diskuse, polemika - filosofický časopisfilcasop.flu.cas.cz/uploaded/2016_6/formalna...diskuse,...

Diskuse, polemika

Formálna epistemológia – budúca syntézaLadislav Kvasz Pedagogická fakulta Univerzity Karlovy, PrahaFilosofi cký ústav AV ČR, [email protected]

Predslov

Predkladaný diskusný príspevok je skrátenou verziou projektu, ktorý bol v máji

2016 ocenený Akademickou prémií Akademie věd České republiky na roky

2017–2022. Tézy projektu boli prednesené v októbri 2016 v rámci série predná-

šok Trattenbach – Jilská na FLÚ AV ČR. Práve množstvo kritických pripomienok,

ktoré kolegovia formulovali v diskusii po prednáške, ma priviedlo na myšlienku

uverejniť hlavné myšlienky projektu vo forme diskusného príspevku vo Filosofi c-

kom časopise, aby som tak mohol dostať reakcie aj od kolegov, ktorí sa nemohli

na prezentácii v Jilskej osobne zúčastniť.

* * *

Logika sa ako fi lozofi cká disciplína zrodila v starovekom Grécku, a to zhruba v rovnakej dobe, kedy sa zrodila matematika ako deduktívna veda. Z antiky sa zachovali dva systémy logiky – aristotelovská sylogistická logika a stoická výroková logika. Trvalo však ďalších takmer dvetisíc rokov, než v diele Boo-lea, Fregeho a Peana došlo k premene logiky na formálnu disciplínu. Prístupy týchto autorov k logike sa od seba líšili, ale výsledná syntéza, ktorú vytvori-li Whitehead a Russell, pozoruhodným spôsobom zjednotila ich myšlienky. Sme presvedčení, že epistemológiu čaká podobná formalizácia, ako je tá, ku ktorej došlo v logike. Epistemológia sa ako fi lozofi cká disciplína zrodila v prá-cach Descarta, Locka, Huma a Kanta zhruba v rovnakej dobe, kedy sa zrodi-

Filosofi cký časopis ročník /

Kniha 6.indb 951Kniha 6.indb 951 12.12.2016 15:23:5612.12.2016 15:23:56

Ladislav Kvasz

la fyzika ako empirická veda. Zdá sa, že od čias zakladateľov epistemológie uplynula dostatočne dlhá doba na to, aby sme sa mohli pokúsiť o premenu epistemológie na formálnu disciplínu.

V procese formalizácie logiky je užitočné odlíšiť dve etapy. Prvá, ktorá bola iniciovaná Booleom, spočíva v prechode od Millovho naturalistického pojatia logiky k jej algebraickému pojatiu a je známa pod názvom algebra

logiky ( jej vyvrcholením sú Schröderove Vorlesungen über die Algebra der

Logik vydané v rokoch 1890–1905). Napriek mnohým úspechom algebra logi-ky neviedla k dnešnej formálnej logike. To sa podarilo až v druhej etape ini-ciovanej Fregem a Peanom, ktorí prešli od algebraického pojatia logiky k jej pojatiu funkcionálnému, známemu ako predikátový počet.

Prvá etapa formalizácie epistemológie je v súčasnosti v plnom prúde: nad-väzuje na Quineov projekt naturalizácie epistemológie a prináša formalizá-ciu tejto disciplíny prostriedkami matematických teórií, akými sú napríklad teórie hier, bayesovská indukcia alebo teórie racionálnej voľby. Zdá sa však, že tento spôsob formalizácie epistemológie zodpovedá skôr Booleovej algeb-re logiky než predikátovému počtu. Sme preto presvedčení, že na prvú etapu formalizácie epistemológie nadviaže druhá, ktorá – podobne ako v prípade logiky – prinesie jej radikalizáciu, prehĺbenie a rozšírenie. Cieľom tohto prí-spevku je načrtnúť projekt formalizácie epistemológie analogický k Fregov-mu projektu formalizácie logiky.

1. Hlavné momenty brániace formalizácii logiky

Logika na ceste k formalizácii prešla radom zmien a oslobodila sa od mno-hých hlboko zakorenených presvedčení. Je pozoruhodné, že presvedče-nia analogické tým, ktoré bránili logike v jej formalizácii, sa vyskytujú aj v dnešnej epistemológii. Keď tvrdíme, že epistemológia sa zmení v exaktnú disciplínu, je potrebné si uvedomiť, že toto tvrdenie je v rozpore s celkovým naturalistickým trendom, ktorý ju v súčasnosti ovláda. Tak ako Frege musel prekonať psychologismus prevládajúci v logike jeho doby, zdá sa, že na ceste k formálnej epistemológii budeme musieť prekonať naturalizmus, ktorý je dnes rozšírený medzi epistemológmi. Je prirodzené, že náš projekt vyvo-lá pochybnosti u zástancov naturalizovanej epistemológie. Naturalizovaná epistemológia je pokusom postaviť túto disciplínu na vedecké základy, a pre-to je pre jej zástancov ťažké pochopiť jej odmietnutie. Situácia v logike kon-com 19. storočia však bola podobná – psychologismus v logike bol tiež vedený snahou využiť metódy empirickej vedy a vymaniť logiku zo zajatia fi lozofi c-kej špekulácie. Domnievame sa však, že prekonanie tohto odporu umožní uvidieť epistemológiu v novom svetle a nových súvislostiach.


Formálna epistemológia – budúca syntéza

Napriek mnohým pokusom zblížiť logiku s matematikou (stačí pripome-núť Leibniza, Eulera či Bolzana) sa zdá, že prvým, komu sa podarilo vytvo-riť dostatočne bohatý kalkul, na základe ktorého bolo možné vytvoriť novú disciplínu – algebru logiky, bol Boole. Na ceste ku kalkulu, ktorý nazývame Booleova algebra, bolo nutné prekonať niekoľko prekážok. Napriek nepopie-rateľnému prínosu Booleovej algebry je nutné pripomenúť, že jeho program nebol dostatočne radikálny. Boole sa domnieval, že predmet logiky je vyme-dzený rozsahom tradičnej aristotelovskej logiky, a jeho cieľom bolo iba zapí-sať aristotelovské sylogizmy prostriedkami algebry. Tým síce uviedol logiku do kontaktu s matematikou, neprekonal však rad ďalších nedostatkov Aris-totelovho systému.

1.1 Oddelenosť logiky od matematikyAj keď Aristotelovu teóriu sylogizmov možno považovať za jednu z prvých axiomatických teórií v dejinách, a teda z moderného pohľadu je to matema-tická teória, učenci staroveku to tak nevnímali. Aristotelovská logika bola súčasťou fi lozofi e a vyvíjala sa oddelene od matematiky ako jedna zo základ-ných fi lozofi ckých disciplín. Zástancovia aristotelovskej logiky považovali lo-giku za čosi zásadne odlišného od matematiky – a podobného názoru boli aj matematici. Aspoň nie je známe, že by niektorý matematik napísal niečo o lo-gike. Hlavnou zásluhou Boolea bolo prekonanie predsudku oddeľujúceho ma-tematiku od logiky. Boole prišiel s myšlienkou použiť jazyk algebry na zápis súdov aristotelovskej logiky. Jednotlivé súdy zapísal vo forme algebraických rovníc a sylogistický úsudok dostal podobu riešenia sústavy rovníc pomo-cou eliminácie neznámej. Jeho teória bola míľnikom na ceste premeny logiky na formálnu disciplínu.

Keď sa pozrieme na epistemológiu, vidíme, že klasická epistemológia bola od exaktných disciplín izolovaná v rovnakej miere, ako bola aristotelovská logika izolovaná od matematiky. Tým, že tvorcovia epistemológie poznanie stotožnili s poznaním empirickým, ktoré zakladali na zmyslovom vnímaní, vzdali sa možnosti zblížiť epistemológiu s matematikou. Podobne ignoro-vali inštrumentálny rozmer poznania (namiesto analýzy procesu merania predkladali analýzu zmyslového vnímania), čím sa zriekli možnosti zblí-žiť epistemológiu s fyzikou. Preto prvou tézou formálnej epistemológie je téza o nutnosti zblížiť epistemológiu s matematikou, fyzikou a s ostatnými

exaktnými disciplínami.

1.2 Úzke chápanie predmetu logikyTradičná aristotelovská logika predstavuje iba fragment systému formálnej logiky. Tento fragment možno označiť termínom monadická logika – logika


Ladislav Kvasz

pripúšťajúca iba jednoargumentové predikáty.� Prv než mohla vzniknúť for-málna logika, bolo nutné zásadne rozšíriť rámec toho, čo do logiky zahŕňa-

me – predovšetkým o logiku relácií, o teóriu logických spojok a o polyadickú kvantifi káciu. Toto zásadné rozšírenie predmetu logiky priniesli Pierce, Fre-ge a Peano. Aj keď Boole nedospel ani k logike relácií, ani k teórii logických spojok, jeho kalkul bol predsa len bohatší než tradičná logika. Booleovu al-gebru logiky možno preto považovať za krok smerujúci k rozšíreniu pred-metu logiky.

Podobne možno argumentovať, že experimentálna a teoretická prax no-vovekej fyziky zásadne prekračuje chápanie poznania ako zdôvodneného pravdivého presvedčenia. Preto možno tvrdiť, že epistemológia, tak ako je táto bežne diskutovaná, predstavuje iba zlomok toho, čo bude treba zahrnúť do formálnej epistemológie. Vedecké teórie a modely sú v komplexných vzťa-hoch vzájomnej aproximácie, limitných prechodov a idealizácie. Ako druhú tézu formálnej epistemológie teda možno vziať tézu o nutnosti zásadne roz-

šíriť rámec toho, čo do epistemológie zahŕňame.

1.3 Sústredenie logiky na problémy formulované v prirodzenom jazykuÚzke pojatie predmetu logiky súvisí s naviazanosťou tradičnej aristotelov-skej logiky na prirodzený jazyk. Aristotelovská teória výroku a z nej vyplý-vajúca teória sylogizmov sú do veľkej miery predurčené štruktúrou vety ( jej zložením z mennej a slovesnej frázy). Pre zrod formálnej logiky bolo rozho-dujúce, že sa logika od tejto závislosti na prirodzenom jazyku oslobodila. To bola zásluha Fregeho, ktorý priniesol do chápania vzťahu logiky a mate-matiky zásadnú zmenu. Boole síce používal jazyk matematiky ako nástroj na presnejšie uchopenie logického usudzovania (usudzovanie redukoval na riešenie algebraických rovníc). Ako problémy, ktoré pomocou svojho kal-kulu skúmal, však akceptoval sylogizmy aristotelovskej logiky. Frege začal metódami logiky zapisovať nielen úsudky formulované v prirodzenom jazy-ku, ale aj matematické dôkazy. Matematickým sa tak stal nielen jazyk, kto-

rým zapisujeme logické usudzovanie, ale aj jazyk, ktorého úsudky skúmame.�

Už v rámci scholastickej logiky sa uskutočnili viaceré pokusy rozšíriť rámec logiky a zahrnúť doňho aj prvky stoickej výrokovej logiky. Tieto pokusy však neviedli k zásadnejšiemu prebu-dovaniu základov aristotelovskej logiky a nedosiahli mieru porovnateľnú s rozšírením rozsahu logiky, ku ktorému došlo v priebehu . storočia.

Existuje tu určitá analógia medzi vznikom logiky a vznikom fyziky. Podobne ako Boole v logike aj Galileo vo fyzike chápal matematiku predovšetkým ako jazyk. A podobne ako Frege a Peano prinášajú matematizáciu predmetu logických analýz, keď nahrádzajú analýzu úsudkov formu-lovaných v prirodzenom jazyku štúdiom dôkazov v matematike, priniesol Descartes matema-tizáciu predmetu fyziky, keď predmety bežnej skúsenosti nahradil rozpriestranenými vecami. Akoby voľba matematického jazyka bola predstupňom omnoho radikálnejšej matematizácie, zasahujúcej samotný predmet skúmania.


Inak povedané, Frege spravil matematiku predmetom logickej analýzy. Tým logiku vymanil zo zajatia prirodzeného jazyka a prepojil ju s matematikou omnoho zásadnejšie než Boole. Ukázal, že formy usudzovania používané v ma-

tematike prekračujú medze aristotelovskej logiky. Zdá sa, že prístupy, ktoré spoločne vytvárajú prúd formálnej epistemoló-

gie, majú bližšie k Booleovmu než k Fregeho spôsobu použitia matematiky. Síce na opis procesu poznávania používajú jazyk matematiky, ale tento jazyk aplikujú na tradičné problémy, diskutované v epistemológii od čias jej vzniku ako fi lozofi ckej disciplíny. Preto ak chceme vytvoriť formálnu epistemológiu, musíme sa oslobodiť od analýzy problémov bežného poznania a zamerať

sa na epistemologickú rekonštrukciu poznávacích procesov v matematike

a fyzike.

1.4 Psychologizmus brániaci oddeliť formálnu a obsahovú stránku usudzovaniaNovoveká logika bola pred Fregem, Peanom a Russellom spravidla chápaná ako opis správneho myslenia. Takto rozumel logike ešte aj Boole. Toto psy-chologistické pojatie logiky sa okrem iného opiera o ilúziu, že aristotelovská teória sylogizmov, a predovšetkým subjekt-predikátová stavba súdu, na kto-rej je táto teória založená, je adekvátnym nástrojom na budovanie logiky. Ľudské myslenie je intencionálne, naša pozornosť je vždy na niečo zamera-ná – a v súde vyjadrujúcom myšlienku tomu zodpovedá subjekt. Preto pokiaľ zotrváme u príkladov, ktoré predostiera náš mentálny svet, subjekt-prediká-tová forma súdu sa zdá byť prirodzená. Frege pochopil, že logika má skúmať vzťahy vyplývania medzi propozíciami určitej vednej disciplíny, teda objek-

tívne vzťahy medzi abstraktnými objektmi. Ako príklady, ktoré vo svojej lo-gike skúmal, bral matematické propozície a dôkazy.

V súčasnej dobe existuje rad prístupov, ktoré sa usilujú o zexaktnenie epistemológie. Tieto prístupy sa združujú do programu formálnej epistemo-lógie a epistemológiu chcú zexaktniť pomocou formalizácie aktivít subjektu (prostriedkami teórie hier, bayesovskej indukcie a teórie racionálnej voľby). Podľa nás však predstavujú skôr paralelu k booleovskej algebre logiky opí-sanej vyššie. Oproti psychologistickému chápaniu logiky Frege požadoval, aby logika nebola o tom, ako majú reálne subjekty myslieť, ale bola formálnou vedou o vzťahoch vyplývania medzi propozíciami. Zdá sa preto rozumným požadovať, aby formálna epistemológia rovnako nebola o tom, ako subjekty poznávajú, ale o objektívnych vzťahoch medzi vedeckými teóriami. Preto štvr-tou tézou formálnej epistemológii bude téza o nutnosti nahradiť chápanie

poznania ako aktivity subjektu chápaním poznania ako objektívnych vzťa-

hov medzi teóriami.



Ladislav Kvasz

1.5 Použitie už existujúcej matematikyBoole zdieľal s Fregom cieľ matematizácie logiky. Jeho problémom však bolo, že prijal tradičnú logiku a na jej matematizáciu použil už existujúcu mate-

matiku. Zatiaľ čo Booleovým cieľom bolo prostriedkami algebry zapísať aris-totelovské sylogizmy presnejším spôsobom, Frege odmietol aristotelovský rá-

mec a predmetom logických analýz spravil matematické dôkazy. Na zápis ich logickej formy vytvoril nový kalkul – predikátový počet. Na rozdiel od Boolea je tak Frege tvorcom úplne novej matematiky.

Zdá sa, že aj v tomto aspekte je dnešná formálna epistemológia bližšia k Booleovej snahe založiť formalizáciu logiky na už existujúcej matematike. Či už zoberieme epistemickú logiku, bayesovskú epistemológiu alebo teó-riu racionálneho rozhodovania, všetko sú to príklady aplikácie už existujú-cej matematiky na problémy tradičnej epistemológie. Tým pripomínajú skôr Boo lea než Fregeho. Preto ako piatu tézu možno formulovať tézu o nutnosti

nahradiť používanie už existujúcej matematiky na opis poznania snahou

odhaliť matematickú štruktúru poznania, ktorá môže viesť k objavu mate-

matiky nového druhu.

1.6 Kladenie už existujúcich otázokBoole zotrval v okruhu otázok formulovaných v rámci klasickej logiky. Sna-žil sa síce sylogizmy aristotelovskej logiky zapísať prehľadným spôsobom, ale nepriniesol žiaden zásadne nový súbor problémov. Frege naproti tomu priniesol nový program známy ako logicizmus. Aj keď sa ukázalo, že je ne-uskutočniteľný, logicizmus bol jedným z hlavných projektov základov mate-matiky.

Aj v tomto bode má formálna epistemológia bližšie k Booleovi než k Fre-gemu. Aby vznikla skutočne plodná formálna epistemológia, zdá sa, že je treba opustiť rámec otázok kladených v tradičnej epistemológii a pokúsiť sa formulovať nové problémové pole, ktoré vyrastá z vnútorných motívov roz-voja tejto disciplíny. Preto možno sformulovať šiestu tézu projektu formálnej epistemológie ako tézu o nevyhnutnosti opustiť problémovú oblasť tradič-

nej epistemológie a pokúsiť sa nájsť program, ktorý by dokázal vnútorne

motivovať ďalší rozvoj formálnej epistemológie.

Je pozoruhodné, že aj tento aspekt vzniku formálnej logiky má paralelu pri vzniku fyziky. Aj v prípade fyziky sa Galileo a Descartes snažili vytvoriť nové fyzikálne teórie prostriedkami už existujúcej matematiky. Bol to až Newton, ktorý si uvedomil, že na opis interakcie bude nutné vytvoriť úplne novú matematiku – a druhý Newtonov zákon je v podstate prvou diferenciálnou rovnicou v dejinách, teda matematickým objektom úplne nového typu.



2. Rekonštrukcia Fregeho formalizácie logiky

Ako sme uviedli, pre zrod formálnej logiky bolo rozhodujúce, že Frege prešiel od logickej analýzy úsudkov formulovaných v prirodzenom jazyku k analý-ze matematických dôkazov. Vďaka odmietnutiu psychologizmu logický úsu-dok nevnímal ako akt subjektu, ale ako objektívny vzťah medzi propozícia-mi. Tento vzťah tvorí logickú formu úsudku. Samozrejme, každý úsudok má okrem logickej formy aj určitý obsah, ktorý je od logickej formy nezávislý. Úlohou logickej analýzy je oddeliť logickú formu od obsahu a overiť, či záver úsudku vyplýva z predpokladov výlučne na základe logickej formy. Frege kvô-li tomu vytvoril notačný systém, ktorý nazval pojmovým písmom. Pojmové písmo zobrazuje logickú formu určitej propozície spôsobom, pri ktorom je logická forma oddelená od obsahu. Okrem toho obsahuje niekoľko odvo-dzovacích pravidiel, pomocou ktorých možno overiť, či záver vyplýva z pred-pokladov výlučne na základe logickej formy. Frege tak dosiahol plnú forma-lizáciu logiky.

Je možné, že ak chceme, aby epistemológia dosiahla úroveň formalizá-cie porovnateľnú s logikou, bude potrebné pokúsiť sa o analogické oddele-

nie epistemickej formy od obsahu. Je otázne, či na dosiahnutie tohto cieľa bude nutné vytvoriť notačný systém, analogický Fregeho pojmovému písmu, ktorý by umožňoval kontrolovať korektnosť pripisovania epistemologického statusu podobne, ako Fregeho pojmové písmo umožňuje kontrolovať korekt-nosť pripisovania logickej platnosti. Nech je tomu akokoľvek, z pohľadu pro-jektu formálnej epistemológie je užitočné pokúsiť sa porozumieť spôsobu, akým Frege svoj notačný systém vytvoril.

2.1 Prechod od pojmu k propozícii ako základnej úrovni logickej analýzyAristotelovská logika považovala za základnú úroveň, z ktorej začínala logic-kú analýzu, rovinu pojmov. Aj keď Frege svoj notačný systém nazval pojmo-vým písmom, za základnú úroveň logickej analýzy vzal namiesto pojmov

propozície. Inak povedané, základné prvky, z ktorých pri analýze vychádzal, boli prvky, ktoré môžu byť pravdivé alebo nepravdivé. Dalo by sa povedať, že Frege posunul základnú úroveň logickej analýzy z úrovne pojmov na úroveň propozícií.

Aj v epistemológii bude asi nevyhnutné zmeniť rovinu, na ktorej začneme formalizáciu. Tak ako Frege prešiel od pojmov k propozíciám, bude v episte-mológii účelné prejsť od propozícií k teóriám (alebo modelom) ako základ-

ným jednotkám, ktorým pripisujeme epistemický status.


Ladislav Kvasz

2.2 Prechod od subjekt-predikátovej analýzy propozície k analýze na funkciu a ar-gumentyAristotelovská logika chápala súd ako spojenie subjektu s predikátom. Toto pojatie sa udržalo ešte u Boolea. Aristotelovo pojatie súdu je prirodzené z psychologického hľadiska. Naše myslenie je intencionálne, keď premýšľa-me, naša myseľ je zameraná na niečo, čo máme sklon považovať za subjekt. To, čo o tomto subjekte vypovedáme, je prirodzené považovať za predikát, ktorý o subjekte tvrdíme. Frege po odmietnutí psychologizmu odlíšenie sub-jektu a predikátu prehlásil za rétorický dôraz, ktorý s logickou formou ne-súvisí. Okrem psychologického hľadiska je subjekt-predikátové pojatie súdu prirodzené aj z hľadiska výstavby aristotelovskej logiky. Ak za základnú úro-veň logickej analýzy považujeme úroveň pojmov, je prirodzené predpokla-dať, že najjednoduchší súd vzniká spojením dvoch pojmov, z ktorých jeden je subjekt a druhý je predikát. Vzhľadom na to, že Frege za základnú úroveň logickej analýzy berie propozície, nemá dôvod privilegovať súdy vzniklé spo-jením dvoch pojmov. Navyše, pri analýze matematických tvrdení, ktorými nahradil súdy formulované v prirodzenom jazyku, sa subjekt-predikátová forma ukazuje ako neadekvátna. U matematických tvrdení nie je jasné, čo by malo byť subjektom a čo jeho predikátom. Preto Frege nahradil aristote-

lovský spôsob analýzy súdu na subjekt a predikát jeho analýzou na funkciu

a jej argumenty.Keď hľadáme analógiu subjekt-predikátovej stavby súdu v oblasti episte-

mológie, napadá nás analyticko-syntetická stavba poznania. Tak ako v lo-gike aj tu je protiklad psychologického pôvodu. Analytické poznanie je to, ku ktorému môžeme dospieť uvažovaním, kým syntetické je to, k získaniu ktorého potrebujeme zmysly. Odlišovanie právd rozumu a právd zmyslov sa tiahne celými dejinami epistemológie. Keď Quine upozornil na neostrosť hranice medzi analytickým a syntetickým, poukázal na dôležitý problém. Jeho čin však nemožno porovnať s Fregeho prínosom v logike. Quine zotr-

val na úrovni odlíšenia analytického a syntetického, iba hranicu medzi nimi rozmazal. Naproti tomu keď Frege ukázal, že hranica medzi subjektom a ob-jektom je neostrá, analýzu súdu na subjekt a objekt nahradil abstraktnej-šou analýzou na funkciu a argumenty, čím zrevolucionizoval logiku. Preto sa nesmieme uspokojiť s Quineovým rozmazaním rozdielu medzi analytic-kým a syntetickým poznaním, ale musíme analýzu poznania na analytické

a syntetické nahradiť abstraktnejšou.

2.3 Zmena úrovne elementárnosti a zavedenie implikácie ako logickej spojkyPrepisom propozícií do pojmového písma sa ukázalo, že to, čo Aristoteles po-važoval za elementárnu formu súdu (napríklad „Každý človek je smrteľný“), je



z hľadiska Fregeho formalizácie zložený výrok (implikácia (x)(Č(x) S(x))).� V aristotelovskej logike bola teda implikácia prítomná implicitne, ukrytá v spojení subjektu s predikátom. Frege spravil skrytú logickú formu Aristo-

telovho súdu plne explicitnou. To, čo Aristoteles považoval za elementárny

súd – spojenie dvoch pojmov pomocou spony, je hľadiska logickej formy im-plikácia. Potom ako ju spravil plne explicitnou, Frege implikáciu premenil

v logickú spojku. To je zásadná zmena. Aristoteles mohol mať v každom súde iba jednu implikáciu (skrytú v spone), kým Frege ich môže mať ľubovoľný počet.� Navyše Frege zásadným spôsobom zmenil Aristotelov pojem elemen-

tárneho súdu. U Aristotela bol elementárny súd spojením dvoch pojmov. To je však podľa Fregeho zložený súd. Elementárnym súdom je spojenie funkcie (t.j. jedného pojmu, či už predikátu alebo relácie) a argumentov (referujúcich výrazov majúcich tvar mena, konštanty, premennej alebo termu). Táto úro-veň v aristotelovskej logike nebola analyzovaná. Frege si uvedomil, že súd je spojenie pojmu a mena, čo je čosi zásadne odlišného od spojenia dvoch poj-mov.

Keď prijmeme, že základnou jednotkou epistemologickej analýzy je teó-ria, tak narazíme na zásadný problém, že pojem teórie v epistemológii nie je rozpracovaný. Epistemológia prebrala pojem teórie z logiky a teóriu vníma ako súbor propozícií. Preto v epistemológii vlastne nemáme analógiu aristo-telovského chápania súdu ako spojenia dvoch pojmov, ktorého epistemickú formu by sme mali urobiť plne explicitnou a voči ktorej by sme sa mali po-sunúť o jednu úroveň hlbšie. Ako zásadný problém vidíme vypracovaní ta-kého epistemologického pojmu teórie, ktorý by nekopíroval logický pojem.

2.4 Zmena miesta negácie a zavedenie negácie ako logickej spojkyPodobnú zmenu ako s implikáciou spravil Frege aj s negáciou. Na rozdiel od implikácie negácia bola v aristotelovskej logike explicitne prítomná. Aris-toteles delil súdy na pozitívne a negatívne podľa toho, či subjektu predikát prisudzujeme (ako v súde „Niektorý človek je smrteľný“) alebo upierame (ako v súde „Niektorí bohovia nie sú smrteľní“). To znamená, že negácia vstupu-je do súdu cez sponu a mení spojenie subjektu a predikátu. Preto v aristo-telovskej logike súd môže obsahovať nanajvýš jednu negáciu. Frege opustil subjekt-predikátovú stavbu súdu, preto v pojmovom písme nemá ekvivalent

Kvôli jednoduchosti sme Fregeho notáciu nahradili dnešnou. Odhalením implikácie skrytej v aristotelovskej logike Frege prelomil bariéru, ktorá oddeľovala

aristotelovskú logiku od stoickej. Keď aristotelovskú logiku prepíšeme tak, že implikáciu v nej skrytú spravíme plne explicitnou, možno túto teóriu priamo spojiť so stoickou logikou, ktorá skúma fungovanie tejto spojky.


Ladislav Kvasz

spony. Negáciu preto mení na logickú spojku. Ako logická spojka sa negácia môže kombinovať s implikáciou, čo umožňuje generovať propozície s logic-kou formou narastajúcej komplexnosti. Súčasne s tým Frege mení aj Aristo-telovu klasifi káciu elementárnych súdov. Keďže u Aristotela negácia vstupo-vala do elementárneho súdu, Aristoteles delil elementárne súdy na pozitívne a negatívne. Podľa Fregeho negácia do elementárneho súdu nevstupuje, tak-že všetky elementárne súdy sú pozitívne. Frege negáciu odstránil zo stavby elementárnych súdov a urobil z nej stavebný prvok logickej formy.

Nie je jasné, čo je epistemologickou analógiou negácie. Faktom je, že teórie sa rôzne spájajú, napríklad magnetohydrodynamika je spojením elektrody-namiky s hydrodynamikou a opisuje tekutiny majúce elektrický náboj, akou je napríklad ionizovaný plyn. Zdá sa, že epistemológia zatiaľ otázku spájania teórií netematizovala. Je možné, že operácie, ktoré budú hrať v epistemoló-gii analogickú úlohu, akú hrajú implikácia a negácia v logike, sa budú týkať spájania teórií. Tu možno rozlíšiť zovšeobecnenie, keď jedna teória je zahrnutá do druhej ako špeciálny prípad, doplnenie, ako je tomu v prípade magneto-hydrodynamiky, kde sú obe teórie na rovnakej úrovni všeobecnosti, a ďaľšie.

2.5 Zmena spôsobu kvantifi kácie, kvantifi kátor ako logický operátorV aristotelovskej logike súd vzniká spojením subjektu a predikátu, pričom kvantifi kácia sa týka subjektu a určuje rozsah (kvantitu), v akom predikát pri-sudzujeme subjektu. Súdy sa potom delia na všeobecné, partikulárne a singu-

lárne podľa toho, či o subjekte príslušný predikát tvrdíme všeobecne („Každý

človek je smrteľný“), čiastočne („Niektorý človek je smrteľný“) či jednotlivo („So-

krates je smrteľný“). Tento prístup pôsobí prirodzene, lebo kopíruje jazykovú prax. Frege nahradil subjekt-predikátovú analýzu súdu analýzou na funkciu a argument, čím oslobodil kvantifi káciu z jej väzby na subjekt. Kvantifi kácia sa týka argumentov a nie subjektu. Pretože súd môže mať viac argumentov, môže obsahovať viac kvantifi kátorov. Kým aristotelovská logika má mona-

dickú kvantifi káciu, teda kvantifi kuje sa jediný prvok súdu, a to subjekt, Fre-geho logika má polyadickú kvantifi káciu, v ktorej propozícia môže obsahovať viac kvantifi kátorov. Okrem toho Frege rozšíril rozsah kvantifi kácie z ele-mentárneho súdu – tak kvantifi kácia fungovala u Aristotela – aj na zložený súd. Rozsahom kvantifi kátora je podľa Fregeho podformula. Takto sa kvan-

Možno by bolo presnejšie povedať, že sponu ako jazykovú reprezentáciu spojenia subjektu s predikátom nahradil syntaktickým pravidlom, ktoré riadi spájanie funkcionálneho symbolu s termom. V matematickej notácii je to vyjadrené pomocou zátvoriek (ako f(x)), a tak možno povedať, že Frege nahradil sponu zátvorkami (ohraničujúcimi oblasť argumentov funkcionálne-ho symbolu). V notácii rozšírenej vo fi lozofi ckých textoch sa však zátvorky nepíšu a dosadenie argumentu do funkcionálneho symbolu sa riadi syntaktickým odlíšením typu písmen pre funk-cie a termy (ako Fx). Takže je presnejšie tvrdiť, že Frege zabudoval sponu do syntaxe.



tifi kovanie, vedľa implikácie a negácie, stáva ďalším prvkom logickej formy. Systém pojmového písma obsahuje súbor pravidiel reťazenia znakov pre im-plikáciu, negáciu a kvantifi káciu, pomocou ktorých dokáže vyjadriť logickú formu ľubovoľného tvrdenia matematiky. Niečo takého aristotelovská logika nedokázala.

Hľadať epistemologickú operáciu analogickú kvantifi kácii by nemuselo byť ťažké. Existujú viaceré pokusy kvantifi kovať mieru verifi kácie vedeckých teórií – rovnako ako v bayesovskej epistemológii sú rozpracované metódy kvantifi kácie stupňa subjektívneho presvedčenia. To, že zatiaľ žiadny z nich neuspel, môže súvisieť s tým, že ešte stále máme „monadickú epistemológiu“.

2.6 Nahradenie kvantifi kácie pojmu kvantifi káciou premennejSkutočnosť, že kvantifi kácia sa vo Fregeho pojatí týka argumentu a nie sub-jektu, má rad dôsledkov. Dva z nich sme už spomenuli. Jednak pri rozklade súdu na funkcionálnu a argumentovú časť môžeme vyčleniť viacero argu-mentov, čo má za následok, že v jednom súde sa môže vyskytovať niekoľko kvantifi kátorov. Navyše ten istý argument môže v súde vystupovať na via-cerých miestach, preto vo Fregeho pojmovom písme je určené, ktoré výsky-ty premennej daný kvantifi kátor viaže. Okrem týchto dvoch aspektov pri prechode od aristotelovskej k fregeovskej kvantifi kácii vystupuje ještě ďalší, ktorý si zasluhuje samostatný rozbor.

Prv než k nemu pristúpime, uvedieme jeho analógiu pri prechode od Eu-klidovej syntetickej geometrie k Descartovej analytickej geometrii. Pri tomto prechode sa mení úroveň elementárnosti. Pre Euklida je kružnica jednodu-chý objekt. Podľa Euklida sa kružnica neskladá z bodov. Bod môže na kruž-nici ležať, ale je to vzťah dvoch samostatných objektov, podobne ako do-tyk priamky a kružnice. Naproti tomu pre Descarta je kružnica miestom všetkých bodov roviny, ktoré spĺňajú určitú rovnicu, a tak kružnica je ob-jekt zložený z bodov. Prechod od Euklida k Descartovi prináša zmenu aj ohľadne základného pojmu Euklidovej geometrie, ktorým je priama čiara (grécky eitheia). Pre Descarta, rovnako ako pre nás, je základným objektom geo metrie priamka, teda priama čiara ubiehajúca do nekonečna. Euklidove priame čiary označujeme termínom úsečka, sú teda niečím, čo je z priamky useknuté. Úsečka je tak pre nás objekt odvodený. Euklides naopak považoval za základné objekty priame čiary konečnej dĺžky, pričom jeho druhý postu-lát zabezpečoval, že „priamu čiaru možno na ľubovoľnom konci predĺžiť“. Pre dnešného čitateľa znie toto predlžovanie zvláštne, lebo naše priamky pre-dlžovať netreba, ubiehajú až do nekonečna. Táto druhá zmena súvisí s tým, že v dôsledku zmeny úrovne elementárnosti pre Descarta priamka už nie je jednoduchý objekt, ale je tvorená bodmi. Priamka zodpovedá lineárnej rov-nici ax by c 0, čo je lineárna forma, pričom premennými x a y prebiehajú


Ladislav Kvasz

všetky reálne čísla. A práve nahradenie elementárneho objektu (Euklidovej priamej čiary) grafom formy (Descartovou priamkou) si vynucuje, aby priam-

ka ubiehala do nekonečna.Keď sa vrátime k Fregeho pojatiu kvantifi kácie, aspekt, ktorý ideme vylo-

žiť, možno najlepšie pochopiť ako paralelu s uvedenou zmenou v geometrii. Aristotelovská kvantifi kácia sa týka subjektu súdu, ktorý označuje určitú triedu. Je to obmedzená kvantifi kácia, ktorá má jasne vymedzené hrani-ce (tak ako Euklidova priama čiara). Frege zmenil úroveň elementárnosti a z Aristotelovho elementárneho súdu „Každé A je B“ urobil implikáciu „(x)(A(x) B(x))“, čím urobil niečo blízke Descartovi – elementárny objekt na-hradil formou. Kvantifi kácia, ktorá určuje rozsah formy, je už neobmedze-ná: kvantifi kácia prebieha celým univerzom objektov. To je zásadná zmena oproti chápaniu kvantifi kácie u Aristotela, ktorú si možno uvedomiť na vzťa-hu univerzálneho a partikulárneho súdu. Uvažujme súdy „Každý kôň je čier-

ny“ a „Niektorý kôň je čierny“. Podľa Aristotela z prvého vyplý va druhý – keď sú všetky kone čierne a zoberieme ľubovoľného koňa, ten bude nevyhnut-ne tiež čierny. Frege však prvý súd prepíše do tvaru (x)(K(x) Č(x)), kým druhému dá tvar (x)(K(x) Č(x)). Druhý súd tvrdí existenciu, a tak nemôže vyplývať z prvého. Keby žiadne kone neexistovali, bol by prvý súd pravdivý, kým druhý by pravdivý nebol.

Keď chceme vytvoriť formálnu epistemológiu, bude potrebné uskutočniť zmenu chápania „rozsahu“ elementárnych prvkov teórie, analogickú tej, akú urobili Descartes a Frege.

Základná literatúraAristoteles, První analytiky. Přel. A. Kříž. Praha, Nakladatelství ČSAV 1961.Boole, G., � e Mathematical Analysis of Logic. Cambridge 1847.Frege, G., Begriff sschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache

des reinen Denkens (1879). Hildesheim, Georg Olms 1993. Anglický preklad in: Heijenoort, J. van, From Frege to Gödel. A Source Book in Mathematical

Logic 1879–1931. Cambridge, Mass., Harvard University Press 1967, s. 1–82.Kneale, W. – Kneale, M., � e Development of Logic. Oxford, Oxford University

Press 1962.Kolman, V., Logika Gottloba Frega. Praha, Filosofi a 2002. Kvasz, L., Patterns of Change, Linguistic Innovations in the Development of

Classical Mathematics. Basel, Birkhäuser Verlag AG 2008. Kvasz, L., Zrod vedy ako lingvistická udalosť. Galileo, Descartes a Newton ako

tvorcovia jazyka fyziky. Praha, Filosofi a 2013.



Kvasz, L., Na ceste k formálnej epistemológii. Teorie vědy, XXXVI, 2014, mi-mořádné číslo k 90. narozeninám Ladislava Tondla: Věda kultura, veřej-nost, s. 51–73.

Kvasz, L., Inštrumentálny realizmus. Praha, Pavel Mervart 2015.Peano, G., Arithmetices principia nova methodo exposita (1889). Anglický pre-

klad in: Selected Works of Giuseppe Peano. Ed. H. C. Kennedy. Toronto, To-ronto University Press 1973.

Quine, W. v. O., Naturalizace epistemologie (1969). Přel. T. Marvan. In: Quine, W. v. O., Vybrané články k ontologii a epistemologii. Plzeň, Západočeská uni-verzita v Plzni 2006, s. 120–138.

Russell, B., Mathematical Logic as Based on the � eory of Types. American

Journal of Mathematics 30, 1908, s. 222–262. Pretisk in: Heijenoort, J. van, From Frege to Gödel. A Source Book in Mathematical Logic 1879–1931. Cam-bridge, Mass., Harvard University Press 1967, s. 150–182.

Heijenoort, J. van, From Frege to Gödel. A Source Book in Mathematical Logic

1879–1931. Cambridge, Mass., Harvard University Press 1967. Whitehead, A. N. – Russell, B., Principia mathematica. Vol 1. Cambridge,

Cambridge University Press 1910. Slovenský preklad stránok 1–86 viz in: Zouhar, M., Russell. Jazyk a poznanie. Bratislava, Kalligram 2005, s. 80–217.


diskuse, polemika - filosofický časopisfilcasop.flu.cas.cz/uploaded/2016_6/formalna...diskuse,...

Documents