diseño de observadores de estado - henry mendiburu diaz

7/16/2019 Diseño de observadores de estado - Henry Mendiburu Diaz

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Henry Mendiburu Diaz http://hamd.galeon.com

1

DISEÑO DE OBSERVADORES DE ESTADO

CONCEPTO

TIPOS

1. OBSERVADOR DE ORDEN COMPLETO

DISEÑO DE OBSERVADORES DE ORDEN COMPLETO

1.1. METODO DE DISEÑO ABREVIADO

1.2. METODO DE DISEÑO POR LA FORMULA DE ACKERMAN

1.3. METODO DE DISEÑO COMPLETO

1.4. DISEÑO MEDIANTE EL SOFTWARE MATLAB

2. OBSERVADOR DE ORDEN REDUCIDO

2.1. DISEÑO DE OBSERVADORES DE ORDEN REDUCIDO

2.2. METODOLOGÍA DE DISEÑO

3. OBSERVADOR PARA SISTEMAS MIMO

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

REFERENCIAS DE INTERNET

CONCEPTO:

Los observadores de estado, son herramientas virtuales, que permiten estimar lasvariables o estados de un sistema en base a mediciones de las señales de salida yseñales de control. Estos observadores permiten enviar información estimada acercadel valor que toman dichos estados, permitiendo conocer un aproximado del valorreal, además cuentan con muy poco margen de diferencia o error.

Se le considera una herramienta virtual, puesto que se desarrolla como software oprograma dentro de una computadora.

TIPOS:

Existen 2 tipos de observadores: observadores de orden completo, y observadores deorden reducido u orden mínimo.

Los observadores de orden Completo, son aquellos utilizados para observar oestimar todos los estados de un sistema.

Los observadores de orden Reducido, son aquellos utilizados para observar oestimar solo algunos estados de un sistema.

http://hamd.galeon.com/




2

1. OBSERVADOR DE ORDEN COMPLETO

Dado el sistema:

DxCx y

Bu Ax x

donde: x Vector de estado (n x 1) u Señal de control (escalar)

y Señal de salida (escalar) A Matriz (n x n) B Matriz (n x 1) C Matriz (1 x n)

D Matriz (escalar)

Se puede estimar sus estados mediante la siguiente expresión:

)( y y L Bu x A x

donde:

L Vector de ganancias que permiten la observación de estados (1 x n) x Vector de estados estimados y Salida estimada





3

Debe notarse que las matrices A, B, C, D son las mismas tanto para un sistema realcomo para el sistema estimado. Para los cálculos siguientes se asume que el valor deD es cero.

La diferencia existente entre x y x se denomina error de observación, y el término)( y y L se denomina factor de corrección.

Para determinar el error de observación restamos x x , así tenemos:

))((

)()(

)()(

)(

))(()(

x x LC A x x

x x LC x x A x x

xC Cx L x x A x x

y y L x A Ax x x

y y L Bu x A Bu Ax x x

Si se sabe que el error esta definido como la diferencia entre el estado real y el estado

estimado, entonces se tendrá:

e LC Ae

x xe

x xe

)(

A partir de esta expresión se puede conocer el comportamiento dinámico y laestabilidad del sistema, si la matriz |A-LC| es estable, entonces el observador harábien su trabajo, y dada cualquier condición inicial, el sistema tenderá a un error cero.

La elección de correctos valores para el vector de observabilidad L, permitirá que elcomportamiento dinámico del vector de error sea asintóticamente estable y losuficientemente rápido para tender a un valor de cero.

La estabilidad asintótica y la velocidad de respuesta de la dinámica del error sedetermina mediante los autovalores de la matriz |A-LC|, dados por el polinomiocaracterístico |sI-A+LC|.

Existe una condición necesaria, la cual consiste en que el sistema obtenido seaestable y completamente controlable y observable.

Ejemplo:

Determinar la ecuación característica del sistema siguiente, si se le agrega un

observador de estados L.





4

x y

u x x

10

1

0

41

20

Solución.

Si el sistema es de orden 2, es de suponer que el observador también será de orden 2,

y lo podemos definir como

2

1

L

L L

Luego el polinomio característico estará dado por:

2

1

2

1

0

0

41

20

0

0

1041

20

10

01

L

L

s

s LC AsI

L

Ls LC AsI

)2()4(

)2()4(

41

2

122

12

2

1

Ls Ls LC AsI

L Lss LC AsI

Ls

Ls LC AsI

DISEÑO DE OBSERVADORES DE ORDEN COMPLETO

1.1. METODO DE DISEÑO ABREVIADO

Analizando la respuesta del ejemplo anterior nos podemos dar cuenta que los valoresque toman L1 y L2 están condicionadas por las raíces del polinomio, las cuales a suvez están condicionadas por las características con que queremos que cuente elsistema, por tanto se puede elegir raíces de tal modo de poder controlar la respuesta

del sistema en lazo cerrado.

Por lo tanto podemos asumir valores para dichas raíces, a los que llamaremos 1 y 2 de modo tal que el polinomio tenga una respuesta estable. Luego por simpleequivalencia de términos podemos hallar el valor de las incógnitas.

Ejemplo:

Dado el polinomio característico del ejemplo anterior: s2+(4+L2)s+(2+L1),

encontrar el valor de L1 y L2 si se quiere que los polos deseados del sistema se

ubiquen en -4 y -3.





5

Solución.

Las raíces del polinomio son 1 = -4 y 2 = -3127)3)(4())(( 2

21 ssssss

Luego por equivalencia |sI A + LC| = s2

+ 7s + 12

Es decir, s2

+ (4 + L2)s + (2 + L1) = s2

+ 7s + 12

s2

= s2

donde (4 + L2)s = 7s L2 = 3 (2 + L1) = 12 L1 = 10

Podemos generalizar la metodología seguida anteriormente, de la siguiente manera:

Si tenemos que [ 1 2 3 n] son los autovalores deseados para la matriz delobservador |A-LC|, estos conforman el polinomio característico:

(s- 1) (s- 2) (s- 3) (s- n)

Este polinomio se iguala al polinomio característico original |sI-A+LC|, creándoseuna equivalencia entre términos:

|sI-A+LC| = (s- 1) (s- 2) (s- 3) (s- n)

Resolviendo la equivalencia se podrá encontrar el valor del vector L.

NOTA: Este método esta restringido a sistemas de hasta 3er orden, además el sistemadebe estar en la forma canónica observable.

Es aconsejable que los polos del observador sean de 3 a 5 veces mayores (másnegativos) que los polos del controlador por realimentación de estados, pero sinsalirse de la región de estabilidad dada por el lugar geométrico de las raíces. Laelección de los polos deseados van a determinar las características de la respuestaobtenida, por lo que puede existir un conjunto infinito de vectores L como solución,de las cuales solo un limitado número de soluciones cumplen con las necesidades

requeridas para el sistema (como por ejemplo: sobreimpulso, velocidad de respuesta,etc. del sistema estimado), por lo que se aconseja probar, mediante simulación, larespuesta del sistema a diferentes valores de polos escogidos.

1.2. METODO DE DISEÑO POR LA FORMULA DE ACKERMAN

La formula de Ackerman aplicada al diseño de observadores de estado, esta dadapor:





6

1

0

0

)(

1

1nCA

CA

C

A L

En donde )( A es equivalente a )(s , que es el polinomio característico deseado,pero en vez de la s se coloca la matriz A .

Ejemplo:

Para el siguiente sistema, determinar el vector de observadores de estados L, si se

quiere que los polos deseados se ubiquen en -3+j y -3- j

x y

u x x

10

10

2110

Solución.

Si (s) = (s- 1) (s- 2) = (s+3-j) (s+3+j) = s2+ 6s + 10

por lo tanto (A) = A2

+ 6A + 10I

4

9

0

1

14

49

1

0

01

12

100

010

126

60

32

21

1

0

21

10)106(

12

L

L

L

I A A L

1.3. METODO DE DISEÑO COMPLETO

1°) Determinar la controlabilidad del sistema y la observabilidad

Controlabilidad: B A AB BWcn 1





7

Observabilidad:

1n

CA

CA

C

Wo

2°) Calcular el polinomio característico original |sI-A|, el cual será : |sI-A| = sn

+ a1sn-1

+ a2sn-2 + + an-1s + an = 0

3°) Es conveniente trabajar con las ecuaciones de estado en su forma canónicaobservable, si no se encuentra en esta forma, se debe determinar una matriz detransformación para llevarla a esta forma, la cual se define como:

Q = (W x Wo)-1

En donde Wo es la matriz de observabilidad, y W se define como:

0001

001

01

1

1

32

121

a

aa

aaa

W

nn

nn

En donde a1, a2, an-2, an-3, son los coeficientes del polinomio característicooriginal |sI-A|.

4°) Se determina el polinomio característico deseado a partir de (s- 1) (s- 2) (s- 3)

(s- n), donde i es un polo deseado, obteniéndose: sn

+ b1sn-1

+ b2sn-2 + + bn-1s + bn

5°) Finalmente el vector L se encuentra a partir de la siguiente expresión:(*)

11

22

11

ab

ab

ab

ab

Q L nn

nn

nn

Ejemplo:


quiere que los polos deseados se ubiquen en -5, -2+j y -2- j

(*)

La deducción de esta expresión puede encontrarse en el libro Ingeniería de Control Moderna ,Katsuhiro Ogata, 3ra Edición, Cáp.12, Pág. 817-820.





8

x y

u x x

0011

0

0

212

100

010

Solución.

1°) Controlabilidad

321

210

100

Wc

rank(Wc) = 3det(Wc) = -1

El sistema es controlable

Observabilidad

100

010

001

Wo

rank(Wo) = 3 det(Wo) = 1

El sistema es observable

2°)

212

100

010

00

00

00

s

s

s

AsI

212

22

2)12(

212

10

01

321

322

1323

2

aaa

asasassss AsI

sss AsI

s

s

s

AsI

3°) Q = ( W x Wo )-1





9

321

210

100

001

012121

100

010001

001

012121

001

012

121

001

01

1

1

12

Q

WoW

a

aa

W

4°) (s - 1) (s - 2) (s - 3)

= (s + 5) (s + 2 + j) (s + 2 - j)

= (s + 5) (s2 + 4s + 5)

= s3

+ 9s2+ 25s + 25 s

3+ b1s

2+ b2s + b3

25259 321 bbb

5°)

7

24

23

321

210

100

11

22

33

ab

ab

ab

Q L

4

10

7

3

2

1

L

L

L

L

1.4. DISEÑO MEDIANTE EL SOFTWARE MATLAB

Se puede hacer uso del software Matlab, para lo cual se emplea el comando acker o

el comando place.

Dado el sistema DxCx y

Bu Ax x, y un vector de polos deseados:

nP 21

Se puede obtener un observador de estados utilizando:

L = place (A ,B ,P) o también L = acker (A ,B ,P)

Ejemplo:





10


quiere que los polos deseados se ubiquen en -2, -1+j y -1- j

x y

u x x

002

1

00

123

100010

Solución.

>> A = [0 1 0; 0 0 1; -3 -2 -1]; >> C = [2 0 0];>> P = [-2 -1+j -1- j];

>> L = acker(A',C',P)' L =

1.50000.5000

-3.0000

>> L = place(A',C',P)' L =

1.5000

0.5000-3.0000

Ejemplo:

Para el siguiente sistema, determinar el vector de observadores de estados L

aplicando los 4 métodos antes descritos, si se quiere que los polos deseados se

ubiquen en -2, -3+0.5j y -3-0.5j

x y

u x x

100

1

0

0

210

101

400

Solución.

1°) METODO COMPLETO

Controlabilidad Observabilidad





11

321

210

840

Wc

rank(Wc) = 3det(Wc) = 16


321

210

100

Wo

rank(Wo) = 3 det(Wo) = -1


Polinomio característico original

412

42

4)12(

210

11

40

210

101

400

00

00

00

321

322

1323

2

aaa

asasassss AsI

sss AsI

s

s

s

AsI

s

s

s

AsI

Q = ( W x Wo )-1

001

012121

001

011

1

12

aaa

W

100

010

001

321

210

100

001

012

121

WoW

100

010

001

Q

Polinomio característico deseado

(s - 1) (s - 2) (s - 3)

= (s + 2) (s + 3 + 0.5j) (s + 3 0.5j)

= (s + 2) (s2+ 6s + 9.25)

= s3

+ 8s2+ 21.25s + 18.5 s

3+ b1s

2+ b2s + b3

5.1825.218 321 bbb

Vector Observador





12

6

25.20

5.14

100

010

001

11

22

33

ab

ab

ab

Q L

6

25.20

5.14

3

2

1

L

L

L

L

2°) METODO ABREVIADO

))()(( 321 sss LC AsI

3

2

1

3

2

1

00

00

00

210

11

40

100

210

101

400

00

00

00

L

L

L

s

s

s

LC AsI

L

L

L

s

s

s

LC AsI

3

2

1

210

11

40

Ls

Ls

Ls

LC AsI

)4()1()2(

)4()12(

122

33

1232

Ls Ls Ls LC AsI

L LssLss LC AsI

Polinomio deseado

5.1825.218)5.03)(5.03)(2())()(( 23321 sss js jsssss

Luego por equivalencia s3 + (L3)s2 + (1 + L2)s + (4 + L1) = s3

+ 8s2+ 21.25s + 18.5

(2+L3)s2 = 8s2 L3 = 6 donde (1 + L2)s = 21.25s L2 = 20.25

(4 + L1) = 18.5 L1 = 14.5

3°) METODO POR FORMULA DE ACKERMAN

Si (s) = (s- 1) (s- 2) (s - 3) = s

3

+ 8s

2

+ 21.25s + 18.5





13

por lo tanto (A) = A3

+ 8A2

+ 21.25A + 18.5I

1

0

0

001

012

121

100

010

001

51.18

210

101

400

25.21

210

101

400

8

210

101

400

1

0

0

321

210

100

)5.1825.218(

23

1

23

L

I A A A L

0

0

1

825.86

25.325.825.20

33245.14

L

6

25.20

5.14

3

2

1

L

L

L

L

4°) USANDO MATLAB

>> A = [0 0 -4; 1 0 -1; 0 1 -2]; >> C = [0 0 1]; >> P = [-2 -3+0.5j -3-0.5j];

>> L = acker(A',C',P)' L =

14.500020.25006.0000

>> L = place(A',C',P)' L =

14.500020.25006.0000

2. OBSERVADOR DE ORDEN REDUCIDO

En la práctica no todas las variables necesitan ser observadas, habrá algunas que sepodrán medir directamente y con buena precisión, por tanto no será necesario un

observador que estime todos los estados, sino más bien solo algunos de ellos.





14

Si se cuenta con un vector de estados X de dimensión (n x 1) del cual m estadospueden ser medibles, se tendrá que el orden del observador será (n-m x 1).

El vector X puede ser dividido en 2 vectores:

Xa que corresponde a los estados medidos, de orden (m x 1) Xb que corresponde a los estados observados, de orden (n-m x 1)

X1 Xm Estados conocidos o medibles

Xm+1 Xn Estados no conocidos que requieren ser observados

Obteniéndose:

Xb

XaCbCaY

u Bb

Ba

Xb

Xa

Abb Aba

Aab Aaa

b X

a X

Las dimensiones de las sub-matrices son:

Aaa m x m Aab m x n-m

Aba n-m x m

1

2

1

2

1

nn

m

m

m

X

X

X

X

X

X

X





15

Abb n-m x n-mBa m x 1 Bb n-m x 1 Ca 1 x m

Cb 1 x n-m

El sistema queda reducido a la siguiente expresión:

u Bb Xb Abb Xa Abab X

u Ba Xb Aab Xa Aaaa X

2.1. DISEÑO DE OBSERVADORES DE ORDEN REDUCIDO

En el diseño de observadores de orden completo, el sistema era descrito por

DxCx y

Bu Ax x

En cambio para el diseño de observadores de orden reducido el sistema es descritopor

la Ecuación de Estado: u Bb Xb Abb Xa Abab X

y por la Ecuación de Salida: Xb Aabu Ba Xa Aaaa X

De estos 2 sistemas se pueden establecer una serie de equivalencias:

Observador Orden Completo Observador Orden Reducido

X b X A Aab

u B u Bb Xa Aba

Y u Ba Xa Aaaa X

Y b X Aab

C Aab

Cabe mencionar que se busca encontrar un vector de observadores L, de orden (n-m

x 1)

En el diseño de observadores de orden completo se determino la siguiente ecuación:

)( y y L Bu x A x

La cual puede llevarse a su correspondiente equivalencia para el caso deobservadores de orden reducido, obteniéndose la siguiente representación:

(*)

(*) La deducción de esta expresión puede encontrarse en el libro Ingeniería de Control Moderna ,

Katsuhiro Ogata, 3ra

Edición, Cáp.12, Pág. 832-833.





16

)()( u Ba Xa Aaaa X Lu Bb Xa Abab X Aab L Abbb X

y la Ecuación del Error es: e Aab L Abbe )(

La Ecuación Característica para el observador es la siguiente:

|sI Abb + L.Aab| = si+ a1s

i-1+ a2s

i-2 + + ai-1s + ai = 0

donde i equivale al orden de L, es decir (n-m)

2.2. METODOLOGÍA DE DISEÑO

Se pueden aplicar los mismos métodos usados para hallar los observadores de ordencompleto, pero tenemos que hacer una variación la cual consiste en reemplazar losíndices: en vez de considerar el índice n , se debe considerar el índice i . Porejemplo si un sistema es de orden 4 y tiene un estado medible, entonces m=1, y portanto el sistema observado será de orden 3 (n m = 4 1 = 3 = i).

El otro cambio que hay que hacer es realizar una equivalencia entre las matrices,dada de la siguiente manera:

Aaa DAab C

Aba BAbb A

Lo que resta por hacer, es aplicar la misma metodología que para los observadores de

orden completo, considerando el nuevo orden del sistema (i) y las nuevas matrices

del sistema (Abb, Aba, Aab, Aaa).

Ejemplo:

Para el siguiente sistema, suponga que el estado X1 se puede medir con precisión,

diseñe el observador de orden reducido L aplicando los 4 métodos antes descritos, si

se quiere que los polos deseados se ubiquen en -3+0.5j y -3-0.5j

x y

u x x

001

1

0

0

6116

101

010

Solución.

Nuevo orden para el sistema observado: 3 1 i = 2





17

Nuevas matrices del sistema:

D Aaa

C Aab B Aba A Abb

611

10

6

0010 Abb Aba Aab Aaa

1°) METODO COMPLETO

Controlabilidad

66

60 Aba Abb AbaWcr



Observabilidad

10

01

Abb Aab

AabWor




611

1

611

10

0

0

s

s

s

s AbbsI AsI

116

116

21

2122

aa

asasss AbbsI

Q = ( W x Wo )-1

01

16

01

11aW

01

16

10

01

01

16Wor W

61

10Q

Polinomio característico deseado(s - 1) (s - 2)

= (s + 2 + 3.4641j) (s + 2 3.4641j)

= s2

+ 4s + 16 s2

+ b1s + b2

164 21 bb

Vector Observador





18

2

5

61

10

11

22

ab

abQ L

172

2

1

L L L

2°) METODO ABREVIADO

))((][ 21 ss Aab L AbbsI LC AsI

¨

611

1

0

0

611

1

01611

10

10

01

2

1

2

1

2

1

s L

Ls Aab L AbbsI

L

L

s

s Aab L AbbsI

L

L

s Aab L AbbsI

)11()6(

)11()6)((

212

21

Ls Ls Aab L AbbsI

Ls Ls Aab L AbbsI

Polinomio deseado164))(( 2

21 ssss

Luego por equivalencia

6 + L1 = 4 L1 = -26 L1 + 11 + L2 = 16 L2 = 17

3°) METODO POR FORMULA DE ACKERMAN

Si (s) = 164))(( 221 ssss

por lo tanto (A) (Abb)= Abb2

+ 4Abb + 16I

1

0

10

01

10

0116

611

104

611

10

1

0)164(

12

12

L

Wor I Abb Abb L





19

17

2

1

0

1722

25

2

1

L

L L

L

4°) USANDO MATLAB

>> Aaa = [0]; >> Aab = [1 0]; >> Aba = [0; -6]; >> Abb = [0 1; -11 -6];

>> P = [-2 + 3.4641j -2-3.4641j];

>> L = acker(Abb', Aab',P)' L =

-217

>> L = place(Abb', Aab',P)' L =

-217

3. OBSERVADOR PARA SISTEMAS MIMO

Hasta el momento hemos visto el diseño de observadores para sistemas SISO (singleinput, single output), es decir, sistemas que tienen una entrada y una salida. Acontinuación vamos a estudiar el diseño de observadores para el caso de sistemas con

varias entradas y varias salidas, llamados sistemas MIMO (multiple input, multipleoutput).

Un sistema MIMO puede ser descrito de la siguiente manera:

r qnq

r

u DC y

u B Ax x 1

donde: x Vector de estado (n x 1) u Señal de control (1 x r)

y Señal de salida (escalar) A Matriz (n x n) B Matriz (n x r)

C Matriz (q x n)





20

D Matriz (q x r)n Es el orden del sistema (numero de estados) r Es el número de entradas q Es el número de salidas

En el diseño de observadores, se sabe que el número de entradas que tenga elsistema, no afectará el diseño del observador, puesto que estos datos no intervienenen los cálculos.

En cambio, el número de salidas con que cuente el sistema si afecta el diseño delobservador. En este caso se aplica el Principio de Separabilidad Lineal, el cualconsiste en separar las salidas y trabajarlas como si fueran provenientes de sistemasdistintos.

Ejemplo:

Si se tiene la siguiente matriz C (matriz de salidas)654

321C

Esta se podrá descomponer bajo el Principio de Separabilidad Lineal, en dos sub-matrices: 654321 21 C yC

Para cada una de estas nuevas matrices se requerirá un observador independiente: L1

y L2, cuyo orden será de (n x 1), en este caso será de (3 x 1) c/u. Así mismo cadaobservador requiere de polos deseados , los cuales pueden ser independientes otambién comunes, siempre que cumplan con dar estabilidad al sistema y dependiendode las condiciones de respuesta que se desee obtener al estimar cada salida.

Ejemplo:

Para el siguiente sistema, determinar la matriz de observadores de estados L, si se

quiere que los polos deseados se ubiquen en -1 y -2 para la primera salida, y -1- j, y

-1+j para la segunda salida.

x y

u x x

10

01

1055 10

Solución:

C1 = [1 0] C2 = [0 1]





21

22

21

12

11

2122

21

212

11

1 L

L

L

L L L L

L

L L

L

L L

METODO COMPLETO

Controlabilidad

51

10 B A BWc



Observabilidad

10

01

1

11

AC

C Wo



55

10

2

22

AC

C Wo

rank(Wo) = 2det(Wo) = 5



55

1

55

10

0

0

s

s

s

s AsI

55

55

21

2122

aa

asasss AsI

DISEÑO DEL PRIMER OBSERVADOR (L1)

Q = ( W x Wo1 )-1

01

15

01

11aW

01

15

10

01

01

15

1

WoW

51

10Q


= (s + 1) (s + 2)

= s2 + 3s + 2 s2 + b1s + b2

23 21 bb

Vector Observador





22

2

3

51

10

11

221

ab

abQ L

72

12

11

1 L L L

DISEÑO DEL SEGUNDO OBSERVADOR (L2)

Q = ( W x Wo2 )-1

01

15

01

11aW

10

05

55

10

01

152WoW

10

02.0Q


= (s + 1+j) (s + 1- j)= s

2+ 4s + 5 s2 + b1s + b2

22 21 bb

Vector Observador

3

3

10

02.0

11

222

ab

abQ L

3

6.0

22

21

2 L

L L

3

6.0

7

2

22

21

12

11

21 L

L

L

L

L L L

Se puede obtener los mismos resultados usando Matlab:

>> A = [0 1; -5 -5]; >> B = [0; 1]; >> C = [1 0; 0 1]; >> C1 = C(1,:); >> C2 = C(2,:);

>> P1 = [-1 -2] ;





23

>> P2 = [-1+j -1- j]

>> L1 = acker(A ,C1 ,P1)L1 =

-2.00007.0000

>> L2 = acker(A ,C2 ,P2)L2 =

0.6000-3.0000

>> L = [L1 L2]; L =

-2.0000 0.6000

7.0000 -3.0000





REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Chi Tsong Chen

Linear System. Theory and DesignOxford University Press. 3

raEdición. USA. 1998

Katsuhiko Ogata

Ingeniería de Control ModernaPrentice Hall. 3ra Edición. México. 1998

Michael O Flynn

Linear Systems. Time Domain and Transform AnalysisWiley. Singapore. 1987

Donald M. Wiberg Espacio de Estado y Sistemas Lineales

Mc.Graw-Hill. México. 1971

MathWorks Inc

MATLAB User´s Guide, Toolbox deCcontrol.Versión 5.3. USA. 1998.

Apuntes de clases de Teoría de Sistemas Lineales.

Maestría en Ingeniería de Control y Automatización Pontificia Universidad Católica del Perú

REFERENCIAS DE INTERNET

http://www.manufacturing.net/ http://www.prodigyweb.net.mx/saucedo8/ http://www.fiobera.unam.edu.ar/Materias/ControlDigital/home.text.html

Henry Mendiburu Díaz

Ingeniero Electrónico

http://www.fiobera.unam.edu.ar/Materias/ControlDigital/home.text.html

http://www.prodigyweb.net.mx/saucedo8/

http://www.manufacturing.net/


diseño de observadores de estado - henry mendiburu diaz

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