafiche per ovali fino a 20 centri, quasi indistinguibili dall’ellisse1.

Nella comune pratica dell’architettura, come dimostrato da alcune significati-ve esperienze di rilevamento, la differenza tra un’ellisse ed il corrispondenteovale ad otto centri viene di fatto assorbito nelle tolleranze della costruzione,cosi che le due curve sono di fatto sovrapponibili2.

Di seguito si riportano i raffronti tra gli ovali studiati e le ellissi corrispondenti.Nella prima colonna sono disposti gli ovali e nella seconda colonna le ellissi.Nella terza vengono sovrapposte le due figure.

CORRISPONDENZA TRA LA FORMA DEGLI OVALI E DELLE ELLISSI

1 La curvatura del ponte di Neully, realizzato da J. R. Perronet tra il 1768 ed il 1772, è determinatada un semiovale costituito da 11 archi di circonferenza, che, per la simmetria della curva, corrispon-de ad un ovale a 20 centri. Cfr. O. Zerlenga, cit., p. 173 e sgg., e anche M. Wilson Jones, cit.2 Cfr. Migliari, 1995, cit., ed anche Migliari, 1999, cit.

Figura 39. Confronto tra ovali ed ellissi corrispondenti. Prima parte.

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Figura 40. Confronto tra ovali ed ellissi corrispondenti. Seconda parte.

Figura 41. Confronto tra ovali ed ellissi corrispondenti. Terza parte.

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1. Ovali con assi identici ma di forma diversa. In basso l’ellisse con gli stessi assi.2. Costruzione generale dell’ovale a quattro centri.3. Tracciamento della perpendicolare e della tangente ad un punto dell’ellisse. 4. La costruzione di Bosse per tracciare ovali con assi a piacere. 5. Il tetracordo ed i rapporti armonici. 6. Le quattro costruzioni dell’ovale riportate da Sebastiano Serlio.7. Triangoli notevoli in cui compaiono grandezze incommensurabili, esprimibili

con numeri irrazionali.8. Il triangolo sacro ed applicazione del teorema di Pitagora.9. Rilettura di cultura cinese del teorema di Pitagora applicato al triangolo

sacro. 10. Relazioni tra le grandezze fondamentali dell’ovale.11. Costruzione derivata da quella di Christiaan Huygens per la costruzione di

ovali con assi scelti a piacere.12. Famiglia di ovali concentrici generati dal triangolo sacro.13. Ovale di ottava (1 : 2 diapason).14. Ovale di sesta (3 : 5).15. Ovale di quinta (2 : 3 diapente).16. Ovale di quarta (3 : 4 diatessaron).17. Ovale di terza (4 : 5).18. Ovale di terza minore (5 : 6).

INDICE DELLE ILLUSTRAZIONI

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19. Ovali di seconda (8 : 9) e di seconda minore (15 : 16).20. Ovali armonici con triangolo generatore rovesciato .21. Ridisegno schematico della pianta dell’anfiteatro di El Jem. Ovale armonico

3 : 5.22. Ridisegno schematico della pianta della Klosterkirche a Nova Paka, attri-

buita a Christian Dientzenhofer. Ovale armonico 2 : 3.23. Ridisegno schematico della pianta della Cappella de Nuestra Señora de

los Desamparados, a Valencia.Ovale armonico 3 : 4.24. Ovale diagoneo.25. Dimensioni notevoli dell’ovale diagoneo.26. Ridisegno schematico della pianta della Casa di Campagna di Serlio. Ovale

diagoneo.27. Ovale aureo.28. Dimensioni notevoli dell’ovale aureo e costruzione della parte aurea di un

segmento.29. Ridisegno schematico della pianta della Hofbibliothek di Vienna, realizzata

da J. B. Fischer von Erlach. Ovale aureo.30. Ovale equilatero.31. Dimensioni notevoli dell’ovale equilatero.32. Famiglia di ovali concentrici all’ovale equilatero. I rapporti tra gli assi sono

molto vicini ai rapporti armonici.33. Ridisegno schematico della pianta del Tempio ovale di Serlio. Ovale equi-

latero.34. Grandezze notevoli dei rettangoli armonici.35. I rapporti armonici. Prima parte.36. I rapporti armonici. Seconda parte.37. I rapporti armonici. Terza parte.38. I rapporti armonici. Quarta parte.39. Confronto tra ovali e ellissi corrispondenti. Prima parte.40. Confronto tra ovali e ellissi corrispondenti. Seconda parte.41. Confronto tra ovali e ellissi corrispondenti. Terza parte.42. Famiglia di ovali concentrici generati dal triangolo pitagorico con lati 5–12-13.

In neretto sono evidenziati gli ovali armonici.43. Costruzione dell’ovale di sesta minore (5 : 8) generato dal triangolo sacro.44. Costruzione dell’ovale di settima minore (5 : 9) generato dal triangolo sacro.

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INDICE DEI NOMI E DEI LUOGHI

Alberti, Leon Battista 21.Aquincum 82. Archita 21n.Bona, Pasquale 22n.Bosse, Abraham 17, 17n, 89.Casale, Andrea 16n, 91.Cesariano, Cesare di Lorenzo 27n.Cresci, Luciano 91.Dauben, W. Joseph 30n, 33n, 91.De Rubertis, Roberto 15n, 91.Diaz de Santillana, Giorgio 33n, 91.Diels, Hermann 21n, 22n, 30n, 91.Dientzenhofer, Christian 57Docci, Mario 91.Dotto, Edoardo 37n, 91.Duvernoy, Sylvie 92.El Jem, anfiteatro 56.Emmer, Michele 92.Euclide 92.Fibonacci 36n.Filolao 21n.Fischer von Erlach, Johann Bernhard 37, 67.Frajese, Attilio 92.Gennaro, Antonio 75n.Ghyka, Matila 36n, 92.Giamblico 29n.Horus 33n.Kline, Morris 92.Kranz, Walter 21n, 22n, 30n, 91.Ippaso 21n, 29, 29n.Iside 33n.Le Corbusier 36n, 92.Lotz, Wolfgang 26n, 92.Maccioni, Lamberto 92.

Martinez Ponce de Urrana, Diego 58.Migliari, Riccardo 14n, 24n, 85n, 92.Neully, ponte 85n. Norberg-Schulz, Christian 57. Nova Paka, Klosterkirche 57.Osiride 33n.Pagnano, Giuseppe 16n, 75n, 92.Perronet, Jean Rodolphe 85n.Peruzzi, Baldassare 27.Pitagora 21n, 32, 33, 33n, 81, 88, 91.Platone 92.Plutarco 33n.Ragazzo, Felice 37n, 92.Reale, Giovanni 92.Roselle, anfiteatro 92.Sciacchitano, Erminia 92.Scimone, Aldo 37n, 93.Sedlmayr, Hans 67.Serlio, Sebastiano 13, 13n, 17, 19, 22n, 27,27n, 28, 29, 31, 32, 59, 60, 63, 68, 72, 89,93.Valencia, Cappella de Nuestra Señora delos Desamparados 58.Valerio, Vladimiro 14n, 15n, 93.Veleia, anfiteatro 92.Vienna, Hofbibliothek 67.Vitruvio 27n. Wilson Jones, Mark 32, 32n, 56, 82, 85n, 93.Wittkover, Rudolf 24n, 75n, 93.Zerlenga, Ornella 15n, 16n, 17n, 27n, 37n,85n, 93.

il disegno degli ovali armonici

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