deret tak hingga
DESCRIPTION
DERET TAK HINGGA. RETNO ANGGRAINI. BARISAN. Barisan adalah fungsi yg domainya himpunan bilangan asli Contoh : a 1 ,a 2 ,……,a n ditulis {a n } Barisan dikatakan konvergen jika : - Limit a n = ada n ~ Barisan yang divergen jika Limit a n = ~ n ~. DERET. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/1.jpg)
DERET TAK HINGGA
RETNO ANGGRAINI
![Page 2: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/2.jpg)
BARISAN Barisan adalah fungsi yg domainya
himpunan bilangan asli Contoh : a1,a2,……,an ditulis {an} Barisan dikatakan konvergen jika : - Limit an = ada n ~ Barisan yang divergen jika Limit an = ~ n ~
![Page 3: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/3.jpg)
DERET Deret adalah jumlah dari barisan ~ ∑ an disebut deret
n=1 Jumlah parsial ke n dari deret (Sn)
merupakan jumlah deret hingga suku ke n Sn = a1 + a2 +a3+……+an
![Page 4: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/4.jpg)
DERET TAK BERHINGGA Deret tak berhingga adalah jumlah dari
suatu barisan dengan suku ke n adalah sampai pada batas yang tak terhingga
~ ∑ an disebut deret tak berhingga
n=1 karena suku ke n yang diinginkan sampai batas tidak terhingga
![Page 5: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/5.jpg)
Deret konvergen dan divergen Deret konvergen jika barisan {Sn} dari
jumlah parsial ke n adalah konvergen Deret divergen jika barisan {Sn} dari
jumlah parsial ke n adalah divergen a1 + a2 + …+ an = S jika {Sn} divergen ke ~ maka deret
divergen ke ~ jika {Sn} konvergen ke S maka deret
konvergen ke S atau jumlahnya sama dengan S
![Page 6: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/6.jpg)
DERET GEOMETRI Deret Geometri = a + ar + ar2+….+arn
konvergen jika a=0 atau jika lrl < 1 jika a = 0 dan lrl < 1 maka ~ ∑ ar n-1 = 1 / (1-r) n=1 jika a = 0 dan lrl > 1 maka DERET ADALAH DIVERGEN
![Page 7: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/7.jpg)
DERET “P” DERET P ADALAH 1 + 1/2P + 1/3P + ….+1/NP
Deret akan konvergen jika p > 1 dan deret akan divergen ke ~ jika p < 1 jika p =1 deret menjadi 1+1/2+1/3+1/4+…+1/n maka deret disebut sebagai deret harmonis dan akan divergen ke ~
![Page 8: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/8.jpg)
DERET EKSPONEN Deret eksponen adalah 1+ r/1! +r2/2!+…+ r n-1/(n-1)!
Dimana deret akan konvergen untuk setiap nilai r
Jika r = 1 deret menjadi 1+1/1!+1/2!+1/3!+….+ 1/(n-1)!
![Page 9: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/9.jpg)
SIFAT DASAR DERETJika ∑ an dan ∑ bn merupakan dua deret n=1 n=1
yg konvergen dan k konstanta maka: 1. ∑ (an + bn ) konvergen
2. ∑ k an konvergen
~ ~
~
~n=1
n=1
![Page 10: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/10.jpg)
TES KONVERGENSI1. Test Deret ∑ an akan divergen jika lim an = 0
n=1 akan konvergen jika lim an=0 2. Test Leibnitz Deret berayun : a1–a2+a3-…+(-1)n-1 a + ….
dgn an semuanya pos / neg konvergen jika :
i. an ≥ a n+1 utk setiap n
ii. Lim an = 0
n ~
![Page 11: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/11.jpg)
Test PerbandinganDeret Positif : ∑ an konvergen jika ada
Konvergen positif ∑ bn sedemikian hingga an ≤ bn
Divergen positif sede,ikiam hingga an ≥ bn
![Page 12: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/12.jpg)
Test rasio utk deret positifPada deret positif ∑ an Jika : Lim an+1 < 1, konvergen
an > 1, divergen = 1 test gagal
![Page 13: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/13.jpg)
Test Rasio UmumPada sembarang deret tk berhingga : ∑ an dgn an ≠ 0, utk setiap n
Maka jika Lim an+1 < 1, deret konvergen mutlak ~ an > 1, deret divergen = 1 , atau tdk ada, test gagal
![Page 14: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/14.jpg)
Test IntegralAndaikan : f(x) continu, tdk negatif dan turun utk 1≤x≤~ Maka deret: ∑ f(n) konvergen
Jika ∫ f(x) dx konvergen
![Page 15: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/15.jpg)
Test akar ke n Jika: Lim √ lunl = A Maka : ∑ un
1. Konvergen mutlak kalau A < 12. Divergen kalau A> 13. Tak dpt disimpulkan kalau A=1
n
![Page 16: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/16.jpg)
Konvergensi mutlakDeret : a1+a2+…+an+… disebut konvergen mutlak jika Deret : a1 + a2 + …. + an konvergen
Theorama : Jika suatu deret konvergen mutlak maka deret tersebut juga konvergen. Suatu deret yg konvergen tetapi tdk konvergen mutlak disebut konvergen bersyarat
![Page 17: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/17.jpg)
DERET FUNGSI
Deret fungsi adalah deret yang suku sukunya
adalah suatu fungsi yaitu : ∑ fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) +…….Himpunan nilai x utk deret ini konvergensi ke lim L(x) dinamakan daerah konvergensi deret fungsi, dan limit L(x) dinamakan jumlah deret fungsi
Sn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) +…….Utk x dlm daerah konvergensi L(x) =Lim Sn (x)
Selisih L & Sn dinamakan sisa Rn (x) = L(x) – Sn(x)
N ~
![Page 18: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/18.jpg)
DERET PANGKAT/deret kuasa• Adalah deret fungsi yang sukunya fungsi
pangkat cnxn
∑ = c0 + c1x + c2x2 + ….
• Nilai x utk mana deret ini konvergen dpt diperoleh dgn test rasio umum.
• Deret pangkat juga dapat dlm bentuk (x-a) yaitu : co + c1(x-a)+c2(x-a)2+….
![Page 19: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/19.jpg)
Daerah konvergensiDaerah konvergensi utk deret pangkat dlm (x-a) dpt diperoleh dgn :
-R < x-a < R atau a-R < x < a+RDimana Lim cn = R
Titik x=a adalah pusat konvergensi yg radiusnya R. Dipinggir daerah konvergensi mk deret dpt konvergenatau divergen. Diluar daerah konvergen nilainya dalah Divergen.
~ Cn+1
![Page 20: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/20.jpg)
THEORAMA TAYLOR DAN SUKU SISA LAGRANGE
Jika suatu f(x) adalah sedemikian hingga :1. f(x),f’(x),f’’(x),…f(n-1)(x) adalah kontinu dlm selang
{a,a+h}2. f(n)(x) ada dlm selang {a,a+h} maka f(a+h)=f(a)+hf’(a)+h2 f’’(a)+…h(n-1)f(n-1)(a)+Rn
Dimana
Rn = hn/n! f(n) (a+θh) : 0< θ <1
Bentuk sisa Rn ini disebut sisa suku lagrange
2! (n-1)!
![Page 21: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/21.jpg)
DERET TAYLOR• Jika f(x) dpt dikembangkan (diekspansikan) menurut deret
pangkat dari (x-a) maka : f(x)=f(a)+(x-a)f’(a)+(x-a)2 f’’(a)+(x-a)3f’’’(a)+(x-a)4f’’’’+…
• Jika Polinomial f(x) dibagi (x-a) maka sisa : S = f(a)
jika polinomial f(x) dibagi (x-a)2 maka sisa :
S = f(a)+(x-a) f’(a)• Syarat perlu dan cukup bahwa a adalah akar rangkap k
dari persm polinomial f(x) = 0 adalah: f(a)=f’(a)=f’’(a)=f’’’(a)=f(k-1)(a) = 0 dan fk(a) ≠ 0
2! 3! 4!
![Page 22: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/22.jpg)
DERET MC LAURINMerupakan deret khusus dari deret taylor dengan nilai a = 0, Maka :f(x)=f(a)+(x-a)f’(a)+(x-a)2 f’’(a)+(x-a)3f’’’(a)+(x-a)4f’’’’+..
Shg dgn a = 0 maka:f(x)=f(0)+(x-0) f’(0)+(x-0)2/2! f’’(0)+ (x-0)3 /3! f’’’(0)+.. =f(0)+xf’(0)+x2/2! f’’(0)+ x3/3! f’’’(0)+..
22
2! 3! 4!
![Page 23: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/23.jpg)
DERET BINOMIALMerupakan deret Mclaurin yang khusus dimana untuk f(x) =(1+x)m, dgn m bil riil, shg : f(x) =(1+x)m : f(0) =1 f(x)’ = m(1+x)m-1 : f’(0) = m f(x)’’=m(m-1)(1+x)m-2 : f’’(0) = m(m-1) f(x)’’’=m(m-1)(m-2)(1+x)m-3 : f’’’(0) = m(m-1)(m-2)Maka :(1+x)m = 1+mx+m(m-1)/2! x2+m(m-1)(m-2)/3! x3+..Dengan x < 1 disebut deret binomial
![Page 24: DERET TAK HINGGA](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/568144ba550346895db182d7/html5/thumbnails/24.jpg)
Contoh