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Max Camenzind
APCOSMO
TUDA @ SS2012
• Hubble: Das Universum der Galaxien expandiert !
• Das Universum ist jedoch ein Kontinuum aus Raum und Zeit
Das Universum Expandiert Der Raum wird gestreckt
Mike Turner 2009
• Wie beschreibt man ein expandierendes Universum ? – nur über Einstein
• Woraus besteht das Universum ? – DM, B, DE
• Dynamik: Die 2 Friedmann-Gleichungen
• Die Zustandsgleichung der Materie - w
• Zeitliche Dichteentwicklung bis heute.
• Modelle des Universums: de Sitter, LCDM, …
• Alter des Universums
• Leuchtkraftdistanz SN Ia vermessen das Universum.
• Winkeldurchmesser im expandierenden Universum.
• Die Fundamentalebene der Kosmologie.
Basics zur Kosmologie
1915 zeigt Albert Einstein Die Geometrie
der RaumZeit folgt aus Energie und Impuls Verteilung.
Allgemeine Relativitätstheorie
(ART) (ART) zur Beschreibung des
RaumZeit Kontinuums.
Albert Einstein
Grundlage ART
H.P. Robertson
Amerikaner
A.G. Walker
Britisch
W. de Sitter
Holländer
Albert Einstein
Deutsch
A. Friedmann
Russe
G. LeMaitre
Belgier
Allgemeine Herleitung der Metrik eines
isotropen und homogenen Universums in
ART “Robertson-Walker Metrik” (1935-6)
Allgemeine
Relativität (1915);
Statisches, geschl.
Universum (1917)
Vakuum-Energie-
gefülltes
Universum
“de Sitter” (1917)
Entwicklung eines homogenen,
expandierenden Universums
“Friedmann Modelle” (1922) „burst of fireworks“ 1927
hat den Big Bang erfunden
Die Begründer der Kosmologie
Lemaître überzeugt Einstein 1932 Einstein gibt das statische Universum auf
… treffen sich in Kalifornien Lemaître überzeugt Einstein ! Einstein-de-Sitter
• Im freien Fall sieht ein Fundamental-Beobachter
lokal die RaumZeit der Speziellen Relativität
(Einsteinsches Äquivalenzprinzip):
Minkowski RaumZeit = flach
• Spezielle Relativität Minkowski-Raum: 4D
• Alle Fundamental-Beobachter messen daher
dieselben Zeitunterschiede dt.
22222222 dzdydxdtcdcds
Einsteinsches Äquivalenzprinzip
3-Raum
Zeitartig
Raumartig
Lichtartig, Null
In jedem Ereignis
ist ein Lichtkegel
definiert.
Kausale Struktur der RaumZeit
Beobachtungen
sind nur längs
Lichtkegel
möglich !
Messen mit Euklidischer Metrik
ds
dx
dy
ds2 dx2 dy22-D
ds2 dx2 dy2 dz23-D
ds2 dr2 r2d22-D
2222222 sin drdrdrds 3-D
x
y
z
rsin
r sind
d
d
dr
r
rd dr
dS
rd
dr
dS
ds
(dx2+dy2)1/2
dz
Kugelkoordinaten
Winkel d(Rektaszension)rd
Großkreise Winkel
(Deklination)
r sin() d
Nach Pythagoras:
ds² = r² d² + r²sin² d²
ds² = g11
d² + g22
d²
Metrische Funktionen:
g11
= r² , g22
= r²sin²
Messen auf der Kugelfläche S²
Sphäre mit Radius r
Einstein 1915: RaumZeit =
Riemannsche Geometrie
ds2 giji, j 0
n
dx idx j
• gij is der Metrische Tensor (symmetrischer Tensor 2. Stufe) : 10 Fun • Vorschrift, wie man den Abstand zwischen zwei Punkten berechnet • Aus metrischem Tensor werden Riemann und Ricci Tensoren berechnet. Der metrische Tensor bestimmt auch die Geodäten (Trajektorien der frei fallenden Körper) mittels Christoffel-Symbole. Technische Details, s. ART Vorlesung, oder Lehrbuch: Hobson, Efstathiou & Lasenby: GR, Introduction for Phys., CUP2006
Die
Sp
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S²
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ikikikik TcGgRgR )/8( 4
2
1
GEOMETRIE VAKUUM MATERIE
Rik Ricci Tensor mit Spur R = Rmm:
folgt aus Riemann Tensor
Albert Einstein 1915: Jede Form der Materie erzeugt Krümmung R (auch Photonen, Vakuum-Energie, …)
Krümmung der RaumZeit
Bestätigung im Sonnensystem
• Gravitative Rotverschiebung (30% bei NS).
• Lichtablenkung an Sonne und Jupiter.
• Periheldrehung der Planeten, insbeson-dere von Merkur: 43`` pro Jahrhundert.
• Shapiro-Laufzeitverzögerung.
• Diese Effekte treten verstärkt auch bei Binär-Pulsaren auf.
• Binär-Pulsare zeigen, dass Gravitations-wellen existieren (gibt es in Newtonscher Physik nicht).
Materie des heutigen Universums
22 %
73 %
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Dunkle Materie im Coma-Haufen Fritz Zwicky 1933 Haufen nicht gebunden
Dunkle Materie im Coma-Haufen
Bindet Haufengas gravitativ
Optisch
dominiert 2 Ellipsen Röntgenstrahlung
Van Waerbeke & Heymans
Galaxienhaufen bilden sich in DM Halos
Dunkle Materie in Galaxien Vera Rubin Rotationskurven
Halo
Scheibe
Galaxie eingebettet
in Halo Dunkler Materie
100 kpc
Michael S Turner
Mike Turner
Weder Erde noch Sonne
im Zentrum des Universums !
Kosmologisches Prinzip (Milne 1933)
1. Wir befinden uns an keiner
ausgezeichneten Position des
Universums ( kein Zentrum).
2. Das Universum ist isotrop. Erst von 1990 - 2008 nachgewiesen!
Isotropie der CMB-Strahlung
Iso
tro
pie
de
r G
ala
xie
n-
ve
rte
ilu
ng
au
f S
ph
äre
n
2000 –
2008 S
DS
S D
R7
420 M
pc
600 M
pc
Jeder Punkt
ist eine Galaxie
Wir sind
scheinbar
im Zentrum
des
Universums
r = 0
Jede
Kugel-
Schale:
r = const
Kugel-
schalen
expandieren
mit der Zeit
r a(t) r
Photosphäre
Universum
3000 K
2,725 K
Galaxien-
Sphäre
Big Bang Kosmische Sphären
Ph
oto
sph
äre
Un
iversu
m
C
MB
1965
Alter des Universums in Mrd. Jahren
Stra
hlu
ngs-S
ph
äre
381000 a 0
r = 0
? Modernes Universum
Kosmische Sphären je tiefer umso jünger
• Wie sieht der Raum aus ds32 ?
• Aus Kosmologischen Prinzip
(Homogenität + Isotropie)
räumliche Krümmung
überall konstant.
• Nur 3 Möglichkeiten: • 3-Sphäre – positive
Krümmung K > 0
• 3-Sattel – negative
Krümmung K < 0
• Flacher E3 – keine
Krümmung K = 0
Geometrien des 3-Raumes
FLRW RaumZeit des Universums
r,, sind co-moving Koordinaten (“Labels” für Objekte).
t: ausgezeichnete kosmologische Zeit (gemessen von Atom-
uhren im Zentrum von Galaxienhaufen).
dx = a(t) dr : Distanzen gestreckt (isotrope Expansion).
a(t) ist eine Funktion der Zeit und r bleibt konstant.
a(t) ist als Skalenfaktor des Universums bekannt und mißt
die universelle Expansionsrate des Universums.
a(t0) = 1 normiert, wobei t0 die heutige Zeit (Alter d. Univ.).
Räumliche Krümmung (+1,0,-1)
FLRW Geometrie des Universums
• Dieses Friedmann-Modell des expandier-enden Universums erklärt folgendes:
• 1. wie Photonen im Universum propagieren Lichtkegelstruktur;
• 2. die kosmologische Rotverschiebung;
• 3. das Hubble-Gesetz und seine nicht-lineare Erweiterung für z > 0,1;
• 4. Distanzen im Universum als Func(z);
• 5. Winkeldurchmesser als Func(z).
• 6. Alter des Universums als Func(z).
Das Friedmann-Universum erklärt
1. Lichtausbreitung: längs Null-Geodäten
• Wie propagieren Photonen im expandierenden Universum ?
• Betrachte Photon emittiert bei
(re) längs einer Linie mit konst
Länge und Breite (d= 0 = d).
• Die Trajektorie ist eine
Null-Geodäte (Eigenzeit = 0):
0)( 222222 drtRdtcdc k = 0
Lichtausbreitung unter Expansion
• Bewegungsgleichung eines Photons (a = R):
“Comoving distance”
= mitbewegte Distanz
nimmt ab.
t
tR
cdttr
drtRdtc
0
2222
)()(
)(
2. Kosmologische Rotverschiebung
Da rechte Seiten identisch
Der erste Term hebt sich gegen letzten weg
Wellenlängen werden durch die Expansion gestreckt !
X X
Intrinsische Leuchtkraft und beobachter Strahlungsstrom:
Die Berechnung der intrinsischen Leuchtkraft einer Galaxie bei Rotversch. z
mittels beobachtetem Strom beruht auf der Struktur der Null-Geodäten
2ds 0
Robertson-Walker Metrik:
22 2 2
2
dr0 ds cdt R(t)
1 kr
2
2 2 2 2 2 2 2
2
drds c dt R (t) r sin d d
1 k r
3. Das Hubble-Gesetz Expansion
Hubble-Gesetz
& Bedeutung H0
=
Hubble-Gesetz mit Supernovae
• H0 ist die “Hubble Konstante”,
• H0 = 63 +/- 6
km/s/Mpc
Calán/Tololo Daten 1989 - 1995
• in jedem expandierenden Universum
tritt die kosmische Rotverschiebung auf
1+z = 1/a Maß für die Schrumpfung;
• Wellenlängen werden durch die
Expansion gestreckt: lBeob = lem(1+z);
• kosmische Rotverschiebung ist kein
Dopplereffekt (Lemaître 1927);
• in jedem expandierenden Universum
ist Hubble-Relation cz = H0d erfüllt, z<0,1
Fazit: Expansion
Von Einsteins Feld-Gleichungen zu
Friedmann-Gleichungen 1922
G00 = 3/a2 (å2 + kc²)/c²
Gki = 1/a2 (2aä + å2 + kc²)/c² k
i
Tmn= diag[(t)c², –p(t), –p(t), –p(t)] = Energie-Impuls-Tensor
Einsteins Feld Glg
i,k = 1,2,3
Friedmann-
Gleichungen
Gegeben Zustandsgleichung p(), zu lösen a(t)…
3 (å2 + kc²) /a2 = 8 G (t)
(2a ä + å2 + kc²) /a2 = -8 G p(t)/c²
Gmn = Rm
n – 1/2 mn R = 8G/c4 Tm
n
Lemaître 1927
Lemaître 1927
c²
c²
Friedmann
1922 & 1924
1. Hauptsatz der
Thermodynamik
Beschleunigung
2 Terme
Materie bremst
• Aus den Friedmann-Gleichungen (c=1):
~ a-3(w+1)
• folgt
– d/dt(a3) = -p d/dt(a3) dU = -p dV , dS = 0
• Für Zustandsgleichung p = w gilt dann
• a3 d = -(w+1) 3 a2 da
• Falls w=constant
3 (å2 + k) /a2 = 8 G (t)
(2a ä + å2 + k) /a2 = -8 G p(t)
Energieerhaltung (1. Hauptsatz)
• Definiert über die Gleichung: p = w c²
• als “Zustandsgleichung (EoS)” bezeichnet
• Spezielle Werte:
– w=0 p=0 zB. Dunkle Materie, Baryonen;
– gut erfüllt für nicht-relativistische Baryonen!
– w=1/3 Strahlung, masselose Neutrinos
– w=-1 Vakuumenergie, sieht wie kosmologische Konstante aus.
Die Kosmische
Zustandsgleichung w
• Materie dominiert (w=0): ~ a-3
• Strahlung dominiert (w=1/3): ~ a-4
• Kosmologische Konstante (w=-1): = const
• Dunkle Energie mit w<-1, zB w=-2: ~ a3 – Energiedichte würde dann zunehmen!
– würde dann sogar Materie dominieren, die aus normalen Elementen besteht! (sog. “Big Rip”)
– w < -1 ist unwahrscheinlich.
– -1 < w < -1/3 jedoch möglich.
~ a-3(w+1)
Die Entwicklung der Dichte
Dichte-Entwicklung im
expandierenden Universum
Dunkle Energie
Dichte-Entwicklung ; 1+z = 1/a
aeq
• tot = r + m + DE
• r = r 0 a-4 , da ~ a-4 und a = 1 heute
– r0 ≡ heutige Strahlungsenergiedichte
– r0 ≡ r0 / crit nach Definition
– Index 0 wird häufig weggelassen r0
• Deshalb gilt r = crit r a-4
– und ähnlich für m, DE
• Daher finden wir für Dichte in Friedman-Glg
tot = crit [ r a-4 + m a-3 + DE a-3(1+w)]
falls w für DE constant
Totale Dichte-Entwicklung
Hubble-Radius
RH = c/H0
= 4200 Mpc
Da das Univer-
sum flach
erscheint:
k = - 0,006
k = +1
R0 > 10 RH
Fundamentalebene
der Kosmologie
Omega-Parameter des Universums
MMH
G
2
03
8
2
0
2
2
HR
kck
2
0
2
3H
c
kM
• Einsetzen in Friedmann-Glgl., H0 ≡ (å/a)0:
(t) = crit [ r a-4 + m a-3 + DE a-3(1+w)]
(å/a)2 = 8 G (t) /3 – kc²/a²
H2 (z) = H02 [ r (1+z)4 + m (1+z)3
+k (1+z)2 + DE (1+z)3(1+w) ]
1+z = 1/a
DE:
w = const
Die 1. Friedmann Gleichung
• Einsetzen in Friedmann-Glgl., 1+z = 1/a • beschreibt Expansionsrate bei Rotverschiebung z.
H(z) = H0 [ r (1+z)4 + m (1+z)3
+k (1+z)2 + DE (1+z)3(1+w) ]1/2
Die Hubble-Funktion
Dichte-Entwicklung ; 1+z = 1/a
Drei Phasen in Dichte-Entwicklung
DE
dominiert
Materie
dominiert Strahlung
dominiert
• (i) Hubble-Konstante H0;
• (ii) Dichteparameter der nicht-
relativistischen Materie: m = DM + B.
• (iii) Dichteparameter der relativistischen
Materie: rad = g + n
• (iv) Krümmungsparameter k = -k RH²/R0².
Dabei gilt heute R0 >> RH CDM-Modell
• (v) Parameter der Dunklen Energie DE=
• (vi) Zustandsgleichung der Dunklen Energie
w ~ -1, w´ = 0 („Vakuum Energie“).
Die Parameter des Universums
Zusammenfassung
• Nur ein Relativistisches Modell kann das
expandierende Universum erklären FLRW
• Das Kosmologische Prinzip Geometrie.
• Friedmann-Gleichungen bestimmen die
Expansion des Universums.
• Materie besteht aus verschiedenen
Komponenten: Baryonen, Photonen, Neutrinos,
DM und Dunkle Energie.
• Die Omega-Parameter des Universums.
• Die einzelnen Anteile bestimmen die Expansion –
heutiges Universum offenbar durch Dunkle
Energie dominiert und flach, da R0 > 10 RH.