a notion of non-interference for timed automata

12

Upload: unicam

Post on 16-Jan-2023

0 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

���������� ������ ��� �� ������ ���� �

�� �����

� ������ �� ����������� ��� ��� ��������

������� �����

���������� �� � �������� ���������� �� ����

��� ������� �� � ����� ���� � �����

������ �� !��"��#!���#��

��� ���� �� ���������

���������� �� �$�$���� ����%� ���&��� ���������� �� ����

'�� ���������� � � ����� ���� � �����

������ �������#�� ������"���#!���#��

������ � �������

(������ �� �$�$����� ���������� ��� )��

����&& *�� +!�������� ���&&� ,�� � -���� *����� � �����

������ ����"!����#��

��� ����

���������� �� � �������� ���������� �� ����

��� ������� �� � ����� ���� � �����

������ �����"��#!���#��

��������� ��� ������������� ����� � �������� � ����� �� � ������ ����� ����

������ ��� ��� � ��������� ����� ������� ������ � ������ � ��� � ����� �� ����

���� �� �������� � ������ � ����� ������������� � �������� � ����� �������� �

����� ��������� ��� ������ �� �������� ����� �� �������� ����� ������� ��� ���� �� ��

����������� ���� � ��������� ��� ����������� ������� ����� ���������� ��� ��������� ��

������� �� �� ������� � � ������������ � ���� �������� � ��������� ������ � �� ��������

�� �����������

��� ������������� ����� � ��������� �� ����� �� � ������ ����� ��������� ��� ��� �

��������� ����� ������� ������ � ������ ������ �� ��� � ����� �������� � ��������� � ����

��� ������ ������ �� ��� ���� ��� ���� ����� ��� !������� � ��� � ���� �� ������� ����

��� ������� ��� ���������� !������� �"������ ! ���������� ���� ��� ��� ��������� !�������

�"������ ! ��������� ����� #������ ��� � ���� ��� !� �!����� ! ���� �� ������� �������

$� �������� ���������� !������� ������ ��� !� ����!�� �� ��������� ����� ��� � ���� �������

��� ������������� ����� � ��� ��������� !������� �� ��� ������� ! ��� ���������� �����

$� ���� ����� � � � ���� � ���� �� �� ���������� ���� ��������� ��� ���������� ���� ��

������ ��� �� ����� ��� ���� ��� ��� ��� � �� ����� � ��� �!��������� ���� � ���� �� ���

��������� ���� ���� ���������� !������� �� ������ ��� ������ �� �%���� �� ���� �����!��

������ �� ��� ���� ���� � ���� ���� �� ���������� !������ �� �������

��� ������� ���� ��� !��� ����� �� ��� �����& � ������ � ��������� �� ��� '�(�� $�

��� !��� �������� � ��������� �� ���������������� � ����� �����!�� ! � ))����&� ������

����!� �*� +� ,�� �� ��� ���� ��� � ������ �������� �-�� �� ��!�!������� � ����� ��,� ��� ��

��������� ���� �� � ����� ������ ����!� ���� ������� ���� ������ �'�� .������ ������� �

������������� ������� �� ��� �������� ���� !��� ������� ��� ������/�� �� �,� �0�� 1�

������� � ���� �������� %�������� ��������� ������������� ��2�������� �� � )�3 ��������

��� !� ���� �� ��4��

$� ���� ���� �� ��2�� � ������ � ������������� � �������� � ������ ���� ��� ����

�� � ������ �������� 5� ������� ����� � ����� ! ����� �������� �0�� ����� �� � �����

&���� ������� �� �����!� %���������� ��� %����������� ���� ���������� �� � ������ �����

�������� ���� !��� ����� ������� ���� � ���� �����!�� ��� �� ��� ���2������ � ��������

� ����� �4� �� �-� ����

�� ��2�� �� ������ � �������������� �� �������� ��� �����!�� � ��� ����� ����������

���������� � �������� � ����� �� ��� ������� ���������� ������� ��� ��������� �������� 6�

������ � ����� ������������� ������� �� � ������ ���!� � ���������� � ������� ����

!������ ���������� ������� ���� ���� ��� ��������� !������� �� ��� ������� ! ��� ����������

����� ����� ���� ������ �� �����!�� �� ������ ��������� ��� �� ���� �%���� � ����������

�������� 1� ��������� �"����� � ���� ���������� �� ��� ��������� )������ � ����� ���������

� ���� ������ � ��������������� �������� � ���� ��&� �� ������� ������ � ����� $� ��� ��

������ � ��� � !���� ������ ��� ��� �� ������ ���� !���� ������� �� ��� �� ��������� �� � ���

����� ���!���� � ����� ������� ��� ������ �� !� ��������� ��������� ������� ��� �� ���� �

���������� 5��� ��� ����� �������� � �"������ �� ��� ����� �� ���� ��� ������ ��� ���� ��

�������� �� �� �������� � � ���������� ������� ����� ��� � ���� ������� ���������� ������

7�� ���� ���� ������ ��������� �������8 �������� ! ������ ���� �9 �� �� �� ��� �� ����

��� �� ������� �� ����� ��� ������ ���� ������ 5��� ���� ������� �� �� ���� ����������

������� ���� � ��������� ���� ��� ����� ��� !���� !������ � ��� � ����� $��������� � ���

������ ��������� ������� �� ���� �� ��� ��������� ���� � ��� ���� ���� �%���� � �� �����

���� � ����� �� ����� �� �� �� ����� �!�� �� ������ !���� �������

5� ��� �� �������� !���� ������� �� ��2�� ��� ������������� ����� � � � ���� ���

���� �� ���� ���� � ����� �������� ��������/����� �� :���� ��� ����� ��� ��������� ���

2��� ! ����� � ������ ������� �������� ��� � � ������2�� ������ !������ ����� ���������

��� ��2������ � ��� ����� ������������� �� ����� ����� ����� �������� �%��������� �����

�� � �����!�� �%��������� � �� �������� !�� �� �� ��� ��������� �������!��� 5� ������� ����

��!��� ��� ��2�� ���� �����!�� �� � �� ������ �� �� ������� ,�

��� ���� �� �����/�� �� ������ ������� 0 ������ ����� ��������� ������� 4 ��2��� ���

����� ������������� � ����� ��������� ������� ; ����� �� �"������ ��� ������� , ���������

��� ������ ��� ���� ��&�

�� ��� ��������

$� ���� ������� �� ����� ��� ��2������ � ����� �������� �0�� $� ��� ��������� � �� ��� ��� � ���

���!�� ��� �� ��� ��� � ������������ ��� ���!��� 1 ����� ��&�� ������ �� ��� <���� �

��� � � ����&�� � ����� �������� ��� � �� � ������� ��������� � ������������ ��� ���!� ��

��� ����&� ��� ��� � ���������� � � � ������� �� � �� ��� ��� � ����� ������� �� � �� ���

<���� � � �� ��� Æ � ��� ���� � = Æ �� ������ ��� ��������� ���� ���� ���� ����& � � � ����

�7�8 = �

<���� � ��� � � ����&�� � ���� � �� � ��!��� � � � ��� ��� � ��� ����� � � �� ������� !

>� � <���� � ��������� � � �� ��� � ���� �� ���� ��� �� ������ ��� ���������

���7�8 ?

�����

� � � � �

�7�8 � � �� �

<���� � ��� � � ����&�� ��� ��� @� � ����� ��������� ��� � �� ��2��� ! ��� ��������

�����

� ? �� � � ��� � � � � � � � � � � �A� � �� �A�

���� �� � � � � � � ��� ��� A �� � !��� ������ �� ����� ���?�� )���& ���������� ��

��������� ��� ����& ����������� ��� ����������� ! � ��������� � � �� � ��� ����& ���������

� � @� �� ������� ! � �? � ��� �� �� ��2��� �� ������

� �? �� ��� � ��? � ���

� �? �� � �� �� � �? �� � � �? ��

� �? �� �� �� � �? �� � �? ��

� �? � �� � ��? �

� �? �A� �� �7�8A�

������� ���� ����� ��������� 1 ����� ��������� � �� � �����

7��B� � � �� ��� 8� ���� � �� � 2���� ��� � ������� B �� � 2���� �����!�� � �������� � �� � 2����

��� � ������ � � � �� ��� ��� � ������� ������� � � � �� ��� ��� � ������� ������� � �� � 2����

��� � ����&�� C��� ���� � � � �� � ����� �� ��@� � >� � B���

$ � ? 7�� �� �� �� ��8 �� �� ����� � �� ��� ����� �� �� ��� ������� � �� ��� ���������� � �� ���

������ � �� ��� �����

��� ��������� � � ����� ��������� � �� �� ��2���� ��������� � ���� �7� 8 ? 7���8� ����

� �� � ��� � ������ ���� �� ��� ��������� �������� ��� ������ � � �7� 8 �� ���� 7�� �8� ����

� � � �� � ����� � � � ��� � �� � ���������� 1� ������� ����� � �7� 8 �� � ����� 7�� �8� ���� � � �

�� �� ������� ����� � � ��� � �� ��� ��������� ����� ������� � �� ��� ����& �� � � 1� �� �����

�� ����� � ��������� �� � ��� ��� ���� � �� ��� ���� �� ������ ��!����� �� �������� ���� ��

��� ���� �� ����� ��� ���������� � �7� 8 �� ��� ��������

��Æ � ��

7�� �8Æ��7�� � = Æ8

0�7�� �� �� �� ��8 � � � � �? �

7�� �8���7��� ���8

D��� �� �������� ��� ���� �� ����� � ��� � ���� �� � ����� ��� ��� ���� ������� ����� D���

0� ��������� �� ��� �������� � �� �������

������� ���� ���� ����� �������� <���� � ����� ���������

� ? 7��B� � � �� ��� 8� � �� � ��� ��������� �� �� ��2���� ��%����� � ������ ��� ����������

� �7� 8 ������ ��

���� � � � ����

� �� ? 7�� �8� � � � ��� �7�8 ? � � ��� � � �

� � ����� � � � �"���� ���� ���� � ����� ��2����� ���� �� ��� ���� � ��� ��%����� ��������

E��� ����� ����� � �� ������ ��

���� � � �� � ���� �� �� � 7B ���8�

F�� !� � ���

� ��� ���� ������ �� � ��� ���� ������� �� ����� �� �� ����� �� �� �� ��2��� �� ������

�� ? �

���� ? �� =

�����

� � �� � B

�� ��������

� ��� ����� ������ � ��� ������ ������� ����� � ��������� ��� ������� ������ �� ��2���

�� ������ 7��� ��87��� ��8 � � �

� ��� ������ ������ � �� ��� ��:������ � ��� ����� ��%����� � �� ��� ���� �7�� �8�� �

B�

������� �� � ����� !���� ���� ��"�"�� F�� B !� �� �����!��� 1 ����� ���� ���

B �� �� ��2���� ��%����� 7�� �8 ? 7��� ��87��� ��8 � � �� ���� �� � B� �� � �� ��� �� ����� � ���

� ? �� �� � � ��

1 ����� ������� ��� B �� � ��!��� � ��� ��� � ��� ����� ���� ��� B�

������� ��#� �����$������ <���� � ����� ��������� � ? 7��B� � � �� ��� 8� � ����� ���

� ��� B �� ���� ��� ! � �� ���� �"���� � �� � � � ����� ������ ��%����� �� �� ���� ����

� ? �� ��� ��� � ����� ���� �������� ! � �� ������ ��� ���� ��� ������� � � ��� �� �������

! �7� 8�

E��� ���� �� ��� ��� GH���� ���������� ��������� � ��� ��� �0�� #������ �� �� ���� ���

����� �������� �� ��� �� �� ���������� �� ���� �� � ��� � �7��8 ? �7��8�

1������� ���� ������� �� ��2��� �� ��� ���� �� � !�� ���� � ������� ������� ��� ����

�!����!�� ������ �� !�������� �� B� ���� ���� ���������� � ��� �������� ��������� �7� 8

��� !� ��!���� ! �� ��� ��� �� ������ ������������� 5��� ��2���� ��� �������� �������� �

�� ��������� ���� �������� �� ���� ������� ��� ������ ��%������ �� ��� ��� ��:������ � ���

����� ��%������ �� ��� ���� �7�� �8 � � � B� �����

��� ������ � ������" � ����� ��� !� ������2�� ! �������� ��!� ����� ���� �������

����� �������� ��� ����������� � ��� ����� � ����� � �����!�� ������ � ����� E�� ��

��2�� � ������ �������� ����� �� � � ������� �������� !������ ����� ���������

������� ��%� �&������ F�� �� ? 7���B�� ��� ��� �����8 ���

�� ? 7���B�� ��� ��� �����8 !� ��� ����� �������� ���� �� � �� ? �� ��� ������ � �� ���

��� ������� ! �� � ��� �� ��� �������� ����� ���������

�� � �� ? ��� ����B� �B�� � � �� � ��� �� ������ � ���

���� � �� ��2��� !

�� �'��(���)���� ������

�� � B� � B���7��� ��� ��� �� ���8 � ����7��� ��� ��� �� �

��8 � ��

� �������� 77��� ��8� �� � ��� �� � ��� �� 7���� �

��88

0� �� ������

�� � B��B���7�� �� �� �� ��8 � ����� � ��

� �������� 77�� �8� �� �� �� 7�� � �8

4� �� ������

�� � B��B���7�� �� �� �� ��8 � ����� � ��

� �������� 77�� �8� �� �� �� 7�� ��88

����� ��� ������ ��������� !������ �� ��� ����������� � ��� ���������� !������� ����

������� ���� ��� ���� ���� �� �"������ � ��������� �

E��� ���� ��� ������ �������� �!��� �� ��� ��� ������� ������� ����������� �� �����

�������� ���� GH���� ���������� ���������� $� ���� ���� ��� �������� ��������� �� ��2��� ��

��� �� ������ ��� ��� !������� �� ����� ��� ��� ���������� ���� � �� ���� ������ �� ����

���� � ������� ������ 7��� �0�8� I� �� ������� �� �� ������� �� ��2��� �� �!���� � ������

���� �� ����� ��� ������ !������ ��� ����� ��������� ��!��� 7���� ��� �������� ������� ���

��� � ������� ������ ������ � ��� ���������� ���������8 � ��� �������� ��������� ��� �� ���

��� ��� � ������� ������ � ��� �������� ����� ��������� ��!�� �� ��� �������� ������ � ���

������� ������ � ��� ����������� ���� ����� ��� ��& ������ �� ��� ������ ����� !�� ���

�� �� ����� !������ �� ��� ��� ������ ��� �� ������ ��� ���������� � ���� ����� ���� !

� ����� ����� ����������

�� ����������� ��� ��� ��������

E������������ � �������� ������������ � ����� ��� !��� ������� �� ������ ����!��

����� !����������� �%��������� 7���� � �"������ ��;� *� +� �4�8 � ��� ������� � � � ���� � ��

������� ���� ���������� ��� ��������� ����� ��� ���� �� ��� ��� ���������������� �� ���� ��

�� �������� �� ������ �� ���������� ������ � ��������� �� �� ��������� ������� �� ���������

������� ���� ���������� ������ ����� �� ������ ��� ��� !������� �� ����& �%��������� �

��� �������� �!������ �� � �� ��� 2�� ��� ���������� ������� �� �!������ �� ��� ������

��� ��� �� ������� .������ ������� � !����������� �%��������� �� ���� �� ����� �������

������� � �������������� ����� ���� !��� ��������� �� �'� �� � �������� ������� ����� �

����� ������ ����!� ���� � ������� ���� �������

$� ���� ���� �� ��2�� � ��� ������ � ������������� ����� ����� ��������� � �����&����

�������� ���� � ����� ���� ������� � �������� � ����� �������� ��� ���2������� ���

������ �� !���� �� ���������� ������� ���� � ��������� ��� �� �%��������� � ����� ���������

<���� � ������ ���!� �� �� �� ���� ���������� ������ �� ��� ��������� ���� ��� ����� ����

������� � ������ ����� �� �� ��� ���� �������� �� ������ �� ���������� ������ � ���������

�� ��� ���� ��������� ������� �� ��������� ������� ���� ���������� ������ ��� ����� �� ���

����� ������� ��� ��� �� ���� � ������� ���� �� ���� �� �� ����� � ��� ���������� � ���

� ���� ���� ��� ��� ���������� ������ �������� ! ���� ���� � ���� ����� ��� ��� �����

������ ���� �� �� �� � ��������� ���� �� ������ �� ���������� ������� � ��� ���� �������

���� ���� ������ �� ��� ������� ������ � ������������� �� ���� ���� �� �!����!�� ��� ���

����� ������� ����� � ����� �� ����� ��� ���� ���� !������ ���������� ������� ������ !�

���� �� �������� ������� ��������� ���� �� ���������� �� ��������� �����

F�� � !� � ����� ��������� ��� ��� �����!�� B� 5� ������� ���� B �� ���������� ����

��� ���:���� ���� � ������� � ��� � �� ��� ��� � ���������� �������� ����� �� ��� ��� �

��������� �����

�� �!���� ��� !������ � �� ��������� � �� �!����� � ���������� �������� �� ��� �������

� �� ������� ���� �� ���������� �� ��� �� ������ $���!� � ���� ���� ��� ����� ��� �"�������

� ���������� ��������

��� ��������� $���!� �� ����� �� I���� �� $� 2���� �� ��� ���� ����� ����������� �

����� ���� � �������� ������� �� �� �� ������� ������ � ����� �������� ���� ���!�� ������ !������

�� ��� ��� � ������� ������ ��� �� �� ������ �� ��!�� � ��� � ������ 7�� � � � ��������8

�������� � ��� � ������ ��� � ���� ������ �� ��� ��� 7 � �8� ���� ��� ���� ����& ���������

��� ����& ����� $� ��� ������ � � $���!� � ���� ��� ������� �� � ������/����� �������� ���

��������� � ������ ���� � ��������� ��!���� ! � � � !������ ��� ����� �� � ������/������

$���!� � ���� ����� ���������� ������� 7��� ���������� �� ���� ����� ������� �� ����8� ����

��� ��������� ������� �� �"�������

5� ���� ���� �7� � $���!�8 �������� ��� !���� !������� � � � ���� ��� ����� ���� �!������

! ��� �� ����� ���������� ������� �� ��� �����

)������ ��� ��������� $����� �� I���� 0� ���� ��������� ������ ��� �"������� � �����

����� ������� ��� ���� ��� �� �������� ! �� ����� � ���� ������ �� ��� ����� ������� ���

true, L, {}

0

false, H, {}

I���� �� $���!�

true, L, {} true, L, {}

i1 x_interf ≥ n,

H, {x_interf}

true, H, {x_interf}i0

I���� 0� ��� ������� � $�����

!������ �� ��� ������� ����� ��� ����� �� ��� ���� ��������� ������� ������� ����������� $

���� ���������� ������� ���� �� ��� ��� ���� �� ��� � ���� �� �� � ����� �� ��������� ��������

$ � ���������� ������ ����� ��� ��������� ������� ��� ����� �� �� ��� ���� � ����& ������ ����� �

E��� ���� ���� ����& �� ���� ! ��� ���������� �������� ���� ����� ����� �� ����� ��� ����� ���� �

����� ��� ���� ������� �� ��� ������� ���������� ������ ������� $� ����� �� ���������

������� �� ������� ����� ���� �� ����������� !�� �� ���������� ������ ��� !� �"������ ��� �

�� ����� � ���� ����� ���� ������� �� ��� ������� ���� ���� �� �"������ ! ��� ���������

����� � ��

<���� �� ��������� � � ��� ������ � � ���� $����� � � � $����� � ������ �� �!���� ���

��� � ��� !������� � � ���� ���� ���������� ������� ���� �� ����� �������� ! �� �������

����� ������ �� ����� ����� � �%��� �� �� 6 ������ �� �� �������� ���� � ���� ��� ����

��� ����& ����� �

G��� ������ ��� ��2������ � ���������������� �� ���� ��� �������� ��������� ������ �

������� �� �� ��������� � � ����� �� ��������� ������ ��� ���� !������� � � � !�� ����

���������� ������� �� �����!����!���

������� ��� �(��" �* ("(+ �,� ������� F�� � !� � ����� ��������� ��� �� ������

!�� B ? 7�� 8� 5� ������ ! �!� ��� ��������� �!������ ! � ! �������� ���� ����

7�� �� �� �� ��8 � � ���� � � �� ���� ��� ���� 7�� �� �� �� ��8�

E�� �� ��� ��2�� ����� ��� ��������� ������ � ������������� ����� �!����

������� ��� ��+���+����*������� F�� � !� � ����� ��������� ��� �� �����!�� B ?

7�� 8� ��� ��� � � �" � J��������� ������� �� ��� ������ �� � ���� � ������� ���� �

7�%��������� �� �� ���� � �� ��������������8� � ��� ��� �

7� � $�����8!� � � � $���!� 7�8

���� ����������� � ��� ���� ��������

$� ���� ������� �� ��������/� ��� ������ � ����� �������������� ��2��� �� ��� �������

�������� ����� ����� ���������� 5� ��2�� ���� ��������� �� ����� ��������� ��� ���� �� �����

���� �� ��� ����������� ��������� �� ��������� ���� ������� � ��� ���� :����2������

� ��� ��2������ � ��������������� � ��� ������� �������� 1� � ����� � ���� �� ��� �����

�������� ���� ���&� �� ��� !������� � ��� �������� $���!� ��� $����� ���� ��������

���� ��� ��������� � ���������� ��� � ����� ��� ���� � ��� �������� ����������� ��

���� ������� 5� ��� ���� ��� ��� � 3��������� 4�0� ��� ���� ���� �� �������

I���� ������� ��� ��������� � � ����� �������� �� ��������� ��������

������� � � ���������� �� �!+ �,� ������� F�� � !� � ��� � ����� ���� ��� ��

�����!�� B ? 7�� 8 7���� � ����� ��������8� �� �� ��� ��!��� � � ���� ���� ��� �������� ��

����� ���� �� ������� �� ���

�� ? �7�� �8 � � � �7��� ��8 � 7�� �8� �� � �

&��$����� ��� ��� � �� � ����� �������� ���� �� �� ����� B ? 7�� 8� ���� �7� 8� ?

�7� � $���!�8� ��

��� ��������� �� ���� ����� ������� �������� ! �� ����� � ���� ����� �� ��2��� �� �������

������� �#� ��+�� �' ���������� F�� � !� � ��� � ����� ���� ��� �� �����!�� B ?

7�� 8� F�� � !� � ������ ���!�� ��� �� ��� ��!��� � � ���������� ��� ����� ���� �� � ����

���� ��� ���� !������ �� ��� ������� �� � �� �� ����� �

��� ? �7�� �8 � � � �7��� ��8� 7�� � ��8 � 7�� �8� � �? # � ��� �� � � ��� � ��� � �� 708

&��$����� ��� ��� � ? 7��B ? 7�� 8� � � �� ��$8 �� � ����� ��������� ���� �7� 8�� ?

�7� � $�����8�

&���*-

F�� � !� � ����� ��� �� �7� 8�� � ���� ����� ���� � � �7� 8 ��� �� �����2�� ��� ���������

�"������ �� 708� ����� � �� �������� ! � � ���� �"���� � �� ? 7��� ��8����7��� ��8

���� � � �

����� ������ ��%����� �%���� � 7������� � ���� �"��� ��2����� ��� ��� ������ ���� ����� 9

�� ��&� :��� ��� � ����8� F�� � !� � ����� � � � !�������� �� �� ����� �� ������ ��2�����

��� ����� ����� �������� �� ��� GH���� ���������� ����������

5� ���� �� ��������� �� � � �� � � � $����� ����� ������ ��%����� �%���� �� ����

�� ��� ������ ��� 2�� ��� �� ���� � ���� ����� ������ �� ���� �"������ ����� � $� ���� ����

��� �� �� :��� � ? 77��� ��8� �� � ������ ? ��8����77��� ��8� ��� 8

���� � � � 77��� ��8� ��� 8���� � � � ����

��� �� ��� ����& ���������� �� � �"������ ���� ��� ��������� � ��� ����& ����� � $����� �

1���� 7��� ���� �8 ���� ����& �� ���� ���� ��� $����� ��� � ���� �� ����� �� ����� �� �

������� ������ ����� ����� ��� �� �� ����������� ��� ����� 7�� ��8 �� ��&�� ��2����� ���

����� ����� ��� ��� ���������� ���������9 ������ � ��� ��� ���� ����� ��%����� � ���

���� ��� ����������� �������� ����� ��� �� ��

��� ������ ���� �� ���� �� ����� ��� ���������� ������ % �� �"������ ����� � ������� ���� ����

���� �� ���� &� )������ ��� ��2" � � �� � ? 77��� ��8� �� � ������ ? ��8����77��� ��8� ��� 8

����

! ! ! 77�� ��8� ��8������77���� ��8� ��� � ������ ? ��8 ���� ��� �� ����� ��� �"�������� � �� �

�� ������ ��� ����& ����� � $ ��� ������� �������� � �� �� ���������� �� ��� �"���� � ��

�� ��� 2�� ���� ��� �� ���� ���� ��� ����� 7�� ��8 ����� ��2����� ��� ����� �� �� ��� ��

� �� � �� � � � $����� � $� �� ��� ���� ����� ���� ���������� ������� ���� �� � ���� ?

! ! ! 7���� ���8������! ! ! 7�� � ��8

����7����� ����8 ! ! !� ���� �� � � ��� � ���� ��� & � � � #� �� � �

��� �� ��� �"���� � �� ������ � ? ! ! ! 77���� ��8� ����8������! ! ! 77�� � ��8� ��� 8

����7����� �

����8 ! ! !

����� �����2�� ��� ��������� � 708� ���� �� ����� � ���� ����� ���� ������� !������ ��� ���

������ � � ��� ���� � ��� E��� ����� ���� ? ��� � ������ ? �� ��� ����� �� ��� ���� !

��������� �������� ���� ��� ����� ���� ! ����� �� ��� �� ����� ����� � �%��� ��� �� ��� ����

����� ���� � �� � ��2" � � �� � � � $����� � ����� ����� ? ���� � ������ ? ��� ��� ����

������������ ��� !� ���� �� ���� ���� ��� ��"� ���������� ������ � 7� �� 8 ��� !� �"������

�� �� ��� �� ��� ����� � � �7� � $�����8� ��� ������� ��� !� ����� ����� ! � ������

�������� ��

��� ������ � ���������� ������� �� �"������ �� �������

������� �%� �(��" �* ("(+ �,� ������� F�� � !� � ��� � ����� ���� ��� �� ������

!�� B ? 7�� 8� �!� �������� ��� ����� ���� 7�� �8 � � �� ����� ��� ���� 7��� ��8 ���� �� � �

�� ��������

�!� ?

���'� ' ? 7�� �8 � � ��� '� �� ��� ��:������ � '

�� ��� ���� �7�� �8�� � � �

���

&��$����� � � ��� � �� � ����� �������� ���� �� �� ����� B ? 7�� 8� ���� �7� 8!� ?

�7�!�8� ��

��� �������� ���������� ������ ���� ��� �!��� ��������/����� ������ �"������ ������

����������

�(����� ��� ��� � �� � ����� �������� ���� �� �� ����� B ? 7�� 8� ��� � � �" �

� � ����������������� �� �7� 8��!� ? �7� 8�

&���*-

I������ �� .�2������ 4�0 ��� ��� ���� ����������� �!���� ��

s1 s0 s2

s3 x1 < 1,cloche,

x0 > 2,

reset, {x0}

cloche,x1 < 1,

x1 = 1, , {}ε

x0 = 1, cloche, {x1}x0 = 2, begin_ctrl, {}

{}ε,

x0 = 4, end_ctrl, {x0}x0 <= 2,

{x1}

{x1}

I���� 4� 1�������� � � ������2�� ������� ������

�� �� �����

$� ���� ������� �� ������� � ������ ������ � � �� ������� 7I���� 48 ��� ���� ��� ����

��������� ��������� ��� � ���� ���������� �"������� �� ����2��� ��������� � ��� � ���

������� �� ������ ����� ���!���� � ��� ������ ��������� !���� ���� ������ ����� ���� ��� ���

���� ������ ��� ����� ����� � �� �� �!�������� � ��� ������ ���������� ����� �%��� 0 ����

����� �� !� ���������� 6�� ���� ���� !��� ������� ���� ������ � ��� ��� � ���� ��� �����

�� ����� ������ �� ��� �����9 �� ���� ������ ���� �� ������� ��� � ������ ����� ������ ������

�������� ������ ���������� 5��� ������ ������ ��� � ���� ������� �� ��� ���� ��������� ��

������ ������ �������� F�� ����� ���� ��� ��� ���� !� ��������� ������� ��� ������ ��� ���� !�

��� ���������� ��������

1� 2�� ������� ��� !������ � � ���� ��� ���������� ������ ������ �� ����!��� 7���� ���

����� � � � $���!�89 ���� �������� �� � ������ � ��� !������ ������ � ��� � ���� ����������

�� �������� ! �"���� 0 ���� ������

���� �7� � $���!�8 �������� � ������ ����� ���

7(�)�� *��� 087��+ *��� ;8 ! ! ! 7(�)�� *��� 0 = ;�87��+ *��� ;7�= �88 ! ! ! 748

)������ ��� ��� ������ !������ � ��� � ����� ���� ��� ������� �� ���!��� ���� �� ��

���������� 5��� ������ ������ ��� � ���� ����� �� ����� � 5��� ��� � ���� �� �� ��

�� �������� ��� ������ ������� ���� �������� ������ �%���� ��� ���� ����� ��� ����� ���

� ���� ����� �� ��� ������� ������ J������ ����� !���� �� � ��� � ���� ��� ����� ���� ������

������� ��� �� ���� ���� �� ����� �� ����� !� $ ��� �������� � ���� �%���� ��� ���� ����

7�� !������ ����� ���� 08� �� �� ������� �� �������� ��� !�������� � ��� ���������� ������

� ��� 7���� ������ ���� �� �"������8�

����� ��� ������ ������� ��� ������ ���� ��� !���� � ���� !������ � ��� �� ��� ����� ��

���� ����� �� ��� ���� ����� ���� �� ������� �� ������������� ������� � ������ ���!�

� ��� ��� ��������� � � $����� � $ � ? � ���������� ������� ��� ���� ������� ����������

�� ���� ������� ���� � ��� �����%����� ��� ���� ������ ����� !� �"������� ����� ��� � ����

���� ��� ����� �� ������������� ��2������� $� �������� � � �� ���� ��� ��� ������ ������

��� ���� !������ ��� ���������� ������ � ���� ��� �� �� ������� ������� �������� ��� !����

!������� ����� � ���� � � �� 7� � $�����8!� �������� ��� ������ ����� ��� 748 ����� ��

��� �� ��� ���%�� ����� ��� �������� ! � � $���!� � I�� .�2������ 4�0 �� �������� ����

���������� ������� �� ��� ������ �� � ���� � ������� ���� � � � 7� �� �������������� �

� � �8� 6� ��� ���� ����� � � ? � ���� �� ����������

�� ����������

$� ��� ���� ��� ���� �� ���� ��������� ��� !����� ����� �� �������� �� ���� ����&

��� �%��������� � ����� ��������� ���� ������� ����&��� ��������� �� !��� ��������� � ���

��������� ������/�� ���������� $� �� ���� &���� ���� � ������ ����� �������� ��� ��������

��������� ��!��� �� ��������!�� 7��� �0�8� J������ ��� �������� ��������� ��!��� ��� !�

������ � ��� � ���� ��� !� ������� ����� ������������ �������� �0� � ����������& ��������

�;�� �� ��&� ��� ������ �������� ���� �� ��� ������ ����� �� �� �������� ��� ���������� 6�

��� ���� �� �� ���� ��� ���&� ������� � ������������� ����� �� ����&�!�� �� ������ �����

��������� 6� ��� ���� ����� �� �� ������������� ������� ���������� �� ��� ������� � ���

��������� � ���������� ��� � ����� ����� ����� �� �� ������ ��� �%��������� ����& �%����

! �� ����� ������������� ��2������� ���� �������� �� �������� ����� ��� �������� ����

���� �� !� ������� ���� � �� ������ �������� ������ �� ��� ������� ��������� � �

������

��� 1����� F�� G����K��� 1� ��� <�������� F����� L� #���� )���&��� ��� D�����!����

������� � ����� 1�������� �1)1� '+� ������ FE)�� �4+;� 0-4M0+�� �''+�

�0� 1��� D� ��� .���� .�F� 1 ���� � ����� 1�������� ����������� "�� ��� #������� �0-�

�+4M04,� �'';�

�4� 1��� D�� )�����!����� )� ��� .���� .�F� #�����)���&��� �� .���� D��������� $����������

��� "�� ������� ��;� 0M4;� �''4�

�;� 1��� D�� I�"� F� ��� J��/����� ��1� C�����)���& 1������� 1 .�������/�!�� )���� �

����� 1�������� ����������� "�� ��� #������� 0�;� �''*�

�,� I������ D� ��� <����� D� 1 )�����2������ � ������ 3������� � 3����� 1���!���

%����� �� "�� ��� #������� 47�8 ,M44� �'',�

�-� I������ D�� <������ 1� ��� <����� D� N���� E�� $�������� � ��� 1��� ��� � ������

3�������� $� 3��������� � .$#1)� 5�&���� �� .����� ��� I���� O��2������ �

������ 3������� 7J� 6��� ��� )� #������ C���8 ������!� 4�,� �''*� .$#1)� )�����

)�DC G�������� D����� N������� �

�*� I������ D� ��� <����� D� 1�������� )������������ O��2������ � ���� ������ 3���

������ $� 3��������� � ������ $����������� 5�&���� �� ����� ��� 1�������� �

)���������� ��� 1��� ��� � � ����� 7�1)1�('-8� ������ FE)�� ��,,� �-*M�+-� �''-�

�+� I������ D� ��� <����� D� ��� )������������ ������ )���&� 1 ���� � ��� O��2���

���� � $�������� I��� ������ 3�������� $&&& ���������� �� #������� &�����������

047'8 ,,�M,*�� �''*�

�'� I������ D�� <����� D� ��� #��������� I� $�������� I��� �� � .����������� 3����� 1��

��!� $� 3��������� � �4�� $CCC )������ ������ I���������� 5�&���� 7)�I5(��8�

73� � ����� ���8� $CCC ����� )��!����� C������� P�� 0����

���� <������ P�1� ��� #������� P� ������ 3���� ��� ������ #������ $� 3��������� �

��� �'+0 $CCC � ������� �� ������ ��� 3���� � $CCC )������ ������ 3���� ��M0��

�'+0�

���� J��/����� ��1�� E�������� Q�� ���&��� P� ��� R������ �� � �!���� #���� )���&��� �

D�������� � ������ $���������� ��� "�� ������� ���� �'4M0;;� �'';�

��0� #�F���� P� 1 <����� ���� � )���������� � ���� ���� )����� N��� ��������� $����

������� I��������� $� 3��������� � �''; $CCC � ������� �� D������ �� ������ ���

3���� � $CCC 3���� �'';�

��4� D ��� 3� R� 1� ��� ��������� �� 1� 3����� 1���!� ��� E���$��������� %����� ��

"�� ��� #������� '7�08� *,M��4� 0����

��;� D������ 1�5�� 5������&� P�)�3� ��� 5��� F� E���$�������� ������ .����������

%����� �� "�� ��� #������� ;7�8� �''-�

��,� ��!������ 1� ��� ������ .� 3�!�!������� E����������� � #������������ 3������

$� 3��������� � ��� �4�� $CCC )������ ������ I���������� 5�&����� )��!�����

C������� P�� 0���� $CCC )������ ������ 3���� 0����

��-� R������ �� #���� )���&��� ����� 1�������� F������ �� C�!����� � ������ ������

FE)�� �;';� ��;M�,0� �''-�