departamento de ciencias exactas ola ´ ´ deber de metodos numericos integrantes

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS ola

DEBER DE METODOS NUMERICOS

INTEGRANTES:Jefferson Yaguana

Chimbo

NRC: 4577

Ingeniero:Fabian Ordonez

Resolver los ejercicios planteados

1. Conocida la funcion f(x)=x2−10x+23, halle un intervalo [a, b] donde f(a)*f(b)tenga signo negativo, realice como prueba de escritorio las tres primeras ite-raciones y encuentre mediante el metodo de la biseccion sus raıces.

-Iteraciones a mano

Intervalo=[6, 7]f(6) = 62 − 10(6) + 23 = −1f(7) = 72 − 10(7) + 23 = 2

f(6) ∗ f(7) = −2c1 = 6+7

2= 6,5

Intervalo=[6, 6,5]f(6,5) = 0,25

f(6) ∗ f(6,5) = −0,25c2 = 6+6,5

2= 6,25

Intervalo=[6,25, 6,5]f(6,25) = −0,4375

f(6,25) ∗ f(6,5) = −0,1094c3 = 6,25+6,5

2= 6,375

1

*CODIGO DEL PROGRAMA:

function ecu1_bis()

f=@(x)(x^2-10*x+23);

delta=sqrt(eps);

for i=1:2

if i==1

a=3;

p=3;

b=4;

r=4;

n=0;

else

a=6;

p=6;

b=7;

r=7;

n=0;

end

if f(a)*f(b) > 0

disp(’No hay raz’)

return

end

n=0;

while abs(a - b) > delta

if f(a)*f(b)<0

c=(a+b)/2;

else f(c)==0

fprintf(’La raiz es: %.4f’,c);

return

end

if f(a)*f(c)<0

b=c;

else

a=c;

end

n=n+1;

end

fprintf(’La raiz en el intervalo %d, %d es: %.4f’,p,r,c);

fprintf(’\n’);

fprintf(’El numero de iteraciones fueron: %d’,n);

fprintf(’\n’);

end

2

*EJECUCION DEL PROGRAMA:

>> ecu1_bis

La raiz en el intervalo 3, 4 es: 3.5858

El numero de iteraciones fueron: 26

La raiz en el intervalo 6, 7 es: 6.4142

El numero de iteraciones fueron: 26

2. Encontrar mediante el metodo de la biseccion las raıces de la funcion

√5cos(x) = sin(x)

en el intervalo de [0, 2π], con una tolerancia de√eps

Como podemos observar en el grafico en el intervalo propuesto en el ejercicio hay variasraıces por lo cual hemos procedido a dividir el intervalo para encontrar sus raıces.

-Iteraciones a mano

Intervalo=[0, π]f(0) =

√5cos(0)− sin(0) =

√5

f(π) =√

5cos(π)− sin(π) = −√

5f(0) ∗ f(π) = −5c1 = 0+π

2= π

2

Intervalo=[0, π2]

f(π2) = −1

f(0) ∗ f(π2) = −

√5

c2 =0+π

2

2= π

4

3

Intervalo=[π4, π2]

f(π4) = 0,8740

f(π4) ∗ f(π

2) = −0,8740

c3 =π4+π

2

2= 3π

8

Intervalo=[4, 2π]f(4) =

√5cos(4)− sin(4) = −0,7047

f(2π) =√

5cos(2π)− sin(2π) =√

5f(4) ∗ f(2π) = −1,5757c1 = 4+2π

2= 2 + π

Intervalo=[4, 2 + π]f(2 + π) = 1,8398

f(4) ∗ f(2 + π) = −1,2965c2 = 4+2+π

2= 3 + π

2

Intervalo=[4, 3 + π2]

f(3 + π2) = 0,6747

f(4) ∗ f(3 + π2) = −0,4752

c3 =4+3+π

2

2= 4,2854


function ejercicio2()

f=@(x)(sqrt(5)*cos(x)-sin(x));

for i=1:2

if i==1

a=0;

b=pi;

fprintf(’Intervalo [%d,pi]’,a);

else

a=4;

b=2*pi;

fprintf(’Intervalo [%d,2pi]’,a);

end

if f(a)*f(b)>0

disp(’No hay raiz’);

return

end

n=0;

while abs(a-b)>sqrt(eps)

if f(a)*f(b)<0

c=(a+b)/2;

else f(c)==0;

x=c;

return

4

end

if f(a)*f(c)<0

b=c;

else

a=c;

end

n=n+1;

end

raiz=c

n

end


>> ejercicio2

Intervalo [0,pi]

raiz =

1.1503

n =

28

Intervalo [4,2pi]

raiz =

4.2919

n =

28

5

3. Utilizando el metodo de la biseccion para f(x) = 1x−2

, determine la raız al ana-lizar en el intervalo [3, 7] y en [1, 7].

-Iteraciones a mano

Intervalo=[3, 7]f(3) = 1

3−2= 1

f(7) = 17−2

= 0,2f(3) ∗ f(7) = 0,2

No existe raız debido a que no hay cambio de signo en el intervalo como lo podemostambien apreciar en la grafica.

Intervalo=[1, 7]f(1) = 1

1−2= −1

f(7) = 17−2

= 0,2f(3) ∗ f(7) = −0,2

El cambio de signo se debe a una asıntota existente en x=2, por lo cual no existe raız eneste intervalo y se puede comprobar mediante la grafica

6


function ecu3_bis()

f=@(x)(1/(x-2));

delta=sqrt(eps);

a=3;

b=7;

n=0;

if f(a)*f(b) > 0


return

end


if f(a)*f(b)<0

c=(a+b)/2;

else f(c)==0

fprintf(’La raiz es: %.4f’,c);

return

end

if f(a)*f(c)<0

b=c;

else

a=c;

end

n=n+1;

end

fprintf(’La raiz en el intervalo %d , %d es %.4f’,a,b,c);

fprintf(’\n’);

fprintf(’El numero de iteraciones fueron: %d’,n);

fprintf(’\n’);


>> ecu3_bis

No hay raz

7

4. Considere la funciıon f(x) = cosh(x) + cos(x)− 7α, con α = 1; 2; 3 : Encuentre unintervalo que contenga un cero de f para cada valor de α y calcule dicho cerocon el metodo de la biseccion.

-Iteraciones a mano

Para α = 1f(x) = cosh(x) + cos(x)− 7

Intervalo=[2,4]f(2) = −3,65f(4) = 19,65

f(2) ∗ f(4) = −71,7225c1 = 2+4

2= 3

Intervalo=[2,3]f(3) = 2,07

f(2) ∗ f(3) = −7,5555c2 = 2+3

2= 2,5

Intervalo=[2.5,3]f(2,5) = −1,67

f(2,5) ∗ f(3) = −3,4569c3 = 2,5+3

2= 2,75


8

Intervalo=[2,4]f(2) = −10,65f(4) = 12,65

f(2) ∗ f(4) = −134,7225c1 = 2+4

2= 3

Intervalo=[3,4]f(3) = −4,92

f(3) ∗ f(4) = −62,238c2 = 3+4

2= 3,5

Intervalo=[3,3.5]f(3,5) = 1,63

f(3) ∗ f(3,5) = −8,0196c3 = 3+3,5

2= 3,25


Intervalo=[2,4]f(2) = −17,65f(4) = 5,65

f(2) ∗ f(4) = −99,7225c1 = 2+4

2= 3

Intervalo=[3,4]f(3) = −11,92

f(3) ∗ f(4) = −67,348c2 = 3+4

2= 3,5

Intervalo=[3.5,4]f(3,5) = −5,36

f(3,5) ∗ f(4) = −30,284c3 = 3,5+4

2= 3,75

Como podemos observar para los 3 casos el intervalo es [2,4] ası que ese es el intervaloque buscabamos

9



for i=1:3

a=2;

b=4;

if i==1

fprintf(’Para alpha=%d en el Intervalo [%d,%d]’,i,a,b);

f=@(x)(cosh(x)+cos(x)-7);

end

if i==2



end

if i==3



end

if f(a)*f(b)>0

disp(’No hay raiz’);

return

end

n=0;

while abs(a-b)>sqrt(eps)

if f(a)*f(b)<0

c=(a+b)/2;

else f(c)==0;

x=c;

return

end

if f(a)*f(c)<0

b=c;

else

a=c;

end

n=n+1;

end

raiz=c

n

end

10


>> ejercicio4

Para alpha=1 en el Intervalo [2,4]

raiz =

2.7595

n =

27


raiz =

3.3979

n =

27


raiz =

3.7748

n =

27

5. Un objeto est situado en un plano cuya pendiente varıa a una tasa constantew. La posicion del objeto, al instante t; est dada por la formula:

s(w, t) = g2∗w2 ∗ (sinh(wt)− sin(wt))

donde g = 9, 8ms2

que es la aceleracion de la gravedad. Asumiendo que el objetose ha desplazado 1 metro en 1 segundo, calcule el valor de w, usando el metodode la biseccion, con una tolerancia de 10−5.Cuntas iteraciones se requieren paraalcanzar la tolerancia indicada?

11

Intervalo=[-1,1]

f(−1) = sinh(−1)− sin(−1)− (−1)2

4,9= −0,5378

f(1) = sinh(1)− sin(1)− (1)2

4,9= 0,1296

f(−1) ∗ f(1) = −0,0697c1 = −1+1

2= 0

f(0) = sinh(0)− sin(0)− (0)2

4,9= 0


function ecu5_bis()

a=-1;

b=1;

f=@(x)(sinh(x)-sin(x)-(x^2/4.9));

delta=10^(-5);

if f(a)*f(b) > 0


return

end

n=0;


if f(a)*f(b)<0

c=(a+b)/2;

else f(c)==0

fprintf(’La raiz de la funcin es: %.2f\n)’,c);

return

end

if f(a)*f(c)<0

b=c;

else

a=c;

end

n=n+1;

12

end

fprintf(’La raiz de la funcin es: %.4f\n)’,c);


>> ecu5_bis

ans =

1

La raiz de la funcin es: 0.00

6. Por el metodo de la secante, determine las raıces de la funcion y = x3 − x+ 2.

Para este caso vamos a buscar un intervalo en el cual se encuentre la raız y para ellovamos a utilizar el grafico.

Como podemos observar tenemos el intervalo de [-2,-1] el cual lo vamos a utilizar.

-Iteraciones a mano

x0 = −2 y x1 = −1xn+1 = xn − xn−xn−1

f(xn)−f(xn−1)∗ f(xn)

x2 = −1− −1−(−2)2−(−4)

∗ 2 = −1,333

x3 = −1,333− −1,333−(−1)0,9644−(2)

∗ 0,9644 = −1,6431

x4 = −1,6431− −1,6431−(−1,333)−0,7929−(0,9644)

∗ (−0,7929) = −1,5032

13



x0=-2;

x1=-1;

f=@(x)(x^3-x+2);

nmax=10000;

x(1)=x0;

x(2)=x1;

n=1;

while abs(x(n+1)-x(n))>sqrt (eps) || n==nmax

n = n+1;

x(n+1)=x(n)-f(x(n))*(x(n)-x(n-1))/(f(x(n))-f(x(n-1)));

end

raiz = x(n+1)


>> ejercicio6

raiz =

-1.5214

7. Dada la funcion f(x) = (x − 2)4, si x0 = 2; 1, realice como prueba de escritoriolas tres primeras iteraciones. Indique si su convergencia es lineal o cuadratica.

14

-Iteraciones a mano

x0 = 2,1f(x) = (x− 2)4

f′(x) = 4(x− 2)3

xn+1 = xn − f(x)

f ′ (x)

x1 = 2,1− 0,14

4∗(0,1)3 = 2,075

x2 = 2,075− 0,0754

4∗(0,075)3 = 2,0562

x3 = 2,0562− 0,05624∗(0,0562)3 = 2,04219

Por lo tanto posee una convergencia lineal.

8. Hallar mediante el metodo de la biseccion y de Newton una de las raıces realesde la ecuacion

f(x) = x2 − πcos(x)

ademas, determine en cada metodo el numero de iteraciones utilizadas y eltiempo.

Como podemos observar en el grafico hay una raız en el intervalo de [1,2]

-Iteraciones a mano

METODO DE LA BISECCION

Intervalo=[1,2]f(1) = −0,6974f(2) = 5,3074

f(1) ∗ f(2) = −3,7014c1 = 1+2

2= 1,5

15

Intervalo=[1,1.5]f(1,5) = 2,0278

f(1) ∗ f(1,5) = −1,4142c2 = 1+1,5

2= 1,25

Intervalo=[1,1.25]f(1,25) = 0,5719

f(1) ∗ f(1,25) = −0,3988c3 = 1+1,25

2= 1,125



a=1;

b=2;

delta=0.00001;

f=@(x)(x^2-pi*cos(x));

if f(a)*f(b) > 0


return

end

n=0;


if f(a)*f(b)<0

c=(a+b)/2;

else f(c)==0

x=c;

return

end

if f(a)*f(c)<0

b=c;

else

a=c;

end

n=n+1;

end

raiz=c

n


ejercicio8

raiz =

1.1424

16

n =

17

METODO DE NEWTON-Iteraciones a mano

x0 = 1f(x) = x2 − πcos(x)f′(x) = 2x+ πsin(x)

xn+1 = xn − f(x)

f ′ (x)

x1 = 1− −0,69744,6436

= 1,1502

x2 = 1,502− 0,04025,1682

= 1,1424

x3 = 1,1424− 0,0000215,1425

= 1,1424


function ejercicion8()

x0=1;

f=@(x)(x^2-pi*cos(x));

g=@(x)(2*x+pi*sin(x));

nmax=100000;

x(1) = x0;

x(2)=x(1)-f(x(1))/g(x(1));

n=1;


n = n+1;

x(n+1)= x(n)- f(x(n))/g(x(n));

end

raiz=x(n+1)

n


>> ejercicion8

raiz =

1.1424

n =

4

17

9. Calcular por el metodo de Newton la raız de la siguiente ecuacion no linealx2 − 2xe−2x + e−x = 0.

La funcion no corta con el eje de las x por lo cual mediante el mtodo de Newton no seobtendra ninguna raız real.

10. Aplicar el metodo de Newton para calcular los cortes entre las funcionesf(x) = ex y g(x) = x+ 2.

Interseccion:h(x) = ex − x− 2

Como podemos observar existen 2 cortes para lo cual para el primer corte vamos a tomarx0 = −2 y para el segundo corte vamos a tomar x0 = 1.

18

-Iteraciones a mano

Primer corte:x0 = −2

f(x) = ex − x− 2f′(x) = ex − 1

xn+1 = xn − f(x)

f ′ (x)

x1 = −2− 0,1353−0,8647

= −1,8435

x2 = −1,8435− 0,00176−0,8417

= −1,8414

x3 = −1,8414− −0,00000476−0,8414

= 1,8414

Segundo corte:x0 = 1

f(x) = ex − x− 2f′(x) = ex − 1

xn+1 = xn − f(x)

f ′ (x)

x1 = 1− −0,28171,7183

= 1,1639

x2 = 1,1639− 0,03852,2024

= 1,1464



f=@(x)(exp(x)-x-2);

g=@(x)(exp(x)-1);

nmax=100000;

for i=1:2

if i==1

x0=-2;

fprintf(’Primer corte’);

else

x0=1;

fprintf(’segundo corte’);

end

x(1) = x0;

x(2)=x(1)-f(x(1))/g(x(1));

n=1;


n = n+1;

x(n+1)= x(n)- f(x(n))/g(x(n));

end

raiz=x(n+1)

n

end

19


>> ejercicio10

Primer corte

raiz =

-1.8414

n =

4

segundo corte

raiz =

1.1462

n =

5

11. Aplicar el metodo de Newton para determinar las raıces de la funcionf(x) = cos(x) + (1 + x2)−1, en el intervalo[-2; 2].

20

Primera raız:x0 = −2

f(x) = cos(x) + (1 + x2)−1

f′(x) = −sin(x)− 2x(1 + x2)( − 2)

xn+1 = xn − f(x)

f ′ (x)

x1 = −2− −0,21611,0693

= −1,7979

x2 = −1,7979− 0,01111,1751

= −1,8073

x3 = −1,8073− 0,00008821,1708

= −1,8074

Segunda raız:x0 = 2

f(x) = cos(x) + (1 + x2)−1

f′(x) = −sin(x)− 2x(1 + x2)( − 2)

xn+1 = xn − f(x)

f ′ (x)

x1 = 2− −0,2161−1,0693

= 1,7979

x2 = 1,7979− 0,0111−1,1751

= 1,8073

x3 = 1,8073− 0,0000882−1,1708

= 1,8074


function ecu11_New()

nmax=1000;

f=@(x)(cos(x) + (1 + x^2)^(-1));

g=@(x)(-sin(x)-(2*x)*(1+x^2)^(-2));

for i=1:2

if i==1

x0=-2;

n=1;

else

x0=2;

n=1;

end

x(1) = x0;

x(2)=x(1)-f(x(1))/g(x(1));

while abs(x(n+1)-x(n))>sqrt (eps)

n = n+1;

x(n+1)= x(n)- f(x(n))/g(x(n));

if n==nmax

return

end

end

fprintf(’La raiz %d de la funcin en el intervalo [-2,2] es: %04f\n’,i,x(n+1));

end

21


>> ecu11_New

La raiz 1 de la funcin en el intervalo [-2,2] es: -1.807375

La raiz 2 de la funcin en el intervalo [-2,2] es: 1.807375

12. En la funcion f(x) = x2 + x + 1. Se puede aplicar los metodos de localizacionde raıces? Justifique su respuesta.

Como podemos observar en la grafica no podemos utilizar ninguno metodo ya que noposee cortes con el eje x y ademas de que la funcion no presenta raıces reales y estosmetodos no permiten encontrar ceros sin dicha caracterısticas.

13. En la funcion f(x) = x13 . Se puede aplicar el metodo de Newton para localizar

sus raıces? Justifique su respuesta.

Como podemos observar en el grafico en la funcion antes mencionada no se puede aplicarel metodo de Newton ya que esta no presenta una sucecion pdk lo cual va a generar unaoscilacion de izquierda a derecha sin convergencia alguna a la verdadera raız.

22

14. Desarrolle un codigo que calcule el recıproco de un numero no nulo utilizandoel metodo de Newton.

x0=0;

a=input(’Ingrese el numero del cual desea ver su reciproco: ’);

f=@(x)(x-1/a);

g=@(x)(1);

x(1)=x0;

x(2)=x(1)-f(x(1))/g(x(1));

n=1;

while abs(x(n+1)-x(n))>0.01

n=n+1;

x(n+1)=x(n)-f(x(n))/g(x(n));

end

raiz=x(n+1)


>> ejercicio14

Ingrese el numero del cual desea ver su reciproco: 2

raiz =

0.5000

15. Aplicar el metodo de Newton para calcular la raız cuadrada de un numeropositivo.

x0 = 1f(x) = x2 − 9f′(x) = 2x

xn+1 = xn − f(x)

f ′ (x)

x1 = 1− −82

= 5x2 = 5− 16

10= 3,4

x3 = 3,4− 2,566,8

= 3,023


function ecu15_RaizCuadrada()

a=input(’ Ingrese el numero que desee obtener la raiz: ’);

while a<0

b=input(’\nDebe ingresar un numero positivo: ’);

a=b;

end

23

f=@(x)(x^2-a);

g=@(x)(2*x);

nmax=1000;

x0=1;

x(1) = x0;

x(2)=x(1)-f(x(1))/g(x(1));

n=1;


n = n+1;

x(n+1)= x(n)- f(x(n))/g(x(n));

if n==nmax

return

end

end

fprintf(’\nLa raiz cuadrada de la funcin es: %04f\n’,x(n+1));


>> ecu15_RaizCuadrada

Ingrese el numero que desee obtener la raiz: 9

La raiz cuadrada de la funcin es: 3.000000

16. Aplicar el metodo de Newton para calcular la raız cubica de un numero posi-tivo.

x0 = 1f(x) = x3 − 8f′(x) = 3x2

xn+1 = xn − f(x)

f ′ (x)

x1 = 1− −73

= 3,333x2 = 3,333− 29,0259

33,3267= 2,4620

x3 = 2,4620− 6,923318,1843

= 2,0812


x0=1;

a=input(’Ingrese el numero del cual desea ver su raiz cubica: ’);

f=@(x)(x^3-a);

g=@(x)(3*x^2);

%newton

x(1)=x0;

x(2)=x(1)-f(x(1))/g(x(1));

n=1;

24


n=n+1;

x(n+1)=x(n)-f(x(n))/g(x(n));

end

raiz=x(n+1)


>> ejercicio16

Ingrese el numero del cual desea ver su raiz cubica: 8

raiz =

2.0000

17. Aplicar el metodo de Newton para calcular el logaritmo de un numero positivo.

x0 = 1f(x) = ex − 15f′(x) = ex

xn+1 = xn − f(x)

f ′ (x)

x1 = 1− −12,28172,71828

= 5,5182

x2 = 5,5182− 234,1612249,1612

= 4,57

x3 = 4,57− 81,5496,544

= 3,725

x4 = 3,725− 26,4741,47

= 3,08

x5 = 3,08− 6,75821,758

= 2,769


function ecu17_Logaritmo()

a=input(’ Ingrese el numero que desee obtener el logaritmo: ’);

while a<0

b=input(’\nDebe ingresar un numero positivo: ’);

a=b;

end

f=@(x)(exp(x)-a);

g=@(x)(exp(x));

nmax=1000;

x0=1;

x(1) = x0;

x(2)=x(1)-f(x(1))/g(x(1));

n=1;


25

n = n+1;

x(n+1)= x(n)- f(x(n))/g(x(n));

if n==nmax

return

end

end

fprintf(’\nEl logaritmo es: %04f\n’,x(n+1));


>> ecu17_Logaritmo

Ingrese el numero que desee obtener el logaritmo: 15

El logaritmo es: 2.708050

18. Un proyectil es lanzado con velocidad inicial v0 y un angulo α en un tunel dealtura h. El proyectil llega a su alcance maximo cuando α es tal que

sin(α) =√

2ghv20

donde g = 9, 8ms2

que es la aceleracion de la gravedad. Calcule α

usando el metodo de Newton, asumiendo que v0 = 10ms

y h = 1m:

sin(α) =√

2∗9,8∗1102

α0 = 1f(α) = sin(α)− 0,44272

f′(α) = cos(α)

αn+1 = αn − f(α)

f ′ (α)

α1 = 1− 0,398750,5403

= 0,26198

α2 = 0,26198− −0,183730,96588

= 0,4522

α3 = 0,4522− −0,0057750,8995

= 0,4586


x0=1;

f=@(x)(sin(x)-0.44272);

g=@(x)(cos(x));

x(1) = x0;

x(2)=x(1)-f(x(1))/g(x(1));

n=1;


n = n+1;

x(n+1)= x(n)- f(x(n))/g(x(n));

end

raiz=x(n+1)

26


>> ejerccicio18

raiz =

0.4586

27

departamento de ciencias exactas ola ´ ´ deber de metodos numericos integrantes

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