departamento de matemática - conselho académico · 2007-03-19 · universidade de aveiro...
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departamento de matemática escola de ciências
departamento de matemática
Instrução do Processo de Registo de Criação
do
PROGRAMA DOUTORAL EM MATEMÁTICA E APLICAÇÕES
(artigo 68º do Decreto-Lei n.º 74/2006 de 24 de Março
e Despacho n.º 7287-C/2006 (2ª série) de 31 de Março)
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Introdução
O presente documento descreve uma proposta de programa doutoral em Matemática e Aplicações
apresentada conjuntamente pelo Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro (DMAT-UA) e pelo
Departamento de Matemática da Universidade do Minho (DMAT-UM). Este programa alarga, desta forma, a
cooperação existente entre estas universidades ao nível científico e em programas de pós-graduação.
A proposta é suportada por três centros de investigação: o CEOC (Centro de Estudos em Optimização e
Controlo), o CMAT (Centro de Matemática da Universidade do Minho) e a UIMA (Unidade de Investigação em
Matemática e Aplicações), envolvendo 50 doutorados cuja actividade de investigação se estende desde a teoria e
fundamentos da Matemática às suas aplicações.
Garantindo um ambiente de ensino e investigação com elevados padrões de qualidade, o programa
pretende contribuir para a formação de recursos humanos altamente qualificados na área da Matemática.
Assim, o programa tira partido da investigação desenvolvida nos três centros e, em particular, das importantes
parcerias já existentes no contexto de projectos nacionais e internacionais.
Embora este programa doutoral confira o título de Doutor em Matemática e Aplicações sem nenhuma
indicação formal sobre a área de especialização, as expressões especialização e especialidade são usadas
informalmente ao longo do texto, atendendo a que cada aluno seguirá um percurso científico de acordo com os
seus interesses dentro da Matemática.
A proposta está redigida de acordo com o artigo 68º do Decreto-Lei n.º 74/2006 e o Despacho n.º 7287-
C/2006 (2ª série) de 31 de Março.
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A. Pedido de registo
Senado Universitário
resolução
SU-....../2007
Sob proposta da Escola de Ciências; Ouvido o Conselho Académico nos termos da alínea g) do nº 2 do artigo 24º dos Estatutos daUniversidade do Minho; Ao abrigo do disposto no nº 1 do artigo 7º da Lei nº 108/88, de 24 de Setembro, no nº 1 do artigo1º do Decreto-Lei nº 155/89, de 11 de Maio; no Decreto-Lei nº 42/2005, de 22 de Fevereiro; noDecreto-Lei nº 74/2006, de 24 de Março; e no nº 2 do artigo 20º dos Estatutos da Universidadedo Minho; O Senado Universitário da Universidade do Minho, em sessão plenária de ….. de ….. de 2007,determina:
1º (Criação do curso)
É criado na Universidade do Minho o doutoramento em Matemática e Aplicações, de acordo com apresente resolução.
2º (Organização do curso)
O curso conducente ao doutoramento em Matemática e Aplicações, adiante simplesmentedesignado por curso, organiza-se pelo sistema de unidades de crédito europeus (ECTS).
3º (Estrutura curricular)
Os elementos a que se refere o artigo 3º do Decreto-Lei nº155/89, de 11 de Maio, são osconstantes do anexo à presente Resolução.
4º (Plano de estudos)
O plano de estudos será fixado por despacho do Reitor, sob proposta do Conselho Académico, apublicar na II Série do Diário da República.
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5º
(Habilitações de acesso) Podem candidatar-se à matrícula no Curso os titulares do grau de Mestre em Matemática ou emdomínios afins, cujo curriculum demonstre uma adequada preparação científica e quem cumpra oestipulado nas alíneas b) e c) do artigo 30º do Decreto-Lei nº 74/2006, de 24 de Março.
6º
(Condições de acesso)
1. A matrícula e a inscrição no Curso estão sujeitas a limitações quantitativas a fixar anualmentepor despacho do Reitor. 2. O despacho a que se refere o nº1 deste artigo, estabelecerá: a) Qual a percentagem de vagas que será reservada prioritariamente a docentes deestabelecimento de ensino superior; b) Qual o número mínimo de inscrições indispensável ao funcionamento do Curso.
7º (Diploma de Estudos)
Os alunos que terminem com aproveitamento a parte curricular do doutoramento têm direito àobtenção de um Diploma de Estudos Avançados em Matemática.
8º (Início de funcionamento)
O início de funcionamento do curso será fixado por despacho do Reitor depois de verificada aexistência de recursos humanos e materiais necessários à sua concretização. Universidade do Minho, …… de …… de 2007. O Presidente do Senado Universitário, A. Guimarães Rodrigues
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Senado Universitário
resolução
SU-...../2007 (anexo) 1. Área Científica do curso: Matemática.
2. Duração normal do curso:
Dois semestres lectivos e seis semestres de dissertação. 3. Número mínimo de unidades de crédito necessário à atribuição do grau:
240 ECTS 4. Áreas científicas e distribuição das unidades de crédito (ECTS):
4.1. Áreas científicas obrigatórias Matemática 45-60 créditos (ECTS) Outras 00-15 créditos (ECTS) Dissertação 180 créditos (ECTS)
5. Taxa de matrícula e propinas: Estes montantes serão fixados pelo Conselho Académico, nos termos dos Estatutos da Universidade.
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Designação do Curso:
• Programa Doutoral em Matemática e Aplicações
Instituições Proponentes:
• Universidade de Aveiro: Departamento de Matemática
• Universidade do Minho: Departamento de Matemática
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B. Estrutura Curricular e Plano de Estudos
Apresenta-se, de seguida, o formulário da Direcção Geral do Ensino Superior com o plano curricular de
acordo com as normas referidas no Decreto-Lei n.º 74/2006 de 24 de Março.
DGES DIRECÇÃO GERAL DO ENSINO SUPERIOR MINISTÉRIO DA CIÊNCIA, TECNOLOGIA E ENSINO SUPERIOR
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FORMULÁRIO
1. Estabelecimento de ensino:
UNIVERSIDADE DE AVEIRO E UNIVERSIDADE DO MINHO
2. Unidade orgânica:
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA UNIVERSIDADE DE AVEIRO E DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA
UNIVERSIDADE DO MINHO
3. Curso:
4. Grau ou diploma:
5. Área científica predominante do curso:
MATEMÁTICA
6. Número de créditos, segundo o sistema europeu de transferência de créditos, necessário à obtenção do grau
ou diploma:
7. Duração normal do curso:
8. Opções, ramos, ou outras formas de organização de percursos alternativos em que o curso se estruture (se
aplicável):
Não aplicável.
PROGRAMA DOUTORAL EM MATEMÁTICA E APLICAÇÕES
DOUTORAMENTO
240 ECTS
4 ANOS
DGES DIRECÇÃO GERAL DO ENSINO SUPERIOR MINISTÉRIO DA CIÊNCIA, TECNOLOGIA E ENSINO SUPERIOR
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9. Áreas científicas e créditos que devem ser reunidos para a obtenção do grau ou diploma:
QUADRO N.º 1
CRÉDITOS ÁREA CIENTÍFICA SIGLA OBRIGATÓRIOS OPTATIVOS
MATEMÁTICA M 213-228 12-27
OUTRAS 0 0-15
TOTAL 213-228 12-27
10. Observações:
Excepcionalmente, um candidato a doutoramento poderá ser dispensado de parte ou da totalidade das
disciplinas opcionais, ou ainda das disciplinas D1 e D2, no caso de os órgãos científicos competentes
reconhecerem elevado ou equivalente mérito à formação ou experiência científica do mesmo, nas condições
definidas no Regulamento de Estudos de 3º Ciclo. Os 21 ECTS mínimos (10,5 em ambos os semestres) do
Laboratório de Investigação e da Preparação do Projecto de Tese poderão assim vir aumentados, se da
dispensa de frequência a qualquer das outras disciplinas resultar um reforço da preparação do projecto.
A configuração da matriz curricular obrigatória e opcional a cumprir pelo doutorando cabe ao(s) competente(s)
órgão(s) científico(s), ouvido o doutorando sobre os seus interesses de investigação.
DGES DIRECÇÃO GERAL DO ENSINO SUPERIOR MINISTÉRIO DA CIÊNCIA, TECNOLOGIA E ENSINO SUPERIOR
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11. Plano de estudos:
Universidade de Aveiro – Departamento de Matemática Universidade do Minho - Departamento de Matemática
Programa Doutoral em Matemática e Aplicações Doutoramento Matemática
1º ANO
QUADRO Nº 2
TEMPO DE TRABALHO (HORAS) UNIDADES CURRICULARES ÁREA CIENTÍFICA TIPO
TOTAL CONTACTO CRÉDITOS OBSERVAÇÕES
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
D1 – Tópicos de Matemática Pura
M Semestral (1º) 162 T : 45 ou OT: 30
6
D2 – Tópicos de Matemática Aplicada
M Semestral (1º) 162 T : 45 ou OT: 30
6
Opção M1 Semestral (1º) 0-202,5 0-7,5 Optat., a), b) Laboratório de Investigação M Semestral (1º) 283,5 a 486 OT: 10,5 a 18 10,5-18 Opção D3 M Semestral (2º) 162 OT: 30 6 Optativa Opção D4 M Semestral (2º) 162 OT: 30 6 Optativa Opção M2 Semestral (2º) 0-202,5 0-7,5 Optat., a), b) Preparação do Projecto de Tese
M Semestral (2º) 283,5 a 486 OT: 10,5 a 18 10,5-18
a) – Opção escolhida entre disciplinas obrigatórias ou optativas do Mestrado em Matemática e Aplicações da Universidade de Aveiro ou dos Mestrados
oferecidos pelo DMAT-UM ou entre disciplinas de Mestrado e segundos ciclos de outras áreas.
b) - Poderá não ser escolhida, à custa do reforço do Lab. Investigação ou da Prep. Projecto Tese.
DGES DIRECÇÃO GERAL DO ENSINO SUPERIOR MINISTÉRIO DA CIÊNCIA, TECNOLOGIA E ENSINO SUPERIOR
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DISCIPLINAS D1 e D2 (Área Científica: Matemática)
Trata-se de disciplinas de largo espectro cujo conteúdo será decidido em cada ano pelos órgãos científicos competentes.
OPÇÕES D3 e D4 (Área Científica: Matemática)
Trata-se de disciplinas específicas, cuja lista será revista anualmente. Para a 1.ª edição do programa
prevê-se, a título indicativo, a oferta das seguintes disciplinas:
Álgebra e Topologia
Algoritmos Numéricos Paralelos
Análise de Clifford e Aplicações
Análise e Controlo de Sistemas Lineares
Análise Multívoca e Inclusões Diferenciais
Aproximação Complexa e Hipercomplexa
Aproximação Não Linear, Espaços de Bergman e de Coorbit
Cálculo das Variações e Controlo Óptimo
Cálculo em Dimensão Infinita
Classes de Operadores
Códigos e Sistemas
Controlo Predictivo
EDP’s e Inequações Variacionais
Elementos de Teoria Cinética
Estatística Bayesiana
Estruturas Geométricas
Frames e Representações Esparsas de Sinais
Funções Especiais de Várias Variáveis
Geometria Combinatória
Métodos Geométricos Avançados da Física
Optimização e Desenho de Redes
Optimização Geométrica
Problemas de Resistência Mínima e Máxima
Programação Linear Inteira
Sistemas Algébricos Gerais
Sistemas Comportamentais
Sistemas Dinâmicos Avançados
Teoria Algébrica dos Grafos
Teoria da Optimização
DGES DIRECÇÃO GERAL DO ENSINO SUPERIOR MINISTÉRIO DA CIÊNCIA, TECNOLOGIA E ENSINO SUPERIOR
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Teoria de Tipos
Teoria do Controlo Não Linear
Teoria dos Espaços de Funções
Tópicos Avançados de Séries Temporais
Tópicos Avançados em Teoria de Semigrupos
Tópicos de Teoria de Matrizes
Topologia Algébrica
OPÇÕES M1 e M2
Escolhidas entre disciplinas obrigatórias ou optativas do Mestrado em Matemática e Aplicações do DMAT-UA ou dos mestrados oferecidos pelo DMAT-UM ou entre disciplinas de Mestrado ou Doutoramento de outras áreas, de acordo com o percurso de formação traçado para o aluno, ouvido o mesmo sobre os seus interesses de investigação.
DGES DIRECÇÃO GERAL DO ENSINO SUPERIOR MINISTÉRIO DA CIÊNCIA, TECNOLOGIA E ENSINO SUPERIOR
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Universidade de Aveiro – Departamento de Matemática Universidade do Minho - Departamento de Matemática
Programa Doutoral em Matemática e Aplicações Doutoramento Matemática
2º ANO
QUADRO Nº 3
TEMPO DE TRABALHO (HORAS) UNIDADES CURRICULARES
ÁREA CIENTÍFICA
TIPO TOTAL CONTACTO
CRÉDITOS OBSERVAÇÕES
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
Tese M 1620 OT: 60 60
DGES DIRECÇÃO GERAL DO ENSINO SUPERIOR MINISTÉRIO DA CIÊNCIA, TECNOLOGIA E ENSINO SUPERIOR
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Universidade de Aveiro – Departamento de Matemática Universidade do Minho - Departamento de Matemática
Programa Doutoral em Matemática e Aplicações Doutoramento Matemática
3º ANO
QUADRO Nº 4
TEMPO DE TRABALHO (HORAS) UNIDADES CURRICULARES
ÁREA CIENTÍFICA
TIPO TOTAL CONTACTO
CRÉDITOS OBSERVAÇÕES
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
Tese M 1620 OT: 60 60
DGES DIRECÇÃO GERAL DO ENSINO SUPERIOR MINISTÉRIO DA CIÊNCIA, TECNOLOGIA E ENSINO SUPERIOR
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Universidade de Aveiro – Departamento de Matemática Universidade do Minho - Departamento de Matemática
Programa Doutoral em Matemática e Aplicações Doutoramento Matemática
4º ANO
QUADRO Nº 5
TEMPO DE TRABALHO (HORAS) UNIDADES CURRICULARES
ÁREA CIENTÍFICA
TIPO TOTAL CONTACTO
CRÉDITOS OBSERVAÇÕES
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
Tese M 1620 OT: 60 60
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C. Relatório Sumário
Nesta peça descreve-se e fundamenta-se a presente proposta no que diz respeito à organização do
ciclo de estudos e à sua adequação relativamente aos objectivos traçados. Descrevem-se também os
recursos humanos e materiais e sua adequação ao grau de exigência científica e pedagógica. Finalmente,
apresenta-se um resumo do enquadramento, a nível nacional e internacional, da investigação
desenvolvida pelos grupos proponentes.
C.1. Descrição e Fundamentação a. Objectivos do ciclo de estudos O objectivo geral deste programa é formar doutorados que: a. sejam capazes de uma compreensão sistemática da matemática em geral, e da sua área de
especialização em particular;
b. demonstrem possuir as competências e aptidões associadas à matemática e conhecer os respectivos
métodos de investigação, em particular na sua especialidade;
c. sejam capazes de conceber, projectar, adaptar e realizar uma peça relevante de investigação em
matemática respeitando as exigências impostas pelos padrões de qualidade e integridade académicas;
d. tenham realizado um conjunto significativo de trabalhos de investigação original que tenha contribuído
para o alargamento das fronteiras do conhecimento em matemática e que seja merecedor de ser
publicado em revistas de circulação nacional ou internacional com sistema de arbitragem;
e. sejam capazes de analisar criticamente, avaliar e sintetizar ideias novas e complexas dentro da
matemática, em particular na sua especialidade;
f. sejam capazes de comunicar com os seus pares, a restante comunidade académica e a sociedade em
geral sobre a área em que são especializados;
g. sejam capazes de promover avanços científicos, tecnológicos ou culturais, em contexto académico
e/ou profissional, numa sociedade baseada no conhecimento.
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b. Organização do ciclo de estudos
O programa conducente ao grau de Doutor em Matemática e Aplicações cumpre-se em duas fases
distintas: o 1º ano lectivo, composto por componentes de ensino e de investigação, e os restantes 3 anos
dedicados exclusivamente ao desenvolvimento do trabalho de investigação, preparação de publicações e
respectiva divulgação em Seminários ou Conferências e escrita da tese de doutoramento.
As componentes de ensino do 1º ano são constituídas por:
• duas disciplinas, D1 e D2, de espectro largo dentro da matemática, que devem contribuir para a
cultura matemática do doutorando e deixar portas abertas para um eventual cruzamento de
áreas na actividade posterior do mesmo;
• duas disciplinas, D3 e D4, dependentes da especialização escolhida;
• eventualmente, duas disciplinas, M1 e M2, que poderão ser escolhidas de entre disciplinas de
Mestrado ou de Doutoramento em funcionamento na UA e na UM, quer com o objectivo de
completar formação matemática que o aluno deveria ter previamente adquirido, quer com o
objectivo de obter formação complementar relevante fora da matemática.
As componentes de investigação do 1º ano são constituídas por: • Laboratório de Investigação, no qual o aluno terá oportunidade de desenvolver pequenos
trabalhos de investigação, eventualmente em mais do que uma área, e dar a mostrar a sua
capacidade para a prática da investigação, permitindo-lhe escolher a especialização em que
pretende doutorar-se;
• Preparação do Projecto de Tese, no qual o aluno dará início à investigação dentro da
especialidade escolhida, reunindo, em particular, informações relativas ao projecto de tese que
terá de desenvolver nos anos seguintes.
Os interesses científicos do aluno e o seu percurso anterior determinarão o conjunto de disciplinas do
tipo D e, eventualmente, do tipo M em que cada doutorando deverá obter aprovação. A escolha do
percurso do aluno dentro deste programa cabe ao competente órgão científico.
Os alunos poderão ser dispensados da frequência de uma ou mais unidades do 1º ano curricular, em
caso de reconhecimento de elevado ou equivalente mérito à formação ou experiência científica dos
mesmos de acordo com os regulamentos de Estudos de Terceiro Ciclo, da Universidade de Aveiro e da
Universidade do Minho.
A aprovação no Laboratório de Investigação e nas disciplinas D1, D2, D3 e D4 dão origem à
atribuição de um Diploma de Estudos Avançados em Matemática (DEA-M).
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A aprovação na Preparação do Projecto de Tese, juntamente com a obtenção do DEA-M, dá ao aluno
o acesso aos restantes anos do ciclo de estudos.
c. Adequação do projecto educativo, científico e cultural próprio aos objectivos fixados
Ao propor este Programa Doutoral em Matemática e Aplicações, o Departamento de Matemática da
Universidade de Aveiro (DMAT-UA) e o Departamento de Matemática da Universidade do Minho (DMAT-
UM) têm em vista permitir a formação em matemática avançada em ambiente de investigação e, em
última análise, formar investigadores e/ou futuros quadros empresariais. Apesar de a adequação da
formação a nível dos 1º e 2º ciclos acarretar consigo uma transição do paradigma de ensino passivo,
baseado na transmissão de conhecimentos, para o paradigma do desenvolvimento de competências,
onde a componente experimental e de projecto desempenham um papel importante, é no 3º ciclo de
estudos que se pode atingir o expoente máximo deste novo paradigma.
O 1º semestre deste 3º ciclo está estruturado de modo a não só despertar o interesse de potenciais
alunos que ainda não tenham escolhido uma área específica de investigação, mas também a auxiliá-los
nessa escolha, mormente no que toca ao reconhecimento de capacidades de produzir trabalho original
de boa qualidade na fronteira do conhecimento da Matemática. Assim, durante esse primeiro semestre,
os alunos poderão frequentar disciplinas de espectro largo dentro da matemática, que, para além de
contribuir para a cultura matemática do doutorando e deixar portas abertas para um eventual cruzamento
de áreas na actividade posterior do mesmo, são uma janela aberta para as especializações que poderão
seguir. Adicionalmente, no espaço a que chamámos Laboratório de Investigação, o aluno terá
oportunidade de experimentar o que é fazer investigação em uma ou mais dessas especialidades e,
simultaneamente, aperceber-se daquela para a qual se sente mais vocacionado.
Pretendemos também lidar com a realidade da coexistência de candidatos provenientes do sistema
pré-Bolonha. Neste sentido, a estrutura adoptada para o 1º ano do 3º ciclo proposto permite e facilita a
integração destes candidatos, bem como de candidatos oriundos de 2º ciclos de áreas afins. Em
particular, prevemos a possibilidade de frequência de duas disciplinas semestrais, no 1º ano, que
poderão servir para completar formação matemática que o aluno deveria ter previamente adquirido. Em
alternativa, em vez de disciplinas com esse objectivo, poderá optar-se por escolher disciplinas que
diversifiquem a formação fora da matemática, o que fará sentido em especializações mais aplicadas onde
seja de prever uma posterior inserção no mercado de trabalho.
Concebemos o 2º semestre deste 3º ciclo já mais vocacionado para a área de especialização
entretanto escolhida, incluindo disciplinas específicas e a Preparação do Projecto de Tese.
Os 3 anos seguintes correspondem ao habitual trabalho de investigação com vista à elaboração de
uma tese de doutoramento em matemática, na área de especialização escolhida. Sem prejuízo de poder
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ser possível cumprir, pelo menos parcialmente, todos os objectivos, anunciados anteriormente,
exclusivamente com um programa de investigação a 3 anos com um primeiro ano já de investigação
(sem unidades curriculares formais) – só possível de iniciar por quem já tem ideias muito claras sobre a
área de especialização em que se pretende doutorar –, afigura-se-nos que todas as competências saem
reforçadas com este projecto, para além de poder cativar para a investigação em matemática valores que
de outro modo poderiam ser desperdiçados.
C.2. Adequação dos Recursos Humanos às Exigências Científicas e Pedagógicas e à Qualidade do Ensino
Os Departamentos de Matemática (DMAT) das Universidades de Aveiro (UA) e do Minho (UM)
possuem um corpo docente especializado, com competência reconhecida nas diversas áreas da
Matemática representadas neste programa, nomeadamente
- Álgebra, Geometria e Topologia,
- Análise e Aplicações,
- Estatística e Probabilidades,
- Lógica e Computação,
- Optimização, Sistemas e Controlo.
É nosso objectivo garantir elevados padrões de qualidade em cada edição do programa. Todos os
docentes envolvidos possuem o grau de Doutor e exercem actividade de investigação reconhecida através
de padrões internacionais (cf. Anexo III – Publicações seleccionadas).
Actualmente, o conjunto de docentes que dá corpo a este programa doutoral é composto pelos
seguintes elementos (indicando-se, entre parênteses, a sua ligação à UA ou à UM e, quando apropriado,
às unidades de investigação CEOC, CMAT e UIMA a que nos referiremos mais adiante – para mais
detalhes, consultar o Anexo I):
A. M. d'Azevedo Brêda (UIMA, DMAT-UA)
Agostinho Agra (CEOC, DMAT-UA)
Alexander Plakhov (CEOC, DMAT-UA)
Alexandre Almeida (UIMA, DMAT-UA)
Ana Helena Roque (UIMA, DMAT-UA)
Ana Jacinta Soares (CMAT, DMAT-UM)
António Caetano (UIMA, DMAT-UA)
António João Breda d'Azevedo (UIMA, DMAT-UA)
António Leslie Bajuelos (CEOC, DMAT-UA)
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Assis Azevedo (DMAT-UM)
Cláudia Mendes Araújo (CMAT, DMAT-UM)
Cristina Requejo (CEOC, DMAT-UA)
Delfim F. M. Torres (CEOC, DMAT-UA)
Dirk Hofmann (UIMA, DMAT-UA)
Domenico Catalano (UIMA, DMAT-UA)
Domingos Moreira Cardoso (CEOC, DMAT-UA)
Eugénio Rocha (CEOC, DMAT-UA)
Fernando A.C.C. Fontes (DMCT-UM)
Filipe C. Mena (CMAT, DMAT-UM)
Helmuth R. Malonek (UIMA, DMAT-UA)
Isabel Cação (UIMA, DMAT-UA)
Isabel Pereira (UIMA, DMAT-UA)
João J. Xarez (UIMA, DMAT-UA)
José Carlos Costa (CMAT, DMAT-UM)
Lisa Santos (CMAT, DMAT-UM)
Lucía Fernández-Suárez (CMAT, DMAT-UM)
Lucile Vandembroucq (CMAT, DMAT-UM)
Luís Castro (UIMA, DMAT-UA)
Luís Descalço (UIMA, DMAT-UA)
Luís Pinto (CMAT, DMAT-UM)
Manuel António Martins (UIMA, DMAT-UA)
Manuel Scotto (UIMA, DMAT-UA)
Maria da Piedade Machado Ramos (DMCT-UM)
Maria Irene Falcão (CMAT, DMAT-UM)
Paolo Vettori (UIMA, DMAT-UA)
Paula Cerejeiras (UIMA, DMAT-UA)
Paula Marques Smith (CMAT, DMAT-UM)
Paula Rocha Malonek (UIMA, DMAT-UA)
Pedro Patricio (CMAT, DMAT-UM)
R. Ralha (CMAT, DMAT-UM)
Raquel Pinto (UIMA, DMAT-UA)
Rosália Rodrigues (CEOC, DMAT-UA)
Rute Lemos (UIMA, DMAT-UA)
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Salvatore Cosentino (CMAT, DMAT-UM)
Tatiana Tchemisova (CEOC, DMAT-UA)
Thomas Kahl (CMAT, DMAT-UM)
Uwe Kähler (UIMA, DMAT-UA)
Vasile Staicu (UIMA, DMAT-UA)
Vítor Neves (CEOC, DMAT-UA)
YuLin Zhang (CMAT, DMAT-UM)
onde 4 são Professores Catedráticos,
17 são Professores Associados, dos quais 6 agregados,
29 são Professores Auxiliares, dos quais 1 agregado.
Sem prejuízo da conclusão de orientações de teses de doutoramento já iniciadas, esta lista de
docentes será revista anualmente, de modo a garantirem-se elevados padrões de qualidade em cada
edição deste programa. Tal revisão terá como base a exigência de cada docente envolvido ter publicado
recentemente algum trabalho científico seu numa revista de âmbito internacional com sistema de
arbitragem. A satisfação deste critério para o conjunto de docentes aqui apresentado pode apreciar-se no
Anexo I.
Do ponto de vista pedagógico e da qualidade do ensino, há a segurança de que este conjunto de
professores possui a experiência acumulada de vários anos a participar regularmente na leccionação dos
1º e 2º ciclos de Matemática oferecidos pelos respectivos departamentos (para pormenores relativos a
leccionação a nível de 2º ciclo, consultar Anexo I).
Nas actuais actividades de investigação desenvolvidas por este conjunto de docentes estão ainda
envolvidos 5 alunos de pósdoutoramento e 51 estudantes de Doutoramento. Este grupo orienta ainda 41
alunos de Mestrado.
De um outro ponto de vista, foram concluídos até ao presente, por este conjunto de professores, 21
orientações de projectos de pósdoutoramento, 26 orientações de doutoramento e 101 orientações de
mestrado ou de provas de aptidão pedagógica e capacidade científica.
Os elementos dos Departamentos de Matemática que suportam esta proposta desenvolvem a sua
actividade de investigação integrados em três Unidades de Investigação e Desenvolvimento, todas
classificadas com Muito Bom na última avaliação promovida pela FCT:
· CEOC - Centro de Estudos em Optimização e Controlo;
· CMAT - Centro de Matemática da Universidade do Minho;
· UIMA – Unidade de Investigação em Matemática e Aplicações.
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Este programa conta ainda com a colaboração de dois membros do Departamento de Matemática
para a Ciência e Tecnologia da Universidade do Minho (DMCT-UM).
Nos Anexos II e III listamos, respectivamente, as teses de doutoramento concluídas e orientadas
pelos elementos que compõe esta proposta assim como uma selecção das suas publicações. Na peça
C.4, ao fazer-se o enquadramento na rede de formação nacional, listamos alguns dos projectos em que
os mesmos elementos se têm envolvido.
Como meros indicadores numéricos, podemos dizer que este grupo possui, em conjunto, mais de
850 trabalhos científicos publicados, após processo de arbitragem, em revistas internacionais, actas de
encontros internacionais ou colecções de edição internacional, verificando-se que 60% destes se
encontram listados em motores de busca da especialidade, como a MathSciNet ou a Zentralblatt. Além
disso, cerca de 40% destes valores dizem respeito a trabalhos publicados recentemente (desde 2004,
inclusive). Contabilizámos também mais de 700 citações feitas à totalidade destes trabalhos, de acordo
com consulta feita na plataforma ISI Web of Knowledge.
O número total de comunicações feitas em congressos internacionais é também da mesma ordem
de grandeza (cerca de 600), enquanto o número de palestras feitas por convite em tais congressos está
ligeiramente acima de 90.
Por outro lado, as parcerias de investigação com colegas de outras instituições originaram até ao
momento mais de 550 deslocações, entre visitas feitas e visitas recebidas, sendo que as deslocações
feitas desde 2004, inclusive, contribuíram em cerca de metade para este número.
Para a parte de (co-)orientação de teses de doutoramento, este programa conta ainda com o apoio
assumido dos seguintes elementos, os quais, embora não pertencendo nem à Universidade de Aveiro,
nem à do Minho, são elementos activos das UI&D acima referidas:
Manuel Guerra (CEOC; Dep. Matemática, Inst. Sup. Economia e Gestão, UTL)
Maria Eduarda Silva (UIMA; Dep. Matemática Aplicada, Fac. Ciências Univ. Porto)
Teresa Maria Feio Mendonça (UIMA; Dep. Matemática Aplicada, Fac. Ciências Univ. Porto).
C.3. Adequação dos Recursos Materiais às Exigências Científicas e Pedagógicas e à Qualidade do Ensino
Os espaços lectivos na Universidade de Aveiro e na Universidade do Minho incluem salas de aula e
anfiteatros equipados com os mais modernos meios audiovisuais com possibilidade de utilização de
meios multimédia e projecção vídeo.
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A Biblioteca Central da Universidade de Aveiro e a Biblioteca Geral da Universidade do Minho estão
dotadas com obras de referência, básicas e avançadas, na área da Matemática. Estas Universidades
subscrevem igualmente uma parte significativa das revistas científicas desta área, tendo igualmente
acesso on-line às revistas da especialidade dos mais importantes editores e sociedades científicas
internacionais. Tal deve-se, em parte, ao acesso existente à b-on (biblioteca do conhecimento on-line). Por
outro lado, em muitos casos a rede de contactos nacionais e internacionais do corpo docente deste
projecto e a facilidade de uso dos meios de comunicação electrónica são veículos suficientes para a
obtenção dos artigos, ou mesmo pré-publicações, mais recentes. Em adição, para os casos em que,
mesmo assim, não é possível obter de imediato uma referência bibliográfica importante, o serviço de
empréstimo interbibliotecas permite resolver a situação em tempo útil.
Salas de computadores, disponíveis quer nos Departamentos de Matemática quer nos espaços
comuns de ensino da UA e da UM, permitem o acesso de todos os alunos a motores de pesquisa
científica como o Web of Knowledge, MathSciNet e Zentralblatt Math, subscritos pelas duas
universidades, bem como às revistas disponíveis on-line. Por outro lado, a rede wireless, integrada na
iniciativa “e-U Campus Virtual”, que cobre integralmente todos os espaços dos Campi da Universidade de
Aveiro e da Universidade do Minho, permitindo uma mobilidade total dentro dos Campi, garante um
acesso contínuo aos serviços on-line pelos alunos detentores de computadores portáteis dotados de
tecnologia wireless.
Acrescente-se a isto que a Universidade de Aveiro e a Universidade do Minho têm implementada uma
plataforma de ensino à distância (Blackboard), o que facilita o processo de ensino-aprendizagem,
nomeadamente ao nível da disponibilização de informação de suporte às aulas bem como da interacção
docente-aluno fora do contexto da sala de aula.
Apesar de todas as facilidades apontadas, no sentido de os trabalhos de pesquisa dos alunos poderem
ser feitos até mesmo fora da UA e da UM (por exemplo, através da tecnologia vpn - virtual private network
oferecida pelo Centro de Informática e Comunicações da UA e pelos Serviços de Comunicações da UM)
os DMAT-UA e DMAT-UM disponibilizam ainda algumas salas de estudo e, até ao momento, têm
conseguido oferecer um espaço de trabalho (gabinetes múltiplos) para os seus estudantes de
doutoramento, o que lhes tem permitido desenvolver a sua investigação essencialmente dentro das
respectivas Universidades. Os DMAT-UA e DMAT-UM continuarão a envidar esforços para conseguir
manter esta oferta no futuro.
O DMAT-UM possui 4 Laboratórios Pedagógicos de computação equipados com um total de 79
computadores pessoais em rede e sistema de impressão, com quadro, projector multimédia, estando um
9
deles equipado com um quadro interactivo. Estes 4 Laboratórios estão equipados com variado software
científico, como o Matlab, o Mathematica, o SPSS e o Mupad. A Universidade do Minho dispõe de um
cluster computacional (ver http://www.di.uminho.pt/search) financiado pelo Programa de Re-
equipamento Científico Nacional da FCT (CONC-REEQ/443/EEI/2005). O CMAT – Centro de Matemática
da Universidade do Minho é um dos parceiros do consórcio SEARCH que se criou na UM para apoio a
projectos dos centros de I&D em Informática, Física e Matemática.
O DMAT-UA dispõe de 3 Laboratórios Pedagógicos de computação equipados recentemente com um
total de 55 computadores pessoais instalados em rede e sistema de impressão. Dispõe ainda
especificamente para a pós-graduação de 6 gabinetes equipados com 26 computadores. São
disponibilizadas, adicionalmente, 3 salas de estudo equipadas com 23 computadores. A rede informática
do DMAT insere-se na estrutura da rede informática da UA e inclui variado software científico,
nomeadamente, Matlab, Maple, SPSS, Splus e XPRESS-MP.
C.4. Enquadramento na Rede de Formação Nacional
A formação de 3º ciclo segundo o modelo de Bolonha pretende dar resposta à constante evolução
científico-tecnológica, aliada a uma crescente sensibilização pública para a necessidade de formação pós-
graduada qualificada dos quadros superiores e correspondente interacção internacional. No panorama
nacional, a implementação deste modelo está a ser feita quer por adequação de modelos já existentes
(caso do “Programa de Doutoramento em Matemática”, oferecido pelo Instituto Superior Técnico (IST)),
quer por “criação de raiz” (caso do “Programa Inter-Universitário de Doutoramento em Matemática”,
oferecido conjuntamente pelas Universidades de Coimbra e do Porto (UC-UP)). Em qualquer dos casos,
todavia, a oferta assenta sempre no reconhecimento da qualidade das Unidades de Investigação que
apoiam o programa doutoral.
Tradicionalmente, as Universidades de Aveiro e Minho têm assegurado uma formação doutoral pré-
Bolonha, regida por princípios de qualidade internacionalmente aceites, tendo formado um total de 26
doutorados em Matemática.
É interessante observar que 10 destes 26 doutoramentos são relativos a alunos cujo percurso de
formação anterior não tinha sido nem na Universidade de Aveiro (UA) nem na Universidade do Minho
(UM). Esta tendência mantém-se, verificando-se que 20 dos 51 doutoramentos em Matemática em curso
estão nessas condições, sendo que 4 desses se referem mesmo a alunos provenientes de outros países.
Esta capacidade de atracção que ultrapassa as fronteiras do país revela-se ainda mais claramente ao
nível de projectos de pós-doutoramento, onde 18 dos 21 projectos já concluídos estão nessas condições.
10
Na formação a nível de mestrado, observamos somente que cerca de metade dos alunos formados a
esse nível provinham de outros estabelecimentos de ensino.
No entanto, a evolução das necessidades de formação pós-graduada e sua internacionalização
exigem a presente adaptação deste processo ao modelo de Bolonha. Poderá contrapor-se que, dada a
proximidade geográfica de Coimbra e Porto a Aveiro e Minho, uma proposta doutoral emanente destas
últimas é, à primeira vista, redundante. Porém, uma análise detalhada das áreas oferecidas em ambos os
programas mostra que essa sobreposição é meramente aparente e, em alguns casos, mesmo inexistente.
Adicionalmente, os contactos privilegiados com o tecido empresarial permitem e facilitam a futura
inserção dos formandos, contribuindo deste modo para ajudar a colmatar a presente lacuna existente no
panorama empresarial nacional.
A flexibilidade do programa proposto foi desenhada com vista a contemplar também alunos de áreas
afins ou não provenientes de um 2º ciclo de Bolonha mas possuidores de reconhecido nível científico,
garantindo simultaneamente uma formação específica na área escolhida e uma visão ampla sobre um
vasto leque de conhecimentos. Além disso, a estrutura que escolhemos para o 1º ano curricular permite
que o aluno teste as suas capacidades de investigação desde o primeiro semestre, algo que não se
encontra facilmente nos programas doutorais com base curricular actualmente existentes.
A oferta contida neste programa, no que diz respeito a áreas de especialização, baseia-se na
investigação em Matemática que se faz na UA e na UM, e tira partido também das parcerias existentes,
no contexto de projectos nacionais e internacionais. As áreas abrangidas nessa investigação têm
reconhecida relevância, dos pontos de vista fundamental e das aplicações, verificando-se mesmo que, em
conjunto, a UA e a UM detêm o exclusivo da investigação em Portugal em muitos dos tópicos
considerados.
Apresenta-se, em seguida, um sumário do enquadramento, a nível nacional e internacional, da
investigação desenvolvida pelos grupos proponentes, assim como uma selecção dos respectivos
projectos.
ÁLGEBRA, GEOMETRIA E TOPOLOGIA– UA
O grupo de Álgebra e Geometria tem como áreas de investigação preferencial, mergulhos celulares
de grafos e hipergrafos em superfícies (mapas e hipermapas), grupos de automorfismos de superfícies de
Riemann, estruturas locais e globais de aplicações em variedades riemannianas localmente isométricas
com ênfase em dobragens isométricas de superfícies e classificação dos respectivos conjuntos de
singularidades (f - pavimentações), desigualdades matriciais e sua relevância na física, topologia (teoria
11
da convergência, espaços de funções, completude, descrição uniforme de várias categorias de interesse
para esta área) semigrupos (estudo dos subsemigrupos do monóide bicíclico e generalizações, e de
outros subsemigrupos do monóide de transformações total sobre os números inteiros); teoria das
categorias (estudo de exemplos ligados à teoria de Galois categorial, nomeadamente classes especiais de
morfismos, extensões centrais e sistemas de factorização); teoria dos números (estudo de alguns tópicos
clássicos tais como números perfeitos e multiperfeitos, problema de Collatz, problema diofantino de
Frobenius).
Convém referir que a investigação relativa a mergulhos celulares de grafos e hipergrafos em
superfícies e a dobragens isométricas de superfícies não tem eco em mais nenhum outro ponto do País,
tendo já formado e estando a formar investigadores de outras universidades portuguesas. Os
investigadores que trabalham em álgebra linear, teoria das categorias e lógica algébrica abstracta
mantêm uma colaboração estreita com investigadores das Universidades de Coimbra e do Instituto
Superior Técnico.
A nível internacional, os membros do grupo de investigação de Álgebra e Geometria mantêm
colaboração com investigadores de diversos centros, nomeadamente com as Universidades de
Southampton (U.K.), Northen Arizona (USA), UNED (Espanha), Linköping (Suécia), Tecnológica e Instituto
de Matemática e Ciências da Computação (Eslováquia), centros onde a investigação nas áreas de
mergulhos celulares, superfícies de Riemann e dobragens isométricas é de excelência. Na área de teoria
das categorias o grupo mantém uma colaboração com investigadores das Universidades de Cape Town
(África do Sul), de York (Toronto-Canada) e de Antuérpia (Bélgica) .
Projectos:
1. “Geometrix”, projecto financiado pela Universidade de Aveiro, desde Setembro de 2000.
2. “Grupos, Álgebras e Geometria”, Praxis/PCEX/P/MAT/114/96, de 1996 a 1998.
3. “Física-Matemática”, JNICT, Programa PRAXIS XXI, de 1991 a 1997.
4. “Geometria e Aplicações”, Projecto PBIC/C/CEN/1060/92, de 1992 a 1994.
5. “Sistemas e Robótica”, Projecto no âmbito do Programa Ciência da Universidade de Coimbra, de
1991 a 1993.
12
ÁLGEBRA, GEOMETRIA E TOPOLOGIA – UM
A investigação realizada pelo grupo de Álgebra, Geometria e Topologia desenvolve-se nas áreas de
Teoria de Semigrupos, Teoria de Matrizes e Topologia Algébrica.
A Teoria de Semigrupos constitui uma área de investigação da Álgebra Moderna, importante e bem
estabelecida, que tem merecido a atenção de inúmeros investigadores das mais variadas partes do
mundo de entre os quais destacamos Donald McAlister (University of Northen Illinois), Jean-Eric Pin
(Université de Paris VII), John Rhodes (University of Berckeley), Jorge Almeida (Universidade do Porto),
Mária Szendrei (József Attila University, Hungary), Mark Lawson (University of York), Mikhail Volkov (Ural
State University), Norman Reilly (University of Burnary, Canada), Peter Higgins (University of Essex, U.K.),
Robert Sullivan (University of Western Australia), Stuart Margolis (BarIlen University, Israel).
No âmbito da investigação realizada pelo grupo de investigadores em Teoria de Semigrupos, têm-se
obtido, em colaboração com investigadores nacionais e estrangeiros, resultados significativos, quer no
estudo de propriedades algébricas (estudo de várias classes de semigrupos com a ordem parcial natural
e sua caracterização em termos de produtos semidirectos de certas estruturas algébricas e estudo de
problemas algébricos e de ordem em semigrupos de transformações), quer no estudo de
pseudovariedades de semigrupos, com particular incidência na sua ligação com autómatos e teoria de
linguagens (questões de decidibilidade nas teorias de semigrupos finitos e linguagens formais,
nomeadamente através da noção de mansidão de uma pseudovariedade, e estudo de operadores sobre
pseudovariedades tais como o supremo, o produto semidirecto e o produto de Mal'cev). Estes interesses
de investigação são partilhados, a nível nacional, por colegas de quase todas as universidades
portuguesas: Centro de Álgebra da Universidade de Lisboa, Centro de Matemática da Universidade do
Porto, Centro de Matemática da Universidade de Coimbra e Departamento de Matemática da
Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro.
Reflexo da relevância da investigação nas áreas referidas são os projectos de investigação, a nível
nacional e internacional, financiados pelos programas operacionais PESSOA, POCTI, PRAXIS XXI, INTAS,
ESPRIT, nos quais alguns dos investigadores proponentes têm participado.
Ainda consequência do interesse que esta área de investigação levanta na comunidade científica são as
três conferências internacionais e o encontro nacional que se realizaram, nos últimos 10 anos, na
Universidade do Minho: First Meeting of the project AGC (Álgebra, Geometria e Combinatória) (1997),
International Conference on Semigroups (1999), International Meeting on Semigroup Theory and Related
Topics (2003) e Encontro de Algebristas Portugueses (2005).
Com algumas ligações ao estudos de relações de ordem em semigrupos, encontramos o estudo da
teoria algébrica das inversas generalizadas. Tem vindo a ser ser efectuado um esforço de implementação
13
de parcerias com cientistas internacionais de relevo; se a nível nacional existe investigação efectuada
nesta área apenas no Instituto de Telecomunicações, a nível internacional multiplicam-se os exemplos.
Destacamos, entre muitos outros centros de investigação internacionais, Indian Statistical Institute (Índia),
North Carolina State University (EUA), Institute of Physics, Poznan (Polónia), Universidade de Fudan
(Xangai, R.P. China), Univeridade de Melbourne (Australia), Universidad Politécnica de Valencia
(Espanha).
A resolução de problemas em Ciência, em Engenharia e nas Ciências Sociais, modelizados através
de técnicas matriciais, passa frequentemente pela determinação de algumas entradas de uma dada
matriz por forma a que a matriz obtida tenha certas propriedades previamente prescritas. A chamada
Teoria de Completamento engloba estes problemas e tem a sua génese em meados do século XX. Nos
anos mais recentes, uma metodologia combinatória tem possibilitado uma melhor e mais fácil
compreensão da estrutura de uma matriz e dos chamados problemas de completamento de matrizes. No
contexto nacional, podemos encontrar trabalho desenvolvido nesta área também por colegas do Centro
de Estruturas Lineares e Combinatórias da Universidade de Lisboa e do Centro de Matemática da
Universidade de Coimbra. Já a nível internacional, de destacar os estudos apresentados por
investigadores de The College of William and Mary (EUA), University of Regina (Canadá) e Universidad
Politécnica de Valencia (Espanha).
O grupo de Topologia Algébrica desenvolve a sua investigação nas áreas de Homotopia Racional,
Teoria Homotópica de Variedades e Aplicações de Topologia. As duas primeiras são áreas clássicas, bem
estabelecidas em diversos centros de investigação a nível mundial, no entanto, a nível nacional, o CMAT
é o único centro nacional a efectuar investigação em Homotopia Racional. A área de Aplicações de
Topologia é uma área emergente, promovida por centros de investigação em Paris (França), Aalborg
(Dinamarca), Lausanne (Suiça), Cleveland e Stanford (EUA).
Projectos:
1. "ASA (Autómatos, Semigrupos e Aplicações)", PTDC/MAT/65481/2006, terá início em 1 de
Abril de 2007 e estender-se-á por 3 anos.
2. "Automata, profinite semigroups and symbolic dynamics", Egide/Grices 11113YM, financiado
pelo Programa PESSOA - Acções integradas de Cooperação Científica e Técnica Luso-Francesas,
teve início em 1 de Janeiro de 2006 e terá uma duração de 2 anos.
3. "AutoMathA (Automata: from Mathematics to Applications)", da Fundação Europeia para a
Ciência, financiado por 16 organizações de 14 países (incluindo a FCT e o GRICES de Portugal),
a funcionar desde 1 de Julho de 2005 e prolonga-se por 5 anos.
4. “Categoria de Lusternik-Schnirelmann”, GRICES/CNRS, 2003-2004.
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5. "PAS (Problemas Algorítmicos em Teoria de Semigrupos Finitos)", POCTI/32817/ MAT/2000,
de 2000 a 2004.
6. "INTAS (Combinatorial and geometric theory of groups and semigroups and its application to
computer science)", INTAS 99-1224, de 2000 a 2003.
ANÁLISE E APLICAÇÕES – UA Grupo de Análise Funcional e Aplicações
Parte significativa da investigação neste grupo realiza-se em Teoria de Operadores e engloba tópicos
que são também objecto de investigação do recém criado "Centro de Análise Funcional e Aplicações" do
Instituto Superior Técnico, bem como de investigadores do Departamento de Matemática da Universidade
do Algarve; existe também um elemento no Centro de Matemática da Universidade do Minho a trabalhar
directamente em alguns destes tópicos.
Outra linha importante de pesquisa é na análise não suave e soluções generalizadas para equações
de Hamilton-Jacobi, inclusões diferenciais, teoria do controlo e problemas variacionais. Nos últimos anos,
a actividade na área das inclusões diferenciais foi parcialmente financiada pelo projecto FCT-FEDER
POCI/MAT/55524/2004. Mantém projectos de colaboração com investigadores da Universidade de
Lisboa e da Universidade de Évora. Na Universidade de Aveiro e em colaboração com Nikolaos
Papageorgiou (que se encontra actualmente nesta universidade por um período de 6 meses, como
cientista convidado) está-se a realizar sólida investigação relativa a utilização dos métodos topológicos e
variacionais no estudo de existência e multiplicidade das soluções para problemas limite não lineares que
envolvem termos multívocos.
Uma terceira linha de investigação deste grupo é em Teoria dos Espaços de Funções, área que, em
Portugal, se encontra essencialmente apenas representada nas Universidades de Aveiro, Algarve (em
especial no tópico “Espaços com expoente variável”, investigação integrada no CEMAT do Instituto
Superior Técnico) e Coimbra (dois jovens investigadores do respectivo Centro de Matemática), havendo
alguma cooperação entre as pessoas envolvidas. Quanto aos espaços de funções em si, são ingredientes
básicos no estudo de equações diferenciais e operadores vários que se faz em vários centros do país.
São em número muito grande os investigadores internacionais a realizarem trabalho em Teoria de
Operadores. Referimos aqui somente algumas universidades a que estes pertencem: Technische
Universität Chemnitz, Alemanha; University of California at Santa Cruz, E.U.A.; University of Reading,
15
Reino Unido; Georgian Technical University & A. Razmadze Mathematical Institute, Georgia; University of
Athens, Grécia; Vrije Universiteit Amsterdam, Holanda.
Na parte da investigação em Inclusões Diferenciais e Problemas Variacionais, há colaborações
internacionais em curso com os Professores Alberto Bressan da Penn State University (USA), Francesco
De Blasi da Universidade de Roma (Itália), Giulio Pianigiani da Universidade de Florença (Itália), Arrigo
Cellina da Universidade de Milão "Biccoca" (Itália), Mitsuharu Otani da Waseda University de Tóquio
(Japão), Sergiu Aizicovici da Ohio University de Athens, (E.U.A.) e Nikolaos Papageorgiou da Universidade
de Atenas (Grécia). Na área da análise não suave e aplicações a calculo das variações e controlo óptimo
há colaborações já realizadas e/ou em curso com os Professores Francis Clarke da Universidade de Lyon
(França) e Martino Bardi da Universidade de Padova (Itália).
No que ao estudo de Espaços de Funções, a nível internacional, diz respeito, indicam-se apenas
alguns centros onde ele se desenvolve: Academia de Ciências da República Checa (B. Opic, A.
Gogatishvili); Universidade Friedrich-Schiller, em Jena, na Alemanha (grupo de H. Triebel); a escola russa
(associada a nomes como O. Besov, V. Mazya, V. Burenkov, V. Kolyada, G. Kalyabin, M. Goldman, Y.
Netrusov, para citar alguns); Grupo de investigação "Variable Exponent Lebesgue and Sobolev Spaces" da
Universidade de Helsínquia, Finlândia; A. Razmadze Mathematical Institute de Tbilisi, Georgia;
Universidade de Freiburg, Alemanha.
Projectos:
1. “Variable Exponent Analysis”, com início em Janeiro de 2007 e duração de 24 meses, envolve
vários países – Portugal (Universidades do Algarve e Aveiro), Georgia (A. Razmadze Math.
Institute, Tbilisi), Azerbeijão (Institute of Math. and Mechanics, National Academy of Sciences) e
Finlândia (Universidades de Oulu, Joensu e Helsínquia), INTAS.
2. “Sharp embeddings of Besov and Bessel potential type spaces”, teve início em 2006 e estender-
se-á até ao fim de 2007, envolve também a Universidade de Coimbra, GRICES/ASCR.
3. Projecto FCT POCI/MAT/55524/2004: “Inclusões diferenciais e Problemas variacionais”,
envolve também a Universidade de Évora, teve início em Julho de 2005 e estender-se-á por 3
anos.
4. “Subatomic decompositions in function spaces, wavelet methods and applications”, 2004-2005,
envolvendo também a Universidade de Coimbra, GRICES/DAAD;
5. “Integral Operators with Applications to Diffraction Theory”, iniciado e terminado em 2003,
GRICES/British Council;
16
Grupo de Análise Complexa e Hipercomplexa
Nos últimos 30 a 40 anos tem-se manifestado uma crescente utilização de álgebras não comutativas
na modelação e resolução de problemas em dimensões 3 ou superiores que ocorrem em diversas áreas
científicas, nomeadamente na Física-Matemática e na Engenharia. Nesta perspectiva, a Análise de Clifford
tem-se destacado como uma generalização da Análise Complexa e da Análise Harmónica envolvendo
álgebras de Clifford como ferramenta essencial. O trabalho desenvolvido nesta área em Portugal
concentra-se fundamentalmente no grupo de Análise Complexa e Hipercomplexa e, pontualmente, em
colaboradores exteriores ligados ao grupo. Neste âmbito, desde meados dos anos 90 têm-se realizado
anualmente workshops integrados em cursos intensivos onde participam investigadores e alunos de pós-
graduação portugueses e estrangeiros. No contexto de um programa doutoral em Matemática, a oferta de
uma especialização nesta área é única no país.
No panorama internacional, a nossa investigação na área de Análise de Clifford encontra-se bem
colocada, com ligação a vários centros em vários países Europeus (Bélgica, França, Alemanha, República
Checa, Finlândia, Áustria, Suíça) bem como noutros continentes (e.g. E.U.A., México, República Popular
da China). Na sua componente mais teórica destacam-se as cooperações com as universidades de
Ghent, Leuven, Caen, Weimar, Freiberg, Prag, Tampere, Joensuu, Arkansas (Fayetteville), Mexico,
Queretaro, Macau e Hefei. Na componente de processamento de sinais esféricos e representação em
frames, deve referir-se a estreita ligação com os trabalhos desenvolvidos por HASSIP (European Network:
Harmonic Analysis and Statistics for Signal and Image Processing, NuHAG (Numerical Harmonic Analysis
Group, Vienna), EUCETIFA (European Center of Time and Frequency, Vienna), Université Catholique de
Louvain, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, ZeTeM (Zentrum für Technomathematik, Bremen),
ZIB (Zuse-Institut für Informationstechnik, Berlin), Universität Kaiserslautern e Technische Universität
Chemnitz.
Projectos industriais:
1. CRAFT-1999-713 09, MEPROS – “A new and Innovative Meteorological Profiling System based
on Wavelet Technology for Radar and Acoustic Devices” (nomeado para o Inovationspreis der
Deutschen Industrie - prémio de inovação na indústria alemã). Companhias industriais
envolvidas: SHE Informationstechnologie AG, Alemanha, Bristol Industrial & Research Associates
Ldt, Reino Unido, Scintec AG, Alemanha, Eurelettronica Icas Srl, Itália, Espace Eolien
Developpement, França, METEK Gmbh, Alemanha. Duração: 11/2002 - 10/2004. Entidade
financiadora: 6º Quadro de Financiamento Europeu; financiamento: 1,1M euros.
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Outros projectos:
1. “NeCCA: Network on Constructive Complex Approximation” - (INTAS 03-51-6637) desde 2004.
2. “Rational approximation of analytic functions and its applications to the spectral theory of
difference operators, nonlinear dynamical systems, special functions and number theory” (INTAS-
2000-272) duração: 2000-2003;
3. “Complex and Clifford Analysis for Treating Systems of Partial Differential Equations” (INTAS -
93 -322) duração: 1994-1997;
4. “Onduletas em Espaços de Banach”; duração: 2002-2003; membros participantes: Univ. de
Aveiro, Univ. do Minho, Universität Bremen; entidade financiadora: GRICES, n.º 423/DAAD;
5. “Equações com Derivadas Parciais – métodos da Teoria de Funções em Dimensões
Superiores”; duração: 1999-2001; membros participantes: Univ. de Aveiro, Univ. do Minho,
RWTH Aachen, TU Bergakademie Freiberg, Bauhaus-Universität Weimar; entidade financiadora:
ICCTI, nº 423/DAAD;
ANÁLISE E APLICAÇÕES – UM
A investigação nesta área divide-se em três subáreas: Análise Complexa, Equações de Derivadas
Parciais, e Física-Matemática.
A área de Equações de Derivadas Parciais é uma área de investigação fortemente representada em
Portugal, havendo investigadores em praticamente todas as universidades portuguesas. É uma área de
interface com as outras ciências, pois modela problemas oriundos da Biologia, da Economia, da Física e
das Engenharias. Utiliza muitas ferramentas teóricas, como por exemplo a Análise Funcional e muitas
mais aplicadas, como a Análise Numérica, é uma verdadeira área de interface, não só dentro da
Matemática como com outras áreas do conhecimento científico.
A subárea dos Problemas de Fronteira Livre tem alguma representatividade em Portugal, contando
com investigadores na Universidade de Coimbra, nas três universidades públicas de Lisboa e na
Universidade do Minho. No que respeita à sua implantação internacional, é uma área forte e dinâmica,
ocorrendo os congressos “Free Boundary Problems: theory and applications” com uma periodicidade
bienal ou trienal desde 1981. Estes congressos, que duma maneira geral, acontecem na Europa, já
tiveram lugar nos EUA e no Japão. O último decorreu em 2005, na Universidade de Coimbra e contou
com a participação mais de 160 investigadores de cerca de 20 países, que apresentaram 120 palestras
em apenas 5 dias, estando na Comissão Organizadora da conferência um dos membros deste projecto.
Este congresso teve a honra de acolher a EMS Lecture de 2005, pela conceituada Profª. Nina Uraltseva,
18
que apresentou uma sucessão de palestras sob o título “Regularity of free boundaries in parabolic
obstacle type problem”.
Nos anos 90 houve um projecto, com a duração de 5 anos, da European Science Foundation (ESF)
intitulado “Mathematical Treatment of Free Boundary Problems” cujo responsável era um investigador
português e que financiou o “VI Workshop of Numerical Analysis of Free Boundary Problems”, que
decorreu na Universidade do Minho. Está actualmente em curso um outro projecto intitulado “ESF
Scientific Programme on Global and Geometrical Aspects of Nonlinear Partial Differential Equations”, que
financiou duma forma muito forte o congresso de fronteiras livres que ocorreu em Coimbra em 2005.
A comunidade científica internacional de Fronteiras Livres conta ainda com o apoio do FBP/News,
uma Newsletter/Forum, com o endereço http://fbpnews.org e uma revista da especialidade, Interfaces
and Free Boundaries, classificada, relativamente aos índices de impacto na ISI Web of Knowlege em
2005, em 16º lugar entre as revistas de Matemática.
A investigação feita em Análise Complexa Computacional tem fortes ligações com o trabalho
desenvolvido na Universidade de Aveiro, por investigadores da área da Análise Complexa e Hipercomplexa
e na Universidade de Weimar. Em particular, existem (e/ou existiram, num passado recente) projectos
que incluem investigadores das 3 instituições. Esta colaboração inclui investigação na área das
transformações numéricas no plano e no espaço; adaptação de conceitos da aproximação complexa em
geral e correspondente desenvolvimento de algoritmos numéricos. O enquadramento da investigação, a
nível internacional, na área da Análise Hipercomplexa, tanto do ponto de vista mais teórico, como do
ponto de vista das aplicações foi já anteriormente referido.
Na Física-Matemática, estuda-se Teoria Cinética dos Gases e Problemas Matemáticos da Relatividade
e Gravitação.
A Teoria Cinética dos Gases constitui um tema de investigação estudado em vários centros e
universidades portuguesas, nomeadamente na Universidade de Coimbra, no IST e na Universidade Nova
de Lisboa. Parte da investigação desenvolvida no Centro de Matemática da Universidade do Minho nos
últimos anos resultou de uma colaboração com um investigador da Universidade Nova de Lisboa. A
Teoria Cinética dos Gases e, em particular, os modelos da equação de Boltzmann (EB) para gases com
reacções químicas, tem interessado vários investigadores de diversas instituições que têm publicado os
seus trabalhos em revistas científicas da especialidade. Alguns dos temas directamente relacionados com
a investigação desenvolvida na UM prendem-se com a existência e unicidade de solução de sistemas
hiperbólicos de EDP's, existência e comportamento assimptótico de soluções de onda de choque,
modelos da EB de tipo BGK, estudo de soluções de modelos da EB fora do equilíbrio.
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Nos Problemas Matemáticos da Relatividade e Gravitação, a Universidade do Minho (DMAT e DMCT)
reúne, neste momento, três docentes doutorados, havendo apenas dois outros docentes em Portugal a
trabalhar isoladamente na FCUL e IST, Lisboa. Existem vários centros de investigação europeus com
pessoas activas na área de Problemas Matemáticos da Relatividade e Gravitação, alguns dos quais
integrando líderes mundiais, como por exemplo o Instituto Albert Einstein, em Berlin, e a Universidade de
Oxford, em Inglaterra. O centro europeu geograficamente mais próximo de Aveiro/Minho com
investigadores nesta área situa-se em Salamanca, Espanha. Investigadores da UM mantêm intercâmbio e
colaborações científicas com estes centros europeus. Existem ainda outras colaborações com
especialistas importantes da área, nomeadamente da Universidade de Linköping, Suécia; Universidade de
Southampton e Universidade de Londres, Inglaterra e Universidade das Ilhas Baleares, Espanha.
Projectos:
1. “Aproximação construtiva de campos de vectores harmónicos e monogénicos em R3”,
2006/2007- Acção Integrada Luso-Alemã A-13/06, financiado pelo CRUP.
2. “Stability of the Einstein-Straus model”, 2004-2006, CRUP/ministerio de ciência y Tecnologia
(Espanha), bolsa E-113/04.
3. "Application of Differential Operators to obtaining exact solutions of Einstein´s equations with
cosmological constant", 2005- Swedish Research Council
4. "Non-linear evolution and spacetime singularities", 2003-2005, Fundação Calouste Gulbenkian,
bolsa 21-58348-B e FCT bolsa SFRH/BPD/12137/2003.
5. "EDP's não lineares: análise e aplicações em Biologia", projecto POCTI/MAT/57546/2004,
sediado em Coimbra, envolvendo investigadores de Coimbra, Lisboa e Minho.
6. "Second order perturbations in FLRW models", 2002-2003, CRUP/British Council (U.K.) bolsa B-
13/03.
7. “Métodos de Geometria e Análise em Problemas Variacionais e suas Aplicações”, Acção
Integrada Luso-Alemã, 1996.
8. “Equações com derivadas parciais –Métodos da teoria das funções em dimensões superiores”,
2000/01, financiado pelo Instituto de Cooperação Científica e Tecnológica Internacional e pelo
Deutscher Akademischer Austauschdienst (Projecto ICCTI n.423/DAAD).
9. “Análise Local e Global das Equações Diferencias: fundamentos e aplicações”, projecto
PRAXIS/2/2.1/MAT/125/94, sediado no Centro de Matemática e Aplicações Fundamentais, em
Lisboa.
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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES – UA
O grupo de Probabilidades e Estatística tem dois objectivos principais: desenvolver em primeiro lugar
investigação em Probabilidade e Estatística Matemática e em segundo lugar usar esses conceitos e
metodologias em diversas áreas de aplicação. As áreas de investigação de particular interesse incluem a
teoria de valores extremos, análise de séries temporais, bio-estatística, robustez e metodologias
estatísticas aplicadas à genética.
Uma linha de investigação do grupo envolve a análise de séries temporais e a estatística bayesiana,
em particular fazendo pesquisa na análise de processos de contagem e em sistemas de alarme. Neste
contexto é bem conhecido, por um lado, que os modelos de séries temporais não lineares e não
gaussianos se têm revelado cada vez mais importantes para o estudo de certos fenómenos reais. Na
prática existem muitas aplicações em que os dados estatísticos são expressos em termos de contagens
observadas sequencialmente no tempo e portanto correlacionadas. Os processos INAR(1) – First Order
Integer Autoregressive, têm sido estudados por diversos autores e tanto as suas propriedades como
diversos métodos de estimação e aplicações a diferentes áreas encontram-se bem documentadas na
literatura. No entanto ainda existe a necessidade do seu estudo para processos de contagem de ordens
superiores, explorando os aspectos da estimação e da previsão nas perspectivas clássica e bayesiana.
Por outro lado, um dos objectivos fundamentais da análise de certos processos estocásticos consiste em
predizer a ocorrência de um acontecimento futuro, nomeadamente se um determinado processo excede
um certo nível. Está-se portanto interessado em predizer o instante desta ocorrência e em emitir um
alarme sempre que é predito o cruzamento desse nível. Existem alguns resultados estabelecidos na
literatura sobre sistemas de alarme supondo os dados contínuos e considerando a perspectiva clássica.
Para ultrapassar uma das limitações clássicas ao problema, incorpora-se no modelo a variação das
estimativas dos parâmetros fazendo uma abordagem bayesiana e procedendo a uma exploração dos
métodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov.
No panorama nacional existem alguns grupos, nomeadamente em Lisboa (FCUL, IST), de
investigação nestas sub-áreas, embora os tópicos de investigação sejam distintos.
A nível internacional existem vários grupos de investigação, seja na área da inferência bayesiana ou
em séries temporais. Em particular, no âmbito de processos de contagem é de salientar o grupo liderado
por Kurt Brannas (Universidade de Umea, Suécia) e o grupo liderado pelo Robert Jung (Universidade de
Tübingen, Alemanha).
Outra área importante de pesquisa consiste na teoria de valores extremos, a qual, por existir um
grupo forte de investigação em Portugal, se realiza em colaboração com investigadores de várias
universidades nacionais (Departamento de Estatística e Investigação Operacional da Universidade de
21
Lisboa, Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra, Universidade da Beira Interior) e
também de universidades internacionais (sendo de destacar a Universidade de Bern).
Também uma parte da investigação deste grupo realiza-se em parceria com investigadores do
Departamento de Biologia e do Departamento de Electrónica e Informática da Universidade de Aveiro, e
mais recentemente com dois investigadores do INESC-ID (Instituto de Engenharia de Sistemas e
Computadores Investigação e Desenvolvimento) do Instituto Superior Técnico. Esta equipa multidisciplinar
tem estado a implementar duas novas ferramentas bioinformáticas, sendo o objectivo principal de
investigação da componente estatística o desenvolvimento de metodologias estatísticas que permitam
estudar a evolução e funcionamento do genoma e analisar dados complexos resultantes de experiências
de microarrays. É de realçar que esta vertente recebeu recentemente informação de recomendação para
financiamento pelo “Painel de Avaliação de Matemática - 2006” do projecto submetido à FCT
(PTDC/MAT/72974/2006).
Projectos:
1. "Novas Metodologias Estatísticas para análise de dados de microarrays de ADN”,
PTDC/MAT/72974/2006, terá início em 1 de Junho de 2007 e estender-se-á por 18 meses.
2. ”Statistical modelling of Environmental and Genetic data”, POCTI/MAT/44082/2002, início
1/1/2003, duração 3 anos.
3. “Traffic Modelling and Performance Evaluation of Networks”, POSI/CPS/42069/2001, início
1/2/2002, duração 2 anos.
LÓGICA E COMPUTAÇÃO – UA
O DMAT-UA possui o único grupo que trabalha em Geometria Computacional em Portugal, estando
integrado nesse grupo, na qualidade de colaborador, um professor da Universidade de Porto. Dentro
desta área, a investigação desse grupo está centrada fundamentalmente no estudo dos problemas da
galeria de arte: visibilidade, iluminação e vigilância, assunto este que tem sido extensamente estudado
por investigadores da área e onde permanece um conjunto de importantes problemas por resolver.
A Computação Quântica é uma área emergente, sendo ainda poucos e recentes os grupos nacionais
que a ela se dedicam. Os tópicos desta área que caracterizam a investigação desenvolvida no DMAT-UA
são os circuitos de aritmética quântica e a simulação de algoritmos quânticos.
A investigação desenvolvida na área de Álgebra, Lógica e Computação centra-se na aplicação de
métodos e resultados da Lógica Algébrica à teoria da especificação de tipos de dados abstractos. Temos
estado essencialmente interessados no estudo das lógicas escondidas (Hidden logics). Estas lógicas são
22
utilizadas na especificação de sistemas orientados a objectos; neste caso, temos de considerar estas
lógicas de especificação como sistemas dedutivos e a equivalência comportamental como uma noção
generalizada da congruência de Leibniz. Parte desta investigação tem sido realizada em colaboração com
o Professor Don Pigozzi, reconhecido investigador na área da Lógica Algébrica. Actualmente, em
colaboração com o grupo de Lógica e Computação do DM-IST, estamos a investigar a teoria algébrica de
certos tipos de lógicas, nomeadamente a algebrização de lógicas multi-género, lógicas não-vero-funcionais
e lógicas combinadas.
No panorama internacional são muitos os grupos de investigação dedicados ao estudo da classe
referida de problemas de Geometria Computacional, como por exemplo: Grupo de Geometria
Computacional da Universidad Politécnica de Madrid, Grupo de Geometria Computacional da Universidad
Politécnica de Cataluña, Department of Applied Mathematics and Statistics of the State University of New
York at Stony Brook, Los Álamos National Laboratory, School of Computer Science at Carleton University,
the Algorithms Group at the Department of Computer Science of the Technical University of Eindhoven,
etc.
A Computação Quântica é uma área em fase de enorme crescimento a nível internacional. Apesar de
recentes, são inúmeros os centros onde é desenvolvida investigação multidisciplinar, tanto no sentido da
construção de dispositivos quânticos, como na elaboração de algoritmos quânticos e no estudo da sua
complexidade computacional.
Projectos industriais:
1. “Programação inserida no sector de extrusão de alumínio”; empresa Extrusão de Alumínio S.A.,
início Oct/03, duração 6 meses, PRODEP III - Programa Operacional Educação.
2. “Desenvolvimento de uma aplicação Informática para o Controlo da Qualidade”; empresa
Heliflex Petzetakis Tubos, Lda., início Oct/00, duração 6 meses, PRODEP III - Programa
Operacional Educação;
3. “Desenho e Implementação de um Sistema de Apoio à Decisão na Organização de um Processo
Tecnológico em Artigos de Vidro Decorados”, empresa Alberto Martins & Filhos Lda., início
Oct/99, duração 6 meses, PRODEP III – Programa Operacional Educação;
Outros projectos:
1. “Problems of Illumination and Visibility in Computational Geometry”, em colaboração com
investigadores da Universidade de Porto, da Universidad Politécnica de Madrid, da Universidade
23
de Acalá, da Universidad de Valladolid e da Universidad Pontifícia de Comillas (Madrid), 2006-
2007, Acções Integradas Luso-Espanholas.
LÓGICA E COMPUTAÇÃO – UM
A investigação desenvolvida pelo grupo de investigação em Lógica e Computação centra-se na teoria
estrutural da demonstração e na teoria de tipos, com ênfase (i) na relação entre sistemas formais de
demonstração e extensões do lambda-calculus e (ii) no uso de tipos para controlar a terminação de
definições recursivas. No panorama internacional existem vários investigadores que desenvolvem
investigação próxima deste tópicos, a maioria deles membros do projecto europeu TYPES, no qual este
grupo de investigação participa como sub-site. Na Universidade de Helsínquia, Sara Negri e Jan von Plato
desenvolvem a teoria estrutural da demonstração com vista ao estudo de teorias matemáticas. A
investigação da teoria estrutural da demonstração com ênfase nos aspectos computacionais desenvolve-
se em St Andrews (R. Dyckhoff, S. Lengrand), Munich (H. Schwichtenberg, R. Matthes), Paris (P.-L.
Curien, H. Herbelin) e CMU (F. Pfenning). No domínio da aplicação de tipos para assegurar a terminação
de funções recursivas deve destacar-se a investigação em Sophia Antipolis (G. Barthe), em Munich (A.
Abel) e em Tallinn (T. Uustalu). A nível nacional não existem outros centros que desenvolvam investigação
nestes tópicos específicos, além de uma investigadora do Dep. de Informática da UM (M.J.Frade) co-
autora de trabalhos com os membros deste grupo. No entanto, existem investigadores na U. do Porto
(Dep. de Ciência de Computadores) e no IST (Dep. de Matemática) cuja investigação cobre áreas (tais
como lambda-calculus, sistemas dedutivos e lógicas não clássicas) com afinidades com a investigação
desenvolvida no DMAT da UM.
O grupo é um sub-site da rede europeia TYPES, que reúne a generalidade dos investigadores
europeus com interesse em Teoria de Tipos. Este projecto financia a participação em eventos
organizados no âmbito da rede e financia visitas entre membros da rede. Num passado recente, o grupo
esteve ainda envolvido em dois projectos na área da Teoria de Tipos, focando, respectivamente, em tipos
dependentes e em subtipificação com tipos indutivos. Ambos os projectos contaram com o envolvimento
do Dep. de Informática da UM. No primeiro caso o projecto resultou de uma colaboração com G. Barthe
(Sophia-Antipolis). Já o segundo projecto foi inteiramente desenvolvido na UM, tendo contado com o
bolseiro de pós-doutoramento T. Uustalu.
Projectos:
1. TYPES, projecto europeu (Coordination Action FP6 510996), 2004-2007
2. Sistemas de Tipos Dependentes para Provas e Programas, projecto ICCTI/GRICES-INRIA,
2001-2003.
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3. TYPES, projecto europeu (IST Workingroup 29001), 2000-2003
4. Foundations and Applications of Constructor Subtyping, projecto FCT (PRAXIS/EEI/14172/98),
Julho de 1999 a Abril de 2002.
OPTIMIZAÇÃO, SISTEMAS E CONTROLO – UA Grupo de Optimização, Teoria dos Grafos e Combinatória
Ao nível da Matemática Discreta, existem poucos grupos em Portugal com investigação organizada e
especialmente dedicada e os que existem são, em geral, muito especializados. No caso da UP a ênfase é
a Teoria das Matroides e a Geometria Combinatória. No caso da UL tem sido dada especial atenção aos
aspectos combinatórios da Teoria Aditiva dos Números e à Teoria das Matroides. No caso da UA, os
principais resultados da investigação produzida situam-se no contexto da Teoria Algébrica dos Grafos,
nomeadamente em Teoria Espectral dos Grafos (que, em 2006, no seu primeiro encontro internacional
especializado, Aveiro Workshop on Graph Spectra, reuniu grande parte dos principais investigadores) e
nas relações da Matemática Discreta com a Optimização Combinatória. Adicionalmente, existem no país
alguns investigadores isolados, em certos casos com trabalhos em Combinatória Pura e noutros casos
com trabalhos essencialmente aplicados. No que diz respeito à Optimização (Combinatória, Linear e Não
Linear, Contínua e Dinâmica) a UM tem desenvolvido um trabalho de qualidade em Optimização Semi-
infinita e nos Métodos de Optimização voltados para os problemas de Investigação Operacional, a UC tem
um trabalho assinalável em Optimização Não Linear e em Optimização Numérica e suas aplicações, a
UL tem uma investigação marcante nas Técnicas de Optimização (nomeadamente, Programação Inteira e
Combinatória) voltadas para a resolução de problemas de Investigações Operacional e a UA tem trabalho
relevante nas Técnicas de Optimização em Grafos, Programação Inteira, Optimização Contínua,
Optimização Dinâmica, e nas respectivas aplicações no contexto da Investigação Operacional. No que diz
respeito aos problemas de resistência mínima e de transferência de massa, embora existam planos de
colaboração com o IST e a Universidade do Algarve este tópico tem sido essencialmente estudado na UA.
Existem vários grupos de prestígio internacional quer na área de Optimização e suas aplicações, quer
nos tópicos de investigação em Matemática Discreta desenvolvidos na UA, nomeadamente em Teoria
Algébrica dos Grafos, existindo relações estreitas entre os respectivos investigadores. Na área de
Optimização pode destacar-se o trabalho de investigação conjunta com publicações em co-autoria, com
Thomas Magnanti (que actualmente ocupa o lugar de Dean of the School of Engineering do MIT, USA),
Vadim Lozin (RUTCOR, Rutgers University, USA), Olga Kostyukova (National Academy of Sciences of
Belorus) e Geir Dahl (Center of Mathematics for Applications CMA, University of Oslo, Norway) e os
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contactos de investigação em curso com Laurence Wolsey (CORE - Center for Operations Research and
Econometrics, Bélgica). Na área da Matemática Discreta destacam-se os trabalhos de investigação
conjunta (com publicações) com Dragos Cvetkovic (Mathematical Institute of the Serbian Academy of
Sciences and Arts), Charles Delorme (Laboratoire de Recherche en Informatique, University Paris Sud) e
os contactos de investigação em curso com Jerzy Szymanski (Adam Mickiewicz University, Poland),
Slobodan Simic (Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts) e Dieter
Rautenbach e Jochen Harant (TU Ilmenau, Germany). No que diz respeito aos problemas de resistência
mínima existem vários investigadores europeus com trabalho relevante neste tópico, como são o caso de
Lachand-Robert, Oudet e Comte (em França), Buttazzo, Ferone e Guasoni (em Itália) e Kawohl, Wagner e
Horstmann (na Alemanha), havendo contactos com alguns deles (Buttazzo, Comte e, até ao seu recente
falecimento, Lachand-Robert) e também com McCann (de Toronto).
Projectos industriais:
1. “Optimização da Diversidade e Distribuição de Cablagens para a Indústria Automóvel”, em
parceria com a Porto Technical Centre da Yazaki Saltano, 2005. Este projecto teve resultados
considerados de excelência pelo Júri do Prémio Inovação APDC/SIEMENS (com o apoio do BES
e Jornal Expresso) que, por esse motivo, o seleccionou para a lista dos três finalistas.
2. “Planificação de Rotas de Veículos em Empresas de Transporte”, desenvolvido em parceria com
a COMPARTE, no âmbito do PRODEP III, 2003-04;
3. “Armazenamento e Circulação Óptima de Equipamentos”, desenvolvido em parceria com a
VULCANO, no âmbito do PRODEP III, 1998-99.
Outros projectos:
1. “Optimization of Newtonian resistance for non-convex bodies”, aprovado recentemente, FCT.
2. “Algebraic Methods in Graph Theory”, em colaboração com investigadores da Universidade
Técnica de Lisboa e da Universidade de Paris-Sud (Orsay), 2005-2006, Acções Integradas Luso-
Francesas e GRICES;
Grupo de Teoria Matemática dos Sistemas
Como o seu nome indica, a Teoria Matemática dos Sistemas e Controlo distingue-se da área dos
Sistemas e Controlo no âmbito da Engenharia pela forma como trata os problemas considerados. Apesar
de pontualmente existir actividade de grande qualidade, é uma área que não se encontra muito
implantada em Portugal. Exceptuando a actividade isolada de alguns investigadores, o grupo de Teoria
Matemática dos Sistemas da UIMA é o único grupo nacional de investigação matemática que se dedica à
26
análise e controlo de sistemas lineares. E, tanto quanto sabemos, a oferta da possibilidade de
especialização nestas áreas, no contexto de um programa doutoral em Matemática, é até agora única no
país.
Tendo-se desenvolvido sobretudo a partir dos anos 50-60, a Teoria Matemática dos Sistemas e
Controlo conta hoje em dia com largas centenas de investigadores. Entre os países particularmente
activos nesta área contam-se a Alemanha, os EUA, a França, a Holanda e a Itália. Referimos a título de
exemplo as seguintes instituições onde se leva a cabo investigação nesta área: Grupo de Sistemas e
Processamento de Sinal, Electrical and Computer Engineering, Rice University, EUA; Instituto de
Matemática, Universidade de Würzburg, Alemanha; Institut de Recherche en Communications et en
Cybernétique de Nantes, França; Instituto de Matemática, Universidade de Groningen, Holanda;
Departamento de Electrónica e Informática, Universidade de Pádua, Itália.
Projectos:
1. Projecto POCTI/MAT/61096/2004, “Contributions to the Identification, Forecasting and Control
of Stochastic Systems”, em estreita colaboração com o Hospital Geral de Santo António, no
Porto, no âmbito da linha de investigação do controlo automático da anestesia.
Grupo de Teoria do Controlo
A nossa investigação pode ser dividida essencialmente em três áreas: (i) teoria do controlo não-linear
e controlo óptimo; (ii) cálculo das variações; (iii) matemática motivada por aplicações e matemática
computacional.
Em relação a (i), realçamos: a obtenção de novas versões do Princípio do Máximo de Pontryagin,
cobrindo classes de controlos generalizados; novas caracterizações das extremais generalizadas e dos
conjuntos acessíveis; o estudo de problemas de controlo óptimo singulares; a obtenção de fórmulas
explícitas para o logaritmo de Chen e alguns desenvolvimentos para uma teoria formal do controlo; novas
condições garantindo que os controlos óptimos são limitados; o estudo do papel da simetria e das
respectivas leis de conservação em controlo óptimo. Em colaboração com o Professor Andrey Sarychev
(Universidade de Florença, Itália), iniciou-se um estudo em 2006 sobre as propriedades assimptóticas
das aproximações de soluções óptimas generalizadas para problemas de controlo óptimo singulares e
sua relação com a existência de regularizações próprias. Outra direcção da nossa investigação actual
incide sobre a relação entre a estrutura das extremais e a estrutura das trajectórias óptimas (em
colaboração com o Professor Emmanuel Trélat, Université d'Orléans).
27
Quanto ao tema (ii), podemos mencionar algumas extensões do teorema de Noether; resultados de
regularidade lipschitziana; e a identificação de novas classes de problemas onde o fenómeno de
Lavrentiev não ocorre. Duas linhas actuais da nossa investigação são o cálculo das variações em time
scales, em colaboração com o grupo de "Teoria Matemática do Controlo" da Universidade Técnica de
Bialystok, Polónia; e o Cálculo das Variações Fraccionário (colaboração com os Professores Jacky
Cresson, França; e Dumitru Baleanu, Turquia).
Quanto à matemática motivada por aplicações e matemática computacional (item (iii)),
mencionamos o estudo de sistemas de corpos rolantes e o problema de obter estabilizadores variantes
no tempo, com possíveis aplicações em robots e seus manipuladores; o desenvolvimento de uma
aplicação informática baseada no sistema de computação algébrica Maple que permite determinar, de
modo automático, as simetrias e leis de conservação de problemas do cálculo das variações e controlo
óptimo (aplicação esta disponível no "Maple Application Centre"); resultados de convergência para
algoritmos de aritmética de computadores digitais, obtidos por recurso a técnicas de controlo de
estabilização por feedback; o desenvolvimento de métodos numéricos e assimptóticos para o controlo das
vibrações de sistemas dinâmicos não-lineares com parâmetros distribuídos e discretos. Uma linha actual
de investigação inclui, em colaboração com a Professora Maria de Lourdes Centeno (Universidade
Técnica de Lisboa/ISEG), o estudo de problemas de optimização em espaços de Hilbert que surgem no
contexto da actividade seguradora. Outra linha de investigação recente refere-se ao "problema da
resistência térmica" (thermistor problem) e suas variantes, problemas esses que surgem em vários
campos da Física e na Indústria e que colocam difíceis e profundas questões matemáticas. Em 2006 foi
organizada uma conferência satélite do Congresso Internacional de Matemática intitulada
"Communicating Mathematics in the Digital Era".
No panorama nacional, para além de colegas na Universidade do Minho participantes neste
programa doutoral, existem investigadores em áreas afins às do nosso grupo nos departamentos de
Matemática das Universidades do Porto, Coimbra e Lisboa que, trabalhando em assuntos relacionados,
não trabalham em assuntos coincidentes. Embora sejam vários os investigadores que trabalham em
tópicos que intersectam a nossa investigação, não conhecemos em Portugal ninguém que trabalhe nos
temas concretos que investigamos.
A Europa tem uma tradição forte na área do controlo. Uma boa prova disso foi o "Control Training
Site", projecto Europeu financiado pela Comissão Europeia no âmbito do 5º Programa-Quadro e que
funcionou de 2002 a 2006, envolvendo como Host Institutes Universidades da Bélgica, Alemanha,
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França, Itália, Holanda, Polónia, Reino Unido e Portugal (Universidades de Aveiro e Coimbra). O 6º
Programa-Quadro Europeu favoreceu a investigação mais aplicada, com ênfase num sucesso económico
de curto prazo. Está identificado pela Comissão Europeia que essa aposta foi longe de ser a ideal, sendo
necessário investir igualmente numa vertente mais fundamental/teórica. A teoria dos sistemas e do
controlo faz parte da agenda da Investigação Europeia como uma área importante onde há que apostar.
Projectos:
1. 2005-2006, “Impedance Change and the Calculus of Variations; Analytical solutions to
magnetohydrodynamical control problems on a flow of conducting fluid”, Marie Curie Control
Training Site (CTS), HPMT-CT-2001-00278.
2. 2002-2005, “Advances in Nonlinear Control and Calculus of Variations”, FCT - Sapiens'01,
POCTI/MAT/41683/2001;
3. 2004, “Application of Conservation Laws to Space Trajectography”, Projecto Luso-Francês entre
a Universidade de Aveiro e a Universidade de Paris XI, CRUP;
4. 2002-2004, “Nonlinear Systems and Control Network” (NSCN), European Commission,
Research Training Network RTN2-2001-00401;
5. 1997-2002, “Breakthrough in the control of nonlinear systems”, European Comission's Training
and Mobility of Researchers Programme (TMR), Nonlinear Control Network (NCN), Research
Network ERB 4061-PL-97;
OPTIMIZAÇÃO, SISTEMAS E CONTROLO – UM
Sobre a investigação em controlo óptimo na perspectiva de tratamento de inclusões diferenciais e
tratamento de problemas com dados não suaves, para além da investigação feita na UA e UM, tem vindo
a ser desenvolvido trabalho de investigação no departamento de Engenharia Electrotécnica e de
Computadores da Universidade do Porto, alguma desta em colaboração com os membros da UA-UM
referidos nesta proposta. Relativamente à área de controlo predictivo, existe investigação em algumas
escolas de engenharia nacionais numa perspectiva mais aplicada. Nomeadamente, o Departamento de
Engenharia Química da Universidade de Coimbra tem desenvolvido trabalho essencialmente na vertente
de questões numéricas de implementação e algoritmos de optimização para estratégias de controlo
predictivo. O departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores do Instituto Superior
Técnico tem vindo a desenvolver investigação na vertente do controlo predictivo e adaptativo.
Sobre o trabalho de investigação, do grupo nacional, de desenvolvimento de novas condições
necessárias de optimalidade para problemas de controlo óptimo com restrições, é de referir que mantêm
fortes colaborações com os mais importante grupos de investigação nesta área a nível internacional.
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Nomeadamente com os grupos dos Professores Richard Vinter e Halina Frankowska, que concentram a
maioria dos desenvolvimentos realizados no ocidente nesta área. Relativamente aos desenvolvimentos
realizados por cientistas russos, há contactos com o Prof. Aram Arutyunov, uma das cientistas que mais
participou nos desenvolvimentos recentes desta área. No que respeita a investigação na área de controlo
predictivo para sistemas não lineares, os membros da UA-UM mantêm contacto regular com três dos
principais grupos europeus a desenvolver trabalho científico recente. O grupo da Univ. de Pavia, Itália,
que inclui o Prof. Lalo Magni, o grupo de Estugarda liderado pelo Prof. Frank Allgower e o grupo do
Imperial College com o Prof. David Mayne.
A investigação em algoritmos paralelos da Álgebra Linear Numérica para matrizes densas levada a
cabo no CMAT tem pontos de contacto com a investigação realizada por membros de outros centros de
investigação nacionais, sem ser coincidente nos seus objectivos, nomeadamente na Faculdade de
Engenharia da Universidade do Porto e na Faculdade de Economia da Universidade do Porto. No plano
internacional verifica-se uma intensa actividade centrada nos objectivos do projecto ScaLAPACK
(www.netlib.org/scalapack) para o desenvolvimento dos algoritmos paralelos da Álgebra Linear
Numérica. A título de exemplo, referem-se algumas instituições onde se desenvolve investigação nesta
área: Universidade da California Berkeley (J. Demmel, B. Parlett), Univ. Tennessee (Jack Dongarra). Na
Europa são também numerosos os Centros de Investigação com projectos e investigadores dedicados ao
tema dos algoritmos da Álgebra Linear Numérica. Referimos, a título de exemplo, o caso da Universidade
Politécnica de Valência (Vicente Hernandez).
Projectos:
1. “POpCon - Optimização e Controlo” da FCT-Programa de Financiamento Plurianual da Officina
Mathematica; de Janeiro de 2003 a Dezembro de 2006
2. Projecto FCT POCTI/MAT/61842/2004 “Tomada de Decisão sobre Fenómenos Físicos: Uma
Abordagem de Optimização Híbrida a Sistemas Dinâmicos Híbridos”. Projecto em colaboração
com a Faculdade de Economia da Universidade do Porto e com o Departamento de Engenharia
de Polímeros da Univ. do Minho
3. Projecto FCT POSI/EEA-SRI/61831/2004 “Controlo Óptimo com Restrições e suas Aplicações”.
Projecto em colaboração com a Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto e o Instituto
de Sistemas e Robótica do Porto.
4. Projecto “Controlo Óptimo de Sistemas Não Lineares com Restrições. Em colaboração com a
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto e o Instituto de Sistemas e Robótica. Projecto
30
FCT PRAXIS P/EEI/14156/1998; de Fevereiro de 1999 a Dezembro de 2002. Execução do
projecto classificada como Excelente pelo painel de avaliação.
5. AIRENE-Aplicação e implementação de redes neurais em reconhecimento de padrões, de Janeiro
de 1998 a Dezembro de 2000, financiado por CYTED.
6. Controlo e Optimização. Em colaboração com a Faculdade de Engenharia da Universidade do
Porto e o Instituto de Sistemas e Robótica. Projecto JNICT PBICT/C/CEG/2438/95 de Janeiro
1998 a Janeiro de 1999.
7. SETNA-Ambientes escaláveis, ferramentas e algoritmos numéricos na computação paralela, de
Abril de 1997 a Março de 1999, financiado pelo Programa PRAXIS XX
8. ECLA005-Aplicação de redes neurais e modelos de Markov em reconhecimento de padrões, de
Março de 1994 a Fevereiro de 1996, financiado pela Comunidade Europeia
31
D. Fundamentação Sucinta do Número de Créditos que é Atribuído a cada Unidade Curricular
O Programa Doutoral em apreço inclui, em cada semestre do 1º ano, 12 unidades de crédito
obrigatórias divididas por duas disciplinas do tipo expositivo, a que correspondem, em conjunto, 324
horas totais de trabalho a serem desenvolvidas durante cada um dos semestres por cada aluno e
constituem 12/30 do trabalho que o aluno deverá desenvolver durante cada um desses dois semestres.
Dependendo de o percurso do aluno incluir ou não uma terceira disciplina de tipo expositivo em cada
semestre, o tempo destinado a actividades de tipo investigativo é, respectivamente, e para cada aluno,
um pouco menos ou um pouco mais de metade do tempo total de trabalho previsto para o semestre.
Parece-nos um equilíbrio razoável entre os dois tipos de actividade.
Nas disciplinas expositivas, atribuiu-se 2 ou 3 horas de contacto para que cada 6 créditos possam
ser atribuídos. Comparando com a correspondência existente, por exemplo, em disciplinas de 2º ciclo,
verifica-se uma clara diminuição da carga horária para o mesmo número de créditos, o que se justifica
pelo carácter mais avançado das disciplinas de um curso de doutoramento, as quais pressupõem,
mesmo que expositivas, algum trabalho de pesquisa e/ou maior trabalho de casa por parte do aluno. Na
verdade, não existindo neste momento experiência de cursos doutorais (logo também não fazia sentido
distribuir um inquérito pelos alunos, para averiguar sobre a razoabilidade da atribuição de créditos),
seguimos a recomendação que se tornou consensual a este nível dentro da UA. Veja-se, também, a este
propósito, o inquérito realizado aos docentes (Anexo I). Para uma correcta implementação e ajuste das
unidades curriculares prevê-se o acompanhamento e monitorização deste assunto nos próximos anos,
tomando-se medidas correctoras sempre que necessário.
32
E. Fundamentação Sucinta do Número Total de Créditos e da Consequente Duração do Ciclo de Estudos
A experiência diz-nos que um doutoramento em Matemática é geralmente conseguido após um
mínimo de 3 anos de investigação, incluindo a elaboração da tese. Englobando o Programa Doutoral em
Matemática e Aplicações um primeiro ano curricular onde só parte do tempo é ocupado em investigação,
e apenas parte deste é, por sua vez, dedicado ao projecto de tese, prevê-se que a tese venha apenas a
ser elaborada durante o 4º ano de estudos.
No entanto, em parte devido à possibilidade de atribuição de equivalência a certas unidades
curriculares, é de admitir que possa haver situações em que 3 anos seja suficiente para a apresentação
de uma tese de qualidade.
Atendendo a que cada ano de estudos deve corresponder a 60 créditos ECTS, as explicações acima
justificam a obrigatoriedade da obtenção de 240 ECTS para a concessão do grau (os casos em que tal
possa não corresponder a 4 anos de estudo são os referidos no parágrafo anterior, onde parte dos
créditos correspondentes ao 1º ano é obtida através de equivalência).
33
F. Demonstração Sumária da Adequação da Organização do Ciclo de Estudos e Metodologias de Ensino à Aquisição das Competências a que se refere o n.º 1 do Anexo IV.D do Despacho n.º 7287-C/2006 (2ª Série) de 31 de Março
As competências a que se refere o n.º 1 do Anexo IV.D do Despacho n.º 7287-C/2006 (2ª Série) de
31 de Março estão vertidas para a área específica da Matemática nas competências definidas na secção
a da parte C.1 (objectivos do ciclo de estudos). Nas correspondentes secções b e c fez-se já uma
demonstração sumária da adequação da organização do ciclo de estudos e metodologias de ensino à
aquisição das referidas competências. Nesta peça faz-se uma descrição mais detalhada desta adequação.
Em particular, os alunos que completem o programa doutoral proposto deverão satisfazer os
requisitos:
a) capacidade de compreensão sistemática da Matemática, em geral, e da sua área de especialização,
em particular;
A finalização, com sucesso, da parte curricular permite atestar o nível de compreensão do aluno
relativamente à área de especialização por este pretendida.
b) posse de competências e aptidões associadas à sua área de especialização e conhecimento dos
respectivos métodos de investigação;
A obtenção das competências acima indicadas será patente no trabalho de investigação realizado
pelo aluno no decorrer do período de elaboração da sua Tese de Doutoramento, durante o qual este será
confrontado com a caracterização do estado da arte do problema proposto, os diferentes métodos de
investigação disponíveis, e subsequente conexão à resolução do seu problema.
c) capacidade para conceber, projectar, adaptar e realizar investigação em matemática respeitando as
exigências impostas pelos padrões de qualidade e integridade académicas;
Durante o período de elaboração de Tese é requerido, do aluno, que este planeie e desenvolva o seu
projecto de Doutoramento. Este processo é acompanhado pelo seu orientador científico, o qual
encaminhará o progresso do aluno, transmitindo-lhe não apenas a sua experiência e conhecimentos, mas
também os valores da comunidade científica em que o aluno se virá a inserir. Esta ligação pessoal,
combinada com as actuais disponibilidades que a rede Internet fornece (biblioteca on-line, acesso
electrónico a revistas científicas, etc.) permite confrontar o aluno, desde cedo, com os parâmetros de
exigência, rigor e qualidade internacionalmente estabelecidos.
34
Algumas teses poderão ter co-orientação estrangeira, assim como se prevê que um número significativo
de professores estrangeiros possa integrar júris de provas, o que funcionará como um garante adicional
do reconhecimento internacional do aluno.
d) realização de um conjunto significativo de trabalhos de investigação original que contribua para o
alargamento das fronteiras do conhecimento em matemática e que seja merecedor de publicação em
revistas de circulação nacional ou internacional com sistema de arbitragem;
A realização de trabalho de investigação original será visível no número de comunicações
apresentadas pelos alunos e dos artigos, por este publicados, em revistas de referência. Deste processo
resulta um natural incentivo, para os alunos, com vista à obtenção de níveis de qualidade internacionais.
e) capacidade de analisar criticamente, avaliar e sintetizar ideias novas e complexas dentro da
matemática, em particular na sua especialidade;
Durante a parte curricular (1º ano) o aluno será encorajado a intervir e debater as ideias e temas
abordados nas aulas presenciais, bem como a apresentar trabalhos autónomos nas aulas “Laboratório de
Investigação”, fomentando assim a desejável capacidade de investigação futura.
f) capacidade de comunicar com os seus pares, com a restante comunidade académica e a sociedade
em geral sobre a área em que são especializados;
A apresentação em seminários (escritos e orais) e respectiva defesa fomentarão, no aluno, uma
prática de debate e intercâmbio de ideias entre os seus pares e a comunidade científica adjacente. Esta
prática, a incentivar desde o primeiro ano da parte curricular, será complementada, nos anos de
elaboração de Tese, com a apresentação regular de comunicações em encontros científicos de
reconhecida qualidade.
g) capacidade de promover avanços científicos, tecnológicos ou culturais, em contexto académico e/ou
profissional, numa sociedade baseada no conhecimento.
Durante a sua curta existência, as Universidades de Aveiro e do Minho sempre privilegiaram o
contacto sócio-cultural com o meio que as rodeia, actuando como motor de progresso na sociedade.
Estes princípios são transmitidos aos alunos tanto na sua convivência diária com o corpo docente como
na geral vivência estudantil, e são encarados como um factor de impacto social de alto valor.
35
G. Análise Comparativa entre a Organização Fixada para o Ciclo de Estudos e a de Cursos de Referência com Objectivos Similares Ministrados no Espaço Europeu
O presente projecto de programa doutoral tem espectro largo fortemente condicionado pela
importância atribuída às especialidades (peça C.2) que se evidenciam como competências maiores das
Unidades de Investigação subjacentes à sua prossecução.
A informação patente na rede www sobre programas doutorais similares é de cariz genérico: o
espectro e objectivos, de um modo geral parecem-nos concordantes com os nossos apesar da,
frequentemente escassa, explicitação de normas para inscrição e valoração das disciplinas a serem
frequentadas pelos estudantes, bem como escassas são também as referências a nível de qualificação
específica do corpo docente e as formas de gestão superior do programa.
Existem, em particular, vários programas de doutoramento propostos por instituições em parceria
com o objectivo de oferecer uma formação complementar especializada e/ou de banda larga. Se bem
que as durações absolutas sejam semelhantes às nossas, a intensidade lectiva poderá variar, já que em
alguns casos aparentemente a frequência de disciplinas curriculares parece poder manter-se durante
todo o período de doutoramento (veja-se o caso da SISSA, Itália).
Podem estar integrados mestrados, como no caso de Paris IX, em França, ou da Berlin Mathematical
School, na Alemanha. De algum modo, mais formal ou menos formal, são previstos treinos de
investigação, comparáveis ao nosso Laboratório de Investigação (EDSTIM, em França, BMS, na
Alemanha, Lancaster, no Reino Unido) ou ainda frequência obrigatória de colóquios onde conferenciam
Matemáticos reputados (BMS).
A escolha de orientador é em geral feita no fim do primeiro/início do segundo anos ou após um
período de mestrado. A existência de um tutor parece quase universal. A aprovação em exames
curriculares como critério de progressão é muito frequente.
Descrevemos de seguida as nossas referências:
1. Em Itália, há projectos grosso modo semelhantes ao nosso. Destacamos:
• Universidade de Roma LA SAPIENZA (duração 3 anos): 5 cursos de 30 horas, no 1º ano,
escolhidos com a ajuda de um tutor. Escolha de orientador e exame de acesso ao 2º ano. O
exame consta da discussão de um artigo de investigação sobre o tema da tese e de um
exame oral global sobre cursos institucionais. Os dois curricula possíveis ― Matemática e
36
Matemática Aplicada ― têm disciplinas próprias de espectro largo (30 horas cada) e
especializadas (15 horas cada).
• Universidade degli Studi di Padova, em colaboração com o Dip. Mat. degli Atenei di Bologna,
Trieste e Udine: Scuola di Dottorato di Ricerca in Scienze Mathematiche. É óbvia a
preocupação em formar em espectro largo puro e aplicado: oferecem-se disciplinas
curriculares de Lógica Matemática a Economia, Actuariado e Finanças, passando por
Análises e Física Matemáticas, Álgebra, Investigação Operacional e Probabilidades e
Estatística.
• SISSA (International School for Advanced Studies) é uma escola de elite a nível mundial
onde: (i) Há concurso inicial de acesso ao programa, tendo este duração normal de 3 anos
(eventualmente extensíveis a um 4º ano) (ii) O prosseguimento de estudos está
condicionado à aprovação em exames (iii) O plano curricular do 1º ano é determinado por
uma comissão ou um tutor. A escolha de um orientador é feita à entrada do 2º ano.
2. Em França, podem considerar-se com alguma reserva, por serem mais especializados, ou de
estrutura algo diferente, os seguintes cursos:
• EDSTIM (Ecole Doctorale en Sciences et Technologies de l’Information e des Matériaux,
Nantes). O curso tem a duração de 3 anos e que inclui (i) 100 horas de formação lectiva,
preferencialmente nos dois primeiros anos (ii) Dois módulos (disciplinas) científicos (iii) Três
módulos profissionais: que podem incluir temas como vida empresarial, comunicação ou
inglês técnico. (iv) Jornadas dos doutorandos (no fim do 2º ano).
• Univ. Paris IX (a cargo da EDDIMO-Ecole Doctorale en Décision Informatique Mathématiques
Organisation). Inclui um mestrado (antigo DEA) com cinco especializações seguido de três
anos de trabalho de tese de doutoramento.
3. Na Alemanha, a Berlin Mathematical School (BMS) é organizada em comum pelas três
universidades de Berlim (TU Berlin, FU Berlin e HU Berlin), no âmbito do programa alemão
"Iniciativa de excelência". A primeira fase é de mestrado e a segunda de doutoramento no
sentido do Projecto de Bolonha durante a qual é obrigatória: (i) A frequência de pelo menos 4
disciplinas (ii) A participação num “Grupo de Treino de Investigação” numa das áreas
disponíveis, sendo que a parte lectiva deve cumprir 40 a 60 ECTS. (iii) A participação num
Colóquio semanal do BMS, no qual são apresentadas palestras por Matemáticos de elevado
mérito.
37
4. Na Holanda, cremos ser interessante considerar por oposição os doutoramentos oferecidos pelo
DISC (Dutch Inst. In Systems and Control) altamente especializados em Sistemas e Controlo.
Aqui as regras de frequência e aprovação são as seguintes: (i) 27 ECTS lectivos a obter com 8
disciplinas optativas variáveis anualmente (ii) Aprovação em exame concede 6 ECTS por
disciplina (iii) Assistência sem exame concede 1,5 ECTS por disciplina.
5. No Reino Unido, também por oposição, consideramos o Doutoramento em Probabilidades e
Estatística da Univ. de Lancaster, ainda mais especializado e a priori de mais longa duração que
os considerados até aqui: quatro anos. (i) Há avaliação curricular ao fim do primeiro ano e os
alunos não aprovados passam a ser elegíveis para a concessão do grau de Master of Research.
(ii) Há seis módulos obrigatórios, e seis optativos a escolher de entre 10. (iii) No fim do primeiro
ano, exige-se média mínima de 60%, com mais de 50% em cada disciplina para acesso a
doutoramento; este desenvolver-se-á durante os três anos seguintes. Um aspecto a destacar é o
convite feito aos alunos aprovados, para trabalho durante as férias num projecto de investigação
que avaliará o seu desempenho como potenciais investigadores.
38
Anexo I - inquérito aos docentes
Nome, tal como aparecerá no documento
tem pelo menos uma publicação em revista de âmbito internacional com referee com data de 2004 ou mais recente?
Categoria profissional
especialização em que se insere
grupo de investigação em que se insere
unidade de investigação em que se insere
tem experiência de leccionação a nível de Mestrado?
Concorda com o nº de créditos atribuídos às unidades curriculares do 3º ciclo que está a ser proposto, em face do nº de horas de contacto e do trabalho previsivelmente a desenvolver pelo estudante?
proveniência
A. M. d'Azevedo Brêda
Sim Prof. Associado c/ agregação
Álgebra, Geometria e Topologia
Álgebra e Geometria Unid. Inv. Matemática e Aplicações
Sim Sim UIMA, DMAT-UA
Agostinho Agra Sim Prof. Auxiliar Optimização, Sistemas e Controlo
Optimização, Teoria dos Grafos e Combinatória
CEOC Sim Sim CEOC, DMAT-UA
Alexander Plakhov Sim Prof. Associado Convidado c/ agregação
Optimização, Sistemas e Controlo
CEOC CEOC Sim Sim CEOC, DMAT-UA
Alexandre Almeida Sim Prof. Auxiliar Análise e Aplicações Análise Funcional e Aplicações
Unid. Inv. Matemática e Aplicações
Não Sim UIMA, DMAT-UA
Ana Helena Roque Sim Prof. Auxiliar Álgebra, Geometria e Topologia
Álgebra e Geometria Unid. Inv. Matemática e Aplicações
Sim Sim UIMA, DMAT-UA
Ana Jacinta Soares
Sim Prof. Auxiliar Análise e Aplicações Equações Diferenciais e Física-Matemática
CMAT- UM Sim Sim CMAT, DMAT-UM
39
António Caetano Sim Prof. Associado c/ agregação
Análise e Aplicações Análise Funcional e Aplicações
Unid. Inv. Matemática e Aplicações
Sim Sim UIMA, DMAT-UA
António João Breda d'Azevedo
Sim Prof. Associado Álgebra, Geometria e Topologia
Algebra e Geometria Unid. Inv. Matemática e Aplicações
Sim Sim UIMA, DMAT-UA
António Leslie Bajuelos
Sim Prof. Auxiliar Lógica e Computação
Computabilidade e Algoritmos
CEOC Sim Sim CEOC, DMAT-UA
Assis Azevedo Sim Prof. Associado c/ agregação
Análise e Aplicações _____________ ___________
Sim Sim DMAT-UM
Cláudia Mendes Araújo
Sim Prof. Auxiliar Álgebra, Geometria e Topologia
Álgebra e Lógica CMAT-UM Não Sim CMAT, DMAT-UM
Cristina Requejo Sim Prof. Auxiliar Optimização, Sistemas e Controlo
Optimização, Teoria dos Grafos e Combinatória
CEOC Sim Sim CEOC, DMAT-UA
Delfim F. M. Torres
Sim Prof. Associado Optimização, Sistemas e Controlo
Control Theory Group (cotg)
CEOC Sim Sim CEOC, DMAT-UA
Dirk Hofmann Sim Prof. Auxiliar Convidado
Álgebra, Geometria e Topologia
Álgebra e Geometria Unid. Inv. Matemática e Aplicações
Sim Sim UIMA, DMAT-UA
Domenico Catalano
Sim Prof. Auxiliar Álgebra, Geometria e Topologia
Álgebra e Geometria Unid. Inv. Matemática e Aplicações
Sim Sim UIMA, DMAT-UA
Domingos Moreira Cardoso
Sim Prof. Catedrático Optimização, Sistemas e Controlo
Optimização, Teoria dos Grafos e Combinatória
CEOC Sim Sim CEOC, DMAT-UA
Eugénio Rocha Sim Prof. Auxiliar Optimização, Sistemas e Controlo
Control Theory Group (Cotg)
CEOC Sim Sim CEOC, DMAT-UA
40
Fernando A.C.C. Fontes
Sim Prof. Associado Optimização, Sistemas e Controlo
Optimização e Teoria do Controlo
Officina Mathematica
Sim Sim DMCT-UM
Filipe C. Mena Sim Prof. Auxiliar Análise e Aplicações Equações Diferenciais e Física-Matemática
CMAT-UM Sim Sim CMAT, DMAT-UM
Helmuth R. Malonek
Sim Prof. Catedrático Análise e Aplicações Análise Complexa e Hipercomplexa
Unid. Inv. Matemática e Aplicações
Sim Sim UIMA, DMAT-UA
Isabel Cação Sim Prof. Auxiliar Análise e Aplicações Análise Complexa e Hipercomplexa
Unid. Inv. Matemática e Aplicações
Sim Sim UIMA, DMAT-UA
Isabel Pereira Sim Prof. Auxiliar Estatística e Probabilidades
Probabilidades e Estatística
Unid. Inv. Matemática e Aplicações
Sim Sim UIMA, DMAT-UA
João J. Xarez Sim Prof. Auxiliar Álgebra, Geometria e Topologia
Álgebra e Geometria Unid. Inv. Matemática e Aplicações
Sim Sim UIMA, DMAT-UA
José Carlos Costa Sim Prof. Auxiliar Álgebra, Geometria e Topologia
Álgebra e Lógica CMAT-UM Sim Sim CMAT, DMAT-UM
Lisa Santos Sim Prof. Associado c/ agregação
Análise e Aplicações Equações Diferenciais e Física-Matemática
CMAT-UM Sim Sim CMAT, DMAT-UM
Lucía Fernández-Suárez
Sim Prof. Auxiliar Álgebra, Geometria e Topologia
Geometria e Topologia
CMAT-UM Sim Sim CMAT, DMAT-UM
Lucile Vandembroucq
Sim Prof. Auxiliar Conv.
Álgebra, Geometria e Topologia
Geometria e Topologia
CMAT-UM Não Sim CMAT, DMAT-UM
Luís Castro Sim Prof. Associado c/ agregação
Análise e Aplicações Análise Funcional e Aplicações
Unid. Inv. Matemática e Aplicações
Sim Sim UIMA, DMAT-UA
41
Luís Descalço Sim Prof Auxiliar Álgebra, Geometria e Topologia
Álgebra e Geometria Unid. Inv. Matemática e Aplicações
Sim Sim UIMA, DMAT-UA
Luís Pinto Sim Prof. Associado Lógica e Computação
Álgebra e Lógica CMAT-UM Sim Sim CMAT, DMAT-UM
Manuel António Martins
Sim Prof. Auxiliar Lógica e Computação
Álgebra e Geometria Unid. Inv. Matemática e Aplicações
Sim Sim UIMA, DMAT-UA
Manuel Scotto Sim Prof. Auxiliar Estatística e Probabilidades
Probabilidades e Estatística
Unid. Inv. Matemática e Aplicações
Sim Sim UIMA, DMAT-UA
Maria da Piedade Machado Ramos
Sim Prof. Associado Análise e Aplicações Relatividade Geral Officina Mathematica
Sim Sim DMCT-UM
Maria Irene Falcão Sim Prof. Associado Análise e Aplicações Matemática Computacional e Aplicações
CMAT-UM Sim Sim CMAT, DMAT-UM
Paolo Vettori Sim Prof. Auxiliar Convidado
Optimização, Sistemas e Controlo
Teoria Matemática dos Sistemas
Unid. Inv. Matemática e Aplicações
Não Sim UIMA, DMAT-UA
Paula Cerejeiras Sim Prof. Associado Análise e Aplicações Análise Complexa e Hipercomplexa
Unid. Inv. Matemática e Aplicações
Sim Sim UIMA, DMAT-UA
Paula Marques Smith
Sim Prof. Associado Álgebra, Geometria e Topologia
Álgebra e Lógica CMAT-UM Sim Sim CMAT, DMAT-UM
Paula Rocha Malonek
Sim Prof. Catedrático Optimização, Sistemas e Controlo
Teoria Matemática dos Sistemas
Unid. Inv. Matemática e Aplicações
Sim Sim UIMA, DMAT-UA
Pedro Patricio Sim Prof. Auxiliar Álgebra, Geometria e Topologia
Álgebra e Lógica CMAT-UM Sim Sim CMAT, DMAT-UM
42
R. Ralha Sim Prof. Associado Optimização, Sistemas e Controlo
Matemática Computacional e Aplicações
CMAT-UM Sim Sim CMAT, DMAT-UM
Raquel Pinto Sim Prof. Auxiliar Optimização, Sistemas e Controlo
Teoria Matemática dos Sistemas
Unid. Inv. Matemática e Aplicações
Não Sim UIMA, DMAT-UA
Rosália Rodrigues Sim Prof. Associado Lógica e Computação
Computabilidade e Algoritmos
CEOC Sim Tenho dúvidas CEOC, DMAT-UA
Rute Lemos Sim Prof. Auxiliar Álgebra, Geometria e Topologia
Álgebra e Geometria Unid. Inv. Matemática e Aplicações
Sim Sim UIMA, DMAT-UA
Salvatore Cosentino
Sim Prof. Auxiliar Análise e Aplicações Probabilidades e Sistemas Dinâmicos
CMAT- UM Sim Sim CMAT, DMAT-UM
Tatiana Tchemisova
Sim Prof. Auxiliar Optimização, Sistemas e Controlo
Optimização, Teoria dos Grafos e Combinatória
CEOC Sim Sim CEOC, DMAT-UA
Thomas Kahl Sim Prof. Auxiliar Convidado
Álgebra, Geometria e Topologia
Geometria e Topologia
CMAT- UM Sim Sim CMAT, DMAT-UM
Uwe Kähler Sim Prof. Auxiliar Convidado c/ agregação
Análise e Aplicações Análise Complexa e Hipercomplexa
Unid. Inv. Matemática e Aplicações
Sim Sim UIMA, DMAT-UA
Vasile Staicu Sim Prof. Catedrático Análise e Aplicações Análise Funcional e Aplicações
Unid. Inv. Matemática e Aplicações
Sim Sim UIMA, DMAT-UA
Vítor Neves Sim Prof. Associado Análise e Aplicações Optimização, Teoria dos Grafos e Combinatória
CEOC Sim Sim CEOC, DMAT-UA
YuLin Zhang Sim Prof. Auxiliar Optimização, Sistemas e Controlo
Matemática Computacional e Aplicações
CMAT-UM Não Sim CMAT, DMAT-UM
43
Anexo II - Lista de teses de doutoramento, ordenadas por ano Autor, Título, Escola
Orientador
1990
Bernd Müller, A first contribution to the use of functional analytic methods for solving hypercomplex differential equations with variable coefficients (in German), Halle-Köthen Pedagogical University
Helmuth R. Malonek
1997
Paula Cristina Supardo Cerejeiras, O Operador de Dirac em Espaços Hiperbólicos, Universidade de Aveiro
Jan Cnops e Helmuth R. Malonek
Carlos Jorge da Silva Luz, A new upper bound on the independence number of a graph by quadratic programming, Universidade de Aveiro
Domingos M. Cardoso
1998
Maria Paula Freitas de Sousa Mendes Martins, Semigrupos regulares com subgrupos sssociados, Universidade do Minho
T.S.Blyth and Paula Marques-Smith
Paula Maria Machado Cruz Catarino, The monoid of orientation-preserving mappings on a chain, University of Essex
P. Higgins and Paula Marques-Smith
1999
António José Batel Anjo, A Têmpera Controlada pela Entropia - Uma Caracterização Formal, Universidade de Aveiro
Rosália Rodrigues
2000
Rolf Soeren Krausshar, Eisenstein Series in Clifford Analysis, RWTH Aachen University
Helmuth R. Malonek e Gerhard Jank
2001
Isabel Alexandra Vieira Brás, Sobre a representação de sistemas 2D por modelos de primeira ordem, Universidade de Aveiro
Paula Rocha e Teresa Pedroso Lima
A. J. M. V. F. de Sousa, Métodos Unilaterais de Jacobi para a Computação Paralela de Valores e Vectores Próprios de Matrizes Simétricas, Universidade do Minho
R. Ralha
2002
M. A. P. D. P. Forjaz, Algoritmos Paralelos para o Cálculo de Valores e Vectores Próprios em Sistemas de Multiprocessadores de Memória Distribuída, Universidade do Minho
R. Ralha
2003
António Jorge Monteiro Neves, Controlo comutado para a infusão de fármacos, Universidade de Aveiro
Teresa Mendonça e Paula Rocha
Maria Raquel Rocha Pinto, Matrix fraction descriptions in convolutional coding, Universidade de Aveiro
Ettore Fornasini e Paula Rocha
44
2004
Maria Isabel Jordão Cação, Constructive Approximation by Monogenic Polynomials, Universidade de Aveiro
Helmuth R. Malonek e Klaus Gürlebeck
Luís António de Almeida Vieira, Self-concordant barriers and Jordan algebras in combinatorics, Universidade de Aveiro
Domingos M. Cardoso
Ana Maria Carvalho de Almeida, Uma Digressão em NP: como avaliar a complexidade de uma instância, Universidade de Coimbra
Rosália Rodrigues
2005
João Pedro Antunes Ferreira da Cruz, Algoritmos de Aproximação Estocástica com Valor do Passo Adaptativo, Universidade de Aveiro
Alexander Plakhov
José Alexandre da Rocha Almeida, Function spaces of generalized smoothness and variable integrability, Universidade de Aveiro
António Caetano
Paula Cristina Roque da Silva Rama, Combinatorial and spectral properties of graphs with regularity constraints, Universidade de Aveiro
Domingos M. Cardoso
Nélia Maria Marques da Silva, Análise Bayesiana de Séries Temporais de Valores Inteiros, Universidade de Aveiro
Isabel Pereira
2006
Regina de Almeida, Normal Families and Growth Behavior of Polymonogenic Functions, Universidade de Aveiro
Gerhard Jank e Helmuth R. Malonek
Jorge Manuel Sá Esteves, Equity and efficiency on the optimization of Erlang-B multidimensional systems, Universidade de Aveiro
José Craveirinha e Domingos M. Cardoso
Altino Folgado dos Santos, Spherical Folding Tilings, UTAD
Ana Breda
Ricardo Jorge Aparício Gonçalves Pereira, Quaternionic Polynomials and behavioral systems, Universidade de Aveiro
Paula Rocha
Hugo Fialho Magalhães, Contributions to neuromuscular blockade control, Universidade do Porto
Teresa Mendonça e Paula Rocha
Natália da Costa Martins, Nonstandard Analysis in Differential Equations and in Critical Point Theory, Universidade de Aveiro
Vítor Neves
01-01 a 25-02-2007
Maria Suzana Freitas de Sousa Mendes Gonçalves, Linear transformation semigroups, Universidade do Minho
R.P.Sullivan and Paula Marques-Smith
45
Anexo III - Publicações seleccionadas (máximo de 5 referências por proponente) [1] A. Agra and M. Constantino. Lotsizing with backlogging and start-ups: the case of Wagner- Whithin
costs. Operations Research Letters, 25(2):81–88, 1999. [2] A. Agra and M. Constantino. On the multiple integer knapsack polyhedra. Int. J. Pure Appl. Math.,
25(4):567–585, 2005. [3] A. Agra and M. Constantino. Description of 2-integer continuous knapsack polyhedra. Discrete Optim.,
3(2):95–110, 2006. [4] A. Agra and M. Constantino. Polyhedral description of the integer single node flow set with constant
bounds. Math. Program., 105:345–364, 2006. [5] A. Agra and M. Constantino. Lifting two-integer knapsack inequalities. Math. Program., 109(1):115–
154, 2007. [6] M. Aires and L. Descalço. A computer aided learn by example system. In A. Breda, R. Duarte, and
M.A. Martins, editors, ICMSE 2006, International Conference in Mathematics, Sciences and Science Education, pages 170–172, Aveiro, 2006. Universidade de Aveiro, Universidade de Aveiro (2006).
[7] S. Aizicovici, N. S. Papageorgiou, and V. Staicu. Periodic solutions for second order differential
inclusions with scalar p-Laplacian. Journal of Math. Anal. Appl., 322:913–929, 2006. [8] S. Aizicovici, N. S. Papageorgiou, and V. Staicu. Periodic solutions of nonlinear evolution inclusions in
Banach spaces. Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 7:163–177, 2006. [9] Alexandre Almeida. Inversion of the Riesz potential operator on Lebesgue spaces with variable
exponent. Fract. Calc. Appl. Anal., 6(3):311–327, 2003. [10] Alexandre Almeida. Wavelet representation in Besov spaces of generalized smoothness. In P. Drábek
and J. Rákosník, editors, Proceedings of the Conference “Function Spaces, Differential Operators and Nonlinear Analysis” (FSDONA-04), pages 7–18, Milovy (Czech Republic), May-June 2004. Mathematical Inst. Acad. Sciences Czech Republic (2005).
[11] Alexandre Almeida. Wavelet bases in generalized Besov spaces. J. Math. Anal. Appl., 304(1):198–
211, 2005. [12] Alexandre Almeida and S. Samko. Characterization of Riesz and Bessel potentials on variable
Lebesgue spaces. J. Funct. Spaces. Appl., 4(2):113–144, 2006. [13] Alexandre Almeida and S. Samko. Pointwise inequalities in variable Sobolev spaces and applications.
Z. Anal. Anwend., 26(2), 2007. [14] A.M. Almeida, Ernesto Q.V.Martins, and R. Rodrigues. Optimal Cutting Directions and Rectangle
Orientation Algorithm. European Journal of Operational Research (EJOR), 109:660– 671, 1998. [15] A.M. Almeida and R.Rodrigues. Trees, Slices & Wheels: On the Floorplan Area Minimization Problem.
NETWORKS, 41(4):235–244, 2003. [16] J. Almeida, J. C. Costa, and M. Zeitoun. Tameness of pseudovariety joins involving R. Monatsh.
Math., 146(2):89–111, 2005.
46
[17] C. Mendes Araújo, Juan R. Torregrosa, and A. M. Urbano. N-matrix completion problem. Linear
Algebra Appl., 372:111–125, 2003. [18] C. Mendes Araújo, Juan R. Torregrosa, and A. M. Urbano. The N-matrix completion problem under
digraphs assumptions. Linear Algebra Appl., 380:213–225, 2004. 1 [19] C. Mendes Araújo, Juan R. Torregrosa, and A. M. Urbano. The doubly negative matrix completion
problem. Linear Algebra Appl., 401:295–306, 2005. [20] C. Mendes Araújo, Juan R. Torregrosa, and A. M. Urbano. The symmetric N-matrix completion
problem. Linear Algebra Appl., 406:235–252, 2005. [21] C. Mendes Araújo, Juan R. Torregrosa, and A. M. Urbano. Totally nonpositive completions on partial
matrices. Linear Algebra Appl., 413(2–3):403–424, 2006. [22] Assis Azevedo. Extensions by means of local groups. (translation from Russian). Russian Math. (Iz.
VUZ), 39(1):28–33, 1995. [23] Assis Azevedo and Jorge Almeida. Globals of pseudovarieties of commutative semigroups: the finite
basis problem, decidability and gaps. Proc. Edinb. Math. Soc., 44(1):27–47, 2001. [24] Assis Azevedo, Jorge Almeida, and Marc Zeitoun. Pseudovariety joins involving J-trivial semigroups.
Internat. J. Algebra Comput, 9(1):99–112, 1999. [25] Assis Azevedo and Lisa Santos. Convergence of convex sets with gradient constraint. J. Convex Anal.,
11(2):285–301, 2004. [26] Assis Azevedo, Lisa Santos, and José Francisco Rodrigues. The N-membranes problem for
quasilinear degenerate systems. Interfaces Free Bound., 7(3):319–337, 2005. [27] A. L. Bajuelos and A. P. Tomás. Partitioning Orthogonal Polygons by Extension of All Edges Incident
to Reflex Vertices: lower and upper bounds on the number of pieces. In A. Laganà, M.L. Gavrilova, V. Kumar, Y. Mun, C.J.K. Tan, and O. Gervasi, editors, Computational Science and Its Applications - ICCSA 2004, volume 3045 of LNCS, pages 127–136. Springer Verlag, Berlin, 2004.
[28] G. Barthe, M.J.Frade, E. Gimenez, L. Pinto, and T. Uustalu. Type-Based Termination of Recursive
Definitions. Math. Struct. in Comput. Sci., 14(1):97–141, 2004. [29] N. Bebiano, R. Lemos, and J. da Providência. Matricial inequalities in statistical mechanics. Linear
Algebra Appl., 376:265–273, 2004. [30] N. Bebiano, R. Lemos, and J. da Providência. Numerical ranges of unbouded operators arising in
quantum physics. Linear Algebra Appl., 381:259–279, 2004. [31] N. Bebiano, R. Lemos, and J. da Providência. Inequalities for quantum relative entropy. Linear
Algebra Appl., 401:159–172, 2005. [32] N. Bebiano, R. Lemos, J. da Providência, and G. Soares. On generalized numerical ranges of
operators on na indefinite inner product space. Linear Multilin. Algebra, 52:203–233, 2004. [33] N. Bebiano, H. Nakazato, J. da Providência, R. Lemos, and G. Soares. Inequalities for J-Hermitian
matrices. Linear Algebra Appl., 407:125–139, 2005.
47
[34] M. Pandolfi Bianchi and A. J. Soares. A Kinetic Model for a Reacting gas Flow: Steady Detonation and
Speeds of Sound . Phys. Fluids, 8:3423–3432, 1996. [35] S. Bock, M.I. Falcão, K. Gurlebeck, and H. Malonek. A 3-dimensional Bergman Kernel method with
applications to rectangular domains. J. Comput. Appl. Math., 189(1-2):67–79, 2006. [36] J. Borwein, E. Rocha, and J. F. Rodrigues, editors. Communicating mathematics in the digital era. A.
K. Peters, Ltd, Wellesley, Massachusetts, USA, 2007. [37] A. Bressan and V. Staicu. On nonconvex perturbations of maximal monotone differential inclusions.
Set-Valued Anal., 2:415–430, 1994. 2 [38] M. Bruni, F. C. Mena, and R. Tavakol. Non-linear asymptotic stability of de-Sitter. Class. Quant. Grav.,
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