Diseño óptimo-teórico de un aerogenerador

de eje horizontal

Disertante: Dr. Ing. Raul Mingo

económico

Tecnológico

V3

Energía del viento

Energía cinética de las partículas

Pd=1/2ρ AVV 2=1/2ρ AV 3 (w ) (0)

Ecuación de la energía

Teoría de Betz – Disco actuador – (Cantidad de movimiento lineal)Hipótesis

• Flujo homogéneo estacionario e incompresible.

• Se desprecia los efectos fricciónales del fluido.

• El incremento de presión (tracción por unidad de área) a través del disco es constante.

• La componente rotacional de la velocidad en la vena fluida es cero.

• Se considera infinito el numero de palas.

• Hay continuidad de la velocidad a través del disco.

• El disco actuador es un mecanismo ideal que imparte cantidad de movimiento al fluido, solo en la dirección axial

Teoría de Betz – Disco actuador

Aplicando Bernoulli antes y después del disco

La resta de la ecuación (1) y (2) representa el salto de presión que ocasionará un fuerza de tracción (T).

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

T=12ρ (U∞

2 −Uw2 ) A

dT=π ρ (U ∞2 −U w

2 )rdr

(6)

(7)

Relacionando las ecuaciones (5), (6) y (7) llegamos a que la velocidad en el disco puede expresarse como:

(8)

Considerando que la tracción (T) también puede ser relacionada con la variación de la cantidad de movimiento, debido a la diferencia de velocidadesentre la entrada y la salida del cono que representa la vena fluida, y considerando la ecuación de continuidad (6):

T=m(U ∞−Uw ) . A

(9)

Relacionando la ecuación (9) con la (8), podemos escribir a las velocidadescomo:

(10)

(11)

Introduciendo un factor de interferencia aerodinamico definido de la siguiente manera:

Considerando que la potencia debido a este salto de presión es:

(12)

Teniendo en cuenta la ecuación (5) y la ecuación (11), la tracción en el disco , toma la siguiente forma:

(12)

(13)

Definiendo el coeficiente de potencia Cp como:

(14)

(15)

Luego la potencia disponible (extraible) se la escribe como:

dT=4 πϱU ∞2 a (1−a)rdr

Ec. (0)

Lo que interesa es poder discernir cual es la potencia máxima que se le puede extraer al viento mediante un dispositivo mecánico. Para ello derivamos la ecuación (15) respecto ‘a’ e igualándola a cero se llega a:

(garantiza que es un máximo)

Realizando la operación se llega a dos raíces a=1/3 y a=1 de las cuales la significativa es a=1/3 ya la otra conduce a Cp=0. Reemplazando esta en la ecuación (15) se llega al limite de Betz:

(16)

Máxima eficiencia teórica con la cual una turbina eólica puede operar.

Teoría general de la cantidad de movimiento

Teoría General de la cantidad de movimiento.

• La teoría de la cantidad de movimiento lineal, no supone la existencia de la estela vorticosa que se produce en la realidad detrás de las hélices.

• Considerarla implica la existencia de velocidades rotacionales en la corriente fluido dinámica aguas abajo.

• Este movimiento rotacional es la consecuencia a la reacción al torque introducidas por palas.

• El sustento de esta estela implica una demanda de energía que se deberá restar a la energía disponible en viento.

• La configuración fluidodinamica no varia en la dirección circunferencial (axisimétrico). O sea el cono fluido dinámico que representa la corriente del viento, esta formado por anillos anulares centrados en el eje de rotación. Espacio de integración!!!

• Se deberá reformular el análisis matemático para considerar este efecto

•

(18)

M volc=∂∂ t

∫volc[( r∧V )]ρ . d vol+∫SC

( r∧V )ρV . d A

M volc=∫SC( r∧V )ρV . d A

M volc=( r∧V s− r∧V e )ϱ( V d A)

El momento angular experimentado por un elemento diferencial de pala como consecuencia de la acción del viento se obtiene a partir de la ecuación de conservación del momento cinético:

Asumiendo un régimen estacionario, se tiene y la forma diferncial,

Conisderando la conservación

V=ω rr∧V s w er e2=ws r s

2=ww rw

2(19)

Luego la forma diferencial del torque considerando (18) y (19)

d M volc=dQ=ϱuw r 2dA (20)

Considerando la ecuación de Bernoulli nuevamente antes y después del Disco actuador:

H1=Pd+12ρ(u2+v 2+ω2r2 )=Pw+

12ρ(uw

2 +ωw2 r 2 ) (22)

Manipulando las ecuaciones 21 y 22 mediante resta de términos llegamos:

( 21)

p0−pw=12(uw

2 −U ∞2 )+

12ρ (ωw

2 rw2 −ω2r 2)+( pd−pu )

(23)

Δp=pd−pu

La ecuación (23) nos muestra que la caída de presión adicional ( en esta teoría por considerar la estela vorticosa) en forma de energía cinética rotacional impartida al fluido por el torque de la pala .

recordando

p0−pw=12(uw

2 −U ∞2 )+

12ρ (ωw

2 rw2 −ω2r 2)+Δ p

(24)

Considerado el salto de presión en los extremos de la vena fluida

p0−pw=p,+Δ p

Para poder encontrar esta caida de presión p'. se puede aplicar Bernoulli referido al balance de fluido de entrada y salida respecto de la velocidad de rotación de la pala Ω . La idea es relacionar esta rotación w en función de los datos conocidos. Es importante resaltar que la rotación del fluido detrás de la pala es opuesta a la dirección de rotación de la pala, esto por el principio de acción y reacción. Luego la velocidad angular del aire relativo a la pala de incrementa de Ω hasta ( Ω +w) mientras que la componente axial de velocidades permanece constante.

p'=12ϱ[(Ω+w)

2−Ω

2]r 2

=ϱ(Ω+w2

)wr2(25)

reltaiva=(Ω−(−ω ))=(Ω+ω)

dT=p' dA

dT=2π ϱ(Ω+12w)wr 3dr (26)

Definiendo:w=2a 'Ω

dT=2π ϱΩ2(1+a')a ' r 3dr (27)

.a' factor de iterferencia rotacional

Igualando (12) y (27) podemos escribir la siguiente relación

x2=Ω

2r 2

U∞2

=a (1−a )

a ' (1+a' )(28 )

1. (La velocidad angular del fluido) << (velocidad de rotación del molino)

2. Po =Pw

Estas dos consideraciones son las mimas que se hicieron en la teoría de la cantidad de movimiento lineal (Betz) que condujeron a la ecuación (12),

(12)

En forma diferencial,

dT= 4 πρU∞2 a (1−a)rdr

Desplegadas todas las ecuaciones que representa el problema físico, todavía es necesario introducir algunas simplificaciones, ellas son:

Recordando la ecuación (20) (torque) y considerando al ecuación (28) podemos llegar a la expresión de la potencia disponible en la vena fluido y su coeficiente (eficiencia),

(29)

(31)

(32)

(33)

(30)

Igual que en la teoría de Betz se busca la máxima potencia posible, paraello hay que maximizar la función dentro del integrando de la ecuación (33).para ello derivamos e igaulamos a 0

(34)

(35)

(36)

Reemplazando (35) en (34) llegamos a,

Derivando la ecuación (28), respecto de la variable a,

Este sistema de ecuaciones un sistema no lineal para su solución hay que usar técnicas matemáticas de optimización o métodos iterativos.

Cp (Betz) 0.5926

Cp (x=10) 0.5850

La teoría general de la cantidad de movimiento, se la puede resumir como:

Se basa en consideraciones de la variación de la cantidad de movimiento aplicada a la velocidad media axial y la velocidad angular al pasar por el disco actuador una vena fluida.

Esta teoría, también, determina el limite superior de potencia que se puede extraer al viento.

Pero nada dice como incide la geometría (cuerda, alabeo) de las palas ni el numero de estas en la determinación de la potencia…

Teoría de Elemento de Pala

La teoría de elemento de pala:

• La pala es asumida como discreta, formada por un numero N de elementos radiales.

• Se asume que cada elemento tiene propiedades aerodinámicas (Cl y Cd) dentro de la teoría 2D de perfiles aerodinámicos (pala infinita).

• El comportamiento aerodinámico de cada elemento no afecta al adyacente, se tratan independientemente uno del otro.

Del triangulo de velocidades e introduciendo consideraciones aerodinámicas

Podemos escribir las siguiente ecuaciones:

(37)

(38)

(39)

(40)

Proyectando estas fuerzas aerodinámicas en las direcciones que nos interesan, la axial T y la del eje de rotación N, obtenemos los diferenciales de fuerza axial (tracción) y tangencial (torque, potencia),

(41)

(42)

(43)

(44)

Donde B es el numero de palas. El diferencial de torque, que es el que nos interesa, por su relación con la potencia:

dQ=rdN (45)

Luego,

V rel=U∞ (1−a)

sinφ

Definiendo la solidez como,

Del triangulo de velocidades se puede escribir la velocidad relativa como,

Luego llegamos a la siguientes expresiones del diferencial de la fuerza tangencial y torque

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

El diferencial de tracción tendrá la siguiente expresión, esta fuerza deberá ser absorbida por la estructura,

Escribiendo en forma de coeficientes tenemos,

(51)

(52)

(53)

dT= 4 πρU∞2 a (1−a)rdr (12) (30)

El resultado de esta operación da la vinculación de los factores deinterferencia a y a’, con las características aerodinámicas del perfil (sustentación y resistencia) y con la geométrica a través del factor de solidez.Esto se puede apreciar en las siguientes ecuaciones:

Para avanzar sobre el dimensionamiento de las palas de los molinos, alabeo en función del radio (torsión) y la variación de la cuerda con el radio, se combinan las dos teorías: Elemento de Pala con la de cantidad de Movimiento General, para ello relacionamos las expresiones diferenciales de tracción, (12) y del torque (30) con las respectivas ecuaciones obtenidas en la teoría de Elemento de Pala, (50) y (51)

(51)(50)

a1−a

=σCLcosϕsin2ϕ

(1+(C D /CL) tanϕ )

a'1+a

=σCL

sin2ϕ(1−(C D /CL )cot ϕ )

tan =ϕ(1−a)(1+a' )

1x

Cd≈0

a'1−a

=σC L

4xr sin2ϕ

a'1+a'

=σCL

4cosϕ

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

Ecuaciones de diseño,

La potencia y su coeficiente serán:

dP=ΩdQ

P=∫R b

R

ΩdQ

C p=

∫R b

R

ΩdQ

12ρU∞

3 πR2

C p=8X 2∫

x b

X

a' (1−a )[1−(CD/C L)cotϕ ] x3dx

X=ΩRU ∞

x=ΩrU ∞

(59)

(60)

(61)

(62)

Nuevamente lo que se busca desde el punto de vista del diseño es: a partir de la elección de un perfil aerodinámico, encontrar la forma optima de la pala, (distribución de cuerda y alabeo en función del radio) que den como resultado la máxima potencia posible de extracción. En términos matemático esto es maximizar la función del integrando de la ecuación (62).

Pero antes es necesario introducir dos factores de perdidas no considerados en las teorías hasta ahora presentadas: factor de perdida de punta y raíz de pala, representadas a través de las siguientes ecuaciones de origen empírico:

(63)

(64)

Expresando estas perdidas en forma global llegamos a:

(65)

Luego,

C p=8

X2∫x b

X

Fa' (1−a ) [1−(CD /C L)cot ϕ ] x3dx (66)

Finalmente la función a optimizar será,

La pregunta es: pero respecto a que parámetro ?. De observar las ecuaciones anteriores surge tanto a’, a, F, CL, CD, están relacionadas con el ángulo , que es el ángulo de la velocidad relativa respecto del eje axial, que a su vez esta relacionado con el ángulo de ataque

Recordemos que alfa es el ángulo que define los valores de las fuerzas L y D, lo cual se aprecia en el triangulo de velocidades:

(67)

La secuencia sería:

Luego resulta lógico optimizar la función del integrando de la ecuación del coeficiente de potencia Cp respecto de:

Estudios de optimización mostraron la poca incidencia de los factores de perdidas Ftip y Froot y de la relación CD/CL en la función a optimizar

(68)

(69)

(70)

(71)

(72)

Operando las ecuaciones (54) y (55) y recordando la definición de solidez (47) se llega a la siguiente ecuación que representa la distribución de la cuerda óptima a lo largo del radio de la pala:

Finalmente queda:

Φopt=23

tan−1(1xr

) xr=ΩrU∞

F=ClCd

Modificación de la geometría de la pala

1. La condición optima de diseño para el cual se consigue la máxima extracción de potencia del viento deja de serlo en los diferentes rangos de operación del molino debido a variación del viento y a la variación de la carga eléctrica, cuya incidencia se ve reflejada en la variable x.

2. Por razones estructurales la geometrías de la palas son modificada.

Por estas dos razones, principalmente, la geometría de las palas son modificadas apartándose del diseño optimo. Pero con el compromiso de no apartarnos demasiado de la condición de máxima extracción. Ese es el desafió !!.

( Modificar la geometría la pala significa modificar c(r) y r) )

Se estima valor Inicial, F, a, a’

Se determina elAngulo de ataque

Se en el encuentranCL, CD

Se calcula el coeficiente de tracción CT

Actualizacióna

Actualizacióna’

Actualización a

Se evalúa el error entrea y a’ actualizado y

El paso previo

Se continua con lainteracción reemplazando Con los nuevo valores de

a y a’

Fin de proceso se adoptan de a y a’ y se continua con

el calculo

CT < 0.96 CT > 0.96

error > 0.01 error < 0.01

A modo de ejemplo

Eje vertical

El factor de capacidad: se define como la relación entre la energía generada (E) por un aerogenerador, o parque eólico, durante un período dado y la que se hubiera producido si durante ese período hubiese estado funcionando continuamente a potencia nominal (Pn).

En general, el factor de capacidad se calcula para un período de un año (8 760 horas), aunque puede ser calculado para cualquier otro período.

ET=T∗∫velocidad−entrada

velocidad−corte(P(v) . f (v ) . dv)

Energia generada

CF=ETTPR

E=t∗∫velocidad−entrada

velocidad−corte(P (v ) . f (v ) .dv )

Factor Capacidad Clasificación

< 0.2 Inaceptable

[0.2-0.25] Aceptable

[0.3-0.40] Muy bueno

[0.4-0.50] Excelente

> 0.5 Extyraordinario

Av. General Paz 5445

San Martin

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(011)4724 6300/6400 int 6698

aeroespacial@inti.gob.ar

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