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  • Was ist RaumZeit?

    Ohne Gravitation ist die Welt flach

    Max Camenzind

    Akademie Heidelberg

    November 2014

  • Hermann Minkowski fhrt 1908 den Begriff der RaumZeit ein Metrik, kausale Struktur.

    Linienelement auf gekrmmten Flchen nach Gau 2-Sphre als Prototyp.

    Theorema Egregium von Gau.

    Verallgemeinerung auf beliebige n-dimensionale Mannigfaltigkeiten durch Bernhard Riemann im Jahre 1854 erst 1876 publiziert.

    1915: Die RaumZeit von Albert Einstein beschreibt die Gravitation mit Gravitation ist die Welt gekrmmt.

    Inhalt

  • Hermann Minkowski Mathematiker 1864 1909

    war Einsteins Lehrer ETH

    ging 1907 nach Gttingen

    1908

    Minkowski zur SR: Ach, der Einstein?

    Der schwnzte doch immer die Vorlesungen

    dem htte ich das gar nicht zugetraut.

    Einstein: berflssige Gelehrsamkeit

  • Der Vortrag ber Raum und Zeit, den Hermann Minkowski auf der Versammlung Deutscher Naturforscher und rzte zu Kln gehalten hat, bildet die letzte seiner genialen Schpfungen. Leider ist es ihm nicht beschieden gewesen, den feineren Ausbau seines khnen Entwurfs einer Mechanik, in welcher die Zeit den drei Dimensionen des Raumes koordiniert ist, zu vollenden. Denn ein tragisches Geschick hat den als Mensch und Forscher gleich geschtzten Verfasser auf der Hhe seines Lebens und Schaffens am 12. Januar d. J. der Wissenschaft, seinen Lieben und Freunden jh entrissen. Halle a. S., den 20. Februar 1909 A. Gutzner

    Aus dem Vorwort

  • Ich respektiere aber noch das Dogma, da Raum und Zeit je eine

    unabhngige Bedeutung haben. Ich will einen Raumpunkt zu einem

    Zeitpunkt, d. i. ein Wertsystem x,y,z,t einen Weltpunkt nennen. Die

    Mannigfaltigkeit aller denkbaren Wertsysteme x,y,z,t soll die Welt

    heien. Ich knnte mit khner Kreide vier Weltachsen auf die Tafel

    werfen. Schon eine gezeichnete Achse besteht aus lauter

    schwingenden Moleklen und macht zudem die Reise der Erde im

    All mit, gibt also bereits genug zu abstrahieren auf; die mit der

    Anzahl 4 verbundene etwas grere Abstraktion tut dem Mathe-

    matiker nicht wehe. Um nirgends eine ghnende Leere zu lassen,

    wollen wir uns vorstellen, da aller Orten und zu jeder Zeit etwas

    Wahrnehmbares vorhanden ist. Um nicht Materie oder Elektrizitt zu

    sagen, will ich fr dieses Etwas das Wort Substanz brauchen. Wir

    richten unsere Aufmerksamkeit auf den im Weltpunkt x,y,z,t

    vorhandenen substantiellen Punkt und stellen uns vor, wir sind

    imstande, diesen substantiellen Punkt zu jeder anderen Zeit wieder

    zu erkennen. Einem Zeitelement dt mgen die nderungen dx,dy,dz

    der Raumkoordinaten dieses substantiellen Punktes entsprechen.

    Hermann Minkowski: Raum und Zeit

  • Hermann Minkowski: Raum und Zeit

    Wir erhalten alsdann als Bild sozusagen fr den ewigen

    Lebenslauf des substantiellen Punktes eine Kurve in der

    Welt, eine Weltlinie, deren Punkte sich eindeutig auf den

    Parameter t von bis + beziehen lassen.

    Die ganze Welt erscheint aufgelst in solche Weltlinien,

    und ich mchte sogleich vorwegnehmen, da meiner

    Meinung nach die physikalischen Gesetze ihren

    vollkommensten Ausdruck als Wechselbeziehungen

    unter diesen Weltlinien finden drften.

  • Hermann Minkowski: Weltlinie

    x(l) = (ct(l),x(l),y(l),z(l))

    = 0,1,2,3

  • ds = dx + dy + dz

    Lnge einer euklidischen Kurve

    ist invarinat unter Rotationen

  • ds = cdt - dx - dy - dz = cdt - dx - dy - dz

    Ln

    ge e

    iner

    Welt

    lin

    ie

    ist

    inv

    ari

    an

    t u

    nte

    r

    Lo

    ren

    tz-T

    ran

    sfo

    rmati

    on

    en

  • Die in einem beliebigen Weltpunkte vorhandene

    Substanz kann stets bei geeigneter Festsetzung von

    Raum und Zeit als ruhend aufgefat werden.

    Das Axiom bedeutet, da in jedem Weltpunkte stets der

    Ausdruck

    positiv ausfllt oder, was damit gleichbedeutend ist,

    da jede Geschwindigkeit v stets kleiner als c ausfllt.

    Es wrde danach fr alle substantiellen

    Geschwindigkeiten c als obere Grenze bestehen und

    hierin eben die tiefere Bedeutung der Gre c liegen.

    In dieser anderen Fassung hat das Axiom beim ersten

    Eindruck etwas Miflliges. Es ist aber zu bedenken, da

    nun eine modifizierte Mechanik Platz greifen wird, in der die

    Quadratwurzel aus jener Differentialverbindung zweiten

    Grades eingeht, so da Flle mit berlichtgeschwindigkeit

    nur mehr eine Rolle spielen werden, etwa wie in der

    Geometrie Figuren mit imaginren Koordinaten.

    F = cdt - dx - dy - dz

  • Der Mensch ist ein 4-dim. Wesen

  • c2t2x2y2z2=0

    Durch das Weltpostulat wird eine gleichartige Behandlung der vier

    Bestimmungsstcke x,y,z,t mglich. Dadurch gewinnen, wie ich jetzt

    ausfhren will, die Formen, unter denen die physikalischen Gesetze

    sich abspielen, an Verstndlichkeit. Vor allem erlangt der Begriff der

    Beschleunigung ein scharf hervortretendes Geprge.

    Ich werde mich einer geometrischen Ausdrucksweise bedienen, die

    sich sofort darbietet, indem man im Tripel x,y,z stillschweigend von z

    abstrahiert. Einen beliebigen Weltpunkt O denke ich zum Raum-Zeit-

    Nullpunkt gemacht. Der Kegel

    Fig. 2

    mit O als Spitze (Fig. 2) besteht aus zwei Teilen, einem mit Werten t0. Der erste, der Vorkegel von O, besteht,

    sagen wir, aus allen Weltpunkten, die Licht nach O senden, der

    zweite, der Nachkegel von O, aus allen Weltpunkten, die Licht von O

    empfangen.

    http://de.wikisource.org/wiki/Datei:De_Raum_zeit_Minkowski_Fig_02.jpghttp://de.wikisource.org/wiki/Datei:De_Raum_zeit_Minkowski_Fig_02.jpghttp://de.wikisource.org/wiki/Datei:De_Raum_zeit_Minkowski_Fig_02.jpghttp://de.wikisource.org/wiki/Datei:De_Raum_zeit_Minkowski_Fig_02.jpghttp://de.wikisource.org/wiki/Datei:De_Raum_zeit_Minkowski_Fig_02.jpghttp://de.wikisource.org/wiki/Datei:De_Raum_zeit_Minkowski_Fig_02.jpghttp://de.wikisource.org/wiki/Datei:De_Raum_zeit_Minkowski_Fig_02.jpg

  • Kausale Struktur der RaumZeit Moderne Sprechweise

    3-Raum

    Zeitartig

    Raumartig

    Lichtartig, Null

    In jedem Ereignis

    ist ein Lichtkegel

    definiert, der die

    RaumZeit aufteilt.

  • Nennen wir in Analogie zum Vektorbegriff im Raume jetzt

    eine gerichtete Strecke in der Mannigfaltigkeit der x,y,z,t

    einen Vektor, so haben wir zu unterscheiden zwischen den

    zeitartigen Vektoren mit Richtungen von O nach der

    Schale +F=1, t >0 und den raumartigen Vektoren mit

    Richtungen von O nach F=1. Die Zeitachse kann jedem

    Vektor der ersten Art parallel laufen. Ein jeder Weltpunkt

    zwischen Vorkegel und Nachkegel von O kann durch das

    Bezugsystem als gleichzeitig mit O, aber ebensogut auch

    als frher als O oder als spter als O eingerichtet werden.

    Jeder Weltpunkt diesseits O ist notwendig stets frher, jeder

    Weltpunkt jenseits O notwendig stets spter als O. Dem

    Grenzbergang zu c= wrde ein vlliges Zusammen-

    klappen des keilfrmigen Einschnittes zwischen den Kegeln

    in die ebene Mannigfaltigkeit t = 0 entsprechen. In den

    gezeichneten Figuren ist dieser Einschnitt absichtlich mit

    verschiedener Breite angelegt.

  • 1915 Einsteins Grund-Idee: Gravitation ist keine Kraft, Gravitation ist Geometrie der 4-dimensionalen RaumZeit

    .

    Let none ignorant of geometry

    enter my door.

    Legendary inscription over

    the door of Platos Academy

  • Raffael: Die Schule von Athen,

    Alles ist Geometrie, Vatikan / Camenzind

  • Flchentheorie von Gau

    Carl Friedrich Gau, Frst der Mathematik, 1777-1855

    Gttingen

  • Flche in E ist Mannigfaltigkeit

    Abbildung Flche:

    (u,v) (x(u,v),y(u,v),z(u,v))

    Frage:

    Wie misst man Abstnde?

    Wie sehen Geodten aus?

    Wie berechne ich Flche?

  • (u,v)

    (x(u,v),y(u,v),z(u,v))

    Flche in E

  • Beisp.: Kleinsche Flasche entsteht durch Parametrisierung

  • Kleinsche Flasche nicht-orientierbare Flche

  • Flchen werden in Computergrafik eingesetzt

  • Zentrale

    Frage:

    Wie messe

    ich den

    Abstand

    zwischen 2

    Punkten auf

    dem Globus?

  • Winkel df (Rektaszension) rdq

    Grokreise Winkel q

    (Deklination)

    r sin(q) df

    Nach Pythagoras:

    ds = r dq + rsinq df

    ds = g11

    dq + g22

    df

    Metrische Funktionen:

    g11

    = r , g22

    = rsinq

    Messen auf der Kugelflche S

    Sphre mit Radius r

  • Winkelsumme > 180 Grad

  • 1. Fundamentalform einer Flche = induzierte Metrik gik der Flche

    ds = E du + 2F du dv + G dv (nach Gau)

    = g11(u,v) du + 2 g12(u,v) du dv + g22(u,v) dv

    Lnge einer Flchenkurve

    Geodten auf einer Flche

    Inhalt einer Flche

    Winkel zwischen Tangenten

  • Grokreise sind die

    Geodten auf 2-Sphre

  • Geodten auf Bulls Horn

  • Krmmung von Flchen

  • Tangenten-

    Ebene

    Haupt-

    Krmmungs-

    Ebenen

    Normale

    Gau: Krmmung von Flchen

    Gau-Krmmung:

    K = 1/(R1R2)

    = R1212

    R1,R2: Krmmungsradien

  • Gau-Krmmung von Flchen

    Gau-Krmmung

  • W

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