atps equações diferenciais ok
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FACULDADE ANHANGUERA
ENG. MECÂNICAEQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Componentes do grupo:
Cristiano Diel RA: 9519387433;
Lucas Schmidt Behling RA: 9608493835;
Luiz Zappani de Figueiredo RA: 9509352943;
Pablo Luis Toniazzo RA: 2484664726.
Professor: Lisiane Milan Selong Ferreira
PASSO FUNDOSETEMBRO 2015
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SUMÁRIO
1 ENGENHARIA MECÂNICA..................................................................................2
1.1 Competencias e Habilidades.................................................................................2
1.1.1 Participação........................................................................................................2
1.2 Desafio:..............................................................................................................3
1.3 Objetivo do Desafio.............................................................................................3
1.3.1 Livro Texto da Disciplina.....................................................................................3
2 ETAPA 1 (tempo para realização: 05 horas)...............................................................4
2.1 Passo 1 (ALUNO)...............................................................................................4
2.2 Passo 2 (Equipe)..................................................................................................5
2.3 Passo 4 (Equipe)..................................................................................................5
3 ETAPA 2 (tempo para realização: 05 horas)...............................................................7
3.1 Passo 1 (Equipe)..................................................................................................7
3.1.1 Circuitos RLC.....................................................................................................7
3.1.1.1 Método dos nós................................................................................................8
3.1.1.2 Método das Malhas..........................................................................................8
4 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.....................................................................10
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1 ENGENHARIA MECÂNICA
3ª Série
Equações Diferenciais e Séries
A Atividade Prática Supervisionada (ATPS) é um procedimento metodológico de
ensino-aprendizagem desenvolvido por meio de etapas, acompanhado pelo professor, e que
tem por objetivos:
_ Favorecer a autoaprendizagem do aluno.
_ Estimular a corresponsabilidade do aluno pelo seu aprendizado.
_ Promover o estudo, a convivência e o trabalho em grupo.
_ Auxiliar no desenvolvimento das competências requeridas para o exercício profissional.
_ Promover a aplicação da teoria na solução de situações que simulam a realidade.
_ Oferecer diferenciados ambientes de aprendizagem
Para atingir estes objetivos, a ATPS propõe um desafio e indica os passos a serem
percorridos ao longo do semestre para a sua solução.
Aproveite esta oportunidade de estudar e aprender com desafios da vida profissional.
1.1 COMPETENCIAS E HABILIDADES
Ao concluir as etapas propostas neste desafio, você terá desenvolvido as competências e
habilidades que constam, nas Diretrizes Curriculares Nacionais, descritas a seguir.
Aplicar conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos e instrumentais à
Engenharia.
Projetar e conduzir experimentos e interpretar resultados.
Identificar, formular e resolver problemas de Engenharia.
1.1.1 Participação
Esta atividade será, em parte, desenvolvida individualmente pelo aluno e, em parte,
pelo grupo. Para tanto, os alunos deverão:
Organizar-se, previamente, em equipes de 3 a 4 participantes;
Entregar seus nomes, RAs e e-mails ao professor da disciplina;
Observar, no decorrer das etapas, as indicações: Individual e Equipe.
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1.2 DESAFIO:
O estudo sistemático de circuitos eletroeletrônicos atualmente é motivado para o
desenvolvimento de novos dispositivos, como tablets, que trazem como uma das propostas
permitirem que o usuário tenha boa parte dos recursos de um computador em um aparelho
portátil e mais leve que um notebook. O estudo de circuitos elétricos permite, também, o
avanço de dispositivos já existentes, a citar o exemplo de telefones celulares, cuja atual
funcionalidade vai bem mais além da comunicação entre dois usuários por uma ligação
telefônica.
O desenvolvimento de outros setores também está diretamente relacionado com o
avanço de dispositivos, mediante o estudo de circuitos elétricos e eletrônicos, a exemplo dos
setores de transmissão de energia, telecomunicações e saúde ( este último beneficiando-se de
equipamentos cada vez mais sofisticados e que permitem análises mais detalhadas).
O conteúdo aqui exposto evidencia a importância de se ter uma base sólida nas
técnicas de modelagem e tratamento matemático de circuitos elétricos, que se dá por meio de
equações diferencias, nas quais é freqüente o uso de séries no tratamento matemático.
A relevância deste desafio reside em permitir ao aluno um sólido conhecimento sobre
a modelagem de circuitos elétricos por meio de equações diferenciais, e sobre os métodos de
solução dessas equações, possibilitando, inclusive, a análise de projetos de desenvolvimento
de dispositivos.
1.3 OBJETIVO DO DESAFIO
Promover o estudo de circuitos elétricos de algum dispositivo por meio de equações
diferenciais e a produção de um relatório a respeito.
1.3.1 Livro Texto da Disciplina
A produção desta ATPS é fundamentada no livro-texto da disciplina, que deverá ser
utilizado para solução do desafio:
HUGGES-HALLETT, Deborah. Cálculo de Uma Variável. 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC Livros
Técnicos e Científicos, 2004.
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2 ETAPA 1 (TEMPO PARA REALIZAÇÃO: 05 HORAS)
Aula-tema: Equações Diferenciais. Aplicações e Modelagem.
Esta atividade é importante para você compreender a caracterização de uma equação
diferencial e a sua aplicação em problemas de engenharia.
Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.
2.1 PASSO 1 (ALUNO)
Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais
em sistemas físicos e problemas de engenharia.
Sites sugeridos para pesquisa
Equações Diferenciais Ordinárias e Aplicações. Disponível em:
<https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3TXE2c2xhNXJvVK0/edit?usp=sharing>.
Acesso em: setembro 2015.
Aplicação das Equações Diferencias. Disponível em:
<https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3Y3RWTGdERUwyYVE/edit?usp=sharin>
Acesso em: setembro 2015.
Equações diferenciais são ferramentas matemáticas usadas para calcular a evolução de
sistemas, o objetivo da modelagem é encontrar a taxa de variação com o tempo das grandezas
que caracterizam o problema, ou seja, a dinâmica temporal do sistema de interesse.
Resolvendo a equação diferencial que caracteriza determinado processo ou sistema, podem-se
extrair informações relevantes sobre os mesmos e, possivelmente, prever o seu
comportamento.
A modelagem de um sistema em um conjunto de equações diferenciais fornece, uma
descrição aproximada e simplificada do processo real.
Hoje em dia, o uso de equações diferenciais foi estendido para as mais diversas áreas
do conhecimento. Para citar alguns exemplos da dinâmica de populações, o de propagação de
epidemias, a datação por carbono radioativo, a exploração de recursos renováveis, a
competição de espécies. Fora da Engenharia, as equações diferenciais também encontram
aplicação em economia, no sistema financeiro, no comércio, no comportamento de
populações humanas, dentre outras.
Uma das principais razões da importância das equações diferenciais é que mesmo as
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equações mais simples são capazes de representar sistemas úteis.
2.2 PASSO 2 (EQUIPE)
Revisar os conteúdos sobre diferencial de uma função e sobre as técnicas de
integração de funções de uma variável. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina
( identificado ao final da ATPS).
2.3 PASSO 4 (EQUIPE)
Pesquisar, em livros, artigos e sites, sobre a modelagem de circuitos elétricos por meio
de equações diferenciais.
A modelagem matemática de circuitos elétricos é baseada nas leis de Kirchhoff,
constitui-se basicamente de equações diferenciais de primeira e segunda ordem, estas leis de
Kirchhorf são empregadas em circuitos elétricos mais complexos como aqueles com mais de
uma fonte de resistores, capacitores ou indutores em série ou em paralelo. De acordo com a
primeira lei de Kirchhorf, “em qualquer nó, a soma das correntes que o deixam é igual a soma
das correntes que chegam até ele”. Esta lei é uma consequência da conservação da carga total
existente no circuito. A segunda lei de Kirchhorf mostra que “a soma algébrica das forças
eletromotrizes em qualquer malha é igual a soma algébrica das quedas de potencial contidos
na malha”.
Os circuitos elétricos são componentes essenciais de muitos sistemas dinâmicos
complexos.
A modelagem matemática de um sistema elétrico simples é feita pela aplicação de
uma ou ambas as leis, também chamadas de Lei de Nós e/ou Lei das Malhas. Basicamente,
um sistema completo deve satisfazer as duas leis de Kirchhoff.
Sites sugeridos para pesquisa
Modelagem Matemática Baseada nas Leis de Kirchoff. Disponível em:
<https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3VGMxNE40d3FpMEU/edit?usp=sharing>.
Acesso em: setembro 2015
Simulação e Modelagem Computacionais no Auxílio na Aprendizagem Significativa
de Conceitos Básicos de Eletricidade. Disponível em:
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<https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3eUtTcXhxQnZCOFk/edit?usp=sharin>
Acesso em: setembro 2015..
Circuitos de Corrente Elétrica Alternada II. Disponível em:
<https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3MWtHVVRJTUVFN00/edit?usp=sharing>.
Acesso em: setembro 2015.
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3 ETAPA 2 (TEMPO PARA REALIZAÇÃO: 05 HORAS)
Aula-tema: Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior.
Esta atividade é importante para você compreender quais são os princípios físicos
envolvidos na construção de uma equação diferencial, e consolidar as técnicas de modelagem
de problemas de engenharia por meio de equações diferenciais de ordem superior.
Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.
3.1 PASSO 1 (EQUIPE)
Escolher um dispositivo cujo circuito elétrico será estudado. Identificar os elementos
desse circuito e determinar a função de cada elemento no referido circuito.
3.1.1 Circuitos RLC
Os circuitos elétricos são basicamente formados por componentes lineares passivos:
resistores de resistência R (ohm), indutores de indutância L (henry), capacitores de
capacitância C (farad), e uma fonte elétrica cuja diferença de potencial é indicada v(t). A
figura 01 mostra um exemplo de circuito RLC.
Fig.1. Circuito RLC.
Entre os elementos de um circuito RLC, existem algumas relações importantes, entre
tensão e corrente e entre tensão e carga, que podem ser observadas na tabela abaixo:
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Componente - Tensão-corrente – Corrente- tensão - Tensão-carga
Tabela. 1. Relações tensão-corrente, tensão-carga.
3.1.1.1 Método dos nós
A 1ª Lei de Kirchhoff é chamada de Lei das Correntes ou Lei dos Nós.
Nó é um ponto no circuito onde dois (ou mais) condutores são ligados. A 1ª Lei de
Kirchhoff estabelece que a soma das correntes que chegam a um nó de um circuito elétrico é
igual à soma das correntes que saem deste mesmo nó, essa lei é baseada no Princípio da
Conservação da carga elétrica.
3.1.1.2 Método das Malhas
A Lei das Tensões (ou Lei das Malhas) é a segunda lei de Kirchhoff, ela nos diz que
em um circuito fechado, a voltagem imposta é igual à soma das quedas de voltagem no
restante do circuito.
Para a Lei das Malhas vamos usar um modelo de circuito RLC simples (Fig. 4) para
fazer a modelagem matemática.
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Fig.4. Circuito RLC.
A corrente i(t) é uma função do tempo, a resistência R, a capacitância C e a indutância
L são todas positivas e podem depender do tempo e da corrente.
Pelas leis clássicas da eletricidade sabemos que:
Pela segunda lei de Kirchhoff a soma dessas voltagens é igual à voltagem v(t) impressa no
circuito, fazendo a representação matemática temos:
Mas a carga q(t) (Coulomb) está relacionada com a corrente i(t), dada por i=dq/dt
substituindo essa relação na equação (2), ela se torna uma equação diferencial linear de
segunda ordem não homogênea:
A equação (3) é o modelo matemático para um circuito elétrico simples, resolvendo
essa equação diferencial obtemos como resposta a quantidade de carga no circuito
dependendo do tempo.
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4 ETAPA 3
Apresentar um exemplo de circuito elétrico que apresente a sua modelagem a partir de
equações diferencias.
4.1 CIRCUITO RLC
O circuito RLC consiste de uma fonte de tensão vi (t ) em série com um resistor R ,
um indutor L e um capacitor C , de acordo com o diagrama abaixo:
A soma das quedas dos potenciais ao longo da malha deve ser nulo:
A queda de tensão no indutor é proporcional à taxa de variação da corrente, sendo L a
constante de proporcionalidade.
A corrente através do capacitor é proporcional à taxa de variação da queda de tensão
no capacitor, obtemos assim o sistema de equações diferenciais de 1a ordem:
O sistema acima pode ser colocado na forma matricial:
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Alternativamente, o sistema de primeira ordem (9) pode ser colocado como uma
equação diferencial de segunda ordem, bastando para isto substituir (8) em (7):
Aqui ilustramos como se transforma uma EDO de ordem n em um sistema EDO de
primeira ordem com n equações.
Definindo x como variável de estado:
e estabelecendo u(t ) como a entrada e y (t ) como a sa´ıda, teremos:
Note que a entrada é a tensão vi (t ), enquanto a saída (o que é observado) é a queda de
tensão no capacitor.
Podemos expressar a EDO (10) de 2a ordem em um sistema EDO de 1a ordem:
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5 ETAPA 4
Buscar informações (em sites/livros) sobre Séries Geométricas, Séries de Taylor e
Séries de Fourier e com base nessas informações estudadas elaborar um mapa conceitual para
cada um dos itens.
5.1 MAPA CONCEITUAL DE SÉRIES GEOMÉTRICAS
5.2 MAPA CONCEITUAL DE SÉRIES DE TAYLOR
5.3 MAPA CONCEITUAL DE SÉRIES DE FOURIER
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6 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3alJYYmNkOXdLbFU/edit?usp=sharing
https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3d1pSTTdBTi1xRDA/edit?usp=sharing
https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3VGMxNE40d3FpMEU/edit?usp=sharing
<https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3eUtTcXhxQnZCOFk/edit?usp=sharing>
https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3MtHVVRJTUVFN00/edit?usp=sharing
http://www.engonline.fisp.br/3ano/circuitos_eletricos/circuitos_primeira_segunda_ordem.pdf
http://www.ppgia.pucpr.br/~alekoe/CIR/2012-1/7-CircuitosPrimeiraOrdem-CIR-Parte1-
4p.pdf
http://www.eletrica.ufpr.br/thelma/Capitulo8.pdf