Entfernungsbestimmung im Kosmos 10

• 10.1 Folgerungen aus dem Hubble-Gesetz

• 10.2 Allgemeine Relativitatstheorie

• 10.3 Robertson-Walker - Metrik

• 10.4 Entfernungsdefinitionen

• 10.5 Dynamik der Expansion

• 10.6 Moderne kosmologische Tests

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10.1 Folgerungen aus dem Hubble-Gesetz

• Hubble-Gesetz: v≈ cz≈ H0D

• 1+z= λobs/λ0

• Relativistischer Dopplereffekt:

1+z=1+v/c√1−v2/c2

≈ 1+v/c

• Hubble-Gesetz kann nur fur z 1 gelten

• Was passiert bei z 1?

? große Entfernungen

? lange Lichtlaufzeiten, fruhes Universum

Universum als ganzes, Kosmologie

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Die Hubble-Zeit

• Hubble-Zeit: 1/H0≈ 14·109y

• Expansion: v≈ H0D

• v =dDdt≈ ∆D

∆t

• Wann waren alle Entfernungen D = 0?

• T = ∆t =Dv

=1

H0(unabhangig von D)

• Beginn des Universums (”Urknall“)

• Konstante Geschwindigkeiten: T ist Alter des Universums

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10.2 Allgemeine Relativitatstheorie

• Expansion wird gebremst durch Gravitation

• Beste Gravitationstheorie: ART

• Beschreibt gekrummte Raumzeit

• SRT: Minkowski-Metrik (Euklidischer Raum)

ds2 = c2dt2− (dx2+dy2+dz2)

• Beschreibung beliebiger Raumzeit durch Metrik:

x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z

ds2 =3

∑α,β=0

gαβ

dxα dxβ

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Metrik

• Euklidischer Raum: x,y,z

dl2 = dx2+dy2+dz2 gαβ

=

1 0 00 1 00 0 1

• Polarkoordinaten: r,θ ,φ

x = r sinθ cosφ

y = r sinθ sinφ

z= r cosθ

dl2 = dr2+ r2(dθ 2+sin2θ dφ 2) g

αβ=

1 0 00 r2 00 0 r2sinθ 2

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Kugeloberflache

• Polarkoordinaten mit r = R fest

• Metrik:

dl2 = R2(dθ2+sin2

θ dφ2)

• Geraden = Großkreise

• Winkelsumme im Dreieck > 180

• Kreisumfang U < 2πr

• Keine parallelen Großkreise

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Sattelflache

• Winkelsumme im Dreieck < 180

• Kreisumfang U > 2πr

• Viele Parallelen durch einen Punkt

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Gekrummte Raume

• Krummung: K =± 1R2

Krummung Winkelsumme Kreisumfang

spharisch K > 0 > 180 U < 2πrEuklidisch K = 0 = 180 U = 2πr

hyperbolisch K < 0 < 180 U > 2πr

• K kann von Ort zu Ort variieren

• Hoherdimensionale Raume konnen gekrummt sein

• 4-dimensionale Raumzeit ist gekrummt

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Allgemeine Relativitatstheorie

• ART beschreibt Krummung in Abhangigkeit von

Massenverteilung und -bewegung

• Teilchen und Licht bewegen sich auf”Geodaten“

• Einsteinsche Feldgleichungen:

Rαβ− 1

2gαβR−g

αβΛ = κT

αβ

• Nichtlineare partielle Differentialgleichungen fur gαβ

• Nur in Spezialfallen losbar

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Friedmann - Robertson-Walker - Universum

• Kosmologisches Prinzip

? uberall isotrop

homogen

? zeitliche Entwicklung moglich

• Verwende”mitbewegte Koordinaten“

? Teilchen im Hubble-flow haben konstante Koor-

dinaten

• Beschreibe Expansion durch Skalenfaktor R(t)

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10.3 Robertson-Walker - Metrik

• Mitbewegte Polarkoordinaten r,θ ,φ und kosmische Zeit t

• Skaliere Langen dL mit R(t)

ds2 = c2dt2−dL2

dL2 = R2(t)(

dr2

1−kr2+ r2dθ

2+ r2 sin2θ dφ

2

)

• Krummungsparameter k

? k = +1 spharisch (positive Krummung)

? k = 0 flach (keine Krummung)

? k =−1 hyperbolisch (negative Krummung)

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Skalenfaktor und Rotverschiebung (1)

• Lichtausbreitung (radial): ds2 = 0

cdt =±R(t)dr√

1−kr2

• Lichtsignal von t = te bei r = re nach t = t0, r = 0:

c∫ te

t0

dtR(t)

=∫ re

0

dr√1−kr2

• Zweites Signal: t = te +∆te nach t = t0+∆t0:

c∫ te+∆te

t0+∆t0

dtR(t)

=∫ re

0

dr√1−kr2

• Rechts gleich ⇒ links gleich (nachste Seite)

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Skalenfaktor und Rotverschiebung (2)

c∫ t0+∆t0

t0

dtR(t)

= c∫ te+∆te

te

dtR(t)

∆t0R(t0)

=∆te

R(te)

• ∆t ∝ R(t)

• Alle Zeitintervalle skalieren mit R(t)

• Strahlung mit Frequenz ν und Wellenlange λ :

ν = 1/∆t ∝ 1/R(t) λ = c∆t ∝ R(t)

• Rotverschiebung: 1+z=λobs

λe=

R(tobs)R(te)

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Modell fur Robertson-Walker - Metrik (1)

• Betrachte zunachst nur radiale Raumdimensionen r,setze θ = π/2, φ = const

dL2 = R2(t)dr2

1−kr2

yr

Radius 1

χ

y =√

1− r2

dy =−r dr√1− r2

dχ2 = dr2+dy2 =

dr2

1− r2

dL2 = R2(t)dχ2 k = +1

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Modell fur Robertson-Walker - Metrik (2)

• Jetzt r = const, φ frei (θ = π/2)

dL2 = R2(t) r2dφ2

φr

dl2 = r2dφ2

dL2 = R2(t)dl2

Oberflache der Kugel be-

schreibt”Aquatorebene“ des

Universums

dl2 =dr2

1− r2+ r2dφ

2 (k = +1)

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Kreisumfang in RW-Metrik

r

χ

φr

• Umfang ist R(t)2πr

• Radius ist R(t)χ

• fur k = 0,±1:

dχ =dr√

1−kr2

χ =

arcsinr for k = +1

Arsinhr for k =−1

r for k = 0

• χ ≷ r, U ≶ 2π ·Radius for k =±1

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10.4 Entfernungsdefinitionen:Koordinatenentfernung

• Beobachter bei r = 0

• Objekt bei r = re

• Skalierung der mitbewegten Koordinaten mit R(t)

• Dc = R(t0) re

• Abhangig von der Wahl der Koordinate r(alternativ z.B. χ)

• Physikalisch ohne Bedeutung

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Eigenentfernung

• Lege zwischen Beobachter und Objekt Maßstabe aus

(alle ruhend in mitbewegten Koordinaten)

• Zum Zeitpunkt t0 decken die Maßstabe den Zwischenraum

gerade ab

• Gesamtlange der Maßstabe ist die

? Eigenentfernung (momentane Entfernung) zur Zeit t0? “proper distance”

Dp = R(t0)χ

• Astronomisch nicht von Bedeutung

• Mitbewegte Entfernung: Dcom = χ

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Winkelgroßenentfernung (‘Angular Size Distance’)• Winkel θ gemessen beim Beobachter

• Ausdehnung L gemessen an der Quelle

• DA = L/θ

• Universum expandiert wahrend der Lichtausbreitung

• Betrachte alles in mitbewegten Koordinaten

l

θr

• Blick von oben auf die Kugel

• l = L/R(te)

• r = l/θ

• DA = R(te) r

DA

L

θ

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Eigenschaften der Winkelgroßenentfernung

• Koordinatenentfernung: Dc = R(t0) r

• Winkelgroßenentfernung:

DA = R(te) r =R(te)R(t0)

Dc =Dc

1+z

• Steigt nicht monoton

• Betrachte festen Winkel

• DA = R(te) l/θ

• k = 1: l erreicht Maximum am Aquator

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Helligkeitsentfernung (‘Luminosity Distance’)

• Photonen verteilen sich auf Kugeloberflache

• Intensitat f =L

4πD2L

• Kugeloberflache kosmologisch: 4πDsoA mit Dso

A 6= DosA

• DosA = R(te) r, Dso

A = R(t0) r =R(t0)R(re)

DosA = (1+z)Dos

A

• Zusatzlich: Rotverschiebung!

Energieverlust und Photonen pro Sekunde mit jeweils 1/(1+z)

f =L

4π(DsoA)2(1+z)2

• DL = (1+z)2DA

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Eigenbewegungsentfernung

• Eigenbewegung ist beobachteter Winkel pro Zeiteinheit

• Winkel geht mit θ =L

DA

• Geschwindigkeit v =dLdte

µ =dθ

dt0=

1DA

dLdt0

=v

DA

dt0dte

=v

(1+z)DA

• “proper motion distance”:

DM = (1+z)DA

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Lichtlaufzeit

• Radiale Lichtausbreitung in Robertson-Walker - Metrik:

cdt =±R(t)dr√

1−kr2

• Aufintegrieren:

T = t0− te =∫ te

t0

dt

=1c

∫ re

0

drR(t)√1−kr2

• Substitution notig! (auch bei anderen Entfernungen)

Dynamik

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10.5 Dynamik der Expansion:Die Friedmann-Gleichungen

• Stelle Einsteinsche Feldgleichungen fur Robertson-

Walker - Metrik auf

• Zustandsgleichung: Staub (p = 0)

(1) R(t) =−4π Gρ(t)3

R(t)+Λ

3R(t)

(2) R(t)2 =8π Gρ(t)

3R2(t)+

Λ

3R2(t)−kc2

• Kombination: Kontinuitatsgleichung ρ ∝ 1/R3

ρ(t) = ρ0R3

0

R3(t)

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Die Friedmann-Gleichungen (2)

R2 =8π G

3ρ0

R30

R3+

Λ

3R2−kc2

• Hubble-Konstante H = R/R

• Kritische Dichte ρc =3H2

8π G, Ω =

ρ

ρc, λ =

Λ

3H2

H2 = H20

(Ω0

R30

R3+λ0

)− kc2

R2

• Aus t = t0: kc2 = R20(Ω0+λ0−1)

• Mit R0/R= 1+z:

H2

H20

= Q(z) = Ω0(1+z)3− (Ω0+λ0−1)(1+z)2+λ0

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Dynamik ohne kosmologische Konstante

• Betrachte λ0 = 0: R = (±)RH0

√Ω0

R30

R3+(1−Ω0)

R20

R2

• Ω0 < 1: R> 0im Limit R= const > 0

• Ω0 = 1: R≥ 0im Limit R= 0(ρ = ρc kritische Dichte)

• Ω0 > 1: R≷ 0maximales R

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Dynamik mit kosmologischer Konstante

R = (±)RH0

√Ω0

R30

R3+(1−Ω0−λ0)

R20

R2+λ0

• Dominiert fur große R

• Beschleunigte Expansion!

• Grenzfall R R0: R∝ R

Exponentielle Expansion

R

t

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Entfernungsparameter

Ω0 = 0.27, λ0 = 0.73, H0 = 71kms−1Mpc−1

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Weltalter und Hubble-Zeit

• Abbremsung:

TU > 1/H0

• Beschleunigung:

TU < 1/H0

• Heutige Werte:

Ω0≈ 0.3, λ ≈ 0.7

TU ≈ 0.95/H0

1/H0 1/H0

R

t

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10.6 Moderne kosmologische Tests:Supernovae Ia als Standardkerzen (1)

(Riess et al. 1998, AJ 116, 1009)

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Supernovae Ia als Standardkerzen (2)

(Riess et al. 1998, AJ 116, 1009)

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Supernovae Ia als Standardkerzen (3)

(Perlmutter et al. 1999, ApJ 517, 565)

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Contents

1 Entfernungsbestimmung im Kosmos 102 10.1 Folgerungen aus dem Hubble-Gesetz3 Die Hubble-Zeit4 10.2 Allgemeine Relativitaetstheorie5 Metrik6 Kugeloberflaeche7 Sattelflaeche8 Gekruemmte Raeume9 Allgemeine Relativitaetstheorie

10 Friedmann - Robertson-Walker - Universum11 10.3 Robertson-Walker - Metrik12 Skalenfaktor und Rotverschiebung (1)13 Skalenfaktor und Rotverschiebung (2)14 Modell fuer Robertson-Walker - Metrik (1)15 Modell fuer Robertson-Walker - Metrik (2)16 Kreisumfang in RW-Metrik

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17 10.4 Entfernungsdefinitionen:Koordinatenentfernung

18 Eigenentfernung19 Winkelgroessenentfernung (‘Angular Size Distance’)20 Eigenschaften der Winkelgroessenentfernung21 Helligkeitsentfernung (‘Luminosity Distance’)22 Eigenbewegungsentfernung23 Lichtlaufzeit24 10.5 Dynamik der Expansion:

Die Friedmann-Gleichungen25 Die Friedmann-Gleichungen (2)26 Dynamik ohne kosmologische Konstante27 Dynamik mit kosmologischer Konstante28 Entfernungsparameter29 Weltalter und Hubble-Zeit30 10.6 Moderne kosmologische Tests:

Supernovae Ia als Standardkerzen (1)31 Supernovae Ia als Standardkerzen (2)32 Supernovae Ia als Standardkerzen (3)33 Contents

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