11 matematik ka pdf

Mil li E i tim Ba kan l Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Ba kan l ’n n 24.08.2011 ta rih ve

121 sa y l ka ra r ile ka bul edi len ve 2011-2012 Ö re tim Y l n dan iti ba ren uy gu la-

na cak olan prog ra ma gö re ha z r lan m t r.

steme Adresi

ESEN BASIN YAYIN DA ITIM LTD. T .

Bay nd r 2. Sokak No.: 34/11–12 K z lay/ANKARA

tel.: (0312) 417 34 43 – 417 65 87

faks: (0312) 417 15 78

ISBN : 978–975–6913–95–6

Genel Müdür

Temel AteGenel Koordinatör

Ak n AteE itim Koordinatörü - Editör

Nevzat AsmaE itim Koordinatör Yard mc s

Halit B y k

Dizgi, Grafik, Tasar mEsen Dizgi Servisi

Bu ki ta b n ta ma m n n ya da bir k s m n n elek tro nik, me ka nik, fo to ko pi ya da her han gi bir ka y t sis te miy le ço al t l ma s , ya y m lan ma s ve de po lan ma s ya sak t r.

Bu ki ta b n tüm hak la r ya za rlar na ve Esen Ba s n Ya y n Da t m Li mi tet ir ke ti ne ait tir.

www.esenyayinlari.com.tr

Görsel Tasar mErol Faruk Yücel

Bask

Bahçekap Mah. 2460. Sok. Nu.:706370 a maz / ANKARATel: (0312) 278 34 84 (pbx)www.tunamatbaacilik.com.tr

Bask Tarihi2012 – VIII

Sevgili Ö renciler;

Halen yürürlükte olan s nav sistemine göre, üniversiteye giri s navlar nda sorulan

matematik sorular n n bir k sm 11. s n f konular ndan olu maktad r. Ayr ca, üniversiteye giri

puan n n hesaplanmas nda orta ö retim ba ar puan n n etkisi çok fazlad r ve bunun telafisi de

ileriki y llarda mümkün de ildir.

Bu sebepten dolay ;

Bu kitap, 11. s n f ö rencileri için okuldaki derslerine yard mc ve üniversiteye giri

s navlar na yönelik haz rlanm t r.

11. s n f konular içinde yer alan temel kavram ve bilgiler, gereksiz detaylardan

uzak, aç k, anla l r ve özlü bir anlat m ekli ile verilmi tir.

Bu kitap, 4 y ll k müfredatta yer alan 5 üniteden olu maktad r. Her bir ünitede konu

anlat m ndan sonra; konunun daha iyi anla lmas için çok say da çözümlü örnekler, okula yöne-

lik al t rmalar, yaz l ya haz rl k sorular , üniversiteye giri s navlar na yönelik testler, konu ile ilgili

üniversiteye giri s navlar nda ç km sorular ve çözümleri bulunmaktad r.

Kitab n kontrolünde yard mlar ndan dolay Ay en AKGÖNÜL’e te ekkür ederiz.

Mutlu, sa l kl ve ba ar l bir hayat geçirmeniz dile iyle...

Nevzat ASMA Halit BIYIK

www.nevzatasma.com www.halitbiyik.com

Korkma, sönmez bu afaklarda yüzen al sancak;Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak.O benim milletimin y ld z d r, parlayacak;O benimdir, o benim milletimindir ancak.

Çatma, kurban olay m, çehreni ey nazl hilâl!Kahraman rk ma bir gül! Ne bu iddet, bu celâl?Sana olmaz dökülen kanlar m z sonra helâl...Hakk d r, Hakk’a tapan, milletimin istiklâl!

Ben ezelden beridir hür ya ad m, hür ya ar m.Hangi ç lg n bana zincir vuracakm ? a ar m!Kükremi sel gibiyim, bendimi çi ner, a ar m.Y rtar m da lar , enginlere s mam, ta ar m.

Garb n âfâk n sarm sa çelik z rhl duvar,Benim iman dolu gö süm gibi serhaddim var.Ulusun, korkma! Nas l böyle bir iman bo ar,‘Medeniyet!’ dedi in tek di i kalm canavar?

Arkada ! Yurduma alçaklar u ratma, sak n.Siper et gövdeni, dursun bu hayâs zca ak n.Do acakt r sana va’detti i günler Hakk’ n...Kim bilir, belki yar n, belki yar ndan da yak n.

Bast n yerleri “toprak!” diyerek geçme, tan :Dü ün alt ndaki binlerce kefensiz yatan .Sen ehit o lusun, incitme, yaz kt r, atan :Verme, dünyalar alsan da, bu cennet vatan .

Kim bu cennet vatan n u runa olmaz ki fedâ?ühedâ f k racak topra s ksan, ühedâ!

Cân , cânân , bütün var m als n da Huda,Etmesin tek vatan mdan beni dünyada cüdâ.

Ruhumun senden, lâhi, udur ancak emeli:De mesin mabedimin gö süne nâmahrem eli.Bu ezanlar-ki ahadetleri dinin temeli-Ebedî yurdumun üstünde benim inlemeli.

O zaman vecd ile bin secde eder -varsa- ta m,Her cerîhamdan, lâhi, bo an p kanl ya m,F k r r ruh- mücerred gibi yerden na’ m;O zaman yükselerek ar a de er belki ba m.

Dalgalan sen de afaklar gibi ey anl hilâl!Olsun art k dökülen kanlar m n hepsi helâl.Ebediyen sana yok, rk ma yok izmihlâl:Hakk d r, hür ya am , bayra m n hürriyet;Hakk d r, Hakk’a tapan, milletimin istiklâl!

Mehmet Âkif ERSOY

ST KLÂL MAR I

ATA TÜRK’ÜN GENÇ L E H TA BE SEy Türk gençli i! Birinci vazifen, Türk istiklâlini, Türk cumhuriyetini, ilelebet, muhafaza

ve müdafaa etmektir.

Mevcudiyetinin ve istikbalinin yegâne temeli budur. Bu temel, senin, en k ymetli hazinendir. stikbalde dahi, seni, bu hazineden, mahrum etmek isteyecek, dahilî ve haricî, bedhahlar n olacakt r. Bir gün, istiklâl ve cumhuriyeti müdafaa mecburiyetine dü ersen, vazifeye at lmak için, içinde bulunaca n vaziyetin imkân ve eraitini dü ünmeyeceksin! Bu imkân ve erait, çok nâmüsait bir mahiyette tezahür edebilir. stiklâl ve cumhuriy-etine kastedecek dü manlar, bütün dünyada emsali görülmemi bir galibiyetin mümessili olabilirler. Cebren ve hile ile aziz vatan n, bütün kaleleri zapt edilmi , bütün tersanelerine girilmi , bütün ordular da t lm ve memleketin her kö esi bilfiil i gal edilmi olabilir. Bütün bu eraitten daha elîm ve daha vahim olmak üzere, memleketin dahilinde, iktidara sahip olanlar gaflet ve dalâlet ve hattâ h yanet içinde bulunabilirler. Hattâ bu iktidar sahipleri ahsî menfaatlerini, müstevlilerin siyasî emelleriyle tevhit edebilirler. Millet, fakr u zaruret içinde harap ve bîtap dü mü olabilir.

Ey Türk istikbalinin evlâd ! te, bu ahval ve erait içinde dahi, vazifen; Türk istiklâl ve cumhuriyetini kurtarmakt r! Muhtaç oldu un kudret, damarlar ndaki asîl kanda, mevcuttur!

1. ÜN TE KARMA IK SAYILARSanal Say Birimi ..........................................................................................................................10Karma k Say lar ..........................................................................................................................12ki Karma k Say n n E itli i .........................................................................................................13Karma k Düzlem .........................................................................................................................13Bir Karma k Say n n E leni i ......................................................................................................142. Dereceden Bir Denklemin Sanal Köklerini Bulmak ..................................................................14Al t rmalar - 1 .............................................................................................................................16Karma k Say larda Dört lem ....................................................................................................18Al t rmalar - 2 .............................................................................................................................22Bir Karma k Say n n Mutlak De eri (Modülü) ............................................................................24ki Karma k Say Aras ndaki Uzakl k .........................................................................................26Al t rmalar - 3 .............................................................................................................................29Karma k Say lar n Kutupsal (Trigonometrik) Biçimi ...................................................................31Kutupsal Biçimde lemler ...........................................................................................................37Al t rmalar - 4 .............................................................................................................................41Bir Karma k Say n n Kuvveti .......................................................................................................44Bir Karma k Say n n Orijin Etraf nda Döndürülmesi ...................................................................45Bir Karma k Say n n Kökleri .......................................................................................................46Al t rmalar - 5 .............................................................................................................................49Yaz l ya Haz rl k Sorular - 1 – 2 .................................................................................................51Test - 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9........................................................................................55Üniversiteye Giri S nav Sorular ................................................................................................73Üniversiteye Giri S nav Sorular n n Çözümleri ..........................................................................77

2. ÜN TE LOGAR TMAÜstel Fonksiyon ............................................................................................................................82Logaritma Fonksiyonu .................................................................................................................84Logaritma Fonksiyonunun En Geni Tan m Kümesini Bulma ....................................................86Onluk Logaritma Fonksiyonu ......................................................................................................87Do al Logaritma Fonksiyonu ......................................................................................................88Al t rmalar - 1 .............................................................................................................................89Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ..........................................................................................91Al t rmalar - 2 .............................................................................................................................99Bir Gerçek Say n n Logaritmas n n Hangi kiArd k Tam Say Aras nda Oldu unu Bulma ...............................................................................102Üstel Fonksiyon ve Logaritma Fonksiyonunun Grafi i ................................................................106Üstel Denklemler .........................................................................................................................110Logaritmal Denklemler ...............................................................................................................110Logaritmal E itsizlikler ................................................................................................................116Al t rmalar - 3 .............................................................................................................................118Yaz l ya Haz rl k Sorular - 1 – 2 .................................................................................................121Test - 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9........................................................................................125Üniversiteye Giri S nav Sorular ................................................................................................143Üniversiteye Giri S nav Sorular n n Çözümleri ..........................................................................148

3. ÜN TE PERMÜTASYON, KOMB NASYONB NOM, OLASILIK ve STAT ST K

Sayma Kurallar ............................................................................................................................154

Faktöriyel (Çarpansal) ..................................................................................................................159

Al t rmalar - 1 ..............................................................................................................................161

Permütasyon (S ralama) ..............................................................................................................164

Al t rmalar - 2 ..............................................................................................................................170

Kombinasyon (Seçme) .................................................................................................................173

Al t rmalar - 3 ..............................................................................................................................182

Binom Aç l m ...............................................................................................................................185

Al t rmalar - 4 ..............................................................................................................................189

Olas l k..........................................................................................................................................191

Al t rmalar - 5 ..............................................................................................................................201

statistik.........................................................................................................................................204

Al t rmalar - 6 ..............................................................................................................................225

Yaz l ya Haz rl k Sorular - 1 – 2 .................................................................................................227

Test - 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 ..............................................................231

Üniversiteye Giri S nav Sorular ................................................................................................255

Üniversiteye Giri S nav Sorular n n Çözümleri ..........................................................................260

4. ÜN TE TÜME VARIM ve D Z LER

TÜME VARIMTüme Var m Yöntemi ...................................................................................................................266

Al t rmalar - 1 ..............................................................................................................................273

Toplam Sembolü ..........................................................................................................................274

Toplam Formülleri ........................................................................................................................276

Al t rmalar - 2 ..............................................................................................................................281

Çarp m Sembolü ..........................................................................................................................283

Al t rmalar - 3 ..............................................................................................................................289

Yaz l ya Haz rl k Sorular - 1 – 2 .................................................................................................291

Test - 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 ...................................................................................................295

Üniversiteye Giri S nav Sorular ................................................................................................309

Üniversiteye Giri S nav Sorular n n Çözümleri ..........................................................................311

D Z LERDiziler ............................................................................................................................................314Dizilerin E itli i .............................................................................................................................320Dizilerde lemler ..........................................................................................................................321Monoton Diziler ............................................................................................................................322Alt Dizi ..........................................................................................................................................324Al t rmalar - 1 ..............................................................................................................................326Aritmetik Dizi ................................................................................................................................329Al t rmalar - 2 ..............................................................................................................................333Geometrik Dizi ..............................................................................................................................335Al t rmalar - 3 ..............................................................................................................................341Yaz l ya Haz rl k Sorular - 1 – 2 .................................................................................................343Test - 1 – 2 – 3 – 4 – 5 ................................................................................................................347Üniversiteye Giri S nav Sorular ................................................................................................357Üniversiteye Giri S nav Sorular n n Çözümleri ..........................................................................360

5. ÜN TE MATR S, DETERM NANT ve DO RUSAL DENKLEM S STEMLER

Matris ............................................................................................................................................364ki Matrisin Çarp m ......................................................................................................................370Kare Matrisin Kuvvetleri ..............................................................................................................373Bir Matrisin Çarpma lemine Göre Tersi .....................................................................................375Bir Matrisin Devri i (Transpozu) ...................................................................................................378Al t rmalar - 1 ..............................................................................................................................380Do rusal (Lineer) Denklem Sistemleri .........................................................................................383Gauss Yok Etme Yöntemi ............................................................................................................384Gauss - Jordan Yok Etme Yöntemi ..............................................................................................386Al t rmalar - 2 ..............................................................................................................................388Determinant ..................................................................................................................................389Minör ve E Çarpan (Kofaktör).....................................................................................................389Sarrus Kural ................................................................................................................................390Determinant n Özellikleri ..............................................................................................................391Ek (Adjoint) Matris ........................................................................................................................394Cramer Kural ...............................................................................................................................397Al t rmalar - 3 ..............................................................................................................................398Yaz l ya Haz rl k Sorular - 1 – 2 ..................................................................................................401Test - 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 ....................................................................................................405Üniversiteye Giri S nav Sorular ................................................................................................419Üniversiteye Giri S nav Sorular n n Çözümleri ..........................................................................424

KARMA IK SAYILAR

ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T

Karma k Say lar

1. Kazan m : Gerçek say lar kümesini geni letme gere ini örneklerle aç klar.

2. Kazan m : Sanal birimi (i say s n ) belirtir ve bu say n n kuvvetlerini hesaplar.

3. Kazan m : Karma k say y , standart biçimini, gerçek k sm n , sanal k sm n aç klar ve iki karma k say n n e itli ini ifade eder.

4. Kazan m : Karma k düzlemi aç klar ve verilen bir karma k say y karma k düzlemde gösterir.

5. Kazan m : Bir karma k say n n e leni ini ve modülünü aç klar, karma k düzlemde gösterir.

6. Kazan m : Karma k say larda toplama ve ç karma i lemlerini ve geometrik yorumlar n yapar, top-lama i leminin özelliklerini gösterir.

7. Kazan m : Karma k say larda çarpma ve bölme i lemlerini yapar, çarpma i leminin özelliklerini gösterir.

8. Kazan m : E lenik ve modül ile ilgili özellikleri gösterir.

9. Kazan m : Karma k say larda ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözer.

10. Kazan m : Karma k düzlemde iki karma k say aras ndaki uzakl aç klar ve karma k say ile çember ili kisini belirtir.

Karma k Say lar n Kutupsal Biçimi

1. Kazan m : Bir noktan n kartezyen koordinatlar ile kutupsal koordinatlar aras ndaki ba nt lar bulur, standart biçimde verilen bir karma k say n n kutupsal koordinatlar n belirler ve karma-

k düzlemde gösterir.

2. Kazan m : Kutupsal biçimde verilen iki karma k say aras nda toplama, ç karma, çarpma ve bölme i lemleri yapar.

3. Kazan m : Bir karma k say n n orijin etraf nda pozitif yönde aç s kadar döndürülmesi ile elde edilen karma k say y bulur.

4. Kazan m : De Moivre kural n ifade eder ve kutupsal koordinatlarda verilen bir karma k say n n kuvvetlerini belirler.

5. Kazan m : Verilen bir karma k say n n (n N) n. dereceden köklerini belirler, karma k düzlemde gösterir ve geometrik olarak yorumlar.

10

i nin (Sanal Birimin) Kuvvetleri

i1 = c–1

i2 = –1

i3 = i2.i = –1.i = – i

i4 = (i2)2 = (–1)2 = 1

i5 = i4.i = i

i6 = i4.i2 = –1

i7 = i4.i3 = – i

i8 = (i4)2 = 1

.....................

Yanda elde etti imiz sonuçlara göre, i nin tam say kuvvetlerinde i, –1, – i, 1 dörtlüsünün tekrarland n görürüz. Bu durumu,

n N olmak üzere,

ik =

,

,

,

,

k n

i k n

k n

i k n

1 4

4 1

1 4 2

4 3

–

–

=

= +

= +

= +

Z

[

\

]]]

]]]

biçiminde, ya da k saca

m, n N olmak üzere,

i4n+m = im biçiminde gösterebiliriz.

KARMA IK SAYILAR

x – 2 = 0 , 3x + 1 = 0 , x2 – 4 = 0 , x2 – 5 = 0 denkleminin her birinin çözüm kümelerini bulmay daha önceki y llarda ö rendiniz. Bunlar tekrar hat rlayacak olursak;

x – 2 = 0 x = 2 Ç = {2}

3x + 1 = 0 x = –31 Ç =

31–' 1

x2 – 4 = 0 x2 = 4 x = 2 x = –2 Ç = {–2, 2}

x2 – 5 = 0 x2 = 5 x = –v5 x = v5 Ç = {–v5, v5 }

Yukar daki çözümlerde de görüldü ü gibi verilen denklemlerin her birinin gerçek say lardaki (gerçek say lar kümesindeki) çözüm kümeleri bo kümeden farkl birer kümedir.

imdi de x2 + 1 = 0 denkleminin gerçek say lar kümesindeki çözüm kümesini bulmaya çal al m.

x2 + 1 = 0 x2 = –1 olur.

Gerçek say lar kümesinde karesi –1 e e it olan bir say bulunmad ndan x2 + 1 = 0 denkleminin gerçek say lar kümesindeki çözüm kümesi bo kümedir.

Ünlü matematikçi Euler a a daki tan m yaparak bu tür denklemlerin çözülmesini sa lam t r.

Ka re si –1 olan sa y ya sa nal (ima ji ner) sa y bi ri mi de nir ve i ile gös te ri lir. Yani i2 = –1 veya i = c–1 dir.

Bu tan mdan yararlanarak, x2 + 1 = 0 , x2 + 4 = 0 gibi denklemleri çözebiliriz.

x2 + 1 = 0 x2 – (–1) = 0 x2 – i2 = 0 (x – i)(x + i) = 0 x = i x = –i dir.

x2 + 4 = 0 x2 – (– 4) = 0 x2 – 4i2 = 0 (x – 2i)(x + 2i) = 0 x = 2i x = –2i dir.

m pozitif bir gerçek say olmak üzere, m i m– = dir.

, , , .i i i diri4 2 9 3 12 2 3 16 4– – – –= = = =

SANAL SAYI B R M

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

11

ÖRNEK 1

A a daki say lar n her birinin e itini bulunuz.

a. i23 b. i121 c. i2008 d. i–3 e. i– 41

Çözüm

a. 23 ün 4 ile bölümünden kalan 3 oldu undan

i23 = i3 = – i

b. 121 in 4 ile bölümünden kalan 1 oldu undan

i121 = i1 = i

c. 2008, 4 ile tam bölündü ünden kalan 0 d r.

i2008 = i0 = 1

d. i–3 = i–3+4 = i

e. – 41 in 4 ile bölümünden kalan 3 oldu undan

i–41 = i3 = – i

ÖRNEK 2

ive

i1 1

3 say lar n n e itlerini bulunuz.

Çözüm

i1 = i–1 = i–1+4 = i3 = – i

i13

= i–3 = i–3+4 = i1 = i dir.

ÖRNEK 3

n N olmak üzere, a a daki say lar n her birinin

e itini bulunuz.

a. i4n+3 b. i8n+5 c. i8n–1 d. i2–12n

Çözüm

a. 4n + 3 ün 4 ile bölümünden kalan 3 olup

i4n+3 = i3 = –i

b. 8n + 5 in 4 ile bölümünden kalan 1 olup

i8n+5 = i1 = i

c. i8n–1 = i–1 = i–1+4 = i3 = –i

d. i2–12n = i2 = –1 dir.

ÖRNEK 4

c–2.c–3.c–6 i leminin sonucunu bulunuz.

Çözüm

c–2 = v2 i , c–3 = v3 i ve c–6 = v6 i olup

c–2.c–3.c–6 = v2 i.v3i.v6i = c36 i3

= 6i3 = 6(– i) = –6i dir.

m ve n R+ .m n = sm.n

m ve n R– .m n sm.n

ÖRNEK 5

c–4 . c–9 . s–16 . c–1 i leminin sonucunu bulunuz.

Çözüm

c–4 = 2i , c–9 = 3i

s–16 = 4i , c–1 = i oldu undan

c–4 . c–9 . s–16 . c–1 = 2i.3i.4i.i

= 24.i4

= 24.1 = 24 bulunur.

ÖRNEK 6

i6 + i7 + i8 + i9 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

i6 + i7 + i8 + i9 = i2 + i3 + i0 + i1

= –1 – i + 1 + i = 0 olur.

i nin ard k 4 kuvvetinin toplam 0 d r.

ÖRNEK 7

i1 + i2 + i3 + ... + i81 + i82 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

i1 + i2 + i3 + i4 + i5 + i6 + i7 + i8 + ... + i77 + i78

+ i79 + i80

+ i81 + i82

0 0 0= i81 + i82 = i1 + i2 = i – 1 bulunur.

Karma k Say lar

12

ES

EN

YAY

INLA

RI

ÖRNEK 8

A a daki tabloda baz karma k say lar n reel ve sanal k s mlar belirtilmi tir. nceleyiniz.

� ��

��

��

��

v�

�

��

�

v��

�

�

v

�

��

�

v��

�

��

��

�

�

�

�

�

ÖRNEK 9

z = i2 + i3 + i6 + i7 ise Re(z) ve Im(z) de erlerini bulunuz.

Çözüm

z = i2 + i3 + i6 + i7

= i2 + i3 + i2 + i3

= –1 – i – 1 – i = –2 – 2i olur.

z = –2 – 2i ise Re(z) = –2 ve Im(z) = –2 dir.

ÖRNEK 10

z = c–2.c–8 + c–9 + c–4 ise Re(z) ve Im(z) de-

erlerini bulunuz.

Çözüm

z = c–2.c–8 + c–9 + c–4

= v2i.2v2 i + 3i + 2i

= 4i2 + 5i

= –4 + 5i olur.

z = –4 + 5i Re(z) = –4 ve Im(z) = 5 tir.

ÖRNEK 11

z = i i i1 1 1

2 3+ + ise Re(z) ve Im(z) de erlerini bu-

lunuz.Çözüm

z = i i i1 1 1

2 3+ +

= i–1 + i–2 + i–3

= i–1+4 + i–2+4 + i–3+4

= i3 + i2 + i

= –i – 1 + i = –1 olur.

z = –1 Re(z) = –1 ve Im(z) = 0 d r.

i2 = –1 ve a, b R olmak üzere,

a + bi biçiminde ifade edilen say lara karma k (kompleks) say denir.

Karma k say lar kümesi C ile gösterilir ve C = {z: z = a + bi , a, b R} dir.

z = a + bi yaz l na karma k say n n standart yaz l denir.

a ya karma k say n n reel k sm denir ve Re(z) = a olarak gösterilir.

b ye karma k say n n sanal (imajiner) k sm denir ve Im(z) = b biçiminde gösterilir.

KARMA IK SAYILAR

Karmaşık Sayılar

ES

EN

YAY

INLA

RI

13

İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

İki karmaşık sayının eşit olabilmesi için reel ve sanal kısımlarının ayrı ayrı birbirine eşit olması gerekir.

z1 = a + bi

z2 = c + di }

verildiğinde

z1 = z2 ⇒ a = c ve b = d dir.

ÖRNEK 12

z1 = m – 3 + 4i , z2 = 5 + (n – 1)i

ve z1 = z2 olduğuna göre m ve n değerlerini bu-lunuz.

Çözüm

z1 = z2 ise

m – 3 = 5 ve n – 1 = 4 tür.

m = 8 ve n = 5 bulunur.

ÖRNEK 13

a < b < 0 < c olmak üzere,

( )b c a ab i3 4– + = + ise b.c kaçtır?

Çözüm

b < 0 ve c – a > 0 olduğundan,

b(c – a) < 0 olur. Bu durumda,

( ) ( ) ( )b c a b a c i b a c– – – –==

olacağından,

( )b c a ab– + = 3 + 4i

( )i b a c ab– + = 3 + 4i

( )b a c– = 4 ve cab = 3

ab – bc = 16 ve ab = 9

ab – bc = 16 ⇒ 9 – bc = 16

⇒ bc = –7 bulunur.

KARMAŞIK DÜZLEM

Karmaşık sayıların, analitik düzlemin noktalarıyla bire bir eşlenmesi ile oluşturulan düzleme karmaşık düzlem denir.

�

�

� �

� ��

��

��

x eksenine karmaşık düzlemin reel ekseni, y ekseni-ne de karmaşık düzlemin sanal ekseni denir.

ÖRNEK 14

Aşağıdaki sayıları karmaşık düzlemde gösteriniz.

z1 = 2 + 4i , z2 = – 4 + 2i

z3 = –3 – 5i , z4 = 6 – 2i

z5 = 4 , z6 = –1

z7 = 6i , z8 = – 4i

Çözüm

x

y

0

z1 = 2 + 4i

sanaleksen

reeleksen

z2 = – 4 + 2i

z3 = – 3 – 5i

z4 = 6 – 2i

z5z6

z7

z8

–5

–4

–2

–1

6

4

2

2 4

6

–4

–3

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

14

B R KARMA IK SAYININ E LEN

Z = a + bi nin reel eksene göre simetri i olan a – bi say s na Z nin e leni i denir.–Z = a – bi biçiminde gösterilir.

�

�

� �

� �

��

ÖRNEK 15

A a daki tabloda baz karma k say larla e lenikleri verilmi tir. nceliyiniz.

� �

��

��

��

� �

�

�

��v�

��

��

��

��

�

��

��v�

ÖRNEK 16

z = 1 + 2i karma k say s ile e leni ini karma k düzlemde gösteriniz.

Çözüm

�

�

� �

� �

��

z = 1 + 2i ise–z = 1 – 2i dir.

Grafikte de görüldü ü gibi, bir karma k say ile e leni i reel eksene göre simetriktir.

ÖRNEK 17

( )z = z oldu unu gösteriniz.

Çözüm

z = a + bi olsun.–z = a – bi ve ( )z = a + bi olur.

Dolay s yla,

Bir kar ma k sa y n n e le ni i nin e le ni i ken di si-ne e it tir.

K NC DERECEDEN B R DENKLEM NSANAL KÖKLER N BULMAK

a, b, c R ve a 0 için ax2 + bx + c = 0 denklemini çözerken

= b2 – 4ac ve x1,2 = a

b2

– ! 3 olmak üzere

> 0 ise denklemin fark iki gerçel kökünün

= 0 ise denklemin e it iki gerçel kökünün

< 0 ise denklemin gerçel kökünün bulunmad -n biliyoruz. te, < 0 durumunda denklemin

sanal iki kökü vard r.

ÖRNEK 18

x2 – 2x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm

x2 – 2x + 2 = 0 denkleminde,

a = 1 , b = –2 ve c = 2 oldu undan

= b2 – 4ac = (–2)2 – 4.1.2

= 4 – 8 = – 4 tür.

< 0 oldu undan verilen denklemin sanal kökle-ri vard r. Bu kökler,

x1,2 = .

( )a

b2 2 1

2 4– – – –! 3 !=

= i2

2 2!

= 1 ± i olur.Çözüm kümesi, Ç = {1 – i , 1 + i } bulunur.

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

15

ÖRNEK 19

x2 – 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulup köklerin aras ndaki ili kiyi tespit ediniz.

Çözüm

x2 – 2x + 5 = 0 denkleminde,

a = 1 , b = –2 ve c = 5 oldu undan

= b2 – 4ac = 4 – 4.1.5 = –16 olur.

x1,2 = .

( )a

b2 2 1

2 16– – – –! 3 != = i i

22 4 1 2!

!=

x1 = 1 + 2i ve x2 = 1 – 2i bulunur.

1 + 2i ve 1 – 2i karma k say lar n n birbirle-

rinin e leni i oldu una dikkat ediniz.

Reel kat say l , ikinci dere ce den bir denk le mde

< 0 iken kök le r bir bi ri nin e le ni idir.

ÖRNEK 20

Reel kat say l ikinci dereceden bir denklemin kökle-rinden biri 3 – 2i ise bu denklemi bulunuz.

Çözüm

x1 = 3 – 2i ise x2 = 3 + 2i olaca ndan

x1 + x2 = 3 – 2i + 3 + 2i = 6

x1.x2 = (3 – 2i)(3 + 2i) = 9 + 4 = 13 tür.

x2 – (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0 x2 – 6x + 13 = 0 olur.

ÖRNEK 21

m ve n reel say lar olmak üzere, x2 + mx + n = 0 denkleminin köklerinden biri x1 = 2 – 3i ise m ve n de erlerini bulunuz.

Çözüm

Köklerden biri, x1 = 2 – 3i ise di eri x2 = 2 + 3i dir.

x2 + mx + n = 0 denkleminde;

x1 + x2 = ab– = – m oldu undan

2 – 3i + 2 + 3i = – m m = – 4 olur.

x1.x2 = ac = n oldu undan

(2 – 3i)(2 + 3i) = n n = 4 + 9 n = 13 bulunur.

ÖRNEK 22

Toplamlar 4 ve çarp mlar 8 olan iki karma k sa-y y bulunuz.

Çözüm

Toplamlar 4, çarp mlar 8 olan iki say x1 ve x2 olsun.

x1 + x2 = 4 ve x1.x2 = 8 ko ullar n sa layan ikinci dereceden denklem

x2 – (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0 eklinde yaz l rsa,

x2 – 4x + 8 = 0 olur.

Bu denklemin kökleri x1 ve x2 say lar d r.

= b2 – 4ac = (– 4)2 – 4.1.8

= 16 – 32

= –16

x1,2 = .

( )a

b2 2 1

4 16– – – –! 3 !=

= i2

4 4!

= 2 ± 2i bulunur.

Arad m z say lar, 2 + 2i ve 2 – 2i dir.

ÖRNEK 23

Köklerinden biri 2, di er ikisi 2 + i ve 2 – i komp-leks say lar olan üçüncü dereceden reel kat say l denklem nedir?

Çözüm

x1 = 2 + i ve x2 = 2 – i ise

x1 + x2 = 2 + i + 2 – i = 4

x1.x2 = (2 + i).(2 – i) = 4 + 1 = 5

x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 x2 – 4x + 5 = 0

denklemi bir çarpan olmal d r.

Köklerinden biri de x = 2 ise x – 2 = 0 denklemi de bir çarpand r.

O halde, istenen üçüncü dereceden reel kat say -l denklem,

(x – 2).(x2 – 4x + 5) = 0

x3 – 4x2 + 5x – 2x2 + 8x – 10 = 0

x3 – 6x2 + 13x – 10 = 0 olarak bulunur.

16

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. A a daki say lar n e itini i cinsinden bulunuz.

a. c–8 b. s–25

c. s–49 d. s–50

2. A a daki say lar n e itini bulunuz.

a. i27 b. i41 c. i105

d. i–4 e. i–17 f. i–341

g. i4n+1 h. i8n+2 i. i3–12n

j. i16n–3 k. i–16n–7 l. i26–24n

3. A a daki i lemleri sonuçland r n z.

a. c–2 . c–4

b. c–3 . c–6 . c–9

c. c–2 . c–8 . s–10

d. c–1 . c–3 . c–6 . c–8


a. i5 + i6 + i7 + i8

b. i–2 + i–3 + i–4 + i–5

c. i1 + i2 + i3 + ... + i60

d. i2 + i4 + i6 + ... + i80

e. i1 + i3 + i5 + ... + i27

f. i4 + i8 + i12 + ... + i40

5. A a daki tabloda bulunan bo luklar uygun bir ekilde doldurunuz.

� ��

��

��

�

��v�

�

�

�

�

��

ALIŞTIRMALAR – 1

1. a. 2v2i b. 5i c. 7i d. 5v2i 2. a. – i b. i c. i d. 1 e. – i f. – i g. i h. –1 i. – i j. i k. i l. –1

3. a. –2v2 b. –9v2i c. –4c10i d. 12 4. a. 0 b. 0 c. 0 d. 0 e. 0 f. 10

Karma k Say lar

17

6. A a daki e itliklerden a ve b de erlerini bulu-nuz.

a. (a – 1) + (b – 2)i = 4 + 3i

b. 2a – 1 + i = 4 – bi + i

c. 2ai + b = 3

d. 4 + a + 2i – bi = 4i

7. A a daki karma k say lar karma k düzlemde gösteriniz.

a. 3 + 4i b. 2 – 3i

c. –3 + i d. –1 – i

e. 3i f. –2i

g. 4 h. –3

8. A a daki tabloda bulunan bo luklar uygun bir ekilde doldurunuz.

� �

��

��

v��

��

��

9. z = 3 – 2i karma k say s ile e leni ini karma k düzlemde gösteriniz.

10. A a daki 2. dereceden denklemlerin çözüm kü-melerini bulunuz.

a. x2 – x + 1 = 0

b. x2 – 2x + 4 = 0

c. x2 + 4 = 0

d. x2 + 4x + 6 = 0

11. Reel kat say l ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri 2 + i ise bu denklemi bulunuz.

12. a ve b gerçek say lar olmak üzere,

x2 + ax + b = 0 denkleminin köklerinden biri

x1 = 3 + 4i ise a.b kaçt r?

13. Toplamlar –2 ve çarp mlar 4 olan iki karma k say y bulunuz.

ES

EN

YAY

INLA

RI

6. a. a = 5 , b = 5 b. a = 25 , b = 0 c. a = 0 , b = 3 d. a = –4 , b = –2 10. a. i

21 3!) 3 b. {1 m v3 i} c. {m2i} d. {–2 m v2 i}

11. x2 – 4x + 5 = 0 12. –150 13. –1 + v3 i , –1 – v3 i

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

18

KARMA IK SAYILARDA DÖRT LEM

Karma k Say larda Toplama lemi

z1 = a1 + b1i ve z2 = a2 + b2i ise

z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i dir.

�

�

�

��

��

��

( , )( , )

z a bz a b

1 1 1

2 2 2

==

4 z = (a1 + a2 , b1 + b2) ve

Oz1zz2 paralelkenard r.

ÖRNEK 24

z iz i

2 53 4–

1

2

= +=

3 ise z1 + z2 = 5 + i dir.

ÖRNEK 25

z1 = 3 + pi , z2 = k + 2i ve z1 + z2 = –3 + 4i

oldu una göre p ve k de erlerini bulunuz.

Çözüm

z1 + z2 = (3 + k) + (p + 2)i

(3 + k) + (p + 2)i = –3 + 4i oldu undan,

3 + k = –3 k = –6

p + 2 = 4 p = 2 bulunur.

z = a + bi kar ma k sa y s n n top la ma i le mine göre tersi,

–z = –(a + bi) = –a – bi dir.

ÖRNEK 26

3 – 5i nin toplama i lemine göre tersi –3 + 5i dir.

4i nin toplama i lemine göre tersi –4i dir.

5 in toplama i lemine göre tersi –5 tir.

Karma k Say larda Ç karma lemi

z1 = (a1, b1) ve z2 = (a2, b2)

z1 – z2 = z1 + (– z2) = a1 + b1i + (–a2 – b2i)

= (a1 – a2) + (b1 – b2)i dir.

ÖRNEK 27

z1 = 2 – 6i ve z2 = 5 + 4i oldu una göre,

z2 – z1 i leminin sonucunu bulunuz.

Çözüm

z2 – z1 = z2 + (– z1) = (5 + 4i) + (–2 + 6i)

= 5 + 4i – 2 + 6i

= 3 + 10i bulunur.

ÖRNEK 28

z1 = 5 + 3i ve z2 = 2 – i oldu una göre,

a. z1 + 2z2 b. 3z1 – 4z2

i lemlerini sonuçland r n z.

Çözüm

a. z1 + 2z2 = (5 + 3i) + 2(2 – i)

= 5 + 3i + 4 – 2i = 9 + i bulunur.

b. 3z1 – 4z2 = 3(5 + 3i) – 4(2 – i)

= 15 + 9i – 8 + 4i = 7 + 13i bulunur.

Karma k Say larda Çarpma lemi

z1 = a + bi ve z2 = c + di ise

z1.z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2

= ac + i(ad + bc) – bd

= (ac – bd) + (ad + bc)i dir.

ÖRNEK 29

z1 = 4 – 7i ve z2 = 5 + 2i oldu una göre,

z1.z2 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

z1.z2 = (4 – 7i)(5 + 2i)

= 20 + 8i – 35i + 14

= 34 – 27i bulunur.

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

19

ÖRNEK 30

z1 = 2 + i ve z2 = –3 + i oldu una göre,

z1.z2 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

z1.z2 = (2 + i)(–3 + i)

= –6 + 2i – 3i + i2 = –7 – i bulunur.

z = a + bi olmak üzere,

z.–z = (a + bi)(a – bi) = a2 + b2 dir.

ÖRNEK 31

A a daki tabloda z , –z ve z.

–z aras ndaki ili kiler

sonuçland r lm t r. nceleyiniz.

�

��

��

��

��

�

��

v��

��

��

��

��

� �

�

v��

��

��

��

��

��

��

��

�v��

� � �

z = a + bi nin çarpma i lemine göre tersi

z–1 = a bi

1+

dir.

z–1 = a bi

1+

nin pay ve paydas n a + bi nin e le-

ni i olan a – bi ile çarpal m.

z–1 = ( ) ( )

. ( )a bi a bi

a bia ba bi1

–– –

2 2+=

+

z–1 = a b

aa b

b i–2 2 2 2+ +

olur.

ÖRNEK 32

z = 3 – 2i nin çarpmaya göre tersini bulunuz.

Çözüm

z–1 = i

i i3 2

19 43 2

133 2

–=

++ = +

= i133

132+ bulunur.

ÖRNEK 33

z = – 4 + 3i ise Re(z–1) de erini bulunuz.

Çözüm

z = – 4 + 3i z–1 = i4 3

1– +

z–1 = 4 3i i25 25

4253– – – –=

Re(z–1) = 254– bulunur.

Karma k Say larda Bölme lemi

z1 = a + bi ve z2 = c + di , (z2 0) olmak üzere,

zz

2

1 = z1.z2–1 =

c dia bi

++ olur. Bu durumda,

zz

2

1 = ( ) ( )( ) ( )c di c dia bi c di

––

++ i lemi sonuçland r larak

zz

2

1

bulunur.

ÖRNEK 34

z1 = 5 + i ve z2 = 3 – 2i ise

zz

2

1 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

zz

ii

3 25–2

1 = +

pay ve payday paydan n e leni i ile çarpal m.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

zz

i ii i i

3 2 3 25 3 2

9 415 2 10 3

––

2

1 =+

+ +=

++ +

i1313

1313= +

= 1 + i bulunur.

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

20

ÖRNEK 35

z1 = 2 + i ve z2 = 1 + 3i ise zz

2

12

ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

( )zz

ii

ii

ii

1 32

1 34 1 4

1 33 4–

2

12 2

=++

=+

+ =++

( ) ( )

(3 12) ( 9 4)

5

.

i i

i

i

i bulunur

1 93 4 1 3

10

1015

10

23

21

–

–

–

–

=+

+

=+ + +

= +

=

ÖRNEK 36

zii

32 –=

+ ise Re(z) ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm( ) ( )

(6 1) ( 3 2)

.

ii i i

i

i

i olur

32

9 12 3

10

105

105

21

21

– – –

– – –

–

–

+=

+

=+

=

=

Bu durumda Re(z) = 21 bulunur.

ÖRNEK 37

zi2

1–

= karma k say s n n e leni inin sanal k s-

m n bulunuz.

Çözüm

zi

i i i2

14 12

52

52

51

–= =

++ = + = +

( )i2 +

olaca ndan, –z = i

52

51– dir.

Bu durumda,

Im(–z) = –

51 olur.

ÖRNEK 38

z = ii x

12

–– karma k say s n n reel k sm

23 ise sanal

k sm kaçt r?

Çözüm(2 )( 1)

zii x i x i i i xi x

12

1 1 22 2

–– – – – – –2

= =+

= + +

( )i 1– –

( )x xi

22

22–

= + ++

Re(z) = 23 x

22

23+ = x = 1 olur.

Im(z) = x2

22

2 121– – –+ = + = bulunur.

(1 + i)2 = 12 + 2.1.i + i2 = 1 + 2i – 1 = 2i dir.Benzer ekilde,(1 – i)2 = –2i ve (–1 – i)2 = 2i olur.

ÖRNEK 39

(1 + i)20 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

(1 + i)20 = [(1 + i)2]10 = (2i)10

= 210.i10

= 210.i2

= –210 bulunur.

ÖRNEK 40

(1 – i)21 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

(1 – i)21 = (1 – i)20.(1 – i)

= [(1 – i)2]10.(1 – i)

= (–2i)10(1 – i)

= 210.i10(1 – i)

= 210.i2(1 – i)

= –210(1 – i) bulunur.

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

21

ÖRNEK 41

(–2 + 2i)31 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

(–2 + 2i)31 = [2(–1 + i)]31

= 231 (–1 + i)31

= 231[(–1 + i)2]15(–1 + i)

= 231(–2i)15(–1 + i)

= 231.(–2)15.i15(–1 + i)

= –246.i3(–1 + i)

= –246.(–i)(–1 + i)

= 246(–i + i2) = 246(–i – 1) bulunur.

ÖRNEK 42

(1 + i)40(1 – i)41 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

(1 + i)40(1 – i)41 = (1 + i)40(1 – i)40(1 – i)

= [(1 + i)(1 – i)]40(1 – i)

= [1 + 1]40(1 – i)

= 240(1 – i) bulunur.

ÖRNEK 43

( )( )

ii

11–

17

18

+ ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

( )( )

( )( )

( )ii

ii

i11

11

1– –

· –17

18

17

17

+=

+

= ( )ii i

11 1 – –( )i1

17

–+f p

= ( )i1 11– 2 17

+d n (1 – i)

= i22– 17c m (1 – i)

= (–i)17(1 – i)

= –i(1 – i)

= –i + i2 = –i – 1 bulunur.

ÖRNEK 44

z(2 + i) = 5 + i + –z e itli ini sa layan z karma k

say s n bulunuz.

Çözüm

z = a + bi al n rsa, –z = a – bi olur.

Bu de erleri verilen e itlikte yerine yazarsak

(a + bi)(2 + i) = 5 + i + a – bi

2a + ai + 2bi – b = 5 + i + a – bi

2a – b + i(a + 2b) = (5 + a) + i(1 – b) olur.

ki karma k say n n e itli inden

2a – b = 5 + a ve a + 2b = 1 – b

a – b = 5 ve a + 3b = 1 olur.

a ba b

53 1

– =+ =

3 a = 4 ve b = –1 bulunur.

Bu durumda, z = a + bi = 4 – i dir.

ÖRNEK 45

z3 + z2 + mz + 6 = 0 denkleminin bir kökü 1 + i ise

m de erini bulunuz.

Çözüm

Denklemin bir kökü 1 + i ise bu kök denklemi sa lar.

(1 + i)3 + (1 + i)2 + m(1 + i) + 6 = 0

(1 + i)2.(1 + i + 1) + m(1 + i) + 6 = 0

(1 + 2i – 1)(2 + i) + m(1 + i) + 6 = 0

2i(2 + i) + m(1 + i) + 6 = 0

4i – 2 + m + mi + 6 = 0

(m + 4) + i(m + 4) = 0

m = – 4 bulunur.

Karma k Say n n E leni i le lgili Özellikler

z z=^ h z z z z1 2 1 2+ = +

z z z z– –1 2 1 2=

. .z z z z1 2 1 2=

: :z z z z1 2 1 2=

22

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. z1 = 3 + 2i ve z2 = 4 – 3i olmak üzere a a da-kilerin e itini bulunuz.

a. z1 + z2

b. z1 – z2

c. 2z1 + 3z2

d. 3z1 – 5z2

e. z1.z2

f. i.z1

g. 2i.z1 + 3z2

h. (z1 + 1)(z2 – i)

2. A a daki tablodaki bo luklar doldurunuz.

�

��

v� �

v��

�

v�

� � �

3. A a daki karma k say lar n çarpma i lemine göre terslerini bulunuz.

a. 4 – 2i

b. 3 + i

c. 2 – i

d. 2i


a. ii

32

–+

b. i

i3

4 2+

c. ii

11

–+

d. ( ) ( )i

i i3

1 2 –+

+

e. (1 + i)10

f. (2 – 2i)13

g. (2 + i)10(2 – i)10

h. (4 – 4i)6(4 + 4i)7

i. ( )( )

ii

11–

7

6

+

ALIŞTIRMALAR – 2

1. a. 7 – i b. –1 + 5i c. 18 – 5i d. –11+21i e. 18 – i f. –2 + 3i g. 8 – 3i h. 24 – 8i 3. a. i10

2 + b. i10

3 – c. i5

2 + d. i2–

4. a. i2

1 + b. i3

2 4– c. i d. 1 e. 32i f. 219(i–1) g. 510 h. 232(1+i) i. i2

1–

Karma k Say lar

23

ES

EN

YAY

INLA

RI

5. z = ii

23 –

+ ise Im(

–z) nedir?

6. i1

2+

say s n n e leni inin reel k sm kaçt r?

7. z = 3 + 2i ve w = 1 – 2i olmak üzere a a daki-lerin e itini bulunuz.

a. z.w

b. z w2+

c. .i z – 3w

d. z.w2

e. z

w2

f. (z + 1)(w + i)

8. A a daki e itliklerden do ru olanlar için bo kutuya “D” yanl olanlar için “Y” yaz n z.

z.–z = z2

z^ h = z

z w+ = z – w

. .z w z w=

: :z w z w=

9. A a daki e itlikleri sa layan z karma k say la-r n bulunuz.

a. z.i + 3z = 2 + i

b. (1 + i)2.z + z = 2

c. 3z + 3 = –z – 2i

d. 1 – 3z = –z + 4i

e. 2z – –z = 3i5


a. ii i

ii

21 2

1 22– –10 10

++

+c cm m

b. (1 + i)2 + (1 + i)3 + (1 + i)4 + (1 + i)5

c. (1 + i) (1 + i2) (1 + i3) ...... (1 + i41)

5. 1 6. 1 7. a. –1 + 8i b. 5 + 2i c. –5 + 3i d. –1 – 18i e. i13

1 18– – f. 6 – 2i 8. Y, D, Y, D, D

9. a. i107

101+ b. i

52

54– c. i

23

21– – d. i

41 2– e. i 10. a. –1 – i b. –10 c. 0

Karma k Say lar

24

ÖRNEK 46

A a daki tabloda baz karma k say lar ve mutlak de erleri ifade edilmi tir. nceleyiniz.

z

a + bi

3 + 4i

3 – 4i

–3 – 4i

–1 + v3i

–2i

4i

–3

a2 + b2

32 + 42 = 5

32 + (– 4)2 = 5

(–3)2 + (– 4)2 = 5

(–1)2 + (v3)2 = 2

02 + (–2)2 = 2

02 + 42 = 4

(–3)2 + 02 = 3

|z|

Yukar daki örneklerde görüldü ü gibi,

|z| = |–z| = |–z| = |–

–z| dir.

ÖRNEK 47

z.–z = |z|2 oldu unu gösterelim.

Çözüm

z = a + bi al n rsa –z = a – bi olur.

z.–z = (a + bi)(a – bi) = a2 + b2

|z| = a b2 2+ |z|2 = a2 + b2 dir.

O halde, z.–z = |z|2 bulunur.

ÖRNEK 48

z = ii

23 –

+ ise z.

–z ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

z.–z = |z|2 oldu undan,

|z| = ii

ii

23

23

4 19 1

510 2– –

+=

+=

++ = = olur.

z.–z = |z|2 = ( 2 )2 = 2 bulunur.

ÖRNEK 49

zi i1

111–

=+

+ oldu una göre |z| nedir?

Çözüm

zi i

i i1

111

1 11 1

22

––=

++ =

++ + = = 1

O halde, |z| = 1 bulunur.

ÖRNEK 50

z – i = 5 – |z|.i e itli ini sa layan z karma k say -s n bulunuz.

Çözüm

z = a + bi al n rsa |z| = a b2 2+ olur.

z – i = 5 – |z|.i a + bi – i = 5 – a b2 2+ i

a + i(b – 1) = 5 – a b2 2+ i

a = 5 ve b – 1 = – a b2 2+

b – 1 = – a b2 2+ e itli inde a = 5 yazarsak,

b – 1 = b25– 2+ b2 – 2b + 1 = 25 +b2

b = –12 olur.

z = a + bi z = 5 – 12i bulunur.

ES

EN

YAY

INLA

RI

Karma k düzlemde, bir karma k say ya kar l k gelen noktan n ba lang ç noktas na olan uzakl na bu karma-

k say n n mutlak de eri veya modülü denir ve |z| biçiminde gösterilir.

x

y

0 a

b z = a + bi

|z|

Grafikte görüldü ü gibi

|z|2 = a2 + b2

|z| = a b2 2+ dir.

B R KARMA IK SAYININ MUTLAK DE ER (MODÜLÜ)

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

25

Mutlak De erlerle lgili Özellikler

|z | = |–z| = |–z| = |–

–z|

|z |2 = z.–z

|z1.z2| = |z1|.|z2|

zz

zz

2

1

2

1= , (z2 0)

n N olmak üzere, |zn| = |z |n

||z1| – |z2|| |z1 + z2| |z1| + |z2|

ÖRNEK 51

z = 2 + i oldu una göre |z4| nin de erini bulunuz.

Çözüm

|z | = |2 + i | = 2 12 2+ = v5

|z4| = |z |4 = (v5)4 = 25 bulunur.

ÖRNEK 52

z1 = 5 – 2i ve z2 = 3 + i oldu una göre

zz

2


Çözüm

|z1| = ( )5 2–2 2+ = c29 ve

|z2| = 3 12 2+ = c10 olaca ndan

,zz

zz

1029 2 9

2

1

2

1= = = bulunur.

ÖRNEK 53

z = a2 – b2 + 2abi oldu una göre |z| de eri kaçt r?

Çözüm

|z| = ( )a b ab2–2 2 2 2+^ h = a a b b a b2 4–4 2 2 4 2 2+ +

= a a b b24 2 2 4+ +

= ( )a b2 2 2+ = a2 + b2 bulunur.

ÖRNEK 54

z = 1 + cos + isin

oldu una göre |z| de erini bulunuz.

Çözüm

|z| = ( )cos sin1 2 2i i+ +

= cos cos sin1 2 2 2i i i+ + +

= cos2 2 i+

= . ( )cos2 1 i+

= cos2 1 22

1–2 i+c m = . cos2 2

22 i = 2.cos

2i bulunur.

ÖRNEK 55

z = ( )( )

a b i a ba b i a b

–– –+ +

+ ise |–z| de erini bulunuz.

Çözüm

|–z| = |z | =

( )( )

a b i a ba b i a b

–– –+ +

+

= ( )( )

a b i a ba b i a b

–– –+ +

+

= ( ) ( )

( ) ( )

a b a b

a b a b

–

–2 2

2 2

+ +

+ + = 1 bulunur.

ÖRNEK 56

z = ( ) ( )( ) ( )

i ii i

1 31 2

––+

+ ise |z–1| de erini bulunuz.

Çözüm

|z| = i ii i

1 31 2

––+

+^ ^^ ^

h hh h

= i ii i

1 31 2

––+

+

= 1 1 9 11 1 4 1

+ ++ +

= ..

2 102 5

21= olup

|z–1| = z1

211 2= = bulunur.

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

26

K KARMA IK SAYI ARASINDAK UZAKLIK

z1 ve z2 karma k say lar na kar l k gelen noktala-r birle tiren do ru parças n n uzunlu u bu karma k say lar aras ndaki uzakl kt r.

�

�

�

��

��

! �

"

�

z1 = a + bi ve z2 = c + di karma k say lar aras ndaki uzakl k z1z2 do ru parças n n uzunlu udur.

|z1z2| = |z2 – z1| = |(c + di) – (a + bi)| = |(c – a) + i(d – b)| = ( ) ( )c a d b– –2 2+

ÖRNEK 57

z1 = 4 – 5i ve z2 = 1 – i karma k say lar aras ndaki uzakl bulunuz.

Çözüm

z1 ile z2 aras ndaki uzakl k |z2 – z1| olup

|z2 – z1| = |(1 – i) – (4 – 5i)| = |1 – 4 – i + 5i| = |–3 + 4i| = ( )3 4– 2 2+ = c25 = 5 tir.

ÖRNEK 58

z1 = 1 + xi ve z2 = 4 + 2i olmak üzere z1 ile z2 aras ndaki uzakl k 5 br ise x de erini bulunuz.

Çözüm

z1 ile z2 aras ndaki uzakl k 5 br ise,

|z2 – z1| = 5 |(4 + 2i) – (1 + xi)| = 5

|(4 – 1) + i(2 – x)| = 5

|3 + i(2 – x)| = 5

( )x3 2 5–2 2+ =

9 + (2 – x)2 = 25

(2 – x)2 = 16

|x – 2| = 4 x – 2 = 4 x – 2 = –4 x = 6 x = –2 dir.

ÖRNEK 59

|z – 1| = |z – i| e itli ine kar l k gelen z karma k say lar n n geometrik yer denklemini bulunuz.

Çözüm

z = x + iy alal m.

|z – 1| = |z – i| |x + iy – 1| = |x + iy – i|

|(x – 1) + iy| = |x + i (y – 1)| ( ) ( )x y x y1 1– –2 2 2 2+ = +

x2 – 2x + 1 + y2 = x2 + y2 – 2y + 1

–2x = –2y y = x olur.

O halde, z karma k say lar n n geometrik yer denklemi y = x do rusunun denklemidir.

ÖRNEK 60

|z – a – bi| = r e itli ine kar l k gelen z karma k say lar n n geometrik yerinin M(a, b) merkezli, r ya-r çapl çember oldu unu gösteriniz.

Çözüm

|z – a – bi| = r |x + iy – a – bi| = r

|(x – a) + i(y – b)| = r

( ) ( )x a y b r– –2 2+ =

(x – a)2 + (y – b)2 = r2 olur.

Bu denklem M(a, b) merkezli, r yar çapl çember denklemidir.

z = x + iy , z0 = a + bi olmak üzere,

|z – z0| = r e itli i, merkezi (a, b) ve yar çap

r olan bir çember belirtir.

|z – z0| < r e itsizli i, merkezi (a, b) ve

yar çap r olan çemberin iç bölgesini belirtir.

|z – z0| > r e itsizli i, merkezi (a, b) ve yar -

çap r olan çemberin d bölgesini belirtir.

r1 < |z – z0| < r2 e itsizli i, merkezleri (a, b)

ve ya r çap la r r1 ile r2 olan çem ber ler ara-

s ndaki bölgeyi belirtir.

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

27

ÖRNEK 61

|z – 3 – 2i| = 1

e itli ini sa layan z karma k say lar n n geometrik

yerinin denklemini bulup karma k düzlemde göste-

relim.

Çözüm

|z – 3 – 2i| = 1 |z – (3 + 2i)| = 1

olaca ndan z karma k say lar n n geometrik

yeri, M(3, 2) merkezli ve r = 1 yar çapl çember

olup, denklemi (x – 3)2 + (y – 2)2 = 1 dir.

�

�

�

� #

ÖRNEK 62

|z + i| 1

e itsizli ine kar l k gelen noktalar n geometrik yerini bulunuz.

Çözüm

|z + i| 1 |z – (0 – i)| 1

e itsizli ini sa layan noktalar n geometrik yeri M(0, –1) merkezli ve r = 1 yar çapl çember ve bu çemberin d d r.

�

�

# ��

�

��

ÖRNEK 63

|z – 3| < 2

e itsizli ine kar l k gelen noktalar n geometrik yerini bulunuz.

Çözüm

|z – 3| < 2 |z – (3 + 0i)| < 2 e itsizli ini sa la-

yan noktalar n geometrik yeri M(3, 0) merkezli

ve r = 2 yar çapl çemberin iç bölgesidir.

�

�

#� �

ÖRNEK 64

1 |z| < 2

e itsizlik sistemine kar l k gelen noktalar n geomet-rik yerini bulunuz.

Çözüm

1 |z| < 2 e itsizlik sistemine kar l k gelen nok-

talar n geometrik yeri (0, 0) merkezli, r1 = 1 ve

r2 = 2 yar çapl çemberler aras ndaki bölgedir.

(r1 = 1 yar çapl çember bölgeye aittir.)

�

�

��

�

��

��

�

�

��

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

28

ÖRNEK 65

= {z: z C, |z – 2| 1, Re(z) 2}

biçiminde tan mlanan ba nt s n karma k düz-lemde gösterelim.

Çözüm

|z – 2| 1 e itsizli i

(2, 0) merkezli, r = 1 yar çapl çember ve içini gösterir.

Re(z) 2 x 2 olaca ndan ba nt s a a daki gibi olur.

�

�

� �

��

�

ÖRNEK 66

z iz 2 1–

+= ba nt s n n kompleks düzlemdeki grafi-

ini çiziniz.

Çözüm

z = x + yi olmak üzere,

z i

z 2 1 –+

= z iz 2

1–+

=

|z – 2| = |z + i|

|x + yi – 2| = |x + yi + i|

( ) ( )x y x y2 1– 2 2 2 2+ = + +

x2 – 4x + 4 + y2 = x2 + y2 + 2y + 1

– 4x – 2y + 3 = 0 bulunur.

�

�

�

�

�

, ,ve023

43 0c cm m

noktalar ndan

geçen bir do rudur.

ÖRNEK 67

|z | 1 olmak üzere, |z – 3 + 4i | ifadesinin en büyük

ve en küçük de erlerini bulunuz.

Çözüm

|z| 1 ko ulunu sa layan z karma k say lar n n

görüntüsü O(0, 0) merkezli ve r = 1 br yar çapl

çember ile bu çemberin iç bölgesidir.

|z – 3 + 4i| = |z – (3 – 4i)| ifadesi z say lar ile

z1 = 3 – 4i say s aras ndaki uzakl gösterir.

�

�

�

�

�

��

��

��

�

��

$

�

%

z1 noktas ndan ve çemberin merkezinden geçen

do ru çemberi K ve L noktas nda kessin.

z ile z1 aras ndaki en k sa uzakl k |KZ1| ve en

uzun uzakl k |LZ1| dir. O halde,

|z – 3 + 4i| ifadesinin en büyük de eri

|OZ1| + |OL| = 5 + 1 = 6

en küçük de eri;

|OZ1| – |OK| = 5 – 1 = 4 olur.

29

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. A a daki tabloyu uygun de erlerle doldurunuz.

� &�& � �

��

��

��

��

�

��

v��

��

&�&

2. A a daki karma k say lar n ba lang ç noktas -na olan uzakl klar n bulunuz.

a. z = (2 + i)(2 – 4i)

b. z = (3 – i)6

c. z = b aia bi–

+

d. z = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

i i ii i i

2 3 1 2 11 2 3 2

–– –+ +

+

e. z = ( )( )

ii

21 2

– 2

3+

f. z = ( )

( ) ( )i

i i2 2

3 1 2–

–2

2 4+

3. A a da verilen z1 ve z2 karma k say lar na kar-l k gelen noktalar aras ndaki uzakl bulunuz.

a. z1 = 1 – 2i , z2 = 4 + i

b. z1 = 2 , z2 = 3 – i

c. z1 = –2i , z2 = 4i

d. z1 = 1 – i , z2 = 1 + i

e. z1 = –2 , z2 = 4

f. z1 = v3 + i , z2 = –v3 – 2i

4. A a daki kümelere karma k düzlemde kar l k gelen noktalar n geometrik yerini bulunuz.

a. A = {z : 4 z.–z 9 , z C}

b. A = {z : z iz

21 –

+ = 1 , z C}

c. A = {z : |Im(z)| 2 , z C}

d. A = {z : |Re(z)| > 1 , z C}

ALIŞTIRMALAR – 3

2. a. 10 b. 103 c. 1 d. 1 e. v5 f. 2

25 3. a. 3v2 b. v2 c. 6 d. 2 e. 6 f. c21

4. a. 4 x2 + y2 9 b. 2x + 4y + 3 = 0 c. –2 y 2 d. x > 1 veya x < –1

Karma k Say lar

30

ES

EN

YAY

INLA

RI

5. z = x + iy olmak üzere,

a a daki ifadelere karma k düzlemde kar l k gelen noktalar kümesini gösteriniz.

a. Re(z) + Im(z) = 2

b. 2Re(z) – Im(z) < 1

c. Re(z) – Im(z) > 0

d. |z| = 2

e. |z| 1

f. |z + 2| = |z – i|

g. |z – 2 + 3i| = 2

h. |z – 1| < 2

i. |z + 2i| 3

j. |z – 1| |z + i|

k. 2 |z| < 4

6. A a daki ifadelerden do ru olanlar için bo ku-tulara “D” yanl olanlar için “Y” yaz n z.

z.–z = |z|2

|z| = |––z|

| | | |z z z z1 1 2 1 22

+ +| | | |z z–

z z z z1 2 1 2+ = +

|–z| = –|z|

7. A a da karma k düzlemde grafikleri verilmi olan kümeleri bulunuz.

a.

�

�

� �

b.

�

�

�

�

c.

�

�

��

�

d.

�

�

�

�

�

e.

�

�

�

6. D, D, D, Y, Y 7. a. Re(z) > 1 b. Im(z) 1 c. |z| 3 d. |z – 2 – 2i| < 2 e. 1 |z| < 3

Karma k Say lar

31

ÖRNEK 68

�

�

�

�

%��'

Grafikte, |OZ| = 3 br, m(aZOK) = 20° ise z karma k

say s n n kutupsal biçimini bulunuz.

Çözüm

|OZ| = |z| = r oldu undan, r = 3 tür.

m(aZOK) = 20° oldu undan arg(z) = 20° dir.

Bu durumda z karma k say s n n kutupsal

biçimi;

z = r(cos + isin )

z = 3(cos20° + isin20°) veya k saca

z = 3cis20° dir.

�

�

�

(��)��

*��)��

&�&��

�

z = a + bi karma k say s n n karma k düzlemdeki görüntüsü

yanda çizilmi tir. |OZ| = |z| = r ve m(aZOA) = olmak üzere

ZOA dik üçgeninde,

cos = OZOA

za= a = |z|.cos

sin = OZZA

zb= b = |z|.sin d r.

Bu de erleri z = a + bi karma k say s nda yerine yazarsak

z = a + bi = |z|.cos + i.|z|.sin = |z|(cos + isin ) e itli ini elde ederiz.

Bu yaz l a z = a + bi karma k say s n n kutupsal (trigonometrik) gösterimi denir.

Bu gösterim k saca, z = rcis biçiminde de gösterilebilir.

Ayr ca, k Z olmak üzere,

z = rcis = rcis( + k.2 ) olarak yaz labilece ine de dikkat ediniz.

Bir Karma k Say n n Kutupsal Koordinatlar

Yukar daki ekilde OZ do rusunun x ekseniyle yapt pozitif yönlü aç ya z karma k say s n n ARGÜMENT

denir.

cos = za , sin =

zb veya tan =

ab e itliklerini sa layan gerçek say s , z karma k say s n n argümenti

olup arg(z) = biçiminde gösterilir.

k Z olmak üzere ölçüsü, + k.2 olan aç lar z karma k say s n n argümentleridir. Buradaki gerçel

say s z nin esas argümentidir.

Bir karma k say n n, mutlak de eri ile esas argümentinin olu turdu u s ral ikiliye bu say n n KUTUPSAL

KOORD NATLARI denir ve (|z |, ) veya (r, ) biçiminde gösterilir.

KARMA IK SAYILARIN KUTUPSAL (TR GONOMETR K) B Ç M

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

32

ÖRNEK 69

�

�

�

� %

��'�

$

Grafikte, |OZ| = 2 br, m(aZOK) = 40° ise z karma k

say s n n kutupsal biçimini bulunuz.

Çözüm

|OZ| = |z| = r oldu undan, r = 2 dir.

m(aZOK) = 40° ise m(

aZOL) = 40° + 90° = 130°

olaca ndan arg(z) = 130° dir.

Bu durumda z karma k say s n n kutupsal biçimi;

z = r(cos + isin )

z = 2(cos130° + isin130°) veya k saca

z = 2cis130° dir.

ÖRNEK 70

�

�

��

�

Grafikte, |OZ| = 4 br ise z karma k say s n n kutup-sal biçimini bulunuz.

Çözüm

r = |OZ| = 4 tür.

OZ do rusunun x ekseni ile yapt pozitif yönlü aç 0° oldu undan, arg(z) = 0° dir.

Bu durumda,

z = r(cos + isin ) = 4(cos + isin )

= 4(cos0° + isin0°)

veya z = 4cis0° biçiminde gösterilir.

ÖRNEK 71

A a daki grafiklerde verilen karma k say lar n ku-tupsal biçimi alt na yaz lm t r. nceleyiniz.

�

�

�

��

��

�

�

��

z1 = 3cis180° z2 = 5cis90°

�

�

�

� ��

�

�

�

��

�'

z3 = 2cis270° z4 = 4cis330°

ÖRNEK 72

z = –3i karma k say s n n kutupsal biçimini bulunuz.

Çözüm

�

�

�

��+�'

�

z = –3i karma k say s n n düzlemdeki gösterili i

yandaki gibidir. Burada görüldü ü gibi,

|z| = 3 br

arg(z) = 270° dir. Buna göre,

z = r(cos + isin )

z = 3(cos270° + isin270°) veya

z = 3cis270° dir.

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

33

ÖRNEK 73

z = 1 + v3i karma k say s n n kutupsal biçimini bulunuz.

Çözüm

�

�

�

v�

�

r = |z| = 1 32 2+ ^ h = 1 3+ = 2

tan = 13 = v3 =

3r olaca ndan,

z = r(cos + isin )

z = cos sini23 3r r+b l veya k saca

z = 2cis3r bulunur.

ÖRNEK 74

z = –1 + v3i karma k say s n n kutupsal biçimini bulunuz.Çözüm

�

�

�

v�

��

r = |z| = ( ) ( )1 3 1 3 2– 2 2+ = + =

tan = –tan = 13 3– –=

= 3

2r olaca ndan,

z = rcis z = 2cis3

2r olur.

ÖRNEK 75

z = 1 – i karma k say s n n kutupsal biçimini bulu-nuz.

Çözüm

�

�

��

�

r = |z| = 1 1 2– 2+ =^ h

tan = tan(2 – )

= –tan

= –1 = 4

7r olaca ndan,

z = r (cos + isin )

z = cos sini24

74

7r r+c m olur.

ÖRNEK 76

Kutupsal koordinatlar ,2 23

5rc m olan karma k

say y standart biçimde yaz n z.

Çözüm

Kutupsal koordinatlar ,2 23

5rc m olan kar-

ma k say n n mutlak de eri (modülü) 2 2 ve

argümenti 3

5r tür. Buna göre,

z = r (cos + isin )

= cos sini2 23

53

5r r+c m = i2 2

21

23–+ dd nn

= 2 6– i bulunur.

Karma k Say lar

34

z = a + bi

z = v3 + i

z = 2 – 2i

z = –2 + 2v3i

z = –1 – i

z karma ›ksay›s›n›nstandartbiçimi

|z| = r

r = (v3)2 + 12

= 2

r = 22 + (–2)2

= 2v2

r = (–2)2 + (2v3)2

= 4

r = (–1)2 + (–1)2

= v2

r = |z|

= a2 + b2

z karma ›ksay›s›n›ndüzlemde

gösterilmesi

z karma ›ksay›s›n›nkutupsal

biçimi

arg(z) =

tan = –1–1

=

= 1

54

tan = – 2v32

=

= – v3

23

tan = – 22

=

= –1

tan = 1v3

=6

tan = ba

z = rcis

z = 2cis

z = 2v2cis

z = 4cis

z = v2cis

23

6

74

54

x

y

0 a

b z

x

y

0 v3

1 z

2

6

74

x

y

74

z

2v2

–2

2

x

y

–2

2v3

423

z

x

y

54

–1zv2

–1

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

35

z0 = a + bi karma k say s n n karma k düzlem-deki görüntüsü A(a, b) olmak üzere,

�

�

%

��*

�

arg(z – z0) = ko ulunu sa layan z karma k say lar n n görüntüsü AK yar do rusudur.

ÖRNEK 77

arg(z – 2i) = 4r e itli ini sa layan z karma k sa-

y lar n n karma k düzlemdeki görüntüsünü bulunuz.

Çözüm

�

�

%

��

��'

�

arg(z – 2i) = 4r oldu undan z karma k say la-

r n n görüntüsü z0K yar do rusudur.

ÖRNEK 78

arg(z + 2) = 3r ve arg(z – i) =

2r ko ullar n sa -

layan z karma k say s n bulunuz.

Çözüm

�

�

%

��

��'��

arg(z + 2) = arg(z – (–2)) = 3r oldu undan bu ko-

ulu sa layan z karma k say lar n n görüntüsü

z1K yar do rusudur.

�

�

,

��

�

�

arg(z – i) = 2r ko ulu sa layan z karma k

say lar n n görüntüsü z2P yar do rusudur.

�

�

,

��

�

�

%*

��

��

��'

arg(z + 2) = 3r ve arg(z – i) =

2r ko ullar n

birlikte sa layan z karma k say s n n görüntüsü

z1K ve z2P yar do rular n n kesim noktas olan

A noktas d r. AOz1 dik üçgeninde,

|Oz1| = 2 |OA| = 2v3 olaca ndan

A(0, 2v3) olup z = 0 + 2v3i = 2v3i bulunur.

ÖRNEK 79

z = sin – icos ise z nin esas argümentini bulunuz.

Çözüm

sin = cos2

–r ib l ve cos = sin2

–r ib l olup

z = sin – icos = cos2

–r ib l – isin2

–r ib l

= cos sini2 2

– – – – –i r i rb bl l: :D D

= cos sini2 2

– –i r i r+b bl l olur.

O halde, arg(z) = 2

–i r dir.

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

36

ÖRNEK 80

arg(z + 1) = 3

5r ve arg(z – 3) = 3

4r e itliklerini

sa layan z karma k say s n bulunuz.

Çözüm

z = x + iy olsun.

z + 1 = (x + 1) + iy ve z – 3 = (x – 3) + iy

olaca ndan

arg(z + 1) = 3

5r tanx

y1 3

5r+

=

x

y1

3–+

=

y = –v3x – v3 ..... (I)

arg(z – 3) = 3

4r tanx

y3 3

4–

r=

x

y3

3–

=

y = v3x – 3v3 ..... (II)

I ve II e itliklerinden

–v3x – v3 = v3x – 3v3

–v3(x + 1) = v3(x – 3)

–(x + 1) = x – 3 –x – 1 = x – 3

x = 1 olur.

y = –v3x – v3 y = –v3.1 – v3

y = –2v3 olur.

Bu durumda

z = x + iy = 1 + i(–2v3) = 1 – 2v3i bulunur.

ÖRNEK 81

Kutupsal koordinatlar ,43

2rc m olan karma k say y

standart biçimde yazal m.

Çözüm

r = |4| ve arg(z) = 3

2r oldu undan

z = r(cos + isin )

z = i421

23– +d n

z = 2(–1 + v3i) bulunur.

ÖRNEK 82

z = sin50° – icos50° ise z nin esas argümentini bulunuz.

Çözüm

z = sin50° – icos50°

= cos(90° – 50°) – isin(90° – 50°)

= cos40° – isin40°

= cos(360° – 320°) – isin(360° – 320°)

= cos320° – i(–sin320°)

= cos320° + isin320° olaca ndan

arg(z) = 320° dir.

ÖRNEK 83

z = 1 + cos40° + isin40° ise |z| de erini bulunuz.

Çözüm

1. Yol

|z| = cos sin1 40 40° °2 2+ +^ h = cos cos sin1 2 40 40 40° ° °2 2

1

+ + +1 2 344444 44444

= cos2 2 40°+

= ( )cos2 2 2 20 1° –2+

= cos2 4 20 2° –2+

= cos4 20°2 = 2 cos20° bulunur.

2. Yol

z = 1 + cos40° + isin40°

z = 1 + 2cos220° – 1 + i2sin20°.cos20°

= 2cos220° + 2isin20°.cos20°

= 2cos20°(cos20° + isin20°) olur. |z|

Bu durumda, |z| = 2cos20° bulunur.

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

37

ÖRNEK 84

z = 1 + i.tan20° karma k say s n n esas argümenti a a dakilerden hangisidir?

Çözüm

z = 1 + i.tan20° = 1 + icossin

2020

°°

= cos

cos sini20

20 20°

° °+

= cos20

1°

(cos20° + isin20°) dir.

Bu durumda,

|z| = cos20

1°

ve arg(z) = 20° bulunur.

ÖRNEK 85

|z + 4| = 2 ko ulunu sa layan z karma k say lar n-dan esas argümenti en küçük olan n esas argümen-tini bulunuz.

Çözüm

|z + 4| = 2 ko ulunu sa layan z karma k say lar ,

M(–4, 0) merkezli r = 2 yar çapl çember üze-rindeki noktalar oldu undan

�

�

��

��

�#

grafikte de görüldü ü gibi z karma k say lar n-dan argümenti en küçük olan z1 dir.

MOz1 dik üçgeninde,

|OM| = 4 br ve |Mz1| = 2 br oldu undan

( )m MOz1% = 30° olur. Bu durumda

arg(z1) = 180° – 30° = 150° bulunur.

KUTUPSAL B Ç MDE LEMLER

Toplama ve Ç karma lemi

Kutupsal biçimde verilen iki karma k say toplan r veya ç kar l rken reel k s mlar kendi aralar nda, sanal k s mlar da kendi aralar nda toplan r veya ç kar l r.

z1 = r1(cos + isin )

z2 = r2(cos + isin ) olmak üzere

z1 + z2 = (r1cos + r2cos ) + (r1sin + r2sin )i

ÖRNEK 86

z1 = 4(cos45° + isin45°)

z2 = 2(cos60° + isin60°) ise

z1 + z2 say s n bulunuz.

Çözüm

z1 = 4cos45° + 4isin45°

z2 = 2cos60° + 2isin60°

z1 + z2 = 4cos45°+2cos60°+i(4sin45°+2sin60°)

= i422 2

21 4

22 2

23+ + +d n

= 2v2 + 1 + i(2v2 + v3) olur.

ÖRNEK 87

z1 = cos60° + isin60°

z2 = cos30° + isin30° ise

z1 – z2 say s n bulunuz.

Çözüm

z1 = cos60° + isin60° = i21

23+

z2 = cos30° + isin30° = i23

21+

z1 – z2 = i i21

23

23

21– –+

= i21

23

23

21– –+d dn n dir.

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

38

ÖRNEK 88

z1 = cos75° + isin75°

z2 = cos15° + isin15° ise

z1 + z2 say s n bulunuz.

Çözüm

z1 + z2 = (cos75° + cos15°) + i(sin75° + sin15°)

= .cos cos sin cosi22

75 152

75 15 22

75 152

75 15° ° °– ° ° ° °– °+ + +

= 2cos45°.cos30° + 2isin45°.cos30°

= i222

23 2

22

23· · · ·+ = i

26

26+ olur.

Çarpma ve Bölme lemi

z1 = r1(cos + isin ) ve z2 = r2(cos + isin ) ise

z1.z2 = r1.r2[cos( + ) + isin( + )]

zz

rr

2

1

2

1= [cos( – ) + isin( – )] d r.

z1.z2 = r1(cos + isin ).r2(cos + isin )

= (r1cos + i r1sin )(r2cos + i r2sin )

= r1.r2cos cos + i2r1.r2sin sin

+ i r1.r2cos sin + i r1.r2sin cos

= r1.r2(cos cos – sin sin )

+ i r1.r2(cos sin + sin cos )

= r1.r2cos( + ) + i r1.r2sin( + )

= r1.r2(cos( + ) + isin( + )) bulunur.

( )( )cos sincos sin

zz

r ir i

2

1

2

1

b b

a a=

++

= ( ) ( )( ) ( )cos sin cos sincos sin cos sin

r i ir i i

––

2

1

b b b b

a a b b

++

= . ( )

. . ) ( . . )

cos sin

cos cos sin sin sin cos cos sin

r

r i–

22 2

1

b b

a b a b a b a b

+

+ +6 @

= .

( ( ) ( ))cos sinr

r i1

– –2

1 a b a b+

= rr2

1 .(cos ( – ) + isin ( – )) bulunur.

ÖRNEK 89

z1 = 2(cos75° + isin75°) ve

z2 = 4(cos15° + isin15°) isez1.z2 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

z1.z2 = 2.4(cos(75° + 15°) + isin(75° + 15°))

= 8(cos90° + isin90°) = 8(0 + i.1) = 8i dir.

ÖRNEK 90

z1 = 6(cos130° + isin130°) ve

z2 = 3(cos70° + isin70°) oldu una göre,

zz

2


Çözüm

zz

36

2

1 = .(cos(130° – 70°) + isin(130° – 70°))

= 2(cos60° + isin60°)

= i221

23+d n = 1 + v3i bulunur.

ÖRNEK 91

z1 = (cos114° + isin66°) , z2 = (cos42° + isin138°)

z3 = (sin24° – isin246°) ise .z

z z3

1 2 ü bulunuz.

Çözüm

z1 = cos114° + isin66° = cos114° + isin114° = cis114°

z2 = cos42° + isin138° = cos42° + isin42° = cis42°

z3 = sin24° – isin246°

= cos66° + isin66° = cis66° olaca ndan

.z

z z3

1 2 = .cis

cis cis66

114 42°

° ° = ( )cis

cis66

114 42°

° °+

= ciscis

66156

°°

= cis(156° – 66°)

= cis90°

= cos90° + isin90° = 0 + i.1 = i bulunur.

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

39

ÖRNEK 92

�

�

� ��'

�

�

��

��

��'

z1 ve z2 karma k say lar grafikte gösterilmi tir.

zz

1

2 i leminin sonucunu bulunuz.

Çözüm

z1 = 2cis(90° + 10°) = 2cis100°

z2 = 4cis(360° – 20°) = 4cis340° olaca ndan

zz

ciscis

2 1004 340

°°

1

2 =

= 2cis(340° – 100°)

= 2cis240°

= 2(cos240° + isin240°)

= i221

23– –d n = –1 – v3i bulunur.

ÖRNEK 93

Bir ABC üçgeninin iç aç lar n n ölçüleri

, ve olmak üzere,

z1 = 2cis , z2 = 4cis ve

z3 = cis ise z1.z2.z3 i leminin sonucunu bulunuz.

Çözüm

z1.z2.z3 = 2.4.cis( + + ) 180°

= 8.cis180°

= 8(cos180° + isin180°)

= 8.(–1 + i.0) = –8 bulunur.

ÖRNEK 94

sin coscos sin

ii

105 105135 135

° – °– ° °+

i leminin sonucunu bulunuz.

Çözüm

–cos135° = –(–cos45°) = cos45°

sin135° = sin45°

sin105° = sin75° = cos15°

–cos105° = –(–cos75°) = cos75° = sin15°

de erlerini verilen ifadede yerine yazarsak,

sin coscos sin

cos sincos sin

ii

ii

105 105135 135

15 1545 45

° – °– ° °

° °° °+ =

++

= cos(45° – 15°) + isin(45° – 15°)

= cos30° + isin30°

= i23

21+ bulunur.

ÖRNEK 95

�

�

�

�

�

��

��

z1 ve z2 karma k say lar grafikte gösterilmi tir.

zz

1

2 i leminin sonucunu bulunuz.

Çözüm

argz1 = al n rsa, arg(z2) = 90° + olur.

( )zz

ciscis

24 90

24°

1

2aa

=+

= cis(90° + – )

= 2cis90°

= 2(cos90° + isin90°)

= 2(0 + i.1) = 2i bulunur.

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

40

ÖRNEK 96

|2cis70° – 4cis10°| ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

z1 = 2cis70° ve z2 = 4cis10° olmak üzere,

arad m z de er |z1 – z2| olup bu da z1 ile z2

aras ndaki uzakl a e ittir.

�

�

�

��

��

��'��'

�

�

�

Grafikte görüldü ü gibi istenen x de eridir.

Oz2z1 üçgeninde, kosinüs teoremine göre

x2 = 22 + 42 – 2.2.4.cos60°

x2 = 20 – 16.21

x2 = 12 x = 2v3 bulunur.

ÖRNEK 97

|cis20° + 3cis50°| ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

|cis20° + 3cis50°| = |cis20° – (–3cis50°)|

= |cis20° – 3cis(180° + 50°)|

= |cis20° – 3cis230°|

olaca ndan

z1 = cis20° ve z2 = 3cis230° olmak üzere

arad m z de er grafikte görüldü ü gibi z1 ile

z2 aras ndaki uzakl k olan x de eridir.

Oz1z2 üçgeninde, kosinüs teoremine göre

�

�

�

��

��

��'

��'

�

�

x2 = 32 + 12 – 2.3.1.cos150°

x2 = 10 – 6.23–d n

x2 = 10 + 3v3 x = 10 3 3+ bulunur.

ÖRNEK 98

arg(z1.z2) = 6

5r ve argzz

32

2

1 r=c m ise

Re(z1) + Im(z1) ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

arg(z1.z2) = argz1 + argz2

argzz

2

1c m = argz1 – argz2 oldu undan

argz1 + argz2 = 6

5r

argz1 – argz2 = 3

2r + –––––––––––––––––––

2argz1 = 6

53

2r r+

2argz1 = 6

9r argz1 = 4

3r olur.

z1 = r1(cos + isin ) al rsak

z1 = r1 cos sini4

34

3r r+c mz1 = r1 i

22

22– +d n olaca ndan

( )

( )( ) ( )

Re

ImRe Im

z r

z rz z

22

22

0–1 1

1 1

1 1

=

=+ =

_

`

a

bb

bb bulunur.

41

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. A a da görüntüleri verilen karma k say lar kutupsal biçimde yaz n z.

a.

�

�

�

�

+�'

�

b.

�

�

�

�

�'

�

c.

��'

�

�

�

�

d.

�

�

� �

�

��'

e.

�

�

�

�

f.

�

�

�

�

��

g.

�

�

�

� �

h.

�

�

�

�

�

ALIŞTIRMALAR – 4

1. a. 4cis70° b. 2cis150° c. 3cis260° d. 5cis335° e. 3cis90° f. 2cis180° g. 3cis270° h. 4cis0°

Karma k Say lar

42

ES

EN

YAY

INLA

RI

2. A a daki karma k say lar kutupsal biçimde yaz n z.

a. z = –2i

b. z = 4 + 4v3i

c. z = –v3 + i

d. z = –3 – 3i

e. z = 4

f. z = i

g. z = –3

3. arg(z + 2) = 4r ve arg(z + i) =

43r

ko ullar n sa layan z karma k say s n bulu-nuz.

4. z = r(cos + isin ) olmak üzere, a a dakilerden do ru olanlar için bo kutulara “D” yanl olanlar için “Y” yaz n z.

–z = r [cos(2 – ) + isin(2 – )]

–z = r [cos( + ) + isin( + )]

––z = r [cos( – ) + isin( – )]

z–1 = r1 [cos(2 – ) + isin(2 – )]

5. z = 1 + cos20° + isin20° karma k say s n ku-tupsal biçimde ifade ediniz.

6. z = 1 + cos200° + isin200° karma k say s n kutupsal biçimde ifade ediniz.

2. a. 2cis270° b. 8cis60° c. 2cis150° d. 3v2cis225° e. 4cis0° f. cis90° g. 3cis180° 3. i23

21– +

4. D, D, D, D 5. 2cos10°.cis10° 6. 2sin10.cis280°

Karma k Say lar

43

ES

EN

YAY

INLA

RI

7. A a daki karma k say lar n e itlerini bulunuz.

a. sin cos

sin cosi

i80 80

70 70– ° °

° – °+

b. sin cossin cos

ii

40 4010 10

° °– ° – °

+

8. |z – 6i| = 3 ko ulunu sa layan z karma k sa-y lar ndan esas argümenti en küçük olan ile en büyük olan n n esas argümentlerini bulunuz.

9. z1 = 2(cos120° + isin120°)

z2 = 4(cos30° + isin30°)

ise z1 + z2 karma k say s n bulunuz.

10. z1 = cos105° + isin105°

z2 = cos15° + isin15°

ise z1 – z2 karma k say s n bulunuz.

11. z1 = 4cis100° ve z2 = 2cis80° ise z1.z2 karma-k say s n bulunuz.

12. z1 = cis40° , z2 = 4cis70° ve z3 = 2cis50° ise

.z

z z3

1 2 karma k say s n bulunuz.

13. z1 = 2cis10° ve z2 = 3cis40° ise

.z z14

22 karma k say s n bulunuz.

14. z = 2cis35° ve w = 4cis65° ise

|z – w| kaçt r?

7. a. cis170° b. cis210° 8. 60°, 120° 9. 2v3 – 1 + (v3 + 2)i 10. i26

22– +

11. –8 12. 1 + v3 i 13. 72(–1 + v3i) 14. 2 5 2 3–

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

44

B R KARMA IK SAYININ KUVVET

De Moivre Teoremi

z = r(cos + isin ) ise n N+ için

zn = rn(cosn. + isinn. ) d r.

ÖRNEK 99

z = 2(cos15° + isin15°)

oldu una göre, z6 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

z = 2(cos15° + isin15°) ise

z6 = 26(cos6.15° + isin6.15°)

z6 = 64(cos90° + isin90°) = 64(0 + 1.i)

= 64i bulunur.

ÖRNEK 100

z = v3 + i ise z6 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

z = v3 + i karma k say s n n kutupsal biçimde

yaz l z = 2(cos30° + isin30°) oldu undan

z6 = 26(cos6.30° + isin6.30°)

= 26(cos180° + isin180°)

= 26(–1 + i.0) = –26 bulunur.

ÖRNEK 101

(1 – v3i)40 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

1 – v3i = z olsun. z karma k say s n n kutupsal

biçimde ifadesi z = 2cis300° oldu undan

z40 = (2cis300°)40 = 240cis(40.300°)

= 240cis(12000°) olur.

12000° nin esas ölçüsü 120° oldu undan

z40 = 240(cos120° + isin120°)

z40 = 240 i21

23– +d n = 239(–1 + v3i) bulunur.

ÖRNEK 102

(–1 + i)–10 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

–1 + i = z olsun. z karma k say s n n kutupsal

biçimde ifadesi z = v2cis135° oldu undan

z–10 = (v2cis135°)–10 = (v2)–10cis(–10.135°)

= 2–5cis(–1350°) olur.

–1350° nin esas ölçüsü 90° oldu undan

z–10 = 2–5cis90° = 321 (cos90° + isin90°)

= 321 (0 + i) =

321 i bulunur.

ÖRNEK 103

z = rcis ise –z, –z ve z–1 karma k say lar n

bulunuz.

Çözüm

z = rcis = r(cos + isin ) ise

–z = –r(cos + isin ) = –r(–cos( + ) – isin( + )) = r(cos( + ) + isin( + ))

= rcis( + ) bulunur.

–z = r(cos – isin ) = r[cos(2 – ) – i(–sin(2 – ))] = r[cos(2 – ) + isin(2 – )]

= rcis(2 – ) bulunur.

z–1 = [r(cos + isin )]–1 = r–1(cos(– ) + isin(– ))

= r1 (cos(2 – ) + isin(2 – ))

= r1 cis(2 – ) bulunur.

argz = ise

arg(–z) = +

arg(–z) = 2 –

arg(z–1) = 2 – d r.

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

45

ÖRNEK 104

argz = 3r ise arg(–z) , arg(

–z) ve arg(z–1) de er-

lerini bulunuz.

Çözüm

argz = 3r ise arg(–z) = +

3 34r r=

arg(–z) = 2 –

3 35r r=

arg(z–1) = 2 – 3 3

5r r= bulunur.

ÖRNEK 105

z1 = v2cis5° , z2 = 2cis20° ve z3 = 4cis25° ise

.

z

z z

32

18

24


Çözüm

z1 = v2cis5° z81 = (v2)8.cis8.5° = 24.cis40°

z2 = 2cis20° z42 = 24.cis4.20° = 24.cis80°

z3 = 4cis25° z32 = 24.cis2.25° = 24.cis50° olur.

. .z

z zcis

cis cis2 50

2 40 2 80°

° °

32

18

24

4

4 4=

= 24cis(40° + 80° – 50°) = 24cis70° olur.

Bir Karma k Say n n Orijin Etraf nda Döndürülmesi

z = r(cos + isin ) say s n n orijin etraf nda pozitif

yönde kadar döndürülmesi ile elde edilen say

z1 ise z1 = r(cos( + ) + i sin( + )) olur.

z say s n n orijin etraf nda negatif yönde

kadar döndürülmesi ile elde edilen say z2 ise

z2 = r(cos( – ) + i sin( – )) olur.

�

�

�

�

��

��

�

ÖRNEK 106

z = 2cis40° say s n n orijin etraf nda pozitif yönde 50° döndürülmesi ile elde edilen say y bulunuz.

Çözüm

z = 2cis40° say s n n orijin etraf nda pozitif yönde döndürülmesi ile elde edilen say z2 ise

z2 = 2cis(40° + 50°) = 2cis90°

= 2(cos90° + isin90°) = 2(0 + i) = 2i olur.

ÖRNEK 107

z = 4cis70° say s n n orijin etraf nda negatif yönde 20° döndürülmesi ile elde edilen say y bulunuz.

Çözüm

z = 4cis70° say s n n orijin etraf nda negatif yönde döndürülmesi ile elde edilen say z1 ise

z1 = 4cis(70° – 20°) , z1 = 4cis50° olur.

z = rcis kar ma k sa y s n n ori jin et ra f n da po-

zi tif yön de kadar döndürülmesi ile elde edilen

karma k say z1 = rcis( + ) oldu undan

z1 = rcis( + ) = rcis .cis = z.cis

biçiminde ifade edilebilir.

ÖRNEK 103

z = 1 + 2i karma k say s n n orijin etraf nda pozitif yönde 60° döndürülmesi ile elde edilen say y bu-lunuz.

Çözüm

z nin orijin etraf nda pozitif yönde 60° döndürül-

mesi ile elde edilen say z1 olsun.

z1 = z.cis60° olaca ndan

z1 = (1 + 2i)(cos60° + isin60°)

= (1 + 2i) i21

23+d n = ( ) ( )i i

21 2 1 3+ +

= ( ) i2

1 2 32

2 3– ++ dir.

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

46

ÖRNEK 108

z = 2v3 – 2i karma k say s n n orijin etraf nda po-zitif yönde 30° döndürülmesi ile elde edilen say y bulunuz.

Çözüm

z nin orijin etraf nda pozitif yönde 30° döndürül-

mesi ile elde edilen say z1 olsun.

z1 = z.cis30° = (2v3 – 2i)(cos30° + isin30°)

= 2(v3 – i) i23

21+d n

= 2(v3 – i) ( )i2

3 +

= (v3 – i)(v3 + i)

= 3 + 1 = 4 bulunur.

ÖRNEK 109

z = 3 + 2i karma k say s n n orijin etraf nda pozitif yönde 90° döndürülmesi ile elde edilen say y bu-lunuz.

Çözüm

1. Yol

Arad m z say z1 olsun.

z1 = z.cis90° = (3 + 2i)(cos90° + isin90°)

= (3 + 2i)(0 + i)

= 3i – 2 bulunur.

2. Yol

�

�

�

��

��

�

*�)��(��)��

Grafikte OAz z BO1+& &

|Oz1| = |Oz| oldu undan OAz ve z1BO üçgen-leri e tir.

Bu durumda |BO| = |Az| = 2 ve |Bz1| = |OA| = 3

olaca ndan z1 = –2 + 3i bulunur.

B R KARMA IK SAYININ KÖKLER

z = r [cos + isin ] karma k say s n n n. dereceden kökleri

wk = . .cos sinz rnk i

nk2 2n n

1 1i r i r= + + +c m dir.

(k = 0, 1, 2, 3, ..., n – 1)

Örne in z = rcis karma k say s n n

karekökleri

.z r cis k 22

21

21

i r= + olup

k = 0 için w0 = vr cis2i

k = 1 için w1 = vr cis2i r+c m dir.

küpkökleri

.z r cis k3

231

31

i r= + olup

k = 0 için w0 = r cis3

3 i

k = 1 için w1 = r cis3 3

23 i r+c mk = 2 için w2 = r cis

3 343 i r+c m tür.

S f rdan farkl z = rcis karma k say s n n:

n. dereceden n tane kökü vard r. Bu kökler karma k düzlemde, merkezi ba lang ç nokta-

s , yar çap rn olan çember üzerinde n

360°

aral klarla s ralan rlar.

x

y

r

w0

w1

180°x

y

r3 w0

w2

120°w1

120°120°

z = rcis n n z = rcis n n karekökleri küpkökleri w0 , w1 w0 , w1 , w2

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

47

ÖRNEK 110

z = 4cis80° karma k say s n n kareköklerini bulunuz.

Çözüm

z = rcis n n karekökleri

w0 = vr cis2i ve w1 = vr cis

2180°i +c m

olaca ndan

w0 = v4 cis 2

80° = 2cis40°

w1 = 2cis(40° + 180°) = 2cis220° olur.

��-.��.�. /�

�! ��'

�� 0��

/�

! ��' ! ��'

��! �

1v�! �

�1

v�! �

�! ��' �! ��' �! ��'

��

! ��

! ��

! �

ÖRNEK 111

z = 4cis60° karma k say s n n kareköklerini bulunuz.

Çözüm

w0 = v4 cis 2

60° = 2cis30°

= 2(cos30° + isin30°)

= 2 i23

21+d n

= v3 + i

w1 = 2cis(30° + 180°) = 2cis210°

= 2(cos210° + isin210°)

= 2 i23

21– –d n

= i3– – olur.

= –v3 – i olur.w1 = – w0 oldu una dikkat ediniz.

ÖRNEK 112

z = –1 + v3i karma k say s n n kareköklerini bu-lunuz.

Çözüm

Önce z = –1 + v3i say s n kutupsal biçimde

ifade edelim.

|z| = 1 3+ = 2 ve arg(z) = 120° oldu undan

z = 2cis120° dir. Bu durumda,

w0 = v2 cis2

120° = v2cis60°

= v2(cos60° + isin60°)

= v2 i21

23+d n

= i22

26+ olur.

w0 = i22

26+ ise w1 = i

22

26– – dir.

ÖRNEK 113

z2 – 4i = 0 denkleminin köklerini bulunuz.

Çözüm

z2 – 4i = 0 z2 = 4i olur.

Bu denklemin kökleri 4i say s n n karekökleridir.

4i say s n n kutupsal biçimde ifadesi

4i = 4cis90° oldu undan

w0 = v4 cis2

90° = 2cis45°

= 2(cos45° + isin45°)

= 2 i22

22+d n

= v2 + v2i olur.

w0 = v2 + v2i ise w1 = –v2 – v2i dir.

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

48

ÖRNEK 114

z = 3 – 4i karma k say s n n kareköklerini bulunuz.

Çözüm

z = 3 – 4i karma k say s n kutupsal biçimde ifade edemedi imizden bu soruyu farkl bir yön-temle çözece iz.

z karma k say s n n kareköklerinden biri

w0 = a + bi olsun.

Bu durumda,

w02 = z (a + bi)2 = 3 – 4i olur.

a2 + 2abi + b2i2 = 3 – 4i

(a2 – b2) + 2abi = 3 – 4i dir.

ki karma k say n n e itli inden

a2 – b2 = 3 ve 2ab = – 4 olur.

2ab = – 4 b = –a2 olaca ndan bu de eri

a2 – b2 = 3 e itli inde yerine yazarsak

a2 – b2 = 3 a2 –a2 3–

2=c m

a2 –a4 32

=

a4 – 3a2 – 4 = 0

(a2 – 4)(a2 + 1) = 0

a2 – 4 = 0

a = 2 a = –2 olur.

a1 = 2 b1 = a2

22 1– – –= =

a2 = –2 b2 = a2

22 1– –

–= = olup

arad m z karekökler

w0 = 2 – i ve w1 = –2 + i bulunur.

ÖRNEK 115

z = 8cis30° karma k say s n n küpköklerini bulunuz.

Çözüm

z = rcis karma k say s n n küpkökleri

w0 = r cis3

3 i

w1 = r cis3

120°3 i +c mw2 = r cis

3240°3 i +c m oldu undan

z = 8cis30° nin küpkökleri

w0 = c s cisi83

30 2 10° °3 =

w1 = 2cis(10° + 120°) = 2cis130°

w2 = 2cis(10° + 240°) = 2cis250° bulunur.

ÖRNEK 116

1 – 2i karma k say s n n kareköklerinden biri x + iy ise (x + iy)4 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

z = 1 – 2i karma k say s n n kareköklerinden biri

w0 = x + iy ise

w02 = z olur.

w02 = z (x + iy)2 = 1 – 2i

(x + iy)4 = (1 – 2i)2

(x + iy)4 = 1 – 4i + 4i2

(x + iy)4 = –3 – 4i bulunur.

ÖRNEK 117

z13 + z = 0 e itli ini sa layan s f rdan farkl z karma-k say lar ndan birini bulunuz.

Çözüm

z13 + z = 0 z13 = –z z12 = –1 olur.

z12 = –1 z12 = cis180°

z cis12

180°1212 =

z = cis15° bulunur.

49

ES

EN

YAY

INLA

RI


a. (v3 – i)10

b. (2 – 2v3i)20

c. (1 + i)15

2. argz1 = 3r , argz2 =

43r ve argz3 =

6r

olmak üzere a a dakilerin her birini bulunuz.

a. .arg z z13

22_ i

b. arg(2z1.z2)

c. 3argz1 + 2argz2

d. .argz

z z3

1 2c m

e. .arg

z

z z

33

12

2f p

3. z = 2(cos20° + isin20°) karma k say s orijin etraf nda pozitif yönde 40° döndürülürse hangi karma k say elde edilir?

4. z = 1 + v3i karma k say s orijin etraf nda pozitif yönde 60° döndürülürse hangi karma k say elde edilir?

5. 2 – 3i karma k say s orijin etraf nda pozitif yönde 90° döndürülürse hangi karma k say elde edilir?

6. z = –16i karma k say s n n 4. dereceden kökle-rini bulunuz.

ALIŞTIRMALAR – 5

1. a. 29(1 + v3 i) b. 239(–1 – v3 i) c. 27(1 – i) 2. a. 2r b.

1213r c.

25r d.

1211r e.

1211r

3. 1 + v3i 4. –1 + v3i 5. 3 + 2i

Karma k Say lar

50

ES

EN

YAY

INLA

RI

7. A a daki karma k say lar n kareköklerini bulu-nuz.

a. 2cis42°

b. 4cis76°

c. 4 + 4v3i

d. 3 – 3i

e. 3 + 4i

f. –4i

g. 9i

8. A a daki karma k say lar n küpköklerini bulu-nuz.

a. 27cis36°

b. 4 – 4v3i

c. –16i

d. –9

e. 8

f. –8i

g. 27

ES

EN

YAY

INLA

RI

51

YAZILIYA HAZIRLIK – 1

1. i.z + 2–z = 1 – 4i e itli ini sa layan z karma k

say s n bulunuz.

2. zii

32

–= + ise Im(

–z) ifadesinin e itini bulunuz.

3. i2 + i3 + i4 + ..... + i54 + i55 ifadesinin e itini bulunuz.

4. a, b R olmak üzere,

2x2 + ax + b = 0 denkleminin köklerinden biri

i1

1+

ise a + b kaçt r?

5. zb ai i

a bi1– –

–= + karma k say s n n ba lang ç nok-

tas na olan uzakl n bulunuz.

6. zi

i i1 2

2 1 3–

=+ +^ ^h h

ise z.–z ifadesinin e itini

bulunuz.

Karma k Say lar

52

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. 2 + 3i 2. –21 3. –1 – i 4. –1 5. 1

6. 4 7.

� � ��

� 8. 219(–1 – v3i) 9. 70° 10. 32i , –32i

7. 1 < |z – 2| 2 e itsizli ine karma k düzlemde kar l k gelen noktalar kümesini gösteriniz.

8. (1 – v3 i)20 ifadesinin e itini bulunuz.

9. sin cos

cos sinzii

20 2040 40

– ° – °° – °= olmak üzere,

z karma k say s n n esas argümenti kaç dere-cedir?

10. z = (1 + i)20 karma k say s n n kareköklerini bulunuz.

ES

EN

YAY

INLA

RI

53


1. z + |z| = 8 + 4i e itli ini sa layan z karma k say s n bulunuz.

2. ( ) ( )

zi i

i1 1

2–

=+

+ ise Re(z–1) ifadesinin e itini

bulunuz.

3. (a – ai)20 = –230 e itli ini sa layan a de erini bulunuz.

4. |2cis50° – 3cis110°| ifadesinin e itini bulunuz.

5. |z – 2 + i| 1 olmak üzere, |z – 6 – 2i| ifadesinin en küçük de eri ile en büyük de erinin toplam n bulunuz.

6. z – 4 + 2i = 0 ko ulunu sa layan z karma k say s n n argümenti ise tan2 kaçt r?

Karma k Say lar

54

7. ekilde z1 ve z2 kar-

�

�

��

��

�

�

ma k say lar gösteril-mi tir.

zz

2

1 ifadesinin e itini

bulunuz.

8. z = –2 + 2v3 i karma k say s n n dördüncü de-receden köklerini bulunuz.

9. z = 27i karma k say s n n küpkökleri w0, w1 ve w2 dir.

Kö eleri w0, w1 ve w2 olan üçgenin alan n bu-lunuz.

10. z = 3 – 4i karma k say s n n kareköklerini bulu-nuz.

1. 3 + 4i 2. 54 3. 2 4. v7 5. 10

6. –34 7. 2i 8. ,i i

26

22

22

26–+ + 9.

427 3 10. 2 – i, i – 2

,i i26

22

22

26– – –

ES

EN

YAY

INLA

RI

ES

EN

YAY

INLA

RI

55

TEST – 1 Sanal Birim ve Karma k Say larda lemler

1. a + 3 – 4bi = 2 + 8i ise a + b kaçt r?

A) –4 B) –3 C) –2 D) 0 E) 2

2. ii

21 2

–+ karma k say s n n reel k s m a a da ki-

ler den han gi si dir?

A) –2 B) –1 C) 51– D) 0 E)

51

3. 1 42 9

– –– – i leminin sonucu kaçt r?

A) i45

4+ B) i

45

4– C) i

5

D) i58

5+ E)

58

4. i

i i1

–14 16

+ i leminin sonucu kaçt r?

A) 1 – i B) i – 1 C) i D) 2i E) 2

5. (1 – i) (1 – i5) (1 + i9)2 (i12 + i7) ifadesinin e iti a a dakilerden hangisidir?

A) 2 – 6i B) 4 – 4i C) –2 + 2i D) –4 E) –2

6. zi i2

12

1–

= ++

ise –z a a dakilerden hangisine

e ittir?

A) 54– B) i

54 2– C) i

54 2+

D) i54 E)

54

7. (i–2 + i–3 + i–5)3 ifadesinin e iti a a dakilerden hangisidir?

A) –2 B) –1 C) –i D) i E) 2i

8. ( )( )

ii

11–

41

40

+ ifadesinin e i ti a a da ki ler den han gi si-

dir?

A) i2

1– B) i2

1 + C) i2

1– +

D) 21– E)

21

ES

EN

YAY

INLA

RI

56

Karma k Say lar

1.B 2.D 3.D 4.B 5.B 6.E 7.B 8.A 9.E 10.C 11.C 12.A 13.E 14.A 15.A 16.C

9. x2 – 2x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi a a dakilerden hangisidir?

A) {1–i, i } B) {1+i, i } C) {1–i} D) {1+i} E) {1–i, 1+i}

10. a ve b gerçek say lar olmak üzere x2 + ax + b = 0 denkleminin köklerinden biri 2 – i ise di er kökü nedir?

A) –2 + i B) –2 – i C) 2 + i D) –2i E) 2i

11. (z – i) (1 – i) = 1 + i ise –z nedir?

A) 1 – i B) 1 + i C) –2i D) 2i E) 0

12. z2 – 4z + 6 = 0 denkleminin köklerinden biri a a dakilerden hangisidir?

A) 2 + v2i B) 1 + v2i C) v2 – i D) 1 + 2i E) 2 – 3i

13. i5 + i6 + i7 + ..... + i83 ifadesinin e i ti a a da ki ler den han gi si dir?

A) 1 B) i C) 0 D) –i E) –1

14. zi i

i i

2 5 2

3 2 3 4–=

+

+

^^ ^

hh h

ise |z| kaçt r?

A) 25 B) 5 C)

215 D) 10 E)

223

15. z = 1 – 4– ise (–z)–1 a a dakilerden han gi si-

dir?

A) 51 (1 – 2i) B)

51 (1 + 2i) C)

51 (1 – i)

D) 51 (2 – i) E)

51 (1 + i)

16. ii

ii1

11

–

++

ifadesinin e iti a a dakilerden

hangisidir?

A) –3i B) –2i C) –i D) i E) 2i

ES

EN

YAY

INLA

RI

57

Sanal Birim ve Karma k Say larda lemler

1. 4 – 3i – a + bi = 0 ise a + b kaçt r?

A) 7 B) 5 C) 4 D) –1 E) –7

2. 4 94 9

– – –– –+ ifadesinin e iti a a dakilerden

hangisidir?

A) 5 B) 4 C) –3 D) –4 E) –5

3. ( )i i

i i2 1 –5 9

5 3

+ ifadesinin e i ti a a da ki ler den

han gi si dir?

A) i B) 2i C) 1 + i D) 1 – i E) i – 1

4. ii

11– 7

+^ h

ifadesi nin e i ti a a da ki ler den han gi si-

dir?

A) 8i B) 8 C) 4 D) 2 E) 4i

5. z = 2 – i ise zz1+ ifa de si nin e i ti a a da ki ler-

den han gi si dir?

A) 512 B) i

56– C) i

512

56–

D) i512

56+ E) i

512

6. z = (1 – i)9 ise z + –z a a da ki ler den han gi si ne

e ittir?

A) –32 B) –16i C) 16i D) 16 E) 32

7. z.(3 + i) – 2.–z = 4i – 8 ise |z| kaçt r?

A) 2c10 B) 4v5 C) 3v5

D) c10 E) v5

8. x2 + mx + n = 0 denkleminin köklerinden biri – i + 1 ise m + n kaçt r?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

TEST – 2

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

58

1.A 2.E 3.C 4.B 5.C 6.E 7.A 8.C 9.B 10.C 11.E 12.E 13.E 14.A 15.C 16.B

9. z = 1 – 2i ise Re(z–1) + Im(z–1) ifadesinin e iti a a dakilerden hangisidir?

) ) ) ) )A B C D E54

53

52

52

53– –

10. f(x) = 2x2 – 4x + 3 ise f(1 – 2i) a a dakilerden hangisine e ittir?

A) 3 – 8i B) 4 + i C) –7 D) 5 E) 7

11. ( ) ( )( ) ( )

zb a i i

i a b i2

1 2– – –

– –=

+ ise |z| ifa de si nin e i ti ne-

dir?

A) v5 B) 2 C) v3 D) v2 E) 1

12. zii

3 23=+

+ ise z.–z kaçt r?

A) 132 B)

132 C)

131

D) 132 E)

134

13. (a + bi)20 ifadesinin aç l m yap ld nda elde edilen terimlerin kat say lar toplam kaçt r?

A) 220 B) 210 C) –210i D) –28 E) –210

14. z(2 + i) + i.–z = 4 + 2i

olmak üzere, |z| ifa de si nin e i ti ne dir?

A) v5 B) v6 C) 3 D) c10 E) 4

15. z1 = 5 + i ve z2 = 2 – 3i noktalar aras ndaki uzakl k kaç br dir?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

16. za b ib a i–=

+ ise Re(z) + Im(z) ifa de si nin e i ti

a a da ki ler den han gi si dir?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

ES

EN

YAY

INLA

RI

59

Sanal Birim ve Karma k Say larda lemler

1. z = a + bi olmak üzere,

(1 + z + –z)2 + ( i + z –

–z)2 ifade si nin e i ti a a -

da ki ler den han gi si dir?

A) 2(a – b)(a + b + 1) B) 2(a – b)(a + b) C) 4(a – b)(a + b + 1) D) 2(a + b) E) 2(a – b)

2. (1 – 2i)z = i – z e itli ini sa layan z karma k say s a a dakilerden hangisidir?

A) i41

41– + B) i

41

41– C) i

41

41– –

D) i21

21– E) i

21

21– +

3. ii

11– 88

+c m ifa de si nin e i ti a a da ki ler den han gi si-

dir?

A) 1 – i B) –1 C) – i D) 1 E) i

4. 3z – z.–z = 0 e itli ini sa layan z karma k sa y s

a a da ki ler den han gi si ola bi lir?

A) –3i B) 2i C) 3 – i D) 1 – 2i E) 3

5. z i2

1= + karma k say s n n çarpma i lemine

göre tersi a a dakilerden hangisidir?

A) 1 – i B) i2

1– C) 1 + i

D) i2

1 + E) –1 – i

6. zi i

i1

112––

=+

olmak üzere,

Im(–z) a a dakilerden hangisidir?

) ) ) ) )A B C D E23

21 1

21

23– – –

7. Köklerinden biri cos sini26

116

11r r+c m olan

ikinci dereceden denklem a a dakilerden hangi-sidir?

A) x2 – 2x + 4 = 0 B) x2 + 2x + 4 = 0

C) x2 – 2v3x – 4 = 0 D) x2 + 2v3x + 4 = 0

E) x2 – 2v3x + 4 = 0

8. Grafikte

x

y

O

z1

z2

|Oz1| = |Oz2| + = 90° z1 = –2 + 3i ise z2 a a dakilerden hangisidir?

A) –2 – 3i B) –3 – 2i C) –1 – 2i

D) –2 – i E) –3 – i

TEST – 3

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

60

1.C 2.A 3.D 4.E 5.A 6.E 7.E 8.B 9.B 10.E 11.B 12.A 13.E 14.E 15.E 16.C

9. ( ) ( )z

ii x i

2 21

–=

+ + ve |z| = 1 ise x in po zi tif de e ri

kaç t r?

A) 2 B) v3 C) v2 D) 23 E) 1

10. z1 = 3 + i ve z2 = 4i – 1 olmak üzere, z1 ile z2 aras ndaki uzakl k a a dakilerden

hangisidir?

A) v2 B) 2v2 C) 3 D) 4 E) 5

11. zyi xi

y i x1 –

–=

++ karma k say s n n ba lang ç

noktas na olan uzakl kaç birimdir?

A) 21 B) 1 C) v2 D) 2 E) v3

12. f(z) = |z|.z.–z – z2 ise f(1 + v3i) ifadesinin e iti

a a dakilerden hangisidir?

A) 10 – 2v3i B) 6 – 2v3i C) 4 – 2v3i

D) 10 + 2v3i E) 6 + 2v3i

13. ( ) . ( )z

i

i i

2 2

1 3 1–4

2=

+

+

^ h ise z.–z ifadesinin e iti


A) 2 B) 1 C) 21 D)

41 E)

81

14. z = 2 – 2v3i ise |z–1| ifa de si nin e i ti a a da ki-ler den han gi si dir?

A) 4 B) 2 C) 1 D) 21 E) 1

4

15. zi2

5–

= karma k say s için

|–z| a a dakilerden hangisine e ittir?

A) 5 B) 3 C) c10 D) 2 E) v5

16. 3z + 4zi = i e it li i ni sa la yan z kar ma k sa y s -n n ba lang ç noktas na olan uzakl kaç br dir?

) ) ) ) )A B C D E31

41

51

61

71

ES

EN

YAY

INLA

RI

61

Grafik Çizimi

1. z = x + iy olmak üzere, Re(z) + 2Im(z) = 4 e it li i ne kar l k ge len nok-

ta lar kü me si a a da ki ler den han gi si ile ifa de edi lir?

x

yA)

x

yB)

x

yC)

x

yD)

x

yE)

–4

2

–2

44

2

4

2

0 0 0

0

0

–24

2. z = x + yi olmak üzere, |z + 2| = |z – 3i| e itli ine düzlemde kar l k ge len

nok ta lar kü me si a a dakilerin hangisi ile ifade edilir?

A) 4x – 6y + 5 = 0 B) 2x – 3y – 5 = 0 C) 4x – 6y – 5 = 0 D) 4x + 6y – 5 = 0 E) 2x + 3y – 5 = 0

3.

x

y

0 1 2 3 4

Grafikteki taral böl ge a a da ki ler den han gi si ile ifa de edilir?

A) 2 |z – 2| 4 B) 1 |z – 2| 2 C) 1 |z – 1| 2 D) 1 |z + 2| 2 E) 2 |z + 2| 4

4. |z – i| = 1 e it li i ne kar l k ge len nok ta lar kü me si a a dakilerden hangisi ile ifade edilir?

x

yA)

0 x

yB)

0

x

yC)

0 x

yD)

0

x

yE)

0

1 2

–1

2

1 1

1

–1–1

–2 –1

–2

5. |z + i| |z – 2| e it siz li i ni sa la yan z kar ma k say lar n n gö rün tü sü a a da ki ler den han gi si-dir?

x

yA)

0

B)

C) D)

E)

34

32

x

y

0

34

x

y

0 x

y

0

32

x

y

0

32

34

32

34

34

32

TEST – 4

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

62

1.D 2.D 3.B 4.A 5.D 6.C 7.B 8.B 9.C 10.C 11.C

6. |z + 2 – 3i| = 2 ise |z – 1 + i| ifa de si nin en kü çük de eri kaçt r?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

7. z = x + iy olmak üzere, |z – 2 + i| = 2 ile |z + 1 + 5i| = 1 aras ndaki en

k sa uzakl k kaç birimdir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

8. 1 < |z| < 2 ko u lu nu ger çek le yen z kar ma k sa-y la r n n görüntüsü a a dakilerden hangisidir?

x

yA)

x

yB)

x

yC)

x

yD)

x

yE)

2

–4 –2

2

1

1 2–1–2

–2

–1

2

1

1 2–1–2

–2

–11 2 4

4

9. z = 2 + i karma k sa y s n n kar ma k düz lem de po zi tif yön de 90° dön dü rül me si ile el de edi len kar ma k sa y w ise |z – w| kaç t r?

A) 2 B) 2v2 C) c10 D) 4 E) 2c10

10. |z – 1| 1 |z + i| 1 e itsizlik sistemine kar l k gelen z karma k say lar n n düzlemdeki görüntüsü


x

yA)

x

yB)

x

yC)

D) E)

0 0 0

x

y

0 x

y

0

1

1

1

11

–1

1

11

–1

11. A = {z : Re(z) Im(z)} ve B = {z : 1 |z| 2} olmak üzere, A B kü me si nin gra fi i a a da ki ler den han gi-

si dir?

x

yA) B)

C) D)

E)

y

y

x

y

x

y

–1

–2

1

2

0

00

00–1–2 1 2

–1–2 1 2

–1–2

1

2

–1

–2

1 2

1 2

x

x

y=x y=x

ES

EN

YAY

INLA

RI

63


1. z = 2v3 – 2i karma k say s n n kutupsal biçimi a a dakilerden hangisidir?

A) 4(cos150° + isin150°) B) 4(cos210° + isin210°) C) 4(cos330° + isin330°) D) 2(cos150° + isin150°) E) 2(cos330° + isin330°)

2. z = –1 + i ise –z nin kutupsal biçimdeki ifadesi a a dakilerden hangisidir?

A) v2cis4

3r B) v2cis4

5r

C) 2cis4

3r D) 2cis4

5r

E) v2cis4

7r

3. z = 1 – v3i ise z12

nin kutupsal biçimde ifadesi


A) 21 cis120° B) 2cis120° C)

41 cis240°

D) 4cis120° E) 41 cis120°

4. z1, z2 ve z3 karma k say lar için

argz1 = 8r

argz2 = 12r

argz3 = 18r ise

arg .

z

z z

36

12

23f p a a dakilerden hangisidir?

) ) ) ) )A B C D E6 9 12 18 36r r r r r

5. z = 4 – 3i karma k say s n n esas argümenti

ise sin2 kaçt r?

A) –1 B) 2524– C)

2512– D)

2512 E)

2524

6. cos sin

coszi40 40

60° °

°=+

ise [Re(z)]2 + [Im(z)]2

ifadesinin e iti a a dakilerden hangisidir?

A) 0 B) 41 C)

21 D) 1 E) 2

7. z1 ve z2 kar ma k sa-

x

y

0

z1

z2

10°

10°

2

3

y la r n n gö rün tü le ri gra fik te ve ril mi tir.

Bu na gö re, z1.z2 a a- da ki ler den han gi si-

dir?

A) –6i B) –6 C) –3i D) 6 E) 6i

8. z1 = cos50° + isin50° ve z2 = 2(cos20° + isin20°) ise

z12.z2

4 ifa de si nin e i ti a a da ki ler den han gi si dir?

A) –16 B) –8 C) –16i D) –8i E) 16

TEST – 5

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

64

1.C 2.B 3.E 4.A 5.B 6.B 7.A 8.A 9.E 10.A 11.D 12.E 13.E 14.B 15.E 16.E

9. z = 2(cos15° + isin15°) ise Im(z6) a a da ki ler-den han gi si ne e it tir?

A) –64 B) –16 C) 16 D) 48 E) 64

10. ,zi

i1 3

0 4=+

karma k say s n n esas ar gü men ti


A) 6r B)

5r C)

4r D)

3r E)

2r

11. z1 , z2 ve z3 kar ma k sa y la r n n esas ar gü-ment le ri s ra s y la,

, ve3

212 5

3r r r ise .

z

z z

35

13

24

karma k say s n n

esas ar gü men ti a a da ki ler den han gi sidir?

) ) ) ) )A B C D E3

84

73

53

44

3r r r r r

12. z = v3 – i karma k say s orijin etraf nda pozitif

yönde 3

2r radyan ka dar dön dü rü lür se a a da ki

kar ma k sa y lar dan han gi si el de edi lir?

A) 1 – v3i B) 1 + v3i C) v3 + i D) –1 – v3i E) 2i

13. z i63 –= kar ma k sa y s n n esas ar gü men ti


) ) ) ) )A B C D E3

23

46

56

76

11r r r r r

14. z1 = 2(cos310° + isin310°) ve

z2 = 3(cos220° + isin220°) ise

|z1 – z2| ifadesinin e iti nedir?

A) 3 B) c13 C) c15 D) 4 E) c17

15. 0° < – < 90° olmak üze re z1 = co s + i si n

ve z2 = 2(cos + isin ) kar ma k sa y la r ara-

s n da ki uzak l k v3 ise z1.z2–1 ifa de si nin e i ti


A) 83 (1 + v3i) B)

83 (v3 + i) C)

41 (v3 + i)

D) 18

(1 + v3i) E) 41 (1 + v3i)

16. arg(z + 1) = , arg(z + 3i) = 4

3r ise z a a -


A) –4 B) –2 C) –2i D) –3i E) –3

ES

EN

YAY

INLA

RI

65


1. . cos sin cos sini i212 12 24 24

2r r r r+ +b bl l

i leminin e iti nedir?

A) –1 – v3i B) 1 + v3i C) v3 + i D) v3 – i E) 1 – v3i

2. cos sinz i25 5r r= +b l karma k say s için

z–5 a a dakilerden hangisine e ittir?

) ) ) ) )A B C D E321

161

81

161

321– – –

3.

Re (z)

Im (z)

0

z1

z2

60°

30°

2

4

Grafikte, z1 ve z2 karma k say lar n n gö rün tü-le ri ve ril mi tir. Bu na gö re z1.z2 a a da ki ler den han gi si ne e it tir?

A) 2(–1 + v3i) B) 4(–1 + v3i)

C) 2(1 – v3i) D) 4(1 – v3i)

E) 8(–1 + v3i)

4. z karma k say s için argz3 + argz3

4r= ise

arg(z) a a dakilerden hangisine e ittir?

) ) ) ) )A B C D E8 6 4 3 2r r r r r

5. Esas argümenti 3

2r olan ve z = 4(–z)–1

ko ulunu gerçekleyen z kar ma k sa y s a a -da ki ler den han gi si dir?

A) v3 – i B) v3 + i C) 1 + v3i D) –1 + v3i E) 1 – v3i

6. arg[z.(1 – v3i) ] = 9

16r ise arg(z) a a da ki ler-

den han gi si dir?

) ) ) ) )A B C D E9 8 6 4 3r r r r r

7. z1 ve z2 kar ma k

Re (z)

Im (z)

0

z1

z2

15°15°

sa y la r n n gö rün tü-le ri gra fik te ki gi bi dir. Bu na gö re,

argz1 + argz2 a a -da ki ler den han gi si ne e it tir?

A) 315° B) 330° C) 345° D) 370° E) 390°

8. z = v3 – i ise z1 say s n n esas ar gü men ti a a-


) ) ) ) )A B C D E3

23

42

36

56

11r r r r r

TEST – 6

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

66

1.C 2.E 3.B 4.A 5.D 6.A 7.E 8.E 9.B 10.A 11.E 12.B 13.C 14.C 15.B 16.B

9. z = cos10° – i sin10° ise arg z23– 3+d n ifa de-

si nin e i ti a a da ki ler den han gi si dir?

) ) ) ) )A B C D E6

112

33

46

72

r r r r r

10. z = 4(cos75° + isin75°) ise |z2| a a dakilerden hangisine e ittir?

A) 16 B) 12 C) 8 D) 6 E) 4

11. zi

i1 3

1–

–= karma k say s için z6 a a da ki-

ler den han gi si ne e it tir?

) ) ) ) )A B C i D i E i81

21

2 4 8

12. i

i1–

karma k say s n n esas argümenti kaç

radyand r?

) ) ) ) )A B C D E4 4

34

52

3r r r r r

13.

x

y

0z1

z22

30°

Grafikte z1 ve z2 karma k say lar belirtilmi tir.

Buna göre zz

2

1 a a dakilerden hangisine e ittir?

A) –v3i B) – i C) v3i D) v3 E) 2v3

14. z karma k say s n n kar ma k düz lem de ki gö-rün tü sü II. böl ge de ol du u na gö re i.z kar ma k sa y s n n gö rün tü sü kaç nc bölgededir?

A) I. bölge B) II. bölge C) III. bölge D) IV. bölge E) Reel eksen

15. z = sin50° – i cos50° ve w = –sin80° – i cos80°

karma k say lar için argwzb l kaç derecedir?

A) 120 B) 130 C) 140 D) 150 E) 160

16. (1 – cis60°)3 ifadesinin e iti a a dakilerden hangisidir?

A) –i B) –1 C) 1 D) i E) 2

ES

EN

YAY

INLA

RI

67

Karma k Say lar n Kökleri

1. z = – i say s n n karekök le rin den bi ri a a da ki-ler den han gi si dir?

A) i22

22+ B) v2 + v2i

C) i22

22– D) i

22

22– –

E) –v2 – v2i

2. v2 + c–2 say s n n kare kök le rin den bi ri a a -da ki ler den han gi si dir?

A) cos sini28

78

7r r+c m B) cos sini2

815

815r r+c m

C) cos sini28 8r r+b l

D) cos sini28 8r r+b l

E) cos sini28

78

7r r+c m

3. i2 2 1– ifadesi nin e i ti a a da ki ler den han-gi si ola bi lir?

A) v2 – i B) –1 + v2i C) v2 + i D) 1 + v2i E) 1 – v2i

4. z = i2 karma k say s n n kareköklerinden biri


A) v2cis4

3r B) 2cis4r C) v2cis

23r

D) 2cis

43r E) v2cis

4r

5. i1 3+ ifadesinin e iti a a da ki ler den han gi si ola bi lir?

A) i26

22– + B) i

22

26+

C) i22

26 – D) i

26

22–

E) i26

22+

6. z = –27 nin küp köklerinden biri a a dakilerden hangisidir?

A) i23

23 3– B) i

21

23–

C) i23

23– D) i

23

23 3– +

E) i23

23 3– –

7. 12i – 5 karma k say s n n kare kök le rin den bi ri a a da ki ler den han gi si dir?

A) 2 – 3i B) –2 + 3i C) 3 – 2i D) 2 + 3i E) 3 + 2i

8. i3 4+ karma k say s n n e iti a a daki-lerden hangisi olabilir?

A) 1 – 2i B) 1 + 2i C) –2 – i D) 2 + 2i E) 2 – i

TEST – 7

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

68

1.C 2.C 3.D 4.A 5.E 6.A 7.D 8.C 9.C 10.C 11.D 12.E 13.E 14.A 15.D 16.C

9. z1 = cis200° ve z2 = cis20° ise

zz

2

1 ifadesi nin e i ti a a da ki ler den han gi si

ola bi lir?

A) –1 B) 1 C) – i D) 1 – i E) v2 – v2i

10. (z + iz)3 = 4z e it li i ni sa la yan z kar ma k sa-y s a a dakilerden hangisi olabilir?

A) cis24

5r B) cis24

54 r

C) cis2

854 r D) cis2

85r

E) cis24

5r

11. z karma k say s n n 6. de re ce den kök le rin den bi ri cis70° ise a a da ki ler den han gi si 6. de re-ce den kök le rin den bi ri de il dir?

A) cis10° B) cis130° C) cis190° D) cis220° E) cis310°

12. Re el kat sa y l 5. de re ce den bir denk le min çö züm kü me si {2, 1 – i , 4 + 2i , z, u} ise z + u a a da-ki ler den han gi si dir?

A) 5 + 2i B) 5 – 2i C) 5 + 3i D) 5 + i E) 5 – i

13. z1 ve z2 kar ma k sa-

x

y

0z1

z2

y la r na kar l k ge len nok ta lar yan da ki gi bi-dir. Bu na göre, .z z1

32

kar ma k say s n n yeri için a a da ki ler den han gi si do ru dur?

A) Reel eksen üzerindedir. B) I. bölgededir. C) III. bölgededir. D) Sanal eksen üzerindedir. E) IV. bölgededir.

14. zii

11

–

5= +c m karma k sa y s n n ka re kök le rin den

biri a a dakilerden hangisidir?

A) i22

22+ B) i

22

22– C) i

D) – i E) i22

22– +

15. Bir karma k say n n 10. dere ce den kök le rin den bi ri 2(cos12° + isin12°) ise a a da ki ler den han-gi si 10. dereceden köklerinden biridir?

A) 2cis36° B) –1 – i C) 2cis144° D) –1 + 3 i E) 2cis72°

16. z3 – 27i = 0 denkleminin kök le rin den bi ri a a -da ki ler den han gi si dir?

A) i23

21+ B) i

23 3

23– C) –3i

D) i23

21– E) 3i

ES

EN

YAY

INLA

RI

69

1. (x + iy)2 = 3 – 4i ise x + y a a da ki ler den han-gi si ne e it ola bi lir?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 2 E) 3

2. :zii

ii

1 51 5

2 35 12

– ––= + ise z.

–z ifadesinin e iti


A) 13 B) 12 C) 121 D)

131 E)

261

3. |z – 2i| – 2 = 2i – z e it li i ni sa la yan z kar ma k say s a a dakilerden hangisidir?

A) 1 + 2i B) 1 – 2i C) 2 + i D) 2 – i E) 2 + 2i

4. ( ) ( )i

i1

1 3 3 1–

– 9+ +d n ifadesinin e i ti a a da-

ki ler den han gi si dir?

A) 29i B) 29 C) –25

D) –29i E) –29

5. z2 – 3z + 4 = 0 denkleminin kökleri m ve n dir. Buna göre, (m + n – 2i)(m.n + 3i) ifa de si nin e i ti

ne dir?

A) 18 + i B) 12 + i C) 18 – i D) 12 – i E) 12 + 2i

6.

x

y

0

z1

z2

2

4

30°

30°

Grafikteki verilenle re gö re zz

2

1 a a da ki ler den

han gi si ne e it tir?

A) i43

41– + B) i

43

41– C) i

23

21–

D) i23

21– + E) i

43

41+

7. z = 3 – 4i say s n n esas argümenti ise cos2 kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E52

259

258

257

51– – – – –

8. |z – 4 + 2i| = 1 ve |z – i| = 2 ko ullar n sa layan karma k say lar aras ndaki en k sa uzakl k kaç birimdir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

TEST – 8

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

70

1.B 2.D 3.A 4.E 5.A 6.A 7.D 8.B 9.B 10.C 11.A 12.A 13.C 14.B 15.D 16.C

9. zii

23

–= + karma k say s n n esas argümenti

kaç derecedir?

A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90

10. |z – 3i| = v5 ve arg(z) = 4r ko ul la r n sa la-

yan z kar ma k sa y s a a da ki ler den han gi si

olabilir?

A) 1 – i B) 2 – i C) 2 + 2i

D) 3 + 3i E) 4 + 4i

11. |z – 2 – i| < 2 e it siz li i ne kar l k ge len nok ta lar kü me si a a dakilerden hangisidir?

x

yA)

x

yB)

x

yC)

D) E)

x

y

x

y

2

1

2

1 2

–1

–2

11

1

12. Ar gü men ti, z = 1 + 2i kar ma k sa y s n n ar-gü men ti nin iki ka t olan kar ma k sa y lar dan bi ri a a da ki ler den han gi si dir?

A) –3 + 4i B) –3 + 2i C) –2 + 3i

D) –3 – 4i E) –3 – 2i

13. |z – 3 + 4i| = 1 ko u lu nu sa la yan z kar ma k sa y la r n dan x ek se ni ne en ya k n ola n a a da-ki ler den han gi si dir?

A) 2 – 2i B) 2 – 3i C) 3 – 3i D) 3 + 3i E) 3 – 2i

14. °cos cossin cos

ii

40 13080 100

° – °° – ifadesinin e i ti a a da ki ler-

den han gi si dir?

A) i23

2– + B) i

23

2– C) i

23

2+

D) i21

23– E) i

15.

x

y

0

z1

z2–a

b

b a

Gra fik te, z1 ve z2 kar ma k sa y la r n n gö rün-

tü le ri ve ril mi tir. Bu na gö re zz

2

1 ifa de si nin e i ti ne dir?

A) –i B) –1 C) 1 D) i E) 2i

16. |z + 2i| = |z + 1| ko u lu nu sa la yan z kar ma k say lar n n geometrik yer denk le mi a a da ki ler-den han gi si dir?

A) 4x – 2y + 3 = 0 B) 4y – 2x – 3 = 0 C) 4y – 2x + 3 = 0 D) 4x – 2y – 3 = 0 E) 4x + 2y + 3 = 0

ES

EN

YAY

INLA

RI

71

1. P(x) = x7 + x4 + x – 1 olmak üzere P(1 – i) a a dakilerden hangisine e ittir?

A) 4 + 5i B) 3 + 6i C) 3 + 7i D) 4 + 6i E) 4 + 7i

2. P(x, y) = x5.y6 + 1 olmak üzere P(1 + i, 1 – i) a a da ki ler den han gi si ne e it tir?

A) 33 – 32i B) 32 – 32i C) 64 – 63i D) 63 – 63i E) 65 – 64i

3. ii

11– 2008

+c m i leminin sonucu a a dakilerden

hangisine e ittir?

A) –i B) –1 C) i D) 1 E) 0

4. z i

i3 2 3= + ise Im(–z) kaçt r?

A) 136– B)

139– C)

136 D)

139 E)

1310

5. i–z + z = 2 –

–z e itli ini sa layan z karma k

say s a a dakilerden hangisidir?

A) –2i B) – i C) 1 – 2i D) 1 + 2i E) 2i

6. | i3.z| = 2 ise |z| kaçt r?

A) 4 B) 2 C) 1 D) i E) 2i

7. |z + i – 2| > 3 e it siz li i ni sa la yan kar ma k sa-y la r n n ge omet rik yer denk le mi a a da ki ler den han gi si dir?

A) (x + 2)2 + (y – 1)2 > 3

B) (x – 2)2 + (y – 1)2 > 3

C) (x + 2)2 + (y – 1)2 > 9

D) (x – 2)2 + (y + 1)2 > 9

E) (x – 2)2 + (y – 1)2 > 9

8. z1 ve z2 karma k say lar z2 = 4i denk le mi nin

kök le ri dir. Karma k düzlemde z1 ve z2 nok ta la r ara s n da ki

uzak l k kaç bi rim dir?

A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

9. z = 1 + v3i karma k say s n n karekökleri w0 ve w1 ise w0.w1 a a da ki ler den han gi si ne e it-tir?

A) 1 – v3i B) 4 + 2v3i C) –1 + v3i

D) –1 – v3i E) –4 – 2v3i

TEST – 9

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

72

1.E 2.A 3.D 4.A 5.E 6.B 7.D 8.C 9.D 10.D 11.A 12.A 13.C 14.D 15.E 16.A

10. z = sin60° – i cos30° ise z karma k say s n n esas argümenti kaç derecedir?

A) 45 B) 120 C) 300 D) 315 E) 330

11. x

x xi1

2–2

2

++ ifa de si nin sa de le mi bi çi mi a a -


A) x i

x i2–

– B) x i

x i2–+

C) x ix i2

–+

D) x ix i2

++ E)

x ix 2–

+

12. A = {z: |z – 2| 1} ve B = {z: Re(z) 2} olmak üzere A B kü me si nin gra fi i a a da ki ler den han gi-

si dir?

x

yA)

0

B)

C) D)

E)

x

y

0

x

y

0

x

y

0

x

y

0

–1

1

2 3 2

3

–1 1

–2–3

–1 1

–2

–3

–11

–1

1

1

2

13. zz i

21

–+ e itsizli ini sa la yan z kar ma k

sa y la r n n ge omet rik yer denk le mi a a da ki ler-den han gi si dir?

A) 4y + 2x – 3 0 B) 2y – 4x + 3 0 C) 2y + 4x – 3 0 D) 4y + 2x + 3 0 E) 2y – 4x – 3 0

14. z2 + 2z + 2 ifadesinin çarpan la r n dan bi ri a a -da ki ler den han gi si dir?

A) z + 2 – i B) z – 2 + i C) z – 2 – i D) z + 1 – i E) z – 1 – i

15. z = 2cis20° ve w = 4cis80° ol mak üze re z ile w kar ma k sa y la r ara s n da ki uzak l k kaç bi rim dir?

A) 3v2 B) 4 C) c15 D) c13 E) 2v3

16. arg(z + i) = 4

3r ve arg(z + 2) = 4r

e itliklerini sa layan z kar ma k sa y s a a da-ki ler den han gi si dir?

A) i23

21– + B) i

23

21+ C) i

21

23+

D) i21

23– + E) i

23

23– –

73

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. 1989 – ÖYS (1 + i)5 + (1 – i)5 toplam kaçt r? (i2 = –1)

A) –8 B) –5 C) 0 D) 5 E) 8

2. 1989 – ÖYS

z i2

3 323– –= karma k say s n n ku tup sal bi-

çi mi, a a da ki ler den han gi si dir?

A) cos sini96 6r r+b l

B) cos sini93

23

2r r+c m C) cos sini3

32

32r r+c m

D) cos sini36

76

7r r+c m E) cos sini3

3 3r r+b l

3. 1990 – ÖYS z = 3 + 2i ,

–z = 3 – 2i oldu una göre,

z zz z

–

4+d n a a dakilerden hangisine e ittir?

A) 1681 B) –

1681 C) –

1681 i D)

1681 i E) –i

4. 1991 – ÖYS i2 = –1 oldu una göre, (1 + i) (1 + i3) (1 + i5) (1 + i7) çar p m , a a da ki-

ler den han gi si ne e it tir?

A) 2 B) 4 C) 1 + i D) 1 – i E) 4i

5. 1991 – ÖYS Karma k düzlemde A(4 + 6i), B(–2 – i), C(4 + 5i) noktalar veriliyor. A n n [BC] nin or ta s na olan uzak l kaç bi rim-

dir?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 3v2 E) 3v3

6. 1992 – ÖYS

i2 = –1 oldu una göre, ii

11

–

20+c m sa y s a a da-

ki lerden han gi si dir?

A) –2i B) –i C) –1 D) 1 E) 2i

7. 1993 – ÖYS Karma k düzlemde, z = 3 – i oldu una göre, |z–1| kaçt r?

A) 1010 B)

2010 C)

2015 D)

3015 E)

5010

8. 1994 – ÖYS Karma k düzlemde, (cosx + isinx)2 = cos2x + isin2x oldu una göre, a a dakilerden hangisi x in de erlerinden biri-

dir?

) ) ) ) )A B C D E6 4 3 2r r r r r

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

74

9. 1994 – ÖYS |z + 2 – i| = 10 e itli ini sa la yan z kar ma k

sa y la r n n ge omet rik ye ri nin denk le mi, a a da-ki ler den han gi si dir?

A) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 16 B) (x – 3)2 + (y – 1)2 = 64 C) (x + 2)2 + (y – 1)2 = 100 D) (x – 4)2 + (y – 1)2 = 81 E) (x – 4)2 + (y – 4)2 = 121

10. 1995 – ÖYS i = c–1 ve n pozitif tam say olmak üzere,

i

i in

n n

4 1

8 1 4

–

– + ifadesinin k sal t l m bi çi mi, a a da-

ki ler den han gi si dir?

A) i B) i + 1 C) i – 1 D) 1 E) 2

11. 1995 – ÖYS z = x + iy ve |z| = |z – 2| oldu una göre, z nin karma k düzlemdeki ge omet rik ye ri, a a-


A) Gerçek eksene dik bir do ru B) Sanal eksene dik bir do ru C) 2 birim çapl bir çember D) Bir elips E) Bir parabol

12. 1996 – ÖYS z – 5 – i = 1 ko u lu nu sa la yan z kar ma k sa-

y s n n ar gü men ti ol du u na gö re, tan kaç t r?

A) 51– B)

21– C) 0 D)

61 E) 1

13. 1997 – ÖYS

z = 2 + 4i ve u = 3i kar ma k sa y lar ol du u na

gö re, .i

z u6 3+

de eri a a dakilerden han gi si dir?

A) –2 B) –1 C) 2

D) i3

1 2+ E) i3

1 2–

14. 1998 – ÖYS

i2 = –1 , z i23

21= + oldu una göre,

z9 a a dakilerden hangisidir?

A) –i B) 1 C) i21

23+

D) i23

21– E) i

23

21– +

15. 2006 – ÖSS |z| + z = 3 – 2i e itli ini sa la yan z kar ma k

sa y s a a da ki ler den hangisidir?

A) i53 2– B) i

65 2– C) i

43 2+

D) i32 3– E) i

53 3+

16. 2007 – ÖSS Karma k say lar kümesi üzerinde i lemi, z1 z2 = z1 + z2 + |z1z2|

biçiminde tan mlan yor. Buna göre (1 – 2i) (2 + i) i leminin sonucu

nedir?

A) 1 + 8i B) 1 – 8i C) 8 + i D) 8 – i E) 2 – i

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

75

17. 2008 – ÖSS z1 ve z2 kar ma k sa y la r z2 = i denk le mi nin

kök le ri dir. Kar ma k düz lem de z1 ve z2 nok ta la r ara s n-

da ki uzak l k kaç bi rim dir?

A) 41 B)

21 C) 1 D) 2 E) 4

18. 2009 – ÖSS

cos sincos sinz

ii

15 1575 75

° °° °=

++

karma k say s a a dakilerden hangisidir?

A) i2

3 + B) i2

3 – C) 1

D) i2

1 3– E) i2

1 3+

19. 2010 – LYS Karma k say lar düzleminde |z – 1| = |z + 2| denklemi a a dakilerden hangisini belirtir?

A) x = 1 do rusu

B) x = 21– do rusu

C) x = 2 do rusuD) (x – 1)2 + y2 = 1 çemberiE) x2 + (y + 2)2 = 1 çemberi

20. 2010 – LYS z ile z nin e leni i gösterildi ine göre, z = 2 + i karma k say s için,

z

z1–

ifadesi a a dakilerden hangisine e ittir?

A) i21

23+ B) i

32

23– C) 1 + 3i

D) 2 – 3i E) 3 + i

21. 2010 – LYS z = 1 + iv3 karma k sa y s a a da ki ler den

han gi si ne e it tir?

A) cos sini26 6r r+b l

B) cos sini26 6

–r rb lC) cos sini2

3 3r r+b l

D) cos sini3 3

4 r r+b lE) cos sini4

3 3–r rb l

22. 2010 – LYS b ve c gerçel say lar olmak üzere, P(x) = x2 + bx + c polinomunun bir kökü 3 – 2i

karma k say s d r. Buna göre, P(–1) kaçt r?

A) 5 B) 10 C) 20 D) 25 E) 30

23. 2011 – LYS Ba katsay s 1 olan, – i ve 2i karma k say la-

r n kök kabul eden dördüncü dereceden gerçel katsay l P(x) polinomu için P(0) kaçt r?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

76

24. 2011 – LYS z = a + bi (b 0) ve w = c + di kar ma k sa-

y la r için z + w top la m ve z.w çar p m bi rer ger çel sa y ol du u na gö re,

I. z ve w birbirinin e leni idir.

II. z – w gerçeldir.

III. z2 + w2 gerçeldir.

ifadelerinden hangileri do rudur?

A) Yaln z I B) Yaln z II C) I ve III

D) II ve III E) I, II ve III

25. 2011 – LYS

–z ile z nin e leni i gösterildi ine göre, z2 =

–z

e itli ini sa layan ve argümenti 2r ile ara-

s n da olan s f r dan fark l z kar ma k sa y s ne-dir?

A) i21 3– + ^ h B) 3 i

21

2– + d n

C) i2

221– + c m D) i

22

22– + d n

E) i2 2

13– + c m

26. 2012 – LYS

Karma k say lar kümesi üzerinde,

f(z) = 1 – 2.z6

fonksiyonu tan mlan yor.

z0 = cos3rc m + isin

3rc m için f(z0) kaçt r?

A) 1 + i B) 2i C) 1 – i

D) –1 E) 3

27. 2012 – LYS

(|z| + z).(|z| – z ) = i

denklemini sa layan z karma k say lar n n

sanal k sm a a dakilerden hangisine e ittir?

A) z2 B)

z1 C)

z

2

– D)

z21 E) z–

28. 2012 – LYS

1 say s na olan uzakl 2 birim ve i say s na

olan uzakl 3 birim olan z = a + ib karma k

say lar için a – b fark kaçt r?

A) 23 B)

25 C)

27 D)

34 E)

37

77

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. (1 + i)5 + (1 – i)5 = [(1 + i)2]2.(1 + i) + [(1 – i)2]2.(1 – i)

= (2i)2.(1 + i) + (–2i)2.(1 – i)

= –4.(1 + i) – 4(1 – i)

= –4 – 4i – 4 + 4i

= –8 bulunur.Do ru Seçenek A

2. z i2

3 323– –= z

427

49 3= + =

tan =

23 3

23

31

–

–= =

6r

= + 6r =

67r olur. O halde,

z = |z|.(cos + isin )

z = . cos sini36

76

7r r+c m bulunur.

Do ru Seçenek D

3. z = 3 + 2i , –z = 3 – 2i ise

.

z zz z

i ii i

i ibulunur

3 2 3 23 2 3 2

46

23

1681

– ––4 4

4 4

+ =+ ++ +

= = =

d cc c

n mm m

Do ru Seçenek A

4. (1 + i)(1 + i3)(1 + i5)(1 + i7) = (1 + i)(1 – i)(1 + i)(1 – i)

= (12 – i2).(12 – i2)

= (1 + 1).(1 + 1)

= 4 bulunur.

Do ru Seçenek B

5. A(4 + 6i) = A(4, 6)

B(–2 – i) = B(–2, –1)

C(4 + 5i) = C(4, 5)

[BC] nin orta noktas

, ( , )D D2

2 42

1 5 1 2– –+ + =c m olup A ile D aras ndaki uzakl k

( ) ( )AD br4 6 2 51– –2 2= + = bulunur.

Do ru Seçenek A

6. ii

i ii i

11

1 11 1

– –

20 20+ =

++ +c ^ ^

^ ^fm h hh h p

.i i bulunur1 1

2 120

20=+

= =c mDo ru Seçenek D

7. z = 3 – i ise

|z–1| = z i1

31

9 11

1010

–= =

+=

olarak bulunur.Do ru Seçenek A

8. (cosx + isinx)2 = cos2x + isin2x

cos2x + 2i.cosx.sinx – sin2x = cos2x + isin2x

2i.cosx.sinx – sin2x – i sin2x = 0

sinx.(2i.cosx – sinx – i) = 0

sinx = 0 2i.cosx – sinx – i = 0

sinx = 0 x = bulunur.Do ru Seçenek E

ÇÖZÜMLER

ES

EN

YAY

INLA

RI

78

Karma k Say lar

9. z = x + yi al n rsa,

|z + 2 – i| = 10 |x + yi + 2 – i| = 10

|(x + 2) + (y – 1)i| = 10

( )x y2 1 10–2 2+ + =^ h (x + 2)2 + (y – 1)2 = 100 olur.

Do ru Seçenek C

10. i8n–1 = i8n.i–1 = i i

1 1 1· = , i4n = 1

i4n–1 = i4n.i–1 = i i

1 1 1· = oldu undan,

i

i i

i

ii

i i i1

1 1 11

1·n

n n

4 1

8 1 4

–

– + =+

= + = + dir.

Do ru Seçenek B

11. z = x + iy ise |z| = |z – 2| |x + iy| = |x + iy – 2|

( )x y x y2–2 2 2 2+ = +

x2 + y2 = x2 – 4x + 4 + y2 x = 1 bulunur.

x = 1 do rusu, gerçek eksene dik bir do rudur.

Do ru Seçenek A

12. z – 5 – i = 1 z = 6 + i

x

y

O

1

6

z = 6 + i tan = 61 d r.

Do ru Seçenek D

13. z = 2 + 4i ve u = 3i ise

. ( ) . ( )i

z ui

i ii

i ii

i6 3 6 3

2 4 36 36 12

6 36 12– – – – –2

+=

+=

++ =

+

= ( )i

i6 32 3 6

2–

–+

+= bulunur.

Do ru Seçenek A

14. z i23

21= +

karma k say s n n kutupsal biçimini bulal m.

|z| = 43

41 1+ =

tan =

23

21

31= = 30°

O halde, z = 1.(cos30° + isin30°)

z9 = 19.(cos(9.30°) + i sin(9.30°))

z9 = cos270° + isin270°

z9 = 0 + i(–1)

z9 = – i bulunur.Do ru Seçenek A

15. z = x + yi olsun.

|z| + z = 3 – 2i

x y2 2+ + x + yi = 3 – 2i

x y2 2+ + x = 3 ve y = –2 olup,

( )x 2–2 2+ = 3 – x x2 + 4 = 9 – 6x + x2

6x = 5 x = 65

z = x + yi = 65 – 2i bulunur.

Do ru Seçenek B

16. z1 z2 = z1 + z2 + |z1z2| oldu undan

(1 – 2i) (2 + i) = (1 – 2i) + (2 + i) + |(1 – 2i)(2 + i)|

= 3 – i + |1 – 2i|.|2 + i|

= 3 – i + .1 4 4 1+ +

= 3 – i + v5 . v5

= 3 – i + 5

= 8 – i bulunur.Do ru Seçenek D

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

79

17. z2 = i z2 = cis(90° + 360°k)

z2 = cis k2

90 360° °+c m z = cis(45° + 180°k)

z1 = cis45° , z2 = cis225°

x

y

1

z1

z2

1v2

– 1v2

1v2

– 1v2

1

45°45°

O halde, |z1 – z2| = 2 br dir.Do ru seçenek D

18. z = cos sincos sin

ii

15 1575 75

° °° °

++

= ciscis

1575

°° = cis(75° – 15°) = cis60°

= cos60° + i.sin60° = .i i21

23

21 3·+ = +

Do ru Seçenek E

19. z = x + iy ise

|z – 1| = |z + 2| |x + iy – 1| = |x + iy + 2|

( ) ( )x y x y1 2– 2 2 2 2+ = + +

x2 – 2x + 1 + y2 = x2 + 4x + 4 + y2

–2x + 1 = 4x + 4

–6x = 3

x = 21– bulunur.

Do ru Seçenek B

20. 2 ( )( )z

zi

iii

ii i

2 12

1 12 1

1 – – – –– 2= + = + =

+ +

( )i1+

= .i i i i i dir1 1

2 22

1 321

232

++ + + = + = +

Do ru Seçenek A

21. z = 2.cis3r Im(z)

Re(z)

2

z=1+v3 iv3

60°1

z = cos sini23 3r r+b l

bulunur.

Do ru Seçenek C

22. Köklerden birisi x1 = 3 – 2i ise di eri bunun

e leni i olan x2 = 3 + 2i dir.

T = x1 + x2 = 3 – 2i + 3 + 2i = 6

Ç = x1 . x2 = (3 – 2i) (3 + 2i) = 9 – 4i2 = 13

x2 + Tx + Ç = 0 P(x) = x2 – 6x + 13

P(–1) = (–1)2 – 6(–1) + 13

P(–1) = 1 + 6 + 13

P(–1) = 20 bulunur.

Do ru Seçenek C

23. Köklerinden ikisi – i ve 2i ise di erleri i ve –2i dir. O halde,

P(x) = 1.(x + i)(x – i)(x – 2i)(x + 2i)

= (x2 – i2).(x2 – 4i2)

= (x2 + 1).(x2 + 4) olup

P(0) = (02 + 1).(02 + 4) = 4 bulunur.Do ru Seçenek B

Karma k Say lar

ES

EN

YAY

INLA

RI

80

24. z = a + bi ve w = c + di için z + w ve z.w birer gerçel say ise

z + w = a + bi + c + di

= a + c + (b + d)i b + d = 0 d r.

z.w = (a + bi)(c + di)

= a.c + a.di + b.ci + b.d.i2

= a.c – b.d + (a.d + b.c)i

a.d + b.c = 0 ve b + d = 0 a = c dir.

O halde, z ve w birbirinin e leni idir.

z = a + bi ise w = a – bi dir.

z – w = a + bi – a + bi = 2bi R

z2 + w2 = (a + bi)2 + (a – bi)2

= a2 – b2 + 2abi + a2 – b2 – 2abi

= 2a2 – 2b2 RDo ru Seçenek C

25. z = r.cis ve 2r < < r olmak üzere,

z2 = r2.cis2 , –z = r.cis(2r – )

z2 = –z r = 1

2 = 2r – = 23r tür.

z = r.cis z = 1.cis 23r

= cos 23r + i sin 2

3r

= .i21

23– + olur.

Do ru Seçenek B

26. z0 = cis3r .z cis 6

306 r= c m

= cis2r

= 1 + 0.i = 1

f(z) = 1 – 2.z6 f(z0) = 1 – 2.z06

= 1 – 2.1

= –1 dir.

Do ru Seçenek E

27. z = x + iy ise z = x – iy dir.

(|z| + z).(|z| – z ) = i

|z|2 + |z|.z + z.|z| – z.z = i

|z|2 + |z|.(z + z) – |z|2 = i

|z|.2x = i x = zi2

olup z nin sanal k sm z21 dir.

Do ru Seçenek D

28. |z – 1| = 2 ve |z – i| = 3

( )a b1 2– 2 2+ = ( )a b 1 3–2 2+ =

a2 – 2a + 1 + b2 = 4 a2 + b2 – 2b + 1 = 9

a2 + b2 = 3 + 2a a2 + b2 = 8 + 2b

denklemlerinin ortak çözümünden,

3 + 2a = 8 + 2b 2a – 2b = 5

a – b = 25 dir.

Do ru Seçenek B

LOGAR TMA


Üstel Fonksiyon ve Logaritma Fonksiyonu

1. Kazan m : Üstel fonksiyonu olu turur, tan m ve görüntü kümesini aç klar.

2. Kazan m : Üstel fonksiyonlar n birebir ve örten oldu unu gösterir.

3. Kazan m : Logaritma fonksiyonunu üstel fonksiyonunun tersi olarak kurar.

4. Kazan m : Onluk logaritma fonksiyonunu ve do al logaritma fonksiyonunu aç klar.

5. Kazan m : Logaritma fonksiyonunun özelliklerini gösterir ve uygulamalar yapar.

Üslü ve Logaritmik Denklemler ve E itsizlikler

1. Kazan m : Üslü ve logaritmik denklem ve e itsizliklerin çözüm kümelerini bulur.

82

LOGAR TMA

9. s n fta üslü ifadeler ve özelliklerini ö renmi tik. Bu özellikleri bir kez daha hat rlayal m.

a, b R+ – {1} ve x, y R olmak üzere,

ax.ay = ax+y ax.bx = (a.b)x (ax)y = axy

aa a

y

xx y–=

ba

ba

x

x x= b l a

a1xx

– =

imdi de üstel fonksiyonu tan mlayal m.

a R+ – {1} ve x R olmak üzere, f: R R+ , f(x) = ax fonksiyonuna, taban “a” olan üstel fonksiyon denir.

f(x) = 2x , g(x) = (v2)x ve h(x) = 31 xc m fonksiyonlar n n her biri, birer üstel fonksiyondur.

Bu fonksiyonlardan f(x) = y = 2x fonksiyonunu ele al p, bu fonksiyonun grafi ini çizerek özelliklerini ara t ral m.

f(x) = y = 2x fonksiyonu için x e baz de erler verip, y de erlerini bulal m.

�2�

�

�

�

�

�

�

�

�

��2�

x = –2 için, y = 2–2 = 41

x = –1 için, y = 2–1 = 21

x = 0 için, y = 20 = 1

x = 1 için, y = 21 = 2

x = 2 için, y = 22 = 4 olur.

O halde, y = 2x fonksiyonunun grafi i , , ,241 1

21– –c cm m, (0, 1), (1, 2) ve (2, 4) noktalar ndan geçmektedir.

Reel say lar n tümünü y = 2x fonksiyonunda yerine yaz p y de erlerini bularak düzlemde i aretleseydik yuka-

r daki grafi i elde ederdik. Bu grafi i inceledi imizde;

x R için , y = 2x > 0 oldu unu görürüz.

x de erleri büyüdükçe, y de erlerinin büyüdü ünü görürüz.

O halde, f(x) = 2x fonksiyonu artan bir fonksiyondur.

x e verilen farkl de erlerin fonksiyondaki görüntüleri de farkl d r.

Yani, x1, x2 R , x1 x2 için f(x1) f(x2) dir. O halde , f(x) = 2x fonksiyonu bire bir fonksiyondur.

y R+ için , 2x = y e itli ini sa layan bir x de eri vard r. O halde, f(x) = 2x örten fonksiyondur.

ÜSTEL FONKS YON

Logaritma

83

f(x) = y = 21 xc m fonksiyonunu ele al p, bu fonksiyonun grafi ini çizerek özelliklerini ara t ral m.

�2�

�

�

�

�

�

�

�

�

��2�

x = –2 için, y = 21 4

2–=c m

x = –1 için, y = 21 2

1–=c m

x = 0 için, y = 21 1

0=c m

x = 1 için, y = 21

211

=c mx = 2 için, y =

21

412

=c m olur.

O halde, y = 21 xc m fonksiyonunun grafi i, (–2, 4), (–1, 2), (0, 1), , , ,1

21 2

41c cm m noktalar ndan geçmektedir.

Buldu umuz bu grafi i inceledi imizde;

x R için y = 21 0>

xc m oldu unu görürüz.

x de erleri büyüdükçe, y de erlerinin küçüldü ünü görürüz.

O halde, f(x) = 21 xc m fonksiyonu azalan fonksiyondur.

x1, x2 R , x1 x2 için f(x1) f(x2) dir. f(x) = 21 xc m fonksiyonu bire bir fonksiyondur.

y R+ için 21 xc m = y e itli ini sa alayan bir x de eri vard r. O halde, f(x) =

21 xc m örten fonksiyondur.

a R+ – {1} olmak üzere, f: R R+ , f(x) = ax fonksiyonu

a > 1 için artan fonksiyon, 0 < a < 1 için azalan fonksiyondur.

f(x) = ax fonksiyonu bire bir ve örtendir.

Üstel fonksiyonlar n özellikleri yard m yla bir çok denklemin çözüm kümesini elde edebilece imizi biliyoruz.

A a da bu denklemlere baz örnekler verilmi tir.

2x = 16 2x = 24 x = 4

4x–1 = 16. 2x 22(x–1) = 24.2x2 22x–2 =

4 +2

x2 2x – 2 = 4 + x

2 x

23 = 6 x = 4

2x + 2x+1 + 2x–1 = 28 2x + 2x.2 + 2x.21 = 28 2x.

27 = 28 2x = 8 2x = 23 x = 3

Ancak 2x = 5 , 3x = 23 , 5x–1 = 16 gibi denklemleri sa layan x de erlerini üslü ifadelerin kurallar yard m y-la bulamay z. Bu tür denklemlerin çözüm kümelerini bulmak için yeni bir fonksiyon olan logaritma fonksiyonunu tan mlayaca z.

Logaritma

84

ÖRNEK 1

A a da baz logaritmal ifadeler, üstel biçimde yaz l-m t r. nceleyiniz.Çözüm

log2x = 5 x = 25 = 32

log5x = 1 x = 51 = 5

log7x = 0 x = 70 = 1

log2x = 21 x = 2 2

1

= v2

log 3 x = 4 x = 3 4^ h = 9

ÖRNEK 2

log3(log2x) = 1

e itli ini sa layan x de erini bulunuz.

Çözüm

log3(log2x) = 1 log2x = 31

log2x = 3

x = 23

x = 8 bulunur.

f: R R+ , a R+ – {1} için f(x) = ax fonksiyonunun bire bir ve örten bir fonksiyon oldu unu ö rendik. O halde bu fonksiyonun ters fonksiyonu vard r.

a R+ – {1} ol mak üze re, f: R R+ , f(x) = ax fonk si yo nu nun ters fonk si yo nu na, a ta ba n na gö re lo ga rit ma fonk si yo nu de nir. f: R+ R , f(x) = logax biçiminde gösterilir.

Bu tan ma göre, y = ax x = logay dir.

��3�� 3��

3��4�56��

$56�� 7��35�� 5�8

9�7��35�� 5�

34��

��

Yandaki ema incelendi inde, üstel fonksiyonun verilen belli bir tabana “üs koyma” i lemi,

logaritma fonksiyonunun ise verilen belli bir tabana göre “üs indirme” i lemi oldu u söylenebilir.

y = logax e itli ini, “y e ittir a taban na göre logaritma x” biçiminde okuruz. Bu e itlikte,

x say s n n pozitif gerçek say

a say s n n 1 den farkl bir pozitif gerçek say

y say s n n bir gerçek say oldu una dikkat ediniz.

Örne in, log216 ifadesinin de erini, “2 say s n n hangi üssü 16 d r?” biçiminde dü ünerek bulabiliriz.

Bu durumda, 24 = 16 oldu undan log216 = 4 sonucuna ula abiliriz.

Benzer ekilde,

log327 = x e itli ini sa layan x de erini bulmak için, “3 say s n n hangi üssü 27 dir?” sorusuna cevap bul-mal y z. 33 = 27 oldu undan log327 = 3 olur.

Bu durumu daha sade olarak ab = c b = logac biçiminde ifade edebiliriz. Örne in,

24 = 16 log216 = 4 , 32 = 9 log39 = 2 , 103 = 1000 log101000 = 3 , 2–3 = 81 log2 8

1 = –3 tür.

LOGAR TMA FONKS YONU

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

85

ÖRNEK 3

log4[13 + log2(x – 1)] = 2

e itli ini sa layan x de erini bulunuz.

Çözüm

log4[13 + log2(x – 1)] = 2 13 + log2(x – 1) = 42

13 + log2(x – 1) = 16

log2(x – 1) = 3

x – 1 = 23

x = 9 bulunur.

ÖRNEK 4

f(x) = log2(x – 3)

oldu una göre, f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm

log2(x – 3) = y e itli inde x yerine y, y yerine x yaz p, y yi yaln z b rakal m (ters fonksiyon ta-n m )

log2(y – 3) = x y – 3 = 2x

y = 2x + 3 olur.

O halde, f –1(x) = 2x + 3 bulunur.

ÖRNEK 5

f(x) = 2[log3(x + 1)] – 1

oldu una göre, f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm

2[log3(y + 1)] – 1 = x log3(y + 1) = x2

1+

y + 1 = 3x

21+

y = 3x

21+

– 1 olur.

O halde f–1(x) = 3x

21+

– 1 bulunur.

ÖRNEK 6

A a da ab = c logac = b e itli inden yararlan la-

rak üstel biçimde verilmi ifadeler logaritma kullan la-

rak yaz lm t r. nceleyiniz.

Çözüm

2x = 3 log23 = x

3x = 5 log35 = x

2x–1 = 10 log210 = x – 1

x = 1 + log210

5x+2 = 2 log52 = x + 2

x = (log52) – 2 olur.

ÖRNEK 7

f(x) = 3x–1 ise f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm

3x–1 = y e itli inde,

x yerine y, y yerine x yaz p y yi yaln z b ra-

kal m.

3y–1 = x log3x = y – 1

y = 1 + log3x olur.

O halde, f–1(x) = 1 + log3x bulunur.

ÖRNEK 8


Çözüm

23y–1 = x log2x = 3y – 1

y = log x3

1 2+ olur.

O halde, f–1(x) = log x3

1 2+ bulunur.

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

86

LOGAR TMA FONKS YONUNUN EN GEN TANIM KÜMES N BULMA

f(x) = logax fonksiyonunda a R+ – {1} ve x R+ oldu undan bu fonksiyonun en geni tan m kümesini bulurken, a > 0 , x > 0 ve a 1 ko ullar n birlikte sa layan aral klar bulunur.

ÖRNEK 9

f(x) = log3(x – 4) fonksiyonunun en geni tan m kü-mesini bulunuz.

Çözüm

x – 4 > 0 x > 4 olaca ndan f(x) in en geni tan m kümesi (4, ) aral d r.

ÖRNEK 10

f(x) = log2(9 – x2) fonksiyonunun en geni tan m kü-mesini bulunuz.

Çözüm

9 – x2 > 0 olmal d r. Bu durumda,

x

– + –

–3 3–

9 – x2

çözüm

Yukar daki i aret tablosuna göre,

9 – x2 > 0 e itsizli inin sa land (–3, 3) aral f(x) in en geni tan m aral d r.

ÖRNEK 11

f(x) = log4–x(x – 1) fonksiyonunun en geni tan m kü-

mesini bulunuz.

Çözüm

x

xx

1 04 04 1

–––

>>

_

`

a

bb

bbSisteminin sa land aral k,

f(x) in en geni tan m aral d r.

1 0 1

4 0 41 4

x xx x

x––

> >> <

< <&

&&3 olur.

4 – x 1 x 3 olaca ndan f(x) in en geni tan m kümesi, (1, 4) – {3} aral d r.

ÖRNEK 12

f(x) = log2–x(x2 – x – 12) fonksiyonunun en geni ta-

n m kümesini bulunuz.

Çözüm

12 02 0x x

xx2 1

– –––

>>

2 _

`

a

bb

bb

Sisteminin sa land aral k, f(x) in en geni tan m aral d r.

�

� ��

� ��: :

��

;0�<�

�

�

� ��

Yukar daki i aret tablosuna göre,

x xx

12 02 0

– ––

>>

2 4 Sisteminin sa land aral k, (– , –3) aral d r.

2 – x 1 x 1 dir.

Buldu umuz aral k için x 1 oldu undan en geni tan m aral (– , –3) aral d r.

ÖRNEK 13

f(x) = log(x2 – 2mx + 4) fonksiyonu x R için ta-n ml bir fonksiyon ise m nin de er aral n bulunuz.

Çözüm

f(x) = log(x2 – 2mx + 4) fonksiyonu x R için tan ml ise x2 – 2mx + 4 > 0 olmal d r.

ax2 + bx + c > 0 e itsizli i x R için sa lan -yorsa a > 0 ve < 0 olmal yd .

Bu durumda

< 0 b2 – 4ac < 0

(–2m)2 – 4.1.4 < 0

4m2 – 16 < 0

m2 – 4 < 0

|m| < 2

–2 < m < 2 olmal d r.

Logaritma

87

ÖRNEK 14

f(x) = log3(x2 – 9) + logx x

x3

5 –+c m

fonksiyonunun en geni tan m kümesini bulunuz.

Çözüm

9 0

0

1

x

x

x

xx3

5 0

–

–

>

>

>

2

+

_

`

a

bbbb

bbbb

sisteminin sa land aral k,

f(x) in en geni tan m aral d r.

x

+ ++

–3 3–

x2 – 9

çözüm

5

–

– –++5 – xx + 3

x2 – 9 > 0 ve x

x3

5 –+

> 0 ko ullar n sa layan

(3, 5) aral di er ko ullar olan x > 0 ve x 1

ko ullar n da sa lad ndan f(x) in en geni

tan m kümesidir.

ONLUK LOGAR TMA FONKS YONU

ONLUK LOGAR TMA FONKS YONUTaban 10 olan logaritma fonksiyonuna, onluk logaritma fonksiyonu denir.

f(x) = log10x veya f(x) = logx biçiminde gös-terilir.

ÖRNEK 15

A a da ab = c logac = b e itli inden yararlan la-

rak üstel biçimde verilmi ifadeler logaritma kullan la-

rak yaz lm t r. nceleyiniz.

100 = 1 log101 = 0

101 = 10 log1010 = 1

102 = 100 log10100 = 2

103 = 1000 log101000 = 3

10–1 = 101 log10 10

1 = –1

10–2 = 1001 log10 100

1 = –2 olur.

ETK NL K

Okyanus co rafyas (o inografi) alan ndaki ara t rmalar sonucunda, plaj n e imi ile üzerindeki kum tanecikleri-nin büyüklü ü aras ndaki ili kiyi ortaya ç karm t r.

Plaj n e imi: m , Kum taneciklerinin ortalama çap : d mm olmak üzere,

m = 0,159 + 0,118.logd ba nt s vard r.

Örne in, kum taneciklerinin ortalama çap : 0,2 mm olan bir plaj n e imini hesap makinesi yard m yla

m = 0,159 + 0,118.log(0,2) 0,159 + 0,118.(–0,299) 0,159 – 0,035 0,124 bulunur.

Benzer ekilde i lem yaparak a a daki tabloyu siz doldurunuz.

Çap (d)

0,08 mm

0,6 mm

1 mm

5 mm

Kum türü

‹nce kum

Kal›n kum

Çok iri taneli kum

Çak›l

Plaj›n e¤imi (m)

Logaritma

88

e Say s

Bir çok bilim dal nda ve mühendisliklerde yayg n olarak kullan lan e say s da say s gibi irrasyonel bir sa-y d r. Bu say y kimin buldu u tam bilinmesede Euler’in buldu u kabul edilmektedir. Dolay s yla e, Euler Say s olarak adland r lm t r.

Euler x

1 1 x+c m ifadesinin, x sonsuz büyüdü ünde 2,718281828459...... say s na yakla t n tespit etmi ve

bu say y virgülden sonraki 23 ondal a kadar hesaplam t r.

Hesap makinesi yard m yla doldurulan a a daki iki tabloyu inceleyiniz.

10

100

1000

1 000 000

1 000 000 000

2,59374246

2,704813829

2,716923932

2,718282031

2,718281827

1+1x

x

x

–10

–100

–1000

–1 000 000

–1 000 000 000

2,867971991

2,731999026

2,719642216

2,718281758

2,718281827

1+1x

x

x

Bu iki tabloda, x say s n n alaca çok büyük pozitif ve çok küçük negatif de erler için x

1 1 x+c m ifadesinin bir

say ya yakla t görülmektedir. Bu say e say s olup

e = 2,718281828459045235360287471..... dir.

Taban e olan loga rit ma fonk si yo nu na, do al lo ga rit ma fonk siyonu denir.

f(x) = lo gex ve ya f(x) = lnx bi çi min de gös te ri lir.

Leonhard Euler (1707 - 1783) sviçre’li matemmatikçi ve fizikçi.

18. Yüzy l’ n en önemli ve tüm zamanlar n önde gelen matematik-çilerinden biri kabul edilmektedir.

Euler matemati in neredeyse bütün dallar nda çal m t r. Temel analiz, grafik teorisi ve u anda in aat, elektrik ve havac l k mü-hendisliklerine temel te kil eden matemati in fiziksel uygulamala-r n n bir ço unun kurucusu olmu tur.

DO AL LOGAR TMA FONKS YONU

89

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. x

y = 3x

–2 –1 0 1 2

Yukar daki tabloyu doldurarak elde etti iniz nok-talar analitik düzlemde i aretleyerek

f: R R+ , f(x) = 3x fonksiyonunun grafi ini elde ediniz.

2. � ��

�

�

��

Yukar daki tabloyu doldurarak elde etti iniz nok-talar analitik düzlemde i aretleyerek

f : R R+ , f(x) = 31 xc m fonksiyonunun grafi ini

elde ediniz.

3. a R+ – {1}, y R+ ve x R olmak üzere a a-daki ifadelerden do ru olanlar için bo kutulara

D yanl olanlar için Y yaz n z.

f(x) = ax fonksiyonu bire bir dir.

f(x) = ax fonksiyonu örten de ildir.

a > 1 için, f(x) = ax artan bir fonksiyondur.

0 < a < 1 için, f(x) = ax azalan bir fonksi-

yondur.

4. A a daki e itliklerin her birinde x de erini bulu-nuz.

a. 2x = 321

b. 3x–1 = 3v3

c. 2x – 2x+1 + 2x–1 = –1

d. 2x + 2x + 2x + 2x = 2x.2x.2x

e. 4 4

2 2 257

x x

x x x

1

1 1–

++ + =

+

+

f. 32x – 9x–1 = 24

5. A a daki logaritmal ifadelerin her birini, üstel bi-çimde yaz p x de erlerini bulunuz.

a. log3x = 4

b. log2x = 2

c. log8x = 1

d. log x21 = 9

e. log x 62 =

f. log5 x1 = –2

g. logx2 1–

31 =

ALIŞTIRMALAR – 1

3. D, Y, D, D 4. a. –5 b. 25 c. 1 d. 1 e. –1 f.

23 5. a. 81 b. 4 c. 8 d. 2–9 e. 8 f. 25 g.

32

Logaritma

90

ES

EN

YAY

INLA

RI

6. log2(log3x) = 2 e itli ini sa layan x de erini bu-lunuz.

7. log3[log2(log4x)] = 0 e itli ini sa layan x de e-rini bulunuz.

8. log3[25 + log2(2x – 1)] = 3 e itli ini sa layan x de erini bulunuz.

9. log[log2(lnx)] = 0 e itli ini sa layan x de erini bulunuz.

10. A a daki fonksiyonlar n her birinin ters fonksi-yonlar n bulunuz.

a. f(x) = log3x

b. f(x) = log2(x + 1)

c. f(x) = 1 – log3(x – 2)

d. f(x) = 1 + 2log(x – 1)

11. A a daki üstel ifadelerin her birini logaritma kul-lanarak yaz p x de erlerini bulunuz.

a. 3x = 2

b. 5x–1 = 3

c. 10x+2 = 4

d. 21–x = 5

12. A a daki fonksiyonlar n her birinin ters fonksi-yonlar n bulunuz.

a. f(x) = 2x+2

b. f(x) = 31–x

c. f(x) = 52x–5

d. f(x) = 1 + 2x–1

13. A a daki fonksiyonlar n en geni tan m kümele-rini bulunuz.

a. f(x) = log8(x – 1)

b. f(x) = log4(x + 2)

c. f(x) = log(16 – x2)

d. f(x) = logx(x – 5)

e. f(x) = log5–x(x – 2)

f. f(x) = logx(x2 – 8x – 9)

6. 81 7. 16 8. 25 9. e2 10. a. f–1(x) = 3x b. f–1(x) = 2x – 1 c. f–1(x) = 31–x + 2 d. f–1(x) = 10

x2

1– + 1

11. a. log32 b. 1 + log53 c. –2 + log4 d. 1 – log25 12. a. f–1(x) = –2 + log2x b. f–1(x) = 1 – log3x c. f–1(x) = 21 (5 + log5x)

d. f–1(x) = 1 + log2(x–1) 13. a. (1, ) b. (–2, ) c. (–4, 4) d. (5, ) e. (2, 5) – {4} f. (9, )

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

91

LOGAR TMA FONKS YONUNUN ÖZELL KLER

a1 = a logaa = 1 bulunur.

a R+ – {1} olmak üzere, logaa = 1 dir.

ÖRNEK 16

log22 = 1

log10 = log1010 = 1

lne = logee = 1 dir.

a0 = 1 loga1 = 0 bulunur.

a R+ – {1} olmak üzere, loga1 = 0 d r.

ÖRNEK 17

log31 = 0

log1 = 0

ln1 = 0

log 1 02 = d r.

logaxn = k ve n.logax = p olsun.

logaxn = k xn = ak ..... (I)

n.logax = p logax = np

x = a np

xn = ap ..... (II)

I ve II e itliklerinden

x a

x a

n k

n p

=

=4 ak = ap k = p dir.

k = p logaxn = n.logax bulunur.

x R+ , a R+ – {1} ve n R olmak üzere, logax

n = n.logax tir.

ÖRNEK 18

log24 = log222 = 2.log22 = 2.1 = 2

log3 91 = log33

–2 = –2log33 = –2.1 = –2

logc10 = log10 21

= 21 log10 =

21 .1 =

21

log1000 = log103 = 3.log10 = 3.1 = 3

log3 39 = log33

221–

= log33 23

= 23 log33 =

23

lne3 = 3.lne = 3.1 = 3

lne

e3 = lne

321–

= lne 25

= 25 .lne =

25

logax = k ve logay = p olsun.

logax = k x = ak ve logay = p y = ap olup

x.y = ak.ap x.y = ak+p bulunur.

x.y = ak+p loga(x.y) = k + p

loga(x.y) = logax + logay olur.

a R+ – {1} ve x, y R+ olmak üzere,

loga(x.y) = logax + logay dir.

ÖRNEK 19

log2 = x ve log3 = y ise log12 nin x ve y cinsin-den de erini bulunuz.

Çözüm

log12 = log(22.3) = log22 + log3

= 2log2 + log3

= 2x + y bulunur.

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

92

ÖRNEK 20

loga = 2 , logb = 4 ve logc = 3 ise log(a.vb.c2) ifa-desinin e itini bulunuz.

Çözüm

log(a.vb.c2) = loga + logvb + logc2

= loga + logb 21

+ logc2

= loga + 21 logb + 2logc

= 2 + 21 .4 + 2.3 = 10 bulunur.

ÖRNEK 21

log2 + 2log3 + log5 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

log2 + 2log3 + log5 = log2 + log32 + log5

= log(2.32.5)

= log90 bulunur.

ÖRNEK 22

logabca + logabcb + logabcc ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

logabca + logabcb + logabcc = logabc(abc)

= 1 olur.

ÖRNEK 23

log122 + log128 + log129 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

log122 + log128 + log129 = log12(2.8.9)

= log12144

= log12122

= 2log1212 = 2 bulunur.

ÖRNEK 24

ln2 = x ise ln8e2 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

ln8e2 = ln8 + lne2 = ln23 + 2lne

= 3ln2 + 2.1

= 3x + 2 bulunur.

logax = k ve logay = p olsun.

logax = k x = ak

logay = p y = ap olaca ndan

yx

aa

p

k= = ak–p dir.

yx = ak–p loga = k – p

loga = logax – logay olur.

xy

xy

a R+ – {1} ve x, y R+ olmak üzere,

loga yx = logax – logay dir.

ÖRNEK 25

log2 = x ise log5 in x cinsinden de erini bulunuz.

Çözüm

log5 = log210 = log10 – log2 = 1 – x olur.

log5 = 1 – log2 , log2 = 1 – log5

ÖRNEK 26

log2 = x , log3 = y ve log7 = z ise log4924 ifadesinin

e itini bulunuz.

Çözüm

log4924 = log24 – log49 = log(23.3) – log72

= log23 + log3 – log72

= 3log2 + log3 – 2log7

= 3x + y – 2z bulunur.

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

93

ÖRNEK 27

logx – 2logy + 21 logz – logt

ifadesini tek bir logaritma alt nda yaz n z.

Çözüm

logx – 2logy + 21 logz – logt

= logx – logy2 + logz 21

– logt

= log .y t

x z2

bulunur.

ÖRNEK 28

logx = a , logy = b ve logz = c ise

logy zx2


Çözüm

logy zx2

= logx2 – logy – logvz

= 2logx – logy – logz 21

= 2logx – logy – 21 logz

= 2a – b – c2

bulunur.

ÖRNEK 29

1 + log3 – log2 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

1 = log10 oldu undan,

1 + log3 – log2 = log10 + log3 – log2

= log .2

10 3 = log15 bulunur.

ÖRNEK 30

2 – log23 + log215 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

2 = 2.1 = 2log22 = log222 = log24 oldu undan

2 – log23 + log215 = log24 – log23 + log215

= log2.3

4 15 = log220 bulunur.

ÖRNEK 31

log23 = x , log25 = y ve log27 = z ise log2420 ifa-desinin e itini bulunuz.

Çözüm

420 = 22.3.5.7 oldu undan

log2420 = log2(22.3.5.7)

= log222 + log23 + log25 + log27

= 2log22 + x + y + z

= 2 + x + y + z bulunur.

Taban De i tirme Kural

logab = k ve logca = p olsun.

logab = k ak = b

logca = p cp = a

cp = a (cp)k = ak cp.k = b olur.

cp.k = b logcb = p.k logcb = logca.logab

logab = loglog

ab

c

c bulunur.

a, c R+ – {1} ve b R+ olmak üzere,

logab = loglog

ab

c

c dir.

ÖRNEK 32

log23 = x ise log1218 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

( . )

( . )

.

logloglog

log

log

log log

log log

log loglog log

xx bulunur

181218

2 3

2 3

2 3

2 3

2 2 32 2 3

21 2

122

2

22

22

22

2

2 22

2 2

2 2

= = =+

+

=+

+

=++

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

94

ÖRNEK 33

log1872 = x ise log23 ifadesinin x cinsinden de e-

rini bulunuz.

Çözüm

x = log1872 x = loglog

1872

2

2

x = ( . )( . )

loglog

2 32 3

22

23 2

x = log loglog log

2 32 3

2 22

23

22

++

x = log loglog log

2 2 33 2 2 3

2 2

2 2

++

x = loglog

1 2 33 2 3

2

2

++ olur.

log23 = a al n rsa

x = aa

1 23 2

++ x + 2ax = 3 + 2a

a(2x – 2) = 3 – x

a = x

x2 23

––

log23 = x

x2 23

–– bulunur.

ÖRNEK 34

A a daki i lemleri inceleyiniz.

log34 = loglog

loglog

InIn

34

34

34

2

2 = =

log5 = loglog

loglog

InIn

105

105

105

3

3

7

7= =

ln7 = loglog

loglog

e e7 7

5

5 =

ÖRNEK 35

loglog

InIn

63

62+ ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

loglog

63 = log63 ve

InIn

62 = log62 olup,

loglog

InIn

63

62+ = log63 + log62 = log6(3.2)

= log66 = 1 bulunur.

Taban de i tirme özelli ine göre,

logab = loglog

logab

a1

b

b

b= bulunur.

a, b R+ – {1} olmak üzere,

logab = log a

1b

d r.

ÖRNEK 36

log log61

61

4 9+ ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

log log61

61

4 9+ = log64 + log69

= log6(4.9)

= log636

= log662

= 2.log66 = 2 bulunur.

ÖRNEK 37

log log log701

701

701

2 7 5+ + ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

log log log70

170

170

12 7 5

+ + = log702+log707+log705

= log70(2.7.5)

= log7070 = 1 bulunur.

ÖRNEK 38

log1

31

1

2+


Çözüm

( . )

.

loglog

log log

log

loglog bulunur

13

11

11

3 21

3 21

61 3

22

3

3 3

3

36

+=

+

=+

=

= =

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

95

Taban de i tirme özelli ine göre,

loganb = .

.

loglog

loglog

loglog

ab

n ab

nb

nb olur1

an

a

a

a

aa

=

= =

loganb

m = nm logab

a R+ – {1} , b R+ ve n R

olmak üzere, loganb =

n1 logab dir.

ÖRNEK 39

log42 = log222 =

21 log22 =

21 .1 =

21

logv39 = log

31/232 =

212 log33 = 4.1 = 4

log log log2

422 2

/2

1 3 1 3

22

31–

/1/2 1 2––= =

2 2

= log log2

21

35

2–

35

2/1 2–=

2

= 35

12 1

310· – · –=c m

log0,2 5v5 = log102 5.5 2

1

= log 551

121+

= log5–15 2

3

= 1

23

23

––=

log log827

32

23–

94

32

3–2=

=

cc mm

logab = logaxb

x ve logab = .log b dira

nn

ÖRNEK 40

log49 = log 94

= log23

log827 = log 278

33 = log23

logv23 = log 3( )2

22 = log29

log log log3 3 35 52

52= =^^ hh

logab.logbc.logcd ... logpk

= …loglog

loglog

loglog

loglog

ab

bc

cd

pk

· ·

= loglog

ak = logak bulunur.

a, b, c, ... p, k R+ – {1} olmak üzere,

logab.logbc.logcd ... logpk = logak d r.

ÖRNEK 41

log23.log35.log516 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

log23.log35.log516 = log216

= log224

= 4log22 = 4 olur.

ÖRNEK 42

log25.logv549.log7v2 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

log25.logv549.log7v2 = log25.log

51/272.log721/2

= 2.12

21· log25.log57.log72


Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

96

ÖRNEK 43

log23 = a ve log35 = b ise log12 ifadesinin a ve b cinsinden de erini bulunuz.

Çözüm

.log log3 5log

2 3

521 2 3444 444

= a.b log25 = a.b dir.

log12 = loglog

1012

2

2 = ..

loglog

2 52 3

2

22

^^

hh

= log loglog log

2 52 3

2 2

22

2

++

= .log loglog log

2 52 2 3

2 2

2 2

++

= aba

12++ bulunur.

ÖRNEK 44

logv34 = a ve log29 = b ise logab4 ifadesinin e i-

tini bulunuz.

Çözüm

logv34.log29 = a.b log

31/222.log232 = a.b

2.12 .2log32.log23 = a.b

8.log33 = a.b a.b = 8

logab4 = log84 = log(23)

(22) = 32 log22

= 32 bulunur.

alogab = x logab = logax

b = x olur.

O halde, b = alogab elde edilir.

a R+ – {1} ve b R+ olmak üzere,

alogab = b dir.

ÖRNEK 45

2log23 = 3

23log2a = 2log2a3 = a3

2log425 = 2logv4 c25 = 2log25 = 5

10log3 = 3

eln5 = 5

101+log2 = 101.10log2 = 10.2 = 20

e1–ln3 = e1.e–ln3 = e.eln3–1 = e.3–1 = e

3

e2 2 2loglog

Ine

21

21

e2= = =

logbc.logba = logba.logbc

logbalogbc = logbc

logba

alogbc = clogba bulunur.

a, b, c R+ – {1} olmak üzere,

alogbc = clogba dir.

ÖRNEK 45

2log3x + xlog32 = 8 ise x de erini bulunuz.

Çözüm

2log3x = xlog32 oldu undan

2log3x + xlog32 = 8 2log3x + 2log3x = 8

2.2log3x = 8

2log3x = 4

2log3x = 22

log3x = 2

x = 32 = 9 olur.

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

97

ÖRNEK 46

f(x) = log2(x – 1) ise f–1(x) fonksiyonunun e itini bu-

lunuz.

Çözüm

y = log2(x – 1) x – 1 = 2y

x = 2y + 1 olur.

x yerine y , y yerine x yazarsak

y = 2x + 1 f–1(x) = 2x + 1 bulunur.

ÖRNEK 47

f(x) = 2log(3x – 1) + 1 fonksiyonunun tersini bulunuz.

Çözüm

y = 2log(3x – 1) + 1 y2

1– = log(3x – 1)

3x – 1 = 10y

21–

(10 1)x31

y2

1–

= + olur.


(10 1)y31

x2

1–

= + f –1(x) = (10 1)31

x2

1–

+

bulunur.

ÖRNEK 48

f(x) = ln(x – 3) fonksiyonunun tersini bulunuz.

Çözüm

y = ln(x – 3) x – 3 = ey

x = ey + 3 olur.


y = ex + 3 f–1(x) = ex + 3 bulunur.

ÖRNEK 49


Çözüm

y = 2x–3 x – 3 = log2y

x = 3 + log2y olur.

x yerine y , y yerine x yazarsak,

y = 3 + log2x f–1(x) = 3 + log2x bulunur.

ÖRNEK 50


Çözüm

y = 102x–1 2x – 1 = logy

x = logy2

1 + olur.


logy

x2

1=

+ f–1(x) = logx2

1 + bulunur.

ÖRNEK 51

f(x) = 2ex–1 + 1 fonksiyonunun tersini bulunuz.

Çözüm

y = 2ex–1 + 1 ye

21– x 1–=

x – 1 = ln y2

1–c m

x = 1 + ln y2

1–c m olur.


y = 1 + ln x2

1–c m f–1(x) = 1 + ln x2

1–c m bulunur.

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

98

ÖRNEK 52

f(x) = 2log3(x – 1) + 1 ise f–1(5) ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

f–1(5) = a olsun. Bu durumda f(a) = 5 olur.

f(a) = 5 2log3(a – 1) + 1 = 5

log3(a – 1) = 2

a – 1 = 32

a = 10 olur.

O halde, f–1(5) = a = 10 bulunur.

ÖRNEK 53

f(x) = 2.32x–1 + 1 olmak üzere,

f–1(7) ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

f–1(7) = a al n rsa, f(a) = 7 olur.

f(a) = 7 2.32a–1 + 1 = 7

32a–1 = 3

2a – 1 = 1

a = 1 olur.

O halde, f–1(7) = a = 1 bulunur.

ÖRNEK 54

f(x) = ln(2x + n) ve f –1(–1) = 21

oldu una göre, n kaçt r?

Çözüm

f –1(–1) = 21 f

21c m = –1

ln . n221 +c m = –1

ln(1 + n) = –1

1 + n = e–1

n = e1 – 1 bulunur.

ÖRNEK 55

f(x) = 6 + log3x ise (fof)(27) kaça e ittir?

Çözüm

(fof)(27) = f (f(27))

= f(6 + log327)

= f(6 + log333)

= f(6 + 3.log33)

= f(6 + 3)

= f(9)

= 6 + log39

= 6 + log332

= 6 + 2.log33

= 6 + 2

= 8 bulunur.

ÖRNEK 56

f(x) = log3x ve (fog)(x) = 2x oldu una göre,

g–1(81) nedir?

Çözüm

(fog)(x) = 2x f(g(x)) = 2x

log3(g(x)) = 2x

g(x) = 32x

g(x) = 9x tir. O halde,

9x = y x = log9y

y = log9x

g–1(x) = log9x olup,

g–1(81) = log981

= log992

= 2 bulunur.

99

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. A a daki ifadelerden her birini sonuçland r n z.

a. log216 + log3v3 + log

101

b. log2 42 – log55v5

c. lnve + lne12

– lne

d. log10 – log101 + log1000

e. log0,1 + log0,001 – log100

2. A a daki ifadelerden do ru olanlar için bo ku-tulara D yanl olanlar için Y yaz n z.

log(x + y) = logx.logy

log(x.y) = logx + logy

logyxc m = logx – logy

loglog

yx = logx – logy

logxn = n.logx

logx.yn = n.logx.y

(logx)n = n.logx

3. log2 = x ve log3 = y ise a a dakilerin her biri-nin x ve y cinsinden de erlerini bulunuz.

a. log18

b. log0,24

c. log3600

d. log75

e. log2716

4. log2[log3(5 – log25625)]


5. 2log25 + 4log2v3 + 2 ifadesini tek bir logaritma

cinsinden yaz n z.

6. log2(a.b) = 12 ve log2 ba = 4 ise a + b kaçt r?

ALIŞTIRMALAR – 2

1. a. 27 b. –3 c.

25– d. 5 e. –6 2. Y, D, D, Y, D, Y, Y

3. a. x + 2y b. 3x + y – 2 c. 2x + 2y + 2 d. y + 2 – 2x e. 4x – 3y 4. 0 5. log2900 6. 272

Logaritma

100

ES

EN

YAY

INLA

RI

7. log23 = x ise log1854 ifadesinin x cinsinden de-

erini bulunuz.

8. logaba.logba

2 = 16 ise a kaçt r?

9. logv2v6.log

v3v2.logv6 813

ifadesinin e iti kaçt r?

10. log2 = 0,30103 ise log625 in de erini bulunuz.

11. log5 = a ise log ,0 0004 ifadesinin e itini bulu-nuz.

12. log34.log45.logv5x = 2 ise x kaçt r?

13. A a daki i lemlerin her birini sonuçland r n z.

a. 2log23

b. 4log25

c. 3log92

d. 101–log3

e. eln5

f. e1+ln2

14. 2log4(x+1) = v5 ise x kaçt r?

15. log215! = a ise log216! ifadesinin a cinsinden de erini bulunuz.

16. log21 + log

32 + log

43 + ..... + log

10099


7. xx

2 13 1

++ 8. 8 9.

38 10. 2,79588 11. –1 – a 12. 3

13. a. 3 b. 25 c. v2 d. 3

10 e. 5 f. 2e 14. 4 15. a + 4 16. –2

Logaritma

101

ES

EN

YAY

INLA

RI

17. 349log x

41

=2 – 9 ise x kaçt r?

18. 2a = 3b ise log1627 ifadesinin a ve b cinsin-den de erini bulunuz.

19. log23 = a ise log6 32 ifadesinin a cinsinden de-

erini bulunuz.

20. eln(2x–2) = log2(1 + log327)

e itli ini sa layan x de eri kaçt r?

21. f(x) = ex–2 ise f–1(e2) kaçt r?

22. f(x) = 2 – log2(3 – x) ise f–1(–1) kaçt r?

23. f(x) = 2 + log3x ise (fof)(3) kaçt r?

24. f(x) = ( )log x2

3 1–2+ ise f–1(x) fonksiyonunu

bulunuz.

25. f(x) = 2 + ex–1 ve g(x) = 2 – lnx ise

(fog–1)(2) kaçt r?

26. f(x) = ln(ex – 1) ise f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.

27. log35 = x ise log81125 ifadesinin x cinsinden de erini bulunuz.

28. f(x) = log2(x + 1) ve g(x) = log3(3 – x) ise

(gof–1)(0) kaçt r?

17. 216 18. ba

43 19.

aa

11–

+ 20. 2 21. 4 22. –5 23. 3

24. f–1(x) = 22x–3 + 1 25. 3 26. f–1(x) = e

e 1x + 27. x43 28. 1

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

102

Bir Gerçek Say n n Logaritmas n n Hangi ki Ard k Tam Say Aras nda Oldu unu Bulma

ÖRNEK 57

A a daki ifadelerin hangi iki ard k tam say aras n-da oldu unu bulunuz.

a. log240 b. log3142

c. ln4 d. log170

e. log1257 f. log0,004

g. log0,0032 h. log0,000102

Çözüm

a. 25 < 40 < 26 log225 < log240 < log22

6

5.log22 < log240 < 6.log22

5 < log240 < 6 olur.

b. 34 < 142 < 35 log334 < log3142 < log33

5

4.log33 < log3142 < 5.log33

4 < log3142 < 5 olur.

c. e1 < 4 < e2 lne < ln4 < lne2

1 < ln4 < 2lne

1 < ln4 < 2 olur.

d. 102 < 170 < 103 log102 < log170 < log103

2.log10 < log170 < 3.log10

2 < log170 < 3 olur.

O halde, log170 = 2,...

e. 103 < 1257 < 104 log103 < log1257 < log104

3.log10 < log1257 < 4.log10

3 < log1257 < 4 olur.

O halde, log1257 = 3,...

f. 0,001 < 0,004 < 0,01 10–3 < 0,004 < 10–2

log10–3 < log0,004 < log10–2

–3log10 < log0,004 < –2log10

–3 < log0,004 < –2 olur.

O halde, log0,004 = – 2, ....

g. 0,001 < 0,0032 < 0,01

10–3 < 0,0032 < 10–2

log10–3 < log0,0032 < log10–2

–3log10 < log0,0032 < –2log10

–3 < log0,0032 < –2 olur.

O halde, log0,0032 = –2,...

h. 0,0001 < 0,000102 < 0,001

10–4 < 0,000102 < 10–3

log10–4 < log0,000102 < log10–3

–4log10 < log0,000102 < –3log10

–4 < log0,000102 < –3 olur.

O halde, log0,000102 = –3,...

d, e, f, g, h klar nda elde edilen sonuçlar bir arada görelim.

log170 = 2,...

log1257 = 3,...

log0,004 = –2,...

log0,0032 = –2,...

log0,000102 = –3,...

Bu sonuçlara göre,

1 den büyük bir say n n onluk logaritmas pozitif-tir.

0 ile 1 aras ndaki bir say n n onluk logaritmas negatiftir.

1 den büyük bir say n n onluk logaritmas n n tam k sm , say n n tam k sm n n 1 eksi ine e ittir.

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

103

0 ile 1 aras ndaki bir say n n onluk logaritmas ,

ondal k yaz l ta, s f rdan farkl ilk rakam n solun-

daki s f r say s n n 1 eksi inin negatif i aretlisidir.

Bu sonuçlara göre doldurulmu a a daki tablo-

yu inceleyiniz.

Onluk say›n›nlogaritmas›

log4

log12

log937

log756,23

log1457

log10021,361

log0,0216

log0,00010321

log0,01010203

Onluk logaritman›ntam k›sm›

0

1

2

2

3

4

–1

–3

–1

Bu tablodan a a daki sonuçlara da ula abiliriz.

1 den büyük bir say n n tam k sm n n kaç basa-

makl oldu unu bulmak için say n n logaritmas

al n r ve ç kan say n n tam k sm na 1 eklenir.

0 ile 1 aras ndaki bir say n n onluk gösteriminde-

ki s f rdan farkl ilk rakam n n solunda kaç s f r ol-

du unu bulmak için say n n logaritmas al n r ve

ç kan say n n mutlak de erinin tam k sm na 1 ek-

lenir.

ÖRNEK 58

logx = 26,123 ise x say s , 26 + 1 = 27 basamak-l bir say d r.

logx = 253,246 ise x say s 253 + 1 = 254 basa-makl bir say d r.

ÖRNEK 59

log2 = 0,30103 ise 220 say s n n kaç basamakl bir say oldu unu bulunuz.

Çözüm

x = 220 olsun.

logx = log220 = 20.log2 = 20.(0,30103)

= 6,0206 olur.

logx = 6,0206 ise x say s 6 + 1 = 7 basamakl bir say d r. Bu durumda,

220 say s 7 basamakl bir say d r.

ÖRNEK 60

log2 = 0,30103 ise 4040 say s kaç basamakl bir say d r?

Çözüm

x = 4040 olsun.

logx = log4040 = 40.log40

= 40.(log22 + log10)

= 40.(2log2 + 1)

= 40.(2.0,30103 + 1)

= 40.(0,60206 + 1)

= 40.1,60206

= 64,0824 olur.

logx = 64,0824 ise x say s 64 + 1 = 65 basa-

makl bir say d r. Bu durumda,

4040 say s 65 basamakl bir say d r.

ÖRNEK 61

log2 = 0,30103 ise log80 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

log80 = log(23.10) = log23 + log10

= 3log2 + 1

= 3(0,30103) + 1

= 0,90309 + 1

= 1,90309 bulunur.

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

104

ÖRNEK 62

log27,5 = a ise log0,275 ifadesinin a cinsinden de-

erini bulunuz.

Çözüm

log0,275 = log(27,5.10–2) = log(27,5) + log10–2

= log(27,5) – 2.log10

= a – 2 bulunur.

ÖRNEK 63

log2 = 0,30103 ise log0,004 ifadesinin e itini bu-

lunuz.

Çözüm

log0,004 = log(4.10–3) = log(22.10–3)

= log22 + log10–3

= 2log2 – 3log10

= 2.(0,30103) – 3.1

= 0,60206 – 3

= –2,39794 bulunur.

ÖRNEK 64

log2 = 0,30103 ise log250 ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

log250 = log(25.10) = log52 + log10

= 2log5 + 1

= 2(1 – log2) + 1

= 2(1 – 0,30103) + 1

= 2(0,69897) + 1

= 1,39794 + 1

= 2,39794 bulunur.

f(x) = lo gax fonk si yo nu

a > 1 için ar tan fonk siyon

0 < a < 1 için azalan fonksiyondur.

ÖRNEK 65

a = log22 , b = log24 , c = log28

say lar n kar la t r n z.

Çözüm

a = log22 = 1

b = log24 = log222 = 2.log22 = 2

c = log28 = log223 = 3.log22 = 3

olaca ndan, a < b < c dir. Yani

log22 < log24 < log28 dir.

Bu durumda y = logax fonksiyonunda,

a > 1 iken, x artt kça y nin de artt görülmek-

tedir.

ÖRNEK 66

, ,log log loga b c2 4 821

21

21= = =

say lar n kar la t r n z.

Çözüm

loga 221= = log

2–12 = –1.log22 = –1

logb 421= = log

2–12

2 = 12– .log22 = –2

logc 821= = log

2–12

3 = 13– .log22 = –3

olaca ndan, a > b > c dir.

Bu durumda y = logax fonksiyonunda,

0 < a < 1 iken, x artt kça y nin azald görül-

mektedir.

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

105

ÖRNEK 67

a = log25 , b = log215 ve c = log210 say lar aras n-

daki s ralamay bulunuz.

Çözüm

f(x) = logax fonksiyonu a > 1 için artan bir fonk-

siyon oldu undan

5 < 10 < 15 log25 < log210 < log215

a < c < b olur.

ÖRNEK 68

,log log loga b ve c7 42 1831

31

31= = =

say lar aras ndaki s ralamay bulunuz.

Çözüm

f(x) = logax fonksiyonu 0 < a < 1 için azalan bir

fonksiyon oldu undan

7 < 18 < 42 log log log7 18 42> >31

31

31

a > c > b olur.

ÖRNEK 69

a = log76 , b = log45 ve c = log310


Çözüm

log71 < log76 < log77 0 < log76 < 1

0 < a < 1

log44 < log45 < log416 1 < log45 < 2

1 < b < 2

log39 < log310 < log327 2 < log310 < 3

2 < c < 3

olaca ndan, a < b < c bulunur.

ÖRNEK 70

a = log34 , b = log

43 ve c = log

65


Çözüm

43

65

34< < oldu undan,

log43 < log

65 < log

34 b < c < a bulunur.

ÖRNEK 71

a = log16125 , b = logv225 ve c = log

251

21 say lar

aras ndaki s ralamay bulunuz.Çözüm

a = log16125 = log 543

23

4 = .log25

b = logv225 = . .log log log5

21

5 4 522 2 2

2/1 2 = =

c = log251

21 = . .log log log5

12 5 2 5

––

22

2 2–

1– = =

43 2 4< <

43 .log25 < 2.log25 < 4.log25

a < c < b bulunur.

ÖRNEK 72

a < b ve a ile b ard k tam say lard r.

a < log 6013

< b oldu una göre, a + b kaçt r?

Çözüm

33 < 60 < 34 3 3log log log60> >31

3

31

31

4

. .log log log3 3 60 4 3> >3

31 31 1– –

. .log log log3 3 60 4 3– –> >3

31 3

log3 60 4– –> >31

log4 60 3– –< <31 olup,

a + b = –4 + (–3) = –7 bulunur.

Logaritma

106

Bir f(x) fonksiyonu ile bu fonksiyonun tersi olan f–1(x) fonksiyonlar n n grafikleri y = x do rusuna göre simet-riktir. Buna göre, f(x) = ax fonksiyonu ile f –1(x) = logax fonksiyonlar n n grafikleri y = x do rusuna göre simet-rik olur. f(x) = ax fonksiyonu ile ilgili özellikleri bir kez daha hat rlayal m.

f(x) = ax fonksiyonunda,

x

y

0

y=ax

1

a > 1 iken

f(x) = ax fonksiyonu artand r.

x R için f(x) = ax > 0 d r.

x = 0 için y = f(0) = a0 = 1 noktas ndan geçer.

Bu bilgiler nda, f(x) = ax fonksiyonunun

a > 1 iken grafi i yandaki gibidir.

x

y

0

y=ax

1

0 < a < 1 iken

f(x) = ax fonksiyonu azaland r.

x R için f(x) = ax > 0 d r.

x = 0 için y = f(0) = a0 = 1 dir.

Yani f(x) in grafi i (0, 1) noktas ndan geçer.

Bu bilgiler nda, f(x) = ax fonksiyonunun

0 < a < 1 iken grafi i yandaki gibidir.

Elde etti imiz bu iki grafi in de y = x do rusuna göre simetriklerini çizersek f(x) = logax fonksiyonunun gra-fi ini elde ederiz.

�

�

�

��

�

�

��

��56��

�

�

�

��

�

��56��

a > 1 için 0 < a < 1 için

ÜSTEL FONKS YON VE LOGAR TMA FONKS YONUNUN GRAF

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

107

ÖRNEK 73

f(x) = 2x–1 fonksiyonunun grafi ini çiziniz.

Çözüm

Taban = 2 oldu undan, f(x) artan fonksiyondur.

2x–1 > 0 d r.

x = 0 y = 20–1 = 21 oldu undan grafik ,0

21c m

noktas ndan geçer. Dolay s yla f(x) = 2x–1 fonksi-yonunun grafi i a a daki gibi olur.

x

y

0

y=2x–1

12

ÖRNEK 74

f(x) = 2x + 1 fonksiyonunun grafi ini çiziniz.

Çözüm

Taban = 2 oldu undan, f(x) artan fonksiyondur.

2x > 0 2x + 1 > 1 f(x) > 1 dir.

x = 0 y = 20 + 1 = 2 oldu undan grafik (0, 2)

noktas ndan geçer. Dolay s yla f(x) = 2x + 1 fonk-siyonunun grafi i a a daki gibi olur.

�

�

�

��

�

�

ÖRNEK 75

f(x) = 21 2–

xc m fonksiyonunun grafi ini çiziniz.

Çözüm

Taban = 21 olup, f(x) azalan bir fonksiyondur.

21 0>

xc m 21 2 2– –>

xc m f(x) > –2 dir.

x = 0 y = 21 0c m – 2 = –1

y = 0 0 = 21 xc m – 2 2–x = 2

x = –1 oldu undan

grafik, (0, –1) ve (–1, 0) noktalar ndan geçer.

Dolay s yla f(x) = 21 xc m – 2 fonksiyonunun grafi i

a a daki gibi olur.

x

y

0

–2

–1

y= – 212

x

–1

Pratik Yol

c > 0 olmak üzere,

y = f(x) + c fonksiyonunun grafi i;

y = f(x) fonksiyonunun grafi inin y ekseni üzerinde c kadar kayd r lm d r.

x

y

0

y = f(x) + c

c

c

y = f(x)

y = f(x) – c

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

108

ÖRNEK 76

y = 2x fonksiyonunun grafi inden yararlanarak,

y = 2x + 2 , y = 2x + 1 , y = 2x – 1 ve y = 2x – 2fonksiyonlar n n grafikleri çizilmi tir. nceleyiniz.

�

�

�

��

��

��

��

��

��

�

�

ÖRNEK 77

f(x) = ( )log x 421 + fonksiyonunun grafi ini çiziniz.

Çözüm

x + 4 > 0 x > –4 oldu undan

f(x) in tan m kümesi, (–4, ) aral d r.

Taban = 21 oldu undan f(x) azaland r.

x = 0 y = log21 (0 + 4) = log

2–12

2 = –2

y = 0 0 = log21 (x + 4) x + 4 =

21 0c m

x = –3

oldu undan, grafik (0, –2) ve (–3, 0) noktalar n-

dan geçer. Dolay s yla f(x) = log21 (x + 4) fonksi-

yonunun grafi i a a daki gibi olur.

�

�

�

��

��

� = �56��

�� + ��

ÖRNEK 78

f(x) = log2(x – 1) fonksiyonunun grafi ini çiziniz.

Çözüm x – 1 > 0 x > 1 oldu undan

f(x) in tan m kümesi, (1, ) aral d r.

Taban = 2 oldu undan f(x) artand r.

y = 0 0 = log2(x – 1) 20 = x – 1 x = 2 oldu undan grafik (2, 0) noktas ndan geçer.

Dolay s yla f(x) = log2(x – 1) fonksiyonunun gra-fi i a a daki gibidir.

x

y

1

y=log2(x–1)

20

ÖRNEK 79

f(x) = ln(x – e) fonksiyonunun grafi ini çiziniz.

Çözüm

x – e > 0 x > e oldu undan

f(x) in tan m kümesi (e, ) aral d r.

Taban = e oldu undan f(x) artan fonksiyondur.

y = 0 0 = ln(x – e) e0 = x – e

x = e + 1 oldu undan grafik (e + 1, 0) noktas ndan geçer.

Dolay s yla f(x) = ln(x – e) fonksiyonunun grafi i a a daki gibidir.

x

y

e+10 e

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

109

Pratik Yol

c > 0 olmak üzere,

y = f(x – c) fonksiyonunun grafi i;

y = f(x) fonksiyonunun grafi inin x ekseni üzerinde

c kadar kayd r lm d r.

x

y

y = f(x + c)

c c

y = f(x)

y = f(x – c)

ÖRNEK 80

y = log2x fonksiyonunun grafi inden yararlanarak,

y = log2(x – 2) , y = log2(x – 1) , y = log2(x + 1) ve

y = log2(x + 2) fonksiyonlar n n grafikleri çizilmi tir.

nceleyiniz.

x

y

y=log2(x+2)

–1 0 1 2 3

y=log2(x+1)y=log2x

y=log2(x–1)y=log2(x–2)

ÖRNEK 81

x

y

y = a + logb(x – c)

50 1 2

2

f(x) = a + logb(x – c) fonksiyonunun grafi i yukar daki

gibidir. Buna göre f(9) de erini bulunuz.

Çözüm

f(x) = a + logb(x – c) fonksiyonunun tan m kümesi

x – c > 0 x > c dir.

Grafik incelendi inde tan m kümesinin x > 1

oldu u görülmektedir.

Bu durumda c = 1 dir.

Ayr ca grafik (5, 0) ve (2, 2) noktalar ndan geç-

ti i için bu noktalar sa lar. Yani

f(5) = 0 ve f(2) = 2 dir.

f(2) = 2 a + logb(2 – 1) = 2

a + logb1 = 2

a + 0 = 2 a = 2

f(5) = 0 a + logb(5 – 1) = 0

2 + logb4 = 0

logb4 = –2

4 = b–2 b = 21 olup

f(x) = 2 + ( )log x 1–21 f(9) = 2 + ( )log 9 1–

21

= 2 + log2

–123

= 2 – 13 = –1 dir.

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

110

ÜSTEL DENKLEMLER

2x = 4 , 3x – 9x + 2 = 0

ex – e2x = 0 , 4x – 2x – 12 = 0

biçimindeki denklemler üstel denklemlerdir. Bu tür denklemler genellikle de i ken dönü türülüp 2. dere-ceden denklem elde edilerek çözülür.

ÖRNEK 82

4x – 2x – 12 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulu-nuz.

Çözüm

2x = t al n rsa 4x = t2 olur.

Bu de erler verilen e itlikte yerine yaz l rsa

4x – 2x – 12 = 0 t2 – t – 12 = 0

(t – 4)(t + 3) = 0

t – 4 = 0 t + 3 = 0

t = 4 t = –3 olur.

t = –3 2x = –3 e itli ini sa layan x de eri yok-

tur. (2x > 0 d r.)

t = 4 2x = 4 = 22 x = 2 olur.

Çözüm kümesi, Ç = {2} bulunur.

ÖRNEK 83

e2x – ex – 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulu-nuz.

Çözüm

ex = t al n rsa e2x = t2 olur.

Bu de erler verilen e itlikte yerine yaz l rsa,

e2x – ex – 2 = 0 t2 – t – 2 = 0

(t – 2)(t + 1) = 0

t = 2 t = –1 olur.

t = –1 ex = –1 e itli ini sa layan x de eri yok-tur. (ex > 0 d r.)

t = 2 ex = 2 x = loge2

x = ln2 bulunur.

Çözüm kümesi, Ç = {ln2} olur.

ÖRNEK 84

ex + 3e–x – 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bu-lunuz.

Çözüm

ex = t al n rsa, e–x = e t1 1x

= olur.

Bu de erler verilen e itlikte yerine yaz l rsa,

t + t3 – 4 = 0 t2 – 4t + 3 = 0

(t – 3)(t – 1) = 0

t = 3 t = 1 olur.

t = 3 ex = 3 x = ln3

t = 1 = ex = 1 x = 0 bulunur.

Çözüm kümesi Ç = {0, ln3} olur.

LOGAR TMALI DENKLEMLER

Verilen logaritmal denklemler

logaf(x) = b biçiminde ise

logaf(x) = b f(x) = ab olaca ndan

f(x) = ab denklemi çözülür.

logaf(x) = logag(x) biçiminde ise

f(x) = g(x) denklemi çözülür.

(f(x) > 0 , g(x) > 0 d r.)

ÖRNEK 85

log3(2x – 1) = 2 denkleminin çözüm kümesini bulu-

nuz.

Çözüm

log3(2x – 1) = 2 2x – 1 = 32

2x = 10

x = 5 olup, Ç = {5} dir.

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

111

ÖRNEK 86

ln[ 2 – log2(x – 1) ] = 0 denkleminin çözüm kümesi-ni bulunuz.

Çözüm

ln[ 2 – log2(x – 1) ] = 0 2 – log2(x – 1) = e0 = 1

–log2(x – 1) = 1 – 2

log2(x – 1) = 1

x – 1 = 21 x = 3

Ç = {3} bulunur.

ÖRNEK 87

log(x+1)(4x + 1) = 2 e itli ini sa layan x de erini bu-lunuz.

Çözüm

log(x+1)(4x + 1) = 2 (4x + 1) = (x + 1)2

4x + 1 = x2 + 2x + 1

x2 – 2x = 0

x(x – 2) = 0

x1 = 0 x2 = 2 olur.

x = 0 için x + 1 = 0 + 1 = 1 olaca ndan x = 0 al namaz. (taban 1 olamaz.)

Bu durumda x = 2 bulunur.

ÖRNEK 88

log(x + 8) – log(x – 1) = 1 denkleminin çözüm küme-sini bulunuz.Çözüm

log(x + 8) – log(x – 1) = 1 logxx

18 1

–+ =c m

xx

18 10

–1+ =

x + 8 = 10x – 10 9x = 18

x = 2 bulunur.

x = 2 için x + 8 > 0 ve x – 1 > 0 oldu undan çözüm kümesi Ç = {2} bulunur.

ÖRNEK 89

log2(x – 1) + log2(x + 5) = 4 denkleminin çözüm kü-mesini bulunuz.Çözüm log2(x – 1) + log2(x + 5) = 4 log2[(x – 1).(x + 5)] = 4

(x – 1)(x + 5) = 24

x2 + 5x – x – 5 = 16

x2 + 4x – 21 = 0

(x + 7)(x – 3) = 0

x + 7 = 0 x – 3 = 0

x = –7 x = 3

x = –7 için x – 1 < 0 ve x + 5 < 0 d r. Bu durumda x = –7 de eri çözüm kümesine

dahil edilemez. Ç = {3} bulunur.

ÖRNEK 90

log2x + logx2 = 2 denkleminin çözüm kümesini bu-

lunuz.Çözüm

log2x = t al n rsa logx2 = t1 olur.

log2x + logx2 = 2 t + t1 = 2

t2 – 2t + 1 = 0

t = 1 olur. t = 1 log2x = 1 x = 2 bulunur.

Çözüm kümesi, Ç = {2} dir.

ÖRNEK 91

2logx + xlog2 = 8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.Çözüm

alogbc = clogba oldu undan 2logx = xlog2 dir.

2logx + xlog2 = 8 2logx + 2logx = 8

2.2logx = 8

2logx = 4

2logx = 22

logx = 2 olur.

logx = 2 x = 102 x = 100 bulunur.

Çözüm kümesi, Ç = {100} dür.

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

112

ÖRNEK 92

10log3x – eln(x+7) = 2log8x3 denklemini sa layan x de-

erini bulunuz.

Çözüm

10log3x = 10log103x = 3x

eln(x+7) = eloge(x+7) = x + 7

log8x3 = log

23x3 = log2x 2log8x3

= 2log2x = x olur.

Bu de erler verilen denklemde yerine yaz l rsa,

10log3x – eln(x+7) = 2log8x3 3x – (x + 7) = x

x = 7 bulunur.

ÖRNEK 93

(log2x)2 – log2x4 + 3 = 0 denkleminin çözüm küme-

sini bulunuz.Çözüm log2x = t al n rsa log2x

4 = 4log2x = 4t olur.


t2 – 4t + 3 = 0 (t – 3)(t – 1) = 0

t = 3 t = 1 olur.

t = 3 log2x = 3 x = 23 = 8

t = 1 log2x = 1 x = 21 = 2 bulunur.

Denklemin çözüm kümesi, Ç = {2, 8} olur.

ÖRNEK 94

(lnx)2 – lnx2 – 3 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.Çözüm

lnx = t al n rsa, lnx2 = 2lnx = 2t olur.


t2 – 2t – 3 = 0 (t – 3)(t + 1) = 0

t = 3 t = –1 olur.

t = 3 lnx = 3 x = e3

t = –1 lnx = –1 x = e–1 = e1 bulunur.

Ç = ,e

e1 3' 1 olur.

ÖRNEK 95

2lnx + 21–lnx = 3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm

2lnx = t al n rsa, 21–lnx = t2

2 2In x

= olur.


t + t2 = 3 t2 – 3t + 2 = 0

t = 1 t = 2 olur.

t = 1 2lnx = 1 lnx = 0 x = 1

t = 2 2lnx = 2 lnx = 1 x = e dir.

Ç = {1, e} olur.

ÖRNEK 96

3logx = 2log3 e itli ini sa layan x de erini bulunuz.

Çözüm

3logx = 2log3 log3logx = log2log3

logx.log3 = log3.log2

logx = log2 x = 2 bulunur.

ÖRNEK 97

xlogx = 100x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm

Verilen e itlikte her iki taraf n 10 taban nda lo-garitmas al n rsa,

logxlogx = log(100x) logx.logx = log100 + logx

(logx)2 = 2 + logx

(logx)2 – logx – 2 = 0 d r.

logx = t al n rsa,

t2 – t – 2 = 0 (t – 2)(t + 1) = 0

t = 2 t = –1 bulunur.

t = 2 logx = 2 x = 102 = 100

t = –1 logx = –1 x = 10–1 = 101

Ç = ,101 100' 1 olur.

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

113

ÖRNEK 98

xlog2x = 4x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm

Verilen e itlikte her iki taraf n 2 taban nda loga-ritmas al n rsa,

log2xlog2x = log24x

log2x.log2x = log24 + log2x

(log2x)2 = 2 + log2x

(log2x)2 – log2x – 2 = 0 olur.

log2x = t al n rsa,

t2 – t – 2 = 0 (t – 2)(t + 1) = 0

t = 2 t = –1 bulunur.

t = 2 log2x = 2 x = 22 = 4

t = –1 log2x = –1 x = 2–1 = 21

Ç = ,21 4' 1 olur.

ÖRNEK 99

log2(x + 2) – logv2 (x – 1) = 1 denkleminin çözüm kü-

mesini bulunuz.

Çözüm

logv2(x – 1) = log(v2)2(x – 1)2 = log2(x – 1)2 dir.

Bu de eri verilen denklemde yerine yazarsak

log2(x + 2) – log2(x – 1)2 = 1

log2 xx

12 1

– 2+ =^ h

( )xx

12 2

– 2+ =

x + 2 = 2(x2 – 2x + 1)

x + 2 = 2x2 – 4x + 2

2x2 – 5x = 0

x(2x – 5) = 0

x = 0 x = 25 olur.

x = 0 için x – 1 < 0 olaca ndan x = 0 de eri çözüm kümesine dahil edilemez. Bu durumda

Ç = 25' 1 bulunur.

ÖRNEK 100

Inx In x 0– = denkleminin kökler çarp m n bulu-nuz.

Çözüm

ln x t= al n rsa,

In x Inx Inx t21

21/1 2 2= = = olur.

Bu de erleri verilen denklemde yerine yazarsak,

t – 21 t2 = 0 t t1

2–b l = 0

t = 0 1 – t2

= 0

t = 0 t = 2 olur.

t = 0 In x = 0 lnx = 0 x = e0 = 1

t = 2 In x = 2 lnx = 4 x = e4

Bu durumda denklemin kökleri,

x1 = 1 ve x2 = e4 olaca ndan kökler çarp m :

x1.x2 = 1.e4 = e4 bulunur.

ÖRNEK 101

lnx – 3 = 4logxe denkleminin kökler toplam n bulu-nuz.

Çözüm

lnx = t al n rsa,

logxe = log x In x t

1 1 1e

= = olur.


lnx – 3 = 4logxe t – 3 = 4.t1

t2 – 3t – 4 = 0

(t – 4)(t + 1) = 0

t = 4 t = –1

t = 4 lnx = 4 x = e4

t = –1 lnx = –1 x = e–1 = e1 olur.

Denklemin kökleri

x1 = e4 ve x2 = e1 oldu undan kökler toplam :

e4 + e1 bulunur.

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

114

ÖRNEK 102

exlna.exlnb = ab e itli ini sa layan x de erini bu-lunuz.

Çözüm

exlna.exlnb = ab elnax.elnbx

= ab

ax.bx = ab

(a.b)x = (a.b)1/2

x = 21 bulunur.

ÖRNEK 103

log3(2x + 4) = log35 + xlog32 e itli ini sa layan x de-

erini bulunuz.

Çözüm

log3(2x + 4) = log35 + log32

x

log3(2x + 4) = log3(5.2x)

2x + 4 = 5.2x 4.2x = 4

2x = 1 x = 0 bulunur.

ÖRNEK 104

log2(2x – 4) + x – 5 = 0 denkleminin çözüm kümesi-

ni bulunuz.

Çözüm

log2(2x – 4) = 5 – x 2x – 4 = 25–x

2x – 4 = 232

x olur.

Bulunan bu e itlikte 2x = t al n rsa

2x – 4 = 232

x t – 4 =

t32

t2 – 4t – 32 = 0

(t – 8)(t + 4) = 0

t = 8 t = –4 olur.

t = –4 2x = –4 e itli ini sa layan x yoktur.

(2x > 0 d r.)

t = 8 2x = 8 2x = 23 x = 3 olur.

Çözüm kümesi, Ç = {3} bulunur.

ÖRNEK 105

xlog2x + 2(log2x)2 – 32 = 0 denkleminin çözüm küme-sini bulunuz.

Çözüm

log2x = t al n rsa, x = 2t olur.

Bu durumda,

xlog2x = xt = (2t)t = 2(t2)

2(log2x)2 = 2(t2) olur.

Bu de erleri verilen e itlikte yerine yazarsak,

2(t2) + 2(t2) – 32 = 0 2.2(t2) = 32

2(t2) = 16 = 24

t2 = 4

t = 2 t = –2 olur.

t = 2 log2x = 2 x = 22 = 4

t = –2 log2x = –2 x = 2–2 = 41 bulunur.

Çözüm kümesi, Ç = ,41 4' 1 olur.

ÖRNEK 106

xlnx = e6+lnx denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm

xlnx = e6+lnx xlnx = e6.eIn x

.X

xlnx = e6.x olur.

xlnx = e6.x ln(xlnx) = ln(e6.x)

lnx.lnx = lne6 + lnx

(lnx)2 = 6.lne + lnx

(lnx)2 = 6 + lnx

(lnx)2 – lnx – 6 = 0 olur.

Bu e itlikte lnx = t al n rsa

t2 – t – 6 = 0 (t – 3)(t + 2) = 0

t – 3 = 0 t + 2 = 0

t = 3 t = –2 olur.

t = 3 lnx = 3 x = e3

t = –2 lnx = –2 x = e–2 = e12

bulunur.

Çözüm kümesi, Ç = ,e

e12

3' 1 olur.

Logaritma

115

ETK NL K

Türkiye’nin 1990 ve 2000 y llar nda yap lan genel nüfus say mlar na göre nüfusu a a daki gibi tespit edilmi tir.

21.10.1990

22.10.2000

56.473.035

67.844.903

Say›m Tarihi Nüfus

Bu verilerle y ll k nüfus art h z n n yakla k % 1,85 oldu u sonucu ç kar labilir. 2000 y l ndan sonraki herhangi

bir t y l ndaki N nüfusu N(t) = 67,8.e0,0185.t milyon ki i biçiminde modellenebilir.

Bu ba nt y kullanarak hesap makinesi yard m yla

Türkiye’nin 2010 y l ndaki nüfusunu bulunuz.

t = 2010 – 2000 = 10

N(10) = 67,8.e0,0185.10 = 67,8.e0,185 = 67,8.(1,203) = 81,6 olur.

O halde Türkiye’nin 2010 y l ndaki nüfusu 81 600 000 ki idir.

Türkiye’nin nüfusunun 100 000 000 ki iye ula aca y l bulunuz.

67,8.e0,0185.t = 100 e0,0185.t = 1,474926 lne0,0185.t = ln(1,474926)

0,0185.t = 0,388608

t 21

2000 + 21 = 2021 bulunur. O halde, Türkiye’nin nüfusu 2021 y l içinde 100 000 000 ki i olacakt r.

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

116

ÜSLÜ E TS ZL KLER

af(x) > ag(x) e itsizli i çözülürken

a > 1 ise f(x) > g(x) e itsizli i çözülür.

0 < a < 1 ise f(x) < g(x) e itsizli i çözülür.

ÖRNEK 107

24x–1 > 4x–2 e itsizli inin çözüm kümesini bulunuz.Çözüm

24x–1 > 4x–2 24x–1 > (22)x–2

24x–1 > 22x–4

4x – 1 > 2x – 4

2x > –3 x > – 23 olur.

Çözüm kümesi, Ç = ,23– 3c m bulunur.

ÖRNEK 108

23

32x x2 2 1– –c cm m e itsizli inin çözüm kümesini bu-

lunuz.Çözüm

23

32x x2 2 1– –c cm m

23

23x x2 1 2 1– – –c cm m= G

23

23x x2 2 1– – +c cm m

x – 2 –2x + 1

x 1 olur.

Çözüm kümesi, Ç = (– , 1] bulunur.

ÖRNEK 109

43

43>

x x2 1 2– +c cm m e itsizli inin çözüm kümesini bu-

lunuz.Çözüm

0 < a < 1 için an > am n < m oldu undan,

43

43>

x x2 1 2– +c cm m 2x – 1 < x + 2

x < 3 olur.

Çözüm kümesi, Ç = (– , 3) bulunur.

ÖRNEK 110

32

49>

x x2 1 2 1– –+c cm m e itsizli inin çözüm kümesini

bulunuz.

Çözüm

32

49>

x x2 1 2 1– –+c cm m 32

32>

x x2 1 2 2 1– – –+c cm m= G

32

32>

x x2 1 4 2+ +c cm m 2x + 1 < 4x + 2

–1 < 2x

21– < x

Çözüm kümesi, ,21Ç – 3= c m bulunur.

LOGAR TMALI E TS ZL KLER

logaf(x) < b e itsizli i çözülürken

a > 1 ise,

f(x) < ab

f(x) > 0 }

sistemi çözülür.

0 < a < 1 ise,

f(x) > ab

f(x) > 0 }

sistemi çözülür.

ÖRNEK 111

log2(x – 1) < 3 e itsizli inin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm

log2(x – 1) < 3 x – 1 < 23

x < 9 olur.

Ayr ca, x – 1 > 0 x > 1 olaca ndan

x < 9

x > 1 }

1 < x < 9 bulunur.

Çözüm kümesi, Ç = (1, 9) olur.

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

117

ÖRNEK 112

log3(x – 2) log34 e itsizli inin çözüm kümesini bu-lunuz.

Çözüm

log3(x – 2) log34 x – 2 4 x 6 olur.


x 6

x > 2 }

x 6 bulunur.

Çözüm kümesi, Ç = [6, ) olur.

ÖRNEK 113

( )log x 2 2– <21 e itsizli inin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm

( )log x 2 2– <21 x – 2 >

21 2c m x >

49 olur.


x

x

2

49

>

> 4 x49> bulunur.

Çözüm kümesi, Ç = ,493c m olur.

ÖRNEK 114

( ) ( )log logx x2 1 2– –<21

21

e itsizli inin çözüm küme-

sini bulunuz.

Çözüm

log21 (2x – 1) < log

21 (x – 2) 2x – 1 > x – 2

x > –1 olur.

Ayr ca, 2x – 1 > 0 ve x – 2 > 0 olaca ndan,

x > 21 ve x > 2 olur.

x

x

x

1

21

2

–>

>

>

_

`

a

bb

bb

x > 2 bulunur.

Çözüm kümesi, Ç = (2, ) olur.

ÖRNEK 115

1 < log2(3x – 1) < 2 e itsizli inin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm

1 < log2(3x – 1) < 2 21 < 3x – 1 < 22

3 < 3x < 5

1 < x < 35 olur.

Çözüm kümesi, ,135Ç = c m bulunur.

ÖRNEK 116

1 < log21 (2x – 1) < 2 e itsizli inin çözüm kümesini

bulal m.

Çözüm

1 < log21 (2x – 1) < 2

21 1c m > 2x – 1 >

21 2c m

23 > 2x >

45

43 > x >

85 olur.

Çözüm kümesi, ,85

43c m bulunur.

ÖRNEK 117

log4(x2 – 9) 2 e itsizli inin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm

log4(x2 – 9) 2 x2 – 9 42 x2 – 25 0 olur.

Ayr ca, x2 – 9 > 0 olaca ndan

x2 – 25 0

x2 – 9 > 0 }

sisteminin çözüm kümesi arad -

m z kümedir.

;0�<�;0�<�

�

� ��

�� : :

��

�

� ��

�

�

�

Tablodan da görüldü ü gibi

Ç = [–5, –3) (3, 5] bulunur.

118

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. A a daki ifadelerin hangi iki ard k say aras n-da oldu unu bulunuz.

a. log270

b. log3210

c. log5612

d. ln8

e. log1987

f. log0,0003

g. log4,23

h. log19,93

2. A a daki ifadelerden do ru olanlar için bo ku-tuya D yanl olanlar için Y yaz n z.

logx = 2341,23 ise x , 3 basamakl d r.

logy = 12,314 ise x , 13 basamakl d r.

logz = 196,8 ise z , 195 basamakl d r.

logt = 1,134 ise t , 2 basamakl d r.

3. log2 = 0,30103 ise

a. 2400 kaç basamakl d r?

b. 2010 kaç basamakl d r?

c. 400100 kaç basamakl d r?

4. log7 = 0,8451 ise

a. 750 kaç basamakl d r?

b. 4920 kaç basamakl d r?

c. 49040 kaç basamakl d r?

5. A a daki say lar küçükten büyü e do ru s rala-y n z.

a. x = log210 , y = log25 , z = log240

b. x = log31 100 , y = log

31 22 , z = log

31 56

c. x = log78 , y = log9 , z = log310

d. x = log911 , y = log

1113 , z = log

1315

ALIŞTIRMALAR – 3

1. a. (6, 7) b. (4, 5) c. (3, 4) d. (2, 3) e. (3, 4) f. (–4, –3) g. (0, 1) h. (1, 2) 2. Y, D, Y, D 3. a. 121 b. 14 c. 261

4. a. 43 b. 34 c. 108 5. a. y < x < z b. x < z < y c. y < x < z d. z < y < x

Logaritma

119

6. A a daki fonksiyonlar n grafiklerini çiziniz.

a. y = 2x–1

b. y = 3x+1 + 1

c. y = 2–x – 3

d. y = log3x

e. y = log21 (x – 1)

f. y = log(x – 2)

g. y = ln(x + e)

h. y = log4(x + 2)

7. logx = 4,4272 ise logvx ifadesinin e itini bulu-nuz.

8. logx = –1,2412 ve logy = 2,1215 ise log(x2.y3) ifadesinin e itini bulunuz.

9. A a daki denklemlerin çözüm kümelerini bulu-nuz.

a. 9x – 3x+1 – 10 = 0

b. 6.e2x – 11ex + 3 = 0

c. e2–ln2x = x

d. 16x + 4x = 12

ES

EN

YAY

INLA

RI

7. 2,2136 8. 3,8821 9. a. {log35} b. ,In In31

23' 1 c. e

2' 1 d. {log43}

Logaritma

120

ES

EN

YAY

INLA

RI

10. A a daki denklemlerin çözüm kümelerini bulu-nuz.

a. log2(x – 1) – log2(x – 2) = 2

b. log3(x – 2) + log3(x – 4) = 1

c. log(x + 1) – log(x – 2) = logx – log(x – 1)

d. log22(x + 1) + log2(x + 1) = 6

e. elnx = 7x – 12

f. log2x = logx2

g. log x2 = 2 – log2x

h. xlog6x = 36x

i. lnx – 3logxe = 2

j. xlogx = 103+2logx

k. log2 x3 = log 2x3

11. A a daki e itsizliklerin çözüm kümelerini bulu-nuz.

a. 2x–1 < 2

1x2 3–

b. 43

34x x1 2 1– –c cm m

c. 4x–1 < 2x+2

d. 94

827>

x x2 1–+c cm m

e. log2(x – 3) 1

f. log21 (2x – 6) 2

g. |log3(x – 2)| 3

h. 1 log3(x – 1) 2

i. log22x – log2x

3 < 10

j. 2 log21 (x – 1) < 4

10. a. 37' 1 b. {5} c. Ø d. ,

87 3–' 1 e. {2} f. ,

21 2' 1 g. {2} h. ,

61 36' 1 i. {e–1, e3} j. ,

101 1000' 1 k. ,8

81' 1

11. a. ,34–3c m b. ,

32–3c E c. (– , 4) d. ,

51– –3c m e. (3, 5] f. ,3

825c E g. ,

2755 29; E h. [4, 10] i. ,

41 32c m j. ,

1617

45c E

ES

EN

YAY

INLA

RI

121


1. log2 = a, log3 = b ve log156 = c ise log1300 ifadesinin a, b, c cinsinden de erini bulunuz.

2. log2 [2 + 2log3(4x – 1)] = 2

denkleminin kökü kaçt r?

3. log log log18

418

218

13 6 2

+ +


4. f(x) = logx – 1 xx

8 –b l fonksiyonunun en geni

tan m kümesini bulunuz.

5. 2logx3 + 3logx2 = 8 ise log9x in e itini bulunuz.

6. log2 = 0,301 ve log3 = 0,477 ise

log241 ifadesinin e itini bulunuz.

Logaritma

122

ES

EN

YAY

INLA

RI

7. f(x) = 2.e4x – 1 + 1

fonksiyonu için f–1(x) in e itini bulunuz.

8. lnxe + (lnx)2 = 3

denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

9. xlnx = x.e2


10. f(x) = 1 + log2(x + 2)

fonksiyonunun grafi ini çiziniz.

1. c – b – 2a + 2 2. 1 3. 3 4. (1, 8) – {2} 5. 41 10.

6. –1,380 7. In x41

21 1– +c m; E 8. ,

ee1

2' 1 9. ,e

e1 2' 1 –2x

y

–1

1

2

ES

EN

YAY

INLA

RI

123


1. ln2e = x, ln3e = y ve ln66 = z ise

lne11 ifadesinin e itini bulunuz.

2.

log log1

31

1

12

11

2 3+

++


3. loga27 = 6 ve logv3a = 2b ise a.b kaçt r?

4. f(x) = log3(x – 2) ve (gof)(x) = 3x + 1 ise g(x) fonksiyonunu bulunuz.

5. log5 = x ise log85v5 ifadesinin x cinsinden de-erini bulunuz.

6. ( ) logf xxx2

11 1– –3=

+c m; E fonksiyonu için

f –1(x) in e itini bulunuz.

Logaritma

124

ES

EN

YAY

INLA

RI

7. log2 = 0,30103 ise 2525 say s kaç basamakl -d r?

8. logv2(x – 1) – log2(x – 2) = 2


9. 2x + 21 – x = 3


10. f(x) = 1 – 2x – 1

fonksiyonunun grafi ini çiziniz.

1. z – x – y + 1 2. 1 3. 23 4. 3x+1 + 7 5.

xx

2 2– 10.

6. 1 3

3 1

–x

x

21

21

++

+

7. 35 8. {3} 9. {0, 1}

1/2

x

y

1

ES

EN

YAY

INLA

RI

125

TEST – 1

1. log2(3x – 1) = 3 ise x kaçt r?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. 2x = 5 ise x a a dakilerden hangisine e ittir?

A) log52 B) log2 C) log5

D) log510 E) log25

3. logx9 = 2 ise x kaçt r?

A) v2 B) v3 C) 2 D) 3 E) 6

4. log23 + log4x = log165 e itli ini sa layan x de-eri a a dakilerden hangisidir?

A) 25 B)

35 C)

65

D) 85 E)

95

5. log3 x1 = –2 ise x kaçt r?

A) 3 B) 6 C) 8 D) 9 E) 27

6. log4 = x ise log5 in x cinsinden de eri a a -dakilerden hangisidir?

A) x2

1– B) x2

2 – C) x2

2–

D) x2

1– E) 2 – x

7. ln(1 + lnx) = 1 e itli ini sa layan x de eri a a-dakilerden hangisidir?

A) e1–e B) ee C) ee–1 D) e–e E) e

8. ln[ 1 + log3(2 – log2x)] = 0 e itli ini sa layan x de eri a a dakilerden hangisidir?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

126

1.C 2.E 3.D 4.E 5.D 6.B 7.C 8.C 9.C 10.A 11.E 12.B 13.B 14.C 15.C 16.C

9. f(x) = 2log(x – 1) olmak üzere,

f –1(x) a a dakilerden hangisine e ittir?

A) 10x B) 10 1–x C) 10 1x +

D) 2 10x E) 2 10 1x +

10. f(x) = 2x+1 – 3 olmak üzere,


A) log2x

23+c m B) log2(x + 3)

C) log2(x – 3) D) log2x

23–c m

E) log2x

32–c m

11. logx = 346,123 ise x say s kaç basamakl d r?

A) 2 B) 3 C) 345 D) 346 E) 347

12. a = log78 , b = log9 ve c = log524 olmak üzere, a a daki s ralamalardan hangisi do rudur?

A) b < c < a B) b < a < c C) a < c < bD) a < b < c E) c < a < b

13. log log log6

136

16

2

2 9 6+ + ifadesinin e iti a a-

dakilerden hangisidir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

14. f(x) = logx–1(3 – x) fonksiyonunun en geni tan m kümesi a a dakilerden hangisidir?

A) (1, 3) B) (1, 2) C) (1, 3) – {2}D) [1, 2) E) (0, 2) – {1}

15. log2(x + 2) + log2(x – 1) = 2 denkleminin çözüm kümesi a a dakilerden hangisidir?

A) {–3, 2} B) {–2, 3} C) {2}D) {3} E) {4}

16. 4x + 1 = 21–x denkleminin gerçek köklerinin top-lam kaçt r?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

ES

EN

YAY

INLA

RI

127

TEST – 2

1. logx64 = 3 ise log4x kaçt r?

A) 21 B) 1 C)

23 D) 2 E) 3

2. log2[log4(log216)] ifadesinin e iti a a dakilerden hangisidir?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

3. log2x = a ise log x21 a a dakilerden hangisi-

dir?

A) –2a B) – a2

C) –a D) a E) a2

4. log2 = x olmak üzere, log250 ifadesinin e iti a a dakilerden hangisi-

dir?

A) 3 – 2x B) 2 – 2x C) 2 – 3xD) 1 – 2x E) 1 – 3x

5. log log16 92

333+ ifadesinin e iti a a daki-

lerden hangisidir?

A) 319 B)

323 C) 8 D)

326 E) 9

6. loglog

1 61 3

– 2

2+ ifadesinin e iti a a dakilerden

hangisidir?

A) log3 61 B) log2 6

1 C) log26

D) log36 E) log3 121

7. log151 325+

5 ifadesinin e iti a a dakilerden han-

gisidir?

A) 4 B) 8 C) 10 D) 18 E) 20

8. log2240 say s a a daki aral klardan hangisinde bulunur?

A) (4, 5) B) (5, 6) C) (6, 7)D) (7, 8) E) (8, 9)

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

128

1.B 2.A 3.B 4.A 5.D 6.A 7.E 8.D 9.A 10.A 11.B 12.D 13.B 14.A 15.D 16.D

9. log50,02 = x ise log25 ifadesinin e iti a a da-kilerden hangisidir?

A) x 2

1–+

B) x 1

1–+

C) x 2

1+

D) x 2

1–

E) x 1

1–

10. log9 = 0,724 ise log30 ifadesinin e iti a a da-kilerden hangisidir?

A) 1,362 B) 2,362 C) 1,724D) 2,724 E) 3,362

11. e2–ln4 = x ise ln2vx ifadesinin e iti a a dakiler-den hangisidir?

A) 21 B) 1 C) e D) 2e E) 4

12. f(x) = log(6–x)(x – 2) fonksiyonunu tan ml yapan

x tam say lar n n toplam kaçt r?

A) 12 B) 10 C) 8 D) 7 E) 5

13. log525! = a ise log524! ifadesinin e iti a a da-kilerden hangisidir?

A) a – 5 B) a – 2 C) a – 1D) a + 2 E) a + 5

14. elogxe – ex2 = 0 e itli ini sa layan x de erlerinin çarp m a a dakilerden hangisidir?

A) e

1 B)e1 C) ve D) e E) 2e

15. log23.log34.log45.log56.....log6364


A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

16. log2(x + 2) – log4(x + 3) = 1 denkleminin kökler çarp m a a dakilerden hangisidir?

A) –8 B) – 4 C) 4 D) 2v2 E) 8

ES

EN

YAY

INLA

RI

129

TEST – 3

1. log2(log93) = log41 x ise x kaçt r?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

2. log35 = x ise log515 ifadesinin x cinsinden e iti


A) x

x1+

B) x

x1–

C) x

x 2+

D) x

x 1– E) x

x 1+

3. logx4 = log38 e itli ini sa layan x de eri a a -dakilerden hangisidir?

A) 33 B) 63 C) 93 D) 3v3 E) 4v3

4. log713,416 = x ise x say s n n tam k sm kaçt r?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

5. log log2

4 3 421–+ log5 + 8log5


A) 213 B) 7 C)

215 D) 8 E)

217

6. . .log log log5 6 82

33625

ifadesinin e iti a a -


A) 21 B) 1 C)

23 D) 2 E) 3

7. log2[3 + log3(8 – log232)] ifadesinin e iti a a -dakilerden hangisidir?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

8. log23 = x ise log2454 ifadesinin x cinsinden de-

eri a a dakilerden hangisidir?

A) xx

23 1–

+ B)

xx

23 1

++ C)

xx

33 1

++

D) xx

33 1–

+ E)

xx

32 1

++

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

130

1.C 2.E 3.C 4.D 5.C 6.A 7.C 8.C 9.D 10.C 11.E 12.B 13.D 14.D 15.C 16.D

9. log99! = a ise log100! ifadesinin a cinsinden de eri a a dakilerden hangisidir?

A) a – 2 B) a – 1 C) a + 1D) a + 2 E) a + 10

10. log2 = 0,30103 ise 550 kaç basamakl d r?

A) 33 B) 34 C) 35 D) 36 E) 37

11. x = loga5 ve y = logv5a ise log8xy ifadesinin

e iti a a dakilerden hangisidir?

A) 3 B) 23 C) 1 D)

32 E)

31

12. f: (2, ) R , f(x) = 3 + 2log3(x – 2) fonksiyonu

için f –1(x) a a dakilerden hangisine e ittir?

A) 3 2x

32–

+ B) 3 2x

23–

+ C) 3 2–x

23–

D) 3 2x

22–

+ E) 3 2–x

32–

13. lnx + ln3 = ln(x + 3) e itli ini sa layan x de eri a a dakilerden hangisidir?

A) 52 B)

32 C) 1 D)

23 E) 2

14. log2(x + y) = 4 ve log2(x – y) = 2 e itliklerini sa layan x ve y de erlerinin çarp m

kaçt r?

A) 40 B) 48 C) 52 D) 60 E) 66

15. 5log72 – 2log75 ifadesinin e iti a a dakilerden hangisidir?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

16. log2,34 = x ise log(23,4) ifadesinin e iti a a -dakileden hangisidir?

A) x – 1 B) 10x C) 10x – 1D) x + 1 E) x + 2

ES

EN

YAY

INLA

RI

131

TEST – 4

1. log2[ log3(4x – 1)] = 0 e itli ini sa layan x de eri


A) 21 B) 1 C)

23 D) 2 E) 3

2. log(x.y) = 2logyx ise logyx ifadesinin e iti

a a dakileden hangisidir?

A) 31 B)

21 C) 1 D) 2 E) 3

3. 2 ( )log log3 32+4 2^ h ifadesinin e iti a a dakiler-den hangisidir?

A) 84 B) 88 C) 2v2 D) 43 E) 2

4. logaba = x ise logba ifadesinin e iti a a dakiler-

den hangisidir?

A) x

x1–

B) x

x1 + C) x

x1–

D) x

x1 +

E) x

x1–

5. log52 = x ise log25 in x cinsinden de eri a a-dakilerden hangisidir?

A) x 1

2+

B) x 2

1+

C) x 1

1–

D) x 1

2–

E) xx

11–

+

6. x = log524 , y = log637 , z = log78 say lar aras ndaki s ralama a a dakilerden

hangisidir?

A) z < x < y B) z < y < x C) y < x < zD) y < z < x E) x < y < z

7. log2 = 0,30103 ise 2020 say s kaç basamakl -d r?

A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29

8. log3(x – 2) – log3(x + 4) = –1 ise logx5x kaçt r?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

132

1.B 2.E 3.A 4.E 5.A 6.A 7.C 8.A 9.C 10.C 11.A 12.E 13.E 14.D 15.B 16.D

9. 3x – 31–x = 2 denkleminin kökler çarp m kaçt r?

A) –3 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3

10. log2x + logx2 = 24 denkleminin kökler çarp m a a dakilerden hangisidir?

A) 10–4 B) 10–3 C) 10–2 D) 102 E) 103

11. ln2e = 1 + elnx e itli ini sa layan x de eri a a-dakilerden hangisidir?

A) ln2 B) ln3 C) ln5 D) ln6 E) ln10

12. f: R (– , 2) , f(x) = 2 – 2.32x–1 fonksiyonu için


A) 1 + log3x

22 – B) log x

21 1

2– 3: D

C) log x21 1

22 – –

3; E D) 1 – log3x

22 –

E) log x21 1

22 –

3+; E

13. log52 = x ise xx

2 13 1

++ ifadesinin e iti a a daki-

lerden hangisidir?

A) log4020 B) log3020 C) log4030D) log2030 E) log2040

14. |1 – log2x| < 2 e itsizli inin çözüm kümesi a a -dakilerden hangisidir?

A) ,21 4c m B) (2, 4) C) (2, 8)

D) ,21 8c m E) ,

41

21c m

15. 3logx2 + 2logx3 = 16 ise x kaçt r?

A) v3 B) 33 C) v2 D) 23 E) v6

16.

x

y

y=logax

0 1 8

3

f(x) = logax fonksiyonunun grafi i yukar daki gi-bidir. Buna göre f –1(4) kaçt r?

A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 32

ES

EN

YAY

INLA

RI

133

TEST – 5

1. log a32

= ve log34 = b ise logab16 ifadesinin


A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

2. log6! = a ve log7! = b ise a + b ifadesinin e iti a a dakilerden hangisidir?

A) log9! B) log10! C) log11!D) log12! E) log13!

3. log35 = x ise log15375 ifadesinin x cinsinden de eri a a dakilerden hangisidir?

A) xx

13 2

++ B)

xx

13 1

++ C)

xx

12 3

++

D) xx

23 1

++ E)

xx

22 3

++

4. ln(x.y) = 4 ve lnyx = 2 ise

x a a dakilerden hangisine e ittir?

A) 1 B) e1 C) e D) e2 E) e3

5. log4125 say s ndan küçük olan en büyük tam say kaçt r?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6. log log16 421

24

23+a ^k h ifadesinin e iti a a -


A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4

7. log2 2 2 44 3 ifadesinin e iti a a dakilerden

hangisidir?

) ) ) ) )A B C D E2411

21

2413

127

41

8. 3logx = 2 e itli ini sa layan x de eri a a daki-lerden hangisidir?

A) 2log32 B) 10log23 C) 10log210 D) 2log310 E) 2log3

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

134

1.C 2.B 3.B 4.E 5.C 6.D 7.A 8.D 9.C 10.D 11.C 12.B 13.E 14.C 15.B 16.C

9. f(x) = logx–2 xx

25–

+c m fonksiyonunun tan m kümesi


A) (– , –2) B) (–2, 5) C) (5, )D) (2, 5) E) (2, )

10. log3150 < x < log2150 olmak üzere, x in alabilece i tam say de erlerinin toplam

kaçt r?

A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

11. log6 = 0,7781 ise 360100 say s kaç basamakl bir say d r?

A) 254 B) 255 C) 256 D) 257 E) 258

12. log2(x + 2) – log23 = 1 ise log4x kaçt r?

A) 21 B) 1 C)

23 D) 2 E) 4

13. logx + lnx = lnex e itli ini sa layan x de eri a a dakilerden hangisidir?

A) 1 B) e C) 2 D) 2e E) 10

14. xlog2x = 4x e itli ini sa layan x de erlerinin top-lam kaçt r?

A) 27 B) 4 C)

29 D) 5 E)

211

15. f(x – 1) = 2 + loga(x + 3) fonksiyonunda f(1) = 3

ise f –1(4) kaçt r?

A) 22 B) 21 C) 20 D) 18 E) 16

16.

x

yy=logax

0

y=logbx

y=logcx

ekildeki grafi i çizilen fonksiyonlara göre a, b ve c aras ndaki do ru s ralan a a dakilerden hangisidir?

A) c < b < a B) b < a < c C) c < a < bD) b < c < a E) a < b < c

ES

EN

YAY

INLA

RI

135

TEST – 6

1. loga[2 – log3(b + 2)] = 0 ise b kaçt r?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

2. logabcab + logabcac + logabcbc ifadesinin e iti a a-


A) 1 B) 23 C) 2 D)

25 E) 3

3. e2–xlnx = e2–e e itli ini sa layan x de eri a a -dakilerden hangisidir?

A) –e B) e1 C) 1 D) e E) 2e

4. log372 say s n n tam k sm kaçt r?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

5. f(x) = log(x2 – 5x + 6) fonksiyonunun tan ms z ol-du u aral k a a dakilerden hangisidir?

A) (2, 3) B) (3, 4) C) [2, 3]D) (– , 2) E) [3, 4]

6. f(x) = 3 – log2(3 – x) ise f –1(2) ifadesinin e iti a a dakilerden hangisidir?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

7. e 2 2Inx2 = ise x a a dakilerden hangisine

e ittir?

A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16

8. log200250 = x ise log25 ifadesinin e iti a a da-kilerden hangisidir?

A) xx

2 33 1

++ B)

xx

3 12 3

++ C)

xx

3 13 2

––

D) xx

2 33 1

–– E)

xx

3 23 1

––

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

136

1.D 2.C 3.D 4.C 5.C 6.D 7.D 8.E 9.D 10.E 11.D 12.C 13.C 14.E 15.A 16.A

9. log25 = x ve log23 = y ise log2545 ifadesinin


A) x

x y2+ B)

xx y2+ C)

xx y2

2 +

D) x

x y2

2+ E) x

y x2

2 +

10. log2 = 0,301 ve log3 = 0,477 ise 2410 say s kaç basamakl d r?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

11. 2 < log2(2 – x) < 3 e itsizli inin çözüm kümesi


A) (–8, –4) B) (–7, –3) C) (–4, –2)D) (–6, –2) E) (–5, –3)

12. logx = 2,2464 ise logvx ifadesinin e iti a a -dakilerden hangisidir?

A) 0,1232 B) 0,2464 C) 1,1232D) 2,1232 E) 2,2464

13. log2x – logx8 + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi a a dakilerden hangsidir?

A) ,81 1' 1 B) ,

21 4' 1 C) ,

81 2' 1

D) ,21 8' 1 E) ,

41 2' 1

14. log log1 5 52 2+ + ifadesinin de eri a a daki-lerden hangisidir?

A) log5 B) 1 C) log20D) log25 E) log50

15. log3(x + 1) – 1 > log3(x – 5)

e itsizli inin çözüm kümesi a a dakilerden han-gisidir?

A) (5, 8) B) (– , –1) C) (–1, 5)D) (5, ) E) (8, )

16.

x

y

0

y=loga(x+b)–2

–13

f(x) = loga(x + b) fonksiyonunun grafi i yukar da-ki gibidir. Buna göre a + b kaçt r?

A) 23 B) 1 C)

21 D) –

21 E) –

23

ES

EN

YAY

INLA

RI

137

TEST – 7

1. log x621 =

ise log1218 ifadesinin x cinsinden

de eri a a dakilerden hangisidir?

A) xx

12 1

–+ B)

xx

12 1

–– C)

xx

12

–+

D) xx

12

–– E)

xx

22 1

–+

2. x y3 = ise logxy ifadesinin e iti a a dakiler-

den hangisidir?

A) 31 B)

32 C) 1 D)

23 E) 3

3. logx = 1 – lnx e itli ini sa layan x de eri a a-dakilerden hangisidir?

A) elog10e10 B) eloge C) elog e

10

D) elog10ee E) elog10e

4. ( ) ( )logf x x1 2–21= fonksiyonunun en geni

tan m kümesi a a dakilerden hangisidir?

A) ,213c m B) ,

21–3c m C) [0, )

D) (– , 0] E) ,021 m;

5. f(x + 1) = e2x–5 ve g(x – 1) = 2 + ex ise (fog–1)(3) ifadesinin e iti a a dakilerden hangi-

sidir?

A) e13

B) e15

C) e16

D) e18

E) e19

6. log2x + logx2 = 3 denkleminin kökler çarp m a a-dakilerden hangisidir?

A) 1001 B)

101 C) 1 D) 10 E) 100

7. log152 = x ise 53

x

x

1

1

–

+ ifadesinin e iti kaçt r?

A) 56 B) 1 C)

54 D)

53 E)

52

8. log(x + 2) = logx + log2 ise log2vx kaçt r?

A) 21 B) 1 C)

23 D) 2 E) 4

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

138

1.A 2.B 3.A 4.E 5.E 6.A 7.A 8.A 9.E 10.E 11.C 12.C 13.D 14.C 15.C 16.E

9. f(x) = log(x–4)(10 – x) fonksiyonunun tan m küme-

sindeki tam say lar n toplam kaçt r?

A) 35 B) 34 C) 32 D) 31 E) 30

10. a = log3 ve b = ln3 ise a a daki ifadelerden hangisi do rudur?

A) b < 0 < a B) b < a < 0 C) a < 0 < bD) a < b < 1 E) a < 1 < b

11. a = log39 , b = log25 , c = log520 olmak üzere, a a daki s ralamalardan hangisi do rudur?

A) b < a < c B) a < b < c C) c < a < bD) c < b < a E) a < c < b

12. log49 – log2x = log2v5 ise log5x3

ifadesinin e iti


A) 23– B) –1 C)

21– D)

21 E) 1

13. logx = –0,203 ise logx12

ifadesinin e iti a a -


A) –0,406 B) –0,102 C) 1,102D) 0,406 E) 1,203

14. log2[3 – log4(2 + log3(x + 1)] = 1 e itli ini sa la-yan x de eri kaçt r?

A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6

15. loglog

loglog

logzz

zz

z1

x y xy+ =

e itli ini sa layan z kaçt r?

A) 2 B) 5 C) 10 D) 20 E) 100

16. f(x) = x.log3(x + k) fonksiyonunda f –1(4) = 2 ise

f –1(60) kaçt r?

A) 12 B) 15 C) 16 D) 18 E) 20

ES

EN

YAY

INLA

RI

139

TEST – 8

1. log(x+1)(x2 – 5) = 1 ise logx(x + 6) kaçt r?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. a = lnx ve b = logx ise a say s , b say s n n kaç kat d r?

A) 10 B) loge C) 10eD) e E) ln10

3. ln(lnx) + lnx = 2 + ln2 e itli ini sa layan x de eri a a dakilerden hangisidir?

A) e B) 2e C) e2 D) 2e2 E) 4e

4. x = 2log34 ve y = 4log32 ise logxy ifadesinin e iti kaçt r?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

5. log32 = x ve log53 = y ise log6 ifadesinin x ve y cinsinden de eri a a dakilerden hangisidir?

A) xyxy y

1++ B)

xyxy x

1–+

C) xyxy x

1–+

D) xyxy y

1–+ E)

xy xxy y

–+

6. (log10x – 1)log x100

2= – logx denkleminin çö-

züm kümesi a a dakilerden hangisidir?

A) {10} B) {100} C) ,101 10' 1

D) ,101 100' 1 E) ,

1001 10' 1

7. log229 = x ise x a a daki aral klar n hangisinde bulunur?

A) (6, 7) B) (5, 6) C) (4, 5)D) (3, 4) E) (2, 3)

8. loga2 = logb4 ise logaba2 – logabb

2 ifadesinin


A) –1 B) 32– C)

32 D) 1 E)

23

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

140

1.B 2.E 3.C 4.D 5.A 6.D 7.C 8.B 9.A 10.E 11.E 12.C 13.A 14.C 15.A 16.E

9. logva

b + c.logab = 3 ise a c 23+ ifadesinin e iti


A) b B) b1 C)

b12

D) b2 E) vb

10. loglog

loglog x

53

164

2

3

5= e itli ini sa layan x de eri


A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 28

11. f(x) = log2(x2 – mx + 1) fonksiyonu

x R için tan ml oldu una göre m nin de er aral a a dakilerden hangisidir?

A) (– 4, 0) B) (–2, 0) C) (0, 2)D) (0, –4) E) (–2, 2)

12.

0

y=loga(x+b)

x

y

1

3

10

f(x) = loga(x + b) fonksiyonunun grafi i yukar da-ki gibidir. Buna göre f(4) kaçt r?

A) 21 B) 1 C)

23 D) 2 E)

25

13. logxxy + logxyx = logxy ise log(x2.y) ifadesinin


A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

14. log20 = 1,30103 ise log21 ifadesinin e iti


A) 0,69897 B) 1,69897 C) –0,30103D) –0,69897 E) –1,30103

15. x = logy2 ve 20 < y < 400 ise x a a dakiler-den hangisine e it olabilir?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

16. ABC üçgeninde

log2 log6

log3x

A

B C

|AB| = log2 cm

|AC| = log6 cm

|BC| = log3x cm ise x in de er aral a a dakilerden hangisidir?

A) (1, 3) B) (0, 3) C) (0, 4)D) (2, 5) E) (1, 4)

ES

EN

YAY

INLA

RI

141

TEST – 9

1. logx + log5 = 1 e itli ini sa layan x de eri kaç-t r?

A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 10

2. x R olmak üzere, logx < 0 olmas için x a a daki aral klar n han-

gisinde de er almal d r?

A) (– , –1) B) (– , 0) C) (–1, 0)

D) (0, 1) E) (1, )

3. log(x + 1) – logx = 2 denkleminin çözüm kümesi a a dakilerden hangisidir?

A) 991' 1 B)

91' 1 C)

31' 1

D) 21' 1 E) {1}

4. loga = 1,44 oldu una göre,

a259 nin de eri a a dakilerden hangisidir?

A) 10 B) 102 C) 122 D) 104 E) 124

5. log(cotx) = 0 ise x in en küçük radyan ölçüsü a a dakilerden hangisidir?

) ) ) ) )A B C D E6 4 3 2 4

3r r r r r

6. log2a = log b21 oldu una göre,

log(a.b) nin de eri nedir?

A) 2 B) 1 C) 21 D)

41 E) 0

7. log10(log232) = log100x oldu una göre,

x in de eri nedir?

A) v5 B) 5 C) 25 D) 125 E) 625

8. xlog32 – (vx + 1)log92 = 0 denkleminin kökü a a-


A) 32 B)

21 C) 1 D) 2 E) 3

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

142

1.B 2.D 3.A 4.D 5.B 6.E 7.C 8.C 9.B 10.E 11.D 12.C 13.A 14.D 15.E 16.B

9. 2n = a ve loga162 = n2 oldu una göre,

n kaçt r?

A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16

10. g(f(x)) = f(x + 1) ve f(x) = lnx ise

g(g(lnx)) a a dakilerden hangisine e ittir?

A) ln(x + 1)x+2 B) ln(x + 1)x

C) lnx D) ln(x + 1) E) ln(x + 2)

11. log20 – log(x – 1) = 1 denkleminin kökü a a da-kilerden hangisidir?

A) 23 B) 2 C)

25 D) 3 E) 4

12. a3 = b4 oldu una göre,

log(b3)

a2 ifadesinin de eri kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E94

21

98

34

89

13. log2ex = lnxn oldu una göre,

n a a dakilerden hangisine e ittir?

A) log2ee B) ln2e C) 2 + ln2

D) In21 E) log2e

14. x = log2 91 , y = log3 25

1 , z = log4 51

oldu una göre, a a daki s ralamalardan hangisi do rudur?

A) z < y < x B) z < x < y C) y < x < zD) x < y < z E) x < z < y

15. ln2x – lnx2 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) Ø B) {1} C) {e2}D) {1, e} E) {1, e2}

16. an = bm oldu una göre, mn kesri a a dakilerden

hangisine e ittir?

A) log(a.b) B) logab C) logbaD) log(a + b) E) ln

ba

143

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. 1981 – ÖYS

y = log7 x1 ve x = 75 ise y nin de eri nedir?

A) –5 B) 51– C)

51 D) 5 E) 7

2. 1982 – ÖYS

( )log log2212

2+ c m ifadesinin de eri nedir?

A) 0 B) logv2 C) v2 log21c m

D) log21c m E) v2 log2

3. 1983 – ÖYS logac = x , logbc = y oldu una göre x in a, b, y

türünden de eri a a dakilerden hangisidir?

A) logaby B) log

yab C)

logy

ba

D) y.logba E) y.logab

4. 1984 – ÖYS log2(log10x) = 3 e itli ini sa layan x de eri a a-


A) 102 B) 103 C) 106 D) 108 E) 109

5. 1985 – ÖYS log35 = a oldu una göre log515 ifadesinin de-

eri nedir?

A) a 1

1–

B) a

a1–

C) a

a 1–

D) a

a1+

E) a

a 1+

6. 1986 – ÖYS log1656 = a , log2 = b , log3 = c oldu una göre log23 ün de eri nedir?

A) a – 2b – 3c B) a – 3b – 2c C) a – b – 3c D) a – 2b – c E) a – b – c

7. 1987 – ÖYS log(a + b) = loga + logb oldu una göre b nin a türünden de eri nedir?

A) a

a1+

B) a

a 1+ C) a

a1–

D) a

a 1– E) aa

11

–+

8. 1987 – ÖYS ln(xy) = 2a , ln

yxc m = 2b oldu una göre

x in de eri nedir?

A) ea+b B) eb–a C) ea–b D) e–(a+b) E) eab


Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

144

9. 1988 – ÖSS

logx + 2logx1 = log8 – 2logx denkleminin çözü-

mü nedir?

A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2

10. 1988 – ÖYS lna = p olarak verildi ine göre, loga2 a a daki-

lerden hangisine e ittir?

A) ploge B) 2ploge C) plog2e

D) plog e2

E) p2

loge

11. 1988 – ÖYS y = log x

31 in grafi i hangisi olabilir?

0 x

yA)

0 x

yB)

0 x

yC)

0 x

yD)

0 x

yE)

1

1

1

1

12. 1988 – ÖYS log2 = 0,301 , log3 = 0,477 oldu una göre, log360 n de eri kaç olur?

A) 2,731 B) 2,556 C) 3,043D) 1,987 E) 1,865

13. 1989 – ÖSS a5 = b oldu una göre, logba

3 kaçt r?

A) 2 B) 8 C) 15 D) 53 E)

35

14. 1989 – ÖYS logx + log(3x + 2) = 0 denklemini sa layan de er

nedir?

) ) ) ) )A B C D E21

31

41

51

61

15. 1990 – ÖYS log7(2x – 7) – log7(x – 2) = 0 oldu una göre,

log5x in de eri nedir?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

145

16. 1991 – ÖYS log35 = a oldu una göre, log925 in de eri nedir?

A) a B) 2a C) a2 D) a2

E) va

17. 1992 – ÖYS log53 + log5a = 1 oldu una göre, a kaçt r?

A) 3 B) 2 C) 1 D) 35 E)

34

18. 1993 – ÖYS loga9 = 4 , log3a = b oldu una göre,

a.b çarp m kaçt r?

A) v2 B) v3 C) 2v3D)

23 E)

32

19. 1994 – ÖYS log3(9.3x+3) = 3x + 1 denkleminin çözüm kümesi


A) {–1, 1} B) {0, 2} C) {0}D) {1} E) {2}

20. 1994 – ÖYS f(x) = log2x , (gof)(x) = x + 2 oldu una göre, g(x) a a dakilerden hangisidir?

A) 2x B) 2x – 1 C) 2x + 1D) 2x + 2 E) 2x – 2

21. 1995 – ÖYS

loglog

logx

x94 27

3

33= denklemini sa layan x de e-

ri kaçt r?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 9

22. 1996 – ÖYS log102 = a , log103 = b oldu una göre,

log1072 nin a ve b türünden de eri a a daki-

lerden hangisidir?

A) 2b – 3a B) 3a – b C) 3a – 2bD) 3a + 2b E) 2a + 3b

23. 1997 – ÖYS log2(2log3(3log4(x + 2) ) ) = 1 oldu una göre x kaçt r?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

146

24. 1998 – ÖYS

log log log24

324

624

12

4 2 34+ +

i leminin sonucu kaçt r?

A) 1 B) 3 C) 6 D) 8 E) 12

25. 2006 – ÖSS

: ,f31–3c m R fonksiyonu

f(x) = log3(3x + 1) ile tan mlan yor. Buna göre, ters fonksiyonu belirten f –1(x) a a -


A) f –1(x) = 3x B) f –1(x) = 3x + 1

C) f –1(x) = log(3x + 1) D) f –1(x) = 3

3 1–x

E) f –1(x) = x3

13 +

26. 2007 – ÖSS log2(log3(5x + 6)) = 2 oldu una göre x kaçt r?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 15 E) 18

27. 2008 – ÖSS log49 + log2(a – 3) < 4

e itsizli ini sa layan kaç tane a tam say s var-d r?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

28. 2009 – ÖSS y

x0 1

3

1

f(x)=logax

Yukar da logax fonksiyonunun grafi i verilmi tir.

Buna göre, f f271cc mm de eri kaçt r?

A) –3 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3

29. 2010 – LYS log35 = a oldu una göre, log515 in de eri kaçt r?

A) a

a1+

B) a

a 1+ C) a

a3+

D) a

a 3+ E) a34

30. 2010 – LYS

log log6

16

1

2 3+

ifadesi a a dakilerden hangisine e ittir?

A) 31 B) 1 C) 2

D) log62 E) log63

31. 2010 – LYS 0 log2(x – 5) 2 e itsizliklerini sa layan kaç tane x tam say s

vard r?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

147

32. 2010 – LYS 1 den farkl a, b, c pozitif gerçel say lar için,

logab = 21

logac = 3

oldu una göre, logc ab

b

2d n ifadesinin de eri

kaçt r?

A) 23 B)

25 C)

35 D) –6 E) –5

33. 2011 – LYS log9(x

2 + 2x + 1) = t , (x > –1) oldu una göre, x in t tü rün den e i ti a a da ki-

ler den han gi si dir?

A) 3t – 1 B) 3t–1 C) 3 – 2t

D) 2.3t–1 E) 3t – 2

34. 2012 – LYS

log23x + log4x2 = 2

denklemini sa layan x de eri kaçt r?

A) 22 B)

223 C)

225

D) 33 E)

332

35. 2012 – LYS

2x = 51

3y = 14

oldu una göre, x.y çarp m n n de eri kaçt r?

A) lnln23 B)

lnln215 C)

lnln45

D) lnln253

E) lnln56

148

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. x = 75 ise

y = log7 x1 = log7 7

15

= log77–5 = –5.log77 = –5

elde edilir.Do ru Seçenek A

2.

.

. ( )

log log log log

log log

log log

log

221 2 2

2 1 2

2 2

2 2

–

2 2 2 1 2

2 2

2 2

2

–+ = +

= +

= +

=

^ c ^ ^^ ^^ ^

h m h hh hh h

= 2 .log2 bulunur.Do ru Seçenek E

3. logbc = y c = by dir.

x = logac = logaby = y.logab olur.

Do ru Seçenek E

4. log2(log10x) = 3 log10x = 23

log10x = 8

x = 108 bulunur.Do ru Seçenek D

5. log35 = a olmak üzere,

log515 = log5(5.3)

= log55 + log53

= 1 + log 5

1

3

= 1 + a1

= a

a 1+ bulunur.

Do ru Seçenek E

6. 1656 2 1656 = 23.32.23log2 = blog3 = c

828 2 414 2 207 3 69 3 23 23 1

log1656 = a log(23.32.23) = a

log23 + log32 + log23 = a

3.log2 + 2.log3 + log23 = a

3.b + 2.c + log23 = a

log23 = a – 3b – 2c dir.

Do ru Seçenek B

7. log(a + b) = loga + logb log(a + b) = log(a.b) a + b = a.b a = ab – b a = b(a – 1)

b = a

a1–

bulunur.

Do ru Seçenek C

8. ln(xy) = 2a lnx + lny = 2a

lnyxc m = 2b lnx – lny = 2b

+ –––––––––––––––– 2.lnx = 2a + 2b

2.lnx = 2(a + b)

lnx = a + b

x = ea+b olur.

Do ru Seçenek A

9. logx + 2logx1 = log8 – 2logx

logx + 2logx–1 = log8 – 2logx

logx – 2logx = log8 – 2logx

logx = log8 x = 8 bulunur.

Do ru Seçenek B

ÇÖZÜMLER

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

149

10. lna = p a = ep dir.

loga2 = 2loga

= 2logep

= 2ploge bulunur.Do ru Seçenek B

11. y = log31 x fonksiyonu x > 0 için tan ml d r. Yani,

grafik I. ve IV. bölgelerde olmal d r. Ayr ca taban

1 den küçük oldu undan azalan fonksiyondur.

x = 1 y = log31 1 = 0 olup (1, 0) dan geçer.

O halde grafik,

0 x

y

1

eklindedir.Do ru Seçenek A

12. log2 = 0,301 ve log3 = 0,477 ise

log360 = log(4.9.10)

= log4 + log9 + log10

= 2log2 + 2log3 + 1

= 2.(0,301) + 2.(0,477) + 1

= 2,556 bulunur.Do ru Seçenek B

13. a5 = b olmak üzere,

logba3 = 3.logba

= 3.log(a5)

a

= 53 .logaa

= 53 bulunur.

Do ru Seçenek D

14. logx + log(3x + 2) = 0

log [ x.(3x + 2) ] = log1

x.(3x + 2) = 1

3x2 + 2x – 1 = 0 (3x – 1)(x + 1) = 0

x = 31 x = –1

x = –1 için logaritma tan ms z olup,

x = 31 denkleminin köküdür.

Do ru Seçenek B

15. log7(2x – 7) – log7(x – 2) = 0

log7 xx

22 7 0

–– =

xx

22 7 7

–– 0=

xx

22 7 1

–– =

x = 5 tir. O halde,

log5x = log55 = 1 bulunur.Do ru Seçenek B

16. log35 = a olmak üzere,

log925 = log3252 =

22 .log35 = 1.a = a

olarak bulunur.Do ru Seçenek A

17. log53 + log5a = 1 log5(3.a) = 1

3.a = 51

a = 35 bulunur.

Do ru Seçenek D

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

150

18. loga9 = 4 a4 = 9 a = 94 a = v3 tür.

log3a = b 3b = a 3b = v3 b = 21 dir.

O halde, a.b = .321

23= bulunur.

Do ru Seçenek D

19. log3(9.3x+3) = 3x + 1 ise

9.3x+3 = 33x+1 32.3x+3 = 33x+1

3x+5 = 33x+1

x + 5 = 3x + 1

x = 2 bulunur.

Do ru Seçenek E

20. f(x) = log2x olmak üzere,

(gof)(x) = x + 2 g(f(x)) = x + 2

g(log2x) = x + 2

g(x) = 2x + 2 olur.

(log2x ifadesinin tersi 2x oldu u için)

Do ru Seçenek D

21. loglog

logx

x94 27

3

33=

loglog

logx

x2 34 27

3

33=

2.log3x = logx

273

log3x2 = log

x27

3 x2 = x

27

x3 = 27

x = 3 bulunur.

Do ru Seçenek C

22. log102 = a ve log103 = b olmak üzere,

log1072 = log10(23.32)

= log1023 + log103

2

= 3.log102 + 2.log103

= 3.a + 2.b bulunur. Do ru Seçenek D

23. log2(2log3(3log4(x + 2))) = 1

2log3(3log4(x + 2)) = 21

log3(3log4(x + 2)) = 1

3log4(x + 2) = 31

log4(x + 2) = 1

x + 2 = 41

x = 2 bulunur.Do ru Seçenek E

24. log log log24

324

624

12

4 2 34+ +

= 3.log244 + 6.log24v2 + 12.log24 34

= log2443 + log24(v2)6 + log24( 34 )12

= log2443 + log242

3 + log2433

= log24(43.23.33)

= log24(4.2.3)3

= log24243

= 3.log2424

= 3 olarak bulunur.Do ru Seçenek B

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

151

25. log3(3x + 1) = y log3(3y + 1) = x

3y + 1 = 3x

3y = 3x – 1

y = 3

3 1–x

f –1(x) =

33 1–x

olur.

Do ru Seçenek D

26. log2(log3(5x + 6)) = 2 log3(5x + 6) = 22

log3(5x + 6) = 4

5x + 6 = 34

5x + 6 = 81

x = 15 bulunur.

Do ru Seçenek D

27. log49 + log2(a – 3) < 4

log23 + log2(a – 3) < 4

log23(a – 3) < log216 3a – 9 < 16

a < 325

Tan ml olabilmesi için a – 3 > 0 a > 3 olmal d r. O halde,

3 < a < 325 a {4, 5, 6, 7, 8} olup 5 tane

a tam say s vard r.Do ru seçenek C

28. f(x) = logax fonksiyonu ,31 1c m noktas ndan

geçti inden,

log131

a= a31= olup f(x) = log x

31 tir.

O halde, log logf f f f271

271

31

31

31

3= =cc c cdmm m m n

= f(3)

= log 3 1–31 = dir.

Do ru Seçenek B

29. log35 = a log53 = a1 d r. O halde,

log515 = log55 + log53

= 1 + a1

= a

a 1+ bulunur.

Do ru Seçenek B

30. log log6

16

1

2 3+ = log62 + log63

= log6(2.3)

= log66 = 1 bulunur.Do ru Seçenek B

31. 0 log2(x – 5) 2 log21 log2(x – 5) log24 1 x – 5 4 6 x 9

O halde, x in 4 tane tam say de eri vard r.Do ru Seçenek C

32. logab = 21 b = a 2

1

a = b2

logac = 3 c = a3 c = (b2)3 c = b6

log logc ab

b bb

b b

2

2

2

6=d fn p

= logb bb

7

2

= logbb–5 = –5 bulunur.

Do ru Seçenek E

Logaritma

ES

EN

YAY

INLA

RI

152

33. log9(x2 + 2x + 1) = t log

32(x + 1)2 = t

log3(x + 1) = t

x + 1 = 3t

x = 3t – 1 dir.Do ru Seçenek A

34. log23x + log4x2 = 2

log23x + log2x = 2

log2(3x.x) = 2 3x2 = 22

x2 = 34

x = 3

232 3

= tür.

Do ru Seçenek E

35. 2x = 51 x = log2 5

1 = –log25

3y = 14

y = log314

= –log34

x.y = log34. log25

= 2.log32.log25

= 2.log35 = log325 = lnln325 olur.

Do ru Seçenek D

PERMÜTASYON, KOMB NASYONB NOM, OLASILIK ve STAT ST K

ÜN TE 3. ÜN TE 3. ÜN TE 3. ÜN TE 3. ÜN TPermütasyon

1. Kazan m : E leme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini aç klar.

2. Kazan m : n elemanl bir kümenin r li permütasyonlar n belirleyerek n, r N ve n r olmak üzere, n elemanl bir kümenin r li permütasyonlar n n say s n n

P(n, r) = n(n – 1)(n – 2)…(n – r + 1) = ( ) !

!n r

n–

oldu unu gösterir.

3. Kazan m : Dönel (dairesel) permütasyon ile ilgili uygulamalar yapar.

4. Kazan m : Tekrarl permütasyon ile ilgili uygulamalar yapar.

Kombinasyon

1. Kazan m : n elemanl bir kümenin r li kombinasyonlar n belirleyerek n, r N ve n r olmak üzere, n elemanl bir kümenin r li kombinasyonlar n n say s n n

C(n, r) = !

( , )! ( ) !

!r

P n rr n r

n–

= oldu unu ve kombinasyonun özelliklerini gösterir.

Binom Aç l m

1. Kazan m : Binom aç l m n yapar.

Olas l k

1. Kazan m : Deney, ç kt , örneklem uzay, örneklem nokta, olay, kesin olay, imkâns z olay, ayr k olaylar kavramlar n aç klar.

2. Kazan m : Olas l k fonksiyonunu belirterek bir olay n olma olas l n hesaplar ve olas l k fonksiyo-nunun temel özelliklerini gösterir.

3. Kazan m : E olas l (olumlu) örneklem uzay aç klar ve bu uzayda verilen bir A olay için

P(A) = ( )( )

s Es A oldu unu belirtir.

4. Kazan m : Ko ullu olas l aç klar.

5. Kazan m : Ba ms z ve ba ml olaylar örneklerle aç klar, A ve B ba ms z olaylar için

P(A B) = P(A).P(B) oldu unu gösterir.

statistik

1. Kazan m : Verilen bir gerçek ya am durumuna uygun serpilme grafi i ve kutu grafi i çizer ve bu grafikler üzerinden ç kar mlarda bulunur.

2. Kazan m : Verilen bir gerçek ya am durumunu yans tabilecek en uygun grafik türünün hangisi oldu-una karar verir, grafi i olu turur ve verilen bir grafi i yorumlar.

3. Kazan m : Merkezi e ilim ve yay lma ölçüleri kullan larak gerçek ya am durumlar için hangi e ilim veya yay l m ölçüsünü kullanmas gerekti ine karar verir.

4. Kazan m : Verilen iki de i ken aras ndaki korelasyon kat say s n hesaplar ve yorumlar.

154

ÖRNEK 1

4 erkek ve 2 kad n aras ndan 1 erkek ve 1 kad n kaç

de i ik ekilde seçilebilir?

Çözüm

Erkeklerin say s s(E) = 4 ve

Kad nlar n say s s(K) = 2 ise

s(E x K) = s(E).s(K) = 4.2 = 8

olup 8 de i ik ekilde seçilebilir.

ÖRNEK 2

3 mektup 5 posta kutusuna kaç de i ik ekilde at -labilir?Çözüm

Birinci mektup 5 kutudan birine, kinci mektup 5 kutudan birine, Üçüncü mektup 5 kutudan birine at labilece in-

den 3 mektup 5 posta kutusuna 5.5.5 = 125 farkl ekilde at labilir.

PERMÜTASYON, KOMB NASYONB NOM, OLASALIK ve STAT ST K

Bire Bir E leme Yoluyla SaymaBir kümenin eleman say s n , sayma say lar kümesinin yani N+ = {1, 2, 3, .....} kümesinin elemanlar ile bire bir e leyerek bulmaya bire bir e leme yoluyla sayma denir.Örne in; bir s n ftaki ö renci say s n veya bir kitaptaki yapraklar n say s n bu yolla bulabiliriz.

Toplama Yoluyla SaymaA ve B ayr k ve sonlu iki küme olmak üzere, A ve B kümelerinin toplam kaç eleman oldu unu,s(A B) = s(A) + s(B) , ( A B = ) eklinde toplama yaparak buluruz.Örne in; bir s n fta 12 k z, 15 erkek ö renci varsa, toplam kaç ö renci oldu unu bulmak için ö rencilerin hepsini saymaya gerek yoktur. K saca, s n fta 12 +15 = 27 ö renci vard r diyebiliriz. Bu yolla yap lan sayma i lemine toplama yoluyla sayma denir.

Çarpma Yoluyla Saymaki er iki er ayr k ve her biri a elemanl b tane kümenin birle iminin eleman say s a.b dir. Birle im kümesinin eleman say s n bu ekilde bulma i lemine çarpma yoluyla sayma denir.Örne in; bir okulda 10 s n f ve her s n fta 30 ö renci varsa, bu okulda 10.30 = 300 ö renci vard r.

Sayman n Temel lkesiBir olaylar dizisinde birinci olay n1 de i ik biçimde, bunu izleyen ikinci olay n2 de i ik biçimde ve bu ekilde i leme devam edildi inde r. olay nr farkl biçimde olu uyorsa, olay n tamam n1.n2. ... nr çarp m kadar de i ik biçimde olu ur.

Örne in, 3 farkl gömle i, 2 farkl kravat olan bir ki i, bir gömlek ve bir kravat 3.2 = 6 farkl biçimde giyebilir.

g1

k1 k2

g2

k1 k2

g3

k1 k2

Bu durumu a aç diyagram ad verilen yandaki

yöntemle de bulabilirdik.

Gömlekler: g1, g2, g3 , Kravatlar: k1, k2, k3

olmak üzere biçiminde 6 farkl durum vard r.Burada, G = {g1, g2, g3}, K = {k1, k2} olmak üzere, 1 gömlek ve 1 kravattan olu an gömlek - kravat ikilisinin seçilece i kartezyen çarp m kümesi ise G x K = {(g1, k1), (g1, k2), (g2, k1), (g2, k2), (g3, k1), (g3, k2)} dir. G x K kümesi 3.2 = 6 tane ikiliden olu maktad r. Yani, 3 gömlek ve 2 kravat olan bir ki inin, bir gömlek ve bir

kravat 6 farkl biçimde giyebilece ini bu yolla da bulabiliriz.

SAYMA KURALLARI

Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik

ES

EN

YAY

INLA

RI

155

ÖRNEK 3

Bir kutuya en çok bir mektup atmak ko ulu ile 3 mek-tup 5 posta kutusuna kaç de i ik ekilde at labilir?

Çözüm

Birinci mektup 5 kutudan birine,

kinci mektup 4 kutudan birine,

Üçüncü mektup 3 kutudan birine

at labilece inden bir kutuya en çok bir mektup atmak ko ulu ile 3 mektup 5 posta kutusuna

5.4.3 = 60 de i ik ekilde at labilir.

ÖRNEK 4

Birbirinden farkl 3 matematik, 4 fizik ve 2 kimya kitab aras ndan 1 matematik, 1 fizik ve 1 kimya kitab kaç farkl ekilde seçilebilir?

Çözüm

s(M) = 3 , s(F) = 4 , s(K) = 2 ise

s(M x F x K) = s(M).s(F).s(K)

= 3.4.2 = 24 farkl ekilde seçilir.

ÖRNEK 5

5 ki ilik bir komisyondan bir ba kan, 1 ba kan yar-d mc s ve bir sekreter kaç farkl ekilde seçilebilir?

Çözüm

Ba kanl k için 5 ki i adayd r. Ba kan belli olduk-tan sonra geriye kalan 4 ki i ba kan yard mc l için adayd r. Ba kan yard mc s da belli olduktan sonra geriye kalan 3 ki i sekreterlik için adayd r.

O halde, 5 ki i içinden bir ba kan, 1 ba kan yard mc s ve 1 sekreter 5.4.3 = 60 farkl ekilde seçilebilir.

ÖRNEK 6

{ 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlar n kullanarak;

a. Üç basamakl kaç say yaz labilir?

b. Rakamlar farkl üç basamakl kaç say yaz labilir?

c. Üç basamakl kaç çift say yaz labilir?

d. Üç basamakl ve rakamlar farkl kaç tek say

yaz labilir?

Çözüm

a. Her basamakta, verilen 5 rakam da kullanabiliriz.

Çarpma kural na göre,

yüzler

5

onlar

5

birler

5

5.5.5 = 125 tanedir.

(Kutular n içine yaz lm say lar, o basamakta kullan labilecek rakam say s d r.)

b. yüzler

5

onlar

4

birler

3

Yüzler basama na verilen 5 rakam da seçe-biliriz. Yüzler basama na bir rakam seçildikten sonra geriye kalan 4 rakamdan birini onlar basa-ma na ve geri kalan 3 rakamdan birini de birler basama na seçeriz.

Çarpma kural na göre 5.4.3 = 60 tane say ya-z labilir.

c. yüzler

5

onlar

5

birler

2

{2, 4}

stenilen say n n çift say olabilmesi için birler basama 2 ve 4 rakamlar aras nda 2 de i ik ekilde seçilebilir. Rakamlar n farkl olma ko ulu

olmad ndan onlar ve yüzler basamaklar na ve-rilen 5 rakamdan biri seçilebilir.

Buna göre 5.5.2 = 50 tane say yaz labilir.

d. yüzler

4

onlar

3

birler

3

{1, 3, 5}

stenilen say n n tek say olabilmesi için birler basama 1, 3, 5 rakamlar aras ndan 3 de i ik ekilde seçilebilir. Bu rakamlardan biri, birler

basama na konaca ndan ve rakamlar n farkl olmas ko ulundan dolay , yüzler basama nda kalan 4 rakamdan biri, onlar basama nda ise kalan 3 rakamdan biri kullan labilir. Buna göre istenen ko ullarda 4.3.3 = 36 say yaz labilir.


ES

EN

YAY

INLA

RI

156

ÖRNEK 7

{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlar n kullanarak;


b. Rakamlar farkl üç basamakl kaç say yaz labilir?

c. Üç basamakl kaç çift say yaz labilir?

d. Üç basamakl ve rakamlar farkl kaç çift say

yaz labilir?

e. 5 ile bölünebilen üç basamakl kaç farkl say

yaz labilir?

Çözüm

a. yüzler

5

onlar

6

birler

6

{1, 2, 3, 4, 5}

Yüzler basama na s f r yaz lamayaca için bu-

raya {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlar ndan biri

yaz labilir. Ba ka bir ko ul olmad için birler ve

onlar basamaklar na verilen rakamlar n hepsi de

yaz labilir. Buna göre { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin

elemanlar ile üç basamakl 5.6.6 = 180 tane

say yaz labilir.

b. yüzler

5

onlar

5

birler

4

{1, 2, 3, 4, 5}

Yüzler basama na {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin ele-

manlar ndan biri yaz labilir. Rakamlar farkl ola-

ca için, yüzler basama belirlendikten sonra

kalan 5 rakam aras ndan biri onlar basama na

seçilir. Daha sonra kalan 4 rakam aras ndan biri

de birler basama na seçilir. Buna göre, üç basa-

makl ve rakamlar farkl 5.5.4 = 100 tane say

yaz labilir.

c. Say n n çift olabilmesi için birler basama na, ve-

rilen kümedeki 0, 2, 4 rakamlar ndan biri gelme-

lidir. S f r yüzler basama na gelemeyece inden

ve rakamlar n farkl olma ko ulu olmad ndan,

yüzler

5

onlar

6

birler

3

{1, 2, 3, 4, 5} {0, 2, 4}

5.6.3 = 90 tane say yaz labilir.

d. Burada, rakamlar farkl olma ko ulu oldu undan

ve s f r rakam hem birler hem de yüzler basama-

n ilgilendirdi inden iki ayr inceleme yapmal y z.

S f r birler basama nda ise,

yüzler

5

onlar

4

birler

1

{1, 2, 3, 4, 5} {0}

5.4.1 = 20 tanesi s f r ile biter.

S f r birler basama nda de il ise,

yüzler

4

onlar

4

birler

2

{2, 4}

Birler basama nda 2 veya 4 ten biri seçilir.

Yüzler basama na s f r yaz lamayaca ndan

geriye kalan 4 rakamdan biri yüzler basama na

seçilir. Bize verilen 6 rakamdan 2 si birler ve

yüzler basamaklar nda kullan ld ndan onlar ba-

sama na yaz labilecek 4 rakam kal r.

Buna göre son rakam s f r ile bitmeyen

4.4.2 = 32 tane üç basamakl ve rakamlar farkl

çift say vard r. O halde, üç basamakl rakamlar

farkl 20 + 32 = 52 tane çift say yaz labilir.

e. yüzler

5

onlar

6

birler

2

{0, 5}{1, 2, 3, 4, 5}

Be ile bölünebilmesi için birler basama na

0 veya 5 ten biri seçilmelidir. Yüzler basama na

s f r yaz lamayaca ndan ve rakamlar n farkl

olma ko ulu bulunmad ndan verilen rakam-

larla, 5 ile bölünebilen ve üç basamakl olan



ES

EN

YAY

INLA

RI

157

ÖRNEK 8

{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanlar ile 4000 den büyük, rakamlar farkl dört basamakl kaç farkl say yaz labilir?

Çözüm

yüzler

6

onlar

5

birler

4

{4, 5, 6}

binler

3

Say n n 4000 den büyük olmas için 4, 5, 6 ra-kamlar ndan birini binler basama na seçmeliyiz. Rakamlar n farkl olmas ko ulundan dolay geri-ye kalan 6 rakamdan birini yüzler basama na, geriye kalan 5 rakamdan birini onlar basama na ve geriye kalan 4 rakamdan birini de birler basa-ma na seçebiliriz. Buna göre istenen ko ullar sa layan 3.6.5.4 = 360 tane say yaz labilir.

ÖRNEK 9

{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanlar ile 300 den büyük 500 den küçük, rakamlar farkl kaç çift say yaz labilir?

Çözüm

Rakamlar n farkl olma ko ulu oldu undan ve 4 rakam n n hem birler hem de yüzler basama n ilgilendirmesinden dolay iki ayr ekilde incele-meliyiz.

Say 4 ile ba lamazsa;

yüzler

1

onlar

5

birler

4

{0, 2, 4, 6}{3}


Say 4 ile ba larsa;

yüzler

1

onlar

5

birler

3

{0, 2, 6}{4}

1.5.3 = 15 tane say yaz labilir. O halde, istenen

ko ullara uygun 20 + 15 = 35 tane say yaz labilir.

ÖRNEK 10

, S, T, A, N, B, U, L

harflerini bir kez kullanmak art yla 4 harfli anlaml ya

da anlams z kelimeler yaz lacakt r.

Bu kelimelerin kaç tanesinde A harfi vard r?

Çözüm

Yaz labilecek 4 harfli kelimelerin hepsinden, için-

de A harfi olmayanlar n ç kar rsak geriye kalan-

lar n hepsinde de A harfi vard r.

, S, T, A, N, B, U, L harflerini bir kez kullanarak 4

harfli anlaml ya da anlams z 8.7.6.5 = 1680 tane

kelime yaz labilir. Bunlar n içinde A harfi olanlar

da olmayanlar da vard r. çinde A harfi olmayan-

lar, yani , S, T, N, B, U, L harfleri kullan larak

yaz labilen 7.6.5.4 = 840 tanedir. Buna göre

1680 – 840 = 840 tanesinde A harfi vard r.

ÖRNEK 11

5 ki inin kat ld bir yar ta ilk üç derece kaç farkl

biçimde olu abilir?

Çözüm

Çarpma kural na göre, birinci olacak ki i 5 ki i

aras ndan 5 farkl ekilde belirlenir. Kalan 4 ki i

aras ndan ikinci olacak ki i 4 farkl ekilde ve

kalan 3 ki i aras ndan da üçüncü olacak ki i 3

farkl ekilde belirlenir. Buna göre, ilk üç derece

5.4.3 = 60 de i ik ekilde olu abilir.

ÖRNEK 12

3 farkl oyuncak 6 çocu a kaç de i ik biçimde da -

t labilir?

Çözüm

Bir çocu a birden fazla oyuncak verememe ko-

ulu olmad ndan; birinci oyunca 6 çocu a,

ikinci oyunca yine 6 çocu a ve üçüncü oyunca-

da yine 6 çocu a da verebiliriz.

O halde 6.6.6 = 216 farkl biçimde da t labilir.

Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik

ES

EN

YAY

INLA

RI

158

ÖRNEK 13

3 farklı oyuncak 6 çocuğa, bir çocuğa birden fazla

oyuncak vermemek koşulu ile kaç değişik biçimde

dağıtılabilir?

Çözüm

Birinci oyuncak 6 çocuğa 6 farklı şekilde dağı-

tılabilir. İkinci oyuncak diğer 5 çocuğa 5 farklı

şekilde dağıtılabilir. Üçüncü oyuncak ise kalan 4

çocuğa 4 farklı şekilde dağıtılabilir. Buna göre, 3

farklı oyuncak 6 çocuğa, bir çocuğa birden fazla

oyuncak vermemek koşulu ile 6.5.4 = 120 farklı

şekilde dağıtılabilir.

ÖRNEK 14

{ 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanları ile en az iki ra-

kamı birbirinin aynı olan, üç basamaklı kaç farklı sayı

yazılabilir?

Çözüm

Üç basamaklı yazılabilen tüm sayılardan, rakam-

ları farklı olanlarını çıkarırsak geriye en az iki

rakamı aynı olanlar kalır.

yüzler

5

onlar

5

birler

5

5.5.5 = 125 tane üç basamaklı sayının

yüzler

5

onlar

4

birler

3

5.4.3 = 60 tanesinin rakamları farklıdır. O halde

125 – 60 = 65 tanesinin en az iki rakamı birbirinin

aynıdır.

ÖRNEK 15

{ 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak

yazılan, rakamları birbirinden farklı olan tüm beş ba-

samaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor.

Buna göre, 50. sırada hangi sayı vardır?

Çözüm

1 ile bafllayan 1 4 3

{1}

2 1

1.4.3.2.1 = 24 tane sayı vardır. Aynı şekilde 2 ile

başlayan da 24 tane sayı vardır. 3 ile başlayan

en küçük sayı baştan 49. sıradadır. Yani, 31245

baştan 49. sayıdır. Bundan sonra yazılabilen

31254 ise baştan 50. sırada bulunan sayıdır.

ÖRNEK 16

{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak

yazılan, rakamları birbirinden farklı olan tüm dört

basamaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor.

Buna göre, 3214 sayısı kaçıncı sırada yer alır?

Çözüm 1 ile bafllayan 1 5 4

{1}

3

1.5.4.3 = 60 tane sayı vardır.

2 ile başlayan da 60 tane sayı vardır.

3 ile başlayanlar ise;

→ 1.2.4.3 = 24 tane1 2 4

{3}

3

{0, 1}

→ 1.1.1.3 = 3 tane1 1 1

{3}

3

{2} {0}

Şimdiye kadar bulunduğumuz en büyük sayı

3205 olup 60 + 60 + 24 + 3 = 147. sıradadır.

Bundan sonra yazılabilen 3210 sayısı 148. sıra-

dadır. 3214 sayısı ise 149. sıradadır.

ÖRNEK 17

A B C

Şekildeki çizgiler A, B ve C kentleri arasındaki yolları

göstermektedir. Buna göre, A kentinden hareket edip

C kentine gidecek olan bir kimse kaç değişik yol iz-

leyebilir?


ES

EN

YAY

INLA

RI

159

Çözüm

A kentinden hareket eden bir kimse, B kentine u rayarak C kentine varabilece i gibi B kentine u ramadan da C kentine varabilir.

ABC güzergâh nda 3.2 = 6 ve

AC güzergâh nda 2 de i ik yol oldu undan top-lam 6 + 2 = 8 de i ik yol izleyebilir.

ÖRNEK 18

Bir toplant da herkes birbiri ile tokala m t r. Toplam 45 tokala ma oldu una göre, toplant da kaç ki i vard r?

Çözüm

Toplant da n ki i olsun. Herkes kendisi d ndaki n – 1 ki i ile tokala acakt r. n.(n – 1) kez tokala -ma oldu u san labilir. Fakat gerçekteki tokala -ma say s bunun yar s kadard r. Çünkü iki ki i için de ayr ayr say lmaz. ki ki i tokala t nda ortada bir kez tokala ma söz konusudur.

O halde, . ( )n n2

145

–= n(n – 1) = 90

n = 10 olur.

FAKTÖR YEL (ÇARPANSAL)

n N+ olmak üzere, 1 den n ye kadar olan do al say lar n çarp m na n faktöriyel (çarpansal) denir ve n! ile gösterilir. Buna göre,

n! = 1.2.3. ......... (n – 1).n olur.

1! = 1

2! = 1.2 = 2

3! = 1.2.3 = 6

4! = 1.2.3.4 = 24

5! = 1.2.3.4.5 = 120

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n! = 1.2.3..............n

n! = (n – 1)!.n

n! = (n – 2)!.(n – 1).n

0! = 1 dir.

ÖRNEK 19

15! = 14!.15 = 13!.14.15

= 12!.13.14.15 olur.

ÖRNEK 20

A a daki ifadeleri sadele tiriniz.

a. !!

810 b.

!! !10

8 9+

c. ( ) !( ) !nn

11

–+ d.

! !! !

5 45 6

–+ e.

!( !) !73

Çözüm

a. !!

!!. . .

810

88 9 10 9 10 90= = =

b. !

! !!

! !.!. .

!. ( ).10

8 910

8 8 98 9 10

8 1 99 1010

91+ = + =

+= =

c. ( ) !( ) !

( ) !( ) !. . ( )

. ( )nn

nn n n

n n11

11 1

1– –

–+=

+= +

d. ! !! !

!. !! !.

!. ( )!. ( )

!.!.

5 45 6

4 5 45 5 6

4 5 15 1 6

4 45 7

435

– – –+ = + =

+= =

e. !

( !) !!

( . . ) !!!

!.! .olur

73

71 2 3

76

6 76

71= = = =

ÖRNEK 21

0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ………+19!

say s n n birler basama ndaki rakam kaçt r?

Çözüm

4! den sonraki say lar n birler basama ndaki

rakam s f rd r. Dolay s ile verilen toplam n birler

basama , 0! + 1! + 2! + 3! + 4! toplam n n birler

basama na e ittir.

0! + 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 = 34

olup verilen toplam n birler basama ndaki rakam

da 4 tür.


ES

EN

YAY

INLA

RI

160

ÖRNEK 22

20! say s 19! say s ndan kaç fazlad r?

Çözüm

20! – 19! = 19!.20 – 19! = 19!.(20 – 1)

= 19!.19 olur.

ÖRNEK 23

85! say s n n sondan kaç basama 0 (s f r) d r?

Çözüm

Faktöryelli say lar n sonundaki s f rlar n say s 10

çarpanlar n n say s kadard r. 10 = 2.5 oldu un-

dan az say da olan 5 çarpanlar n n say s kadar

s f r vard r.

85 5

175

35

35

0

15

2

5

3

oldu undan 17 + 3 = 20 tane 5 yani, 20 tane

10 çarpan vard r. O halde, 85! say s n n son-

dan 20 basama s f rd r.

ÖRNEK 24

23! + 24! toplam n n sondan kaç basama s f rd r?

Çözüm

Verilen toplam önce çarp m ekline dönü türüp

içindeki 5 çarpanlar n n say s n bulmal y z.

23! + 24! = 23! + 23!.24 = 23!.(1 + 24)

= 23!.25 = 23!.52

23 5

420

3

23! de 4 tane 5 çarpan var.

2 tane de 25 çarpan nda 5 çarpan var. O halde,

4 + 2 = 6 tane 5 çarpan olup 23! + 24! toplam n n

sondan 6 basama s f rd r.

ÖRNEK 25

78! – 1 say s n n sonunda kaç tane 9 rakam vard r?

Çözüm

78! say s n n sonundaki s f rlar n say s kadar

78! – 1 say s n n sonunda 9 rakam vard r.

78 5

155

28

25

3

15

0

5

3

15 + 3 = 18 oldu undan, 78! – 1 say s n n so-

nunda 18 tane 9 rakam vard r.

ÖRNEK 26

A ve n do al say lar olmak üzere, 26! = 6n.A e itli-

ini sa layan n de eri en çok kaç olabilir?

Çözüm

6 = 2.3 oldu undan az say da olan 3 çarpanla-

r n n say s kadar 6 çarpan vard r.

26 3

824

2 6

2

3

2

8 + 2 = 10 tane 3 çarpan yani, 10 tane 6 çarpa-

n vard r. O halde, 26! = 6n.A e itli ini sa layan

n do al say de eri en çok 10 olabilir.

ÖRNEK 27

x ve y birer do al say d r.

x! = 6. y! ise y kaç farkl de er alabilir?

Çözüm

x = 6 6! = 6.y! y = 5 olur.

x! = 6.y! x! = 1.2.3.y!

x = 3 iken y = 0 veya y = 1 olabilir.

O halde, y üç farkl de er alabilir.

161

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. 2 mektup 4 posta kutusuna kaç farkl ekilde at labilir?

2. Bir kutuya en çok 1 mektup atmak ko uluyla 2 mektup 4 posta kutusuna kaç de i ik biçimde at labilir?

3. 20 ki ilik bir s n ftan bir ba kan, bir ba kan yar-d mc s kaç farkl ekilde seçilebilir?

4. 10 ki ilik bir arkada grubunda herkes birbiri ile tokala m t r. Kaç tokala ma olmu tur?

5. Be soruluk bir test s nav nda her soru için 5 seçenek vard r. Bu s nav için kaç farkl cevap anahtar hesaplanabilir?

6. 2 ki i 6 farkl ehire kaç farkl ekilde gidebilir?

7. Herkesin birbirine bir foto raf verdi i bir topluluk-ta da t lan foto raf say s 56 oldu una göre bu toplulukta kaç ki i vard r?

8. A kentinden B kentine 3 farkl yol, B kentinden C kentine 4 farkl yol vard r. B ye u ramak ko uluy-la A dan C ye

a. Kaç türlü gidilebilir?

b. Kaç türlü gidilip gelinebilir?

c. Giderken kullan lan yolu dönerken kullanma-mak ko uluyla kaç türlü gidilip gelinebilir?

9. Birbirinden farkl 4 Geometri, 5 Matematik ve x Türkçe kitab aras ndan, 1 Geometri, 1 Matematik ve 1 Türkçe kitab 60 farkl ekilde seçilebildi ine göre x kaçt r?

ALIŞTIRMALAR – 1

1. 16 2. 12 3. 380 4. 45 5. 55 6. 36 7. 8 8. a. 12 , b. 144, c. 72 9. 3


162

ES

EN

YAY

INLA

RI

10. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere A kümesinin elemanlar n kullanmak ko uluyla a a dakiler-den do ru olanlar için bo kutulara “D” yanl olanlar için “Y” yaz n z.

Üç basamakl 216 say yaz labilir.

Rakamlar farkl üç basamakl 120 say

yaz labilir.

Rakamlar farkl , üç basamakl 60 çift say yaz labilir.

Rakamlar farkl ve 400 den büyük 60 say yaz labilir.

En az iki rakam ayn olan 96 say yaz la-bilir.

Üç rakam ayn olan 6 say yaz labilir.

11. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlar n kullanarak


b. Rakamlar farkl üç basamakl kaç say yaz -labilir?

c. Rakamlar farkl 5 ile bölünebilen üç basa-makl kaç say yaz labilir?

d. Rakamlar farkl üç basamakl 300 den büyük kaç say yaz labilir?

e. Rakamlar farkl 500 den küçük 200 den büyük kaç say yaz labilir?

12. A a dakilerden do ru olanlar için bo kutulara “D” yanl olanlar için “Y” yaz n z.

G, , Z, E, M harflerini bir kez kullanarak

4 harfli, 120 tane sözcük yaz labilir?

A, Y, B, E, N, , Z harflerini bir kez kulla-narak 5 harfli 840 tane sözcük yaz labilir?

Ü, Ç, G, E, N harflerini bir kez kullanarak yaz labilecek 4 harfli sözcüklerin 98 tane-sinde E harfi vard r?

13. A a daki i lemlerin her birinin sonucunu bulu-nuz.

a. !!

1012

b. !

! !8

6 7+

c. ( ) !( ) !nn

13

++

d. ! !! !

5 64 5

++

10. D, D, D, Y, Y, Y 11. a. 294 , b. 180 , c. 55 , d. 120 , e. 90 12. D, Y, Y 13. a. 132 , b. 71 , c. n2 + 5n + 6 , d.

356


163

ES

EN

YAY

INLA

RI

14. A a dakilerden do ru olanlar için bo kutulara “D” yanl olanlar için “Y” yaz n z.

0! = 0 d r.

1! = 1 dir.

10! say s 8! say s n n 90 kat d r.

(n + 2)! = (n – 2)!.(n – 1)n(n + 1) dir.

6!.7! = 10! dir.

!

( ) !nn2

2= dir.

15. 2! + 4! + 6! + ..... + 80! say s n n birler basama-ndaki rakam kaçt r?

16. 2! + 3! + 4! + ..... + 40! say s n n 40 ile bölümün-den kalan kaçt r?

17. 72! say s n n sondan kaç basama s f rd r?

18. 23! + 24! + 25! say s n n sondan kaç basama s f rd r?

19. 60! – 1 say s n n sonunda kaç tane 9 rakam vard r?

20. A a daki e itliklerin herbirinde x ve y do al say lard r. Buna göre bu e itlikleri sa layan en büyük x de erlerini bulunuz.

a. 32! = 3x.y

b. 40! = 6x.y

c. 28! = 4x.y

d. 46! = 12x.y

21. 10! say s 8! say s ndan kaç fazlad r?

14. Y, D, D, Y, D, Y 15. 6 16. 32 17. 16 18. 8 19. 14 20. a. 14 , b. 18 , c. 12 , d. 21 21. 8!.89


ES

EN

YAY

INLA

RI

164

PERMÜTASYON (SIRALAMA)

A sonlu bir küme olmak üzere, A dan A ya tan mlanan

bire bir ve örten her fonksiyona, A n n bir permütas-

yon fonksiyonu ya da k saca permütasyonu denir.

A = { 1, 2, 3 } olsun.

1

2

3

1

2

3

A Af

Yukar daki ema ile tan mlanan bire bir ve örten f

fonksiyonu bir permütasyon fonksiyonudur.

f fonksiyonunu,

f = { (1, 2) , (2, 1) , (3, 3) } veya f 12

21

33

= c m biçiminde gösterebiliriz.

ÖRNEK 28

A = { 1, 2, 3 } kümesinde tan mlanan tüm permütas-

yon fonksiyonlar n gösteriniz.

Çözüm

f11

22

331 = c m f

11

23

322 = c m

f12

21

333 = c m f

12

23

314 = c m

f13

21

325 = c m f

13

22

316 = c m

olur. Bu permütasyonlar ,

(1 2 3), (1 3 2), (2 1 3), (2 3 1), (3 1 2), (3 2 1)

eklinde de gösterebiliriz.

Burada da görüldü ü gibi A n n her bir permü-

tasyonu A kümesinin elemanlar n n farkl birer

s ralan d r.

Permütasyonlar n Say s

n, r N+ ve r n olmak üzere, n elemanl bir küme-

nin birbirinden farkl r tane eleman ndan olu mu s -

ral r lilerin her birine n nin r li permütasyonu denir.

n elemanl bir kümenin r li permütasyonlar n n say s ,

( , )( ) !

!P n rn r

n–

= olur.

r = n ise n elemanl bir kümenin permütasyonlar n n

say s , P(n, n) = n! olacakt r.

ÖRNEK 29

A = { a, b, c } kümesinin ikili permütasyonlar n n sa-

y s n bulunuz.

Çözüm

s(A) = 3 olup P(3, 2) = ( ) !

!3 2

3–

= !!

13 = 6 olur.

Gerçekten, A kümesinin 2 li permütasyonlar

(ab), (ac), (ba), (bc), (ca), (cb) olup 6 tanedir.

ÖRNEK 30

Bir A kümesinin üçlü permütasyonlar n n say s 60

ise s(A) kaçt r?

Çözüm

s(A) = n olsun

P(n, 3) = 60 ( ) !

!n

n3

60–

=

n.(n – 1).(n – 2) = 60

n = 5 tir.

ÖRNEK 31

P(n, 1) = P(8, 2) ise n kaçt r?

Çözüm

P(n, 1) = P(8, 2) ( ) !

!( ) !

!n

n1 8 2

8– –

=

( ) !

( ) !.!

!. .n

n n1

16

6 7 8–

–=

n = 7.8 n = 56 bulunur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

165

ÖRNEK 32

A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 3 lü permütasyonlar -

n n kaç tanesinde a bulunur?

Çözüm

s(A) = 6 olup 3 lü permütasyonlar n n say s

P(6, 3) = ( ) !

!!

!. . .6 3

63

3 4 5 6 120–

= = dir.

{ b, c, d, e, f } kümesinin 3 lü permütasyonlar n n

say s ,

( , )( ) !

! . .P 5 35 3

5 3 4 5 60–

= = = d r.

A kümesinin 3 lü permütasyonlar n n say s ndan

a n n bulunmad 3 lü permütasyonlar n say s n

ç kar rsak a n n bulundu u 3 lü permütasyonlar n

say s n buluruz. Yani, A kümesinin 3 lü permü-

tasyonlar n n

P(6, 3) – P(5, 3) = 120 – 60 = 60 tanesinde a

bulunur.

ÖRNEK 33

5 ki i, 3 ki ilik bir banka kaç farkl ekilde oturabilir?

Çözüm I. Yol

5 eleman n 3 lü permütasyonlar n say s olup

( , )( ) !

!!!P 5 3

5 35

25 60

–= = = bulunur.

II. Yol

Çarpma kural na göre, birinci yere 5 ki iden biri,

ikinci yere kalan 4 ki iden biri ve üçüncü yere de

kalan 3 ki iden biri oturabilece inden,

5.4.3 = 60 olarak bulunur.

ÖRNEK 34

5 ki i, 5 ki ilik banka kaç de i ik ekilde oturabilir?

Çözüm

P(5, 5) = 5! = 120 olarak bulunur.

ÖRNEK 35

Birbirinden farkl 3 matematik, 2 fizik ve 1 kimya kitab

bir rafa kaç farkl ekilde s ralanabilir?

Çözüm

Toplam 3 + 2 + 1 = 6 kitap olup hiç bir ko ul da

bulunmad ndan,

P(6, 6) = 6! = 720 farkl ekilde s ralanabilir.

ÖRNEK 36

Birbirinden farkl 3 matematik ve 4 tarih kitab bir

rafa, matematikler bir arada olmak ko ulu ile kaç türlü

s ralanabilir?

Çözüm

M1 M2 M3 T1 T2 T3 T4

Matematik kitaplar bir arada bulunaca ndan

bunlar bir kitap gibi dü ünelim. 4 tarih kitab ile

birlikte bunlar 5 kitap olup 5! farkl ekilde dizile-

bilirler. 3 matematik kitab da kendi aralar nda 3!

farkl ekilde dizilece inden tüm farkl s ralamala-

r n say s 5!.3! dir.

ÖRNEK 37

5 farkl matematik, 4 farkl fizik ve 3 farkl kimya kitab

bir rafa ayn tür kitaplar bir arada bulunmak ko uluyla

kaç de i ik biçimde s ralanabilir?

Çözüm

M1 M2 M3 M4 M5 F1 F2 F3 F4 K1 K2 K3

Ayn tür kitaplar birer kitap gibi dü ünülürse bun-

lar 3! biçimde s ralanabilir. Matematikler kendi

aralar nda 5!, fizikler kendi aralar nda 4! ve kim-

yalar kendi aralar nda 3! farkl ekilde s ralanabi-

lece inden, tüm s ralamalar n say s

3!.5!.4!.3! olur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

166

ÖRNEK 38

Ay e ve Fatma’n n da aralar nda bulundu u 6 ki i,

Ay e ile Fatma art arda gelmemek art yla bir kuy-

rukta kaç farkl ekilde dizilebilirler?

Çözüm

Tüm durumlardan, art arda gelmeleri durumunu

ç karmal y z.

Toplam 6 ki i oldu udan 6! farkl ekilde dizilirler.

Ay e ve Fatma’y bir ki i kabul edersek di er

4 ki i ile birlikte 5! farkl ekilde dizilirler. Fakat

Ay e ile Fatma’n n kendi aralar ndaki de i imi

de dikkate al rsak 5!.2! olur. Yani Ay e ile

Fatma’n n art arda oldu u 5!.2! farkl s ralama

vard r. Ay e ile Fatma’n n art arda olmad ,

6! – 5!.2! = 720 – 120.2 = 480

farkl s ralama vard r.

ÖRNEK 39

6 k z ve 3 erkek ö renci, erkeklerden herhangi ikisi

yan yana gelmemek art ile bir s rada kaç farkl

ekilde dizilerek foto raf çektirebilirler?

Çözüm

–– K1 –– K2 –– K3 –– K4 –– K5 –– K6 ––

Erkeklerin herhangi ikisi yan yana gelemeyece-

inden öncelikle k zlar n dizili lerini ele alal m.

K z ö renciler kendi aralar nda 6! de i ik ekilde

s ralanabilirler. K z ö renciler s raland ktan sonra

yukar daki ekilde de görüldü ü gibi, 3 erkek için

7 uygun bo yer vard r.

Birinci erkek için 7 yer, ikinci erkek için 6 yer ve

üçüncü erkek için 5 yer oldu undan sayman n

temel ilkesine göre erkek ö renciler 7.6.5 farkl

ekilde dizilebilirler.

O halde, erkek ö rencilerden herhangi ikisi yan

yana gelmemek art ile 6!.7.6.5 = 6!.210 farkl

ekilde dizilerek foto raf çektirebilirler.

ÖRNEK 40

4 erkek ve 3 bayan, bir erkek – bir bayan düzeninde yan yana kaç farkl ekilde s ralanabilirler?

Çözüm

E B E B E B E düzeninde olmal lar.

Buna göre, erkekler kendi aralar nda 4! ve k zlar kendi aralar nda 3! farkl ekilde s ralanabilirler. O halde, tüm farkl s ralamalar n say s

4!.3! = 24.6 = 144 olur.

TEKRARLI PERMÜTASYON

n elemanl bir kümenin;

n1 tanesi ayn tür, n2 tanesi ayn tür, .........., nr tanesi ayn tür ve n1 + n2 + ......... + nr = n ise bu n tane

eleman n permütasyonlar n n say s

P(n; n1, n2, ..., nr) = !. !…… !

!n n n

nr1 2

kadard r.

ÖRNEK 41

Özde 2 sar ve 3 k rm z bilye bir s rada kaç farkl

ekilde dizilebilir?

Çözüm

2 + 3 = 5 olup, P(5; 2, 3) = !. !!

2 35 10= dur.

Burada, ayn türden olan elemanlar n kendi ara-

lar ndaki yer de i tirmelerinin farkl l k yaratma-

d na dikkat ediniz. Örne in, 2 sar ve 3 k rm z

bilyeyi KSSKK eklindeki s ralamayla, sar bilye-

lerin yerlerini de i tirerek yap lan s ralama ayn

eydir.

ÖRNEK 42

333221 say s n n rakamlar n n yerleri de i tirilerek

alt basamakl kaç farkl say yaz labilir?

Çözüm

Üç tane 3, iki tane 2 ve bir tane 1 rakam oldu-

undan; P(6; 3, 2, 1) = !. !. !

!3 2 1

6 60= bulunur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

167

ÖRNEK 43

ANKARA sözcüğünün harflerinin yerleri değiştirilerek

anlamlı ya da anlamsız 6 harfli kaç farklı sözcük ya-

zılabilir?

Çözüm

3 tane A, 1 tane N, 1 tane K ve 1 tane R harfi

olduğundan;

P(6; 3, 1, 1, 1) = !. !. !. !

!3 1 1 1

6 120= bulunur.

ÖRNEK 44

MATEMATİK sözcüğünün harflerinin yerleri değiştiri-

lerek anlamlı ya da anlamsız, 9 harfli ve M ile başla-

yıp M ile biten kaç farklı sözcük yazılabilir?

Çözüm

M M

A, A, T, T, E, ‹, K

M leri başa ve sona koyduktan sonra geriye

kalan harfler ortaya sıralanacaktır. Bu 7 harfin

farklı sıralanışlarının sayısı ise,

P(7; 2, 2,1, 1, 1) = !. !. !. !. !

!2 2 1 1 1

7 1260= olur.

ÖRNEK 45

4442200 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek

7 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?

Çözüm

Verilen 7 rakamın yerleri değiştirilerek

!. !. !

!3 2 2

7 210= farklı sıralama elde edilir. Fakat,

bu 7 rakamdan 2 tanesi 0 olduğundan elde edi-

len 210 farklı sıralamanın 72 si 0 ile başlar. Yani

7 basamaklı sayı değildir. Geriye kalan 75 si 7

basamaklı sayı olup 210.75 = 150 tanedir.

ÖRNEK 46

KELEBEK kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek

yazılabilen anlamlı ya da anlamsız 7 harfli kelimelerin

kaç tanesinde E harfini K harfi takip eder?

Çözüm

Bizden istenen EKLEBEK, ELEKBEK, ......gibi

sıralamaların sayısıdır.

E harfini K harfi takip edecekse bu iki harfi bir harf

biçiminde düşünmeliyiz.

Buna göre, EK, EK, L, E, B harflerinin farklı sıra-

lamalarının sayısı

P(5; 2, 1, 1, 1) = !. !. !. !

!2 1 1 1

5 60= bulunur.

ÖRNEK 47

A

B

Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokak-

larını göstermektedir. A dan hareket edip B noktasına

en kısa yoldan gidecek olan bir kimse kaç değişik yol

izleyebilir?

Çözüm

A dan B ye en kısa yoldan gidecek olan bir kişi 3

sokak aşağı (a) ve 4 sokak sağa (s) gitmelidir.

aaassss, aassass, ...... gibi.

Buna göre,

P(7; 3, 4) = !. !!

3 47 35=

değişik yol izleyebilir.


ES

EN

YAY

INLA

RI

168

ÖRNEK 48

333001 say s n n rakamlar n n yerleri de i tirilerek 1

ile ba layan 6 basamakl kaç farkl say yaz labilir?

Çözüm

1 rakam n en ba a yaz p geriye kalan 3, 3, 3, 0, 0

rakamlar n s ralayaca z. 133300, 130303, ....

gibi. Bu s ralamalar n n say s ,

P(5; 3, 2) = !. !!

3 25 10= dur.

ÖRNEK 49

1103334 say s n n rakamlar ile 7 basamakl kaç fark-

l çift do al say yaz labilir?

Çözüm

Birler basama 0 ise,

0

113334 rakamlar n n farkl s ralamalar n n say s

P(6; 2, 3, 1) = !. !. !

!2 3 1

6 60= d r.

Birler basama 4 ise,

4

110333 rakamlar n n farkl s ralamalar n n say s

P(6; 2, 3, 1) = !. !. !

!2 3 1

6 60= olur.

Fakat, bu 6 rakamdan bir tanesi 0 oldu undan

elde edilen say lar n 61 s 7 basamakl say de-

ildir.

6061 10· = ise geriye kalan 60 – 10 = 50 tanesi-

nin birler basama 4 tür ve 7 basamakl d r.

O halde, istenen ko ullar sa layan

60 + 50 = 110 tane say yaz labilir.

DÖNEL (DA RESEL) PERMÜTASYON

Sonlu bir kümenin elemanlar n n bir daire üzerinde

birbirlerine göre farkl dizili lerinin her birine bu ele-

manlar n bir dönel (dairesel) permütasyonu denir.

Sonlu n eleman n farkl dairesel permütasyonlar n n

say s (n – 1)! tanedir.

ÖRNEK 50

Ahmet, Bar ve Ceylan’ n yuvarlak bir masa etraf n-

da kaç de i ik ekilde oturabileceklerini bulunuz.

Çözüm

Bu üç ki iyi A, B, C olarak al rsak;

C

B

A

– I –

B

C

A

– II –

biçiminde iki farkl s ralama vard r.

B

A

C

A

C

B

biçimindeki s ralamalar I. s ralama ile ayn d r.

C

A

B

A

B

C

biçimindeki s ralamalar ise II. s ralama ile ayn d r.

ÖRNEK 51

2 k z ve 3 erkek, yuvarlak bir masa etraf nda kaç de-

i ik ekilde oturabilirler?

Çözüm

2 + 3 = 5 oldu undan, 5 ki inin dönel permütas-

yonlar n n say s (5 – 1)! = 4! = 24 tür.


ES

EN

YAY

INLA

RI

169

ÖRNEK 52

3 k z ve 4 erkek, yuvarlak bir masa etraf nda, k zlar

yanyana olmak ko ulu ile kaç farkl ekilde oturabilir?

Çözüm

K1 K2 K3 E1 E2 E3 E4

K zlar bir arada olaca ndan, 3 k z bir eleman

gibi dü ünülürse, 4 erkekle beraber 5 eleman

olu ur. Bunlar n dönel permütasyonlar n n say s

(5 – 1)! = 4! dir. 3 k z kendi aralar nda 3! kadar

yer de i tirece inden, çarpma kural na göre

yan t 4!.3! = 24.6 = 144 olur.

ÖRNEK 53

3 k z ve 4 erkek, yuvarlak bir masa etraf nda, k zlar

yanyana olmamak ko ulu ile kaç farkl ekilde otu-

rabilir?

Çözüm

Burada istenen k zlar n yanyana olmamalar

oldu undan, tüm durumlardan k zlar n yan yana

olmalar durumunu ç karmal y z.

3 + 4 = 7 oldu undan, 7 ki inin dönel permütas-

yonlar n n say s , (7 – 1)! = 6! = 720 dir.

K zlar n yanyana olduklar durumu yukar daki

örnekte 4!.3! = 144 olarak bulmu tuk.

O halde, 720 – 144 = 576 farkl ekilde k zlar

yanyana olmamak ko ulu ile yuvarlak bir masa

etraf nda oturabilirler.

ÖRNEK 54

4 ö retmen, 3 mühendis ve 2 doktor yuvarlak bir

masa etraf nda oturacaklard r. Ayn meslekten olan-

lar birbirinden ayr lmamak ko ulu ile kaç farkl ekilde

oturabilirler?

Çözüm

Ö1 Ö2 Ö3 Ö4 M1 M2 M3

D1 D2

Üç ayr meslek grubu oldu undan, 3 ki i yuvarlak

masa etraf na 2! farkl ekilde oturabilir. Ayr ca

ö retmenler kendi aralar nda 4!, mühendisler

kendi aralar nda 3! ve doktorlar kendi aralar nda

2! farkl ekilde s ralanabilirler. Çarpma kural na

göre, istenen durum say s ,

2!.4!.3!.2! = 576 olur.

ÖRNEK 55

4 k z ve 4 erkek ö renci yuvarlak bir masa etraf na

2 erkek aras nda 1 k z olmak ko ulu ile kaç de i ik

ekilde oturabilirler?

Çözüm

E1

K1

E2

E3

E4

K3

K4

K2

Yuvarlak masaya, erkeklerden biri sabit tutu-

larak geri kalanlar (4 – 1)! = 3! de i ik ekilde

oturabilirler. ekildeki gibi erkeklerin aras nda

kalan 4 yere, 4 k z ö renci kendi aralar nda yer

de i tirerek 4! farkl ekilde oturabilirler. Buna

göre, istenen durumlar n say s 3!.4! = 144 olarak

bulunur.

ÖRNEK 56

Renkleri farkl 5 boncuk bir halkaya kaç de i ik ekil-

de dizilebilir?

Çözüm

Masa etraf ndaki s ralamalarda yaln zca yukar -

dan bak labilir. Fakat halkaya s ralarken önden

ve arkadan bak labilir. Bu durum s ralama say -

s n yar ya dü ürür. Yani, 5 farkl renkteki boncuk

bir halkaya ( ) !2

5 112

–= ekilde dizilebilir.

170

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. A = {1, 2, 3, 4} kümesinin üçlü permütasyonları-nın herbirini yazınız.

2. A = {a, b, c, d, e} kümesinin dörtlü permütasyon-larının kaç tanesinde a bulunur?

3. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş ku-tulara “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.

Üçlü permütasyonlarının sayısı 24 olan

küme 4 elemanlıdır.

İkili permütasyonlarının sayısı 20 olan küme 5 elemanlıdır.

P(n, 0) = 120 ise n = 4 tür.

P(4, 2) + P(3, 2) = 18 dir.

4. Aşağıda sol sütunda verilen ifadelerin eşitini sağ sütundan bulup eşleştiriniz.

P(n, 0)

P(n, 1)

P(n, 2)

P(n, n)

n2 – n

n

n!

1

5. Aşağıdaki eşitliklerin her birinde n değerlerini bulunuz.

a. ( , )( , )

P nP n

65

32=

b. P(n + 1, 2) = 2.P(n, 2)

c. P(n, 5) = 5.P(n – 1, 3)

d. P(n, 0) + P(n, 1) + P(n, 2) = 10

6. 4 kişilik bir banka 120 farklı şekilde oturabilen bir grupta kaç kişi vardır?

7. 5 erkek ve 5 bayan, bir erkek - bir bayan düzenin-de yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?

ALIŞTIRMALAR – 2

2. 96 3. D, D, Y, D 4. 1. d , 2. b , 3. a , 4. c 5. a. 2 , b. 3 , c. 5 , d. 3 6. 5 7. 5!.5!.2


171

ES

EN

YAY

INLA

RI

8. Birbirinden farkl 4 Matematik, 3 Fizik ve 2 Türkçe kitab bir kütüphanenin raf na,

a. Kaç farkl ekilde s ralanabilir?

b. Matematikler bir arada olmak üzere kaç türlü s ralanabilir?

c. Türkçelerin biri ba ta, di eri sonda olacak ekilde kaç türlü s ralanabilir?

d. Belli iki Matematik kitab bir arada olmak üzere kaç türlü s ralanabilir?

9. 5 erkek ve 4 bayan, bir erkek - bir bayan düzenin-de yan yana kaç farkl ekilde s ralanabilir?

10. Bir grup arkada , yan yana bulunan iki koltu a 30 farkl ekilde oturabiliyorsa, yan yana bulunan 4 koltu a kaç farkl ekilde oturabilirler?

11. ECEM sözcü ündeki harfleri yer de i tirerek anlaml ya da anlams z 4 harfli kaç farkl sözcük yaz labilir?

12. OLASILIK sözcü ündeki harfleri yer de i tirerek anlaml ya da anlams z 8 harfli, O ile ba layan kaç farkl sözcük yaz labilir?

13. 12232100 say s n n rakamlar n yer de i tirerek 8 basamakl kaç farkl say yaz labilir?

14. F R K K sözcü ündeki harflerin yerleri de i tiri-lerek yaz labilen 7 harfli sözcüklerin kaç tanesin-de harfini K harfi takip eder?

15. Aybars ile Ecem’in de aralar nda bulundu u 7 ki i, Aybars ile Ecem yan yana gelmemek ko u-luyla bir s ra halinde kaç farkl ekilde s ralanabi-lirler?

8. a. 9! , b. 6!.4! , c. 2.7! , d. 8!.2! 9. 5!.4! 10. 360 11. 12 12. !. !

!2 2

7 13. 1260 14. 5! 15. 5.6!


172

ES

EN

YAY

INLA

RI

16. 21130751 say s n n rakamlar ile 8 basamakl kaç farkl çift say yaz labilir?

17. A

C

D

B

ekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklar n göstermektedir. A dan harekete ba -lay p B ve C ye u rayarak D kentine en k sa yoldan gitmek isteyen biri kaç de i ik yol izleye-bilir?

18. 5 k z, 5 erkek arkada yuvarlak masa etraf nda 2 erkek aras nda 1 k z olmak ko uluyla kaç türlü oturabilirler?

19. 4 evli çift yuvarlak masa etraf nda, e ler birbi-rinden ayr lmamak ko uluyla kaç farkl ekilde oturabilirler?

20. 5 erkek, 3 k z arkada yuvarlak masa etraf nda

a. Kaç türlü oturabilirler?

b. K zlar bir arada olmak üzere kaç türlü otura-bilirler?

c. Erkekler bir arada olmak üzere kaç türlü otu-rabilirler?

21. 2 k z ve bir grup erkekten olu an topluluk yuvar-lak masa etraf nda, k zlar bir arada olmak ko u-luyla 48 farkl ekilde oturabiliyorsa bu toplulukta kaç erkek vard r?

22. x ki i yuvarlak masa etraf na a farkl ekilde,

bir bank n üzerine b farkl ekilde oturabiliyorsa

ab kaçt r?

16. 1560 17. 100 18. 4!.5! 19. 96 20. a. 7! , b. 5!.3! , c. 3!.5! 21. 4 22. x


173

ÖRNEK 57

A = {a, b, c} kümesinin 2 elemanl kombinasyonlar ile 2 elemanl permütasyonlar n kar la t r n z.

Çözüm

A kümesinin 2 elemanl kombinasyonlar , bu kü-menin 2 elemanl alt kümeleri olup

{a, b}, {a, c}, {b, c} dir.

Kombinasyonlar Permütasyonlar –––––––––––––– ––––––––––––––

{a, b} ( )( )abba*

{a, c} ( )( )acca*

{b, c} ( )( )bccb*

Burada da görüldü ü gibi

( , )( ) !. !

!. .. .

( , )( ) !

! . . .

C

P d r

3 23 2 2

31 2 13 2 1 3

3 23 2

31

3 2 1 6

–

–›

= = =

= = =

ÖRNEK 58

.n

nn

12

2–=c cm m oldu una göre, n kaçt r?

Çözüm

.n

nn

12

2–=c cm m

( ) !. ( ) !! .

( ) !. !!

n n nn

nn

1 12

2 2– – –+=

!. ( ) !

( ) !..

( ) !. .( ) ! ( ) .

nn n

nn n n

1 11

22 2 1

2 1–

––

– –=

n = (n – 1).n

1 = n – 1 n = 2 bulunur.

ÖRNEK 59

n n5 7

=c cm m ise n kaçt r?

Çözüm: l. Yol

n n5 7

=c cm m ( ) !. !

!( ) !. !

!n

nn

n5 5 7 7– –

=

(n – 5)!.5! = (n – 7)!.7!

(n – 7)!.(n – 6)(n – 5).5! = (n – 7)!.5!.6.7

(n – 6).(n – 5) = 6.7

n – 6 = 6 n = 12 olur.

ll. Yolnx

ny

=c dm n x = y veya x + y = n oldu undan

n n5 7

=c cm m n = 5 + 7 n = 12 olur.

ES

EN

YAY

INLA

RI

r, n N ve r n olmak üzere, n elemanl bir A kümesinin r elemanl alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li

kombinasyonu denir ve n elemanl bir kümenin r li kombinasyonlar n n say s

( , )( ) !. !

!C n rnr n r r

n–

= =c m biçiminde ifade edilir.

nr

nn r–

=c cm m nn

n0

1= =c cm m n

nn

n1 1–

= =c cm m n

rnr

nr1

1–

+ =+c c dm m n

P(n, r) = C(n, r).r! n n n n

n0 1 22… n+ + + + =c c c cm m m m

nx

ny

=c dm n x = y veya x + y = n dir.

Kombinasyonda s ran n önemi yoktur. n eleman n r li seçimleri söz konusudur. Permütasyonda ise s ral dizili vard r.

KOMB NASYON (SEÇME)


ES

EN

YAY

INLA

RI

174

ÖRNEK 60

n62

61

=+

d dn n ise n nin alabilece i de erlerin toplam

kaçt r?

Çözüm

n + 1 = 2 veya 2 + n + 1 = 6 olabilir.

O halde, n = 1 veya n = 3 olup toplamlar

1 + 3 = 4 tür.

ÖRNEK 61

62

63

74

85

96

+ + + +d d d d dn n n n n toplam n n sonucu kaçt r?

Çözüm

n

rnr

nr1

1–

+ =+c c dm m n oldu undan,

62

63

73

+ =d d dn n n olur. O halde,

62

63

74

85

96

73

74

85

96

+ + + + = + + +d d d d d d d d dn n n n n n n n n

84

85

96

= + +d d dn n n

95

96

= +d dn n

.olur106

= d n

ÖRNEK 62

n n n

r5 61

719

+ ++

=c c d dm m n n ise n + r kaç olabilir?

Çözüm

n n n

r5 61

719

+ ++

=c c d dm m n n

n nr

16

17

19++

+=d d dn n n

nr

27

19+=d dn n olup

n + 2 = 19 7 = r veya r = 12 dir.

O halde, n + r = 17 + 7 = 24 veya

n + r = 17 + 12 = 29 dur.

ÖRNEK 63

A = {1, 2, 3, 4} kümesinin 2 elemanl kaç tane alt kümesi vard r?

Çözüm

s(A) = 4 oldu undan 2 elemanl alt kümelerinin say s ,

( ) !. !

!. . .. . .4

2 4 2 24

2 1 2 14 3 2 1 6

–= = =d n tanedir.

Üstelik bu alt kümeleri,

{1,2} , {1,3} , {1,4} , {2,3} , {2,4} , {3,4}

biçiminde de yazabiliriz.

ÖRNEK 64

9 elemanl bir kümenin en çok 7 elemanl alt küme say s kaçt r?

Çözüm

x olsun90

91

92

97

…+ + + + =d d d dn n n n

90

91

92

97

98

99

2…

x

9+ + + + + + =d d d d d dn n n n n n1 2 3444444 444444

x + 9 + 1 = 512 x = 502 bulunur.

ÖRNEK 65

7 elemanl bir kümenin en az 2 elemanl alt küme say s kaçt r?

Çözüm

x72

73

77

…+ + + =d d dn n n olsun.

70

71

72

73

77

2…

x

7+ + + + + =d d d d dn n n n n1 2 344444 44444

1 + 7 + x = 128 x = 120 bulunur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

175

ÖRNEK 66

8 ki ilik bir sporcu grubundan, 5 ki ilik bir basketbol tak m , kaç farkl ekilde olu turulabilir?

Çözüm

Burada s ran n önemi olmay p, 8 ki i içinden 5 ki inin seçimi söz konusudur. Seçimi kombinas-yonla yapt m zdan,

( ) !. !

!. . . !!. . .8

5 8 5 58

3 2 1 55 6 7 8 56

–= = =d n bulunur.

ÖRNEK 67

7 soruluk bir s navda ö rencilerden 5 soruyu cevap-lamalar istenmi tir.

Bu s nava giren bir ö renci bu seçimi kaç farkl ekil-de yapabilir?

Çözüm

Burada s ran n önemi olmay p, 7 elemanl bir kümenin 5 elemanl alt kümelerinin say s n bul-mam z istenmi tir. O halde, bir ö renci istenen seçimi,

( ) !. !

!. . !!. .7

5 7 5 57

2 1 55 6 7 21

–= = =d n ekilde yapabilir.

ÖRNEK 68

Bir ö rencinin seçmesi gereken 7 seçmeli dersin 3 ü ayn gün ve ayn saatte okutulmaktad r. 4 ders seçmek isteyen bu ö rencinin kaç de i ik seçene i vard r?

Çözüm

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7

Ayn gün ve saatte okutulan derslere D1, D2, D3 dersek bu üç dersten en çok birini seçebilir.

Yani, ilk 3 dersten birini ve son 4 dersten üçünü seçebilir veya son 4 dersin dördünü de seçebilir. O halde,

. .31

43

44

3 4 4+ = +d d dn n n = 12 + 1 = 13 bulunur.

ÖRNEK 69

Bir ö renciden 8 soruluk bir s navda 5 soruyu cevap-lamas isteniyor. lk 3 sorudan en az ikisinin cevap-lanmas zorunlulu u oldu una göre, bu ö renci bu sorular kaç farkl biçimde cevaplayabilir?

Çözüm

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8

lk 3 sorudan ikisini ve son 5 sorudan üçünü se-çebilir veya ilk 3 sorudan üçünü ve son 5 sorudan ikisini seçebilir. Buna göre,

. . . .32

53

33

52

3 10 1 10+ = +d d d dn n n n = 40 bulunur.

ÖRNEK 70

A = {3, 5, 7} ve B = {2, 4, 6, 8} kümeleri veriliyor.

Bu kümelerden seçilen 2 tek ve 3 çift rakam ile 5 ba-samakl rakamlar farkl kaç say yaz labilir?

Çözüm

A kümesinden 2 rakam 32

3=d n de i ik biçimde

B kümesinden 3 rakam 43

4=d n de i ik biçimde

seçilir.

Seçilen bu 5 rakam da 5! = 120 farkl ekilde s ralan r. Buna göre, istenilen ko ullarda,

. . ! . .32

43

5 3 4 120 1440= =d dn n

farkl say yaz labilir.

ÖRNEK 71

5 erkek, 4 k z aras ndan 3 ki ilik bir grup olu turula-cakt r. Grupta en az 2 erkek olmas ko ulu varsa, bu grup kaç farkl ekilde olu turulabilir?

Çözüm

Grup 2 erkek, 1 k z veya 3 erkekten olu abilir.

. .52

41

53

10 4 10 50+ = + =d d dn n n bulunur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

176

ÖRNEK 72

15 ki ilik bir sporcu grubundan tak ma girecek 3 ki i bellidir. Buna göre, bu gruptan 11 ki ilik futbol tak m kaç de i ik biçimde seçilebilir?

Çözüm

15 ki iden 3 ki i seçildi ine göre, geriye kalan 12 ki iden 8 ki i daha seçerek tak m 11 ki iye tamamlamal y z. Buna göre,

( ) !. !

!. . . . !

!. . . .128 12 8 8

124 3 2 1 8

8 9 10 11 12 495–

= = =d n de i ik biçimde seçilebilir.

ÖRNEK 73

6 s doktor, 6 s hem ire olan bir gruptan 4 ki ilik bir sa l k ekibi olu turulacakt r. Ekipte en az bir doktor bulunmas istenirse, bu seçim kaç farkl biçimde yap labilir?

Çözüm

Tüm durumlardan, ekibin tamam n n hem ireler-den olu mas durumunu ç kar rsak, ekipte en az bir doktor bulunmas durumunu bulmu oluruz.

( ) !. !

!( ) !. !

!124

64 12 4 4

126 4 4

6––

––

=d dn n

!. !!. . . .

!. !!. .

8 48 9 10 11 12

2 44 5 6–=

= 480 bulunur.

ÖRNEK 74

Bir otelde 3 yatakl bir oda ve 2 yatakl üç oda bo tur. 9 ki i bu odalara kaç farkl biçimde yerle tirilebilir?

Çözüm

9 ki iden 3 ki i 3 yatakl odaya, sonra kalan 6 ki-iden 2 ki i 2 ki ilik odalardan birine, daha sonra

kalan 4 ki iden 2 ki i 2 ki ilik di er odaya ve en son kalan 2 ki i de 2 ki ilik son odaya yerle tirilirse

. . . . . .93

62

42

22

84 15 6 1 7560= =d d d dn n n n bulunur.

ÖRNEK 75

4 ü subay, 6 s er olan bir gruptan 3 ki ilik bir ekip olu turulacakt r. Ekipte en çok 2 er bulunmas istenir-se, bu seçim kaç farkl biçimde yap labilir?

Çözüm

3 subay 43d n

2 subay, 1 er 42

61

·d dn n

1 subay, 2 er 41

62

·d dn n farkl biçimde seçilebildi inden, toplama yolu ile

sayma kural na göre,

. .43

42

61

41

62

4 6 6 4 15· ·+ + = + +d d d d dn n n n n = 4 + 36 + 60

= 100 bulunur.

ÖRNEK 76

10 k z ö renci ve 8 erkek ö renci aras ndan 2 k z ö -renci ve 2 erkek ö renci kaç farkl ekilde seçilebilir?

Çözüm

10 k z ö renci aras ndan 2 k z ö renci,

( ) !. !

!!. !

!. .102 10 2 2

108 2

8 9 10 45–

= = =d n farkl ekilde seçilebilir.

8 erkek ö renci aras ndan 2 erkek ö renci;

( ) !. !

!!. !!. .8

2 8 2 28

6 26 7 8 28

–= = =d n

farkl ekilde seçilebilir. Çarpma yoluyla sayma kural na göre, 2 k z ö renci ve 2 erkek ö renci 45.28 = 1260 farkl ekilde seçilebilir.

Bu örnekte bizden istenen 2 k z ö renci veya 2 erkek ö rencinin kaç farkl ekilde seçilebilmesi olsayd , toplama yoluyla sayma kural na göre, yan t 45 + 28 = 73 olarak bulunurdu.


ES

EN

YAY

INLA

RI

177

ÖRNEK 77

10 ki iden 6 s Urfa’ya ve 4 ki i Çorum’a gidecektir. Bu iki grup kaç farkl biçimde olu turulabilir?

Çözüm

10 ki iden 6 s seçilip Urfa’ya ve kalan 4 ki inin 4 ü de Çorum’a gidece ine göre bu seçim,

.

( ) !. !!

. . . . !!. . . .10

644 10 6 6

10 14 3 2 1 66 7 8 9 10 210

–·= = =d dn n

farkl ekilde yap labilir.

ÖRNEK 78

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlar ile a < b < c olmak üzere kaç farkl abc üç basamakl say s yaz labilir?

Çözüm

A kümesinden seçilecek olan herhangi 3 rakam ile a < b < c ko ulunu sa layan yaln zca bir tane abc üç basamakl say s yaz labilir.

Örne in, 1, 3, 6 rakamlar ile 1 < 3 < 6 oldu un-dan uygun say 136 d r. O halde,

( ) !. !!

!. . .!. . .6

3 6 3 36

3 3 2 13 4 5 6 20

–= = =d n

farkl abc üç basamakl say s yaz labilir.

ÖRNEK 79

a, b, c, d birer rakam olmak üzere, a < b < c < d ko ulunu sa layan kaç farkl abcd dört basamakl say s yaz labilir?

Çözüm

a 0 olaca ndan ve a < b < c < d ko ulundan dolay 0 (s f r) d ndaki rakamlardan seçim yap-mal y z.

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinden seçilen herhangi 4 rakam ile istenen ko ullarda yaln zca 1 say yaz labilir. Buna göre,

( ) !. !

!!. . . .!. . . .9

4 9 4 49

5 4 3 2 15 6 7 8 9 126

–= = =d n

farkl say yaz labilir.

ÖRNEK 80

Anne, baba ve 4 çocuktan olu an bir ailenin elinde 3

ki ilik bir davetiye vard r. Anne veya babadan en az

birisinin davete kat lmas gerekti ine göre, bu davete

3 ki i kaç farkl ekilde kat labilirler?

Çözüm

Davete, anne ve 2 çocuk 42

6=d n farkl ekilde

kat labilir.

Baba ve 2 çocuk 42

6=d n farkl ekilde kat labilir.

Anne, baba ve 1 çocuk

41

4=d n farkl ekilde

kat labilir. Toplama yoluyla sayma kural na göre,

istenen ko ullarda 6 + 6 + 4 = 16 farkl durum

vard r.

ÖRNEK 81

5 farkl oyunca n 3 ü Özge’ye, 2 si Özlem’e kaç farkl ekilde da t labilir?

Çözüm

5 farkl oyunca n 3 ü Özge’ye ve kalan 2 si de Özlem’e

.53

22

10 1 10· = =d dn n farkl ekilde da t labilir.

ÖRNEK 82

Herhangi üçü do rusal olmayan 6 noktan n ikisinden geçen en fazla kaç do ru çizilebilir?

Çözüm

ki noktadan bir do ru geçece inden,

6 farkl noktadan geçen en fazla

( ) !. !

!!. .!. .6

2 6 2 26

4 2 14 5 6 15

–= = =d n

tane do ru çizilebilir.


ES

EN

YAY

INLA

RI

178

ÖRNEK 83

Herhangi üçü do rusal olmayan 7 farkl noktadan, kö eleri bu noktalar olan kaç farkl üçgen çizilebilir?

Çözüm

7 noktadan seçilen her 3 nokta ile kö eleri bu 3 nokta olan bir üçgen çizilebilir. Çünkü, herhangi üç noktan n do rusal olmad n biliyoruz.

O halde istenen ko ullarda

( ) !. !

!!. . .!. . .7

3 7 3 37

4 3 2 14 5 6 7 35

–= = =d n

tane üçgen çizilebilir.

ÖRNEK 84

Ayn düzlemde bulunan 10 farkl do ru en fazla kaç noktada kesi ebilir?

Çözüm

Kesi tikleri nokta say s n n en fazla olmas için herhangi iki do runun paralel olmad n dü ün-meliyiz.

Paralel olmayan iki do ru bir noktada kesi ti in-den,10 do ru

( ) !. !

!!. !

!. .102 10 2 2

108 2

8 9 10 45–

= = =d n noktada kesi ebilir.

ÖRNEK 85

A, B, C, D, E, F, G, H noktalar ayn düzlemde olup herhangi üçü do rusal de ildir.

Kö eleri bu noktalar olan üçgenlerden kaç tanesinin bir kö esi A noktas d r?

Çözüm

Üçgenin bir kö esi A noktas olaca na göre, geriye kalan 7 noktadan 2 kö e daha seçmeliyiz. O halde, istenen ko ullar sa layan

( ) !. !

!!. !!. .7

2 7 2 27

5 25 6 7 21

–= = =d n

üçgen çizilebilir.

ÖRNEK 86

d1

d2D E GF

A B C

Yukar daki ekilde d1 // d2 olmak üzere, kö eleri bu 7 noktadan herhangi üçü olan kaç üçgen çizilebilir?

Çözüm

I. Yol

d1 do rusundan 1 nokta ve d2 do rusundan 2 nokta seçilirse

.31

42

f fp p = 3.6 = 18 tane üçgen çizilir.

d1 do rusundan 2 nokta ve d2 do rusundan 1 nokta seçilirse

.32

41

f fp p = 3.4 = 12 tane üçgen daha çizilir.

O halde, 18 + 12 = 30 tane üçgen çizilmi olur.

II. Yol

Verilen 7 noktadan seçilebilen tüm üçlülerden do rusal oldu u için üçgen olu turmayan üçlüleri ç kararak olu an üçgenlerin say s n bulabiliriz.

( ) !. !

!73

33

43 7 3 3

7 1 4– ––

– –=d d dn n n

!. . .!. . . 5

4 3 2 14 5 6 7 –= = 30 bulunur.

ÖRNEK 87

d1

d2

DB

C

AE

GF

Yukar daki ekilde A noktas nda kesi en iki do ru üzerindeki baz noktalar verilmi tir. Kö eleri bu 7 nok-tadan herhangi üçü olan kaç tane üçgen çizilebilir?


ES

EN

YAY

INLA

RI

179

Çözüm

Verilen 7 noktadan seçilebilen tüm üçlülerden doğrusal olduğu için üçgen oluşturmayan üçlüleri çıkararak oluşan üçgenlerin sayısını bulabiliriz.

O halde,

( ) !. !

!( ) !. !

!73

33

53 7 3 3

7 15 3 3

5– ––

– ––

=d d dn n n

!. . .!. . .

. !!. .

4 3 2 14 5 6 7 1

2 33 4 5– –=

= 24 bulunur.

ÖRNEK 88

Düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi doğrusaldır. Köşeleri bu noktalar olan en çok kaç tane üçgen çizilebilir?

Çözüm

Tüm durumlardan üçgen oluşmayan durumları çıkarırsak,

( ) !. !

!!. . .!. . .8

343 8 3 3

8 45 3 2 15 6 7 8 4–

–– –= =d dn n = 52

tane üçgenin çizilebileceğini bulmuş oluruz.

ÖRNEK 89

Birbirine paralel olan 4 doğru ile birbirine paralel olan 5 doğru kesiştirilirse oluşan şekilde kaç tane paralel-kenar vardır?

Çözüm

d1

d2

d3

d4

t1 t2 t3 t4 t5

2 yatay ve 2 düşey doğru seçilerek oluşan para-

lelkenar sayısı bulunur. O halde,

. .42

52

6 10 60= =d dn n tane paralelkenar vardır.

ÖRNEK 90

6 farklı çemberin kesişmesi ile en çok kaç tane kesi-şim noktası oluşur?

ÇözümA

B

6 çemberden seçilen ikililer 62d n tanedir.

Fakat her ikili farklı iki noktada kesişebileceğinden

. .!. !!2

62

24 26 30= =d n

tane kesişim noktası oluşabilir.

ÖRNEK 91

dA B

C D

E

GF

Yukarıdaki şekilde verilen A, B, C, D, E, F, G nok-talarının herhangi ikisinden geçen kaç farklı doğru çizilebilir?

Çözüm

Şekildeki 7 noktadan herhangi ikisi

!. !!

!. !!. .7

2 5 27

5 25 6 7 21= = =d n

farklı şekilde seçilebilir. Fakat A, B, F, G nokta-larından seçilen ikililerin hepsi de d doğrusunu verir. O halde

42

6=d n yı çıkarıp, d doğrusunu bir kez saymalı-

yız. Yani,

72

42

1 21 6 1 16– –+ = + =d dn n doğru çizilebilir.


ES

EN

YAY

INLA

RI

180

ÖRNEK 92

Bir çember üzerindeki 8 noktay birle tirerek kö eleri bu noktalar olan kaç tane üçgen çizilebilir?

ÇözümA

E F

H

GD

C

B

Çember üzerinde seçilen herhangi üç nokta do -

rusal olmad ndan daima kö eleri bu noktalar

olan bir üçgen çizilmi olur.

O halde istenilen ko ullarda

!. !!

!. . .!. . .8

3 5 38

5 3 2 15 6 7 8 56= = =d n

tane üçgen çizilebilir.

ÖRNEK 93

B C

A

D G

E

F H

Kö eleri ekildeki noktalar olan kaç farkl üçgen çi-zilebilir?

Çözüm

A, F, E, D noktalar ndan seçilen üçlüler,

B, D, G, C noktalar ndan seçilen üçlüler ve

A, H,C noktalar ndan seçilen üçlüler do rusal olup üçgen olu turmazlar. Dolay s ile verilen 8 noktadan seçilen üçlülerden,

83

43

43

33

56 4 4 1 47– – – – – –= =d d d dn n n n tanesi üçgen olu turur.

ÖRNEK 94

B C

A

G HE F

D

Yukar daki ekilde kaç tane üçgen vard r?

Çözüm

Üçgenin bir kö esi A ise di er iki kö esi [BC]

veya [BD] üzerinden seçilmeli. [BC] üzerindeki

B, E, F, G, H, C noktalar ndan ikisi

62

15=d n farkl ekilde seçilir.

Ayn ekilde [BD] üzerinden de iki kö e 15 farkl ekilde seçilir.

O halde, bir kö esi A olan 15 + 15 = 30 tane üçgen vard r.

Üçgenin bir kö esi A olmay p B olsun.

B E G HF C

D

E

GH

F

Bir kö esi B iken, B nin kar kenar EE , FF , GG , HH , CD den biri olmal d r. Bu ekilde de 5 farkl üçgen daha vard r.

Buna göre, toplam 30 + 5 = 35 tane üçgen var-d r.

ÖRNEK 95

5 farkl dikdörtgenin herhangi iki kenar n n veya ke-narlar n n bir parças n n çak madan kesi tirilmesiyle en çok kaç kesi im noktas olu ur?


ES

EN

YAY

INLA

RI

181

Çözüm

5 dikdörtgenden seçilebilen ikililer

52

10=d n tanedir.

Seçilen her ikili yukar daki gibi en çok 8 farkl noktada kesi ir. Dolay s ile en çok

. .852

8 10 80= =d n tane kesi im noktas olu ur.

ÖRNEK 96

4 farkl üçgenin herhangi iki kenar n n veya kenarla-r n n bir parças n n çak madan kesi tirilmesiyle en çok kaç kesi im noktas olu ur?

Çözüm

B CE

A D

Herhangi iki kenar çak rsa, ekilde görüldü ü gibi sonsuz tane ortak noktalar olur.

( [BC] üzerinde sonsuz tane nokta var.)

F

E

B C

D

A

Çak t rmadan, ekildeki gibi kesi irse 6 farkl nokta ortakt r. Buna göre,

4 üçgenden seçilebilen ikililer 42

6=d n tanedir.

Seçilen her ikili 6 farkl noktada kesi ebilece in-

den en çok 6. .42

6 6 36= =d n tane kesi im nokta-

s olu ur.

ÖRNEK 97

B K CE

A

L

N

MF

D

ekilde kaç tane dörtgen vard r?

Çözüm

K CE

A

L

N

MF

D

ekildeki mavi do ru parçalar ndan 2 tane ve k r-m z do ru parçalar ndan yine 2 tane seçmeliyiz. O halde,

..!. !!

!. !!3

2 25

2 13

3 25=d dn n

= 3.10 = 30 tane dörtgen vard r.

ÖRNEK 98

Yandaki ekilde, bir hareketliC

B

A

A noktas ndan sa veya

yukar yönde ilerleyerek B

noktas ndan geçmemek

ko ulu ile çizgiler üzerinden

C noktas na kaç farkl ekilde gider?

Çözüm

Hareketli sa a veya yukar hareket ederek A dan

C ye 4 yukar ve 5 sa olmak üzere 9 ad mda var r. Buna göre, bu 9 do ru parças ndan 4 ü seçil-di inde di er 5 i de seçilmi olur.

O halde, A dan C ye

!. !!9

4 4 59=d n = 126 farkl ekilde gider.

A dan B ye 2 + 2 = 4 ve B den C ye 3 + 2 = 5 ad m oldu undan B noktas na u raya-

rak A dan C ye .2

543

d dn n = 6.10 = 60 farkl yolla

gider. Bu durumda, B noktas ndan geçmemek ko ulu ile A dan C ye 126 – 60 = 66 farkl ekilde gider.

182


C(n, 0) = 1

C(n, n) = n

C(n, 1) = n

C(n, n–1) = 1

C(n, r) + C(n, r+1) = C(n+1, r+1)

P(n, r) = r!.C(n, r)

2. A a daki e itliklerin her birinde n de erlerini bulunuz.

a. C(2n, 1) = 2.C(n, 2)

b. P(n, 2) = 2.C(n, 3)

c. P(n, 2) + C(n, 2) = 30

3. A a daki e itliklerin her birinde n de erlerini bulunuz.

a. n n2 5

=c cm m

b. nn

n2 11

2 14–

+=

+d dn n

4. A a daki ifadelerin her birinin e itini bulunuz.

a. 82

83

84

85

86

87

+ + + + +d d d d d dn n n n n n

b. 91

92

99

……+ + +d d dn n n

c. 41

42

53

64

75

+ + + +d d d d dn n n n n

5. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin

a. 3 elemanl kaç alt kümesi vard r?

b. En az 3 elemanl kaç tane alt kümesi vard r?

c. En çok 3 elemanl kaç tane alt kümesi var-d r?

6. Herhangi üçü do rusal olmayan 6 noktan n;

a. kisinden geçen kaç tane do ru çizilebilir?

b. Kö eleri bu noktalar olan kaç tane üçgen çizilebilir?

c. Kö eleri bu noktalar olan kaç tane çokgen çizilebilir?

ES

EN

YAY

INLA

RI

ALIŞTIRMALAR – 3

1. D, Y, D, Y, D, D 2. a. 3, b. 5, c. 5 3. a. 7, b. 2 veya 5 4. a. 246, b. 511, c. 56 5. a. 10 , b. 16 , c. 26 6. a. 15, b. 20, c. 42


183

ES

EN

YAY

INLA

RI

7. 10 ki ilik bir sporcu grubundan 5 ki ilik bir basket-bol tak m olu turulacakt r. Tak ma girecek olan 2 ki i biliniyorsa kaç farkl tak m olu turulabilir?

8. 6 k z ve 4 erkek ö rencinin bulundu u bir gruptan

a. 4 ki ilik kaç ekip olu turulabilir?

b. 3 k z, 1 erkekten olu an 4 ki ilik kaç ekip

olu turulabilir?

c. En az 3 ü k z olan 4 ki ilik kaç ekip olu turu-

labilir?

d. En çok 3 ü erkek olan 4 ki ilik kaç ekip olu -

turulabilir?

9. A B

C

D

E

K

F

Bir çember üzerindeki 7 farkl noktadan çizilebile-cek üçgenlerden kaç tanesinin bir kö esi A d r?

10. Bir s navda sorulan 10 sorunun ilk dördünden en az üçünü cevapland rmak ko uluyla 7 soru kaç de i ik biçimde seçilebilir?

11. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanl alt kümelerinin kaç tanesinde,

a. 3 bulunur?

b. 2 bulunmaz?

c. 2 ve 3 bulunur?

d. 2 veya 3 bulunmaz?

12. 5 elemanl alt kümeleri say s 4 elemanl alt kü-melerinin say s na e it olan kümenin 2 elemanl kaç tane alt kümesi vard r?

13. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlar ile,

a < b < c olmak üzere kaç farkl abc üç basa-makl say s yaz labilir?

7. 56 8. a. 210 , b. 80 , c. 95 , d. 209 9. 15 10. 80 11. a. 10 , b. 5 , c. 6 , d. 1 12. 36 13. 10


184

ES

EN

YAY

INLA

RI

14. Ayn düzlemde bulunan 8 do ru en fazla kaç noktada kesi ebilirler?

15. A

B

C

D

E

K

L

M

F

ekildeki 5 nokta do rusal, di er 4 nokta bir çem-ber üzerindedir. Kö eleri bu 9 noktadan seçilen en çok kaç üçgen çizilebilir?

16.

A

BC

DE

LM

K

Yukar daki ekilde B noktas nda kesi en iki do ru üzerinde 8 nokta verilmi tir.

Bu noktalar n,

a. En az ikisinden geçen kaç do ru çizilebilir?

b. Kö eleri bu noktalardan seçilen kaç üçgen çizilebilir?

c. Bir kö esi C olan ve di er kö eleri öteki nok-talardan seçilen kaç üçgen çizilebilir?

17. 4 farkl çemberin kesi mesiyle en çok kaç tane kesim noktas olu ur?

18.

B C

A

K

D E F

Yukar daki ekilde kaç tane üçgen vard r?

19. 1 1 1 1

1 1 1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

Yukar da bir kenar uzunlu u 4 br olan kare çizil-mi tir.

a. ekilde kaç tane dikdörtgen vard r?

b. Kaç tane kare vard r?

c. Karelerden kaç tanesinin kenar uzunlu u 1 den büyüktür?

14. 28 15. 74 16. a. 14 , b. 42 , c. 18 17. 12 18. 24 19. a. 100 , b. 30 , c. 14


185

ÖRNEK 99

A a daki aç l mlar inceleyiniz.

1. (x + y)1 = x y x y10

11

1 1+ = +d dn n

2. (x + y)2 = x xy y20

21

22

2 2+ +d d dn n n = x2 + 2xy + y2

3. (x + y)3 = x x y xy y30

31

32

33

3 2 2 3+ + +d d d dn n n n = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

4. (x + y)4 = x x y x y xy y40

41

42

43

44

4 3 2 2 3 4+ + + +d d d d dn n n n n = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

n pozitif tam say olmak üzere, (x + y)n ifadesinin aç l m na binom aç l m denir.

(x + y)n = n

xn

x yn

x ynn

y0 1 2

…n n n n1 2 2– –+ + + +c c c cm m m m aç l m ;

x in azalan, y nin artan kuvvetlerine göre yap lm t r.

y nin yerine –y yaz l rsa (x – y)n ifadesinin aç l m elde edilir.

Her terimdeki dereceler toplam n dir.

n + 1 tane terim vard r.

Kat say lar toplam x = y = 1 al narak bulunur.

Ba tan ve sondan e it uzakl ktaki terimlerin kat say lar e ittir.

(x + y)2n aç l m nda, ortadaki terim .nn

x y2 n nd n dir.

.nr

x yn r r–c m terimine genel terim denir. Genel terim; ba tan (r +1). terim, sondan (n – r + 1). terimdir.

Pascal Üçgeni

1051 1510

641 14

31 13

1 12

1 1

1(x + y)0

(x + y)1

(x + y)2

(x + y)3

(x + y)4

(x + y)5

(x + y)0

00d n

(x + y)1 10

11

d dn n (x + y)2

20

21

22

d d dn n n (x + y)3

30

31

32

33

d d d dn n n n (x + y)4

40

41

42

43

44

d d d d dn n n n n ........... ............................................................... ............. .............................................

Kombinasyon konusu i lenirken verilen, n

rnr

nr1

1–

+ =+c c dm m n ba nt s n , Pascal üçgenini kombinasyon

biçiminde yukar daki gibi yazd m zda rahatl kla görebiliriz.

Örne in, , gibi10

11

21

21

22

32

+ = + =d d d d d dn n n n n n

B NOM AÇILIMI


ES

EN

YAY

INLA

RI

186

ÖRNEK 100

(2x – 5y)3 ifadesinin aç l m n yap n z.

Çözüm

(2x – 5y)3 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x y x y y30

231

2 532

2 533

5– – –3 2 1 1 2 3+ + +d d d dn n n n

= 1.8.x3 + 3.4x2.(–5y) + 3.2x.25y2 + 1.(–125)y3

= 8x3 – 60x2y + 150xy2 – 125y3

ÖRNEK 101

a b23

2+c m ifadesinin aç l m n yap n z.

Çözüm

( ) . .a b a a b b23

20

221

23

22 3

22

2+ = + +c d d d cm n n n m

= 1.4a2 + 2.2a. b3

+ 1. b9

2

= 4a2 + ab b3

49

2+

ÖRNEK 102

(2a + 3)4 ifadesinin aç l m n yap n z.

Çözüm

( ) ( ) ( ) . ( ) .

. .

a a a a

a

2 340

241

2 342

2 3

43

2 344

3

4 4 3 2 2

3 4

+ = + +

+ +

d d dd dn n nn n

= 1.16a4 + 4.8a3.3 + 6.4a2.9 + 4.2a.27 + 1.81

= 16a4 + 96a3 + 216a2 + 216a + 81

ÖRNEK 103

(2a – b2 + c)5 aç l m nda kat say lar toplam kaçt r?

Çözüm

a = b = c = 1 al n rsa kat say lar toplam ,

(2.1 – 12 + 1)5 = (2 – 1 + 1)5 = 25 = 32 bulunur.

ÖRNEK 104

(3x – 4y)n aç l m nda 8 tane terim bulundu una göre, bu terimlerin kat say lar toplam kaçt r?

Çözüm

(3x – 4y)n aç l m nda n + 1 tane terim bulunur. Dolay s ile n + 1 = 8 n = 7 dir.

Kat say lar toplam n bulmak için x = y = 1 al n r ve (3x – 4y)7 aç l m ndan

(3.1 – 4.1)7 = (–1)7 = –1 bulunur.

ÖRNEK 105

(x3 – 5x + 2)6 aç l m nda sabit terim kaçt r?

Çözüm

Sabit terim içinde de i ken olmayan terimdir.

De i keni yok etmek için x = 0 al n rsa,

(03 – 5.0 + 2)6 = 26 = 64 bulunur.

ÖRNEK 106

(x + 2y)6 aç l m nda ortadaki terim nedir?

Çözüm

6 32

= olup ortadaki terim

( ) ( )!. !! . .x y x y

63

23 36 83 3 3 3=d n = 160.x3.y3 dir.

ÖRNEK 107

(2x + y)10 aç l m x in azalan kuvvetlerine göre s rala-n rsa ba tan 4. terim ne olur?

Çözüm

Ba tan (r + 1). terim .nr

x yn r r–c m oldu undan,

4. terim, ( ) . . . .x y x y103

2103

210 3 3 7 7 3– =d dn n olur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

187

ÖRNEK 108

(x – 2y)n = xn + ...... + Ax6y4+.......

biçiminde x in azalan kuvvetlerine göre aç l m yap ld -na göre A kaçt r?

Çözüm

Her terimdeki dereceler toplam n ye e it oldu-undan,

Ax6y4 teriminde de n = 6 + 4 = 10 dur.

(x + y)n aç l m ndaki genel terim

nr

x yn r r–c m oldu undan,

(x – 2y)10 aç l m nda genel terim

( ) . ( )r

x y10

2–r r10 –d n olmal d r.

( ) . ( )r

x y10

2–r r10 –d n = A.x6y4 ise r = 4 tür.

( ) . ( ) . .

. . .

x y x y

x y

104

2104

16

16104

–10 4 4 6 4

6 4

– =

=

d d

d

n n

n olup A = 16.

104d n bulunur.

ÖRNEK 109

(x2 – y)12 aç l m x in azalan kuvvetlerine göre s rala-n rsa sondan 4. terim ne olur?

Çözüm

nrc mxn–ryr terimi sondan (n – r + 1). terimdir.

O halde, n = 12 ve n – r + 1 = 4 12 – r + 1 = 4

r = 9 dur.

Buna göre, sondan 4. terim

( ) ( ) . ( ) .

. . . .

x y x y

x y dur

129

129

1

1129

– –

–

2 3 9 6 9

6 9

=

=

d d

d

n n

n

ÖRNEK 110

xx12

6+c m ifadesinin aç l m ndaki x6 l terimin kat sa-

y s kaçt r?

Çözüm

. ( ) . .

. . .

. .

rx

xA x

rx

xA x

rx A x

6 1

6 1

6

rr

rr

r

2 6 6

12 2 6

12 3 6

–

–

–

=

=

=

d c

d

d

n m

n

n 12 – 3r = 6 r = 2 dir. O halde,

. .x A x62

6 6=d n A = 62

15=d n olur.

ÖRNEK 111

aa1–32

5c m ifadesinin aç l m ndaki sabit terim kaçt r?

Çözüm

Bizden de i kenin olmad , yani a0 n kat say s isteniyor. Buna göre,

. ( ) . .

. . ( ) . .

. ( ) . .

ra

aA a

ra a A a

ra A a

5 1

51

51

–

–

–

rr

r r r

r r

3 52

0

15 3 2 0

15 5 0

–

– –

–

=

=

=

f c

f

f

p m

p

p

15 – 5r = 0 r = 3 tür. O halde,

. ( ) . .a A a53

1– 3 0 0=d n . ( )A53

1– 3= d n = –10 olur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

188

ÖRNEK 112

xx

13 8+c m ifadesinin aç l m ndaki x li terimin kat

say s kaçt r?

Çözüm

. .r

xx

A x8 1r r3 8 –

=d ^ cn h m . . .r

x x A x8 r r

38

2– –

=d n

. .r

x A x8 r

616 5–

=d n r

616 5 1– = r = 2 dir. O halde,

. .x A x82

=d n A82

= d n = !. !!

6 28 = 28 olur.

ÖRNEK 113

5 53 5 11+^ h aç l m nda rasyonel terim kaça e ittir?

Çözüm

. . . .

.

r r

r

115 5

115 5

115

r rr r

r

3 11 5 311

5

1555 2

––

–

=

=

d ^ ^ d

d

n h h n

n Bu genel terimin rasyonel olmas için r

1555 2–

oran n n bir tam say olmas gerekir. 0 r 11

oldu unu da dikkate al rsak, r = 5 bulunur.

Buna göre, 5 53 5 11+^ h aç l m n n rasyonel

olan terimi,

. . . .dir115

5115

5 125115

.15

55 2 5 3–

= =d d dn n n

ÖRNEK 114

(x + y + z)n aç l m ndaki terimlerden birisi A.x2.y3.z5

oldu una göre, A kaçt r?Çözüm

x, y ve z nin üslerinin toplam n ye e ittir. Yani,

n = 2 + 3 + 5 = 10 dur.

x + y = k al n rsa, (x + y + z)10 = (k + z)10

olup genel terim r

10d n.k10 – r.zr olur.

A.x2.y3.z5 teriminde z nin kuvveti 5 oldu undan

r = 5 tir. O halde, genel terim

. . . ( ) .k z x y z105

105

5 5 5 5= +d dn n olur.

(x + y)5 aç l m nda genel terim

r5d n.x5 – r.yr olup y nin kuvveti 3 oldu undan

r = 3 tür. O halde, (x + y)5 aç l m n n genel terimi

53d n.x2.y3 tür. Buna göre,

(k + y + z)10 aç l m ndaki terimlerden biri

.105

53

d dn n.x2.y3.z5 olup A = .105

53

d dn n bulunur.

(ax + by + cz)n ifadesinin aç l m nda xp.yq.zt li

terimin kat say s ap.bq.ct.!. !. !

!p q t

n dir.

ÖRNEK 115

(x – 3y + 2z)6 ifadesinin aç l m ndaki terimlerden biri

A.x3.y2.z oldu una göre, A kaçt r?

Çözüm

Yukar daki kurala göre,

A = 13.(–3)2.21.3!.2!.1!

6! = 18.!.

!. . .3 24 5 63 = 1080 dir.

ÖRNEK 116

(x2 + 2y3 – z4)10 aç l m yap ld nda, içinde x6 çar-pan olup ba ka x çarpan olmayan kaç terim vard r?

Çözüm

x6 elde edebilmek için terimlerden biri

. . .x y z x y z107

2107

2– –2 3 3 4 7 6 3 4 7=d ^ ^ d ^n h h n h olarak al nmal d r.

(2y3 – z4)7 aç l m nda 8 terim oldu u için içinde

x6 olup ba ka x çarpan olmayan terim say s da

8 dir.

189


(a + b)n aç l m nda;

Ba tan r. terim nr

a bn r r–c m dir.

Sondan (r + 1). terim nr

a br n r–c m dir.

Kat say lar toplam 2n dir.

n çift olmak üzere ortadaki terim için

r n2

= dir.

Ba tan ve sondan e it uzakl ktaki terimle-rin kat say lar e ittir.

2. (2x – y)6

ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre aç l rsa ba tan 3. terim ne olur?

3. A a daki aç l mlar n her birinde sabit terimleri bulunuz.

a. (x – 1)3

b. (3x – 2)4

c. (x2 – x + 2)5

4. A a daki aç l mlar n her birinde kat say lar top-lam n bulunuz.

a. (2x – 1)20

b. (3x + 1)4

c. (2x – 3y)7

d. (2x – 3y + z)40

e. (x – 2y + 3z)7

5. (2x2 – y)8

ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre aç l rsa sondan 4. terim ne olur?

ES

EN

YAY

INLA

RI

ALIŞTIRMALAR – 4

1. Y, D, D, D, D 2. 240.x4.y2 3. a. –1 , b. 16 , c. 32 4. a. 1 , b. 256 , c. –1 , d. 0 , e. 128 5. –448.x6.y5


190

ES

EN

YAY

INLA

RI

6. xx

3 1–2

6c m

aç l m nda ortadaki terim nedir?

7. (x – 3y)n = xn + ..... + Ax4y2 + .....

e itli ine göre A kaçt r?

8. xx1–3

7c m

ifadesinin aç l m nda x5 li terimin kat say s kaçt r?

9. x

x1 –2

6c m

ifadesinin aç l m nda sabit terim kaçt r?

10. (x2 – 3y2)n

aç l m nda terimlerden biri Ax4y8 ise A kaçt r?

11. xx2–23

5c m

aç l m nda sabit terim ba tan kaç nc terimdir?

12. (x – y + 3z)6

aç l m nda terimlerden biri Ax2yz3 ise A kaçt r?

13. (v2 – 1)6

aç l m nda elde edilen terimlerden rasyonel olan-lar bulunuz.

6. x540–

3 7. 135 8. 35 9. 15 10. 1215 11. 3 12. –1620


191

ÖRNEK 117

Bir madeni paran n at lmas deneyinin;

ç kt lar : Y (yaz ) ve T (tura) d r.

Örnek uzay : E = {Y, T} dir.

Buna göre, bir madeni paran n at lmas sonucu, yaz veya tura gelmesi olay na (örnek uzaya) kesin olay

denir. Paran n dik gelmesi olay ise olanaks z olayd r.

ÖRNEK 118

Bir tavla zar n n at lmas deneyindeki örnek uzay

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dir.

Üste gelen say n n tek gelmesi olay , T = {1, 3, 5} ve

çift gelmesi olay Ç = {2, 4, 6} d r. Bu iki olay n kesi-

imleri bo küme oldu undan, bu iki olaya ayr k (ba-

ms z) olaylar denir. Gelen say n n asal say olmas

olay , A = {2, 3, 5} olup A T Ø ve Ç A Ø d r. Yani, A olay ile T ve Ç olaylar ayr k olaylar de ildir.

ÖRNEK 119

ki madeni paran n at lmas deneyinin örnek uzay n yaz n z.

Çözüm

Y

T

Y

(Y,Y)

(T,Y)

T

(Y,T)

(T,T)

E = {(Y, Y), (Y, T), (T, Y), (T, T)}

olup s(E) = 4 tür.

Burada iki madeni paran n at lmas de il de, bir madeni paran n art arda iki kez at lmas deneyi yap lsayd ayn sonucun elde edilece ine dikkat ediniz.

Olas l k, sonucu kesin olmayan olaylar say larla ifade eder. Olas l k teorisi günümüzde ans oyunlar n n yan -

s ra, ekonomi, spor, siyaset, bilimsel tespitler, meteoroloji, sigortac l k, bankac l k ve milli savunma gibi pek çok

uygulama alan nda kullan lmaktad r.

Deney ve Ç kt

Yeni bilgi kazanmak ve olaylar n geli imini incelemek için yap lan deneme ve testlere deney denir. Bir deneyin

mümkün olan her türlü sonucuna ç kt ad verilir. Düzgün bir zemine bir madeni paran n at lmas bir deneydir.

Yaz gelmesi ve tura gelmesi ise bu deneyin ç kt lar d r. Ayn ekilde bir tavla zar n n at lmas bir deneydir.

1 gelmesi, 2 gelmesi, 3 gelmesi, 4 gelmesi, 5 gelmesi ve 6 gelmesi ise bu deneyin ç kt lar d r.

Örnek (Örneklem) Uzay

Bir deneyde elde edilebilecek tüm sonuçlar n kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzay n her

bir eleman na ise örnek nokta denir.

Olay

Örnek uzay n her bir alt kümesine bir olay denir. E örnek uzay na kesin olay, bo kümeye ise olanaks z (imkan-

s z) olay denir. Bir örnek uzaya ait iki olay n ara kesitleri (kesi imleri) bo küme ise bu iki olaya ayr k (ba ms z)

olaylar denir.

OLASILIK


ES

EN

YAY

INLA

RI

192

ÖRNEK 120

Üç madeni paranın atılması deneyinin örnek uzayını yazınız.

ÇözümYYY

YYT

YTY

YTT

TYY

TYT

TTY

TTT

Y

T

Y

T

Y

T

Y

T

Y

T

Y

T

Y

T

E = {(Y, Y, Y), (Y, Y, T), (Y, T, Y), (Y, T, T),

(T, Y, Y), (T, Y, T), (T, T, Y), (T, T, T)}

olup s(E) = 8 dir.

Art arda yapılan madeni para atma deneyinde, para n kez atıldığında örnek uzayın eleman sayısı s(E) = 2n olur.

ÖRNEK 121

İki tavla zarının birlikte atılması deneyindeki örnek uzayı yazınız.

Çözüm

(1,1)

(2,1)

(3,1)

(4,1)

(5,1)

(6,1)

(1,2)

(2,2)

(3,2)

(4,2)

(5,2)

(6,2)

(1,3)

(2,3)

(3,3)

(4,3)

(5,3)

(6,3)

(1,4)

(2,4)

(3,4)

(4,4)

(5,4)

(6,4)

(1,5)

(2,5)

(3,5)

(4,5)

(5,5)

(6,5)

(1,6)

(2,6)

(3,6)

(4,6)

(5,6)

(6,6)

1. zarın 6 farklı çıktısı ve 2. zarın da 6 farklı çıktısı

olduğundan, örnek uzayın eleman sayısı

6.6 = 36 dır.

Bu 36 eleman içindeki

(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) ve (6, 6)

çıktıları birer kez yazılmışken,

(1, 2) ile (2, 1), (1, 3) ile (3, 1), (4, 5) ile (5, 4), .....

gibi olaylar farklı olaylar olup ayrı ayrı yazılmıştır.

Yani, (4, 5) çıktısı birinci zarın üst yüzünün 4 ikin-

cisinin 5 geldiğini, (5, 4) çıktısı ise birinci zarın üst

yüzünün 5 ikincisinin 4 geldiğini göstermektedir.

Buna göre aşağıda verilen bazı olayları inceleyi-niz.

A = {Toplamın 10 olması olayı}

= {(6, 4), (5, 5), (4, 6)}

B = {Çarpımın 12 olması olayı}

= {(6, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 6)}

C = {Toplamın 1 olması olayı}

= ∅ (imkansız olay)

D = {Toplamın en az 11 olmaı olayı}

= {(6, 5), (6, 6), (5, 6)}

ÖRNEK 122

İçinde 3 kırmızı ve 4 beyaz bilye bulunan torbadan bir çekilişte 2 bilye çekme deneyindeki;

a. Örnek uzayın eleman sayısı kaçtır?

b. Çekilen bilyelerin aynı renkte olması olayının eleman sayısı kaçtır?

Çözüm

a. Torbada 3 + 4 = 7 tane bilye olup bunlardan

2 tane bilyeyi !. !!7

2 5 27 21= =d n farklı şekilde

çekebiliriz. Yani, s(E) = 21 dir.

b. Çekilen bilyeler aynı renkte olacaksa, 3 kır-

mızı bilyenin 2 si veya 4 beyaz bilyenin 2 si

çekilmeli.

O halde, 32

42

3 6 9+ = + =d dn n bulunur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

193

OLASILIK FONKS YONU

E örnek uzay n n tüm alt kümelerinin olu turdu u

küme (kuvvet kümesi) K olsun.

P : K [0, 1]

fonksiyonu a a daki aksiyomlar sa larsa P fonk-

siyonuna olas l k fonksiyonu, P(A) görüntüsüne de

A olay n n olas l denir.

A E 0 P(A) 1

P(E) = 1

A, B E ve A B = ise

P(A B) = P(A) + P(B)

ÖRNEK 123

Bir madeni paran n düzgün bir zemine at lmas dene-

yini inceleyelim.

E = {Y, T} örnek uzay ve

K = { , {Y,}, {T}, {Y, T}} kuvvet kümesidir.

A olay n n olma olas l da P(A) d r.

P( ) = 0 [0, 1]

P(Y) = 21 [0, 1]

P(T) = 21 [0, 1]

P(Y, T) = P(E) = 1 [0, 1]

P(Y T) = P(Y) + P(T) = 21

21 1+ =

oldu undan olas l k fonksiyonunun tan m ndaki 3 aksiyom da sa lan r.

Yani, P : K [0, 1] fonksiyonu bir olas l k fonksi-

yonudur.

Teorem:

A, B E ve P bir olas l k fonksiyonu ise

a. P( ) = 0

b. A B ise P(A) P(B)

c. A = E – A ise P(E) = P(A) + P(A ) = 1

d. P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) dir.

ÖRNEK 124

E örnek uzay nda iki olay A ve B olsun. P(A )= 31

P(B) = 41 ve P(A B)

61 ise P(A B) kaçt r?

Çözüm

P(A) + P(A ) = 1 P(A) + 31 1=

P(A) = 1 – 31

P(A) = 32 olur.

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

= 32

41

61

43–+ = bulunur.

ÖRNEK 125

E örnek uzay nda iki olay A ve B olsun. P(A) = 31

P(B) = 53 ve P(A B) =

41 oldu una göre a a daki

olas l klar hesaplay n z.

a. P(A B)

b. P(B )

c. P(A B )

Çözüm

a. P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

= 31

53

41–+ = .olur

6041

b. P(B) + P(B ) = 1 P(B ) = 1 – P(B)

P(B ) = 153– =

52 olur.

c. Kümelerdeki De Morgan kural na göre,

A B = (A B) dir.

P(A B) + P(A B) = 1 oldu undan

6041 + P(A B) = 1 P(A B) = 1 –

6041

P(A B) = 6019

P(A B ) = 6019 olur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

194

E Olumlu Örnek Uzay

E = {a1, a2, ...., an} bir sonlu örnek uzay olsun.

P(a1) = P(a2) = .... = P(an) ise E örnek uzay na

e olumlu örnek uzay ad verilir.

E olumlu bir uzayda, aksi belirtilmedikçe,

olas l k fonksiyonu

( )( )( )

P As Bs A

T m durumlar n say sstenen durumlar n say s

ü › ›‹ › › ›

= = d r.

ÖRNEK 126

E = {1, 2, 3, 4, 5} e olumlu örnek uzay ise

P(2) + P(5) toplam kaçt r?

Çözüm

s(E) = 5 olup E e olumlu örnek uzay olup,

P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = 51 dir.

P(2) + P(5) = 51 +

51 =

52 bulunur.

ÖRNEK 127

Bir madeni paran n düzgün bir zemine at lmas dene-yinde, yaz (Y) ve tura (T) olmak üzere,

E = {Y, T} olup s(E) = 2 dir. Buna göre,

P(Y) = ( )( )

s Es Y

21= ve P(T) =

( )( )

s Es T

21= olur.

P(Y) = P(T) = 21 oldu undan bu deneydeki örnek

uzay, e olumlu örnek uzayd r.

ÖRNEK 128

ki madeni paran n düzgün bir zemine at lmas sonu-cu ikisinin de tura gelme olas l kaçt r?

Çözüm

Örnek uzay = E = { YY, YT, TY, TT }, s(E) = 4

stenen olay = A = { TT }, s(A) = 1

O halde, P(A) = ( )( )

s Es A =

41 olur.

ÖRNEK 129

Bir madeni paran n arka arkaya üç kez at lmas sonu-cu en az iki yaz gelmesi olas l kaçt r?

Çözüm

E = { YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT }

olup s(E) = 8 dir.

stenen olay ise

A = { YYY, YYT, YTY, TYY } olup s(A) = 4 tür.

P(A) = ( )( )

s Es A =

84 =

21 bulunur.

ÖRNEK 130

Bir madeni paran n arka arkaya 5 kez at lmas sonu-cu 2 tura, 3 yaz gelme olas l kaçt r?

Çözüm

Örnek uzay n eleman say s ,

s(E) = 2.2.2.2.2 = 25 = 32 dir.

2 tura ve 3 yaz n n kendi aralar ndaki dizili lerinin

say s , tekrarl permütasyondan

s(A) = !. !!

2 35 10= dur.

P(A) = ( )( )

s Es A =

3210 =

165 bulunur.

ÖRNEK 131

Bir tavla zar bir kez at ld nda üst yüze gelen say -n n asal say olma olas l kaçt r?

Çözüm

Örnek uzay = E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, s(E) = 6

stenen olay = A = {2, 3, 5}, s(A) = 3

P(A) = ( )( )

s Es A =

63 =

21 bulunur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

195

ÖRNEK 132

Bir tavla zar arka arkaya iki kez at ld nda üst yüze gelen say lar n ayn olma olas l kaçt r?

Çözüm

Örnek uzay n eleman say s , s(E) = 6.6 = 36 d r.

stenen olay,

A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} olup

s(A) = 6 d r.

P(A) = ( )( )

s Es A =

366 =

61 bulunur.

ÖRNEK 133

Bir tavla zar arka arkaya iki kez at ld nda üst yüze gelen say lar n toplam n n 8 olma olas l kaçt r?

Çözüm

Örnek uzay n eleman say s , s(E) = 6.6 = 36 d r.

stenen olay,

A = {(6,2), (5,3), (4,4), (3,5), (2,6)} olup

s(A) = 5 tir.

P(A) = ( )( )

s Es A =

365 bulunur.

ÖRNEK 134

Bir torbada 3 sar , 4 k rm z ve 5 beyaz bilye vard r.

Torbadan bir bilye çekildi inde, bu bilyenin k rm z olma olas l nedir?

Çözüm

3 + 4 + 5 = 12 bilyeden 1 bilye

121

12=d n farkl ekilde seçilebilece inden örnek

uzay n eleman say s s(E) = 12 dir.

Torbadan 1 k rm z bilye 41

4=d n farkl ekilde

seçilebilece inden istenen olay n eleman say s

s(A) = 4 tür. O halde,

P(A) = ( )( )

s Es A

124

31= = tür.

ÖRNEK 135

Bir torbada 4 k rm z ve 5 beyaz bilye vard r. Torbadan rastgele 2 bilye çekildi inde, bilyelerin farkl renkte olma olas l kaçt r?Çözüm

s(E) = !. !!9

2 7 29 36= =d n olup, bilyeler farkl renkte

olacaksa, biri k rm z , biri beyaz olmal d r. Yani,

s(A) = .41

51

d dn n = 4.5 = 20 dir.

P(A) = ( )( )

s Es A =

3620 =

95 bulunur.

ÖRNEK 136

Bir torbada 4 k rm z ve 5 beyaz bilye vard r. Torbadan arka arkaya 2 bilye çekildi inde, çekilen birinci bilye-nin k rm z , ikinci bilyenin beyaz olma olas l kaçt r?Çözüm

4 + 5 = 9 bilyeden bir bilye çekti imizde

bunun k rm z olma olas l , 91

41

94=

ddnn

dur.

Geriye kalan 8 bilyeden bir bilye daha çekildi in-

de bunun beyaz olma olas l , 81

51

85=

ddnn

dir.

O halde, çekilen birinci bilyenin k rm z ve ikinci

bilyenin beyaz olma olas l 94

85

185· = dir.

ÖRNEK 137

Bir torbada 5 siyah ve 3 beyaz bilye vard r. Torbadan rastgele 3 bilye çekildi inde ikisinin siyah, birinin beyaz olma olas l kaçt r?Çözüm

s(E) = !. !!8

3 5 38 56= =d n olup

2 siyah, 1 beyaz gelme olay n n eleman say s ,

s(A) = . .52

31

10 3 30= =d dn n dur. O halde,

P(A) = ( )( )

s Es A

5630

2815= = dir.


ES

EN

YAY

INLA

RI

196

ÖRNEK 138

7 k z ve 5 erkek ö rencinin bulundu u bir s n fta k z-

lar n 3 ü, erkeklerin 2 si gözlüklüdür. S n ftan rastgele

seçilen iki ö rencinin,

a. kisinin de k z olma olas l ,

b. kisinin de gözlüklü olma olas l ,

c. Birisinin k z di erinin erkek olma olas l ,

d. kisinin de gözlüklü ve k z olma olas l ,

e. kisinin de gözlüklü veya ikisinin de k z olma ola-

s l n hesaplay n z.

Çözüm

Gözlüklü

Gözlüksüz

K›z

3

4

Erkek

2

3

a. 122

72

6621

227= =

ddnn

b. 122

52

6610

335= =

ddnn

c. .

.122

71

51

667 5

6635= =

dd d

nn n

d. 122

32

663

221= =

ddnn

e. P(G K) = P(G) + P(K) – P(G K)

= 335

227

221–+ =

3314 bulunur.

ÖRNEK 139

5 doktor ve 6 hem ire aras ndan 3 ki ilik bir ekip olu turulacakt r. Bu ekipte en az 2 doktor bulunma olas l kaçt r?

Çözüm

5 + 6 = 11 ki iden 3 ki i,

!. !

!113 8 3

11 165= =d n farkl ekilde seçilebilir.

Ekipte en az 2 doktor bulunacaksa; 2 doktor, 1 hem ire veya 3 doktor olabilir. Yani, istenen olay n eleman say s ,

.52

61

53

+d d dn n n = 10.6 + 10 = 70 dir.

P(A) = ( )( )

s Es A

16570

3314= = bulunur.

ÖRNEK 140

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlar kullan larak yaz labilen 4 basamakl ve rakamlar farkl say lardan bir tanesi seçiliyor. Seçilen bu say n n 5 ile bölünebi-len bir say olma olas l kaçt r?

Çözüm

yüzler

5

onlar

4

birler

3

{1, 2, 3, 4, 5}

binler

5

s(E) = 5.5.4.3 = 300 dür.

yüzler

4

onlar

3

birler

1

{1, 2, 3, 4, 5}

binler

5

{0}

yüzler

4

onlar

3

birler

1

{1, 2, 3, 4}

binler

4

{5}

s(A) = 5.4.3.1 + 4.4.3.1 = 108 dir.

P(A) = ( )( )

s Es A =

300108 =

259 bulunur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

197

ÖRNEK 141

Bir oylama sırasında, birinci sandıkta 4 siyah 5 beyaz ve ikinci sandıkta, 5 siyah 3 beyaz oy pusulası vardır. Birinci sandıktan bir oy pusulası alınarak rengine bakılmadan ikinci sandığa atıldıktan sonra ikinci san-dıktan alınan bir oy pusulasının beyaz olma olasılığı kaçtır?

Çözüm

4S

5B

5S

3B

beyaz

I II

Birinci sandıktan alınan oy pusulası siyah veya beyaz olabilir. Buna göre,

S B B B –– –– –– –– P(A) =

94

93· +

95

94·

= 8112

8120+ =

8132 bulunur.

ÖRNEK 142

İki torbadan her birinde 4 beyaz, 3 siyah bilye vardır. Birinciden bir bilye alınıp ikinciye ve sonra da ikinci-den bir bilye alınıp birinci torbaya atılıyor. Renk bakı-mından ilk durumu elde etme olasılığı kaçtır?

Çözüm

4B

3S

4B

3S

I II

Renk bakımından ilk durumu elde edebilmek için I. den alınıp II. ye atılan bilyenin rengi ile II. den alınıp I. ye atılan bilyenin rengi aynı olmalıdır.

Buna göre,

B B S S –– –– –– –– P(A) =

74

85· +

73

84· =

74 bulunur.

KOŞULLU OLASILIK

E örnek uzay ve A ile B herhangi iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması halinde A olayının ger-çekleşmesi olasılığına A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A / B) biçiminde gösterilir.

P(A / B) = ( )

( )P B

P A B+ dir.

E eş olumlu örnek uzay ise,

P(A / B) = ( )

( )s B

s A B+ dir.

A nın B koşullu olasılığı hesaplanırken B küme- si örnek uzay olarak düşünülüp hesap yapılabilir.

ÖRNEK 143

E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun. P(A) = 31

P(B) = 21 ve P(A ∪ B) =

43 ise P(A / B) kaçtır?

Çözüm

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

43

31

21= + – P(A ∩ B)

P(A ∩ B) = 31

21

43–+ =

121

P(A / B) = ( )

( )P B

P A B+ =

21121

= 61 bulunur.

ÖRNEK 144

Bir madeni paranın iki kez arka arkaya atılması de-neyinde yazı geldiği bilindiğine göre, ikisinin de yazı gelmesi olasılığı kaçtır?

Çözüm

Bir madeni paranın iki kez arka arkaya atılması deneyinde yazı gelmesi olayı, B = { YY, YT, TY }

İkisinin de yazı gelmesi olayı, A = { YY } dir.

O halde A ∩ B = { YY } olup istenen olasılık,

P(A / B) = ( )

( )s B

s A B+ = 31 bulunur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

198

ÖRNEK 145

İki tavla zarının birlikte atılması deneyinde üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olduğu bilindiğine göre, sayıların ikisinin de çift sayı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm

Üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olması olayı,

B = {(6,2), (5,3), (4,4), (3,5), (2,6)} dır.

Üst yüze gelen sayıların ikisinin de çift sayı olma-sı olayı,

A = {(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)}

olur. O halde,

A ∩ B = {(6,2), (4,4), (2,6)} olup istenen olasılık,

P(A / B) = ( )

( )s B

s A B+ = 53 bulunur.

ÖRNEK 146

I. torbada 2 sarı 3 kırmızı top, II. torbada 3 sarı 4 kırmızı top vardır. Torbaların birinden rastgele bir top çekildiğinde topun kırmızı renkte olduğu bilindiğine göre, I. torbadan çekilmiş olma olasılığı nedir?

Çözüm

2S

3K

3S

4K

I II

Çekilen topun kırmızı renkte olması olayı B ise,

P(B) = P(I).P(K / I) + P(II).P(K / II)

= 21

53

21

74· ·+ =

103

72+ =

7041 tir.

İstenen olay I. torbadan kırmızı top çekilmesi olduğundan,

P(I / B) = ( )

( )P B

P I B+

= ( )

( ) . ( / )P B

P I P K I =

7041

21

53·

= 4121 bulunur.

BAĞIMSIZ OLAYLAR

İki olaydan birinin gerçekleşmesi veya gerçekleşme-mesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir.

P(A ∩ B) = P(A).P(B)

Eğer iki olay bağımsız değilse bu olaylara bağımlı olaylar denir.

A ve B olaylarının meydana gelme olasılığı P(A ∩ B) demektir.

A veya B olaylarının meydana gelme olasılığı

P(A ∪ B) demektir.

ÖRNEK 147

A ve B bağımsız olaylardır.

P(A) = 32 ve P(B) =

61 ise

P(A ∩ B) ve P(A ∪ B) kaçtır?

Çözüm

A ve B bağımsız olaylar olduğundan,

P(A ∩ B) = P(A).P(B) = 32

61· =

91 bulunur.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= 32

61

32

61– ·+ =

1813 bulunur.

ÖRNEK 148

Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın tura ve zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm

Paranın tura gelme olasılığı P(A) = 21

Zarın asal sayı gelme olasılığı P(B) = 63

21=

olup paranın tura gelmesi zarın asal sayı gel-mesini etkilemediğinden bu iki olay bağımsızdır. O halde, paranın tura ve zarın asal sayı gelme olasılığı

P(A ∩ B) = P(A).P(B) = 21

21· =

41 bulunur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

199

ÖRNEK 149

Bir madeni para ile bir zar birlikte at l yor. Paran n tura veya zar n asal say gelme olas l kaçt r?

Çözüm

Paran n tura gelme olas l P(A) = 21

Zar n asal say gelme olas l P(B) = 63

21=

olup paran n tura veya zar n asal say gelme olas l

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

= 21

21

21

21– ·+ =

43 bulunur.

ÖRNEK 150

Bir topluluktaki 12 bayan n 7 si gözlüklü ve 9 erke in 6 s gözlüklüdür. Bu topluluktan seçilen bir ki inin erkek veya gözlüklü olma olas l kaçt r?

Çözüm: I. Yol

Gözlüklü

Gözlüksüz

Bayan

7

5

Erkek

6

3

Erkek veya gözlüklü 7 + 6 + 3 = 16 ki i

olup istenen olas l k,

211

161

2116=

ddnn

bulunur.

II. Yol

Seçilen bir ki inin erkek olma olas l 219

gözlüklü erkek olma olas l 216 ve

gözlüklü olma olas l 2113 oldu undan,

erkek veya gözlüklü olma olas l ;

P(E G) = P(E) + P(G) – P(E G)

= 219

2113

216–+ =

2116 olur.

ÖRNEK 151

Bir s nava giren Ali’nin s nav geçme olas l 53 ve

Bar ’ n ayn s nav geçme olas l 31 tür. Buna göre,

a. Her ikisinin de s nav geçme olas l kaçt r?

b. Sadece Ali’nin s nav geçme olas l kaçt r?

c. En az birisinin s nav geçme olas l kaçt r?

d. kisinin de s nav geçememe olas l kaçt r?

Çözüm

a. Ali’nin s nav geçme olay A ve Bar ’ n s -

nav geçme olay B olsun. Buna göre,

P(A) = 53 ve P(B) =

31 tür.

Her ikisinin de s nav geçme olas l ,

P(A B) = P(A).P(B) = 53

31· =

51 olur.

b. Sadece Ali s nav geçecekse; Ali s nav ge-

çecek ve Bar s nav geçemeyecek demek-

tir. Buna göre,

P(A B ) = P(A).P(B )

= 53 1

31· –c m =

52 olur.

c. En az birisinin s nav geçme olas l

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

= 53

31

53

31– ·+ =

1511 olur.

d. kisinin de s nav geçememe olas l ,

P(A B ) = P(A ).P(B )

= .153 1

31– –c cm m

= .52

32

= 154 olur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

200

SONSUZ ÖRNEK UZAYI

E örnek uzay sonsuz çoklukta örnek noktalardan

(uzunluk, alan, hacim, a rl k, aç ölçüsü, ...) olu uyor-

sa bu örnek uzaya sonsuz örnek uzay denir. A olay da

E örnek uzay nda bir olay ise bu A olay n n olas l ,

A n n ölçüsü P(A) = –––––––––––– olur. E nin ölçüsü

ÖRNEK 152

Yar çap r cm olan bir dairenin içinden seçilen bir nok-tan n, dairenin merkezine olan uzakl n n, dairenin çevresine olan uzakl ndan daha k sa olma olas l kaçt r?

Çözüm

r2

r2

O

Yar çap r olan dairenin alan örnek uzayd r. stenen noktalar ise taral alanla gösterilmi tir.

Buna A olay dersek,

P(A) = E nin alanA n n alan =

.

.

r

r2

2

2

r

r b l =

.r

r4

·2

2

r

r =

41

ÖRNEK 153

Boyutlar 20 cm ve 30 cm olan dikdörtgen eklindeki bir ka t üzerinde rastgele i aretlenen bir noktan n, ka d n a rl k merkezine en çok 10 cm uzakl kta olma olas l kaçt r?

Çözüm

O1020

30

Örnek uzay, boyutlar 20 cm ve 30 cm olan dik-dörtgenin üzerindeki noktalard r. stenen noktalar ise yar çap 10 cm olan ekildeki taral dairedir. stenen olaya A olay dersek

P(A) = E nin alanA n n alan =

..

20 30102r = .

600100 r =

6r d r.

ÖRNEK 154

E = { x : |x| 3, x R }

örnek uzay nda seçilen bir noktan n

[0, 2] aral na ait olma olas l kaçt r?

Çözüm

|x| 3 –3 x 3

Örnek uzay n uzunlu u 6 br dir.

–3 0 32

stenen noktalar n [0, 2] aral na ait olmas ola-y na A dersek,

A n n uzunlu u P(A) = –––––––––––––– E nin uzunlu u

= 62 =

31 olur.

ÖRNEK 155

CD

BA

N M

K L

35

4

2

ekildeki ABCD dikdörtgeni, K, L, M, N dikdörtgen-

sel bölgelerinin birle iminden olu maktad r ve kenar

uzunluklar ekildeki gibidir.

Buna göre, ABCD dikdörtgeni içinde bir nokta rast-

gele i aretlendi inde bu noktan n M bölgesinde olma

olas l kaçt r?

Çözüm

P(A) = isinABCD dikd rtgeninin alan

b l n alanMö

ö eg

= ..

8 64 3

= 41 bulunur.

201

ES

EN

YAY

INLA

RI


Bir para üst üste 4 kez at l rsa örnek uzay 16 elemanl olur.

Bir zar üst üste 3 kez at l rsa örnek uzay 216 elemanl olur.

5 para at ld nda örnek uzay 25 eleman-l olur.

Bir A olay n n olas l P(A) ise

–1 P(A) 1 dir.

A kesin olay ise P(A) = 1 dir.

2. ki madeni para at ld nda en çok bir yaz gelme-si olas l kaçt r?

3. Bir madeni para art arda 3 kez at ld nda, 2 kez yaz 1 kez tura gelme olas l kaçt r?

4. Bir madeni para art arda 5 kez at ld nda, 2 kez yaz 3 kez tura gelme olas l kaç olur?

5. Bir çift zar at ld nda üste gelen say lar n

a. Ayn olma olas l n

b. Farkl olma olas l n

c. Toplamlar n n 9 olma olas l n

d. Birinin tek, di erinin çift say olma olas l n

e. Toplamlar n n 13 olma olas l n

f. Toplamlar n n en az 2 olma olas l n bulu-

nuz.

6. 4 k z, 5 erkek arkada yanyana foto raf çek-tireceklerdir. K zlar n bir araya gelme olas l kaçt r?

ALIŞTIRMALAR – 5

1. D, D, Y, Y, D 2. 43 3.

83 4.

165 5. a.

61 , b.

65 , c.

91 , d.

21 , e. 0 , f. 1 6.

211


202

ES

EN

YAY

INLA

RI

7. Ayn büyüklükte 5 k rm z ve 3 beyaz bilyenin bulundu u bir torbadan, rastgele 3 bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin,

a. Üçünün de beyaz olma olas l n

b. Üçünün de k rm z olma olas l n

c. Üçünün de ayn renk olma olas l n

d. kisinin beyaz, birinin k rm z olma olas l n

e. En az birinin k rm z olma olas l n bulunuz.

8. 4321132 say s n n rakamlar yer de i tirilerek olu turulan 7 basamakl say lardan biri rastgele al nd nda bunun 4 ile ba lay p 3 ile biten bir say olma olas l kaçt r?

9. Bir torbada, ayn büyüklükte 4 sar , 3 lacivert ve 5 beyaz bilye vard r. Torbadan geri at lmamak ko uluyla art arda 3 bilye çekildi inde birincisi-nin sar , ikincisinin lacivert, üçüncüsünün beyaz olma olas l kaç olur?

10. 5 elemanl bir kümenin alt kümelerinden herhangi 2 tanesi rastgele al nd nda ikisinin de 3 ele-manl olma olas l kaç olur?

11. E örneklem uzay na ait iki olay A ve B olmak

üzere, P(A) = 41 , P(B ) =

87 ve

P(A B) = 161 ise P(A B) kaçt r?

12. 20 ki ilik bir s n fta bulunan ö rencilerin 12 si erkektir. Erkeklerin 4 ü, k zlar n 3 ü gözlüklü oldu-

una göre, s n ftan rastgele seçilen bir ö rencinin erkek veya gözlüklü olma olas l kaç olur?

13. ki madeni para ve bir zar ayn anda at l yor. Paralar n birinin yaz , di erinin tura ve zar n çift say gelme olas l kaç olur?

7. a. 561 , b.

285 , c.

5611 , d.

5615 , e.

5655 8.

211 9.

221 10.

49645 11.

165 12.

43 13.

41


203

ES

EN

YAY

INLA

RI

14. Bir madeni para iki kez at l yor. Birinci at ta tura geldi i biliniyorsa, ikinci at ta yaz gelme olas l -

kaç olur?

15. Bir çift zar at ld nda zarlar n üstündeki say lar n toplam n n 10 oldu u biliniyorsa ikisinin de tek say olma olas l kaç olur?

16. ki torbadan birincisinde 3 k rm z , 5 beyaz; ikinci-sinde 4 k rm z , 3 beyaz bilye vard r. Torbalardan biri rastgele al n p içinden bir bilye al n rsa bu bilyenin k rm z olma olas l kaç olur?

17. ki torbadan birincisinde 4 beyaz, 5 ye il; ikinci-sinde 3 beyaz, 4 ye il bilye vard r. Birinci torba-dan bir bilye rastgele al n p, ikinci torbaya konu-yor ve ikinci torbadan rastgele bir bilye al n yor. Bu bilyenin ye il olma olas l nedir?

18. ki torbadan birincisinde 6 k rm z , 4 mavi; ikinci-sinde 5 k rm z , 3 mavi bilye vard r. Torbalardan biri rastgele al n p, içinden bir bilye çekiliyor. Bu bilyenin k rm z oldu u biliniyorsa, birinci torba-dan çekilmi olma olas l kaç olur?

19. s(A) = 3 ve s(B) = 4 olmak üzere, A dan B ye tan ml ba nt lardan biri rastgele seçilirse bunun A dan B ye bir fonksiyon olma olas l kaç olur?

20. ekildeki O merkezli

5 puan

3 puan

1 puan

BC

A O

hedef tahtas nda

|CB| = |BA| = |AO|

olmak üzere,

al nabilecek puanlar

verilenler gibidir.

Tek at yapan birisinin tahtay vurdu u bilindi i-ne göre, 3 puan alma olas l kaçt r?

21. Yandaki ekilde A, B, C, D

50°120°

80°

BA

D

C fabrikalar n n üretti i mallar n

dairesel grafi i verilmi tir.

Bu fabrikalar n üretti i mal-lardan seçilen bir mal n C veya D fabrikas nda üretilmi olma olas l kaçt r?

14. 21 15.

31 16.

11253 17.

7241 18.

4924 19.

641 20. 1

3 21. 19

36

204


statistik; örnek verilerden hareket ederek popülasyon (ana kitle – y n) hakk nda yorumlama, genelleme ve tahmin yapma bilimidir. 20. yüzy ldan itibaren istatistik; muhasebe, yönetim, finansman ve pazarlama gibi pek çok uygulama alan bulmu tur.

Trafik kazalar , evlenme, bo anma, do um, ölüm, kâr, zarar gibi konular istatisti in ilgilendi i konulard r.

statistikte incelenen olay n özellik ya da özelliklerinin ald de erler rakamlarla ifade edilebilmelidir.

Bir olaylar kümesindeki tek bir olay, tüm olaylar kümesini temsil edebiliyorsa bu tür olaylar istatisti in ilgi alan na girmez. (Suyun 100°C de kaynamas gibi, ayn yerde ayn ko ullarda yap lan her deneyin sonucu ayn olur.)

Ölçülmeye veya say lmaya elveri li tüm canl ve cans z varl klar ve olaylara; okul, insan, bina, araba, do um, ölüm, evlenme, kâr zarar gibi kavramlara istatistiki birim denir.

Sevinç, korku, rüya, renk ve koku gibi soyut kavramlar say lamad klar ve ölçülemedikleri için istatistik için birim olamazlar.

Birimlerin sahip oldu u özelliklere de i ken, de i kenlerin ald de erlere de k denir.

Belirlenen amaçlar için gözlenecek olan birimlerin ölçülmesi, say lmas ve ald klar de erlerin belirlenmesi ve kaydedilmesine veri derleme denir. Elde edilen bu verilerin istatistiksel yöntemlerle de erlendirildikten sonra uygun araçlar kullanarak sunumunun yap lmas istatisti in amac d r.

statistik;

Yeni bilgilere ula mak ve bunlar geli tirmek için yap lan ara t rmalardan elde edilen verileri düzenlemek,

Problem çözümleri için çal ma teknikleri olu turmak,

De i kenlerin ürünleri ve üretim süreçlerini nas l etkileyece ini tahmin etmek,

Yap lan gözlem ve deneylerden elde edilen sonuçlar , do ru yorumlamak ve anla l r bir biçimde sunmak,

Sonuçlar n güvenilirli ini test etmek gibi birçok amaç için ço u bilim dal na yard mc olmaktad r.

statistiksel çal malar yap l rken,

Grafikler Frekans Tablolar

Merkezi E ilim Ölçüleri Merkezi Yay lma (Da l m) Ölçüleri (De i kenlik Ölçüleri)

gibi yöntemlerden yararlan l r.

statistiksel verileri sözel ifadelerle aç klayarak, frekans tablolar yaparak ve grafik gösterimler kullanarak daha anlaml ve kolay anla labilir hale getirebiliriz. Verileri ise iki ana grup alt nda toplayabiliriz.

Veri

Kategorik (‹simsel)

Say sal

Kesikli Marka, kanal ad ,ders ad , ülke,ehir v.b. gibi

SürekliKarde say s ,araç sat› adedi,ya , v.b. gibi

Boy, a¤›rl›k,s›cakl›k v.b. gibi

STAT ST K


205

GRAF KLER

Verilerin veya kar la t r lmas yap lacak de i kenlerin çizgi, tablo, nokta veya ekillerle ifade edilmesine grafik denir. Grafikler verilerin sunumuna görsellik katararak daha kolay yorumlanmas n sa lar. Veri türlerine ve istenen amaca göre çizilebilecek çe itli grafik türleri vard r. Bunlar;

Çizgi grafi i Sütun grafi i (Çubuk - Histogram) Daire grafi i

Serpilme grafi i Kutu grafi i

ba l klar alt nda ifade edilebilir.

Ç ZG GRAF

Verilerin yatay ve dikey eksendeki de erleri i aretlenerek bulunan noktalar n çizgilerle birle tirilmesi sonucunda elde edilen grafikler çizgi grafikleridir. Özellikle bir de i kenin zaman içerisindeki de i imini (artma, azalma) ince-lemek için kullan lan en uygun grafiktir.

ÖRNEK 156

Yanda bir hareketlinin belli zaman aral nda ald yolu1

2

3

4

5

100

150

175

175

200

Zaman (dk) Yol (m)

gösteren tablo verilmi tir. Bu tablodan yararlanarak hare-ketlinin ald yolu zamana göre ifade eden çizgi grafik a a da çizilmi tir.

200

175

150

125

100

75

50

25

0

Yol (m)

Zaman (dk)1 2 3 54 76

Hareketin toplam süresi 5 dakikad r.

Hareket süresince al nan toplam yol 200 metredir.

1. dakikan n sonunda al nan yol 100 metredir.

2. ve 3. dakikalar aras nda al nan yol 175 – 150 = 25 metredir.

3. ve 4. dakikalar aras nda yol al nmam t r. Yani bu zaman diliminde hareketli durmu tur.

H z = zaman

yol oldu undan, hareketlinin en yüksek h za sahip oldu u aral k 0-1 dakika aral d r.

Bu aral ktaki h z V = 1 0

100 0 100–

– = m/dk d r.

En çok yol ald aral k 0-1 dakikalar aras d r. Bu aral kta 100 metre yol alm t r.

2. ve 3. dakikalar aras nda ald yol, 4. ve 5. dakikalar aras nda ald yola e ittir (25 m).

Ayn süre içinde (1 dk) ald yollar e it oldu undan bu aral klarda h zlar da e ittir.


ES

EN

YAY

INLA

RI

206

ÖRNEK 157

1

25

2

30

3

20

4

30

5

40

S›nav No

Netlerin Say›s›

Yukar daki tabloda Serasu’nun 40 ar sorudan olu an 5 farkl matematik s nav ndaki netlerinin say s göste-rilmi tir. Tablodaki verileri çizgi grafi i ile gösterelim.

Çözüm

S nav numaralar n yatay (x), matematik netlerini de dü ey (y) eksende göstererek;

(1, 25), (2, 30), (3, 20), (4, 30), (5, 40) noktalar i aretlenir ve bu noktalar do rusal çizgilerle bir-le tirilerek istenen grafik elde edilir.

40

35

30

25

20

15

10

5

0

Net say lar›

S›navlar3 4 51 2

Grafik incelindi inde a a daki sonuçlara ula a-biliriz.

En dü ük net 3. s navda ç kar lm t r.

En yüksek net 5. s navda ç kar lm t r.

2. ve 4. s navlardaki netler e ittir.

Uyar

En dü ük netin 3. s navda ç kar lm olmas na bakarak, bu s navlar içinde en zor olan n 3. s nav oldu unu söyleyemeyiz. Çünkü netlerin dü üklü-

ü ba ka sebeplere de ba l olabilir; rahatl k, çok i lem hatas , konsantre bozuklu u vs. gibi.

Ayn ekilde, en kolay s nav n 5. deneme s nav oldu u söylenemez.

Serasu’nun s n f n n içindeki ve okul genelindeki s ralamas ile ilgili bir yorum yap lamaz.

ÖRNEK 158

10

8

6

4

2

0

Ö¤renci Say›s›

Notlar1 2 3 54

Yukar daki grafik bir s n ftaki tüm ö rencilerin mate-matik dersinden ald notlar gösterdi ine göre, a a-

daki bilgilerden hangisi yanl t r?

I. 3 alan 9 ki i vard r.

II. En dü ük geçme notu 2 ise matematik dersinden kalan ö renci yoktur.

III. 2 alanlar n say s 5 alanlar n say s na e ittir.

IV. S n f mevcudu 27 ki idir.

V. 1 ve 3 alan ö renci say lar n n toplam s n f n ya-r s ndan azd r.

VI. S n f n 31 ünün notu 3 tür.

Çözüm

I. 3 alan 9 ki i oldu una göre do rudur.

II. 2 nin alt nda not alan, yani 1 alan 4 ö renci oldu una göre, matematik dersinden kalan 4 ö renci vard r. Bu seçenek yanl t r.

III. 2 alan ve 5 alan 3 ki i oldu u için say lar e ittir.

IV. S n f mevcudu = 4 + 3 + 9 + 8 + 3 = 27 ki idir.

V. 1 alan 4 ve 3 alan 9 ö renci vard r.

4 + 9 = 13 < 227 oldu u için do rudur.

VI. S n f mevcudu 27 ve notu 3 olan ö renci

say s 9 oldu undan s n f n 279

31= ünün

notu 3 tür.


ES

EN

YAY

INLA

RI

207

ÖRNEK 159

8

10

6

8

12

14

16

12

20

18

22

22

ehirler

Aylar

Ankara

Çorum

Oca

k

ubat

Mar

t

Nis

an

May

›s

Haz

iran

Yukar daki tabloda Ankara ve Çorum’daki 2010 y l -n n ilk 6 ay na ait güne li gün say lar verilmi tir. Bu tabloya ait çizgi grafi i a a da çizilmi tir. nceleyiniz.

22

20

18

16

14

12

10

8

6

Güne li Gün Say›s›

Aylar

AnkaraÇorum

Oca

k

ubat

Mar

t

Nis

an

May

›s

Haz

iran

ÖRNEK 160

S cakl k (°C)

Aylar

40

30

20

10

0

–109 101 2 3 7 85 64 11 12

Bir kentin 1 y l boyunca ayl k ortalama hava s cak-l klar yukar daki grafikle ifade edilmi tir. Buna göre, elde edilen a a daki bilgileri inceleyiniz.

En so uk ay ocak, en s cak ay ise temmuzdur.

Kuzey yar mkürede yer al r.

Y ll k s cakl k fark 37°C civar ndad r.

Kar ya ve donma görülebilir.

ubat ve aral k aylar n n s cakl k de erleri ayn d r.

Üç ay n s cakl k de erleri 0°C nin alt ndad r.

Yaz s cak, k ise so uktur.

ÖRNEK 161

Al nan yol (km)

0 600

Yak t miktar (litre)

60

Deposu 60 litre yak t alan bir arac n, ehirler aras yolda bir depo benzinle alabildi i yol 600 km dir. Bu durum yukar daki grafikle ifade edilmi tir. Buna göre,

a. Bu araç 1 L benzinle kaç km yol alabilir?

b. ehir içinde, % 20 daha fazla yak t tüketti ine göre ayn araç bir depo yak t ile ehir içinde kaç km yol alabilir?

c. Arac n deposunda 50 km lik yola yetecek yak t kald nda uyar yand na göre, deposunda kaç litre benzin kald nda uyar yanar?

Çözüm

a. I. Yol:

60 L benzinle 600 km yol al rsa

1 L benzinle x km yol al r –––––––––––––––––––––––––––– x.60 = 1.600 x =

60600 = 10 km

II. Yol: y : yak t miktar , x : al nan yol olmak üzere grafikteki do runun denklemi;

x y600 60

1+ = x + 10y = 600 olur.

y1 = 1 x1 = 590

y2 = 2 x2 = 580

x1 – x2 = 590 – 580 = 10 km

b. 1 km lik yolda tüketilen yak t miktar :

60060 = 0,1 L olup bu miktar n % 20 fazlas :

0,1.100120 = 0,12 L dir.

60 L ile ,0 1260 = 500 km yol alabilir.

c. 600 km lik yol için 60 L benzin gerekiyorsa

50 km lik yol için x L benzin gerekir ––––––––––––––––––––––––––––––––––

x = .600

50 60 = 5 L benzin bulunur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

208

SÜTUN GRAF

Bu grafik türünde toplanan bilgiler sütun eklindeki grafiklerle gösterilir. Sütun grafi inde iki eksen vard r. Yatay ve dü ey eksende ölçülen de erlerin birbirine göre durumlar sütunlarla (çubuklarla) belirtilir.Çiftli sütunlar halinde çizildi inde farkl iki veri kümesi-nin kar la t r lmas n da sa larlar. simsel veriler için zorunlu bir s ralama ko ulu yoktur. Süreksiz (aral kl ) veriler için çubuk grafi i, sürekli veriler için de his-togram olarak çizilir. Histogramda sütunlar birbirine biti ik ve veriler s ral d r.

Çubuk Grafi i

ÖRNEK 162

Ülke Üretim Miktar (ton)

spanya 3.500.000

talya 2.700.000

Yunanistan 2.100.000

Türkiye 1.800.000

Tunus 1.000.000

Dünya zeytin üretimi ile ilgili bilgiler yukar daki tablo ile verilmi tir. Bu verilere ili kin çubuk grafi ini olu -tural m.

Çözüm

‹spanya ‹talya Yunanistan Türkiye Tunus

3.0

2.0

1.0

0

Üretim miktar› (milyon ton)

Ülke

ÖRNEK 163

876543210

Ö¤renci say s

Notlar1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Yukar daki grafik bir s n ftaki ö rencilerin matematik dersinin 1. yaz l s ndan ald klar notlar göstermekte-dir. Buna göre, s n f n yüzde kaç 9 alm t r?

Çözüm

Grafik dikkatle incelenirse,

1 alan ö renci say s 1









10 alan ö renci say s 6 oldu u görülmektedir.

O halde s n f mevcudu,

1 + 3 + 4 + 2 + 7 + 3 + 8 + 2 + 4 + 6 = 40 olup

bu 40 ö rencinin 4 tanesi 9 ald ndan,

9 alan ö renci yüzdesi

404

101= = % 10 dur.

ÖRNEK 164

Ülke S n r Uzunlu u (km)

Brezilya 15.000

Rusya Federasyonu 20.000

Çin 22.000

Hindistan 14.000

A.B.D. 12.000

Dünyada en uzun kara s n rlar na sahip ülkelerle ilgili bilgiler yukar da tablo halinde verilmi tir. Bu verilere ili kin çubuk grafi i çizelim.

Çözüm

Brezilya Rusya Çin Hindistan A.B.D.

22

20

18

16

14

12

10

S n r uzunlu¤u (bin km)

Ülke0


ES

EN

YAY

INLA

RI

209

Baz çubuk grafiklerinin çiziminde a a daki yollar takip edilir.

Veriler küçükten büyü e do ru s ralan r. Grup geni li i (aral k) bulunur. Bu aral k en büyük

veri ile en küçük verinin fark d r. Verilerin kaç alt grupta toplanaca na karar veri-

lir. Tespit edilen say grup geni li ine bölünerek alt grup geni li i bulunur. Bu say ondal k bir say ise yuvarlanarak tam say tespit edilir.

Bazen i lemi kolayla t rmak için alt grup say s -n buldu umuz say n n yak n ndaki ba ka say ile de i tirebiliriz.

ÖRNEK 165

20 ki ilik bir s n ftaki ö rencilerin, matematik dersin-deki I. yaz l s nav sonuçlar ;

24, 28, 32, 36, 38, 40, 44, 46, 48, 52, 54, 60, 60, 64, 70, 78, 82, 86, 92, 94

olarak verilmi tir. Bu notlar çubuk grafi i ile göste-relim.

Çözüm

Grup geni li ini (aral n ) bulal m. En büyük not – En küçük not = 94 – 24 = 70

Verileri 5 alt grupta toplamaya karar verirsek,

alt grup geni li i = 570 = 14 olur.

Grafikte daha kolay gösterilece inden alt grup geni li i olarak buldu umuz 14 yerine 15 al rsak grup s n rlar ; 20, 35, 50, 65, 80, 95 olur.

Bu bilgiler a a daki tabloya aktar lm t r.

Notlar Ö renci Say s

20 x < 35 3

35 x < 50 6

50 x < 65 5

65 x < 80 2

80 x < 95 4

Bu tabloya göre çubuk grafi i a a da çizilmi tir.

20-35 35-50 50-65 65-80 80-95

6

5

4

3

2

1

0

Ö¤renci say s

Matematiknotlar

Çubuk grafi i çizerken de i kenleri y ekseninde, ald klar de erleri de x ekseninde gösterebiliriz.

ÖRNEK 166

Göl Yüzölçümü (km2)

E irdir 470

znik 300

Manyas 170

Tuz 1500

Van 3700

Ülkemizdeki tan nm 5 gölün yüzölçümleri (yakla k) yukar da tablo halinde verilmi tir. Bu verilere ili kin çubuk grafi ini çizelim.

Çözüm

Van

Yüzölçümü(km2)

Göller

Tuz

Manyas

‹znik

E¤irdir

0 1000 2000 3000 4000

Frekans TablosuGruplama sonucunda olu an ve belirli bir özelli i temsil eden birey say s na frekans denir. Frekans, bir özelli in olayda kaç kez tekrarland n gösterir.

x(Puan Aral )

f(Frekans)

35 – 44 4

45 – 54 5

55 – 64 6

65 – 74 5

75 – 84 3

Yukar da, bir s n fta bulunan 23 ö rencinin matema-tik s nav na ili kin puanlar n frekans tablosu verilmi -tir. Bu tabloya göre, puan 35 – 44 arall nda olan 4 ö rencinin bulundu u v.s. söylenebilir.


ES

EN

YAY

INLA

RI

210

HistrogramAlan , ilgili s n f n frekans na, taban da ilgili s n f n aral na e it olan ve birbirine biti ik dikdörtgenlerden olu an bir grafik çe itidir. Sürekli verileri göstermek için çizilirler. Tek bir de i kenin da l m n göstermek için oldukça kullan l bir grafik sunumudur.

ÖRNEK 167

Sürekli bir K de i keninin ald de erler a a da tablo ile gösterilmi tir.

S n flar Frekans

0 – 4 20

4 – 8 16

8 – 12 28

12 – 16 24

16 – 20 12

Bu verilerin histogram grafi ini çizelim.

Çözüm

S n f aral n 4 seçerek a a daki tabloyu olu -turabiliriz.

S n flar Frekans S n f Aral AyarlamFrekans

0 – 4 20 4 5

4 – 8 16 4 4

8 – 12 28 4 7

12 – 16 24 4 6

16 – 20 12 4 3

0 4 8 12 16 20

7

6

5

4

3

2

1

S n flar

Frekans

Her bir aral k üzerindeki dikdörtgenin alan o s n f n frekans n vermektedir.

Herhangi bir s n ftaki verilerin tüm verilere oran ; s n f temsil eden dikdörtgenin alan n n, tüm dik-dörtgenlerin alanlar toplam n n oran na e ittir.

Örne in 12 – 16 grubundaki veriler için bu oran:

. . . . .. ( )

5 4 4 4 7 4 6 4 3 46 16 12–

+ + + + =

256 tir.

ÖRNEK 168

Bir otoparkta bulunan 20 otomobilin modelleri a a -da verilmi tir.

1986, 1990, 1993, 1994, 1994, 1996, 1998, 1998, 2000, 2001, 2002, 2002, 2004, 2005, 2006, 2007, 2007, 2008, 2009, 2009

Bu araçlar n modellerine göre da l m için histogram olu turunuz.

Çözüm

Grup geni li i (aral ) : 2009 – 1986 = 23 tür.

Verileri 5 alt grupta toplamaya karar verirsek

alt grup geni li i : 523 = 4,6 olur.

Yuvarlama ile alt grup geni li ini 5 alabiliriz.

Alt grup s n rlar n 1985, 1990, 1995, 2000, 2005 alarak a a daki tabloyu olu turabiliriz.

Model S n flar Frekans

1. 1985 x < 1990 1

2. 1990 x < 1995 4

3. 1995 x < 2000 3

4. 2000 x < 2005 5

5. 2005 x < 2010 7

Toplam 20

Tablodaki verileri grafi e aktard m zda, a a daki histogram elde edilir.

7

6

5

4

3

2

1

0

Frekans

1 2 3 4 5Model s n flar

Grafik : Otoparkta bulunan otomobillerin modelleri


ES

EN

YAY

INLA

RI

211

DA RE GRAFEldeki verilerin daire dilimleri biçiminde sunulmas d r. De i kenlerin bir bütün içerisindeki oranlar , yüzde veya merkez aç ölçüleri gösterilerek haz rlan r. Her bir dilimin içine veya dilimin yak n ndaki bir yere, o de i kenin ad ve yüzdelik dilimi yaz l r. E er merkez aç lar kullan lacaksa her bir de i kene dü en merkez aç lar ve bunlar n toplamlar 360° olacak ekilde daire dilimlere ayr l r. Bu grafik türüne pasta grafi i de de-nilmektedir. Kesikli veriler için uygundur.

ÖRNEK 169

Ülke Üretim Miktar (Bin ton)

Hindistan 870

Çin 650

Kenya 300

Sri Lanka (Seylan) 280

Endonezya 150

Türkiye 135

Toplam 2385

Dünya çay üretiminde en büyük paya sahip 6 ülke ve üretim miktarlar yukar da tablo eklinde verilmi tir.Bu tabloya kar l k gelen daire grafi ini olu turunuz.

Çözüm

Öncelikle, her bir ülkenin üretiminin toplam üre-timdeki pay n bulal m.

Hindistan : 2385870 = 0,364 (% 36)

Çin : 2385650 = 0,272 (% 27)

Kenya : 2385300 = 0,126 (% 13)

Sri Lanka : 2385280 = 0,117 (% 12)

Endonezya : 2385150 = 0,062 (% 6)

Türkiye : 2385135 = 0,057 (% 6)

% 12 Sri Lanka

% 6 Endonezya

% 6 Türkiye

% 36 Hindistan

% 13 Kenya

% 27 Çin

ÖRNEK 170

Örnek 13 teki tabloya kar l k gelen daire grafi ini merkez aç lar kullanarak gösteriniz.

Çözüm

Her ülkeye dü en daire diliminin olu turdu u merkez aç lar n n ölçüleri basit bir orant ile bu-lunabilir.

Türkiye için;

2385 lik üretime 360° kar l k geliyorsa

135 lik üretime x kar l k gelir–––––––––––––––––––––––––––––––––––2385.x = 135.360 x 21° olur.

Yukar daki orant ya benzer orant lar kurarak di er ülkelere kar l k gelen merkez aç lar n da bulabiliriz.

Hindistan için;

2385870 .360° 131°

Çin için;

2385650 .360° 98°

Kenya için;

2385300 .360° 45°

Sri Lanka için;

2385280 .360° 42°

Endonezya için;

2385150 .360° 23° olaca ndan,

a a daki grafik elde edilir.

Hindistan Çin Kenya

Sri Lanka Endonezya Türkiye

21°23°42°45°

131°98°


212

ÖRNEK 171

Ezgi, s n f ndaki 20 arka-

% 40TRT 1

% 15Show TV

ATV

% 20

Kanal D% 25

da na TRT 1, Kanal D, Show TV, ATV kanallar n-dan hangisini daha çok iz-ledi ini sormu ve sonuç-lar a a daki daire grafi-

inde göstermi tir.

Grafikteki verileri kullanarak a a daki tabloyu dol-durunuz.

TVkanal

zleyicisay s

Daire dilimin-deki merkez aç n n ölçüsü

TRT 1

Kanal D

Show TV

ATV

Toplam 20 360°

Çözüm

TRT 1 i izleyenlerin say s ;

100 de 40 ise

20 de x tir. –––––––––––––– 100.x = 20.40 x = 8 olur.

Benzer ekilde orant lar kurularak,

Kanal D yi izleyenlerin say s ; .100

25 20 = 5

Show TV yi izleyenlerin say s ; .100

20 20 = 4

ATV yi izleyenlerin say s ; .100

15 20 = 3 olur.

TRT 1 i izleyenlere kar l k gelen daire diliminde-ki merkez aç n n ölçüsü;

20 ö renciye 360° kar l k geliyorsa

8 ö renciye x kar l k gelir. ––––––––––––––––––––––––––––––– 20.x = 360.8 x = 144° olur.

Benzer ekilde orant lar kurularak,

Kanal D için; .20

5 360° = 90°

Show TV için; .20

4 360° = 72°

ATV için; .20

3 360° = 54° olarak bulunur.

Bulunan de erleri yukar daki tabloda yerine ya-zabiliriz.

SERP LME GRAFki de i kenin bir arada incelenmesi için çizilen gra-fiklerdir. De i kenlerden birinin de erleri yatay, di er de i kenin de erleri de dü ey eksende gösterilir.

ÖRNEK 172

A a da 5 ö rencinin matematik ve fizik derslerinden ald klar notlar s ras yla verilmi tir.Matematik Notu : 30, 40, 50, 65, 75Fizik Notu : 20, 40, 45, 70, 80

Bu verilere ait grafi i olu tural m.

20 40 60 80

80

60

40

20

0Matematik

Notu (X)100

Fizik Notu (Y)

Noktalar n da l m na bakarak, matematik notu yük-sek olan ö rencilerin fizik notu da yüksektir sonucunu ç karabiliriz. Ba ka bir deyi le, notlar aras nda do ru orant vard r diyebiliriz.

ÖRNEK 173

Ayn yay n saatinde farkl kanallarda yay nlanan iki TV dizisi için 6 defa izlenme ölçümü yap lm ve iz-lenme oranlar zamana göre s ral olarak a a daki serpilme grafi inde verilmi tir.

10

8

6

4

2

0

B dizisinin izlenme oran

A dizisinin izlenmeoran

2 4 6 108 12

Grafikten yararlanarak elde edilen a a daki bilgile-ri inceleyiniz.

A dizisinin izlenme oran artt kça B dizisinin izlenme oran azalm t r.

ki dizinin izlenme oranlar ters orant l d r. Dizilerin yay na ba lad ilk zamanlarda B dizisi-

ni izleyenlerin oran daha fazlad r. B dizisinin izlenme oran sürekli azalm t r.

ES

EN

YAY

INLA

RI


213

60

40

25

125

MarkaY llar

A

B

C

Toplam

2007

45

20

20

85

2008

55

30

25

110

2009

50

40

30

120

2010Bir araba galerisindeki 4 y ll k otomobil sat lar

yandaki tablo ile verilmi tir.

Araç markalar ve sat lar ile ilgili a a daki

grafikler olu turulabilir.

Üç markan n y llara göre sat adetlerini incelemek için çizgi grafi i ile sütun grafi inden yararlanabiliriz.

Bu grafikler a a da çizilmi tir.

Sat lar (Adet)

Y llar2007 2008 2009 2010

70

60

50

40

30

20

10

0

A: B: C:

A CB70

60

50

40

30

20

10

0

Sat lar (Adet)

2007Y llar

2008 2009 2010

Sadece A markas n n y llara göre sat adet-lerini incelemek için çizgi ve sütun grafi ini bir arada ifade edebiliriz. Bunlar a a da çi-zilmi tir.

B markas n n sat lar n , toplam sat adetle-

ri ile k yaslamak için sütun grafi inden yarar-lanabiliriz. Bu grafik a a da çizilmi tir.

60

40

20

0

Sat lar (Adet)

2007Y llar

2008 2009 2010 2007

150

100

50

0

Sat› lar (Adet)

Y›llar

ToplamB

2008 2009 2010

2010 y l sat adetlerinin üç marka için hangi

oranda oldu unu kolay bir ekilde incelemek

için daire grafi inden yararlanabiliriz.

Bu grafik yanda çizilmi tir.

A% 41,7

C% 25

B% 33,3

ETK NL K


ES

EN

YAY

INLA

RI

214

MERKEZ E L M ÖLÇÜLER

Gözlenen verilerin düzenlenerek, tablolarla, grafik-lerle sunulmas ço u durumda yeterli olmaz. Genel durumu yans tacak bir tak m ölçülere gereksinim vard r. Bu ölçüler merkezi e ilim ölçüleri olup en çok kullan lanlar ; ortalama (aritmetik ortalama), ortanca (medyan), mod (tepe de eri) olmak üzere üç grupta toplanabilir. Ayr ca geometrik ortalama ve harmonik ortalama da merkezi e ilim ölçüleridir.

ORTALAMAMerkezi e ilim ölçülerinin en s k kullan lan d r.

Aritmetik ortalamay ifade eder.

Eldeki veriler toplam n n veri say s na bölümüdür.

x ile gösterilir.

Veri de erleri x1, x2, ...., xn olan n tane veri için,

...x

x x x

nn1 2+ + +

= dir.

A rl kl Ortalama: Aritmetik ortalamada, her bir ve-ri de erinin öneminin e it oldu u varsay lmaktad r. Fakat baz de erlerin önemi di erlerinden farkl olabi-lir. Bu durumlarda a rl kl ortalama kullan l r.

ÖRNEK 174

7, 6, 7, 8, 10, 12, 6

veri grubundaki say lar n ortalamas kaçt r?

Çözüm

x7 7

56 8= = =7 6 7 8 10 12 6+ + + + + + dir.

ÖRNEK 175

Ö¤renci say›s›

Karde say›s›

5

1

12

2

8

3

3

4

0

5

0

6

1

7

29 ö renci bulunan bir s n ftaki ö rencilere, karde say lar sorulmu ve verilen cevaplara göre yuka-r daki tablo olu turulmu tur. Buna göre, bu s n fta bulunanlar n ortalama karde say s kaçt r?

Çözüm

5 12 8 3 0 0 1. . . . . . . .x 1 5 2 12 3 8 4 3 5 0 6 0 7 1 2 5,=

+ + + + + ++ + + + + +

ÖRNEK 176

Kredi

4

3

2

2

Ders

Matematik

Fizik

Kimya

Biyoloji

Not

84

72

65

70

Furkan’ n say sal derslerinden ald y l sonu notlar ve bu derslerinin haftal k kredileri yukar da tablo halinde verilmi tir. Furkan’ n say sal karnesinin not ortalamas n , kredi a rl na göre bulunuz.

Çözüm

3 272.3 65.2 .4

84.4x2

70 2=+ + +

+ + + = 74.73 tür.

MEDYAN (ORTANCA)

Bir say dizisinin medyan n bulmak için, say lar kü-çükten büyü e do ru s ralan r.

Dizinin terim say s tek ise ortadaki terim med-

yand r.

Dizinin terim say s çift ise ortadaki iki terimin

aritmetik ortalamas medyand r.

Ba ka bir deyi le, n terimli bir say dizisinde

n tek ise medyan : xn2

1+

n çift ise medyan : x x

2

n n2 2 1

++

dir.

ÖRNEK 177

3, 2, 2, 1, 4, 5, 5, 7, 4

verilerinin ortancas (medyan) kaçt r?

Çözüm

1, 2 , 2 , 3 , , 4 , 5 , 5 , 741 2 344 44 1 2 344 44

I. Yol : Yukar da da görüldü ü gibi terimler küçük-ten büyü e do ru s raland nda ortadaki terim yani 4 medyand r.

II. Yol : Terim say s 9 (tek say ) oldu undan

medyan xn2

1+ = x2

19+ = x5 = 4 tür.


ES

EN

YAY

INLA

RI

215

ÖRNEK 178

2, 7, 2, 5, 3, 4, 4, 1

verilerinin ortancas (medyan) kaçt r?

Çözüm

1, 2 , 2 , 3 , 4 , 4 , 5 , 7\ \I. Yol : Yukar daki dizili te de görüldü ü gibi

ortanca = 2

3 4+ = 3,5 tir.

II. Yol : n çift say oldu undan (n = 8)

ortanca = x x

2

n n2 2 1

++

= x x

22 2 18 8+

+

= x x

2 23 44 5+

= + = 3,5

MOD (Tepe De eri)

Bir veri grubundaki en çok (en s k) tekrarlanan de-ere mod (tepe de eri) denir. Tekrar say lar frekans

olarak adland r l r.

ÖRNEK 179

5, 11, 4, 13, 7, 6, 11

verilerinin tepe de eri (mod) kaçt r?

Çözüm

4, 5, 6, 7, 11, 11, 13

Di er veriler 1 er defa, 11 iki defa tekrarland için, bu veri grubunun modu (tepe de eri) 11 dir.

Bir veri grubunda birden fazla tekrar eden de er yoksa, bu veri grubunun modu yoktur.

ÖRNEK 180

1, 2, 3, 4, 5, 6 veri grubunun modu yoktur.



Bir veri grubunda ayn say da tekrar eden birden fazla de er varsa, mod de eri de birden fazla ola-bilir. Fakat, tüm de erler e it say da tekrar ediyorsa mod yoktur.

ÖRNEK 181

1, 3, 5, 2, 4, 3, 7, 9, 5

say dizisinin modu kaçt r?

Çözüm

1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 7, 9

3 ve 5 say lar iki er defa tekrar etti i için, verilen say dizisinin modu 3 ve 5 tir.

ÖRNEK 182

7, 19, 11, 3, 3, 5, 7, 6, 7, 1, 19

verilerinin modu kaçt r?

Çözüm

1, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 7, 11, 19, 19

3 ve 19 iki er defa tekrar etmesine ra men, 7 üç defa tekrar etti i için mod 7 dir.

ÖRNEK 183

Meyve suyu üreten bir fabrikada, rastgele seçilen 15 i e meyve suyunun bozulma süreleri ay olarak a a-daki gibi tespit edilmi tir.

18, 20, 21, 22, 22, 22, 24, 25, 25, 26, 27, 30, 30, 31, 32

Bu süreler için merkezi e ilim ölçüleri olan; ortalama, ortanca ve mod de erleri nelerdir?

Çözüm

18, 20, 21, 22, 22, 22, 24, 25 , 25, 26, 27, 30, 30, 31, 32

Ortanca = 25

Mod (en çok tekrarlanan de er) = 22 (3 defa)

Ortalama = .....x15

18 20 3215375 25= + + + = =

Not: Ortalama, mod ve ortanca de erler birbirine yak n oldu u için da l m düzgündür veya veriler ho-mojen da lm t r diyebiliriz.


ES

EN

YAY

INLA

RI

216

ÖRNEK 184

Baz özelliklerde Türkiye’nin dünya s ralamas ndaki yeri a a daki tablo ile belirtilmi tir.

Özellik Dünya S ralamas ndaki Yeri

Nüfus say s 17

Yüzölçümünün büyüklü ü 36

Kentli nüfus oran 13

Ekonomik büyüme 16

Ki i ba na dü en milli gelir 21

Bor ve krom üretimi 1

Alt n ve toryum üretimi 2

C va, mermer ve jeotermalenerji üretimi

7

F nd k, incir ve kiraz üretimi 1

Çelik üretimi 9

Çimento üretimi 2

Kömür üretimi 15

laç üretimi 18

Koyun, keçi sütü üretimi 1

D sat m (ihracat) 30

Tekstil ihracat 3

Çimento ihracat 2

Mermer ihracat 8

En çok tatil yap lan ülkeler 3

Tablodan elde edilen verilerin modu, medyan ve ortalamas n bulunuz.

Çözüm

Verileri küçükten büyü e do ru s ralarsak;

1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 7, 8 , 9, 13, 15, 16, 17, 18, 21, 30, 36

elde edilir. Bu durumda,

Yukar daki say dizisinde 1 ve 2 say lar 3 er kez tekrar etti inden mod 1 ve 2 dir.

19 adet veri oldu u için, tam ortadaki 10. veri olan, 8 say s medyand r.

1 1 2 ... 361x19 19

205,

+ + + + += = 11 oldu undan,

bu veri grubunun ortalamas 11 dir.

Geometrik Ortalama: x1, x2, ... xn gibi n tane verinin

geometrik ortalamas . .....x x xnn

1 2 dir. Gözlem so-

nuçlar n n her biri bir önceki gözlem sonuçlar na ba -l olarak de i iyorsa bu de i imin h z n belirtmek için geometrik ortalama daha sa l kl sonuçlar verir.

Örnekstanbul’da bir sitedeki ev kiralar a a da verilmi tir.

Y llar Kira (TL) ––––– –––––––– 1980 100 1995 800 2010 1600

1980-2010 y llar aras ndaki ortalama kira art oran -n hesaplay n z.Çözüm

Kiralar n 1995 y l nda, 1980 y l na göre 8 kat, 2010 y l nda da 1995 y l na göre 2 kat artt gö-rülmektedir. Ortalama kira art oran ise,

G.O = .8 2 16 4= = tür. Yani 15 y ll k bir di-limde kiralar ortalama 4 kat art göstermi tir.

Harmonik Ortalama: x1, x2, ... xn gibi n tane verinin

harmonik ortalamas .....

x x x

n1 1 1

n1 2+ + +

dir.

Harmonik ortalama s k kullan lmayan bir ortalama çe itidir. Genellikle ekonomik olaylarda 1 birim ile al -nabilen ortalama miktara veya bir ürünün bir birimi-nin üretimi için harcanan ortalama gideri hesaplarken kullan l r. Ayr ca ortalama h z hesab nda da kullan l r.

Örnek

B CAO

ekilde |OA| = |AB| = |BC| dir. Bir arac n h z O – A aras 60 km/saat, A – B aras 80 km/saat ve B – C aras 100 km/saattir. Bu arac n bu yolculuk esnas n-daki ortalama h z kaç km/saattir?Çözüm

H.O =

601

801

1001

3

+ + = 75 km/saattir.

ETK NL K


ES

EN

YAY

INLA

RI

217

MERKEZ YAYILMA (DA ILIM) ÖLÇÜLER

Merkezi e ilim ölçüleri, birimlerin kendi aralar nda nas l bir da l m (yay l m) gösterdiklerini ifade etmede yetersiz kal rlar. Örne in;

VER‹LER

Y

2

25

30

31

32

X

22

23

24

25

26

Z

7

9

11

13

80

x, y ve z verilerinin ortalamalar e it ( )x y z 24= = = oldu u halde verilerin da l mlar oldukça farkl d r.

Bu nedenle verilerin ortalamaya göre veya kendi ara-lar nda nas l bir da l m gösterdiklerini incelemek için merkezi da l m ölçüleri kullan l r. Bunlar,

Aç kl k – Çeyrekler aç kl

Varyans (de i im) – Standart Sapma

olarak ifade edilirler.

AÇIKLIK (Aral k – Ranj)Bir veri kümesinde bulunan en büyük ve en küçük de er aras ndaki farkt r ve genellikle R ile gösterilir.

R = En Büyük De er – En Küçük De er

ÇEYREKLER AÇIKLI I (Q)Bir veri grubundaki terimler küçükten büyü e do -ru s raland nda ilk terime alt uç, son terime üst uç, bunlar n ortas ndaki terime de ortanca denir.

Ortancadan küçük terimlerin ortancas na alt çeyrek (Q1) denir.

Ortancadan büyük terimlerin ortancas na üst çeyrek (Q3) denir.

Bir ba ka ifade ile veri kümesinin ilk % 50 lik k sm n n ortancas na Q1 , sonraki % 50 lik k sm n n ortanca-s na da Q3 denir.

Çeyrekler aç kl = Üst çeyrek – Alt çeyrek

Q = Q3 – Q1

% 0 % 25 % 50 % 75 % 100

Çeyrekler aç kl ¤›

ortanca üst uç de¤eralt uç de¤er

Q1 Q3

ÖRNEK 185

7, 3, 4, 9, 2, 7, 5

veri grubunun aç kl ile çeyrekler aç kl n bulunuz.

Çözüm

2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 7 , 9

Ortanca Üst uçde¤er

Alt uçde¤er

Altçeyrek

Üstçeyrek

Aç kl k = 9 – 2 = 7 dir.

Çeyrekler aç kl = 7 – 3 = 4 olur.

ÖRNEK 186

16, 18, 30, 4, 6, 10, 8, 8, 12, 17, 20, 24, 36, 22, 28

veri grubunun çeyrekler aç kl n bulunuz.

Çözüm

4, 6, 8, 8, 10, 12, 16, 17 , 18, 20, 22, 24, 28, 30, 36


Alt uçde¤er

Altçeyrek

Üstçeyrek

Çeyrekler aç kl = Üst çeyrek – Alt çeyrek

= 24 – 8 = 16 olur.

ÖRNEK 187

1, 3, 4, 6, 7, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 20

veri grubunun aç kl ile çeyrekler aç kl n bulunuz.

Çözüm

1, 3, 4, 6 , 7, 7, 8, 10 , 11, 12, 13 ,15, 16, 20


Alt uçde¤er

Altçeyrek

Üstçeyrek

Ortanca = 2

8 10+ = 9

Alt çeyrek = Q1 = 6

Üst çeyrek = Q3 = 13

Çeyrekler aç kl = Q3 – Q1 = 13 – 6 = 7

Grubun aç kl = 20 – 1 = 19 bulunur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

218

KUTU GRAF

Bir de i kenin s kl k da l m n göstermek için kullan -lan kutu grafikleri, da l m n ekli, merkezi e ilimi ve de i kenlerin yay l m düzeyini göstermesi aç s ndan kullan l d r. Kutu grafi i, veri için çeyreklere dayal grafiksel gösterimlerdir. Kutu grafi inin çizimi için,

en küçük de er (alt uç de er)

alt çeyrek (Q1), ortanca, üst çeyrek (Q3) ve

en büyük de er (üst uç de er) bulunur.

Kutu gösteriminde;

Kutunun uç noktalar Q1 ve Q3 tedir.

Kutunun uzunlu u Q3 – Q1 dir. Bu fark, verilerin ortadaki yar s n n yay lma ölçüsüdür.

Ortanca, kutunun içinde çizgi ile i aretlenir.

Kutu d ndaki iki çizgi, alt uç de er ve üst uç de-ere kadar uzat l r.

Kutu grafi inde, da l m n merkezi, verilerin yay lma geni li i ve uç de erleri kolayl kla görülür.

En KüçükDe¤er

AltÇeyrek Ortanca

ÜstÇeyrek

En BüyükDe¤er

ÖRNEK 188

Bir s n ftaki ö rencilerin bir dakikal k zaman dilimi içe-risinde nab zlar n saymalar istenmi tir. Ölçüm so-nuçlar cinsiyet de i kenine göre a a daki tabloya aktar lm t r.

56

60

En Dü ükDe¤er

Erkek

K z

60

68

AltÇeyrek

66

74

Ortanca

76

80

ÜstÇeyrek

96

110

En BüyükDe¤er

Bu tabloya kar l k gelen kutu grafi i a a daki gibidir.

85657060

Erkek

K z

Nab z Say s80756555 11010090 10595

Cinsiyet

Bu grafik üzerinden k zlarla erkeklerin nab z say la-r n , farkl aç lardan (ortanca, en büyük ve en küçük de erler, çeyrekler) kar la t rabiliriz.

ÖRNEK 189

Bir okulun 11–K ve 11–L ubelerindeki ö rencilerin, fizik dersinde uygulanan ayn s nav n sonucunda al-d klar puanlar a a da verilmi tir.

70

80

11 – K

11 – L

40

20

50

40

50

30

80

50

60

70

40

40

90

50

60

80

Bu notlara ait kutu grafi ini olu tural m ve s n flar n fizik notlar n yorumlayal m.

Çözüm

11 – K için, 40, 40, 50 , 50, 60, 60, 70, 80 , 90

Ortanca

Q3=70 + 802

= 75

Üst uçde¤er

Alt uçde¤er

11 – L için, 20, 30, 40 , 40, 50, 50, 70, 80 , 80

Ortanca

Q1=30 + 402

= 35

Üst uçde¤er

Alt uçde¤er

1004020

11 – K

Fiziknotu

S n flar

11 – L

806035 45 50 75 90

Alt çeyrek

Alt çeyrek

Üst çeyrek

Q3=70 + 802

= 75

Üst çeyrek

Q1=40 + 502

= 45

Bu kutu grafi ine göre, a a daki sonuçlar ç -karabiliriz.

11–K s n f n n ortanca de eri 60, 11–L s n f n n ortanca de eri 50 oldu undan, 11–K s n f daha ba ar l d r.

Bu iki s n ftaki ö renciler içinde en yüksek notu alan ö renci 11–K s n f nda, en dü ük notu alan ö renci 11–L s n f ndad r.

11–K s n f için kutu boyu daha k sa oldu u için, bu ö rencilerin notlar daha homojendir (birbirine daha yak n) diyebiliriz.

Geçme notu 40 olsayd , 11–K s n f ndaki tüm ö rencilerin fizik dersinden ba ar l oldu unu söyleyebilirdik.


219

VARYANSGözlemlenen de erlerin (verilerin) ortalama etraf nda nas l yay ld klar n n (da ld klar n n) ölçüsüne var-yans denir.

Belli karakterleri ortak olan birimlerin olu turdu u top-lulu a popülasyon (kitle - y n) denir. (Hayvan popü-lasyonu, bitki popülasyonu, ö renci popülasyonu gibi)n (mü) : Y n aritmetik ortalamasN : Y n olu turan birimlerin say sv2 : Y n varyans

olmak üzere, v2 = ( )

N

x –ii

N2

1n

=/

dir.

( ) ( ) ( ) ..... ( )x x x x– – – –ii

N

N2

1

2 2 21 2n n n n= + + +

=f p/

Popülasyonda üzerinde çal lan obje veya bireyle-ri teker teker incelemek; zaman, maliyet, i çilik ve-ya yasalar aç s ndan ço u zaman mümkün de ildir. Bundan dolay , popülasyonun tümünün üzerinde ça-l lmas yerine ondan belli yöntemlerle al nan örnek-ler üzerinde çal l r.

x (x bar) : Örnek aritmetik ortalamas

n : Örne i olu turan birimlerin say s

s2 : Örnek varyans

olmak üzere, s2 = ( )

n

x x

1–

–ii

n2

1=/

dir.

n ve v2 popülasyonun özelliklerini tan mlayan para-

metrelerdir. statistikler, parametrelerin birer tahmini

de erleridir. Yani; x , n nün, s2 ise v2 nin tahmini de erleridir.

N

( , 2

)

n

( x, s2 )

Parametreler ‹statistikler

Y›¤›n

Örnek

Örnekleme

Yorumlama

statistik bilimi, örnek verilerden hareket ederek po-pülasyon (ana kitle – y n) hakk nda yorumlama ve genelleme yapar.

Çizgi Grafi i Bir de i kenin zaman içerisindeki de i imini incelemek için en uygun grafik türüdür.• Birden çok sürekli veri grubunun k yaslanmas kolayl kla görülebilir.

SÜTUN

GRAF

Çubuk Grafi i

• Görselli i kuvvetlidir.• 2 veya 3 veri grubu kolayl kla k yaslanabilir.• Her bir kesikli veri ayr sütunda gösterildi i için incelenmesi kolayd r ve verinin gerçek

de eri kolayl kla görülebilir.

Histogram• Gruplanm (s n fland r lm ) sürekli verilerin gösterimi için iyi bir görselli e sahiptir.

• Her bir kategoriye dü en frekans say lar kolayl kla görülebilir.

Daire Grafi iBir de i kenin bir bütün içerisindeki oran n belirlemek için en uygun grafik türüdür.• Göze ho gelen bir sunumu vard r.

• Her bir kategorinin toplam içindeki pay çok rahat anla l r.

Kutu Grafi i

Verilerin geni li ini, y l m n ö renmek için en uygun grafik türüdür.• Uç de erleri ve sapan de erleri görmek çok kolayd r.• Veri say s çok oldu unda bile kolayl kla gösterilebilir.• Da l m n ekli, merkezi e ilim ve yay l m ölçüleri hakk ndaki bilgileri çok rahat sunar.

Serpilme Grafi i

ki de i ken aras ndaki ili kiyi göstermek için en uygun grafik türüdür.• Veriler aras ndaki ili kiyi (do ru orant l , ters orant l , ili ki yok gibi) aç klamak için çok

uygundur.• Verilerin gerçek de erleri göz önündedir.

Grafik Türünün Seçimi ve Avantajlar


ES

EN

YAY

INLA

RI

220

ÖRNEK 190

1, 2, 3, 4, 5 veri grubunun örnek varyans kaçt r?

Çözüm

x = 1 2 3 45

5 3+ + + + =

s2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 1

1 3 2 3 3 3 4 3 5 3–

– – – – –2 2 2 2 2+ + + +

= 4 1 0 14

4+ + + + = 2,5 tir.

Verilerin ortalama etraf nda daha uzak (geni ) bir da l m göstermeleri durumunda varyans büyük, ortalamaya daha yak n de erler almas durumunda varyans küçük olur. Varyans n küçük olmas daha homojen ve birbirine yak n bir veri grubu oldu unu gösterir. Ba ka bir deyi le küçük varyans daha is-tikrarl bir durum, büyük varyans ise daha riskli bir durum oldu unun göstergesi olarak yorumlanabilir.

ÖRNEK 191

A veri grubu : 2, 3, 4

B veri grubu : 1, 3, 5

olmak üzere bu veri gruplar na ait örnek varyanslar bulup birbiriyle k yaslay n z.

Çözüm

x3

2 3 4 3= + + =A

(2 3) ( 3) ( 3)s

3 13 4

–– – –

A2

2 2 2=

+ + = 1

x33 31 5= + + =B

( ) ( ) ( )s

3 13 3 3 31 5

–– – –

B2

2 2 2=

+ + = 4

2A

3 4

1B

3 5

A ve B kümelerindeki verilerin ortalamalar ayn oldu u halde varyanslar farkl d r.

B deki verilerin varyans daha büyük oldu u için, veriler ortalamadan (3 ten) daha uza a da l-m lard r.

STANDART SAPMA

Varyans n karekök de erine standart sapma denir. En yayg n merkezi yay l m ölçüsüdür. Varyansa ben-zer ekilde verilerin ortalama etraf nda nas l bir yay l-ma gösterdi inin ölçüsüdür. Dü ük standart sapma de eri, bir araya toplanm ve ortalamaya daha yak n verilerin çok oldu unun ölçüsüdür.

ÖRNEK 192

5, 3, 7 veri grubunun standart sapmas kaçt r?

Çözüm

3 5 7x3

5= + + =

( ) ( ) ( )s

3 13 5 5 5 7 5

–– – –2

2 2 2=

+ + = 4 oldu undan,

standart sapma s = 4 2= bulunur.

ÖRNEK 193

Araç aküsü üreten bir firman n üretti i 61 akünün dayanma sürelerine ait frekans tablosu a a da ve-rilmi tir.

Y l

1 – 5

6 – 10

11 – 15

16 – 20

Toplam

21

15

19

6

61

Frekans

Tablo: Akülerin Dayanma Süreleri

Akülerin ortalama ömürleri ve dayanma sürelerinin standart sapmas nedir?

Çözüm

Her bir s n fa giren akü say s farkl oldu u için, aritmetik ortalama yerine a rl kl aritmetik ortala-ma almak daha uygun olacakt r.Ortalama akü ömrü,

5.21 10.15 15.19 20.6x61 61

660 11,= + + + = y ld r.

s2 = (21 11) (15 11) (19 11) (6 11)4 1–

– – – –2 2 2 2+ + +

= 1003

16 64 25+ + + = 3

205 70,

s = 70 , 8,2 bulunur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

221

ÖRNEK 194

Gün Alper Burak

1 4 3

2 2 3

3 5 4

4 3 5

5 4 5

6 6 4

Bir pazarlama irketi Alper ve Burak isminde iki ele-mandan birisini 6 günlük deneme süresi sonunda i e alacakt r. Bu elemanlar n 6 günlük (y n verisi) sat -lar yukar daki gibidir. Buna göre, bu irketin daha is-tikrarl bir eleman almak için Alper ve Burak’tan han-gisini tercih etmesini gerekti ini bulunuz.

Çözüm

Alper’in ortalama günlük sat , varyans ve stan-dart sapmas ,

A = 4 2 5 3 46

6624 4+ + + + + = =

( )

N

x –

A

i Ai

N

2

2

1v

n

= =/

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6

4 4 2 4 5 4 3 4 4 4 6 4– – – – – –2 2 2 2 2 2+ + + + +

= ,610 1 6= br2

A = , ,1 6 1 29, birim

Burak’ n ortalama günlük sat , varyans ve standart sapmas ,

B = 6

5 4624 43 3 4 5+ + + + + = =

( )

N

x –ii

N

B

B2

2

1v

n

= =/

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6

4 4 4 4 4 43 3 4 5 5 4– – – – – –2 2 2 2 2 2+ + + + +

= 432

6= br2

B = ,32 0 82, birim

Alper ve Burak’ n ortalama günlük sat lar e ittir. Dolay s ile standart sapmalar na bakarak kar -la t rmak mümkündür. Burak’ n standart sapmas daha küçük oldu undan, günlük sat lar Alper’e göre daha istikrarl d r. O halde pazarlama irketi-nin tercihi Burak olmal d r.

A, B ve C oyuncular n n son 7 maçta att klar basket say lar a a daki tabloda verilmi tir.

A B C

12 18 24

13 21 14

12 15 14

14 13 22

11 16 25

20 18 16

16 18 11

a) Bu tablo yard m yla A, B ve C basketçilerine ait merkezi e ilim ve yay lma ölçülerini bulunuz.

b) Bu oyunculara sahip basketbol tak m n n koçusu-nuz ve önünüzdeki maç çok farkl bir ekilde ka-zanman z gerekiyor. Aksi takdirde tak m n z ele-necek. A, B ve C oyuncular ndan birini seçerek maça ba lamak istiyorsunuz. Hangi basketçiyi seçersiniz?

c) Bir tak m n koçusunuz ve sezon ba nda istikrarl bir tak m olu turmak istiyorsunuz. Bu oyuncular-dan hangisini tak m n za al rs n z?

Çözüm

a) A B C

En yüksek say 20 21 25

En dü ük say 11 13 11

Aritmetik ortalama 14 17 18

Ortanca 13 18 16

Mod 12 18 14

Aral k 9 8 14

Standart sapma 3,1 2,5 5,56

A B C –––––––––– –––––––––– ––––––––––– x – s = 10,9 x – s = 14,5 x – s = 12,44

x + s = 17,1 x + s = 19,5 x + s = 23,56

b) Ortalamas ve standart sapmas yüksek oldu un-dan C oyuncusu için x + s = 23,56 dir. Maç çok farkl kazanma zorunlulu undan dolay C oyun-cusunun seçimi ile oyuna ba lamak gerekir.

c) B oyuncusunun ortalamas C oyuncusunun orta-lamas ndan 1 dü ük olmas na ra men standart sapmas daha küçüktür. Dolay s yla B oyuncusu-nun seçimi ile daha istikrarl bir tak m olu turulur.

ETK NL K


222

1 TL, 7 TL, 8 TL, 9 TL, 10 TL, 13 TL, 50 TL

Bir lokantadaki 7 masada 13.00 – 14.00 saatleri aras nda ödenen hesaplar yukar daki gibi olsun.

Bu verilerden yararlanarak sonraki 1 saatlik dilim içinde gelen yeni bir mü terinin yakla k ne kadar hesap ödeyece ini tahmin etmeye çal al m ve hangi ölçülerin bize nas l bir bilgi verebilece-

ini inceleyelim.

Ortalama: 7 8 9 10 13 501x7

14+ + + + + += =

Ödenen hesaplar n birço u ortalamadan çok uzakta oldu u için ortalama çok faydal bir gösterge de ildir.

Mod: Mod olmad ndan incelemeye katk s yoktur.

Medyan: 1, 7, 8, , 10, 13,9 50a kA r uç de erlerden (1 ve 50) etkilenmedi i için medyan iyi bir göstergedir.

Yani gelecek olan bir mü terinin ortalama 9 TL hesap ödeyece i beklentisi oldukça gerçekçidir.

Standart Sapma:

s2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 1

1 14 7 14 8 14 9 14 10 14 13 14 50 14–

– – – – – – –2 2 2 2 2 2 2+ + + + + + 265

Standart sapma: s = 265 , 16

x – s = 14 – 16 = –2 , x + s = 14 – 16 = 30

Yeni gelecek bir mü terinin –2 TL ile 30 TL aras nda bir hesap ödeyebilece i tahmini bize katk sa layan bir ölçü de ildir. Ortalamaya göre k yasland nda oran çok yüksek oldu u için standart sapmay göz önüne ala-rak yap lan tahmin oldukça riskli olacakt r.

imdi de 1 TL ve 50 TL lik hesaplar n genellikle olmad n dü ünerek bu sapan de erleri veri grubundan ç kararak tahminde bulunmaya çal al m. 7 TL , 8 TL , 9 TL , 10 TL , 13 TL

Ortalama: x = .5

7 8 9 10 13547 9 2,

+ + + + =

Sapan de erler veri grubundan at larak elde edilen bu de er öncekine göre daha gerçekçidir.

Medyan: Medyan 9 TL olup bu durumda da iyi bir hesap tutar tahmini yans tmaktad r.

Standart Sapma:

s2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 1

9 13 97 9 8 9 9 9 10–

– – – – –2 2 2 2 2+ + + + = .422 5 5=

Standart sapma: . .5 5 2 3,

x – s = 9.2 – 2.3 = 6.9 , x + s = 9.2 + 2.3 = 11.5

Yeni gelecek mü terilerin ortalama 6.9 TL ile 11.5 TL aras nda bir hesap ödeyecekleri beklentisi gerçekçidir.

Standart sapma de eri öncekine göre daha dü ük ç kt için veriler birbirine daha yak n olup tahminlerde yan lma pay daha azd r.

ETK NL K


ES

EN

YAY

INLA

RI

223

STANDART PUANLAR

Standart puan gözlenen puanlar n ortalamadan olan farklar n standart sapma cinsinden belirtilmesidir.

Standart puanlar, yap lan ölçümlerden elde edilen puanlar n aritmetik ortalamas n n s f r (0), standart sapmas n n bir (1) kabul edildi i puanlard r.

z puan

z-puan bir verinin ortalamadan kaç standart sapma kadar uzakta oldu unu gösterir ve

z puan = darttan sapma

Ham puan Aritmetik ortalama–S

z = s

X x–

formülü ile hesaplan r.

Herhangi bir ki inin alm oldu u puan z puan na dö-nü türerek, verilen bir puan n standart sapmaya göre ortalaman n ne kadar alt nda veya üstünde kald belirlenebilir.

z puan n n (–) veya s f r (0) ç kmas mümkündür.

T puanz puan nas l ki verilen puanlar ortalamas 0, standart sapmas 1 olan puanlara dönü üyorsa, T puan da verilen puanlar ortalamas 50, standart sapmas 10 olan puanlara dönü türür. z puanlar ndan T punlar na geçi T = 50 + 10.z formülü ile elde edilir.

ÖRNEK 195

Bir ülkedeki insanlar bir y lda 19 standart sapma ile ortalama 249 gün çal maktad rlar. z puan 2 oldu-

unda bu durum, ortalama kaç günlük çal ma süre-sini ifade eder?

Çözüm

z = s

X x– X = x + z.s = 249 + 2.19

= 287 gün bulunur.

ÖRNEK 196

Ö renci Puan

Melis 30

Zeynep 50

Burcu 90

Ezgi 70

Efe 40

Mesut 80

Tabloda 6 ö rencinin kimya dersi I. yaz l s nav ndan

ald notlar (standart puanlar) verilmi tir.

Melis ve Ezgi’nin bu s nav için ald klar kimya notlar -

n n z ve T puanlar n bulal m.

Çözüm

x6

30 50 90 70 40 80= + + + + + = 60

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s

6 130 60 50 60 90 60 70 60 40 60 80 60

–– – – – – –2

2 2 2 2 2 2=

+ + + + +

s2 = 28005

= 560 s = 560 24, olaca ndan

Melis’in z puan ;

z = s

X x– = 24

30 60– = –1.25

Ezgi’nin z puan ;

z = s

X x– = ,24

70 60 0 42–,

Ezgi’nin z puan pozitif oldu u için ortalamadan

daha yüksek, Melis’in z puan negatif oldu u

için ortalamadan daha dü ük puan ald n ve

bu farklar n kaç standart sapma büyüklü ünde

oldu unu anlayabiliriz.

Melis’in T puan ;

T = 50 + 10.z = 50 + 10.(–1,25) = 37,5

Ezgi’nin T puan ;

T = 50 + 10.z = 50 + 10.(0,42) = 54,2 bulunur.


224

ES

EN

YAY

INLA

RI

ÖRNEK 197

3 ki inin kat ld bir s navda puanlar hesaplan rken;

I. Her ö renciye 100 taban puan verilmektedir.

II. En yüksek puan alan ö rencinin puan 500 e çekilerek di er puanlar n da l m buna göre yap lmaktad r.

III. Test fark gözetilmeksizin her sorunun puan geti-risi e it kabul edilmektidir.

A a daki tablodaki verileri kullanarak Aybars’ n pua-n n hesaplayal m.

Ö¤renci

Ecem

Aybars

Gizem

28

34

39

MatematikNeti

32

36

36

FenNeti

30

30

35

TürkçeNeti

24

26

30

SosyalNeti

Çözüm

Toplam neti en çok olan Gizem (140 net) 500 puan alaca ndan, 500 = 100 + 140.x e itli in-den bir netin getirdi i puan

x = .140

500 100 2 86–, bulunur.

Aybars’ n 126 neti oldu undan;

Puan = 100 + 126.2,86 100 + 360 460 t r.

ÖRNEK 198

‹statistik

Fatma’n›n notu ( X )

S›n›f ortalamas› ( x )

Standart sapma ( s )

70

60

5

Matematik

75

70

10

EdebiyatDers

Fatma’n n matematik ve edebiyat derslerinin I. yaz -

l lar ndan ald notlar, s n f n ortalamas ve standart

sapmas yukar da verilmi tir. Buna göre, Fatma’n n

bu s navlar ile ilgili z ve T puanlar n bulunuz.

Çözüm

z = s

xX – oldu undan,

zmatematik = 5

70 60 2– = , zedebiyat = 10

75 7021– =

T = 50 + 10.z oldu undan,

Tmatematik = 50 + 10.2 = 70

Tedebiyat = 50 + 10.21 = 55 bulunur.

Tabloda verilen ham puanlara bak ld nda

Fatma’n n edebiyat dersinden daha ba ar l ol-du u görülse de, notlar n standart puanlar na (z ve T puanlar na) dönü türdü ümüzde matematik

dersinden daha ba ar l oldu unu söyleyebiliriz.

KORELASYON

ki de i ken aras nda ili ki olup olmad n , varsa bu ili kinin derecesini gösteren kat say ya korelasyon kat say s denir.

Korelasyon kat say s [–1, 1] aral nda de erler al r.

Korelasyon kat say s s f ra e it ise de i kenler aras nda bir ili kiden söz edilemez.

Korelasyon kat say s n n 1 e yakla mas , de i kenler aras nda olumlu ve kuvvetli bir ili kinin bulundu unu; –1 e yakla mas , de i kenler aras nda olumsuz ve kuvvetli bir ili kinin bulundu unu gösterir.

ÖRNEK 199

B

0,9A

C

0,2

D

– 0,1

E

– 0,8

Yukar daki tabloda A ile B, C, D ve E de i kenleri aras ndaki korelasyon kat say lar gösterilmi tir.

Buna göre, bu ili kileri yorumlay n z.

Çözüm

A ile B aras nda pozitif yönlü (olumlu) ve çok kuv-vetli bir ili ki vard r.

A ile C aras nda pozitif yönlü (olumlu) fakat zay f bir ili ki vard r.

A ile D aras nda negatif yönlü (olumsuz) ve zay f bir ili ki vard r.

A ile E aras nda negatif yönlü (olumsuz) ve çok kuvvetli bir ili ki vard r.

225

1. 12, 12, 13, 14, 14, 15 (saniye)

6 ki ilik bir sporcu grubunun 100 metreyi ko ma süreleri yukar daki gibidir. Buna göre, bu spor-cular n 100 metreyi ko ma süreleri ortalama kaç saniyedir?

2. I. 7, 9, 6, 8, 9, 4, 2

II. 1, 4, 3, 2, 1, 5, 5, 3

Yukar da verilen I ve II nolu say dizilerinin med-yanlar n n toplam kaçt r?

3. 8, 9, 11, 11, 7, 8, 6, 13, 6, 6, 4

Yukar da verilen say dizisinin mod ve medyan -n n toplam kaçt r?

4. 14, 17, 10, 12, 19, 21, 9, 24

verilenlerin aç kl kaçt r?

5. 4, 5, 8, 12, x, x + 1

say dizisinin aritmetik ortalamas 9 oldu una göre, tepe de eri kaçt r?

6. 10 ö rencinin matematik dersinden ald klar not-lar,

25, 30, 30, 45, 45, 50, 60, 60, 60, 85

eklindedir. Bu veri grubunun,

a. Ortancas n b. Tepe de erini (mod)

c. Alt uç de erini d. Üst uç de erini

e. Alt çeyrek de erini f. Üst çeyrek de erini

g. Çeyrek aç kl n h. Grup aç kl n

bulunuz.

7. 50, 54, 58, 60, 66, 72

Yukar da, bir s n fta bulunan herhangi 6 ö ren-cinin geometri s nav ndan ald klar puanlar veril-mi tir. Bu puanlar n standart sapmas n bulunuz.

8. S nav ortalamas 60, standart sapmas 4 olan bir s navda 40 alan Ali ile 100 alan Bar ’ n z puan-lar n bulunuz.

9. S nav ortalamas 70, standart sapmas 8 olan bir s navda 60 alan Fatma’n n T standart puan kaçt r?

ALIŞTIRMALAR – 6

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. 13, 3 2. 10 3. 14 4. 15 5. 12

6. a. 47,5 b. 60 c. 25 d. 85 e. 30 f. 60 g. 30 h. 60 7. 8 8. zA = –5 , zB = 10 9. 37,5


ES

EN

YAY

INLA

RI

226

10. ekilde verilen grafik bir

Di¤er% 45

Kira% 30

Yiyecek

ailenin ayl k harcamala-r n göstermektedir. Bu ailenin ayl k kira gideri 450 TL oldu una göre, ayl k yiyecek gideri kaç TL dir?

11.

1 2 3 4 5

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Ö¤renci say s

Al nan Not

Yukar daki grafik bir s n ftaki ö rencilerin tarih dersinin s nav ndan ald klar notlar göstermekte-dir. 2 ve üzeri not alanlar ba ar l oldu una göre, bu s n f n yüzde kaç tarih dersinden ba ar l d r?

12.

25

20

15

10

5

0

Benzin (L)

Zaman (gün)1 2 3 54 6

Yukar daki grafik, bir arac n benzin tüketimini göstermektedir. Buna göre, bu arac n hangi gün-ler aras nda benzin tüketim h z en fazlad r?

13. A a daki grafik bir otobüsteki yolcular n meslek-lerine göre da l m n göstermektedir.

Ö¤r

etm

en

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Ki i say s

Meslek

Mem

ur

Esn

af

‹çi

a. Otobüsteki yolcular mesleklerine göre bir daire grafi iyle gösterildi inde ö retmenleri gösteren daire diliminin merkez aç s n n ölçüsü kaç derece olur?

b. Bu otobüsten x say da yolcu inip otobüse x say -da yolcu binerse otobüste her meslek grubundan e it say da yolcu oluyor. Buna göre, x en az kaç-t r?

c. Otobüsten belirli say da i çi inip otobüse i çi ol-mayan 8 ki i binerse otobüsteki i çilerin say s , tüm yolcular n say s n n % 25’i oluyor. Buna gö-re, otobüsten inen i çilerin say s kaçt r?

10. 375 11. 90 12. (2, 3) 13. a. 70 b. 6 c. 4

ES

EN

YAY

INLA

RI

227


1. {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlar kullan la-rak yaz labilecek rakamlar farkl , üç basamakl 200 den büyük kaç çift say vard r?

2.

Kö eleri ekildeki üçgenin üzerinde bulunan 12 nokta olan kaç üçgen çizilebilir?

3. çinde 3 mavi, 4 sar , 2 beyaz bilye bulunan bir torbadan rastgele seçilen 3 bilyeden sadece ikisinin sar olma olas l kaçt r?

4. 8 ki inin kat ld bir s nav ba ar yönünden kaç farkl ekilde sonuçlanabilir?

5.

ekildeki dikdörtgen 20 e kareden olu mu tur. ekildeki tüm karelerin say s kaçt r?

6. 6 noktadan 2 tanesi A ve B dir. Bu noktala-r n herhangi üçü do rusal de ildir. Bu noktalarla olu turulan tüm üçgenlerden iki tanesi rastgele seçilirse ikisinin de bir taban n n [AB] olma ola-s l kaçt r?


228

1. 48 2. 186 3. 145 4. 256 5. 40

6. 51 7.

107 8. 60 9. 54 10.

7. 24 futbolcu ve 16 basketbolcunun bulundu u bir sporcu grubunda futbolcular n 6 s , basketbol-cular n 4 ü ye il gözlüdür. Bu gruptan rastgele al nan birinin futbolcu veya ye il gözlü olma ola-s l kaçt r?

8. A

B

C

D

ekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen so-kaklar n göstermektedir. A dan hareket etip B ve C ye u rayarak D noktas na en k sa yoldan gidecek olan bir kimse kaç de i ik yol izleyebilir?

9. (x2 – 3y2)n aç l m nda terimlerden biri Ax4y4 ise A kaçt r?

10. A a daki grafik, bir irketin 2008, 2009, 2010 ve 2011 y llar nda giyim ve g da alan nda yapt ihracat tutarlar n göstermektedir.

2008

400

200

0

Bin TL

Y l2009 2010 2011

Giyim G da

150

Buna göre, bu irketin y llara göre toplam ihraca-t n n daire grafi iyle gösterimini yap n z.

2008

2009

2010

2011 110°120°

60°70°

ES

EN

YAY

INLA

RI

ES

EN

YAY

INLA

RI

229


1. {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlar n kulla-narak yaz labilecek iki basamakl çift say lar n toplam kaçt r?

2. 8 TV program ndan 3 ü ayn gün ve saatte yay nlanmaktad r. Bu 8 programdan 4 ünü izlemek isteyen biri kaç farkl seçim yapabilir?

3. Çak k olmayan 5 farkl çember en çok kaç noktada kesi ir?

4. 12 farkl do rudan 3 tanesi bir A noktas ndan, 4 tanesi bir B noktas ndan geçmektedir.

Bu do rular n en fazla kaç kesim noktas vard r?

5. Düzgün bir madeni para 6 kez at ld nda en az 4 kez yaz gelme olas l kaç olur?

6. Duru, Ecem ve Gizem’in s n flar n geçme olas -

l klar s ras yla , ve52

21

43 tür. Üçünden en az

birinin s n f n geçme olas l kaçt r?


ES

EN

YAY

INLA

RI

230

1. 702 2. 35 3. 20 4. 59 5. 3211

6. 4037 7.

12425 8. 12 9. zEd < zMat < zGeo 10. 189

7. 5 elemanl bir kümenin tüm alt kümelerinden rastgele 2 tanesi seçildi inde birinin 2 elemanl di erinin 3 elemanl olma olas l kaçt r?

8. Bir torbada e it say da sar ve mavi bilyeler var-

d r. Bu torbadan geri konulmamak üzere, art arda

çekilen iki bilyenin de mavi olma olas l 225 ise

torbada kaç bilye vard r?

9.

‹statistik

Aritmetik Ort. ( x )

Mod

Medyan

Standart Sapma ( s )

77

75

80

2

Matematik

80

90

70

4

EdebiyatDers

60

70

70

6

Geometri

Bir s n fa uygulanan üç dersle ilgili istatistikler yukar daki tabloda verilmi tir. Bu s n ftaki bir ö -renci matematikten 80, geometriden 72 ve ede-biyattan 84 ald na göre, bu ö rencinin standart z puanlar aras ndaki s ralama nedir?

10. xx3–2

7c m aç l m nda x8 li terimin kat say s n

bulunuz.

ES

EN

YAY

INLA

RI

231

TEST – 1

1. 0! + 2! + 4! + ..... + 400! say s n n birler basama-ndaki rakam kaçt r?

A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8

2. 13! + 14! toplam n n sonunda kaç tane s f r var-d r?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

3. 4! + 6! + 8! + ..... + 120! say s n n onlar basama-ndaki rakam kaçt r?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

4. 40! – 1 say s n n sonunda kaç tane 9 rakam vard r?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

5. 3! + 4! + 5! + ..... + 140! say s n n 30 ile bölü-münden kalan kaçt r?

A) 0 B) 1 C) 3 D) 12 E) 17

6. x ve y do al say lar olmak üzere 24! = 4x.y e itli ini sa layan x en çok kaçt r?

A) 22 B) 20 C) 18 D) 14 E) 11

7. x ve y do al say lar olmak üzere

!y2440

x= e itli ini sa layan x de erlerinin toplam

kaçt r?

A) 80 B) 79 C) 78 D) 77 E) 76

8. x ve y do al say lar olmak üzere 32! = 12x.y e itli ini sa layan en büyük x de eri kaçt r?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

Faktöriyel ve Permütasyon


ES

EN

YAY

INLA

RI

232

1.D 2.B 3.C 4.B 5.A 6.E 7.C 8.C 9.A 10.E 11.D 12.C 13.A 14.C 15.C 16.D

9. 5 soruluk bir test s nav nda her soru için 5 se-çenek vard r. Ard k iki sorunun do ru yan tlar ayn seçenek olmayacak ekilde kaç farkl cevap anahtar haz rlanabilir?

A) 1280 B) 1240 C) 1220 D) 1140 E) 1020

10. 7 rakaml telefon numaras n n ilk 5 rakam bilin-mektedir. Kaç de i ik deneme ile bu telefon nu-maras kesin olarak tespit edilebilir?

A) 80 B) 90 C) 96 D) 98 E) 100

11. 3 ö renci 5 farkl dersten birer tane seçecektir. Her birinin seçti i ders farkl olmak ko uluyla kaç seçim yap labilir?

A) 24 B) 32 C) 48 D) 60 E) 72

12. 18 tak m n bulundu u süper ligde her tak m birbi-riyle 2 maç yapacakt r. Toplam kaç maç oynan r?

A) 304 B) 305 C) 306 D) 308 E) 309

13. A = {0, 1, 3, 4} kümesinin elemanlar n kullana-rak rakamlar farkl üç basamakl kaç tek say ya-z labilir?

A) 8 B) 12 C) 18 D) 24 E) 30

14. {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesindeki rakamlar kullan -larak, rakamlar farkl , 4 basamakl kaç tane çift say yaz labilir?

A) 96 B) 120 C) 156 D) 180 E) 196

15. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlar n kul-lanarak 400 den küçük rakamlar farkl kaç çift say yaz labilir?

A) 46 B) 47 C) 48 D) 49 E) 50

16. A = {2, 4, 5, 7, 9} kümesinin elemanlar ile ra-kamlar farkl 4 ile bölünebilen 3 basamakl kaç say yaz labilir?

A) 30 B) 24 C) 18 D) 12 E) 9

ES

EN

YAY

INLA

RI

233

TEST – 2

1. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlar n kul-lanarak rakamlar farkl üç basamakl 400 den küçük kaç say yaz labilir?

A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 180

2. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin farkl elemanlar n kullanarak 400 den büyük 3 basamakl kaç say yaz labilir?

A) 48 B) 60 C) 72 D) 96 E) 120

3. A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin farkl elemanlar n kullanarak 3 basamakl kaç tek say yaz labilir?

A) 6 B) 9 C) 15 D) 18 E) 24

4. A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlar n kulla-narak rakamlar farkl 2300 den küçük kaç do al say yaz labilir?

A) 106 B) 105 C) 104 D) 103 E) 102

5. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlar n kul-lanarak rakamlar farkl dört basamakl 25 ile bö-lünebilen kaç farkl do al say yaz labilir?

A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21

6. A = {0, 3, 5, 6, 8} kümesinin elemanlar ile 6000 den büyük, rakamlar farkl ve 5 ile tam bölünebi-len kaç say yaz labilir?

A) 48 B) 54 C) 66 D) 72 E) 76

7. P(n, 2) = 56 ise n nedir?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

8. P(n, 4) = 2P(n, 2) oldu una göre n kaçt r?

A) 1 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12

Permütasyon


ES

EN

YAY

INLA

RI

234

1.B 2.B 3.D 4.B 5.E 6.C 7.D 8.B 9.A 10.D 11.B 12.B 13.C 14.E 15.B 16.C

9. Yanyana bulunan 7 koltu a, 4 ki i aralar nda bo luk kalmayacak ekilde kaç türlü oturabilirler?

A) 96 B) 97 C) 98 D) 99 E) 100

10. 3 k z, 3 erke in bulundu u bir grup erkekler bir arada olmak ko uluyla yuvarlak masa etraf na kaç de i ik biçimde oturabilirler?

A) 30 B) 32 C) 35 D) 36 E) 38

11. 3 ki i, yanyana bulunan 7 koltu a, her iki ki inin aras nda bir koltuk bo kalacak ekilde kaç türlü oturabilirler?

A) 19 B) 18 C) 17 D) 16 E) 15

12. Herhangi iki ö retmen aras nda bir ö renci olmak kayd yla 3 ö retmen ve 3 ö renci bir yuvarlak masa etraf na kaç de i ik biçimde oturabilir?

A) 6 B) 12 C) 14 D) 16 E) 24

13. E it say da erkek ve k z n bulundu u bir grup her iki k z n aras nda 1 erkek olacak ekilde 72 fark-l ekilde bir s raya yanyana oturabildi ine göre grupta kaç ki i vard r?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

14. Be evli çift bir yuvarlak masa etraf na evli çiftler yanyana gelmek ko ulu ile kaç de i ik biçimde oturabilirler?

A) 24 B) 48 C) 384 D) 732 E) 768

15. Bir grupta bulunanlardan belli iki tanesi yanyana gelecek ekilde yuvarlak masa etraf na 12 farkl ekilde oturabiliyorlar.

Bu grup kaç ki iden olu maktad r?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

16. 5 ö retmen 5 ö renci yuvarlak masa etraf na otu-racaklard r. ki ö retmen aras na bir ö renci otu-racak ekilde kaç türlü oturabilirler?

A) 9! B) 4!.5!.2 C) 4!.5!D) 10! E) 5!.5!

ES

EN

YAY

INLA

RI

235

TEST – 3

1. 2 k z ve 4 erkek arkada yanyana, ba ta ve sonda birer erkek bulunacak ekilde kaç türlü s -ralanabilir?

A) 288 B) 240 C) 220 D) 144 E) 120

2. 3 ö retmen, 5 ö renci aras ndan seçilen 1 ö ret-men ve 2 ö renci yanyana kaç de i ik biçimde foto raf çektirebilirler?

A) 120 B) 136 C) 140 D) 160 E) 180

3. Murat 6 arkada ndan 2 sini tiyatroya davet ede-cektir. Belli iki arkada birlikte olmak istemiyor-lar. Buna göre Murat 2 arkada n kaç de i ik ekilde seçer?

A) 6 B) 10 C) 14 D) 15 E) 20

4. 9 ki iden belli iki ki i ayn odada kalmamak ko u-lu ile bir oteldeki 4 ve 5 ki ilik iki odaya kaç de i-ik biçimde yerle ebilir?

A) 60 B) 62 C) 68 D) 70 E) 72

5. Bir çember üzerinde bulunan 7 nokta ile kö eleri bu noktalar olan kaç çokgen olu turulabilir?

A) 64 B) 72 C) 89 D) 99 E) 101

6. C(n + 1, 11 – n) = C(n + 1, 6) e itli ini gerçekleyen n de erlerinin çarp m a a dakilerden hangisi-dir?

A) 8 B) 12 C) 24 D) 40 E) 48

7. 5 k z ve 4 erkek aras ndan seçilen 3 k z ve 2 erkek yuvarlak masa etraf na erkekler yanyana olmak ko uluyla kaç de i ik biçimde oturabilir?

A) 720 B) 600 C) 540 D) 480 E) 240

8. 21 ki ilik bir grupta erkeklerden olu turulabilecek iki erli gruplar n say s k zlar n say s na e ittir.

Bu grupta kaç erkek vard r?

A) 6 B) 9 C) 12 D) 14 E) 15

Kombinasyon


ES

EN

YAY

INLA

RI

236

1.A 2.E 3.C 4.D 5.D 6.D 7.A 8.A 9.B 10.C 11.D 12.E 13.A 14.E 15.E 16.C

9. 10 do rudan 2 tanesi bir A noktas nda kesi mi -tir. Di er do rulardan 3 tanesi paralel oldu una göre bu 10 do ru en fazla kaç noktada kesi ir?

A) 41 B) 42 C) 43 D) 44 E) 45

10.

d1

d2

d3

d4

d5 d6 d7 d8

d1 // d2 // d3 // d4 ve d5 // d6 // d7 // d8 oldu u-na göre, yukar daki ekilde kaç tane paralelkenar vard r?

A) 16 B) 20 C) 36 D) 40 E) 48

11. 8 kenarl bir konveks çokgenin kaç kö egeni var-d r?

A) 16 B) 18 C) 19 D) 20 E) 22

12. 6 s k z olan 11 ki ilik bir gruptan 4 ki ilik bir ekip olu turulacakt r. Grupta en az bir k z ö renci bu-lunmas ko uluyla kaç grup olu turulabilir?

A) 332 B) 330 C) 328 D) 326 E) 325

13. 6 farkl oyuncak her çocu a iki er tane verilmek üzere 3 çocu a kaç farkl ekilde da t labilir?

A) 90 B) 80 C) 72 D) 60 E) 54

14. 6 ki i her birinde en az bir ki i bulunan üç gruba kaç farkl ekilde ayr labilirler?

A) 72 B) 80 C) 90 D) 120 E) 180

15. A

B C

ekildeki üçgen üzerinde i aretlenmi 12 nokta-dan kaç farkl üçgen çizilebilir?

A) 190 B) 189 C) 188 D) 187 E) 186

16. A

B CD E K L MF

Yukar daki ekilde kaç üçgen vard r?

A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 E) 30

ES

EN

YAY

INLA

RI

237

TEST – 4

1. (ax – 2y2)6 aç l m nda kat say lar toplam 64 ise a n n alabilece i de erler toplam kaç olur?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. (3x – 2y)n aç l m nda 8 terim varsa, bu terimlerin kat say lar toplam kaçt r?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

3. (x – 2y)7 ifadesi, x in azalan kuvvetlerine göre aç l rsa, ba tan 4. terim ne olur?

A) –120x3y4 B) –120x4y3 C) –280x4y3 D) –240x4y3 E) –240x3y4

4. (2x – y2)6 ifadesi, x in azalan kuvvetlerine göre aç l rsa, sondan 3. terimin kat say s kaç olur?

A) 32 B) 48 C) 50 D) 58 E) 60

5. xx1–2

6c m ifadesinin aç l m nda ortadaki terim

nedir?

A) x10–

3 B)

x20–

3 C)

x30–

3

D) x20

3 E)

x30

3

6. xx2

138

+c m ifadesinin aç l m nda sabit terim kaç-

t r?

A) 167 B)

21 C)

169 D)

85 E)

1611

7. x

x1 – 26c m ifadesinin aç l m nda sabit terim

ba tan kaç nc terimdir?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

8. xxa–

8b l ifadesinin aç l m nda sabit terim 70 ise

a n n pozitif de eri kaçt r?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Binom Aç l m


ES

EN

YAY

INLA

RI

238

1.D 2.D 3.C 4.E 5.B 6.A 7.D 8.A 9.B 10.B 11.C 12.E 13.D 14.A 15.A 16.A

9. (x + y)16 ifadesinin aç l m nda kat say larn en büyük olan nedir?

) ) ) ) )A B C D E159

168

167

169

158

d d d d dn n n n n

10. (vx + x)6 ifadesinin aç l m nda x5 li terim ba tan kaç nc terimdir?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

11. (x + y)n ifadesinin aç l m nda x4 lü terimin kat sa-y s 5 ise y3 lü terimin kat say s kaçt r?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15

12. (x2 – 2y)n aç l m ndaki terimlerden biri Ax6y2 ise A kaçt r?

A) 112 B) 102 C) 80 D) 60 E) 40

13. (x2 + vx)8 ifadesinin aç l m nda terimlerden biri 7ax7 dir. Buna göre a kaçt r?

A) 8 B) 7 C) 6 D) 4 E) 3

14. xx

241–5

2

10c m = 210.x50 + ..... + K.x29 + .....

e itli inde K kaçt r?

A) –240 B) –216 C) –196 D) –172 E) –150

15. (2x2 + y2)n aç l m yap ld nda bir terim,

A.x6.y18 oldu una göre A kaçt r?

A) 8129d n B)

129d n C)

128d n

D) 6128d n E)

1412d n

16. (1 – 23 )6 ifadesinin aç l m düzenlenirse olu an rasyonel terim kaç olur?

A) –35 B) –34 C) –33 D) –32 E) –31

ES

EN

YAY

INLA

RI

239

TEST – 5

1. Bir s n fta 5 siyah 4 k rm z 3 beyaz elbiseli ö -renci vard r. Rastgele seçilen iki ö rencinin ikisi-nin de k rm z elbiseli olma olas l nedir?

) ) ) ) )A B C D E51

61

71

101

111

2. 40 mevcutlu bir s n ftaki ö rencilerin 14 tanesi matematikten, 20 tanesi kimyadan ba ar l ol-mu tur. 10 ö renci de hem matematik hem de kimyadan ba ar l ise rastgele seçilen 1 ö ren-cinin matematik veya kimyadan ba ar l olmas olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E103

107

54

53

52

3. s(A) = 3 ve s(B) = 3 olmak üzere A dan B ye ta-n ml fonksiyonlardan biri rastgele al n rsa, bunun bire bir ve örten bir fonksiyon olma olas l kaç-t r?

) ) ) ) )A B C D E91

92

31

94

95

4. Bir zar n iki yüzü beyaz, bir yüzü mavi, üç yüzü sar ya boyanm t r. Bu zar üç kez at ld nda, bi-rinci ve ikinci at larda beyaz, üçüncü at ta mavi gelme olas l nedir?

) ) ) ) )A B C D E271

481

541

601

721

5. Bir torbada 5 mavi, 3 beyaz bilye vard r. Bir zar at l p torbadan bir bilye çekildi inde; zar tek say gelirse beyaz bilye, zar asal say gelirse, mavi bilye çekme olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E21

31

41

51

61

6. 20 den 100 e kadar olan (20 ve 100 dahil) do al say lar içerisinden rastgele seçilen bir say n n 6 veya 8 ile tam bölünen bir say olma olas l nedir?

) ) ) ) )A B C D E8119

8120

10019

277

10021

7. ki torbadan birincisinde 2 sar 4 beyaz, ikincisin-de 3 sar 5 beyaz bilye vard r. Rastgele seçilen bir torbadan al nan bir bilyenin sar oldu u bili-niyorsa, 2. torbadan al nm olma olas l kaç olur?

) ) ) ) )A B C D E179

178

176

174

161

8. Bir yar A n n kazanma olas l 52

B nin kazanmama olas l 31 tür.

A ve B den sadece birinin kazanma olas l kaç-t r?

) ) ) ) )A B C D E52

157

158

53

32

Olas l k


240

ES

EN

YAY

INLA

RI

1.E 2.D 3.B 4.C 5.A 6.A 7.A 8.C 9.B 10.A 11.A 12.A 13.D 14.A 15.A 16.C

9. Bir torbada üzerinde 1 den 10 a kadar numara-lar bulunan 10 top vard r. Bu torbadan seçilecek üç topun üzerindeki say lar n toplam n n çift olma olas l nedir?

) ) ) ) )A B C D E32

21

31

41

51

10. 5 k z ve 4 erkek ö rencinin bulundu u bir grup-ta 3 ve 4 ki ilik iki ayr grup olu turulacakt r. Gruplarda k zlar n ve erkeklerin bir araya gelme-me olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E421

211

4217

4231

4241

11. 7 evli çift aras ndan rastgele seçilen iki ki inin kar -koca olma olas l nedir?

) ) ) ) )A B C D E131

111

91

71

51

12. 4 k rm z , 2 sar , 3 lacivert bilye bulunan bir torba-dan ayn anda 3 bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin içinde en az bir k rm z bilye olma olas l nedir?

) ) ) ) )A B C D E4237

4337

4336

4940

4943

13. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanl alt kü-melerinden biri rastgele seçildi inde bu kümenin elemanlar aras nda 5 in bulunma olas l kaç olur?

) ) ) ) )A B C D E43

54

65

32

31

14. Bir yar mada A, B, C ki ileri yar acakt r. A n n kazanma olas l B nin kazanma olas l n n 3 kat , C nin kazanma olas l n n yar s ise bu ya-r A veya B nin kazanma olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E52

21

53

97

94

15. ALPAY sözcü ündeki harflerin yerleri de i tirile-rek olu turulan 5 harfli sözcüklerden biri rastge-le seçiliyor. Bu sözcü ün PA ile ba layan sözcük olma olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E101

51

103

52

21

16. Bir torbada 3 tanesi beyaz olan bir miktar beyaz ve k rm z bilye vard r. Bu torbadan, çekilen geri torbaya konmamak ko uluyla art arda iki bilye seçildi inde birincisinin beyaz, ikincisinin k rm z olma olas l

41 ise bu torbada kaç tane k rm z

bilye olabilir?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

ES

EN

YAY

INLA

RI

241

TEST – 6

1. ÖNDER sözcü ündeki harflerin yerleri de i tirile-rek olu turulan 5 harfli sözcüklerden biri rastgele seçildi inde bu sözcü ün D harfiyle ba lama ola-s l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E21

52

51

61

81

2. 36 ki ilik bir sporcu grubunda 25 ki i futbol veya basketbol oynuyor. 20 ki i futbol, 4 ki i her iki oyunu oynamaktad r. Rastgele seçilen bir spor-cunun basketbol oynuyor olmas olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E51

41

31

21

32

3. 28 ki ilik bir s n fta sadece ngilizce konu abilen 8 ki i, Frans zca konu abilen 16 ki i bulunuyor.

S n ftan rastgele seçilen birinin ngilizce veya Frans zca konu amayan biri olma olas l nedir?

) ) ) ) )A B C D E31

41

51

61

71

4. Bir torbada 5 siyah, 3 k rm z , 2 beyaz bilye var-d r. Torbadan art arda, geri konmamak üzere 3 bilye çekildi inde birinci ve ikincinin beyaz, üçün-cünün k rm z gelmesi olas l a, torbadan rast-gele 3 bilye birden çekildi inde ikisinin beyaz, di-

erinin k rm z olma olas l b oldu una göre,

ba oran nedir?

) ) ) ) )A B C D E21

31

41

51

61

5. Bir torbada 6 k rm z ve 4 beyaz bilye vard r.

Torbadan rastgele seçilen 4 bilyeden en az biri-nin k rm z olma olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E210139

210203

105103

105104

210209

6. Üzerinde 1 den 15 e kadar numaralar bulunan 15 kart bir torbaya konuyor. Torbadan rastgele al -nan 2 kart n üzerindeki say lar n çarp m n n asal say olma olas l nedir?

) ) ) ) )A B C D E356

71

354

353

352

7. Bir at c hedefe arka arkaya üç at yapacakt r.

I. at nda hedefi vurma olas l % 25

II. at nda hedefi vurma olas l % 40

III. at nda hedefi vurma olas l % x

Bu at c n n hedefi üçünde de vurmama olas l

259 oldu una göre x kaçt r?

A) 10 B) 18 C) 20 D) 24 E) 30

8.

K

L

M

A B C D E F

ekildeki yar m çemberin çap [AF] dir.

Verilen noktalardan rastgele seçilen üç noktan n bir üçgenin kö eleri olma olas l nedir?

) ) ) ) )A B C D E4241

4237

1411

2116

4229

Olas l k


ES

EN

YAY

INLA

RI

242

1.C 2.B 3.E 4.B 5.E 6.E 7.C 8.D 9.C 10.D 11.C 12.D 13.C 14.A 15.B 16.A

9. K z ve erkeklerden olu an 7 ki ilik bir grup yan-

yana bir s raya oturdu unda k zlar n bir araya

gelme olas l 71 ise bu grupta kaç erkek vard r?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

10.

A B

CD

E F

100

Dikdörtgen biçimindeki ABCD arsas n n ayr tlar 80 m ve 100 m |DE| = |EA| ve |CF| = |FB| dir.

E den F ye EF do rultusunda hareket eden biri-nin görü mesafesi 30 m oldu una göre, bu ki-inin arsan n içindeki bir noktay görme olas l

kaçt r?

) 5 ) ) ) )A B C D E6 5

453

43

52

11. Bir para 6 kez üst üste at l yor. 2 yaz , 4 tura gelme olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E6413

327

6415

41

6417

12. Farkl m çift eldiven aras ndan 2 tanesi seçiliyor.

Bu seçilen eldivenlerin birbirlerinin e i olmama

olas l 1514 oldu una göre m kaçt r?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

13.

A

B

C

Yukar daki ekil 30 e kareden olu mu tur.

A noktas ndan B noktas na olan en k sa yollar n C den geçme olas l nedir?

) ) ) ) )A B C D E23125

23130

231100

231150

231200

14. ki torbadan birincisinde 2 sar , 5 beyaz, ikincisin-de 3 sar , 4 beyaz bilye vard r. Birinci torbadan bir bilye rastgele al n p ikinci torbaya at l yor ve ikinci torbadan bir bilye çekiliyor. Bu bilyenin sar olma olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E5623

2811

83

145

5619

15. 24 ki ilik bir s n fta 10 k z ö renci vard r. K zlar n 4 ü erkeklerin 6 s gözlüklüdür. Bu s n ftan rast-gele bir ki i seçildi inde k z veya gözlüklü olma olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E43

32

52

31

41

16. Bir torbadaki sar ve mavi bilyelerin toplam say -s 7 dir. Bu torbadan çekilen iki bilyeden birinin

sar di erinin mavi olma olas l 74 ise torbada-

ki mavi bilyelerin say s ile sar bilyelerin say lar fark kaç olabilir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

ES

EN

YAY

INLA

RI

243

TEST – 7

1. Bir marketin 2011 y l n n 1. yar s ndaki aylara göre, kâr-zarar durumu a a daki grafikte veril-mi tir.

18000

15000

12000

9000

6000

3000

0

Miktar (TL)

KârZarar

Oca

k

ubat

Mar

t

Nis

an

May

›s

Haz

iran Aylar

Grafi e göre, bu marketin kâr-zarar durumu a a-dakilerden hangisidir?

A) 3000 TL kâr B) 9000 TL kâr

C) 3000 TL zarar D) Ne kâr, ne de zarar

E) 9000 TL zarar

2. Bir ülkede üretilen kömür miktarlar n n cinslerine göre oranlar a a daki grafikte verilmi tir.

Linyit

Ta kömürüKok

Yaln zca bu grafikten yararlanarak a a daki bil-

gilerden hangisine kesinlikle ula labilir?

A) Üretim miktar az oldu u için en pahal kömür

koktur.

B) Linyit üretim miktar , toplam kömür üretim

miktar n n yar s ndan azd r.

C) Bu ülkedeki kömür üretiminde ta kömürünün

maddi de eri en yüksektir.

D) Kok ve ta kömürü üretim miktarlar toplam ,

linyit üretim miktar ndan azd r.

E) Kok kömürünün elde edilmesi daha masrafl

bir süreçtir.

3.

1995 2000 2005 2010

40

30

20

10

0

Nüfus (milyon ki i)

Y›llar

ErkekKad›n

Grafikte bir ülkedeki kad n-erkek nüfusunun 4

nüfus say m na göre de i imi gösterilmi tir.

I. 2000 y l say m nda erkek nüfusu bir önceki

say ma göre artmam t r.

II. Toplam nüfustaki art oran en yüksek 2000-

2005 y llar aras nda olmu tur.

III. Kad n say s , erkek say s n hiç geçmemi tir.

IV. 2010 y l ndaki kad n/erkek say lar oran 1995

y l ndaki orana e ittir.

Yukar daki ifadelerin Do ru(D) ve Yanl (Y)

olarak s ralamas a a dakilerden hangisidir?

A) D – D – D – Y B) D – Y – D – Y

C) D – Y – D – D D) Y – Y – D – Y

E) D – D – D – D

4. Bir i yerinde çal an 8 ki i A ve B diye iki gruba ayr lm t r. Bu ki ilerin isimleri ve maa lar n gös-teren tablo a a da gösterilmi tir.

B grubu Maa (TL)

Derya 1.400

Selma 1.800

Fatma 1.500

Soner 2.100

A grubu Maa (TL)

Hülya 1.800

Ümit 1.600

lhami 3.200

Turan 2.600

A ve B gruplar ndaki hangi iki ki i yer de i tirirse

gruplardaki maa lar n ortalamas e it olur?

A) lhami ile Soner B) Turan ile Derya

C) Hülya ile Derya D) lhami ile Selma

E) Turan ile Selma

statistik


ES

EN

YAY

INLA

RI

244

1.D 2.D 3.B 4. B 5.D 6.A 7.E 8.E

5.

120°

60°80°

2000

60°

2010

61 ekran

67 ekran

106 ekran

51 ekran

60°

Dairesel grafiklerde, 2000 ve 2010 y l ekranla-

r na göre TV sat oranlar verilmi tir. 106 ekran

TV sat ndaki de i im için ne söylenebilir?

A) 2000 y l na göre % 90 artm t r.

B) 2010 y l daire grafi indeki merkez aç s 120°

olmu tur.

C) Toplam sat içindeki pay 41 oran nda art-

m t r.

D) 2010 y l sat lar , 2000 y l na göre % 150 art-

m t r.

E) 2000 y l nda 61 l k paya sahipken, 2010 y l n-

da 31 lük paya sahip olmu tur.

6. 3 tane 11. s n f bulunan bir okuldaki ö rencilerin s n flara da l m a a da sütun grafi i ile göste-rilmi tir.

24

20

16

12

8

4

0


S›n›flar11–A 11–B 11–C

B

C

A

E

D

Erkek

K›z

Bu s n flar aras ndan seçilecek 11. s n f temsil-

cisinin k z veya 11-C s n f ndan olma olas l 32

oldu una göre, 11-C s n f ndaki k z ö renci say -

s na hangi harf kar l k gelir?

A) A B) B C) C D) D E) E

7.

32028024020016012080400

Yukar daki grafikte bir veri grubuna ait kutu grafi-

i verilmi tir. Buna göre, a a dakilerden hangisi

yanl t r?

A) Alt uç de er 40 t r.

B) Medyan 160 t r.

C) Veri grubunun aral k (geni li i) de eri 280 dir.

D) Üst çeyrek de eri 280 dir.

E) Çeyrekler aç kl 160 t r.

8. A a daki grafikte bir i letmenin 2005-2010 y lla-r aras ndaki gelir-gider durumlar gösterilmi tir.

100

80

60

40

20

0

Para (bin TL)

Y›llar2005 2006 2007 2008 2009 2010

Gelir Gider

Grafi e göre, bu i letme için a a da verilen bil-

gilerden hangisi yanl t r?

A) 2008 y l nda kâr etmemi tir.

B) En yüksek kâr 2010 y l nda yapm t r.

C) 2006 y l nda, 2005 e göre geliri artmam

fakat kâr artm t r.

D) 2008-2009 aras nda zarar etmi tir.

E) Bu y llar içindeki toplam kâr 140 bin TL dir.

ES

EN

YAY

INLA

RI

245

TEST – 8

1.

5

4

3

2

1

0

Otobüs say›s›

Zaman (dk)

06.3

1-07

.00

07.0

1-07

.30

07.3

1-08

.00

08.0

1-08

.30

08.3

1-09

.00

09.3

1-10

.00

Yukar daki histogramda 06.31-10.00 saatleri ara-

s nda bir dura a gelen otobüs say lar verilmi tir.

Grafi e göre, a a dakilerden hangisi do rudur?

A) Otobüslerin % 25 i, 08.01-08.30 zaman aral -

nda dura a gelmi tir.

B) 07.31-08.00 dilimindeki otobüs say s bir

önceki zaman dilimine göre % 40 artarak 5

olmu tur.

C) 07.31-10.00 zaman aral nda yakla k olarak

10 dakikada bir otobüs dura a gelmi tir.

D) Otobüs say lar n n ortalamas ve medyan

birbirine e ittir.

E) 09.31-10.00 dilimindeki otobüs say s bir ön-

ceki dilimin % 75 ine dü mü tür.

2.

12

10

8

6

4

2

0


A¤›rl›k (kg)50-55 56-61 62-67 68-73 74-79 80-85

Yukar daki grafikte 12–C s n f ndaki ö rencile-rin a rl klar gösterilmi tir. 68-73 kg aral nda kalan ö renci say s , tüm s n f n % 10 u oldu una

göre, s n f n mevcudu kaç ki idir?

A) 36 B) 38 C) 40 D) 42 E) 44

3.

14

8

10

H z (m/s)

Zaman (s)

4

AB

0

ekilde A ve B araçlar na ait h z-zaman grafi i

verilmi tir. Kaç nc saniyede h zlar fark 10 m/s

olur?

A) 40 B) 35 C) 30 D) 25 E) 20

4. 20 ki ilik bir s n fta fizik dersi y l sonu notlar a a-da verilmi tir.

62, 56, 82, 50, 78, 54, 60, 88, 77, 62, 74, 95, 80, 52, 92, 60, 86, 74, 58, 71

Sütun grafi i çizmek için bu verileri 9 alt gruba

ay rmak istersek alt grubun geni li i kaç olur?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 9

5. 120 ö rencinin kat ld 1. YGS deneme s na-v nda ö rencilerin matematik netlerinden olu an tablo a a da verilmi tir.

Matematik Netleri Ö renci Say s

0 – 10 10

11 – 20 20

21 – 30 60

31 – 40 30

Bu verilerle olu turulan dairesel grafikte, 31-40

net yapan ö renci say s na kar l k gelen daire

diliminin merkez aç s n n ölçüsü kaç derecedir?

A) 30 B) 36 C) 60 D) 90 E) 108

statistik


ES

EN

YAY

INLA

RI

246

1.E 2.C 3.B 4.C 5.D 6.E 7.C 8.C 9.B 10.E 11.A

6. Bir k rtasiyecinin 4 çe it kalem için sat fiyatlar ve bunlara ait elde etti i kârlar a a daki grafikte gösterilmi tir.

12.5

10.0

7.5

5.0

0

Kâr (TL)

Sat fiyat (TL)10 15 20 25

I. tip II. tip III. tip IV. tip

Grafi e göre, a a dakilerden hangisi yanl t r?

A) III. tip ve IV. tip kalemlerden ayn oranda kâr

etmi tir.

B) En yüksek kâr oran I. tip kalem içindir.

C) En dü ük kâr yüzdesi II. tip kalem içindir.

D) II. tip bir kalemin al fiyat , III. tip bir kalemin

al fiyat na e ittir.

E) IV. tip kalem için, al fiyat na göre kâr yüzde-

si 50 dir.

7.

120°

K›yafet

Kitap100TL

Yemek200TL

Yol120TL

Yukar daki dairesel grafik bir lise ö rencisinin ay-

l k giderlerini göstermektedir. Bu ö rencinin ayl k

giderlerinin tamam kaç TL dir?

A) 420 B) 540 C) 630 D) 720 E) 840

8. Ortalamas 50 ve varyans 36 olan bir ö renci notu grubunda, notu 68 olan bir ö rencinin stan-

dart z notu kaçt r?

A) 2 B) 2.5 C) 3 D) 3.5 E) 4

9.

Or r2r 2r

C

B DA E

ekilde BCD)

, O merkezli yar m çemberdir.

A noktas ndan harekete ba layarak,

A B C D noktalar ndan E noktas na

gelen hareketlinin, hareketi süresince O nokta-

s na uzakl n gösteren grafik a a dakilerden

hangisidir?

3r

2r

r

X

t

A)3r

2r

r

X

t

B)

3r

2r

r

X

t

C)3r

2r

r

X

t

D)

3r

2r

r

X

t

E)

10. A a dakilerden hangisi kesikli de i kendir?

A) Kan ekeri düzeyi B) Suyun s cakl

C) Boy uzunlu u D) A rl k

E) l plaka numaralar

11. Ortalamas 75, standart sapmas 5, standart z

notu 2 olan bir ö rencinin ald not kaçt r?

A) 85 B) 80 C) 75 D) 70 E) 65

ES

EN

YAY

INLA

RI

247

TEST – 9

1.

400

300

200

100

0

Nükleotit Say s

G S A TNükleotit Çe itleri

Bir DNA molekülünde Adenin (A) nükleotit sa-y s , Timin (T) nükleotit say s na ve Guanin (G) nükleotit say s , Sitozin (S) nükleotit say s na e it olmak zorundad r. Yukar da verilen grafikte be-lirtilen nükleotitlerin bulundu u bir ortamda üreti-lecek bir DNA molekülü en fazla kaç nükleotide sahip olabilir?

A) 400 B) 500 C) 600 D) 700 E) 800

2. Bir ailenin ayl k har-

%30

%30

%25

Kira

E¤itim

YiyecekgiyecekE¤lence

camalar n n tüm harcamalar na oran-lar yandaki grafikte

verilmi tir.

E lence için harca-

mas 150 TL olan bu

ailenin ayl k harcamalar toplam kaç TL dir?

A) 750 B) 850 C) 900 D) 1000 E) 1150

3. A a dakilerden hangisi yanl t r?

A) Da l m ölçüleri, verilerin de i kenli ini gös-

terir.

B) Varyans ve standart sapma da l m ölçüleri-

dir.

C) Varyans n ölçüm birimi, de i kenin ölçüm

birimidir.

D) Standart sapman n ölçüm birimi, de i kenin

ölçüm birimidir.

E) Ortalama, merkezi e ilim ölçüsüdür.

4. Ankara’da Mart ay n n ilk haftas na ait günlük hava s cakl klar a a daki grafikte gösterilmi tir.

S cakl k (°C)

Günler

6

4

3

0

–21 2 3 75 64

ABCDE

Bu haftaya ait hava s cakl ortalamas 3°C oldu-

una göre, grafik 7. gün hangi noktadan geçer?

A) A B) B C) C D) D E) E

5. Yandaki silindirik tank n

h

h

A

•

•

r

2r

altta bulunan silindirinin

yar çap 2r, yüksekli i h

t r. Üstteki silindirinin ise

yar çap r, yüksekli i h t r.

Sabit debili A muslu u

aç ld ktan sonra tanktaki

su seviyesini zamana

kar gösteren grafik a a-


2h

t

A)

h

2t 3t 4t 5t

2h

t

B)

h

2t 3t 4t 5t

2h

t

C)

h

2t 3t 4t 5t

2h

t

D)

h

2t 3t 4t 5t

2h

t

E)

h

2t 3t 4t 5t

Su seviyesi (m)

Zaman (dk)

Su seviyesi (m)

Zaman (dk)

Su seviyesi (m)

Zaman (dk)

Su seviyesi (m)

Zaman (dk)

Su seviyesi (m)

Zaman (dk)

statistik


ES

EN

YAY

INLA

RI

248

1.C 2.D 3.C 4.B 5.A 6.A 7.A 8.D 9.D 10.C 11.D

6. A a da üç atletin 200 m ko usunda zamana kar ko tuklar mesafeyi gösteren çizgi grafik ve-rilmi tir.

200

150

100

50

0

Ko ulan mesafe (m)

Zaman (sn)

Ali

Veli

Selami

5 10 15 20

Grafikteki bilgilere göre, yar la ilgili yap lan yo-

rumlardan hangisi yanl t r?

A) Yar Veli kazanm t r.

B) Yar a en h zl ba layan Selami’dir.

C) Veli tüm yar boyunca sabit h zla ko mu tur.

D) 150. metrede üçü yanyana gelmi lerdir.

E) Ali sürekli artan bir tempo ile ko mu tur.

7. Bir liseden mezun olan 180 ö rencinin üniversi-teye giri s nav nda ald MF4 puanlar a a da tablo halinde verilmi tir.

Puan: x Ö renci Say s

x < 300 36

300 x < 350 50

350 x < 400 64

400 x 30

Bu verilere uygun daire grafi i çizildi inde, en

büyük merkez aç ile en küçük merkez aç n n

fark kaç derecedir?

A) 68 B) 56 C) 40 D) 28 E) 12

8. 7, 4, 8, 6, 5, 12, x

say lar ndan olu an veri grubunun ortalama, mod ve medyan de erinin ayn olmas için x kaç ol-

mal d r?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

9. A a dakilerden hangisi merkezi e ilim ölçüsü-dür?

A) Varyans B) Aral k

C) Standart sapma D) Medyan

E) Varyasyon kat say s

10.

14131211109876543210

Yukar da kutu grafi i verilen, veri gurubu a a -

dakilerden hangisi olabilir?

A) 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 14

B) 1, 2, 4, 5, 6, 8, 12, 14

C) 1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 14

D) 1, 2, 4, 5, 5, 8, 10, 14

E) 2, 3, 4, 5, 5, 8, 10, 10

11. Bir s n fta bulunan 15 ö renciye ayakkab numa-ralar sorulmu ve a a daki çetele elde edilmi -tir.

38 :

39 :

40 :

41 :

Bu veriler için a a dakilerden hangisi yanl t r?

A) Modu 41 dir.

B) Medyan 40 t r.

C) Aritmetik ortalamas 40 tan küçüktür.

D) Aç kl 2 dir.

E) lk çeyrek de eri 39 dur.

ES

EN

YAY

INLA

RI

249

TEST – 10

1. 6 farkl kitaptan 4 tanesi üst rafa, 2 tanesi alt rafa kaç türlü s ralanabilir?

A) 320 B) 600 C) 720 D) 900 E) 1440

2. 2! + 3! + 4! + ..... + 20! toplam nda, faktöriyeli al nm her say 1 art r l r-

sa toplam n sonucu ne kadar artar?

A) 21! B) 21! + 1 C) 21! – 1 D) 21! – 2 E) 21! + 2

3. 8 televizyon program ndan 3 tanesi ayn saatte yay nlanmaktad r. Bu programlardan iki tanesini izlemek isteyen biri kaç de i ik seçim yapabilir?

A) 30 B) 25 C) 24 D) 20 E) 18

4. A = {1, 2, 3, 5, 7} kümesinin elemanlar n kulla-narak rakamlar farkl , 5 basamakl , 4 ile bölüne-bilen kaç say yaz labilir?

A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30

5. 12334 say s n n rakamlar yer de i tirilerek 4 basamakl kaç say yaz labilir?

A) 72 B) 68 C) 64 D) 60 E) 52

6. En çok 2 elemanl 16 tane alt kümesi olan bir kü-menin, 2 elemanl kaç alt kümesi vard r?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

7. P(n+1, 2) – C(n+2, n+2) = C(n+2, 3) + C(n+3, 0) e itli ini sa layan n kaçt r?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

8.

A

B C

D

E

FK

L

MN

Yukar daki ekilde L, M, N ve D do rusald r. Kö eleri verilen 10 nokta olan en çok kaç üçgen

çizilebilir?

A) 116 B) 115 C) 114 D) 113 E) 112


ES

EN

YAY

INLA

RI

250

1.C 2.D 3.B 4.B 5.D 6.E 7.C 8.A 9.C 10.A 11.C 12.C 13.E 14.E 15.A 16.E

9. 6 ki inin kat ld bir s navda 2 ki inin ba ar s z, 4 ki inin ba ar l olmas durumu kaç farkl ekilde gerçekle ebilir?

A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18

10. Kenar uzunluklar farkl ve herhangi iki kenar ça-k k olmayan 5 kare en fazla kaç noktada kesi-ir?

A) 80 B) 75 C) 72 D) 70 E) 64

11. yx

xy

–2 2

6d n ifadesinin aç l m nda yx

9

3 içeren teri-

min kat say s kaçt r?

A) –18 B) –12 C) –6 D) 6 E) 12

12. (x + y + z)9 aç l m nda olu acak terimlerden kaç tanesinde y5 bulunur?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

13. Madeni bir para 3 defa at ld nda en az 1 kez tura gelme olas l kaç olur?

) ) ) ) )A B C D E81

41

83

85

87

14. ki zar birlikte at l yor. Gelen zarlar n üzerinde-ki say lar n toplam n n 6 oldu u bilindi ine göre, zarlardan birinin 2 olma olas l kaç olur?

) ) ) ) )A B C D E76

65

54

53

52

15. Üç yar mac n n, bir yar kazanma olas l klar

, ve52

61

85 dir.

Bu yar mac lardan en az birinin yar kazanma olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E1613

87

1615

1211

2423

16. 112334 say s n n rakamlar ile olu turulan 6 ba-samakl say lardan bir tanesi rastgele seçilirse bu say n n 1 ile ba lay p 4 ile bitme olas l kaç olur?

) ) ) ) )A B C D E52

103

51

101

151

ES

EN

YAY

INLA

RI

251

TEST – 11

1. 38! + 30! – 1 say s n n sondan kaç basama 9

dur?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

2. !51215 say s n n sondan kaç basama s f rd r?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. Bir torbada 3 beyaz, 5 mavi ve 8 k rm z bilye var-

d r. Bu torbadan renklerine bak lmadan en az kaç

bilye al nmal d r ki kesinlikle her renkten 2 er

tane bilye al nm olsun?

A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) 11

4. 3P(n, 2) – 2P(n+1, 2) = 6 e itli ini sa layan n

kaçt r?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

5. Bir turnuvada tak mlar kendi aralar nda birer maç yapm lard r. Toplam 36 maç oynand na göre turnuvaya kaç tak m kat lm t r?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

6. ki elemanl 21 tane alt kümesi olan bir kümenin,

en az iki elemanl kaç tane alt kümesi vard r?

A) 57 B) 120 C) 125 D) 126 E) 127

7. A = {a, b, c, d, e} kümesinin üçlü permütasyon-

lar n n kaç tanesinde a veya b bulunur?

A) 53 B) 54 C) 56 D) 58 E) 60

8. {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlar n kullana-

rak üç basamakl , iki veya üç basama ayn olan

kaç tek say yaz labilir?

A) 40 B) 42 C) 48 D) 50 E) 52


ES

EN

YAY

INLA

RI

252

1.B 2.B 3.A 4.C 5.C 6.B 7. B 8. B 9.A 10.D 11.C 12.A 13.D 14.E 15.B 16.D

9. 4 k z ve 5 erkek ö renci k zlar n tümü bir arada

olmayacak ekilde bir s raya yan yana kaç türlü

oturabilirler?

A) 480.6! B) 1360.6! C) 480.5!D) 360.5! E) 120.6!

10. A = { –3, –2, –1, 0, 1, 2 } kümesinin üç elemanl

alt kümelerinden kaç tanesinin elemanlar çarp -

m bir negatif tam say ya e ittir?

A) 8 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

11. (2x – vx)6 ifadesinin aç l m nda ortadaki terim


A) –240x4vx B) –160x3vx

C) –160x4vx D) 160x4vx

E) 240x4vx

12. (x2 – 2y2)n aç l m nda terimlerden biri Ax4y8 ise

A kaçt r?

A) 240 B) 220 C) 200 D) 180 E) 120

13. xx

2 129

+c m aç l m nda sabit terim kaçt r?

A) 924 B) 884 C) 744 D) 672 E) 596

14. A = {x : 0 < x < 100, x N} kümesinin eleman-

lar olan say lar n herbirinin rakamlar tek tek ke-

silerek birer karta yaz l yor. Bu kartlardan rastge-

le biri al nd nda kart n üstünde yazan say n n 5

olma olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E18914

18917

634

627

18920

15. Bir çember üzerinde bulunan 5 nokta ile olu -

turulmu , çokgenlerden biri rastgele seçildi inde

bunun üçgen olma olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E21

85

43

54

87

16. Farkl 7 çift ayakkab dan seçilen iki ayakkab n n

bir çift olu turmama olas l nedir?

) ) ) ) )A B C D E451

261

562

1312

421

ES

EN

YAY

INLA

RI

253

TEST – 12

1. Bir zar art arda iki kez at ld nda gelen say lar n ard k olma olas l nedir?

) ) ) ) )A B C D E185

31

95

3617

3619

2. Aralar nda Elif ve Arman’ n da bulundu u 10 ki i-lik bir grupta herkes birbiri ile tokala acakt r.

lk tokala acak iki ki inin Elif ve Arman olma ola-s l nedir?

) ) ) ) )A B C D E451

452

151

454

91

3. x pozitif tam say olmak üzere 2x say lar içinden seçilen bir say n n 2 ile biten bir say olma olas -l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E21

31

41

61

81

4. 1 den 100 e kadar (1 ve 100 dahil) olan say lar aras ndan seçilen iki say dan birinin di erinin iki kat olmas olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E91

991

253

174

85

5. A = { Ç, A, R, P, I, M } kümesinin elemanlar n bir kez kullanarak olu turulabilecek 6 harfli sözcük-lerin kaç tanesinde sesli harfler alfabedeki s rala-r na göre yer al r?

A) 180 B) 240 C) 300 D) 360 E) 420

6. Suat ile Seçkin’in de bulundu u 7 ki i bir s rada, Suat ile Seçkin aras nda hep 3 ki i olacak ekilde kaç farkl biçimde oturabilirler?

A) 180 B) 360 C) 420 D) 600 E) 720

7. d1

d2

A B C

D E GF

d1 // d2 olmak üzere, d1 üzerinde 3 ve d2 üze-rinde 4 nokta vard r. Kö eleri verilen bu 7 nok-tadan herhangi üçü olan üçgenler içinden seçilen bir üçgenin bir kö esinin A olma olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E154

31

52

157

158

8. Ali ve Bar bir madeni para ile oyun oynuyorlar. Tura atan oyunu kazanacakt r. Paray ilk kez Ali ataca na göre, oyunu Bar ’ n kazanma olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E32

21

31

41

81


ES

EN

YAY

INLA

RI

254

1.A 2.A 3.C 4.B 5.D 6.E 7.D 8.C 9.D 10.D 11.E 12.A 13.A 14.B 15.C 16.D

9. ki zar birlikte at ld nda zarlardan en az biri-nin 4 geldi i bilindi ine göre, toplamlar n n 6 dan büyük olma olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E61

31

21

32

65

10. Bir kap y açmak için denenen 5 anahtardan yal-n z biri bu kap y açabilmektedir. Anahtarlar s -rayla denerek kap aç lmaya çal l rsa en çok ikinci denemede kap n n aç lmas olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E259

254

53

52

51

11.

A B

CD

1 1 1 1 1

1

1

1

Üsteki ekilde alan 1 br2 olan 15 tane kare var-d r. Buna göre, ekilde olu an dikdörtgenler için-den rastgele birisi boyan rsa, bu boyal dikdörtge-nin kare olma olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E51

92

4511

154

4513

12. 4 madeni para ayn anda at ld nda 3’ünün yaz , birinin tura gelme olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E41

81

83

161

163

13. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin elemanlar ndan ikisi rastgele seçiliyor. Seçilen bu iki say n n çar-p m n n çift say olma olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E75

74

73

72

71

14. Farkl 6 çift ayakkab aras ndan rastgele seçilen 1 çift ayakkab n n birbirinin e i olma olas l kaç-t r?

) ) ) ) )A B C D E121

111

112

61

31

15. Fatih ve Mehmet poligonda ayn hedefe birer kez

ate etmi lerdir. Fatih’in hedefi vurma olas l 32

ve Mehmet’in hedefi vurma olas l 43 ise hede-

fin yaln z bir kez vurulmu olma olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E127

31

125

21

1712

16. Anne, baba ve 4 çocu un bulundu u bir aile yu-varlak masa etraf nda oturacaklard r. Buna göre, anne ile baban n yan yana oturmama olas l klar kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E61

65

52

53

54

255

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. 1990 – ÖYS

S f rdan ve birbirinden farkl A, B, C, D rakamla-r n n yerleri de i tirilerek elde edilen dört basa-makl 24 say toplan yor. Bu toplam için a a da-kilerden hangisi kesinlikle do rudur?

A) 6 ile bölünebilir.

B) 9 ile bölünebilir.

C) 14 ile bölünebilir.

D) Tek say d r.

E) Be basamakl bir say d r.

2. 1990 – ÖYS

x

x2 – 27c m nin aç l m nda x8 li terimin kat say s

kaçt r?

A) 84 B) 48 C) 28 D) – 48 E) –84

3. 1990 – ÖYS

A B C D E

ekildeki A, B, C, D, E noktalar bir do ru ve ay-r ca C, D noktalar bir çember üzerindedir.

Bu noktalardan seçilecek olan herhangi iki nokta-dan yaln z birinin çembere ait olma olas l kaç-t r?

) ) ) ) )A B C D E32

52

53

65

107

4. 1991 – ÖYS

n elemanl bir kümenin r li bütün kombinas-yonlar n n (kombinezonlar n n) say s C(n, r) ile gösterildi ine göre, C(n, 2) + C(n, 3) = 4C(n, 1) e itli inde n kaç olmal d r?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

5. 1992 – ÖYS

Bir torbada 2 beyaz, 4 siyah ve 6 mavi bilye vard r. Ayn anda çekilen 2 bilyeden birinin beyaz öbürünün siyah olma olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E61

111

112

334

335

6. 1995 – ÖYS

8 ki ilik bir gruptan 5 ki ilik kaç de i ik tak m ku-rulabilir?

A) 336 B) 224 C) 168 D) 112 E) 56

7. 1995 – ÖYS

Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vard r.

Bu torbadan rasgele çekilen 3 bilyeden birinin beyaz, di er ikisinin siyah olma olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E103

193

154

145

135



ES

EN

YAY

INLA

RI

256

8. 1996 – ÖSS

d1

d2

A B C

D E F G H

A, B, C d1

D, E, F, G, H d2

Yukar daki ekilde d1 // d2 oldu una göre, kö-eleri bu 8 noktadan (A, B, C, D, E, F, G, H) her-

hangi üçü olan kaç üçgen çizilebilir?

A) 45 B) 48 C) 52 D) 56 E) 72

9. 1996 – ÖYS

xx12

6+c m ifadesinin aç l m ndaki sabit terim kaç-

t r?

A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22

10. 1997 – ÖYS

(x2 – 2y2)n aç l m nda x4y4 lü terimin kat say s kaçt r?

A) – 48 B) –24 C) 12 D) 24 E) 48

11. 1997 – ÖYS

A torbas nda 3 beyaz, 4 k rm z ; B torbas nda 5 beyaz, 2 k rm z top vard r. Ayn anda her iki torbadan birer top al n yor ve öteki torbaya (A tor-bas ndan al nan B ye, B torbas ndan al nan A ya) at l yor.

Bu i lemin sonucunda torbalardaki k rm z ve beyaz top say lar n n ba lang çtakiyle ayn olma olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E4918

4919

4920

4922

4923

12. 1998 – ÖYS

(3x + 2y)23 ün aç l m nda ba tan 11. teriminin kat say s kaçt r?

A) 210.313 C(23, 10)

B) 211.312 C(23, 11)

C) 211.312 C(23, 12)

D) 212.311 C(23, 12)

E) 213.311 C(23, 11)

13. 1998 – ÖYS

Bir torbada 2 tane mavi, 5 tane ye il mendil var-d r. Bu torbadan, geri at lmamak ko ulu ile iki kez birer mendil çekiliyor. Bu iki çekili in birincisinde mavi, ikincisinde de ye il mendil çekme olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E1270

4920

4510

2110

215

14. 1999 – ÖSS

Bir düzgün dörtyüzlünün (bütün yüzleri e kenar üçgen olan üçgen piramit) iki yüzünde A, iki yü-zünde de T harfleri yaz l d r. Bu düzgün dörtyüz-lü bir kez at ld nda yan yüzlerinde, s ras na ve yönüne bak lmaks z n A, T, A harflerinin görülme olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E21

31

32

41

43

15. 1999 – ÖSS

5, 6, 7, 8, 9 rakamlar kullan larak rakamlar bir-birinden farkl olan, üç basamakl ve 780 den küçük kaç de i ik say yaz labilir?

A) 46 B) 42 C) 36 D) 30 E) 24


ES

EN

YAY

INLA

RI

257

16. 2000 – ÖSS

l. fiekil lI. fiekil

16 küçük kareden olu an l. eklin her sat r ve her sütununda bir ve yaln z bir küçük kare karalana-rak ll. ekildeki gibi desenler elde edilmektedir.

Bu kurala göre, en çok kaç farkl desen elde edi-lebilir?

A) 16 B) 20 C) 24 D) 32 E) 36

17. 2001 – ÖSS

B

C

A

ekildeki çizgiler bir kentin dik kesen sokaklar n göstermektedir. A dan hareket edip C ye u ra-yarak B noktas na en k sa yoldan gidecek olan kimse kaç de i ik yol izleyebilir?

A) 24 B) 18 C) 16 D) 12 E) 9

18. 2003 – ÖSS

Yüksekö renim için A ve B ülkelerine gönderil-mek üzere 5 ö renci seçilmi tir. Her iki ülkeye en az birer ö renci gidece ine göre, bu 5 ö renci kaç farkl gruplama ile gönderilebilir?

A) 10 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40

19. 2004 – ÖSS A

B C

Yukar daki ABC üçgeninin kenarlar üzerinde 9 nokta verilmi tir. Kö eleri bu 9 noktadan üçü olan kaç üçgen olu turulabilir?

A) 64 B) 69 C) 74 D) 79 E) 84

20. 2005 – ÖSS

3 tane madeni 1 TL, kumbaralara istenen say da at lmak suretiyle de i ik bankalardan al nm 5 farkl kumbaraya kaç de i ik ekilde at labilir?

A) 10 B) 21 C) 24 D) 35 E) 45

21. 2006 – ÖSS

A = {1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlar yla, en az iki basama ndaki rakam ayn olan üç basamakl kaç say yaz labilir?

A) 52 B) 40 C) 38 D) 30 E) 24

22. 2007 – ÖSS

A = {–2, –1, 0, 1}

B = {–1, 0, 1, 2, 3, 4} kümeleri veriliyor.

A x B kartezyen çarp m ndan al nan bir eleman n (a, a) biçiminde olma olas l kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E41

61

81

121

245


ES

EN

YAY

INLA

RI

258

23. 2008 – ÖSS K = { –2,–1, 0, 1, 2, 3 }

kümesinin üç elemanl alt kümelerinden kaç ta-nesinin elemanlar çarp m bir negatif tam say ya e ittir?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

24. 2008 – ÖSS A a daki yedi nokta, e karelerin kö eleri üze-

rinde bulunmaktad r. Bu yedi noktadan rastgele seçi-

len üç noktan n bir üçgen olu -turma olas l a a dakilerden hangisidir? (Ayn do ru üzerin-

deki üç noktan n bir üçgen olu turmad kabul edilecektir.)

) ) ) ) )A B C D E3532

3527

3524

75

73

25. 2009 – ÖSS Bir ma azadan belirli miktar n üzerinde al veri

yapan mü teriler, 4 e parçaya ayr lm birinci çark iki defa çevirmektedir. Bu iki çeviri te gelen iki say n n toplam 6 ya da 6 dan büyükse 6 e parçaya ayr lm ikinci çark çevirerek ç kan he-diyeyi almaktad r.

II. çarkI. çark

ütü

ütüütü

çama ›rmakinesi

kahvemakinesi

tostmakinesi

1 2

3 4

Buna göre, birinci çark çevirmeyi hak eden bir mü terinin çama r makinesi kazanma olas l kaçt r?

A) 141 B)

161 C)

245 D)

283 E)

325

26. 2009 – ÖSS Ayn düzlemde al nan 4 farkl çember en fazla

kaç noktada kesi ir?

A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18

27. 2010 – YGS Bir torbada 2 k rm z , 2 beyaz ve 1 sar bilye

vard r. Torbadan rastgele 4 bilye al nd nda tor-bada kalan bilyenin k rm z renkte olma olas l kaçt r?

A) 21 B)

32 C)

43 D)

52 E)

53

28. 2010 – LYS A = {1, 2, 3, 4} ve B = {–2, –1, 0} olmak üzere

A x B kartezyen çarp m kümesinden al nan her-hangi bir (a, b) eleman için a + b toplam n n s f r olma olas l kaçt r?

A) 41 B)

51 C)

61 D)

71 E)

72

29. 2011 – YGS Meriç’in elinde k rm z ve beyaz renklerde top-

lam 10 top vard r. Meriç bu toplar iki torbaya her bir torbada en az bir k rm z ve bir beyaz top ola-cak ekilde da tt ktan sonra unlar söylüyor:

“Birinci torbada 3 k rm z top vard r. Torbalardan rastgele birer top çekildi inde toplar n ikisinin de

k rm z olma olas l 21 dir.”

Buna göre, ikinci torbada kaç beyaz top vard r?

A) 3 B) 5 C) 1 D) 2 E) 4


ES

EN

YAY

INLA

RI

259

30. 2011 – LYS 6 k z ve 7 erkek ö rencinin bulundu u bir grup-

tan 2 temsilci seçiliyor. Seçilen bu iki temsilciden birinin k z, di erinin erkek olma olas l kaçt r?

A) 43 B)

83 C)

132 D)

137 E)

139

31. 2012 – YGS Boylar farkl dört ö renci bir çizgi boyunca rast-

gele s raya giriyor. Buna göre, en k sa ve en

uzun boylu ö rencilerin uçlarda olma olas l

kaçt r?

A) 21 B)

31 C)

41 D) 1

6 E)

121

32. 2012 – LYS

Bir çiçekçide 5 farkl renkten çok say da gül ve

2 çe it vazo vard r. Bir mü teri, 2 farkl renkten

toplam 3 gül ve 1 vazo sat n almak istiyor.

Bu mü teri al veri ini kaç farkl ekilde yapabi-

lir?

A) 15 B) 20 C) 25 D) 40 E) 50

33. 2012 – LYS

Bir torbada 5 k rm z ve 5 beyaz bilye vard r.

Bu torbadan ayn anda rastgele 3 bilye çekil-

di inde her bir renkten en fazla 2 bilye olma

olas l kaçt r?

A) 32 B)

43 C)

65 D)

87 E)

98

260

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. A, B, C, D rakamlar n n yerleri de i tirilerek elde edilen 4.3.2.1 = 24 say n n toplam nda; A raka-m birler, onlar, yüzler ve binler basamaklar nda 6 ar kez yer alaca ndan hepsinin toplam

6000A + 600A + 60A + 6A = 6666.A olur. Ayn durum B, C, D rakamlar için de geçerlidir. Dolay s yla hepsinin toplam ,

6666A + 6666B + 6666C + 6666D = 6666(A+B+C+D) bulunur. 6666 say s 6 ya kalans z bölünebil-di ine göre bu toplam için kesin söylenebilecek durum 6 ile bölünebildi idir.

Do ru Seçenek A

2. .r x

x7 2 –

r r72

–d c ^n m h = A.x8

r7d n27 – r.x–7 + r.(–1)r.x2r = A.x8

r7d n27 – r.(–1)r.x–7 + 3r = A.x8

–7 + 3r = 8 r = 5 tir. O halde,

75d n27 – 5.(–1)5.x8 = A.x8

A = 75d n .22.(–1) =

!. !!

5 27 .4.(–1) = – 84 bulunur.

Do ru Seçenek E

3. A, B, C, D, E noktalar ndan 2 tanesi seçilece-

inden örnek uzay n eleman say s 52d n dir.

{A, B, E} kümesinden 1 eleman 31d n ve

{C, D} kümesinden 1 eleman 21d n farkl ekilde

seçilece inden istenilen olas l k,

.

.52

31

21

103 2

53= =

dd d

nn n

bulunur.

Do ru Seçenek C

4. C(n, 2) + C(n, 3) = 4C(n, 1)

( ) !. !!

( ) !. !!

( ) !. !!

. ( ) . ( ) ( )

( ) .

( ) ·

nn

nn

nn

n n n n n n

n n n n

n n

2 2 3 34

1 1

21

61 2

41

121

62 4

16

3 2 4

– – –

– – –

– –

– –

+ =

+ =

+ =

+ =

c m

(n – 1).(n + 1) = 24 n2 – 1 = 24

n2 = 25

n = 5 bulunur.

Do ru Seçenek C

5. 2 + 4 + 6 = 12 bilyeden 2 bilye,

!.!12

2 10 212 66= =d n olup s(E) = 66 d r.

Bilyelerden birinin beyaz, öbürünün siyah olma olay na A dersek,

s(A) = . .21

41

2 4 8= =d dn n dir.

O halde, P(A) = ( )( )

s Es A =

668 =

334 bulunur.

Do ru Seçenek D

6. 8 ki ilik bir gruptan 5 ki ilik,

!. !!

. .

. .85 3 5

83 2 18 7 6 56= = =d n de i ik tak m kurulabilir.

Do ru Seçenek E

7. 6 + 4 = 10 bilyeden 3 bilye,

!. !

!. .. .10

3 7 310

3 2 110 9 8 120= = =d n olup, s(E) = 120 dir.

Bilyelerden biri beyaz, di er ikisi siyah olacaksa,

s(A) = . .61

42

6 6 36= =d dn n olur.

O halde, P(A) = ( )( )

s Es A

12036

103= = bulunur.

Do ru Seçenek A

ÇÖZÜMLER


ES

EN

YAY

INLA

RI

261

8. d1

d2

A B C

D E F G H

d1 den 1 nokta ve d2 den 2 nokta seçilirse,

. .31

52

3 10 30= =d dn n tane üçgen,

d1 den 2 nokta ve d2 den 1 nokta seçilirse,

. .3 5

32 1

5 15= =d dn n tane üçgen çizilebilir.

Toplam 30 + 15 = 45 tane üçgen çizilebilir.Do ru Seçenek A

9. ( ) .r

xx r

x xr

x6 1 6 6r r r r

r6

26 2 6 3– – – –= =d c d dn m n n

6 – 3r = 0 r = 2 olup sabit terim,

!. !!x x

6 62 4 2

6 1 152

·.6 3 2 0– = = =d dn n bulunur.

Do ru Seçenek A

10. nrc m(x2)n–r.(–2y2)r = A.x4y4

r = 2 ve n – r = 2 n = 4 olup

42d n(x2)2.(–2y2)2 = A.x4y4

6.x4.4.y4 = A.x4y4 A = 6.4 = 24 olur.Do ru Seçenek D

11.

A B

3 beyaz

4 k›rm›z›

5 beyaz

2 k›rm›z›

Renk durumunun de i memesi için; i. A dan al nan ve B den al nan n beyaz olmas

73

75

4915· =

ii. A dan al nan ve B den al nan n k rm z olmas

74

72

498· = olup iki durumdan birinin gerçek-

le mesi olas l ,

4915

498

4923+ = bulunur.

Do ru Seçenek E

12. (3x + 2y)23 ün aç l m nda ba tan 11. terim,

C(23, 10).(3x)23–10.(2y)10 olup bunun kat say s ,

C(23, 10).323–10.210 = C(23, 10).313.210

olarak bulunur.

Do ru Seçenek A

13. Geri at lmamak ko ulu ile iki çe-

2 mavi

5 ye il

kili ten birincisinde mavi, ikinci-sinde ye il mendil çekme olas -l ,

72

65

215· = bulunur.

Do ru Seçenek E

14.

T

A, A, T, T

Yan yüzlerinde A, T, A harflerinin görülebilmesi için tabana T harfi gelmelidir. Bu durumun ola-s l ise,

42

21= olarak bulunur.

Do ru Seçenek A

15. 5, 6, 7, 8, 9 rakamlar ile rakamlar farkl ve 780 den küçük, üç basamakl ;

1

{7}

yüzler

2

{5,6}

onlar

3 1.2.3 = 6 tane

birler

2

{5,6}

yüzler

4

onlar

3 2.4.3 = 24 tane

birler

olmak üzere, toplam 6 + 24 = 30 tanedir.

Do ru Seçenek D


ES

EN

YAY

INLA

RI

262

16. Her sat rdan farkl bir kare seçilirse, her sütundan da farkl bir kare seçilmi olur.

1. sat rdan bir kare için 4 seçenek,



4. sat rdan bir kare için 1 seçenek

vard r. Bu durumda,

4.3.2.1 = 24 farkl desen olu ur.

Do ru Seçenek C

17. A dan C ye 1 a a , 3 sa a olmak üzere,

!. !!

1 34 4= farkl yolla gidilir.

C den B ye 2 a a , 2 sa a olmak üzere,

!. !!

2 24 6= farkl yolla gidilir.

O halde A dan B ye 4.6 = 24 farkl yolla gidi-lebilir.

Do ru Seçenek A

18. A ülkesi B ülkesi ––––––– –––––––

1 ki i 4 ki i .51

44

5=d dn n 2 ki i 3 ki i .

52

33


53

22


54

11

5=d dn n 5 + 10 + 10 + 5 = 30 farkl gruplama ile gönderi-

lebilir.

Do ru Seçenek D

19.

A

B C

Herhangi üç tanesi do rusal olmayan 9 nokta-

dan 93d n tane üçgen elde edilir.

Fakat [AB] üzerindeki 4 noktan n 3 tanesi ile ve [AC] üzerindeki 3 nokta ile üçgen elde edi-lemez. Bu durumda,

93

43

33

84 4 1– – – –=d d dn n n = 79 tane üçgen olu turulabilir.

Do ru Seçenek D

20.

A B C D E

i. 3 tane paran n üçü de ayn kumbaraya,

51

5=d n de i ik ekilde at labilir.

ii. 3 tane paran n ikisi ayn kumbaraya, biri ba -

ka kumbaraya, �

� �� "�= - �-�� "��7.��

>��?��5��!�=.�"��@

iii. 3 tane paran n herbiri farkl kumbaraya,

53

10=d n de i ik ekilde at labilir.

O halde, toplam 5 + 20 + 10 = 35 farkl du-

rum vard r.

Do ru Seçenek D


ES

EN

YAY

INLA

RI

263

21. A = {1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlar yla, üç basamakl 4 4 4 4.4.4 = 64 tane ve rakam-

lar farkl üç basamakl 4 3 2 4.3.2 = 24 tane say yaz labilece inden, en az iki basama nda-ki rakam ayn olan üç basamakl 64 – 24 = 40 tane say yaz labilir.

Do ru Seçenek B

22. s(A x B) = s(A).s(B) = 4.6 = 24 tür.

A x B kümesinin elemanlar aras nda (a, a) biçi-minde yaz labilecekler

(–1, –1) , (0, 0) ve (1, 1)

oldu undan, al nan bir eleman n (a, a) biçiminde

olma olas l 243

81= bulunur.

Do ru Seçenek C

23. K = {–2, –1, 0, 1, 2, 3} Seçilecek üç eleman n çarp m n n nagatif olmas

için 1 tanesi negatif 2 tanesi pozitif olmal d r.

. .21

32

2 3 6= =d dn n olur.

Do ru seçenek A

24. Verilen 7 noktadan 3 nokta

. .

. .73 1 2 3

7 6 5 35= =d n farkl ekilde

seçilebilir. Bu seçimlerden üçünde (do rusal olan üç nokta)

üçgen olu maz. O halde seçilen üç noktan n

üçgen olu turma olas l 35

35 33532– = bulunur.

Do ru seçenek A

25. Birinci çarkta 4.4 = 16 sonuç vard r. Bu sonuçlardan 6 s ikinci çark çevirecektir. ( (2, 4)(4, 2)(3, 3)(3, 4)(4, 3)(4, 4) )

2. çarkta çama r makinesi gelme olas l 61 d r.

1. çark 2. çark –––––– ––––––

166 .

61 =

161 bulunur.

Do ru Seçenek B

26. 4 farkl çemberden iki tanesini

..4

2 1 24 3 6= =d n farkl ekilde seçebiliriz.

Seçilen iki çember en çok 2 farkl noktada kesi e-ce inden

6.2 = 12 farkl kesim noktas olu ur.Do ru Seçenek A

27.

2 K2 B1 S

4 bilye al nd nda 1 k rm z bilyenin kalmas için al nan bilyelerin 1 k rm z , 2 beyaz ve 1 sar olmas gerekir.

21

22

11 . .

52 1 1

52

54

= =d

d d dn

n n n

Do ru Seçenek D

28. s(AxB) = s(A).s(B) = 4.3 = 12 dir. (1, –1) ve (2, –2) ikililerindeki terimlerin toplam

s f r olaca ndan, kartezyen çarp m kümesinden al nan herhangi bir eleman n terimlerinin toplam -

n n s f r olma olas l 122

61= d r.

Do ru Seçenek C


ES

EN

YAY

INLA

RI

264

29. Birinci torbada 3 k rm z ve 1 beyaz top olmas durumunda bu torbadan k rm z çekme olas l -

m z 43 tür. Kalan 6 topun 4 ünü k rm z kabul

edersek ikinci torbadan k rm z top çekme olas l -

m z 64 olur.

3K1B

I. torba

4K2B

II. torba

O halde top da l m yukar daki gibi oldu unda istenen olas l k,

.43

64

21= olarak bulunuyor.

Bu durumda ikinci torbada 2 beyaz top vard r.

Do ru Seçenek D

30. .

.

.

.1 1132

6 7

2 113 126 7

137= =

dd d

nn n

bulunur.

Do ru Seçenek D

31. Uzun K sa K sa Uzun –––– – – –––– veya –––– – – ––––

. .4131

4131

121

121

+ = +

= 122

61

= bulunur.

Do ru Seçenek D

32. 2 farkl renkten toplam 3 gül,

.5

2

2

1d dn n = 10.2 = 20 farkl ekilde al nabilir.

1 vazo ise 2

1d n = 2 farkl ekilde al n r.

O halde, 20.2 = 40 farkl ekilde istenen ko ul-

larda al veri yap labilir.

Do ru Seçenek D

33.

5 K

4 B

. .

. .

. .. .

93

52

41

51

42

3 2 19 8 7

10 4 5 6+

=+

cc c c c

mm m m m

= . .3 4 7

40 30+

= . . .3 4 770

3 410

65

= =

Do ru Seçenek C

TÜME VARIM ve D Z LER


TÜME VARIM

Tüme var m

1. Kazan m : Tüme var m yöntemini aç klar ve uygulamalar yapar.

Toplam ve Çarp m Sembolü

1. Kazan m : Toplam sembolünü ve çarp m sembolünü aç klar, kullan lar ile ilgili özellikleri aç klar ve temel toplam formüllerini modelleyerek in a eder.

266

ES

EN

YAY

INLA

RI

ÖNERME

Do ru ya da yanl , kesin bir hüküm bildiren ifadelere

önerme denir. Örne in;

“Türkiye’nin ba kenti Ankara’d r.” ifadesi do ru bir

önermedir. “ 32 = 6 ” ifadesi yanl bir önermedir.

AÇIK ÖNERME

çinde en az bir de i ken bulunan önermelere aç k

önerme denir. Aç k önermeler, bu de i kenlere ve-

rilen de erlere göre “do ru” ya da “yanl ” bir yarg

bildirir. Aç k önermeyi do ru yapan de i kenlerin

kümesine önermenin do ruluk kümesi denir.

ÖRNEK 1

n bir do al say olmak üzere,

P(n) : 5.n > 2n – 3

aç k önermesinin do ruluk kümesi nedir?

Çözüm

n = 0 için P(0) : 5.0 > 20 – 3 0 > –2 (do ru)

n = 1 için P(1) : 5.1 > 21 – 3 5 > –1 (do ru)

n = 2 için P(2) : 5.2 > 22 – 3 10 > 1 (do ru)

n = 3 için P(3) : 5.3 > 23 – 3 15 > 5 (do ru)

n = 4 için P(4) : 5.4 > 24 – 3 20 > 13 (do ru)

n = 5 için P(5) : 5.5 > 25 – 3 25 > 29 (yanl )

O halde, P(0), P(1), P(2), P(3), P(4) önermeleri

do ru, di er önermeler yanl olup, verilen aç k

önermenin do ruluk kümesi D = { 0, 1, 2, 3, 4 } dir.

E T KÜME, DENK KÜME

Ayn elemanlardan olu an iki kümeye e it kümeler

denir ve A = B biçiminde gösterilir.

Eleman say lar e it olan kümelere denk kümeler

denir ve A B biçiminde gösterilir.

ÖRNEK 2

A = {1, 2, 3} ve B = {x: 1 x 3, x Z} kümeleri için,

A = {1, 2, 3} , B = {1, 2, 3} oldu undan A = B dir.

Ayr ca s(A) = s(B) oldu undan A B dir.

SONLU ve SONSUZ KÜME

Eleman say s tespit edilebilen kümeye sonlu küme

denir. Eleman say s tespit edilemeyen kümeye son-

suz elemanl küme denir.

n N+ için A = {1, 2, 3, ..., n} kümesine denk olabi-

len veya eleman olmayan her küme sonlu kümedir.

Sonlu olmayan küme ise sonsuz kümedir.

A = { x: x < 6, x N } kümesi sonlu kümedir.

B = { x: 2 < x < 6, x Z } kümesi sonlu kümedir.

C = { x: 2 < x < 6, x R } kümesi sonsuz kümedir.

N+ = { 1, 2, 3, ... } kümesi sonsuz kümedir.

N5 = { 5, 6, 7, 8, ... } kümesi sonsuz kümedir.

SAYILAB L R KÜME

N+ = {1, 2, 3, ..., n, ...} kümesinin bir alt kümesine

denk olan kümelere say labilir küme denir.

A = {1, 3, 5, ..., 2007} say labilir sonlu küme,

B = {1, 3, 5, ..., 2n–1, ...} say labilir sonsuz kümedir.

TÜME VARIM YÖNTEM

P(n) bir aç k önerme ve a N önermeyi do rulayan

en küçük say olsun.

k a ve k N olmak üzere,

i. P(a) n n do rulu u gösterilir,

ii. P(k) n n do rulu u kabul edilip, P(k + 1) in do -

rulu u gösterilirse,

P(n) aç k önermesinin do rulu u ispatlanm olur.

TÜME VARIM

Tüme Var m

267

ÖRNEK 3

Her n N+ için

P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + n = ( )n n2

1+

oldu unu tüme var m yöntemi ile ispatlay n z.Çözüm

i. n = 1 için P(1) : 1 = ( )2

1 1 1+ 1 = 1

oldu undan P(1) do rudur.

ii. n = k için P(k) : 1 + 2 + 3 + ... + k = ( )k k2

1+

olsun. n = k + 1 için P(k + 1) :

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = .k k2

1 2+ +^ ^h h oldu unu gösterelim.

P(k) da e itli in her iki yan na k + 1 ekleyelim.

1 + 2 + 3 + ... + ( )k

k k2

1=

+

k + 1 = k + 1 + ––––––––––––––––––––––––– 1 + 2 + 3 + .. + k + (k + 1) = ( )k k

21+ + k + 1

= (k + 1) k2

1+c m =

.k k2

1 2+ +^ ^h h P(k + 1) do ru oldu undan, her n N+ için

P(n) önermesi do rudur.

Tüme var mda, P(1) do ru ise P(2) do ru olmal -d r, P(2) do ru ise P(3) do ru olmal d r, P(3) do ru ise P(4) do ru olmal d r, ... eklinde i lem devam eder. Böylece P(n) önermesinin n k için do ru oldu u ispatlanm olur.

ÖRNEK 4

Her n N+ için P(n) : 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n.(n + 1)

oldu unu tüme var m yöntemi ile ispatlay n z.Çözüm

i. n = 1 için P(1) : 2.1 = 1.(1 + 1) 2 = 2


ii. n = k için P(k) : 2 + 4 + 6 + ... + 2k = k.(k + 1)


2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2.(k + 1) = (k + 1).(k + 2)

oldu unu gösterelim.

P(k) da e itli in her iki yan na 2.(k + 1) ekleyelim.

2 + 4 + 6 + ... + 2k = k.(k + 1)

2(k + 1) = 2(k + 1) + –––––––––––––––––––––––––– 2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)

= (k + 1)(k + 2) P(k + 1) do ru oldu undan, her n N+ için


ES

EN

YAY

INLA

RI

ETK NL K

Tüme var m yöntemini daha iyi kavrayabilmek için sonsuz domino do rusu örne ini ele alal m.Domino ta lar n , biri dü ünce bir sonraki de dü ecek ekilde ayarlayarak, birinci domino ta n dü ürmekle ard ard na hepsini de basitçe dü ürebiliriz. P(1) önermesinin do rulu unu ispatlamak, domino ta lar ndan birincisini dü ürmek gibidir. P(k) önermesinin do rulu unu kabul edip P(k + 1) önermesinin do rulu unu göstermek, domino ta lar ndan biri dü ünce bir sonraki de dü ecek ekilde ayarlanmas na benzer.

Tüme Var m

ES

EN

YAY

INLA

RI

268

ÖRNEK 5

Her n N+ için

P(n) : 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2

oldu unu tüme var m yöntemi ile ispatlay n z.

Çözüm

i. n = 1 için

P(1) : 2.1 – 1 = 12 1 = 1


ii. n = k için

P(k) : 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2 olsun.

n = k + 1 için

P(k + 1) : 1 + 3 + 5 + ... + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)2


P(k) da e itli in her iki yan na

2(k + 1) –1 = 2k + 2 – 1 = 2k + 1 ekleyelim.

1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2

2k + 1 = 2k + 1 + –––––––––––––––––––––––––––– 1 + 3 + 5 + ... + (2k + 1) = k2 + 2k + 1

= (k + 1)2

P(k + 1) do ru oldu undan, her n N+ için


ÖRNEK 6

Her n N+ için

P(n) : 12 + 22 + 32 + ... + n2 = ( ) . ( )n n n6

1 2 1+ +


Çözüm

i. n = 1 için P(1) : 12 = . .6

1 2 3 1 = 1


ii. n = k için P(k) :

12 + 22 + 32 + ... + k2 = ( ) . ( )k k k6

1 2 1+ + olsun.

n = k + 1 için P(k + 1) :

12 + 22 + 32 +...+ (k+1)2 = ( ) ( ) ( )k k k6

1 2 2 3+ + +


P(k) da e itli in her iki yan na (k + 1)2 ekleyelim.

12 + 22 + 32 + ... + k2 = ( ) . ( )k k k6

1 2 1+ +

(k + 1)2 = (k + 1)2 + ––––––––––––––––––––––––––––––––––

12 + 22 + ... + (k + 1)2 = ( ) . ( )k k k6

1 2 1+ + + (k + 1)2

= (k + 1). ( )k kk

62 1

1+

+ +c m

= (k + 1). k k k6

2 6 62 + + +c m

= (k + 1). k k6

2 7 62 + +

= ( ) . ( ) . ( )k k k6

1 2 2 3+ + +



A a daki ekillerde kare say lar hesaplanm t r.nceleyiniz.

12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62

12 + 22 + 32 + 42 + 5212 + 22 + 32 + 42

12 + 22 + 3212 + 2212

ETK NL K

Tüme Var m

ES

EN

YAY

INLA

RI

269

ÖRNEK 7

Her n N+ için

P(n) : 13 + 23 + 33 + ... + n3 = ( )n n2

1 2+; Eoldu unu tüme var m yöntemi ile ispatlay n z.

Çözüm

i. n = 1 için

P(1) : 13 = .2

1 2 2; E 1 = 1


ii. n = k için

P(k) : 13 + 23 + 33 + ... + k3 = ( )k k2

1 2+; E olsun.

n = k + 1 için

P(k + 1) :13 + 23 + 33 + ... + (k + 1)3 = ( ) ( )k k2

1 2 2+ +; E oldu unu gösterelim.

P(k) da e itli in her iki yan na (k + 1)3 ekleyelim.

13 + 23 + 33 + ... + k3 = ( )k k2

1 2+; E (k + 1)3 = (k + 1)3 + ––––––––––––––––––––––––––––––––––

13 + 23 + 33 + ... + (k + 1)3 = ( )k k2

1 2+; E + (k + 1)3

= (k + 1)2. ( )k k2

12

+ +c m= G

= (k + 1)2. k k44 42 + +; E

= (k + 1)2. k2

2 2+; E

= ( ) ( )k k2

1 2 2+ +; E P(k + 1) do ru oldu undan, her n N+ için


ÖRNEK 8

Her n N+ için

P(n) : . . . . ( )n n n

n1 21

2 31

3 41

11

1…+ + + +

+=

+


Çözüm

i. n = 1 için

P(1) : . ( )1 1 1

11 1

1+

=+

21

21=


ii. n = k için

P(k) : . . . . ( )k k k

k1 21

2 31

3 41

11

1…+ + + +

+=

+

olsun.

n = k + 1 için

P(k + 1) : . . ( ) ( )k k k

k1 21

2 31

1 21

21…+ + +

+ +=

++


P(k) da e itli in her iki yan na ( ) ( )k k1 2

1+ +

ekleyelim.

. . . . ( ) ( ) ( )k k k k1 21

2 31

3 41

11

1 21…+ + + +

++

+ +

= ( ) ( )k

kk k1 1 2

1+

++ +

= ( ) ( )

( )k kk k

1 22 1

+ ++ +

= ( ) ( )k kk k

1 22 12

+ ++ +

= ( ) ( )

( )k k

k1 2

1 2

+ ++

= kk

21

++



Tüme Var m

ES

EN

YAY

INLA

RI

270

ÖRNEK 9

Her n N+ , r 1 için

P(n) : 1 + r + r2 + r3 + ... + rn–1 = rr

11

–– n


Çözüm

i. n = 1 için P(1) : r1–1 = rr

11

–– 1

1 = 1


ii. n = k için P(k) :

1 + r + r2 + r3 + ... + rk–1 = rr

11

–– k

olsun.

n = k + 1 için P(k + 1) :

1 + r + r2 + r3 + ... + rk = r

r1

1–

– k 1+


P(k) da e itli in her iki yan na rk ekleyelim.

1 + r + r2 + r3 + ... + rk–1 + rk = rr r

11

–– k

k+

= .r

r r r r1

1–

– –k k k+

= r

r1

1–

– k 1+



ÖRNEK 10

Her n N+ için

P(n) : 1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n + 1)! – 1


Çözüm

i. n = 1 için P(1) : 1.1! = (1 + 1)! – 1 1 = 1


ii. n = k için P(k) : 1! + 2.2! + 3.3! + ... + k.k! = (k + 1)! – 1


1! + 2.2! + 3.3! + ... + (k + 1).(k + 1)! = (k + 2)! – 1


P(k) da e itli in her iki yan na

(k + 1).(k + 1)! ekleyelim.

1! + 2.2! + 3.3! + ... + k.k! = (k + 1)! – 1

(k + 1).(k + 1)! = (k + 1).(k + 1)! + ––––––––––––––––––––––––––––––––––––1! + 2.2! + 3.3! + ... + (k + 1)(k + 1)! = (k + 1)(k + 1)! + (k + 1)! – 1

= (k + 1)!(k + 1 + 1) – 1

= (k + 1)!(k + 2) – 1

= (k + 2)! – 1



ÖRNEK 11

n 4 ve n N için

P(n) : n! > 2n


Çözüm

i. n = 4 için P(4) : 4! > 24 24 > 16


ii. n = k için P(k) : k! > 2k olsun.

n = k + 1 için P(k + 1) : (k + 1)! > 2k+1


P(k) da e itsizli in her iki yan n k + 1 ile çar-

pal m.

k! > 2k k!.(k + 1) > 2k.(k + 1)

(k + 1)! > 2k.(k + 1) olur.

k + 1 > 2 2k.(k + 1) > 2k.2

2k.(k + 1) > 2k+1 dir. O halde,

(k + 1)! > 2k.(k + 1) > 2k+1 (k + 1)! > 2k+1 dir.

P(k + 1) do ru oldu undan, n 4 ve n N için


Tüme Var m

ES

EN

YAY

INLA

RI

271

ÖRNEK 12

Her n N+ için

P(n) : n! nn–1


Çözüm

i. n = 1 için

P(1) : 1! 11–1 1 1


ii. n = k için

P(k) : k! kk–1 olsun.

n = k + 1 için

P(k + 1) : (k + 1)! (k + 1)k


P(k) da e itsizli in her iki yan n k + 1 ile çar-

pal m.

k! kk–1 k!.(k + 1) kk–1.(k + 1)

(k + 1)! kk–1.(k + 1) dir.

kk–1 (k + 1)k–1 kk–1.(k + 1) (k + 1)k–1.(k + 1)

kk–1.(k + 1) (k + 1)k olur.

O halde,

(k + 1)! kk–1.(k + 1) (k + 1)k olup

(k + 1)! (k + 1)k elde edilir.



ÖRNEK 13

Her n N+ için

P(n) : n2 – n say s 2 ile tam bölünür.

önermesinin do rulu unu tüme var m yöntemi ile ispatlay n z.

Çözüm

i. n = 1 için

P(1) : 12 – 1 = 0 olup, 0 say s 2 ile tam bölünür.

Yani, P(1) do rudur.

ii. n = k için k2 – k ifadesi 2 ile tam bölünsün.

Bu durumda, r Z olmak üzere,

k2 – k = 2.r k2 = k + 2r dir.

n = k + 1 için (k + 1)2 – (k + 1) say s n n 2 ile

tam bölündü ünü gösterelim.

(k + 1)2 – (k + 1) = k2 + 2k + 1 – k – 1

= k2 + k , ( k2 = k + 2r )

= k + 2r + k

= 2(k + r) , ( k + r Z )

bulunur. O halde, (k + 1)2 – (k + 1) ifadesi de

2 ile tam bölünür.

Bu durumda, P(n) önermesi do rudur.

ÖRNEK 14

Her n N+ için

P(n) : 7n – 2n say s 5 ile tam bölünür.

önermesinin do rulu unu tüme var m yöntemi ile ispatlay n z.

Çözüm

i. n = 1 için

71 – 21 = 5 olup, 5 say s 5 ile tam bölünür.

Yani, P(1) do rudur.

ii. n = k için

7k – 2k ifadesi 5 ile tam bölünsün.

Bu durumda, r Z olmak üzere,

7k – 2k = 5.r 7k = 2k + 5.r dir.

n = k + 1 için 7k+1 – 2k+1 say s n n 5 ile tam

bölündü ünü gösterelim.

7k+1 – 2k+1 = 7k.7 – 2k.2 , ( 7k = 2k + 5.r )

= (2k + 5.r).7 – 2k.2

= 7.2k + 35.r – 2k.2

= 5.(2k + 7.r) , ( 2k + 7.r Z )

bulunur. O halde, 7k+1 – 2k+1 say s da 5 ile tam bölünür. Bu durumda, P(n) önermesi do rudur.

Tüme Var m

ES

EN

YAY

INLA

RI

272

ÖRNEK 15

i2 = –1 olmak üzere, her n N+ için

P(n) : (cos + i.sin )n = cosn + i.sinn


Çözüm

i. n = 1 için

(cos + i.sin )1 = cos(1. ) + i.sin(1. )


ii. n = k için

P(k) : (cos + i.sin )k = cosk + i.sink olsun.

n = k + 1 için P(k + 1) :

(cos + i.sin )k+1 = cos(k + 1) + i.sin(k + 1)


P(k) da e itli in her iki yan n cos + i.sin ile

çarpal m.

(cos +i.sin )k.(cos +i.sin ) = (cosk +isink ).(cos +isin )

(cos + i.sin )k+1 = cosk .cos + i.cosk .sin +

i.sink .cos + i2.sink .sin

= cosk .cos – sink .sin +

i.(cosk .sin + sink .cos )

= cos(k + ) + i.sin(k + )

= cos(k+1) + i.sin(k+1)

O halde, P(n) önermesi do rudur.

ÖRNEK 16

n 3 ve n N için

P(n) : 2n > 2n + 1


Çözüm

i. n = 3 için

P(3) : 23 > 2.3 + 1 8 > 7


ii. n = k için

P(k) : 2k > 2k + 1 olsun.

n = k + 1 için

P(k + 1) : 2k+1 > 2(k + 1) + 1


P(k) da e itsizli in her iki yan n 2 ile çarpal m.

2k > 2k + 1 2.2k > 2.(2k + 1)

2k+1 > 4k + 2

2k+1 > 2k + 2 + 2k , (2k > 1)

2k+1 > 2(k + 1) + 2k > 2(k + 1) + 1

2k+1 > 2(k + 1) + 1 olur.

P(k + 1) önermesi do ru oldu undan

n 3 ve n N için P(n) önermesi do rudur.

ÖRNEK 17

Bernoulli E itsizli i denilen,

“ n N+ ve h > –1 için (1 + h)n 1 + n.h”

oldu unu ispatlay n z.

Çözüm

i. n = 1 için

(1 + h)1 1 + 1.h 1 + h 1 + h


ii. n = k için

P(k) : (1 + h)k 1 + k.h olsun.

n = k + 1 için

P(k + 1) : (1 + h)k+1 1 + (k + 1).h


P(k) da e itsizli inin her iki yan n 1 + h ile

çarpal m.

(1 + h)k(1 + h) (1 + k.h)(1 + h)

(1 + h)k+1 1 + h + k.h + k.h2

(1 + h + k.h + k.h2 > 1 + h + k.h oldu undan)

(1 + h)k+1 1 + h + k.h

(1 + h)k+1 1 + (k + 1)h olur.

P(k + 1) önermesi do ru oldu undan Bernoulli

E itsizli i de do rudur.

273

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. n N+ için a a daki önermelerin do rulu u-nu tüme var m yöntemi ile ispat ediniz.

a. 1.2+2.3+3.4+ ... +n.(n+1) = ( ) . ( )n n n3

1 2+ +

b. . . ( ) ( )n n n

n1 31

3 51

2 1 2 11

2 1…

–+ + +

+=

+

c. ! 3!

.......! !! n

nn2

1 243 1 1 1– –+ + + + =

d. 12 + 32 + 52 + ... + (2n – 1)2 = ( )n n3

4 1–2

e. 1 + 5 + 52 + ... + 5n–1 = 4

5 1–n

2. A a daki önermelerin n N+ için do rulu u-nu gösteriniz.

a. 4n > n2

b. 5n 1 + 4.n

c. 21

41

81

21 1… <n

+ + + +

d. 2!.4!.6! ... (2n)! [(n + 1)!]n+1

3. “ n N+ için, 6n – 1 say s 5 ile tam bölünebilir.” önermesinin do rulu unu ispatlay n z.

4. n 3 olmak üzere, n kenarl bir konveks çokgenin iç aç lar n n ölçülerinin toplam n n (n – 2).180° oldu unu ispatlay n z.

5. n 3 olmak üzere, n kenarl bir konveks çokge-

nin kö egenlerinin say s n n ( )n n2

3– oldu unu

ispatlay n z.

6. n N+ ve a, b R için

(a+b)n= . .n

an

a bn

a bnn

b0 1 2

…n n n n1 2 2– –+ + + +c c c cm m m m teoreminin (Binom teoremi) do rulu unu tüme

var m yöntemiyle ispatlay n z.

7. n 5 ve n N için 2n > n2 oldu unu ispatlay -n z.

8. n > 1 ve n N için ( !)( ) !nn

nn21

4>2 +

oldu unu ispatlay n z.

9. n N için n3 + 3n2 + 5n + 3 ifadesinin 3 ile bölünebildi ini ispatlay n z.

10. n N için 4n + 15n – 1 ifadesinin 9 ile bölü-nebildi ini ispatlay n z.

ALIŞTIRMALAR – 1

ES

EN

YAY

INLA

RI

274

Toplam ve Çarp m Sembolleri

TOPLAM SEMBOLÜ ( )

f: Z R , f(k) = ak ve r n, (r, n Z) olmak üzere,

f(r) = ar , f(r + 1) = ar+1 , f(r + 2) = ar+2, ... , f(n) = an terimlerinin toplam n

ar + ar+1 + ar+2 + ... + an = akk r

n

=/

biçiminde ifade edebiliriz. Burada kullan lan sembol, toplam sembolü ya da Yunan alfabesinin / (sigma) sembolüdür.

akk r

n

=/ ifadesinde; r alt s n r, n üst s n r ve k de i -

kendir. Bu ifade “k = r den n ye kadar ak say lar n n

toplam ” eklinde okunur.

ÖRNEK 18

A a daki örnekleri inceleyiniz.

a3 + a4 + a5 + ... + a15 = akk 3

15

=/

1 + 2 + 3 + ... + 25 = kk 1

25

=/

10 + 11 + 12 + ... + 25 = kk 10

25

=/

1 + 4 + 9 + ... + 169 = kk

2

1

13

=/

e

5 5 5 5 5…tann k

n

1+ + + + =

=1 2 34444 4444 /

1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 50.51 = . ( )k k 1k 1

50+

=/

kk 2

3

–=/ = –2 + (–1) + 0 + 1 + 2 + 3 = 3

k2k 2

5

=/ = 4 + 6 + 8 + 10 = 28

kk

3

5

15

=/ = 53 + 63 + 73 + ... + 153

ÖRNEK 19

4 + 7 + 10 + 13 + ... + 100 ifadesini / sembolü ile yaz n z.

Çözüm

Verilen say lar üçer üçer artmakta ve ilk say 3 ün 1 kat ndan 1 fazlad r. Dolay s ile,

4 + 7 + 10 + 13 + ... + 100 = ( )k3 1k 1

33+

=/

biçiminde yazabiliriz.

ÖRNEK 20

2 + 5 + 10 + 17 + 26 + ... + 626 ifadesini / sem-bolü ile yaz n z.

Çözüm

2 = 12 + 1

5 = 22 + 1

10 = 32 + 1

17 = 42 + 1

626 = 252 + 1 oldu undan,

2 + 5 + 10 + 17 + 26 + ... + 626 = ( )k 1k

2

1

25+

=/


ÖRNEK 21

–1 + 2 – 3 + 4 – ... – 19 + 20 ifadesini / sembolü ile yaz n z.

Çözüm

Ard k terimlerin i aret de i tirmesini (–1)k çar-pan ile sa layabiliriz.

1 + 2 + 3 + ... + 19 + 20 = kk 1

20

=/ oldu undan

–1 + 2 – 3 + 4 – ... – 19 + 20 = ( ) .k1– k

k 1

20

=/


ES

EN

YAY

INLA

RI

275


ÖRNEK 22

( )k k1 –k 1

35+

=/ ifadesinin de eri kaçt r?

Çözüm

( ) 2k k1 1– –k 1

35+ =

=/

+ 3 2–

+ 4 3–

.........

+ c36 – 35 +

= c36 – v1 = 6 – 1 = 5 olur.

ÖRNEK 23

logk

k 1 2k

n

1

+ ==

c m/ oldu una göre, n kaçt r?

Çözüm

logk

k 1k

n

1

+=

c m/ = log2+log23 +log

34 +...+log

nn 1+

= log …n

n223

34 1· · +c m

= log(n + 1) oldu undan,

log(n + 1) = 2 n + 1 = 102

n = 99 bulunur.

ÖRNEK 24

( )a n n 4kk

n

1= +

=/ ise a4 kaçt r?

Çözüm

n = 4 . ( )a 4 4 4kk 1

4= +

=/

a1 + a2 + a3 + a4 = 32 dir.

n = 3 . ( )a 3 3 4kk 1

3= +

=/

a1 + a2 + a3 = 21 oldu undan,

a1 + a2 + a3 + a4 = 32 21 + a4 = 32

a4 = 11 bulunur.

ÖRNEK 25

r6

r 0

6

=d n/ ifadesinin de eri kaçt r?

Çözüm

r6 6

061

62

63

64

65

66r 0

6= + + + + + +

=d d d d d d d dn n n n n n n n/

= 26 = 64 bulunur.

ÖRNEK 26

f(x) = x2 + 3 , x1 = 1 , x2 = 4 oldu una göre,

( ) . ( )x f x1i ii 1

2+

=/ ifadesinin de eri kaçt r?

Çözüm

( ) . ( )x f x1i ii 1

2+

=/ = (x1 + 1).f(x1) + (x2 + 1).f(x2)

= (1 + 1).f(1) + (4 + 1).f(4)

= 2.f(1) + 5.f(4)

= 2.(12 + 3) + 5.(42 + 3)

= 103 bulunur.

ÖRNEK 27

kk

5

3

3

–=/ ifadesinin e iti kaçt r?

Çözüm

kk

5

3

3

–=/ = (–3)5 + (–2)5 + (–1)5 + 05 + 15 + 25 + 35

= 0 d r.

.k d r0n

k m

m2 1

–=+

=/

ÖRNEK 28

( )k k2k

3

4

5

–+

=/ ifadesinin e iti kaçt r?

Çözüm

( ) ( ) ( . )k k k k2 2 5 2 5k k

3

4

53

4

43

– –+ = + + +

= =/ /

= 0 + 125 + 10 = 135 bulunur.

ES

EN

YAY

INLA

RI

276


ÖRNEK 29

cos °1

180a

a =/ ifadesinin e iti kaçt r?

Çözüm

cos180° = –1, cos179° = – cos1°,

cos178° = – cos2°, ..., cos92° = – cos88°,

cos91° = – cos89°, cos90° = 0 oldu undan,

cos °1

180

aa=

/ = cos1° + cos2° + ... + cos178° +

cos179° + cos180°

= cos1°+cos2°+...– cos2°– cos1°–1

= –1 olur.

ÖRNEK 30

sin k2k 1

90 r


Çözüm

sin k2k 1

90 r

=/ =sin

2r +sin +sin

23r +sin2 +...+sin45

= 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0– – …0 0 1

+ + + + + + + +1 2 3444 444 1 2 3444 444 Z

= 1 olur.

Burada, arka arkaya gelen dört terimin toplam 0 d r. 90 tane terim olup 90 2 (mod 4) oldu undan son 2 terimin toplam sonucu vermektedir.

ÖRNEK 31

i2 = –1 olmak üzere,

i2

1k

k

1

50 2+

=d n/ ifadesinin e iti nedir?

Çözüm

i i i i

i

i

21

21

21 2

21 2 1–

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

1

50 2 2

1

50 2

1

50

1

50

1

50

+ = + = + +

= +

=

= = =

=

=

d d c

c

n n m

m

> H/ / /

/

/

= i + i2 + i3 + i4 + ... + i49 + i50

= i i i1 1 1– – … –0

+ + +1 2 344 44

= i – 1 bulunur.

ÖRNEK 32

!kk 1–

k 1

50


Çözüm

! ! ! ! !k

kkk

k k k1 1

11 1– ––

–kk k1

50

1

50

1

50= =

== =c ^dm h n// /

! !

! !

! !

! !

01

11

11

21

21

31

491

501

–

–

–

…………

–

=

+

+

+ +

! ! ! !

.olur01

501

11

501 1

501– – –= = =

TOPLAM FORMÜLLER

Tüme var mda ispat n yapt m z baz önemli toplam formülleri a a da verilmi tir. Bu formülleri ezber-lemek bize, toplam sembolü ile ifade edilen de eri kolayca hesaplamam z sa layacakt r.

1 + 2 + 3 + ... + n = ( )k

n n2

1

k

n

1=

+

=/

2 + 4 + 6 + ... + 2n = ( ) ( )k n n2 1k

n

1= +

=/

1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = ( )k n2 1–k

n2

1=

=/

12 + 22 + 32 + ... + n2 = ( ) ( )

kn n n

61 2 1

k

n2

1=

+ +

=/

13 + 23 + 33 + ... + n3 = ( )k

n n2

1

k

n3

2

1=

+

=; E/

1 + r + r2 + ... + rn–1 = rrr

11

––k

n

k

n1

1

– ==/ , (r 1)

. . ( ) ( )n n k k n

n1 21

2 31

11

11

1…

k

n

1+ + +

+=

+=

+=/

ES

EN

YAY

INLA

RI

277


ÖRNEK 33


. ( )k

210 10 1

k 1

10=

+

=/ = .

210 11 = 55

k2k 1

10=

=^ h/ 10.(10 + 1) = 10.11 = 110

( )k2 1 10–k

2

1

10=

=/ = 100

. ( ) . ( . )k

610 10 1 2 10 1

k

2

1

10=

+ +

=/ = . .

610 11 21

= 385

. ( )k

210 10 1

k

3

1

10 2

=+

=; E/ = .

210 11 2; E = 3025

21 2

1 2–

–k

k

1

1

10 10– =

=/ = –1 + 210 = 1023

( )k k 1

11110

k 1

10

+=

=/

. ( ) . ( ) ( . ) .k r i2

5 5 16

5 5 1 2 5 12

5 6irk

2 32

1

5

1

5

1

5+ + =

++

+ ++

===c m///

= . . . ( . )2

5 66

5 6 11 5 3 2+ +

= 5.3 + 5.11 + 152

= 295

ÖRNEK 34

10 + 11 + 12 + ... + 30 toplam n n de eri kaçt r?

Çözüm

10 + 11 + 12 + ... + 30 = kk 10

30

=/

= k k–kk 1

9

1

30

==//

= . .2

30 312

9 10–

= 420 olur.

Toplam Sembolünün Kullan m le lgili Özellikler

a bk kk

n

1!

=^ h/ = (a1 b1) + (a2 b2) + ... + (an bn)

= (a1 + a2 + ... + an) (b1 + b2 + ... + bn)

= a bkk

n

kk

n

1 1!

= =/ /

a b a bk kk

n

k kk

n

k

n

1 11! !=

= ==^ h/ //

ÖRNEK 35

k k–k

2

1

8

=^ h/ ifadesinin sonucu kaçt r?

Çözüm

. ( ) . ( . ) . ( )

. . . .

k k k k

bulunur

68 8 1 2 8 1

28 8 1

68 9 17

28 9 168

– –

–

–

k kk

2

1

82

1

8

1

8=

=+ + +

= =

= ==^ h/ //

e

.c c c c n c…tannk

n

1= + + + =

= 1 2 3444 444/

.c n ck

n

1=

=/ dir.

ÖRNEK 36

5k 1

20

=/ ifadesinin sonucu kaçt r?

Çözüm

.5 20 5k 1

20=

=/ = 100 bulunur.

ES

EN

YAY

INLA

RI

278


.c akk

n

1=

=/ c.a1 + c.a2 + c.a3 + ... + c.an

= c.(a1 + a2 + a3 + ... + an)

= .c akk

n

1=/

. .c a c ak kk

n

k

n

11=

==// dir.

ÖRNEK 37

( . )i5i 1

10


Çözüm

. .i i5 5ii 1

10

1

10=

==^ h // = .5

210 11· = 275 bulunur.

aak kk p

n

k

p

11+

= +=// = a1+ a2 +...+ ap+ ap+1+ ap+2+ ... + an

= a1 + a2 + ... + an

= akk

n

1=/

a a ak k kk

n

k p

n

k

p

111+ =

== +=/// dir.

ÖRNEK 38

k kkk 10

15

1

10+

==// ifadesinin sonucu kaçt r?

Çözüm

k k k k10kkkk 11

15

1

10

10

15

1

10+ = + +

====////

= 10 + k kk k1

10

11

15+

= =/ /

= 10 + kk 1

15

=/

= 10 + .2

15 16 = 130 bulunur.

ak rk p r

n r

–

–

+=/ = ap – r +r + ap – r + 1 + r + ... + an – r + r

= ap + ap+1 + ... + an = akk p

n

=/

ak rk p r

n r

–= +

+/ = ap + r – r + ap + r + 1 – r + ... + an + r – r

= ap + ap+1 + ... + an = akk p

n

=/

a a ak k r k rk p r

n r

k p r

n r

k p

n

––

–= =+

= +

+

==/// dir.

ÖRNEK 39

( )k2 3–k 4

10


Çözüm

[ ]k k2 3 2 3 3– –k k4

10

4 3

10 3

–

–= +

= =^ ^h h/ /

= k2 6 3–k 1

7+

=^ h/

= k2 3k 1

7+

=^ h/

= . k2 3kk 1

7

1

7+

==//

= . .22

7 8 3 7· + = 77 bulunur.

ÖRNEK 40

k3 1k 1

8

–+


Çözüm

[ ]k k3 1 3 2 1–kk 1 2

8 2

1

8

––+ = +

= +

+

=^ ^h h//

= k3 5–k 1

10

=^ h/

= . k3 5–kk 1

10

1

10

==

//

= . .32

10 11 5 10· – = 115 bulunur.

ES

EN

YAY

INLA

RI

279


ÖRNEK 41

k n2 1kn 0

2

1

3+ +

==^ h// ifadesinin sonucu kaçt r?

Çözüm

. . .

[ ]

. .

k n k n

k

k

k

k

2 1 2 1

2 32

3 4 1 3

6 9

6 1 9

6 3

62

3 4 3 3

–

·

kn nk

k

k

k

k

0

2

1

3

1

3

0

2

0

2

0

2

0 1

2 1

1

3

+ + = + +

= + +

= +

= +

= +

= +

== ==

=

=

= +

+

=

^ ^

c

^

^

^

h h

m

h

h

h

// //

/

/

/

/

= 45 bulunur.

ÖRNEK 42

[ ]n n1 2–n 2

10+

=^ ^h h/ ifadesinin sonucu kaçt r?

Çözüm

[ ]n n1 2–n n2

10

2 1

10 1

–

–+ =

= =^ ^h h/ / [(n + 1 + 1).(n + 1 – 2)]

= n 1

9

=

/ [(n + 2).(n – 1)]

= n 1

9

=

/ (n2 – n + 2n – 2)

= n 1

9

=

/ (n2 + n – 2)

= . . . .6

9 10 192

9 10 2 9–+

= 312 bulunur.

ÖRNEK 43

k k1–k

22

15


Çözüm

k k k

Ak

B1

11– –

= +^ h 1 = A(k – 1) + Bk

1 = (A + B)k – A

A + B = 0 , 1 = –A

A = –1 , B = 1

k k k1

11

1– –kk

22

15

2

15=

== ^ h//

= k k1

11––k 2

15+

=c m/

= 21

11

31

21

41

31

151

141– – – … –+ + + + + + + +c c c cm m m m

= 11

151–+

= 1151–

= 1514 bulunur.

ÖRNEK 44

( )f n i 2i

n

1= +

=^ h/ ve ( )g n i

i

n2

1=

=/ ise

(fog)(3) ün de eri kaçt r?

Çözüm

(fog)(3) = f(g(3)) = f ii

2

1

3

=f p/

= . .f6

3 4 7c m = f(14)

= i 2i 1

14+

=^ h/

= . .2

14 15 2 14+

= 133 bulunur.

ES

EN

YAY

INLA

RI

280


ÖRNEK 45

2 k

k

2

3

15


Çözüm

.

·4

·4

.bulunur

2 4 4

4 4

1 41 4

34 1

34 4

––

–

–

k

k

k

k

k

k

k

k

2

3

15

3

152

3 2

15 2

1 3

1

13

133

133

16 3

–

–

–

= =

=

=

=

=

= =

+

=

=

/ / /

/

ÖRNEK 46

n n5 61

–n2

4

30

+=/ ifadesinin sonucu kaçt r?

Çözüm

n n n n n

An

B5 61

2 31

2 3– – – – –2 += = +^ ^h h

1 = A(n – 3) + B(n – 2)

1 = (A + B)n – 3A – 2B

A + B = 0 , –3A – 2B = 1

A = –1 , B = 1 dir. O halde,

n n n n6

12

13

15– –

––n n

24

30

4

30

+= +

= =c m/ /

= 21

11

31

21

281

271– – … –+ + + + + +c c cm m m

= 11

281–+

= 2827 bulunur.

ÖRNEK 47

mn

nm 1

2

1

6

==// ifadesinin sonucu kaçt r?

Çözüm

m m mn

mnm

1 2

1

6

1

2

1

6= +

===^ h///

= m mmm

2

1

6

1

6+

==//

= . . .2

6 76

6 7 13+

= 112 bulunur.

ÖRNEK 48

k A2k

2

1

10+ =

=^ h/ ise

B = 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + 11.12 toplam n n A türün-

den de eri nedir?

Çözüm

B = 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + 11.12

= k k1 2k 1

10+ +

=^ ^h h/

= k k3 2k

2

1

10+ +

=^ h/

= k k k4 4 2– –k

2

1

10+ +

=^ h/

= k 1

10

=

/ [(k + 2)2 – k – 2]

= k k2 2– –k k k

2

1

10

1

10

1

10+

= = =^ h/ / /

= A – .2

10 11 – 2.10

= A – 75 bulunur.

281

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. A a daki toplamlar sembolü ile ifade ediniz.

a. 5 + 10 + 17 + 26 + ... + 145

b. –11 – 8 – 5 – ... + 34 + 37

c. 32

53

74

3317…+ + + +

d. –1 + 2 – 3 + 4 – ... – 19 + 20

e. 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + 50.51.52

f. 1.3 + 2.7 + 3.11 + ... + 14.55 + 15.59

2. A a daki toplamlar n sonucunu bulunuz.

a. 3–k 1

8

=^ h/

b. 8k 2

8

–=/

c. kn 1

10

–=/

d. ii

2

1

3

=/

e. 2r

r 0

5

=/

f. n 1n 1

52+

=^ h/

g. k k 1k

2

1

10+ +

=^ h/

h. a3 2a 0

10+

=^ h/

i. n n 1n 1

10+

=^ h/

j. k k k2 4–k

5 3

12

12

–+

=^ h/

3. A a daki toplamlar n sonucunu bulunuz.

a. kr 3rk 1

3

1

4+

==^ h//

b. mn n2–nm 2

5

1

5

==^ h//

c. bb

a

a 11

3

==

//

d. z y xzyx 1

2

1

3

1

4+ +

===^ h///

4. a3 kk

n

1=/ = 32n+1 ise a5 + a6 kaçt r?

5. f(x) = x – 1 ve g(x) = x2 – 1 ise gof xx 1

4

=^ ^h h/

ifadesinin de eri kaçt r?

ALIŞTIRMALAR – 2

1. a. ( )k 1k

2

2

12+

=/ b. ( )k3 14–

k 1

17

=/ c.

nn

2 11

n 1

16

++

=/ d. .k1– k

k 1

20

=^ h/ e. . ( 1) . ( 2)k k k

k 1

50+ +

=/ f. (4 1)k k –

k 1

15

=/

2. a. –24 b. 88 c. 12k d. 14 e. 63 f. 90 g. 450 h. 187 i. 440 j. 0 3. a. 96 b. 70 c. 10 d. 144 4. 38.80 5. 10


282

ES

EN

YAY

INLA

RI

6. ( )k k 1k

n

1+

=/ ifadesi neye e ittir?

7. k k

1k

n

21 +=/ ifadesi neye e ittir?

8. logk

k 1k

n

1

+=

c m/ ifadesi neye e ittir?

9. [ ]f k f k1 –k

n

1+

=^ ^h h/ ifadesi neye e ittir?

10. k4 1

1–k

n

21=/ ifadesi neye e ittir?

11. k2 5k 2

10

–+

=^ h/ ifadesi neye e ittir?

12. . r1 2 1– –r

r

0

15

=^ ^h h/ ifadesi neye e ittir?

13. an = 1 + 21

41+ + ... +

21n 1–

ise akk 1

3

=/

ifadesi kaça e ittir?

14. !S knk

n

1=

=/ ise S2 + S3 + S4 kaçt r?

15. 5 40k

n

0=

=/ ise n kaçt r?

6. n n n

31 2+ +^ ^h h

7. n

n1+

8. log(n + 1) 9. f(n + 1) – f(1) 10. nn

2 1+

11. 169 12. –16 13. 4

17 14. 45 15. 7

ES

EN

YAY

INLA

RI

283


ÇARPIM SEMBOLÜ ( )

f: Z R , f(k) = ak ve r n , (r, n Z) olmak üzere,

f(r) = ar , f(r+1) = ar+1 , f(r+2) = ar+2 , ..., f(n) = an terimlerinin çarp m n

ar.ar+1.ar+2. ... .an = akk r

n

=%

biçiminde ifade edebiliriz. Burada kullan lan sembol, çarp m sembolü ya da Yunan alfabesinin pi ( ) har-fini içeren sembolüdür.

akk r

n

=% ifadesinde;

r alt s n r, n üst s n r ve k de i kendir.

Bu ifade “k = r den n ye kadar ak say lar n n çarp m ” eklinde okunur.

ÖRNEK 49


a4.a5.a6......a16 = akk 4

16

=%

1.2.3.4......20 = kk 1

20

=%

6.7.8.9......34 = kk 6

34

=%

2.4.6.8......50 = k2k 1

25

=^ h%

1.4.9.16......169 = kk

2

1

13

=%

e

. .6 6 6 6 6……tann k

n

1=

=1 2 344 44 %

5.52.53......5n = 5k

k

n

1=%

………k

k21

32

43

2120

1· ·

k 1

20=

+=%

kk 2

4

–=

=% (–2).(–1).0.1.2.3.4 = 0

. . . .a a a a a a ak

5

1

5= =

=%

ÖRNEK 50

3.8.15.24......120 ifadesini sembolü kullanarak yaz n z.

Çözüm

3 = 22 – 1

8 = 32 – 1

15 = 42 – 1

120 = 112 – 1 oldu undan,

3.8.15.24......120 = k 1–k

2

2

11

=^ h%

biçiminde yaz l r.

ÖRNEK 51

k1

11

k 1

98+

+=c m% ifadesinin de eri kaçt r?

Çözüm

……

.

k kk

olur

11

112

23

34

45

99100

2100 50

· ·

k k1

98

1

98+

+=

++

=

= =

= =c m% %

ÖRNEK 52

log k 1k 2

255+

=k ^ h% ifadesinin de eri kaçt r?

Çözüm

log k 1k 2

255+

= k^ h% = log23.log34.log45.......log255256

= log2256

= log228

= 8.log22 = 8.1 = 8 olur.

ES

EN

YAY

INLA

RI

284


ÖRNEK 53

k k 6–k

2

1

20+

=^ h% ifadesinin de eri kaçt r?

Çözüm

[ ]k k k k6 3 2– –k k

2

1

20

1

20+ = +

= =^ ^ ^h h h% %

= [4.(–1)].[5.0].[6.1]......[23.18]

= 4.(–1).5.0.6.1......23.18

= 0 olur.

ÖRNEK 54

k k9–k

3

1

30

=^ h% ifadesinin de eri kaçt r?

Çözüm

[ ( )]

[ . ]

k k k k

k k k

9 9

3 3

– –

–

k k

k

3

1

302

1

30

1

30

=

= +

= =

=

^

^ ^

h

h h

% %

%

= [1.(–2).4].[2.(–1).5].[3.0.6]...[30.27.33]

= 1.(–2).4.2.(–1).5.3.0.6......30.27.33

= 0 olur.

ÖRNEK 55

tan °1

89a

a =% ifadesinin de eri kaçt r?

Çözüm

tan89° = cot1°, tan88° = cot2°, ..., tan46° = cot44°

ve tan45° = 1 dir.

Ayr ca, tanx.cotx = 1 oldu undan,

tan °1

89a

a =% = tan1°.tan2°.....tan45°.....tan88°.tan89°

= tan1°.tan2° ... tan45° ... cot2°.cot1°

= tan1°.cot1°.tan2°.cot2° ... tan44°.cot44°.tan45° 1 1 1 1

= 1.1 ..... 1.1 = 1 olur.

ÖRNEK 56

x2 – 6x – 4 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak

üzere xkk 1

2

=% ifadesinin e iti kaçt r?

Çözüm

ax2 + bx + c = 0 denkleminde kökler çarp m

x1.x2 = ac oldu undan;

x2 – 6x – 4 = 0 denklemi için,

.x x xkk

1 21

2=

=% =

14– = –4 olur.

ÖRNEK 57

x3 + 2x2 – 2x – 1 = 0 denkleminin kökleri x1 , x2 ve

x3 olmak üzere, x xk kkk 1

3

1

3+

==%/ ifadesinin e iti kaçt r?

Çözüm

ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri ara-

s nda x1 + x2 + x3 = ab– ve x1.x2.x3 =

ad–

ba nt lar vard r. Dolay s ile,

x3 + 2x2 – 2x – 1 = 0 denklemi için,

x xk kkk 1

3

1

3+

==%/ = x1 + x2 + x3 + x1.x2.x3

= 12

11– + = –1 olur.

ÖRNEK 58

k1 1 3–

k

n

4

4–==c m% ise n kaçt r?

Çözüm

k1 1 3–

k

n

4

4–==c m%

kk 1 3–

k

n4

4

–==%

…n

n43

54

65 1 3· · – 4–=

n3 = 3–4

n3

= 34 n = 35 olur.

ES

EN

YAY

INLA

RI

285


Çarp m Sembolünün Özellikleri

e

. .c c c c c c…tann

n

k

n

1= =

= 1 2 344 44%

c cn

k

n

1=

=% dir.

ÖRNEK 59

2k 1

6

=% ifadesinin sonucu kaçt r?

Çözüm

2k 1

6

=% = 2.2.2.2.2.2 = 26 = 64 bulunur.

. . !k n n1 2 3……k

n

1= =

=%

!k nk

n

1=

=% dir.

ÖRNEK 60

kk 1

10


Çözüm

kk 1

10

=% = 1.2.3......10 = 10! bulunur.

.c akk

n

1=^ h% = c.a1.c.a2.c.a3......c.an

= cn.a1.a2.a3......an = cn. akk

n

1=%

.c akk

n

1=^ h% = cn. ak

k

n

1=% dir.

ÖRNEK 61

k2k 1

5

=^ h% ifadesinin sonucu kaçt r?

Çözüm

.k k2 2k k1

55

1

5=

= =^ h% % = 25.5! bulunur.

rk

k

n

1=% = r1.r2.r3......rn = r1+2+3+......+n = r

( )n n2

1+

r r( )

kn n

k

n2

1

1=

+

=% dir.

ÖRNEK 62

3k

k 1

6


Çözüm

3k

k 1

6

=% = 3

.2

6 7

= 33.7 = 321 dir.

.a bk kk

n

1=^ h% = a1.b1.a2.b2......an.bn

= a1.a2......an.b1.b2......bn

= .a bk kk

n

k

n

11 ==%%

. .a b a bk k k kk

n

k

n

k

n

111=

===^ h %%% dir.

ÖRNEK 63

.k2k

k 1

5


Çözüm

. .k k2 2k

k

k

kk1

5

1

5

1

5=

= ==^ h% %%

= . !2 5.2

5 6

= 215.5! bulunur.

ES

EN

YAY

INLA

RI

286


a k pk m p

n p

–= +

+

^ h% = a(m+p–p).a(m+p+1–p)......a(n+p–p)

= am.am+1......an = akk m

n

=%

a k pk m p

n p

–

–

+=

^ h% = a(m–p+p).a(m–p+1+p)......a(n–p+p)

= am.am+1......an = akk m

n

=%

a a akk m

n

k pk m p

n p

k pk m p

n p

––

–

= == = +

+

+=

^ ^h h% % % dir.

ÖRNEK 64

r 3r 2

7

–+


Çözüm

[ ]r r3 3 3–r r2

7

2 3

7 3

– –+ = +

= = +

+^ ^h h% % = rr 1

10

=% = 10!

ÖRNEK 65

15k 5

10

–=% ifadesinin sonucu kaçt r?

Çözüm

15 15kk 5 6

10 6

5

10

––=

= +

+

=%% = 15

k 1

16

=% = 1516 bulunur.

.a a a a…kpp

m

k

n

k k kmk

n

111 2

1=

== =f ^p h%% %

= (a11.a12......a1m).(a21.a22......a2m)

......(an1.an2......anm)

= .a a a…p p npp

m

p

m

p

m

1 2111 ===%%%

= .a a a…p p npp

m

1 21=^ h% = akp

k

m

p

m

11 ==d n%%

a akpp

m

kpk

n

p

m

k

n

1 111=

= ===f dp n% %%% dir.

ÖRNEK 66

.k ppk 1

5

1

2

==^ h%% ifadesinin sonucu kaçt r?

Çözüm

. .k p k ppk kp1

5

1

2

1

2

1

5=

== ==^ ^h h%% %%

= [ . . . ]p p1 2p 1

5

=^ ^h h%

= p2p

2

1

5

=^ h%

= . p2p

5 2

1

5

=^ h% = 25.(5!)2 bulunur.

ÖRNEK 67

rk

rk 1

2

1

3

==c m%% ifadesinin sonucu kaçt r?

Çözüm

.

! .

rk k k

k

k

bulunur

1 2

2

21

81 3

29

·

·

rk k

k

k

1

2

1

3

1

3

2

1

3

32

1

3

2

=

=

=

= =

== =

=

=

c c

c ^^

m m

m hh

%% %

%

%

ÖRNEK 68

m n 2nm 1

3

1

2+ +

==^ h% / ifadesinin sonucu kaçt r?

Çözüm

. . .m n m2 32

3 4 2 3nm m1

3

1

2

1

2+ + = + +

== =^ ch m% %/

= .m3 12m 1

2+

=^ h%

= [ . ]m3 4m 1

2+

=^ h%

= 32. m 4m 1

2+

=^ h%

= 32.5.6 = 270 bulunur.

ES

EN

YAY

INLA

RI

287


ÖRNEK 69

m n 2mn 1

2

1

3+ +

==^ h%/ ifadesinin sonucu kaçt r?

Çözüm

m n 2mn 1

2

1

3+ +

==^ h%/ =

n 1

3

=/ [(1 + n + 2).(2 + n + 2)]

= n 1

3

=/ [(n + 3).(n + 4)]

= n 1

3

=/ (n2 + 7n + 12)

= . . . .6

3 4 7 72

3 4 12 3·+ +

= 14 + 42 + 36

= 92 bulunur.

Burada, m n m n2 2mn nm1

2

1

3

1

3

1

2+ + + +

== ==^ ^h h% %/ /

oldu una dikkat ediniz. Yani,

.a a dirkpp

m

k

n

kpk

n

p

m

11 11== ==% %/ /

ÖRNEK 70

r rr

2

1

10+


Çözüm

r rr

2

1

10+

=^ h% = [ . ]r r 1

r 1

10+

=^ h%

= .r r 1rr 1

10

1

10+

==^ h%%

= 10!.11! = 11.(10!)2 bulunur.

ÖRNEK 71

2r

n

i 11

5

==d n%% ifadesinin sonucu nedir?

Çözüm

2 2r

n

i

n

i11

5

1

5=

== =d n%% % = (2n)5 = 25n bulunur.

ÖRNEK 72

2r

n

i 11

5

==d n%/ ifadesinin sonucu nedir?

Çözüm

2 2r

n

i

n

i11

5

1

5=

== =d ^n h%/ /

= 5.2n bulunur.

ÖRNEK 73

k k1 2 1 100

k

n

21

+ + ==c m% ise n kaçt r?

Çözüm

k k1 2 1 100

k

n

21

+ + ==c m%

kk k2 1 100

k

n

2

2

1

+ + ==%

k

k 1 100k

n 2

1

+ ==c m%

n

n12

23

34 1 100· · …

2+ =c m (n + 1)2 = 100

n = 9 bulunur.

ÖRNEK 74

log 34k

n

1=

2% ifadesinin e iti nedir?

Çözüm

log 9

2. 3log log34 2

2

9

k

n

k

n

k

n

k

n

1 1

2

1

1

2=

=

=

= =

=

=

2% %

%

%

= 9n bulunur.

ES

EN

YAY

INLA

RI

288


ÖRNEK 75

a xrr

n3

1=

=% ve log a 3r

r

n

1=

=^ h/ ise x kaçt r?

Çözüm

log a 3rr

n

1=

=^ h/ loga1 + loga2 + ... + logan = 3

log(a1.a2.....an) = 3

a1.a2.....an = 103

a 10rr

n3

1=

=%

x3 = 103

x = 10 bulunur.

ÖRNEK 76

k 2 30k

n21

1=

=% ise n kaçt r?

Çözüm

k 2 30k

n21

1=

=% !n 2 302

1=^ h

n! = (2c30)2

n! = 4.30

n! = 120

n! = 5!

n = 5 bulunur.

ÖRNEK 77

5log k

k 1

4

=24% ifadesinin e iti kaçt r?

Çözüm

. . .

.bulunur

5 5 5 5 5

5

5

5 5 5

. . .

log log log log log

log log log log

log

log

k

k 1

41 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

24 1

=

=

=

= = =

=

+ + +

24 24 24 24 24

24 24 24 24

24

24

^ h

%

ÖRNEK 78

. .r k k4–rk 1

15

1

10

==^ h%/ ifadesinin e iti kaçt r?

Çözüm

. . .

.

[ . . . . . ]

[ . ] . .

r k k k r

k r

k

k d r

4 4

4

3 2 1 0 1 11

0 0 0 15 0

– –

–

– – – …

rk rk

rk

k

k k

1

15

1

10

1

15

1

10

15

1

15

1

10

15

1

15

15

1

15

1

15

=

=

=

= = = =

== ==

==

=

= =

^ ^

^

^ ^ ^

h h

h

h h h

% %

%

/ /

/

/

/ /

ÖRNEK 79

f, g : N+ N+ , f(x) = kk

x

1=/ ve g(x) = k

k

x

1=%

ise (gof)(5) kaça e ittir?

Çözüm

(gof)(5) = g(f(5)) = g kk 1

5

=f p/ = .g

25 6c m

= g(15)

= kk 1

15

=% = 15! olur.

ÖRNEK 80

x2 – 6x + 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak

üzere, .x xk mmk 1

2

1

2

==%/ ifadesinin sonucu kaçt r?

Çözüm

. . ..x x x x x x1

k mmk

k kk1

2

1

2

1

2

2=== =

^ ^h h6 @%/ /

= . . .,x x x x xac

kk

21 2 2

1

2

1 ==_ bi l/

= .x 3kk

2

1

2

=_ i/

= . x3 kk

2

1

2

=/

= . x x3 2 21 2+_ i

= 3[(x1 + x2)2 – 2x1.x2]

= 3(62 – 2.3)

= 3.30 = 90 bulunur.

289

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. A a daki çarp mlar % sembolü ile ifade ediniz.

a. 5.7.9......81

b. 42.62.82......802

c. 7.10.13.16......79

d. 3.(–5).7.(–9)......(–41).43

e. 119.219.319......1919

f. 2.22.23......219

2. A a daki çarp mlar n sonucunu bulunuz.

a. 21

k 1

5

=c m% f. k

n 1

20

=%

b. 31

t 3

10

=c m% g. n2

n 1

10

=^ h%

c. kk 1

10

=% h. 3k

k 1

12

=%

d. tt 3

10

=% i. [ . ]k2 1k

k 1

8+

=^ h%

e. n 3–n 5

16

=^ h% j. ( )n n 20–

n

2

3

13

–+

=%

3. A a daki ifadelerin sonucunu bulunuz.

a. .n knk 3

4

1

2

==^ h%%

b. kn

nk

2

1

2

1

2

==c m%%

c. 2nk 1

5

1

4

==%%

d. 2n

x

k 10

4

==%%

e. 2nk 1

5

1

4

==%/

f. n3np 1

6

1

8

==%%

g. 2k

x

p 21

15

==%/

h. nk

nk 1

10

1

10

==%%

ALIŞTIRMALAR – 3

1. a. ( )k2 3k 1

39+

=% b. ( )k2 2

k

2

1

39+

=% c. (3 4)k

k 1

25+

=% d. ( 1) . (2 1)k– 1k

k 1

21++

=% e. k

k

19

1

19

=% f. 2k

k 1

19

=% 2. a.

321 b. 3–8 c. 10! d. !

210

e. 13! f. k20 g. 210.10! h. 378 i. 236.9! j. 0 3. a. 576 b. 4 c. 220 d. 25x e. 128 f. 8180 8c m g.

215 2x h. (10!)55


290

ES

EN

YAY

INLA

RI

4. ba

b

a

k

k

k

n

kk

n

kk

n

1

1

1==

=

=%%

% oldu unu gösteriniz.

5. cos °0

180a

a =% ifadesinin de eri nedir?

6. kkk 1

10

1

10

==%% ifadesinin de eri nedir?

7. f: N+ R , f(x) = 3k

k

x

1=% oldu una göre,

(fof)(1) kaça e ittir?

8. 1–k

k

0

50

=^ h% ifadesinin e iti kaçt r?

9. log k k k3 3 1k

3 2

2

15+ + +

=k ^ h% ifadesinin e iti nedir?

10. k

k k2 1k

n 2

1

+ +=% ifadesinin e iti nedir?

11. cot °1

89a

a =% ifadesinin de eri nedir?

12. kk

49

––

k2

2

4

20


13. P(x) = x k–k

2

1

10

=^ h% polinomunun sabit terimi kaç-

t r?

14. n > 1 olmak üzere, log k 1k n

m+

=k ^ h% ifadesinin

de eri nedir?

15. log2 = x ve log3 = y oldu una göre,

log k 1k 3

11+

=k ^ h% ifadesinin x ve y türünden

de eri nedir?

5. 0 6. (10!)10 7. 36 8. 1 9. 314.4 10. (n + 1)!.(n + 1)

11. 1 12. 10823 13. (10!)2 14. logn(m + 1) 15. 1 +

yx2

ES

EN

YAY

INLA

RI

291


1. k3 1k 2

7

–+

=^ h/ ifadesinin e itini bulunuz.

2. k2 1 25–k

n

1=

=^ h/ ise

k2k

n

1=/ ifadesinin e itini bulunuz.

3. k k2 4k 2

7

–+ +

=^ ^h h/ ifadesinin e itini bulunuz.

4. n m m3–nm

2

2

3

1

5

==^ h// ifadesinin e itini bulunuz.

5. k1 3 1– k

k 1

21+


6. coskk 180

360

°

°

=/ ifadesinin e itini bulunuz.


ES

EN

YAY

INLA

RI

292

1. 85 2. 30 3. 375 4. 105 5. –34

6. 0 7. 1050 8. !210

9 9. 231 10. 121

7. k k 2k

3

9

10

–+ +


8. k2k 2

10

=% ifadesinin e itini bulunuz.

9. k

k 2k 1

20 +=% ifadesinin e itini bulunuz.

10. k k

1 1 2k

21

10+ +

=c m% ifadesinin e itini bulunuz.

ES

EN

YAY

INLA

RI

293


1. k k 1–k 1

35+


2. f(x) = 2x + 1 , x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = 3 ise

x f x1–k kk 1

3


3. k k n an bn c1–k

n

1

2= + +=^ ^h h/ e itli ini sa layan

a + b + c de erini bulunuz.

4. k k 2

1k 1

20

+= ^ h/ ifadesinin e itini bulunuz.

5. ,x n y m x1 1 0–kk

n

k kk

n

1 1+ = + =

= =^ ^h h/ / ise

.x yk kk

n

1=/ ifadesinin e itini bulunuz.

6. ,a x a y ve a zk k kkk

n

k

n

1

3

13= = =

===/// ise

a3 nedir?


ES

EN

YAY

INLA

RI

294

1. –5 2. 19 3. 0 4. 462325 5. m

6. x – y + z 7. 1 8. 16 9. 26 10. ( ) ( )m m m3

1 7 5+ +

7. tankk 1

89

°

°

=% ifadesinin e itini bulunuz.

8. log logk x1k 3

80+ =

=k 2^ h% e itli ini sa layan x de-

erini bulunuz.

9. !k

4152x

k 2

16=

=% e itli ini sa layan x de erini bulu-

nuz.

10. 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..... + n(n + 1) = ( ) ( )n n n3

1 2+ +

olmak üzere,

m(m + 1) + (m + 1)(m + 2) + ..... + 2m(2m + 1) ifadesinin e itini bulunuz.

ES

EN

YAY

INLA

RI

295

TEST – 1 Toplam Sembolü

1. k2 3–k 1

12


A) 114 B) 120 C) 132 D) 140 E) 153

2. k k 1–k 1

6

=^ h/ ifadesi kaça e ittir?

A) 56 B) 60 C) 64 D) 70 E) 78

3. 2k

k 0

12

=/ ifadesinin e iti a a dakilerden hangisi-

dir?

A) 212 + 1 B) 213 C) 212 D) 212 – 1 E) 213 – 1

4. k k2 –kk

5 5

2

15

1

15+

==^ h // ifadesinin e iti kaçt r?

A) 0 B) 30 C) 31 D) 45 E) 46

5. kn

nk 2

3

1

2

==// ifadesinin e iti kaçt r?

A) 215 B) 8 C)

217 D) 9 E) 10

6. . n1 3 1– n

n 1

3+

=^ ^h h/ ifadesi kaça e ittir?

A) –21 B) –7 C) 1 D) 7 E) 21

7. k 1

80

=

/ [ log3k – log3(k + 1)] ifadesinin e iti nedir?

A) –1 B) –2 C) –3 D) – 4 E) –5

8. i2 = –1 olmak üzere,

ikk 1

19

=/ ifadesinin sonucu nedir?

A) 1 B) 0 C) 2i – 1D) –2i E) –1


ES

EN

YAY

INLA

RI

296

1.B 2.D 3.E 4.C 5.A 6.B 7.D 8.E 9.A 10.C 11.D 12.E 13.A 14.B 15.C 16.B

9. k3 2k 2

9

–+

=^ h/ ifadesinin e iti kaçt r?

A) 150 B) 144 C) 136 D) 130 E) 124

10. ,2 1 6r

r

8

6

3

–++


A) 2048 B) 2064 C) 4108D) 4124 E) 4408

11. x 1 48n

x

1

1–+ =

=^ h/ ise x kaçt r?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

12. iji 1

5

1

5

–==// ifadesinin e iti kaçt r?

A) 80 B) 92 C) 94 D) 100 E) 105

13. .x n1 2 3 120……k

n

k

n

k

n

k

n

111 1+ + + + =

=== =/// /

oldu una göre, x kaçt r?

A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

14. ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Buna göre,

x x2 –k kkk 1

2

1

2

==// ifadesinin e iti nedir?

A) ab B)

ab– C)

ac D)

ac– E) 0

15. cos °2

1

90a

a =/ ifadesinin e iti kaçt r?

A) 0 B) 44 C) 289 D) 45 E)

291

16. . ( )k f k xk

x2

1=

=/ oldu una göre, f(10) kaçt r?

A) 1 B) 1019 C) 2 D)

1021 E) 10

ES

EN

YAY

INLA

RI

297

Toplam SembolüTEST – 2

1. k k3 4–k

2

7

12+


A) 420 B) 412 C) 360 D) 320 E) 300

2. 3k 5

12


A) 18 B) 21 C) 24 D) 27 E) 30

3. 1– k

k

2 1

4

10–


A) 8 B) 7 C) 0 D) –7 E) – 8

4. kk

3

5

4

–=/ ifadesinin sonucu kaçt r?

A) –125 B) – 64 C) –27D) 0 E) 64

5. f(x) = 2x – 1 ve g(x) = 3x + 1 olmak üzere,

fog xx 1

6


A) 108 B) 114 C) 120 D) 126 E) 132

6. . k1 2– k

k 3

25

–+


A) –14 B) –13 C) –12 D) 14 E) 15

7. b jkkjb 1

5

1

4

1

3+

===^ h/// ifadesinin sonucu kaçt r?

A) 480 B) 500 C) 540 D) 570 E) 600

8. x x2 1 2 1– –x 4

31+

=^ h/ ifadesinin sonucu ne-

dir?

A) –v7 B) 3 + v7 C) 2v7

D) 3v7 E) 3 61–


ES

EN

YAY

INLA

RI

298

1.B 2.C 3.D 4.A 5.E 6.B 7.D 8.C 9.E 10.A 11.B 12.C 13.D 14.E 15.A 16.B

9. k 7

7

–=/ (k7 + 7) ifadesinin sonucu kaçt r?

A) 0 B) 7 C) 91 D) 98 E) 105

10. .k x 1 407k 1

11+ =

=^ h/ oldu una göre, x kaçt r?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

11. f(x) = 2x – 3 , x1 = 2 ve x2 = 3 oldu una göre,

i 1

2

=/ [(xi – 1).f(xi)] ifadesinin e iti kaçt r?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

12. k k2 3

1k 2

15

+ += ^ ^h h/ ifadesinin sonucu kaçt r?

A) 365 B)

61 C)

367 D)

92 E)

185

13. 6.8 + 8.10 + 10.12 + ...... + 24.26 toplam n n sonucu kaçt r?

A) 1440 B) 1820 C) 2440D) 2880 E) 4320

14. k 1

1–k

23

14


A) 10573 B)

10576 C)

21083

D) 21078 E)

21073

15. logk

11

1–k 2

53

+=3 c m/ ifadesinin sonucu kaçt r?

A) –3 B) –2 C) 1 D) 2 E) 3

16. cos k2k 2

34

–

r

=c m/ ifadesinin sonucu kaçt r?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

ES

EN

YAY

INLA

RI

299

Çarp m SembolüTEST – 3

1. kk 2

10

=% ifadesinin sonucu nedir?

A) 10! B) !2

10 C) 108

D) 210 E) 5!

2. k 3–k

2

4

8

–=^ h% ifadesinin sonucu nedir?

A) 0 B) 12! C) (12!)2

D) 13! E) (13!)2

3. 2k 3

15


A) 2 B) 26 C) 30 D) 213 E) 215

4. k

k 1–k 4

15

=c m% ifadesinin sonucu nedir?

) ) ) ) )A B C D E61

51

41

31

21

5. cos °1

135a

a =% ifadesinin sonucu nedir?

A) –1 B) 21– C) 0 D)

21 E) 1

6. log k 1–k 4

27

=k ^ h% ifadesinin sonucu nedir?

A) 23 B) 1 C)

21 D)

31 E)

41

7. 2k

k

1

1

8–


A) 220 B) 222 C) 224 D) 226 E) 228

8. log n 1n 2

15+

=n ^ h% ifadesinin sonucu nedir?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1


ES

EN

YAY

INLA

RI

300

1.A 2.A 3.D 4.B 5.C 6.D 7.E 8.B 9.C 10.E 11.D 12.C 13.B 14.C 15.E 16.A

9. °

sincos 1

°–

1

90

a

a

a =

^ h% ifadesinin sonucu nedir?

A) 0 B) 2– 45 C) 1 D) 2 E) 245

10. x2 + 4x + 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise

x 3–ii 1

2

=^ h% çarp m n n sonucu nedir?

A) 0 B) 1 C) 12 D) 13 E) 22

11. ik2ki 1

2

1

2

==^ h%% ifadesinin sonucu nedir?

A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29

12. 4log

n

x 4

1=

2% ifadesinin sonucu a a dakilerden

hangisidir?

A) 2x B) 22x C) 24x D) 16x E) 16!

13. n

1 1 7n

x

3+ =

=c m% oldu una göre, x kaçt r?

A) 21 B) 20 C) 19 D) 18 E) 17

14.

n27

3

n

k

1

40

10

=

=

%

% ifadesinin e iti nedir?

A) 0 B) 4 C) 8 D) 12 E) 16

15. n nn

2

1

10+

=^ h% ifadesinin sonucu a a dakilerden

hangisidir?

A) 2.10! B) (10!)2 C) (10!)2.2D) 10!.11 E) (10!)2.11

16. nk

nk 1

10

1

10

==%% ifadesinin e iti a a dakilerden han-

gisidir?

A) (10!)55 B) (10!)10! C) (10!)10

D) 1055 E) 1010

ES

EN

YAY

INLA

RI

301

TEST – 4

1. 1.3 + 2.5 + 3.7 + ...... + 12.25 toplam n n de eri kaçt r?

A) 1378 B) 1360 C) 1340D) 1324 E) 1300

2. n2 78n k

k

2

2 3

–

–=

=^ h/ ise k kaçt r?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

3. k xk

n

1=

=/ oldu una göre,

k kk

n

k

n

91+

==// ifadesinin de eri a a dakilerden

hangisidir?

A) x + 9 B) x + 10 C) x + 18D) x + 19 E) x + 20

4. 2kn 3

4

1

6

==f p%/ ifadesinin sonucu kaçt r?

A) 20 B) 24 C) 28 D) 32 E) 36

5. k an bn c3 1–k n

n

2

2 12

–= + +

=

+ ^ h/ ise

a + b + c toplam kaçt r?

A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

6. k k 180k mk

m

4

20

1+ =

= +=// ise m kaçt r?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

7. !

( )k

k f n1k

n

1 +=

= ^ h/ ise 1 – f(49) kaçt r?

A) !50

1 B) !49

1 C) 49!

D) 50! E) 50! + 1

8. . . . ( )n n n

n1 21

2 31

3 41

11

1……+ + + +

+=

+ ise

. . .20 211

21 221

99 1001…+ + + ifadesinin e iti

kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E501

251

1009

9910

10099


ES

EN

YAY

INLA

RI

302

1.A 2.C 3.D 4.B 5.E 6.A 7.A 8.B 9.B 10.D 11.C 12.D 13.E 14.E 15.D 16.C

9. 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 + ..... + 1.2.3.....15 ifadesi a a dakilerden hangisi ile ifade edilebi-

lir?

A) nnk 1

10

1

15

==%/ B) n

n

k

k 11

15

==%/

C) nn

k

k 11

15

==% / D) n

nk 1

15

1

10

==%/

E) nnk 1

15

1

15

==

%%

10. n 1n

3

5

5

–+

=^ h/ ifadesinin sonucu a a dakilerden

hangisidir?

A) 0 B) 1 C) 10 D) 11 E) 230

11. . .n4 2n

n 1

10

=^ h% ifadesinin sonucu a a dakilerden

hangisidir?

A) 10!.255 B) 10!.257 C) 10!.275 D) 10!.2110 E) 10!.2112

12. k n2 1–kn 1

3

1

4+

==^ h// ifadesinin sonucu kaçt r?

A) 75 B) 60 C) 45 D) 30 E) 15

13. x

n

1=/ (x2 – 4x + 6) –

x

n

1=/ (2 – x)2 = 36 ise

n kaçt r?

A) 4 B) 6 C) 9 D) 12 E) 18

14. cot °k 1

89

1

5

–a

a ==f p%/ ifadesinin e iti kaçt r?

A) 0 B) 1 C) 5 D) 6 E) 7

15. 41

31 2–

k

n k

1

20–=

=c m/ ise n kaçt r?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

16. .ise k n2 2 1 2–k n

kk

4

1

4

0

11= +

==^ h//

ifadesinin de eri kaçt r?

A) 34 B) 36 C) 38 D) 40 E) 42

ES

EN

YAY

INLA

RI

303

TEST – 5

1. n2 5–n 5

15

=^ h/ toplam n n sonucu kaçt r?

A) 135 B) 145 C) 150 D) 160 E) 165

2. !k 1k 1

60+

=^ h/ toplam n n 15 ile bölümünden

kalan kaçt r?

A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

3. k1 2 3– –k

k 1

25

=^ ^h h/ i leminin sonucu nedir?

A) –23 B) –12 C) 0 D) 24 E) 26

4. an 2 56–n 2

8=

=^ h/ ise a kaçt r?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

5. f, g: N+ N+ için f(x) = kk

x

1=/ ve ( )g x k

k

x

1=

=/

fonksiyonlar na göre, (fog)(3) kaçt r?

A) 15 B) 18 C) 21 D) 24 E) 27

6. n3 9–n

n 1

10

=^ h% ifadesinin de eri nedir?

A) –310 B) –35 C) 0 D) 35 E) 310

7. f(n) = 3n + 1 olmak üzere, n1 = 1 ve n2 = 4 ise

n f n5–kk

k1

2

=^ ^h h/ kaçt r?

A) –26 B) –27 C) –28 D) –29 E) –30

8. 3 4kkk

n

1

5

3

4

0

4–+

===f p/// = 130 ise n kaçt r?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12


ES

EN

YAY

INLA

RI

304

1.E 2.B 3.A 4.E 5.C 6.C 7.D 8.A 9.B 10.B 11.B 12.E 13.C 14.A 15.D 16.A

9. m n 2–nm 0

3

1

4+

==^ h// ifadesinin e iti kaçt r?

A) 30 B) 32 C) 34 D) 36 E) 38

10. logan

n 1

10

=/ ifadesinin e iti nedir?

A) 10.loga B) 55.loga C) log(10.a)D) log(55.a) E) 110.loga

11. 2k

k

2

2

10–


A) 512 B) 511 C) 256 D) 255 E) 127

12. 3k

k 1

20

=/ toplam n n sonucu a a dakilerden han-

gisidir?

A) 21 .(320 – 1) B) 321 – 1 C) 320 – 1

D) 321 – 3 E) 23 .(320 – 1)

13. k3 6k 1

5+

=/ i leminin sonucu nedir?

A) 36 B) 45 C) 51 D) 60 E) 75

14. a n n 4ii

n

1= +

=^ h/ oldu una göre, a5 kaçt r?

A) 13 B) 15 C) 17 D) 19 E) 21

15. n knk 3

4

1

3+

==^ h%/ i leminin sonucu kaçt r?

A) 65 B) 76 C) 87 D) 92 E) 95

16. 3

3

nk

kn

1

4

1

51

5

1

4

==

==

^^hh

%

%

/

/ i leminin sonucu kaçt r?

A) 125 B) 25 C) 1 D) 251 E)

1251

ES

EN

YAY

INLA

RI

305

TEST – 6

1. log k

k

1

2 121

k

nk

n

2

1

+

+=

=

=

k ^^

hh

%

/ oldu una göre, n kaçt r?

A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 14

2. n x tnn

t

1

2+ ==^ h/ oldu una göre, x5 kaçt r?

A) 4 B) 9 C) 14 D) 16 E) 25

3.

�

�

��

��

��3��

ekilde grafi i verilen y = f(x) parabolüne göre,

( )f kk 3

2

–=/ ifadesinin de eri kaçt r?

A) 5 B) 3 C) 0 D) –3 E) –5

4. n1n 1

20

=c m/ ifadesinin sonucu kaçt r?

A) 200 B) 210 C) 240 D) 250 E) 270

5. n n n3 2n

3 2

10

10

–+ +


A) 0 B) 385 C) 770D) 1540 E) 2310

6. 25 ten küçük çift do al say lar n kareleri toplam kaçt r?

A) 1800 B) 2400 C) 2600D) 2700 E) 3200

7. .k1– k

k 20

2

–=^ h/ ifadesinin sonucu kaçt r?

A) –10 B) –9 C) –8 D) –7 E) –6

8. x 20kk

44

5

–=+

=/ oldu una göre,

k xkk 0

9+


A) 25 B) 30 C) 45 D) 65 E) 75


ES

EN

YAY

INLA

RI

306

1.C 2.A 3.E 4.B 5.D 6.C 7.B 8.D 9.C 10.B 11.D 12.E 13.B 14.C 15.E 16.A

9. [( ) . ]n1– k

nk 1

5

1

10

==%/ ifadesinin sonucu a a daki-

lerden hangisidir?

A) –10.5! B) –5.5! C) 0 D) 5.5! E) 10.5!

10. 1–yx 1

1938

1

1881

==^ h%/ ifadesinin sonucu kaçt r?

A) 1938 B) 1881 C) 1D) –1 E) –1881

11. k k5 6k

2

1

15

–+ +

=^ h% ifadesinin sonucu a a daki-

lerden hangisidir?

A) (16!)2 B) (16!)2.17 C) (17!)2 D) (17!)2.18 E) (18!)2

12. log 5n

n

m

m

1

11

5–

==5 d n= G%/ ifadesinin sonucu

kaçt r?

A) 12 B) 15 C) 16 D) 18 E) 20

13. f, g: N+ R , f(x) = kk

x2

1=% ve g(x) = .k2

k

x

1=^ h/

ise (gof)(2) kaçt r?

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

14. x3 – 4x2 + x + 6 = 0 denkleminin kökleri x1, x2, x3 olmak üzere,

x xi jji 1

3

1

3+

==%/ ifadesinin sonucu kaçt r?

A) –6 B) –4 C) –2 D) 2 E) 4

15. nx1 –nm 4

4

2

6

–==^ h> H% / ifadesinin de eri kaçt r?

A) 9 B) 81 C) 36 D) 38 E) 310

16. b

1 1b

a

a 11

5+

==c m%% ifadesinin de eri kaçt r?

A) 720 B) 480 C) 360 D) 240 E) 120

ES

EN

YAY

INLA

RI

307

TEST – 7

1. , ,f k a f k b f k ckkk 10

20

1

10

1

20= = =

===^ ^ ^h h h///

ise f(10) un a, b ve c cinsinden de eri a a da-kilerden hangisidir?

A) a – b + c B) a – b – c C) b + c – a

D) a + b – c E) a + b + c

2. k k3 1– –k 3

10

=^ ^h h/ ifadesinin e iti a a dakilerden

hangisidir?

A) 194 B) 195 C) 196 D) 197 E) 198

3. k k

k1

1–k

2

3

1

6

+ +=/ ifadesinin e iti a a dakilerden

hangisidir?

A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18

4. !k

k1k 1

4

+= ^ h/ ifadesinin e iti a a dakilerden han-

gisidir?

A) 1211 B)

2423 C)

4544 D)

7978 E)

120119

5. f(x) = x – 1 olmak üzere,

x 1

6

=/ [f(x2) – f2(x)] ifadesinin e iti a a dakilerden

hangisidir?

A) 28 B) 30 C) 32 D) 34 E) 36

6. k k3 2

1–k

23

7

+=/ ifadesinin e iti a a dakilerden

hangisidir?

A) 65 B)

76 C)

87 D)

98 E)

109

7. k k3 3 1 10– – –k

x2

1

100=

=^ h/ e itli ini sa layan x

kaçt r?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

8. k k 30k

n

k

n3

11= +

==// ise n kaçt r?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2


ES

EN

YAY

INLA

RI

308

1.C 2.C 3.B 4.E 5.B 6.A 7.C 8.D 9.A 10.E 11.C 12.D 13.A 14.C 15.A 16.C

9. 2

4 1–k

k

k 0

3

=d n/ ifadesinin e iti kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E8

1058

1038

101899

897

10. k

1 2k 1

10+

=c m% ifadesinin e iti a a dakilerden han-

gisidir?

A) 44 B) 50 C) 55 D) 60 E) 66

11. f(x) = k2k

x

1=% ise

( )( )

ff

78 kaçt r?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 9

12. 2 4k

k

n

1

9==% e itli ini sa layan n kaçt r?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

13. k x3 1–k 2

11=

=^ h% ise k3 2

k 1

9+

=^ h% ifadesinin x

cinsinden de eri a a dakilerden hangisidir?

) ) ) ) )A x B x C x D x E x32 30 24 16 8

14. k k

1 2 1k

21

6+ +

=c m% ifadesinin e iti a a dakilerden

hangisidir?

A) 25 B) 36 C) 49 D) 64 E) 81

15. k2k

k 1

5

=% ifadesinin e iti a a dakilerden hangisi-

dir?

A) 15.2–12 B) 15.2–11 C) 15.2–10 D) 15.2–9 E) 15.2–8

16. !. !n x x2 1n

k

k 11

13= +

==^ h% / e itli ini sa layan x

kaçt r?

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

309

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. 1981 – ÖYS

y n ve x y1 1 0–i ii

n

i

n

i11

a+ = + ===

^ ^h h// , ( R)

oldu una göre, x yi ii

n

1=/ nin de eri a a dakiler-

den hangisidir?

A) 2a B) C) n

D) – 1 E) (n – 1)

2. 1982 – ÖYS f ve g, N N a a daki biçimde tan ml iki

fonksiyondur. f: x nn

x

1=/ , g: x n

n

x2

1=/

verildi ine göre (fog)(2) nin de eri nedir?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

3. 1983 – ÖYS f(x) = 3x + 1 , x1 = 1 , x2 = 4 oldu una göre

x f x3–i ii 1

2

=^ ^h h/ toplam kaçt r?

A) –1 B) 0 C) 2 D) 3 E) 5

4. 1986 – ÖYS

m n n6–mn

2

2

3

1

4

==^ h> H// toplam n n say sal de e-

ri kaçt r?

A) 30 B) 20 C) 10 D) –10 E) –20

5. 1986 – ÖYS 1 den n ye kadar olan n tane do al say n n

kareleri toplam , T = 12 + 22 + ..... + n2 dir. Bu n tane say dan herbiri 1 kadar art r ld nda,

T ne kadar artar?

A) n(n + 2) B) n(n – 1) C) n(n + 1)D) n2 E) n

6. 1989 – ÖYS

na2 70n 1

20+ =

=^ h/ oldu una göre, a kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E51

61

71

81

91

7. 1990 – ÖYS

s k4 2 1–sk 1

2

1

4+

==^ h// ifadesinin de eri kaçt r?

A) –12 B) –8 C) 0 D) 16 E) 24

8. 1994 – ÖYS

mn n3–mn 2

8

1

10

==^ h%/ ifadesinin de eri kaçt r?

A) –726 B) –363 C) 0D) 363 E) 726



ES

EN

YAY

INLA

RI

310

9. 1996 – ÖYS 102 ile 353 aras nda bulunan ve 5 ile kalans z

bölünebilen say lar n toplam kaçt r?

A) 9875 B) 10100 C) 10350D) 11250 E) 11375

10. 2007 – ÖSS n 1 için

ak k 1

1n

k

n

1=

+= ^ h/ oldu una göre

a99 a a dakilerden hangisidir?

A) 4950 B)

5049 C)

9998

D) 99100 E)

10099

11. 2008 – ÖSS n pozitif tam say oldu una göre,

! !.n n k n kk 0

8+ + +

=^ ^h h/

toplam a a dakilerden hangisine e ittir?

A) (n + 7)! B) (n + 8)! C) (n + 9)!D) (2n + 8)! E) (2n + 10)!

12. 2010 – LYS

3n

n 0

100

=/

toplam n n 5 ile bölümünden kalan kaçt r?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

13. 2011 – LYS Karma k say lar kümesi üzerinde f fonksiyonu

f(z) = zk

k 0

101

=/ biçiminde veriliyor.

Buna göre, f(i) de eri nedir?

A) 1 + i B) 1 – i C) i

D) –i E) 1

14. 2011 – LYS

( )n3 2n 1

7+

=%

say s 10m ile tam bö lü ne bil di i ne gö re, m nin ala bi le ce i en büyük tam say de eri kaçt r?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

15. 2012 – LYS

kk 1

k

n

n 14

9 +

==f p%/

i leminin sonucu kaçt r?

A) 45 B) 48 C) 50 D) 52 E) 54

311

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. y n1 1ii

n

1+ = +

=^ h/ y n1 1i

i

n

i

n

11+ = +

==//

.y n n1 1ii

n

1+ = +

=/

y 1ii

n

1=

=/ oldu undan,

x y 0–ii

n

i1

a ==^ h/ x y y 0–i i i

i

n

1a =

=^ h/

x y y 0–i i ii

n

i

n

11a =

==//

.x y 1 0–i ii

n

1a =

=/

x yi ii

n

1a=

=/ bulunur.

Do ru Seçenek B

2. (fog)(2) = f(g(2))

= f nn

2

1

2

=f p/ = f(12 + 22) = f(5)

= nn 1

5

=/ = .

25 6 = 15 bulunur.

Do ru Seçenek D

3. f(x) = 3x + 1 , x1 = 1 , x2 = 4 ise

i 1

2

=

/ (xi – 3)f(xi) = (x1 – 3) f(x1) + (x2 – 3) f(x2)

= (1 – 3) f(1) + (4 – 3) f(4)

= –2.(3.1 + 1) + 1.(3.4 + 1)

= –2.4 + 13

= 5 bulunur.Do ru Seçenek E

4. m n n6–mn

2

2

3

1

4

==^ h> H// =

n 1

4

=

/ [(22n–6n)+(32n–6n)]

= n 1

4

=/ (4n – 6n + 9n – 6n)

= nn 1

4

=/ = .

24 5

= 10 bulunur.Do ru Seçenek C

5. T = 12 + 22 + ..... + n2 = kk

n2

1=/ ise

her terimi 1 art rd m zda toplam;

22 + 32 + ... + (n + 1)2 = k 1k

n2

1+

=^ h/

= k k2 1k

n2

1+ +

=^ h/

= .k k2 1k

n

k

n

k

n2

111+ +

===///

= T + ( ).

n nn2

21

1·+

+

= T + n2 + 2n

= T + n(n + 2)

oldu undan T say s , n(n + 2) kadar artar.Do ru Seçenek A

6. na2 70n 1

20+ =

=^ h/ na2 70

nn 1

20

1

20+ =

==//

2.20 + . a2

20 21 70· =

40 + 210.a = 70

210.a = 30

a = 71 bulunur.

Do ru Seçenek C

7. . . .s k k4 2 1 42

2 3 2 2 1 2– · –sk k1

2

1

4

1

4+ = +

== =^ ch m// /

= k12 4 2–k 1

4+

=^ h/

= k14 4–k 1

4

=^ h/

= . .14 4 42

4 5– ·

= 56 – 40 = 16 bulunur.

Do ru Seçenek D

8. mn n3–mn 2

8

1

10

==^ h%/

= n 1

10

=/ [(2n – 3n).(3 3n n–

0\ ) ..... (8n – 3n)]

= 0n 1

10

=/ = 0.10 = 0 bulunur.

Do ru Seçenek C

ÇÖZÜMLER


ES

EN

YAY

INLA

RI

312

9. 102 ile 353 aras ndaki 5 ile bölünen say lar n toplam ;

105 + 110 + ... + 350 = k5k 21

70

=/

= k5 20k 1

50+

=^ h/

= k5 100k 1

50+

=^ h/

= . .52

50 51 50 100· +

= 6375 + 5000

= 11375 bulunur.

Do ru Seçenek E

10. k k n

n1

11k

n

1 +=

+= ^ h/ oldu undan

ak k 1

1n

k

n

1=

+= ^ h/ ise

ak k 1

110099

k99

1

99=

+=

= ^ h/ bulunur.

Do ru Seçenek E

11. 1! + 2.2! + 3.3! + ..... + n.n! = (n + 1)! – 1

oldu unu biliyoruz. O halde,

!.n k n kk 0

8+ +

=^ ^h h/

= n!.n + (n + 1)!.(n + 1) + ..... + (n + 8)!.(n + 8)

= (n + 9)! – 1 – (1! + 2.2! + ..... + (n – 1)!.(n – 1))

= (n + 9)! – 1 – (n! – 1)

= (n + 9)! – 1 – n! + 1

= (n + 9)! – n! oldu undan

!nk 0

8+

=/ (n + k)!.(n + k) = (n + 9)! bulunur.

Do ru seçenek C

12. 31 3

1 32

3 1–

– –n

n 0

100 101 101= =

=/

31 3 (mod 5)

32 4 (mod 5)

33 2 (mod 5)

34 1 (mod 5) 3100 1 (mod 5)

3101 3 (mod 5) O halde,

23 1–101

nin 5 ile bölümünden kalan

23 1– = 1 dir.

Do ru Seçenek B

13. f(z) = zk

k 0

101

=/

f(i) = ikk 0

101

=/

= i0 + i1 + i2 + i3 + ...... + i100 + i101

= 1 + i – 1 – i + ...... + 1 + i 14243 123

0 0

= 1 + i bulunur.Do ru Seçenek A

14. ( )n3 2n 1

7+

=% = 5.8.11.14.17.20.23

= 5.23.11.2.7.17.2.10.23

= 24.7.11.17.23.102

sa y s 10m ile tam bö lü ne bil di i ne gö re, m nin

ala bi le ce i en bü yük tam sa y de e ri 2 dir.Do ru Seçenek A

15. kk

nn1

122334 1

k

n

n n14

9

4

9+=

+

== =

. . .....f cp m%/ /

( )n 1n 4

9

= +=/

( )n 3 1n 4 3

9 3

–

–

= + +=/

( )n 4n 1

6

= +=/

.26 7

= + 4.6 = 45 tir.

Do ru Seçenek A

TÜME VARIM ve D Z LER


D Z LER

Diziler

1. Kazan m : Dizi, sonlu dizi ve sabit diziyi aç klar, dizilerin e itli ini ifade eder ve verilen bir dizinin grafi ini çizer.

2. Kazan m : Verilen (an), (bn) gerçek say dizileri ve c R için (an) + (bn), (an) – (bn), c. (an),

(an).(bn) ve n N+ için bn 0 olmak üzere (an) : (bn) dizilerini bulur.

3. Kazan m : Artan, azalan, azalmayan ve artmayan dizileri aç klar.

Aritmetik ve Geometrik Diziler

1. Kazan m : Aritmetik diziyi aç klar, özelliklerini gösterir ve aritmetik dizinin ilk n teriminin toplam n bulur.

2. Kazan m : Geometrik diziyi aç klar, özelliklerini gösterir ve geometrik dizinin ilk n teriminin toplam -n bulur.

314

ÖRNEK 1

an

n 1–n =^ ch m ifadesi bir dizi belirtir mi?

E er bir dizi belirtiyorsa, ilk dört terimini yazarak gra-fi ini çiziniz.

Çözüm

Tan m kümesi sayma say lar kümesi yani,

N+ = {1, 2, 3, ....} oldu undan

an

n 1–n =^ ch m ifadesi bir dizi belirtir. O halde,

,

,

a a

a a

11 1

10 0

22 1

21

33 1

32

44 1

43

– –

– –

1 2

3 4

= = = = =

= = = =

olup grafi i a a daki gibidir.

n

an

0

1/2

1

2/33/4

n–1n

2 3 4 n

ÖRNEK 2

an1

n =^ ch m ifadesi bir dizi belirtir mi?

E er bir dizi belirtiyorsa grafi ini çiziniz.

Çözüm

Tan m kümesi N+ = {1, 2, 3, ....} oldu undan

an1

n =^ ch m ifadesi bir dizi belirtir.

, , , ,…

, , , , , , ,

a a a a

a

11 1

21

31

41

1 1 221 3

31 4

41 ……n

1 2 3 4= = = = =

=^ ^ c c ch h m m m' 1olup (an) dizisinin grafi inin bir kesiti a a daki gibidir.

n

an

0

1/4

1

1/31/2

2 3 4

1

D Z LER

Tan m kümesi sayma say lar olan her fonksiyona dizi denir.

f: N+ R tan ml bir fonksiyon f(n) = an ile gösterilir. Burada an ye (an) dizisinin n. terimi ya da genel terimi denir. (an) = (a1, a2, a3, ..., an, ...) yaz l nda dizinin;

birinci terimi: f(1) = a1 , ikinci terimi: f(2) = a2 , üçüncü terimi: f(3) = a3 , ……… , n. terimi: f(n) = an dir.

Diziler de er kümelerine göre adland r l r. Örne in;

f: N+ R , f(n) = an reel say dizisi,

f: N+ N+ , f(n) = an sayma say dizisidir.

Aksi belirtilmedikçe dizi sözünden reel (gerçel) say dizisi anla l r.

Diziler genel terimleri ile belirlenir. Genel terimi verilmeden yaz lan say gruplar dizi belirtmez.

(an) yaz l an dizisini ifade ederken, an yaz l dizinin genel terimini ifade etmektedir. Örne in;

f(n) = 2n – 1 dizisi (an) = (2n – 1) eklinde yaz labildi i gibi, (an) = (1, 3, 5, ..., 2n – 1, ...) eklinde de aç k olarak yaz labilir. Bu dizinin genel terimi an = 2n – 1 eklinde yaz l r. Burada, dizi yazarken parantez kullan l-d na, genel terim yazarken ise parantez kullan lmad na dikkat ediniz.

D Z LER

ES

EN

YAY

INLA

RI

Diziler

315

ES

EN

YAY

INLA

RI

ÖRNEK 3

A a daki ba nt lardan hangileri bir reel say dizisi-nin genel terimi olabilir?

a. an = 5n+1 b. bnn

31

n = ++

c. cnn

32 1

–n = + d. dn = n 2–

e. en = n 3 5–+ f. fn = cotn°

g. gn = cosn° h. hn = log(n–1)

Çözüm

a. an = 5n+1 ifadesi bir dizinin genel terimi

olabilir. Çünkü n N+ için an R dir.

b. bnn

31

n =++ ifadesi bir dizinin genel terimi

olabilir. Çünkü n N+ için bn R dir.

c. cnn

32 1

–n = + ifadesi bir dizinin genel terimi

olamaz. Çünkü 3 N+ için c3 R dir.

d. d n 2 –n = ifadesi bir dizinin genel terimi

olamaz. Çünkü 1 N+ için d1 R dir.

e. e n 3 5–n = + ifadesi bir dizinin genel

terimi olabilir. Çünkü n N+ için en R

dir.

f. fn = cotn° ifadesi bir dizinin genel terimi

olamaz. Çünkü n = 180.k , k N+ için

fn R dir.

g. gn = cosn° ifadesi bir dizinin genel terimi

olabilir. Çünkü n N+ için gn R dir.

h. hn = log(n–1) ifadesi bir dizinin genel terimi

olamaz. Çünkü 1 N+ için h1 R dir.

ÖRNEK 4

Genel terimi an3 21

––

n

n2 1

=+^ h

olan dizinin ilk üç terimi-

nin toplam kaçt r?

Çözüm

.

.

.,

.

a

a

a olup

a a a

dir

3 1 21

11 1

3 2 21

41

3 3 21

71

141

71

2839

–– – –

–– –

–– –

– – –

–

1

3

2

5

3

7

1 2 3

= = =

= =

= =

+ + =

=

^^^

hhh

ÖRNEK 5

,

,

mod

modGenel terimi a n

n

n n

2 0 2

1 2n

/

/=

^^

hh*

olan (an) dizisinde, a3 + a4 + a5 kaçt r?

Çözüm

3 1 (mod 2) oldu undan a3 = 3

4 0 (mod 2) oldu undan a4 = 42

21=

5 1 (mod 2) oldu undan a5 = 5 tir.

O halde, a3 + a4 + a5 = 321 5+ + =

217 olur.

ÖRNEK 6

Genel terimi ,

,a

n n tek ise

n n ift ise

2 1

1– çn 2

=+*

olan (an) dizisi için, a4 + a5 + a6 toplam kaçt r?

Çözüm

a4 = 42 – 1 = 16 – 1 = 15

a5 = 2 . 5 + 1 = 10 + 1 = 11

a6 = 62 – 1 = 36 – 1 = 35 oldu unda,

a4 + a5 + a6 = 15 + 11 + 35 = 61 bulunur.

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

316

ÖRNEK 7

Bir (an) dizisinde n N+ için,

an+1 = an + 3 ve a3 = 6 ise a30 kaçt r?

Çözüm

n = 3 a4 = a3 + 3

n = 4 a5 = a4 + 3

n = 5 a6 = a5 + 3........ ..................n = 29 a30 = a29 + 3

+ a4 + a5 + ... + a30 = a3 +a4 + a5 + ... + a29 + 27.3

a30 = a3 + 27.3

a30 = 6 + 81 = 87 bulunur.

ÖRNEK 8

Bir (an) dizisinde n N+ için,

an+1 = an + n – 1 ve a1 = 2 ise a25 kaçt r?

Çözüm

n = 1 a2 = a1 + 1 – 1

n = 2 a3 = a2 + 2 – 1

n = 3 a4 = a3 + 3 – 1......... ........................n = 24 a25 = a24 + 24 – 1

+

a2+a3+a4+...+a25 = a1+a2+a3+...+a24+1+2+3+...+23

a25 = a1 + 1 + 2 + 3 + ... + 23

a25 = 2 + .2

23 24

a25 = 2 + 276 = 278 bulunur.

ÖRNEK 9

Genel terimi an = logn+2(n + 3) olan dizinin ilk 78

teriminin çarp m kaçt r?

Çözüm

a1.a2.a3. ... .a78 = log34.log45.log56. ... .log8081

= log381

= log334


ÖRNEK 10

Bir (an) dizisinde, a1 = 5 ve an+1 = 4n + an oldu una

göre, bu dizinin genel terimi nedir?

Çözüm

n = 1 a2 = 4 . 1 + a1

n = 2 a3 = 4 . 2 + a2

n = 3 a4 = 4 . 3 + a3......... ......................n = n–1 an = 4.(n–1) + an–1 + a2+a3+...+an= 4(1+2+3+...+(n–1))+a1+a2+...+an–1

an = 4.(1 + 2 + 3 + ..... + (n–1)) + a1

an = n n

42

1 1 15·

– – ++

^ ^h h an = 2.(n – 1)(n) + 5

an = 2n2 – 2n + 5 bulunur.

ÖRNEK 11

Genel terimi a21

nk

k

n 1

1

–=

=c m/

olan dizinin alt nc

terimi kaçt r?

Çözüm

a21

121

121

2 121

–

–· –n

k

k

n

n

n

1

1

–= = =

=c c

cm mm/

oldu undan, .a bulunur2 121

3263· –6 6

= =c m

ÖRNEK 12

Genel terimi a knk

n

1==

/ olan dizi için a10 kaçt r?

Çözüm

. .a k bulunur2

10 11 55k

101

10= = =

=/

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

317

ÖRNEK 13

ann

2 11–

n =+^ ch m dizisinin kaç nc terimi

52 tir?

Çözüm

nn

2 11

52–

+= 5n – 5 = 4n+2

5n – 4n = 5 + 2 n = 7

oldu undan (an) dizisinin 7. terimi .tir52

ÖRNEK 14

ann

2 133

––

n =^ ch m dizisinin kaç terimi negatiftir?

Çözüm

nn

2 133 0

–– < e itsizli inin çözüm kümesindeki

sayma say lar arad m z terimlerdir.

n – 32n – 13

n

+ – +

1323

,n 3213

! c m için veya n {4, 5, 6} için

(an) dizisi negatiftir. Yani,

a4 < 0 , a5 < 0 ve a6 < 0 olup

(an) dizisinin 3 tane terimi negatiftir.

ÖRNEK 15

an

n9 2

4–n = +^ ch m dizisinin kaç terimi pozitiftir?

Çözüm

n

n9 2

4 0–

>+ e itsizli inin çözüm kümesindeki

sayma say lar arad m z terimlerdir.

n + 49 – 2n

n

– + –

92– 4

n {1, 2, 3, 4} için (an) dizisi pozitif olup

dizinin 4 tane terimi pozitiftir.

ÖRNEK 16

an

n2 1

2–

–n =^ ch m dizisinin kaç terimi

41 ten küçüktür?

Çözüm

nn

nn

2 12

41

2 12

41 0

––

–– –< <&

nn n

8 44 8 2 1 0

–– – <&

+

nn

8 42 7 0

–– <&

2n – 78n – 4

n

+ – +

72

12

n {1, 2, 3} için a41<n olup

(an) dizisinin 3 tane terimi 41 ten küçüktür.

ÖRNEK 17

an

n n2 9n 2

3 2= + +^ dh n dizisinin kaç terimi tam say d r?

Çözüm

n

n nnn

nn

nn

n2 9 2 9 2 9

2

3 2

2

3

2

2

2 2+ + = + + = + +

oldu undan n {1, 3} için (an) dizisi tam say olur. Yani, a1 Z ve a3 Z olup 2 tane terim tam say d r.

ÖRNEK 18

Genel terimi ann

24–

n =+

olan dizinin kaç terimi tam

say d r?

Çözüm

ann

nn

nn

n

n

24

22 2 4

22

26

12

6

– – – –

–

n =+

=+

+ =++

+

=+

oldu undan n + 2 nin 6 y bölen de erleri için

(an) dizisi tam say d r. O halde, n = 1 ve n = 4

için n

Z2

6 !+

olup, a1 ve a4 terimleri birer tam

say belirtir. Yani, 2 tanedir.

Diziler

318

ÖRNEK 19

Genel terimi an

n n1

2 2 8–n

2=

++ olan dizinin kaç teri-

mi tam say d r?

Çözüm

2n2–2n+8 n+12n – 42n2+2n

– 4n+8– 4n– 4

12n

n n nn1

2 2 8 2 41

12– –2

++ = +

+

oldu undan n + 1 in 12 yi bölen de erleri için

(an) dizisi tam say d r. O halde, n {1, 2, 3, 5, 11}

için (an) dizisi tam say olup 5 tanedir.

ÖRNEK 20

an

n4

3n =

+^ ch m dizisinin kaç terimi (1, 2) aral nda-

d r?

Çözüm

1 < an < 2 n

n14

3 2< <+

, n + 4 Z+

1.(n + 4) < 3n < 2.(n + 4)

n + 4 < 3n ve 3n < 2n + 8

2 < n ve n < 8

n {3, 4, 5, 6, 7} olup 5 tanedir.

Fibonacci Dizisi ...1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...Bir terim kendinden önceki iki terimin toplam na e ittir.

Örne in; 1 + 1 = 2, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21, 13 + 21 = 34, ... gibi.

Bu dizinin ileri elemanlar nda, bir sonraki eleman n bir öncekine oran alt n oran ad verilen ve yakla k 1,618 de erine e it bir say y verir. Alt n orana uygun ölçülerdeki nesneler ve canl lar daha estetik ve daha güzel görünür.

3

25

8

13

11

Fibonacci dizisinin göründü ü ve kullan ld baz yerler:

1. Ayçiçe i: Ayçiçe inin merkezinden d ar ya do ru sa dan sola ve soldan sa a do ru taneler say ld nda ç kan say lar Fibonacci dizisinin ard k terimleridir.

2. Papatya Çiçe i: Papatya çiçe inde de ayçiçe inde oldu u gibi bir Fibonacci dizisi mevcuttur.

3. Çam Kozala : Çam kozala ndaki taneler kozala n alt ndaki sabit bir noktadan kozala n tepesindeki ba ka bir sabit noktaya do ru spiraller (e riler) olu turarak ç karlar. te bu taneler soldan sa a ve sa dan sola say ld nda ç kan say lar, Fibonacci dizisinin ard k terimleridir.

4. Tütün Bitkisi: Tütün bitkisinin yapraklar n n dizili inde bir Fibonacci dizisi söz konusudur; yani yapraklar n diziliminde bu dizi mevcuttur. Bundan dolay tütün bitkisi Güne ’ten en iyi ekilde güne ve havadan en iyi ekilde karbondioksit alarak fotosentezi mükemmel bir ekilde gerçekle tirir.

5. Ömer Hayyam veya Pascal veya Binom Üçgeni: Ömer Hayyam üçgenindeki tüm katsay lar veya terimler yaz l p çapraz toplamlar al nd nda Fibonacci dizisi ortaya ç kar.

1

1

1

1

1

1

1 1

1

1

1

1

1

2

20

6

3 3

10 10

4 4

5 5

6 615 15

123

85

13

1

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

319

ÖRNEK 21

(an) = (–n2 + 9n – 14) dizisinin en büyük terimi kaçt r?

Çözüm

f: R R , f(x) = –x2 + 9x – 14 fonksiyonunun

grafi i a a daki gibidir.

92

6

4

–6

1 23 4 5

x

y

0 6 78

(an) dizisinin tan m kümesi Z+ oldu undangrafik üzerinde apsisi pozitif tam say olan noktalar bu dizinin analitik düzlemde görüntüleri olup, (an) dizisinin en büyük terimi

a4 = a5 = 6 d r.

ÖRNEK 22

(an) = (n2 – 4n – 5) dizisinin en küçük terimi kaçt r?

Çözüm

f: R R , f(x) = x2 – 4x – 5 fonksiyonunun

grafi i a a daki gibidir.

f(x) = x2 – 4x – 5 = (x – 2)2 – 9 , T(2, –9)

y = 0 0 = x2 – 4x – 5 0 = (x + 1)(x – 5)

x = –1 , x = 5(an) dizisinin tan m

–9

–8

–5

1 2 3 45

x

y

–1kümesi Z+ oldu-

undan grafik üze-rinde apsisi pozitif tam say olan nokta-lar bu dizinin anali-tik düzlemde görün-tüleri olup, (an) dizi-sinin en küçük terimi a2 = –9 dur.

ÖRNEK 23

(an) = (–n2 + 4n + 12) dizisinin kaç terimi pozitiftir?

Çözüm

I. Yol

f(x) = –x2 + 4x + 12 y

x0

–2 6

fonksiyonunun grafi ine

göre, (an) = (–n2 + 4n + 12)

dizisinin a1, a2, a3, a4, a5

terimleri pozitiftir.

II. Yol

–n2 + 4n + 12 > 0 e itsizli inin çözüm kümesinde

kaç farkl sayma say s oldu unu tespit ederek de

çözebiliriz.

SONLU D Z

k Z+ ve Ak = {1, 2, 3, ..., k} Z+ olmak üzere, tan m kümesi Ak olan her fonksiyona sonlu dizi denir.

Örne in; A6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere,

An: A6 R , (an) = (2n) dizisi sonludur.

Üstelik, (an) = (2, 4, 6, 8, 10, 12) olup

(an) dizisinin 6 terimi vard r.

Sonlu dizi oldu u belirtilmedi i sürece her dizinin sonsuz dizi oldu u anla l r.

ÖRNEK 24

ann

81

–n = +^ ch m ifadesinin bir sonlu dizi belirtebilmesi

için terim say s en çok kaç olabilir?Çözüm

a1 R, a2 R, ..., a7 R, a8 R, a9 R, ...

oldu undan, A7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} olmak üzere,

an: A7 R sonlu dizisi tan ml d r. Dolay s yla

bu sonlu dizinin terim say s en çok 7 olabilir.

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

320

SAB T D Z

Bütün terimleri birbirine e it olan dizilere sabit dizi denir. (an) bir sabit dizi ise,

a1 = a2 = a3 = ... = an = c , (c R) dir.

Örne in; (an) = (5) dizisi bir sabit dizidir.

Çünkü (an) = (5, 5, 5, ..., 5, ...) olup dizinin bütün elemanlar 5 e e ittir.

ÖRNEK 25

(an) = ((–1)n) dizisi sabit dizi midir?

Çözüm

a1 = –1 , a2 = 1 , a3 = –1 , a4 = 1 , ...

(an) = (–1, 1, –1, 1, ...) olup (an) dizisinin bütün elemanlar birbirine e it de ildir. Dolay s ile (an) bir sabit dizi de ildir.

ÖRNEK 26

(an) = (cos(2n )) dizisi sabit dizi midir?

Çözüm

a1 = cos2 = 1 , a2 = cos4 = 1 , ...

(an) = (1, 1, 1, ...) olup (an) dizisi bir sabit dizidir.

ÖRNEK 27

an kn2 3

n =++^ ch m ifadesi bir sabit dizi oldu una göre,

k kaçt r?

Çözüm: I. Yol

a1 = a2 = a3 = ... oldu undan

.

a ak k k k

k k

k bulunur

12 3

24 3

15

27

7 7 10 5

23

1 2 & &

&

&

=++ =

++

+=

+

+ = +

=

II. Yol Pay ve paydadaki ayn dereceli terimlerin kat

say lar n n oran birbirine e it olmal d r. O halde,

n kn sabit dizi ise2 3++c m .

kk dir

12 3

23

&= =

D Z LER N E TL

n N+ için an = bn oluyorsa, (an) ve (bn) dizile-rine e it diziler denir ve (an) = (bn) eklinde gösterilir.

ÖRNEK 28

(an) = (cos(n )) ve (bn) = ((–1)n) olmak üzere,

(an) = (bn) oldu unu gösteriniz.

Çözüm

(an) = (cos(n )) = (–1, 1, –1, 1, ...)

(bn) = ((–1)n) = (–1, 1, –1, 1, ...)

a1 = b1 , a2 = b2 , ... , an = bn , ...

olup n N+ için an = bn dir.

Dolay s ile (an) = (bn) dir.

ÖRNEK 29

1 , n 0 (mod 2)(an) = ((–1)n+1) ve (bn) = { –1 , n 1 (mod 2)

dizileri e it midir?

Çözüm

(an) = (1, –1, 1, –1, ...)

(bn) = (–1, 1, –1, 1, ...)

a1 b1 , a2 b2 , ... , an bn , ...

oldu undan (an) (bn) dir.

ÖRNEK 30

Genel terimi an = xn2 + yn + z ve b k2 3–nk

n

1=

=^ h/

olan dizilerde (an) = (bn) ise x.y.z kaçt r?

Çözüm( )

b kn n

n n n2 3 22

13 2– · – –n

k

n2

1= =

+=

=^ h/

an = bn xn2 + yn + z = n2 – 2n

xn2 + yn + z = 1.n2 – 2.n + 0

x = 1 , y = –2 , z = 0

oldu undan x.y.z = 1.(–2).0 = 0 d r.

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

321

D Z LERDE LEMLER

(an) ve (bn) herhangi iki dizi ve c R olmak üzere,

(an) + (bn) = (an + bn)

(an) – (bn) = (an – bn)

(an).(bn) = (an.bn)

,ba

ba b 0

n

n

n

nn=^

^ c ^hh m h

c.(an) = (c.an)

eklinde dizilerin genel terimleri aras nda yap lan dört i leme, dizilerde dört i lem denir.

ÖRNEK 31

(an) = (n2 – 1) ve bn1

n =^ ch m olmak üzere,

a a da yap lan i lemleri inceleyiniz.

Çözüm

a b a b

nn n

nn1

1 1

–

–n n n n

3

2+ = +

= +

= +^ ^ ^ cc

h h h mm

1 1a b a b nn n

n n1– – – – – –n n n n

23

= = =^ ^ ^ c ch h h m m

. .a b a b nn n

n1 1 1– · –n n n n

22

= = =^ ^ ^ ^c ch h h h m m

ba

ba

n

n n n1

1 – –n

n

n

n 23= = =^

^ c f ^hh m p h

3.(an) = (3.an) = (3.(n2 – 1)) = (3n2 – 3)

ÖRNEK 32

(an) = 3 12 1–

n

n

+c m ve (bn) =

nn

5 14

–c m dizileri için

(an.bn) dizisinin üçüncü terimi kaçt r?

Çözüm

(an.bn) dizisinin üçüncü terimi,

a3.b3 = ..

.3 12 1

5 3 14 3–

–3

3

+ = .

287

1412 =

143 bulunur.

ÖRNEK 33

Genel terimi

,

,

,

,a

n n tek

n n iftve b

n n tek

n n ift

1

2 1

1

2– ç

–

çn n

2

=+

=+

* *olan diziler için a a daki i lemleri inceleyiniz.

Çözüm

,

,a b

n n n tek

n n n ift

1 1

2 1 2

–

– çn n

2

+ =+ +

+ +*

,

,

n n n tek

n n ift3 1 ç

2

=+

+*

( ) ,

,a b

n n n tek

n n n ift2

2 1 1

2 2 1 2–

– –

– – çn n

2

=+

+

^^ ^

hh h*

,

,

n n n tek

n n ift

2 3

3 4

–

– ç

2

=+ +*

ÖRNEK 34

,

,

,

,

,

an

n nve b

n n

n n

n n

2 5

1 5

1 2

2 2 5

1 5

–<

< <n n

2

=+

=

+

^ ^h hZ

[

\

]]

]]*

için (an + bn) dizisini bulunuz.

Çözüm

(an) dizisini (bn) dizisi gibi parçal ekilde yaz-mal y z.

oldu�undan

,

,

,

,

,

,

,

,

,

a

n

n

n n

a b

n n

n n

n n n

n n

n n

n n n

2 2

2 2 5

1 5

2 1 2

2 2 2 5

1 1 5

1 2

2 2 2 5

2 5

–

< <

< <

< <

n

n n

2

2

=

+

+ =

+

+

+ + +

=

+

+

+ +

^

^

h

h

Z

[

\

]]

]]

Z

[

\

]]

]]

Z

[

\

]]

]]

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

322

MONOTON D Z LER

Bir (an) dizisinde her terim bir sonrakinden hep

küçük kal yorsa, bu dizilere monoton artan dizi denir.

(an) monoton artan dizi ise,

a1 < a2 < a3 < ... < an < an+1 < ... olur.

Bir (an) dizisinde her terim bir sonrakinden hep büyük

kal yorsa, bu dizilere monoton azalan dizi denir.

(an) monoton azalan dizi ise,

a1 > a2 > a3 > ... > an > an+1 > ... olur.

Monoton artan ya da monoton azalan dizilere, mono-

ton diziler denir.

ÖRNEK 35

(an) = (3n + 1) dizisinin monotonlu unu inceleyiniz.

Çözüm

a1 = 3.1 + 1 = 4

a2 = 3.2 + 1 = 7

a3 = 3.3 + 1 = 10

...........................

an = 3n + 1

an+1 = 3(n + 1) + 1 = 3n + 4

...........................

a1 < a2 < a3 < ... < an < an+1 < ...

oldu undan (an) dizisi monoton artand r.

ÖRNEK 36

(an) = (2 – n) dizisinin monotonlu unu inceleyiniz.

Çözüm

a1 = 2 – 1 = 1

a2 = 2 – 2 = 0

a3 = 2 – 3 = –1

........................

an = 2 – n

an+1 = 2 – (n + 1) = 1 – n

........................

a1 > a2 > a3 > ... > an > an+1 > ...

oldu undan (an) dizisi monoton azaland r.

ÖRNEK 37

(an) = (n2 – 4n) dizisinin monotonlu unu inceleyiniz.

Çözüm

–4

1 2 34

n

an

0

–3

a1 = 12 – 4.1 = –3

a2 = 22 – 4.2 = –4

a3 = 32 – 4.3 = –3

a4 = 42 – 4.4 = 0

............................

(an) dizisinin terimleri önce azal p, sonra artt için (an) dizisi monoton de ildir.

(an) bir dizi olsun. n N+ için,

an+1 > an (an) monoton artand r.

an+1 < an (an) monoton azaland r.

an+1 an (an) monoton azalmayand r.

an+1 an (an) monoton artmayand r.

an+1 = an (an) sabit dizidir.

Bir (an) dizisinin monotonlu unu incelerken

an+1– an fark n n i aretine bak l r.

an+1– an > 0 an+1 > an olup monoton artand r.

an+1– an < 0 an+1 < an olup monoton azaland r.

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

323

ÖRNEK 38

(an) = (n2 + 1) dizisinin monotonlu unu inceleyiniz.

Çözüm

an+1 – an = (n + 1)2 + 1 – (n2 + 1)

= n2 + 2n + 1 + 1 – n2 – 1

= 2n + 1 > 0 olur. (n N+)

an+1 – an > 0 an+1 > an olup

(an) dizisi monoton artand r.

ÖRNEK 39

(an) = (n2 – 3n + 2) dizisinin monotonlu unu ince-leyiniz.

Çözüm

an+1 – an = (n + 1)2 – 3(n + 1) + 2 – (n2 – 3n + 2)

= n2 + 2n + 1 – 3n – 3 + 2 – n2 + 3n – 2

= 2n – 2 dir.

n N+ için, 2n – 2 0 d r. Dolay s ile

an+1 – an 0 an+1 an oldu undan

(an) dizisi monoton azalmayan bir dizidir.

Grafi i a a da verilmi tir. nceleyiniz.

1 2 3n

an

0

2

ÖRNEK 40

ann

21

n =++^ ch m dizisinin monotonlu unu inceleyiniz.

Çözüm

a ann

nn

nn

nn

n nn n n

n nn n n n n

n n

1 21 1

21

32

21

2 32 1 3

2 34 4 3 3

2 31

– – –

–

– – – –

n n1

2

2 2

=+ ++ +

++ =

++

++

=+ +

+ + +

=+ +

+ +

=+ +

+

^ ^^ ^ ^

^ ^^ ^

h hh h h

h hh h

n N+ için, n n2 3

1 0>+ +^ ^h h

an+1 – an > 0

an+1 > an

oldu undan (an) dizisi monoton artand r.

.

.ac n da n b

n =++^ ch m eklindeki dizilerde monotonluk

durumu a a daki gibi de incelenebilir.

Paydan n kökü; cd 1– < ise dizi monotondur.

a.d – b.c > 0 ise, dizi monoton artand r.

a.d – b.c < 0 ise, dizi monoton azaland r.

a.d – b.c = 0 ise, dizi sabit dizidir.

Paydan n kökü; cd 1– > ise dizi monoton

de ildir.

ÖRNEK 41

ann

3 22 1

–n = +^ ch m dizisinin monotonlu unu inceleyiniz.

Çözüm

Paydan n kökü, 3n – 2 = 0 n32 1<=

oldu undan dizi monotondur.

a = 2, b = 1, c = 3, d = –2 olup,

a.d – b.c = 2.(–2) – 1.3 = –7 < 0 oldu undan

(an) dizisi monoton azaland r.

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

324

ÖRNEK 42

an

n2 3

3n =

+^ ch m dizisinin monotonlu unu inceleyiniz.

Çözüm

Paydan n kökü, 2n + 3 = 0 n23 1– <=


a = 3 , b = 0 , c = 2 , d = 3 olup,

a.d – b.c = 3.3 – 0.2 = 9 > 0 oldu undan

(an) dizisi monoton artand r.

ÖRNEK 43

ann

2 52 1

–n = +^ ch m dizisinin monotonlu unu inceleyiniz.

Çözüm

Paydan n kökü, 2n – 5 = 0 n25 1>=

oldu undan (an) dizisi monoton de ildir.

ÖRNEK 44

.bn

a n3 4

2n =

++^ ch m dizisinin monoton azalan olmas için

a n n alabilece i en büyük tam say de eri kaçt r?

Çözüm

Paydan n kökü, 3n + 4 = 0 n34 1– <=


Dizinin monoton azalan olmas için,

a.d – b.c < 0 a.4 – 2.3 < 0

a23< olmal d r.

O halde, a n n alabilece i en büyük tam say

de eri 1 dir.

ÖRNEK 45

ann b

3 42

n =++^ ch m dizisinin sabit bir dizi olmas için b

ne olmal d r?

Çözüm

a.d – b.c = 0 2.4 – b.3 = 0 b = 38 olur.

Ayn soru tipinin farkl yollardan da çözülebildi ini sabit dizi bölümünü tekrarlayarak hat rlay n z.

ALT D Z

Bir (an) dizisi verildi inde, (kn) monoton artan bir

sayma say dizisi olmak üzere elde edilen (akn) dizi-

sine (an) dizisinin bir alt dizisi denir ve (akn) (an)

eklinde gösterilir. Burada (kn) monoton artan bir dizi

ve n N+ için kn N+ olmal d r.

ÖRNEK 46

A a da (an) = (n) dizisinin baz alt dizileri yaz lm -t r. nceleyiniz.

Çözüm

(an) = (n) = (1, 2, 3, 4, ..., n, ...) oldu una göre,

(a2n) = (2n) = (2, 4, 6, ..., 2n, ...)

(a2n) (an)

(a2n–1) = (2n–1) = (1, 3, 5, ..., 2n–1, ...)

(a2n–1) (an)

(an–2) = (n–2) = (–1, 0, 1, 2, ..., n–2, ...)

(an–2) (an) dir. Çünkü, (n–2) dizisi sayma

say dizisi de ildir.

(a2–n) = (2–n) = (1, 0, –1, ..., 2–n, ...)

(a2–n) (an) dir. Çünkü, (2–n) monoton artan

bir sayma say dizisi de ildir.

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

325

ÖRNEK 47

bnn

2 34 1

n =++^ ch m dizisinin a

nn

22 1–

n =+^ ch m dizisinin

bir alt dizisi oldu unu gösteriniz.

Çözüm

(bn) (an) ve (akn) (an) ise

(akn) = (bn) olmal d r. O halde,

kk

nn

22 1

2 34 1–

n

n+

=++

4nkn – 2n + 6kn – 3 = 4nkn + 8n + kn + 2

5kn = 10n+5

kn = 2n + 1 bulunur.

n N+ için (kn) = (2n + 1) monoton artan bir

sayma say s dizisidir.

Dolay s yla (bn) = (a2n+1) (an) dir.

ÖRNEK 48

ann

3 22 1

n 1 =++

+^ ch m oldu una göre (an) dizisini bu-

lunuz.

Çözüm

(an+1) dizisinde n yerine n – 1 yazmal y z.

ann

ann

3 1 22 1 1

3 12 1

––

––

n n1 1– &=++

=+^ ^^f ^ ch h

h p h m

ÖRNEK 49

(an) = ( )n3 5

1– n

+c m dizisi veriliyor. (a2n+1) alt dizisinin 2.

terimi kaçt r?

Çözüm

(a2n+1) dizisinin 2. terimi

a2.2+1 = a5 oldu undan;

(an) = ( )n3 5

1– n

+c m a5 =

.( )3 5 5

1– 5

+

= 201– bulunur.

ÖRNEK 50

ann

2 33 1

n2 1– =++^ ch m ise (a3n+2) dizisinin 3. terimi

kaçt r?

Çözüm

(a3n+2) dizisinin 3. terimi a3.3+2 = a11 dir.

a11 = a2n–1 2n – 1 = 11 n = 6 olmal d r.

.

.a2 6 33 6 1

.2 6 1– =++ a

1519

11 = bulunur.

ÖRNEK 51

N+ da tan ml ve genel terimi;

an = 3n.(n!) olan bir dizide, an+1, an in kaç kat d r?

Çözüm

. ( !)

.

. ( !). . ( !) . ( )!

aa

n

n

nn n

3

3 1

33 3 1

n

nn

n

n

n1

1=

+=

+++ ^^ h h

= 3(n + 1) bulunur.

ÖRNEK 52

Genel terimi, an = 3 , 1 ( 2)

, ( 2)

mod

mod

n n

nn n2 0

/

/

+

+

Z

[

\

]]

]] olan

(an) dizisinin (a2n) ve (a2n+1) alt dizilerini bulunuz.

Çözüm

2n 0 (mod 2) oldu undan,

(a2n) = n

n2

2 2+c m =

nn 1+c m elde edilir.

2n + 1 1 (mod 2) oldu undan,

(a2n+1) = (2n + 1 + 3)

= (2n + 4) elde edilir.

326

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. A a daki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terimi olabilir?

a. nn

21

++ b.

nn

21

––

c. nn

52 1

–2+ d.

nn

93 1

––

2

e. n6 2– f. tan(n )

g. cot n2r h. log(n – v2)

2. A a da genel terimleri verilen dizilerin ilk üç terimlerinin grafi ini koordinat düzleminde göste-riniz.

a. sin n2r b. (n – 1)!

c. n1– n^ h

d. kk

n2

1=/

e. n

n1 2 3

1 2 3…

…2 2 2 2+ + + +

+ + + +

f. ,

,

mod

mod

nn

n n

1 0 2

1 1 22

/

/+

^^

hh

Z

[

\

]]

]]

3. Bir (an) dizisinde n N+ için an = an – 1 + n ve a1 = 2 ise a19 kaçt r?

4. (an) = nn

4 31

–+c m dizisinin kaç nc terimi

31 tür?

5. Genel terimi an = n

n n4

3 2 4–2

2

++ olan dizinin ka-

ç nc terimi 3 tür?

6. Genel terimi an = 3n.(n + 1)! olan dizi için aa

9

10

oran kaçt r?

7. n N+ için a1 = 1 ve an + 1 = 3an – 2 olan (an) dizisinin genel terimi nedir?

8. Genel terimi an = n

n 12+ olan dizinin kaç tane

terimi 4 ten büyüktür?

9. (an) = (n2 – 8n + 12) dizisinin kaç tane terimi negatiftir?

ALIŞTIRMALAR – 1

1. a, b, c, f 3. 191 4. 6 5. 8 6. 33 7. 1 8. 3 9. 3

Diziler

327

ES

EN

YAY

INLA

RI

10. (an) = n

n3 2

7––c m dizisinin kaç tane terimi pozitif-

tir?

11. (an) = (n2 – 8n + 15) dizisinin kaç terimi pozitif de ildir?

12. an

n n2 6n

2= + +^ ch m dizisinin kaç terimi tam

say d r?

13. Genel terimi an

n n2

3 2–n

2=

++ olan dizinin kaç

terimi tam say d r?

14. (an) = (n2 – 6n + 13) dizisinin en küçük terimi kaçt r?

15. (an) = (n2 + 4n + 1) dizisinin en küçük terimi kaç-t r?

16. (an) = (–n2 + 8n + 1) dizisinin en büyük terimi kaçt r?

17. (an) = .c nn

32 1–

+c m dizisi sabit dizi oldu una göre,

c kaçt r?

18. (an) = (t2n + 3tn + 2) dizisinin sabit dizi olmas için t nin alabilece i de erlerin toplam kaçt r?

19. A4 = {1, 2, 3, 4}, an : A4 R, (an) = (n2 – 1)

sonlu dizisinin terimlerinin toplam kaçt r?

20. (an) = (1 + 2 + 3 + .....+ n) ve (bn) = (xn2 + yn)

dizileri e it oldu una göre, x.y kaçt r?

10. 5 11. 3 12. 4 13. 4 14. 4 15. 6 16. 17 17. –6 18. –3 19. 26 20. 41

Diziler

328

ES

EN

YAY

INLA

RI

21. Genel terimleri ann

33 2

n =++ ve

.

.bd nc n

96

n =++

olan diziler e it oldu una göre, c + d kaçt r?

22. Genel terimleri an

n1n =

+ ve b

n 11

n =+

olan

(an) ve (bn) dizileri için a a daki i lemleri yap -

n z.

a. (an) + (bn) b. (an) – (bn)

c. (an).(bn) d. ba

n

n^^hh

e. 2(an) – 3(bn) f. ba

23

n

n^^hh

23. Genel terimleri an = (–1)n.(n + 1) ve

,

,

mod

modb

n n

n nolan a ve b

2 0 2

1 1 2–n n n

/

/=

+

^^ ^ ^h

h h h*

dizileri için a a daki i lemleri yap n z.

a. (an) + (bn) b. (an) – (bn)

c. (an).(bn) d. ba

n

n^^hh

e. 2(an) – 3(bn) f. ba

23

n

n^^hh

24. .an

k n2 5

6–n =

+^ ch m dizisinin monoton artan olmas

için k n n alabilece i en küçük tam say de eri kaçt r?

25. A a daki dizilerin monoton olup olmad klar n gösteriniz.

a. n

1 1+c m b. n

1 1–c m

c. 16n 1+^ h d. (n! – 2)

e. (n2 – 4n) f. (n2 + n)

g. n1– n^d h n h.

nn

2 31

–+c m

i. nn3 2

1++c m j.

nn

3 12 1

–+c m

26. .n

k n p2

+c m dizisi nn

12 3–

+c m dizisinin bir alt dizisi

oldu una göre, k + p kaçt r?

27. (an + 1) = (n2 – 2n) dizisine göre a a daki dizile-rin genel terimlerini bulunuz.

a. (an) b. (an2+ 1)

c. (an – 1) d. (an + 2)

21. 12 24. –2 25. a. monoton b. monoton c. monoton d. monoton e. monoton de il f. monoton g. monoton de il

h. monoton de il i. monoton j. monoton 26. –1 27. a. n2 – 4n + 3 b. n4 – 2n2 c. n2 – 6n + 8 d. n2 – 1

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

329

AR TMET K D ZArd k terimleri aras ndaki fark hep ayn sabit say ya

e it olan dizilere aritmetik dizi , bu sabit farka da

ortak fark denir.

Buna göre, n N+ için an + 1 – an = r ise

r R say s na bu dizinin ortak fark denir.

(an) bir aritmetik dizi ve r R ise

a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ..... = an + 1 – an = r dir.

Örne in;

(an) = (4, 6, 8, ....., 2n + 2, .....) monoton artan,

(bn) = (9, 5, 1, –3 ....., 13 – 4n, .....) monoton azalan,

(cn) = (3, 3, 3, ....., 3, .....) sabit dizileri birer aritmetik

dizidir.

ÖRNEK 53

(an) = n3

6+c m dizisinin aritmetik dizi oldu unu gös-

teriniz.

Çözüm

an + 1 – an = r olacak ekilde bir r R varsa (an) aritmetik dizidir. Buna göre,

an + 1 – an = n n31 6

36–+ + +

= n n3

7 6– –+ = 31 bulunur.

O halde, (an) bir aritmetik dizidir.

Aritmetik Dizinin Genel Terimi

lk terimi a1 ve ortak fark r olan (an) aritmetik dizisinin genel terimi

an = a1 + (n – 1).r

olarak bulunur. Çünkü,

an + 1 – an = r an + 1 = an + r oldu undan,

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r

a4 = a3 + r ................... an = an – 1 + r+––––––––––––– an = a1 +

e

r r r r……tann 1–

+ + + +1 2 34444 4444

an = a1 + (n – 1).r olarak bulunur.

ÖRNEK 54

lk terimi 3 ve ortak fark 4 olan bir (an) aritmetik dizisinin genel terimi nedir?

Çözüm

a1 = 3 ve r = 4 olmak üzere,

an = a1 + (n – 1)r an = 3 + (n – 1).4

an = 3 + 4n – 4

an = 4n – 1 olur.

ÖRNEK 55

lk terimi 4 olan bir (an) aritmetik dizisinde

a10 – a9 = 2 ise a15 kaçt r?

Çözüm

a10 – a9 = r r = 2 dir.

an = a1 + (n – 1)r an = 4 + (n – 1).2

an = 2n + 2 dir.

O halde, a15 = 2.15 + 2 = 32 olur.

ÖRNEK 56

Genel terimi an = 2n – 1 olan aritmetik dizinin ortak fark kaçt r?

Çözüm

a2 – a1 = r 2.2 – 1 – (2.1 – 1) = r

4 – 1 – 1 = r r = 2 bulunur.

ÖRNEK 57

lk terimi a1 ve ortak fark r olan bir aritmetik dizinin 4. terimi 6 ve 6. terimi 9 oldu una göre, a1 + r kaçt r?

Çözüm

a4 = 6 a1 + 3r = 6

a6 = 9 a1 + 5r = 9 – –––––––––––– –2r = –3 r =

23

a1 + 3.23 = 6 a1 +

29 = 6 a1 =

23

O halde, a1 + r = 23

23 3+ = olur.

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

330

ÖRNEK 58

lk terimi –3 ve ortak fark 2 olan bir aritmetik dizinin 20. terimi kaçt r?

Çözüm

a1 = –3 ve r = 2 olmak üzere,

a20 = a1 + 19.r a20 = –3 + 19.2 = 35 olur.

ÖRNEK 59

Bir dörtgenin iç aç lar n n ölçüleri bir aritmetik dizinin

ard k 4 terimidir. En küçük aç n n ölçüsü 30° oldu-

una göre, di er aç lar n n ölçülerini bulunuz.

Çözüm

Aç lar bir aritmetik dizi olu turuyorlar ve en kü-

çükleri de 30° ise ölçüleri;

30° , 30° + r , 30° + 2r , 30° + 3r eklindedir.

Dörtgenin iç aç lar n n ölçüleri toplam 360° ol-

du undan,

30°+30°+r+30°+2r+30°+3r=360° 120°+6r=360°

6r = 240°

r = 40° dir.

O halde, a1 = 30°, a2 = 30° + 40° = 70°,

a3 = 30° + 2.40° = 110° ve a4 = 30° + 3.40° = 150°

olur.

ÖRNEK 60

5 ile 27 say lar n n aras na ilk terimi 5, son terimi 27 olan aritmetik dizi olu acak ekilde 10 terim daha yerle tiriliyor. Olu an aritmetik dizinin 8. terimi kaç olur?

Çözüm

5, ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., 27

a1 = 5 ve a12 = 27 dir.

a12 = a1 + 11.r 27 = 5 + 11.r r = 2 dir.

O halde, a8 = a1 + 7r a8 = 5 + 7.2

a8 = 19 olur.

ÖRNEK 61

Bir aritmetik dizinin ard k üç terimi s ras yla, x – 2, 2x + 1, 2x – 4 ise x kaçt r?

Çözüm

a, b, c bir aritmetik dizinin ard k üç terimi ise

b a c2

= + dir. Yani, ortadaki terim, di er ikisinin

aritmetik ortalamas na e ittir. Buna göre,

x x x2 12

2 2 4– –+ = + 2x + 1 = x2

3 6–

4x + 2 = 3x – 6

x = –8 olur.

ÖRNEK 62

2, x, y, z, 58 sonlu dizisi bir aritmetik dizi ise

x + y + z kaçt r?

Çözüm

y2

2 58= + y = 30

xy

22

=+ x

22 30= + x = 16

zy

258

=+ z

230 58= + z = 44

O halde, x + y + z = 16 + 30 + 44 = 90 olur.

Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden e it uzakl ktaki iki terimin aritmetik ortalamas d r.

,aa a

n p2

>nn p n p–=

+ + ^ h

ÖRNEK 63

Bir aritmetik dizinin 8. terimi 12 ve 20. terimi –16

ise 14. terimi kaçt r?

Çözüm

a8 = 12 ve a20 = –16 olmak üzere,

14 – 8 = 20 – 14 oldu undan 8. ve 20. terimler

14. terimden e it uzakl ktad r.

O halde, a14 = a a2

8 20+ = 2

12 16–+ ^ h = –2 dir.

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

331

Aritmetik Dizinin lk n Teriminin Toplam

Ortak fark r olan bir (an) aritmetik dizisinin ilk n teriminin toplam n Sn ile gösterelim.

Sn = a1 + a2 + a3 + ..... + an

= a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + ..... + [a1 + (n – 1)r]

= n.a1 + r + 2r + ..... + (n – 1)r

= n.a1 + r(1 + 2 + ..... + (n – 1))

= n.a1 + r..n n

21–^ h

= n2

[ 2a1 + (n – 1)r ]

= n2

[ a1 + a1 + (n – 1)r ]

= n2

(a1 + an) bulunur.

Sn = n2

(a1 + an)

ÖRNEK 64

lk terimi 2 ve ortak fark 21 olan (an) aritmetik dizi-

sinin ilk 10 teriminin toplam kaçt r?

Çözüm

a1 = 2 ve r = 21 oldu undan,

Sn = n2

(a1 + an) S10 = 210 (a1 + a10)

= 5.(a1 + a1 + 9r)

= 5.(2a1 + 9r)

= . .5 2 2 921·+c m

= 285 bulunur.

ÖRNEK 65

Genel terimi an = 2n + 1 olan aritmetik dizinin ilk 8 teriminin toplam kaçt r?

Çözüm

Sn = n2

(a1 + an) oldu undan,

S8 = 28 (a1 + a8) S8 = 4.(3 + 17) = 80 olur.

ÖRNEK 66

10 ile 100 say lar aras nda 3 ile tam bölünebilen tam say lar n toplam kaçt r?

Çözüm

12, 15, 18, ....., 99 say lar istenen ko ullar

sa layan say lard r. Üstelik bu say lar; ilk terimi

12, son terimi 99 ve ortak fark 3 olan sonlu bir

aritmetik dizi olu turmaktad r.

Terim Say s = n = r

a a 1–n 1 + = 3

99 12 1– + = 30

Sn = n2

(a1 + an) S30 = 230 (12 + 99)

= 1665 olur.

ÖRNEK 67

Ya lar toplam 68 olan dört ki inin ya lar bir aritme-tik dizi olu turmaktad r. Bu 4 ki inin en büyükleri 20 ya nda oldu una göre, en küçükleri kaç ya ndad r?

Çözüm

Sn = n2

(a1 + an) S4 = 24 (a1 + a4)

68 = 2.(a1 + 20)

34 = a1 + 20

a1 = 14 olur.

Yani, bu 4 ki inin en küçükleri 14 ya ndad r.

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

332

ÖRNEK 68

lk n terim toplam Sn = n2 olan bir aritmetik dizinin

7. terimi kaçt r?

Çözüm

a7 = a1 + a2 + ..... + a7 – (a1 + a2 + ..... + a6)

= S7 – S6

= 72 – 62 = 49 – 36 = 13 bulunur.

ÖRNEK 69

lk n teriminin toplam Sn = 2n2 + 3n olan bir (an)

aritmetik dizisi için a3 + a4 + a5 toplam kaçt r?

Çözüm

a3 + a4 + a5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 – (a1 + a2)

= S5 – S2

= (2.52 + 3.5) – (2.22 + 3.2)

= 65 – 14 = 51 bulunur.

ÖRNEK 70

lk n terimi toplam Sn olan bir aritmetik dizide

n N+ için Sn = Sn–1 + 2n + 1 ise bu dizinin 5.

terimi kaçt r?

Çözüm

a5 = S5 – S4 oldu undan,

Sn = Sn–1 + 2n + 1 ifadesinde n = 5 al n rsa,

S5 = S4 + 2.5 + 1 S5 – S4 = 11

a5 = 11 bulunur.

ÖRNEK 71

x3 – 3x2 + 2ax + 8 = 0 denkleminin kökleri bir aritme-

tik dizi olu turdu una göre, a kaçt r?

Çözüm

Kökleri x1, x2, x3 olsun. Bu kökler bir aritmetik

dizi olu turuyorsa,

x x x22

1 3= + x1 + x3 = 2x2 dir.

x1 + x2 + x3 = ab– x2 + 2x2 =

13– –

3x2 = 3

x2 = 1 olur.

x2 = 1 kökü denklemi sa layaca ndan,

13 – 3.12 + 2a.1 + 8 = 0 1 – 3 + 2a + 8 = 0

2a = –6

a = –3 olur.

ÖRNEK 72

Bir aritmetik dizinin 8. ve 9. terimlerinin toplam 15

oldu una göre, ilk 16 teriminin toplam kaçt r?

Çözüm

a8 + a9 = 15 a1 + 7r + a1 + 8r = 15

2a1 + 15r = 15 dir.

S16 = 216 (a1 + a16) S16 = 8.(a1 + a1 + 15r)

= 8.(2a1 + 15r)

= 8.15

= 120 olur.

333

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. A a da verilenlerden hangileri bir aritmetik dizi-nin genel terimidir?

a. an = 2n – 1 b. a n2

3 1n = +

c. an = n2 – 1 d. an

n 1n = +

2. A a da ilk terimi ve ortak fark verilen aritmetik dizilerin genel terimlerini bulunuz.

a. a1 = 5 , r = 5

b. a1 = –2 , r = 21

c. a1 = 0 , r = v2

3. A a da iki terimi verilen aritmetik dizilerin genel terimlerini bulunuz.

a. a3 = 5 , a7 = 3

b. a2 = –4 , a4 = 6

c. a1 = 5 , a8 = 26

4. lk terimi 3 ve ortak fark 41 olan bir aritmetik

dizinin kaç nc terimi 7 dir?

5. 3, a, b, c, 13, d say lar bir aritmetik dizinin ard -k alt terimi ise a + b + c + d kaçt r?

6. 3 , log2a , 29 say lar bir aritmetik dizinin ard k üç terimi ise a kaçt r?

7. (an) aritmetik dizisinde a1 – a2 = 3 ise

a20 – a19 fark kaçt r?

8. lk terimi 1 ve ortak fark 3 olan bir aritmetik dizinin 15. terimi kaçt r?

ALIŞTIRMALAR – 2

1. a, b 2. a. 5n b. n2

5– c. nv2 – v2 3. a. n2

13 – b. 5n – 14 c. 3n + 2 4. 17 5. 39,5 6. 216 7. –3 8. 43

Diziler

334

ES

EN

YAY

INLA

RI

9. (an) aritmetik dizisinde a2 + a3 = 7 ve

a1 + a6 = 5 ise a10 kaçt r?

10. lk n teriminin toplam Sn = 2n2 + 4n olan bir

aritmetik dizinin 2. terimi kaçt r?

11. (an) = (3n – 1) aritmetik dizisinin ilk on teriminin

toplam kaçt r?

12. 4 ile tam bölünebilen iki basamakl say lar n top-

lam kaçt r?

13. (an) aritmetik dizisinde, a3 + 8 = 3.a8 e itli i sa -

lan yorsa dizinin ilk yirmi teriminin toplam kaçt r?

14. Bir (an) aritmetik dizisinde a1 = 3 ve n N+

için an+1 = an + 2 oldu una göre, dizinin ilk 10

teriminin toplam kaçt r?

15. Bankadan al nan faizsiz 2080 TL destek kredisi

için ilk ay 100 TL, ikinci ay 110 TL, üçüncü ay

120 TL vb. kademeli ödeme plan uygulanm t r.

Buna göre, borcun bitmesi kaç ay sürer?

16. Bir tiyatro salonunun birinci s ras nda 16 koltuk,

ikinci s ras nda 18 koltuk, üçüncü s ras nda 20

koltuk vard r. Salonda bu ekilde devam eden

toplam 40 s ra oldu una göre, salonda toplam

kaç koltuk vard r?

17. –8 ile 24 say lar n n aras na ilk terimi –8, son

terimi 24 olan aritmetik dizi ola acak ekilde 63

terim daha yerle tiriliyor. Olu an aritmetik dizinin

40. terimi kaç olur?

9. –4 10. 10 11. 155 12. 1188 13. 80 14. 120 15. 13 16. 2200 17. 2

23

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

335

GEOMETR K D Z

Ard k iki teriminin oran hep ayn sabit say ya e it olan dizilere geometrik dizi , bu sabit orana da ortak çarpan denir. Buna göre,

n N+ için a

a rn

n 1 =+ ise r R say s na bu dizinin

ortak çarpan denir.(an) bir geometrik dizi ve r R ise

aa

aa

aa

aa r……

n

n

1

2 3

3

4 1

2= = = = =+ dir. (r 0)

ÖRNEK 73

(an) = (3.2n) dizisinin geometrik dizi oldu unu gös-teriniz.Çözüm

a

a rn

n 1 =+ olacak ekilde bir r R varsa (an)

geometrik dizidir. Buna göre,

.

..

. .a

a R3 2

3 23 2

3 2 2 2n

nn

n

n

n1 1!= = =+ +

bulunur.

O halde, (an) bir geometrik dizidir.

Üstelik r = 2 > 1 oldu undan (an) monoton artan bir geometrik dizidir.

(an) geometrik dizisinde ortak çarpan r olmak üzere,

r > 1 ise (an) monoton artan,

0 < r < 1 ise (an) monoton azalan,

r = 1 ise (an) sabit bir geometrik dizidir.

ÖRNEK 74

(an) = 32nc m dizisinin geometrik dizi oldu unu gös-

teriniz.

Çözüm

a

a R

32

32

32

23

31·

n

n

n

n

n

n1 1

1!= = =+ +

+ oldu undan

geometrik dizidir. Üstelik 0 < 31 < 1 oldu un-

dan (an) monoton azalan bir geometrik dizidir.

ÖRNEK 75

(an) = (n2 + 1) bir geometrik dizi midir?

Çözüm

a

an

n

nn n

1

1 1

12 2

n

n 12

2

2

2=

+

+ +=

++ ++ ^ h

R dir.

Dolay s ile (an) bir geometrik dizi de ildir.

Geometrik Dizinin Genel Terimi

aa r

n

n 1 =+ an+1 = an.r oldu undan

a2 = a1.r

a3 = a2.r

a4 = a3.r ............... an = an–1.r x ––––––––––––– an = a1.

e

. . .……r r r rtann 1–

1 2 344 44

an = a1.rn–1 olarak bulunur.

lk terimi a1 ve ortak çarpan r olan bir geometrik dizinin genel terimi an = a1.r

n–1 dir.

ÖRNEK 76

(an) geometrik dizisinde a1 = 2 ve a2 + a3 = 21–

e itlikleri veriliyor. Buna göre, bu dizinin genel terimi nedir?

Çözüm

a2 + a3 = 21– a1.r + a1.r

2 = 21–

2r + 2r2 = 21–

4r2 + 4r + 1 = 0

(2r + 1)2 = 0

r = 21– dir.

an = a1.rn–1 an = .2

21–

n 1–c m bulunur.

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

336

ÖRNEK 77

lk terimi 2 ve ortak çarpan 21 olan bir geometrik

dizinin 12. terimi nedir?

Çözüm

a1 = 2 ve r = 21 olmak üzere,

an = a1.rn–1 a12 = a1.r

11 = .221 11c m =

2110

olur.

ÖRNEK 78

Bir geometrik dizinin ilk 5 teriminin çarp m , 32 ol-du una göre, bu dizinin üçüncü terimi kaçt r?

Çözüm

a1.a2.a3.a4.a5 = 32

a1.a1.r.a1.r2.a1.r

3.a1.r4 = 32

a15.r10 = 32 (a1.r

2)5 = 25 a1.r2 = 2 a3 = 2

ÖRNEK 79

Genel terimi an = 48n

olan (an) geometrik dizisinin

ortak çarpan kaçt r?

Çözüm

aa r

1

2 = r

4848

1

2= r

48

84·

2

1=

r41= bulunur.

ÖRNEK 80

Ortak çarpan 3 ve 5. terimi 36 olan geometrik di-zinin 8. terimi kaçt r?

Çözüm

r = 3 ve a5 = 36 olmak üzere,

an = a1.rn–1 a5 = a1.r

4 36 = a1.34

a1 = 32 dir.

a8 = a1.r7 a8 = 32.37 a8 = 39 olur.

ÖRNEK 81

Bir geometrik dizinin 3. terimi 50 ve 6. terimi 52

ise ortak çarpan kaçt r?

Çözüm

a3 = 50 a1.r2 = 50

a6 = 52 a1.r

5 = 52 } Taraf tarafa bölünürse,

..

a ra r

5250

15

12

= r1 50

25·

3=

r1 53

3=

r = 51 bulunur.

Bir geometrik dizide, herhangi bir te ri min ka re si ken di sin den e it uzak l k taki iki terimin çarp m na e ittir. (an)

2 = an–p.an+p , (n > p)

ÖRNEK 82

Pozitif terimli bir geometrik dizinin ikinci terimi 4 ve sekizinci terimi 9 ise be inci terimi kaçt r?

Çözüm

a2 = 4 ve a8 = 9 oldu unu biliyoruz.

5 – 2 = 8 – 5 oldu undan 2. ve 8. terimler

5. terimden e it uzakl ktad r.

O halde, (a5)2 = a2.a8 (a5)

2 = 4.9 a5 = 6

ÖRNEK 83

(an) geometrik dizi ve a3.a4.a5.a6.a7 = 32 ise a5 kaçt r?

Çözüm

a4.a6 = (a5)2 ve a3.a7 = (a5)

2 oldu undan,

a3.a4.a5.a6.a7 = 32 (a5)2.(a5)2.a5 = 32

(a5)5 = 32

(a5)5 = 25

a5 = 2 bulunur.

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

337

ÖRNEK 84

a1 = –2 ve n > 1 için an+1 = 2an – 1 ve

bn = 2an – 2 ile verilen (bn) dizisinin geometrik dizi

oldu unu gösteriniz ve bn genel terimini bulunuz.

Çözüm

( )

( )

bb

aa

aa

aa

aa

R

2 22 2

2 22 2 1 2

2 24 2 2

2 22 2 2

2

––

–– –

–– –

––

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

1 1

!

= =

= = =

+ +

oldu undan (bn) ortak çarpan 2 olan bir geo-

metrik dizidir.

bn = 2an – 2 b1 = 2a1 – 2 b1 = 2.(–2) – 2

b1 = –6 d r.

Buna göre (bn) nin genel terimi,

bn = b1.rn–1 bn = –6.2n–1 bn = –3.2.2n–1

bn = –3.2n olur.

ÖRNEK 85

(an) pozitif terimli bir geometrik dizidir.

. .a

a aa

2

3

1 79= oldu una göre, dizinin ortak çarpan

kaçt r?

Çözüm

a1.a7 = (a4)2 ve a3.a5 = (a4)

2 oldu undan,

a1.a7 = a3.a5 yaz labilir.

O halde,

. .a

a aa

2

3

1 79=

. .a

a aa

2

39

3 5 =

2a5 = a9

2a5 = a5.r4

r4 = 2

r = 24 bulunur.

Geometrik Dizinin lk n Teriminin Toplam

Ortak çarpan r olan bir (an) geometrik dizisinin ilk

n teriminin toplam n Sn ile gösterelim.

Sn = a1 + a2 + a3 + ..... + an

= a1 + a1.r + a1.r2 + ..... + a1.r

n–1

= a1(1 + r + r2 + ..... + rn–1)

= arr

11·

–– n

1 bulunur.

Sn = arr

11·

–– n

1 , (r 1)

ÖRNEK 86

Ortak çarpan 21 ve dördüncü terimi

161 olan (an)

geometrik dizisinin ilk dört teriminin toplam kaçt r?

Çözüm

r21= ve a

161

4 = a1.r3 =

161

a1. 21

1613

=c m

a1 = 21 dir.

Sn = a1. rr

11

–– n

S4 = 21

121

121

·–

–4c m

S4 = 21

21

1161

·–

S4 = 1 – 161 =

1615 bulunur.

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

338

ÖRNEK 87

lk n terim toplam Sn = 21 1

31–

nc m= G olan (an) ge-

ometrik dizisinde a7 + a8 kaçt r?

Çözüm

a7 + a8 = S8 – S6

.bulunur

21 1

31

21 1

31

21

21

31

21

21

31

21

31

31 1

21

31

38

34

– – –

– · – ·

· · –

· ·

8 6

8 6

6 2

6 2 8

=

= +

= +

= =

c c

c

m m

m

= =G G

ÖRNEK 88

Bir geometrik dizinin ilk terimi 21 , ortak çarpan 2

ve n. terimi 16 ise bu sonlu dizinin terimleri toplam kaçt r?

Çözüm

a1 = 21 , r = 2 ve an = 16 ise,

a1.rn–1 = 16

21 .2n–1 = 16

2n–1 = 32

n – 1 = 5

n = 6 d r. O halde,

Sn = a1. rr

11

–– n

S6 = 21

1 21 2·

–– 6

= 21

163·

––

= 263 bulunur.

ÖRNEK 89

x3 – 7x2 + 2kx – 8 = 0 denkleminin kökleri bir geomet-rik dizinin ard k üç terimi ise k kaçt r?

Çözüm

Denklemin kökleri bir geometrik dizinin ard k üç

terimi ise x1 , x1.r , x1.r2 eklindedir.

ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminde

x1.x2.x3 = ad– oldu undan;

x1.x1.r.x1.r2 =

18– – (x1.r)

3 = 8

x1.r = 2 olur.

x2 = x1.r = 2 oldu undan, 2 bir kök olup verilen

denklemi sa lar. O halde,

23 – 7.22 + 2k.2 – 8 = 0 8 – 28 + 4k – 8 = 0

k = 7 bulunur.

ÖRNEK 90

(an) = (2.3n) geometrik dizisinin ilk n teriminin çar-p m neye e ittir?

Çözüm

ra

an

n 1= + .

.r2 3

2 3n

n 1=

+ r = 3 tür.

a1 = 2.31 = 6 d r. O halde,

a1.a2.a3 ..... an = a1.(a1.r).(a1.r2).....(a1.r

n–1)

= (a1)n.r.r2.....rn–1

= (a1)n.r1+2+.....+(n–1)

= (a1)n. r

.n n21 –^ h

= 6n. 3.n n

21–^ h

bulunur.

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

339

ÖRNEK 91

Monoton artan bir geometrik dizinin ard k üç terimi-nin çarp m 64 ve bu terimlerinin aritmetik ortalama-

s 314 tür. Buna göre, bu üç terimi bulunuz.

Çözüm

Dizinin ard k üç terimi x, y, z olsun.

x.y.z = 64 ve x y z3 3

14+ += x + y + z = 14

tür. Dizi geometrik oldu undan, y2 = x.z dir.

O halde, x.y.z = 64 y.y2 = 64

y3 = 43

y = 4 tür.

y2 = x.z x.z = 16

x + y + z = 14 x + z = 10 olur.

Dizi artan olaca ndan x = 2 ve z = 8 dir.

Buna göre, bu dizinin ard k üç terimi 2, 4, 8 dir.

ÖRNEK 92

(an) = (x, y, z) dizisinin hem aritmetik hem de ge-ometrik dizi olmas için x, y, z aras nda nas l bir ba nt olmal d r?

Çözüm

(an) = (x, y, z) dizisi;

aritmetik dizi ise y = x z2+

geometrik dizi ise y2 = x.z dir.

O halde, x z2

2+b l = x.z . .x x z z x z4

22 2+ + =

x2 + 2x.z + z2 = 4x.z

x2 – 2x.z + z2 = 0

(x – z)2 = 0

x = z olur.

y x z2

= + y z z2

= + y = z olur.

Bu durumda, x = y = z olmal d r.

(an) = (x, y, z) di zi si nin hem arit me tik hem de ge-omet rik dizi olmas için x = y = z olmal d r.

ÖRNEK 93

(an) = (x+y, 3+y, 2x–y) dizisi hem aritmetik hem de

geometrik bir dizi ise x.y kaçt r?Çözüm Terimleri birbirine e it olmal . O halde, x + y = 3 + y x = 3

3 + y = 2x – y y = 23 oldu undan,

x.y = 323

29· = bulunur.

ÖRNEK 94

a b c olmak üzere,

a, b, c say lar verilen s rayla aritmetik dizi ve

ab, bc, ac say lar verilen s rayla geometrik dizi

olu turmaktad r. Buna göre, geometrik dizinin ortak

çarpan kaçt r?

Çözüm

a, b, c say lar aritmetik dizi olu turuyorsa,a c

2+ = b c = 2b – a ..... I

ab, bc, ac say lar geometrik dizi olu turuyorsa,

(bc)2 = ab.ac b2c2 = a2bc

bc = a2 ..... II

I ve II nin ortak çözümünden,

b(2b – a) = a2 2b2 – ab – a2 = 0

(2b + a)(b – a) = 0

a = –2b veya a = b dir.

a b oldu undan a = –2b dir.

Geometrik dizinin ortak çarpan r olsun.

r = aa

aa

1

2

2

3= r = abbc

bcac=

r = ac

ba=

r = a bc a

++

r = a b

b2+

r = b bb

22

– +

r = –2 bulunur.

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

340

ÖRNEK 95

3600 nüfuslu bir köyün nüfusu y lda ortalama % 2 ar-t yor. Buna göre, 10 y l sonra köyün nüfusu yakla k olarak kaç olur?

Çözüm

Bir y l sonra nüfus % 2 artaca ndan,

3600 + 3600.1002 = 3600.(1,02) olur.

2 y l sonra nüfus yine % 2 artaca ndan,

3600.(1,02) + 3600.(1,02).1002 = 3600.(1,02)2

olur.

Buna göre, 10 y l sonra köyün nüfusu

3600.(1,02)10 = 4388 ki i olur.

3600.(1,02)10 i lemini üslü i lem yapabilen hesap makinesi ile hesaplayabilece iniz gibi a a daki ekilde de hesaplayabiliriz.

y = 3600.(1,02)10 denkleminin logaritmas n al r-sak,

logy = log[3600.(1,02)10 ]

= log3600 + log(1,02)10

= 3,5563 + 10.log(1,02)

= 3,5563 + 10.(0,0086)

= 3,6423 y 4388 olur.

Yukar daki i lemleri logaritma cetveli yard m ile hesaplad k.

ÖRNEK 96

Bugünkü de eri 1500 TL olan paran n % 2.5 ayl k faiz oran ile 6 ay sonundaki de eri kaç TL dir?

Çözüm

Bir ay sonra 100025 faiz i leyece inden

1500 + 1500.100025 = 1500.(1,025) TL olur.

ki ay sonra yine 100025 faiz i leyece inden,

1500.(1,025) + 1500.(1,025).100025 = 1500(1,025)2

TL olur. Bu ekilde 6 ay sonunda paran n de eri

1500.(1,025)6 1740 TL bulunur.

ÖRNEK 97

Yukar daki grafik, bir ailenin 2001–2005 y llar ara-s ndaki y ll k gelirini göstermektedir. Bu ailenin 2001–2005 y llar aras ndaki y ll k geliri, her y l ortalama % 15 artm t r. Buna göre, bu ailenin bu dönemdeki 5 y ll k toplam geliri yakla k kaç TL dir?

Çözüm

2001 y l nda geliri 6000 TL iken 2002 y l nda

% 15 artaca ndan,

6000 + 6000.10015 = 6000(1,15) TL olur.

2003 y l nda ise yine % 15 artaca ndan,

6000.(1,15) + 6000.(1,15).10015 = 6000.(1,15)2 TL

olur. Buna göre, bu y llar aras nda y ll k gelir

G = 6000.(1,15)n–1 TL eklinde modellenebilir.

Bu dönemdeki 5 y ll k toplam gelir, geometrik dizi toplam kullan larak bulunur.

6000.(1,15) 1n

n 1

5–

=/ = 6000.

,,

1 1 151 1 15

–– 5

^^

hh> H

40 454 TL

Buna göre, bu ailenin 2001–2005 y llar aras n-daki toplam geliri yakla k 40 454 TL dir.

341

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. A a da verilenlerden hangileri bir geometrik dizinin genel terimi olabilir?

a. an = 2n + 1 b. an = 5n

c. an = (–2)n d. an = 5.3n+1

2. A a da ilk terimi ve ortak çarpan verilen geo-metrik dizilerin genel terimlerini bulunuz.

a. a1 = 3 , r = 2

b. a1 = v2 , r = v3

c. a1 = 32 , r = 21–

3. A a da iki terimi verilen geometrik dizilerin genel terimini bulunuz.

a. a2 = 8 , a4 = 2

b. a1 = 31 , a6 = 81

c. a8 = 5 , a11 = 5

4. Bir (an) geometrik dizisinde a5 = 3 ve a8 = 24 oldu una göre, a10 kaçt r?

5. 91 , a, b, c, 9, d say lar bir geometrik dizinin ar-

d k alt terimi ise a.b.c.d kaçt r?

6. Bir (an) geometrik dizisinde a7 = 31 ve

a10 = 241 ise ortak çarpan kaçt r?

7. Be inci terimi 2 olan bir geometrik dizinin ilk dokuz teriminin çarp m kaçt r?

8. Genel terimi an = 2.5n+2 olan (an) geometrik dizisinin ortak çarpan kaçt r?

ALIŞTIRMALAR – 3

1. b, c, d 2. a. 3.2n–1 b. v2 . (v3)n–1 c. 32.(–2)1–n 3. a. m25–n b. 3n–2 c. 5 4. 96 5. 27 6. 21 7. 29 8. 5

Diziler

342

ES

EN

YAY

INLA

RI

9. Ortak çarpan 2 ve dördüncü terimi 16 olan bir geometrik dizinin ilk be teriminin toplam kaçt r?

10. Bir (an) geometrik dizisinde a1 = 1 ve a7 = 214 ise a2.a3.a4.a5.a6 çarp m kaçt r?

11. lk n teriminin toplam Sn = 2.(3n – 1) olan (an) geometrik dizisinde a4 + a5 toplam kaçt r?

12. lk n teriminin toplam Sn = 1 – 3–n olan bir geometrik dizinin ortak çarpan kaçt r?

13. Pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk alt teriminin toplam , ilk üç teriminin toplam n n 9 kat ise bu dizinin ortak çarpan kaçt r?

14. a, 5, b sonlu dizisi hem aritmetik hem de geo-metrik dizi ise a2 + b2 kaçt r?

15. a1 = 3 ve n N+ için 3.an = 2.an+1 oldu una göre, (an) dizisinin ilk dört teriminin çarp m kaç-t r?

16. Bir (an) geometrik dizisinde 4.an = an+2 ise

aa

6

14 kaçt r?

17. 10 y l önce y lda 6000 TL ile i e giren bir ki inin ücreti, her y l % 10 artm t r. Bu 10 y l boyunca ald toplam ücret kaç TL dir?

18. Bir bakteri çe idinin nüfusu, uygun bir ortam-da her 30 saniyede bir ikiye katlanmaktad r. Ba lang çta ortamda 10 tane bakteri oldu una göre, 15 dakika sonra ortamda kaç tane bakteri olur?

9. 62 10. 235 11. 432 12. 13

13. 2 14. 50 15. 23

6

10 16. 28 17. 95624 18. 10.230

ES

EN

YAY

INLA

RI

343


1. (an) dizisi için,

an+1 – an = n + 3 ve a1 = 4 ise a20 kaçt r?

2. (an) = (n2 – 7n + 3) dizisinin terimlerinden en

küçük olan kaçt r?

3. ak k 1

1n

k

n

2=

+=^ ^fh h p/ dizisi için

ak+1 , ak n n 2021 kat ise k kaçt r?

4. lk n teriminin toplam Sn = n2 – n + 1 olan dizinin 5. terimi kaçt r?

5. 5 ile 62 aras na aritmetik dizi olu turacak e-kilde 18 terim yerle tiriyor. Yerle tirilen terimler-den ba tan dördüncüsü kaçt r?

6. Bir aritmetik dizinin sekizinci terimi 71, onüçün-cü terimi 96 ise ilk 20 teriminin toplam kaçt r?

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

344

1. 251 2. –9 3. 6 4. 8 5. 17

6. 1670 7. 2y – x 8. 210 – 1 9. 38 10. (6, )

7. Bir geometrik dizinin ilk iki terimi s ras yla x ve 2x, n. terimi y dir. Bu dizinin ilk n teriminin toplam n n x ve y cinsinden de eri nedir?

8. Yedinci terimi 64, üçüncü terimi 4 olan pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk 10 teriminin topla-m kaçt r?

9. (an) = nn k

3 42

++c m

dizisi sabit dizi ise k kaçt r?

10. (an) = nn k

23

++c m

dizisi monoton azalan ise k hangi aral kta de er

al r?

ES

EN

YAY

INLA

RI

345


1. (an) dizisi için,

an+3 = an + 4 ve a1 = 6 ise a25 kaçt r?

2. an

n4

244n =

++^ ch m dizisinin kaç terimi tam say -

d r?

3. an

n n4

8 7–n

2=

++^ ch m dizisinin kaç terimi pozitif

de ildir?

4. Genel terimi an n

1n 2

=+

olan bir dizinin ilk 6

teriminin toplam kaçt r?

5. (an) aritmetik dizisi için

a28 = 4x – 3 , a14 = 6x + 1 ise a21 nedir?

6. lk terimi 2 olan bir aritmetik dizinin ilk 12 teri-minin toplam ile ilk 8 teriminin toplam n n fark 122 dir. Bu dizinin ortak fark kaçt r?

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

346

1. 38 2. 16 3. 7 4. 76 5. 5x – 1

6. 3 7. 10 8. 32 9. Monoton artmayan 10. 45

7. Bir geometrik dizinin ard k üç terimi s ras yla x – 1, x + 2 ve x + 6 ise x kaçt r?

8. x 0 ve y 0 olmak üzere, x + y, 2xy ve xy2 hem aritmetik dizinin, hem

de geometrik bir dizinin ard k üç terimi ise x kaçt r?

9. (an) = ( ) !n 2

4n

+d n

dizisinin monotonluk durumunu inceliyiniz.

10. n > 1 için genel terimi,

an = 1 + 2 + 3 + ... + n olan dizinin bir alt dizisi

(a3n) dir. Buna göre, (a3n) dizisinin üçüncü terimi kaçt r?

ES

EN

YAY

INLA

RI

347

TEST – 1 Genel Terim – Monoton Dizi – Alt Dizi

1. A a dakilerden kaç tanesi bir dizinin genel teri-mi olur?

I. n

n1+

II. v5 III. nn

IV. n 1– V. n5 – VI. sinn°

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

2. Genel terimi a n2

1n = + olan (an) dizisinin ilk

dört teriminin toplam kaçt r?

A) 6 B) 213 C) 7 D)

215 E) 8

3. (22, x) ikilisi (an) = (n2 – 3) dizisinin ard k iki teriminden olu tu una göre x a a dakilerden hangisi olabilir?

A) 32 B) 33 C) 38 D) 46 E) 61

4. log

ak

k

2 1

1

–n

k

nk

n

1

3=+

=

=k

J

L

KKKKK

^ ^^ N

P

OOOOO

h hh%

/ ise a8 kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E641

321

241

161

81

5. A5 = {1, 2, 3, 4, 5} , an: A5 R , (an) = (2n)

sonlu dizisinin terimlerinin toplam kaçt r?

A) 30 B) 24 C) 20 D) 15 E) 10

6. an

ve bn d

n c13

22 1

––n n=

+=

++^ c ^ bh m h l

olmak üzere (an) = (bn) ise c + d kaçt r?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

7. ann

27–

n =+^ ch m dizisinin kaç tane terimi pozitif

de ildir?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

8. an

n2 6n = +^ ch m dizisinin kaç tane terimi tam sa-

y d r?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

348

1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.C 7.C 8.D 9.A 10.A 11.D 12.E 13.D 14.B 15.E 16.D

9. (an) = (n2 – 6n + 6) dizisinin en küçük terimi nedir?

A) –3 B) –2 C) –1 D) 1 E) 2

10. (an) = (n2 – 11n + 15) dizisinin kaç terimi –13 ten

küçüktür?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

11. an n

n1 2 13

2–

–n =

+^ ^ ^dh h h n dizisinin kaç terimi ne-

gatiftir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

12. an kn

42 3

n =++^ ch m dizisinin sabit dizi olmas için k

reel say s kaç olmal d r?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

13. Genel terimi an n3 2

1n 2

=+ +

olan (an) dizisi-

nin ilk 10 teriminin toplam kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E121

41

31

125

21

14. Genel terimi a 10nk

k

n

1=

=% olan (an) dizisinin

15. terimi kaç basamakl bir say d r?

A) 120 B) 121 C) 122 D) 123 E) 124

15. Genel terimi an = 3n.n! olan bir (an) dizisinde,

(n + 1). terim n. terimin kaç kat d r?

A) 3 B) 3n C) 3n + 1D) n + 3 E) 3n + 3

16. A a dakilerden hangisi monoton azalan bir dizi-dir?

A) n2

1+c m B) n2nc m C)

.n

n1

1– n

+^d h n

D) nn

12

++c m E)

nn

21

++c m

ES

EN

YAY

INLA

RI

349

Genel Terim – Monoton Dizi – Alt DiziTEST – 2

1. A a dakilerden hangisi bir dizinin genel terimi-dir?

A) logn(n + 2) B) logn

1 C) n 2008

2007–

D) n 11–

E) n 1–

2. Genel terimi an = ,,,

modmodmod

n nn nn n

3 0 33 1 3

2 33

/

/

/

+^^^

hhh

Z

[

\

]]

]]

olan (an) dizisinde, a2 + a3 + a4 kaçt r?

A) 25 B) 24 C) 23 D) 22 E) 21

3. ann

2 75 3

–n = +^ ch m dizisinin kaç nc terimi 3 tür?

A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25

4. Bir (an) dizisinin n N+ için, an+1 = an + 1 ve a2 = 4 ise a20 kaçt r?

A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26

5. i2 = –1 olmak üzere, genel terimi

a ink

k

n

1=

=/ olan (an) dizisi için a30 kaçt r?

A) –1 B) 0 C) i D) –i E) i – 1

6. Genel terimi loga k 2n kk

n

11

= ++=

^ h% olan (an)

dizisi için a30 kaçt r?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

7. Bir (an) dizisinde a1 = 2 ve an+1 = n + an

oldu una göre, bu dizinin genel terimi a a daki-lerden hangisidir?

A) n + 1 B) 3n – 1 C) n2 – n + 2

D) n n2

4–2 + E) n n2

22 + +

8. ann

3 163

–n = +^ ch m dizisinin kaç terimi negatiftir?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

350

1.E 2.B 3.D 4.C 5.E 6.B 7.D 8.C 9.D 10.D 11.E 12.B 13.D 14.C 15.A 16.B

9. ann2 3

4––

n =^ ch m dizisinin kaç terimi 31 ten kü-

çüktür?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

10. (a2n–1) = nn

3 13 2

––c m olmak üzere,

(an) dizisinin 6. terimi kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E1914

1915

1916

1917

1918

11. Genel terimi an = 2(n+1)! olan dizi için aa

3

4 oran

kaçt r?

A) 212 B) 236 C) 248 D) 292 E) 296

12. (an) = n

n n2

42

++ +c m dizisinin kaç terimi tam say -

d r?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

13. (an) = (–n2 + 8n – 5) dizisinin en büyük terimi kaçt r?

A) 2 B) 7 C) 10 D) 11 E) 12

14. .an

k n2 3

1n =

++^ ch m dizisinin monoton azalan olma-

s için k n n alabilece i en büyük tam say de eri kaçt r?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

15. A a dakilerden hangisi monoton artan bir dizi-dir?

A) nn

32

++c m B)

nn

23

++c m C) ((– 1)n.n)

D) (n2 – 3n + 2) E) n2nc m

16. Bir (an) dizisinde n yerine a a daki ifadelerden hangisi yaz l rsa (an) dizisinin bir alt dizisi elde edilir?

A) 2n – 5 B) n! C) n2 + 21

D) !n2

1+ E) 1 – n

ES

EN

YAY

INLA

RI

351

Genel Terim – Monoton Dizi – Alt DiziTEST – 3

1. (an) = kk

n2

1=d n/ ve (bn) = k2

k

n

1=d n/ ise

ba

n

nc m dizisinin genel terimi a a dakilerden han-

gisidir?

A) n

n6

2 1+ B) nn

12 1

++ C) n

22 1+

D) n3

2 1+ E) n6

2 1+

2. an

n ve bn

n3 2 4– –n n= =^ c ^ ch m h m

oldu una göre, (2an – bn) dizisi a a dakilerden hangisine e ittir?

A) n

n5 8–c m B) (n) C) n8c m

D) (5) E) (1)

3. (an) = (n2 – 11n + 18) dizisinin kaç terimi negatif-

tir?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

4. an

n n1

8– –n

2=

+^ ch m dizisinin kaç terimi tam say -

d r?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

5. an2 3

1–

–n

n

=^ ^dh h n oldu una göre,

(a2n+1) alt dizisinin 3. terimi kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E31

91

111

111

31– – –

6. Genel terimi a 2nk

k

n

1

–==/ olan (an) dizisinin

5. terimi kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E87

1615

3231

6463

128127

7. A a dakilerden hangisi sabit dizi de ildir?

A) (5!) B) ((–1)2n–1)

C) ((–1)n + (–1)n+1) D) (cos2n )

E) ((–1)n)

8. Genel terimi ann

2 72

–n = + olan dizinin alabilece i

en küçük de er kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E54

53

34 5 6– – – – –

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

352

1.E 2.D 3.E 4.A 5.C 6.C 7.E 8.D 9.A 10.B 11.A 12.D 13.E 14.C 15.C 16.B

9. an cn

23 1–

n =+^ ch m dizisi sabit dizi oldu una göre,

c kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E32

31

23

25

35– – – – –

10. an cn

3 42 1

n =++^ ch m dizisi monoton artan oldu una

göre, c reel say s hangi aral kta de er al r?

A) ,343c m B) ,

833c m C) ,

83

34c m

D) (0, 1) E) (1, )

11. (an) = (1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, ..., 1 + 2 + 3 + ... + n, ...)

dizisinin ilk 10 teriminin toplam kaçt r?

A) 220 B) 210 C) 200 D) 190 E) 180

12. Bir (an) dizisinde a1 = 1 ve n > 1 için

an–1 = n.an ise a7 kaçt r?

) ) )!

)!

)!

A B C D E61

72

72

71

61

13. a knk

n

1=

=^ dh n/ dizisinin ilk üç teriminin toplam

kaçt r?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

14. Genel terimi ak k5 6

1n

k

n

21

=+ +=

/

olan (an) dizisinin onuncu terimi kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E278

367

3910

449

458

15. ann k

2 5n =++^ ch m dizisinin monoton artan olmas

için k n n alabilece i kaç farkl do al say de eri vard r?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

16. (a2n+1) = nn

4 32 2

++c m olmak üzere,

(an+2) dizisinin 4. terimi kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E1910

137

139

95

53

ES

EN

YAY

INLA

RI

353

Aritmetik DiziTEST – 4

1. A a dakilerden hangisi bir aritmetik dizinin genel terimi olabilir?

A) n2 B) 2n C) n1

D) 2n – 3 E) (–1)n


dizinin kaç nc terimi 47 dir?

A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23

3. (an) aritmetik bir dizi olmak üzere, a5 = 13 ve a15 = 33 ise a2 kaçt r?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

4. 2 ile 15 aras na 12 tane say yerle tirilmi tir. Bu 14 tane say ilk terimi 2 olan bir aritmetik dizinin ard k terimleridir.

Olu an bu dizinin 8. terimi kaçt r?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

5. Genel terimi a n3

2 10n = + olan bir aritmetik dizi-

nin ilk alt teriminin toplam kaçt r?

A) 36 B) 34 C) 32 D) 30 E) 28

6. 2, a, b, 4 say lar sonlu bir aritmetik dizinin ard -k terimleri oldu una göre, a + b kaçt r?

A) 3 B) 4 C) 29 D) 5 E) 6


dizinin genel terimi a a dakilerden hangisidir?

A) n3

8+ B) n3

2 9+ C) n3

2 7+

D) 2n + 1 E) n2

5+

8. lk terimi 2 ve son terimi 15 olan bir sonlu arit-metik dizinin terimleri toplam 51 oldu una göre, bu dizinin terim say s kaçt r?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

354

1.D 2.A 3.A 4.C 5.B 6.E 7.C 8.B 9.C 10.D 11.B 12.B 13.C 14.E 15.C 16.C

9. (an) aritmetik dizisinde,

a10 + a11 + a12 + a13 + a14 = 30 ise

a6 + a18 toplam kaça e ittir?

A) 6 B) 10 C) 12 D) 15 E) 18

10. Bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplam

Sn = n2 – 3n ise dizinin 6. terimi kaçt r?

A) 16 B) 12 C) 10 D) 8 E) 6

11. Ortak fark ve ilk terimi birbirine e it olan bir arit-metik dizinin ilk 6 teriminin çarp m 36.6! ise, bu dizinin 7. terimi kaçt r?

A) 18 B) 21 C) 24 D) 27 E) 30

12. (an) aritmetik dizisinde a2x + a2y = 6 oldu una

göre, ax+y kaça e ittir?

A) 2 B) 3 C) 6 D) 8 E) 12

13. Bir üçgenin aç lar n n ölçüleri, bir aritmetik dizinin ard k üç terimidir. Bu üçgenin en küçük aç s n n ölçüsü 20° ise en büyük aç s n n ölçüsü kaç derecedir?

A) 80 B) 90 C) 100 D) 110 E) 120

14. lk n terim toplam Sn = n2 + 4n olan (an) aritmetik dizisinin genel terimi a a dakilerden hangisidir?

A) 2n – 1 B) 2n C) 2n + 1D) 2n + 2 E) 2n + 3

15. x3 – 3x2 – 6x + d = 0 denkleminin kökleri bir arit-metik dizi olu turuyorsa d kaçt r?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

16. (an) bir aritmetik dizi ve

2.ar+2 = a2 + a3r–1 ise r kaçt r?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

ES

EN

YAY

INLA

RI

355

Geometrik DiziTEST – 5

1. A a dakilerden kaç tanesi bir geometrik dizinin genel terimi olabilir?

I. 5n II. e2n III. n1

IV. 2n V. 2n–1 VI. n!

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. Bir (an) pozitif terimli geometrik dizisinde, a2 = 2 ve a6 = 32 ise a5 kaçt r?

A) 30 B) 24 C) 16 D) 12 E) 8

3. Bir (an) geometrik dizisinde,

a2 = 4 ve a4 = 916 ise ortak çarpan kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E41

31

21

32

43

4. (an) geometrik bir dizi olmak üzere,

a21

6 = ve a161

9 = ise a3 kaçt r?

A) 8 B) 4 C) 2 D) 41 E)

81

5. Dördüncü terimi 4 , alt nc terimi 8 olan geomet-rik dizinin be inci terimi kaçt r?

A) 32 B) 16 C) 4v2D) 2v2 E) v2

6. Ortak çarpan 2 olan bir geometrik dizinin n. te-riminin ikinci terimine oran 256 oldu una göre, n kaçt r?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

7. v3 ve c12 say lar n n aras na a a daki sa-y lardan hangisi konulursa, geometrik bir dizi meydana gelir?

A) 2 B) v5 C) v6 D) v7 E) v8

8. 81 , x, y, z, 2 be terimden olu an sonlu bir geo-

metrik dizi ise x.y.z çarp m kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E81

41

83

21

85

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

356

1.C 2.C 3.D 4.B 5.C 6.E 7.C 8.A 9.E 10.E 11.B 12.E 13.A 14.B 15.C 16.B

9. Bir (an) geometrik dizisinde a1 = 1 ve a4 = 27

ise bu dizinin ilk be teriminin toplam kaçt r?

A) 117 B) 118 C) 119 D) 120 E) 121

10. lk üç terimi a + 2 , 5 , b – 1 olan sonlu dizi hem aritmetik hem de geometrik dizi oldu una göre,

b – a kaçt r?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

11. (an) pozitif terimli bir geometrik dizi olmak üzere,

a2r = .a ar r4 2– ise r kaçt r?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

12. 3x3 – 26x2 + cx – 24 = 0 denkleminin kökleri bir geometrik dizi olu turuyorsa c kaçt r?

A) 20 B) 36 C) 42 D) 48 E) 52

13. Bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplam

S 42

3 2· –n n

n n= ise bu dizinin dördüncü terimi

kaçt r?

A) 427 B) 7 C)

429 D)

215 E) 8

14. Bir geometrik dizinin ilk 6 teriminin çarp m , ilk 3 teriminin çarp m n n 64 kat ise bu geometrik dizinin 5. terimi kaçt r?

A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32

15. Pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk 4 teriminin toplam , ilk 2 teriminin toplam n n 17 kat ol-du una göre, bu geometrik dizinin ortak çarpan kaçt r?

A) 16 B) 8 C) 4 D) 2 E) 1

16. Pozitif terimli bir geometrik dizide, a2 = 3 ve a5 = 81 ise, bu dizinin genel terimi a a dakiler-

den hangisidir?

A) 3n–2 B) 3n–1 C) 3n D) 3n+1 E) 3n+2

357

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. 1981 – ÖYS

Dördüncü terimi 1, yedinci terimi 81 olan bir geo-

metrik dizinin, yirminci terimi kaç olur?

A) 2115

B) 2116

C)2117

D) 2119

E) 2120

2. 1982 – ÖYS Bir geometrik dizinin ilk terimi a, ortak çarpan 2, n inci terimi b dir. Bu dizinin, ilk n terim toplam n n a ve b ye ba l

olarak ifadesi a a dakilerden hangisidir?

A) b – 2a B) b + a – 1 C) b – a + 1D) b – a E) 2b – a

3. 1984 – ÖYS N+ da tan ml , genel terimi an = 5n.(n!) olan bir dizide an , an–1 in kaç kat -

d r?

A) n + 5 B) n – 5 C) n5

2 1+

D) 5n E) 5(n – 1)

4. 1986 – ÖYS x3 + ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri bir

aritmetik dizi oldu una göre ortanca kökün de eri a a dakilerden hangisidir?

A) a b2– B) a

3– C) b

3–

D) a b2+ E) a b c

2+ +

5. 1987 – ÖYS a0 = 1 , an =

n1 .an–1 ve n N

n 1 oldu una göre a6 kaçt r?

A) !6

1 B) !5

1 C) 5!.6!

D) 5! E) 6!

6. 1988 – ÖYS D bükey bir dörtgende, aç lar bir aritmetik dizi-

nin ard k dört terimidir. En küçük aç 30° oldu-una göre, en büyü ü kaç derecedir?

A) 160 B) 155 C) 150 D) 145 E) 140

7. 1989 – ÖYS Bir dizinin genel terimi,

an

n8 –n = .an–1 dir. a1 = 1 oldu una göre,

a6 kaçt r?

)!

)!

) )!

) 1A B C D E51

56

61

65

8. 1990 – ÖYS Bir aritmetik dizinin 8. terimi a oldu una göre, 2. ve 14. terimleri toplam nedir?

A) 3a B) 2a C) a D) a2

E) a3


Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

358

9. 1991 – ÖYS Bir geometrik dizinin ilk terimi

23 , ikinci terimi

3 oldu una göre, alt nc terimi kaçt r?

A) 28 B) 30 C) 32 D) 39 E) 48

10. 1992 – ÖYS Bir geometrik dizinin ard k üç terimi s ras yla x – 2 , x + 1 , x + 5 oldu una göre, x kaçt r?

A) –11 B) –10 C) 2 D) 10 E) 11

11. 1993 – ÖYS Bir geometrik dizinin ilk alt teriminin toplam n n, ilk üç teriminin toplam na oran 2 2 dir. Bu dizinin r ortak oran kaçt r?

A) .2 23 B) 2v2 C) 2v2 – 1

D) 2 23 E) 2 2 1–3

12. 1994 – ÖYS Genel terimi

.

an n1 3

2n =

+ +^ ^h h , n N+ olan dizinin

ilk 7 teriminin toplam kaçt r?

A) 4528 B)

1813 C)

41 D)

65 E) 0

13. 1994 – ÖYS Ya lar toplam 48 olan 6 karde in ya lar bir

aritmetik dizi olu turmaktad r. En küçük karde 3 ya nda oldu una göre, en

büyük karde in ya kaçt r?

A) 9 B) 13 C) 14 D) 15 E) 17

14. 1996 – ÖYS n = 1, 2, 3, .... olmak üzere ilk n teriminin toplam

Sn = n2 + 1 olan bir dizinin 7. terimi kaçt r?

A) 30 B) 24 C) 22 D) 16 E) 13

15. 1998 – ÖYS Bir geometrik dizinin ilk üç terimi (a – 3) , (2a – 3) ve (4a + 3) tür. Buna göre, bu dizinin be inci terimi kaçt r?

A) 45 B) 54 C) 63 D) 81 E) 243

16. 2009 – ÖSS 2 ve 162 aras na uygun olan 3 tam say yerle ti-

rilerek 5 say dan olu an bir geometrik dizi olu tu-ruluyor. Bu üç say n n toplam kaçt r?

A) 78 B) 80 C) 82 D) 86 E) 90

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

359

17. 2010 – LYS {an} ve {bn} dizileri a a daki biçimde tan mla-

n yor.

an = , ( ), ( ), ( )

modmodmod

n isen ise

n n isen0 0 3

1 32 3–

/

/

/

Z

[

\

]]

]]

bn = akk

n

0=/

Buna göre, b4 kaçt r?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 2 E) 3

18. 2011 – LYS (ak) dizisi

a1 = 40

ak+1 = ak – k (k = 1, 2, 3, ...)

biçiminde tan mlan yor.

Buna göre, a8 terimi nedir?

A) 4 B) 7 C) 12 D) 15 E) 19

19. 2012 – LYS

(an) dizisi

an = 2 1, 0 ( 2)

2 1, ( 2)

mod

mod

n

n 1–

n

n

/

/

+* biçiminde tan mlan yor.

Buna göre, .a a

a a

4–

–

8 6

9 7 ifadesinin de eri kaçt r?

A) –28 B) –27 C) –26

D) 1 – 25 E) 1 – 24

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

360

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. a4 = 1 , a7 = 81 ve ortak kat r olsun.

Geometrik dizinin genel terimi

an = a1.rn–1 oldu undan

a4 = a1.r3 ve a7 = a1.r

6 olur.

..

aa

a ra r

7

4

16

13

= r

811 1

3= r

21= dir.

a4 = a1.r3 1 = a1. 8

1 a1 = 8 dir.

a20 = a1.r19 = .8

21 19c m = 2

21·319

= 2116

bulunur.

Do ru Seçenek B

2. a1 = a , r = 2 ve an = b verilmi .

an = a1.rn–1 b = a.2n–1

.b a22n

=

a.2n = 2b dir.

Geometrik dizinin ilk n terim toplam ,

Sn = a1. rr

11

–– n

Sn = a1 21 2·

–– n

= a.(2n – 1)

= a.2n – a

= 2b – a olur.Do ru Seçenek E

3. an = 5n.(n!) ve an–1 = 5n–1.(n – 1)! ise

. !

. !. !

. !.a

ann

n

n n

n n

5 15

5 5 1

5 1

55

– –

–

n

nn

n

n

n

1 1 1

1

– – –

–

= =

= =

^ ^^

h hh

oldu undan an , an–1 in 5n kat d r.Do ru Seçenek D

4. x3 + ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri

x1 , x2 , x3 olsun.

x1 + x2 + x3 a a1

– –= = d r.

x1 , x2 , x3 aritmetik dizi ise

x x x22

1 3= + x1 + x3 = 2x2 dir.

x1 +x2 + x3 = a 3x2 = a

ax2 =

32x2

Do ru Seçenek B

5. a0 = 1 ve .an

a1n n 1–= olmak üzere,

n = 1 a1 = 1.a0 = 1

n = 2 a2 = 21 .a1 =

21

n = 3 a3 = 31 .a2 =

!31

21

31· =

n = 4 a4 = 41 .a3 =

! !41

31

41· =

n = 5 a5 = 51 .a4 =

! !51

41

51· =

n = 6 a6 = 61 .a5 =

! !61

51

61· =

Do ru Seçenek A

6. Dörtgenin iç aç lar n n toplam 360° dir.

a1 = 30°

a2 = a1 + r = 30° + r

a3 = a1 + 2r = 30° + 2r

a4 = a1 + 3r = 30° + 3r oldu undan,

a1 + a2 + a3 + a4 = 360°

30° + 30° + r + 30° + 2r + 30° + 3r = 360°

120° + 6r = 360° r = 40° bulunur.

En büyük aç a4 = 30° + 3r = 30° + 3.40°

= 150° olur.Do ru Seçenek C

ÇÖZÜMLER

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

361

7. a1 = 1 ve an = n

n8 – .an–1 olmak üzere,

n = 2 a2 = 2

8 2– .a1 = 3.1 = 3

n = 3 a3 = 3

8 3– .a2 = 35 .3 = 5

n = 4 a4 = 4

8 4– .a3 = 1.5 = 5

n = 5 a5 = 5

8 5– .a4 = 53 .5 = 3

n = 6 a6 = 6

8 6– .a5 = 62 .3 = 1

Do ru Seçenek E

8. Bir aritmetik dizide a8 = a ise

a2 + a14 toplam isteniyor.

2

2 14 8+ = oldu undan a a a2

2 148

+ = dir.

O halde, a2 + a14 = 2a8 = 2a bulunur.Do ru Seçenek B

9. a1 = 23 , a2 = 3 ve ortak kat r ise

a2 = a1.r 3 = 23 .r r = 2 dir.

a6 = a1.r5 a6 =

23 .25 =

23 .32 = 48 bulunur.

Do ru Seçenek E

10. Bir geometrik dizinin a, b, c ard k üç terimi için

b2 = a.c oldu undan,

(x + 1)2 = (x – 2).(x + 5)

x2 + 2x + 1 = x2 + 5x – 2x – 10

2x + 1 = 3x – 10 x = 11 bulunur.Do ru Seçenek E

11. Bir geometrik dizide ilk n terim toplam ,

oldu�undan·S arr

SS

arr

arr

rr r

11

1111

11 1

––

·––

·––

––

nn

1

3

6

1

16

3

63

3

=

= = = +

SS 2 2

3

6 = 1 + r3 = 2v2 r3 = 2v2 – 1

r 2 2 1–3= Do ru Seçenek E

12. .

an n1 3

2n =

+ +^ ^h h ifadesini basit kesirlerine

ay ral m.

.n n n

An

B1 3

21 3+ +

=+

++^ ^h h

2 = A(n + 3) + B(n + 1)

n = –3 için, B = –1

n = –1 için A = 1 bulunur. O halde,

.

an n n n1 3

21

13

1–n =+ +

=+ +^ ^h h olur.

Bu dizinin ilk 7 teriminin toplam ,

Sn n1

13

1–n

71

7=

+ +=c m/

= n n1

13

1–nn 1

7

1

7

+ +==//

= 21

31

41

81

41

51

81

91

101… – …+ + + + + + + + +c m

= 21

31

91

101– –+ =

4528 bulunur.

Do ru Seçenek A

Diziler

ES

EN

YAY

INLA

RI

362

13. 6 karde in ya lar toplam 48 ve en küçük karde 3 ya nda ise

S6 = 48 ve a1 = 3 tür.

Sn = n2

(a1 + an) S6 = 26 (a1 + a6)

48 = 3.(3 + a6)

48 = 9 + 3a6

a6 = 13Do ru Seçenek B

14. Sn = n2 + 1 a7 = S7 – S6

a7 = 72 + 1 – (62 + 1)

a7 = 50 – 37

a7 = 13 bulunur.

Do ru Seçenek E

15. a1 = a – 3 , a2 = 2a – 3 , a3 = 4a + 3

a22 = a1.a3 (2a – 3)2 = (a – 3)(4a + 3)

4a2 – 12a + 9 = 4a2 + 3a – 12a – 9

–12a + 9 = –9a – 9

a = 6 d r.

a1 = a – 3 = 6 – 3 = 3

a2 = 2a – 3 = 2.6 – 3 = 9

a2 = a1.r 9 = 3.r r = 3 tür.

O halde, a5 = a1.r4 a5 = 3.34

a5 = 243 bulunur.

Do ru Seçenek E

16. 2, a2, a3, a4, 162 a1 a5

a5 = a1.r4 162 = 2.r4 r = 3

a2 = a1.r = 2.3 = 6

a3 = a1.r2 = 2.32 = 18

a4 = a1.r3 = 2.33 = 54

O halde, a2 + a3 + a4 = 6 + 18 + 54 = 78 dir.Do ru Seçenek A

17. b4 = akk

n

0=/ = a0

+ a1 + a2 + a3 + a4

= 0 + 1 + (–2) + 0 + 4


18. a1 = 40 , ak+1 = ak – k

k = 1 a2 = a1 – 1 k = 2 a3 = a2 – 2 k = 3 a4 = a3 – 3 . . . k = 7 a8 = a7 – 7 + ––––––––––––––––– a8 = a1 – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)

a8 = 40 – .2

7 8 = 12 bulunur.

Do ru Seçenek C

19. . . ( )

( )a a

a a

4 2 1 4 2 1

2 1 2 1–

–

–

– – –

8 6

9 78 6

9 7

=+ +

2 1 2

2 1 2 1

4–

– –

–8

9 7

8=

+

+

2 23––9 7

= = ( )2 2 12

3––

–7 2

7=

Do ru Seçenek B

MATR S, DETERM NANT ve DORUSALDENKLEM S STEMLER


Matrisler

1. Kazan m : Matrisi örneklerle aç klar, verilen bir matrisin türünü belirtir ve istenilen sat r , sütunu ve eleman gösterir.

2. Kazan m : Kare matrisi, s f r matrisini, birim matrisi, kö egen matrisi, alt üçgen matrisi ve üst üçgen matrisi aç klar, iki matrisin e itli ini ifade eder.

3. Kazan m : Matrislerde toplama i lemini yapar, bir matrisin toplama i lemine göre tersini belirtir, top-lama i leminin özelliklerini gösterir ve iki matrisin fark n bulur.

4. Kazan m : Bir matrisi bir gerçek say ile çarpma i lemini yapar ve özelliklerini gösterir.

5. Kazan m : Matrislerde çarpma i lemini yapar ve çarpma i leminin özelliklerini gösterir.

6. Kazan m : Bir matrisin çarpma i lemine göre tersini bulur ve matrislerin tersini bulma i leminin özel-liklerini gösterir.

7. Kazan m : Bir matrisin devri ini (transpozunu) bulur ve özelliklerini gösterir.

Do rusal Denklem Sistemleri

1. Kazan m : Do rusal (lineer) denklem sistemini aç klar ve do rusal denklem sisteminin çözümünü temel (elementer) sat r i lemleri yaparak bulur.

2. Kazan m : Do rusal denklem sistemlerini matrislerle gösterir ve matris gösterimi A.X = B olan do rusal denklem sisteminin çözümünü (A | B) geni letilmi matrisi üzerinde temel sat r i lemleri uygulayarak bulur.

Determinantlar

1. Kazan m : Minör ve kofaktör kavram n aç klar 1 x 1 , 2 x 2 ve 3 x 3 türündeki matrislerin deter-minant n hesaplar ve determinant n özelliklerini belirtir.

2. Kazan m : Sarrus yöntemini kullanarak 3 x 3 türündeki matrislerin determinant n hesaplar.

3. Kazan m : Ek (adjoint) matrisi aç klar, 2 x 2 ve 3 x 3 türündeki matrislerin tersini ek matris yard -m yla bulur.

Do rusal Denklem Sistemleri

1. Kazan m : Matris gösterimi A.X = B olan do rusal denklem sisteminin çözümünü X = A–1.B yön-temi ile bulur.

2. Kazan m : Do rusal denklem sisteminin çözümünü Cramer kural n kullanarak bulur.

364

m, n N+ için i = 1, 2, 3, ... m ve j = 1, 2, 3, ..., n olmak üzere, aij reel say lar ndan olu an

A

aa

a

aa

a

aa

a

aa

am m m

n

n

mn

11

21

1

12

22

2

13

23

3

1

2

h h h

g

g

g

=

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

tablosuna m x n biçiminde bir matris denir. m sat rl ve n sütunlu bir A matrisi Amxn veya A = [aij ]mxn biçiminde gösterilir. aij eleman , matrisin i. sat r ve j. sütunun kesim noktas ndaki eleman d r.

MATR S, DETERM NANT veDO RUSAL DENKLEM S STEMLER

Üç ayr ma azada bulunan A, B, C marka televizyonlar n markalar ve miktarlar a a daki tablo ile verilmi tir.

Marka

A(adet)

8

6

4

B(adet)

7

5

3

C(adet)

9

10

12

Ma¤

aza I

II

III

Ma azalarda bulunan televizyonlar n miktarlar n belir-lemek için tabloda bulunan say lar n yerlerini de i tir-meden a a daki gibi dikdörtgensel eklin içine yerle -tirelim.

T = 864

753

91012

R

T

SSSS

V

X

WWWW

Bu tablodan yararlanarak a a daki ifadeleri inceleyiniz.

I. ma azada 8 tane A marka televizyon vard r. Bu durumu k saca T11 = 8 biçiminde gösterebiliriz.

II. ma azada kaç tane C marka televizyon vard r? Bu sorunun cevab 10 olup T23 = 10 olarak gösterilir.

III. ma azada kaç tane B marka televizyon vard r? Bu sorunun cevab 3 olup T32 = 3 biçiminde gösterilir.

1. sütunda bulunan say lar n A marka televizyonlar n say lar oldu una dikkat ediniz.

2. sat rdaki say lar n, II. ma azadaki televizyonlar n say lar n gösterdi ini fark ettiniz mi?

2. sütundaki say lar n, B marka televizyonlar n say lar oldu una dikkat ediniz.

MATR S

Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri

ES

EN

YAY

INLA

RI

365

ÖRNEK 1

A = 2

2

1

2

0

31–

> H matrisi için

a12 , a21 , a23 elemanlar n bulunuz.

Çözüm

a12 eleman , A matrisinin 1. sat r ve 2. sütu-

nundaki 1 eleman d r. O halde , a12 = 1 dir.

a21 eleman , A matrisinin 2. sat r ve 1. sütun-

daki v2 eleman d r. O halde , a21 = v2 dir.

a23 eleman , A matrisinin 2. sat r ve 3. sütun-

daki 31 eleman d r. O halde , a23 =

31 tür.

ÖRNEK 2

A = 103

234

–

R

T

SSSS

V

X

WWWW matrisi için

3a12 – 2a22 + a231


Çözüm

a12 = 2 , a22 = –3 , a31

= v3 oldu undan

3a12 – 2a22 + a231

= 3.2 – 2.(–3) + (v3)2

= 15 bulunur.

Kare Matris

Sat r say s sütun say s na e it olan matrislere kare

matris denir. nxn türündeki [aij]nxn matrisi n. s ra-

dan (n. basamaktan) kare matristir.

��

�� 0-�6�� 0-�6��

*�

matrisi bir kare matristir.

a11 , a22 , ..., ann elemanlar n n olu turdu u kö ege-

ne 1. kö egen veya asal kö egen denir.

an1 , a(n–1)2 , ..., a1n elemanlar n n olu turdu u kö e-

gene 2. kö egen veya yedek kö egen denir.

ÖRNEK 3

A = 13

25

= G matrisi 2x2 türünde bir kare matristir.

B = 025

111

342–

R

T

SSSS

V

X

WWWW matrisi 3x3 türünde bir kare matristir.

S f r Matris

Bütün elemanlar s f r olan matrislere s f r matris denir.

, ,00

00

00

00

00

000

000

R

T

SSSS

= =V

X

WWWW

G G

matrisleri birer s f r matristir.

Birim Matris

Asal kö egenindeki elemanlar 1, di er elemanlar 0 olan kare matrislere birim matris denir. Birim matrisle-ri I sembolü ile gösterece iz.

I2x2 = 10

01

= G , I3x3 = 100

010

001

R

T

SSSS

V

X

WWWW

matrisleri birer birim matristir.

Alt Üçgen Matris

Asal kö egenin üstünde kalan bütün elemanlar s f r olan kare matrislere alt üçgen matris denir.

,14

03

134

026

005

R

T

SSSS

=V

X

WWWW

Gmatrisleri, alt üçgen matrislerdir.

Üst Üçgen Matris

Asal kö egenin alt nda kalan bütün elemanlar s f r olan kare matrislere üst üçgen matris denir.

,20

57

200

430

156

R

T

SSSS

=V

X

WWWW

G

matrisleri, üst üçgen matrislerdir.


ES

EN

YAY

INLA

RI

366

ki Matrisin E itli i

m x n türündeki A ve B matrislerinde i, j için

aij = bij ise A = [aij]mxn , B = [bij]mxn matrisine e ittir

denir ve A = B biçiminde gösterilir.

ÖRNEK 4

A = b

a22

45–

= G ve B = cd

26

12

––

= Gmatrisleri e it ise a + b + c + d de erini bulunuz.

Çözüm

A ve B matrislerinin kar l kl elemanlar ince-

lendi inde

a = –1 , 4 = c , b = 6 ve 5 = d oldu u görülür.

Bu durumda

a + b + c + d = –1 + 6 + 4 + 5

= 14 bulunur.

ÖRNEK 5

log

A

x

y

2

1

5

1

3

–

z

2

= +

R

T

SSSS

V

X

WWWW ve B

2

1

5

3

0

91

–

=

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

olmak üzere A = B ise x + y + z ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

ki matrisin e itli inden,

log2x = 3 x = 23 x = 8

|y + 1| = 0 y + 1 = 0 y = –1

3z = 91 3z = 3–2 z = –2

olaca ndan,

x + y + z = 8 – 1 – 2 = 5 bulunur.

Matrislerde Toplama

Beyaz e ya satan üç ma azadaki buzdolab , f r n ve çama r makinesi miktarlar a a daki tablo ile veril-mi tir.

I

II

III

6

8

10

Buzdolab›(adet)

Ma¤

aza

5

4

3

F›r›n(adet)

7

9

2

Çama ›rmakinesi

(adet)

Beyaz E ya

Bu üç ma azan n yeni sipari etti i beyaz e ya mik-tarlar da a a daki tablo ile belirtilmi tir.

I

II

III

2

1

7

Buzdolab›(adet)

Ma¤

aza

3

0

6

F›r›n(adet)

4

5

8

Çama ›rmakinesi

(adet)

Beyaz E ya

Bu iki tabloyu matris biçiminde yazal m.

,A B68

10

543

792

217

306

458

= =

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW

Sipari ler al nd ktan sonra her ma azada bulunan beyaz e ya miktar n gösteren matris A ve B mat-rislerinin toplam olaca ndan

A B6 28 1

10 7

5 34 03 6

7 49 52 8

89

17

849

111410

+ =+++

+++

+++

=

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW d r.

O halde, türleri ayn olan iki matrisi toplarken kar l kl elemanlar birbirleriyle toplan r.

Aac

bd

= = G matrisinin toplama i lemine göre tersi

Aac

bd

–––

––

= = G matrisidir.


ES

EN

YAY

INLA

RI

367

ÖRNEK 6

,A B ve C14

23

51

64

21

03–

= = == = =G G G olmak üzere,

a. A + B ve B + A matrislerini bulup sonuçlar kar-la t ral m.

b. A + (B + C) ve (A + B) + C matrislerini bulup sonuçlar kar la t ral m.

c. A + 0 ve 0 + A matrislerini bulal m.

d. A + (– A) matrislerini bulal m.

Çözüm

a. A B14

23

51

64

1 54 1

2 63 4– –

+ = + =+ +

+= = =G G G

63

87

= = G

B A

51

64

14

23

5 11 4

6 24 3

63

87

– –+ = + =

++

++

=

= = ==

G G GG

olaca ndan, A + B = B + A d r. Yani matrislerde toplama i leminin de i me özelli i vard r.

b. B C51

64

21

03

5 21 1

6 04 3– –

+ = + =++

++

= = =G G G

70

67

= = G

A B C14

23

70

67

1 74 0

2 63 7

+ + = + =++

++

^ h = = =G G G

84

810

= = G a. kk nda A B

63

87

+ = = G oldu unu bulmu tuk.

A B C

63

87

21

03

6 23 1

8 07 3

84

810

+ + = + =++

++

=

^ h = = ==

G G GG

bulunur. O halde,

A + (B + C) = (A + B) + C dir.

Yani, matrislerde toplama i leminin birle me

özelli i vard r.

c.

A

A

014

23

00

00

14

23

000

00

14

23

14

23

+ = + =

+ = + =

= = =

= = =

G G G

G G G

oldu undan, A + 0 = 0 + A = A bulunur.

O halde, matrislerde toplama i leminin etkisiz

(birim) eleman 0 matrisidir.

d. A14

23

–––

––

= = G oldu undan,

.A A olur14

23

14

23

00

00

–––

––

+ = + =^ h = = =G G G

O halde, A + (– A) = (– A) + A = 0 d r.

A = [aij]mxn , B = [bij]mxn , C = [Cij]mxn ve

0 = [0ij]mxn matrisleri için

A + B = B + A

A + (B + C) = (A + B) + C

A + 0 = 0 + A = A

A + (– A) = (– A) + A = 0 d r.

ÖRNEK 7

xIn y1

22

35

2 53

42

53

35

19

– –z+ == > =G H G

oldu una göre x , y ve z de erlerini bulunuz.

Çözüm

E itli in sol taraf ndaki iki matrisin toplam n bulup, sa taraf ndaki matrise e itleyelim.

x

Iny2

12 52 3

3 45 2

53

35

19

– –z

++

++

++

=> =H G

x

Iny2

135

15 2

53

35

19z

++ +

=> =H G ki matrisin e itli inden

x + 2 = 5 x = 3

1 + lny = 3 lny = 2 y = e2

5 + 2z = 9 2z = 4 z = 2 bulunur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

368

ÖRNEK 8

A ve B24

11

32

40

23

51–

––

= == =G Gmatrisleri için A – B matrisini bulunuz.

Çözüm

.

A B

bulunur

24

11

32

40

23

51

24

11

32

40

23

51

2 44 0

1 21 3

3 52 1

24

34

23

––

––

–

––

––

–– –

–

––

–

=

= +

=+

++

=

= =

= =

=

=

G G

G G

G

G

Bir Matrisin Bir Gerçel Say ile Çarp m

A14

23

= = G matrisi için

.

...

.

A A A

olur

214

23

14

23

1 14 4

2 23 3

2 12 4

2 22 3

+ = + =++

++

=

= = = =

=

G G G

G

2A ile A matrislerini kar la t rd m zda A matrisi-nin her eleman n n 2 ile çarp ld n fark ettiniz mi? Bu durumda,

k R ve A = [aij]mxn ise k.A = [k.aij]mxn olur.

ÖRNEK 9

A ve B21

13

41

50–

= == =G G olmak üzere,

a. 3.(A + B) ve 3.A + 3.B matrislerini bulup sonuç-lar kar la t ral m.

b. 2A + 3A ve (2 + 3)A matrislerini bulup sonuçlar kar la t ral m.

c. (2.3).A ve 2.(3.A) matrislerini bulup sonuçlar kar la t ral m.

Çözüm

a.

3. 3.

.

...

.

A B

A B

olur

21

13

41

50

60

63

60

63

3 63 0

3 63 3

180

189

–+ = + =

+ = =

=

^ h

= = =

= =

=

G G G

G G

G

. . . .

..

.

...

.

.

.

A B

d r

3 3 321

13

341

50

3 23 1

3 13 3

3 43 1

3 53 0

63

39

123

150

180

189

–

–

–

+ = +

= +

= + =

^ h

= =

> =

= = =

G G

H G

G G G O halde, 3.(A + B) = 3.A + 3.B bulunur.

b.

. . . .

..

.

..

...

.

A A

olur

2 3 221

13

321

13

2 22 1

2 12 3

3 23 1

3 13 3

42

26

63

39

105

515

– –

– –

– – –

+ = +

= +

= + =

^ ^h h

= =

> >

= = =

G G

H H

G G G

. 5. 5..

...

.

A A

olur

2 321

13

5 25 1

5 15 3

105

515

– –

–

+ = = =

=

^ ^h h= >

=

G H

G O halde, 2.A + 3.A = (2 + 3).A bulunur.

c. (2.3).A = 6.A = 6.21

13–

= G = .

...

6 26 1

6 16 3–^ h> H

= 126

618–

= G olur.

2.(3.A) = . . ..

...

2 321

13

23 2

3 13 13 3– –

=d ^n h= >G H

= .263

39–

= G

.

...

2 62 3

2 32 9

126

618– –

= =^ h> =H G O halde, (2.3).A = 2.(3.A) bulunur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

369

k, p R olmak üzere,

A = [aij]mxn , B = [bij]mxn

matrisleri için

k.(A + B) = k.A + k.B

(k + p).A = k.A + p.A

(k.p).A = k.(p.A) d r.

ÖRNEK 10

A ve B264

202

339

630

––= =

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW olmak üzere,

a. 2A – B

b. 3A + 2B

c. A B2 3

– matrislerini bulunuz.

Çözüm

a. 2A – B = 2.264

202

339

630

–– –

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW

= 4

128

404

339

630

– –––

–+

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW

= 191

1034–

–R

T

SSSS

V

X

WWWW olur.

b. 3A + 2B = .3264

202

2339

630

––+

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW

= 6

1812

606

66

18

1260

––+

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW

= 122430

666

–

R

T

SSSS

V

X

WWWW olur.

c. A B A B2 3 2

131– –=

= 21

264

202

31

339

630

–– –

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW

=

22

26

24

22

20

22

33

33

39

36

33

30

–

– –

R

T

SSSSSSSS

R

T

SSSSSSSS

V

X

WWWWWWWW

V

X

WWWWWWWW

= 132

101

113

210

021

311

– –––

–

–

–+ =

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

ÖRNEK 11

A = a

b23

4= G , B = b

a21–= G ve C =

50

59

= Gmatrisleri veriliyor. 2A – 3B = C ise a + b kaçt r?

Çözüm

2A – 3B = C

2a

b23

4= G – 3b

a21–= G =

50

59

= Ga

b246

8= G – b

a3

363–= G =

50

59

= Ga b

b a4 36 6 2 3

8 3– –

–+= G = 50

59

= Ga b

b a4 3

05

2 3–+= G =

50

59

= G4 3 5a bb a2 3 9–

+ ==3 a = –1 , b = 3 olur.

O halde, a + b = 2 bulunur.


370

Milli futbol ve basketbol tak mlar m z, sponsorlar na iletmek üzere gerekli malzemelerin listesini a a daki gibi haz rlam lard r.

Futbol milli tak›m› 8

6

Top (adet)

20

12

E ofman (tak›m)

14

8

Ayakkab› (çift)

Basketbol milli tak›m›

Bir topun fiyat : 20 TL , bir e ofman tak m n n fiyat : 80 TL , bir çift ayakkab n n fiyat : 90 TL

oldu una göre, her tak m için toplam malzeme tutar n bulal m.

Malzeme miktarlar n gösteren matrisi M, malzeme fiyatlar n gösteren matrisi F ile gösterirsek

, .M F olur86

2012

148

208090

= =

R

T

SSSS

=V

X

WWWW

G

. .M F86

2012

148

208090

=

R

T

SSSS

=V

X

WWWW

G = . . .. . .

8 20 20 80 14 906 20 12 80 8 90

+ ++ +

= G = 30201800= G bulunur. O halde,

futbol milli tak m n n malzeme tutar 3020 TL dir. Basketbol milli tak m n n malzeme tutar 1800 TL dir.

A ve B gibi iki matrisin çarp m n n tan ml olabilmesi için A matrisinin sütun say s , B matrisinin sat r sa-

y s na e it olmal d r. . . . .a b cxyz

a x b y c z= + +6 > 6@ H @

K MATR S N ÇARPIMI


ES

EN

YAY

INLA

RI

371

ÖRNEK 12

A ve B15

20

34

619

782

––

= =

R

T

SSSS

=V

X

WWWW

Golmak üzere, A.B matrisini bulunuz.

Çözüm

A.B =

1 2 35 0 4

6 7

1 89 2

= . . . . . .

. . . . . .

1 6 2 1 3 9 1 7 2 8 3 2

5 6 0 1 4 9 5 7 0 8 4 2

– –

– –

+ + + +

+ + + +

^ ^^ ^

h hh h> H

= 6 2 27 7 16 630 36 35 8

– ––

+ ++

= G = 3166

1727

= G olur.

ÖRNEK 13

A = [2 1 4 ] ve B = 351–

R

T

SSSS

V

X

WWWW oldu una göre,

A.B matrisini bulunuz.

Çözüm

A.B = [2 1 4 ] 351–

R

T

SSSS

V

X

WWWW = [2.3 + 1.5 + 4.(–1) ]

= [6 + 5 – 4 ]

= [7 ] bulunur.

ÖRNEK 14

A210

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW ve B = [2 3 4 ] oldu una göre,


Çözüm

A.B = 210

R

T

SSSS

V

X

WWWW.[2 3 4 ] =

.

.

.

.

.

.

.

.

.

2 21 20 2

2 31 30 3

2 41 40 4

R

T

SSSS

V

X

WWWW

= 420

630

840

R

T

SSSS

V

X

WWWW bulunur.

ÖRNEK 15

Aac

bd

= = G matrisinin her sat r n n elemanlar toplam

4 ise A2 matrisinin birinci sat r ndaki elemanlar n toplam kaçt r?

Çözüm

a + b = 4 ve c + d = 4 tür.

A2 = A.A = .ac

bd

ac

bd

= =G G = . .. .

. .

. .a a b cc a d c

a b b dc b d d

++

++

= G

= .. .

. .

.a b cc a d c

a b b dc b d

2

2

++

++

> H A2 matrisinin birinci sat r ndaki elemanlar n top-

lam

a2 +bc + ab +bd = a(a+b4

) +b(c + d4

)

= 4a+4b = 4(a+b) = 4.4 = 16

ÖRNEK 16

, ,A B C13

02

20

56

13

40–

–= = == = =G G G

olmak üzere,

a. A.(B.C) matrisini bulunuz.

b. (A.B).C matrisini bulunuz.

Çözüm

a. . .B C20

56

13

40

–= = =G G

= . .. .

. .

. .2 1 5 30 1 6 3

2 4 5 00 4 6 0

––

++

++

^^

hh> H

= 1318

80

= G olur.

A.(B.C) = .13

02

1318

80–

= =G G

= . .. .

. .

. .1 13 0 183 13 2 18

1 8 0 03 8 2 0– –

+ += G

= 133

824

= G bulunur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

372

b. A.B = .13

02

20

56–

= =G G = . .. .

. .

. .1 2 0 03 2 2 0

1 5 0 63 5 2 6– –

+ += G

= 26

53

= G olur.

(A.B).C = .26

53

13

40

–= =G G = . .. .

. .

. .2 1 5 36 1 3 3

2 4 5 06 4 3 0

––

+ +++

^^

hh> H

= 133

824

= G bulunur.

a ve b klar ndaki sonuçlar kar la t rd m zda, A.(B.C) = (A.B).C oldu unu görürüz.

ÖRNEK 17

, ,A B C20

13

23

41

13

20

– –= = == = =G G G ise

a. A.(B + C) matrisini bulunuz.

b. A.B + A.C matrisini bulunuz.

Çözüm

a. B + C = 23

41

13

20

–+= =G G =

2 13 3

4 21 0

– ++

++

= G

= 16

61

–= G olur.

A.(B + C) = .20

13

16

61

– –= =G G

= . .. .

. .

. .2 1 1 60 1 3 6

2 6 1 10 6 3 1

– ––

–+ +

^^

hh> H

= 8

18113

–= G bulunur.

b. A.B = .20

13

23

41

– –= =G G

= . .. .

. .

. .2 1 30 2 3 3

2 4 1 10 4 3 1

2– ––

–+ +

^^

hh> H =

79

73

–= G d r.

A.C = .20

13

13

20

–= =G G = . .. .

. .

. .2 1 1 30 1 3 3

2 2 1 00 2 3 0

– –+ +

= G

= 19

40

–= G olur.

A.B + A.C = 79

73

19

40

– –+= =G G =

818

113

–= G

a ve b klar ndaki sonuçlar kar la t rd m zda,

A.(B + C) = A.B + A.Coldu unu görürüz. Benzer ekilde,

(A + B).C = A.C + B.C dir.

ÖRNEK 18

A24

31

= = G olmak üzere, A. ve .A matrislerini

bulunuz.

Çözüm

A. = .24

31

10

01

= =G G = . .. .

. .

. .2 1 3 04 1 1 0

2 0 3 14 0 1 1

++

++

= G

= A24

31

== G

.A = .10

01

24

31

= =G G = . .. .

. .

. .1 2 0 40 2 1 4

1 3 0 10 3 1 1

++

++

= G

= A24

31

== G olur.

A. = .A = A d r.

Matrislerde çarpma i lemi ile ilgili özellikler a a da verilmi tir. nceleyiniz.

A, B ve C matrisleri, a a daki i lemlerin tan ml oldu u matrisler ve birim matris, 0 s f r matris olmak üzere,

A.(B.C) = (A.B).C

A.(B + C) = A.B + A.C

(A + B).C = A.C + B.C

A. = .A = A

A.0 = 0.A = 0 d r.


ES

EN

YAY

INLA

RI

373

ÖRNEK 19

f(x) = x2 – 2x + 3 ve A = 11

20–

= G ise

f(A) ifadesinin e itini bulunuz.

Çözüm

f(A) = A2 – 2A + 3 olaca ndan

A2 = A.A = .11

20

11

20– –

= =G G

= 1 21 0

2 02 0

11

22

–– –

–– –+

++

== =G G f(A) = A2 – 2A + 3

11

22

211

20

310

01

11

22

22

40

30

03

1 2 31 2 0

2 4 02 0 3

01

21

–– –

––

–– –

– –

– ––

––

–

= +

= + +

=+

+ ++

+ +=

= = =

= = =

= =

G G G

G G G

G G

bulunur.

KARE MATR S N KUVVETLER

m, n Z+ , A bir kare matris ve birim matris olmak üzere,

A0 = , A1 = A , A2 = A.A , ...., An = An–1.A

(Am)n = Am.n n = d r.

ÖRNEK 20

A10

31

–= = G ise A200 matrisini bulunuz.

Çözüm

A2 = A.A = .10

31

10

31

– –= =G G

= . .. .

. .

. .1 1 3 00 1 1 0

1 3 3 10 3 1 1

– – ––+ +^^

hh> H

= 10

61

–= G

A3 = A2.A = .10

61

10

31

– –= =G G

= . .. .

. .

. .1 1 6 00 1 1 0

1 3 6 10 3 1 1

– – ––+ +^^

hh> H =

10

91

–= G

An = .n1

03

1–^ h= G olaca ndan

A200 = .1

0200 3

1–^ h= G =

10

6001

–= G bulunur.

ÖRNEK 21

A11

31–

= = G ise A2008 matrisini bulunuz.

Çözüm

A2 = A.A = .11

31

11

31– –

= =G G

= . .. .

. .

. .1 1 3 11 1 1 1

1 3 3 11 3 1 1–

–– –

+ + ^^

hh> H

= 40

04

= G = 210

01

2 = G olur.

A 210

01

2 2= = G ise

A2008 = (A2)1004 = 210

01

21004d n= G

= 22.1004.10

01

1004= G = 22008.10

01

= G olur.

ÖRNEK 22

A23

23

– –= = G oldu una göre A2008 matrisini bu-

lunuz.

Çözüm

.A23

23

23

23

– – – –2 = = =G G = 4 66 9

4 66 9

––

––+ +

= G

= A23

23

– –== G

Bu durumda An = A d r.

O halde, A23

23

– –2008 = = G olur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

374

ÖRNEK 23

A20

03

= = G oldu una göre A24 matrisini bulunuz.

Çözüm

A2 = A.A = .20

03

20

03

= =G G = 4 00 0

0 00 9

++

++

= G

= 40

09

20

03

2

2== >G H

A3 = A2.A = .40

09

20

03

= =G G = 8 00 0

0 00 27

++

++

= G

= 80

027

20

03

3

3== >G H

An = 20

03

n

n= G olaca görülmektedir.

O halde, A24 = 20

03

24

24> H bulunur.

ÖRNEK 24

A = 63

96

––

= G olmak üzere, A41 matrisini bulunuz.

Çözüm

A2 = A.A = .63

96

63

96

––

––

= =G G

= 36 2718 18

54 5427 36

––

––

++

= G

= 90

09

310

01

2== =G G olur.

A2 = 32 10

01

= G

A40 = (A2)20 = 310

01

220d n= G = 340.

10

01

= G

A41 = A40.A = 340. .10

01

63

96

––

= =G G

= 340.63

96

––

= G bulunur.

2 x 2 türündeki baz özel matrislerin büyük kuvvet-leri ile ilgili a a daki sonuçlar elde edilebilir.

Ax1 0

1= = G ise

.A

n x1 0

1n = = G

Ax1

0 1= = G ise

.A

n x10 1

n = = G

Ax

y00

= > H ise A xy00n

n

n= > H

Axy x

0–

= > H ise A x10

01

2 2= = G

Ax y

x0 –= ; E ise A x

10

01

2 2= = G

A11

11

= = G ise 2A11

11

n n 1–= = G

ÖRNEK 25

Yukar daki kurallar yard m yla çözülen a a daki

sorular inceleyiniz.

A = 1 0

15= G ise A10 =

.1

10 501

150

01

== =G G

A = 1

102= G ise A50 =

.10

50 21

10

1001

== =G G

A = 02

0 3= G ise A4 = 2

003

160

081

4

4=> =H G

A = 02

3 2–= G ise A2 = 22. 1

001

= G = 4.

A = 30

53–

= G ise A2 = 32.10

01

= G = 9.

A = 1

111= G ise A19 = 218.

1111= G


ES

EN

YAY

INLA

RI

375

B R MATR S N ÇARPMA LEM NE GÖRE TERS

A = ac

bd

= G kare matrisinin tersini bulal m.

A–1 = xz

yt

; E olsun.

A.A–1 = olaca ndan,

.ac

bd

xz

yt

10

01

== ; =G E Gax bzcx dz

ay btcy dt

10

01

++

++

=> =H G olur.

ki matrisin e itli inden

ax bzcx dz

10

+ =+ =

3 ,xad bc

d zad bc

c– –

–= =

ay btcy dt

01

+ =+ =

4 ,yad bc

b tad bc

a–

––

= =

bulunur. Bu de erler A–1 matrisinde yerine yaz l rsa,

A–1 = ad bcd

ad bcb

ad bcc

ad bca ad bc

dc

ba

1– ––

––

–– –

–=

R

T

SSSSS

;V

X

WWWWW

E dir.

A–1 matrisinin tan ml olabilmesi için ad – bc 0 ol-mas gerekti ine dikkat ediniz.

imdi A ile buldu umuz A–1 matrislerini kar la -t ral m.

A =a b

c dise A–1 =

ad bcdc

ba

1– –

–= G

A matrisinin 1. kö egenindeki elemanlar n çar-p m ile 2. kö egenindeki elemanlar n çarp m -n n fark n n ad – bc oldu una dikkat ediniz.

A matrisinin 1. kö egenindeki elemanlar n yer de i tirmi halinin A–1 matrisinin 1. kö egenin-de yer ald n fark ettiniz mi?

A matrisinin 2. kö egenindeki elemanlar n ters i aretlilerinin A–1 matrisinin 2. kö egeninde yer ald n gördünüz mü?

ÖRNEK 26

A41

32

= = G matrisinin tersini bulunuz.

Çözüm

A =

4 3

1 2

4.2 – 3.1 = 5 0 oldu undan A–1 tan ml d r.

Bu durumda

A51 2

134–

–1– = = G bulunur.

ÖRNEK 27

A11

20–


Çözüm: 1. Yol

A.A–1 = e itli ini sa layan A–1 matrisi

A–1 = xz

yt

; E olsun.

.xz

yt

x zx

y ty

11

20

10

01

2 2 10

01

–

– –

=

+ +=

= ; =

> =

G E G

H Gx z

x2 1

0–+ =

=3 x ve z0

21= =

y ty

2 01–

+ ==4 y ve t1

21–= = olur.

Ax

z

y

t

0

21

1

21

–1– = => >H H =

21 0

121

–= G bulunur.

2. Yol

A =1 2

0–1 1.0 – (–1.2) = 2 olup

1. kö egendeki elemanlar n yerini ve 2. kö e-gendeki elemanlar n i aretini de i tirirsek

A21 0

121

–1– = = G bulunur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

376

ÖRNEK 28

Ax2

3 6= ; E matrisinin çarpma i lemine göre tersinin

olmamas için x kaç olmal d r?

Çözüm

A =

2 x

63

2.6 – 3.x = 0 x = 4 olmal d r.

ÖRNEK 29

a

b31

–= G matrisinin tersi kendisine e it oldu una

göre a ve b de erlerini bulunuz.

Çözüm

A = A–1 = a

b31

–= G de erini

A.A–1 = e itli inde yerine yazarsak

.a

ba

b

aa b

a bb

31

31 1

001

33 3 3

10

01

– –

–– – –

2

2

=

++

=

= = =

> =

G G G

H G

a2 – 3 = 1 a2 = 4 a = ±2

–3 + b2 = 1 b2 = 4 b = ±2 olur.

A ve B kare matrislerinin çarpma i lemine göre tersleri varsa

(A–1)–1 = A

(A.B)–1 = B–1.A–1 dir.

ÖRNEK 30

A = 12

30

= G ve B–1 = 41

23

= G oldu una göre,

(A–1.B)–1 matrisini bulunuz.

Çözüm

(A–1.B)–1 = B–1.(A–1)–1

= B–1.A

= .41

23

12

30

= =G G

= . .. . . .

. .4 1 2 21 1 3 2 1 3 3 0

4 3 2 0++ +

+= G

= 3

87

12= G bulunur.

ÖRNEK 31

A = 31

52

= G ve B = 21

3 3–= G matrisleri veriliyor.

A.C = B e itli ini sa layan C matrisini bulunuz.

Çözüm

A = 3

1

5

2 , 3.2 – 5.1 = 1

A–1 = .11 2

153

21

53–

––

–== =G G olur.

A.C = B .A A1–\ .C = A–1.B

C = A–1.B

C = .21

53 3

13

2–

– –= =G G

C = . .

1.1 .3

2. 5.3

.( 2) .3

( )2 1 5 3

3

2

1 3

–

–

–

–

–

–+ +> H

C = 138

1911

– –= G bulunur.


377

ETK NL KB R MESAJIN FRELENMES

Bir mesaj matrislerden yararlanarak ifreleyebiliriz. Bunun için alfabemizdeki harflere ve baz noktalama i aret-lerine a a daki tablodaki gibi say lar kar l k getirelim.

A

0

B

1

C

2

Ç

3

D

4

E

5

F

6

G

7 8

H

9

I

10

‹

11

J

12

K

13

L

14

M

15

N

16

O

17

Ö

18

P

19

R

20

S

21 22

T

23

U

24

Ü

25

V

26

Y

27

Z

28

.

29

?

30

!

31

,

32

‘

33

Bo luk

34

imdi GEOMETR sözcü ünü ifreleyelim.

GEOMETR sözcü ündeki harfleri bu tabloya göre bir say dizisine dönü türelim.

G

7

E

5

O

17

M

15

E

5

T

23

R

20

‹

11

Bu dizideki say lar 2 sat rl bir bilgi matrisi biçiminde yazal m. B75

1715

523

2011

= = G Herhangi bir A anahtar matrisi A

52

21

= = G olsun.

C = A.B matrisini bulal m. C = A.B = 52

21

75

1715

523

2011

= =G G = 4519

11549

7133

12251

= G Buldu umuz C matrisinin bütün elemanlar n n mod 35 teki e itini yazarak K kodlanm matrisini elde ederiz.

K1019

1014

133

1716

= = G

K matrisinin elemanlar ile elde edilen say dizisi 10 19 10 14 1 33 17 16 olur.

Bu dizi, seçti imiz GEOMETR sözcü ünün ifrelenmi say dizisidir.

imdi de bu ifreyi çözerek kar l olan sözcü ü bulal m.

10 19 10 14 1 33 17 16 dizisini 2 sat rl matris biçiminde yazal m.

1019

1014

133

1716

= G buldu umuz matris daha önce elde etti imiz K matrisidir. K = 1019

1014

133

1716

= G

A anahtar matrisinin tersini bulal m. A–1 = 12

25–

–= G dir.

A–1.K çarp m matrisini bulal m. A–1.K = .12

25

1019

1014

133

1716–

–= =G G = 2875

1850

65163

1546

– – – –= G olur.

Elde etti imiz çarp m matrisinin bütün elemanlar n n mod 35 teki e itini yazal m.

75

1715

523

2011

= G buldu umuz matris daha önce elde etti imiz B matrisidir.

Bu matrisin elemanlar ile elde edilen say dizisi 7 5 17 15 5 23 20 11 olur.

Bu dizinin elemanlar na kar l k gelen harfleri yazarsak; G E O M E T R sözcü ünü elde ederiz.


ES

EN

YAY

INLA

RI

378

B R MATR S N DEVR (TRANSPOZU)

A = [aij]mxn matrisinin ayn indisli sat rlar yla sü-

tunlar n n yer de i tirilmesiyle olu turulan [aji]nxm

matrisine A matrisinin devri i denir ve Ad veya AT ile gösterilir.

A = ax

by

cz

> H AT = abc

xyz

> H dir.

ÖRNEK 32

A = 13

24

= G ve B = 1025

––

= G olmak üzere,

AT, BT, AT + BT ve (A + B)T matrislerini bulunuz.

Çözüm

AT = 12

34

= G , BT = 01

52– –

= G

AT + BT = 1 02 1

3 54 2

11

82– –

+ +== =G G

A + B = 1 03 5

2 14 2

18

12

––

++

== =G G

(A + B)T = 11

82

= G olur.

Buldu umuz sonuçlar kar la t rd m zda

(A + B)T = AT + BT oldu unu görürüz.

ÖRNEK 33

A = 13

21

04–

= G olmak üzere, 2.AT ve (2.A)T mat-

rislerini bulunuz.

Çözüm

AT = 120

314

–

R

T

SSSS

V

X

WWWW 2.AT =

240

628

–

R

T

SSSS

V

X

WWWW

2.A = 26

42

08–

= G (2.A)T = 240

628

–

R

T

SSSS

V

X

WWWW olur.

Buldu umuz sonuçlar kar la t rd m zda,

(2.A)T = 2.AT oldu unu görürüz.

ÖRNEK 34

A = 10

21

34

= G olmak üzere, (AT)T matrisini bulunuz.

Çözüm

AT = 123

014

R

T

SSSS

V

X

WWWW (AT)T =

10

21

34

= G olur.

(AT)T = A elde edildi ine dikkat ediniz.

ÖRNEK 35

A = 13

20

= G ve B = 21

04

–= G olmak üzere,

(A.B)T ve BT.AT matrislerini bulunuz.Çözüm

A.B = .13

20

21

04

–= =G G = 2 26 0

0 80 0

––

++

++

= G

= 06

80–

= G

(A.B)T = 08

60

–= G olur.

AT = 12

30

= G ve BT = 20

14

–= G oldu undan

BT.AT = 20

14

12

30

–= =G G = 2 20 8

6 00 0

– –++

++

= G

= 08

60

–= G olur.

Buldu umuz sonuçlar kar la t rd m zda

(A.B)T = BT.AT oldu unu görürüz.

Bir matrisin transpozu (devri i) ile ilgili özellikler a a-da bir arada verilmi tir. nceleyiniz.

k R olmak üzere A ve B matrisleri için

(AT)T = A (A + B)T = AT + BT

(k.A)T = k.AT (A.B)T = BT.AT

(AT)–1 = (A–1)T


ES

EN

YAY

INLA

RI

379

ÖRNEK 36

Aa

bve B

12 5

555


A.AT = B oldu una göre a + b de erini bulunuz.

Çözüm

AT = a

b21= G oldu undan

A.AT = a

ba

b12

21= =G G = a

a ba b

b4

22

1

2

2

++

++

> H olur.

A.AT = B verildi inden

aa b

a bb

42

21

55

55

2

2

++

++

=> =H G

a2 + 4 = 5 a2 = 1 a = ±1

b2 + 1 = 5 b2 = 4 b = ±2 olur.

a = –1 ve b = –2 de erleri

a + 2b = 5 e itli ini sa lamad ndan

a = 1 ve b = 2 dir.

Bu durumda a + b = 1 + 2 = 3 bulunur.

BAZI ÖZEL MATR SLER

Simetrik Matris

Bir A = [aij] matrisinde A = AT ise yani

aij = aji ise A matrisine simetrik matris denir.

Anti-Simetrik Matris

Bir A reel matrisi için AT = – A ise A matrisine anti-simetrik matris denir.

nvolutif Matris

Bir A reel matrisi için A = A–1 ise A matrisine involutif matris denir.

Ortogonal Matris

Bir A reel matrisi için A–1 = AT ise A matrisine ortogonaldir denir.

ÖRNEK 37

A herhangi bir reel karesel matris ise a a daki mat-rislerin simetrik matris olduklar n gösteriniz.

a. AAT

b. ATA

c. A + AT

Çözüm

a. B = AAT dersek BT = (AAT)T = (AT)TAT

= AAT

= B olur.

Yani, AAT matrisi simetriktir.

b. C = ATA dersek CT = (ATA)T = AT(AT)T

= ATA

= C olur.

Yani, ATA matrisi simetriktir.

c. D = A + AT dersek DT = (A + AT)T = AT + (AT)T

= AT + A

= D olur.

Yani, D = A + AT matrisi simetriktir.

ÖRNEK 38

A herhangi bir reel karesel matris olmak üzere,

C = A – AT ise C nin anti-simetrik matris oldu unu

gösteriniz.

Çözüm

C = A – AT CT = (A – AT)T

= AT – (AT)T

= AT – A

= – C

oldu undan C matrisi anti-simetriktir.

380

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. A10

24

35

–= = G matrisi için

2a22 – a213 + a23 ifadesinin e itini bulunuz.

2. ,Aab

cB

d12

23 5

46

2 55

–=

+== =G G

matrisleri için A = B ise a, b, c, d de erlerini bulunuz.

3. ,log

Az

y

tB

t

2

141

8

2

2–

x

3

3

2=

+=> >H H

matrisleri için A = B ise x, y, z, t de erlerini bu-lunuz.

4. A24

35

––

= = G matrisinin toplama i lemine göre

tersini bulunuz.

5. ,A B ve C23

15

42

26

12

04

––

= = == = =G G G olmak üzere, a a dakilerin her birini bulunuz.

a. A + B

b. A – C

c. A – 2B

d. 3A + 2C – B

6. y

x z x t23

10 3

22 5

41

61

25

––

–+ => = =H G G

e itli ini sa layan x, y, z, t de erleri için

x + y + z + t ifadesinin e itini bulunuz.

7. A = [aij]mxn , B = [bij]mxn , C = [cij]mxn olmak üze-

re a a daki ifadelerden do ru olanlar için bo kutuya “D” yanl olanlar için “Y” yaz n z.

A + B = B + A

A + (B + C) = (A + B) + C

A + (– A) = 0

k.A = [k.aij]mxn

k.(A + B) = k.A + k.B

(k + p)A = k.A + p.A

(k.p)A = k.(p.A)

8. A = [1 2 3] , B = 215

–

R

T

SSSS

V

X

WWWW matrisleri için A.B ve

B.A matrislerini bulunuz.

9. A ve B23

11

02

410

234

––= =

R

T

SSSS

=V

X

WWWW

G

olmak üzere, A.B matrisini bulunuz.

ALIŞTIRMALAR – 1

1. 4 2. a = 5 b = 4 c = 5 d = 3 3. x = –2 y = 9 z = –2 t = 1 4. 2 354–

–; E 5. a. 161 11; E b. 1

111

–; E

c. 67

57

– ––

; E d. 4 515 17

–; E 6. 1 7. Hepsi do ru 8. A.B = [ 15 ] , B.A = 215

42

10

63

15– – –> H 9. 7 7

13 11; E


381

ES

EN

YAY

INLA

RI

10. A23

14


11. ,A B121

210

341

114–

–= =

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW olmak üzere,


12. A ve B132

214

42

50

11

23

––

= =

R

T

SSSS

=V

X

WWWW

G

olmak üzere A.B matrisini bulunuz.

13. , ,A B C12

10

01

24

12

15

––

–= = == = =G G G

olmak üzere a a dakilerin her birini bulunuz.

a. A.(B.C)

b. A.(B + C)

c. A.B + A.C

d. (A + B).C

e. A.

14. A, B ve C birbirleriyle toplanabilen ve çarp labi-len matrisler olmak üzere, a a daki ifadelerden do ru olanlar için bo kutuya “D” yanl olanlar için “Y” yaz n z.

A.B = B.A

A.(B.C) = (A.B).C

A(B + C) = (B + C).A

A(B + C) = A.B + A.C

(A + B).C = A.C + B.C

A. = A

15. f(x) = x2 – 3x + 2 ve A10

21

–= = G ise


16. A12

01

= = G ise A20 matrisinin e itini bulunuz.

17. A10

31

–= = G ise A41 matrisinin e itini bulunuz.

10. 118

613–; E 11.

11173

> H 12. 142

81016

51510

83

16

–

–> H 13. a. 3

81120

– –; E b. 82

02

–; E c. 82

02

–; E d. 39

419

; E e. A

14. Y, D, Y, D, D, D 15. 00

20

; E 16. 140

01

; E 17. 12310 1

–; E


382

ES

EN

YAY

INLA

RI

18. A20

03


19. A24

02–

= = G ise A50 ve A51 matrislerini bulu-

nuz.

20. A30

23–

= = G ise A32 ve A33 matrislerini bulu-

nuz.

21. A11

11


22. A a daki matrislerin çarpma i lemine göre ters-lerini bulunuz.

a. 47

12

= G

b. 21

53

––= G

c. 45

23

= G

23. Ax4

2 3= = G olmak üzere

A–1 matrisinin bulunmamas için x kaç olmal -d r?

24. A a daki matrislerin transpozlar n bulunuz.

a. [1 2 3 ]

b. 21

14

32–

= G

c. 13–

= G

d. 241

120

–

R

T

SSSS

V

X

WWWW

25. A ve B13

24

21

05–


(A.B)T ve BT.AT matrislerini bulunuz.

18. 20

03

15

15= G 19. A50 = 250. , A51 = 250.A 20. A32 = 332. , A33 = 332.A 21. 22007.A 22. a. 27

14–

–; E b. 31

52

––; E

c. 5

221 3

4––; E 23. 6 24. a.

123> H b.

1213

42

–> H c. [ 1 –3 ] d. 21

42

10–

; E 25. (A.B)T = BT.AT = 010

220

; E


383

ÖRNEK 39

x y zx y zx y z

2 02 2 2

3 2 11

–– –

–

+ =+ =+ + =

_

`

a

bb

bb

denklem sisteminin çözümünü temel sat r i lemleri ile bulunuz.

Çözüm

1. sat r n –2 kat n 2. sat ra ekleyelim. 1. sat r n 1 kat n 3. sat ra ekleyelim.

x y zx y zx y z

2 02 2 2

3 2 11

–– –

–

+ =+ =+ + =

_

`

a

bb

bb

x y zy z

y z

2 05 4 2

3 11

–– –

+ ==

+ =

_

`

a

bb

bb 2. sat rla 3. sat r n yerini de i tirelim.

x y zy zy z

2 03 11

5 4 2

–

– –

+ =+ =

=

_

`

a

bb

bb 2. sat r n –5 kat n 3. sat ra ekleyelim.

x y zy z

z

2 03 11

19 57

–

– –

+ =+ =

=

_

`

a

bb

bb 3. sat r

191– ile çarpal m.

x y zy zz

2 03 113

– + =+ ==

_

`

a

bb

bb olur. Bu durumda,

z = 3

y + 3z = 11 y + 3.3 = 11 y = 2

x – 2y + z = 0 x – 2.2 + 3 = 0 x = 1 bulunur.

ÖRNEK 40

2 4 72 10 4

x y zx y zx y z5 1

– – ––

–

=+ =+ =

_

`

a

bb

bb

denklem sisteminin çözümünü temel sat r i lemleri

ile bulunuz.

Çözüm

x y zx y zx y z

2 4 72 10 4

5 1

– – ––

–

=+ =+ =

_

`

a

bb

bb

x y zxx z

z2 4 7

5 18 103 9 6

– – –– –– –

===

_

`

a

bb

bb

3 9

x y zx

x z

2 4 7

62

– – ––

– –

===

_

`

a

bb

bb olur. Bu durumda,

x = –2

3x – 9z = –6 3.(–2) – 9z = –6

z = 0

2x – y – 4z = –7 2.(–2) – y – 4.0 = –7

y = 3 bulunur.

ES

EN

YAY

INLA

RI

a11, a12, ....., a1n , b1 R olmak üzere a11x1 + a12x2 + ..... + a1nxn = b1 denklemine do rusal denklem denir.

Do rusal denklemlerden olu an

a11x1 + a12x2 + ..... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ..... + a2nxn = b2 ......................................................am1x1 + am2x2 + ..... + amnxn = bm

ifadesine do rusal denklem sistemi denir. Sistemin çözümü, sistemdeki her denklemi sa layan(x1, x2, ....., xn) s ral n lisidir.

Do rusal denklem sisteminin çözümünü temel sat r i lemleri yaparak buluruz. Bu i lemler,

Sistemde iki denklemin yerlerinin de i tirilmesi

Sistemde bir denklemin s f rdan farkl bir gerçek say ile çarp lmas

Sistemde bir denklemin s f rdan farkl bir kat n n bir ba ka denkleme eklenmesidir.

DO RUSAL (L NEER) DENKLEM S STEMLER

1. sat r n 2 kat n2. sat ra ekleyelim.1. sat r n 1 kat n3. sat ra ekleyelim.

3. sat r n –2 kat n2. sat ra ekleyelim.


ES

EN

YAY

INLA

RI

384

GAUSS YOK ETME YÖNTEM

Matris gösterimi, A.x = B olan bir do rusal denklem

sistemi çözülürken temel sat r i lemleri uygulanarak

A matrisi üst üçgen matrisine dönü türülür.

a

a

a

a

a

a

a

a

a

x

y

z

b

b

b

11

21

31

12

22

32

13

23

33

1

2

3

=

R

T

SSSSS

R

T

SSSSS

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWW

V

X

WWWWW

V

X

WWWWWW

............................................

a a

a

x

y

z

b

b

b

1

0

0

1

0 1

12 13

23

1

2

3

=

l l

l

l

l

l

R

T

SSSSS

R

T

SSSSS

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWW

V

X

WWWWW

V

X

WWWWWW

ÖRNEK 41

a b c

a b c

a b c

2 3 7

2 5 23

2 4 6

–

–

– – –

+ =

+ =

+ =

_

`

a

bbb

bbb

denklem sisteminin çözümünü Gauss yok etme yön-

temi ile bulunuz.

Çözüm

.

a

b

c

1

2

1

2

5

2

3

1

4

7

23

6– –

–

–

–

=

R

T

SSSSS

R

T

SSSSS

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

V

X

WWWWW

V

X

WWWWW

1. sat r n –2 kat n 2. sat ra, 1. sat r n 1 ka-

t n 3. sat ra ekleyelim.

.

a

b

c

1

0

0

2

1

0

3

5

1

7

9

1

–

=

R

T

SSSSS

R

T

SSSSS

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

V

X

WWWWW

V

X

WWWWW

c = 1

b + 5c = 9 b + 5 = 9 b = 4

a + 2b – 3c = 7 a + 2.4 – 3.1 = 7

a = 2 bulunur.

ÖRNEK 42

a b c

a b c

a b c

2 3

2 5

3 2

–

–

–

+ =

+ =

+ =

_

`

a

bbb

bb

denklem sisteminin çözümünü Gauss yok etme yön-

temi ile bulunuz.

Çözüm

.

a

b

c

1

2

1

1

1

1

2

1

3

3

5

2

–

–

–

=

R

T

SSSSS

R

T

SSSSS

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

V

X

WWWWW

V

X

WWWWW

1. sat r n –2 kat n 2. sat ra, 1. sat r n –1 ka-

t n 3. sat ra ekleyelim.

.

a

b

c

1

0

0

1

3

0

2

5

1

3

1

1

–

–

–

–

–

=

R

T

SSSSS

R

T

SSSSS

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

V

X

WWWWW

V

X

WWWWW

2. sat r 31– ile çarpal m.

.

a

b

c

1

0

0

1

1

0

2

35

1

3

31

1

–

–

– –

=

R

T

SSSSSS

R

T

SSSSSS

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

V

X

WWWWWW

V

X

WWWWWW

3. sat r –1 ile çarpal m.

.

a

b

c

1

0

0

1

1

0

2

35

1

3

31

1

–

– =

R

T

SSSSSS

R

T

SSSSSS

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

V

X

WWWWWW

V

X

WWWWWW

c = 1

b c35

31– = b

35 1

31– · =

b = 2

a + b – 2c = 3 a + 2 – 2.1 = 3

a = 3 bulunur.


385

ETK NL KBir akaryak t irketi günlük 600 000 lt akaryak t da t m için 22 adet tanker sat n alacakt r. Bu i için ta ma

kapasiteleri 12000 lt, 18000 lt ve 30000 lt olan üç çe it tanker seçilmi tir. Bu tankerlerden kaçar tane al n-

mas gerekti ini bulal m.

x1, x2 ve x3 s ras yla 12000, 18000 ve 30000 lt kapasiteli tanker say lar n göstersin. Bu durumda,

x1 + x2 + x3 = 22

12000x1 + 18000x2 + 30000x3 = 600000 }xxx

112000

118000

130000

22600 000

1

2

3

=

R

T

SSSS

= =V

X

WWWW

G G olur.

Bu e itlikten 1

12000

1

18000

1

30000

22

600000 geni letilmi matrisi elde edilir.

Buldu umuz geni letilmi matris üzerinden temel sat r i lemleri uygulayal m.

112000

118000

130000

22600 000

2. sat›r›1

6000ile çarpal›m

12

13

15

22100

10

11

13

2256

2. sat›r›n–1 kat›n›1. sat›raekleyelim

10

01

–23

–3456

1. sat›r›n–2 kat›n›2. sat›raekleyelim

Bu durumda

x1 – 2x3 = – 34 x1 = 2x3 – 34

x2 + 3x3 = 56 x2 = 56 – 3x3 olur.

x3 = t al rsak

x1 = 2t – 34 , x2 = 56 – 3t , x3 = t elde edilir.

x1, x2 ve x3 de i kenleri tanker say lar n gösterdi inden bu de erler birer pozitif tam say olmal d r. O halde,

ttt

2 34 056 3 0

0

––

_

`

a

bb

bb t = 17 veya t = 18 olur. Bu de erlere göre a a daki tablo elde edilir.

t

17

18

x1

0

2

x2

5

2

x3

17

18


ES

EN

YAY

INLA

RI

386

GAUSS - JORDAN YOK ETME YÖNTEM

Matris gösterimi, A.x = B olan bir do rusal denklem sistemi çözülürken temel sat r i lemleri uygulanarak A matrisi, 1. kö egenindeki elemanlar 1, di er ele-manlar 0 olacak biçime getirilir.

.aaa

aaa

aaa

xyz

bbb

11

21

31

12

22

32

13

23

33

1

2

3

=

R

T

SSSS

R

T

SSSS

>V

X

WWWW

V

X

WWWW

H......................................

.xyz

bbb

100

010

001

1

2

3

=

l

l

l

R

T

SSSS

R

T

SSSS

>V

X

WWWW

V

X

WWWW

H

ÖRNEK 43

x y z

x y zx y z

2 32 9

3 3 12

–+ =+ + =+ + =

_

`

a

bb

bb

Denklem sistemini Gauss - Jordan yok etme yönte-mi ile çözünüz.

Çözüm

.xyz

213

121

113

39

12

–=

R

T

SSSS

R

T

SSSS

>V

X

WWWW

V

X

WWWW

H 1. sat r n 21 kat n alal m.

.

x

y

z

1

1

3

21

2

1

21

1

3

23

9

12

–

=

R

T

SSSSSS

R

T

SSSSS

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

V

X

WWWWW

V

X

WWWWWW

1. sat r n –1 kat n2. sat ra, –3 kat n 3. sat ra ilave edelim.

.

x

y

z

1

0

0

21

23

21

21

23

29

23

215

215–

–

=

R

T

SSSSSSSS

R

T

SSSSSS

R

T

SSSSSSSS

V

X

WWWWWWWW

V

X

WWWWWW

V

X

WWWWWWWW

2. sat r n 32 kat n alal m.

2. sat r n 21– kat n

.

x

y

z

1

0

0

21

1

21

21

1

29

23

5

215–

–

=

R

T

SSSSSSSS

R

T

SSSSSS

R

T

SSSSSSSS

V

X

WWWWWWWW

V

X

WWWWWW

V

X

WWWWWWWW

1. sat ra, 21 kat n

3. sat ra ekleyelim.

.xyz

100

010

115

15

10

– –=

R

T

SSSS

R

T

SSSS

>V

X

WWWW

V

X

WWWW

H 3. sat r n 51 kat n alal m.

.

1xyz

100

010

111

52

– –=

R

T

SSSS

R

T

SSSS

>V

X

WWWW

V

X

WWWW

H 3. sat r n 1 kat n1. sat ra, –1 kat n 2. sat ra ekleyelim.

.xyz

100

010

001

132

=

R

T

SSSS

R

T

SSSS

>V

X

WWWW

V

X

WWWW

H olur. O halde,

x = 1 , y = 3 ve z = 2 bulunur.

Bir A Matrisinin Tersini [A ] ,A

Geni letilmi

Matrisi Üzerinden Temel Sat r veya Sütun lemleri Uygulayarak BulmaA = [ aij ]nxn kare matrisinin tersini bulmak için A mat-

risinin geni letilmi [ A ] veya A matrisi yaz l r.

Temel sat r veya sütun i lemleri uygulanarak

[ veyaA–1A–1 ] bulunur.

ÖRNEK 44

A21

53

= = G matrisinin tersini temel sat r i lemleri yar-

d m yla bulunuz.

Çözüm

21

[ A I ]=53

10

01

1

1 3 0

0

1

1. sat›r›n (–1) kat›n›2. sat›ra ekleyelim:

2. sat›r›n2 kat›n› alal›m

1

0 1 –1

0

2:

10

01

3–1

–52

:

1. sat›ra ekleyelim

[ I A–1]=

52

12

1

0

0

1:

52

12

12

12

1. sat›r›n

alal›m12 kat›n›

52

12

2. sat›r›n 52 kat›n›

bulunur. O halde, A31

52–

–1– = = G dir.


ES

EN

YAY

INLA

RI

387

ÖRNEK 45

A21

53

= = G matrisinin tersini temel sütun i lemleri

yard m yla bulunuz.

Çözüm

21A

I=

53

1. sütunun (–5) kat›n›2. sütuna ekleyelim:

2. sütunun2 kat›n› alal›m

1. sütunun kat›n› alal›m10

01

1 5

3

0

0

1

12

12

12

:

1 0

0 1

12

12

12

52

10

01

3–1

–52

:

1 0

1

0

–5

2

12

12

1. sütuna ekleyelim

2. sütunun 12 kat›n›

: =I

A–1

bulunur. O halde,

A31

52–

–1– = = G dir.

ÖRNEK 46

A = 124

011

228

–> H matrisinin tersini temel sat r i lem-

leri yard m yla bulunuz.

Çözüm

1

2

4

0

–1

1

2

2

8

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1. sat r n –2 kat n2. sat ra ekleyelim.1. sat r n – 4 kat n3. sat ra ekleyelim.

[ A ] =

1

0

0

0

–1

1

2

–2

0

1

–2

– 4

0

1

0

0

0

1

2. sat r n 1 kat n3. sat ra ekleyelim.

1

0

0

0

–1

0

2

–2

–2

1

–2

– 6

0

1

1

0

0

1

3. sat r n 1 kat n1. sat ra ekleyelim.

1

0

0

0

–1

0

0

–2

–2

–5

–2

– 6

1

1

1

1

0

1

3. sat r n –1 kat n2. sat ra ekleyelim.

1

0

0

0

–1

0

0

0

–2

–5

4

– 6

1

0

1

1

–1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

–5

– 4

3

1

0

1

1

2. sat r –1 ile ve

3. sat r 12

ile

çarpal m.

= [ A–1 ]

:

:

:

:

:12

12

bulunur. O halde,

A = 54

21

213

10

11

––

– –

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

dir.

388

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. a – 2b + 2c = 0

a – 3b – 5c = 7

4a + 3b + 7c = 1

denklem sisteminin çözüm kümesini temel sat r i lemleri ile bulunuz.

2. x – y + 3z = 6

x – 2y + z = 1

3x – y + 2z = 4

denklem sisteminin çözüm kümesini temel sat r i lemleri ile bulunuz.

3. –2a + b – c = 0

a + b – 2c = 1

a + b – 3c = –2

denklem sisteminin çözüm kümesini Gauss yok etme yöntemiyle bulunuz.

4. x + y – z = 0

2x – y + z = 3

x – 2y + 3z = 8

denklem sisteminin çözüm kümesini Gauss yok etme yöntemi ile bulunuz.

5. a + b – 2c = –5

2a + b + c = 3

a + 2b + 3c = 12

denklem sisteminin çözüm kümesini Gauss-Jordan yok etme yöntemi ile bulunuz.

6. A35

12

= = G matrisinin tersini ( A I ) geni letilmi

matrisi üzerinde temel sat r i lemleri uygulayarak bulunuz.

7. A72

41

= = G matrisinin tersini AI

geni letilmi

matrisi üzerinde temel sütun i lemleri uygulayarak bulunuz.

ALIŞTIRMALAR – 2

1. (a, b, c) = (2, 0, –1) 2. (x, y, z) = , ,111

117

1124c m 3. (a, b, c) = , ,

34

317 3c m 4. (x, y, z) = (1, 4, 5)

5. (a, b, c) = (–1, 2, 3) 6. 5

123–

–; E 7. 1724–

–; E


ES

EN

YAY

INLA

RI

389

DETERM NANT

A bir kare matris olmak üzere, A n n determinant detA veya |A| biçiminde gösterilir ve a a daki e-kilde tan mlan r.

A = [a11]1x1 |A| = a11

A = aa

aa

11

21

12

22= G |A| = a11.a22 – a21.a12

ÖRNEK 41

A41

32

= = G ise |A| de erini bulunuz.

Çözüm

. .A41

32

4 2 1 3 5–= = = olur.

ÖRNEK 42

Ax3

24

= = G olmak üzere |A| = 14 ise x kaçt r?

Çözüm

. .Ax

x3

24

4 2 3–= = oldu undan

|A| = 14 4x – 6 = 14 x = 5 bulunur.

ÖRNEK 43

sincos

cossin

Axx

xx–

= ; E ise |A| de erini bulunuz.

Çözüm

sincos

cossin

Axx

xx–

= = sinx.sinx – (–cosx).cosx

= sin2x + cos2x = 1 bulunur.

ÖRNEK 44

Aa

aaa

2 31

=+ +

+= G ise |A| kaçt r?

Çözüm

Aa

aaa

2 31

=+ +

+

= (a + 2)(a + 1) – a.(a + 3)

= a2 + 3a + 2 – a2 – 3a = 2 bulunur.

ÖRNEK 45

20072009

20052006

determinant n n e itini bulunuz.

Çözüm

2005 = x alal m. Bu durumda

2006 = x + 1 , 2007 = x + 2 ve

2009 = x + 4 olur. Bu de erleri determinantta

yerine yazarsak

xx

xx

24 1

++ +

= (x + 2)(x + 1) – x(x + 4)

= x2 + x + 2x + 2 – x2 – 4x

= 2 – x = 2 – 2005 = –2003 olur.

M NÖR VE E ÇARPAN (KOFAKTÖR)

A, nxn türünde bir matris olmak üzere, aij nin bulun-du u sat r ve sütunun silinmesiyle elde edilen (n – 1) x (n – 1) türündeki Mij matrisinin determinan-t na aij eleman n n minörü denir.

Aij = (–1)i+j |Mij| say s na da aij nin e çarpan (ko-

faktörü) denir.

A =121

275

346

a23 eleman n n minörü 11

25

5 2 3–= = tür.

a23 eleman n n e çarpan

A23 = (–1)2+3.3 = –1.3 = –3 tür.

ÖRNEK 46

A241

305

126–

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW matrisinin tüm e çarpanlar n

bulunuz.

Çözüm

a11 = 2 a12 = 3 a13 = 1

a21 = 4 a22 = 0 a23 = 2

a31 = –1 a32 = 5 a33 = 6

oldu undan,


ES

EN

YAY

INLA

RI

390

A11 = (–1)1+1 05

26

= 1.(0.6 – 5.2) = –10

A12 = (–1)1+2 41

26–

= –1.(4.6 – 2.(–1)) = –26

A13 = (–1)1+3 41

05–

= 1.(4.5 – 0.(–1)) = 20

A21 = (–1)2+1 35

16

= –1.(3.6 – 5.1) = –13

A22 = (–1)2+2 21

16–

= 1.(2.6 – 1.(–1)) = 13

A23 = (–1)2+3 21

35–

= –1.(2.5 – 3.(–1)) = –13

A31 = (–1)3+1 30

12

= 1.(3.2 – 0.1) = 6

A32 = (–1)3+2 24

12

= –1.(2.2 – 4.1) = 0

A33 = (–1)3+3 24

30

= 1.(2.0 – 4.3) = –12 olur.

Bir Determinant n Herhangi Bir Sat ra Veya Sütuna Göre Aç l m

|A| = |aij| determinant n n i. sat ra göre aç l m

.a Aik ikk

n

1=/ d r.

ÖRNEK 47

A211

140

323–

= determinant n 1. sat ra göre aça-

l m.

Çözüm

|A| = 2.(–1)1+1 40

23

+ 1.(–1)1+2 11

23–

+

3.(–1)1+3 11

40–

= 2.1.(12–0)+1.(–1)(3–(–1).2)+3.1.(1.0–(–1).4)

= 24 – 5 + 12 = 31 bulunur.

ÖRNEK 48

A203

114

230

–= determinant n 1. sütuna göre açal m.

Çözüm

|A| = 2.(–1)1+114

30

– + 0.(–1)2+1 1

420

+

3.(–1)3+1 11

23–

= 2.1.(0 – 12) + 0 + 3.1.(3 + 2) = –9 bulunur.

SARRUS KURALI3x3 türündeki bir determinant n ilk iki sat r determi-nant n alt na veya ilk iki sütunu determinant n sa ta-raf na yeniden yaz larak a a daki biçimde aç l r.

=adx

bey

cfz

adxad

beybe

cfzcf

––

–

+++

= a.e.z + d.y.c + x.b.f – (x.e.c + a.y.f + d.b.z)

=adx

bey

cfz

adx

bey

cfz

–

+

adx

bey

+ +

– –

= a.e.z + b.f.x + c.d.y – (x.e.c + y.f.a + z.d.b)

ÖRNEK 49

201

324

115

– determinant n Sarrus kural yla bulunuz.

Çözüm

201

324

1–15

–

+

201

324

+ +

– –

= 2.2.5 + 3.(–1).1 + 1.0.4 – (1.2.1 + 4.(–1).2 + 5.0.3)

= 23 bulunur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

391

DETERM NANTIN ÖZELL KLER

Bir determinant n bir sat r ndaki (veya bir sü-tunundaki) terimlerin tümü s f r ise determinant n de eri s f rd r.

201

306

508

0= 000

321

597

0– =

Bir determinant n iki sat r ndaki (veya iki sütu-nundaki) terimler orant l ise determinant n de eri s f rd r.

148

212

324

0=

Determinant n 3. sat r ndaki terimlerin 2. sat r-daki terimlerin 2 kat na e it oldu una dikkat edi-niz.

Bir determinant n iki sat r ndaki (veya iki sütunun-daki) terimler yer de i tirirse determinant i aret de i tirir.

a

x

b

y

c

z

x

a

y

b

z

c

abc

xyz

xyz

abc

2 3 4 2 3 4

123

123

–

–

=

=

Bir determinant n herhangi bir sat r veya sütunun-daki tüm elemanlar k R ile çarp l rsa determi-nant k ile çarp lm olur.

. . ..

k axd

k bye

k czf

kaxd

bye

czf

=

Bir determinant n bir sat r ndaki (veya sütunun-daki) elemanlar k R ile çarp l p ba ka bir sat r veya sütuna eklenirse determinant n de eri de i mez.

. . .adx

bey

cfz

ad k a

x

be k b

y

cf k c

z= + + +

|AT| = |A|

|A.B| = |A|.|B|

|An| = |A|n

nxn türünden A matrisi için k R olmak üzere

|k.A| = kn|A| d r.

x yad

x ybe

x ycf

xad

xbe

xcf

yad

ybe

ycf

1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3+ + += +

ÖRNEK 50

A211

311

123

––

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW matrisinin determinant n bulunuz.

Çözüm

211

311

123

––

R

T

SSSS

V

X

WWWW

3. sat r (–1) ile çarp p2. sat ra ilave edersek

201

301

113–

R

T

SSSS

V

X

WWWW elde edilir.

Bu determinant 2. sat r na göre açarsak

|A| = 1.(–1)2+3 21

31

= –1.(2 – 3) = 1 bulunur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

392

ÖRNEK 51

sincosA

xx

1=

R

T

SSSS

V

X

WWWW olmak üzere |A.AT| determinant n n

e itini bulunuz.

Çözüm

A.AT = sincos

xx

1

R

T

SSSS

V

X

WWWW [sinx cosx 1]

= ..sin

sin cossin

sin coscoscos

sincos

xx x

x

x xxx

xx

1

2

2

R

T

SSSS

V

X

WWWW olur.

1. ve 2. sat rlar orant l d r.

.

.sin cos

sincos

sin coscossin

cossin

cossin

cossin

x xx

xx x

xx

xx

xx

xx

2

2= =

= =

Bu durumda |A.AT| = 0 bulunur.

ÖRNEK 52

A = 62

52

= G ise |A5| determinant n bulunuz.

Çözüm

|A5| = |A|5 oldu undan,

|A| = 62

52

= 6.2 – 5.2 = 2 dir.

Bu durumda |A5| = 25 = 32 bulunur.

ÖRNEK 53

A31

42– –

= = G ve B21

32

= = G olmak üzere,

|A3.B4| determinant n bulunuz.

Çözüm

|A3.B4| = |A3|.|B4| = |A|3.|B|4 oldu undan

|A| = 31

42– –

= 3.(–2) – 4.(–1) = –2

|B| = 21

32

= 2.2 – 3.1 = 1

|A|3.|B|4 = (–2)3.14 = – 8 bulunur.

ÖRNEK 54

A123

214

022

–=

R

T

SSSS

V

X

WWWW olmak üzere |A–1| determinant n

bulunuz.Çözüm

|A–1| = |A|–1 oldu undan

123

214

0 22

–

+

123

214

+ +

– –

|A| =

= 1.1.2 + 2.(–2).3 + 0.2.4 – (3.1.0+4.(–2).1+2.2.2)

= 2 – 12 – (–8 + 8) = –10 olur.

|A–1| = |A|–1 = (–10)–1 = 101– bulunur.

ÖRNEK 55

|A.B| = 252

301

143

– ve |B| = 17 ise |A| determinan-

t n bulunuz.

Çözüm

252

301

–143

252

301

|A.B| =

= 2.0.3+3.4.2+(–1).5.1–(2.0.(–1)+1.4.2+3.5.3)

= 0 + 24 – 5 – (0 + 8 + 45) = –34 olur.

|A.B| = –34 |A|.|B| = –34

|A|.17 = –34 |A| = –2 bulunur.

ÖRNEK 56

A150

20

160

12

180

11–=

R

T

SSSS

V

X

WWWW matrisinin determinant n bulu-

nuz.

Çözüm

Determinant n 2. sat r ndaki tüm elemanlar 0 oldu undan determinant n de eri s f r olur.

|A| = 0 d r.


ES

EN

YAY

INLA

RI

393

ÖRNEK 57

A54

76

= = G olmak üzere,

|10.A| determinant n bulunuz.

Çözüm

|A| = 54

76

= 5.6 – 4.7 = 2 dir.

nxn türünden A matrisi için

|k.A| = kn.|A| oldu undan

|10.A| = 102.|A| = 100.2 = 200 bulunur.

ÖRNEK 58

534

412

206

– determinant n iki determinant n toplam

biçiminde yaz n z.

Çözüm

534

412

206

3 234

1 312

4 206

334

112

406

234

312

206

– –

–

=+ + +

= +

ÖRNEK 59

x iseb b

aa

ab

253

102

321

25

3

10

2

32

–

–

– –

–

–= ise

determinant n n x cinsinden de erini bulunuz.

Çözüm

b b

aa

ab

25

3

10

2

32

–

–

– determinant n n 3. sat r nda

b çarpan , 3. sütununda a çarpan bulundu-undan,

.253

102

321

. .b b

aa

aba b a b x

25

3

10

2

32

–

–

– –

–

–x

= =

1 2 3444 444

bulunur.

ÖRNEK 60

x mm x2

12

0–

–+= denkleminin bir kökü 2 ise di er

kökü kaçt r?

Çözüm

x m

m x2

12

0–

–+=

(2x + m).x + 2.(m – 1) = 0

2x2 + xm + 2m – 2 = 0 olur.

Denklemin bir kökü x1 = 2 ise bu kök denklemi sa lar.

2.22 + 2.m + 2m – 2 = 0 m = 23– olur.

O halde,

2x2 23– x – 5 = 0 denklemi elde edilir.

Bu denklemde,

x1.x2 = 25– 2.x2 =

25– x2 =

45– bulunur.

ÖRNEK 61

A

B C

D E

y

c

zb

a

x

ABC üçgeninde [DE] // [BC] dir. Buna göre

a

x

b

z

c

y2 3 6 determinant n n de erini bulunuz.

Çözüm

ABC üçgeninde, [DE] // [BC] ise

ABC ADE+& &

ADAB

AEAC

DEBC

= =

yc

zb

xa= = olur.

Bu durumda determinant n 1. ve 3. sat rlar orant l olaca ndan determinant n de eri s f rd r.


ES

EN

YAY

INLA

RI

394

ÖRNEK 62

1211

2402

1232

3124

–

–

––

–


Çözüm

Determinant n 1. sat r n n 2 kat n 2. sat ra eklersek

A

1011

2002

1032

3724–

–

–

= bulunur.

Bu determinant 2. sat r na göre açarsak,

|A| = 7.(–1)2+4111

202

132–

–

– olur.

1 32

11 1

202

11 1

202

= 0 – 6 – 2 – (0 + 6 – 4)

= –8 – 2 = –10 bulunur.

Bu durumda,

|A| = 7.(–1)2+4.(–10) = 7.1.(–10) = –70 olur.

ÖRNEK 63

x y2

0

1

1

435

3–

= do rusunun e imini bulunuz.

Çözüm

–

+ + +

– –

2x0

1y 1

435

2x0

1y 1

= 3

2.y.5 + 1.3.0 + 4.x.(–1) – (0.y.4 – 1.3.2 + 5.x.1) = 3

10y – 4x – (–6 + 5x) = 3

10y – 4x + 6 – 5x = 3

10y = 9x – 3 y = x109

103– bulunur.

Buldu umuz do runun e imi m = 109 dur.

ÖRNEK 64

Düzlemde (x1, y1) ve (x2, y2) noktalar ndan geçen

do ru denkleminin

xxx

yyy

111

01

2

1

2

= biçiminde yaz labilece ini gösteriniz.

Çözüm

= 0

–

+ + +

– –

xx1x2

yy1y2

111

xx1x2

yy1y2

xy1 + x2y + x1y2 – (x2y1 + xy2 + x1y) = 0

xy1 + x2y + x1y2 – x2y1 – xy2 – x1y = 0

xy1 – xy2 + x1y2 = x1y – x2y + x2y1

xy1 – xy2 + x1y2 – x1y1 = x1y – x2y + x2y1 – x1y1

x(y1 – y2) – x1(y1 – y2) = y(x1 – x2) – y1(x1 – x2)

(y1 – y2) (x – x1) = (x1 – x2) (y – y1)

x xy y

x xy y

––

––

1

1

1 2

1 2= olur.

Bu e itlik (x1, y1) ve (x2, y2) noktalar ndan

geçen do ru denklemidir.

EK (ADJO NT) MATR S

Bir A kare matrisinin her eleman n n yerine o elema-

n n kofaktörünün yaz lmas yla olu an matrisin devri-

ine A matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) biçimin-

de gösterilir.

A = aa

aa

11

21

12

22= G Ek(A) =

AA

AA

T11

21

12

22= G

A = aaa

aaa

aaa

11

21

31

12

22

32

13

23

33

R

T

SSSS

V

X

WWWW Ek(A) =

AAA

AAA

AAA

T11

21

31

12

22

32

13

23

33

R

T

SSSS

V

X

WWWW


ES

EN

YAY

INLA

RI

395

ÖRNEK 65

A21

34

= = G matrisinin ek matrisini bulunuz.

Çözüm

a11 = 2 nin kofaktörü, A11 = (–1)1+1.4 = 4

a12 = 3 ün kofaktörü, A12 = (–1)1+2.1 = –1

a21 = 1 in kofaktörü, A21 = (–1)2+1.3 = –3

a22 = 4 ün kofaktörü, A22 = (–1)2+2.2 = 2

Ek(A) = AA

AA

43

12–

–T T11

21

12

22== =G G =

41

32–

–= G

2x2 türünde bir matrisin ek matrisi bulunurken, ve-

rilen matriste birinci kö egendeki elemanlar n yeri,

ikinci kö egendeki elemanlar n i areti de i tirilir.

A = ac

bd

= G Ek(A) = dc

ba–

–= G dir.

ÖRNEK 66

A245

326

101

––

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW matrisinin ek matrisini bulunuz.

Çözüm

A11 = (–1)1+1.26

01

––

= 1.(2 – 0) = 2

A12 = (–1)1+2.45

01–

= –1.(– 4 – 0) = 4

A13 = (–1)1+3.45

26

– = 1.(24 + 10) = 34

A21 = (–1)2+1.36

11–

= –1.(–3 – 6) = 9

A22 = (–1)2+2.25

11–

= 1.(–2 – 5) = –7

A23 = (–1)2+3.25

36

= –1.(12 – 15) = 3

A31 = (–1)3+1.32

10–

= 1.(0 + 2) = 2

A32 = (–1)3+2.24

10

= –1.(0 – 4) = 4

A33 = (–1)3+3.24

32–

= 1.(– 4 – 12) = –16

Ek(A) = AAA

AAA

AAA

T11

21

31

12

22

32

13

23

33

R

T

SSSS

V

X

WWWW

= 292

474

343

16–

–

TR

T

SSSS

V

X

WWWW

= 24

34

973

24

16–

–

R

T

SSSS

V

X

WWWW

Bir Matrisin Tersinin Ek Matris Yard m yla Bulunmas

A kare matrisinde |A| 0 olmak üzere,

A–1 = A1 Ek(A) d r.

A = ac

bd

= G Ek(A) = dc

ba–

–= G oldu undan,

A–1 = A

dc

ba

1–

–= G dir.

ÖRNEK 67

A42

53


Çözüm

|A| = 4.3 – 5.2 = 2 oldu undan

A–1 = 21 3

2

5

423

1

25

2–

–

–

–=> >H H olur.

ÖRNEK 68

Ax5

3 2= = G matrisinin tersinin bulunmamas için x

kaç olmal d r?

Çözüm

|A| = 0 ise A–1 tan ms zd r.

Bu durumda

|A| = 5.2 – x.3 = 10 – 3x

|A| = 0 10 – 3x = 0 x = 310 olmal d r.


ES

EN

YAY

INLA

RI

396

ÖRNEK 69

A123

212

111–

–

–=

R

T

SSSS

V

X

WWWW matrisinin tersini ek matris yard -

m yla bulunuz.

Çözüm

Ek = –A

1

2

1

1

2

2

1

1

2

1

1

1

2

3

1

1

1

3

1

1

1

2

1

1

2

3

1

2

1

3

2

2

1

2

2

1

– –

–

–

–

–

––

–

–

––

–

––

T

^ h

R

T

SSSSSSSSSSSSS

V

X

WWWWWWWWWWWWW

= 143

523

783–

–

–

TR

T

SSSS

V

X

WWWW

= 157

428

333–

––

R

T

SSSS

V

X

WWWW olur.

123

21

–2

–11

–1

123

21

–2|A| =

= –1 + 6 + 4 – (–3 – 2 – 4)

= 18 oldu undan

AA

Ek A1

181

157

428

333–

––

1– =

=

^ hR

T

SSSS

V

X

WWWW

=

181

185

187

92

91

94

61

61

61–

–

–

R

T

SSSSSSSS

V

X

WWWWWWWW

bulunur.

Do rusal Denklem Sisteminin Ters Matris Yard m yla Çözümü

Matris gösterimi A.X = B olan do rusal denklem sis-

temlerini X = A–1B biçiminde göstererek çözebiliriz.

ÖRNEK 70

x yy z

x z

12 3

3 4

– –

–

=+ =

=

_

`

a

bb

bb denklem sistemini ters matris yard m yla çözelim.

Çözüm

Verilen denklem sisteminin matrisle gösterimi

.t rü.

xyz

101

120

013

134

–

–

–

=

XA B

R

T

SSSS

R

T

SSSS

>V

X

WWWW

V

X

WWWW

H1 2 3444 444 W [

A matrisinin tersini ek matris yard m yla bulal m.

Ek A

2

0

1

3

1

0

0

3

1

2

0

1

0

1

1

3

1

1

0

3

1

0

0

1

0

1

2

0

1

1

1

0

1

0

1

2

–

––

–

–

––

–

–

––

–

T

=^ h

R

T

SSSSSSSSSS

V

X

WWWWWWWWWW

Ek A631

131

212

–––

––

––

T

=^ hR

T

SSSS

V

X

WWWW

612

331

112

–

–

–––

––=

R

T

SSSS

V

X

WWWW

|A| = –7 oldu undan

A–1 = A1 Ek(A) =

71

612

331

112

––

–

–––

––

R

T

SSSS

V

X

WWWW

A

76

71

72

73

73

71

71

71

72

–

–

1– =

R

T

SSSSSSSS

V

X

WWWWWWWW

olur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

397

Bu durumda

A.X = B X = A–1.B olaca ndan A–1 matrisini yerine yazarsak,

x

76

71

72

73

73

71

71

71

72

–

–

A 1–

=

R

T

SSSSSSSS

V

X

WWWWWWWW

1 2 34444 4444

.–1

3

4

B

76

79

74

71

79

74

72

73

78

–

– –

+ +

+ + +

+

=

R

T

SSSSSSSS

V

X

WWWWWWWW

121–

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW olur.

O halde, x = 1 , y = 2 , z = –1 dir.

CRAMER KURALI

a x b y c z da x b y c z da x b y c z d

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

+ + =+ + =+ + =

_

`

a

bb

bb

denklem sisteminde

|A| = aaa

bbb

ccc

1

2

3

1

2

3

1

2

3

, |Ax| = ddd

bbb

ccc

1

2

3

1

2

3

1

2

3

|Ay| = aaa

ddd

ccc

1

2

3

1

2

3

1

2

3

, |Az| = aaa

bbb

ddd

1

2

3

1

2

3

1

2

3

olmak üzere,

x = AAx , y =

AAy , z =

AAz d r.

|A| 0 ise sistemin tek çözümü vard r.

|A| = |Ax| = |Ay| = |Az| = 0 ise sistemin çözüm kü-

mesi sonsuz elemanl d r.

|A| = 0 iken |Ax| , |Ay| , |Az| den en az biri s f r-

dan farkl ise sistemin çözüm kümesi Ø dir.

ÖRNEK 71

x y

x y2 5

4– =

+ =4 sistemini Cramer kural ile çözelim.

Çözüm

Denklem sistemi xy

21

11

54

–== = =G G G

ve kat say lar determinant

|A| = 21

11

– = 2 + 1 = 3 0

oldu undan sistemin tek çözümü vard r. Bu çözüm,

.

xA

yA

dir

54

11

35 4 3

21

54

38 5 1

–

–

= = + =

= = =

ÖRNEK 72

x y zx y z

x y z

22 1

3 2 1

–––

+ =+ =

+ =

_

`

a

bb

bb

sistemini Cramer kural yla çözelim.

Çözüm

Denklemin kat say lar determinant

A121

113

112

3–

––

= =

A211

113

112

3–

––

x = =

A121

211

112

6––

y = =

A121

113

211

9–

z = =

oldu undan sistemin çözüm kümesi

xAA

33 1

x= = = , y

AA

36 2

y= = =

zAA

39 3

z= = = bulunur.

398

1. A a daki determinantlar n e itini bulunuz.

a. 54

1210

b. 31

24

––

c. xx

xx

11–

+

d. 19871989

19881990

e. 1993

19921994

1991

f. 121

312

041

–

g. 210

141

322

–

h. 1004

2002

300

70–

. 231

012

041

–

–

i. ada

beb

cfc2 2 2

2. A435

211

102

–=

olmak üzere A matrisinin tüm e çarpanlar n bulunuz.

3. A211

102

345

–=

determinant n 2. sat ra göre aç n z.

4. 110

213

425

––

determinant n 3. sat ra göre aç n z.

5. A a daki ifadelerden do ru olanlar için bo ku-tuya “D” yanl olanlar için “Y” yaz n z.

|AT| = |A|

|A.B| = |A|.|B|

|An| = |A|n

|k.A| = k.|A|

|I | = 0

ES

EN

YAY

INLA

RI

ALIŞTIRMALAR – 3

1. a. 2 b. –10 c. –2x d. –2 e. –2 f. –3 g. 17 h. 0 . 18 i. 0 2. A11 = –2 , A12 = –6 , A13 = 8 , A21 = –3

A22 = 3 , A23 = 6 , A31 = 1 , A32 = 3 , A33 = –10 3. –13 4. –23 5. D, D, D, Y, Y


399

ES

EN

YAY

INLA

RI

6. A52

94

=

olmak üzere, |A4| determinant n n e itini bulu-nuz.

7. A ve B24

13

51

92

= == =G G olmak üzere, |A2.B4| determinant n n e itini bu-

lunuz.

8. A241

110

323

–=

R

T

SSSS

V

X

WWWW

olmak üzere, |A–1| determinant n n e itini bulu-

nuz.

9. .A B214

131

023

–= ve |B| = 2

olmak üzere, |A| determinant n n e itini bulunuz.

10. A(2, 1) ve B(–3, 2) noktalar ndan geçen do ru-nun denklemini determinant yard m yla bulunuz.

11. x y3

14

11

32

2– =

do rusunun e imini bulunuz.

12. A24

13

= = G matrisinin ek matrisini bulunuz.

13. A114

211

303

–=

R

T

SSSS

V

X

WWWW

matrisinin ek matrisini ve ek matristen yararlana-rak A–1 matrisini bulunuz.

6. 16 7. 4 8. 131– 9.

211 10. x + 5y = 7

11. –2 12. 34

12–

–; E 13. Ek(A) = 335

397

333

––

––

–> H A–1 =

33

39

361

5 7

33

––

––

–> H


400

ES

EN

YAY

INLA

RI

14. A a daki matrislerin çarpmaya göre terslerini ek matris yard m yla bulunuz.

a. 43

65

= G

b. 22

21–

= G

c. 03

14

= G

15. x + y = 3

2x – z = 0

3y – 2z = 2

denklem sisteminin çözüm kümesini ters matris yard m yla bulunuz.

16. x + y + z = 3

x – y + 2z = 4

y + z = 1

denklem sisteminin çözüm kümesini ters matris yard m yla bulunuz.

17. 3x + 2y = 1

2x + 5y = –14

denklem sistemini Cramer kural yla çözünüz.

18. A a daki denklem sistemlerini Cramer kural yla çözünüz.

a. 2x – y + z = 3

x + 2y – z = 2

x – y + 4z = 11

b. x + y + z = 3

x – y + 2z = 1

3x – 2y + z = 4

c. 2x – y + 2z = 11

x + 2y + 3z = 9

2x + y – z = 0

19.

1211

2402

1232

3124

–

–

––

– determinant n n e itini bulunuz.

14. a. 3

621 5

4––; E b.

261 1

22

–; E c. 4

31

310

–; E 15. (x, y, z) = (1, 2, 2) 16. (x, y, z) = (2, 0, 1)

17. (x, y) = (3, –4) 18. a. (x, y, z) = (1, 2, 3) b. (x, y, z) = (2, 1, 0) c. (x, y, z) = (2, –1, 3) 19. –70

ES

EN

YAY

INLA

RI

401


1. .c

ba2

32

111

10

21

34

–

–

··

·

···

=

R

T

SSSS

= >V

X

WWWW

G H e itli ini sa layan a + b + c kaçt r?

2. A = [1 2 3 ] ve B = 123

R

T

SSSS

V

X

WWWW olmak üzere

B.A matrisini bulunuz.

3. ac

bd

43

21

10

01

––

· == = =G G G e itli ini sa layan a + d de eri kaçt r?

4. A ve B20

31

13

21

= == =G G olmak üzere A.X = BT e itli ini sa layan X mat-

risini bulunuz.

5. A matrisi 2 x 2 türünde bir matris olmak üzere,

. .A ve A21

10

01

31–

= == = = =G G G G ise .A32= G mat-

risini bulunuz.

6. 22

13

222

13

10

01

– –2+ += = =G G G



402

ES

EN

YAY

INLA

RI

7. Aa

b81

21

=

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

matrisinin tersi kendisine e it ise

a2 + b2 kaçt r?

8. A13

11


9. A10001002

10011003

= = G ise |A| ifadesinin e itini bu-

lunuz.

10. A131

210

012

–=

R

T

SSSS

V

X

WWWW ise A–1 matrisini bulunuz.

1. 11 2. 123

246

369

> H 3. 23– 4. 2

5

2

0

1

–> H 5. 0

21–

R

T

SSSS

V

X

WWWW

6. 336 18; E 7.

815 8. –221 1

001

; E 9. –2 10. 12

1251

422

217

–––

–––

> H

ES

EN

YAY

INLA

RI

403


1. f(x) = x2 – 4x + 4 ve A31

11–

= = G ise


2. b 0 olmak üzere,

xz

ya

; E matrisinin elemanlar b kadar art r ld -

nda determinant de i medi ine göre a de e-rini bulunuz.

3. A24

13

= = G ise A–1 matrisini bulunuz.

4. A20

32–

= = G olmak üzere A2009 matrisini bulu-

nuz.

5. sincos

cossin

A55

55

°°

°°

= = G ise A2 matrisini bulunuz.

6. A ve Bac

bd

22

20

–= == =G G olmak üzere,

A.B = A – B ise B matrisini bulunuz.


404

ES

EN

YAY

INLA

RI

7. A222444

333555

= = G ise |A| de erini bulunuz.

8. x

x231

11 2

30– = denkleminin kökler toplam kaç-

t r?

9.

1200

2100

1011

3121

–

–


10. A211

102

311

–=

R

T

SSSS

V

X

WWWW matrisinin ek matrisini bulunuz.

1. 2

2210––; E 2. z + y – x 3.

223

21

1–

–> H 4. 22008 32

20 –; E 5.

sinsin1

10101°

°; E

6. 56

52

52

54–

–R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

7. –2.1112 8. 1 9. –9 10. 222

513

151

–

–––

–> H

ES

EN

YAY

INLA

RI

405

TEST – 1

1. Ax y

x zve B

t4 63

11

––

–= == =G G olmak

üzere, A = B ise x + y + z + t kaçt r?

A) –8 B) – 6 C) –5 D) 5 E) 6

2. A ve12

13

04

20

42

64

–– –

= = =G G olmak üze-

re, A B32

– matrisi a a dakilerden hangisidir?

A) 26

510

38

– –= G B) 26

510

314–= G

C) 26

510

38

= G D) 26

510

314

– –= G

E) 26

510

314

– –= G

3. A12

23–

= = G olmak üzere,

A + AT matrisi a a dakilerden hangisidir?

A) 24

46–

= G B) 06

20

= G C) 20

06

= G

D) 04

40–

= G E) 24

46

––

= G

4. .A332

15

202

11

– ––

+ == =G G e itli ini sa layan

A matrisi a a dakilerden hangisidir?

A) 12

11–

–= G B) 12

11– –

= G C) 12

11–

= G

D) 12

11–

= G E) 12

11–

––

= G

5. A ve B12

10

13

21

– –= == =G G olmak üzere,

A.B matrisi a a dakilerden hangisidir?

A) 42

14

––= G B)

42

12

––= G C)

42

14

––

= G

D) 42

14

––

–= G E) 42

14

– ––

= G

6. A ve B2 1 3110

–= =

R

T

SSSS

6V

X

WWWW

@ ise


A) [ 2 –1 0 ] B) 210

–

R

T

SSSS

V

X

WWWW C) [ 1 ]

D) [ 2 ] E) [ –2 1 0 ]

7. A = [ 1 2 –1 ] ve B = 012

R

T

SSSS

V

X

WWWW ise

B.A matrisi a a dakilerden hangisidir?

A) [ 0 ] B) [ 2 ] C) [ 0 2 –2 ]

D) 000

121

242– –

R

T

SSSS

V

X

WWWW E)

012

024

012

––

R

T

SSSS

V

X

WWWW

8. A13

21–

= = G ise A2 matrisi a a dakilerden

hangisidir?

A) 70

07

–= G B) 07

70–

= G C) 70

07

––

= G

D) 70

07

= G E) 07

70

= G


ES

EN

YAY

INLA

RI

406

1.B 2.E 3.C 4.B 5.A 6.C 7.E 8.D 9.A 10.D 11.A 12.C 13.E 14.A 15.C 16.C

9. A11

02–

= = G ve f(x) = x2 + 2x ise f(A) matrisi a a dakilerden hangisidir?

A) 35

08–

= G B) 35

08–

= G C) 35

08– –

= G

D) 30

08

= G E) 30

08–

= G

10. x2 – 4x + n = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere,

.x

x21 0

1 10

61

21

–

–1

2== = =G G G ise n kaçt r?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

11. .log x Iny

Iny121

13 0

72

2– –

2 == = >G G H e itli ini sa layan x + y kaçt r?

A) e2 + 2 B) e + 2 C) e2 + 1D) e + 1 E) e + 3

12. A10

41


hangisidir?

A) 10

21

40> H B) 10

21

20> H C) 10

801

= G

D) 10

401

= G E) 10

201

= G

13. A20

12


hangisidir?

A) 210 10

41

= G B) 210 20

102

= G C) 29 20

92

= G

D) 210 20

92

= G E) 29 20

102

= G

14. A13

13

– –= = G ise A2008 matrisi a a dakiler-

den hangisidir?

A) 22007.A B) 22008.A C) 22007.D) 22008. E) 22006.A

15. A20

32–


hangisidir?

A) 21000. B) 21001. C) 21000.AD) 21001.A E) 2500.A

16. A11

11

= = G ve A6464

6464

n = = G ise n kaçt r?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

ES

EN

YAY

INLA

RI

407

TEST – 2

1. A11

10

–= = G ve B

66

14

= = G olmak üzere,

A.C = B e itli ini sa layan C matrisinin bütün elemanlar n n toplam kaçt r?

A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29

2. A23

54

= = G ve B51

= = G olmak üzere,

AT.C = B + C ko ulunu sa layan C matrisi a a-dakilerden hangisidir?

A) 12–

= G B) 12

–= G C) 21–

= G

D) 12= G E)

21

–= G

3. A21

31–

= = G ve B = AT – A ise B matrisi a a-


A) 02

20–

–= G B) 02

20

= G C) 02

20–

= G

D) 02

30–

= G E) 02

20

–= G

4. A11

11

= = G ise A + A2 + A3 matrisi a a daki-

lerden hangisidir?

A) 55

55

= G B) 66

66

= G C) 77

77

= G

D) 88

88

= G E) 99

99

= G

5. A13

11–


hangisidir?

A) –21986.A B) –21986. C) 21986.AD) 21986. E) 21987.A

6. A01

10–

–= = G ise A1993 matrisi a a dakiler-

den hangisidir?

A) B) A C) 21992.AD) 21992. E) 21993.A

7. A = 10

23

= G ve f(x) = x2 – x + 2 ise

f(A) matrisi a a dakilerden hangisidir?

A) 20

68

= G B) 20

86

= G C) 60

28

= G

D) 20

46

= G E) 20

64

= G

8. Aa

ave A

aa

14 8

288

2= == =G G ise

a n n pozitif de eri kaçt r?

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 21


ES

EN

YAY

INLA

RI

408

1.C 2.B 3.E 4.C 5.C 6.B 7.A 8.C 9.D 10.C 11.D 12.A 13.B 14.B 15.D 16.A

9. A = a b

261

––= G ve B =

a b44

122– +

= G olmak

üzere, A – B2

= 2x2 ise a + b kaçt r?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

10. A = [aij]2x2 matrisi, aij = ,,

i ji j

i ji j–>+)

biçiminde tan mlanm t r. Buna göre A matrisi a a dakilerden hangisidir?

A) 03

10

= G B) 21

14

–= G C) 03

10

–= G

D) 21

14–

= G E) 03

10–

= G

11. 213

121

342

–

R

T

SSSS

V

X

WWWW matrisinde a23 teriminin kofaktörü

(e çarpan ) kaçt r?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

12. cossin

sincos

Axx

xx

–= = G olmak üzere, A2 matrisi


A) cossin

sincos

xx

xx

22

22

–= G B) 10

01

= G

C) cossin

sincos

xx

xx

22

22–

= G D) 10

01

–= G

E) sin

sinx

x12

21

––

= G

13. A32

32

– –= = G ise A15 matrisi a a dakilerden

hangisidir?

A) 32

32– –

= G B) 32

32

– –= G C) 10

01

= G

D) 10

01

––

= G E) 30

03

––

= G

14. x

241

31

124

–R

T

SSSS

V

X

WWWW matrisinde a13 teriminin kofaktörü

7 ise x kaçt r?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

15. a

bc

232

112

12

21

36

–

–··

·

·

··=

R

T

SSSS

= >V

X

WWWW

G H ise

a + b + c kaçt r?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

16. 12

34

212

34

10

01–

––

2+= = =G G G


A) 66

93

––= G B)

66

93

––

= G C) 6

63

9––

= G

D) 66

39

––= G E)

66

39–

–= G

ES

EN

YAY

INLA

RI

409

TEST – 3

1. A32

21

= = G olmak üzere,

A2 – 4A + 4 i leminin sonucu a a dakilerden hangisidir?

A) 10

01

= G B) 40

04

= G C) 50

05

= G

D) 05

50

= G E) 04

40

= G

2. A ve Bac

bd

10

11


A.B = A – B e itli ini sa layan B matrisi için 4B matrisi a a dakilerden hangisidir?

A) 20

12

–= G B) 20

12–

= G C) 20

12

–= G

D) 00

12

–= G E) 20

12

––

= G

3. a

a b24 1

1 42– –

== = =G G G ise a kaçt r?

A) 81 B)

41 C)

21 D) 2 E) 4

4. A ve B24

12

10

21

32– –

= == =G G ise

(A.B)T matrisi a a dakilerden hangisidir?

A) 254

46

12

R

T

SSSS

V

X

WWWW B)

254

448

R

T

SSSS

V

X

WWWW C)

254

46

16

R

T

SSSS

V

X

WWWW

D) 24

54

416

= G E) 24

54

412

= G

5. 30

13–

20= G matrisinin e iti a a dakilerden han-

gisidir?

A) 32001

10

= G B) 310 30

13–

= G C) 320 30

13–

= G

D) 310 10

01

= G E) 320 10

01

= G

6. A35

12

= = G matrisinin tersi a a dakilerden han-

gisidir?

A) 25

13–

–= G B) 25

13

––

= G C) 25

13–

= G

D) 25

13–

= G E) 31

52

––

= G

7. x

y81

21R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

matrisinin tersi kendisine e it oldu una

göre x in pozitif de eri kaçt r?

A) 815 B)

615 C)

515 D)

415 E)

215

8. Aab

33–

= = G olmak üzere,

A2 = A.A–1 e itli ini sa layan a.b kaçt r?

A) –6 B) –7 C) –8 D) –9 E) –10


ES

EN

YAY

INLA

RI

410

1.C 2.A 3.B 4.C 5.E 6.A 7.D 8.C 9.A 10.C 11.D 12.A 13.E 14.D 15.D 16.B

9. A x113

220

3

4–=

R

T

SSSS

V

X

WWWW matrisinin tersinin bulunmamas

için x kaç olmal d r?

A) 31 B)

21 C) 1 D) 2 E) 3

10. A204

111

23

3–=

R

T

SSSS

V

X

WWWW matrisinde anm eleman n n

kofaktörü Anm ise A22 + A23 kaçt r?

A) –8 B) –6 C) –4 D) –2 E) –1

11. A30

63

= = G olmak üzere,

A20 = 320 x10 1= G ise x kaçt r?

A) 20 B) 25 C) 30 D) 40 E) 50

12. A–1 = 53

21

= G ve B = 20

31–

= G olmak üzere,

A.x = B e itli ini sa layan x matrisi a a daki-lerden hangisidir?

A) 106

138

= G B) 193

71– –

= G C) 1013

68

= G

D) 197

31

––

= G E) 6

108

13= G

13. A21

43

= = G matrisinin ek matrisi a a dakiler-

den hangisidir?

A) 34

12

= G B) 24

13

––

= G C) 31

42

= G

D) 24

13–

–= G E) 31

42–

–= G

14. Ax2 1

4= = G ve B

56

617

= = G olmak üzere,

A.AT = B ise x kaçt r?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

15. A111

111

111

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW ise A10 matrisi a a dakilerden

hangisidir?

A) A B) 3A C) 9A D) 39.A E) 310.A

16. cossin

sincos

A4040

4040

°°

– °°

= = G ve

cossin

sincos

B5050

5050

°°

– °°

= = G ise A.B matrisi a a -


A) 01

10

= G B) 01

10

–= G C) 10

01

= G

D) 10

01

–= G E) 01

10–

= G

ES

EN

YAY

INLA

RI

411

TEST – 4

1. A12

13

–= = G ve B

ac

bd

= = G olmak üzere,

AT + B = A2 ise a + b + c + d kaçt r?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

2. A23

24

–= = G ve B

ac

bd

= = G olmak üzere,

A.B = 4A e itli ini sa layan B matrisi a a -


A) 20

02

––

= G B) 40

04

––

= G C) 20

02

= G

D) 04

40

= G E) 40

04

= G

3. A = 2x

2 1–

= G ve B = y

56

6> H olmak üzere,

A.AT = B ise x + y kaçt r?

A) 26 B) 24 C) 22 D) 18 E) 16

4. A = 05

20

= G , B = 02

30

= G ve C = 0

1270

= G olmak üzere, x.A + y.B = C ise x + y kaçt r?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

5. A = [sinx cosx ] ve B = sincos

sincos

xx

xx–

= G olmak üzere A.B matrisi a a dakilerden hangi-

sidir?

A) [cos2x 1 ] B) 0 C) [cosx sinx ]D) [1 –cos2x ] E) [1 cosx ]

6. Aac

bd

= = G matrisinde her sat r n terimleri topla-

m 4 ise A2 matrisinin 1. sat r ndaki terimlerin toplam kaçt r?

A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) 24

7. ,A B23

11

55–

= == =G G ve Cxy

= = G olmak üzere, A.C = B e itli ini sa layan x + y

de eri kaçt r?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

8. A13

27

= = G oldu una göre,

A–1 a a dakilerden hangisidir?

A) 73

21

––

= G B) 12

37

––

= G C) 12

37–

–= G

D) 72

31

= G E) 73

21–

–= G


ES

EN

YAY

INLA

RI

412

1.C 2.E 3.B 4.A 5.D 6.C 7.B 8.E 9.A 10.C 11.E 12.B 13.D 14.D 15.E 16.A

9. A14

26

–= = G olmak üzere,

A.BT = 14

632–= G e itli ini sa layan B matrisi


A) 12

04

= G B) 10

24

= G C) 21

40

= G

D) 24

10

= G E) 04

12

= G

10. Aa b1 0

= = G ve Bc

b0 2 18–

= = G olmak üzere,

A–1 = B ise a + b + c kaçt r?

A) –8 B) –7 C) –6 D) –5 E) –4

11. A ve B20

03

46

412


A–1.B matrisi a a dakilerden hangisine e ittir?

A) 24

22

–= G B) 22

42–

= G C) 22

24

–= G

D) 24

22

–= G E) 22

24

–= G

12. A12

03

= = G ve B = 31= G ise AT.B matrisi


A) 35= G B)

53= G C)

39= G D)

93= G E)

59= G

13. A = [aij]2x2 matrisi için

A.12

47

== =G G ve A.13

18

–== =G G ise A.

32

–= G matrisi a a dakilerden hangisine e ittir?

A) 34–

= G B) 43–

= G C) 34

–= G

D) 43

–= G E) 13= G

14. A = x4

25

= G matrisinin her eleman 4 azalt ld n-

da |A| determinant n n de eri de i medi ine göre x kaçt r?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

15. A = 111

333

444

––

–

–

–

R

T

SSSS

V

X

WWWW ise A2 matrisi a a daki-

lerden hangisidir?

A) A B) 100

010

001

R

T

SSSS

V

X

WWWW C)

011

101

110

R

T

SSSS

V

X

WWWW

D) 2A E) 0

16. A211

232

443

––

–

–

–=

R

T

SSSS

V

X

WWWW ise A2 matrisi a a daki-

lerden hangisidir?

A) A B) 2A C) 0

D) 100

010

001

R

T

SSSS

V

X

WWWW E)

211

232

443–

––

––

R

T

SSSS

V

X

WWWW

ES

EN

YAY

INLA

RI

413

TEST – 5

1. A41

22

–= = G ise |A| kaçt r?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12

2. Ax

xx

x1

1–

=+

= G ise |A| determinant n n e iti


A) –2 B) –1 C) 1 D) x E) 2x

3. A10011003

10021004

= = G olmak üzere,

|A| determinant n n de eri kaçt r?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

4. A434

203

125–

–=

R

T

SSSS

V

X

WWWW matrisinde a32 eleman n n

e çarpan kaçt r?

A) –5 B) –3 C) 5 D) 8 E) 11

5. A x121

2

3

322–

–=

R

T

SSSS

V

X

WWWW matrisinde a13 eleman n n

e çarpan 4 ise x kaçt r?

A) –3 B) –2 C) –1 D) 1 E) 2

6. A114

201

325

–=

R

T

SSSS

V

X

WWWW olmak üzere,


A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23

7. A2

104

4408

1502

–

–=

R

T

SSSS

V

X

WWWW olmak üzere,


A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

8. x y12

31

211

0– = do rusunun e imi kaçt r?

A) –2 B) –1 C) 2 D) 3 E) 4


ES

EN

YAY

INLA

RI

414

1.C 2.B 3.A 4.E 5.B 6.C 7.A 8.E 9.B 10.D 11.B 12.E 13.D 14.D 15.A 16.C

9. |A| = 4 ve |A.B| = 214

101

432–

ise |B| kaçt r?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

10. A51

62

= = G olmak üzere, |A4| kaçt r?

A) 8 B) 16 C) 128 D) 256 E) 400

11. A ve B23

10

32

43


|A3B4| determinant n n de eri kaçt r?

A) –9 B) –27 C) –36 D) –54 E) –81

12. A56

34

= = G ise A–2 matrisi a a dakilerden

hangisidir?

A) 217

227

427

443

–

–

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

B) 217

227

427

443

–

–

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

C) 217

227

427

443

–R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

D) 217

227

427

443

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

E) 217

227

427

443–

–R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

13. A45

32

= = G matrisinin ek matrisi a a dakiler-

den hangisidir?

A) 25

34

= G B) 52

43

––

= G C) 43

52

––

= G

D) 25

34–

–= G E) 34

25–

–= G

14. A132

214

125

–=

R

T

SSSS

V

X

WWWW ise |A–1| kaçt r?

A) –35 B) –7 C) 71– D)

351– E)

701–

15. A x4

1

131

242–

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW olmak üzere,

x in hangi de eri için A–1 yoktur?

A) 219 B) 10 C)

212 D) 11 E)

223

16. x214

436

328

= olmak üzere,

434

896

668

determinant n n x cinsinden de eri


A) 2x B) 3x C) 6x D) 12x E) 36x

ES

EN

YAY

INLA

RI

415

TEST – 6

1. A225

346

121

––=

R

T

SSSS

V

X

WWWW matrisinde a32 teriminin mi-

nörü kaçt r?

A) – 4 B) –2 C) 1 D) 2 E) 4

2. xx

xx

13

24

++

++

determinant n n e iti a a dakiler-

den hangisidir?

A) –3 B) –2 C) –1 D) 1 E) 2

3. A42

35

–= = G matrisinin ek matrisi a a dakiler-

den hangisidir?

A) 53

24

–= G B) 52

34

– ––

= G C) 52

34–

= G

D) 43

25

–– –= G E)

43

25

–= G

4. 130

211

142

– determinant n n de eri kaçt r?

A) –18 B) –17 C) –15 D) –13 E) –10

5. Ax2

11

24

301–

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW olmak üzere,

A–1 matrisinin bulunmamas için x kaç olmal -d r?

A) 12 B) 16 C) 20 D) 22 E) 24

6. Ax

13

22–

= > H olmak üzere,

|A| = 1 ise x in alabilece i de erler toplam kaç-t r?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

7. Aa1

1 221–

= = G olmak üzere,

|A.AT| = 27 ise a kaçt r?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

8. Ax

ve B23

5 54

76


|A–1.B4| = 16 ise x kaçt r?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9


ES

EN

YAY

INLA

RI

416

1.D 2.B 3.C 4.B 5.D 6.C 7.D 8.D 9.E 10.A 11.C 12.C 13.E 14.A 15.D 16.A

9. x

a x2 1

23

0–+

= denkleminin köklerinden biri 2

ise a kaçt r?

A) 311 B) 4 C)

314 D) 5 E)

316

10. A x y z5

4

2

4

3

6=

R

T

SSSS

V

X

WWWW olmak üzere,

|A| = 0 ise zy kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E32

43

54

65

76

11. [AB] // [DC]

A a B

D d C

E

e

c b

f [DB] [AC] = {E} olmak üzere

ada

bec

cfb

determinant n n de eri kaçt r?

A) a2 B) b C) 0 D) 1 E) a.c

12. A287

453

1029

––

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW olmak üzere,

|A| = t ise a ab

bb

a287

453

1029

––

determinant n n e iti a a dakilerden hangisidir?

A) a3b3t B) a2b2t C) abtD) abt2 E) abt3

13. .A21

32

14

20

–== =G G e itli ini sa layan A mat-

risi a a dakilerden hangisidir?

A) 104

72

––= G B)

107

42

–= G C) 7

1024

––

= G

D) 7

1024– –

= G E) 107

42

– –= G

14. xxx

xxx

xxx

33 4 3 112– – = e itli ini sa layan x de-

eri kaçt r?

A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3

15. aa

aa

11

64–

2

2

2

2

+ ++

determinant n n e iti a a daki-

lerden hangisidir?

A) a2 B) a4 C) a2 + 10D) 10 E) 12

16. xx1

011

312

13––

= denkleminin kökler toplam kaç-

t r?

A) 23– B) –2 C)

25– D) –3 E)

27–

ES

EN

YAY

INLA

RI

417

TEST – 7

1. Mertebeleri m.n ve u.v olan iki matrisin çarp -labilmesi için a a dakilerden hangisi sa lanma-l d r?

A) m = n B) m = v C) n = vD) m = u E) n = u

2. a b

aa b

a b32

24

––

– –+

++

== = =G G G e itli ini sa layan a ve b nin de erleri a a -


A) a = 2 , b = 3 B) a = 2 , b = 2

C) a = 3 , b = 2 D) a = 3 , b = 3

E) a = 1 , b = 2

3. A = [a b ] ve B = b

ab

a1

1–

–= G ise A.B nedir?

A) A B) B C) B.A

D) 10

01

= G E) ab; E

4. A30

12

= = G ise A3 matrisi a a dakilerden han-

gisidir?

A) 60

24

= G B) 90

54

= G C) 180

108

= GD)

270

198

= G E) 2719

08

= G

5. Elemanlar (Z/3, + , .) olan

A ve B22

10

10

12

= => >H H

matrisleri için de çarpma kural geçerli ise

A.B a a dakilerden hangisidir?

A) 10

01

> H B) 22

10

> H C) 22

12

> HD) 2

122

> H E) 21

12

> H

6. a, b, c, d birer tam say olmak üzere,

Aac

bd

= = G matrisinin tersi, A–1 = xz

yt

; E gibi bir

matristir. x, y, z, t nin birer tam say olmas için a a daki ba nt lardan hangisi sa lanmal d r?

A) ad + bc = 1 B) ad – bc = 1

C) ab + cd = 1 D) ab – cd = 1

E) ac – bd = 1

7. .13

24

21

13

çarp m a a daki say lardan han-

gisine e ittir?

A) –10 B) –15 C) –20 D) –25 E) –30

8. A a dakilerden hangisi A(–1, 3) ve B(2, 4) noktalar ndan geçen do runun denklemi de il-dir?

A) y = 31 (x + 10) B) y x

23

61–

= +

C) x y1

33

10

– += D)

x y12

34

111

0– =

E) 3y – x = 10


ES

EN

YAY

INLA

RI

418

1.E 2.A 3.A 4.D 5.C 6.B 7.A 8.C 9.C 10.E 11.C 12.B 13.E 14.A 15.A 16.D

9. f(x) = cos

log sin

sin

cos

x

x

x

x21

1

–

–

2

ise

f8rb l in de eri nedir?

A) 22 B)

22 1– C)

22 2+

D) 2

3 1– E) 2

3 1+

10. .a

b

1

3

2

6 41

61 1

0

0

1

–=

R

T

SSSSS

> >V

X

WWWWW

H H oldu una göre,

a.b çarp m kaçt r?

) ) ) ) )A B C D E41

61

81

121

241– – – – –

11. A14

23–

= = G ve g(x) = x2 + 2x – 11 ise

g(A) matrisi a a dakilerden hangisine e ittir?

A) 14

23–

= G B) 28

46–

= G C) 0

D) 98

417––= G E)

011

110–

–= G

12.

aa

aa

a

a0000

0

000

00

00

000

0

0000

n

2

4

6

8

10

= ise n kaçt r?

A) 32 B) 30 C) 28 D) 26 E) 24

13. A29

12

= = G ve = 10

01

= G oldu una göre,

det(A – ) = 0 e itli ini sa layan de erlerinin toplam kaçt r?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

14. cossin

sincos

A–i

i

i

i= = G ise AT.A matrisi a a daki-


A) 10

01

= G B) cossin

sincos– 2

i

i

i

i= G

C) sincos

cossin

–i

i

i

i= G D)

cossin

sincos2

2–2

2

i

i

i

i> H

E) cos

cos2

00

2i

i= G

15. a, b, c, d ard k dört çift say ise

ac

bd

determinant n n de eri a a dakilerden

hangisidir?

A) – 8 B) – 6 C) – 4 D) –2 E) 0

16.

cossin

sincos

cossin

sincos

A ve

B

2020

2020

4040

4040

°°

– °°

°°

– °°

=

=

=

=

G

G


A) 41 1

3

3

1

–> H B) 21 3

1

1

3

–> H

C) 1

3

3

1

–> H D) 21 1

3

3

1

–> H E)

10

01

= G

419

1. 1981 – ÖYS

Yandaki ekilde A

B C

D E

p

c

nb

a

m

[DE] // [BC] dir.

ABC üçgeninin

kenarlar a, b, c

ve ADE üçgeni-

nin kenarlar

m, n, p oldu una göre,

ma

nb

pc

1 2 3 determinant n n de eri nedir?

A) 6 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0

2. 1981 – ÖYS

Mac

bd

= = G matrisinde her sat r n terimleri top-

lam 3 oldu una göre, M2 matrisinin 1. sat r terimleri toplam nedir?

A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18

3. 1982 – ÖYS

A13

11

–= = G ise A15 matrisi a a dakilerden

hangisidir?

A) (–2)15 10

01

= G B) (–2)15 10

11

–= G C) 415 1

311

–= G D) 415 10

01

= G E) 215 1

110

–= G

4. 1982 – ÖYS

Tac

bd

= = G matrisi A(1, 2) noktas n (–2, 3)

noktas na dönü türüyorsa B(2, 4) noktas n hangi noktaya dönü türür?

A) (– 4, 6) B) ,123–c m C) (2, –3)

D) (4, –6) E) (–2, 3)

5. 1984 – ÖYS

Aac

bd

= = G biçiminde bir matrisin tersi

A–1 = detA

dc

ba

1–

–= G d r.

A = 10

11

= G , B = 11

12

= G oldu una göre,

AX = B e itli ini sa layan X matrisinin tüm ele-manlar n n toplam kaçt r?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

6. 1985 – ÖYS

a

b121

31R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

matrisinin tersi kendisine e it oldu una

göre, a a a dakilerden hangisidir?

A) 0 B) 21 C)

31 D)

617 E)

635

7. 1986 – ÖYS

30

23–

1986= G matrisinin e iti a a dakilerden hangisidir?

A) 0 B) 30

23

1986 1986

1986> H

C) 30

23–

993 993

993> H D) 31986 3

003

= G

E) 9993 10

01

= G

ES

EN

YAY

INLA

RI



ES

EN

YAY

INLA

RI

420

8. 1987 – ÖYS

A = 12

35

= G ve A–1 = ac

bd

= G oldu una göre,

c kaçt r?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

9. 1987 – ÖYS

x

x

x

x2

135

4 16= denkleminin kökü kaçt r?

A) 0 B) –1 C) –2 D) –3 E) –4

10. 1988 – ÖYS

9987699874

9987799875


A) (99870)2 B) 99872 C) 99882

D) 4 E) 2

11. 1988 – ÖYS Amxm matrisi ve B = AT + A verildi ine göre,

BT a a dakilerden hangisine e ittir?

(AT, A matrisinin transpozesidir (devri idir).)

A) B–1 B) B C) A–1 D) AT E) A

12. 1989 – ÖYS

ac

bx

= G matrisinin elemanlar k (k 0) kadar

art r ld nda, determinant de i medi ine göre, x in de eri a a dakilerden hangisidir?

A) a + b – c B) b + c – a C) c + a – bD) a + b + c E) –a – b – c

13. 1990 – ÖYS K, 2x2 türünde bir matris olmak üzere,

K.32

01

== =G G ve .K10

21

–== =G G ise

K.21–

= G a a dakilerden hangisidir?

) ) )A B C97

74

32

– ––

–= = =G G G ) )D E

07

20

= =G G

14. 1991 – ÖYS

[ 1 2 a 5].

a234

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

= [ 0 ] oldu una göre, a kaçt r?

A) –6 B) –4 C) 3 D) 4 E) 5

15. 1992 – ÖYS

.a

bc

121

112

12

21

45

–

–··

·

·

··=

R

T

SSSS

= >V

X

WWWW

G H ise a + b + c toplam kaçt r?

A) 11 B) 10 C) 2 D) –1 E) –2


ES

EN

YAY

INLA

RI

421

16. 1992 – ÖYS

13761375

13751376


A) 7253 B) 3502 C) 2751D) 2750 E) 1

17. 1993 – ÖYS

13

24

213

24

10

01–

––

2+= = =G G G

toplam a a dakilerden hangisine e ittir?

A) 69

63–

–= G B) 69

63

––

= G C) 69

63

––= G

D) 69

63

––

= G E) 69

63

= G

18. 1994 – ÖYS i2 = –1 oldu una göre,

i

i

ii

i

100

111–

+ determinant n n de eri a a daki-


A) 2i – 1 B) 2i + 1 C) i D) 0 E) 1

19. 1994 – ÖYS

, 2x2 türünde bir matris ve A12

24

= = G oldu-

una göre, A2 – 4A + 4 i leminin sonucu a a-daki matrislerden hangisidir?

A) 38

68

= G B) 36

69

= G C) 53

38

= G

D) 52

28

= G E) 63

22

= G

20. 1995 – ÖYS

A = 11

10

–= G ve B = xz

yt

; E olmak üzere,

A.B = A – B oldu una göre, B matrisi a a da-kilerden hangisidir?

A) 36

23

–= G B) 51

07

–= G C) 21

11–

–= G

D) 17

08

= G E) 41

32–

= G

21. 1996 – ÖYS

A = xy

22–

> H matrisi için, A–1.A = A2 oldu una

göre, x.y çarp m kaçt r?

A) –5 B) –4 C) –3 D) –2 E) –1

22. 1996 – ÖYS

a

131

303

57

9–

R

T

SSSS

V

X

WWWW matrisinin, ters matrisinin olma-

mas için, a kaç olmal d r?

A) 15 B) 14 C) 11 D) 6 E) 5

23. 1997 – ÖYS

.a

a x32 1

1 12

–+

== = =G G G oldu una göre, a kaçt r?

A) –3 B) –2 C) –1 D) 1 E) 2


ES

EN

YAY

INLA

RI

422

24. 1997 – ÖYS

0321

3024

2200

1400

–

–––

–


A) 10 B) 28 C) 47 D) 93 E) 100

25. 1998 – ÖYS

A ve B15

42

20

32

41– –

= == =G G oldu una göre (A.B)t a a dakilerden hangisi-

dir? (At: A matrisinin devri i (transpozesi))

A) 208

11918

––

R

T

SSSS

V

X

WWWW B)

258

101918

––––

R

T

SSSS

V

X

WWWW

C) 357

101918

––––

R

T

SSSS

V

X

WWWW D)

210

517

03–

––

= G

E) 3

108

195

18–= G

26. 1998 – ÖYS

19982006

19901998


A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) 128

27. 2006 – ÖSS

log

log

log

log

8

4

5

31

2

5

4

27


A) 10 B) 9 C) 8 D) 6 E) 5

28. 2007 – ÖSS

A ve B11

01

11

01–

= == =G G matrisleri için A.X = B denklemini sa layan X

matrisi a a dakilerden hangisidir?

A) 10

21

–= G B) 01

10

= G C) 12

01

= GD)

11

02

––

= G E) 02

11

–= G

29. 2009 – ÖSS

xyz

111

112

113

532

––

=

R

T

SSSS

R

T

SSSS

>V

X

WWWW

V

X

WWWW

H Yukar da matris gösterimi verilen do rusal denk-

lem sisteminin çözümünde x kaçt r?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

30. 2010 – LYS

212

323

200

–


A) –1 B) –2 C) –3 D) –4 E) –6

31. 2010 – LYS

A = 21

43

= G matrisinin devri i At ve ters matrisi A–1 oldu una

göre, At.A–1 çarp m a a dakilerden hangisidir?

A) 25

29

3

5

–

–

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

B) 23

1

2

3

–R

T

SSSS

V

X

WWWW C)

2

3

29

25

– –R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

D) 29

25

3

1– –

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

E) 3

25

1

2

– –

–

R

T

SSSS

V

X

WWWW


ES

EN

YAY

INLA

RI

423

32. 2010 – LYS 2x + 2y – z = 1 x + y + z = 2 y – z = 1 Yu ka r da ki denk lem sis te mi nin çö zü mün de x

kaç t r?

A) –3 B) –2 C) –1 D) 0 E) 3

33. 2011 – LYS

A = 10

11

= G

B = 11

01

= G matrisleri veriliyor.

Buna göre, det(A2 – B2) kaçt r?

A) –4 B) 0 C) 1 D) 2 E) 4

34. 2011 – LYS

.xy

11

23

19–

== = =G G G oldu una göre,

x + y toplam kaçt r?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

35. 2012 – LYS

a, b ve c birer pozitif gerçel say olmak üzere,

.a b

c

a b

c0 0 0

1 2

4== = =G G G

matris e itli i veriliyor.

Buna göre, a + b + c toplam kaçt r?

A) 311 B)

47 C) 4 D) 5 E) 6

36. 2012 – LYS

Bir A matrisinin çarpma i lemine göre tersi A–1

olmak üzere,

. . a2 11

3

0

1

1

4

1–

=6 = = 6@ G G @ matris e itli inde a kaçt r?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

37. 2012 – LYS

A = 2

1

3

2= G

B = 1

0

2

5= G

olmak üzere, matris gösterimi

(2A – B).x

y

1

0== =G G

olan do rusal denklem sistemi a a dakilerden

hangisidir?

A) x – 4y = 0 B) x + 2y = 0

2x – y = 1 2x – 3y = 1

C) 2x + y = 1 D) 3x – 2y = 1

x – y = 0 2x + y = 0

E) 3x + 4y = 1

2x – y = 0

424

1. ADE ABC+& &

cp

bn

am= = dir.

ma

nb

pc

1 2 3 determinant nda 2. ve 3. sat rlar oran-

t l oldu undan determinant n de eri 0 d r. Gerçekten;

cp

bn= p.b = n.c p.b – n.c = 0

cp

am= p.a = m.c p.a – m.c = 0

bn

am= n.a = m.b n.a – m.b = 0

. . .ma

nb

pc

nb

pc

ma

pc

ma

nb

1 2 31 2 3–= +

= (n.c – p.b) – 2(m.c – p.a) + 3(m.b – n.a) 0 0 0


2. Mac

bd

= = G matrisinde her sat r n terimleri topla-

m 3 ise a + b = 3 ve c + d = 3 tür.

M2 = M.M = .ac

bd

ac

bd

= =G G = a bcca dc

ab bdcb d

2

2

++

++

> H matrisinin 1. sat r terimleri toplam ,

a2 + bc + ab + bd = a2 + ab + bc + bd

= a(a + b) + b(c + d) 3 3 = 3(a + b) = 3.3 = 9 bulunur.

Do ru Seçenek B

3. A13

11

–= = G ise

.A13

11

13

11

26

22

– – – ––

2 = == = =G G G A3 = A.A2 = .

13

11

26

22

– – ––

= =G G = .

80

08

2–

–– 3= ^ h= G olur.

A15 = (A3)5 = [ (–2)3. ]5 = (–2)15. = (–2)15 10

01

= GDo ru Seçenek A

4. Tac

bd

= = G matrisi A(1, 2) noktas n (–2, 3)

noktas na dönü türüyorsa

.ac

bd

12

23

–== = =G G G

a bc d

22

23

–++

== =G G olur.

T matrisi B(2, 4) noktas n ,

.ac

b a bc d4

24

2 42 4

=++

= = =G G G = 2.

a bc d

22

++

= G = 2.23

–= G = 46

–= G ye

dönü türür.

O halde, T matrisi B(2, 4) noktas n (–4, 6) nok-tas na dönü türür.

Do ru Seçenek A

5. A.X = B A–1.A.X = A–1.B

X = A–1.B olur.

A = 10

11

= G ise

A–1 = . .1 1 1 0

1 10

11

10

11–

·– –

== =G G dir.

X = A–1.B = .10

11

11

12

01

12

– –== = =G G G

olup X matrisinin tüm elemanlar n n toplam

0 + (–1) + 1 + 2 = 2 bulunur.Do ru Seçenek C

6. Bir A matrisinin tersi kendisine e it ise A.A–1 = A.A = A2 = d r. O halde,

.a

b

a

b121

31

121

31 1

0

0

1=

R

T

SSSSS

R

T

SSSSS

>V

X

WWWWW

V

X

WWWWW

H

a

361 1

0

0

1•

•

•

2 +=> >H H

a2 + 361 = 1 a2 =

3635 a = ±

635 olur.

Do ru Seçenek E

ES

EN

YAY

INLA

RI

ÇÖZÜMLER


ES

EN

YAY

INLA

RI

425

7.

.

.

30

23

30

23

30

23

30

23

90

09

910

01

910

01

– –

– –

1986 2 993

993

993

993993

=

=

=

= =

f

d

d

p

n

n

= =

= =

=

= =

G G

G G

G

G GDo ru Seçenek E

8. A12

35

= = G A–1 = . .1 5 2 3

1 52

31– –

–= G =

52

31

––

= G olur.

A–1 = ac

bd

= G ac

bd

52

31

––

== =G G c = 2

Do ru Seçenek D

9.

x2x

135

x4x

–

+

x2x

135

+ +

– –

= 16

3x2 + 4x + 10x – (3x2 + 20x + 2x) = 16

3x2 + 14x – 3x2 – 22x = 16

–8x = 16 x = –2 bulunur.Do ru Seçenek C

10. 9987699874

9987799875

determinant nda

99874 = a al n rsa,

a

aaa

2 31

+ ++

= (a + 2).(a + 1) – a.(a + 3)

= a2 + 3a + 2 – a2 – 3a


11. B = AT + A BT = (AT + A)T

BT = (AT)T + AT

BT = A + AT BT = B bulunur.

Do ru Seçenek B

12. ac

bx

= G matrisinin elemanlar k kadar art r ld -

nda, determinant de i medi ine göre,

ac

bx

a kc k

b kx k

=++

++

a.x – b.c = (a + k).(x + k) – (b + k).(c + k)

ax – bc = ax + ak + xk + k2 – bc – bk – ck – k2

kx = bk + ck – ak

kx = k(b + c – a) x = b + c – a bulunur.

Do ru Seçenek B

13. Kac

bd

= = G olsun.

K32

01

= == =G G .ac

bd

32

01

== = =G G G

a bc d

3 23 2

01

++

== =G G

3a + 2b = 0 ..... I

3c + 2d = 1 ..... II

.K10

21

–== =G G .

ac

bd

10

21

–== = =G G G

ac

21

––

=; =E G a = –2 ve c = –1 dir.

Bu de erleri I ve II de yerine yazarsak,

b = 3 ve d = 2 bulunur. O halde,

K. .ac

bd

21

21– –

== = =G G G

= .21

32

21

–– –= =G G =

74

––= G bulunur.

Do ru Seçenek B


ES

EN

YAY

INLA

RI

426

14. [ 1 2 a 5 ].

a234

0=

R

T

SSSSS

6V

X

WWWWW

@ 1.a + 2.2 + a.3 + 5.4 = 0

4a + 24 = 0

a = –6 bulunur.Do ru Seçenek A

15. .a

bc

121

112

12

21

45

–

–••

•

•

••=

R

T

SSSS

= >V

X

WWWW

G H ise

a

bc

1 24 1

4 10

–••

•

•

••

–••

•

•

••+

+=

R

T

SSSS

>V

X

WWWW

H a = 1 – 2 = –1

b = 4 + 1 = 5

c = –4 + 10 = 6 olup,

a + b + c = –1 + 5 + 6 = 10 bulunur.

Do ru Seçenek B

16. 13761375

13751376

= (1376)2 – (1375)2

= (1376 – 1375).(1376 + 1375)

= 1.2751 = 2751 bulunur.Do ru Seçenek C

17. A2 – 2A + = (A – )2 özde li ine göre,

13

24

213

24

10

01–

––

2+= = =G G G

13

24

10

01–

–2

= d n= =G G

1 13 0

2 04 1

–– –

––

2= = G

. .olur03

23

03

23

03

23

69

63– – –

––

2= = == = = =G G G G

Do ru Seçenek C

18. 100

i1i

i+1i–1i

– +

100

i1–i

+ +– –

i + 0 + 0 – (0 + i(i – 1) + 0) = i – (i2 – i)

= i – i2 + i = 2i + 1 dir.

Do ru Seçenek B

19. A2 – 4A + 4 = (A – 2. )2

= .12

24

210

01

–2d n= =G G

= 12

24

20

02

–2d n= =G G =

12

22

– 2= G = .

12

22

12

22

– –= =G G = 1 42 4

2 44 4–

–++

++

= G =

52

28

= G bulunur.

Do ru Seçenek D

20. A.B = A – B

.xz

yt

xz

yt

x zx

y ty

xz

yt

11

10

11

10

11

1

– ––

– – – ––

––

=

+ +=

= ; = ;

> =

G E G E

H G

–x + z = –1 – x z = –1

–y + t = 1 – y t = 1

x = 1 – z x = 1 + 1 = 2

y = –t y = –1 oldu una göre

Bxz

yt

21

11–

–= =; =E G bulunur.

Do ru Seçenek C

21. A–1.A = A2 A2 = olur.

A2 = .xy

xy

22

22

10

01– –

=> > =H H G

x yxy y

xy

22

2 42 4

10

01–

–2 ++

=> =H G 2x – 4 = 0 x = 2

2y + 4 = 1 y = 23–

O halde, x.y = .223 3– –=c m bulunur.

Do ru Seçenek C


ES

EN

YAY

INLA

RI

427

22. Bir matrisin ters matrisinin olmamas için determi-

nant s f r olmal d r.

131

303

57

a–9

– +

131

303

+ +– –

0 + 21 + 45 – [0 + 21 + 9(a – 9)] = 0

66 – 21 – 9a + 81 = 0 a = 14 bulunur.

Do ru Seçenek B

23.

.a

a x

axax x

32 1

1 12

32

12

–

–

+=

++ +

=

= = =

= =

G G G

G G 3 + ax = –1 ax = –4

2 + ax + x = 2 2 – 4 + x = 2 x = 4

ax = –4 a.4 = –4 a = –1 bulunur.

Do ru Seçenek C

24. Elementer sat r i lemi (3. sat r n –2 kat n 4. sat -ra ekleme) yap l rsa,

0321

3024

2200

1400

0325

3020

2200

1400

–

–––

––

––

–

=

= (–5).(–1)4+1.302

220

140–

–

= 5.302

220

140–

–

= 5.(–2).(–1)3+1.22

14

–

= –10.(–2.4 – 2.1)

= 100 bulunur.

Do ru Seçenek E

25. (A.B)t = Bt.At = .234

021

14

52

––

R

T

SSSS

=V

X

WWWW

G

= . .. .. .

. .

. .

. .

2 1 0 43 1 2 44 1 1 4

2 5 0 23 5 2 24 5 1 2

––– ––

+

+

+

+

^^^

hhh

R

T

SSSS

V

X

WWWW

= 258

101918

––––

R

T

SSSS

V

X

WWWW bulunur.

Do ru Seçenek B

26. 1990 = a al rsak

aa

aa

19982006

19901998

816 8

=++ +

= (a + 8)(a + 8) – a(a + 16)

= a2 + 16a + 64 – a2 – 16a

= 64 bulunur.

Do ru Seçenek D

27.

log

log

log

log

8

4

5

31

2

5

4

27

= log28.log 3

1

27 – log45.log54

= log223.log327 – log44

= 3.log22.log333. – 1

= 3.1.3.log33 – 1

= 3.1.3.1 – 1

= 8 bulunur.

Do ru Seçenek C

28. A.X = B X = A–1.B dir.

A = 11

01–

= G A–1 = 11

01

= G olaca ndan

X = A–1.B = 11

01

11

01

= =G G = 12

01

= G bulunur.

Do ru Seçenek C


ES

EN

YAY

INLA

RI

428

29. xyz

111

112

113

532

––

=

R

T

SSSS

R

T

SSSS

>V

X

WWWW

V

X

WWWW

H

x y zx y z

x y z2 3

532

––+

++ +

=

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW

x y zx y z

53

––+ =

+ =4 2x = 8 x = 4 tür.

x + 2y + 3z = 2Do ru Seçenek A

30. Sarrus kural na göre,

0

6

0+6

8

0

0+8

= 6 – 8 = –2 bulunur.

–3

2

3

–3

2

2

0

0

2

0

2

1

2

2

1

Do ru Seçenek B

31. A = 21

43

= G At = 2

341= G

A–1 = . ( ). .

.A

Ek A12 3 4 1

1 3

1

4

2

23

21

2

1– –

–

–

–= =

R

T

SSSSS

=V

X

WWWWW

G

At.A–1 = .2

4

1

3

23

21

2

1–

–R

T

SSSSS

=V

X

WWWWW

G

= 3

21

62

4 1

8 3

25

29

3

53

–

–

–

–

–

–

+

+=

R

T

SSSSS

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

V

X

WWWWW

bulunur.

Do ru Seçenek A

32. .xyz

210

211

111

121

–

–=

R

T

SSSS

R

T

SSSS

>V

X

WWWW

V

X

WWWW

HA

210

211

111

–

–=

R

T

SSSS

V

X

WWWW |A| = –3

A121

211

111

–

–x =

R

T

SSSS

V

X

WWWW |Ax| = 3

O halde, x = A

A

33

–x

= = –1 bulunur.

Do ru Seçenek C

33. A2 = .10

11

10

11

10

21

== = =G G G

B2 = .1

11

11

110

10

20

== = =G G G

A2 – B2 = 0

2

2

0–= G olup

det(A2 – B2) = 0.0 – (–2).2


34. xy

11

23

19–

== = =G G G

x yx y

23

19–

++

=> =H G x + 2y = 1 –x + 3y = 9 + ––––––––––––– 5y = 10 y = 2 x + 2.2 = 1 x = –3 olup x + y = –1 bulunur.

Do ru Seçenek B


ES

EN

YAY

INLA

RI

429

35. .a b

c

a b

c0 0 0

1 2

4== = =G G G

a ab bc

c0

1

0

2

4

2

2

+=> =H G

a2 = 1 a = 1 , (a, b, c R+)

c2 = 4 c = 2

ab + bc = 2 1.b + b.2 = 2 b = 32

a + b + c = 1 + 32 + 2 =

311 bulunur.

Do ru Seçenek A

36. . .

.1

3

0

1 1 1 0 31 1

3

0

1

1

3

0

1– – –

1–

= == = =G G G

. . . ( ) . .2 11

3

0

12 1 1 3 2 0 1 1

––= + +6 = 6@ G @

= 11–6 @ . a1 1

1

4– =6 = 6@ G @ –1.1 + 1.4 = a

3 = a bulunur.

Do ru Seçenek C

37. 2A – B = 0

4

2

6

4

1 2

5

3

2

4

1–

–== = =G G G

(2A – B).x

y

1

0== =G G

.x

y

3 4

1

1

02 –== = =G G G

x y

x y

3 4

2

1

0–

+=> =H G 3x + 4y = 1

2x – y = 0

Do ru Seçenek E


ES

EN

YAY

INLA

RI

430

ESEN ÜÇRENKMATEMATİK ve GEOMETRİ KİTAPLARIMIZ

ESENÜÇRENK

YGS - LYS

12. SINIF

11. SINIF

10. SINIF

9. SINIF

www.nevzatasma.com & www.halitbiyik.com

MATEMATİK ve GEOMETRİ KİTAPLARIMIZ

11 matematik ka pdf

Documents