digitalni sau

7/31/2019 Digitalni SAU

1/12

Uvod u digitalne sisteme automatskog upravljanja

Digitalni sistemi automatskog upravljanja

Upotreba digitalnih raunara u ulozi kompenzatora i regulatora, u poslednje dve decenijenaglo raste. To je posledica rasta njihovih performansi i pouzdanosti, te drastinog padacena. Blok dijagram digitalnog sistema automatskog upravljanja sa jednostrukom

povratnom spregom je prikazan na slici 1. Digitalni raunar u ovoj konfiguraciji prima signalgreke u digitalnom obliku, vri njegovu obradu i na svom izlazu daje digitalni signalpotreban za upravljanje procesom. Raunar se moe programirati tako da njegov izlaznisignal obezbeuje regulaciju pri kojoj e proces imati ba (ili skoro) eljene karakteristike (iperformanse). Veina raunara je sposobna da prima i obrauje vie razliitih ulaznihsignala, tako da su digitalni SAU veoma esto multivarijabilni.

Digitalni raunar prima i obrauje signale u digitalnoj (numerikoj) formi, za razliku odkontinualnih sistema gde su svi signali analogni. Digitalni sistem automatskogupravljanja (DSAU) koristi digitalne signale i digitalni raunar u cilju upravljanjaprocesom (i njegovom regulacijom). Rezultati merenja se iz analognog oblikakonvertuju u digitalni primenom analogno/digitalnog (A/D) konvertora (slika 1). Nakonprocesiranja, raunar na svom izlazu daje digitalni signal. Digitalni signal se zatimkonvertuje u analogni oblik primenom digitalno/analognog (D/A) konvertora (slika 1).

Digitalni

raunar

Digitalno-

analogni

konvertor

Analogno-digitalni

konvertor

Aktuator Proces

Senzor

(merenje)

Digitalni

signal

Analogni

signal

Referentni ulaz

(digitalni signal) Odziv-izlaz

(analogni signal)

Analogni

signal

Digitalni

signal

Slika 1.

Sistemi sa meovitim (analognim i diskretnim) komponentama -"sampled-data systems"

Raunar je u sistemu automatskog upravljanja povezan sa aktuatorom i procesom prekokonvertora signala. Izlaz iz raunara se procesira D/A konvertorom. Smatra se da sviulazni i izlazni signali raunara dolaze i odlaze u jednakim, fiksiranim vremenskimintervalima T. Veliina Tse naziva perioda odabiranja (semplovanja). Ovo je prikazano naslici 2, gde sekvenca (niz) diskretnih (semplovanih) vrednosti ulaznog signala r(kT) ulazi udigitalni raunar. Na istoj slici su prikazani jo i diskretni signali u(kT) i m(kT), te analognisignalip(t), m(t) i y(t) koji su kontinualne funkcije vremena.

Podaci o vrednosti neke promenljivex(t) dobijeni u diskretnim vremenskim intervalima seoznaavaju sax(kT) i nazivaju semplovani podaci odnosno diskretni (diskretizovani)signal.

str. 1 od 12


2/12


Digitalniraunar

Digitalno-analognikonvertor

Analogno-digitalnikonvertor

Aktuatori proces

u(kT) p(t)

r(kT)Referentni ulaz

y(t)Odziv-izlaz

m(t)m(kT)

Slika 2.

Odabira se u osnovi moe predstaviti kao prekida koji se zatvara na beskonano kratkovreme svakih T sekundi. Idealni odabira je prikazan na slici 3. Ulazni signal je r(t),a izlaznir*(t). Perioda (vreme) odabiranja (semplovanja) je nT, tako da je tekua vrednost signalar*(t) signal r(nT). Na osnovu ovoga se moe napisati r*(t)=r(nT)(t-nT), gde je (t-nT)jedinina impulsna funkcija (Dirakov impuls).

Kontinualnisignal

Diskretnisignal

Odabira"Sempler"

r(t) r*(t)

Slika 3.

Neka se sada vri semplovanje signala r(t) i na taj nain dobija signal r*(t), kako jeprikazano na slici 3. Signal r*(t) se predstavlja nizom (povorkom) impulsa koji poinje utrenutku t=0. Meusobni razmak izmeu impulsa je Ta njihova amplituda r(kT). Na slici 4a

je prikazan ulazni signal r(t), dok je odgovarajua povorka impulsa r*(t) = k=0

r(kT)(t-kT)

prikazana vertikalnim strelicama na slici 4b.

r(t)

0 T 2T 3T 4T t

r(kT)

0 T 2T 3T 4T t

r(T)

r(2T)

r(3T)

r(4T)

a) b)

Slika 4.

str. 2 od 12


3/12


Digitilano-analogni (D/A) konvertor je ureaj ija je uloga da diskretni signal r*(t) pretvori ukontinualni signalp(t). D/A konvertor se obino predstavlja kolom zadrke nultog reda,prikazanom na slici 5.

Odabira

r(t) r*(t)G0(s)

Zadrkanultog

reda

p(t)

Slika 5.

Kolo zadrke nultog reda uzima vrednost signala r(kT) i dri je konstantnom uvremenskom intervalu kTt(k+1)T, kako je prikazano na slici 6. za k=0. Na ovaj nain sezadrava vrednost signala r(kT) tokom cele periode odabiranja.

p(t)

0 T

1

Vreme Slika 6.

Odabira i kolo zadrke nultog reda mogu veoma tano da prate ulazni signal ako jeperioda odabiranja Tmala u odnosu na tranzijentne promene signala. Na slici 7 jeprikazan odziv kola zadrke nultog reda na jedininu nagibnu pobudu i periodu odabiranjaT=1sec.

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

6

7

Vreme [s]

r(t)ip(t)

r(t)

p(t)

Slika 7.

str. 3 od 12


4/12


Na slici 8 i 9 su prikazani odzivi odabiraa i kola zadrke nultog reda na eksponencijalnoopadajui ulazni signal r(t)=e

-ti periodu odabiranja T=0.5s i T=0.2s, respektivno. Izlazni

signalp(t)e biti blii ulaznom r(t) to je T blie nuli, odnosno to se ee vri odabiranje.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Vreme [s]

r(t)ip(t)

p(t)

r(t)

T=0.5s

Slika 8.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Vreme [s]

r(t)ip(t)

p(t)

r(t)

T=0.2s

Slika 9.

Na slici 6 je prikazan impulsni odziv kola zadrke nultog reda, i on se analitiki moenapisati u obliku

p(t) = h(t) - h(t-T). (1)Poto Laplasova transformacija impulsnog odziva predstavlja funkciju prenosa sistema, tose nakon primene transformacije na izraz (1) dobija funkcija prenosa kola zadrke nultog

reda

G0(s) =1s

-1se-sT =

1 - e-sT

s(2)

str. 4 od 12


5/12


Preciznost digitalnog raunara i odgovarajuih konvertora signala je ograniena (slika 2).Preciznost se definie kao stepen tanosti sa kojim je registrovana vrednost (amplituda,kvantitet) signala. Preciznost raunara je ograniena konanom duinom rei koju onkoristi. Preciznost A/D konvertora je ograniena njegovom sposobnou da vrednostizlaznog signala uva u digitalnoj logikoj jedinici koja sadri konaan broj binarnih cifara.

Za konvertovani signal, m(kT), se tada kae da sadri greku amplitudne kvantizacije.Kada je greka kvantizacije i greka usled konane duine rei raunara mala u odnosuna amplitudu signala, sistem je dovoljno precizan i navedena ogranienja se moguzanemariti.

Z transformacija

Izlaz idealnog odabiraa, r*(t) je serija (povorka) impulsa vrednosti r(kT), predstavljenaizrazom

r*(t) = k=0

r(kT)(t-kT), (3)

za t>0. Nakon primene Laplasove transformacije na izraz (3) sledi

L{r*(t)} = k=0

r(kT)e-ksT. (4)

Izraz (4) predstavlja beskonani red koji sadri inioce oblika esT

, i njegove stepene. Sadase moe definisati

z = esT. (5)

Izraz (5) definie preslikavanje iz kompleksne s-ravniu z-ravan. Na ovaj nain se definienova, z-transformacija. Sada se moe pisati

Z{r(t)} = Z{r*(t)} = k=0

r(kT)z-k. (6)

U optem sluaju se z-transformacija funkcije f(t) odreuje prema izrazu

Z{f(t)} = F{z} = k=0

f(kT)z-k. (7)

Primer 1. Odrediti z-transformaciju jedininog odskonog signala.

Reenje. h(t)=1, t0 h(kT)=1, k0. Prema izrazu (7) se moe napisati

Z{h(t)} = H{z} = k=0

h(kT)z-k = k=0

z-k. (1.1)

Sumiranjem reda iz prethodnog izraza sledi

H(z) =1

1 - z-1=

zz - 1

(1.2)

Primer 2. Odrediti z-transformaciju eksponencijalnog signala f(t)=e

-at, t0.

str. 5 od 12


6/12


Reenje. Prema izrazu (7) se moe napisati

Z{e-at} = F{z} = k=0

e-akTz-k = k=0

( )zeat -k. (2.1)

Sumiranjem reda iz prethodnog izraza sledi

F(z) = 11 - ( )zeaT -1

= zz - e-aT

(2.2)

Primer 3. Odrediti z-transformaciju sinusnog signala f(t)=sin(t), t0.

Reenje. Sinusna funkcija se moe napisati u obliku sin(t) =ejt - e-jt

2j, odnosno

{sin(t)} =

ejt

2j-

e-jt

2j. (3.1)

Sada je

F(z) =12j

z

z - ejT-

z

z - e-jT=

12j

z( )ejT - e-jT

z2 - z( )ejT - e-jT + 1=

z sin(T)

z2 - 2z cos(T) + 1

(3.2)

U tabeli 1 je dat pregled z-transformacija nekih, najee susretanih funkcija, dok su utabeli 2 date najvanije osobine z-transformacije.

Tabela 1. Z-transformacija funkcijax(t) X(z) x(t) X(z)

(t) 1 1 - e-at ( )1 - e-aT z(z - 1)( )z - e-aT

(t-kT) z-k sin(t) z sin(T)

z2 - 2z cos(T) + 1h(t) z

z - 1

cos(t) z( )z - cos(T)

z2 - 2z cos(T) + 1

t Tz(z - 1)2

e-at sin(t) ze-aT sin(T)

z2 - 2z e-aT cos(T) + e-2aT

e-at z

z - e-aT e-at cos(t) z( )z - e-aT cos(T)

z2 - 2z e-aT cos(T) + e-2aT

str. 6 od 12


7/12


Tabela 2. Osobine z-transformacije

x(t) X(z) x(t) X(z)

kx(t) kX(z) e-atx(t) X( )zeaT

x1(t) + x

2(t) X

1(z) + X

2(z)

x(0),poetnavrednost

limz

X(z)

x(t+T) zX(z) - zx(0)x(),krajnjavrednost

limz1

(z-1)X(z). Limes postoji ako je

sistem stabilan, odnosno ako svipolovi funkcije (z-1)X(z) leeunutar jedininog kruga |z|=1, u z-ravni.

tx(t) -TzdX(z)

dz

Diskretna funkcija prenosa sistema automatskog upravljanja

Posmatra se sistem prikazan na slici 10, gde je izvrena diskretizacija ulaznog (R(z)) iizlaznog signala (Y(z)). Funkcija prenosa ovog sistema u z-domenu je

G(z) =Y(z)R(z)

. (8)

Pretpostavlja se da oba odabiraa imaju istu periodu odabiranja i da je njihov radsinhronizovan. Sada se moe napisati

Y(z) = G(z)R(z) (9)

r(t) R(z)G(z)

Y(z)

Slika 10.

Izraz (9) se moe predstaviti blok dijagramom prikazanom na slici 11.

R(z)G(z)

Y(z)

Slika 11.

Primer 4. Posmatra se digitalni sistem automatskog upravljanja prikazan na slici 4.1.Odrediti funkciju prenosa u z-domenu za periodu odabiranja T=1s i jedinini impulsni odzivsistema.

Odabira

r(t) r*(t)G0(s)

Zadrkanultogreda

p(t)

Proces

)1s(s

1)s(pG

+

=y(t)

T=1

Slika 4.1.

str. 7 od 12


8/12


Reenje. Funkcija prenosa kola zadrke nultog reda je: G0(s) =1 - e-sT

s , tako da je

funkcija prenosaY(s)R*(s) odreena izrazom

Y(s)

R*(s)= G

0(s)G

p(s) = G(s) =

1 - e-sT

s2(s + 1)(4.1)

Izraz (4.1) se moe napisati u obliku

G(s) = ( )1 - e-sT

1

s2-

1s +

1s + 1 . (4.2)

Primenom z-transformacije na prethodni izraz dobija se

G(z) = ( )1 - z-1

Tz

(z - 1)2-

zz - 1 +

z

z + e-T=( )ze-T - z + Tz + ( )1 - e-T - Te-T

(z - 1)( )z - e-T. (4.3)

Poto je T=1, izraz (4.3) postaje

G(z) =ze-1 + 1 - 2e-1

(z - 1)( )z - e-1 =0.3678z + 0.2644(z - 1)(z - 0.3678) =

0.3678z + 0.2644

z2 - 1.3678z + 0.3678. (4.4)

Za jedininu impulsnu pobudu vai r(t)=(t)R(z)=1. Odziv sistema jeY(z)=G(z)R(z)=G(z), i on se odreuje na osnovu izraza (4.4) jednostavnim deljenjembrojioca imeniocem

Y(z)=(0.3678z+0.2644):(z 2-1.3678z+0.3678)=0.3678z -1+0.7675z-2+0.9145z-3+0.9686z-4+...(4.5)

Sabirci na desnoj strani izraza (4.5) predstavljaju vrednosti odziva u trenucima odabiranja i

pri odreivanju izraza (4.5) je mogue odrediti proizvoljan broj ovih sabiraka. Prema izrazu(6)

Y(z) = k=0

y(kT)z-k. (4.6)

se vidi da je y(0)=0, y(T)=0.3678, y(2T)=0.7675, y(3T)=0.9145, y(4T)=0.9686, gde y(kT)predstavljaju vrednosti odziva y(t) u trenucima odabiranja kT.

Diskretna funkcija prenosa sistema automatskog upravljanja sazatvorenom povratnom spregom

Na slici 12 je prikazan digitalni sistem automatskog upravljanja sa zatvorenom povratnomspregom. U povratnoj sprezi se vri diskretizacija (semplovanje) izlaznog signala y(t), takoda u diskriminator dolazi njegova diskretna vrednost Y(z). Smatra se da svi odabirai usistemu imaju istu periodu odabiranja i da je njihov rad sinhronizovan. Na slici 13. jeprikazan blok dijagram istog sistema u kome su svi signali diskretni.

Diskretna funkcija prenosa direktne grane G(z) je dobijena primenom z-transformacije na

funkciju prenosa G(s)=G0(s)Gp(s) koja se sastoji od redne veze procesa (Gp(s)) i kolazadrke nultog reda (G0(s)).

str. 8 od 12


9/12


E(z)G(z)

Y(z)r(t)

R(z) +

-

Y(z)

Slika 12.

Primenom algebre funkcije prenosa, na osnovu slike se moe odrediti funkcija prenosasistema (funkcija spregnutog prenosa) kao

Y(z)R(z) = T(z) =

G(z)1 + G(z). (10)

E(z)G(z)

Y(z)R(z) +

-

Slika 13.

Na slici 14 je prikazan prethodni sistem automatskog upravljanja sa dodatim digitalnimkontrolerom. Na slici 15 je prikazan blok dijagram sistema nakon primene z-transformacijena sve signale. Funkcija spregnutog prenosa sistema u z-domenu je

Y(z)R(z)

= T(z) =G(z)D(z)

1 + G(z)D(z). (11)

D(z)

Y(z)r(t)

R(z) +

-G(z)

Y(z)

Slika 14

E(z)D(z)

R(z) +

-G(z)

Y(z)

Slika 15

Primer 5. Posmatra se digitalni sistem automatskog upravljanja prikazan na slici 5.1.Odrediti funkciju prenosa u z-domenu za periodu odabiranja T=1s i jedinini odskoniodziv sistema.

e(t) e*(t)G0(s)

Zadrkanultogreda

Gp(s)

)1s(s

1

+

y(t)

T=1

r(t) +

-

Slika 5.1

str. 9 od 12


10/12


Reenje. Funkcija prenosa u direktnoj grani G(z) za periodu odabiranja T=1s je odreenau primeru 4

G(z) =0.3678z + 0.2644

z2 - 1.3678z + 0.3678. (5.1)

Funkcija spregnutog prenosa je:Y(z)R(z) =

G(z)1 + G(z) =

0.3678z + 0.2644

z2 - z + 0.6322 . (5.2)

Poto je pobuda jedinina odskona

R(z) =z

z - 1, (5.3)

odziv sistema je

Y(z) =z(0.3678z + 0.2644)

(z - 1)( )z2 - z + 0.6322=

0.3678z2 + 0.2644z

z3 - 2z2 + 1.6322z - 0.6322. (5.4)

Nakon deljenja brojioca imeniocem u izrazu (5.4) dobija se povorka impulsa odziva Y(z)

Y(z) = 0.3678z-1 + z-2 + 1.4z-3 + 1.4z-4 + 1.147z-5... (5.5)

Na slici 5.2 je izlomljenom (plavom) linijom predstavljen odziv Y(z), dok je odziv istogsistema, ali bez diskretizacije (T=0, kontinualan sistem) predstavljen krivom (crvenom)linijom. Na slici se vidi da je preskok digitalnog sistema skoro tri puta vei odkontuinualnog, te da je vreme smirenja za digitalni sistem dva puta vee nego zakontinualni. ta je uzrok ovako "loeg" odziva digitalnog sistema? Da li se i kako to moepopraviti?

Time (sec.)

Amplitude

Step Response

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6From: U(1)

To:Y(1)

Slika 4.2

str. 10 od 12


11/12


Analiza stabilnosti u z-ravni

Linearni kontinualni sistem automatskog upravljanja je stabilan ako se svi polovi funkcijespregnutog prenosa nalaze u levoj poluravni kompleksne s-ravni. Relacija koja povezuje z-ravan i s-ravan je

z = esT = e(+j)T (12)Prethodni izraz se moe napisati u obliku

|z| = eT

Arg{z} = T. (13)

U levoj poluravni kompleksne s-ravni je


12/12


Realizacija PID regulatora u digitalnoj tehnici

Funkcija prenosa PID regulatora se moe napisati u obliku

GPID(s) =U(s)E(s)

= K1 +K2s

+ K3s (14)

U digitalnom obliku funkcija prenosa PID-a se moe predstaviti primenom diskretnihaproksimacija izvoda i integrala. Za izvod po vremenu se moe primeniti pravilo razlike unazad

u(kT) =de

dt t=kT=

1T[ ]e(kT) - e((k-1)T) . (15)

Z-transformacija prethodnog izraza je

U(z) =1 - z-1

TE(z) =

z - 1Tz

E(z). (16)

Integral promenljive e(t) se moe aproksimirati primenom pravila za pravougaonu

integraciju u napred, u trenutku t=kTu(kT) = u[(k-1)T] + Te(kT), (17)

gde je u(kT) izlaz iz integratora u trenutku t=kT. Z-transformacija prethodnog izraza je

U(z) =U(z)

z+ TE(z)

U(z)E(z)

=Tz

z - 1(18)

Na osnovu izraza (14), (16) i (18) moe se napisati funkcija prenosa PID regulatora u z-domenu

GPID(z) =U(z)E(z)

= K1 + K2Tz

z - 1+ K3

z - 1Tz

. (19)

Na osnovu prethodnog izraza se moe napisati izraz za diskretizovani izlazni signal PID-a,odnosno upravljanje koje on generie (uvedena je oznaka x(kT)=x(k))

u(k) = K1e(k) + K2 [u(k - 1) + T e(k)] +K3T

[e(k) - e(k - 1)], (20)

odnosno

u(k) =

K1 + K2T +K3T

e(k) +K3T

e(k - 1) + K2 u(k - 1). (21)

Izrazi (20) i (21) se mogu realizovati primenom digitalnog raunara ili mikroprocesora.Naravno, postavljanjem odreenih koeficijenata na nulu PID algoritam se moemodifikovati u P, PI ili PD upravljaki algoritam.

str. 12 od 12

digitalni sau

Documents