departamento de programaciÓn y tecnologÍa educativa solución de vigas por integración
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DEPARTAMENTO DE PROGRAMACIÓN Y TECNOLOGÍA EDUCATIVA
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Solución de Vigas por Integración Guía de Ejercicios
Profesor Francisco D’Amico D’Agosto
Abril 2003
Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 1
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Solución de Vigas por Integración Guía de Ejercicios 1
A continuación se muestran 6 modelos matemáticos diferentes de vigas
isostáticas; utilizando las relaciones entre carga, cortante y momento determine
para cada viga:
Reacciones en los vínculos.
Ecuaciones que describen a las características de solicitación en todas
las secciones.
Diagrama de fuerza cortante y momento flector.
No se dispone de información acerca de las características del material y de la
sección de las vigas.
Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 2
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 3
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Cálculo de las reacciones:
Por simetría:
4500 4 12 90002 2i jR R kgf⋅
= = ⋅ = ↑
Otra forma, por equilibrio:
1 4500 4 2 4500 40 4 4 4 8 03 2 3 2
90004500 40 2 9000 0
29000
V
Mi Rj
Rj kgf
F Ri
Ri kgf
⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ + + ⋅ − =
⇒ = ↑⋅
= ⇒ − ⋅ + + =
⇒ = ↑
∑
∑
Cálculo de las características de solicitación:
( )
( ) ( ) 2
0 4 (primer segmento)4500 4500 1125 4500
4562,5 4500 9000
x
W x x x
V x W x dx x x
≤ ≤
= − = −
= = − +∫
Ri Rj
Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 4
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( ) ( )( )( )
( )
( ) ( )( ) ( )( )( )
3 2
2
3
187,5 2250 9000
4 0
4 120000 4 (segundo segmento)
4500 11254
562,5
187,5 12000
4 9000
4 0
M x V x dx x x x
V
M mkgfx
W x x x
V x W x dx x
M x V x dx x
V kgf
M
= = − +
=
=
≤ ≤
= − = −
= = −
= = − +
= −
=
∫
∫∫
Diagramas de cortante y momento:
Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 5
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri Rj
Cálculo de las reacciones:
Por equilibrio:
( )
7,50 1 3000 7,50 2000 7,5 5 3000 7,5 7,5 02 3 2
132507,50 5000 2000 3000 13250 02
16000
V
Mi Rj
Rj kgf
F Ri
Ri kgf
⋅= ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − =
⇒ = ↑
= ⇒ − + − + =
⇒ = ↑
∑
∑
Cálculo de las características de solicitación:
( )
( )
( )
( )( )
2
3 2
0 5 (primer segmento)5000 3000 5000 400 5000
5200 5000 16000200 2500 160003
5 4000
5 25833,33
x
W x x x
V x x x
M x x x x
V kgf
M mkgf
≤ ≤−
= − = −
= − +
= − +
= −
=
Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 6
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )( )
( )
( )
2
1
2
0 200 5000 16000 03,7721,23 5 no es solución
3,77 28360,105 (fuerza puntual)
5 3000 4000 7000
5 25833,330 2,50 (segundo segmento)
3000 2000 3000 400 30002,5
20
V x x xx mx m mM mkgfxV kgf
M mkgfx
W x x x
V x
= ⇒ − + =
== >
=
=
= − − = −
=
≤ ≤−
= − = −
=
( )
( )( )
2
3 2
0 3000 7000200 1500 7000 25833,33
32,5 13250
2,5 0
x x
M x x x x
V kgf
M
− −
= − − +
= −
=
Diagramas de cortante y momento:
Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 7
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Cálculo de las reacciones:
Por equilibrio:
( )2 3000 2 1 3000 3 30 2 750 2 3 5 1000 3 5 1,5 1500 8 03 2 3 2 2
5937,53000 2 3000 30 1000 3 1500 5937,5 0
2 26062,5
V
Mi Rj
Rj kgf
F Ri
Ri kgf
⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ − =
⇒ = ↑⋅ ⋅
= ⇒ − − − ⋅ − + =
⇒ = ↑
∑
∑
Cálculo de las características de solicitación:
( )
( )( )( )( )
( )( )
2
3
0 2 (primer segmento)3000 1500
2750 6062,5
250 6062,5
2 3062,5
2 101252 (momento aplicado)
3062,5
750 10125 10875
x
W x x x
V x x
M x x x
V kgf
M mkgfxV x kgf
M x mkgf
≤ ≤
= − = −
= − +
= − +
=
=
=
=
= + =
Ri Rj
Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 8
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )( )( )
2
3 2
2
1
2
0 3 (segundo segmento)3000 3000 1000 3000
3500 3000 3062,5500 1500 3062,5 10875
33 1437,5
3 11062,59
0 500 3000 3062,5 01,34,7 3 no es solución
(1,3) 12
x
W x x x
V x x x
M x x x x
V kgf
M mkgf
V x x xx mx m m
M
≤ ≤
= − = −
= − +
= − + +
= −
=
= ⇒ − + =
⇒ =⇒ = >
=
( )( )( )( )( )
( )( )
2
687,420 1,5 (tercer segmento)
1000
1000 1437,5
500 1437,5 11062,59
1,5 2937,5
1,5 7781,341,5 (fuerza puntual)
1500 2937,5 4435,5
7781,340 1,5 (cuarto
mkgfx
W x
V x x
M x x x
V kgf
M mkgfxV x kgf
M x mkgfx
≤ ≤
= −
= − −
= − − +
= −
=
=
= − − = −
=
≤ ≤
( )( )( )( )( )
2
segmento)1000
1000 4437,5
500 4437,5 7781,34
1,5 5937,5
1,5 0
W x
V x x
M x x x
V kgf
M
= −
= − −
= − − +
= −
=
Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 9
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Diagramas de corte y momento:
Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 10
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Cálculo de las reacciones: Por equilibrio:
( )
1000 2,5 2100 3,50 2000 02 2
69252 1000 2,5 1 2100 3,50 2,5 2,5 1 2000 4,5 3,5 03 2 3 2
29908,33
VF Ri
Ri kgf
Mi Mi
Mi mkgf
⋅ ⋅= ⇒ − − − =
⇒ = ↑
⋅ ⋅ = ⇒ − + ⋅ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ =
⇒ =
∑
∑
Cálculo de las características de solicitación:
( )
( )
( )
( )( )
2
3
0 2,5 (primer segmento)1000 4002,5
200 6925200 6925 29908,333
2,5 5675
2,5 13637,55
x
W x x x
V x x
M x x x
V kgf
M mkgf
≤ ≤
= − = −
= − +
= − + −
=
= −
( )( )( )
0 1 (segundo segmento)0
5675
5675 13637,55
xW x
V x
M x x
≤ ≤
=
=
= −
Ri
Mi
Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 11
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )( )1 5675
1 7962,55
V kgf
M mkgf
=
= −
( )( )
( )( )( )( )( )
( )
( ) 2
1 (fuerza puntual)2000 5675 3675
7962,550 1 (tercer segmento)
0
3675
3675 7962,55
1 3675
1 4287,550 3,5 (cuarto segmento)
2100 2100 600 21003,5
300 2100
xV x
M x mkgfx
W x
V x
M x x
V kgf
M mkgfx
W x x x
V x x x
=
= − + =
= −
≤ ≤
=
=
= −
=
= −
≤ ≤
= − = −
= − +
( )( )( )
3 2
3675
100 1050 3675 4287,55
3,5 0
3,5 0
M x x x x
V
M
= − + −
=
=
Diagramas de corte y momento:
Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 12
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Cálculo de las reacciones: Por equilibrio:
6000 70 02
210002 6000 70 250 300 350 7 03 2
98900
VF Ri
Ri kgf
Mi Mi
Mi mkgf
⋅= ⇒ − =
⇒ = ↑⋅
= ⇒ − + + + + ⋅ ⋅ =
⇒ =
∑
∑
Cálculo de las características de solicitación:
( )
( )( )( )( )
2
3
0 2 (primer segmento)1714,29 857,14
2428,57 21000
142,86 21000 98900
2 19285,72
2 58042,88
x
W x x x
V x x
M x x x
V kgf
M mkgf
≤ ≤
= − = −
= − +
= − + −
=
= −
( )( )
2 (momento aplicado)19285,72
58042,88 250 57792,88
xV x kgf
M x mkgf
=
=
= − + = −
Ri
Mi
Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 13
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )( )( )( )
2
3 2
0 2 (segundo segmento)1714,29 1714,29 857,14 1714,29
2428,57 1714,29 19285,72
142,86 857,15 19285,72 57792,88
2 14142,86
2 23792,87
x
W x x x
V x x x
M x x x x
V kgf
M mkgf
≤ ≤
= − − = − −
= − − +
= − − + −
=
= −
( )( )
2 (momento aplicado)14142,86
23792,87 300 23492,87
xV x kgf
M x mkgf
=
=
= − + = −
( )
( )( )( )( )
2
3 2
0 3 (tercer segmento)2571,43 3428,57 857,14 3428,57
3428,57 3428,57 14142,86
142,86 1714,29 14142,86 23492,87
3 0
3 350,12
x
W x x x
V x x x
M x x x x
V
M mkgf
≤ ≤
= − − = − −
= − − +
= − − + −
=
= −
( )( )
3 (momento aplicado)0
350,12 350 0,12 0
xV x
M x mkgf
=
=
= − + = − ≈
Diagramas de corte y momento:
Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 14
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Cálculo de las reacciones: Por equilibrio:
1,5 3 7500 1000 6 7500 12 9 1000
562500 7500 15 56250 0
56250
izq der
V
Mi Mi Rj
Rj kgfF Ri
Ri kgf
= ⇒ − ⋅ ⋅ + = − ⋅ ⋅ + +
⇒ = ↑
= ⇒ − ⋅ + + =
⇒ = ↑
∑ ∑
∑
Cálculo de las características de solicitación:
( )( )( )( )( )
2
0 3 (primer segmento)7500
7500
3750
3 22500
3 33750
xW x
V x x
M x x
V kgf
M mkgf
≤ ≤
= −
= −
= −
= −
= −
( )( )
3 (momento aplicado + reacción)22500 56250 33750
33750 1000 32750
xV x kgf
M x mkgf
=
= − + =
= − + = −
Ri Rj
Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 15
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )( )( )( )( )( )( )
( )
2
0 9 (segundo segmento)7500
7500 33750
3750 33750 32750
0 7500 33750 0 4,5
4,5 43187,50
9 33750
9 327509 (momento aplicado + reacción)
33750 56250 22500
xW x
V x x
M x x x
V x x x m
M mkgf
V kgf
M mkgfxV x kgf
M
≤ ≤
= −
= − +
= − + −
= ⇒ − + = ⇒ =
=
= −
= −
=
= − + =
( )
( )( )( )( )( )
2
32750 1000 337500 3 (tercer segmento)
7500
7500 22500
3750 22500 33750
3 0
0 0
x mkgfx
W x
V x x
M x x x
V
M
= − − = −
≤ ≤
= −
= − +
= − + −
=
=
Diagramas de corte y momento:
Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 16
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Solución de Vigas por Integración Guía de Ejercicios 2
A continuación se muestran 4 modelos matemáticos diferentes de vigas
hiperestáticas; utilizando las relaciones entre carga, cortante, momento, rotación
y deformación determine para cada viga:
Ecuación general de la carga.
Ecuación general de la fuerza cortante.
Ecuación general del momento flector.
Ecuación general de la deformada (elástica).
Momento flector máximo y distancia a la cual se encuentra.
Deformación máxima y distancia a la cual ocurre.
Todas las vigas poseen la misma sección transversal típica con inercia Ixx = 9600
cm4 en acero estructural con módulo de elasticidad E = 2100000 kgf/cm2.
Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 17
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 18
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri
Mi
Rj
Mj
Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 19
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )( )
2
3 2
4 3 21
1
5 4 3 22
2
4500 45008
4500 4500164500 2250
484500 2250192 3 2
0 0 0
4500 2250960 12 6 2
0 0 0
8 0
8 0
0 288000 32 8
0 6
xx
xx
W x x
V x x x Ri
M x x x Rix Mi
RiEI x x x x Mix C
x x C
Ri MiEI x x x x x C
x x C
x x
x x
Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
δ
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= − + −
= − 14400 85,3 32resolviendo el sistema de ecuaciones resulta:
12600
144004500 80 12600 0 5400
2V
Ri Mi
Ri kgf
Mi mkgf
F Rj Rj kgf
+ −
=
=⋅
= ⇒ − + = ⇒ =∑
Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 20
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( ) [ ]
( ) [ ]2
1 80 14400 8 4500 8 5400 0 96003 2
Ecuación general de la carga:562,50 4500 0,8
Ecuación general de la fuerza cortante:281,25 4500 12600 0,8
Ecuación general del moment
Mi M j M j mkgf
W x x x
V x x x x
= ⇒ − + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + = ⇒ =
= − ∀ ∈
= − + ∀ ∈
∑
( ) [ ]( ) [ ]
( ) [ ]
( )
3 2
4 3 2
5 4 3 2
o flector:93,75 2250 12600 14400 0,8
23,44 750 6300 14400 0,8Ecuación general de la deformada:
4,69 187,5 2100 7200 0,8Máximo momento flector:
0 281
xx
xx
M x x x x x
EI x x x x x x
EI x x x x x x
V x
θ
δ
= − + − ∀ ∈
= − + − ∀ ∈
= − + − ∀ ∈
= ⇒
( )( )
( )
( )
2
1
2
4 3 2
1
2
3
, 25 4500 12600 03,6212,38 8 no es solución
3,62 6174,41
0 14400
0 14400 para 0Máxima deformación:
0 23,44 750 6300 14400 00 empotramiento3,8
x xx mx m m
M mkgf
M mkgf
M M mkgf x
x x x x xxx mx
θ
− + =
⇒ =⇒ = >
=
= −
⇒ = = − =
= ⇒ − + − =
⇒ =⇒ =⇒
( )4
8 empotramiento20,19 8 no es solución
3,8 1,2 para 3,8
mx m m
cm x mδ δ
=
⇒ = >
⇒ = = − =
Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 21
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )( )( )
( )
( )
( )
( )( )( )
2
3 21
1
4 3 22
2
2000
2000
1000
333,32
0 0 0
83,36 2
0 0 0
8 0
8 0
170666,6 32 8
341333,3 85,3 32resolviendo el si
xx
xx
W x
V x x Ri
M x x Rix MiRiEI x x x Mix C
x x C
Ri MiEI x x x x C
x x C
x x
x x
Ri Mi
Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
δ
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= −
= −stema de ecuaciones resulta:
8000
10666,67por simetría 8000
Ri kgf
Mi mkgfRj kgf
=
==
Ri
Mi
Rj
Mj
Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 22
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) 2
por simetría: 10666,67Ecuación general de la carga:
2000 0,8Ecuación general de la fuerza cortante:
2000 8000 0,8Ecuación general del momento flector:
1000 8000 10166,67
M j mkgf
W x x
V x x x
M x x x
=
= − ∀ ∈
= − + ∀ ∈
= − + − [ ]
( ) [ ]
( )
( )( )( )
( ) ( )
4 3 2
0,8Ecuación general de la deformada:
83,33 1333,33 5333,33 0,8Máximo momento flector:
0 2000 8000 04
4 5333,33
0 10666,67
8 10666,67
0 8 10666,67
xx
x
EI x x x x x
V x xx m
M mkgf
M mkgf
M mkgf
M M M mkgf
δ
∀ ∈
= − + − ∀ ∈
= ⇒ − + =
⇒ =
=
= −
=
⇒ = = = −
( )
( )
3 2
1
2
3
para 0 y 8Máxima deformación:
0 333,33 4000 10666,67 00 empotramiento48 empotramiento
4 1,06 para 4
x x
x x x xxx mx m
cm x m
θ
δ δ
= =
= ⇒ − + − =
⇒ =⇒ =⇒ =
⇒ = = − =
Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 23
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( )( )
2
3 2
4 3 21
1
5 4 3 22
2
400 5000
200 5000200 25003
200 250012 3 2
0 0 0
200 250060 12 6 2
0 0 0
7,5 0
7,5 0
298828,13 28,13 7,5
580078
xx
xx
W x x
V x x x Ri
M x x x Rix Mi
RiEI x x x x Mix C
x x C
Ri MiEI x x x x x C
x x C
x x
x x
Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
δ
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= −
,12 70,31 28,13resolviendo el sistema de ecuaciones resulta:
15363,19
17778,44
Ri Mi
Ri kgf
Mi mkgf
= −
=
=
Ri
Mi
Rj
Mj
Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 24
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( ) [ ]
( ) [ ]
( )
2
3 2
Ecuación general de la carga:400 5000 0;7,5
Ecuación general de la fuerza cortante:200 5000 15363,19 0;7,5
Ecuación general del momento flector:66,67 2500 15363,19 17778,44
W x x x
V x x x x
M x x x x
= − ∀ ∈
= − + ∀ ∈
= − + − [ ]
( ) [ ]
( )
( )
5 4 3 2
2
1
2
0;7,5Ecuación general de la deformada:
3,33 208,33 2560,53 8889,22 0;7,5Máximo momento flector:
0 200 5000 15363,19 03,5921,41 7,5 no es solución
3,59 8239,88
xx
x
EI x x x x x x
V x x xx mx m m
M m
δ
∀ ∈
= − + − ∀ ∈
= ⇒ − + =
⇒ =⇒ = >
=
( )( )
( ) 4 3 2
1
2
3
4
0 17778,44
0 17778,44 para 0Máxima deformación:
0 16,67 833,33 7681,60 17778,44 00 empotramiento3,667,5 empotramiento38,83 7,5 no es solución
kgf
M mkgf
M M mkgf x
x x x x xxx mx mx m m
θ
δ
= −
⇒ = = − =
= ⇒ − + − =
⇒ =⇒ =⇒ =⇒ = >
⇒ = ( )3,66 1,43 para 3,66cm x mδ = − =
Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 25
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )( )
2
3
4 21
1
5 3 22
2
60007
6000146000
426000168 2
0 0 0
6000840 6 2
0 0 0
7 0
7 0
49000 7
120050 57,16 24,5resolviendo e
xx
xx
W x x
V x x Ri
M x x Rix Mi
RiEI x x x Mix C
x x C
Ri MiEI x x x x C
x x C
x M x
x x
Ri Mi
Ri Mi
θ
θ
δ
δ
δ
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= −
= −l sistema de ecuaciones resulta:
9450
17150
Ri kgf
Mi mkgf
=
=
Ri
Mi
Rj
Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 26
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) [ ]
2
3
Ecuación general de la carga:6000 0,7
7Ecuación general de la fuerza cortante:
6000 9450 0,714
Ecuación general del momento flector:6000 9450 17150 0,7
42Ecuación general
W x x x
V x x x
M x x x x
= − ∀ ∈
= − + ∀ ∈
= − + − ∀ ∈
( ) [ ]
( )
( )( )
( )
5 3 2
2
1
2
de la deformada:6000 9450 17150 0,7840 6 2
Máximo momento flector:60000 9450 014
4,74,7 0 no es solución
4,7 12433,18
0 17150
0 17150 para 0Máxi
xxEI x x x x x
V x x
x mx m
M mkgf
M mkgf
M M mkgf x
δ = − + − ∀ ∈
= ⇒ − + =
⇒ =⇒ = − <
=
= −
⇒ = = − =
( )
( )
4 2
1
2
3
4
ma deformación:0 35,71 4725 17150 00 empotramiento4,188,83 7 no es solución
13,01 0 no es solución
4,18 2,18 para 4,18
x x x xxx mx m mx m
cm x m
θ
δ δ
= ⇒ − + − =
⇒ =⇒ =⇒ = >⇒ = − <
⇒ = = − =
Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 27
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Solución de Vigas por Integración Guía de Ejercicios 3
A continuación se muestran 4 modelos matemáticos diferentes de vigas
hiperestáticas y 6 de vigas isostáticas; utilizando las relaciones entre carga,
cortante, momento, rotación y deformación determine para cada viga:
La rotación en las secciones I, J, A y B.
El desplazamiento vertical en las secciones I, J, A y B.
Todas las vigas poseen la misma sección transversal típica con inercia Ixx =
10000 cm4 en acero estructural con módulo de elasticidad E = 2100000 kgf/cm2.
Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 28
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 29
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
21
1
3 22
2
Tramo (I-J) 0 50
(1) 2
0 0 0
(2) 6 2
0 0 0condiciones en la frontera:
5
5 5255 52
xx
xx
xx
xW x
V x Ri
M x Rix MiRiEI x x Mix C
x x C
Ri MiEI x x x C
x x C
V Ri
M Ri Mi
EI Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
≤ ≤
=
= −
= − +
= − + +
= ⇒ = ⇒ =
= − + +
= ⇒ = ⇒ =
= −
= − +
= − +
( )( )( ) 2
Articulación J (condiciones en la frontera)
5Voladizo (J-A) 0 2
1000
(3) 1000
(4) 500 5
Vj Ri Rj
Mj Ri Mix
W x
V x x Ri Rj
M x x Rix Rjx Ri Mi
= − +
= − +≤ ≤
= −
= − − +
= − − + − +
Ri
Mi
Rj
Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 30
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )( ) ( )
( )
3 2 23
4 3 3 2 23 4
4
3 3
500(5) 53 2 2
500 5(6) 12 6 6 2 2
0 0 0
con (1) y (5): 5 025 255 5 0 (I)2 2
de (2) 5
xx
xx
tramo voladizoxx xx
Ri RjEI x x x x Rix Mix C
Ri Rj MiEI x x x x Rix x C x C
x x C
EI EI
Ri Mi C Ri Mi C
θ
δ
δ
θ θ
δ
= − − + − + +
= − − + − + + +
= ⇒ = ⇒ =
=
− + = ⇒ − + − =
=
( )( )
125 250 0 (II)6 2
de (3) 2 0 2000 0 2000 (III)
de (4) 2 0 2000 7 2 0 7 2 2000 (IV)formando sistema con I, II, III y IV:
25 0 5 12
125 250 06 21 1 0 07 2 1 0
Ri Mi
V Ri Rj Ri Rj
M Ri Rj Mi Ri Rj Mi
⇒ − + =
= ⇒ − − + = ⇒ − + =
= ⇒ − − + + = ⇒ − + + =
− −− −−
( )( )
23 3
600026000
2000 10002000 2500
Nodo I: de ecuación (1) 0 0
de ecuación (2) 0 0
Nodo B: de ec
Ri Ri kgfRj Rj kgf
Mi Mi mkgfC C kgfm
θ
δ
= = ⋅ = =
= −
=
=
( )( )( )( )( )
4
4
3
uación (1) 2,5 2,976 10
de ecuación (2) 2,5 7, 440 10
Nodo J: de ecuación (5) 0 1,190 10
de ecuación (6) 0 0
Nodo A: de ecuación (5) 2 1,82
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
θ
−
−
−
= ⋅
= ⋅
= − ⋅
=
= −
( )
3
3
5 10
de ecuación (6) 2 3,333 10
rad
mδ
−
−
⋅
= − ⋅
Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 31
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
21
1
3 22
2
Tramo (I-J) 0 50
(1) 2
0 0 0
(2) 6 2
0 0 0condiciones en la frontera:
5
5 5255 52
xx
xx
xx
xW x
V x Ri
M x Rix MiRiEI x x Mix C
x x C
Ri MiEI x x x C
x x C
V Ri
M Ri Mi
EI Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
≤ ≤
=
= −
= − +
= − + +
= ⇒ = ⇒ =
= − + +
= ⇒ = ⇒ =
= −
= − +
= − +
( )( )
( )
2
3
Articulación J (condiciones en la frontera)
5Voladizo (J-A) 0 2
500
(3) 250250(4) 5
3
Vj Ri Rj
Mj Ri Mix
W x x
V x x Ri Rj
M x x Rix Rjx Ri Mi
= − +
= − +≤ ≤
= −
= − − +
= − − + − +
Ri
Mi
Rj
Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 32
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )( ) ( )
( )
4 2 23
5 3 3 2 23 4
4
3 3
250(5) 512 2 2250 5(6) 60 6 6 2 2
0 0 0
con (1) y (5): 5 025 255 5 0 (I)2 2
de (2) 5
xx
xx
tramo voladizoxx xx
Ri RjEI x x x x Rix Mix C
Ri Rj MiEI x x x x Rix x C x C
x x C
EI EI
Ri Mi C Ri Mi C
θ
δ
δ
θ θ
δ
= − − + − + +
= − − + − + + +
= ⇒ = ⇒ =
=
− + = ⇒ − + − =
( )
( )
125 250 0 (II)6 2
de (3) 2 0 1000 0 1000 (III)2000 2000de (4) 2 0 7 2 0 7 2 (IV)
3 3formando sistema con I, II, III y IV:
25 0 5 12
125 250 06 21 1 0 07 2 1 0
Ri Mi
V Ri Rj Ri Rj
M Ri Rj Mi Ri Rj Mi
= ⇒ − + =
= ⇒ − − + = ⇒ − + =
= ⇒ − − + + = ⇒ − + + =
− −−
−−
( )( )
23 3
0 4000 1400
1000666,67
20001666,67
3
Nodo I: de ecuación (1) 0 0
de ecuación (2) 0 0
No
Ri Ri kgfRj Rj kgf
Mi Mi mkgfC C kgfm
θ
δ
= = ⋅ = = = − =
=
( )( )( )( )
4
4
4
do B: de ecuación (1) 2,5 1,984 10
de ecuación (2) 2,5 4,960 10
Nodo J: de ecuación (5) 0 7,937 10
de ecuación (6) 0 0
Nodo A: de ecuación (
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
−
−
−
= ⋅
= ⋅
= − ⋅
=
( )( )
3
3
5) 2 1,270 10
de ecuación (6) 2 2,286 10
rad
m
θ
δ
−
−
= − ⋅
= − ⋅
Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 33
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )( )( )
( )( )
2
Por simetría: 1000Voladizo izquierdo 0 1
1000
1000
500condiciones en la frontera:
1 1000
1 500Articulación I condiciones en la frontera:
1000 1000 0500
Tr
Ri Rj kgfx
W x
V x x
M x x
V kgf
M mkgf
ViMi mkgf
= =≤ ≤
= −
= −
= −
= −
= −
= − + == −
( )( )( )
( )( )( )( )
1
21 2
2
2 21 1
amo (I-J) 0 50
0
500
(1) 500
(2) 250
0 0 0
5 0 250 5 5 1250
xx
xx
xW x
V x Vi
M x
EI x x C
EI x x C x C
x x C
x x C C kgfm
θ
δ
δ
δ
≤ ≤
=
= =
= −
= − +
= − + +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ − ⋅ + ⇒ =
Ri Rj
Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 34
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )( )( )( )( )( )
4
4
4
Nodo I: de (1) 0 5,952 10
de (2) 0 0
Nodo B: de (1) 2,5 0
de (2) 2,5 7,440 10
Nodo J: de (1) 5 5,952 10
de (2) 5 0Articu
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
θ
δ
−
−
−
= ⋅
=
=
= ⋅
= − ⋅
=
( )( )( )
( )
( )
2
3 23
4 3 23 4
lación J condiciones en la frontera1000
500Voladizo derecho 0 1
1000
1000 1000
500 1000 500500(3) 500 500
3500 500(4) 25012 3
xx
xx
Vj kgfMj mkgf
xW x
V x x
M x x x
EI x x x x C
EI x x x x C x C
x
θ
δ
== −
≤ ≤
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= − + − + +
= ( )( ) ( )
( )( )
4
3
23
4
4
0 0 0
con (1) y (3): 5 0500 5 1250
1250
Nodo A: de (3) 1 6,746 10
de (4) 1 6,548 10
tramo voladizo derechoxx xx
x C
EI EIC
C kgfmrad
m
δ
θ θ
θ
δ
−
−
⇒ = ⇒ =
=
⇒ − ⋅ + =
⇒ = −
= − ⋅
= − ⋅
Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 35
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )( )
( )
( )( )
2
3
Por simetría: 500Voladizo izquierdo 0 1
1000 1000
500 1000500 500
3condiciones en la frontera:
1 500
1 333,33Articulación I condiciones en la frontera:
500 500
Ri Rj kgfx
W x x
V x x x
M x x x
V kgf
M mkgf
Vi
= =≤ ≤
= −
= −
= −
= −
= −
= − + =
( )( )( )
( )( )( )( )
1
21 2
2
2 21 1
0333,33
Tramo (I-J) 0 50
0
333,33
(1) 333,33
(2) 166,67
0 0 0
5 0 166,67 5 5 833,33
xx
xx
Mi mkgfx
W x
V x Vi
M x
EI x x C
EI x x C x C
x x C
x x C C kgfm
θ
δ
δ
δ
= −≤ ≤
=
= =
= −
= − +
= − + +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ − ⋅ + ⇒ =
Ri Rj
Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 36
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )( )( )( )( )( )
4
4
4
Nodo I: de (1) 0 3,968 10
de (2) 0 0
Nodo B: de (1) 2,5 0
de (2) 2,5 4,960 10
Nodo J: de (1) 5 3,968 10
de (2) 5 0Articu
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
θ
δ
−
−
−
= ⋅
=
=
= ⋅
= − ⋅
=
( )( )
( )
( )
( )
2
3
4 23
5 3
lación J condiciones en la frontera500
333,33Voladizo derecho 0 1
1000
500 500500 500 333,33
3500(3) 250 333,3312500 500(4) 166,660 3
xx
xx
Vj kgfMj mkgf
xW x x
V x x
M x x x
EI x x x x C
EI x x x
θ
δ
== −
≤ ≤
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= − + −
( )( ) ( )
( )( )
23 4
4
3
23
4
4
7
0 0 0
con (1) y (3): 5 0333,33 5 833,33
833,33
Nodo A: de (3) 1 4,563 10
de (4) 1 4,405 10
tramo voladizo derechoxx xx
x C x C
x x C
EI EIC
C kgfmrad
m
δ
θ θ
θ
δ
−
−
+ +
= ⇒ = ⇒ =
=
⇒ − ⋅ + =
⇒ = −
= − ⋅
= − ⋅
Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 37
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )( )( )
5 20 1000 5 5 1666,672 3
50 1000 1666,67 0 833,332
Voladizo izquierdo 0 10
0
0Articulación I condiciones en la frontera
833,330
Tramo
izquierda derecha
V
Mi Mi
Rj Rj kgf
F Ri Ri kgf
xW x
V x
M x
Vi kgfMi
=
= − ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒ =
= ⇒ − ⋅ + + = ⇒ =
≤ ≤
=
=
=
==
∑ ∑
∑
( )( )
( )
( )( )
( )( )( )( )
2
3
4 21
5 31 2
2
5 3 21 1
0 5200
100 833,33100 833,33
35 1666,67
5 0
(1) 8,33 416,67
(2) 1,67 138,89
0 0 0
5 0 1,67 5 138,89 5 5 0 2430,56
xx
xx
xW x x
V x x
M x x x
V kgf
M
EI x x x C
EI x x x C x C
x x C
x x C C kgfm
θ
δ
δ
δ
≤ ≤
= −
= − +
= − +
= −
=
= − + +
= − + + +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ − ⋅ + ⋅ + = ⇒ = −
Ri Rj
Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 38
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )( )( )( )( )
3
5
3
3
Nodo I: de (1) 0 1,157 10
de (2) 0 0
Nodo B: de (1) 2,5 7,234 10
de (2) 2,5 1,938 10
Nodo J: de (1) 5 1,323 10
de (2
rad
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
θ
−
−
−
−
= − ⋅
=
= − ⋅
= − ⋅
= ⋅
( )
( )( )( )
( )( )( )
( ) ( )
3
3 4
4
4 23 3
) 5 0Voladizo derecho 0 1
0
1666,67 1666,67 0
0
(3)
(4)
0 0 0
con (1) y (3): 5 0
8,33 5 416,67 5 2430,56 2777,78
xx
xx
tramo voladizo derechoxx xx
xW x
V x
M x
EI x C
EI x C x C
x x C
EI EI
C C
δ
θ
δ
δ
θ θ
=
≤ ≤
=
= − + =
=
=
= +
= ⇒ = ⇒ =
=
⇒ − ⋅ + ⋅ − = ⇒ =
( )( )
2
3
3
Nodo A: de (3) 0 1,323 10
de (4) 1 1,323 10
kgfmrad
m
θ
δ
−
−
= ⋅
= ⋅
Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 39
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri
Mi
Rj
( )( )( )
( )
( )
( )
( )( )
2
3 21
1
4 3 22
2
Tramo 0 51000
(1) 1000
(2) 500500(3)
3 20 0 0
500(4) 12 6 2
0 0 0
de (4): 5 0 26041,67 20,83 12,5 0
xx
xx
xW x
V x x Ri
M x x Rix MiRiEI x x x Mix C
x x C
Ri MiEI x x x x C
x x C
x x Ri Mi
θ
θ
δ
δ
δ
≤ ≤
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ − + − =
( )
( )
(I)
de (2): 5 0 12500 5 0 (II)formando sistema con ecuaciones I y II:
312520,83 12,5 26041,675 1 12500 3125
condiciones en la frontera:5 5000 3125 1
x M x Ri Mi
Ri Ri kgf
Mi Mi mkgf
V
= ⇒ = ⇒ − + − =
= − ⋅ = ⇒ − =
= − + = −
( )875
5 12500 5 3125 3125 0
0 1000 5 3125 0 1875V
kgf
M
F Rj Rj kgf
= − + ⋅ − =
= ⇒ − ⋅ + + = ⇒ =∑
Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 40
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )( )( )
( )( )( )
( ) ( )
3
3 4
4
3
Articulación J condiciones en la frontera:1875 1875 00
Voladizo 0 20
0
0
(5)
(6)
0 0 0
con (3) y (5): 5 0500 35
3
xx
xx
tramo voladizo derechoxx xx
VjMj
xW x
V x
M x
EI x C
EI x C x C
x x C
EI EI
θ
δ
δ
θ θ
= − + ==
≤ ≤
=
=
=
=
= +
= ⇒ = ⇒ =
=
⇒ − ⋅ +
( )( )( )( )( )
2 23 3
4
3
125 5 3125 5 2604,162
Nodo I: de (3): 0 0
de (4): 0 0
Nodo B: de (3): 2,5 3,100 10
de (4): 2,5 1,550 10
Nodo J: de (3): 5 1, 240 10
C C kgfm
rad
m
θ
δ
θ
δ
θ
−
−
⋅ − ⋅ = ⇒ =
=
=
= − ⋅
= − ⋅
= ⋅
( )( )( )
3
3
3
de (4): 5 0
Nodo A: de (5): 2 1, 240 10
de (6): 2 2, 480 10
rad
rad
m
δ
θ
δ
−
−
−
=
= ⋅
= ⋅
Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 41
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Mi
Ri Rj
( )( )( )
( )
( )
( )
( )( )
2
3 2
4 3 21
1
5 4 3 22
2
Tramo 0 5200 1000
(1) 100 1000
(2) 33,3 500
(3) 8,3 166,62
0 0 0
(4) 1,6 41,66 2
0 0 0
de (4): 5
xx
xx
xW x x
V x x x Ri
M x x x Rix MiRiEI x x x x Mix C
x x C
Ri MiEI x x x x x C
x x C
x x
θ
θ
δ
δ
δ
≤ ≤
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒
( )0 20833,3 20,83 12,5 0 (I)
de (2): 5 0 8333,3 5 0 (II)formando sistema con ecuaciones I y II:
200020,83 12,5 20833,35 1 1666,678333,3
cond
Ri Mi
x M x Ri Mi
Ri Ri kgf
Mi Mi mkgf
= ⇒ − + − =
= ⇒ = ⇒ − + − =
= − ⋅ = ⇒ − =
( )( )
iciones en la frontera:5 2500 2000 500
5 8333,3 5 2000 1666,67 0
0 2500 2000 0 500V
V kgf
M
F Rj Rj kgf
= − + = −
= − + ⋅ − =
= ⇒ − + + = ⇒ =∑
Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 42
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )( )( )
( )( )( )
( ) ( )
3
3 4
4
3
Articulación J condiciones en la frontera:500 500 00
Voladizo 0 20
0
0
(5)
(6)
0 0 0
con (3) y (5): 5 0
1041,6
xx
xx
tramo voladizo derechoxx xx
VjMj
xW x
V x
M x
EI x C
EI x C x C
x x C
EI EI
C kg
θ
δ
δ
θ θ
= − + ==
≤ ≤
=
=
=
=
= +
= ⇒ = ⇒ =
=
⇒ =
( )( )( )( )( )
2
5
4
4
Nodo I: de (3): 0 0
de (4): 0 0
Nodo B: de (3): 2,5 9,301 10
de (4): 2,5 6,975 10
Nodo J: de (3): 5 4,960 10
de (4):
fm
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
θ
−
−
−
=
=
= − ⋅
= − ⋅
= ⋅
( )( )( )
4
4
5 0
Nodo A: de (5): 2 4,960 10
de (6): 2 9,921 10
rad
m
δ
θ
δ
−
−
=
= ⋅
= ⋅
Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 43
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri Rj
( )( )( )
( )( )
2
3
1 11 1000 5 33,33 2
10 1000 33,3 0 533,32
Voladizo izquierdo 0 11000
500
166,6condiciones en la frontera:
1 500
1 166,6Art
izquierda derecha
V
Mi Mi
Rj Rj kgf
F Ri Ri kgf
xW x x
V x x
M x x
V kgf
M mkgf
=
− ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ =
= ⇒ − ⋅ − + = ⇒ =
≤ ≤
= −
= −
= −
= −
= −
∑ ∑
∑
( )( )( )
( )( )( )
21
3 21 2
2
iculación I condiciones en la frontera:
500 533,3 33,3
166,6Tramo 0 5
0
33,3
33,3 166,6
(1) 16,6 166,6
(2) 5,5 83,3
0 0 0
xx
xx
Vi kgf
Mi mkgfx
W x
V x
M x x
EI x x x C
EI x x x C x C
x x C
θ
δ
δ
= − + =
= −≤ ≤
=
=
= −
= − +
= − + +
= ⇒ = ⇒ =
Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 44
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )( )
( )( )( )
( )
3 2 21 15 0 5,5 5 83,3 5 5 0 277,7
condiciones en la frontera:
5 33,3
5 0Articulación J condiciones en la frontera:
33,3 33,3 00
Voladizo derecho 0 10
0
0
(3) xx
x x C C kgfm
V kgf
M
VjMj
xW x
V x
M x
EI x
δ
θ
= ⇒ = ⇒ ⋅ − ⋅ + = ⇒ =
=
=
= − ==
≤ ≤
=
=
=
( )( )
( ) ( )
( )( )( )
3
3 4
4
23
4
5
(4)
0 0 0
con (1) y (3): 5 0
138,8
Nodo I de(1): 0 1,323 10
de(2): 0 0
Nodo B de(1): 2,5 1,653 10
xx
tramo voladizo derechoxx xx
C
EI x C x C
x x C
EI EI
C kgfmrad
rad
δ
δ
θ θ
θ
δ
θ
−
−
=
= +
= ⇒ = ⇒ =
=
⇒ = −
= ⋅
=
= − ⋅
( )( )( )( )( )
4
5
5
5
de(2): 2,5 1,241 10
Nodo J de(1): 5 6,614 10
de(2): 5 0
Nodo A de(3): 1 6,614 10
de(4): 1 6,614 10
m
rad
rad
m
δ
θ
δ
θ
δ
−
−
−
−
= ⋅
= − ⋅
=
= ⋅
= − ⋅
Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 45
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri Rj
( )( )( )
( )( )( )( )
2
3 21
4 31 2
2
21
Por simetría: 2500Tramo 0 5
1000
1000 2500
500 2500
(1) 166,6 1250
(2) 41,6 416,6
0 0 0
5 0 5208,3
Nodo I de (1
xx
xx
Ri Rj kgfx
W x
V x x
M x x x
EI x x x C
EI x x x C x C
x x C
x x C kgfm
θ
δ
δ
δ
= =≤ ≤
= −
= − +
= − +
= − + +
= − + + +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ = −
( )( )( )( )( )( )
3
3
3
): 0 2, 480 10
de (2): 0 0
Nodo B de (1): 2,5 0
de (2): 2,5 3,875 10
Nodo J de (1): 5 2, 480 10
de (2): 5 0condiciones en la f
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
θ
δ
−
−
−
= − ⋅
=
=
= − ⋅
= ⋅
=
( )( )
rontera:5 2500
5 0
V kgf
M
= −
=
Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 46
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )( )( )
( )( )( )
( ) ( )
3
3 4
4
4
Articulación J condiciones en la frontera:2500 2500 00
Voladizo derecho 0 10
0
0
(3)
(4)
0 0 0
con (1) y (3): 5 0
xx
xx
tramo voladizo derechoxx xx
VjMj
xW x
V x
M x
EI x C
EI x C x C
x x C
EI EI
C
θ
δ
δ
θ θ
= − + ==
≤ ≤
=
=
=
=
= +
= ⇒ = ⇒ =
=
⇒
( )( )
2
3
3
5208,3
Nodo A de (3): 1 2,480 10
de (4): 1 2,480 10
kgfmrad
m
θ
δ
−
−
=
= ⋅
= ⋅
Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 47
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri Rj
( )( )( )
( )( )
2
3 2
4 3 21
5 4 3
Por simetría: 1250Tramo-segmento (I-B) 0 2,5
400 1000
(1) 200 1000 1250
(2) 66,6 500 1250
(3) 16,6 166,6 625
(4) 3,3 41,6 208,3xx
xx
Ri Rj kgfx
W x x
V x x x
M x x x x
EI x x x x C
EI x x x x C
θ
δ
= =≤ ≤
= −
= − +
= − +
= − + +
= − + +
( )( )( )
( )( )( )
( )( )
1 2
2
2
3
43
5
0 0 0
de (1): 2,5 0
de (2): 2,5 1041,6Tramo-segmento (B-J) 0 2,5
400
(5) 200
(6) 66,6 1041,6
(7) 16,6 1041,6
(8) 3,3 520,83xx
xx
x C
x x C
V
M mkgfx
W x x
V x x
M x x
EI x x x C
EI x x x
δ
θ
δ
+
= ⇒ = ⇒ =
=
=
≤ ≤
= −
= −
= − +
= − + +
= − +
( ) ( )
( ) ( )
23 4
( ) ( )
4 3 21 3
( ) ( )
5 4 31 4
con (3) y (7): 2,5 0
16,6 2,5 166,6 2,5 625 2,5 (I)
con (4) y (8): 2,5 0
3,3 2,5 41,6 2,5 208,3 2,5 2,5 (II)
I B B Jxx xx
I B B Jxx xx
C x C
EI EI
C C
EI EI
C C
θ θ
δ δ
− −
− −
+ +
=
⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ + =
=
⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ + =
Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 48
Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )5 2
21 1
3 3
4
de (8): 2,5 0
3,3 2,5 520,83 2,5 2,5 3 4 0 (III)formando sistema con I, II y III:
1 1 0 1953,125 1953,1252,5 0 1 1953,125 00 2,5 1 2929,6875
xxEI
C C
C C kgfmC CC C
δ =
⇒ − ⋅ + ⋅ + + =
− − = − − ⋅ = − ⇒ = −
( )( )( )( )( )
24
4
3
4
2929,6875
Nodo I de (3): 0 9,301 10
de (4): 0 0
Nodo B de (3): 2,5 0
de (4): 2,5 1,395 10
Nodo J de (7): 2,5 9,301 10
kgfm
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
θ
−
−
−
= −
= − ⋅
=
=
= − ⋅
= ⋅
( )
( )( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )
5
5 6
6
( )
25
de (8): 2,5 0Voladizo derecho 0 1
0
0
0
(9)
(10)
0 0 0
con (7) y (9): 2,5 0
1953,125
Nodo A de (9): 1 9,301 10
xx
xx
B J voladizo derechoxx xx
xW x
V x
M x
EI x C
EI x C x C
x x C
EI EI
C kgfm
δ
θ
δ
δ
θ θ
θ
−
=
≤ ≤
=
=
=
=
= +
= ⇒ = ⇒ =
=
⇒ =
= ⋅
( )
4
4 de (10): 1 9,301 10
rad
mδ
−
−= ⋅