UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

DIPLOMSKO DELO

NADJA APŠNER

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

Študijski program: Matematika in fizika

TRAKTRISA

DIPLOMSKO DELO

Mentor: Kandidatka:

dr. Marko Razpet Nadja Apšner

Ljubljana, junij, 2016

iii

Program dela

V diplomskem delu obravnavajte traktriso in njej sorodne krivulje. Opišite

nastanek traktrise s preprostimi mehanskimi orodji.

Ljubljana, maj 2015

Mentor:

dr. Marko Razpet

iv

v

Zahvala

Najprej se zahvaljujem mentorju prof. dr. Marku Razpetu za vso strokovno pomoč

in usmerjanje pri nastanku mojega diplomskega dela. Iskrena hvala za Vaš čas in

trud, ki ste mi ga namenili, kadarkoli sem potrebovala. Hvala tudi za vso

spodbudo in motivacijo pri dokončanju mojega študija.

Zahvalila bi se rada tudi partnerju Denisu za pomoč pri izdelavi pripomočkov, ki

sem jih uporabila pri nastajanju diplomskega dela. Hvala Ti tudi za vsako

spodbudno besedo in vso podporo, ki si mi jo izkazal v obdobju zaključevanja

študija.

Ne nazadnje pa se moram zahvaliti tudi družini, ki me je ves čas mojega študija

podpirala in spodbujala. Zahvala gre mami Sonji, ki je bila vesela vsakega

napredka pri študiju in me je znala potolažiti pri neuspehih ter mi vlila nove

motivacije. Hvala tudi sestri Tadeji za vse spodbudne besede med študijem in

predvsem v času pisanja diplomskega dela. Posebna zahvala gre tudi bratu Nejcu

za vso finančno podporo in za to, da je verjel vame in me pri tem spodbujal.

vi

vii

Povzetek

V diplomskem delu je predstavljena transcendentna ravninska krivulja traktrisa in

njej sorodne krivulje. Na ravnini traktriso opisuje točkasta masa, ki je privezana

na neraztegljivi niti konstantne dolžine, katere prosti konec vlečemo po premici v

tej ravnini. Običajno je ta premica abscisna os.

Namen diplomskega dela je čim bolj temeljita obravnava traktrise. V ta namen so

opisane lastnosti le-te ter v povezavi z njo narejeni izračuni ploščine, ločne

dolžine, ter površine in prostornine telesa, ki ga dobimo z vrtežem traktrise okoli

njene asimptote. Ploskev imenujemo psevdosfera, ki ima konstantno negativno

Gaussovo ukrivljenost.

Opisan je nastanek traktrise s preprostimi mehanskimi orodji in nastanek modela

psevdosfere. Na koncu so predstavljene še traktrisi sorodne krivulje in njihov

nastanek.

Ključne besede: ravninska krivulja, odsek tangente, traktrisa, polarna traktrisa,

ukrivljenost, evoluta, psevdosfera, nožiščna krivulja.

viii

Tractrix

Abstract

The diploma thesis presents a transcendent plane curve, called tractrix, and its

related curves. On the plane the tractrix is defined by a dotted mass that is

attached to the tensile nor constant size, the free end is drawn by the straight line

in that plane. This is usually a straight line abscissa.

The purpose of this diploma thesis is to thoroughly study the tractrix. For this

purpose there are basic descriptions of it and in connection also made calculations

of the area, arc lenght, area of the surface and volume, which we get with rotating

tractrix around it’s asymptote. The surface is called pseudosphere and it has a

constant negative Gaussian curvature.

Described is also the emergence of the tractrix with simple mechanical tools and

the creation of a model of pseudosphere. In conclusion there are being presented

different formations of tractrix and also connections with others curves.

Key words: plane curve, tangent, tractrix, polar tractrix, curvature, evolute,

pseudosphere, pedal curve.

MCS (2010): 01A55, 53A04, 53A05.

ix

Kazalo

1 Uvod ........................................................................................................... 1

2 Koordinatni sistem .................................................................................... 3

2.1 Pravokotni kartezični koordinatni sistem ............................................... 3

2.2 Polarni koordinatni sistem ..................................................................... 4

3 Ravninske krivulje ..................................................................................... 7

3.1 Definicija krivulje in zapis njene enačbe ................................................ 7

3.2 Sistematizacija krivulj ........................................................................... 8

3.2.1 Algebrske krivulje .......................................................................... 8

3.2.2 Transcendentne krivulje ................................................................11

4 Traktrisa ...................................................................................................14

4.1 Zgodovina traktrise ..............................................................................14

4.2 Enačba traktrise ....................................................................................15

4.3 Lastnosti traktrise .................................................................................19

4.3.1 Asimptota in simetričnost ..............................................................20

4.3.2 Tangenta .......................................................................................20

4.3.3 Konstanten .................................................................................22

4.3.4 Ploščina lika med abscisno osjo in traktriso ...................................23

4.3.5 Ločna dolžina ................................................................................25

4.3.6 Ukrivljenost ..................................................................................26

4.3.7 Evoluta ..........................................................................................31

4.4 Potegnjene in skrajšane traktrise ...........................................................35

4.5 Konstrukcije traktrise ...........................................................................37

4.6 Uporaba traktrise ..................................................................................40

x

4.6.1 Del mehanizma vrteče se stružnice ................................................40

4.6.2 Krivulja sledi ................................................................................41

5 Psevdosfera ...............................................................................................44

5.1 Splošno o psevdosferi ...........................................................................44

5.2 Površina psevdosfere ............................................................................47

5.3 Prostornina telesa, ki je omejeno s psevdosfero ....................................48

5.4 Psevdosfera iz papirja ...........................................................................49

6 Traktrisa krožnice in polarna traktrisa ...................................................52

6.1 Traktrisa krožnice.................................................................................52

6.2 Polarna traktrisa ...................................................................................56

6.2.1 Polarna traktrisa kot nožiščna krivulja ...........................................57

7 Zaključek ..................................................................................................59

xi

Slike

1 Kartezični koordinatni sistem ........................................................................ 4

2 Polarni koordinati .......................................................................................... 5

3 Povezava med kartezičnim in polarnim koordinatnim sistemom .................... 6

4 Bernoullijeva lemniskata ..............................................................................10

5 Descartesov list s parametrim a=1 ................................................................10

6 Cikloida, kjer je a=1 .....................................................................................11

7 Ena veja hiperbolične spirale ........................................................................12

8 Verižnice z različnimi parametri a ................................................................13

9 Traktrisa ali vlečnica [22] .............................................................................14

10 Claudius Perrailt [30] ....................................................................................15

11 Gottfried Leibniz [28] ...................................................................................15

12 Christiaan Huygens [29] ...............................................................................15

13 Traktrisa .......................................................................................................16

14 Asimptota traktrise .......................................................................................20

15 Odsek tangente .............................................................................................22

16 Odsek tangente na traktriso ...........................................................................23

17 Ploščina pod krivuljo na intervalu (a,b) .........................................................24

18 Ločna dolžina krivulje ..................................................................................25

19 Ukrivljenost krivulje .....................................................................................27

20 Polmer ukrivljenosti traktrise ........................................................................30

21 Polmer ukrivljenosti .....................................................................................32

22 Traktrisa in njena evoluta verižnica ..............................................................35

23 Traktrisa (polna črta) in potegnjena traktrisa (črtasta črta) .............................36

24 Potegnjene in skrajšane traktrise ...................................................................36

xii

25 Risanje traktrise 1 .........................................................................................37

26 Risanje traktrise 2 .........................................................................................37

27 Risanje traktrise 3 .........................................................................................38

28 Narisana traktrisa ..........................................................................................38

29 Primerjava traktris ........................................................................................39

30 Risanje traktrise z žepnim nožkom................................................................40

31 Protitorna peta [5] .........................................................................................41

32 Krivulja sledi (Lipičnik, 1998, 1) [10]...........................................................42

33 Konstruiranje krivulje sledi (Lipičnik, 1998, 3) [10] .....................................43

34 Vrste geometrij [32]......................................................................................44

35 Glavna normalna preseka [2] ........................................................................45

36 Eugenio Beltrami [31] ..................................................................................45

37 Psevdosfera [6] .............................................................................................45

38 Psevdosfera [26] ...........................................................................................46

39 Pripomočki za izdelavo psevdosfere .............................................................49

40 Narisani in izrezani krogi ..............................................................................49

41 Stožci ...........................................................................................................50

42 Polovica psevdosfere ....................................................................................50

43 Polovice psevdosfer ......................................................................................51

44 Točka traktrise krožnice................................................................................52

45 Traktrisa krožnice [5] ...................................................................................55

46 Traktrisa krožnice v naravi [24] ....................................................................56

47 Nožiščna krivulja hiperbolične spirale glede na pol.......................................58

48 Polarna traktrisa ............................................................................................58

1

1 Uvod

Traktrisa je izraz, ki ga najverjetneje ne slišimo pogosto in si ob njem ne znamo

predstavljati, o čem je govora. Že takoj, ko pa ugotovimo, da je drugi izraz za

traktriso vlečnica ter da nam traktrisa predstavlja krivuljo, ki nam jo opiše

točkasta masa, ki je privezana na neraztegljivi niti, katere prosti konec vlečemo po

premici v tej ravnini, pa postane traktrisa precej bolj zanimiva.

V tem diplomskem delu je osrednji del obravnave traktrisa. Preden pa začnemo

traktriso preučevati, pa se bomo na začetku seznaniti z določenimi matematičnimi

orodji, ki jih bomo skozi celotno delo uporabljali. V ta namen sta v drugem

poglavju predstavljena kartezični in polarni koordinatni sistem.

Traktrisa je ravninska krivulja, ki jo uvrščamo med transcendentne krivulje, in za

lažjo predstavo, kaj so to transcendentne krivulje, se bomo v tretjem poglavju

podrobneje seznanili s sistematizacijo krivulj.

V četrtem poglavju pa se bomo osredotočili na traktriso. Najprej bomo ugotovili,

kdaj je bilo prvič govora o tej krivulji, nato pa bomo poiskali njeno enačbo.

Nadaljevali bomo z obravnavo njenih lastnosti, med katerimi je najbolj očitna

prav ta, da ima traktrisa konstanten odsek tangente med asimptoto in točko, kjer

se tangenta dotika krivulje. V naslednjem podpoglavju bomo predstavili

potegnjeno in skrajšano traktriso. Nato pa bomo pokazali dva primera, kako se da

traktriso narisati s pomočjo izdelanega pripomočka za risanje traktrise ter s

pomočjo žepnega noža. Za konec tega poglavja pa bomo predstavili uporabnost

traktrise na dveh različnih področjih: v strojništvu, kot eden od delov mehanizma

vrteče se stružnice, in v gradbeništvu, natančneje pri projektiranju cestne

infrastrukture.

Pri vrtenju traktrise okoli abscisne osi dobimo ploskev, ki ji pravimo psevdosfera.

V petem poglavju bomo povedali nekaj splošnih lastnosti psevdosfere ter

izračunali njeno površino in prostornino telesa, ki ga omejuje. Na koncu tega

poglavja pa bomo prikazali preprost način izdelave modela psevdosfere iz papirja.

2

Na koncu bomo v šestem poglavju predstavili še malo bolj zapleteni traktrisi,

katerih tir vlečenja ni premica, ampak krožnica. Pokazali bomo tudi, da je polarna

traktrisa nožiščna krivulja hiperbolične spirale.

3

2 Koordinatni sistem

Koordinatni sistem je matematično orodje, ki nam omogoča, da točke in druge

geometrijske objekte, kot so na primer premice, krivulje in telesa, opišemo s

števili ali koordinatami. Poznamo več vrst koordinatnih sistemov:

pravokotni kartezični koordinatni sistem,

polarni koordinatni sistem,

cilindrični ali valjni koordinatni sistem,

sferni ali krogelni koordinatni sistem. [11]

V tem diplomskem delu bomo obravnavali le kartezični in polarni koordinatni

sistem, ki ju bomo pri nadaljnji obravnavi tudi uporabljali.

2.1 Pravokotni kartezični koordinatni sistem

Pravokotni kartezični koordinatni sistem je morda najbolj uporaben koordinatni

sistem. Ime je dobil po slavnem matematiku in filozofu Renéju Descartesu (1596

– 1650), ki je prvi zares izkoristil uporabnost takega koordinatnega sistema. [12]

Pravokotni kartezični koordinatni sistem določata v dvorazsežnem prostoru dve

med seboj pravokotni premici ali koordinatni osi, ki ju imenujemo abscisna os ali

os in ordinatna os ali os . Presečišče osi koordinatnega sistema je točka, ki ji

pravimo koordinatno izhodišče in jo označimo s črko . Lego poljubne točke v

koordinatnem sistemu opišemo z urejenim parom realnih števil , kjer je

abscisa točke , pa ordinata točke . Abscisna in ordinatna os razdelita ravnino

na 4 kvadrante. (slika 1) [4]

Ker poševnokotnih kartezičnih koordinatnih sistemov v tem delu ne bomo

uporabljali, bomo pod izrazom kartezični koordinatni sistem vedno razumeli

pravokotni kartezični koordinatni sistem. Pravokotne koordinate bodo vedno

pravokotne kartezične koordinate.

4

V trirazsežnem prostoru določajo pravokotni kartezični koordinatni sistem tri med

seboj pravokotne premice ali osi. Sestavljajo ga že prej omenjeni abscisna in

ordinatna os ter tretja os, ki jo imenujemo aplikatna os ali os . Lego poljubne

točke v trirazsežnem koordinatnem sistemu pa opišemo z urejeno trojico realnih

števil , kjer so abscisa, ordinata in aplikata točke . Koordinatne

ravnine prostorskega kartezičnega koordinatnega sistema razdelijo prostor v osem

oktanov. [4]

2.2 Polarni koordinatni sistem

Polarni kooordinatni sistem je ravninski koordinatni sistem in ga uporabljamo kot

alternativo kartezičnemu koordinatnemu sistemu v matematiki, fiziki, astronomiji

in nekaterih drugih vedah. Je pa tudi osnova za cilindrični in sferni koordinatni

sistem v prostoru. [14]

Točka v polarnem koordinatnem sistemu je podana z dvema

koordinatama, ki ju imenujemo polarni koordinati (slika 2). Prva koordinata točke

je polmer , druga koordinata pa polarni kot . Polmer je razdalja točke od

podane izhodiščne točke , ki jo imenujemo pol ali koordinatno izhodišče, polarni

kot pa je kot med premico in podano orientirano premico, ki gre skozi pol

in jo imenujemo polarna os. Polarni kot je pozitiven, če je merjen v nasprotni

smeri vrtenja urinega kazalca, v nasprotnem primeru pa je polarni kot negativen.

[2]

Slika 1: Kartezični koordinatni sistem

5

Slika 2: Polarni koordinati

Prehod iz kartezičnih koordinat v polarne in obratno imenujemo transformacija

koordinat. Zveze med kartezičnimi in polarnimi koordinatami veljajo pri pogoju,

da koordinatno izhodišče kartezičnega koordinatnega sistema sovpada s polom

polarnega koordinatnega sistema in abscisna os s polarno osjo. [4]

Če poznamo polarni koordinati točke, lahko izračunamo njeni kartezični

koordinati in z zvezama:

(1)

Če poznamo kartezični koordinati točke, lahko izračunamo njeni polarni

koordinati in s pomočjo zvez:

√ (2)

6

{

(3)

polarni kot smo dobili s pomočjo funkcije arcus tangens. [2]

Slika 3: Povezava med kartezičnim in polarnim koordinatnim sistemom

7

3 Ravninske krivulje

3.1 Definicija krivulje in zapis njene enačbe

Krivulja je, preprosto povedano, ukrivljena ali ravna črta, ki jo lahko pretečemo

brez prekinjanja. Prikažemo jo lahko kot sled točke, ki jo ta naredi, ko se premika

po ravnini ali prostoru. Krivulja je v geometriji trajektorija točke, ki se premika

pod določenimi pogoji. Krožnica je trajektorija točke, ki je v neki ravnini vedno

enako oddaljena od dane točke - središča. Primeri ravninskih krivlj so premica,

krožnica, parabola, medtem ko je prostorska krivulja na primer vijačnica. [4]

Enačba krivulje v kartezični koordinatni ravnini je podana s predpisom

, tako da velja:

To pomeni, da koordinati poljubne točke , ki ležita na tej krivulji, zadoščata

enačbi ter obratno, da vsaka točka, katere koordinati zadoščata tej enačbi, leži na

krivulji. Če nobena točka v ravnini ne zadošča enačbi , potem

krivulja, določena s to enačbo, ne obstaja. Če lahko za vsak nekega intervala iz

enačbe enolično izračunamo , potem je , kjer je

funkcija, katere graf je krivulja in za vsak tega intervala velja enačba

( ) [2]

Ravninsko krivuljo, ki je podana v kartezičnih koordinatah, lahko definiramo z

enačbo v eni od naslednjih oblik:

V implicitni obliki: , kjer je zvezno odvedljiva

funkcija, njena parcialna odvoda in pa sta prav tako zvezna. Primer:

, , , graf te funkcije je zgornja

polovica enotske krožnice s središčem v koordinatnem izhodišču.

V eksplicitni obliki: in [ ], kjer je f zvezno odvedljiva

funkcija na danem intervalu. Primer: √ , , graf te

8

funkcije je zgornja polovica enotske krožnice s središčem v koordinatnem

izhodišču.

V parametrični obliki: in , kjer sta in zvezno

odvedljivi funkciji, ki ju definiramo na nekem intervalu [ ]. Vsaj eden

od odvodov funkcij in je v vseh točkah intervala [ ] različen od .

Primer: in , , graf te funkcije je spet gornja

polovica enotske krožnice s središčem v koordinatnem izhodišču. [2]

Ravninsko krivuljo, ki pa je podana v polarnih koordinatah, definiramo z enačbo v

obliki: , kjer je . Primer: je enačba krožnice s

polmerom , njeno središče leži na polarni osi in krožnica poteka skozi

koordinatno izhodišče. [2]

3.2 Sistematizacija krivulj

Neskončno število najrazličnejših krivulj pripada neskončnemu številu enačb, ki

jih povezujeta dve spremenljivki, ki se nanašata na določen koordinatni sistem. To

ogromno število najrazličnejših krivulj nas privede do tega, da je smotrno krivulje

nakako klasificirati. Do velikanske množice ravninskih krivulj lahko pridemo z

enačbami . Odvisno od tipa enačbe, in sicer glede na to, ali je enačba

algebrska ali transcendentna, je namreč smiselno krivulje razdeliti na algebrske in

transcendentne. [3]

3.2.1 Algebrske krivulje

Če je polinom, imenujemo krivuljo, določeno z enačbo ,

algebrska krivulja, stopnji polinoma pa pravimo red krivulje. Enačba

je torej algebrska, če jo lahko zapišemo v obliki

9

kjer je naravno število ali . Koeficienti so realna števila, pri tem pa niso vsi

v prvi vrstici (to je za ) hkrati enaki . [3]

Polinomu dveh spremenljivk, koordinat in , oblike

pravimo homogeni polinom stopnje . Zanj je značilno, da je vsak njegov sumand

produkt nekega koeficienta , pri čemer je , ter potenc in ,

pri tem pa je vsota eksponentov oziroma indeksov vedno enaka . Seveda

dopuščamo možnost, da je kateri od koeficientov enak . Konstanten polinom

, kjer je dano realno število, je homogeni polinom stopnje .

Polinom oblike je homogeni polinom stopnje , medtem ko polinom

ni homogen. [3]

Vsako algebrsko funkcijo očitno lahko zapišemo kot vsoto

homogenih polinomov:

Pri tem rečemo, da je algebrska funkcija stopnje , če niso vsi

koeficienti homogenega polinoma enaki . Tedaj pravimo, da je krivulja

algebrska krivulja stopnje . [3]

Splošna algebrska enačba ima vsega

koeficientov, pri čemer smo upoštevali znano formulo za vsoto prvih

naravnih števil. Po definiciji mora biti vsaj eden od koeficientov v prvi vrstici

različen od , zato lahko enačbo s tem koeficientom delimo in tako postane en

koeficient , ostane pa jih še

.

10

S toliko koeficienti je natanko določena algebrska enačba stopnje in v

najboljšem primeru s prav toliko točkami algebrska krivulja stopnje . [3]

Pri tem poudarimo, da krivuljo obravnavamo v kartezičnem

koordinatnem sistemu. V polarnem koordinatnem sistemu lahko namreč postane

algebrska enačba transcendentna. Primer je algebrska enačba

, ki preide v preprosto transcendentno enačbo

. V tem smislu je elipsa algebrska krivulja, njeno enačbo

zlahka zapišemo v obliki . Logaritemska krivulja z

enačbo pa je transcendentna. [3]

Nekaj primerov algebrskih krivulj:

premica je algebrska krivulja prve stopnje,

stožnice v najbolj splošni obliki

so algebrske krivulje druge stopnje (npr. krožnica, elipsa,...),

Descartesov list je algebrska krivulja tretje stopnje,

Bernoullijeva lemiskata pa je algebrska

krivulja četrte stopnje.

Slika 4: Bernoullijeva lemniskata Slika 5: Descartesov list s parametrim a=1

11

3.2.2 Transcendentne krivulje

Enačba je transcendentna, če ni algebrska. Transcendentna krivulja ima

transcendentno enačbo v pravokotnih kartezičnih koordinatah. Če enačbo krivulje

ne moremo prevesti v obliko , kjer je polinom, potem

pravimo, da je krivulja transcendentna. [3]

Nekaj primerov transcendentnih krivulj:

Cikloida je krivulja v ravnini, ki jo opiše točka na krožnici, ki se kotali po

premici, ne da bi pri tem oddrsavala. Enačba cikloide v parametrični obliki

je , , pri čemer je polmer kroga in

neodvisni parameter. [17]

Slika 6: Cikloida, kjer je a=1

12

Razne spirale, kot na primer Arhimedova spirala, logaritemska spirala,

hiperbolična spirala, katere parametrični obliki enačbe sta

,

. Hiperbolična spirala ima dve veji, ki sta simetrični glede na os

. [15]

Slika 7: Ena veja hiperbolične spirale

Verižnica je krivulja, ki ima takšno obliko kot homogena, neraztegljiva

nit, ki je obešena v dveh točkah, ki nista na isti vertikali. Njena enačba pa

je

. S parametrom označujemo višino temena

verižnice, torej je teme krivulje v točki . [16] Omenimo še, da je

verižnica evoluta traktrise, ki je prav tako transcendentna krivulja in

osrednji predmet obravnave tega diplomskega dela.

13

Slika 8: Verižnice z različnimi parametri a

14

4 Traktrisa

Traktrisa je transcendentna ravninska krivulja, za katero velja, da je dolžina

odseka tangente od točke, kjer se tangenta dotika krivulje pa do presečišča z dano

fiksno premico, konstanta. Ime traktrisa ali z drugo besedo vlečnica izhaja iz

latinske besede trahere, kar pomeni vleči (slika 9). Traktriso lahko opišemo tudi

kot krivuljo, ki jo na vodoravni ravnini opisuje točkasta masa, ki je privezana na

neraztegljivi niti, katere prosti konec vlečemo po premici v tej ravnini. Običajno

je ta premica abscisna os. [20]

Slika 9: Traktrisa ali vlečnica [22]

4.1 Zgodovina traktrise

V poznem 17. stoletju je francoski fizik Claudius Perrailt (1613 – 1688)

matematikom, posebno Leibnizu, postavil vprašanje: »Sprašujem se, kakšno pot

opiše predmet, ki je na enem koncu pritrjen na neraztegljivi niti določene dolžine,

drugi konec pa vlečemo vzdolž premice.« [27]

15

Slika 10: Claudius Perrailt

[30]

Slika 11: Gottfried Leibniz

[28]

Slika 12: Christiaan

Huygens [29]

Krivuljo sta preučevala Gottfried Leibniz (1646 – 1716) in Christiaan Huygens

(1629 – 1695), ki sta rešila problem pri pogoju, da je os asimptota traktrise.

Ugotovila sta, da ima krivulja, ki se izriše, ko prosti konec niti vlečemo vzdolž

premice, lastnost, da je dolžina odseka tangente od točke, kjer se tangenta dotika

krivulje, pa do presečišča z dano premico, konstantna. Huygens je dal tej krivulji

ime traktorien, danes pa ji pravimo traktrisa. Huygens je kasneje Perrailtov

problem posplošil s tem, ko je predpostavil, da se prosti del niti ne vleče po

premici, ampak po izbrani krivulji. Tako so poleg traktrise nastali novi pojmi, kot

na primer traktrisa krožnice, traktrisa parabole itd. To krivuljo glede na svojo

traktriso imenujemo ekvitangencialna krivulja. Ekvitangencialna krivulja glede na

izbrano traktriso predstavlja geometrijsko mesto krajišč odsekov konstantne

dolžine, ki se nanašajo od dotikališč na vsaki tangenti izbrane traktrise. Na ta

način se nam glede na podano traktriso izriše ekvitangencialna krivulja (v primeru

običajne traktrise bi bila to premica). [5]

4.2 Enačba traktrise

V pravokotnem koordinatnem sistemu naj bo asimptota traktrise kar os ,

točkasta masa pa naj bo na začetku na osi v točki . Ko točkasto maso

vlečemo po pozitivni polovici osi , kot smo opisali v začetku tega poglavja,

dobimo polovico traktrise v prvem kvadrantu. Drugo polovico traktrise dobimo s

tako vleko po negativni polovici osi in se nam izriše v drugem kvadrantu. Odsek

tangente na traktriso med dotikališčem in presečiščem z osjo je pri traktrisi

vedno enak oziroma ima konstantno dolžino. Označimo dolžino odseka tangente z

| | | |, kot je prikazano na sliki 13. [5]

16

Slika 13: Traktrisa

Iz zgornje slike lahko vidimo, da je | |

| |. Izrazimo | |, ter pri tem

upoštevamo, da je

√ ,

in

:

| | | |

√ √

| | √ (

)

Diferencialna enačba traktrise ima torej obliko (

)

.

Preoblikujemo diferencialno enačbo tako, da izrazimo :

(

)

(

)

√

√

17

Sedaj dobljeno enačbo integriramo in dobimo :

∫

√

(4)

Označimo kot med odsekom tangente in osjo s , to je naklonski kot tangente na

traktriso in leži med in : . Temu kotu suplementarni kot naj bo ,

tako da velja . Točka naj ima koordinati in , ki sta odvisni od kota

. Iz slike 13 je razvidno, da velja . Vstavimo dobljeni v enačbo

(4) in dobimo

∫√

kjer smo upoštevali, da je . Nadaljujemo z urejanjem enačbe:

∫ √

upoštevamo zvezo ter dobimo

∫√

∫

∫

∫

∫

∫

Če je velikost ordinate točke dolžina , bo vrednost parametra , ki ustreza tej

ordinati, enaka

. Iz tega sledi, da je .

18

Parametrična oblika enačbe traktrise je potemtakem:

(5)

(6)

Eksplicitno obliko enačbe traktrise bomo dobili tako, da odpravimo parameter iz

zgornjih dveh enačb. Najprej bomo odpravili parameter iz prvega člena enačbe

(5). Pri odpravljanju parametra najprej upoštevamo, da velja ter

naslednje zveze med kotnimi funkcijami:

, (

) ,

(

) ,

√

in

√

. Dobimo:

(

)

(

)

√

√

√

Iz slike 13 lahko vidimo, da veljajo tudi naslednje enakosti, ki nam bodo

pomagale k odpravi parametra :

,

in . Vstavimo

ugotovljene enakosti v zgornjo enačbo ter preoblikujemo do željene oblike:

√

√

√

√

√

√ (

√

√ )

√

(7)

19

Sedaj bomo parameter odpravili še iz drugega člena enačbe (5), pri čemer bomo

dodatno upoštevali adicijski izrek za kosinus razlike kotov:

. Dobimo:

√

√

(8)

Odpraviti moramo še parameter iz enačbe (6). Pri tem bomo dodatno upoštevali

adicijski izrek za sinus razlike kotov: .

Dobimo:

(9)

Dobljena izraza (7) in (8) vstavimo v (5). V enačbo (6) vstavimo izraz (9) in za

dobimo

. Eksplicitna oblika enačbe traktrise je:

√

√ (10)

Prvi člen enačbe lahko zapišemo tudi z inverzno hiperbolično funkcijo kosinusa

( √ ). Eksplicitna oblika enačbe traktrise ima tedaj obliko:

√ (11)

4.3 Lastnosti traktrise

Pri nadaljni obravnavi je najpriročneje uporabljati parametrično obliko enačbe

traktrise:

20

4.3.1 Asimptota in simetričnost

Po definiciji je asimptota premica, ki se krivulji poljubno približuje, ko se le-ta

oddaljuje od koordinatnega izhodišča. Pri traktrisi se parameter lahko spreminja

znotraj intervala , kjer je funkcija sinus pozitivna. Od tod sledi, da bo

vedno . Opazujmo gibanje točke , katere koordinati in sta odvisni od

kota . Ko gre od proti

, potuje točka po drugem kvadrantu, se dviguje od

abscisne osi proti najvišji točki , ki jo doseže pri

. Ko gre od

proti

, se spušča v prvem kvadrantu proti abscisni osi in se ji poljubno približa.

Abscisna os je očitno asimptota traktrise. [5]

Slika 14: Asimptota traktrise

Zlahka se lahko prepričamo, da vsakemu paru vrednosti in pripada enaka

vrednost za , medtem ko se ustrezne vrednosti za razlikujejo le v predznaku.

Od tod sledi, da je traktrisa simetrična glede na ordinatno os. [5]

4.3.2 Tangenta

Da bi lahko določili obliko krivulje v točki , moramo najprej najti naklon

tangente v poljubno izbrani točki. To nam bo hkrati tudi omogočilo, da

obrazložimo geometrijski pomen parametra . Naklon tangente je določen s kotom

med pozitivno smerjo abcisne osi in tangento, izračuna pa se s formulo:

21

. [5] Odvajamo parametrično obliko enačbe traktrise in iz enačbe (5)

dobimo:

(

)

Nadalje lahko enačbo preuredimo z uporabo formul za sinus dvojnega kota ter

osnovno zvezo med sinusom in kosinusom na sledeči način:

(

)

(

)

(

)

(12)

Pri odvajanju enačbe (6) dobimo:

(13)

Vstavimo izraza (12) in (13) v formulo za naklon tangente ter dobimo:

( )

22

Od tod vemo, da je parameter naklonski kot tangente na traktriso. V točki

, to je za

, imamo

, zato ima traktrisa v točki

navpično tangento in koničasto obliko. [5]

4.3.3 Konstanten

Odsek tangente v kartezičnih koordinatah za krivulje podane z enačbo v

parametrični obliki izračunamo po formuli: | | |

√ |. Slika 15

prikazuje odsek tangente . [2]

Slika 15: Odsek tangente

Dokažimo, da ima traktrisa konstantno dolžino odseka tangente med poljubnim

dotikališčem in presečiščem z osjo (slika 16).

23

Slika 16: Odsek tangente na traktriso

Ker vemo, da je

je potem

| | |

√ |

| | |

√ |

| | |

|

| |

Odsek tangente med asimptoto in točko, kjer se tangenta dotika traktrise,

ima torej konstantno dolžino .

4.3.4 Ploščina lika med abscisno osjo in traktriso

Določeni integral nenegativne funkcije na intervalu [ ] je enak ploščini lika

omejenega s krivuljo in osjo na intervalu od do . Po definiciji je

funkcija integrabilna na intervalu [ ] natanko tedaj, ko obstaja določeni

integral ∫

( slika 17). [2]

24

Ploščino med traktriso in abscisno osjo na intervalu izračunamo z

integralom: [2]

∫

V zgornjo enačbo vstavimo izraza (6) in (12), ter upoštevamo, da je in

dobimo:

∫

∫

(14)

Najprej preoblikujmo izraz pod integralskim znakom s pomočjo zvez med

trigonometričnimi funkcijami tako, da dobimo:

Dobljeni rezultat vstavimo v izraz (14), ter pri integriranju uporabimo relacijo

∫

in dobimo:

Slika 17: Ploščina pod krivuljo na intervalu (a,b)

25

∫

(∫

∫

)

( |

(

)|

)

( (

))

(15)

Ploščina lika med traktriso in njeno asimptoto je enaka polovici ploščine

kroga, katerega polmer je enak dolžini odseka tangente . [5]

4.3.5 Ločna dolžina

Ločna dolžina krivulje je dolžina loka krivulje med poljubno izbranima točkama

in (slika 18).

Slika 18: Ločna dolžina krivulje

26

Če imamo krivuljo podano v parametrični obliki ( ) izračunamo ločno

dolžino krivulje med dvema točkama s formulo:

∫ √( )

( )

[ ] (16)

Ločno dolžino bomo izračunali od točke , kjer je vrednost parametra

, pa do poljubno izbrane točke, ki ustreza parametru . V formulo (16)

vstavimo izraza (12) in (13). Zaradi simetrije traktrise je dovolj vzeti

.

Dobimo:

∫ √(

)

∫ √(

)

∫ √ (

) ∫ √

∫

∫

(17)

4.3.6 Ukrivljenost

Ukrivljenost v matematiki pove, koliko geometrijski objekt odstopa od ravnosti,

kot jo poznamo pri premici. V ravnini je ukrivljenost skalarna količina, v treh ali

več razsežnostih pa je ukrivljenost določena z vektorjem ukrivljenosti, ki upošteva

poleg smeri še ostrino ukrivljenosti. [18]

Ukrivljenost krivulje v točki je limita kvocienta kota med pozitivnima

smerema tangent na krivuljo v točkah in (slika 19) ter dolžine loka , ko

gre dolžina loka proti 0:

27

Predznak ukrivljenosti je odvisen od tega, ali ima sekanta, ki seka krivuljo na

obeh straneh točke blizu točke , presečišče s pozitivnim delom normale (v

tem primeru je ) ali z njenim negativnim delom (v tem primeru je ).

Drugače povedano je ukrivljenost , če leži krivišče na pozitivnem delu

normale krivulje, in , če leži na njenem negativnem delu. Včasih

ukrivljenost definiramo kot pozitivno število, ki je enako absolutni vrednosti

izračunane limite. [2]

Slika 19: Ukrivljenost krivulje

Krivinski polmer krivulje v točki je enak absolutni vrednosti obratne

vrednosti ukrivljenosti, torej |

|. Absolutna vrednost ukrivljenosti v neki

točki je tem večja, čim manjši je krivinski polmer . Za lažjo predstavo

povejmo, da ima krožnica s polmerom v vseh svojih točkah ukrivljenost enako

in krivinski polmer enak , medtem, ko ima premica ukrivljenost

enako in krivinski polmer enak . [2]

Formuli za izračun ukrivljenosti in krivinskega polmera, če je krivulja podana v

parametrični obliki, sta:

|

|

28

|

| |

|

||

pri čemer je in . [2]

Da bi lahko izračunali krivinski polmer, najprej odvajamo izraz (12) in dobimo

drugi odvod parametrično podane koordinate traktrise:

(18)

Sedaj odvajamo še izraz (13) in dobimo drugi odvod ordinate traktrise:

(19)

V formulo za izračun krivinskega polmera vstavimo izraze (5), (6), (12), (13),

ter izraza (18) in (19) za druga odvoda parametrično podanih koordinat in . Za

dobimo:

|

|(

)

|

||

|

29

|

| ( (

))

(

) ( (

))|

|

||

(

)

||

|

(

)|

|

(

)|

|

|

|

|

| | (20)

Z dobljenim rezultatom lahko enostavno konstruiramo središče ukrivljenosti v

poljubno izbrani točki traktrise. Na traktrisi si izberemo poljubno točko . S

šestilom odmerimo dolžino . Od točke odmerimo dolžino tako, da seka

abscisno os in dobljeno točko označimo z . Narišemo normalo na traktriso v

točki in jo označimo z . Nato narišemo pravokotnico na abscisno os v točki

in jo označimo z . Presečišče pravokotnice in normale je središče

ukrivljenosti, ki ga označimo z (slika 20). Daljica med in je polmer

ukrivljenosti , torej | | | | . Od tod sledi da je središče

ukrivljenosti za poljubno izbrano točko na traktrisi, presečišče normale na

30

traktriso v točki in pravokotnice na abscisno os v točki, kjer tangenta na

traktriso v točki seka abscisno os. [5]

Odpravimo parameter iz enačbe za krivinski polmer . Najprej bomo izrazili

iz izraza (17):

(21)

Dobljeni izraz vstavimo v znano trigonometrično zvezo in izrazimo :

√

√

(22)

Krivinski polmer dobimo ko vstavimo izraza (21) in (22) v izraz (20):

√

√

Slika 20: Polmer ukrivljenosti traktrise

31

√

(23)

S tem smo dobili tako imenovano naravno enačbo traktrise. Naravna enačba

traktrise povezuje njeno ukrivljenost in ločno dolžino.

4.3.7 Evoluta

Evoluta dane krivulje je krivulja, ki je sestavljena iz krivinskih središč dane

krivulje, hkrati pa je evoluta ogrinjača vseh normal na dano krivuljo. [2]

Parametrično obliko enačbe evolute krivulje, dane v parametrični obliki, dobimo

iz izrazov

|

|

|

|

Pri tem so koordinate središča krivinske krožnice. Te formule lahko

zapišemo tudi v obliki:

(24)

(25)

kjer se krivinski polmer R izračuna z različnimi formulami, in sicer odvisno od

tega, v kakšni obliki je podana krivulja. [2] Če nam uspe iz dobljenih enačb za

in eliminirati parameter , potem lahko enačbo evolute zapišemo tudi v

eksplicitni ali implicitni obliki (slika 21).

V izraz (24) vstavimo krivinski polmer iz izraza (20), ki smo ga izračunali v

prejšnjem razdelku in iz izraza (5). Za dobimo:

32

(26)

Slika 21: Polmer ukrivljenosti

Da dobimo , pa vstavimo v izraz (25) izraza (6) in (20):

(

)

(

)

(27)

33

Parametrična oblika enačbe evolute traktrise je:

Odpravimo parameter iz zgornjih dveh izrazov, pri čemer upoštevamo

, ,

,

in :

√

Delimo enačbo z ter antilogaritmiramo:

√

√

Preoblikujemo enačbo tako, da izrazimo :

√

√

Kvadriramo enačbo in nadaljujemo z urejanjem:

(

)

(

)

( )

34

(28)

Sedaj odpravimo parameter iz izraza (27):

( √

)

√

( √ )

√

√

( √ )

( √ )

( √ )

V dobljeno enačbo vstavimo iz izraza (28):

(

)

(

)

(29)

Enačba (29) je enačba verižnice, ki je evoluta traktrise.

35

Evoluta traktrise, torej geometrijsko mesto njenih krivišč , na sliki 22

predstavljenih črtkano, je verižnica. Krivinski polmer | | in odsek

| | normale na krivuljo sta obratno sorazmerna: . [2]

Slika 22: Traktrisa in njena evoluta verižnica

4.4 Potegnjene in skrajšane traktrise

Točka naj leži na traktrisi, njeni koordinati in pa sta odvisni od kota . Kot

leži med odsekom tangente v točki in osjo . Odsek tangente med točko in

presečiščem z osjo je pri traktrisi vedno enak . Točka naj bo na tangenti

traktrise oddaljena od za , tako da je med in . Če točko premikamo po

traktrisi, nam točka izriše novo krivuljo, ki ji pravimo potegnjena traktrisa

(črtasta krivulja na sliki 23). Abscisa točke je manjša od abscise točke za

, ordinata točke pa je večja od ordinate točke za

. [3] Od tod dobimo parametrično obliko enačbe potegnjene traktrise za

:

36

Slika 23: Traktrisa (polna črta) in potegnjena traktrisa (črtasta črta)

Skrajšano traktriso pa nam izriše točka takrat, ko je na tangenti oddaljena od

točke za proti asimptoti oziroma čeznjo. Parametrična oblika enačbe za

skrajšano traktriso je enaka če uporabimo seveda . V primeru, ko je

dobimo običajno traktriso, ko pa je pa je krivulja os . Pri nam

točka izriše krivuljo pod abscisno osjo. [3]

Slika 24: Potegnjene in skrajšane traktrise

Pri lahko iz slike vidimo da krivulja samo enkrat preseka os . Pri pa

krivulja seka samo sebe na osi , najvišje pa seka os v točki za

,

kjer ima krivulja pentljo. [3]

37

4.5 Konstrukcije traktrise

Primer 1:

Risanja traktrise s pomočjo izdelanega pripomočka. V leseni plošči je izrezan

utor, ki predstavlja os in ima vlogo asimptote traktrise. V utor smo privijačili

drog in nanj privezali tanko nit, kot je prikazano na sliki 25. Drog ima na svojem

drugem koncu privijačen svinčnik, ki nam bo izrisoval krivuljo. V začetku drog

postavimo v koordinatno izhodišče, kot je prikazano na sliki 25.

Slika 25: Risanje traktrise 1

Primemo za nit in vlečemo najprej v negativni smeri osi (sliki 26 in 27), pri tem

nam svinčnik že izrisuje del traktrise.

Slika 26: Risanje traktrise 2

38

Slika 27: Risanje traktrise 3

Drog vlečemo na isti način tudi v pozitivni smeri osi in na koncu dobimo

izrisano krivuljo traktrise (slika 28). Pripomoček nam tako nazorno pokaže, da je

traktrisa krivulja, katere odsek tangente (med asimptoto in točko, kjer se tangenta

dotika traktrise) ima konstantno vrednost.

Slika 28: Narisana traktrisa

39

Na sliki je primerjava traktrise, ki se izriše s programom GeoGebra in traktrise, ki

se je izrisala s pomočjo izdelanega pripomočka. Vidimo lahko, da traktrisi ne

sovpadata popolnoma, kar je najverjetneje posledica mehanske napake in

odstopanja v merilu.

Slika 29: Primerjava traktris

Primer 2:

Risanja traktrise z žepnim nožem. Potrebujemo list papirja, ravnilo, svinčnik in

žepni nožek, ki naj ima dva ostra dela, kot je prikazano na sliki 30. Na list papirja

narišemo os , za os pa vzamemo kar daljšo stranico papirja, ki nam predstavlja

asimptoto traktrise. Nožek odpremo, kot kaže slika 30 in rezilo postavimo na os ,

drugi konec nožka pa primemo in postavimo v koordinatno izhodišče. Nožek

vlečemo v pozitivni in v negativni smeri osi , pri čemer nam rezilo izriše

krivuljo. Glede na to, da je razdalja med obema ostrinama nožka pri vlečenju

konstantna, nam rezilo nožka izriše traktriso.

40

a)

b)

c)

d)

Slika 30: Risanje traktrise z žepnim nožkom

4.6 Uporaba traktrise

4.6.1 Del mehanizma vrteče se stružnice

Eden od delov mehanizma vrteče se stružnice je takoimenovana protitorna peta.

Krivulja, po kateri je zasnovan obris navpičnega preseka te pete, mora ustrezati

pogoju

(slika 31). Iz tega pogoja dobimo tehnično zahtevo, in

sicer, da je obraba pete med delovanjem stroja enakomerna. Leva stran enačbe

določa dolžino tangente od dotikališča do presečišča z osjo . Vidimo, da

osni presek protitorne pete poskrbi, da je dolžina njegovih tangent konstantna in

zato je to traktrisa. [5]

41

Slika 31: Protitorna peta [5]

4.6.2 Krivulja sledi

S traktriso si pomagajo tudi pri projektiranju cestne infrastrukture. Oblikovanje

cestnih krivin z majhnimi polmeri krožnih lokov se lahko določi s pomočjo

grafičnih, analitičnih ali eksperimentalnih metod tako, da ugotovimo obliko tirov,

ki določajo sledi voženj levega sprednjega – levega zunanjega kolesa in zadnjega

desnega – zadnjega notranjega kolesa, gledano v smeri vožnje motornega vozila

(Lipičnik, 1998). Za oblikovanje notranjega roba voznega pasu v takšnih krivinah

je pomembna krivulja, ki jo med vožnjo opisuje zadnje notranje kolo motornega

vozila. Za določitev celotne velikosti površine vozišča pa je pomembna površina,

ki jo med vožnjo opisujeta sprednje zunanje in zadnje notranje kolo vozila hkrati,

gledano v smeri vožnje. Krivuljo, ki jo med vožnjo po cestnih krivinah z

majhnimi polmeri opisuje zadnje kolo, imenujemo krivulja sledi (slika 32) ali

traktrisa (Lipičnik, 1998). [10]

42

Slika 32: Krivulja sledi (Lipičnik, 1998, 1) [10]

Krivulji sledi imenujejo tudi dinamični traktrisi in ju definirajo kot krivulji sledi

zavijanja prvega levega in zadnjega desnega kolesa merodajnega motornega

vozila in služita za preverjanje ustreznosti priključne krivine v križiščih in

priključkih ter za določitev razširitve voznih pasov v krivinah. [9]

V pravilniku o projektiranju cest, ki ga je izdal minister za promet v soglasju z

ministrom za notranje zadeve in ministrom za okolje in prostor, je pod splošnimi

določbami v 24. členu, ki zajema razširitev cestišča v krivinah, zapisano pod

točko (5) naslednje: Razširitev vozišča v krožni krivini s polmerom do = 20 m

se predvidi s krivuljo sledi koles merodajnega tipskega vozila (dinamična

traktrisa). [33]

Primer konstruiranja minimalne krivulje, ki sledi po Halterjevi približni metodi,

nam izriše krivuljo sledi ali traktriso. Sprednje zunanje kolo motornega vozila se

giblje iz točke v točko po vnaprej določenem krožnem loku z radijem , tako

se zadnje notranje kolo pomika vzdolž premice , pri čemer leži točka točno

na sredini razdalje | |. Nato narišemo premico in iz točke odmerimo

medosni razmak vozila (na sliki 33 označena kot ) in narišemo krožni lok. Tako

dobimo presečišče premice in krožnega loka in to točko označimo z , proti

43

kateri se med tem pomikanjem vozila premika točka (zunanje notranje kolo). S

postopkom ponavljanja dobimo poligon, ki ga omejujejo točke

in predstavlja dovolj natančen približek krivulji sledi. Bolj na

gosto so določene točke itd., natančnejša je krivulja sledi (Lipičnik, 1998).

[10]

Slika 33: Konstruiranje krivulje sledi (Lipičnik, 1998, 3) [10]

44

5 Psevdosfera

5.1 Splošno o psevdosferi

V zgodovini matematike je traktrisa odigrala pomembno vlogo pri odkritju

geometrije Lobačevskega in nadaljnjem razvoju naukov o neevklidski geometriji.

Omenimo, da se geometrijo lahko razdeli na evklidsko in na dve neevklidski

geometriji. Neevklidski geometriji sta eliptična geometrija ali Riemannova

geometrija in hiperbolična geometrija ali geometrija Lobačevskega. [5]

Slika 34: Vrste geometrij [32]

Dokazano je, da se hiperbolična geometrija Lobačevskega in eliptična

Riemannova geometrija realizirata na ploskvah konstantne ukrivljenosti. Takšne

ploskve je mogoče dobiti pri rotiranju krivulje okoli izbrane premice, pri čemer

ima krivulja lastnost, da je produkt glavnega polmera ukrivljenosti v vsaki

njeni točki in glavnega polmera ukrivljenosti v tej točki konstantna velikost:

Gaussova ukrivljenost ploskve v točki se uporablja za opis

ukrivljenosti ploskve in se izračuna:

. Za opis ukrivljenosti ploskve

uporabljamo tudi povprečno ukrivljenost ploskve v točki :

(

).

Glavna krivinska polmera ploskve v točki sta najmanjši in največji krivinski

45

polmer normalnih presekov ploskev v točki , ki ju imenujemo glavna normalna

preseka in . Ravnini glavnih normalnih presekov in sta pravokotni. [2]

Slika 35: Glavna normalna preseka [2]

Če je ima ploskev ničelno ukrivljenost in jo imenujemo minimalna ploskev

(npr. valj, ki ga lahko razgrnemo v ravnino), na njej pa velja evklidska geometrija.

Če je , ima pripadajoča ploskev konstantno pozitivno ukrivljenost (npr.

sfera) in na njej velja Riemannova geometrija. Če pa je , ima ploskev

konstantno negativno ukrivljenost in na njej velja geometrija Lobačevskega.

Ploskev konstantne negativne ukrivljenosti, dobljene z rotacijo traktrise okoli

njene asimptote, je leta 1868 Eugenio Beltrami (1835 – 1900) poimenoval

pseudosferom, danes jo imenujemo psevdosfera. Beltrami je znotraj evklidske

geometrije odkril model, v katerem so veljali vsi postulati hiperbolične geometrije

in s tem je bila potrjena njena neprotislovnost, če ta velja za evklidsko

geometrijo.[5]

Slika 36: Eugenio Beltrami [31]

Slika 37: Psevdosfera [6]

46

V tem poglavju bomo podrobneje predstavili ploskev, ki nastane z rotacijo

traktrise okoli njene asimptote in jo imenujemo psevdosfera (slika 38). To je izraz,

ki se v geometriji uporablja za ploskve s konstantno negativno Gaussovo

ukrivljenostjo, na kateri se da realizirati hiperbolično neevklidsko geometrijo.

Slika 38: Psevdosfera [26]

Lahko se nanaša na teoretske ploskve z negativno ukrivljenostjo, na traktrikoide

ali na hiperboloide. Beseda psevdosfera je grškega izvora: σφαῖρα pomeni obla,

krogla, žoga, ψευδής pa lažniv, izmišljen, zlagan. Če bi poskušali besedo

psevdosfera prevesti dobesedno, bi dobili zelo zavajujoči prevod npr. izmišljena

krogla, a psevdosfera je v bistvu čisto nasprotje sferi. Sfera ima konstantno

pozitivno ukrivljenost

( je polmer ukrivljenosti) v vsaki točki na svoji

površini, medtem ko ima psevdosfera povsod konstantno negativno ukrivljenost

. [6] Sfera je sklenjena, omejena ploskev, psevdosfera pa ni sklenjena

ploskev, pa tudi omejena ni.

Kartezična parametrična oblika enačbe ploskve, ki nastane z vrtenjem traktrise

okoli asimptote, je:

(30)

47

pri čemer je in [ ]. [23] Hiperbolični sekans, , je

definiran kot recipročna vrednost hiperbolične funkcije kosinus:

. Hiperbolični tangens, , je definiran s pomočjo naslednje enačbe:

. [2]

Enačba psevdosfere v implicitni obliki v kartezičnih koordinatah ima obliko:

[ √

√ ]

[ ]

5.2 Površina psevdosfere

Površina ploskve, ki nastane z rotacijo traktrise okoli njene asimprote, se izračuna

po formuli: [2]

∫ √ (

)

Sedaj v formulo vstavimo izraze (6), (12) in (13) ter dobimo:

∫ √ (

)

∫ √

∫

∫ |

48

(

)

Površina telesa, ki ga dobimo pri vrtenju traktrise okoli njene asimptote je

enaka površini krogle, katere polmer je enak velikosti odseka tangente .

5.3 Prostornina telesa, ki je omejeno s psevdosfero

Prostornina telesa, ki ga dobimo, če traktriso zavrtimo okoli njene asimptote, se

izračuna po formuli: [2]

∫

V formulo vstavimo izraza (6) in (13) ter dobimo:

∫

∫

(31)

Uvedemo novo spremenljivko in diferenciramo: . Nova

spodnja meja je sedaj , nova zgornja meja pa .

Vstavimo v (31) in dobimo:

∫

∫ (

)|

(

)

49

Prostornina telesa, ki ga dobimo pri vrtenju traktrise okoli njene asimptote,

je enak polovici prostornine krogle, katere polmer je enak velikosti odseka

tangente .

5.4 Psevdosfera iz papirja

Preprosta in zelo nazorna je ponazoritev psevdosfere, ki jo izdelamo iz papirja.

Sama sem izdelala model psevdosfere iz več različnih barvnih papirjev. Za

izdelavo sem potrebovala poleg A4 barvnih papirjev še šestilo, svinčnik, škarje,

ravnilo in lepilo (slika 39). Na barvne papirje sem si narisala enako velike kroge,

katerih polmer je bil na vseh listih enak (polmer in velikost listov si lahko

izbiramo po želji). Kroge sem izrezala in iz vsakega kroga izrezala krožni izsek,

kot je prikazano na sliki 40. Nato sem izdelala različno velike stožce (slika 41),

tako da sem kroge z krožnimi izseki vedno bolj tesno ovijala. Stožce sem na

koncu postavila enega na drugega na tak način, da je bil na vrhu stožec z največjo

telesno višino in najmanjšim polmerom osnovne ploskve (sliki 42 in 43).

Model psevdosfere ima na vrhu konico, kar pa za psevdosfero ne ustreza, saj je

neomejena ploskev. Torej, če bi stožcu, ki je na vrhu modela psevdosfere odrezali

konico bi bila ponazoritev še malo bolj natančna.

Slika 39: Pripomočki za izdelavo psevdosfere

Slika 40: Narisani in izrezani krogi

50

Slika 41: Stožci

Slika 42: Polovica psevdosfere

51

Slika 43: Polovice psevdosfer

52

6 Traktrisa krožnice in polarna traktrisa

6.1 Traktrisa krožnice

Enačbo traktrise krožnice izpeljemo tako, da vzamemo za polmer krožnice kar

našo konstanto . S tem smo si izpeljavo nekoliko poenostavili, a še vedno je

zapletena in korektna.

Slika 44: Točka traktrise krožnice

Naj bo točka na krožnici s polmerom in naj se po njej premika. Točka

pa je točka naše traktrise krožnice, kot je prikazano na sliki 44. Sedaj

lahko napišemo enakosti, ki so razvidne iz slike 44:

| | | | (32)

53

V enačbo (32) vstavimo dobljena rezultata za OC in NC ter dobimo:

(

)

(

)

Da bi dobljeno enačbo lažje integrirali, vpeljemo polarne koordinate:

in . Na levi strani dobljene enačbe oba člena kvadriramo:

Pokrajšamo člene, ki se nam odštejejo in dobimo:

(

) (33)

Prva dva člena te enačbe zapišemo s polarnimi koordinatami takole:

(34)

Pri zapisu tretjega člena enačbe (33) upoštevamo, da je √ :

√

√ (35)

Enačba (33) ima v polarnih koordinatah obliko, pri čemer smo upoštevali enačbi

(34) in (35):

√

√

54

Trivialna rešitev je . Nadaljujemo z urejanjem enačbe in pri tem

upoštevamo, da je

:

√

√

√

∫√

Integral ∫√

izračunamo z integracijo po delih.

Vzamemo √ in

, zato je

√ in

:

∫√

√

∫(

√ ) (

)

√

∫

√

√

55

√

(36)

Krivulja ima dve veji, simetrično položeni glede na polarno os. Središče kroga je

njena asimptotska točka.

Slika 45: Traktrisa krožnice [5]

Slika 46 spominja na traktriso krožnice, ki je izdelana z takoimenovano »Land

art« oziroma Zemeljsko umetnostjo, to je umetniško gibanje, pri katerem je

pokrajina neločljivo povezana z umetniškim delom. Taka oblika umetnosti nastaja

v naravi z uporabo naravnih materialov, kot so tla, kamni, skale, hlodi, veje, voda

in umetnimi materiali (beton, kovine, asfalt...). Avtor skulpture na sliki 46 je

Robert Smithson, poimenoval jo je »Spiral Jetty« in je ena najbolj znanih del

Zemeljske umetnosti na svetu. Izdelal jo je leta 1970 v severnem Utahu. [24]

56

Slika 46: Traktrisa krožnice v naravi [24]

6.2 Polarna traktrisa

Polarno traktriso je matematik Roger Cotes poimenoval Traktrix complicata, kar

pomeni zapletena traktrisa. Ta krivulja ima v vseh svojih točkah enako velikost

odseka polarne tangente, to je odseka tangente v polarnih koordinatah za krivulje,

definirane z enačbo, podano v polarnih koordinatah . [2]

Iz te definicije sledi, da lahko zapišemo diferencialno enačbo traktrise v obliki: [5]

√ (

)

Enačbo kvadriramo in preuredimo tako, da dobimo :

(

)

(

)

∫√

57

Integral ∫√

izračunamo z integracijo po delih. Vzamemo

√ in

, zato je

√ in

:

∫√

√

∫(

√ ) (

)

√

∫

√

√

√

(37)

Če primerjamo dobljeno enačbo (37) z enačbo traktrise krožnice (36), lahko

vidimo da sta enačbi enaki. Od tod sledi, da je polarna traktrisa enaka traktrisi

krožnice.

6.2.1 Polarna traktrisa kot nožiščna krivulja

Polarna traktrisa je nožiščna krivulja hiperbolične spirale glede na njen pol.

Nožiščna ali pedalna krivulja Ҡ´ je krivulja, ki se jo dobi iz dane krivulje Ҡ.

Nožiščno krivuljo Ҡ´ dane ravninske krivulje Ҡ dobimo tako, da v ravnini te

krivulje izberemo točko , ki jo pravokotno projiciramo na vse tangente krivulje

Ҡ. Množica vseh nožišč , to je presečišč pravokotnic skozi z vsemi

tangentami krivulje Ҡ, je nožiščna krivulja Ҡ´ krivulje Ҡ glede na pol . [34]

Na sliki 47 sta narisani ena veja hiperbolične spirale in njena nožiščna krivulja, ki

je polarna traktrisa.

58

Slika 47: Nožiščna krivulja hiperbolične spirale glede na pol

Na sliki 48 pa je narisana le polarna traktrisa, vejo hiperbolične spirale pa smo

odstranili z namenom, da se nazorno prikaže, da je nožiščna krivulja ene veje

hiperbolične spirale, polarna traktrisa. Seveda pa je potrebno poudariti, da je

polarna traktrisa nožiščna krivulja hiperbolične spirale samo v primeru, ko je

izbrana točka pol hiperbolične spirale, ki ga ima le-ta v koordinatnem

izhodišču.

Slika 48: Polarna traktrisa

59

7 Zaključek

Preden sem začela s pisanjem diplomskega dela, nisem poznala traktrise razen

tega, kar mi je o njej povedal mentor, ko mi je predlagal to temo za diplomsko

delo. Z iskanjem in prebiranjem literature sem se na začetku znašla v množici

novih, še skoraj nepoznanih pojmov. Med nadaljnim študiranjem literature pa mi

je traktrisa postajala vedno bolj zanimiva, saj je ponujala veliko možnosti za

raziskovanje.

Najprej smo ugotovili, da sta traktriso prva preučevala Leibniz in Huygens v

poznem 17. stoletju, k temu pa ju je spodbudil Claudius Perrailt.

Spoznali smo, da je traktrisa transcendentna ravninska krivulja, za katero velja, da

je dolžina odseka tangente od točke, kjer se tangenta dotika krivulje pa do

presečišča z dano fiksno premico, konstanta. Ugotovili smo, da je os asimptota

traktrise ter da je simetrična glede na os . Izračunali smo ploščino med absciso in

traktriso, njeno ločno dolžino in polmer ukrivljenosti. Poiskali smo tudi evoluto

traktrise, ki je verižnica.

Prikazali smo dve konstrukciji traktrise, in sicer s pomočjo izdelanega

pripomočka in žepnega noža. Ta dva načina prikaza izrisa traktrise lahko

uporabimo tudi v šoli za zelo nazorno ponazoritev traktrise in njenih lastnosti.

Povedali smo tudi, da se traktrisa uporablja v strojništvu, kjer del mehanizma

vrteče se stružnice deluje po krivulji traktrise. Uporablja pa se tudi pri

projektiranju cestne infrastrukture kot krivulja sledi.

Pri rotaciji traktrise okoli njene asimptote pa dobimo ploskev, ki jo imenujemo

psevdosfera. Za to ploskev je značilno, da ima konstantno negativno Gaussovo

ukrivljenost. Izračunali smo površino psevdosfere in prostornino telesa, ki ga le-ta

omejuje, ter za lažjo in nazorno predstavo izdelali njen model iz papirja.

Poiskali smo tudi enačbo traktrise krožnice in polarne traktrise ter prišli do

ugotovitve, da sta enaki. Ugotovitev, da je polarna traktrisa nožiščna krivulja

hiperbolične spirale glede na njen pol, smo tudi slikovno prikazali.

60

Obravnavano temo bi lahko z določenimi omejitvami vpeljali tudi v šolo, saj smo

pokazali, da se lahko traktriso in psevdosfero nazorno prikaže s pomočjo

preprostih mehanskih pripomočkov, ki so predstavljeni v diplomskem delu.

Literatura

[1] I. Vidav (1975): Višja matematika 1, DZS, Ljubljana

[2] I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, G. Musiol, H. Muhlig (1997):

Matematični priročnik, Tehniška založba Slovenije, Ljubljana

[3] M. Razpet (1998): Ravninske krivulje, DMFA – založništvo, Ljubljana

[4] G. Lešnjak (2008): Leksikon matematika, Učila International, Tržič

[5] A. A. Savelov (1979): Ravninske krivulje, Školska knjiga, Zagreb

[6] M. Razpet (2013): Študijsko gradivo: Nikomedova konhoida, Pedagoška

fakulteta, Ljubljana

[7] B. Lavrič (1989/1990): Traktrisa, Presek, letnik 17, št. 5, str. XVIII

[8] M. in N. Razpet (1997/1998): Kvadratno kolo, verižnica in traktrisa, letnik 25,

št. 5, str. 294 – 299

[9] T. Šurbek (2010): Pojmovnik logistične strokovne terminologije, raziskovalna

naloga, Celje

[10] A. Kresnik in S. Orož Hanžič (2010): Urbanizacija prometa in cestna

infrastruktura, Zavod IRC, Ljubljana

[11] Koordinatni sistem,

https://sl.wikipedia.org/wiki/Koordinatni_sistem, 5. 4. 2016

[12] Koordinatni sistem,

https://si.openprof.com/wb/pravokotni_koordinatni_sistem?ch=35, 5. 4. 2016

[13] Kartezični koordinatni sistem,

https://sl.wikipedia.org/wiki/Kartezi%C4%8Dni_koordinatni_sistem, 5. 4.

2016

[14] Polarni koordinatni sistem

https://sl.wikipedia.org/wiki/Polarni_koordinatni_sistem, 5. 4. 2016

[15] Hiperbolična spirala

https://sl.wikipedia.org/wiki/Hiperboli%C4%8Dna_spirala, 6. 4. 2016

[16] Verižnica

https://sl.wikipedia.org/wiki/Veri%C5%BEnica, 6. 4. 2016

[17] Cikloida

https://sl.wikipedia.org/wiki/Veri%C5%BEnica, 6. 4. 2016

[18] Ukrivljenost

https://sl.wikipedia.org/wiki/Ukrivljenost, 25. 4. 2016

[19] Traktrisa

https://sl.wikipedia.org/wiki/Traktrisa, 15. 1. 2016

[20] Tractrix

http://mathworld.wolfram.com/Tractrix.html, 15. 1. 2016

[21] Tractrice

http://www.mathcurve.com/courbes2d/tractrice/tractrice.shtml, 15. 1.2016

[22] Slika vlečnice

http://www.mathcurve.com/courbes2d/tractrice/tractrice.shtml, 15. 1. 2016

[23] Psevdosfera

https://sl.wikipedia.org/wiki/Psevdosfera, 15. 1. 2016

[24] Traktrisa krožnice

http://www.artspace.com/magazine/art_101/art_market/land_art-5854, 25. 4.

2016

[25] Pseudosphere

http://www.daviddarling.info/encyclopedia/P/pseudosphere.html, 15. 1. 2016

[26] Slika psevdosfere

http://xahlee.info/surface/pseudosphere/pseudosphere.html, 25. 4. 2016

[27] Zgodovina traktrise

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Curves/Tractrix.html, 15. 1. 2016

[28] Slika Gottfried Leibnitz

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/PictDisplay/Leibniz.html, 10. 5. 2016

[29] Slika Christiaan Huygens

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/PictDisplay/Huygens.html, 10. 5. 2016

[30] Slika Claudius Perrailt

https://arena.yourlondonlibrary.net/web/merton/recommended-authors, 10. 5.

2016

[31] Slika Eugenio Beltrami

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/PictDisplay/Beltrami.html, 10. 5. 2016

[32] Slika geometrij

https://blog.uvm.edu/scalexan-vsf/flatland/historical-context-and-non-

euclidean-geometry/, 10. 5. 2016

[33] Pravilnik o projektiranju cest

http://www.uradni-list.si/1/content?id=58173&smode=sem, 6. 5. 2016

[34] Nožiščna krivulja

http://www.presek.si/31/1538-Razpet.pdf, 20. 5. 2016