dispensa_idraulica ottima + ing. ambientale

7/27/2019 Dispensa_idraulica Ottima + Ing. Ambientale

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CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E TECNOLOGIE AGRARIE

IDRAULICA AGRARIA, IRRIGAZIONE E DRENAGGIO

APPUNTI DEL CORSO AD USO DEGLI STUDENTIDELLA FACOLTA DI AGRARIA

( PRIMA BOZZA )

ANNO 1997


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INTRODUZIONE

Assieme all'aria, l'acqua elemento connaturato alla nostra esistenza: la vita nata nell'acqua e conessa si perpetua.L'acqua il minerale pi diffuso, occupa i 3/5 della superficie terrestre, e costituisce la componenteprincipale ed essenziale della biomassa.Dal punto di vista chimico, l'acqua un polimero, cio costituito da catene di molecole (H

2O) ciascuna

delle quali viene comunemente rappresentata come un dipolo. Il legame tra le molecole (ponte adidrogeno) caratterizzato da un basso livello energetico, notevolmente inferiore, per esempio,rispetto sia a quello di tipo ionico sia a quello di tipo covalente: questo fatto influenza le proprietfisiche dell'acqua.Pur essendo, tutto sommato, un elemento semplice dal punto di vista chimico, cosa ha indotto l'uomofin dall'antichita studiarne le caratteristiche?Innanzitutto l'acqua uno degli elementi responsabili della modellazione della superficie del pianeta:l'attuale assetto del territorio, profilato a seguito di azioni endogene e tettoniche, viene continuamentemodellato dall'azione dell'acqua. Questo processo tuttora in atto.Qualsiasi attivitantropica dipende pressoch totalmente dall'acqua. Sin dalla nascita delle maggioricivilt antiche fiorite in zone ad elevata disponibilit idrica (civilt dell'acqua), sulle rive dei fiumi Tigried Eufrate, Nilo, Indo, Fiume Giallo, l'acqua ha rappresentato alimento, difesa, trasporto, igiene, forzamotrice. I problemi della derivazione, dell'adduzione sulle lunghe distanze, della regolazione, inclusa

la costruzione di grandi invasi, e della distribuzione di acqua hanno trovato la loro soluzione "abantiquo" seppur con tecnologie primitive.Quanto sopra esposto non deve essere inteso come un'estrapolazione di carattere meramenteculturale: conoscere l'acqua ed i suoi rapporti con l'uomo consente di studiare meglio l'uomo e le sueinterazioni con l'ambiente. Se anche in facolt umanistiche vengono studiate discipline conoscitive,quali Geografia Fisica e Biogeografia, pare superfluo sottolineare l'importanza dello studio dellecaratteristiche e delle possibilitdi sfruttamento dell'acqua in facoltTecnico-Scientifiche.

Disponibilit idrica a scala planetaria

A questo punto emergono due importanti quesiti: su quale volume di risorsa idrica l'umanitpu contare? questo volume di risorsa compatibile con le sue esigenze?La seguente Tab.1, ove sono indicati i volumi idrici complessivi (espressi in milioni di km3) presenti sulnostro pianeta e i valori percentuali sul totale distribuito, fornisce una parziale risposta alla primadomanda:

Tab.1

Oceani 1320 97.2000%

Neve e ghiacci 30 2.1500%

Acque sotterranee(profondit800 m) 4 0.3100%

Zona non satura 0.070 0.0050%

Laghi acqua dolce 0.120 0.0090%

Laghi acqua salmastra 0.100 0.0080%

Fiumi 0.001 0.0001%

Atmosfera 0.013 0.0010%

Il totale dei volumi idrici assomma pertanto a circa 1.4 109

km3, di cui il 2.6% (36 10

6km

3) costituito

da acque dolci; solo 2.9 106

km3 (lo 0.24% sul totale) sono, per, potenzialmente utilizzabili. Questi

valori, seppur significativi, fotografano una situazione statica, cio indicano i quantitativi globali, senzaalcuna indicazione sulla loro distribuzione spazio-temporale.Pi utilmente, effettuando un bilancio idrologico nell'anno medio, cio analizzando la dinamica delprocesso a scala annuale, la disponibilitidrica stata caratterizzata nello spazio e nel tempo.Vengono pertanto distinti i volumi idrici:

evaporati dagli specchi liquidi o traspirati dalle piante che alimentano l'atmosfera, ricaduti sugli oceani e sulle terre emerse per effetto delle precipitazioni, alimentanti gli acquiferi sotterranei,


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3

dalle terre emerse vengono restituiti agli oceani per deflusso superficiale osotterraneo

L'elemento motore di questo gigantesco processo di distillazione costituito dall'energia solare che,in un anno, ammonta mediamente a 3.5 10

15kWh. I volumi idrici sopra elencati sono rappresentati in

Fig.1, ove evidenziata la dinamica del fenomeno: la risorsa d'acqua dolce ritenuta utilizzabile contenuta nell'aliquota di bilancio che, per deflusso superficiale o sotterraneo, torna agli oceani dalleterre emerse (complessivamente 40000 km

3). Naturalmente, questi valori sono da intendersi come

indicativi alla scala planetaria.

SCHEMA DI BILANCIO IDROLOGICO ANNUALE ( Km3)

520.000

PRECIPITAZIONI

P P

450.000 70.000

410.000 110.000EV EVT

OCEANO DEFLUSSI TERRA EMERSA

40.000

- B -

PREVISIONE NECESSITA IDRICHE 2015(POPOLAZIONE 8 MILIARDI)

USO CIVILE 900 Km3

USO INDUSTRIALE 3.800 (riciclo 4050%)USO AGRICOLO 5.300

TOTALE 10.000

Fig.1

Nella stessa figura sono riportate le previsioni delle esigenze idriche all'anno 2015: l'acqua impiegatanell'agricoltura, assomma a 5300 km

3, che costituisce pi del 50% del totale (10000 km

3). E' utile

ricordare che, a tutt'oggi, nei paesi in via di sviluppo l'agricoltura utilizza circa l'80% della risorsadisponibile, con punte, nella stagione siccitosa, del 90%.Purtroppo la risorsa naturale mal distribuita nel tempo e nello spazio: questa la principale difficoltalla quale l'uomo deve far fronte con la propria intelligenza e operosit. Lo studio delle risorse idrichepertanto si promuove da fattore culturale a fattore professionale interessante direttamente le facoltscientifiche quale la facoltdi Agraria.

Rapporti acqua-agricoltura

L'agricoltura gestisce la gran parte del territorio: esclusi i centri urbani ed industriali, le principaliinfrastrutture di trasporto (strade, autostrade, linee ferroviarie, ecc.), il restante territorio agrario-forestale.L'agricoltura svolge inoltre un ruolo primario nel controllo dell'acqua proveniente da apporti naturali enella distribuzione di quella artificiale per climatizzazione e produzione di biomassa.Infine qualunque operazione colturale - lavorazione del terreno, fertilizzazione, trattamenti fitosanitari -risulta efficace solo in presenza di un adeguato contenuto idrico nel suolo.L'acqua, oltre a fornire direttamente l'apporto alimentare alle piante ed essere vettore di solutialimentari (e purtroppo anche di sostanze inquinanti), risulta determinante per il condizionamentoclimatico dei processi biochimici.Un discorso a parte merita il problema della tutela ambientale: infatti improponibile, ora e nel futuro,

parlare di produzione indipendentemente dalla conservazione e dalla tutela dell'ambiente. Lo studio


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della dispersione di inquinanti nell'ambiente, ossia dei rapporti chimici tra varie sostanze, deldecadimento radioattivo, dell'assorbimento di radionuclidi, deve essere supportato da un'adeguataconoscenza della fluidodinamica ed in particolare dell'idrodinamica. L'acqua, unitamente all'aria, infatti l'elemento che mobilita le sostanze inquinanti in quantit e su distanze significative: lavalutazione delle loro quantit e delle modalit di trasporto, dei tempi di contatto, delle condizioniambientali per lo sviluppo dei processi fisico-chimici e biochimici, richiede la conoscenza del motodell'acqua.In conclusione il ruolo fondamentale dell'acqua nelle questioni ambientali pu essere sintetizzato intre punti: l'ambiente, costituito in gran parte di acqua, un crogiolo di processi fisici, chimici e biochimici

per il quale il contenuto di umidito l'effetto della massa d'acqua agisce come indispensabileregolatore, anche solo termodinamico;

ad esclusione delle azioni endogene, alle scale meso e macro, alle quali si pu identificare ildominio elementare rappresentativo di un territorio o di un ambiente, la generale, se nonesclusiva, azione di trasporto naturale delle sostanze avviene attraverso la dinamica dell'aria edell'acqua, provocata dall'energia solare;

la difesa del territorio dalle acque, e la conservazione del suolo, sono aspetti importanti dellatutela ambientale ed avvengono prevalentemente attraverso la regolazione dei deflussi suiversanti ed in alveo.

In parole povere, una volta approfonditi scientificamente e controllati i complessi processi fisici,

chimici e biochimici, che immobilizzano o rendono mobili le sostanze alla piccola scala e chiarisconogli effetti sulla salubrit dell'ambiente, il controllo dell'umidit e quello delle dinamiche dell'aria edell'acqua sono fondamento della pi efficace e razionale (vale a dire quantitativamente definibile)azione di tutela ambientale.L'acqua infine condiziona la produzione come elemento macroeconomico chiave, costituendo lostrumento decisivo per rendere a minor rischio la produzione agricola, consentendo di controllarnequantit e qualit a fronte di altre produzioni a reddito pi elevato. Ne consegue un diretto edautonomo controllo della bilancia alimentare: questo fatto di grande importanza strategica sulleimportazioni ed esportazioni di alimentari, materie prime e conoscenze.L'acqua inoltre uno strumento decisivo per una un'efficace politica di tutela territoriale ed ambientaleche abbia come obiettivo la conservazione del territorio, del patrimonio forestale e della fertilit delsuolo.

Definizione della disciplina

Messa in luce l'importanza e la complessitdei rapporti acqua-ambiente, potrebbe sorgere il dubbiodi come mai questi rapporti vengano studiati a livello universitario.Un'approfondita conoscenza dei problemi, allo scopo di gestirli e controllarli, richiede conoscenzescientifiche di un certo livello in quanto i sistemi in gioco sono complessi e gli strumenti piuttostosofisticati.

Queste dispense sono finalizzate a fornire mezzi propedeutici e professionali per conoscere e gestirecorrettamente (e quindi razionalizzare) i mezzi di produzione e i mezzi di difesa del territorio,conservazione e tutela ambientale.Da quanto sopra esposto appare evidente la vastit della materia che investe problematiche dicarattere idrologico ed idraulico: si ritiene non superfluo per un miglior inquadramento del problema,cercare di chiarire, senza la pretesa di completezza e di rigorosit, la sostanziale differenza tra gli

obiettivi o gli strumenti dei due settori disciplinari.L'idrologia si occupa in genere del ciclo naturale dell'acqua e delle interazioni di quest'ultima conl'ambiente, gli insediamenti e le attivit. Ha come obiettivo, molto sommariamente, la valutazionequali-quantitativa: del regime degli afflussi e dei deflussi, degli eventi estremi e della loro prevedibilit; delle disponibilitidriche e della domanda d'acqua per i diversi usi.Dato il carattere aleatorio del ciclo afflussi-deflussi, lo studio e l'elaborazione su base scientificadell'informazione si avvale degli strumenti dell'analisi statistica e dei modelli stocastici.L'idraulica studia, con gli strumenti della meccanica dei fluidi, la condizione di quiete di una massafluida e l'assetto dinamico di una corrente fluida allo scopo di identificare e descrivere quantivamentele interazioni fisiche, interne e al contorno, tra contenitore, contenuto e sostanze trasportate.

A puro titolo di "boutade" si potrebbe dire che l'idrologia definisce, quantifica e razionalizza i"desideri", l'idraulica consente di realizzarli in modo economico.


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Per dare un'idea della vastit del campo di applicazione di queste discipline, viene riportato l'elencodei raggruppamenti di argomenti che secondo l'A.G.U. (American Geophisycal Union) ricadono nelsettore dell'Idrologia.

1) Effetti antropogenici 16) Reti idrauliche

2) Chimica delle acque dolci 17) Condizioni ambientali

3) Desertificazione 18) Precipitazioni4) Siccit 19) Invasi naturali e artificiali

5) Erosione e sedimentazione 20) Afflussi e deflussi

6) Evapotraspirazione 21) Neve e ghiaccio

7) Correnti liquide 22) Umiditdel suolo

8) Geomorfologia 23) Idrologia stocastica

9) Glaciologia 24) Trasporto dei soluti

10) Acque sotterranee 25) Bilancio idrico

11) Idroclimatologia 26) Interazioni energetiche con l'acqua

12) Bilancio Idrologico 27) Qualitdell'acqua

13) Infiltrazione 28) Gestioni degli impianti idrici

14) Irrigazione 29) Strumentazioni e apparecchiature

15) Fisica e biochimica delle acque 30) Miscellanea

L'idraulica

La parola idraulica, di origine greca, viene anticamente adoperata per indicare una raccolta dicognizioni empiriche atte a governare e a impiegare utilmente l'acqua. Successivamente con questotermine si indica una disciplina in parte sperimentale ed in parte teorica, attinente allo studiodell'acqua. Solo in tempi recenti l'idraulica assume il suo attuale carattere di studio dello stato diquiete e di moto dei liquidi.Per un certo periodo, in rapporto allo sviluppo della fisica moderna, prevale la tendenza a valorizzaregli strumenti dell'indagine teorica, con l'effetto di astrarre eccessivamente dall'elemento naturale e digiungere ad interpretazioni dei fenomeni che poco si confanno con l'utilizzazione pratica dei risultati,pur contribuendo a definire le basi fondamentali dell'idraulica teorica. Di contro le nozioni pratiche

vengono relegate in un insieme di norme empiriche senza alcun fondamento rigoroso e perci privedel necessario potere di generalizzazione dei risultati dell'indagine teorica.L'idraulica moderna si presenta come il giusto punto di contatto tra i due diversi orientamenti eattribuisce alle leggi generali dell'idraulica teorica il compito di interpretare ed inquadrare in modogenerale i fenomeni e ricerca d'altra parte, col metodo sperimentale, certi coefficienti di correzione attiall'uso pratico delle formule rigorosamente dedotte.Molto estesa la gamma degli strumenti per razionalizzare e sviluppare le tecnologie per luso dellerisorse idriche: il breve elenco di seguito riportato ricorda solo alcuni settori professionali e di ricercastrettamente connessi all'idraulica e all'idrologia.a) Sistemazione idraulica e idraulica forestale: studio e sistemazione dei bacini idrografici naturali

(versanti ed alveo) e conservazione del suolo.b) Bonifica e utilizzazione irrigua con acquedotti rurali: alimentazione idrica delle colture e

allontanamento dell'eccesso di acqua dai terreni.

c) Opere marittime e trasporto: installazioni portuali, difese dei litorali, navigazione.d) Utilizzazione a scopo potabile, industriale e idraulica sanitaria: acquedotti, impianti idroelettrici,

fognature, impianti di trattamentoe) Meccanica dei fluidi e idraulica industriale: refrigerazione, lubrificazione, trasporto in soluzione

o trasporto di solidi galleggianti in condotta (ingegneria mineraria).


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PARTE I

MODULO DI IDRAULICA AGRARIA

1. CARATTERI FISICI DELLACQUA

1.1 Sistemi e unit di misura

Per poter analizzare (cio osservare e studiare) un qualsiasi fenomeno e generalizzare le leggi che loregolano, occorre poterlo misurare, cio individuare un insieme di grandezze che lo definiscono. Lamisura di un fenomeno si riduce pertanto alla misura di queste grandezze.Il concetto di misura strettamente legato a quello di confronto: per ciascuna grandezza si dovrdefinire una quantit base (unit di misura) in modo tale che tutte le altre quantit siano esprimibilicome un numero, multiplo o sottomultiplo dell'unit di misura, che costituisce il modulo dellagrandezza.In generale tutte le grandezze sono legate da relazioni di carattere geometrico o fisico: da ci nascela possibilit, fissate alcune grandezze fondamentali, di ricavare tutte le altre in funzione di esse. Unsistema di misura viene definito una volta fissate le sue grandezze fondamentali.I sistemi di misura possono essere: assoluti: le grandezze fondamentali sono immutabili nello spazio fisico e in confronto a

fenomeni con carattere di periodicit, pratici: non tutte le grandezza fondamentali sono rigorosamente invarianti, pur essendolo per

particolari condizioni di interesse pratico.I sistemi pratici, seppur non rigorosi, risultano spesso di pi agevole impiego rispetto a quelli assoluti.Esempi di sistema assoluto sono il "sistema Giorgi" e il "sistema internazionale" (SI), di cui si parlerpi diffusamente. Il "sistema Giorgi o CGS", ha come grandezze fondamentali la lunghezza, misuratain centimetri (cm), la massa, misurata in grammi-massa (g) e il tempo, misurato in secondi (s).Esempio di sistema pratico il "sistema tecnico degli ingegneri" (MKS) le cui grandezze fondamentali

sono la lunghezza, la forza e il tempo: l'adozione della forza come grandezza fondamentale, consentedi ovviare alla difficoltdi misurare la massa.

1.1.2 Il "sistema internazionale"

Le basi per la definizione dell'attuale SI vennero poste nel 1948 con la raccomandazione dellaConferenza Generale dei Pesi e Misure (CGPM) di arrivare a un sistema omogeneo di pesi e misure.

Nel 1960 la CGPM caratterizz il SI con tre propriet: coerenza: ciascuna grandezza inequivocabilmente determinabile tramite le altre; numerazione decimale; non completezza: il sistema in continuo aggiornamento in funzione dei progressi della

conoscenza scientifica.Le grandezze fondamentali del SI sono 7: lunghezza, massa, tempo, intensit di corrente,

temperatura, quantitdi materia, luminosit, pi 2 "supplementari": angolo piano e angolo solido.Queste grandezze risultano dimensionalmente indipendenti, tranne le ultime due, relative agrandezze geometriche, che si preferito lasciare come fondamentali, tralasciando complicateformulazioni per correlarle alla lunghezza.Per queste grandezze sono presenti campioni o metodi di misura standard che assicurano lamassima precisione, data dalla tecnologia del momento.Le grandezze fondamentali, con le relative unitdi misura, sono riassunte nella tabella seguente:


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Grandezza Unit Simbolo

Lunghezza [L] metro m

Massa [M] chilogrammo massa kg

Tempo [T] secondo s

Intensitdi corrente [I] ampere A

Temperatura kelvin KQuantitdi materia mole mol

Intensitluminosa candela cd

Angolo piano radiante rad

Angolo solido steradiante sr

1.1.2.1 Confronto col "sistema tecnico"

Ritenendo inutile soffermarsi sulle grandezze lunghezza e tempo, qualche considerazione merita laterza grandezza: la massa.Con riferimento alla II legge di Newton:

F= ma (1.1.1)

un corpo di massa m accelera o decelera, cio cambia il proprio stato di quiete o di moto, sottol'azione di una forza esterna F; l'accelerazione viene indicata con a.Come gi ricordato, nel "sistema tecnico" viene considerata come grandezza fondamentale la forza:questo sistema non pu essere considerato assoluto. Si consideri infatti un corpo di massa m postasulla superficie della terra, caratterizzata a sua volta da una massa m supposta concentrata al suocentro. Il campo gravitazionale varia, attraverso una costante di proporzionalit f dipendente dalleunitdi misura, secondo la nota legge di attrazione di due corpi distanti d tra loro:

F fmM

d=

2

Questa forza coincide con il peso del corpo, pari al prodotto della massa per l'accelerazione di gravitg. Risulta quindi che:

m g fmM

dg f

M

d= =

2 2e cio (1.1.2)

Ne consegue che l'accelerazione di gravit in una localit varia in funzione della sua distanza ddalcentro della terra: considerando che il raggio medio terrestre pari a 6,37 10

6m e che l'escursione

massima di circa 19 103

m (dal monte Everest alla fossa delle Marianne), l'accelerazione di gravitvaria di circa il 6.Nel seguito si farcomunque sempre riferimento al valore costante di g=9,8069.81 m/s2, il che nonporta inconvenienti nelle applicazioni di interesse.

1.1.2.2 Unit di misura

I. Unit di lunghezza

Il metro (m) stato definito nella richiamata CGPM del 1960 pari a 1650763,73 volte la lunghezzad'onda nel vuoto della radiazione emessa dall'atomo di kripton 86, nella transizione dal livello 2 p10 allivello 5 d5

,alla temperatura del punto triplo dell'azoto (63.15 K). Con lo sviluppo della tecnologia del

laser, nel 1983 stata introdotta una nuova definizione di metro, cio il tragitto percorso dalla luce neltempo di 1/299792458 s.

II. Unit di tempo


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Il secondo (s) stato definito nella XIII CGPM del 1967 come la durata di 9192631770 periodi dioscillazione della radiazione emessa dall'atomo di cesio 133 nello stato fondamentale 2 S1/2 nellatransizione dal livello iperfine F=4 M=0 al livello iperfine F=3 M=0

III. Unit di massa

Il chilogrammo-massa (kg) stato definito nel corso della III CGPM del 1901 come la massa delcampione di platino-iridio depositato presso il Bureau International des Poids et Mesures a Sevres.Ne consegue che il chilogrammo-peso il peso di un chilogrammo-massa, assumendol'accelerazione di gravit gpari a 9.806 m/s

2.

Nel "sistema tecnico" si definisce chilogrammo-peso kgP il peso di 1 dm3

di acqua distillata al livellodel mare ad una temperatura di 4 C.

1.1.3 Principali grandezze di interesse

In funzione delle grandezze fondamentali sopra definite, sono di seguito riportate alcune tra leprincipali grandezze alle quali si far riferimento nelle applicazioni di interesse e che sonoampiamente trattate nei corsi di fisica elementare.Per ciascuna grandezza verr fornito il simbolo con la quale verr identificata nel seguito del testo (traparentesi tonda), la dimensione [tra parentesi quadra] e le unit di misura nel SI, colonna di sinistra, e

nel "sistema tecnico", colonna di destra.

sistemainternazionale

Grandezza fisica sistematecnico

[L2] m

2

Superficie (A,)

Dimensioni di una lunghezza al quadrato [L2] m

2

[L3] m

3

Volume (V)Dimensioni di una lunghezza al cubo [L

3] m

2

[LT-1] ms

-1

Velocit(v)Modalitcon la quale un corpo cambia posizione

Rapporto tra lo spazio e il tempo, ovvero spazio percorso nell'unitditempo

[LT-1] ms

-1

[LT-2] ms

-2

Accelerazione (a)Modalitcon la quale un corpo cambia velocit

Rapporto tra cambiamento di velocite tempo impiegato, ovverovariazione della velocitnell'unitdi tempo

[LT-2] ms

-2

[M] kg

Massa (m)Proprietdi ciascuna particella che ne determina il comportamento

quando interagisce con altre e determina l'entitdelle sue interazioni inun campo gravitazionale

Dalla legge fondamentale della dinamica (1.1)[F L

-1T

2]

kgP m-1s

2

[M L T-2]

N (Newton)Forza (F)

Dalla legge fondamentale della dinamica (1.1) [F] kgP

[M L-2

T-2]

N m-3

Peso specifico ()

Peso dell'unitdi volume

[F L-3]

kgP m-3

[M L-3] kg m

-3Densit()

Massa dell'unitdi volume

[F L-4

T2]

kgP m-4

s2

Queste ultime due grandezze sono legate dalla pi volte richiamata legge di Newton analogamentealla forza (peso) e massa, cio attraverso l'accelerazione di gravit,

= g (1.1.3)


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Nel caso dell'acqua, per la definizione stessa di peso specifico e di densit, possibile determinarne ivalori nel sistema tecnico: se 1 dm

3pesa 1 KgP, 1 m

3peser1000 kgP perci W102 kgP m

-4s

2.

La densit, e quindi il peso specifico dell'acqua, variano in funzione del contenuto di sali disciolti, dellapresenza di particelle in sospensione (sabbia, argilla, limo) e della temperatura. Nello studio deifenomeni di interesse, le variazioni di densit del liquido sono talmente piccole da poter esseretrascurate, ritenendo pertanto costante la densitdell'acqua.

sistemainternazionale

Grandezza fisica sistematecnico

[M L2

T-2]

N m = J(Joule)

Lavoro (L) o Energia (E)Prodotto dello spostamento per la componente della forza lungo lospostamento. Non si insistersull'equivalenza tra lavoro ed energia

dando per acquisiti sia questo concetto che la biunivoca trasformazionedi una grandezza nell'altra.

[F L] kgP m

[M L2

T-3] J s

-1

Potenza (W)Lavoro compiuto nell'unitdi tempo [F LT

-1]

kgP m s-1

[M L2

T-2] J

Energia cinetica (E mv= 12

2 )

Questa forma di energia, detta anche forza viva, posseduta da ognicorpo che si trovi in stato di moto, dipendendo esclusivamente dalla sua

velocite dalla sua massa. E' definita come prodotto della massa permetdel quadrato della velocit

[F L] kgP m

[M L-1

T-2]

N m-2= Pa

(Pascal)

Pressione (p)Rapporto tra la forza e la superficie sulla quale essa si esercita

Forza per unitdi superficie[F L

-2]

kgP m-2

[L3

T-1

] m3

s-1

Portata (Q)Considerata una sezione normale ad una corrente, cio perpendicolare

alla traiettoria media delle sue particelle liquide, il volume transitatoattraverso la sezione nell'unitdi tempo

[L3

T-1]

m3

s-1

Il sistema pratico, come gi detto, si rivela solitamente pi efficace rispetto al SI nella misura dellegrandezze che si incontrano nelle applicazioni di interesse. Esistono tuttavia alcune eccezioni. Peresempio l'unit di misura di portata, m

3/s, risulta eccessiva per misurare la portata nei comuni

problemi di distribuzione irrigua, analogamente all'unit di misura della velocit, m/s, nelladeterminazione del moto di filtrazione dell'acqua attraverso materiali permeabili. Sar talvoltanecessario, quindi, ricorrere ad unitdi misura sottomultipli di quelle precedenti.

1.2 Principio dell'omogeneit dimensionale

Ogni fenomeno fisico viene rappresentato mediante relazioni tra le grandezze da cui esso dipende.Queste relazioni si traducono in equazioni che consentono di ricavare, quando siano noti i valori dialcune grandezze, i valori di tutte le altre.Quando un fenomeno fisico viene rappresentato mediante una relazione tra grandezze, occorreverificare la correttezza della rappresentazione adottata. Uno dei controlli pi immediati quello dellaverifica dell'omogeneitdimensionale tra i termini che compaiono nella relazione.Posto, per esempio, che la legge che regola un fenomeno possa essere definita dalla seguenterelazione fra le grandezze A,B,C,D,E:

A BCD

EBD E+ = , (1.2.1)


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occorre che i vari termini di questa uguaglianza abbiano le stesse dimensioni (tutte velocit, tutteforze, tutte energie).Un semplice esempio dovrebbe chiarire meglio questo concetto: comunemente si sente dire che unaazienda agricola equivale alla somma del terreno, pi il bestiame, pi gli impianti. Questaaffermazione, presa alla lettera, non ha alcun significato. Se per per terreno, bestiame e impianti siintende il valore economico di questi elementi, ecco che la somma di quei termini, questa voltaomogenei tra loro, viene a rappresentare proprio il valore economico dell'azienda. Tutti i termini,infatti, hanno per dimensione un valore monetario.

1.2.1 Analisi dimensionale

L'omogeneit dimensionale, oltre che un importante strumento di verifica, un valido supporto allaricerca sperimentale.Riprendendo in considerazione la relazione (1.1.3), possibile ricavare una grandezza in funzionedelle altre, cio A= f(B,C,D,E). Tra le varie possibili, la relazioni corretta dovr essere tale chef(B,C,D,E) abbia le stesse dimensioni di A. Dovrcio essere:

BD - E - BC +D

E omogeneo con A.

I due esempi seguenti chiariscono meglio quanto esposto.

1.2.1.1 Velocit di caduta libera di un grave inizialmente fermo

Sperimentalmente si osserva che la velocit dipende da due sole grandezze: l'accelerazione digravitge l'altezza h di caduta.La legge che descrive il fenomeno pu pertanto assumere la forma:

v= f(g,h) (1.2.2)

Tra tutte le possibili, l'unica relazione che rispetta l'omogeneitdimensionale :

v c gh= , (1.2.3)

ove cviene indicato un coefficiente di proporzionalit(adimensionale).Il secondo membro dell'equazione ha le dimensioni di una velocit:

L

T

L

TL

=

2

(1.2.4)

Basta misurare, mediante un solo tipo di esperienza, il valore del coefficiente c per ricavarel'equazione generale che descrive la caduta di un grave.

Nel caso in esame c= 2 , quindi:

v gh= 2 , (1.2.5)

1.2.1.2. Moto oscillatorio di un pendolo semplice nel vuoto

Si faccia riferimento alla Fig. 1.1; le oscillazioni del pendolo sono notoriamente isocrone, cio ilpendolo ripassa per la medesima posizione ad intervalli uguali di tempo. Si vuole esplicitare unalegge che definisca, in funzione delle grandezze che regolano il fenomeno, il periodo di talioscillazioni.Sperimentalmente si osserva che le grandezze che influenzano il periodo tsono l'accelerazione di

gravitge la lunghezza del pendolo l.


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Fig. 1.1

La legge che descrive il fenomeno pu pertanto assumere la forma:

t= f(g,l) (1.2.6)

Tra tutte le possibili, l'unica relazione che rispetta l'omogeneitdimensionale :

t cg

= l , (1.2.7)

Il secondo membro dell'equazione, infatti, ha le dimensioni di un tempo:

[ ]T =

LT

L

2

(1.2.8)

Contrariamente a quanto si sarebbe erroneamente portati a pensare, la massa o il peso del pendolonon ne influenzano il periodo. Il coefficiente adimensionale c, determinato sperimentalmente, vale=3,1416.

L'equazione che descrive il periodo di oscillazione di un pendolo semplice nel vuoto pertanto:

t cg

= l , (1.2.9)

1.3 Richiami di principi e leggi fondamentali della meccanica

1.3.1 Meccanica dei sistemi continui

Posto che oggetto dell'idraulica moderna come oggi la intendiamo lo studio dello stato di quiete e dimoto dei liquidi, gli strumenti di indagine a disposizione si rifanno alla sistematica della fisica epertanto ai principi della meccanica dei sistemi continui.Per sistema continuo intenderemo un mezzo entro cui i legami energetici della materia che locostituisce ed i valori delle grandezze che ne definiscono le condizioni meccaniche alla scalamacroscopica siano distribuite o comunque varino in modo graduale. Ad esempio una massa d'acqua rappresentabile con un sistema continuo mentre non cos per la sabbia.Il concetto di continuit comunque legato alla scala di rappresentazione del fenomeno: un fluido,

per esempio, costituito da molecole in continuo movimento molto distanti tra loro (rispetto alle loro


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dimensioni). Alla scala molecolare, pertanto, non ha senso definire il valore puntuale di unagrandezza poich questo valore varia in maniera discontinua nello spazio e nel tempo in funzionedella presenza o meno di una molecola nel punto in esame. Prendendo in considerazione un volumedi fluido abbastanza grande da contenere un numero sufficiente di molecole, questa discontinuitpuessere concettualmente superata. Le grandezze di interesse (massa, peso, ecc.) vengono riferite alcentro d'inerzia di questo volume le cui dimensioni debbono essere tali da includere un numerosignificativo di molecole ma, nel contempo, inferiori all'ordine di grandezza delle dimensioni diinteresse della meccanica dei fluidi. Si definisce pertanto particella una porzione di fluido didimensioni opportune alla quale far corrispondere i valori delle grandezze riferiti, per convenzione albaricentro della particella.Si richiamano le definizioni note dalla fisica elementare: Solido: corpo che possiede forma e volume propri Fluido: corpo che non possiede forma propria

- Liquido: corpo che possiede volume proprio- Aeriforme: corpo che non possiede volume proprio

E' utile a questo punto richiamare i principi e le leggi fondamentali che interessano l'idraulicasuddividendo quest'ultima, una volta attribuite ai liquidi le propriet fisiche dei sistemi continui, inIdrostatica e Idrodinamica.

1.3.1.1 Idrostatica

Riguarda lo studio delle condizioni di equilibrio dei liquidi in un campo di forze (attive e reazionivincolari).Riprendendo concetti ginoti dalla fisica, si dir che un corpo in equilibrio quando la risultante delleforze e il momento risultante delle stesse rispetto ad un punto qualunque sono nulli, cio:

F M= = 0 0, (1.3.1)

1.3.1.2 Idrodinamica

Riguarda lo studio del moto dei liquidi in un campo di forze che ne costituisce la causa. Si faccia

riferimento alla II legge di Newton (1.1.1) ed alla III, secondo la quale, quando due particelleinteragiscono, la forza agente su una particella uguale ed opposta a quella agente sull'altra.Sfruttando le propriet dei sistemi continui pertanto possibile isolare una particella di liquidodall'ambiente circostante, senza turbare le condizioni di equilibrio: sufficiente mettere in conto leazioni che reciprocamente si esercitano sulla superficie di separazione (Fig. 1.2) tra la particellaisolata e il liquido circostante.

Fig. 1.2

1.3.2 Teorema delle forze vive

Attraverso questo teorema si giunge a dimostrare l'equivalenza quantitativa tra lavoro ed energia.


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L'enunciato il seguente: "La variazione di energia cinetica di un corpo eguaglia il lavoro compiutodalle forze esterne ad esso applicate". Per la dimostrazione si fa ricorso al consueto esempio delmoto di un grave G che cade liberamente per effetto delle forze esterne ad esso applicate, cio laforza pesop. (Fig. 1.3).

Fig. 1.3

Nell'istante t1 il corpo transita alla quota z1 con velocit v1 e sar in possesso dell'energia cinetica

E mv1 121

2= .

Nel successivo istante t2 transita alla quota z2 con velocit v2 sar in possesso dell'energia cinetica

E mv2 221

2= .

Nell'intervallo di tempo t= t2 - t1, indicando con vm la velocitmedia in questo intervallo, il grave avr

percorso la distanza:

s = vmt (1.3.2)

A questo punto opportuno fare alcune osservazioni sul simbolismo adottato: queste considerazionivalgono per la maggior parte delle rappresentazioni analitiche dei fenomeni che verranno presi inconsiderazione nel seguito.Con viene indicata una variazione piccola, ma non infinitesima, di una generica grandezza, inrelazione alla variazione di una grandezza fondamentale (solitamente spazio e/o tempo) di cui essa funzione.In luogo della trattazione rigorosa che prende in esame variazioni infinitesime, indicate con d, erichiede quindi l'introduzione di limiti, derivate ed integrali, si far ricorso nel seguito allaschematizzazione alle differenze finite, indicate appunto con .Per meglio comprendere questa schematizzazione si consideri una generica funzione y= y(x) in cuiandamento rappresentato in (Fig. 1.4a).


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Fig. 1.4

ConA indicato l'integrale della funzione nell'intervallo [x1-x2], ossia l'area sottesa alla curva y(x):

A y x dxx

x

= ( )1

2

Il valore medio della funzione y nell'intervallo :

y

y x dx

x x

A

x

x

x

=

= ( )1

2

2 1 (1.3.3)

Se la funzione lineare (Fig. 1.4b):

yA

x

y y x x

x x

y y

= =+

=+

( )( ) ( )1 2 2 1

2 1

1 2

2

1

2 , (1.3.4)

nel caso contrario (Fig. 1.4a) la (1.3.4) rappresenta una approssimazione del valore medio effettivoespresso dalla (1.3.3).Ne consegue che la schematizzazione alle differenze finite esatta solo nel caso in cui la primagrandezza sia funzione lineare della variabile indipendente; negli altri casi il risultato tanto piapprossimato quanto pi piccolo l'intervallo della variabile indipendente scelta.Le variazioni sono sempre considerate convenzionalmente come differenza tra il valore finale e quelloiniziale della grandezza nell'intervallo prescelto; esse avranno quindi un segno e rappresenteranno,se positive, un incremento, e, se negative, un decremento della grandezza considerata.Nell'esempio del moto del grave la schematizzazione alle differenze finite risulta esatta: essendol'accelerazione costante, l'andamento della velocit funzione lineare del tempo, e quindi:

vv v

m =+

1 2

2(1.3.5)

La II legge di Newton pu quindi essere espressa nella forma:

Fv v= = =m mt

mt

gd

d

(1.3.6)

Moltiplicando per lo spazio s e sostituendo la (1.3.2), si ha:

F m

s mv

t

s m v v = = (1.3.7)


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Semplificando e sostituendo nella (1.3.7) la (1.3.5), si ottiene:

Fs m v v v v

m v v= +

= ( ) ( )2 1 1 2 22

12

2

1

2(1.3.8)

Il primo termine rappresenta il lavoro delle forze esterne ed il secondo la variazione dell'energiacinetica

L m v v = 1

222

12

( ) (1.3.9)

In forma differenziale, il teorema delle forze vive pu essere dimostrato in maniera del tutto analoga:

Fdd

dd d

d

dds m

v

ts m v

s

tmv v= = = ,

e quindi

L F mv mv mv x

x

x

x

= = = ds dv 12 121

2

1

2

22

12 (1.3.10)

1.3.3 Principio della conservazione dell'energia

Si riallaccia direttamente alle conclusioni del precedente teorema ed uno dei principi fondamentalidella fisica. Il suo enunciato il seguente: "L'energia non si crea n si distrugge ma si trasforma".Indicando con El'energia cinetica, la (1.3.9) si scrive:

L E E= 2 1

(1.3.11)

da cui:

E E L1 2

= + ( ) (1.3.12)

Si consideri un corpo e l'ambiente che lo circonda: con L indicato il lavoro delle forze attive, ciodelle forze che l'ambiente esercita sul corpo in esame. In virt del principio di azione e reazione, -Lpotr considerarsi come il lavoro delle forze reagenti, cio delle forze che il corpo esercitasull'ambiente esterno.L'energia iniziale E1 quindi pari all'energia finale E2 aumentata dell'energia ceduta dal corpoall'ambiente circostante, cio il lavoro delle forze reagenti pari a -L. Ci equivale a dire che,considerato l'insieme del corpo e dell'ambiente che lo circonda, il bilancio energetico globale incostante equilibrio, cio che l'energia pu essere presente in diverse forme le quali si trasformanol'una nell'altra attraverso il lavoro delle forze attive o delle forze reagenti (reazioni vincolari).

1.3.3.1 Energia potenziale nel campo gravitazionale

E' una forma di energia posseduta da un corpo per il solo fatto di trovarsi in una determinataposizione nello spazio.Si pensi a un corpo posto ad una certa quota rispetto alla superficie terrestre: venendo a mancare ilsostegno che lo mantiene in equilibrio, esso si mette in moto verso il basso sotto l'azione della forzapeso. Avviene quindi una trasformazione di energia potenziale in cinetica per effetto del lavorocompiuto dalla forza peso.Per quantificare l'energia potenziale necessario pertanto definire sempre un piano di riferimentorispetto a cui misurare le quote. Il grave G (Fig. 1.5), sottoposto al campo gravitazionale terrestre, sitrova rispetto al piano di riferimento (z= 0) ad una quota Z.


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Fig. 1.5

Con riferimento al teorema delle forze vive, trascurando le resistenze al moto per attrito, si ha, quandoil grave si mette in moto passando dalla quota z=Zalla quota z=0:

L mgZ E E mv mv mv Z Z= = = =0 02 2

021

212

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gZ v=1

202

(1.3.13)

La (1.3.13) consente di ricavare la velocit torricelliana, ovvero la velocitposseduta da un grave checade liberamente da una quota Zrispetto ad un piano orizzontale, quando passa per questo piano:

v gZ0

2= (1.3.14)Viceversa un corpo lanciato verticalmente verso l'alto con velocit vO a partire dalla quota z=0,raggiunge la quota z=Z.

1.4 Caratteri fisici dell'acqua

1.4.1 Peso specifico e densit

Nel paragrafo 1.1.3 si ricordato che i valori del peso specifico (g=1000 kgP/m3) e della densit

dell'acqua distillata (=102 kgP s2/m

4) sono rigorosamente esatti a 4C ed alla pressione atmosferica.

Tuttavia, con approssimazione del tutto accettabile, questi valori possono essere impiegati nella quasitotalit delle applicazioni di interesse, anche in diverse condizioni di temperatura, contenuto salino,torbidit.In alcune applicazioni, tipicamente il dimensionamento statico di manufatti per l'irrigazione (vasche disedimentazione e di regolazione), occorre determinare correttamente il valore del peso specifico che,per l'elevata torbidit, pu raggiungere valori pari a 1100 kgP/m

3.

1.4.2 Comprimibilit

La comprimibilitcaratterizza la proprietdi un corpo di variare il proprio volume se sottoposto a unavariazione di pressione; nelle normali condizioni ambientali i solidi e i liquidi, e quindi l'acqua, sipossono generalmente considerare incomprimibili, cio variano in misura trascurabile il propriovolume anche se sottoposti a notevoli variazioni di pressione.Il coefficiente di comprimibilit, solitamente indicato con , esprime la variazione dell'unit di volume

sottoposto a una variazione unitaria di pressione.Per un corpo di volume V che, sottoposto ad una variazione di pressione p subisca unacorrispondente variazione di volume V, il coefficiente di comprimibilitvale:

= 1

V

V

p

[ F

-1L

2] (1.4.1)


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Il segno negativo che compare nella (1.4.1) consente di avere un valore positivo avendo espressoV e p secondo la convenzione gi indicata (a un incremento di pressione corrisponde un

decremento di volume).Il valore di varia con la temperatura. Per l'acqua si ha:

T

- 5,0 10-9

m2/kgP 4

- 4,8 10-9

m2/kgP 10

- 4,7 10-9

m2/kgP 20

- 4,6 10-9

m2/kgP 30

La comprimibilit dell'acqua, nelle usuali applicazioni pratiche, trascurabile. Infatti, la variazione diun volume unitario a T=4 C sottoposto ad variazione di pressione pari 1 atm, che, come vedremo inseguito, vale 10

4kgP/m

-2, :

V = - V p = 5 10-9

. 1 . 104

= 5 10-5

m3

Solo in alcuni casi, date le forti variazioni di pressione, la comprimibilit dell'acqua non pu esseretrascurata: tipicamente nei fenomeni di moto vario nelle condotte in pressione (colpo d'ariete) dove leforti variazioni di pressione sono indotte in generale da brusche variazioni della velocitdella corrente(ad esempio intercettazione del flusso tramite saracinesche).Nel seguito l'acqua saressere sempre considerata incomprimibile.E' utile a questo punto fare alcune precisazioni circa l'unit di misura della pressione. Nel sistemapratico espressa in kgP/m

2: essa risulta pertanto molto piccola per le comuni applicazioni di

interesse.Si fa solitamente ricorso, quindi, ad un suo multiplo, l'atmosfera tecnica: 1 kgP/cm

2= 10000 kgP/m

2.

Assai comodo risulta il riferimento come unit di misura alla pressione nelle normali condizioni

ambientali, cio la pressione atmosferica, sia perch quella che cade direttamente sotto la nostrasensibilit, e quindi facilmente definibile, sia perch, se espressa nel SI, ha un valore pressochidentico all'atmosfera tecnica.Per determinarne il valore si ricorre alla notissima esperienza torricelliana (Fig. 1.6).

Fig. 1.6

Al livello del mare e alla temperatura 0 la pressione atmosferica in equilibrio con quella esercitataal piede di una colonna di mercurio di 760 mm d'altezza. Indicando con la sezione trasversaledella colonna e conoscendo il peso specifico del mercuriom = 13600 kgP/m

3, si ha:

pV

a2kg mp /= =

=m m

0 76 1360010330

,(1.4.2)


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Dato il piccolo divario tra il valore della pressione atmosferica e quello dell'atmosfera tecnica, inalcune applicazioni, con approssimazione del tutto accettabile, si assumercome unit di misura lapressione atmosferica attribuendole il valore dell'atmosfera tecnica.Le pressioni, qualunque sia l'unitdi misura prescelta, possono essere espresse come: pressioni relative, assumendo come valore origine la pressione ambiente normale (pressione

atmosferica);

pressioni assolute, assumendo come valore origine la pressione ambiente in assenza diatmosfera (vuoto assoluto).

Ovviamente i due numeri che esprimono una stessa pressione nei due modi differiscono dellapressione atmosferica: pass - prel = pa

1.4.3 Attrito interno o viscosit

1.4.3.1 Attrito tra solidi

Considerato un solido appoggiato su un piano e gravante su di esso per effetto del proprio peso P(Fig. 1.7), risulta evidente che per muovere il corpo sul piano necessario imprimere una forzacapace di vincere la resistenza che quest'ultimo offre al moto. Questa resistenza prende il nome diattrito.

Fig. 1.7

Viene tralasciata in questa sede la trattazione dei tipi d'attrito (radente, volvente, di primo distacco,ecc.) e delle leggi che lo regolano, essendo questi argomenti giampiamente trattati nei corsi di fisicaelementare. E' comunque necessario ricordare che l'attrito tra due corpi solidi dipende dalla forza chereciprocamente esercitano l'uno sull'altro normalmente alle superfici di contatto (pressione) e dallanatura di queste superfici.

1.4.3.2 Attrito nei liquidi

Nel caso dei liquidi occorre distinguere due diverse manifestazioni delle forze d'attrito: attrito esterno: resistenza che si oppone allo scorrimento del liquido rispetto alle pareti del

recipiente che lo contiene. attrito interno: mutua resistenza che le particelle di un liquido oppongono al reciproco

scorrimento.Si consideri un liquido in quiete (Fig. 1.8) e si isoli una particella: in conseguenza del campo

gravitazionale, l'ambiente esterno esercita sforzi diretti normalmente alla superficie di contatto (azionidi compressione). La pressione all'interno del liquido e sulle pareti del recipiente la risultante di

questi sforzi di compressione.

Fig. 1.8


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In un liquido in quiete non esistono tra le particelle reciproci sforzi tangenziali, cio tangenti allesuperfici di contatto, e pertanto non si ha alcuna tendenza a modificare la forma del volume occupato:in queste condizioni, i liquidi possono essere assimilati ai solidi.Gli sforzi tangenziali insorgono allorch il liquido in moto, cio quando il volume occupato cambiaforma e le particelle assumono posizioni via via diverse e, in genere, velocitdiverse l'una dall'altra.Si constata allora che la particella dotata di maggior velocit, indicata con A in (Fig. 1.9), esercitaun'azione di trascinamento sulla particella meno veloce ad essa adiacente, indicata con B e,viceversa, quest'ultima induce un'azione frenante sull'altra; per il principio di azione e reazione le dueazioni sono uguali e contrarie.

Fig. 1.9

La presenza di queste mutue azioni tra strati di fluido in moto evidenziata mediante una sempliceesperienza. Si considerino due recipienti cilindrici coassiali di diversa area di base in grado di ruotaresenza attrito indipendentemente l'uno dall'altro: nell'intercapedine contenuta acqua. Mettendo inrotazione con velocitangolare costante attorno al suo asse il cilindro esterno, si osserva che l'acquasi mette progressivamente in moto dalla periferia al centro fino a mettere in moto anche il recipienteinterno (Fig. 1.10).

Fig. 1.10

Questo processo pu aver luogo solamente se all'interno del fluido insorgono sforzi in direzionetangente al moto in grado di trascinare i successivi strati d'acqua e di trasmettere la coppia applicataal cilindro esterno.La determinazione di questi sforzi di attrito interni pu essere effettuata solo sperimentalmente:tuttavia, nell'ipotesi che il moto del liquido sia laminare, rappresentabile cio con lamine che scorronoparallelamente le une sulle altre, essi possono essere determinati analiticamente. Consideriamo duedi queste lamine (Fig. 1.11) distanti n e aventi differenza di velocit ve superficie . La forza, e

quindi lo sforzo, agente lungo la superficie di contatto valgono:

Fv

n

v

n=

= (1.4.3)


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Il coefficiente , che dipende dalla natura del liquido, prende il nome di coefficiente d'attrito interno oviscosit; nel sistema tecnico ha dimensioni [FTL

2] e viene solitamente espresso in kgP s/m

2.

Fig. 1.11

La relazione (1.4.3), intuita da Newton, fu successivamente verifica sperimentalmente da Coulomb.Proprio per effetto di queste resistenze reciproche, in un liquido che scorre entro pareti solide ladistribuzione delle velocitnon presenta discontinuit.

1.4.3.3 Attrito interno dell'acqua

E' stato sperimentalmente riscontrato che, nelle normali condizioni ambientali, la viscosit indipendente dalla velocit e, con sufficiente approssimazione, dalle variazioni di velocit e dipressione. Infatti solo forti variazioni dei valori di velocite pressione inducono significative variazionisulla viscosit.Il valore di m per i liquidi cresce marcatamente con l'inverso dalla temperatura, contrariamente agliaeriformi in cui la proporzionalit diretta. Per l'acqua a 10 e 20 risulta rispettivamente =0,000133kgP s/m

2e =0,0001024 kgP s/m

2.

Questi valori, invero molto esigui, potrebbero sembrare trascurabili. Nelle applicazioni si osserva perche, trascurando la viscositnello studio del moto dell'acqua, si ottengono risultati totalmente discordidai rilievi sperimentali.Tuttavia una trattazione rigorosa del moto dell'acqua che prenda in considerazione, oltre al campogravitazionale, anche le forze dovute all'attrito interno estremamente complessa: spesso si faricorso all'astrazione del cosiddetto fluido perfetto, cio un fluido incomprimibile e privo di attritointerno. I risultati ottenuti grazie a questa astrazione debbono poi essere resi concordi con quelliderivanti da sistematici rilievi sperimentali.Inutile sottolineare ancora che tutte le precedenti considerazioni riguardano il liquido in moto. Per illiquido in quiete l'astrazione a liquido perfetto rappresenta correttamente il comportamento reale. Illiquido infatti pu considerarsi incomprimibile ed in esso non si manifesta alcun attrito interno,comportandosi rigorosamente come un liquido perfetto.

1.4.4 Solubilit dei gas in acqua

I liquidi hanno la proprietdi assorbire una determinata quantit di gas (nelle applicazioni di interessesolitamente aria atmosferica) con cui vengono a contatto attraverso la superficie libera.La quantit in peso del gas disciolto dipende dalla pressione del gas soprastante, aumentando alcrescere di essa (legge di Henry), mentre il suo volume rimane invariato se la temperatura sensibilmente costante.Si consideri la campana pneumatica di (Fig. 1.12): abbassando o rialzando la campana, cioincrementando o diminuendo la pressione del gas in essa contenuto, si riscontra un aumento o unariduzione della percentuale in peso del gas disciolto.


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Fig. 1.12

Se l'esperienza condotta tenendo sensibilmente costante la temperatura, vale la legge di Boyle-Mariotte:

pV=cost . (1.4.4)

Considerando il peso G di gas che occupa il volume Vi alla pressione pi, variando la pressione fino alvalorepf, si ottiene:

V

p

V

p

G

p

G

p p pi

f

f

i

i

f

f

i

i

i

f

f

= = = (1.4.5)

Chiamati G1 e V1 il peso ed il volume del gas disciolto alla pressione p1, G2 e V2 le stesse grandezze

alla pressionep2, per la legge di Henry si ha:

G

p

G

p

V

p

V

p1

1

2

2

1 1

1

2 2

2

= =

(1.4.6)

Sostituendo la (1.4.5) nella (1.4.6), si ricava: V1=V2.Mediante la legge di Henry sono spiegati gli ingenti quantitativi d'aria che si liberano nei punti pielevati delle lunghe condotte in pressione. Si consideri, ad esempio il tracciato di una condottariportato in (Fig. 1.13).

Fig. 1.13

Come verr mostrato nello studio dellidrostatica, la pressione in un punto dipende dal suoaffondamento rispetto al piano dei carichi idrostatici. Ne consegue che:


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p h p h p p G G1 1 1 2 2 2 1 2 1 2= = <


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2. FONDAMENTI DI FLUIDODINAMICA

La materia composta da molecole, unite le une alle altre da un legame energetico. Lo stato dellamateria nella accezione tradizionale si pu distinguere in: solido, liquido e gassoso. Lo stato solido sidifferenzia dagli altri due per la non mobilitdelle molecole tra di loro. Quando le molecole non sonoallo stato solido costituiscono un fluido.

Definizione di Fluido:Fra le molte definizioni di fluido che possiamo formulare il richiamo di una semplice immagineintuitiva, come la seguente, penso renda chiaro il concetto:FLUIDO = Insieme di molecole che possono scorrere le une sulle altre, legate quindi da un legameenergetico minore del legame esistente allo stato solido. La loro energia intrinseca invece maggioredi quella posseduta allo stato solido.

Fig. 1 - Molecole di un Aeriforme Fig. 2 - Molecole dellAcqua

Le figure 1 e 2 rappresentano le molecole di due fluidi diversi: un aeriforme e un liquido (acqua) ad uningrandimento di 10

7volte, in giallo gli atomi di idrogeno, in rosso quelli di ossigeno e in lilla quelli di

azoto. Le molecole dellaeriforme sono ad una distanza molto maggiore le une dalle altre rispetto aldisegno, se le distanze reali fossero rispettatenellingrandimento, in unarea di questa dimensione se nepotrebbe vedere al pi una sola. La molecola di acqua H2O hauna forma molto condensata con gli atomi di idrogeno formantiun angolo di 105. Le molecole dellacqua allo stato liquido sono

adiacenti le une alle altre e occupano meno spazio di quellooccupato dalla struttura cristallina allo stato solido, come si vededalla loro disposizione in Fig. 3. Nel passaggio dallo stato liquidoallo stato solido le molecole di H2O aumentano il volumeoccupato di un 9.05%, di conseguenza la densit diminuisce diun 8.3%.

Differenza tra liquido e aeriforme:Il liquido si differenzia dallaeriforme per un maggiore legame energetico che consente allo statoliquido una continuit della materia non presente allo stato di aeriforme. Lenergia intrinseca di ognimolecola molto inferiore allo stato liquido di quella possedutaallo stato gassoso. La continuit del liquido determina unasuperficie di separazione tra lo stesso e gli altri stati sia solido

che aeriforme.

Definizione di liquido:LIQUIDO = Insieme di molecole (di solito della stessa

sostanza) legate da una energia molto minore dello stato solidoe molto maggiore dello stato gassoso, che possono scorrere leune sulle altre in un insieme continuo. Si definisce la densitdel liquido la massa di molecole contenuta in una unit divolume, mentre ilpeso specifico il peso dellunit di volume.

Nel sistema (mks) la densit ha le dimensioni di un (kg-massa)/(m

3) e rappresenta la massa delle molecole di liquido

contenute in un m3.

Fig. 3 - Molecole del Ghiaccio

Fig. 4 - Molecole in un m


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Nel sistema tecnico invece il peso specifico , che rappresenta il peso delle molecole di liquidocontenute in un m

3, ad avere le dimensioni di un (kg-peso)/(m

3); mentre le dimensioni di nel sistema

(mks) sono quelle di un (kg-massa)/(m2s

2).

Stato di un fluido:

-Lo stato di quiete di un fluido una condizione particolaredello stato di moto e in certe condizioni dipende anche dalsistema di riferimento scelto dallosservatore.La condizione di mobilit isotropa per tutte le molecole,ne consegue che lo stato di sforzo interno isotropo equindi uguale in tutte le direzioni. Si definisce con iltermine pressione, lo sforzo interno isotropo p, che ha ledimensioni di un (kg-peso)/(m

2).

Nello stato di quiete del fluido esiste un equilibrio tra leforze esterne, che agiscono sullo stesso. Nella ipotesiquindi di nullit di queste, lunica forza che agisce sulfluido la forza di gravit. Se ne deduce che in un fluidoindisturbato la pressione su una assegnata superficie losforzo generato dal peso della massa fluida, che gravitasu quella superficie. Ad esempio in un liquido la pressionesu una superficie il peso della massa liquida e aeriformesovrastante.Se lunit di riferimento scelta quella della pressionerelativa, dove si pone per definizione la pressioneatmosferica sul piano di separazione tra liquido eaeriforme uguale a zero, la pressione in un liquido su una superficie unitaria, giacente su un pianoparallelo al piano di separazione liquido-aria, data dal peso del volume liquido definito dallasuperficie unitaria e di altezza pari al dislivello tra i due piani. Definita con A la superficie unitaria econ h il dislivello vale la seguente relazione:pA= Ah p=h (kg-peso)/(m2)

-Nello stato di moto il fluido sede di continue interazioni tra le sue stesse molecole, a causa della

loro mobilit interna. La viscosit il parametro che individua il grado di interazione tra le molecoledel fluido, in altri termini rappresenta il valore dellegame energetico interno al fluido. Per meglioidentificarlo si suppone di considerare unaparete solida di superficie A, immersa nel fluidoin moto con giacitura parallela alla direzione delmoto. Si definisce allora la viscosit con ilparametro , che rappresenta il rapporto tra lo

sforzo =F

A, esercitato dalla forza F

necessaria a contrastare lazione del fluido inmoto sulla superficie A della parete e lavariazione di velocit, che il liquido subisce perla presenza della parete, lungo la normale allaparete stessa e quindi trasversale alladirezione del moto:

=dV

dn

(kg-peso s/ m2)

Questo parametro varia con lo stato termico del fluido ma per gli aeriformi e per molti liquidi restacostante al variare della velocit del fluido in moto. I liquidi che possiedono questa caratteristica sichiamano newtoniani, gli altri invece si denominano, ad esempio: pseudoplastici, dilatanti, Bingham,tixotropici, reopectici e elastoviscosi, a seconda del loro comportamento nella variazione della

viscositsia nel tempo sia nelle deformazioni.

Fig. 5 - Elemento di liquido compresotra il pelo libero e la superficie A

Fig. 6 - F/A= dV/dn


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Lacqua un fluido newtoniano e ha una viscosit poco variabile nel dominio di temperature del suostato di liquido, assumendo valori prossimi a 0.0001 (kg-peso s/ m

2) alla temperatura di 20 C, con

valori crescenti al limite di 0.00018 per temperature prossime a 0C e decrescenti verso 0.00003intorno a 100C.Nel moto del liquido la viscositdetermina il trasferimento delleffetto dellattrito tra il liquido e le paretisolide periferiche, che lo contengono, allinterno dello stesso liquido. Si noti che la viscositdimensionalmente si pu interpretare come un rapporto tra lenergia (resistiva), dovuta al legameintermolecolare interno, sulla portata della stessa massa liquida in moto.Il moto dellacqua laminare quando lenergia impressa alle molecole del liquido per il loro moto inferiore allenergia richiesta per rompere il legame esistente tra le molecole stesse altrimenti il motodiventa turbolento e le molecole nel moto si miscelano.Nel moto ogni molecola segue un percorso, chiamato traiettoria, che costituisce linsieme delleposizioni assunte dalla stessa molecola in tempi successivi. Si possono poi individuare nel moto di unliquido quelle linee immaginarie lungo le quali non si ha attraversamento di molecole, che hannocome propriet di avere in ogni loro punto tangente il vettore velocit. Queste linee vengono chiamatelinee di corrente. Linsieme di molecole che passano da un punto, a priori fissato, formano nel temposuccessivo una linea di fumo.La traiettoria coincide con la linea di fumo solo quando la condizione del moto stazionaria.Linsieme delle linee di corrente passanti per una linea chiusa, giacente su un piano normale alladirezione del moto, definisce un tubo di flusso.

Il moto dei fluidi in genere tridimensionale; la velocite tutti i parametri connessi con il moto varianosecondo un riferimento cartesiano lungo le tre direzioni ortogonali V(x,y,z,t), in alcune condizioni perle varazioni principali avvengono lungo due sole direzioni V(x,y,t) e in altre lungo una sola direzioneV(x,t), riducendo il problema a bidi o mono-dimensionale.- Una corrente liquida stazionaria e uniforme quando le condizioni del moto non cambiano con laposizione e nel tempo. i,n V(xi,yi,z i,tn) = V(x i+1,yi+1,zi+1,tn+1)- Una corrente liquida stazionaria non uniforme, quando le condizioni del moto cambiano con laposizione ma non nel tempo. i,n V(xi,yi,z i,tn) V(xi+1,yi+1,z i+1,tn), V(x i,yi,z i,tn) = V(x i,yi,zi,tn+1)- Una corrente liquida uniforme non stazionaria quando ad un dato istante la velocit la stessain ogni punto ma cambia con il tempo. i,n V(xi,yi,z i,tn) = V(x i+1,yi+1,zi+1,tn), V(x i,yi,zi,tn) V(xi,yi,zi,tn+1)- Una corrente liquida non uniforme e non stazionaria quando varia la velocitda punto a punto enel tempo. i,n V(xi,yi,z i,tn) V(xi+1,yi+1,z i+1,tn+1).

Moto di un liquido

Per lo studio di un liquido in moto si solitamente di fronte a una corrente liquida infinita. Si devequindi decidere se studiare il comportamento di un elemento specifico di liquido di massa fissata, checostituisca un sistema chiuso dove il contorno varia nel tempo ma la massa non cambia e dove siconoscano le forze che agiscono sul contorno, oppure se si vuole fissare una regione dello spaziofissa rispetto un sistema di riferimento, entro la quale si studia il moto della corrente liquida. Ilcontorno della regione non cambia nel tempo e di solito lo si sceglie coincidente con un tubo di flusso.Il moto di un liquido si pu studiare utilizzando le leggi della dinamica classica. Per descrivere il moto

di una massa di liquido (ossia un insieme di molecole) si pu scrivere che la variazione dello statoenergetico della massa nella direzione del suo spostamento uguale alla somma delle forze chedeterminano questa variazione:

dE

dlF=

dove E l'energia cinetica della massa, dl la coordinata spaziale lungo la direzione del moto e Frappresenta la somma delle forze esterne sulla massa.


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26

Fig. 7 - Le forze sullelemento di liquido in moto.

Nella ipotesi di studiare il moto del liquido rispetto un riferimento fisso la velocitvaria in un moto nonuniforme e non stazionario da punto a punto e nel tempo; la variazione di velocit totale nelpassaggio da un punto generico A a un punto generico B si pu allora scrivere come dV = differenza

di velocit tra A e B ad un dato istante + differenza di velocit in B nella variazione temporaledt. Si ha quindi:

dVV

ldl

V

tdt= +

dove dl e dt sono rispettivamente: la variazione di spazio tra A e B (dl) e la variazione nel tempo (dt).La variazione di velocit nel tempo

laccelerazione adV

dt= :

aV

l

dl

dt

V

t= +

tenendo presente che V dldt=

, si ottiene per

laccelerazione:

aV

lV

V

t= +

In un riferimento cartesiano nei tre assi x,y,z e in una rappresentazione Euleriana (descrizionespaziale del campo di moto rispetto un riferimento fermo con losservatore) il vettore velocit V in unpunto generico (x,y,z) si scompone nelle tre componenti u,v,w lungo gli assi rispettivamente x,y,z.Ogni componente quindi variabile con laposizione e con il tempo e si pu scrivere: u(x,y,z,t), v(x,y,z,t), w(x,y,z,t). Valgono per lecomponenti le seguenti relazioni: u=dx/dt,

v=dy/dt, w=dz/dt. Lincremento di velocit dV sipu scomporre negli incrementi delle singolecomponenti (du,dv,dw). Ogni incremento di unacomponente della velocit esprimibile comesomma della variazione nello spazio e neltempo, come visto in precedenza perlincremento del vettore velocitdV. Ad esempio

per lincremento du della componente di velocitu(x,y,z,t), lungo lasse x, si ottiene la seguenteespressione:

dtt

udz

z

udy

y

udx

x

udu

+++=


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27

Nelle ipotesi di riferirci ad un volumetto ideale di liquido dalla relazione sul bilancio tra il liquido che

entra e quello che esce dal volumetto nelle tre direzioni cartesiane (x,y,z) del sistema di riferimento,vedi figura, si ottiene la seguente nota equazione di conservazione della massa :

t

u

x

v

y

w

z+ + + = 0 Infatti nella direzione dellasse x lamassa di liquido, che entra, durante il

tempo dt, nel volume di riferimento di

dimensione dx,dy,dz orientatosecondo gli assi cartesiani, data da:

udydzdt, mentre nello stesso tempoesce la massa:

(( )

)

u

u

xdx dydzdt+ . Se ne

deduce che la variazione di massa

allinterno del volume di riferimento,dovuta alla componente del moto nella

direzione dellasse x data dalla

differenza tra la massa che esce e la

massa che entra:

( )u

xdxdydzdt .

In modo analogo si procede per lealtre direzioni, e sommando i contributi

si ottiene la variazione di massa totale,

dovuta al moto del liquido:

u

x

v

y

w

z

dxdydzdt++ ++

.

Se il liquido comprimibile la variazione di massa totale deve uguagliare la variazione di densit

allinterno del volume considerato che avviene nel tempo dt:t

dxdydzdt. Si ottiene quindi con

semplici passaggi la precedente equazione di conservazione della massa. Questa equazione per un

liquido come lacqua, che si pu ritenere incomprimibile di densit costante sia nello spazio che neltempo, si riduce alla seguente:

u

x

v

y

w

z+ + = 0

Passando ad esplicitare la relazione: dEdl

F= , si osserva che la variazione dello stato energeticocinetico nello spazio si pu scrivere come variazione della quantit di moto del volumetto dxdydznellincremento temporale dt necessario per percorrere dl con velocitV (II legge della dinamica):

dE

dl

d Vdxdydz

dt=

( )

per un liquido incomprimibile( =costante) la precedente nelle tre direzioni cartesiane diventa:

u

tu

u

xv

u

yw

u

zdxdydz+ + +


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28

v

tu

v

xv

v

yw

v

zdxdydz+ + +

w

t

uw

x

vw

y

ww

z

dxdydz+ + +

Mentre la F la somma delle seguenti forze esterne al volumetto:1) forza vettoriale che esprime la forza di gravit con g accelerazione di gravit scomposta nelletre direzioni cartesiane:

F g dxdydzx x1 = F g dxdydzy y1 = F g dxdydzz z1 =

2) forza vettoriale che rappresenta in forma operatoriale la forza di resistenza viscosa delle masseliquide adiacenti al volumetto liquido considerato, scomposta nelle tre direzioni cartesiane:

F ux

uy

uz

dxdydzx2

2

2

2

2

2

2= + +

( )

Fv

x

v

y

v

zdxdydzy2

2

2

2

2

2

2= + +

( )

Fw

x

w

y

w

zdxdydzz2

2

2

2

2

2

2= + +

( )

Queste relazioni sono state calcolate come risultante delle tensioni superficiali di attrito viscoso del

liquido adiacente sulle pareti del volumetto fluido considerato. Ad esempio la F2x componente nella

direzione dellasse delle x si pu scrivere, per un liquido consideratoincomprimibile, come somma delle variazioni delle tensioni

superficiali viscose, che costituiscono le risultanti degli sforzi viscosi

in quella direzione:

Fx y z

xx y z= + +

dove x lo sforzo, dovuto al legame viscoso, che agisceperpendicolarmente alle pareti del volumetto normali allasse x, e ye z sono gli sforzi viscosi tangenti alle pareti del volumetto paralleleallasse x e rispettivamente normali allasse y e allasse z, vedi

figura. Il valore di questi sforzi dato dalle relazioni:

xux

== 2

y

u

y

v

x= +

z

u

z

w

x= +

ogni sforzo viscoso causato dalle variazioni di velocit, determinate dalla viscosit, che danno

componenti di forze nella direzione dellasse x. Nella ipotesi di liquido a viscositcostante si ottiene:


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29

Fu

x

v

y

w

z x

u

x

v

y

w

zx = + + + + +

2

2

2

2

2

2

Il termine tra parentesi somma di derivate prime per lequazione di continuit nullo e quindi la

precedente coincide con la F2x.

3) forza di pressione, causata dalla differenza di pressione lungo lo spostamento infinitesimo nella

direzione del moto, che nelle tre direzioni cartesiane diventa:

Fp

xdxdydz

x3=

Fp

ydxdydzy3 =

Fp

zdxdydzz3 =

Introducendo queste espressioni nella relazionedE

dlF=

scritta per ogni direzione cartesiana e

dopo aver diviso tutti i termini per dxdydz e sostituito / con, viscosit cinematica, si ottiene ilseguente sistema:

u

tu

u

xv

u

yw

u

z

u

x

u

y

u

zg

p

xx

+ + + + + = ( )2

2

2

2

2

2

v

tu

v

xv

v

yw

v

z

v

x

v

y

v

zg

p

yy+ + + + + = ( )

2

2

2

2

2

2

w

tu

w

xv

w

yw

w

z

w

x

w

y

w

zg

p

zz

+ + + + + = ( )2

2

2

2

2

2

inoltre, se il sistema di riferimento cartesiano ha l'asse delle z diretto secondo la verticale, lecomponenti dell'accelerazione gravitazionale gx e gy sono nulle e gz=g.

Le precedenti relazioni costituiscono un sistema di quattro equazioni per le quattro variabili u,v,w e p,

che consente di determinare il campo di moto del liquido incomprimibile nello spazio-tempo (x,y,z,t).Nelle equazioni precedenti compaiono termini inerziali e termini viscosi. La forza inerziale si pu

scrivere come proporzionale ai parametri dimensionali l V2 2 , la forza viscosa invece proporzionale a Vl; il loro rapporto il numero adimensionale di Reynolds:

Forza inerziale

Forza viscosa= =

l V

Vl

lV2 2

Se si ricorda la prima definizione di liquido sopra data (un liquido linsieme di molecole aventiunenergia propria maggiore di quella allo stato solido, ma minore di quella allo stato gassoso,e un legame energetico maggiore del legame allo stato gassoso, ma minore di quello allo statosolido) si conclude che lenergia cinetica delle molecole introdotta dalla forza inerziale pu cambiareil comportamento delle molecole del liquido nel loro moto se questa supera la soglia del legameinterno del liquido che rappresenta la forza viscosa resistente. Al superamento di tale soglia il motodel liquido diventa turbolento, mentre al di sotto laminare. Il numero di Reynolds Re prima definito quindi un possibile indice di questo cambiamento di stato del moto, per Re>2000 in genere il motodiventa turbolento.


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5. IDROSTATICA

5.1 Pressione all'interno di un liquido

Faremo sempre riferimento, come abbiamo pi volte accennato ad un liquido perfetto. Una delleconseguenze dell'assoluta mancanza di azioni tangenziali fra le particelle di un liquido in quiete ildisporsi della sua superficie libera secondo un piano sensibilmente orizzontale (in realtparallelo allacurvatura terrestre). Infatti se la superficie libera non orizzontale (Fig. 5.1), esiste sempre unacomponente della forza di gravit, tangenziale alla superficie delle particelle liquide, che porta questea scorrere le une sulle altre.

Fig. 5.1

Non essendoci per quanto detto, alcuna azione resistente, tali particelle raggiungono l'equilibrio solonella posizione in cui la forza di gravit; non ha alcuna componente tangenziale ed quindi tuttacontrastata dalle reciproche azioni normali alla loro superficie. Tale posizione di equilibrio risultaessere pertanto quella normale alla forza di gravit; che in questa posizione il moto totalmenteimpedito ce lo assicura l'incomprimibilitdel liquido.Consideriamo ora la pressione esistente su una superficie orizzontale qualunque all'interno del liquido(Fig. 5.2).

Fig. 5.2

Sia questa la superficie AB e sia un elemento di questa, sufficientemente piccolo per cui la

pressione su ogni punto di esso possa essere considerata costante. La pressione relativa elemento dovuta esclusivamente al peso della colonna liquida sovrastante:

p = =

hh

G


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Come si nota, essa non dipende dalla sezione ma esclusivamente dal peso specifico e dallaprofondith sotto la superficie libera. Analogamente per la pressione su tutti gli altri elementi della

superficie AB, per cui si pu affermare che sull'intera superficie orizzontale grava la stessa pressionefunzione di e h. Per di pi, considerando al limite un elemento di superficie talmente piccolo da poter

essere assimilato al punto P, anche su esso la pressione dipende esclusivamente dal peso specificoe dalla profondit hP . Per ora il punto P si pu considerare appartenente ad una qualunque delle

infinite superfici passanti per esso e perci la pressione su esso risulta indipendente dalla direzione.Ci si esprime pi esattamente dicendo che la pressione una grandezza prettamente scalare, individuata cio solo dalla sua intensit. Tutte queste considerazioni esprimono il noto principio diPascal valevole appunto per un liquido in quiete. La pressione in un punto della massa liquida sitrasmette in ogni direzione con uguale intensit.L'ipotesi precedentemente fatta sulla mancanza di totale di azioni tangenziali tra le particelle liquide,serve anche a chiarire concettualmente il perch un liquido perfetto non pu avere alcuna resistenzae trazione. Infatti esaminando lo stato di tensione per trazione in un cubetto solido (Fig. 5.3), ciaccorgiamo che la resistenza alla trazione offerta da questo, dovuta esclusivamente alla resistenzad'attrito per scorrimento delle superfici di minima coesione (che saranno poi quelle di rottura piprobabile) AB o A' B'.

Fig. 5.3

Mancando, come premesso ogni attrito interno nel liquido perfetto, questo non pu resistere atrazione. Perch il liquido mantenga la sua continuit fisica occorre che sia sempre in stato dicompressione. Pertanto la sua pressione assoluta deve essere sempre maggiore di zero ovvero lasua pressione relativa non deve raggiungere mai il valore -1 atm. Per questa ragione le condotteaspiranti delle pompe, perch queste ultime si possano adescare, non devono essere di lunghezzaeccessiva e la pompa non deve raggiungere la quota teorica di 10,33 m sopra quella della superficielibera. In pratica questa lunghezza e questa quota devono essere notevolmente minori per tenereanche conto che l'aria che si libera alle basse pressioni, pu interrompere la continuitdella massaliquida ed impedire l'adescamento.

5.2 Equazione fondamentale dell'idrostatica

Considerato un elemento della massa liquida indefinita, cerchiamo di esprimere, medianteun'equazione tra le varie azioni esercitate su di esso, il suo stato di equilibrio. Immaginiamo taleelemento concretizzato in un cilindretto di liquido, avente la superficie superiore ed inferiorerispettivamente ad una quota z1 e z2 , rispetto ad un piano di riferimento (z= 0) , e sia la sua

sezione trasversale (Fig. 5.4a). Le azioni esercitate su tale elemento, saranno:

- le forze di massa dovute alla gravitcio il peso del volume liquido V:

G = V

G = (z1 - z2) (5.2.1)


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32

- le forze di superficie, dovute alle pressioni esercitate sulle superfici del cilindretto: chiamate p1 ep2le pressioni esercitate rispettivamente sulla superficie superiore ed inferiore, le forze corrispondentisaranno:

F1 =p1; F2 =p2; (5.2.2)

essendo le due forze dirette chiaramente in senso contrario e F2 diretta nello stesso verso di G.L'insieme delle forze esercitate sulla superficie laterale del cilindretto risulter nullo e ci in forza delfatto che esse, tutte dirette radialmente (Fig. 5.4b) risultano uguali ed opposte su ogni singolo pianoorizzontale. Per l'equilibrio dovrrisultare nulla la risultante delle forze (1) e (2) e cio:

G + F1 + F2 = 0 da cui:

(z1 - z2) +p1-p2= 0 e infine:

zp

zp

11

22+ = +

(5.2.3)

Non essendo stata fatta alcuna ipotesi sull'orientamento e sulla posizione del cilindretto in esame, leconsiderazioni fatte hanno un valore del tutto generale per cui la (5.2.3) pu essere scritta:

zp

+ =

cost (5.2.4)

La (5.2.4) rappresenta l'equazione fondamentale dell'idrostatica. Cerchiamo il valore della costanteche interviene nell'espressione (Fig. 5.4).

Fig. 5.4

Pensando di riferirci nelle considerazioni precedenti alle pressioni relative e prendendo in esame lasuperficie libera della massa liquida precedente, anche per quest'ultima vale la relazione:

zp

**+ =

cost (5.2.5)

ma p*= 0 per cui z*= cost


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33

La costante pertanto rappresenta la quota della superficie libera della massa liquida in esame. Si puallora scrivere:

zp

z+ =

*

che ci permette, una volta nota la quota di una qualunque superficie in una massa liquida in quiete equella della sua superficie libera, di calcolarne la relativa pressione. Infatti dette zO e pO la quota e lapressione di una superficie orizzontale qualunque (Fig. 5.5) si potrscrivere:

zp

z0

0+ =

* ovvero :

p0 = (z* -zO) , dove al secondo membro compaiono tutti elementi noti.

Posto: z* - zO = h (affondamento) si avr:

p = h (5.2.6)

Fig. 5.5

La (5.2.6) ci dice che la pressione su una superficie orizzontale di una massa liquida indefinita misurata dal prodotto dell'affondamento sotto la superficie libera per il peso specifico del liquidostesso. In tutte le considerazioni precedentemente fatte trova giustificazione il noto principio dei vasicomunicanti (Fig. 5.6). Infatti trattandosi della stessa massa liquida, la superficie libera dei duerecipienti, superficie per quanto detto isobarica, dovrtrovarsi sullo stesso piano orizzontale.

Fig. 5.6

5.3 Superficie libera e piano dei carichi idrostatici


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34

Ai termini dell'equazione fondamentale dell'idrostatica si attribuiscono denominazioni particolari:

- zprende il nome di quota geometrica, riferita ad un piano di riferimento.

- p

prende il nome di altezza piezometrica.

Che si tratta di un'altezza appare immediatamente dall'analisi dimensionale

p F L

F L

=

=

/

/

2

3L[ ]

Di fatto rappresenta l'altezza di colonna liquida alla base della quale c' la pressionepp

h

=

.

La somma dei termini zp+ =

cost viene chiamata quota piezometrica, e dalle considerazioni

precedentemente fatte sul valore della costante z* , rappresenta la quota della superficie libera dellamassa liquida indefinita. Si pu perci affermare che, se da un piano alla quota zrispetto ad un piano

di riferimento innalziamo tanti segmenti di lunghezza pari a p

, gli estremi superiori di questi

individuano la superficie libera del liquido in quiete, ovvero il piano dei carichi idrostatici, se lasuperficie del liquido non si trova a pressione atmosferica. Esaminiamo in particolare quest'ultimocaso. Si consideri il recipiente in pressione della (Fig. 5.7) e il piano AB a quota z.

Fig. 5.7

Posta sempre valida l'equazione fondamentale z +p

= cost , il nuovo valore della costante non

coincider questa volta con la quota della superficie libera. Infatti in questo caso p*(pressionerelativa) della (5.2.5) non sar pi nulla ma avr un valore definito, positivo o negativo a seconda chela superficie libera si trovi a pressione maggiore o minore di quella atmosferica.Si avrallora (Fig. 5.7)

zp

Zp+ =

*

*e quindi:

p p

= ( Z* - z ) *


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Il piano individuato dalla quota piezometrica quindi non coincider pi con la superficie libera ma sitrover ad una quota maggiore o minore di quest'ultima a seconda che la pressione assoluta sullasuperficie libera sia maggiore o minore di quella atmosferica. Coincidercon quella solo nel caso chela pressione sia uguale a quella atmosferica. Il nuovo piano individuato appunto il piano dei carichiidrostatici. Anche in questo caso la pressione su un piano qualunque entro la massa liquida indefinitaviene misurata dall'espressione: p = (Z* - z) dove per Z*- z in questo caso rappresenta

l'affondamento sotto il piano dei carichi idrostatici. Di conseguenza il piano dei carichi idrostatici,quando nel recipiente il liquido si trovi a pressione minore di quella atmosferica taglier la massaliquida e tutte le particelle al disopra di quel piano avranno pressioni relative negative.Unica condizione, perch il liquido mantenga le sue caratteristiche fisiche, per quanto detto inprecedenza, che l'affondamento di tale piano sotto la superficie superiore del liquido non superi m.10,33, che corrispondono all'altezza della colonna liquida facente equilibrio alla pressioneatmosferica. A pressione assoluta nulla la massa liquida perde infatti la sua continuit fisica e leparticelle liquide si comportano indipendentemente l'una dall'altra.In definitiva si potrconcludere che ogni massa liquida ha un suo piano di carichi idrostatici, che lapressione su un qualunque piano orizzontale di detta massa viene misurata dal prodottodell'affondamento sotto quel piano per il peso specifico del liquido. In particolare se la superficiesuperiore della massa liquida ha pressione relativa nulla, essa prende il nome di superficie liberadella massa liquida ed il piano dei carichi idrostatici in questo caso coincide con essa.

5.4 Diagramma delle pressioni

Riferendoci alla nota espressione (5.2.6) , che esprime le pressioni in funzione dell'affondamento, spesso utile rappresentarne graficamente l'andamento. Normalmente si riportano le pressionisull'asse delle ascisse, scelte come retta orizzontale appartenente al piano dei carichi idrostatici edorientata verso l'esterno della massa liquida, e gli affondamenti sull'asse delle ordinate orientato versoil basso. Spesso quest'ultimo si fa coincidere con la traccia della parete laterale del recipiente dicontenimento, in ragione dell'interesse che riveste la conoscenza dell'andamento delle pressioni sullepareti stesse ai fini del loro dimensionamento statico. L'andamento delle pressioni, come si rilevadall'espressione (5.2.6) lineare, il che significa poterlo rappresentare graficamente mediante unaretta. Questa retta in particolare passa per l'origine degli assi (h = 0; p = 0) . Data l'assoluta libertdiscelta della scala grafica per la rappresentazione, generalmente si adotta quella per la quale l'angoloformato dalla retta con gli assi sia di 45 .In relazione all'esistenza o meno della superficie libera

oppure al fatto che il piano dei carichi idrostatici tagli o non tagli la massa liquida, si possono avere iseguenti casi rappresentativi. Scelta come abbiamo detto precedentemente, una scala opportuna, peres. affondamenti 1 cm = 1 m, pressioni 1 cm = 1000 kg/m

2l'andamento grafico sarrappresentato in

ogni caso da una retta a 45 sugli assi.

1) Esiste una superficie libera (Fig. 5.8).Per ogni affondamento h si ha una pressione p misurata dall'ascissa corrispondente della retta r.

Fig. 5.8

2) Non esiste una superficie libera (Fig. 5.9).Si vede chiaramente dalla figura una successiva distinzione in due casi:


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36

a) piani dei carichi idrostatici, superiori alla massa liquida (retta r).b) piano dei carichi idrostatici interno alla massa liquida (retta r').

Fig. 5.9

Nel primo caso si avr un tratto di diagramma fittizio AB, partendo il diagramma effettivo dal punto Bin corrispondenza della superficie superiore del liquido.Nel secondo caso, tenendo sempre presente che la pressione in esame quella relativa, si avr: unprimo tratto A' B' di pressioni negative, un punto B' in corrispondenza del piano dei carichi idrostaticidove la pressione nulla e quindi, a partire da B', il diagramma positivo delle pressioni.

3) Esiste sopra la superficie del liquido un gas in pressione (Fig. 5.10).

Fig. 5.10

Anche in questo caso esi

dispensa_idraulica ottima + ing. ambientale

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