Historia, semiótica y cognición en la didáctica de la integral elemental

Luis Augusto Campistrous1

Omar Hernández Rodríguez2

Jorge M. López Fernández3

Celia Rizo Cabrera4

1. Resumen

Se elaboran y se expanden algunas de las ideas discutidas por Cantoral y Cabañas (2006)respecto a la comprensión que alcanzan los estudiantes de la integral definida y del TeoremaFundamental del Cálculo. Se pretende mostrar una vinculación más estrecha entre las actividadesformativas consideradas —repartir, comparar y reproducir, medir y cuantificar, y conservar— yel desarrollo histórico del cálculo. Partiendo de un análisis histórico, se estudian dos aspectosconcretos de tales actividades —aditividad y acotamiento— y se demuestra cómo éstos sonsuficientes para la elaboración de todo el conocimiento asociado a la integral elemental5. Paracomplementar la lista de actividades formativas, se añade otra de índole cinemática. Finalmente,se añade una actividad de índole cinemática a la lista de actividades formativas,complementando así el fundamento requerido para llegar a la formalización del concepto de laintegral.

Palabras claves: Integral, Teorema Fundamental del Cálculo.

Abstract

This article elaborates and expands Cantoral and Cabañas (2006) discussion regarding student’scomprehension of the definite integral and the Fundamental Theorem of Calculus. It presents aclose link between the considered formative activities —partitioning, comparing andreproducing, measuring and quantifying, and preserving— and the historical development ofcalculus. Using a historical analysis as a starting point, it studies two specific aspects of theseactivities —additivity and boundedness— and shows that they are sufficient for the developmentof the knowledge associated with the elementary integral. Finally, an activity of kinematicnature is added to the list of formative activities, thus complementing the foundations requiredfor the formalization of the concept of the integral.Keywords: Integral, Fundamental Theorem of Calculus

Résumé

Dans cet article, on élabore les points discutés par Cantoral et Cabañas (2006) à propos de lacompréhension que les étudiants ont de l'intégrale définie et du Théorème Fondamental del'Analyse. On démontre qu'il existe un lien étroit entre les activités formatives considérées —

1 Profesor Titular, Universidad de Guerrero en Chilpancingo.2 Escuela Graduada de Educación, Universidad de Puerto Rico en Río Piedras.3 Catedrático, Departamento de Matemática, Universidad de Puerto Rico en Río Piedras.4 Profesora Titular, Universidad de Guerrero en Chilpancingo.5 Nos referimos a la integral elaborada en la segunda mitad del siglo XVII por Newton, Leibniz, Barrow y Gregory.

2

diviser, comparer et reproduire, mesurer et quantifier, et conserver— et le développementhistorique de l'analyse. En utilisant une analyse historique comme point de départ, on se centresur deux aspects concrets de ces activités —additivité et la notion de la partie bornée— et ondémontre que ces deux suffisent pour la élaboration du savoir associé à l'intégrale élémentaire.Finalement, on ajoute une activité de nature cinématique à la liste des activités formatives,complétant ainsi la fondation requise pour la formalisation du concept de la intégrale.

Mots Clés: Intégrale, Théorème Fondamental de l'Analyse

Resumo

Neste artigo são desenvolvidos e expandidos alguns dos pontos discutidos por Cantoral eCabañas (2006) sobre a compreensão que os estudantes atingem do integral definido e doTeorema Fundamental do Cálculo. Demonstra-se a estreita ligação entre as actividades deformação consideradas —repartir, comparar e reproduzir, medir e quantificar, e conservar— e odesenvolvimento histórico do cálculo. Partindo de uma análise histórica, estudam-se doisaspectos de tais actividades —aditividade e a noção de conjunto limitado— e se demonstra queos dois são suficientes para a elaboração de todo o conhecimento associado ao integralelementar. Finalmente, adiciona-se uma actividade de natureza cinemática à lista de actividadesde formação, complementando assim o fundamento necessário para a formalização do conceitodo integral.

Palavras chaves: Integral, Teorema Fundamental do Cálculo

2. Tipos de integral: aspectos semióticos

Los fundamentos del enfoque socioepistemológico de la educación matemática descansan sobre

las interacciones de aspectos epistemológicos, cognitivos y didácticos (Cantoral & Cabañas,

2006). Además, considerando que la actividad matemática es fundamentalmente social, en la que

los pareos existentes entre las notaciones matemáticas y los conceptos correspondientes son de

suma fluidez por estar sujetos a un ajuste constante de tipo social, la socioepistemología de la

educación matemática debe prestar especial atención a la evolución histórica de las ideas

matemáticas. La historia de la matemática delata, por así decirlo, la raíces cognitivas y la

evolución de ideas a través de las épocas, a medida que la mente humana intenta organizar las

ideas matemáticas en cuerpos coherentes de conocimiento (Piaget & García, 1982). De manera

análoga, Bressoud (2011) realiza un análisis del desarrollo de la noción de integral y del

3

Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) para tratar de determinar el origen de las dificultades

que tienen los estudiantes con estos conceptos.

En lo que sigue, se presenta un análisis de las ideas que dieron origen al concepto de integral. Se

tuvieron en cuenta las proposiciones que eran válidas cuando se gestaban las ideas, los métodos

y razonamientos utilizados y aceptados como válidos, las preguntas que recibían la atención de

los estudiosos, los puntos de vista predominantes con respecto a las ciencias y la matemáticas, y

las convenciones de lenguaje utilizado por las personas que se dedicaban a ejecutarlas (Kitcher,

1984). De esta manera, se logra establecer la importancia que, durante la segunda mitad del siglo

XVII, tenían las transformaciones geométricas y el movimiento en el cálculo de áreas y en la

confección de argumentos y justificaciones matemáticas. De igual manera, se hacen patentes

algunos errores de tipo semiótico que dificultan el aprendizaje del TFC.

2.1 La integral de Newton-Leibniz, antecedentes históricos

Nos referimos a esta integral como la integral desarrollada por Isaac Newton, Gottfried Leinbiz,

Isaac Barrow, James Gregory (y posiblemente otros) durante la segunda mitad del siglo XVII,

que está fundamentada en las ideas matemáticas de Cavalieri (Baron, 1969, p. 122; Whiteside,

1961, p. 314). De acuerdo a Cavalieri, un área plana consiste de un número indefinido de

segmentos de recta paralelos. Análogamente, un sólido consiste de una cantidad indefinida de

planos paralelos equidistantes (Baron, 1969, p. 124). Cada uno de estos elementos constituye lo

que, para Cavalieri, es una “regula” o un elemento “indivisible”, la totalidad de los cuales

constituye el área o el volumen correspondiente. La idea de Cavalieri evoca al movimiento, por

ejemplo, las “regulas” de una superficie plana se pueden visualizar como generadas por un

4

segmento de recta que se desplaza desde una posición inicial hasta una final. Observaciones

análogas son también válidas para las “regulas” planas.

Figura 1: “regulas” planas

Cavalieri relacionaba las “regulas” de diferentes configuraciones geométricas a través del

Principio de Cavalieri, que indica que si se pueden comparar las “regulas” de dos

configuraciones geométricas descritas por un mismo parámetro, de suerte que resulten ser

proporcionales, entonces, si conocemos el área o el volumen de una de ellas, podemos inferir el

área o el volumen del otro (como corresponda). Desde luego, el que el tipo de transformación

que lleva de una configuración geométrica de “regula” a otra conocida tiene sus raíces,

precisamente, en casos especiales o en transformaciones conocidas en esa época y que ahora se

pueden caracterizar como repartir, comparar y reproducir6; medir y cuantificar, y conservar

(Cantoral & Cabañas, 2006).

6 En la descripción de esta actividad, Cantoral y Cabañas (2006) indican que “se busca obtener una reproduccióncon forma diferente a la dada inicialmente.” Entre las formas de lograr este cometido, se mencionan la inclusión, lastransformaciones geométricas, la estimación, la medición y el estudio de funciones.

5

Figura 2: La figura 10 de las Lecciones Geométricas de Isaac Barrow (para el argumentode Barrow sobre le problema de Tacquet).

En la Lección II de Las lecciones geométricas de Isaac Barrow (las cuales constituyen, en

efecto, lo que fue el primer texto de cálculo de la historia), el autor comenta sobre un problema

planteado por Tacquet, un monje jesuita de Amberes, en su libro de 1651 Sólidos cilíndricos y

anulares, a los efectos de que la teoría atómica7 podía llevar a resultados contradictorios en el

caso del cálculo del área superficial de un cono (Child, 1916, p. 44). Barrow corrige el error de

Tacquet mediante una transformación que lleva la superficie del cono a un triángulo rectángulo

cuyos catetos son, por un lado, la distancia entre el vértice del cono y su base, medida a lo largo

de la superficie del cono, y el otro cateto es la circunferencia de la base. Cada “regula” del cono

original (que no es más que la circunferencia a una altura dada del círculo contado por un plano

paralelo a la base) se hace corresponder al largo del segmento correspondiente del triángulo

paralelo a su base (ver la Figura 2). Así concluye Barrow que el área de superficie del cono es la

misma que la del triángulo rectángulo, la cual sabemos que está dada por 2πrs, donde r es el

radio de la base del cono y s es la distancia mencionada anteriormente. La transformación que

inventa Barrow es, sin duda, muy ingeniosa y afirma su punto a los efectos de que se debe ser

cuidadoso al aplicar la teoría de indivisibles (al menos más cuidadoso que Tacquet).

7 Entiéndase, teoría de indivisibles.

6

Este ejemplo ilustra dramáticamente el conocimiento que sobre el cálculo de áreas y volúmenes

se tenía en la segunda mitad del siglo XVII antes del desarrollo del cálculo. La concepción de

“número” permitía la “coexistencia” armónica de los números usuales con los infinitésimos y los

números infinitos. El cálculo de áreas dependía de la transformación de situaciones dadas a

situaciones conocidas, la cuales, como en el caso de Barrow con relación al problema de

Tacquet, requerían, a veces, transformaciones geométricas ingeniosas. Además, no se puede

exagerar la importancia de las transformaciones geométricas y del aspecto cinemático de las

mismas. Barrow explica cómo es posible generar “magnitudes” mediante el empleo de

“movimientos locales” y discute los más elementales, a saber: las rotaciones y las traslaciones

(Child, 1916, p. 42). De hecho, va un paso más allá y describe cómo generar movimientos

continuos y concurrentes, y como componer movimientos curvilíneos con movimientos paralelos

(Child, 1916, p. 47).

No es posible exagerar el rol del movimiento en el cálculo de áreas durante la segunda mitad del

siglo XVII. Las actividades mencionadas por Cantoral y Cabañas (2005a) se encarnan en todas

las demostraciones del Teorema Fundamental del Cálculo conocidas en la época (Barrow,

Gregory, Newton y Leibniz), particularmente en las de Newton y Leibniz. Más adelante,

veremos en detalle la de Newton con referencia a las actividades mencionadas.

2.2 Actividades cognoscitivas en apoyo del desarrollo de la noción de área

En la Figura 3 se presenta una situación que, con frecuencia, se aprecia en los textos escolares al

comienzo del estudio de la noción de área. La idea es la de determinar el número de cuadrados

de la cuadrícula que se pueden “acomodar” sobre las figuras planas oscurecidas que se han

7

representado. El estudiante debe “re-arreglar” mentalmente las figuras para contestar las

preguntas que se le presentan (las cuales siempre se reducen a una misma: ¿cuál es el número de

cuadrados de la cuadrícula que se pueden acomodar en cada figura?). El lector que hace un poco

de introspección mientras resuelve este enigma verá que, en efecto, realizar reparticiones

mentales, así como reparticiones y reproducciones de superficies todas llevan al empleo de la

idea de la conservación del área, con el fin de llegar a los cálculos deseados. Además, una idea

subyacente es que dos superficies planas sin ningún punto común tienen un área total que vale la

suma de las áreas de las superficies individuales.

Figura 3: Cálculo de áreas mediante el empleo de los criterios de repartición,comparación y reproducción y conservación.

Estas observaciones tienen una interesante interpretación en términos de los problemas de área

que eran de interés a los matemáticos de la segunda mitad del siglo XVII. En esta época, las

funciones no habían hecho su entrada a las matemáticas. Sólo existían las “curvas”, las cuales

eran el objeto de estudio de los matemáticos. Como hemos ya comentado, las superficies planas

se veían como constituidas por las “regula”, las cuales, si se quiere, eran los elementos

infinitesimales del área. Si se toma una ordenada móvil que se desplaza de una posición inicial

con abscisa a una segunda posición con abscisa b, pasando por la posición x (ver Figura 4),

8

entonces los principios mencionados anteriormente justifican que . Esta es la que

hemos llamado la propiedad aditiva. Como veremos, lo sorprendente de todo esto es que toda las

propiedades de la integral original se pueden desarrollar sin referencia alguna a sumas de

Riemann, si se toma una segunda propiedad de acotamiento, que examinaremos más adelante.

Figura 4: Propiedad de la aditividad del área

Teorema 2.3.1 (TFC, versión de diferenciación) Si f es una función continua en el intervalo [a,

b], entonces, para toda ,

entendiéndose que, en los extremos, el límite de la derivada es unilateral. En otras palabras, el

Teorema 3.1 dice que la diferenciación es el proceso inverso de la integración.

Para enunciar la segunda versión del TFC, es menester definir la noción de función primitiva, o

antiderivada. Una función es una función primitiva, o antiderivada, de la función

9

continua si F es continua en el intervalo y si para todo

. Entonces tenemos,

Teorema 2.3.2 (TFC versión de evaluación) Si es una antiderivada de

en , entonces

.

Como veremos, estos dos resultados son válidos para cualquier función de área como la

mencionada anteriormente con referencia al movimiento de una ordenada de posición variable.

En otras palabras,

y

.

2.4 Aspectos semióticos relativos al TFC

Cantoral y Cabañas (2005b) señalan los vicios que pueden incidir sobre la didáctica de la

matemática cuando se ignora “el papel que los escenarios históricos, culturales e institucionales

desempeñan en toda actividad humana.” La socioepistemología, se añade, emplea e integra de

forma esencial todos estos aspectos sobre la actividad cultural e histórica humana para realizar el

análisis didáctico de los contenidos curriculares de la educación matemática. A propósito de este

profundo aforismo, queremos comentar sobre la creencia generalizada relativa a la dependencia

del contenido de las dos versiones del TFC contenidas en los Teoremas 2.3.1 y 2.3.2 de la

10

definición de la integral como el límite de las sumas de Riemann asociadas a subdivisiones

homogéneas del intervalo de definición de la integral definida (Bressoud, 2011), a medida que el

número de subintervalos de la subdivisión tiende a infinito. Es menester preguntarse, en este

punto, cómo acontece que una definición que surge siglo y medio después que la primera

demostración del TFC pueda considerarse esencial para la comprensión de la integral definida y

del TFC. Las consideraciones semióticas más básicas son capaces de predecir dificultades de

índole pedagógicas cuando se intenta fundamentar en un concepto relativamente moderno una

idea que históricamente surge a raíz de la teoría de los indivisibles y el estudio de los

infinitésimos. En efecto, la definición de Cauchy de la integral como un límite de sumas de

Riemann ocurre aproximadamente siglo y medio luego de la demostración de Barrow del TFC8.

Además, el TFC era un resultado conocido durante la segunda mitad del siglo XVII, habiendo al

menos, cuatro matemáticos9 que habían confeccionado demostraciones más o menos

independientes de tal resultado. Argumentos semióticos similares se pueden articular para

predecir conocidas dificultades pedagógicas en la enseñanza de la regla de la cadena, es decir, la

regla para derivar la composición de funciones derivables (Hernández & López, 2010;

Campistrous, López & Rizo, 2009). En esencia, el error más serio es el del anacronismo, es

decir, el que supone que los pareos entre los significados y los signos (o notaciones) de los

discursos matemáticos propios de épocas pasadas coinciden con los pareos correspondientes del

discurso matemático de hoy día.

Inicialmente, la regla de la cadena se concibió como un algoritmo para diferenciar expresiones

que se obtenían de otras expresiones diferenciables mediante sustituciones también

diferenciables. El concepto de composición de funciones tuvo que esperar más de un siglo a8 La demostración de Barrow en la Lección 10, §11 de sus Lecciones Geométricas apareció alrededor del año 1674,mientras que la definición de la integral definida de Cauchy aparece en 1823, justo dos años después de lapublicación de su famoso Cours d’Analyse.9 Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Isaac Barrow y James Gregory.

11

partir de la primera vez que se enuncia la regla de la cadena en el famoso texto de L’Hospital,

Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, para ver la luz del día. No es

sorprendente, pues, que los estudiantes experimenten dificultades cognitivas en el estudio de la

regla de la cadena cuando se presenta como algoritmo relativo a la diferenciación de funciones

compuestas.

3. La demostración de Isaac Newton del TFC: una lección histórica

Nuestra demostración del TFC de Newton proviene de Guicciardini (2009, p. 185) y fue

publicada en 1669 en De analysi per æquationes numero terminorum infinitas (Sobre el análisis

mediante ecuaciones de un número infinito de términos). Para la demostración del TFC, Newton

considera una curva ADδ (véase la Figura 5) y denota por x=AB, y=BD y z=Área ABD. Este

desea demostrar que dz/dx=y, lo cual, en notación moderna, escribiríamos como:

Figura 5: Figura de Newton parala demostración del TFC

,

12

donde la curva ADδ corresponde a lo que hoy sería la gráfica de una función y=f(x). Para

demostrar que, en efecto, dz/dx=y, Newton considera el incremento de la curva asociado a un

cambio de la ordenada de un valor B a un valor β, infinitamente cercano a B, es decir, Bβ=ο es

un infinitésimo. El incremento asociado a z para este incremento ο de la ordenada es de Área

BDδ. Newton, entonces, argumenta que este incremento se puede considerar como el área de un

rectángulo BβHK, es decir, Área BβHK=Área BβδD. Desde luego, el área de este rectángulo es,

de acuerdo a Newton οv, donde v es una abscisa entre B y β. Nótese que la existencia de tal

rectángulo es lo que hoy día correspondería al llamado Teorema de la media para integrales. Por

otra parte, el cociente diferencial asociado a z para el incremento de la ordenada ο es v. Si, ahora,

dejamos que β=0, vemos que v=y, lo cual completa el argumento. Esta prueba de Newton

capitaliza en la idea de que es posible redistribuir el área bajo la curva BβδD para obtener el área

del rectángulo BβHK, precisamente la idea asociada a la actividad de comparar y reproducir

discutida anteriormente.

En lenguaje moderno, tendríamos para ,

para un valor de θ entre x y x+ο, donde std representa la parte estándar de un número finito, y

donde se ha empleado que f(x) está infinitamente cercano a f(θ) (lo cual correspondería hoy a la

hipótesis de la continuidad de la función f en x).

13

Como el lector puede apreciar, en la demostración de Newton del TFC (así como también en las

demostraciones de Leibniz, Barrow y Gregory10) se emplea una propiedad de la integral definida

—a saber, su aditividad— y se emplean, además, las propiedades generales de los infinitésimos,

muy comunes durante la segunda mitad del siglo XVII. En ningún lugar figuran las sumas de

Riemann ni nada que se parezca a la definición de Cauchy de la integral definida. Todo esto

abona al argumento que sostiene que el fundamentar la discusión de la integral definida en la

definición de Cauchy hace violencia al desarrollo histórico de esta área de la matemática y trae

consigo problemas cognoscitivos para los estudiantes que muy bien pudiesen ser evitados. En

efecto, durante las últimas dos décadas, se ha acumulado una cantidad de evidencia

impresionante, la cual sustenta la existencia de niveles extremadamente bajos de

aprovechamiento académico de los estudiantes de cálculo, quienes no comprenden la definición

Weiersstrassiana de límite (es decir, la definición de límite epsilon-delta), ni su definición en

términos de sucesiones (Artigue, 1992, p. 196; Cornu, 1992, p. 153; Tall, 1992, p.4). Esto nos

hace pensar, en particular, que el límite de la definición de la integral definida como un límite de

sumas de Riemann es particularmente difícil para los estudiantes.

4. Esbozo de un acercamiento a la enseñanza de la integral definida cónsono con el

desarrollo histórico del cálculo

Desde hace ya algún tiempo, se conoce que es posible presentar la teoría elemental de la integral

definida sin tener que hacer referencia alguna al límite usual de sumas de Riemann, que parte de

la Definición de Cauchy (Gillman, 1993). La presentación que sigue ha sido adaptada de

Gillman (1993). En esta sección, definimos una integral que sirve para tales fines y que, para el10 Para el lector interesado, debemos señalar que la prueba del TFC de Barrow se discute en el Capítulo X, §11 desus Lecciones Geométricas (Child, 1916, pp. 116-118) y también en Struik (1969, p. 255). La demostración deLeibniz del TFC aparece en Struik (1969, p. 282). Finalmente, la demostración de Gregory aparece en Leahy(2004).

14

estudiante, no presenta la carga cognitiva que surge del manejo de las sumas de Riemann y de

los límites correspondientes. Además, la presentación inicia enunciando explícitamente que la

integral no es más que el área generada por una ordenada móvil de una función continua que se

desplaza desde el comienzo del intervalo de definición de la función hasta un punto variable

intermedio.

4.1 Definiciones y notación. En esta sección, representa una función continua, y

si , la expresión representa el área generada por una ordenada móvil de la

función que se mueve desde el punto con abscisa u hasta el punto con abscisa v. Decimos que

la correspondencia entre los intervalos y los números reales es una

integral de en si se satisfacen las siguientes condiciones:

i. [Aditividad] Para todo tal que , tenemos .

ii. [Acotamiento] Para todo tal que tenemos

.

Es fácil ver que, siguiendo las convenciones usuales del cálculo, podemos definir para

todo . Además, si definimos . Con estas convenciones, es fácil

verificar que la condición i. se cumple para cualesquiera .

El primer resultado que podemos demostrar es el TFC:

15

Teorema 4.1

.

Demostración: Es fácil ver que para todo y todo tal que ,

tenemos

.

De esta relación y de la propiedad ii. se obtiene

donde I es el intervalo determinado por y .

Como es continua en , si se toma el límite a medida que , se obtiene el resultado

deseado. ▄

Teorema 4.2 Si F es una antiderivada de f en , entonces

.

16

Demostración: Por el teorema anterior y la definición de F, las funciones F y tienen la

misma derivada en . Por el Teorema de la Media, las funciones difieren por una constante.

Por consiguiente, para algún número real C, . Si sustituimos x=a y luego x=b se

obtiene el resultado deseado. ▄

Teorema 4.3 (Unicidad de la integral) Si es otra integral de en , entonces,

para toda tenemos .

Todas las aplicaciones usuales de la integral se efectúan de la manera habitual sin necesidad de

hacer referencia a suma de Riemann alguna. Referimos al lector interesado a Gillman (1993),

donde se proponen esquemas heurísticos para calcular largos de arco, superficies y volúmenes de

revolución, entre otras, sin jamás tener que plantear una suma de Riemann, como se suele hacer

en los libros modernos de Cálculo.

A pesar de que la consideración de las sumas de Riemann es un recurso teórico para esta teoría

de la integral elemental, nuestro esquema teórico sirve para atisbar la importancia de tales sumas

para un desarrollo teórico subsiguiente. En efecto, tenemos,

Teorema 4.4 Para cada considere la subdivisión uniforme del intervalo , es decir,

, donde . Entonces,

.

17

El mismo resultado es válido si para cada índice k de la sumatoria se sustituye por cualquier

otro valor de en el intervalo .

Demostración: Comenzamos con una observación que lleva al Teorema de la media para nuestra

integral definida. En efecto, si , entonces, por ii.,

.

Por el Teorema del valor intermedio para funciones continuas existe tal que

,

es decir,

.

Empleando este resultado, tenemos

Tomando límites en ambos lados de esta relación se obtiene el resultado deseado. ▄

18

Por la continuidad uniforme de f en , dado , existe tal que si y

, entonces . Para tal , escoja un número natural

, tal que los intervalos determinados por la subdivisión uniforme de de subintervalos,

cada uno tiene longitud menor que . Entonces, si ,

.

De aquí se obtiene el resultado deseado.

5. Asuntos teóricos para desarrollo ulterior

En nuestra exposición, no se hace un acercamiento al cuestionamiento de la existencia de una

integral para una función continua en un intervalo cerrado y acotado. Teniendo en cuenta las

proposiciones válidas en ese momento de desarrollo del cálculo, no es concebible que este tipo

de pregunta se pudiese formular coherentemente (Kietcher, 1984). A medida que los paradigmas

de la matemática cambian, se transforman las preguntas que son de interés para los miembros de

la comunidad matemática. La dilucidación de la cuestión referente a la existencia de la integral

lleva a las sumas de Darboux y Riemann, y comienza todo un nuevo capítulo en la historia del

análisis, el cual requiere de técnicas totalmente distintas a las aquí planteadas. Dicho sea de paso,

en nuestra presentación, no hemos incluido el dato que la integral es lineal como función del

integrando, aunque es relativamente sencillo demostrar este dato a partir de las técnicas

descritas. Le dejamos al lector interesado esta tarea como un ejercicio informal. Claro está,

cuando la integral existe, escribimos

19

.

6. Conclusión

Una aproximación a la didáctica de la integral definida empleando los principios de la educación

matemática socioepistemólogica combinados con los principios de semiótica de Saussure sirven

para advertir problemas de índole cognoscitivos en la didáctica de la integral definida. Este

ejemplo ilustra el poder predictivo con el que se dota a la educación matemática

socioepistemológica en asuntos relacionados al diseño curricular y la planificación de formas

efectivas de presentación de los temas matemáticos del currículo. Es necesario y conveniente

desarrollar otros ejemplos que, igual al presente, estén relacionados a la enseñanza de temas

“escabrosos” del currículo, como lo es el estudio de las fracciones y los números racionales.

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