Nama : Aryawati Dewi Aras

NIM : 1111040058

Kelas : A2 (Pendidikan Matematika)

Mata Kuliah : Struktur Aljabar 1

FUNGSI dan SISTEM BILANGAN BULAT

A. Relasi

1. Pengertian Relasi

Relasi adalah hubungan antara anggota himpunan asal (domain)

dengan anggota himpunan kawan (kodomain). Suatu relasi dari himpunan A

yang merupakan daerah asal (domain) ke himpunan B yang merupakan

daerah kawan (kodomain) adalah pemasangan atau perkawanan atau

korespondensi anggota-anggota himpunan A dengan anggota -anggota

himpunan B.

2. Menyatakan Relasi

Relasi dua himpunan dapat dinyatakan dengan cara-cara berikut ini :

a. Diagram Panah

b. Himpunan Pasangan Berurutan

c. Diagram Cartesius

Contoh :

a. Diagram Panah

Himpunan A = {Bilangan Ganjil, Bilangan Genap, Bilangan Prima}

Himpunan B = {1,2}

Terdapat relasi “anggota (∈)” dari himpunan A ke himpunan B.

Bilangan Ganjil ●

Bilangan Genap ●

Bilangan Prima ●

● 1

● 2

Anggota (∈)

Anggota himpunan A yang berelasi dengan anggota himpunan B

ditunjukkan dengan arah panah, sehingga diagramnya disebut diagram

panah .

b. Himpunan Pasangan Berurutan

Himpunan A = {Echa, Rahmat, Agus, Dedhy}

Himpunan B = {Sepak Bola, Bulutangkis, Basket}

Maka himpunan pasangan berurutannya :

{(Echa, Basket), (Rahmat, Sepak Bola), (Agus, Bulutangkis), (Dedhy,

Bulutangkis)}.

c. Diagram Cartesius

Relasi “Faktor dari” dari

Himpunan A = {2,3,5,7}

ke Himpunan B = {9,14,25}.

Himpunan Pasangan Berurutannya adalah {(2,14),(3,9),(5,25),(7,14)}.

Diagram Cartesius :

Echa ●

Rahmat ●

Agus ●

Dedhy ●

● Sepak Bola

● Bulutangkis

● Basket

“Gemar Bermain”

2 3 5 7

9

14

25

A

B

B. Fungsi atau Pemetaan

1. Pengertian Fungsi atau Pemetaan

Suatu pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi

khusus, yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

Jika a ∈ A, b ∈ B, dan a dipasangkan dengan b maka b disebut bayangan a.

Syarat pemetaan :

a. Ada himpunan asal yaitu himpunan A (domain) atau daerah definisi.

b. Ada himpunan kawan atau kodomain, yaitu himpunan B.

c. Ada himpunan yang merupakan daerah hasil (range) dari fungsi

tersebut yang merupakan himpunan bagian dari kodomain.

d. Semua anggota daerah asal (domain) habis dipetakan.

e. Tidak ada anggota himpunan asal yang memiliki dua bayangan atau

lebih.

Fungsi atau Pemetaan adalah suatu relasi tertentu antara himpunan A

dan B yang memenuhi syarat bahwa setiap (semua) anggota himpunan A

dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan B. Tidak semua relasi

merupakan sebuah fungsi atau pemetaan, hanya relasi tertentu yang

memenuhi persyaratan tersebut diatas.

Ciri-ciri relasi yang merupakan pemetaan/fungsi :

a. Pada Diagram Panah

Semua anggota A mempunyai pasangan,dan tidak ada cabang relasi dari

himpunan A :

Contoh Pemetaan/Fungsi :

Contoh bukan pemetaan/fungsi :

b. Pada Himpunan Pasangan Berurutan

Contoh pemetaan/fungsi :

{(a,1),(b,1),(c,2),(d,3)}

Contoh bukan pemetaan/fungsi :

{(a,1),(b,2),(b,3),(c,3)} -------------

c. Pada Diagram Cartesius

Tidak ada dua titik segaris vertical.

Contoh pemetaan/fungsi :

Contoh bukan pemetaan/fungsi :

terdapat dua unsur himpunan

A yang ditulis lebih dari satu

kali.

2. Notasi Fungsi/Pemetaan

Jika setiap x anggota A dan y anggota B, maka ditulis :

f : x → y (baca : f memetakan x terhadap y)

atau

f : x → ax + b (baca : f memetakan x terhadap ax + b)

3. Rumus Fungsi

Fungsi f : x → ax + b dapat ditulis dengan rumus :

f(x) = ax + b

4. Variabel Tak Bergantung dan Variabel Bergantung

Persamaan grafik fungsi y = f(x) = ax + b, bahwa setiap nilai

variabel x akan menghasilkan nilai f(x) atau y, sehingga nilai x berubah,

maka nilai y juga akan berubah nilainya. Jadi, nilai fungsi f(x) akan

bergantung kepada nilai y.

Nilai x disebut variabel tak bergantung dan y atau f(x) disebut variabel

bergantung.

5. Grafik Fungsi

Langkah-langkah dalam membuat grafik dari suatu fungsi adalah sebagai

berikut:

a. Menentukan pasangan berurutan (x,y) dengan x anggota daerah asal

(domain) dan bayangan dari x dengan menggunakan tabel nilai fungsi.

b. Membut sumbu x mendatar (horizontal) dan sumbu y tegak (vertikal)

yang saling berpotongan dengan langkah-langkah:

1) Anggota domain berada pada sumbu x horizontal.

2) Anggota kodomain berada pada sumbu y vertikal

c. Menentukan pasangan berurutan (x,y) pada bidang koordinat yang

digambar dengan noktah.

d. Membuat kurva melalui noktah-noktah yang telah dibuat jika fungsi

itu pada himpunan bilangan positif dan nol. Bila a > 0 kurva terbuka

ke atas, dan a < 0 kurva terbuka ke bawah.

Catatan:

1) Jika f(x) = ax2 + bx + c, dengan a > 0 (positif), maka:

a. Grafik akan terbuka ke atas (menghadap ke atas)

b. Mempunyai koordinat titik balik minimum

c. Mempunyai nilai ekstrim minimum

2) Jika f(x) = ax2 + bx + c, dengan a < 0 (negatif), maka:

a. Grafik akan terbuka ke bawah (menghadap ke bawah)

b. Mempunyai koordinat titik balik maksimum

c. Mempunyai nilai ekstrim maksimum

6. Menghitung Nilai Fungsi

Misal suatu fungsi f : x → y dapat dinyatakan dalam bentuk rumus

fungsi, yaitu f(x) = y. Berdasarkan rumus fungsi, maka dapat ditentukan

nilai fungsi tersebut untuk setiap nilai x yang diberikan. Caranya dengan

mensubstitusikan nilai x pada rumus fungsi tersebut.

C. Sistem Bilangan Bulat

1. Pengertian

Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan

desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat

adalah bilangan riil yang mempunyai titik desimal, seperti 8.0, 34.25, 0.02.

Notasi Himpunan : B = {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}.

Dalam bentuk garis bilangan :

2. Operasi Bilangan Bulat

Jika n bilangan bulat, maka n(-n) + n = 0. Bilangan (-n) disebut lawan

dari (invers penjumlahan dari) n, dan 0 disebut elemen identitas terhadap

penjumlahan.

Definisi diatas menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat n ada

dengan tunggal bilangan bulat (-n) sedemikian hingga n + (-n) = (-n) + n = 0.

Lawan dari (-n) adalah – (-n) sehingga (-n) + (-(-n)) + (-n) = 0.

Karena (-n) + n = n + (-n) = 0 dan (-(-n)) = n. Jadi lawan dari (-n)

adalah n.

Operasi Penjumlahan :

a. Tertutup → a + b ∈ bilangan bulat

b. Komutatif → a + b = b + a

c. Asosiatif → (a + b) + c = a + (b + c)

d. Identitas → a + 0 = a

e. Invers → a + (-a) = 0

Operasi Pengurangan

Lawan (invers) → a – b = a + (-b)

Catatan : Penjumlahan 2 bilangan bulat

a. (-a) + (-b) = - (a + b) penjumlahan 2 bilangan negative

b. (-a) + b = b – a jika a < b

c. a + (-b) = a – b jika b < a

Bukti bahwa (-a) + (-b) = - (a + b) :

Misalkan a dan b bilangan – bilangan cacah, maka (-a) + (-b) merupakan

jumlah dua bilangan negatif. Misal (-a) + (-b) = c maka c = (-a) + (-b).

c + b = ((-a) + (-b)) + b sifat kesamaan

c + b = (-a) + ((-b) + b) sifat asosiatif penjumlahan

c + b = (-a) + 0 invers penjumlahan

(c + b) + a = (-a) + a sifat kesamaan

(c + b) + a = 0 invers penjumlahan

c + (b + a) = 0 sifat asosiatif penjumlahan

c + (a + b) = 0 sifat komutatif penjumlahan

(c + (a + b)) + (-(a + b)) = – (a + b) sifat kesamaan

c +((a + b) + (-(a + b))) = – (a + b) sifat asosiatif

c + 0 = – (a + b) invers penjumlahan

Jadi kesimpulannya (-a) + (-b) = – (a + b).

Bukti bahwa (-a) + b = b – a :

Penjumlahan dua bilangan bulat, yang satu positif dan yang lain negatif, kita

jelaskan sebagai berikut : Misal a dan b dua bilangan cacah dengan a < b,

berarti ada bilangan asli c sedemikian hingga a + c = b dan menurut definisi

pengurangan bilangan cacah, a + c = b sama artinya dengan b – a = c.

(-a) + b

= (-a) + (a + c)

= ((-a) + a) + c asosiatif penjumlahan

= 0 + c invers penjumlahan

= c = b - a

Jadi terbukti bahwa (-a) + b = b – a.

Operasi Perkalian

a. Tertutup → a x b bilangan bulat

b. Komutatif → a x b = b x a

c. Asosiatif → (a x b) x c = a x (b x c)

d. Identitas → a x 1 = a

e. Distributif → a (b + c) = ab + ac

a (b - c) = ab – ac

f. Invers → a x 0 = 0

Catatan :perkalian bilangan bulat

(-a) x b = -ab

(-a) x (-b) = ab

Operasi Pembagian

Kebalikan (invers) dari perkalian

a : b = a x 1/b

Perkalian bilangan bulat

Kita telah mengetahui perkalian bilangan cacah, selanjutnya pengetahuan itu

dengan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan bilangan bulat, kita

dapat melakukan perkalian bilangan bulat yang salah satu atau kedua-duanya

bilangan bulat negatif.

Tetapi sebelum kita membicarakan hal itu terlebih dahulu kita buktikan suatu

sifat konselasi (penghapusan) dari penjumlahan yaitu:

Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat dan a + c = b + c maka a = b.

Bukti :

a + c = b + c

(a + c) + (-c) = (b + c) + (-c) (sifat kesamaan)

a + (c + (-c)) = b + (c + (-c) (assosiatif penjumlahan)

a + 0 = b + 0 (invers penjumlahan)

a = b

Berikut akan diperlihatkan bagaimana memberi makna perkalian dua

bilangan bulat yang satu negatif dan lainnya positif. Misalkan a dan b adalah

bilangan cacah, maka a bilangan bulat positif dan (-b) bilangan bulat negatif.

Akan diperlihatkan bahwa a x (-b) = -(a x b).

Bukti :

a x (b + (-b)) = a x 0

(a x b) + (a x (-b)) = 0

(a x (-b)) + (a x b) = 0

((a x (-b)) + (a x b)) + (-(a x b)) = 0 + (-(a x b))

(a x (-b)) + ((a x b) + (-a(a x b))) = -(a x b)

a x (-b) + 0 = -(a x b)

a x (-b) = -(a x b)

Mengingat sifat komutatif pada perkalian bilangan bulat, maka :

(-a) x b = b x (-a)

= – (b x a)

= -(a x b)

Pembagian bilangan bulat

Seperti halnya pembagian bilangan cacah, pembagian bilangan bulat juga

didefinisikan dengan perkalian.

Telah dibuktikan bahwa (-a) x b = a x (-b) = -(a x b) dan seterusnya kita tulis

dengan –(ab), maka :

a. –(ab) : a = (-b)

b. –(ab) : b = (-a)

c. -(ab) : (-a) = b

d. -(ab) : (-b) = a

Demikian pula karena (-a) x (-b) = a x b maka:

e. ab : (-a) = (-b)

f. ab : (-b) = (-a)

***