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Departamento Matemática da Universidade de Aveiron
Profa. Marli
II. Programação Linear (PL)II. Programação Linear (PL)
• Capítulo 7.2: Resolução do Problema de Transporte (PT).
Obtenção de uma SBA inicial. Método do canto N-W; Método do mínimo da matriz de custos; Método de Vogel.
Obtenção da solução óptima. Método de Dantzig.
Problema de Transporte. Exemplo ProtótipoProblema de Transporte. Exemplo Protótipo
•Uns dos principais produtos da firma Lactosal é o leite.
Os pacotes de leites são empacotados em 3 fábricas e depois são distribuídos de camião para quatro armazéns Conhecendo os custos de transporte, a procura prevista para cada armazém e as capacidades de produção de cada fábrica, pretende-se:
OPTIMIZAR O PROGRAMA DE DISTRIBUIÇÃO DIÁRIO DO LEITE.
24 cargas diárias de leite devem
ser produzidas e distribuídas
24 cargas diárias de leite devem
ser produzidas e distribuídas
Custo por carga de camião
Armazéns
Fábricas 1 2 3 4 Oferta
1 1 2 3 4 6
2 4 3 2 4 8
3 0 2 2 1 10
Procura 4 7 6 7
Problema de Transporte. Exemplo ProtótipoProblema de Transporte. Exemplo Protótipo
Os dados dos custos de uma carga de leite para cada combinação fábrica-armazém e das ofertas(produção) e procuras, em cargas de camião/dia, são os seguintes:
Para o exemplo protótipo a oferta total é igual à procura total
Quadro do Problema de TransporteQuadro do Problema de Transporte
Destino
Origem1 2 3 4 1 2 3 4 Oferta
11
22
33
66
88
1010
Procura 44 77 6 6 77 2424 ==2424
11 22 44
44 33 44xx11 11 xx12 12
xx1414
xx21 21 xx22 22 xx2424
33xx13 13
22xx23 23
00 22 11xx31 31 xx32 32 xx3434
22xx33 33
Destino
Origem
Destino
Origem1 2 3 4 1 2 3 4 Oferta
11
22
33
66
88
1010
Procura 44 77 6 6 77 2424 ==2424
1111 2222 4444
4444 3333 4444xx11 11 xx12 12
xx1414
xx21 21 xx22 22 xx2424
3333xx13 13
2222xx23 23
0000 2222 1111xx31 31 xx32 32 xx3434
2222xx33 33
Custo por carga de camião
Armazéns
1012203
7
4
4
4
4
4
1
1
7
3
2
2
6
2
3
3
Procura
82
61
OfertaFábricas
Custo por carga de camião
Armazéns
1012203
7
4
4
4
4
4
1
1
7
3
2
2
6
2
3
3
Procura
82
61
OfertaFábricas
A SBA verifica o A SBA verifica o critério de critério de
optimalidade? optimalidade?
A SBA verifica o A SBA verifica o critério de critério de
optimalidade? optimalidade?
Obtenção de uma SBA Obtenção de uma SBA inicialinicial
Obtenção de uma SBA Obtenção de uma SBA inicialinicial
FIM !!!FIM !!!a solução é a solução é
óptimaóptima
FIM !!!FIM !!!a solução é a solução é
óptimaóptima
Mover-se para uma SBA Mover-se para uma SBA "melhor""melhor"
Mover-se para uma SBA Mover-se para uma SBA "melhor""melhor"
SimSim
NãoNão
Algoritmo para a resolução do PT.Algoritmo para a resolução do PT.
Passo 1: Obtenção de uma SBA InicialPasso 1: Obtenção de uma SBA InicialMétodo do Canto NoroesteMétodo do Canto Noroeste
•A variável básica escolhida é, em cada quadro,a variável situada no canto superior esquerdo (daqui o nome do canto do NW).
A primeira variável básica escolhida será sempre x11, depois
consoante tenha sido traçada a coluna 1 ou a linha 1,
será escolhida como variável básica x12 ou x21 respectivamente, e
assim sucessivamente até terem sido traçadas todas as linhas e todas as colunas.
Este método é de aplicação muito fácil, mas tem como grande inconveniente o facto de
não considerar os custos na identificação da SBA inicial.
44 77 6 6 77
11 22 44
44 33 44
33
22
00 22 11 22
66
88
1010
44 22
55 33
77 33
1º1º. x11 =min (4,6 )= 41º1º. x11 =min (4,6 )= 422
2º2º. x12 =min (7,2 )= 22º2º. x12 =min (7,2 )= 2
3º3º. x22 =min (5,8 )= 53º3º. x22 =min (5,8 )= 5
55
4º4º. x23=min (6,3 )= 34º4º. x23=min (6,3 )= 3
33
33
77
5º5º. x33=min (3,10 )= 35º5º. x33=min (3,10 )= 3
6º6º. x34=min (7,7 )= 76º6º. x34=min (7,7 )= 7
SBA inicial: X0 = ( 44 , 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7 , 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7 ) ; z0
= 42SBA inicial: X0 = ( 44 , 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7 , 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7 ) ; z0
= 42
Exemplo Protótipo. Método do Canto NoroesteExemplo Protótipo. Método do Canto Noroeste
Passo 1: Obtenção de uma SBA InicialPasso 1: Obtenção de uma SBA InicialMétodo do Mínimo da Matriz dos Custos.Método do Mínimo da Matriz dos Custos.
•A variável básica escolhida é a variável que corresponde ao menor custo(em caso de empate a escolha é arbitrária).
A primeira variável básica escolhida será sempre a de menor custo, depois será escolhida como variável básica a de menor custo no quadro resultante consoante o que foi traçado, e assim sucessivamente, até terem sido traçadas todas as linhas e todas as colunas.
Este método, em princípio, fornece soluções iniciais mais próximas da solução óptima que o método anterior, já que são considerados os custos na identificação da SBA inicial.
44 77 6 6 77
11 22 44
44 33 44
33
22
00 22 11 22
66
88
101044 66
1166
66
11
1º:1º: min (cij )= c31= 0 x31 =min (4,10)= 41º:1º: min (cij )= c31= 0 x31 =min (4,10)= 4
1
2º2º: min (cij) =c34= 1 x34 = min ( 7, 6 )= 6
2º2º: min (cij) =c34= 1 x34 = min ( 7, 6 )= 6
3º3º: min (ci) = c12=c23= 2 x12 = min ( 7, 6 ) = 63º3º: min (ci) = c12=c23= 2 x12 = min ( 7, 6 ) = 6
1
4º4º: min (cij) =c23= 2 x23= min ( 6, 8 ) = 64º4º: min (cij) =c23= 2 x23= min ( 6, 8 ) = 6
22 1
6
5º5º: min (cij)= c22= 3 x22= min ( 2, 1 ) = 15º5º: min (cij)= c22= 3 x22= min ( 2, 1 ) = 1
6º6º: min (cij) =c24= 4 x24=min (1, 1 ) =16º6º: min (cij) =c24= 4 x24=min (1, 1 ) =1
SBA inicial: XX00 = ( 00 , 6, 0, 0, 0, 1, 6, 1, 4,0, 0,6, 6, 0, 0, 0, 1, 6, 1, 4,0, 0,6) ; z = 38SBA inicial: XX00
= ( 00 , 6, 0, 0, 0, 1, 6, 1, 4,0, 0,6, 6, 0, 0, 0, 1, 6, 1, 4,0, 0,6) ; z = 38
Exemplo Protótipo.Método do Mínimo dos CustosExemplo Protótipo.Método do Mínimo dos Custos
Passo 1: Obtenção de uma SBA Inicial.Passo 1: Obtenção de uma SBA Inicial.Método de VogelMétodo de Vogel
•A variável básica escolhida é, em cada quadro,a variável que corresponde ao menor custo da linha ou coluna associada à maior das diferenças entre os dois menores custos de cada linha e cada coluna(em caso de empate a escolha é arbitrária).
Este método identifica uma SBA inicial, em geral, melhor do que as obtidas pelos métodos anteriores.
11 00 00 33
11 22 44
44 33 44
33
00 22 11 22
22
3377
1º:1º: acrescentar uma linha e uma coluna, com as diferenças entre os dois menores custos, em coluna e em linha respectivamente.
1º:1º: acrescentar uma linha e uma coluna, com as diferenças entre os dois menores custos, em coluna e em linha respectivamente.
2º2º: Seleccionar a maior das diferenças: max (diferenças) = 3 , coluna 4.
2º2º: Seleccionar a maior das diferenças: max (diferenças) = 3 , coluna 4.
3º3º: Seleccionar o menor dos custos para esta coluna: min (cij: j=4)= c34= 1
x34= min ( 7, 10 ) = 7
3º3º: Seleccionar o menor dos custos para esta coluna: min (cij: j=4)= c34= 1
x34= min ( 7, 10 ) = 7
Iteração 1: Iteração 1: xx3434== 7 7Iteração 1: Iteração 1: xx3434== 7 7
44 77 6 6 77
11
11
11
máximo
1010
88
6 6
mínimo
Exemplo Protótipo.Método de Vogel.Exemplo Protótipo.Método de Vogel. Quadro 1 Quadro 1
11 22 33 44
44 33 44 22
33
88
6 6
44 77 6 6
00 22 11 2277
11
33
1º:1º: calcular as novas diferenças relativas apenas aos elementos não traçados
1º:1º: calcular as novas diferenças relativas apenas aos elementos não traçados
2º2º: Seleccionar a maior das diferenças:max (diferenças) = 2 e corresponde à linha 3.
2º2º: Seleccionar a maior das diferenças:max (diferenças) = 2 e corresponde à linha 3.
3º3º: Seleccionar o menor dos custos para esta linha: min (cij: i=3)= c31= 0
x31= min ( 4, 3 ) = 3
3º3º: Seleccionar o menor dos custos para esta linha: min (cij: i=3)= c31= 0
x31= min ( 4, 3 ) = 3
Iteração 2: xx3131== 3 3Iteração 2: xx3131== 3 3
máximo
11 00 00
11
11
22
mínimo
11 22 33 44
44 33 44 22
33
88
6 6
44 77 6 6
00 22 11 2277
11
33
1º:1º: calcular as novas diferenças relativas apenas aos elementos não traçados
1º:1º: calcular as novas diferenças relativas apenas aos elementos não traçados
2º2º: Seleccionar a maior das diferenças:max (diferenças) = 2 e corresponde à linha 3.
2º2º: Seleccionar a maior das diferenças:max (diferenças) = 2 e corresponde à linha 3.
3º3º: Seleccionar o menor dos custos para esta linha: min (cij: i=3)= c31= 0
x31= min ( 4, 3 ) = 3
3º3º: Seleccionar o menor dos custos para esta linha: min (cij: i=3)= c31= 0
x31= min ( 4, 3 ) = 3
Iteração 2: xx3131== 3 3Iteração 2: xx3131== 3 3
máximo
11 00 00
11
11
22
mínimo
Exemplo Protótipo. Método de Vogel.Exemplo Protótipo. Método de Vogel.Quadro 2Quadro 2
11 22 33
44 33 44 22
88
6 6
44 77 6 6
00 22 11 2233
44
77
11
11
1º:1º: calcular as novas diferenças relativas apenas aos elementos não traçados
1º:1º: calcular as novas diferenças relativas apenas aos elementos não traçados
2º2º: Seleccionar a maior das diferenças : max (diferenças) = 3 e corresponde à coluna 1.
2º2º: Seleccionar a maior das diferenças : max (diferenças) = 3 e corresponde à coluna 1.
3º3º: Seleccionar o menor dos custos para esta coluna: min (cij: j=1) = c11= 1
x11= min ( 1, 6 ) = 1
3º3º: Seleccionar o menor dos custos para esta coluna: min (cij: j=1) = c11= 1
x11= min ( 1, 6 ) = 1
Iteração 3: xx1111== 1 1Iteração 3: xx1111== 1 1
33 11 11
11
11
mínimo
55
máximo
Exemplo Protótipo. Método de Vogel.Exemplo Protótipo. Método de Vogel.Quadro 3Quadro 3
As restantes quadrículas podem ser
preenchidas imediatamente:
xx2222== 2 2
xx2323== 6 6
As restantes quadrículas podem ser
preenchidas imediatamente:
xx2222== 2 2
xx2323== 6 6
88
22 6 6
77
33
44 33 44 22
00 22 11 2233
22 4411
11
55
22 66
SBA inicial: XX00 = ( 11 , 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3,0, 0,7, 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3,0, 0,7) ; z = 36SBA inicial: XX00
= ( 11 , 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3,0, 0,7, 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3,0, 0,7) ; z = 36
Exemplo Protótipo. Método de VogelExemplo Protótipo. Método de VogelQuadro 5Quadro 5
zz00 = 36
XX00 = ( 11 , 5, 0, 0,, 5, 0, 0,
0, 2, 6, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7 3, 0, 0, 7)
XX00 = ( 44 , 2, 0, 0,, 2, 0, 0,
0, 5, 3, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7 0, 0, 3, 7)
XX00 = ( 00 , 5, 1, 0,, 5, 1, 0,
0, 2, 6, 0, 0, 2, 6, 0, 4, 0, 0, 6 4, 0, 0, 6)
zz00 = 42
zz00 = 38
mais fácil
menos fácil
"pior" SBA
"melhor" SBA
Método SBA inicial f.o.
Canto do NW
Mínimo de custos
Voguel
Passo 1: Obtenção de uma SBA Inicial.Passo 1: Obtenção de uma SBA Inicial.Exemplo ProtótipoExemplo Protótipo
A solução dual é admissível:
ui + vj- cij 0 , ( i , j ) IB ?
A solução dual é admissível:
ui + vj- cij 0 , ( i , j ) IB ?
Passar ao passo seguintePassar ao passo seguinte
FIMa solução é óptima !!!
FIMa solução é óptima !!!
Sim
Não
Determinar a solução dual complementar ui , vj , ( i=1,2…,m , j=1,2…,n ),
por resolução do Sistema de Dantzig:ui + vj = cij ( i , j ) IB
Determinar a solução dual complementar ui , vj , ( i=1,2…,m , j=1,2…,n ),
por resolução do Sistema de Dantzig:ui + vj = cij ( i , j ) IB
Passo 2: Obtenção da solução óptimaPasso 2: Obtenção da solução óptimaMétodo de Dantzing. Critério de optimalidadeMétodo de Dantzing. Critério de optimalidade
Obtenção da solução óptima.Método de Dantzing.Obtenção da solução óptima.Método de Dantzing.Passo 1: Critério de optimalidade.Passo 1: Critério de optimalidade.
O primeiro passo, que consiste em testar a optimalidade da
SBA actual pode ser executado recorrendo à Dualidade.
Para o efeito é necessário determinar a correspondente solução
dual.
Enquanto na apresentação tabular do método simplex esta
solução pode ser lida directamente no quadro respectivo, com
a apresentação tabular do problema de transporte isso não
acontece.
Contudo, atendendo à simplicidade da estrutura do problema
dual de transporte,
é fácil determinar a solução dual.
u1 livreu2 livreu3 livrev1 livrev2 livrev3 livre v4 livre
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= = 6= = 8 = = 10 = = 4= = 7= = 6= = 7
1 2 3 4 4 3 2 4 0 2 2 1
xx11110 0 xx12120 0 xx13130 0 xx14140 0 xx21210 0 xx22220 0 xx23230 0 xx242400 x x313100 xx32320 0 xx333300 xx343400
Min zMin zProblema dualProblema dual
Problema primalProblema primal
Diagrama de TuckerDiagrama de Tucker Diagrama de TuckerDiagrama de Tucker
Max wMax w
Formulação do Problema Dual de Transporte.Formulação do Problema Dual de Transporte.
Custo por carga de camião
Armazéns
1012203
7
4
4
4
4
4
1
1
7
3
2
2
6
2
3
3
Procura
82
61
OfertaFábricas
Custo por carga de camião
Armazéns
1012203
7
4
4
4
4
4
1
1
7
3
2
2
6
2
3
3
Procura
82
61
OfertaFábricas
Maximizar w = 6 u1 + 8 u2 + 10 u3 + 4 v1 + 7 v2 + 6 v3 + 7 v4
sujeito a: u1 + v1 1 u1 + v2 2 u1 + v3 3 u1 + v4 4 u2 + v1 4 u2 + v2 3 u2 + v3 2 u2 + v4 4 u3 + v1 0 u3 + v2 2 u3 + v3 2 u3 + v4 1 ui , v j livres ( i=1,2,3; j=1,2,3,4 )
Maximizar w = 6 u1 + 8 u2 + 10 u3 + 4 v1 + 7 v2 + 6 v3 + 7 v4
sujeito a: u1 + v1 1 u1 + v2 2 u1 + v3 3 u1 + v4 4 u2 + v1 4 u2 + v2 3 u2 + v3 2 u2 + v4 4 u3 + v1 0 u3 + v2 2 u3 + v3 2 u3 + v4 1 ui , v j livres ( i=1,2,3; j=1,2,3,4 )
Formulação do Problema Dual de Transporte.Formulação do Problema Dual de Transporte.
Custo por carga de camião
Armazéns
1012203
7
4
4
4
4
4
1
1
7
3
2
2
6
2
3
3
Procura
82
61
OfertaFábricas
Custo por carga de camião
Armazéns
1012203
7
4
4
4
4
4
1
1
7
3
2
2
6
2
3
3
Procura
82
61
OfertaFábricas
xx1111= 4= 4xx1111= 4= 4 uu11 + + vv1 1 = 1= 1uu11 + + vv1 1 = 1= 1
xx12 12 = 2= 2 xx12 12 = 2= 2 uu11 + + vv2 2 = 2= 2uu11 + + vv2 2 = 2= 2
xx22 22 = 5= 5 xx22 22 = 5= 5 uu22 + + vv2 2 = 3= 3uu22 + + vv2 2 = 3= 3
xx23 23 = 3= 3xx23 23 = 3= 3 uu22 + + vv3 3 = 2= 2uu22 + + vv3 3 = 2= 2
xx33 33 = 3= 3xx33 33 = 3= 3 uu33 + + vv3 3 = 2= 2uu33 + + vv3 3 = 2= 2
xx34 34 = 7= 7xx34 34 = 7= 7 uu33 + + vv4 4 = 1= 1uu33 + + vv4 4 = 1= 1
Para a SBA inicial obtida pelo Método do Canto N-W X0
= ( 4 , 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7 ) tem-se:
De acordo com a propriedade dos desvios complementares, a cada
variável básica do problema primal se encontra associada
uma restrição saturada no problema dual .
De acordo com a propriedade dos desvios complementares, a cada
variável básica do problema primal se encontra associada
uma restrição saturada no problema dual .
Sistema de Dantzig para a SBA actual
Exemplo Protótipo. Sistema de DantzingExemplo Protótipo. Sistema de Dantzing
uu11 + + vv1 1 = 1= 1uu11 + + vv1 1 = 1= 1
uu11 + + vv2 2 = 2= 2uu11 + + vv2 2 = 2= 2
uu22 + + vv2 2 = 3= 3uu22 + + vv2 2 = 3= 3
uu22 + + vv3 3 = 2= 2uu22 + + vv3 3 = 2= 2
uu33 + + vv3 3 = 2= 2uu33 + + vv3 3 = 2= 2
uu33 + + vv4 4 = 1= 1uu33 + + vv4 4 = 1= 1
Dado que uma das (m+n) restrições do problema primal é
redundante, este sistema de equações é indeterminado de
grau 1, pelo que a sua resolução é efectuada atribuindo um valor
arbitrário a qualquer das variáveis duais e calculando a
partir desta as restantes ( é habitual fazer uu1 1 =0 =0 )
v1 =1v1 =1
v2 =2v2 =2
u2 =1u2 =1
v3 =1v3 =1
u3 =1u3 =1
v4 =0v4 =0
u1 =0u1 =0 1º.1º. Determinar a solução dual. 1º.1º. Determinar a solução dual.
Exemplo Protótipo. Obtenção da solução Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima.óptima. Passo 1: Critério de Optimalidade Passo 1: Critério de Optimalidade
Obtenção da solução óptima.Obtenção da solução óptima.Passo 1: Critério de OptimalidadePasso 1: Critério de Optimalidade
•Esta solução para as variáveis duais pode ser obtida directamente no quadro de transporte correspondente à SBA em presença.
Em síntese, fixando u1 =0, desloca-se em linha através das
quadrículas correspondentes às variáveis básicas, para obter
os vj. Uma vez obtidos estes, desloca-se em coluna através
das quadrículas correspondentes às variáveis básicas
para obter os ui .
1º.1º. Determinar a solução dual. 1º.1º. Determinar a solução dual.
66
88
1010
44 77 6 6 77 2424
11 22 44
44 33 44
44 22
55
33
22
3300 22 11
7722
33
v1=1 v2=2 v3=1 v4=0
u3=1
u2=1
u1=0
( 1 ) ( 1 ) u1+ v1=1 0 + v1=1
( 2 ) ( 2 ) u1+ v2=2 0 + v2=2
( 4 ) ( 4 ) u2+ v3=2 1 + v3=2
( 6 ) ( 6 ) u3+ v4=1 1 + v4=1
( 3 ) ( 3 ) u2+ v2=3 u2+ 2 =3
( 5 ) ( 5 ) u3+ v3=2 u3+ 1=2
1º.1º. Determinar a solução dual. 1º.1º. Determinar a solução dual.
Obtenção da solução óptima.Obtenção da solução óptima.Passo 1: Critério de OptimalidadePasso 1: Critério de Optimalidade
Obtenção da solução óptima.Obtenção da solução óptima.Passo 1: Critério de OptimalidadePasso 1: Critério de Optimalidade
•Como são satisfeitas as restrições duais de igualdade do Sistema de Dantzig que correspondem às variáveis primais básicas, resta apenas verificar se as restantes restrições duais de desigualdade correspondentes às variáveis primais não básicas do primal, são igualmente satisfeitas, o que significa que a solução dual é admissível e consequentemente a solução primal em presença é óptima.
Isto é equivalente a verificar que todos os custos reduzidos para as variáveis não básicas sejam não positivos.
A verificação de que uuii + + vvj j ccijij , , ( ( i , j i , j ) ) I IB B , é equivalente a ((uuii + + vvj j )) - - ccijij 0 0 ,,
sendo o primeiro membro desta expressão de obtenção imediata no quadro de transporte.
66
88
1010
44 77 6 6 77 2424
11 22 44
44 33 44
44 22
55
33
22
3322 11
7722
33
v1=1 v2=2 v3=1 v4=0
u3=1
u2=1
u1=0
00
-4-4-2-2
-3-3-2-2
22 11
Esta solução não é óptima, pois existem
valores positivos para u ui i ++ vvjj- - ccij ij nas
quadrículas (3,1) e (3,2), o que significa
que as correspondentes restrições duais não
estão satisfeitas.
Esta solução não é óptima, pois existem
valores positivos para u ui i ++ vvjj- - ccij ij nas
quadrículas (3,1) e (3,2), o que significa
que as correspondentes restrições duais não
estão satisfeitas.
3º.3º. Existe algum uui i ++ vvjj- - ccij ij > 0 ,> 0 , ( ( i , j i , j ) ) I IBB ?? 3º.3º. Existe algum uui i ++ vvjj- - ccij ij > 0 ,> 0 , ( ( i , j i , j ) ) I IBB ??
Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima. Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima. Passo 1: Critério de OptimalidadePasso 1: Critério de Optimalidade
maxmax {uui i ++ vvj j - - ccij ij : : uui i ++ vvj j - - ccijij> 0 > 0 }} maxmax {uui i ++ vvj j - - ccij ij : : uui i ++ vvj j - - ccijij> 0 > 0 }}
A variável a entrar na base é escolhida de acordo com o critério:
Em caso de empate a escolha é arbitrária.
66
88
1010
44 77 6 6 77 2424
11 22 44
44 33 44
44 22
55
33
22
3322 11
7722
33
v1=1 v2=2 v3=1 v4=0
u3=1
u2=1
u1=0
00
-4-4-2-2
-3-3-2-2
22 11
máximo máximo
A variável a entrar
é x31
A variável a entrar
é x31
Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima. Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima. Passo 2: Critério de EntradaPasso 2: Critério de Entrada
Obtenção da solução óptima. Obtenção da solução óptima. Passo 3: Critério de SaídaPasso 3: Critério de Saída
• 1º. Seleccionar o percurso relativo à variável que entra atribuindo às quadrículas nele incluídas sinais de - ou + . Ao incrementar a variável básica que entra desde zero até um valor positivo 00, inicia-se um “processo em cadeia" que garante que as restrições de oferta e procura continuem satisfeitas. Este processo segue um percurso no quadro a partir da quadrícula da variável que entra, onde são identificadas quais são as quadrículas onde será preciso subtrair o valor 00, (com sinal -) e aquelas onde será preciso adiciona-lo (com sinal +).Tudo com o objectivo de as somas em cada linha e coluna permanecerem inalteradas.
2º. Seleccionar a variável que sai de acordo com o critério:
min {xij percurso relativo à variável que entra :: xxijij tem sinal -} = = 00
Em caso de empate a escolha é arbitrária.
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88
1010
44 77 6 6 77 2424
11 22 44
44 33 4444 22
55
33
22
3322 11
7722
3300
-4-2
-3
1º1º. Seleccionar o percurso relativo à variável x31
atribuindo às quadrículas nele incluídas sinais de - ou + .
1º1º. Seleccionar o percurso relativo à variável x31
atribuindo às quadrículas nele incluídas sinais de - ou + .
2º.2º. Seleccionar a variável que sai: 00 = = min ( 4, 5, 3 ) = 3
a variável xx333 sai
2º.2º. Seleccionar a variável que sai: 00 = = min ( 4, 5, 3 ) = 3
a variável xx333 sai
-
x31
+
- +
-
Determinar a variável que sai.Determinar a variável que sai.
mínimo
Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima. Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima.
Passo 3: Critério de SaídaPasso 3: Critério de Saída
A nova SBA obtém-se adicionando e subtraindo às variáveis
que formam o ciclo o valor de 00, consoante estejam
afectadas com ou , respectivamente;
as restantes variáveis mantêm os seus valores inalterados.
- +
Obtenção da solução óptima. Obtenção da solução óptima. Passo 4: Obtenção de uma nova SBAPasso 4: Obtenção de uma nova SBA
11 22 44
44 33 44
33
22
00 22 11 22
44 22
55
33 77
33
-
x31
+
- +
-
11 22 44
44 33 44
33
22
00 22 11 22
11 55
22
00 77
66x13= 3
33
x11=4 -3 = 1
x12=2 + 3 = 5
x22=5 -3 = 2
x23=3 +3 = 6
x23=3 -3 = 0
X1 = ( 11 , 5, 0, 0, , 5, 0, 0, z1
= 36 0, 2, 6, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7 3, 0, 0, 7 )
X1 = ( 11 , 5, 0, 0, , 5, 0, 0, z1
= 36 0, 2, 6, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7 3, 0, 0, 7 )
Exemplo Protótipo.Obtenção da solução óptima. Exemplo Protótipo.Obtenção da solução óptima. Passo 4: Obtenção de uma nova SBAPasso 4: Obtenção de uma nova SBA
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88
1010
44 77 6 6 77 2424
11 22 44
44 33 44
11 55
22
33
22
6600 22 11
7722
v1=1 v2=2 v3=1 v4=2
u3=-1
u2=1
u1=0
( 1 )( 1 ) u1+ v1=1 0 + v1=1
( 2 )( 2 ) u1+ v2=2 0 + v2=2
( 4 )( 4 ) u2+ v3=2 1 + v3=2
( 6 )( 6 ) u3+ v4=1 -1 + v4=1
( 3 )( 3 ) u2+ v2=3 u2+ 2 =3
( 5 )( 5 ) u3+ v1=0 u3+ 1=0
33
1º.1º. Determinar a solução dual. 1º.1º. Determinar a solução dual.
Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima.Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima.Iteração 2, Passo 1: Critério de Optimalidade.Iteração 2, Passo 1: Critério de Optimalidade.
66
88
1010
44 77 6 6 77
11 22 44
44 33 44
11 55
22
33
22
6622 11
7722
v1=1 v2=2 v3=1 v4=2
u3=-1
u2=1
u1=0
00
( 6 )( 6 ) u3+ v3 -2 =-1+ 1 -2= -2
( 3 )( 3 ) u2+ v1 -4 = 1+ 1 -4=-2
( 5 )( 5 ) u3+ v2-2 =-1+ 2 -2= -1
-2-2-2-2
-1-1-2-2
-1-1 - 2- 2
( 1 )( 1 ) u1+ v3 -3 = 0+ 1 -3=-2
( 2 )( 2 ) u1+ v4 -4 = 0+2 -4=-2
(4 )(4 ) u2+ v4 -4 = 1+ 2 -4=-1
33
2º.2º. Calcular os custos reduzidos para as variáveis não básicas. 2º.2º. Calcular os custos reduzidos para as variáveis não básicas.
Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima.Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima.Iteração 2, Passo 1: Critério de OptimalidadeIteração 2, Passo 1: Critério de Optimalidade
Esta solução é óptima, pois para todas as variáveis
não básicas u ui i ++ vvj j - - ccij ij 0 0
Esta solução é óptima, pois para todas as variáveis
não básicas u ui i ++ vvj j - - ccij ij 0 0
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1010
44 77 6 6 77
11 22 44
44 33 44
11 55
22
33
22
6622 11
7722
v1=1 v2=2 v3=1 v4=2
u3=-1
u2=1
u1=0
00
-2-2-2-2
-1-1-2-2
-1-1 - 2- 233
Solução óptima: X1 =(11 , 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7, 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7); zz11
= 36= 36Solução óptima: X1 =(11 , 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7, 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7); zz11
= 36= 36
3º.3º. Existe algum uui i ++ vvjj- - ccij ij > 0 ,> 0 , ( ( i , j i , j ) ) I IBB ? ? 3º.3º. Existe algum uui i ++ vvjj- - ccij ij > 0 ,> 0 , ( ( i , j i , j ) ) I IBB ? ?
Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima.Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima.Iteração 2, Passo 1: Critério de OptimalidadeIteração 2, Passo 1: Critério de Optimalidade