din‚mica ii - apostila

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  • 1Prof. DSc. Valtency F. Guimares

    Dinmica II

    2

    Dinmica II

    Bibliografia Recomendada

    Bibliografia BBibliografia Bsica:sica:HIBBELER, R.C. Dinmica Mecnica para Engenharia, 12 ed. Editora Pearson. 2010.BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecnica Vetorial para Engenheiros: Dinmica, 7 ed., Mc Graw Hill, 2006.MERIAM, J. L. Dinmica. 2 Edio. Traduzido por Frederico Felgueiras Gonalves e JosRodrigues de Carvalho. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos, 1989.

    Bibliografia Complementar:Bibliografia Complementar:SHAMES, I. H. Dinmica. Mecnica para Engenharia. 4 ed. Prentice Hall, 2003.GIACAGLIA, G. E. O. Mecnica Geral. Campus, 1982.KRAIGE, G.; MERIAM, J. L. Mecnica - Dinmica. 5 Edio. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos, 2003. 496p.NORTON, Robert L. Projeto de Mquinas Uma abordagem integrada. Traduzido por Joo Batista de Aguiar et al. 2 Edio. Porto Alegre: Bookman, 2004. 887p.ARFKEN, George B. Fsica Matemtica: Mtodos Matemticos para Engenharia e Fsica. Traduzido por Arlete Simille Marques. 1 Edio. Rio de Janeiro: Campus, 2007. 900p.

    Prof. DSc. Valtency F. Guimares

  • 3Cinemtica plana de corpos rgidos

    1. Introduo2. Corpos Rgidos

    2.1 - Movimento de translao2.2 - Movimento de rotao

    i - breve reviso - Rotaes e Velocidade Angular

    i i - Acelerao Angular

    i i i - Rotao com Acelerao Angular Constante

    iv - Relao entre Velocidade e Acelerao, Lineares e Angulares

    3. Atividades Introdutrias

    Dinmica II

    Introduo - Dinmica

    4

    1 - Introduo

    O fenmeno mais bvio e fundamental que observamos nossa volta o movimento. Praticamente todos os processos imaginveis tm como origem o movimento dos corpos. A Terra e os outros planetas movem-se em torno do Sol que, por sua vez, faz girar o sistema solar em torno do centro da galxia; os eltrons, em movimento no interior dos tomos, do lugar absoro e emisso da luz e, no interior de um metal, produzem corrente eltrica; as molculas de um gs, em movimento aleatrio, do origem presso e aos processos de difuso. Nossa experincia diria nos mostra que o movimento de um corpo influenciado pelos corpos que o rodeiam, isto , pelas interaes com eles. Num tubo de televiso ou no monitor de um sistema de computao, por exemplo, o feixe de eltrons deve mover-se de forma a produzir uma imagem na tela.

    Introduo - Dinmica

  • 5Introduo

    Um dos objetivos dos fsicos e dos engenheiros descobrir a relao existente entre os movimentos e as interaes que os produzem e dispor as coisas de modo a produzir movimentos teis.

    Para anlise e previso do movimento de partculas (ou de corpos rgidos) resultante de diferentes tipos de interaes, alguns conceitos primordiais como momento, fora, e energia foram criados. Estes conceitos so to importantes que raramente podemos analisar um processo sem express-lo em termos destes conceitos.

    Introduo - Dinmica

    6

    A mecnica de Newton uma mecnica voltada para o estudo do movimento de um objeto puntiforme. Diz-se que a mecnica de Newton a mecnica do ponto. Mas os casos de maior interesse so aqueles em que estudamos no uma partcula (um ponto), mas um sistema de partculas, ou seja, estudamos um conjunto muito grande de objetos puntiformes.

    As leis de Newton valem para cada um deles. Um corpo rgido um sistema constitusistema constitudo de partdo de partculasculas (tomos, por exemplo) agregadas de agregadas de um modo tal que a distncia entre as vum modo tal que a distncia entre as vrias partes que constituem o rias partes que constituem o corpocorpo (ou o sistema) no varia com o tempono varia com o tempo (no mudam), ou seja, as distncias entre as vrias partes que compem o corpo so rigorosamente constantes.

    Introduo - Dinmica

    2 - Corpos Rgidos

  • 7Pode-se dizer ento que um Corpo RCorpo Rgidogido pode ser definido como um corpo em que todos os pontos materiais conservam as distncias entre si, mesmo sob aplicao de um esforo externo.

    Um corpo rgido executa basicamente dois tipos de movimento: movimento de translao, quando todos os pontos percorrem trajetrias paralelas, como em (A), e movimento de rotao, quando os pontos percorrem trajetrias circulares, como em (B).

    Introduo - Dinmica

    Corpos Rgidos

    8

    Destaca-se, porm, que o caso mais genrico do movimento de um corpo rgido dado no exemplo (C); ou seja, uma combinao de translao e rotao.

    Corpos Rgidos

    A figura abaixo mostra o movimento parablico do centro de massa de um objeto lanado ao ar, enquanto o objeto gira em torno do seu centro de massa.

    Introduo - Dinmica

  • 9O movimento de translao pode ser analisado observando-se exclusivamente o centro de massa do corpo. O corpo executa movimento de translao se o seu centro de massa se desloca medida que o tempo passa. Assim, o movimento de translao do corpo rgido est associado ao movimento do centro de massa.O que provoca o movimento de translao so as foras externasagindo sobre o corpo rgido. O corpo rgido se desloca de tal forma que tudo se passa como se todas as foras estivessem atuando sobre o centro de massa.

    Nos movimentos de translao valem as leis de Newton e a conservao da quantidade de movimento.

    2.1 - Movimento de translao

    Introduo - Dinmica

    10

    Movimento de translao

    Seja um corpo rgido em translao e sejam e duas partculas quaisquer no interior do corpo. Num sistema de referncia fixo, define-se:

    Derivando a expresso em relao ao termo, obtm-se:

    Ou seja, quando um corpo rgido se encontra em translao, todos os pontos do corpo tm, em qualquer instante, a mesma velocidade e a mesma acelerao.

    Introduo - Dinmica

  • 11

    Movimento de translao

    Para um corpo que se move uma distncia s durante um intervalo de tempo t sua velocidade mdia definida como:

    A velocidade instantnea v definida como o limite para o qual tende esta razo quando t se aproxima de zero:

    Se a velocidade do corpo variar v num intervalo de tempo t, ele tem uma acelerao mdia definida como:

    e a acelerao instantnea a definida como limite desta razo quando ttende a zero:

    tsvm

    =

    dtds

    tsv

    t=

    = 0lim

    tv

    ttvvam

    ==

    12

    12

    dtdv

    tva

    t=

    = 0lim

    Introduo - Dinmica

    12

    O outro movimento do corpo rgido o movimento de rotao, que se observa sempre que um torque a ele aplicado, como num pio. Por exemplo, em espetculos de patinao artstica no gelo, frequentemente se v uma patinadora girar em torno de si mesma com os braos abertos na horizontal.

    2.2 - Movimento de rotao

    Ao encolher os braos sobre o peito, nota-se que a sua velocidade angular aumenta consideravelmente. A distribuio de massa do corpo no espao afeta a rotao.

    Introduo - Dinmica

  • 13

    No movimento de translao, quando a mesma fora aplicada a objetos de massas diferentes, observam-se aceleraes diferentes. J no movimento de rotao, quando o mesmo torque aplicado em objetos idnticos com distribuio diferente de massa, observam-se aceleraes angulares diferentes.

    Ento, no a massamassa que afeta a velocidade angular da patinadora mas a distribuidistribuio da massao da massa do seu corpo. Essa distribuio pode ser expressa atravs de uma quantidade denominada momento de inrcia.

    Movimento de rotao

    Introduo - Dinmica

    14

    Vamos relembrar o movimento dos corpos extensos (corpos slidos), aqueles corpos que no podem ser tratados como tendo toda a massa concentrada em ponto. Que pode mudar tanto a sua posio quanto a sua direo. Objetos que apresentem movimento de rotao em torno de um eixo prprio. A descrio do movimento de um corpo extenso requer, em geral, trs ngulos de orientao assim como as trs coordenadas do seu centro de massa.

    i - breve reviso - Rotaes e Velocidade Angular

    xy

    z

    Introduo - Dinmica

  • 15

    Quando um corpo slido gira em torno de um eixo prprio, as coordenadas x, y e z de cada ponto no corpo aumentam e diminuem continuamente medida que o objeto percorre uma trajetria circular.

    i - breve reviso - Rotaes e Velocidade Angular

    z

    x 2 y

    1r

    r

    Introduo - Dinmica

    16

    Como o uso de coordenadas x, y e z , em geral, uma forma sofisticada de descrever as rotaes, e sendo elas confinadas em um nico plano facilmente descritas por um ngulo, isto ser considerado nesta reviso.

    Lembrando que nos familiar a utilizao de medidas envolvendo ngulos (graus e radianos).

    i - breve reviso - Rotaes e Velocidade Angular

    x

    y

    z n

    )(t

    r

    )( tt + )(t

    r

    Introduo - Dinmica

  • 17

    Considere o comprimento S do segmento de um crculo contido em um ngulo , como indicado na figura (a). Se o crculo tem um raio r, o comprimento de sua circunferncia dado por rC 2=

    Ento, , com em graus.Vemos que, para um dado ngulo , s e r so proporcionais. Devido ao frequente uso da relao de proporcionalidade entre r e s na dinmica das rotaes, bastante conveniente definir: , com em radianos.

    rs 2360=

    rS =

    i - breve reviso - Rotaes e Velocidade Angular

    Introduo - Dinmica

    18

    Na figura (b), a linha de referncia OP de um corpo em rotao faz um ngulo 1 com a linha de referncia fixa OX, em um instante t1. Num instante posterior t2 o ngulo cresceu para 2. A velocidade angular mdia( ) do corpo, no intervalo entre t1 e t2, definida como a razo entre o deslocamento angular = 2-1 e o intervalo de tempo t = t2 - t1:

    t=

    i - breve reviso - Rotaes e Velocidade Angular

    Introduo - Dinmica

  • 19

    A velocidade angular instantnea definida como o limite para o qual tende esta razo quando t aproxima de zero:

    Como o corpo rgido, a velocidade angular uma caracterstica do