DİNAMİK DERS NOTLARI

Kaynaklar:Kaynaklar:Engineering Mechanics: Engineering Mechanics: DynamicsDynamics, SI Version, 6th Edition, J. L. , SI Version, 6th Edition, J. L.

MeriamMeriam, L. G. , L. G. KraigeKraigeVectorVector MechanicsMechanics forfor EngineersEngineers: Dynamics: Dynamics, , SixthSixth EditionEdition, , BeerBeer and and

JohnstonJohnston

Doç.Dr. Cesim ATAŞ

1. MADDESEL NOKTANIN (PARÇACIK) KİNEMATİĞİ(KINEMATICS OF PARTICLES)

Bir parçacığın düz bir çizgi boyunca hareketi doğrusal hareket olarak adlandırılır.

v = dxdt

Parçacığın hızı;

ivme a hızın (v) zamana (t) göre türevi ile bulunur;

a = dvdt

veya a = d 2xdt 2

İvme (a) zamandan bağımsız olarak daifade edilebilir:

a = v dvdx

x

PO

x+-

1.1 Doğrusal Hareket (rectilinear motion)

Hız (v) ve ivme (a) vektörel büyüklüklerdir. Burada; doğrultusu belli olan bir çizgi boyunca hareket söz konusudur. İşlemler de hız için bulunan pozitif ve negatif değerler hareket yönünü temsil ederken, pozitif ivme değerleri hızlanmaya negatif değerler ise parçacığın yavaşlamasına işaret eder.

• Düzgün Doğrusal Hareket:

v = vo + atx = xo + vot + at21

2

v2 = vo + 2a(x - xo )2

x = xo + vt v= sabit a= 0

• Düzgün Değişen Doğrusal Hareket: (a= sabit)

x

O

xAxB

xB/A

A B

•Bağıl Hareket:xB/A B’nin A’ya göre bağıl konumu (aslında konum vektörü) olmak üzere;

xB = xA + xB/A ;

vB = vA + vB/A ;

aB = aA + aB/A

Problem çözümlerinde grafik yöntemler de kullanılabilir.Grafik çözümler genellikle x - t, v - t , ve a - t eğrileri kullanılarak yapılır.

a

tt1 t2v

t

v1

v2 v2 - v1 = a dt∫t1

t2

t1 t2

x

tt1 t2

x1

x2 x2 - x1 = v dt∫t1

t2

Herhangi bir t anında,

v = (x – t) eğrisinin eğimi

Ortalama hız ;

a = (v - t) eğrisinin eğimiOrtalama ivme ;

Herhangi bir zaman aralığında t1- t2,

v2 - v1 = (a – t) eğrisinin altında kalan alanx2 - x1 = (v - t ) eğrisinin altında kalan alan

txv

ΔΔ

=

tva

ΔΔ

=

x

y

rP

Po

O

v

s

r: göz önüne alınan parçacığın herhangi bir andaki “konum vektörü”

Parçacığın hızı; v = drdt

Hız vektörü daima parçacığın hareket yörüngesine teğettir ve şiddeti (v), parçacığın aldığı yolun (s)zamana göre türevi ile bulunur. v = ds

dt

1.2 Eğrisel Hareket (curvilinear motion)

x

y

rP

Po

O

a

s

Fakat, genellikle, ivme hareket yörüngesine teğet değildir. Hız vektörlerinin yörüngesine teğettir.

a = dvdt

x

y

zi

jk

r

ax

ay

az

P

vx = x vy = y vz = z. . .

ax = x ay = y az = z.. .. ..

x

y

zi

jk

vx

vy

vz

xiyj

zk

P

r

1.3 Hız ve İvmenin Dik Bileşenleri

v = drdt a = dv

dt

r=xi+yj+zk

Örnek; Bir mermin 2-Boyutlu hareketi

x-y-z; sabit eksen takımıx’-y’-z’; hareketli eksen takımı

vB/A: B’nin A’ya göre bağıl hızı; aB/A : B’nin A’ya göre bağıl ivmesi

rB = rA + rB/A

vB = vA + vB/A

aB = aA + aB/A

1.4 Öteleme Yapan Bir Eksen Takımına Göre Bağıl Hareket

1.5 Normal ve Teğetsel Koordinatlar (n-t)

x

yC

P

an = en

O

v 2ρ

at = etdvdt

Bazen, hız ve ivme bileşenlerini kartezyen koordinatlardan (x, y, ve z ) daha farklı bir sistemde tanımlamak daha kolaydır. Örneğin eğrisel bir yörüngede hareket eden bir P parçacığını yörüngeye teğet ve yörüngeye normal bileşenler şeklinde ifade edebiliriz. Bu durumda;

v = vet ; a = et + env2

ρdvdt

x

P

O

eθ

θ

r = r er

erDüzlemdeki eğrisel bir yörüngede hareket eden bir parçacığın konumunu r ve θ ile ifade etmek mümkün ise hız ve ivmeyi de radyal ve ona dik doğrultudaki bileşenlerine ayırmak mümkün olmaktadır. er ve eθ birim vektörlerdir. Hız ve ivme bileşenleri;

v = rer + rθeθ. .

a = (r - rθ2)er + (rθ + 2rθ)eθ

... .. . .

1.6 Kutupsal (Polar) Koordinatlar (r ve θ)

Burada noktalar zamana göre türevi temsil etmektedir. Bu durumda skalerbileşenler şu şekilde ifade edilebilir:

vr = r vθ = rθ. .

ar = r - rθ2 aθ = rθ + 2rθ... .. . .

2. MADDESEL NOKTANIN (PARÇACIK) KİNETİĞİ:NEWTON’UN İKİNCİ KANUNU

(KINETICS OF PARTICLES:NEWTON’S SECOND LAW)

Bir parçacığın lineer momentumu, “L = mv” ile ifade edildiğinde Newton’un ikinci kanunu aşağıdaki gibi yazılabilir.

Σ F = L.

m:kütle, Σ F: bileşke kuvvet vektörüa: ivme vektörü Σ F = ma

Newton’un ikinci kanunu

Bu bağıntı; bir parçacığa etkiyen bileşke kuvvetin, parçacığın lineer momentumu’nun değişim hızına eşit olduğu anlamına gelir.

2.1 Giriş

Bir parçacığın hareketiyle ilgili bir problemi çözerken; Σ F = ma yerine skaler bileşenleri içeren bağıntılar da kullanılabilir.

Kartezyen koordinatlarda;

Σ Fx = max Σ Fy = may Σ Fz = maz

x

Teğetsel ve Normal koordinatlarda,

Σ Ft = mat = m dvdtv2

ρKutupsal koordinatlarda ,

..... . .

Σ Fr = mar= m(r - rθ2)

x

y

P

an

O

at

x

y

z

ax

ay

az

P

P

aθ

O

ar

θr

Σ Fn = man = m

Σ Fθ = maθ = m(rθ + 2rθ)

Bir parçacığın O noktasına göre açısal momentumu (angularmomentum) (HO); parçacığın lineer momentumu’nun (mv) O noktasına göre momenti olarak tanımlanabilir.

HO = r x mv

Burada HO ; “r” and “mv” vektörlerini içeren düzleme dik bir vektördür. Şiddeti; HO = rmv sin φ

HO =i j kx y z

mvx mvy mvz

x

y

z

Pr

φ

HO

O

mv

2.2 Açısal Momentum

y

HO =i j kx y z

mvx mvy mvz

xy düzleminde hareket eden bir parçacık için; z = vz = 0. Açısal momentum xydüzlemine her zaman diktir. Bu durumda açısal momentum sadece şiddeti ile de tanımlanabilir:

HO = Hz = m(xvy - yvx)

Bu bağıntıya göre; bir parçacığa etki eden kuvvetlerin O noktasıetrafındaki bileşke momentlerinin, parçacığın O etrafındaki açısal momentumundaki değişim oranına/hızına eşittir.

xz

Pr

φHO

O

mv

Açısal momentum (HO) daki değişim hızını hesaplayıp Newton’un ikinci kanununu uygularsak;

.HO

Σ MO = HO

.

3. MADDESEL NOKTANIN (PARÇACIK) KİNETİĞİ: ENERJİ VE MOMENTUM METOTLARI

(KINETICS OF PARTICLES: ENERGY AND MOMENTUM METHODS )

s2

A1

A2

A

s1s

drF

αds

•Bir kuvvetin işi:

Parçacığa etki eden F kuvvetinin küçük dr deplasmanına karşılık gelen işi;

dU = F dr = F ds cos α

Böylece, A1 den A2 ye yapılan iş;

U1 2 = F dr∫A1

A2

= (Fxdx + Fydy + Fzdz) ∫A1

A2

Kinetik analizde ivme kullanılmadan analiz yapma imkanı veren iki yöntem vardır: “iş-enerji” ve “impuls-momentum”. Her iki yönteme ait bağıntılar Newton’un 2. kanunundan yararlanılarak elde edilebilir.

Ağırlığı W olan bir cismin işi (y1den y2 ye çıkarıldığında);Fx = Fz = 0 and Fy = - W .

U1 2 = - Wdy = Wy1 - Wy2y1

∫y2

y1

y2

y

dy

W

A1

A2

A

•Ağırlığın işi:

•Doğrusal harekette sabit bir kuvvetin işi:

Fα

A2

A1Δx U1 2 = (F cos a) Δx

Bir yayın uyguladığı F kuvvetinin yaptığıiş (A1

’ den A2’ye)

= kx1 - kx22 21

212

Yayı şekil değiştirmemişkonumuna dönmeye zorlayan yay kuvvetlerinin işi pozitif (+) tir.

.

B

B x1A1

A2

A

AO

F

B x2

x

spring undeformed

x2

U1 2 = - k x dxx1∫

dU = -Fdx = -kx dx

•Yay kuvvetinin işi:

Bir parçacığın kinetik enerjisi; T = mv212

Newton’un 2. kanunu kullanılarak iş-enerji prensibi

çıkarılabilir: T1 + U1 2 = T2

Eğer bir F kuvvetinin yaptığı iş parçacığın takip ettiği yoldan bağımsız ise; F kuvvetine konservatif kuvvet denir. Yay kuvveti ve ağırlık konservatif kuvvetlerdir. Bu durumda enerjinin korunumundan söz edilebilir.

T1 + V 1 = T2 + V 2

Buna göre; sadece konservatif kuvvetler etkisinde hareket eden bir parçacığın, potansiyel enerjisinin ve kinetik enerjisinin toplamı hareket boyunca sabit kalır.

•iş-enerji prensibi

Bir parçacığın lineer momentumu; parçacık kütlesi ( m) ile hızının (v) çarpımına eşittir. Newton’un ikinci kanunundan, F = ma, impuls-momentum bağıntısı şu şekilde çıkarılabilir:

∫mv1 + F dt = mv2t1

t2

mv1 + Imp1 2 = mv2

•İmpuls-momentum prensibi

Eğer parçacık birden fazla kuvvetin etkisinde ise;

mv1 + ΣImp1 2 = mv2

Burada yer alan vektörel büyüklükler bileşenlerine ayrılarak (ör; x ve y ), impuls-momentum bağıntısı skaler bağıntılar şeklinde de ifade edilebilir.

Eğer çok büyük impulsif kuvvetler çok küçük bir zaman aralığında (Δt) etki ediyorsa; impulsif olmayan kuvvetlerin impulsları ihmal edilebilir:

mv1 + ΣFΔt = mv2

Σmv1 + ΣFΔt = Σmv2

Birden fazla parçacığın impulsif hareketinde;

Burada ikinci terim sadece impulsif dış kuvvetleri içermektedir.

Eğer dış kuvvetlerin impulslarının toplamı “0” ise, parçacıkların toplam momentumları korunur;

Σmv1 = Σmv2

A and B parçacıklarının doğru merkezsel çarpışma’dan sonraki hızlarını bulmak için iki denklem kullanılabilir:

Birinci denklem, iki cismin toplam momentumlarının korunumu;

mAvA + mBvB = mAv’A + mBv’B …..(I)

Çarpışma doğrultusu

A

B

vA

vB

A

B

v’A

v’B

Çarpışma öncesi

Çarpışma sonrası

•Çarpışma:•Doğru Merkezsel Çarpışma

İkinci denklem,çarpışma öncesi ve sonrası hız ilişkisini ifade eder (çarpışma katsayısını içerir) ;

v’B - v’A = e (vA - vB )….. …..(II)Çarpışan malzemelerin özelliklerine bağlı olarak, çarpışma katsayısı (e), 0 ile 1 arasında değerler alır. e = 0, tam plastik çarpışma.e = 1 , tam elastik çarpışma.

Eğik merkezsel çarpışmada, çarpışan cisimlerin hızları; çarpışma doğrultusundaki (n) ve temas yüzeyine teğet doğrultudaki (t) bileşenlerine ayrılır. Bu durumda bilinmeyenleri bulmak şu 4 bağıntıdan yararlanılır:

mA (vA)n + mB (vB)n = mA (v’A)n + mB (v’B)n

(vA)t = (v’A)t (vB)t = (v’B)t

(v’B)n - (v’A)n = e [(vA)n - (vB)n]

n doğrultusunda;

A

B

vA

vB

Line ofImpact

A

Bv’A

v’B

Before Impact

After Impact

n

t

vA

vB

nt

•Eğik Merkezsel Çarpışma

t doğrultusunda;

Bu bağıntılar, çarpışma öncesi ve sonrası serbest hareket eden cisimler için çıkarılmış olmakla beraber, hareketleri sınırlanmış cisimlerin çarpışmasında da kullanılabilir.

4. RİJİT CİSİMLERİN KİNEMATİĞİ(KINEMATICS OF RIGID BODIES)

Rijit cisimlerin düzlemdeki hareketi genel olarak 3’e ayrılır: “Ötelenme”, “Sabit bir eksen etrafında dönme” ve “Genel düzlemsel hareket”.

•Ötelenme

•Sabit bir eksen etrafında dönme •Genel düzlemsel hareket

Ötelenmede cisim üzerindeki tüm noktalar aynı hız ve aynı ivme ile hareket ederler.

Z ekseni etrafında dönen P noktasını göz önüne alırsak; θ’nın gördüğü açı

A

xy

rP

O

A’

θ φ

B

z

Yani P’nin hızının şiddeti; v = = rθ sin φdsdt

.

s

•Sabit bir eksen etrafında dönme:

Δ ise; θθ Δ⋅Φ⋅=Δ⋅=Δ sinrBPs

tr

tsv

tt ΔΔ

Φ⋅=ΔΔ

=→Δ→Δ

θsinlimlim00

Φ== sinθ&rdtdsv

== wθ& açısal hız

;

v = = ω x rdrdt

ω = ωk = θk.

Burada ω sabit eksen etrafındaki açısal hıza karşılık gelmektedir.

P noktasının hız, vektörel çarpımla;

şeklinde ifade edilir ve;

P’nin sabit eksen etrafındaki ivmesi;

a = α x r + ω x (ω x r)

)(

)(

rrvrdtdrr

dtd

dtrddv

××+×=×+×=

×+×=×

==

ωωαωα

ωωω

dta

α = dωdt = αk = ωk = θk. ..

= açısal ivme

x

y

O

ω = ωk

v = ωk x r

r

Düzlemde O noktasından geçen eksen etrafında dönme;

x

y

ω = ωk

α = αk

at = αk x r

v = ωk x r

at = αk x r at = rα

an= -ω2 r an = rω2

O an= -ω2 rP

P

İvme;

a = α x r + ω x (ω x r)

r=rxi +ryj yazılırsa

a = α x r – ω2 r= at+ an

İki özel durum:

ω = dθdt

• Düzgün Dönme (α=0):

α = dωdt

=sbt θ= θ0+ ωt

• Düzgün Değişen Dönme (α=sbt):

θ= θ0+ ω0t + ω= ω0+ αt12

αt2

ω2= ω20+ 2α (θ−θ0)

vB = vA + vB/A = vA + ωk x rB/A

•Genel düzlemsel hareket: hız analizi

A

B

vA

vB

Düzlem hareket = A ya göre öteleme + A ya göre dönme

A

B

vA

vA

B

y’

x’

vB/A

rB/AA

(fixed)ωk

vA vB

vB/A

vB/A = ωk x rB/A ; vB/A = (rB/A )ω = rω

aB = aA + α x r + ω x (ω x r)

C

A

B

vA

vB

vA

vB

CBir plakanın düzlemsel hareketinde, hızla ilgili çözüm yaklaşımlarından birisi de ani dönme merkezi (ADM)’nikullanmaktır. Ancak C noktasının ivmesi her zaman“0” olmayabilir. Bu nedenleİvme analizinde ADM yaklaşımı kullanılmaz.

•Ani Dönme Merkezi (ADM):

aB = aA + aB/A

•Genel düzlemsel hareket: ivme analizi

A

B

aA

aBA

B

aA

aA

A

B

y’

x’

(aB/A)n

αkωk

(aB/A)t

aB/A

Düzlem hareket = A ya göre öteleme + A ya göre dönme

aB = aA + α x r + ω x (ω x r)

(aB/A)n

(aB/A)t

aA

aB aB/A

Vektör diyagramıaB = aA + α x r – ω2 r

•Dönen bir eksene göre bağıl hareket

X

Aα

r

PB

x

yY

ω

Bir P parçacığının, sabit bir eksen etrafında ω açısal hızı ile dönen x-y eksen takımına göre hareketi (düzlemde) incelenirse; P’nin mutlak hızı:

vB = vA + vB/A

vP = vB + vP/B= vA + vB/A + vP/B

vP = vA + ω x rB/A+ vbağ

P’nin mutlak ivmesi:

aB = aA + aB/A =aA + α x rB/A + ω x (ω x rB/A)

aP = aB + aP/B+ acor= aA + α x rB/A + ω x (ω x rB/A)+2(ω x vbağ)+ acor

Not: Hız ve ivme için yazılan bağıntılar 3-boyutlu problemler için de kullanılabilir. Bu durumda , bağıntılardaki vektörel büyüklükleri 3-boyutlu olarak yazmak gerekir.

5. RİJİT CİSİMLERİN KİNETİĞİ (RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL HAREKETİ) (PLANE MOTION OF RIGID BODIES:FORCES AND ACCELERATIONS)

G

F1

F2

F3

F4

HG

ma

G

.

Rijit cisimlerin kinetiğinde kullanılan iki temel bağıntıvardır:

ΣF = maΣMG = HG

.m: cismin kütlesia: kütle merkezinin (G ) ivmesi.

HG : cismin G noktasına göre açısal momentumun türevi.

.HG = Iω

HG = Iω = Iα. .I: rijit plakanın/cismin G noktasından

geçen eksene göre kütle atalet momenti.ω: açısal hız

• Kuvvet ve İvme

F2

Referans düzlemine göre simetrik olan rijit bir cismin hareketini ifade eden bağıntılar skalerolarak da yazılabilir:

ΣFx = max ΣFy = may ΣMG = Iα

G

F1

F3

F4

maG

Iα

İş-enerji prensibi: T1 + U1 2 = T2

T1 ve T2 : cismin 1 ve 2 konumlarındaki kinetik enerjisiU1 2 : cisme etki eden dışkuvvetlerin işi

(Bir kuvvetin işi)U1 2 = (F cos α) ds∫s1

s2

• Enerji ve Momentum Metotları

G

ω v

U1 2 = M ds∫θ1

θ2θ açısı ile dönen rijit bir cisme etkiyen bir kuvvet çiftinin veya momentin işi:

Düzlem harekette bir cismin kinetik enerjisi: T = mv 2 + Iω21

212

O

ω

Sabit bir eksen etrafında dönen rijit bir cismin kinetik enerjisi: T = IOω21

2Göz önüne alınan rijit cisme sadece konservatif kuvvetler etki ediyorsa; enerjinin korunumu ilkesi: T1 + V1 = T2 + V2

Parçacığın hareketi için çıkarılan İmpuls ve momentum prensibi rijit cismin hareketi için de kullanılabilir:

Sist. Momentumu1 + Sist. Dış Imp1 2 = Sist. Mom.2

x

y

O

Iω1

mv1

x

y

O x

y

O

Iω2

mv2∫ Fdt

GG

(v’B)n - (v’A)n = e[(vA)n - (vB)n]

Çarpışmada da benzer bir yaklaşım kullanılabilir, ancak; çarpışan cisimlerin kütle merkezleri çarpışma doğrultusu üzerinde değilse buna eksantrik çarpma (eccentric impact ) denir. Bu durumda; çarpışma boyunca temasta olan A ve B noktalarının hızları göz önüne alınır.

n

A

vA

vB

nB

n

A

v’A

v’B

n

B

Çarpışma öncesi Çarpışma sonrası