Deferensiasi Parsial

h

r

Volume silinder V = π r2 hHarga V tergantung pada dua besaran r dan h.Bila r tetap dan h bertambah V bertambahKoefisien deferensial V terhadap h dengan r tetap :

h

V

dh

dV

r

konstan

(koefisien deferensial parsial V terhadap h dengan r tetap)

22 1. rrh

V

V

Bila h tetap dan V tergantung pada perubahan r maka :

rhhrr

V 2.2.

V = π r2 h V = f(r, h) berarti ada dua koefisien deferensial Yang satu terhadap r dan satu yang lain terhadap h.Tinjaulah luas silinder : A = 2 π r h maka :

dan rh

Ah

r

A 22

Contoh : z = f (x, y) z = x2 y3

223 32 yxy

zxy

x

z

dan

u = x2 + xy + y2

Deferensial u terhadap x dengan y konstan :yx

x

u

2

Deferensial u terhadap y dengan x konstan :yx

y

u2

z = x3 + y3 – 2x2y

22

2

23

43

xyy

z

xyxx

z

Z = (2x – y)(x + 3y)

yxyxyxy

z

yxyxyxx

z

65)3)(1()3)(2(

54)2)(3()1)(2(

z = (4x -2y)(3x + 5y)

yxyxyxy

z

yxyxyxx

z

2014)2)(53()5)(24(

1424)4)(53()3)(24(

22

22

)(

3

)(

)1)(2()1)((

)(

3

)(

)1)(2()2)((

2

yx

x

yx

yxyx

y

z

yx

y

yx

yxyx

x

z

yx

yxz

z = sin (3x + 2y)

)23cos(22)23cos(

)23cos(33)23cos(

yxyxy

z

yxyxx

z

Soal Latihan :z = 4x2 + 3xy + 5y2

z = (3x + 2y)(4x – 5y)z = tan (3x + 4y)z = (sin (3x + 2y)) / (xy)

z = 3x2 + 4xy – 5y2

maka :

yxy

zyx

x

z10446

dan

Hasilnya masih merupakan f(x) dapat dicari koefisien deferensialnya terhadap x maupun y.

4)46(.

6)46(

2

2

2

2

2

yxyxy

z

yxxx

z

x

z

x

z

x

:y terhadap ialkandideferens

4.

10)104(

2

2

2

2

2

yx

z

yxyy

z

y

z

y

z

y

z = 3x2 + 4xy – 5y2

4.

4.

106

10446

22

2

2

2

2

yx

z

xy

z

y

z

x

z

yxy

zyx

x

z

dan

yx

z

xy

z

berlakuinihaldalam

..

:22

z = 5x3 + 3x2y + 4y3

xyx

zx

xy

z

yy

zyx

x

z

yxy

zxyx

x

z

6.

6.

24630

123615

22

2

2

2

2

222

z = x cos y – y cos x

xyyx

zxy

xy

z

yxy

zxy

x

z

xyxy

zxyy

x

z

sinsin.

sinsin.

coscos

cossinsincos

22

2

2

2

2

yx

z

xy

z

..

22Berlaku pula :

02

2

2

2

y

V

x

VJika V = ln (x2 + y2) buktikan bahwa :

222

22

222

22

2

2

2222

)(

22

)(

)2(22)(

22

1

yx

xy

yx

xxyx

x

V

yx

xx

yxx

V

222

22

222

22

2

2

2222

)(

22

)(

)2(22)(

)(

22

)(

1

yx

yx

yx

yyyx

y

z

yx

yy

yxy

z

02

2

2

2

y

V

x

V

terbukti

Jika V = f (x2 + y2) buktikan : 0

x

Vy

y

Vx

V adalah fungsi dari (x2 + y2), tetapi bentuk fungsinya tidak didefinisikan,tetapi dapat diberlakukan sebagai fungsi dari fungsi dan koefisien Diferensialnya terhadap variabel gabungan (x2 + y2) dinyatakan dengan:f’ (x2 + y2).

0)('.2)('.2

2).('.2).('.

2).(')()('

2).(')()('

2222

2222

222222

222222

yxfxyyxfxyx

Vy

y

Vx

xyxfyyyxfxx

Vy

y

Vx

yyxfyxy

yxfy

V

xyxfyxx

yxfx

V

0''

'1

''

'''

0

22

2

22

x

yf

x

xy

x

yf

x

xy

y

zy

x

zx

x

yf

xx

x

x

yf

x

y

yx

yf

y

z

x

yf

x

y

x

y

x

yf

x

y

xx

yf

x

z

y

zy

x

zxbahwatunjukkan

x

yfzJika

Jika V = f (ax + by) tunjukkan bahwa : 0

y

Va

x

Vb

0)(')('

)(')(')()('

)(')(')()('

byaxfabbyaxfbay

Va

x

Vb

byaxfbbbyaxfbyaxy

byaxfy

V

byaxfaabyaxfbyaxx

byaxfx

V

Deferensial parsial :Terhadap x maka semua variabel bebas yang lain, selain x dianggap konstan.Terhadap y maka semua variabel bebas yang lain, selain y dianggap konstan.

Bila z = f (x, y) maka kita dapat memperoleh :

yx

z

xy

z

y

z

x

z

y

z

x

z

..

22

2

2

2

2

dan

dan

dan

yx

z

xy

z

Berlaku

..

:22

Pertambahan kecil

r

h

V = π r2 h

)(

(

r tetaprh

V

tetaphrhr

V

2

)2

Jika r dan h berubah bersama-sama, r diubah menjadi r + δ(delta) r, h menjadih + δh maka V akan menjadi V + δV.

V + δV = π (r + δr)2(h + δh) = π (r2 + 2r δr + δr2)(h + δh) = π (r2h + 2r δr h + δr2 h + r2 δh + 2r δr δh + δr2 δh)

δV = π (r2h + 2r δr h + δr2 h + r2 δh + 2r δr δh + δr2 δh) - π r2 h ~ π (2r h δr + r2 δh) karena δr dan δh kecil suku yang lain dapat diabaikan.Jadi δV = 2 π r h δr + π r2 δh

hh

Vr

r

VV

Contoh Sebuah silinder memiliki ukuran r = 5 cm dan h = 10 cm.Tentukanlah harga pendekatan pertambahan volume nyajika r bertambah dengan 0,2 cm dan h berkurang 0,1 cm.

V = π r2 h

22 rh

Vdanrh

r

V

)(1,02,0

255

10010.52

2

2

2

berkuranghkarenaδhrh

Vr

V

rh

Vdanrh

r

V

tanda

396,545,175,220

)1,0.(252,0.100

cmV

V

hh

Vr

r

VV

Pertambahan volume = 54,96 cm3

z = f (x, y), bila harga x dan y bertambah dengan bilangan yang sangat kecil δx dan δy, maka harga pertambahan harga z (δz) akan kecil pula.

Jika kita jabarkan δz dalam deret δx dan δy maka : harga δz = A δx + B δy + suku-suku δx δy dengan pangkat yang lebih tinggi (A = f(x) dan B = f(y))

Jika y dijaga tetap, maka δy = 0 sehingga : δz = A δx + suku-suku δx dengan pangkat

lebih tinggi.

x

zAxA

x

z

,0

yy

zx

x

zz

yxfz

y

zBδyx

),(

0 maka , dan konstan Bila

ww

zy

y

zx

x

zz

wyxfz

),,(

Diketahui I = V / R, dengan V = 250 volt dan R = 50 ohm, Tentukan perubahan I jika V bertambah besar 1 volt dan R bertambah sebesar 0,5 ohm.

03,005,002,0)5,0(2500

250)1(

50

1

1

1

),(

2

2

I

RR

VV

RI

R

V

R

I

RV

I

RR

IV

V

II

R

VIRVfI

Harga I turun sebesar 0,03 Ampere

4

3

d

wsy

Tentukanlah persentasi pertambahan y:jika w bertambah 2%, s berkurang 3% dan d bertambah 1%. y = f (w, s, d) maka :

dd

ws-s

d

wsw

d

sy

d

ws-

d

y

d

ws

s

y

d

s

w

y

dd

ys

s

yw

w

yy

5

3

4

2

4

3

5

3

4

2

4

3

43

43

Tentukan harga δw, δs, δd

yyy

d

ws

d

ws

d

wsy

d

d

wss-

d

wsw

d

sy

dds-

δsww

%11100

11

100

4

100

9

100

2

100

14

100

33

100

2

100

1

100

3

100

2

4

3

4

3

4

3

5

3

4

2

4

3

y turun sebesar :11%

P = w2hd Jika kesalahan pengukuran w, h dan d dapat mencapai sampai 1% (plus atau minus), tentukanlah persentasi kesalahan maksimum yang akan diperoleh untuk harga P.

100100100

...2

2

22

22

2

dd

hh

ww

dhwhdwwwhdP

hwd

Pdw

h

Pwhd

w

P

dd

Ph

h

Pw

w

PP

hdwP

100

4

100

1

100

1

100

2100100100

2

1001001002

100100100

2

222

22

PhdwP

hdwhdwhdwP

dhw

hdw

wwhdP

dd

hh

ww

Kesalahan P terbesar apabila semua suku bertanda sama, bila belawanan tanda cenderung mengecilkan hasilnya.Kesalahan P terbesar = 4% dari P.

a

bh

Jika kesalahan pengukuran a dan kesalahan maksimum yang akan diperoleh dalam hasil perhitungan :

luas segitiga panjang sisi miring (h)

)10/1(20

1

20

1

2100

5

2100

5

2

100

5

100

522

2

.

Aabbaab

A

bbdan

aa

a

b

Ab

a

A

bb

Aa

a

AA

baA

h = (a2 + b2)½

hh

hbaba

bah

b

ba

ba

ba

ah

bb

aa

ba

bbba

b

h

ba

aaba

a

h

bb

ha

a

hh

%5

20

1)(

20

1

)(20

1

100

5

)()

100

5()(

100

5

100

5

)()2()(

2

1

)()2()(

2

1

22

22

22

2222

22

2/122

22

2/122