diktat pendukung matematika diskrit k0144

DIKTAT PENDUKUNGMATEMATIKA DISKRIT K0144

Drs. Sangadji, M.Sc., Ph.D.D1808

F S T

UNIVERSITAS BINA NUSANTARAJAKARTA

1

PERTEMUAN 1: LOGIKA PROPOSISI

Pendahuluan

Dalam logika matematika, yang dibicarakan hanyalah proposisi atau pernyataan

atau kalimat deklaratif yang artinya kalimat yang bernilai benar atau salah dan tidak

sekaligus kedua-duanya. Yang tidak termasuk pernyataan misalnya kalimat harapan,

kalimat perintah, kalimat seru dan sebagainya. Beberapa pernyataan merupakan susunan

atau gabungan dari pernyataan-pernyataan bagiannya yang dihubungkan oleh beberapa

macam konektif (kata hubung logika) misalnya ”dan”, ”atau” dll. dan disebut pernyataan

gabungan.

Contoh

1. Contoh pernyataan:

a. ”New York kota besar”

b. ”Paris ibukota negara Inggris”

c. ” ”

2. Contoh bukan pernyataan:

a. ”Semoga kamu lekas sembuh”

b. ”Cepat lari!”

c. ”Ke mana dia pergi?”

d. ”Alangkah cantiknya gadis itu.”

e. ”Penduduk kota Jakarta kaya” (tidak dilengkapi kuantor/pembatas penduduk)

f. ” ” (untuk benar, untuk salah, disebut kalimat terbuka)

Tabel kebenaran

Suatu definisi yang berbentuk tabel yang menunjukkan hubungan antara nilai

kebenaran dari setiap pernyataan bagian yang menyusun pernyataan gabungan dengan

nilai kebenaran pernyataan gabungan tersebut.

Negasi (ingkaran), konjungsi dan disjungsi

2

B B S S B B S

B S S B S B B

S B B S S B B

S S B B S S S

, : pernyataan bagian .

B: benar, S: salah

atau ~ p : ingkaran dari p, atau ~ q: ingkaran dari q.

: konjungsi dari p dan q dibaca ”p dan q” (pernyataan gabungan).

: disjungsi dari p dan q dibaca ”p atau q” (pernyataan gabungan).

: bernilai benar hanya untuk keduanya benar.

: bernilai salah hanya untuk keduanya salah.

: exclusive or dari p dan q dibaca ”p exclusive or q”

Implikasi

®

B B B

B S S

S B B

S S B

: hipotesis, : konklusi.

® : implikasi.

® : bila p maka q.

® : bernilai salah hanya untuk p benar dan q salah.

® : p disebut syarat cukup bagi q.

q disebut syarat perlu bagi p.

3

Konvers, invers, dan kontrapositif dari implikasi

® : implikasi mula – mula.

® : konvers dari ® , ® : invers dari ® .

® : kontrapositif dari ® .

® ® ® ®

B B B B B B S S

B S S B B S S B

S B B S S B B S

S S B B B B B B

Biimplikasi

« : p bila dan hanya bila q.

® ®

B B B B B B

B S S B S S

S B B S S S

S S B B B B

: bernilai benar untuk keduanya bernilai kebenaran yang sama,

bernilai salah untuk keduanya bernilai kebenaran yang berlainan.

PERTEMUAN 2: ALJABAR PROPOSISI

Proposisi mempunyai sifat fundamental yang disebut hukum atau formula.

Beberapa hukum yang penting kita kelompokkan di bawah ini.

4

sama

sama

sama

1) Idempoten

p Ú p = p, p Ù p = p

2) Asosiatif

(p Ú q) Ú r = p Ú (q Ú r), (p Ù q) Ù r = p Ù (q Ù r)

3) Komutatif

p Ú q = q Ú p, p Ù q = q Ù p

4) Distributif

p Ú (q Ù r) = ( p Ú q) Ù ( p Ú r)

p Ù (q Ú r) = (p Ù q) Ú (p Ù r)

5) DeMorgan

6) Identitas

p Ú F = p, p Ù F = F

p Ú T = T, p Ù T = p

T : Tautologi, F : Kontradiksi

7) Komplemen

8) Absorpsi

p Ú (p Ù q) = p, p Ù (p Ú q) = p

5

Contoh

1. Bukan pernyataan:

a. “Kemana kamu mudik ?”,

b. “Semoga dia lekas sadar.”,

c. “Cepat keluar!”,

d. “Alangkah kayanya saudagar itu.”,

e. “Penduduk kota Medan kaya.”

f. “x + 2 = 10”.

2. Termasuk pernyataan:

a. “Jakarta kota kecil.”,

b. “ dan New York kota besar.”,

c. “1 + 0 = 2.”,

d. “New Mexico negara bagian dari Amerika Serikat.”

3. p : Ali pandai, q : Badu malas.

a. p Ù q : Ali pandai dan Badu malas.

b. p Ú q : Ali pandai atau Badu malas.

c. : Ali tidak pandai atau Badu tidak malas.

d. : Ali tidak pandai dan Badu tidak malas.

4. Buktikan bahwa ® = Ú dengan membuat tabel kebenaran untuk dan Ú

.

6

Solusi

®

B S B B B

B S S S S

S B B B B

S B S B B

5. Buktikan hukum absorpsi, yaitu

p Ú (p Ù q) = p, p Ù (p Ú q) = p dengan membuat tabel kebenaran.

Solusi

p Ú (p Ù q) p Ù (p Ú q)

B B B B B B

B S S B B B

S B S B S S

S S S S S S

6. Tulislah ingkaran dari pernyataan :

a) Ali pandai dan malas.

b) Badu kaya atau malas.

c) Bila Amir belajar maka dia lulus.

d) Mawar berwarna merah bila dan hanya bila violet berwarna biru.

Solusi

a) Ali tidak pandai atau tidak malas.

b) Badu tidak kaya dan tidak malas.

c) Amir belajar dan tidak lulus.

d) Mawar berwarna merah dan violet tidak berwarna biru atau violet

berwarna biru dan mawar tidak berwarna merah.

7

2. Tulislah konvers, invers, dan kontrapositif dari implikasi : Bila Anna pandai dan

rajin maka dia lulus.

Solusi

Konvers : Bila Anna lulus maka dia pandai dan rajin.

Invers : Bila Anna tidak pandai atau tidak rajin maka dia tidak lulus.

Kontrapositif : Bila Anna tidak lulus maka dia tidak pandai atau tidak rajin.

3. Sederhanakanlah :

a) ( p Ú q) Ù ,

b)

Solusi

a)

b)

Soal

1. Tentukan tabel kebenaran dari :

a) ® ( Ú ),

b) ( Ù ) ® ( Ú ),

c) ( Ù ) Ù ( Ú r ),

d) ( ® ) Ù ( ® r).

2. Tentukan nilai kebenaran dari :

a) Bila 5 < 3 maka -3 < -5.

b) ( 2 + 7 = 9 ) « ( 2 + 1 = 5 ® 5 + 5 = 8 ).

3. Tulislah konvers, invers, dan kontrapositif dari implikasi : Bila pandai dan sehat

maka kaya atau tidak sakit-sakitan.

4. Sederhanakan:

8

a)

b)

c)

PERTEMUAN 3: PERNYATAAN

Proposisi (pernyataan, kalimat deklaratif)

Proposisi dapat berarti kalimat yang bernilai benar atau salah dan tidak sekaligus

kedua-duanya.Bergantung dengan konteksnya, proposisi dapat berarti suatu pernyataan

yang telah dibuktikan kebenarannya, yang tingkatnya lebih rendah dari teorema.

9

Pernyataan gabungan disusun oleh pernyataan-pernyataan bagiannya yang

dihubungkan dengan konektif atau kata hubung logika. Dalam logika sehari-hari atau

logika di masyarakat, biasanya ada hubungan antara pernyataan-bagian yang menyusun

pernyataan gabungan. Tetapi dalam logika matematika antara pernyataan-pernyataan

bagian tersebut boleh ada hubungan atau tidak.Pada tabel kebenaran sudah didefinisikan

negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi dll. sehingga pada umumnya suatu pernyataan

yang benar dalam logika sehari-hari juga benar dalam logika matematika, dan suatu

pernyataan yang salah dalam logika sehari-hari juga salah dalam logika matematika.

Dalam hal ini boleh dikatakan logika matematika lebih luas dari logika sehari-hari.

Tautologi dan kontradiksi

Tautologi : pernyataan yang selalu bernilai benar.

Kontradiksi : pernyataan yang selalu bernilai salah.

Ekivalen logis (logical equivalence)

Dua pernyataan disebut ekivalen logis atau ekivalen bila tabel-tabel kebenaran

dari keduanya sama.

Definisi

Suatu pernyataan yang disetujui bersama oleh semua pihak yang terlibat.

Contoh

1. Bilangan bulat n disebut pembagi dari bilangan bulat m bila m = kn untuk suatu

bilangan bulat k.

2. Bilangan bulat positif p > 1 disebut prima bila pembagi positif dari p hanyalah

1dan p.

3. Suatu segitiga disebut samakaki bila dua sisinya panjangnya sama.

4. Pasangan berurutan dari bilangan nyata (real) adalah sama dengan

pasangan berurutan dari bilangan nyata bila dan .

5. Bilangan bulat n disebut genap bila 2 adalah pembagi dari n.

6. Bilangan bulat n disebut ganjil bila n = 2k +1 untuk suatu bilangan bulat k.

7. Bilangan nyata r disebut rasional (terukur) bila dengan m dan n bilangan

bulat dan .

10

8. Suatu segitiga disebut siku- siku bila dua sisinya saling tegaklurus.

Terminologi (istilah) matematika

1. Proposisi

Suatu pernyataan yang telah dibuktikan kebenarannya.

2. Teorema

Suatu pernyataan yang sifatnya lebih umum dan lebih penting dari

proposisi yang telah dibuktikan kebenarannya.

3. Corollary

Suatu pernyataan yang buktinya dengan mudah dapat diturunkan dari

suatu teorema atau singkatnya suatu akibat.

4. Lemma

Suatu pernyataan yang telah dibuktikan kebenarannya dan digunakan

untuk membuktikan teorema.

5. Aksioma

Suatu pernyataan yang dapat diterima kebenarannya tanpa bukti.

Contoh

1. Proposisi

a) Jumlah sudut- sudut dalam segitiga sembarang adalah

b) Akar-akar persamaan kuadrat akan sama dan bernilai real

bila

2. Teorema

a) Teorema Binomial : di mana bilangan

bulat positif.

b) Teorema Fundamental Aritmatika :

11

Setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 adalah prima atau

sebagai hasil kali dari bilangan-bilangan prima. Tanpa memerhatikan

urutan, penyajian hasil kali tersebut adalah tunggal (unique).

Misalnya

3. Corollary

a) .

b)

4. Lemma

a) Untuk membuktikan Teorema Binomial diperlukan lemma :

b) Untuk membuktikan Teorema Fundamental Aritmatika diperlukan lemma:

Bila p adalah bilangan prima dan p adalah pembagi dari hasil kali

maka p adalah pembagi dari sekurang-kurangnya satu dari

bilangan- bilangan

5. Aksioma

a) Garis lurus ditentukan oleh 2 titik.

b) Bidang datar ditentukan oleh 3 titik.

Soal

1. Berikan definisi dari segitiga samakaki yang ekivalen dengan definisi di

muka.

2. Berikan dua definisi yang ekivalen dari segitiga samasisi.

3. Berikan definisi-definisi dari fungsi genap dan fungsi ganjil.

4. Berikan contoh-contoh yang lain dari proposisi, teorema, corollary, lemma,

dan aksioma.

12

PERTEMUAN 4: ARGUMENTASI DAN KUANTOR

ARGUMENTASI

13

Argumentasi adalah penarikan kesimpulan dari sekelompok pernyataan

yang disebut premis yang menghasilkan pernyataan lain S yang disebut

konklusi. Argumentasi sedemikian akan ditulis dengan notasi/simbol

Perlu dicatat bahwa argumentasi juga merupakan pernyataan sehingga mempunyai satu

nilai kebenaran. Bila suatu argumentasi benar, disebut valid dan bila salah disebut fallacy

atau tidak valid.

Hukum Silogisme

Argumentasi ini valid:

__________

Hukum modus ponens


_________

Hukum modus tolens:


___________

Contoh

14

1. Tentukan validitas dari argumentasi ini

__________

Solusi

Bila p maka q atau (~ p atau q) benar dengan ~ p benar maka dapat disimpulkan q

bisa benar atau salah. Jadi ~ q bisa benar atau salah. Jadi argumentasi tersebut tidak

valid.

2. Tentukan validitas dari argumentasi ini

__________

Solusi

benar bila kedua p dan q benar atau salah. Karena q benar maka p juga benar.

Jadi argumentasi tersebut valid.

Soal

1. Buktikan bahwa argumentasi di bawah ini valid.

__________

2. Tentukan validitas dari argumentasi di bawah ini.

__________

3. Tentukan validitas dari argumentasi di bawah ini.

__________

15

4. Untuk premis-premis yang diberikan tariklah suatu kesimpulan supaya argumentasinya

valid.

5. Untuk premis-premis yang diberikan tariklah suatu kesimpulan supaya

argumentasinya valid..





KUANTOR

Kuantor adalah notasi yang digunakan untuk menyatakan kuantitas suatu obyek dalam

logika matematika.

Contoh

1) Kuantor unive rsal :

“ ”, dibaca “semua” atau “setiap”.

2) Kuantor eksistensial :

“ ”, dibaca “beberapa” atau “terdapat paling sedikit satu” atau lebih singkat

“terdapat”.

“ “, dibaca “terdapat tepat satu”.

16

Contoh penggunaan

Misalkan suatu himpunan yang tidak kosong.

Bila punya sifat/predikat ditulis .

1) “ ” , dibaca “Untuk setiap , x bersifat ”, atau “semua

bersifat ”.

2) “ ” , dibaca “ Beberapa bersifat ”, atau “Terdapat paling

sedikit satu yang bersifat ”.

3) “ ”, digunakan pada 2) : “ ”, dibaca “Terdapat tepat satu

yang bersifat ”.

Contoh dalam negasi

1)

2)

3) di mana

4)

5)

6)

Contoh dalam definisi

1) Bilangan bulat n adalah bilangan kuadrat bila terdapat bilangan bulat k

sedemikian sehingga .

2) Himpunan A tidak kosong bila terdapat elemen a sedemikian sehingga .

3) Himpunan S dikatakan himpunan bagian dari T bila .

4) Fungsi disebut genap bila ,

5) Fungsi disebut ganjil bila

6) Diketahui himpunan-himpunan , dan . Himpunan A disebut

himpunan bagian sejati dari himpunan B bila dan

17

Induksi matematika

Seringkali kita akan menentukan bahwa suatu proposisi tertentu adalah

benar untuk setiap .

Misalnya atau

. Untuk membuktikannya, digunakan Prinsip Induksi Matematika.

Prinsip induksi matematika

Untuk membuktikan bahwa benar untuk :

1) Buktikan benar.

2) Asumsikan benar, buktikan benar.

Contoh

1. Buktikan

Solusi

, jadi benar atau untuk

Asumsikan benar, yaitu benar. Dibuktikan

benar, yaitu .

Catatan:

benar: pangkal, benar : konklusi induksi, Asumsi benar :

hipotesis induksi.

2. Buktikan

18

Solusi

jadi benar.

Asumsikan benar.

3. Buktikan

Solusi

Asumsikan benar.

4. Buktikan Rumus DeMoivre :

Solusi

jadi benar.

Asumsikan benar. Maka,

Soal

19

1) Buktikan

2) Buktikan

3) Buktikan

4) Buktikan Rumus Binomial :

Sesuai pada Teorema Binomial, buktikan dulu lemma:

5) Diketahui fungsi dengan sifat

Buktikan bahwa

6) Diketahui fungsi dengan sifat

Buktikan bahwa .

7) Buktikan bahwa

8) Buktikan bahwa adalah pembagi dari

9) Buktikan bahwa 6 adalah pembagi dari .

10) Buktikan bahwa 9 adalah pembagi dari

11) Buktikan bahwa untuk .

12) Buktikan bahwa :

20

PERTEMUAN 5: HIMPUNAN

Suatu himpunan adalah suatu kumpulan dari obyek-obyek. Obyek-obyek

tersebut dinamakan anggota-anggota atau elemen-elemen dari himpunan. Bila A adalah

suatu himpunan dan x adalah suatu elemen dari A, ditulis . Bila x bukan elemen

dari A, ditulis . Himpunan yang elemen-elemennya hanya a, b, c ditulis .

Himpunan dari semua x yang punya sifat ditulis .

Dua himpunan A dan B sama, ditulis A = B, bila : . Himpunan

A disebut himpunan bagian dari B, ditulis , bila setiap anggota dari A adalah juga

anggota dari B.

Himpunan yang tidak punya anggota, ditulis atau { }, adalah himpunan bagian

dari himpunan sebarang. disebut juga himpunan kosong.

Definisi

1) Produk (kartesius) dari A dan B, ditulis adalah :

2) Gabungan atau union dari A dan B, ditulis A È B, adalah :

3) Irisan atau intersection dari A dan B, ditulis , adalah :

4) Selisih dari A dan B, ditulis adalah :

dan

5) Himpunan kuasa dari A , ditulis , adalah :

Contoh

Misalkan A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}, maka :

1)

2)

21

3)

4)

Aljabar dari himpunan, dualitas

Untuk U adalah himpunan semesta, adalah himpunan kosong, A, B, C adalah

himpunan sembarang, berlakulah huku-hukum di bawah ini.

Hukum Idempoten

1a. 1b.

Hukum Asosiatif

2a. 2b.

Hukum Komutatif

3a. 3b.

Hukum Distributif

4a. 4b.

Hukum Identitas

5a. 5b.

6a. 6b.

Hukum Involusi

7.

Hukum Komplemen

8a. 8b.

9a. 9b.

Hukum DeMorgan

10a. 10b.

Bukti

Sebagaicontoh, kta buktikan Hukum DeMorgan :

bhb bhb tidak benar bahwa ( atau )bhb ( dan

bhb

( dan )bhb .

22

Soal

1. Buktikan a. b.

2. Buktikan a. b.

3. Buktikan a. bhb b. bhb

4. Buktikan a. bhb b. bhb

5. Formula memberikan definisi operasi beda dinyatakan dengan operasi

interseksi dan komplemen. Carilah formula yang memberikan definisi dinyatakan

dengan operasi interseksi dan komplemen.

6. Suatu survei dari 100 mahasiswa, diperoleh data statistik sebagai berikut: 22 belajar

matematika, 20 belajar fisika, 45 belajar biologi, 15 belajar matematika dan biologi, 7

belajar matematika dan fisika, 10 belajar fisika dan biologi, 30 tidak belajar apa-apa.

a. Tentukan banyaknya mahasiswa yang belajar ketiga pelajaran tersebut.

b. Tentukan banyaknya mahasiswa yang hanya belajar satu pelajaran saja.

7. Yang dimaksud dengan beda simetrik dari himpunan-himpunan A dan B adalah

himpunan

a. Buktikan sifat asosiatif dari beda simetrik, yaitu

b. Buktikan sifat kanselasi dari beda simetrik, yaitu bila dan maka

c. Buktikan sifat distributif dari beda simetrik, yaitu

8. Buktikan bahwa

9, Carilah contoh yang menunjukkan bahwa .

10.Dari 60 mahasiswa yang belajar bahasa Inggris diketahui bahwa: 30 mahasiswa

pernah belajar bahasa Perancis, 48 mahasiswa pernah belajar bahasa Jerman, 20

mahasiswa pernah belajar bahasa Latin, 22 mahasiswa pernah belajar bahasa Perancis

dan bahasa Jerman, 18 mahasiswa pernah belajar bahasa Jerman dan bahasa Latin, 10

mahasiswa pernah belajar ketiga bahasa tersebut, dan 6 mahasiswa tak pernah belajar

satu pun dari ketiga bahasa tersebut. Tunjukkan bahwa terdapat kesalahan pada data di

atas.

23

PERTEMUAN 6: RELASI

Relasi

Bila A dan B adalah himpunan, yang dimaksud relasi dari A ke B adalah suatu

himpunan bagian dari .

Fungsi

Fungsi A ke B adalah suatu relasi dari A ke B sedemikian sehingga untuk setiap

terdapat satu dan hanya satu dimana (a, b) Î f. Bila untuk setiap

terdapat paling banyak satu dimana (a, b) Î f, f disebut fungsi parsial. Himpunan A

24

disebut domain dari fungsi f dan himpunan B disebut range dari fungsi f. Bila (a, b) Î f,

b = f(a) yaitu nilai dari f di a.

Definisi

1) Fungsi disebut surjektif atau onto bila :

2) Fungsi disebut injektif atau satu-ke-satu bila :

atau .

3) Fungsi disebut bijektif bila : f surjektif dan sekaligus injektif.

4) Image dari fungsi adalah :

Contoh

Misalkan dan maka :

1) adalah fungsi dari ke , dengan

. image dari fungsi

2) hanyalah relasi dari ke dan bukan fungsi dari

ke . Relasi f ini merupakan fungsi parsial dari ke .

3) Fungsi disebut predikat pada himpunan A. Misalnya

dapat didefinisikan fungsi sebagai predikat

pada dengan

Soal

1) Diketahui

a) Carilah :

b) Carilah :

2) Yang manakah relasi-relasi dari di bawah ini merupakan fungsi ?

.

a)

b)

25

y

z

d

c

b

a

c)

3) Apakah merupakan fungsi :

a) dari

b) dari

c) dari

d) dari ?

Relasi sebagai graph

Relasi R dari A ke B adalah himpunan bagian dari . Relasi R dapat disajikan

dengan diagram sebagai berikut :

Tulis elemen-elemen dari A pada satu garis dan tulis juga elemen-elemen dari B pada

satu garis lain. Untuk setiap , gambar panah dari titik a ke titik b. Penyajian ini

disebut bipartite graph representation dari R, dengan contoh sebagai berikut :

x

Bila A = B dapat digunakan penyajian lain dari R yang lebih menarik. Penyajian

ini disebut directed graph representation. Untuk menyajikan , gambar diagram

dengan satu titik untuk setiap elemen dari A; untuk setiap gambar panah dari

titik x ke titik y.

Titik-titik disebut nodes atau vertices, sedang panah-panah disebut edges. Hal ini

digambarkan sebagai berikut :

26

Bila x suatu node, banyaknya panah yang menuju x disebut in-degree ; sedangkan

banyaknya panah yang berasalah dari x disebut out-degree.

Definisi

1) Relasi R pada A disebut refleksif bila

2) Relasi R pada A disebut simetrik bila :

3) Relasi R pada A disebut transitif bila :

Bila relasi R simetrik, dapat digambarkan penyajian ke tiga dari R yang tidak

memerlukan arah panah, disebut undirected graph representation.

ba

d

c

d

a

b

c

27

Relasi R refleksif Relasi R tidak refleksif

Relasi R simetrik Relasi R tidak simetrik

Relasi R transitif

28

Undirected grah representation dari relasi

simetrik R diatas

Relasi R : refleksif, simetrik dan transitif

Misalkan relasi R pada A adalah transitif dan adalah

panah-panah dalam . Dengan sifat transitif, didapat : , sehingga juga didapat

.

Definisi

Misalkan adalah suatu relasi. Yang dimaksud dengan path dari ke

dalam adalah barisan sedemikian sehingga,

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

Bila , path di atas disebut cycle. Bilangan n disebut panjang dari path di

atas. Suatu graph tanpa cycles disebut acyclic.

Proposisi

Relasi transitif bhb untuk setiap path dari berada di dalam maka

terdapat edge yang berada di dalam .

29

1) Misalkan dan relasi pada A adalah :

a. Gambarkan bipartite graph representation dari .

b. Gambarkan directed graph representation dari .

c. Cek apakah refleksif, simetrik atau transitif.

2) Misalkan Apakah refleksif ? Apakah

refleksif ? Gambarkan kedua relasi tersebut sebagai bepartite graphs

dan directed graphs.

3) Pandang undirected graph ini :

Sajikan graph ini sebagai suatu relasi.

4) Gambarlah suatu directed graph yang simetrik dan transitif, tetapi tidak

refleksif.

5) Suatu relasi yang refleksif, simetrik dan transitif disebut relasi ekivalen.

Berikan deskripsi dari directed graph dari relasi ekivalen.

6) Misalkan

a. Daftar semua relasi .

b. Daftar semua relasi .

c. Dari relasi-relasi dalam a. dan b. , mana yang refleksif, simetrik, transitif?

Relasi ekivalen

Suatu relasi yang refleksif, simetrik dan transitif disebut relasi ekivalen.

Definisi

Misalkan adalah suatu relasi ekivalen dan misalkan .

Klasekivalen dari a terhadap R, ditulis , adalah

30

4x

2x

3x

, disingkat .

Teorema

Bila adalah relasi ekivalen pada , dan , maka :

(i) bila .

(ii) bila .

(iii) .

Graph dari relasi ekivalen

Definisi

Bila R adalah relasi ekivalen pada A, maka yang disebut quotient set adalah

Definisi

Misalkan A adalah suatu himpunan. Himpunan bagian dari P(A) disebut

partisi dari A bila setiap adalah tidak kosong dan untuk setiap , terdapat

tepat satu sedemikian sehingga .

31

1

3

2

Teorema

Himpunan bagian dari P(A) merupakan partisi pada A bhb untuk

suatu relasi ekivalen R pada A.

Soal

1) Diketahui dan R suatu relasi dari pada A di mana

Buktikan bahwa R adalah relasi ekivalen dan carilah .

2) Diketahui dan R suatu relasi dari pada A di mana

Buktikan bahwa R adalah relasi ekivalen dan carilah .

3) Misalkan A dan B adalah himpunan dan suatu fungsi. Didefinisikan :

kernel dari

Buktikan bahwa untuk f sebarang, adalah relasi ekivalen.

4) Buktikan :

32

Bila R adalah relasi ekivalen pada A, terdapatlah himpunan B dan fungsi

sedemikian sehingga

Komposisi relasi

Misalkan A, B, dan C adalah himpunan-himpunan. Misalkan juga R adalah relasi

dari A ke B dan S adalah relasi dari B ke C. Jadi dari definisi relasi, R adalah himpunan

33

bagian dari dan S adalah himpunan bagian dari Dibentuk relasi komposisi

dari R dan S, yaitu dari A ke C yang didefinisikan sebagai

Kadang-kadang relasi dasingkat RS.

Contoh

1. Misalkan , dan . Misalkan juga

Maka

karena dan serta Juga didapat

karena Dapat disimpulkan

Teorema

Misalkan A, B, C, D adalah himpunan-himpunan. Misalkan juga R adalah relasi

dari A ke B, S relasi dari B ke C, dan T relasi dari C ke D. Maka

Invers relasi

Misalkan R adalah relasi dari A ke B. Yang dimaksud dengan invers relasi dari R, ditulis adalah relasi dari B ke A dengan

Contoh

1. Misalkan dan R adalah relasi pada A di mana maka adalah juga relasi pada A dengan

2. Invers dari relasi ”x adalah suami y” adalah relasi ”y adalah isteri x”.

PERTEMUAN 7 : FUZZY SET

Pendahuluan

Misalkan X merupakan himpunan semesta. Yang dimaksud dengan himpunan

kabur atau fuzzy set A adalah dikarakterisir dengan fungsi karakteristik yang diperumum

atau fungsi keanggotaan dari X ke selang tertutup

34

Contoh

1.Misalkan X adalah himpunan dari semua pabrik mobil. Himpunan kabur A

dikarakterisir dengan fungsi keanggotaan di mana adalah

prosentase mobil x digunakan di Jakarta.

2. Misalkan himpunan semesta X adalah himpunan dari semua mahasiswa yang

mengambil mata kuliah Matematika Diskrit K0144. Himpunan kabur B dikarakterisir

dengan fungsi keanggotaan di mana adalah IPK x dibagi 4.

3. Misalkan X adalah himpunan semesta. Himpunan biasa atau crisp set C dapat

dikarakterisir dengan fungsi keanggotaan fungsi karakteristik biasa pada C. Ingat bahwa

fungsi karakteristik biasa pada C atau adalah fungsi dari X ke selang tertutup

dengan

Dua himpunan kabur A dan B disebut sama, ditulis bila dan hanya bila

Bila himpunan semesta berhingga, himpunan kabur D,

misalnya dapat ditulis sebagai

atau sebagai “jumlah”

atau dengan notasi

Himpunan (kabur) kosong dan himpunan(kabur) semesta

Misalkan X adalah himpunan semesta.Himpunan kabur kosong dikarakterisir

dengan fungsi keanggotaan fungsi nol dari X yaitu sedangkan

himpunan kabur semesta dikarakterisir dngan fungsi keanggotaan

Support dari himpunan kabur

Misalkan X adalah himpunan semesta. Support dari himpunan kabur A:supp

35

Untuk himpunan kabur A dengan penulisan

maka supp

cut dari himpunan kabur

Misalkan X adalah himpunan semesta. Untuk yang dimaksud dengan

dari himpunan kabur A adalah

Untuk himpunan kabur A dengan penulisan

maka dari himpunan kabur A adalah

Inklusi untuk himpunan kabur

Diberikan dua himpunan kabur A dan B dari himpunan semesta X. Himpunan A

disebut himpunan bagian dari himpunan B ditulis bila

Operasi himpunan kabur

Diberikan dua himpunan kabur A dan B dari himpunan semesta X. Gabungan

dari himpunan-himpunan kabur A dan B dikarakterisir dengan fungsi keanggotaan

sedangkan irisan dari himpunan-

himpunan kabur A dan B dikarakterisir dengan fungsi

keanggotaan Untuk komplemen dari

himpunan kabur A dikarakterisir dengan fungsi keanggotaan

Soal

Misalkan himpunan semesta adalah Himpunan-

himpunan kabur A, B dan C berturut-turut dikarakterisir oleh fungsi-fungsi keanggotaan

Dengan menggambarkan kurva fungsi keanggotaannya,

1. Tentukan himpunan kabur


36







PERTEMUAN 13: ALJABAR BOOLE

Definisi dasar

Baik himpunan-himpunan maupun pernyataan-pernyataan, keduanya mempunyai

sifat-sifat yang mirip, yang disebut hukum-hukum identikal. Hukum-hukum ini

digunakan untuk mendefinisikan struktur matematika yang abstrak yang disebut aljabar

Boole.Nama tersebut diambil dari matematikawan Inggris Geoge Boole (1815-1864).

Misalkan B adalah himpunan tidak kosong dengan dua operasi biner + dan ,

satu operasi unari ‘, dan dua elemen yang berbeda 0 dan 1. Himpunan B disebut aljabar

Boole, bila aksioma-aksioma di bawah ini dipenuhi, di mana a, b, c adalah lemen-elemen

sembarang dalam B.

37

(B1) Hukum-hukum komutatif:

(B2) Hukum-hukum distributif:

(B3) Hukum-hukum identiti:

(B4) Hukum-hukum komplemen:

Kadang-kadang aljabar Boole ditulis dengan notasi di mana 0 disebut

elemen nol, 1 disebut elemen satuan dan disebut komplemen dari a. Sebagaimana

pada hasilkali biasa pada bilangan-bilangan real, tanda tidak akan dituliskan. Misalnya

artinya

Operasi-operasi +, dan ‘ berturut-turut disebut jumlah, hasilkali dan

komplemen.Kita mengikuti aturan yang berarti yang berarti

Contoh

1. Misalkan dengan dua operasi biner + dan yang didefinisikan sebagai

+ 1 0

1 1 1

0 1 0

1 0

1 1 0

0 0 0

dan operasi unari ‘ didefinisikan sebagai dan Maka B merupakan aljabar

Boole.

38

2. Misalkan C koleksi dari himpunan yang tertutup terhadap union, interseksi dan

komplemen. Maka C merupakan aljabar Boole dengan himpunan kosong sebagai

elemen nol dan himpunan semesta U sebagai elemen 1.

3. Misalkan adalah himpunan dari pembagi-pembagi 70 yaitu

Didefinisikan dan ‘ pada sebagai

kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b, pembagi persekutuan terbesar dari a,

Maka merupakan aljabar Boole dengan 1 sebagai elemen nol dan 70 sebagai elemen

satuan.

Dualitas

Dual dari pernyataan sembarang dalam suatu aljabar Boole B adalah pernyataan

yang diperoleh dengan menukar operasi-operasi + dan dan menukar elemen-elemen 0

dan 1 dalam pernyataan semula. Sebagai contoh, dual dari adalah

Perhatikan sifat simetri dalam aksioma-aksioma dari aljabar Boole B.Yaitu, dual dari

aksioma juga aksioma dalam aljabar Boole B. Berdasarkan hal tersebut, diperoleh hasil

Prinsip Dualitas yang penting, yang dinyatakan sebagai

Teorema 1 (Prinsip Dualitas):

Dual dari teorema sembarang dalam dalam aljabar Boole juga merupakan suatu teorema.

Menggunakan aksioma-aksioma (B1) sampai dengan (B4) dalam aljabar Boole B,

diperoleh

Teorema 2

Misalkan adalah elemen-elemen sembarang dalam aljabar Boole B. Maka berlaku

(i) Hukum-hukum idempoten:

(ii) Hukum-hukum keterbatasan:

(iii) Hukum-hukum absorpsi:

(iv) Hukum-hukum asosiatif:

Teorema 3

Misalkan a adalah elemen sembarang dalam aljabar Boole B.Maka berlaku

(i) Hukum Ketunggalan Komplemen: Bila maka

39

(ii) Hukum Involusi:

(iii)

Teorema 4 (Hukum-hukum DeMorgan)

Misalkan adalah elemen-elemen sembarang dalam aljabar Boole B.Maka berlaku

(i)

Disain rangkaian skakelar listrik (rangkaian logika)

Misalkan merupakan skakelar listrik, dan misalkan untuk skakelar A, A’

menunjukkan skakelar listrik bila A hidup A’mati dan bila A mati A’ hidup. A dan B dapat

dihubungkan seri, ditulis atau paralel ditulis Disain rangkaian skakelar

listrik Boole adalah susunan dari kawat dan skakelar yang disusun dengan penggunaan

berulang-ulang dari kombinasi seri dan paralel. Jadi rangkaian tersebut dapat dapat ditulis

dengan notasi dan

Teorema 5

Aljabar dari rangkaian skakelar listrik Boole merupakan aljabar Boole.

Soal

1. Gambarkan ungkapan (ekspresi) Boole Sederhanakan

ungkapan (ekspresi) Boole dan kemudian gambarkan hasilnya.

2. Gambarkan ungkapan (ekspresi) Boole Sederhanakan

ungkapan (ekspresi) Boole dan kemudian gambarkan hasilnya.

PERTEMUAN 15: DNF (Disjunction Normal Form)

Pandang himpunan dari peubah-peubah (huruf atau simbol), misalkan

Yang dimaksud dengan ekspresi Boole E dalam peubah-peubah ini,

biasanya ditulis sebagai , adalah peubah sembarang atau ekspresi

sembarang yang dibangun oleh peubah-peubah tersebut menggunakan operasi-operasi

Boole dan ‘. Sebagai contoh,

dan

merupakan ekspresi Boole dalam peubah x, y, z.

Yang dimaksud dengan literal adalah peubah atau komplemen dari peubah,

misalnya dsb.

40

Produk Fundamental

Yang dimaksud dengan produk fundamental adalah literal atau produk dari dua atau

lebih literal di mana tidak ada dua literal yang mengandung peubah yang sama. Misalnya,

semuanya merupakan produk fundamental. Tetapi dan keduanya bukan

produk fundamental.

Produkfundamental dikatakan termuat dalam produkfundamental lain bila

literal-literal dari juga iteral-literal dari Sebagai contoh termuat dalam

tetapi tidak dalam karena x’ bukan literal dari produk fundamental kedua.

Bila produk fundamental termuat dalam produk fundamental maka dengan

hukum absorpsi Misalnya termuat dalam diperoleh

DNF & Metodanya

Ekspresi Boolean E merupakan disjunctive normal form (dnf) bila E adalah produk

fundamental atau jumlah dari dua atau lebih produk fundamental di mana tak ada produk

fundamental yang termuat dalam produk fundamental yang lain. Sebagai contoh,

dan

Yang pertama bukan dnf karena termuat dalam sedang yang kedua juga

bukan dnf karena termuat dalam

Menggunakan hukum-hukum aljabar Boole, kita dapat mengkonstruksikan algoritma

untuk mengubah ekspresi Boole sembarang E ke bentuk dnf, dengan cara sbb.

(1) Menggunakan hukum-hukum de Morgan dan involusi, kita dapat menjalankan

operasi komplemen ke dalam kurung sembarang sampai akhirnya hanya terdapat

komplemen dari peubah-peubah. Kemudian E hanya mengandung jumlahan dan

produk dari literal saja.

(2) Menggunakan hukum distributif, kita dapat terus mengubah E ke dalam

jumlahan dari produk-produk, lalu menggunakan hukum-hukum komutatif,

idempoten dan absorpsi, kita akhirnya dapat mengubah E dalam dnf.

Sebagai contoh, dengan (1)

41

Kemudian dengan (2),

yang berbentuk dnf.

Full DNF

Ekspresi Boole disebut full disjunctive normal form bila

merupakan dnf dan setiap produk fundamental mengandung semua peubah. Kita dengan

mudah dapat mengubah dnf ke dalam full dnf dengan mengalikan setiap produk

fundamental P dari E dengan bila P tidak mengandung Sebagai contoh, kita

dapat mengubah di atas ke dalam full dnf dengan

Perlu dicatat bahwa sehingga mengalikan dengan dibolehkan.

Teorema

Setiap ekspresi Boole yang tidak sama dengan nol dapat

dituliskan dalam full dnf dengan tunggal.

Contoh

1. Nyatakan ekspresi Boolean berikut dalam dnf dan dalam full dnf

Solusi

dalam dnf. Juga,

dalam full dnf.


Solusi

42

dalam dnf. Juga,

dalam full dnf.


Solusi

dalam dnf. Bentuk terakhir ini bisa dipandang sebagai

dalam bentuk full dnf bila peubah-peubahnya hanya x dan y. Tetapi dalam soal jelas

bahwa peubah-peubahnya diketahui dalam x, y, z. Jadi

dalam full dnf.

PERTEMUAN 16: TEORI GRAPH

Pengertian dan konsep dasar

Graph G terdiri dari dua bagian:

(i) Himpunan V yang elemen-elemennya disebut titik-titik atau nodes.

(ii) Himpunan E dari pasangan-pasangan tak berurutan dari titik-titik yang

berlainan yang disebut rusuk-rusuk atau edges.

Kita menulis graph sedemikian dengan untuk menekankan dua bagian dari

graph G tersebut. Titik-titik u dan v disebut bersebelahan atau adjacent bila terdapat

rusuk Kita menggambarkan graph dengan diagram secara alami. Dalam hal ini

setiap titik v dalam V disajikan dengan lingkaran kecil atau dot, dan setiap rusuk

disajikan dengan kurva yang menghubungkan titik-titik ujung dan

Pada graph biasanya tidak dibolehkan adanya rusuk ganda atau multiple edges,

yaitu adanya lebih dari satu rusuk yang menghubungkan dua titik pada graph tersebut.

Pada graph juga tidak dibolehkan adanya loop, yaitu rusuk yang titik-titik

ujungnya sama. Graph dengan dua sifat ini disebut multigraph. Yang dimaksud

43

dengan walk adalah multigraph yang terdiri dari barisan yang bergantian dari titik dan

rusuk dengan bentuk

Sedangkan path adalah walk di mana semua titik-titiknya berlainan.

Misalkan adalah graph. Misalkan juga V’ himpunan bagian dari V , dan E’

adalah himpunan bagian dari E yang memuat semua rusuk dari E yang titik-titik

ujungnya merupakan elemen dari V’. Dalam hal ini merupakan subgraph dari

graph

Komponen dari graph

Graph disebut terhubung atau connected bila antara dua titik sembarang terdapat

suatu path yang menghubungkan dua titik tersebut. Subgraph terhubung dari graph

disebut komponen terhubung dari bila dia tidak termuat dalam

subgraph terhubung sembarang yang lebih besar. Secara intuitif jelas bahwa setiap graph

dapat dipartisi ke dalam komponen-komponen terhubungnya.

Jarak antara dua titik dan diameter

Jarak antara dua titik u dan v dari graph terhubung G, ditulis , adalah panjang

dari path terpendek antara u dan v. Diameter dari graph terhubung G adalah jarak

maksimum dari dua titik sembarang dari G.

Misalkan v adalah titik dari graph G. Yang dimaksud dengan adalah adalah graph

yang diperoleh dari G dengan menghilangkan v dan semua rusuk-rusuk yang berinsiden

dengan v. Titik v dalam graph terhubung G disebut titik potong atau cut point bila

menjadi tak terhubung.

44

PERTEMUAN 20: PEWARNAAN GRAPH

Pewarnaan titik

Pewarnaan titik dari graph G adalah penentuan warna pada titik-titik G,

sedemikian sehingga titik-titik yang bersebelahan mempunyai warna-warna berlainan.

Banyaknya warna minimum yang diperlukan untuk mewarnai G disebut bilangan

kromatik atau chromatic number dari G dan ditulis dengan simbol

Kita berikan algoritma Welch dan Powell untuk mewarnai

graph G. Langkah pertama adalah mengurutkan titik-titik dari G berdasarkan degreenya

yang menurun (urutan ini tidak tunggal karena ada titik-titik yang punya degree sama).

Langkah kedua adalah memberikan warna pertama untuk titik pertama. Untuk mewarnai

selanjutnya adalah secara barisan, warnai setiap titik yang tidak bersebelahan dengan titik

yang diwarnai sebelumnya dengan warna yang sama. Ulangi proses yang sama

menggunakan warna kedua dan barisan bagian dari titik-titik yang belum diwarnai.

Lanjutkan prosesnya dengan warna ketiga, dst. sampai semua titik-titik terwarnai. Kita

memakai algoritma Welch-Powell untuk mewarnai graph G pada Gambar 6-5.

45

Mengurutkan titik-titik menurut degreenya yang menurun diperoleh barisan

Warna pertama digunakan untuk mewarnai titik-titik dan Warna kedua dipakai

untuk mewarnai titik-titik Warna ketiga dipakai untuk mewarnai titik-titik

dan sehingga Perlu dicatat bahwa karena dan

harus diwarnai berlainan. Jadi Juga, graph komplit atau lengkap dengan n

titik simpul memerlukan n warna dalam pewarnaan sembarang, karena setiap titik simpul

bersebelahan dengan setiap titik simpul lainnya.

Contoh

1. Perhatikan Gambar 6-18. Gunakan algoritma Welch-Powell untuk mewarnai

(pewarnaan titik) graph pada gambar tersebut.

Solusi

Dikerjakan secara barisan, kita pakai warna pertama untuk mewarnai titik-titik simpul H,

B, dan lalu G.( Kita tidak dapat mewarnai A, D, atau F dengan warna pertama karena

masing-masing terhubung dengan H. Kerjakan terus secara barisan dengan titik-titik

simpul yang belum diwarnai, kita pakai warna kedua untuk titik-titik simpul A dan D.

Titik-titik simpul sisanya F, C dan E dapat diwarnai dengan warna ketiga. Jadi bilangan

kromatik n tidak dapat melebihi 3. Pada setiap pewarnaan, H, D, dan E harus diwarnai

berlainan, karena mereka terhubung satu sama lain. Jadi

Pewarnaan rusuk

Pewarnaan rusuk dari graph G adalah penentuan warna pada rusuk-rusuk G, sedemikian

sehingga rusuk-rusuk yang bersebelahan mempunyai warna-warna berlainan. Banyaknya

warna yang diperlukan dibuat minimum.

Contoh

1. Perhatikan graph pada halaman 149. Pewarnaan rusuk graph tersebut dikerjakan

sebagai berikut:

1) kita beri warna pertama.

2) dan kita beri warna pertama juga, karena dan tidak saling terhubung

langsung oleh sebuah titik.

46

3) kita beri warna kedua.

4) dan dapat diberi warna kedua juga, karena dan juga tidak saling

terhubung melalui sebuah titik.

5) dan dapat diberi warna ketiga.

6) Terakhir, kita beri warna keempat.

Jadi bilangan kromatik (pewarnaan rusuk) dari graph di atas adalah empat, atau

2. Pada pewarnaan rusuk untuk graph lengkap bilangan kromatik dari memenuhi

rumus:

Pewarnaan daerah

Pandang suatu map M, yaitu representasi planar dari multigraph planar yang berhingga. Dua daerah dari M dikatakan bersebelahan bila mereka mempunyai suatu rusuk berserikat. Yang dimaksud dengan pewarnaan daerah dari M adalah penentuan warna pada setiap daerah dari M sedemikian sehingga daerah-daerah yang bersebelahan mempunyai warna yang berlainan. HAL 149

Contoh

1. Sebagai contoh, pada Gambar 6-6 (a) daerah-daerah dan bersebelahan,

sedangkan dan tidak. Map pada Gambar 6-6 (a) mempunyai bilangan kromatik tiga,

yaitu banyaknya warna minimum untuk pewarnaan daerah dari map tersebut. Hal ini

mengingat: diberi warna merah, putih, merah, putih, merah dan biru.

47

2. Gambar 6-7 memperlihatkan map yang sangat sederhana, yang memerlukan empat

warna pada pewarnaan (daerah) sembarang.

Soal

1. Carilah bilangan kromatik untuk pewarnaan daerah pada setiap map pada Gambar 6-

30.

PERTEMUAN 21: TREE GRAPH

Suatu graph terhubung tanpa cycle disebut tree atau pohon. Pada Gambar 5-11

diperlihatkan enam pohon masing-masing dengan enam titik simpul. Subgraph T dari

graph G disebut spanning tree dari G bila T merupakan tree dan memuat semua titik

simpul dari G. Gambar 6-8 memperlihatkan graph G dengan spanning trees dan

dari G. Bila G adalah suatu graph yang rusuk-rusuknya mempunyai panjang, maka yang

dimaksud dengan minimal spanning tree dari G adalah spanning tree dari G di mana

jumlah panjang dari rusuk-rusuknya minimal di antara semua spanning tree dari G.

Pandang graph G yang merupakan graph terhubung berlabel berhingga dengan m titik-

48

titik simpul. Di bawah ini kita berikan dua algoritma untuk mendapatkan minimal

spanning tree dari G.

Algoritma I.

Pertama, urutkan rusuk-rusuk dari G sesuai dengan panjangnya secara menurun.

Kerjakan secara barisan, hilangkan setiap rusuk yang tidak memutus (membuat tidak

terhubung) graph G sampai tinggal rusuk. Rusuk-rusuk ini membentuk minimal

spanning tree dari G. Algoritma ini bergantung pada diketahuinya graphnya terhubung,

yang pada umumnya tidak mudah dibuat programnya.

Algoritma II.

Dimulai dengan mengurutkan rusuk-rusuk dari G sesuai dengan panjangnya

secara menaik. Kemudian, dimulai dengan hanya titik-titik simpul dari G, kita

tambahkan rusuk satu persatu di mana setiap rusuk punya panjang minimal dan tidak

membentuk cycle manapun. Setelah menambahkan rusuk, kita dapatkan minimal

spanning tree dari G. Gambar 6-9 memberikan graph terhubung berlabel G dan minimal

spanning tree M.

Contoh

1.Tentukan semua spanning trees dari graph G pada Gambar 6-20.

Solusi

Terdapat delapan spanning trees dari graph G sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 6-

21. Setiap spanning tree mempunyai tiga rusuk. Jadi setiap spanning tree dapat diperoleh

dengan menghilangkan dua dari lima rusuk G. Ini dapat dikerjakan dalam sepuluh cara,

kecuali dua di antaranya menjadi graph tak terhubung. Jadi delapan spanning trees di atas

merupakan semua spanning trees dari G.

2. Carilah minimum spanning tree untuk graph dengan rusuk-rusuk berlabel pada

Gambar 6-22.

Solusi

Terus hilangkan rusuk-rusuk dengan panjang maksimum tanpa membuat graph menjadi

tidak terhubung. Cara lain, mulai dengan sembilan titik simpul, terus tambahkan rusuk-

rusuk dengan panjang minimum tanpa membuat cycle manapun. Kedua cara

menghasilkan minimum spanning tree sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 6-23.

49

PERTEMUAN 23: FINITE AUTOMATA

Kita bisa memandang suatu komputer digital sebagai suatu mesin yang berada di

dalam “internal state” tertentu pada waktu yang diberikan sembarang. Komputer tersebut

“membaca” input symbol , dan kemudian “mencetak” output symbol dan mengubah

“state”nya. Output symbol bergantung hanya pada input symbol dan internal state dari

mesin, dan internal state dari mesin bergantung hanya pada state sebelumnya dan input

symbol sebelumnya. Gagasan ini diformalisasikan pada definisi berikut.

Definisi

Suatu finite state machine M terdiri dari lima bagian:

50

(1) Himpunan berhingga A dari input symbols.

(2) Himpunan berhingga S dari internal states.

(3) Himpunan berhingga Z dari output symbols.

(4) Next-state function f dari ke S.

(5) Output function g dari ke Z.

Mesin M ini ditulis dengan sewaktu kita ingin menekankan lima

bagiannya. Kadang-kadang diberikan juga initial state atau state awal di dalam S, dan

mesin M ditulis dengan

Contoh

Di bawah inidiberikan finite state machine M dengan dua input symbols, tiga internal

states dan tiga output symbols:

(1)

(2)

(3)

(4) Next-state function f dari ke S didefinisikan dengan

(5) Output function g dari ke Z didefinisikan dengan

Menurut tradisi, untuk menunjukkan states digunakan simbol q dan untuk menunjukkan

initial state digunakan simbol

Finite Automata

Finite automaton adalah mirip finite state machine kecuali bahwa automaton mempunyai

“accepting” dan “rejecting” states. Secara spesifik, finite automaton M terdiri dari lima

bagian, yaitu:

(1) Himpunan berhingga A dari input symbols.

(2) Himpunan berhingga S dari internal states.

(3) Himpunan bagian T dari S ( yang elemen-elemennya disebut accepting states)

(4) Initial state di dalam S.

(5) Next-state function f dari ke S.

51

Automaton M ini ditulis dengan sewaktu kita ingin menekankan

lima bagiannya.

Contoh

1. Di bawah ini mendefinisikan suatu finite automaton dengan dua input symbols dan tiga

states:

(1) , input symbols

(2)

(2) , accepting states

(4) , initial state.

(5) Next-state function f dari ke S didefinisikan dengan

Kita dengan ringkas dapat mendiskripsikan finite automaton M dengan state

diagramnya sebagaimana dikerjakan dengan finite state machine, kecuali bahwa di sini

kita menggunakan lingkaran dobel untuk accepting states dan setiap rusuk dilabel hanya

dengan input symbol. Secara spesifik, state diagram D dari M adalah graph berarah yang

dilabel yang titik-titiknya adalah states dari S di mana accepting states dilabel

menggunakan lingkaran dobel; dan bila maka terdapat busur dari ke

yang dilabel dengan Juga initial state ditunjukkan dengan panah menuju titik

Sebagai contoh, state diagram dari automaton M dari contoh di atas diberikan dalam

Gambar 7-9.

Diberikan string berhingga dari input symbols dari automaton M,

kita peroleh barisan dari states di mana adalah initial state dan

untuk Kita katakan bahwa M mengenal atau menerima string W bila

final state adalah accepting state, yaitu bila Kita gunakan untuk

menunjukkan himpunan semua string yang dikenal oleh M. Sebagai contoh, kita dapat

memperlihatkan bahwa automaton M dalam contoh di atas akan mengenal semua string

yang tidak mempunyai dua b yang berurutan . Jadi M akan menerima

dan akan menolak

52

diktat pendukung matematika diskrit k0144

Documents