dİnamİk - selcuk.edu.tr · behcet daĞhan behcet daĞhan behcet daĞhan maddesel noktalarin...

Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ

Behcet DAĞHAN

www.makina.selcuk.edu.tr

DİNAMİK


İÇİNDEKİLER

1. GİRİŞ

- Konum, Hız ve İvme - Newton Kanunları

2. MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ

- Doğrusal Hareket - Düzlemde Eğrisel Hareket - Bağıl Hareket (Ötelenen Eksenlerde) - Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi

3. MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ

- Kuvvet, Kütle ve İvme - İş ve Enerji - İmpuls ve Momentum

Behcet DAĞHAN



DİNAMİK

Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN



DİNAMİK

2KİNEMATİK


Doğrusal Hareket

2.1Behcet DAĞHAN


MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ

DİNAMİK



2.1. Doğrusal Hareket 1

YörüngeA

Yörünge

v

A

O

r 'r

A'd r

v = d r

dt

v // d r

v =

v = ds

dt

Yön :

Şiddet :

Doğrusal harekette hız vektörü daima yörüngeye paraleldir.

YörüngeA

Or '

r A'd r

d r

a = d v

dta =

Yön :

Şiddet :dv

dt

Doğrusal harekette ivme vektörü daima yörüngeye paraleldir.

Bu eşitliksadece doğrusal harekette geçerlidir.

DinamikBehcet DAĞHAN

= dt

| d r |= s

= dt

= v

Maddesel Noktaların Kinematiği

a // d v

| d v | Yörünge

d vv

v '

A

a

dv

| d v | = dv

dssO

Hız vektörününboyunda meydana gelen değişme

Hız vektöründekivektörel değişimin boyu


s = 0

!

Herhangi bir nokta orijin olarak seçilebilir.

Yörüngesi bir doğru olan harekete doğrusal hareket denir.

→

→→

→

→ →

→→

→→

→→

→

↑

↑

↑

↑ →

→→

→

→ →

→→

→

→←

Fakat yörünge üzerinde bir noktanınorijin olarak seçilmesi daha uygundur.

→

↑

| d r | = ds→←

↑

Yönleri aynıdır.

Yönleri aynıdır.

Dolayısıylabütün hız vektörleri de birbirine paraleldir.

Dolayısıylabütün ivme vektörleri de birbirine paraleldir.





Yörünge

v > 0

A

a > 0

s > 0

O

v < 0a < 0

s < 0

Yörüngenin bir tarafıkeyfi olarak pozitif taraf seçilir ve

Orijinden itibaren bir taraf pozitif konumların bulunduğu taraftır vediğer taraf da negatif konumların bulunduğu taraftır.

YörüngeA

s > 0s > 0v > 0a > 0

s < 0v < 0a < 0

O

s < 0

v > 0a > 0

v < 0a < 0

Hızlanma

v > 0v < 0

Yavaşlama

a > 0 a < 0

diğer taraf negatif taraf olur.Pozitif taraf verilen problemde önceden seçilmiş olabilir.

Doğrusal harekette hız ve ivme vektörleridaima yörüngeye paralel oldukları içinbu vektörlerin sadece şiddetleri ile ilgilenmekyeterli olur. Hız ve ivme vektörlerinin hangiyönde olduklarını belirtmek için deşiddetleri pozitif veya negatif alınır.

a = − 10 m/s2

Sadece doğrusal hareketteyön belirtmekiçin kullanılır.

İvme negatif olsa da maddesel noktahızlanabilir.

Keyfi olarakseçilmiş olan

pozitiftaraf

İvme pozitif olsa da maddesel noktayavaşlayabilir.

YavaşlamaHızlanma


s = 0

s = 0

Keyfi olarakseçilmiş olannegatiftaraf


v = − 12 m/s

! !





ds = v(t) dt

a = dv

dt

v = ds(t)

dtv =

ds

dtdt =

ds

v(s)

dv = a(t) dta = dv(t)

dtdt =

dv

a(v)

v dv = a(s) dsa

v=

dv

ds

a

v=

dv(s)

ds ds = v dv

a(v)

ds = v dt

dv = a dt

v dv = a ds

dt = ds

v

dt = dv

a

ds = v dv

a

a = dv

dtv =

ds

dt

Aşağıdaki bağıntıların tamamı yukarıdaki iki bağıntıdan yola çıkarak elde edilmiş bağıntılardır.Problem çözerken yapılabilecek matematik işlemlere örnek olarak verilmiştir.

Doğrusal hareket problemlerinde zaman, konum, hız ve ivme büyüklükleri arasında s(t), v(t), a(t), v(s), a(v,s) vb. bağıntılar verilmiş olabilir.Verilen bağıntıda hangi büyüklüğün hangisine bağlı olduğuna ve problemin diğer verilerine bakıp

ona göre aşağıdaki sık rastlanılan formlardan faydalanarak problem çözülür.


veya


veya

veya veya

veya veya

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN

a = a0 = sb. iken:a = a0 = sb. iken:

dv = a dt ∫ dv = a0 ∫ dtt1

t2

v1

v2

∫ dv = a0 ∫ dt0

t

v0

vv = v0 + a0 t

ds = v dt ∫ ds = ∫ v(t) dt = ∫ (v0 + a0 t) dtt1

t2

s1

s2

s = s0 + v0 t + a0 t 2∫ ds = ∫ (v0 + a0 t ) dt

0

t

s0

s

veya

veya

v dv = a ds ∫ v dv = a0 ∫ dss1

s2

v1

v2

0

s

v0

vv 2 = v0

2 + 2 a0 sveya ∫ v dv = a0 ∫ ds

1

2

Dv = a0 Dt

t1

t2

v = f(t)

s = f(t)

v = f(s)


v2 − v1 = a0 ( t2 − t1)

İvme, sabit olduğu için integral dışında bırakılabilir.

a

t

a = a0 = sb.a0

0


+ lar daima + dır. s0 , v0 veya a0 negatif olabilir.

→

→

→

→

→

→


Dinamik

!

Behcet DAĞHAN!



Dinamik

s

t

v = ds

dt

1v

t

a = dv

dts = f(t)

Ds

v = f(t)

teğet teğet a

t

a = f(t)

Dv

t


Not : Bu grafikler aynı hareket için çizilirken birbiri ile uyumlu çizilir. Buradaki grafikler ise aynı hareket için çizilmiş grafikler değildir.

s-t grafiğinin teğetinin eğimit-anındaki hızı verir.

v-t grafiğinin teğetinin eğimit-anındaki ivmeyi verir.

t

a-t grafiğinin altında kalan alan,göz önüne alınan zaman aralığında

hızların farkını (Dv) verir.

t1 t2 t1 t2

v-t grafiğinin altında kalan alan,göz önüne alınan zaman aralığında

konumların farkını (Ds) verir.

ds = v dt ∫ ds = ∫ v(t) dtt1

t2

s1

s2

Ds =v-t grafiğininaltında kalan alan

dv = a dt ∫ dv = ∫ a(t) dtt1

t2

v1

v2

Dv =a-t grafiğininaltında kalan alan( ( ( (

Behcet DAĞHAN



} } } }→ →

1

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN

Dinamik

s

t

v

t

Ds = v0 Dt

Ds

Dv = a0 Dt

v

t

v = v0 = sb.

Ds

a

t

a = a0 = sb.

Dv

a = a0 = sb.

v = v0 = sb.a = 0

v = v0 + a0 t

s = s0 + v0 t

s = v0 t

0

0


Dt

v0

Dt

a0

s0

0

v0

0

v = a0 t

t1 t2

t1 t2

0

0

0

0t1 t2

Behcet DAĞHAN



→

→

→

→

Ds = vort Dt

vort = ––––––v1 + v2

2

n ≥ 2

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN

Dinamik

y

x

Maddesel Noktaların KinematiğiBehcet DAĞHAN



y = k x1

A

a

b

O

A = –– a b1

2

y

x

y = k x2

A

a

b

O

A = –– a b1

3

y

x

y = k x3

A

a

b

O

A = –– a b1

4

y

x

y = k xn

A

a

b

O

A = ––––– a b1

n + 1

. . .

y

x

y = k xn

A

a

b

O

A ≠ ––––– a b1

n + 1

O (0,0)

y

x

y = k xn

a

b

O

A = ––––– a bn

n + 1A

!

!

Parabolik bir eğrinin altında kalan alanı bulmanın pratik yolu

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN

Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği

Serbest düşme veya düşey atışta hız ve ivmenin durumuSerbest düşme veya düşey atışta hız ve ivmenin durumu

Sadece yerçekimi etkisinde düşey olarak doğrusal hareket yapan bir maddesel noktanın ivmesi daima düşey ve aşağı doğrudur.

Yukarı taraf pozitif seçilirse Aşağı taraf pozitif seçilirse

+

+

A

a = − g v > 0

A

a = g v < 0

−

−

a = a0 = sb.

Behcet DAĞHAN



Düşey yörünge

pozitiftaraf

negatiftaraf

+

A

a = − g v < 0

− +

A

a = g v > 0

−

Yönbelirtir

Bir cisim x-ekseni boyunca sabit bir ivme ile hareket etmektedir. t = 0 anında x0 = − 6 m ve vx0 = 4 m/s dir. Ayrıca t = 10 s anında x in değeri maksimumdeğere ulaşmıştır. xmax değerini ve t = 15 s anındaki x değerini bulunuz. t = 0 ile t = 15 s zaman aralığında maddesel noktanın konumundaki değişmeyi vekatettiği yolu bulunuz.

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN


Örnek Problem 2/1Örnek Problem 2/1

1. Çözüm1. ÇözümVerilenler:Verilenler:

t = 0 iken x = x0 = − 6 m v = vx0 = 4 m/s

İstenenler:İstenenler:

t = 10 s anında x = xmax

x = 0 iken x = xmax olur.

xmax = ?

t = 15 s anında x = ?

a = ax0 (sabit)

a = ax0 (sabit)

x = vx

vx = vx0 + ax0 t

t = 10 s → v x = 0

0 = 4 + ax0 (10)

ax0 = − m/s225

x = x0 + vx0 t + ax0 t21

2

x = − 6 + 4t + (− ) t212

25

x = − 6 + 4t −t2

5

t = 10 s anında x = xmax = 14 m

x = f(t)

t = 15 s anında x = 9 m

x, m

t = 0

x = − 6 m

a = ax0 (sabit)vx0

t = 10 s

t = 15 sx = 0

x = xmax = 14 m

vx = 0

x = 9 m

t1 = 0, t2 = 15 szaman aralığındamaddesel nokta yön değiştirdiğiiçin konumdaki değişme ∆x ilekatettiği yol Dbirbirine eşit değildir.

D = AB + BCD = (xB − xA) + (xB − xC)D = [14 − (− 6)] + (14 − 9)

D = 25 m

∆x = AC∆x = xC − xA

∆x = 9 − (− 6)

∆x = 15 m

A O BC

vx < 0

Behcet DAĞHAN



t1 = 0t2 = 15 s } ∆x = ?

D = ?

Bir cisim x-ekseni boyunca sabit bir ivme ile hareket etmektedir. t = 0 anında x0 = − 6 m ve vx0 = 4 m/s dir. Ayrıca t = 10 s anında x in değeri maksimumdeğere ulaşmıştır. xmax değerini ve t = 15 s anındaki x değerini bulunuz. t = 0 ile t = 15 s zaman aralığında maddesel noktanın konumundaki değişmeyi vekatettiği yolu bulunuz.

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN


2. Çözüm2. Çözüm

a = ax0 = − ––– = − –– m/s2

t, s

vx, m/s

0 10

A B Cx = − 6 m

∆xI = 20 m

4

0

10

4

15

−2

xmax = xB = (−6) + 20

D = 20 + |−5|

xC = (−6) + 20 + (−5)

∆x = 20 + (−5)

∆xII = −5 m

Behcet DAĞHAN




x, m

t = 0

x = − 6 m

a = ax0 (sabit)vx0

t = 10 s

t = 15 sx = 0

x = xmax = 14 m

vx = 0

x = 9 mA O BC

vx < 0

x = xmax = 14 m x = 9 m

xmax = 14 m xC = 9 m

∆x = 15 m

D = 25 m

4

10

2

5


xmax = ?

t = 15 s anında x = ?

t1 = 0t2 = 15 s } ∆x = ?

D = ?

Verilenler:Verilenler:

t = 0 iken x = x0 = − 6 m v = vx0 = 4 m/s

t = 10 s anında x = xmax

x = 0 iken x = xmax olur.

a = ax0 (sabit)

x = vx

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN


Doğrusal hareket yapan bir araba, hareketsiz iken 10 s içinde düzgün bir şekilde sıfıra inen 6 m/s2 lik bir ivme ile harekete başlıyor ve10 s sonunda da sabit bir hızla harekete devam ediyor. Başlangıçtan itibaren katettiği yol ne kadar sürede 400 m olur?


a = f(t)

t = 0 iken v = v0 = 0


dv = a dt

dv = (− t + 6) dt

0

Hareketin iki farklızaman aralığında iki farklıivmesi var. Dolayısıylahareketi iki kısımdaincelemek uygun olacaktır.

I. kısım:

a = 0

II. kısım:

D = Δs = 400 m

Δt = ?

t, s

6

10

a = − t + 635

5

30

0 t, s100

0

a = 0

I. kısım II. kısım

I. kısım için:

35

∫ dv = ∫ (− t + 6) dt350

v

30

t

v = − + 6t35

t2

2

t = 10 s anında:

v = sb.

t

v = − + 6t3t2

10

ds = v dt

I. kısım için:

∫ ds = ∫ (− + 6t) dt3t2

1000

s 10

ds = (− + 6t) dt3t2

10

s = (− + 6 |310

t3

3t2

2 0

10

s = 200 m = ΔsI

I. kısmın sonunda ulaştığı konum

Göz önüne alınan aralıktahareketin yönü değişmediğiiçin katedilen yolkonumlar arası farka eşittir.

ds = v dt

II. kısım için:

∫ ds = 30 ∫ dt10200

400 t

ds = 30 dt

t = 16.67 s

400 − 200 = 30 (t − 10)

Δt = ?

v = sb.




I. kısım II. kısım

I. kısmın sonunda ulaştığı hız

1. Çözüm1. Çözüma, m/s2

v = 30 m/s

v, m/s

Δt = 16.67 s

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN


Doğrusal hareket yapan bir araba, hareketsiz iken 10 s içinde düzgün bir şekilde sıfıra inen 6 m/s2 lik bir ivme ile harekete başlıyor ve10 s sonunda da sabit bir hızla harekete devam ediyor. Başlangıçtan itibaren katettiği yol ne kadar sürede 400 m olur?

a = f(t)

t = 0 iken v = v0 = 0

Hareketin iki farklızaman aralığında iki farklıivmesi var. Dolayısıylahareketi iki kısımdaincelemek uygun olacaktır.

D = Δs = 400 m

Δt = ?

t, s

a, m/s2

6

100

0

v, m/s

100

0

I. kısım II. kısım I. kısım II. kısım

30

Δv

t

I. kısım için:

Δv =

Δv = 30 m/s = v − v0

6 (10)

2

v0 = 0 olduğu için:

v = 30 m/s

I. kısmın sonunda ulaştığı hız

a-t grafiğinin altında kalan alanhızdaki değişmeyi verir:

ΔsI ΔsII

Göz önüne alınan aralıktahareketin yönü değişmediğiiçin katedilen yolkonumlar arası farka eşittir.

ΔsI = 200 m

I. kısım için:

v-t grafiğinin altında kalan alankonumdaki değişmeyi verir:

ΔsI = 30 (10)2

3

II. kısım için:

Δs = ΔsI + ΔsII = 400 m

ΔsII = 30 (t − 10)

t = 16.67 s

200 + 30 (t − 10) = 400

Δt = 16.67 s

400 m



Behcet DAĞHAN




a = 0

v = sb.

Δt = ?

t, s

2. Çözüm2. Çözüm

I. kısım:

II. kısım:

ÇözümVerilenler:

İstenenler:

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN


s = 0 konumundan ilk hızsız olarak harekete başlayan ve doğrusal hareket yapan bir motosikletin ivmesikonuma bağlı olarak şekildeki gibi değişmektedir. s = 200 m iken motosikletin hızını bulunuz.

ÇözümVerilenler:

s = 0 iken v = 0

İstenenler: v dv = a ds

0

200v

0

2

4

6

0 100 200s, m

a, m

/s2

s = 200 m iken v = ?∫ v dv = ∫ a ds

0

a-s grafiğinin altında kalan alan

0

2

4

6

0 100 200s, m

a, m

/s2

950 (m/s)2

v 2 = 950 (m/s)21

2

v = 43.6 m/s

{ {




Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN


Şekildeki plancırın ve şaftın yatay hareketi, şafta bağlı diskin yağ içerisinde hareket etmesindendolayı dirençle karşılaşmaktadır. Plancırın A konumunda x = 0 ve t = 0 iken hızı v0 dır.Yavaşlatıcı olan ivme ise hız ile doğru orantılı, yani a = − k v dir. Burada k bir sabittir.Plancırın hızı v yi ve konumunun koordinatı x i t cinsinden veren bağıntıları elde ediniz.Ayrıca v yi x e bağlı olarak yazınız.

Yağ

x v

A

ÇözümÇözümVerilenler:Verilenler:

a = − k v a = f(v)

x = 0t = 0 } iken v = v0

k = sb.


v = f(t)

x = f(t)

v = f(x)

dv = a dt

dv = (− k v) dt

dvv = − k ∫ dt

0

t

v0

v

v0

( ln v | = − k t

v = v0 e− k t

v = f(t)

ds = v dt

dx = (v0 e− k t) dt

∫ dx = v0 ∫ e− k t dt

0

t

0

x

dx = v dt

x = ( e− k t |v0

− k 0

t

v

v dv = a ds

v dv = (− k v) dx

∫ dv = − k ∫ dx0

x

v0

v

v = v0 − k x

v = f(x)

x = f(t)

x = (1 − e − k t )v0

k

v0 e− k t = v0 − k x

ds = v dt

dx = v dt

0

t

0

x

dx = (v0 − k x) dt

v0 − k x

dx= ∫ dt

[ ln (v0 − k x)| = t0

x

− k

1

x = f(t)

x = (1 − e − k t )v0

k

x = f(t)

x = (1 − e − k t )v0

k

x-t bağıntısı için alternatif çözümler

∫

∫




dİnamİk - selcuk.edu.tr · behcet daĞhan behcet daĞhan behcet daĞhan maddesel noktalarin...

Documents