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Disciplina: Cálculo Numérico
IPRJ/UERJ
Sílvia Mara da Costa Campos Victer
Aula 5- Integração numérica: Fórmulas de Newton-Cotes.
Objetivo: Apresentar o método de integração numérica baseado nas fórmulas de Newton-Cotes
através da aproximação de uma função que se quer integrar por um polinômio cuja
integração é trivial.
Motivação: Do ponto de vista analítico, existem diversas regras que podem ser utilizadas na
prática. Contudo, embora tenhamos resultados básicos e importantes para as técnicas de integração analítica, como o Teorema Fundamental do Cálculo Integral, nem
sempre podemos resolver todos os casos. Não podemos sequer dizer que, para uma função simples, a primitiva também será simples, pois , que é uma função
algébrica racional, possui uma primitiva que não o é; a sua primitiva é a função que é transcendente.
Quando não conseguirmos calcular a integral por métodos analíticos, mecânicos
ou gráficos, então podemos recorrer ao método algorítmico. Em algumas situações, só podemos usar o método numérico. Por exemplo, se não possuirmos a expressão
analítica de f, não podemos, em hipótese nenhuma, usar outro método que não o numérico. A integração numérica pode trazer ótimos resultados quando outros
métodos falham. A solução numérica de uma integral simples é comumente chamada de
quadratura. Sabemos do Cálculo Diferencial e Integral que se é uma função contínua
em , então esta função tem uma primitiva neste intervalo, ou seja, existe tal
que , com ; demostra-se que, no intervalo ,
tais métodos, embora variados, não se aplicam a alguns tipos de integrandos , não sendo conhecidas suas primitivas ; para tais casos, e para aqueles em que a
obtenção da primitiva, embora viável, é muito trabalhosa, podem-se empregar
métodos para o cálculo do valor numérico aproximado de
Existe ainda o caso em que o valor de é conhecido apenas em alguns
pontos, num intervalo . Como não conhecemos a expressão analítica de ,
não temos condições de calcular
Uma forma de se obter uma aproximação para a integral de num intervalo
, como nos casos acima, é através dos métodos numéricos. A ideia básica
desses métodos de integração numérica é a substituição da função por um
polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo . Assim o problema fica
resolvido pela integração de polinômios, o que é trivial de se fazer. Com esse
raciocínio podemos deduzir fórmulas para aproximar
.
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Lembrando que, sendo não negativa em , a integral
representa numericamente, a área da figura delimitada por , conforme abaixo:
Quando não for somente positiva, pode-se considerar em módulo, para
o cálculo da área, conforme figura abaixo:
As fórmulas que deduziremos terão a expressão abaixo:
Fórmulas de Newton-Cotes:
Nas fórmulas de Newton-Cotes, a ideia de polinômio que aproxime razoavelmente é que este polinômio interpole em pontos de igualmente
espaçados. Consideremos a partição do intervalo em subintervalos, de comprimento , . Assim .
As fórmulas fechadas de Newton-Cotes são fórmulas de integração do tipo
e
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sendo os coeficientes determinados de acordo com o grau do polinômio
interpolador.
Metodologias: Veremos duas metodologias para cálculo de integrais utilizando máquinas digitais: a
regra do Trapézio e a regra 1/3 de Simpson (e suas formas repetidas que minimizam bastante o erro do procedimento).
Existem ainda as fórmulas abertas de Newton-Cotes, construídas de maneira
análoga às fechadas, com e ∊ .
1) Regra do Trapézio A ideia da regra do trapézio é aproximar a função por um polinômio de ordem 1
(reta). Nessa aproximação, a integral da função pode ser aproximada pela área
de 1 trapézio.
Se usarmos a fórmula de Lagrange para expressar o polinômio interpolador de ordem 1, , que interpola nos pontos e , teremos o seguinte:
fazendo , onde nesse caso n=1 (n é o número de subdivisões do
intervalo ) e substituindo os fatores de Lagrange no polinômio, temos:
Pela nossa aproximação, temos então que a integral da função será:
Dessa forma, a integral de no intervalo pode ser aproximada pela área
de um trapézio de base menor , base maior e altura .
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Estimativa para o erro da regra do trapézio:
Se é diferenciável em [a,b] e é contínua em [a,b], então:
Exemplo 1:
1) Calcule
usando a regra do trapézio simples.
2) Estime o erro cometido.
Resolução:
1)
2) Erro cometido:
Exemplo 2:
1) Calcular utilizando a regra dos trapézios.
2) Calcular uma estimativa para o erro utilizando essa técnica numérica.
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Resolução:
1) Utilizando a Equação de O polinômio de grau 1 (m=1) que passa pelos pontos com abscissas e , assim, . Logo:
2) Calculando a estimativa para o erro teremos:
Como a derivada segunda de é
logo:
Exemplo 3:
1) Calcular
usando a regra dos trapézios.
2) Qual seria a estimativa para o erro deste procedimento?
Resolução:
1) Temos , portanto .
A integral aproximada pelo método do trapézio é dada por:
2) Calculando a estimativa para o erro:
Como a derivada segunda de é
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O valor máximo de ocorre quando . Logo:
Exercícios:
Calcule o valor numérico das integrais abaixo (por meio do cálculo integral e pelo
método do trapézio) e estime o erro de truncamento obtido pelo método:
1)
R: ; ≤ 229421.52
2)
R: Cálculo integral e regra do trapézio:
Erro=0,18333-0,18232=0,00101
Estimativa do erro:
3) 5432 400900675200252,0)( xxxxxxf no intervalo [0, 0.8]
R: Cálculo integral: 1,64053334
Regra do trapézio: 0,1728
Erro cometido: 1,64053334-0,1728 = 1,46773334. Em percentagem o erro é de 850%. Pela observação do gráfico da função abaixo, vê-se que é muito pobre a
estimativa da integral pela utilização da Regra do Trapézio.
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2) Regra do Trapézio repetida
A regra do trapézio é uma aproximação um pouco grosseira para o valor da integral,
o que pode ser verificado tanto graficamente quanto pela expressão do erro. Contudo, se aplicarmos dentro de um certo intervalo a regra do trapézio
repetidas vezes a aproximação será melhor, conforme podemos observar na figura
abaixo.
Dividindo o intervalo em subdivisões iguais de largura ,
ou ainda
, com sendo o número de subdivisões do intervalo
. Os valores de cada um dos pontos das subdivisões podem ser obtidas a partir
da expressão:
Dessa forma, podemos escrever a integral de como sendo a soma das
áreas dos trapézios pequenos contidos dentro do intervalo :
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Logo, o valor numérico da integral calculada segundo a regra do trapézio
repetida será:
Estimativa para o erro na regra do trapézio repetida:
Se quisermos saber quantas subdivisões são necessárias para atingir um certa
precisão dada, ou seja, um certo valor de erro, fazemos o seguinte cálculo:
Exemplo 1:
1) Calcule
usando a regra do trapézio repetida 10 vezes.
2) Estime o erro cometido.
Resolução:
1)
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2) Estimativa do Erro:
Exemplo 2:
1) Calcular utilizando a regra dos trapézios repetida considerando 6
subdivisões. 2) Calcular uma estimativa para o erro utilizando essa técnica numérica.
3) Quantas subdivisões deveríamos fazer para que o erro neste processo fosse menor do que ?
Resolução:
1) Inicialmente calculamos a largura de cada subdivisão, ou seja, o valor de
Agora encontramos o valor de cada subdivisão.
A fórmula geral para encontrar o valor de cada subdivisão é Nesse caso temos 6 subdivisões igualmente espaçadas por .
O valor numérico da integral calculada segundo a regra do trapézio repetida será:
10
2) Para estimarmos o erro do processo temos que calcular o valor máximo de dentro do intervalo .
Como
--> --> -->
Considerando os valores de dentro do intervalo para encontramos o
valor máximo igual a 6, de acordo com a tabela abaixo:
Dessa forma, o erro nesse caso será:
3) O número de subdivisões para que o erro fosse menor do que pode ser
obtido por:
Exemplo 3
Seja
1) Calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos e a regra dos trapézios repetida.
2) Estime o erro cometido. 3) Quantas subdivisões deveríamos fazer para que o erro neste processo fosse menor
do que ?
Resolução:
1) Os pontos dividirão o intervalo em subintervalos com
.
2) Estimativa para o erro:
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Como a derivada segunda de é :
O valor máximo de ocorre quando .
3) Cálculo das subdivisões:
Lembrando que é um numero inteiro, devemos ter subintervalos dentro de
para que o erro seja menor que .
Exercício 1:
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Exercício 2:
Exercício 3:
Exercício 4:
Calcular
6,3
3x
dxA , utilizando a Regra do Trapézio Composta por 6 subintervalos.
)()(2)(2)(2)(2)(2)(2
16543210
6,3
0,3
xfxfxfxfxfxfxfh
dxx
A
182350,0A
)(max12
)( ''
2
3
xfn
abET
como visto,
xxf
1)( ,
2
' 1)(
xxf
e
3
'' 2)(
xxf . Para ]6,3,3[x o
valor 27
2
3
2)(max
3
'' xf , portanto:
5
2
3
10704,327
2
612
)36,3(
TE
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Referências:
1- Livro. Cálculo numérico.
Márcia Ruggiero e Vera Lopes.
2- Livro Análise Numérica
Richard L. Burden e J. Douglas Faires
3- Apostila. Cálculo Numérico.
Faculdade de Engenharia, Arquitetura e urbanismo.
Prof. Dr. Sérgio Pilling.