2

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ ....................................................... Ошибка! Закладка не определена.

Глава 1. Использование высказываний и логических операций над ними на

уроках математики в 8 классе ................................................................................................. 5

1.1 Высказывания. Логические операции над высказываниями .............................. 5

1.2. Психо - физиологические особенности обучающихся средней школы ......... 12

1.3. Методика обучения теме «Высказывания и логические операции над ними»

.............................................................................................................................................. 19

Глава 2. Анализ и совершенствование системы факультативных курсов по

математике в современной школе ......................................................................................... 24

2.1 Понятие и функции факультативных курсов ..................................................... 24

2.1 Разработка факультативного курса «Изучение высказываний и логических

операций над ними» ........................................................................................................... 37

Заключение .................................................................................................................. 42

Список сокращений .................................................................................................... 44

Список использованной литературы ........................................................................ 45

3

Введение

Логика как одна из древнейших отраслей научного знания является

существенным общекультурным феноменом с начала ее возникновения как науки. Роль

логики в современном мире науки важна и многоплановая. Понятно, что со временем

меняется ориентация логических исследований, совершенствуются логические методы,

возникают новые тенденции, которые отвечают потребностям научно-технического

прогресса.

Жизнь настоятельно поставило вопрос о внутренней логике и суть

общественных феноменов, о внедрении интенсивных методов обучение за счет

экстенсивных методов, эффективной подготовки новых кадров для общества.

Формирование логической культуры каждого гражданина, тем более будущего

специалиста экономико-гуманитарного направления, является необходимым условием

успешного решения задач экономического, социально-политического и духовного

развития нашей страны.

Принципиальным положением организации школьного образования в настоящее

время является уровневая и профильная дифференциация обучения математике.

Распространенные факультативные занятия не способны в полной мере реализовать

идею профильности, заключающуюся в предоставлении учащимся возможности

принятия ответственного выбора в отношении направления будущей

профессиональной деятельности, как, например, элективные курсы. Однако

факультативы по математике решают не менее значимую задачу – обеспечение

усвоение учащимися программного материала и раскрытие приложения математики на

практике. Кроме того, факультативные занятия несут наибольшую нагрузку в

формировании ориентационной компетентности учащегося.

Обобщая вышеизложенное, стоит отметить, что актуальность настоящего

исследования обусловлена необходимостью изучения вопроса применимости

существующей методической базы для внедрения в учебный процесс факультативных

занятий по теме «Высказывания и логические операции над ними» для реализации

возможности формирования и развития логического мышления школьников.

Объектом исследования является процесс изучения алгебры логики в 8

классах.

Предмет исследования - организация факультативных курсов по математике в

средней школе.

4

Цель работы – исследовать роль и место факультативных курсов в восьмом

классе и на основе этого сформулировать методические рекомендации для подготовки

и проведения факультативных курсов по математике..

Гипотеза:

Проведение факультативных курсов по математике в профильной школе будет

более эффективным, если:

1. Отбор содержания будет проведён в соответствии с целями, которые ставятся

при изучении математики в каждом конкретном классе, в соответствии с интересами,

склонностями и способностями учащихся.

2. Учтены психолого-педагогические особенности учащихся разных возрастов.

3. Методы, формы и средства обучения на факультативных курсах будут

соответствовать психолого-педагогическим особенностям учащихся.

Для реализации поставленных целей и проверке выдвинутой гипотезы

необходимо решить следующие задачи:

− провести обзор информационных источников по вопросам методики

изучения темы «Высказывания и логические операции над ними»;

− рассмотреть основные определения логики высказываний;

− определить психо - физиологические особенности обучающихся средней

школы;

− изучить методику преподавания по теме «Высказывания и логические

операции над ними»;

− дать понятие и определить функции факультативных курсов;

− разработать факультативный курс по математике для 8 класса.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы

исследования: анализ психолого-педагогической и методической литературы по теме

исследования; анализ учебной программы, учебных пособий по математике и

продуктов учебной деятельности учащихся; проведение опытно-экспериментальной

работы

5

ГЛАВА 1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ И ЛОГИЧЕСКИХ

ОПЕРАЦИЙ НАД НИМИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В 8 КЛАССЕ

1.1 Высказывания. Логические операции над высказываниями

Окружающий мир, состоит из различных объектов - живых существ, домов,

книг, автомашин, год и т.д. При изучении этих объектов мы интересуемся некоторыми

их свойствами, например массой, формой, размерами, цветом, запахом и т.д. Между

объектами, которые нас окружают существуют различные отношения.

Рассмотрим такие утверждения: «Кусок мела лежит у классной доски» или

«Рост Петрова равен 186 см». Каждое такое утверждение может быть как истинное так

и ложное. Рост Петрова может и не равняться 186 см, а кусок мела может лежать не у

доски, а на задней парте или вообще его не будет1.

Многие утверждения относятся не к отдельным объектам, а к классам объектов

(все четырехугольники имеют две диагонали, некоторые обезьяны живут в зоосаде).

Объединения объектов отражает их близость. Классы объектов обозначаются

соответствующими словами - «растения», «млекопитающие», многоугольники.

Для научного исследования, характерно использование абстрактных понятий,

таких, как «химический элемент», «масса», «энергия», «материя», «число»,

«геометрическая фигура» и тому подобное. Абстрактные понятия являются

обобщением огромного опыта человечества, отражают коренные свойства

материального мира. При введении любого из понятий приходится отходить от многих

свойств реальных объектов (например, рассматривая физическое тело как

геометрическую фигуру, мы не обращаем внимания на его цвет, массу, плотность, а

только интересуемся форме и размерам)2.

Умение рассуждать, правильно обосновывать свои выводы необходимо людям

любой профессии.

Мышление человека осуществляется в определенных логических формах.

Основными формами мышления можно назвать понятие, суждение, умозаключение и

доказательства.

Понятие - это форма мышления, отражающая предмет и явления в их общих и

существенных признаках. Например, «касательная к кругу».

1 Гаврилов Г.П. Задачи и упражнения по дискретной математике - М. : ФИЗМАТЛИТ , 2012. -

416 с. 2 Акимов О.Е. Дискретная математика - М. : Лаборатория Базовых Знаний, 2011. - 376 с.

6

При изучении понятий им дают определение. Например, «параллелограмма

называется четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны».

Сначала указывается более широкое родовое понятие, а затем свойство, которое

выделяет необходимый нам частный случай.

Суждением - называется форма мышления, в которой что-либо утверждается

или отрицается о предметах, их признаки или об отношении между предметами.

Например, касающаяся проведена в круг имеет одну общую точку с

окружностью.

Умозаключение - форма мышления, посредством которой из одного двух или

нескольких суждений выводится новое суждение, что включает в себя новое знание.

Например, центр круга, вписанных в треугольник, является точкой пересечения

его биссектрис.

Доказательство - форма мышления, с помощью которой истинность какой-либо

мысли обосновывается с помощью других мыслей, истинность которых доказана на

практике. Любое суждение состоит из цепочки высказываний, следующих друг за

другом по определенным правилам. Умение рассуждать, правильно обосновывать свои

выводы необходимо людям любой профессии.

Основные типы суждений и умозаключение рассматривает классическая логика,

созданная древнегреческим философом Аристотелем (384 - 322 гг. До н.э.).

Форма мышления считается правильной, если при истинности исходных

утверждений она всегда приводит к истинным выводам. Конечно, если ложные

выходные утверждение, то правильное по форме мышления может привести к

ошибочному выводу.

Математическая (или символическая) логика - это раздел классической логики, в

котором изучают закономерности логических обоснований. Мысль о возможности

логического обоснования определенной теории в виде некоторого исчисления была

сформулирована еще в трудах Аристотеля. Но в современном понимании

математическая логика - новая наука. Она возникла лишь в XIX столетии, хотя первые

его идеи принадлежат Лейбницу. Создателями же современной математической логики

следует считать английского математика Дж. Буля и шотландского - А. де Моргана,

немецких математиков Г.Фреге и Е.Шредера, российского математика П.С.Порецького

и др.

В математической логике выражением называют любое повествовательное

предложение о котором можно сказать, истинное оно или ложно.

Примеры высказываний: «2007 - простое число», «38 - кратное 2».

7

Высказываниями являются, в частности, теоремы и различные гипотезы, тогда

как определение к высказываниям не относятся. Не является высказываниями и

предложения типа: «С праздником!», «Есть ли число 7 простым?» И другие.

Правила, по которым превращаются высказывания напоминают правила

преобразования алгебраических выражений. Вспомним, например свойство

транзитивности для неровностей, если а <B, b <c, то a <c. С подобной формой

рассуждения мы встретимся и при операциях над высказываниями.

Правила преобразования высказываний составляют часть математической

логики.

Высказывание: «Все квадраты являются прямоугольниками, а все

прямоугольники является параллелограммом, следовательно все квадраты является

параллелограммом» - является истинным.

Высказывания могут выражаться не только с помощью слов, но и с помощью

различных символов: 3 + 2 = 5 - истинное высказывание, -7 <-8 - ложное, Н 2 SO 4 -

кислота является истинным выражением.

Все высказывания можно разделить на простые и сложные. Простое

высказывание - это такое высказывание, не образовано из других высказываний, а

сложное высказывание образуется из простых высказываний. Например, высказывание

«2 3 = 8» является простым, а выражение «Если 36 делится на 2 и 36 делится на 3, то 36

делится на 6» является сложным.

В математической логике простые высказывания рассматриваются как целые,

неделимые, их внутреннюю структуру не анализируют. Напротив, определение

истинности или ложности сложных высказываний является одной из задач логики.

Сложные высказывания получают из более простых с помощью логических

операций. При образовании высказываний чаще всего используется доля не та

соединительные слова и, или, если ..., то ... тогда и только тогда, когда .... в

математической логике им соответствуют определенные логические операции.

Операции над высказываниями:

− отрицание;

− конъюнкция;

− дизъюнкция;

− импликация;

− эквивалентность.

8

Если А некоторое высказывание, то утверждая, что оно ложное, мы получим

новое выражение, которое называют отрицанием высказывания А и обозначают Ā или

А. Символ Ā читают: "Не - А». Таблица истинности для высказываний в таблице 1.

Если А - выражение «Река Лопань является притоком реки Днепр», его

отрицанием Ā является выражение «Неправильно, что река Лопань является притоком

Днепра». А - ложное высказывание, Ā - истинное.

Пусть А и В - два простых высказывания. Если мы соединим их союзом и -

получим новое выражение, которое называют конъюнкцией данных высказываний.

Обозначают АВ. Эта запись читают: А∧В. Таблица истинности для этих высказываний

в таблице 1.

Таблица 1

Таблица истинности операций

A B А А∧В А∨В А⇒В А⇔В

1 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 1 0

0 0 1 0 0 1 1

По определению конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда,

когда истинные оба высказывания.

Пусть высказывания А - 3 <8, высказывания В - 8 <11 истинные высказывания,

тогда их конъюнкция А ∧ В - 3 <8 <11 также истинное высказывание.

Высказывание (х - 3) 2 + (в + 4) 2 = 0 равносильно конъюнкции высказываний

(х - 3) 2 = 0 и (у + 4) 2 = 0.

Рассмотрим свойства конъюнкции.

1. А ∧В = В ∧А свойство коммутативности.

2. (А ∧В) ∧С = А ∧ (В ∧С) свойство ассоциативности.

Данные свойства справедливы при условии истинности А, В, С.

Например, выражение А - 12 кратно 4, В - 12 кратно 3, тогда их конъюнкция

А∧В - 12 кратно 4 и 3 и В ∧А - 12 кратно 4 и 3.

Дизъюнкция - это логическая операция, выражающаяся в соединении двух и

более высказываний с помощью союзов «или», «или», «ли ... то ли» и других. Таблица

истинности для этих высказываний в таблице 1

9

Обозначают А ∨В, читают: «А или В». Символ ∨ происходит от первой буквы

латинского слова « vel », которое означает «или».

Например, пусть высказывания А - 10> 7, высказывания В - 10 = 7 их

дизъюнкция А ∨В - 10 ≥ 7.

Дизъюнкция ошибочна тогда и только тогда, когда оба высказывания, из

которых она образована, ложные, во всех других случаях дизъюнкция истинна.

Например, данная функция или парная, или нечетная, или общего вида.

Обратим внимание на некоторую особенность употребления соединения "или" в

логике.

В повседневной жизни соединение "или" употребляется в двух смыслах: как

разделительная и связующая. Например, ученик Петров А. рассуждает так: «Завтра в 15

часов дня я буду в лицее или на стадионе». Но невозможно быть и в лицее и на

стадионе одновременно в 15 часов. Соединение "или" понимается как разделительная.

Другой пример. «Повышение производительности труда можно достичь или

внедрением современной технологии, или оптимальной организацией труда, или

высоким уровнем интеллектуального потенциала работников». Как видим, в данном

случае основанием повышения производительности труда выступает каждый элемент

одновременно, хотя может и по отдельности, если исключить два из тех, что остались.

Суждения подобного типа в логике называются связующими-разделительными.

Для дизъюнкции, как и для конъюнкции можно указать ряд равносильности.

1. А ∨В = В ∨ А коммутативна свойство.

2. (А ∨В) ∨С = А ∨ (В ∨С) ассоциативная свойство .

Операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания связанные следующими

соотношениями:

а) А ∧В = Ā ∨В

б) А ∨В = Ā ∧В

Эти соотношения называют формулами де Моргана и читаются так: «Отрицание

конъюнкции равносильно дизъюнкции возражений; отрицание дизъюнкции

равносильно конъюнкции возражений ».

Убедимся в справедливости данных соотношений на конкретных примерах. Так,

если А - высказывание «Я играю в шахматы», а В - высказывание «Я играю в шашки»,

то высказывание «Неправильно, что я играю в шахматы или в шашки соответствует

формуле Ā ∨В. Высказывание Ā ∧ В- «я не играю в шахматы и я не играю в шашки».

Народный фольклор богат такими поучительными поговорками:

«Лес рубят - щепки летят»;

10

«Люди пишут - время стирает»;

«Невеста идет к другому - неизвестно, кому повезло» и другие.

Эти суждения легко записать по форме «если ..., то ...».

«Если люди пишут, то время стирает»;

«Если лес рубят, то щепки летят» и т.д.

Высказывание «Если А, то В» называются условными или импликацией

высказываний А и В.

Записывают А⇒В. С высказывания А следует высказывание В. Таким образом

задается логическое следование. Высказывание А - называется условием, В -

заключением. Таблица истинности для этих высказываний в таблице 1

В отличие от конъюнктивных и дизъюнктивных высказываний в импликативных

высказываниях закон коммутативности категорически не применяется, а это значит,

что менять местами А и В нельзя, так как это приведет к логическим ошибкам.

Например, имеем высказываний «Если повышается солнечная активность, то

процент летальности у людей с сердечно-сосудистыми заболеваниями значительно

возрастает». Если бы мы провели операцию коммутативности, то получилась бы

парадоксальная ситуация - «сердечники» обусловливали бы солнечную активность. Эти

высказывания асимметричны.

Высказывание эквивалентности (равносильности) - это сложное высказывание,

истинное тогда и только тогда, когда высказывания, входящие в него или истинные,

или ложные.

Например, если и только если треугольник равносторонний, то он и

равноугольный. Это высказывание и равносильно и записывается так А⇔В, где

высказывания А - треугольник равносторонний, высказывания В - треугольник имеет

равные углы. Таблица истинности для этих высказываний в таблице 1

Высказывание равносильности имеют различные способы выражения: «А, если

и только если В», «Если и только если А, то В», «Лишь только», «Если А, то В и

наоборот», «А, если В, и В, если А »,« Для А необходимо и достаточно В ».

Например, выражение равносильности «Если тело нагреть, то оно увеличится в

объеме, и наоборот», «Число 585 кратное 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр

числа делится на 9».

Отметим, что алгебра высказываний, или, как ее иногда называют, логика

высказываний слишком бедной теорией для описания логического аппарата

математических рассуждений. Типы логических рассуждений, основанных на

тождественно истинных формулах алгебры высказываний, далеко не исчерпывают

11

логических законов, которые используются математикой, не говоря уже о логические

рассуждения в других науках.

12

1.2. Психо - физиологические особенности обучающихся средней школы

Подростковый возраст - сложный ответственный период становления личности

(по Л. И. Божович, это период второго рождения личности), в котором формируется

социальная направленность и моральное сознание: моральные взгляды, суждения,

оценки, представления о нормах поведения, заимствованные у взрослых. Путь

овладения ими происходит через реальные отношения, через оценку их деятельности

взрослыми. Например, сразу подростки осознают, что волю закаляет и обучения,

открытое признание своих ошибок свидетельствует о смелости, что осознание своей

вины - шаг к ответственности. Знание моральных норм и эталонов взаимоотношений

понимают не всегда глубоко, трудно воспринимают моральный релятивизм, поэтому

оценки поступков других категоричны, бескомпромиссные. Моральные убеждения еще

не являются неустойчивыми, однако они становятся специфическими мотивами

поведения. Появляются собственные взгляды, оценки, которые могут быстро

измениться, но и противоположную точку зрения подросток будет отстаивать так же

страстно, как и другой3.

Этот период называют переходным, так как в это время происходит переход от

детства к юности в физическом, психическом и социальном отношениях. И переход

этот характеризуется количественными и качественными изменениями в организме

подростка. Происходит половое созревание. Значительные изменения претерпевает

психическая деятельность подростка. Отживают предыдущие детские интересы,

рождаются новые. Меняются отношения со взрослыми и товарищами. Ярко

проявляется стремление к самостоятельности и присущих взрослым формам поведения.

Эти изменения время проходят достаточно бурно.

Новые интересы и стремление подростка бывают изменчивыми. Отношения со

старшими, в частности родителями и педагогами, становятся более сложными,

особенно если старшие не понимают изменений, которые происходят в-личности

подростка, и продолжают относиться к нему, как к ребенку. Это часто создает сложные

ситуации. Чаще становятся, по сравнению с младшим школьным возрастом,

проявления негативизма, и другие нарушения норм поведения. Поэтому нередко

называют подростковый период тяжелым, критическим возрастом. С, В самом деле,

кризиса на этом этапе развития бывают, но они не являются неизбежными. И

негативизм в поведении подростка не является обязательным, хотя особенности его

3 Марусева И.В. Современная педагогика (с элементами педагогической психологии). – СПб.:

БХВ-Питер, 2015. – 624с.

13

развития включают в себя определенные предпосылки для его возникновения. Этот

период в жизни ребенка может стать трудным в воспитательном отношении, если

родители и другие взрослые, окружающие ребенка, не знакомые с особенностями его

развития, не считаются них и продолжают воспитывать его так, как воспитывали в

младшем школьном возрасте, или же, наоборот, ставят к этому такие требования, как к

взрослому.

Важные изменения происходят в мотивационной сфере: потребность в

самоуважении, в самоутверждении, в признании товарищей, в положительном

отношении со стороны друзей. Появляется ориентация на будущее: мечты, идеалы,

перспективные планы, отдаленная цель. Однако для подростка характерна и отказ от

поставленной цели вопреки ее объективной значимости, ибо воля еще слаба. Подростки

чаще действуют по наиболее сильным мотивом, собственной же поведением они еще

не обладают, и сами признают отсутствие у себя волевых качеств.

Задачей педагогов является развитие у подростков волевого поведения,

используя для этого эмоционально привлекательные цели, поддерживая их намерения и

представления о возможности достичь собственного уровня притязаний. У подростков

в волевом акте еще слабо представлена исполнительская часть. Глазами подростков

основной причиной их неуспеваемости в школе является лень. Практика показывает,

что не меньшее значение имеет обеспечение познавательной мотивации, развитие

интересов. Для подростков характерна легкость возникновения переживаний,

эмоционального напряжения, им трудно сдерживать свои радость, горе, обиду, гнев. их

эмоции отличаются ригидностью - инертностью. Подростки «купаются» в собственном

горе или в чувстве вины. Они испытывают удовольствие от любых переживаний,

испытывают потребность в сильной эмоциональной насыщенности. Противоречивые

стремления, которые возникают довольно часто, еще больше усиливают общий

эмоциональный фон, что приводит к возникновению состояния аффекта. Аффективное

состояние может быть достаточно длительным и возникать по ничтожному поводу.

Надо учить подростков владеть своими эмоциями, осознавать их, говорить о них,

выявлять в культурных формах4.

Происходит интенсивное развитие самосознания: возникает интерес к своему

внутреннему миру, что ведет к углублению и усложнение процесса самопознания.

Подростковая рефлексия направлена на понимание самого себя, особое внимание

уделяется собственным качествам личности, поэтому повышается чувствительность к

4 Губанова М.И. Учитель и Ученик: грамотность, компетентность, технологичность: Учебное

пособие / М.И. Губанова, Е.П. Лебедева. – Кемерово: Издтельство КРИПКиПРО, 2013. – 167с.

14

оценкам со стороны окружающих, возникает ориентация на реальные достижения.

Рефлексия открывает несовершенство «Я», глубоко и остро переживается. Наибольший

всплеск рефлексивности у учащихся 7 - 8-х классов. Растет критичность по поводу

собственных недостатков, например, уже в 6 классе появляются дети, которые считают

себя неспособными к одному из предметов.

Моральная мотивация еще не является устойчивой, поэтому подросток легко

поддается внушению, таким формам социального поведения, которые делают его

взрослым в собственных глазах.

Образы «Я», которые создает в своем сознании подросток, очень разнообразны:

это физическое «Я» (представление о своей внешности), психическое «Я» (о чертах

характера, о своих способностях и т.д.). Но отношение ко всем этим черты своего «Я»

зависит от системы ценностей, которая формируется благодаря влиянию членов своей

семьи и сверстников. Именно поэтому одни остро переживают отсутствие внешней

красоты, а другие - физической силы, некоторые все внимание направляет на

повышение результатов в спортивных видах деятельности. Образ «Я» еще нестабилен,

представление о себе подвижное. Иногда случайная фраза, комплимент или улыбка

надолго нарушают покой душевной жизни подростка.

С образом «Я» связана самооценка. Для подростка важно знать не только, какой

он есть, но и насколько значимы его индивидуальные особенности для окружающих, а

потому и для самого себя. Постоянно происходит сравнение: «Я такой, как все» или «я

не такой, как все». В идеале самооценка должна состоять из сравнения самого себя

сегодняшнего с самим же собой, но вчерашним: «Я вчера и я сегодня, а каким я стану

(должен стать) завтра?». Это сложно, но эффективно. Самооценка имеет общий

характер и еще и занижена: подростки преувеличивают свои недостатки, успехи

несколько занижают. Но по заниженной самооценкой может скрываться высокий

уровень притязаний, на основе чего развивается феномен «дискомфорт успеха».

Подросток, имея такую самооценку, обесценивает достижения своих ровесников,

радуется их неудачам. Такая конфликтная самооценка возникает при завышенных

требований со стороны родителей, или пессимистических представлений о

возможностях своего сына или дочери. У подростка тогда возникает сильная реакция

даже на справедливые замечания. Он ищет внешние причины для оправдания своих

реальных неудач или тех, что прогнозируются. Такой «аффект неадекватности» требует

поиска психологической защиты в виде обесценивания успехов других. Высокая

самооценка должна сочетаться со способностью дифференцированно оценивать свои

15

достижения и одновременно видеть недостатки и перспективы улучшения результатов

за счет устранения недостатков5.

Подростки адекватно оценивают товарищей, но завышают свою самооценку.

Общее положительное отношение к себе, к своим возможностям должно оставаться

неизменным, а недостатки - восприниматься как временные, которые можно устранить.

Самооценка постепенно эмансипируется от оценок окружающих и приобретает

все большее значение как регулятор собственного поведения.

Кроме реального «Я» возникает и «Я-идеальное». Если уровень притязаний

высокий, а свои возможности осознаются недостаточно, тогда «Я-реальное» будет

сильно отличаться от «Я-идеального». Такое положение ведет к неуверенности в себе, а

в поведении это проявится в обидчивости, упрямства, даже агрессивности. Если «Я-

идеальное» воспринимается достижимым, оно побуждает к самовоспитанию,

осуществление которого способствует развитию саморегулирования.

Саморегулирование содержит в себе свободную постановку цели и выбор средств ее

достижения. Некоторые подростки (3%) разрабатывают даже программу

самосовершенствования, но не все имеют силу воли и настойчивость, чтобы

осуществить ее. Способность ставить цели, осознавать средства ее достижения,

использовать свои возможности, предвидеть результаты являются показателем высокой

зрелости личности, появится позже. У учащихся основной школы возникает

потребность в жизненном самоопределении (заканчивается 9 класс), направленности на

будущее, определении своего жизненного пути, будущей профессии. Эта потребность

конкретизируется в новой социальной позиции, которая разворачивается на следующем

возрастном этапе.

Объем, способы проведения и продолжительность учебной, трудовой и

спортивной деятельности подростков нужно согласовывать с особенностями их

физического развития. Учитывая сравнительно быструю утомляемость учащихся

подросткового возраста, следует осторожнее подходить к учебной, спортивной и

трудовой нагрузки, заботиться об отдыхе на воздухе. Сон учащихся 8 класса должен

продолжаться 9:00 в сутки. Прослушивание радио, просмотр телепрограмм надо

ограничивать. Физически и спортивное времяпрепровождение мальчиков и девочек

нужно дифференцировать в соответствии с их физическими особенностями, которые в

подростковом возрасте приобретают своей специфики.

5 Андреев В.И. Педагогика: учебный курс для творческого саморазвития. – Казань: Центр

инновационных технологий, 2010. – 608с.

16

Изменения в содержании и мотивации учебной деятельности. Учение остается

основным видом деятельности и в подростковом возрасте. Однако оно претерпевает

значительные изменения как в организации и содержании, так и в характере его

протекания. Происходит дальнейшая перестройка, характеризующаяся ростом его

самостоятельности.

Изучая общеобразовательные предметы, подростки приобретают

систематические знания по основам наукам. Переходят от эмпирических обобщений к

теоретическим понятиям (В. В. Давыдов), получают систематические знания о неживой

и живой природе. Они усваивают систему грамматических понятий в процессе

дальнейшего изучения языка. Овладения алгеброй и геометрией вводит их в мир

сложных абстрактных числовых и пространственных отношений, познание которых

требует овладения системами знаков и символов. Изучение художественной

литературы ставит их перед сложными вопросами психологии человеческих

отношений. В процессе изучения истории учащиеся знакомятся не только с

историческими событиями в жизни человечества, но и с основными закономерностями

развития его общественных формаций.

Богатая и сложная содержательная, предметная сторона знаний требует от

учеников и совершенных способов их приобретения. Перед учениками открываются

широкие возможности применения полученных знаний в процессе учебной

деятельности.

Претерпевает качественные изменения мотивация учения

подростков. Углубляясь и дифференцируясь, их познавательные интересы становятся

выразительнее, устойчивыми и содержательными. Благодаря расширению отношений

учащихся в школе и вне ее, их участия в жизни общества, меняются социальные

мотивы учебной деятельности. Приобретают особую действенность широкие

социальные мотивы, связанные с подготовкой к будущей трудовой деятельности. А

также осознание долга, стремление сохранить почетное место в семье, в школе, в

коллективе подростков и др. Исследованиями психологов (М. И. Алексеевой, Н. Г.

Морозовой и др.) установлено, что структура мотивов учения у подростков

усложняется. В них сочетаются широкие социальные мотивы (осознание долга,

общественной важности приобретения знаний, их роль в подготовке к жизни, к

будущей профессии) с собственно познавательными личными мотивами (стремление

познать что-то неизвестное, утвердить свою позицию в коллективе, избежать

неприятностей, связанных с невыполнением учебных задач и др.).

17

В то же время у подростков наблюдаются значительные, сильнее чем у младших

школьников, индивидуальные различия в мотивации их учения. Есть подростки,

которые отмечаются неустойчивостью или еще недостаточной сформированностью

положительного отношения к учебной деятельности, слабостью его

действенности. Бывают случаи, когда некоторые подростки, вообще сознательно

относясь к обучению и выполнения своих обязанностей, вдруг увлекаются чем-то

посторонним (например, чтением приключенческой литературы, футболом, лыжами,

коньками) и забывают о своем долге ежедневно готовить уроки.

У некоторых подростков ослабление интереса к учебе возникает как реакция на

свои неудачи в ней, они остро переживают эти неудачи, а пораженное их самолюбие

иногда порождает стремление маскировать свое истинное отношение к выполнению

учебных заданий. Они делают вид якобы оценки успехов в учебе не имеют для них

существенного значения. " Негативное отношение к учебе возникает и у тех

подростков, которые не приучены к трудовым усилиям. В начальных классах они с

помощью родителей худо-бедно справлялись с учебными задачами, а в средних им не

очень удобно обращаться за помощью, в результате этого выполнения таких задач

становится для учеников тяжелым и неинтересным делом.

Некоторые ребята проявляют тенденцию освободиться от опеки взрослых и

быть более самостоятельными, «свободно» относиться к учебе, теряют ответственность

за выполнение учебных задач. Они работают рывками, а поскольку это не дает нужного

эффекта, то начинают прибегать к различным нечестным способам («шпаргалки»,

списывание у товарищей и т.д.).

Отношение подростка к учебе может ухудшаться под влиянием недостатков

некоторых анализаторов (слабость зрения, слуха и т.д.). Ученик, который плохо видит

или слышит, стесняется признаваться в этом своим сверстникам, а не преодолевает

трудности и поэтому теряет интерес к учебе.

Подросток очень чувствителен к оценочных суждений учителей. Интерес к

обучению ослабляется, если учителя проявляют бестактность, несправедливо

оценивают знания учеников, уменьшают успехи одних и переоценивают других

учеников. Поэтому учителя должны аргументировать оценки, стремясь объективно

оценивать успехи учащихся и тем подносить мотивационное значение оценки.

Осознание подростками жизненной значимости знаний является важным

мотивом их учебной деятельности. Подростки все чаще задумываются над тем, для

чего они изучают тот или иной предмет, который будет иметь значение для их

подготовки к овладению профессией, что им нравится. Правда, их предпочтения иногда

18

бывают неустойчивыми, часто они ориентируются на внешнюю привлекательность

профессии, но все-таки они играют свою позитивную роль в мотивации учебной

деятельности.

Учитывая возрастные особенности учащихся основной школы, в работе с ними

целесообразно использовать такие формы работы: час общения, классные собрания, час

классного руководителя, анкета мыслей, встреча, откровенный разговор,

просветительский тренинг, ярмарка солидарности, конкурс, игра-экспресс, спартакиада

народных игр, семейный праздник, семейная гостиная, ролевая игра, викторина,

веселые старты и эстафеты, коллективное творческое дело (КТС) (живая газета, выпуск

газеты, праздник-презентация устный журнал и т.д.), проект, школа этикета, операция,

выставка-конкурс, ведение летописи классного коллектива, фестиваль, коллективное

игровое общение, поход, спартакиада, турнир, игра-анкета, коллаж, игровая программа,

поисковая игра, акция (милосердие, благотворительность, экологическая и другие),

экологическая тропа, художественная галерея, конкурс-ярмарка выставка творческих

работ, трудовой десант, конкурс-инсценировка, конкурсная программа,

интеллектуальная игра и тому подобное.

19

1.3. Методика обучения теме «Высказывания и логические операции над

ними»

Для того чтобы рассуждать человеку необходимо какой-либо язык. Не

удивительно, что математическая логика начиналась с анализа того, как говорят и

пишут люди на естественных языках. Этот анализ привел к тому, что выяснилось

существование формулировок, которые можно разделить на истинные и ложные, но,

тем не менее, выглядят осмысленным образом. Это приводило к возникновению

парадоксов, в том числе в одной из фундаментальных наук математики. Тогда было

решено создать искусственные формальные языки, лишенных «вольностей» языка

естественного.

В 1847 году английский математик Джордж Буль, преподаватель

провинциального университета в маленьком городке Корке на юге Англии разработал

Алгебру логики6.

Алгебра логики очень проста, так как каждая переменная может принимать

только два значения: истинно или ложно.

Основная суть алгебры логики как системы методов состоит в преобразовании

высказываний на основе алгебраических законов, которые имеют место для операций

над высказываниями. Эти законы чаще всего имеют вид тождеств, т.е. равенств, равных

при всех значениях переменных.

Задача логики в том, чтобы научить человека сознательно применять законы и

формы мышления и на основе этого логичнее мыслить, правильно сознавать

окружающий мир. Знание логики повышает культуру мышления, вырабатывает навык

мыслить “грамотно”, развивает критическое отношение к своим и чужим мыслям.

Изучение раздела «Основы алгебры логики» в предмете математики является

одним из основополагающих.

Однако этот раздел - один из сложнейших в курсе математики, не все учащиеся

его усваивают и понимают, что в дальнейшем приводит к проблемам при изучении

перечисленных ранее разделов. В поисках инварианта содержания образования

специалисты в области преподавания информатики поддерживают идею построения

процесса обучения, ориентированного на изучение общих понятий и тенденций в

математике.

6 Микони С.В. Дискретная математика для бакалавра: множества, отношения, функции,

графы : учебное пособие - Санкт-Петербург : Лань, 2012. - 186 с.

20

По мнению Сергея Александровича Бешенкова, Алексея Александровича

Кузнецова, Вадима Семеновича Леднева и других ведущих специалистов, значительное

внимание в образовательном процессе должно уделяться интеллектуальному развитию

учащихся, формированию у них способности к продуктивному и целесообразному

применению знаний в процессе решения логических задач.

Среди множества учебных задач дидакты (Исаак Яковлевич Лернер, Владимир

Ильич Загвязинский и др.) выделяют логические задачи, направленные на развитие

логического мышления, совершенствование знания учащегося и овладение им

обобщенным способом решения некоторого класса задач. Решение логических задач

рассматривается как выбор, описание и реализация последовательности определенных

действий над объектом, интерпретация полученных результатов с целью пополнения,

уточнения и обобщения информации об объекте познания. При этом логическая задача

выступает в качестве средства развития интеллектуальных умений учащихся.

Необходимо серьезно работать над темой «Основы алгебры логики», ещё и

потому, что кроме двух заданий базового, двух повышенного и одно – высокого уровня

сложности, достаточно большое количество заданий ЕГЭ проверяет знания учащихся в

этом разделе информатики.

На уроках математики трудно мотивировать учащихся при изучении раздела

«Алгебра логики», их нужно заинтересовать.

При изложении нового материала приводить яркие примеры – образы, которые

обязательно запечатлеются в учащихся своеобразным опорным сигналом.

Так, при изучении логических функций можно рассказать следующую сказку:

«В наш город приехал цирк. В одном номере должна была выступать кошка с

голубыми глазами и пушистым хвостом. Но она исчезает. Работники цирка размещают

в газете объявление, что для выступления требуется кошка с голубыми глазами и

пушистым хвостом.

Жители начинают приносить самых разнообразных кошек: «Мы же не всегда

внимательно читаем и правильно выполняем прочитанное!» Рассматривая самых

разнообразных кошек, отвечая на вопрос «Возьмут ли данную кошку в номер» надо

совместно начинать анализ и построения таблиц истинности логической функции «И».

Затем, перефразировать объявление (ну, не нашлось такой кошки!). «Требуется кошка

с голубыми глазами и длинным хвостом», изучить логическую функцию «ИЛИ», затем

инверсию «НЕ». После этого учащимся достаточно напомнить про «Кошку с голубыми

глазами» и они легко вспомнят условия истинности нужной логической функции.

21

Так же, на уроках можно вспомнить рассказы о Шерлоке Холмсе, комиссара

Мергэ, следователя Каменскую и делать выводы: поиск преступников, раскрытие

преступления – прежде всего решение логической задачи.

Учитывая обязательный минимум образования, требования к уровню

подготовки выпускников основной и средней школы, а также цели и задачи

образовательного учреждения, в педагогической деятельности ставятся следующие

цели обучения математике по теме «Высказывания и логические операции над ними»:

1. Овладение обучающимися конкретными знаниями по математике,

необходимыми для применения в практической деятельности, для продолжения

образования.

2. Интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления,

необходимых для продуктивной жизни в обществе.

3. Формирование понимания основ математических рассуждений и методов

логического анализа утверждений.

4. Усвоение элементов математической логики.

5. Освоение соответствующей символики и терминологии.

Для реализации поставленных целей следует выполнять следующие задачи:

− развивать индивидуальные умения учащихся, заинтересовывать учебной

деятельностью каждого ребенка;

− прививать навыки самостоятельной работы, развивать стремления детей к

дальнейшему самообразованию;

− использовать новые педагогические технологии, эффективные методики

обучения, направленные на повышение качества образования;

− прививать и развивать интерес к предмету математика.

− Успех в работе по активизации познавательной деятельности в

значительной степени зависит от характера взаимоотношений учителя и учащихся.

Положительный результат будет только в том случае, если эти отношения будут носить

позитивный характер взаимного понимания и уважения7.

Применение эффективных методов и приемов в обучении способствует

повышению качества обучения, выработке общеучебных навыков рациональной

организации учебного труда, эффективной организации познавательной деятельности

учащихся и формированию высокого уровня мотивации, интереса к учебной

7 Скоробогатова О.О. Систематизация и обобщение знаний учащихся в процессе обучения

математике // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». URL: http://festival.1september.ru/articles/414807/ (дата обращения: 10.03.2017).

22

деятельности, развитию сложившейся методологии образования за счет явных

преимуществ новых информационных технологий, применения доступа к

информационным ресурсам, обеспечивающим привлечение научной и культурной

информации.

Кроме этого, в педагогической деятельности необходимо использовать

технологии личностно-ориентированного обучения, уровневой дифференциации,

обучения в сотрудничестве, компетентностный подход и информационно-

коммуникационные технологии. В целях эффективного использования рабочего

времени на уроках применять активные методы обучения и использую различные

формы организации познавательной деятельности учащихся (индивидуальную,

парную, групповую, коллективную).

Применять разнообразные формы вводного, промежуточного и итогового

контроля и оценки знаний учащихся: тестирование, зачет, контрольная работа, а также

самооценка и взаимооценка.

Практически все задания для контроля знаний обучающихся имеют разные

уровни сложности. Оценка учебной деятельности учащихся помогает проводить

мониторинг индивидуальных достижений детей, корректировать деятельность с

обучающимися, создавая им ситуацию успеха в приобретении знаний.

В результате освоения темы, обучающиеся должны:

Знать:

− понятие высказывания и определения логических операций над ними;

− понятие формулы логики высказываний (ЛВ);

− основные типы формул, таблицы истинности;

− анализировать логическую структуру высказывания

− усвоить основные правила составления таблиц истинности

− решать логические задачи

Уметь:

− строить таблицы истинности для формул ЛВ;

− проверять правильность рассуждения;

− записывать утверждение языке ЛВ;

− строить нормальные формы и совершенные нормальные формы для

формул ЛВ и на их основе исследовать эти формулы;

− формулировать словесно и символически определения действий над

высказываниями и их свойства;

23

− формализовывать высказывания;

− выделять существенные высказывания в тексте задачи;

− предоставлять условия и решения задачи в формализованном виде;

− преобразовывать логические выражения в соответствии с законами и

свойствами;

− строить логическую схему устройства с заданными характеристиками;

− находить ошибки в рассуждениях.

Мыслить логично – это значит мыслить точно и последовательно, не допускать

противоречий в своих рассуждениях, уметь вскрывать логические ошибки.

24

ГЛАВА 2. АНАЛИЗ И СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ СИСТЕМЫ

ФАКУЛЬТАТИВНЫХ КУРСОВ ПО МАТЕМАТИКЕ В СОВРЕМЕННОЙ

ШКОЛЕ

2.1 Понятие и функции факультативных курсов

Факультативные курсы - это форма углубленного изучения одного из предметов

по выбору учащихся, средство развития познавательных интересов школьников, их

способностей, а также профессиональной ориентации учащихся.

Факультативные курсы представляют собой важный компонент вариативной

системы образовательного процесса на ступенях основного общего и среднего

(полного) общего образования. Организация и проведение факультативных курсов

способствуют реализации успешного профессионального самоопределения учащихся.

Одной из важных особенностей факультативных курсов является возможность

самостоятельного выбора учащимися определенного курса (из предложенных учебным

учреждением), изучение которого необходимо в контексте дальнейшей

профессиональной деятельности.

После выбора того или иного курса учащиеся обязаны посещать все занятия,

проводимые в рамках курса, и, кроме того, выполнить отчетную итоговую работу, в

роли которой могут выступать зачет, защита проекта и т.д. Первоначальный перечень

факультативных курсов на основе базисного учебного плана определяется самой

школой.

По экспертному мнению специалистов в области педагогики факультативные

курсы должны строиться на следующих принципах:

− практическая направленность;

− дифференцированный подход;

− использование новых педагогических и информационных технологий.

Выделим функции факультативных курсов:

1. Обеспечение повышенного уровня освоения учебных дисциплин.

2. Реализация изучения смежных учебных предметов на

междисциплинарной основе (например, история музыки или финансовый менеджмент).

3. Обеспечение более высокого уровня освоения базовых учебных

предметов.

4. Формирование умений и навыков решения практических задач.

25

5. Организация непрерывной профориентационной работы.

6. Удовлетворение познавательных интересов.

7. Овладение учащимися образовательными результатами для успешного

продвижения на рынке труда.

Цель преподавания факультативных курсов – ориентация учащихся на

индивидуализацию обучения и социализацию.

Перед факультативными курсами стоит ряд задач:

− расширить знания по изучаемым предметам;

− обеспечить более высокий уровень знаний, умений и навыков;

− способствовать активному самоопределению, в том числе и

профессиональному;

− формировать и развивать познавательный интерес к предметам.

Исходя из этого, тематика и содержание факультативных курсов должны

отвечать следующим требованиям:

− иметь социальную и личностную значимость, актуальность, как с точки

зрения подготовки профессиональных кадров, так и личностного развития учащихся;

− способствовать социализации и адаптации, представлять возможность

для выбора индивидуальной образовательной траектории, осознанного

профессионального самоопределения;

− поддерживать изучение базовых и профильных общеобразовательных

предметов, а также обеспечивать условия для внутрипрофильной социализации

обучения;

− обладать значительным развивающим потенциалом;

− вносить вклад в формирование целостной картины мира;

− способствовать развитию общеучебных, интеллектуальных и

профессиональных умений и навыков, ключевых компетенций.

Методы и формы обучения определяются уровнем развития и саморазвития

учащихся, уровнем их индивидуальных способностей и требованиями профилизации

обучения. Ведущие методы – проблемно-поисковые и исследовательские,

стимулирующие познавательную активность учащихся.

В рамках исследования был проведен анализ педагогической и методической

литературы, который позволил выделить следующие типологии элективных курсов:

1. Классификация факультативных курсов по типу решаемых задач: пробные,

ориентационные, общекультурные, углубляющие.

26

Пробные элективные курсы направлены на решение следующих задач:

1) Предоставление учащимся возможности реализации интересов к

выбранному предмету.

2) Определение уровня готовности учащихся к освоению выбранного

предмета на повышенном уровне.

3) Создание условий для подготовки к экзаменам по выбору.

Перечислим задачи ориентационных курсов:

1) Ориентация учащихся в современном мире профессий.

2) Ознакомление учащихся с особенностями видов деятельности,

соответствующих распространенным профессиям.

3) Поддержка мотивации учащихся.

Проведение общекультурных курсов необходимо для развития познавательного

интереса учащихся в определенной предметной области, отсутствующей в учебном

плане. Примерами подобных курсов могут стать такие, как «Математика в музыке»,

«Кривые в архитектуре», «Золотое сечение» и т.д.

Углубляющие курсы решают задачи углубленного изучения дополнительного

раздела.

Приведем сравнительную характеристику названных видов факультативных

курсов (см. таблицу 2).

Таблица 2

Сравнительная характеристика элективных курсов

Вид курса Образовательные задачи Содержание и способы

работы

Пробный

Создание условий для того,

чтобы ученик утвердился

или отказался от

сделанного им выбора

направления дальнейшего

учения и связанного с

определённым видом

профессиональной

деятельности

Знакомство с видами

деятельности,

характерными для

человека, работающего в

той или иной

образовательной области

Ориентационный Помочь старшекласснику,

совершившему в первом

Коллективное выполнение

проекта, которое

27

приближении выбор

образовательной области

для более тщательного

изучения, увидеть

многообразие видов

деятельности, с ней

связанных

интегрирует, во-первых,

несколько видов

деятельности, а во-вторых

– содержание нескольких

наук

Общекультурный

Удовлетворение

естественного любопытства

молодого человека к какой-

то области знаний, которая

отсутствует в

традиционном учебном

плане

Восполнение

«общекультурного

вакуума»

Углубляющий Углубление, расширение

знания учебного предмета

Прохождение

дополнительных разделов

учебного предмета

2. Классификация элективных курсов по связи с предметом: предметные,

межпредметные, по предметам, на входящим в базовый учебный план.

Задача предметных курсов заключается в расширении и углублении знаний по

основным предметам, которые входят в учебный план. Проведение подобных

факультативных курсов позволяет учащимся реализовать познавательный интерес к

определенному предмету. Для учителя такие курсы предоставляют возможность

определения готовности учащихся к освоению учебной дисциплины на повышенном

уровне.

Межпредметные факультативные курсы ориентируют учащихся на изучение

конкретного учебного предмета на профильном уровне, а так же раскрывают

специфику изучения данного предмета во взаимосвязи с другими профильными

предметами выбираемого профиля.

Факультативные курсы по предметам, не входящим в базовый учебный план,

посвящены психологическим, социальным, культурологическим, искусствоведческим

проблемам. Примерами подобных курсов могут стать «Деловое общение»,

«Эффективное поведение на рынке труда», «Сетевой этикет школьника» и т.д.

28

Программа факультативного курса состоит из следующих структурных

элементов:

1. Пояснительная записка

2. Содержание изучаемого курса, определенным образом структурированное

3. Тематический план

4. Ожидаемые результаты изучения курса

5. Список литературы для учителя и учащихся

6. Дополнительные элементы программы.

В пояснительной записке должны быть сформулированы место курса в

образовательном процессе, цели и задачи изучения курса, должна содержаться краткая

характеристика методов и форм обучения, форм организации учебных занятий, могут

присутствовать комментарии к методике работы по курсу, специфичные для данного

курса.

Место курса в образовательном процессе. При разработке содержания и

методической системы факультативного курса важно показать, каково место курса в

соотношении как с общеобразовательными, так и с базовыми профильными

предметами:

− какие межпредметные связи реализуются при изучении курса;

− какие общеучебные и профильные умения и навыки при этом

развиваются;

− каким образом создаются условия для активизации познавательного

интереса учащихся, профессионального самоопределения.

Цели и задачи изучения курса желательно формулировать в терминах, понятных

и учителю, и учащимся: для чего изучается курс, какие потребности субъектов

образовательного процесса удовлетворяет. В соответствии с целями формулируются

задачи изучения курса – что необходимо для достижения целей; над чем конкретно

предстоит работать учителю и учащимся при изучении курса.

Методы и формы обучения должны определяться требованиями

индивидуальных и возрастных особенностей учащихся, развития и саморазвития

личности. В связи с этим основные приоритеты методики изучения факультативных

курсов:

− обучение через опыт и сотрудничество;

− учет индивидуальных особенностей и потребностей учащихся;

29

− интерактивность (работа в малых группах, ролевые игры, имитационное

моделирование, тренинги, метод проектов);

− личностно – деятельностный и субъектный подход (большее внимание к

личности учащегося, а не к целям учителя, равноправное их взаимодействие).

Важное место в обучении следует отвести методам поискового и

исследовательского характера, стимулирующим познавательную активность учащихся.

Значительной должна быть доля самостоятельной работы с различными источниками

учебной информации. Важно предусмотреть использование таких методов и форм

обучения, которые давали бы представление учащимся об условиях и процессах

будущей профессиональной деятельности в соответствии с выбранным профилем

обучения, т.е. в какой-то степени моделировали бы их.

Структурированное содержание программы предполагает выделение в тексте

разделов и тем внутри разделов. Элемент содержания внутри темы чаще всего

называют вопросом программы. При этом последовательность рассмотрения вопросов

темы и их иерархия в тексте программы не отражаются. Эти проблемы решаются на

уровне конкретизации деятельности учителя и учащихся – на уровнях тематического

планирования и конспекта занятия. Программа также не определяет времени на

изучение отдельных вопросов темы, в программе указывается общее число часов,

отведенных учебным планом на изучение курса, и распределение числа часов на

разделы и темы.

Тематический план включает в себя основное содержание всех разделов (тем

курса) с указанием количества часов на изучение каждого вопроса темы. Отдельно

выделяются практические и лабораторные работы, экскурсии, учебные проекты и т.д.

Рекомендуется указать формы проведения занятий.

Ожидаемые результаты изучения курса. Важным элементом методической

системы факультативного курса является определение ожидаемых результатов

изучения курса, а также описание способов их диагностики и оценки. Ожидаемый

результат изучения курса – это ответ на вопрос: какие знания, умения и опыт,

необходимые для построения индивидуальной образовательной траектории в школе и

успешной профессиональной карьеры по ее окончании, будут получены, какие виды

деятельности будут освоены, какие ценности будут предложены для усвоения.

Результаты должны быть значимы в первую очередь для самих учащихся, что

необходимо для обеспечения привлекательности курса на этапе первоначального

знакомства с ним и его выбора школьниками. Результаты обучения могут быть

сформулированы в виде перечня знаний и умений учащихся, также ориентированы на

30

оценивание таких общих межпредметных компетенций, как: математическая

грамотность, естественно-научная грамотность, грамотность чтения, решение проблем.

В последнем случае необходимо описать уровень владения той или иной

компетенцией.

Не менее важно продумать систему форм контроля уровня достижений

учащихся и критерии оценки. Необходимо разработать как формы промежуточного

контроля, так и формы итоговой зачетной работы по курсу. Оценка может

выставляться как в форме «зачтено (не зачтено)», так и по балльной шкале. С целью

повышения привлекательности курса для учащихся и повышения шансов его

продвижения на рынке образовательных услуг желательно, чтобы формы и содержание

контроля уровня достижений учащихся в рамках факультативного курса

согласовывались с требованиями контрольно-измерительных материалов ЕГЭ по

базовым предметам. Для контроля уровня достижений учащихся могут быть

использованы такие способы, как наблюдение активности на занятии, беседа с

учащимися, родителями, экспертные оценки педагогов по другим предметам (особенно

по курсам, которые направлены преимущественно на личностный рост учащихся,

развитие общеучебных компетентностей), анализ творческих, исследовательских работ,

анкетирование, тестирование. Важно использовать оценку промежуточных достижений

прежде всего как инструмент положительной мотивации, а также своевременной

коррекции деятельности как учащихся, так и учителя. Для проведения итоговой

аттестации по результатам изучения факультативного курса можно использовать как

специальную зачетную работу, так и портфолио обучающегося. Итоговая оценка может

быть накопительной, когда результаты выполнения всех предложенных заданий

оцениваются в баллах, которые суммируются по окончании курса. При этом можно

использовать и рейтинг, когда конкретные рамки по количеству баллов для получения

той или иной оценки заранее не ставятся, а оценка определяется по завершении

изучения курса в зависимости от актуального уровня подготовки учащихся

Список литературы содержит: литературу для учителя и учащихся (основную и

дополнительную), электронные издания (компакт-диски, обучающие компьютерные

программы и т.д.), Интернет-ресурсы.

Дополнительные элементы программы могут содержать: аннотацию к

программе (краткую презентацию содержания курса); приложения (темы творческих

работ, проекты, планы проведения практических работ, лабораторных опытов,

экскурсий и т.д.).

31

Специалисты утверждают, что наиболее эффективными для факультативных

курсов являются современные педагогические технологии, ориентированные на

активную деятельность обучающегося и субъект-субъектное взаимодействие (игровые,

тренинговые и др.). Кроме того, возможно применение технологии учебных проектов и

учебного исследования.

В нашем исследовании остановимся более подробно на методе проектов как

основной технологии эффективной организации факультативных курсов.

Основными предпосылками возникновения метода проектов, как в России, так и

за рубежом связаны с пересмотром взглядов на систему общего образования. В

Америке одной из причин внедрения нового метода стала проблема обучения детей,

для которых необходимый учебный минимум представлял сложность в усвоении. В

России источником метода проектов считается интерес к личности каждого ученика8.

Основными целями и задачами проектной технологии для развития личностных

качеств учащихся и раскрытия их творческого потенциала являются:

1. Формирование и развитие самоуважения и позитивной самооценки;

2. Формирование коммуникативных навыков общения: навыков ведения

диалога, координации собственных действий с действиями в группе.

3. Формирование и развитие организаторских способностей, умения

управлять, организовывать рабочее пространство и время, планировать деятельность и

принимать решения.

4. Формирование навыков работы с информацией.

При реализации проектной технологии необходимо соблюдать основные

дидактические принципы:

− принцип взаимосвязи обучения, воспитания и развития. Реализация

данного принципа производится посредством всестороннего развития сфер личности,

привлечения учащихся к различным видам учебно-познавательной деятельности. При

этом развиваются общие и специальные способности, познавательные интересы и

потребности в саморазвитии и самосовершенствовании;

− принцип гуманизации. По данному принципу личность учащегося

рассматривается как высшая социальная ценность и педагогам необходимо направить

все усилия на максимальное раскрытие и развитие его способностей, предпочтений,

склонностей, стремления к удовлетворению личностных образовательных

потребностей;

8 Полякова Т.Н. Метод проектов в школе: теория и практика применения [Текст] / Т.Н.Полякова.

– М.: Русское слово, 2011. – 108с.

32

− принцип научности указывает на необходимость соответствия

мировоззрения учащихся уровню современного развития науки;

− принцип оптимизации предполагает выбор и реализацию оптимального

варианта организации самостоятельности в учебно-познавательной деятельности

учащихся, который должен проводиться с учетом реальных возможностей учащихся

для получения результатов, максимально возможных в данных условиях работы;

− принцип мотивации в процессе учебно-познавательной деятельности

учащихся указывает на необходимость создания условий, при которых учащийся занял

бы активную позицию и раскрылся бы наиболее полно;

− принцип активности, сознательности и самостоятельности учащихся

заключается в формировании у учащихся стремления к целенаправленной

самостоятельной учебно-познавательной активности, потребности в осуществлении

самоанализа, активизации стремления к познавательной самостоятельности.

Помимо общедидактических принципов в процессе реализации проектной

технологии должны соблюдаться следующие требования:

1. Актуализация потребностей и объективная оценка условий жизни

учащихся. Определение значимости проблемы (задачи), которая требует интеграции

имеющихся знаний, использования навыков исследовательского поиска для ее

решения.

2. Проектирование должно иметь практическую, теоретическую,

познавательную направленность.

3. Самостоятельность в индивидуальной, парной, групповой деятельности

учащихся. Соблюдение требований интеллектуальности, творческого подхода и

информационного характера в совершаемых действиях.

4. Соблюдение сроков, этапов планирования проекта, умение

конструировать содержательную его часть, указывая поэтапные результаты.

5. Определение конкретных исследовательских процедур для поддержания

целевого характера деятельности учащихся.

Организуя проектную деятельность учащихся необходимо учитывать их уровень

готовности к выполнению данного вида работы. Другими словами, учащемуся не

может быть предложена проектная работа, для выполнения которой у него нет никаких

знаний и умений и ему негде найти и приобрести их.

Другой особенностью реализации проектной технологии является

необходимость мотивации учащихся на активную работу. Для этого необходимо, чтобы

цель проекта на начальном этапе носила скрытый характер, порождала проблему.

33

Посредством формирования проблемной ситуации происходит переход к первому

этапу работы над проектом – проблематизации.

На данном этапе выполняется оценка имеющихся обстоятельств и

формулируется проблема. Появление проблемы вызывает стремление ее преодолеть,

данное стремление порождает в свою очередь, первичный мотив к деятельности.

Вторым этапом работы над проектом является целеполагание. На этом этапе

проблема для учащегося должна преобразоваться в цель, которая личностно значима

для него. Кроме того происходит преобразование проблемы в образ ожидаемого

результата, который должен воплотиться в проектном продукте. Еще одной

характерной чертой данного этапа является появление множества идей, которые еще

больше укрепляют мотив к деятельности.

Как известно успех достижения поставленной цели, в первую очередь, зависит

от последовательности действий, которые ведут к ней. Наличие проблемы и

поставленной цели побуждает учащегося к переходу к деятельности, которая должна

начаться с разработки плана проекта. Поэтому следующим этапом проектной

технологии является планирование. Это один из важнейших этапов работы, от качества

его выполнения зависит результат всей деятельности.

К четвертому этапу – этапу реализации учащийся подходит с определенным

багажом: понятна цель, имеется план работы, ресурсы. Особенностью данного этапа

является максимальное колебание мотива. У одних учащихся на фоне ясности

предстоящих шагов и наличия четкого плана мотив к деятельности повышается, а у

других возникает ощущение доступности, что приводит к желанию расслабиться.

Поэтому на данном этапе важным является умение наставника применить формы и

методы для поддержания мотивации учащегося.

В завершении работы (на заключительном ее этапе) необходимо выполнить

сравнение полученного результата с замыслом, осмысление и анализ допущенных

ошибок, способность увидеть перспективу работы. Также автору необходимо

выполнить оценку личностных изменений: чему он научился, что узнал, изменился ли

взгляд на проблему, какой был получен жизненный опыт. Все вышеперечисленное

является содержанием этапа самооценки и рефлексии.

Используя основные принципы формирования проектных навыков школьников,

которые были рассмотрены выше, можно составить модель среды проектирования, в

основе которой лежат два блока, обеспечивающие выполнение проекта:

− структурно-содержательный;

− организационно-процессуальный.

34

Данная среда обеспечивает доступность всех видов информационного

обеспечения, в том числе и исследовательские материалы, уже имеющиеся у

школьников и учителей. Она учитывает все необходимые этапы выполнения проекта, а

также структуру, формы и методы, используемые в рамках проектного исследования.

Работа над проектом предполагает выделение его внутренней и внешней

структуры.

Внутренняя структура определяется методологическими компонентами:

актуальностью проблемы, предметом исследования, целью проекта, гипотезой,

задачами, методами и практической значимостью.

Для полного завершения проекта после получения результатов и оформления их

в виде продукта проект необходимо документально оформить, представить на оценку,

получить поддержку и реализовать его на практике. Поэтому к внутренней структуре

проекта добавляется три внешних компонента: портфолио, презентация, реализация

проекта.

Портфолио – это папка документов, содержащая оформленные материалы и

имеющая четыре блока:

− полный комплект проекта с приложениями (задания, документы,

демонстрационные материалы, графики, чертежи)

− доклад,

− тезисы,

− аннотацию.

Портфолио является отражением реализации всех этапов проведения проектного

исследования. Поэтому следует разъяснить учащимся серьезность подготовки

документов, входящих в портфолио. Наполняемость портфолио призвана обратить

внимание на положительные стороны проекта, в то время как скудно представленная

информация осветит все отрицательные моменты и ошибки в процессе осуществления

проектного исследования.

Презентация проекта должна осуществляться в соответствии с требованиями,

предъявляемыми к данному способу представления информации, но в то же время это

должна быть творческая реализация замыслов учащихся.

Презентация проекта может осуществляться с применением средств

презентационной графики (чаще всего MS Power Point). В этом случае школьникам

необходимо разъяснить основные требования к данному виду презентации для того,

чтобы избежать явных ошибок в оформлении, в представлении информации.

35

В завершении выполнения проекта важно запланировать дальнейшую его

реализацию. Это может быть дальнейшее развитие для получения новых результатов

или использование в качестве части нового исследования. Только в случае дальнейшей

реализации результаты проектного исследования представляют ценность для учащихся

и поддерживают их интерес в дальнейшей работе по проектному методу.

Образовательным стандартом установлены требования к результатам

обучающихся. К ним относятся:

1. Личностные требования. Они включают в себя:

− саморазвитие и личностное самоопределение учащихся, их готовность к

данным процессам. Данные требования предъявляются к учащимся в зависимости от их

возрастной категории и уровень их развития диагностируется по соответствующим

методикам.

− мотивацию к обучению и целенаправленную познавательную

деятельность. Чаще всего развитие мотивации, ее повышение является аспектом

деятельности учителя, его способностью заинтересовать учащихся к той или иной

деятельности.

− сформированность социально-значимых основ и отношений в социуме,

ценностно-смысловых установок, которые отражают личностные и гражданские

позиции в деятельности. Для данного требования немаловажным является участие

родителей, социума, в котором школьник рос и воспитывался.

− способность ставить цели и строить жизненные планы. Жизненная

позиция формируется у школьников под влиянием многих факторов: возрастные

особенности, особенности воспитания, общения.

− способность к осознанию российской идентичности в поликультурном

социуме.

2. Метапредметные требования определяют:

− межпредметные понятия и универсальные учебные действия, освоенные

обучающимися.К ним относятся регулятивные, познавательные и коммуникативные

УУД. Уровень освоения определяется путем регулярного мониторинга для анализа

результатов и их коррекции.

− способность применения межпредметных понятий в целях учебного,

познавательного и социального развития;

− проявление самостоятельности в планировании и осуществлении учебной

деятельности и организации учебного сотрудничества с педагогами и сверстниками;

36

− способность к построению индивидуальной образовательной траектории.

На каждой ступени образования данная способность имеет свои особенности и

приобретает более четкие очертания по мере приближения к завершающему этапу

обучения.

− владение навыками учебно-исследовательской, проектной и социальной

деятельности. Данные способности формируются в процессе выполнения проектов

различного вида, направленности.

3. Предметные требования указывают:

− на умения, специфические для данной предметной области, освоенные

обучающимися в ходе изучения учебного предмета. Данные требования являются

специфическими в зависимости от особенностей изучаемых предметов и формируются

учителями-предметниками на учебных занятиях.

− на виды деятельности по получению нового знания в рамках учебного

предмета, его преобразованию и применению в учебных, учебно-проектных и

социально-проектных ситуациях;

− формирование научного типа мышления, научных представлений о

ключевых теориях, типах и видах отношений;

− владение научной терминологией, ключевыми понятиями, методами и

приёмами.

Выполнение данных требований должно подвергаться постоянной диагностике,

мониторингу для своевременной коррекции и изменения траектории взаимодействия и

использования тех или иных методов и форм обучения. Только своевременное

определение уровня развития по каждому показателю позволит скорректировать работу

в правильном направлении.

Таким образом, были выделены типы факультативных курсов, структура

программы, а также рассмотрена одна из эффективных технологий обучения – метод

проектов.

37

2.1 Разработка факультативного курса «Изучение высказываний и

логических операций над ними»

В рамках дипломной работы была разработана программа элективного курса

«Изучение высказываний и логических операций над ними», представленная далее.

Пояснительная записка

Внедрение стандартов нового поколения направлено на совершенствование

системы образования, которая предполагает не только освоение школьниками опорных

знаний и умений, но и прежде всего их успешное включение в учебную деятельность,

становление учебной самостоятельности для создания прочного фундамента

последующего обучения.

В рамках формирования у учащихся способности самостоятельно действовать

активизация познавательной деятельности занимает важное место. Особо остро данная

проблема стоит на уроках математики. Для прочного и осознанного овладения

системой математических знаний и умений следует сформировать у учащихся

потребности в осуществлении творческого преобразования учебного материала.

Данный курс направлен на формирование систематизированных знаний в

области математической логики, представлений о проблемах оснований математики и

роли математической логики в их решении; развитие логического мышления,

логической культуры, логической интуиции.

Факультативный курс «Изучение высказываний и логических операций над

ними» рассчитан на 27 часов и предназначен для учащихся 8 класса.

Форма итогового контроля – защита проекта, выполнение практического

задания.

Формы и методы обучения – лекция, деловая игра, проектная деятельность,

применение информационно-коммуникационных технологий, практические занятия.

2. Содержание изучаемого курса

Тема 1 Формулы логики

1) Основные логические операции

2) Таблица истинности

3) Законы логики

4) Методика упрощения формул логики с помощью равносильных преобразований

5) Методика проверки двух формул на равносильность

Тема 2 Булевы функции

1) Булевы Функции: понятие, носитель, способы задания

38

2) Дизъюнктивная нормальная форма

3) Конъюнктивная нормальная форма

Тема 3 Алгебра высказываний

1) Понятие высказывания. Определенные и переменные высказывания

2) Запись высказываний

3) Логические рассуждения

1. Тематический план

№

занятий

Наименование разделов, тем,

занятий

Кол -во

часов

Вид занятия

Формулы логики

1 Основные логические операции.

Таблица истинности 1

Урок – изучение нового материала в

виде лекции

2 Формулы логики. Законы логики 1 Комбинированный урок

3 Запись логическими формулами

высказываний 1 Практическое занятие

4 Построение таблиц истинности для

формул логики 1 Комбинированный урок

5

Методика упрощения формул

логики с помощью равносильных

преобразований

1 Комбинированный урок

6 Методика проверки двух формул на

равносильность 1 Комбинированный урок

7 Определение равносильных формул 1 Практическое занятие

8

Определение тождественно

истинных и тождественно ложных

формул

1 Практическое занятие

9

Доказательство тождественной

истинности формул и

равносильности формул путем

построения таблиц истинности

1 Практическое занятие

10

Доказательство тождественной

истинности формул и

равносильности формул путем

1 Практическое занятие

39

равносильных преобразований

11

Упрощение формул логики с

помощью равносильных

преобразований

1 Практическое занятие

Булевы функции

12 Булевы Функции: понятие,

носитель 1

Урок – изучение нового материала в

виде лекции

13 Булевы Функции: способы задания. 1 Комбинированный урок

14 Дизъюнктивная нормальная форма. 1

15 Конъюнктивная нормальная форма 1

16 Представление булевой функции в

виде совершенной ДНФ 1 Практическое занятие

17 Представление булевой функции в

виде совершенной КНФ 1 Практическое занятие

Алгебра высказываний

18

Понятие высказывания.

Определенные и переменные

высказывания

1 Урок – изучение нового материала в

виде лекции

19 Запись высказываний 1 Комбинированный урок

20 Логические рассуждения 1 Комбинированный урок

21 Запись высказываний 1 Практическое занятие

22 Проведение логических

рассуждений 1 Практическое занятие

23-24 Защита проектов 2 Контрольно-учетный урок

25-26 Итоговый зачет 2 Контрольно-учетный урок

27 Обобщающее занятие 1 Деловая игра

4. Ожидаемые результаты изучения курса

В результате освоения курса учащийся должен овладеть следующими навыками:

формулировать задачи логического характера и применять средства

математической логики для их решения.

В результате освоения курса учащийся должен знать:

- основные принципы математической логики;

- формулы алгебры высказываний;

40

- методы минимизации алгебраических преобразований.

5. Список литературы

1. М.С. Спирина, П.А. Спирин. Дискретная математика.- Издательский

центр «Академия», 2004г.- 368с.

2. Аляев Ю.А. Тюрин С.Ф.. Дискретная математика и математическая

логика.- Издательский центр «Академия», 2006г.- 366с.

3. Д.В. Гринченков, С.И. Потоцкий. Математическая логика и теория

алгоритмов для программистов. [Текст]: Д.В. Гринченков, С.И. Потоцкий. – М.:

Кнорус, 2010 г. – 206 с.

4. В.И. Игошин. Математическая логика и теория алгоритмов. [Текст]: В.И.

Игошин. – М.: Академия, 2004 г. – 446 с.

6. Дополнительные элементы программы.

6.1 Требования к минимальному материально-техническому обеспечению

Реализация факультативного курса требует наличия учебного кабинета.

Оборудование учебного кабинета:

- посадочные места по количеству учащихся;

- рабочее место учителя;

- учебно – методический комплект курса;

- оформление кабинета (стенды) по соответствующим направлениям;

- материалы Интернета, постановления, указы правительства, президента

Технические средства обучения:

- компьютер с лицензионным программным обеспечением;

- мультимедиапроектор;

- принтер;

- сканер

6.2 Перечень тем проектов:

1) Логика – наука или жизненная необходимость?

2) Логические приемы Шерлока Холмса

3) Прикладное назначение алгебры логики

4) Законы логики вокруг нас

5) Логические элементы компьютера

6) Сборник занимательных логических задач

Таким образом, в рамках настоящего исследования была разработана программа

факультативного курса по теме «Изучение высказываний и логических операций над

ними». Автором в программе даны рекомендации по форме проведения учебных

41

занятий, виду итогового контроля (ранее, в п.2.1 описана технология проектной

деятельности и возможности представления результатов работ в виде портфолио),

приведены возможные темы проектов, рассмотрены требования к минимальному

материально-техническому обеспечению. Разработанный курс может быть

рекомендован к внедрению в общеобразовательных школах.

42

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данное исследование посвящено проблемам определения роли и места

факультативных курсов в системе школьного образования. Цель факультативных

курсов – научить школьников делать зрелый выбор профиля, разбивать способность

видеть альтернативы, оценивать их, нести ответственность за свой выбор.

Итогом теоретического анализа стала формулировка следующих положений:

1. Главные принципы факультативных курсов - практическая

направленность, дифференцированный подход, использование новых педагогических и

информационных технологий.

2. Факультативные курсы реализуются за счет школьного компонента

учебного плана.

3. Существует ряд классификационных признаков факультативных курсов -

по типу решаемых задач, по связи с предметом, по содержанию. Самая

распространенная классификация – пробные, ориентационные, общекультурные и

углубляющие курсы.

4. Специалисты рекомендуют строить программу факультативных курсов,

включая следующие элементы – пояснительная записка, содержание курса,

тематический план, ожидаемые результаты изучения курса, список литературы,

дополнительные элементы.

5. Наиболее эффективными для факультативных курсов являются

современные педагогические технологии, ориентированные на активную деятельность

обучающегося; технологии учебных проектов и учебного исследования.

6. Факультативный курс «Изучение высказываний и логических операций

над ними» направлен на формирование систематизированных знаний в области

математической логики, представлений о проблемах оснований математики и роли

математической логики в их решении; развитие логического мышления, логической

культуры, логической интуиции.

Практическая значимость настоящей работы состоит в наличии разработанной

программы курса, которая может служить методическим сопровождением процесса

обучения школьников 8 класса работы с высказываниями и логическими операциями

над ними.

Основой для практической разработки стал анализ методики обучения теме

«Высказывания и логические операции над ними». Чтобы правильно рассуждать, надо

43

изучить правильные способы и методы рассуждений. Научиться правильно составлять

высказывания, или, как говорится в математической логике, выполнять операции над

высказываниями. При этом необходимо знать, вытекает ли истинность сложных

высказываний из истинности составляющих их более простых предложений. Анализом

методов рассуждений занимается наука логика, а исследованием и изучением

математических рассуждений - математическая логика.

Было определено, что раздел «Основы алгебры логики» один из сложнейших в

курсе математики, не все учащиеся его усваивают и понимают, что в дальнейшем

приводит к проблемам при изучении перечисленных ранее разделов. Именно поэтому

было принято решение разработать программу курса «Высказывания и логические

операции над ними» с тем, чтобы продолжить формирование логического мышления

учащихся, совершенствовать их знания, направлять на овладение обобщенным

способом решения некоторого класса задач.

Выбор форм и методов проведения занятий в рамках курса был определен тем,

что при изучении тем математической логики следует заинтересовать учащихся. Одной

из основных педагогических технологий факультативного стала проектная

деятельность. Усвоение знаний с применением метода проектов перестает носить

характер заучивания, многообразие форм поисковой, проектной, мыслительной

деятельности позволяет реализовывать данный метод, как продуктивный творческий

процесс. В основе учебного проектирования при использовании проектной технологии

лежит усвоение и знаний и способов, позволяет развивать познавательную активность

и творческий потенциал обучающегося.

Проведение учебных занятий курса предполагается в виде проблемных лекций,

комбинированных уроков, практических занятий. Причем последний вид уроков

(практические занятия) занимают особое место в процессе изучения основ

математической логики. Несомненно, большинство методов практического обучения

имеет многофункционально-творческое значение. Включение учащихся в творческую

деятельность профессионального характера способствует формированию

профессионально-творческого потенциала, помогает школьникам находить решения в

нестандартных ситуациях, вовлекает их в практическую учебно-познавательную

деятельность профессиональной направленности во время всего периода обучения.

Подводя итог, сделаем вывод о достижении цели и решении задач,

поставленных во введении.

44

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ДНФ – дизъюнктивная нормальная форма

КНФ - конъюнктивная нормальная форма

УМК – учебно-методический комплекс

УУД – универсальные учебные действия

ФГОС – Федеральный государственный образовательный стандарт

45

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 30.12.2015) «Об

образовании в Российской Федерации»

2. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего

(полного) общего образования

3. Акимов О.Е. Дискретная математика - М. : Лаборатория Базовых

Знаний, 2011. - 376 с.

4. Андреев В.И. Педагогика: учебный курс для творческого саморазвития. –

Казань: Центр инновационных технологий, 2010. – 608с.

5. Байгонакова Г.А., Темербекова А.А., Чугунова И.В. Методика обучения

математике: учебное пособие для студентов Высших учебных заведений . - Горно-

Алтайск: РИО ГАГУ, 2013. - 365 с.

6. Бойцова Е.Г. Формирующее оценивание образовательных результатов

учащихся в современной школе / Е.Г. Бойцова// Человек и образование. – 2014. -

№1(38). – с.171-175

7. Болтаева М. Л. Деловая игра в обучении // Молодой ученый. — 2012. —

№2. — С. 252-254.

8. Васильева Т. С. ФГОС нового поколения о требованиях к результатам

обучения / Т.С.Васильева// Теория и практика образования в современном мире:

материалы IV междунар. науч. конф. (г. Санкт-Петербург, январь 2014 г.). — СПб.:

Заневская площадь, 2014. — С. 74-76.

9. Воронцов А.Б. Риски введения Федерального государственного

образовательного стандарта и их возможная минимизация / А.Б. Воронцов. – М.:

ОИРО, 2012, 186с.

10. Гаврилов Г.П. Задачи и упражнения по дискретной математике - М. :

ФИЗМАТЛИТ , 2012. - 416 с.

11. Генике Е.А. «Активные методы обучения: новый подход» / Е.А. Генике. –

М.: Изд. фирма «Сентябрь», 2013. – 230с.

12. Горбачева Е.Ю. особенности предпрофильной подготовки как

компонента профильного образования / Е.Ю. Горбачева// Педагогическая наука:

прошлое, настоящее, будущее: материалы международной заочной научно-

практической конференции (30 марта 2014г.). – Новосибирск: Изд-во ЭНСКЕ, 2014. – с.

95-97

13. Губанова М.И. Учитель и Ученик: грамотность, компетентность,

46

технологичность: Учебное пособие / М.И. Губанова, Е.П. Лебедева. – Кемерово:

Издтельство КРИПКиПРО, 2013. – 167с.

14. Гузеев В.В., Дахин А.Н. Образовательная технология XXI века.

Деятельность, ценности, успех / В.В. Гузеев, А.Н. Дахин. – М.: Крылья, 2014. – 96с.

15. Ерошкова Ю.С. Повторительно-обобщающие уроки по математике как

фактор систематизации и укрупнения знаний // Актуальные проблемы современного

образования. – 2015. - №2(19). – С.103-109.

16. Зарукина Е.В. Активные методы обучения: рекомендации по разработке и

применению: учебно-методическое пособие. – СПб.: СПбГИЭУ, 2013. – 56с.

17. Коджаспиров А.Ю., Коджаспирова Г.М. Педагогический словарь / А.Ю.

Коджаспиров, Г.М. Коджаспирова. – М.: Академия, 2013. – 176с.

18. Колеченко А.К. Энциклопедия педагогических технологий: Пособие для

преподавателей / А.К. Колеченко. – СПб.: КАРО, 2013. – 368с.

19. Крившенко Л.П. Педагогика: Учебник / Л.П. Крившенко. – М.:Проспект,

2014. – 533с.

20. Лунгу К.Н. Систематизация приемов учебной деятельности студентов

при обучении математике / К.Н. Лунгу. – М.: КомКнига, 2013. – 424с.

21. Марусева И.В. Современная педагогика (с элементами педагогической

психологии). – СПб.: БХВ-Питер, 2015. – 624с.

22. Микони С.В. Дискретная математика для бакалавра: множества,

отношения, функции, графы : учебное пособие - Санкт-Петербург : Лань, 2012. - 186 с.

23. Новгородцева И.В. Педагогика с методикой преподавания специальных

дисциплин / И.В. Новгородцева. – М.: Флинта, 2011. – 378с.

24. Новикова Н.Н. Интерактивные и аудиовизуальные средства обучения –

составляющие информационной образовательной среды: учебно-методическое

пособие. – Сыктывкар: ГОУДПО «Коми республиканский институт развития

образования», 2014. –100с.

25. Подласый И.П. Педагогика. Теория и технология обучения: Учебник для

вузов / И.П. Подласый. – М.: Эксмо, 2015. – 343с.

26. Пожидаева Л.В. Активизация познавательной деятельности учащихся на

уроках математики // Обучение и воспитание: методики и практика. - №8. – 2013. –

С.145-150.

27. Полякова Т.Н. Метод проектов в школе: теория и практика применения /

Т.Н.Полякова. – М.: Русское слово, 2011. – 108с.

28. Полякова Т.Н. Метод проектов в школе: теория и практика применения /

47

Т.Н.Полякова. – М.: Русское слово, 2011. – 108с.

29. Потехина Е.В. Введение в педагогическую деятельность / Е.В. Потехина.

– М.: Академия, 2015. – 110с.

30. Сластенин В.А., Исаев И.Ф., Шиянов Е.Н. Педагогика: Учебное пособие

для вузов. – М.: Академия, 2012. – 576с.

31. Шевченко Е.М. Интерактивные методы обучения: учебно-методическое

пособие для студентов экономических специальностей вузов. – М.:Бланк, 2012. – 84с.

32. Гурьянова А.В. Компетентностный подход в образовании // Фестиваль

педагогических идей «открытый урок». – URL:

http://festival.1september.ru/articles/574903 (дата обращения: 20.03.2017).

33. Колмакова В.И. Формы внеурочной работы, направленные на развитие

метапредметных компетенций учащихся [Электронный ресурс] / В.И. Колмакова –

Режим доступа: http://u4eba.net/sbornikidei/formyivneurochnoy-rabotyi-napravlennyie-na-

razvitie-metapredmetnyih-kompetentsiyuchashhihsya.html (дата обращения: 10.03.2017).

34. Мигалина, Е.В. Активизация познавательной деятельности учащихся на

уроках математики // Социальная сеть работников образования nsportal.ru. – URL:

http://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/materialy-mo/2012/10/11/aktivizatsiya-poznavatelnoy-

deyatelnosti-uchashchikhsya-na (дата обращения: 15.03.2017).

35. Скоробогатова О.О. Систематизация и обобщение знаний учащихся в

процессе обучения математике // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок».

URL: http://festival.1september.ru/articles/414807/ (дата обращения: 10.03.2017).