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Fundamentos de Matemática
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 8
24 de janeiro de 2013
Aula 8 Fundamentos de Matemática 1
Somas
Aula 8 Fundamentos de Matemática 2
Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Exemplo:
4∑i=1
xi = x1 +4∑
i=2
xi = x1 + x2 +4∑
i=3
xi = x1 + x2 + x3 +4∑
i=4
xi = x1 + x2 + x3 + x4.
Aula 8 Fundamentos de Matemática 3
Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Exemplo:
4∑i=1
xi = x1 +4∑
i=2
xi = x1 + x2 +4∑
i=3
xi = x1 + x2 + x3 +4∑
i=4
xi = x1 + x2 + x3 + x4.
Aula 8 Fundamentos de Matemática 4
Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Exemplo:
4∑i=1
xi = x1 +4∑
i=2
xi = x1 + x2 +4∑
i=3
xi = x1 + x2 + x3 +4∑
i=4
xi = x1 + x2 + x3 + x4.
Aula 8 Fundamentos de Matemática 5
Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Exemplo:
4∑i=1
xi = x1 +4∑
i=2
xi = x1 + x2 +4∑
i=3
xi = x1 + x2 + x3 +4∑
i=4
xi = x1 + x2 + x3 + x4.
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Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Exemplo:
4∑i=1
xi = x1 +4∑
i=2
xi = x1 + x2 +4∑
i=3
xi = x1 + x2 + x3 +4∑
i=4
xi = x1 + x2 + x3 + x4.
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Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Exemplo:
4∑i=1
xi = x1 +4∑
i=2
xi = x1 + x2 +4∑
i=3
xi = x1 + x2 + x3 +4∑
i=4
xi = x1 + x2 + x3 + x4.
Aula 8 Fundamentos de Matemática 8
Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Exemplo:
4∑i=1
xi = x1 +4∑
i=2
xi = x1 + x2 +4∑
i=3
xi = x1 + x2 + x3 +4∑
i=4
xi = x1 + x2 + x3 + x4.
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Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Exemplo:
20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 =5∑
i=0
2i .
Aula 8 Fundamentos de Matemática 10
Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Exemplo:
20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 =5∑
i=0
2i .
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Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Exemplo:
20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 =5∑
i=0
2i .
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Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Notações:
4∑i=1
xi =∑
1≤i≤4
xi =∑
i∈{1,2,3,4}
xi = x1 + x2 + x3 + x4.
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b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Notações:
4∑i=1
xi =∑
1≤i≤4
xi =∑
i∈{1,2,3,4}
xi = x1 + x2 + x3 + x4.
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Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Notações:
4∑i=1
xi =∑
1≤i≤4
xi =∑
i∈{1,2,3,4}
xi = x1 + x2 + x3 + x4.
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Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Notações:
4∑i=1
xi =∑
1≤i≤4
xi =∑
i∈{1,2,3,4}
xi = x1 + x2 + x3 + x4.
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Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Exemplo:
∑1≤i≤10i é impar
xi = x1 + x3 + x5 + x7 + x9 =4∑
i=0
(2 i + 1).
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Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Exemplo:
∑1≤i≤10i é impar
xi = x1 + x3 + x5 + x7 + x9 =4∑
i=0
(2 i + 1).
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Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Exemplo:
∑1≤i≤10i é impar
xi = x1 + x3 + x5 + x7 + x9 =4∑
i=0
(2 i + 1).
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Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
A variável do somatório é muda:4∑
i=1
xi =4∑
r=1
xr =4∑
λ=1
xλ = x1 + x2 + x3 + x4.
Aula 8 Fundamentos de Matemática 20
Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
A variável do somatório é muda:4∑
i=1
xi =4∑
r=1
xr =4∑
λ=1
xλ = x1 + x2 + x3 + x4.
Aula 8 Fundamentos de Matemática 21
Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
A variável do somatório é muda:4∑
i=1
xi =4∑
r=1
xr =4∑
λ=1
xλ = x1 + x2 + x3 + x4.
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Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
A variável do somatório é muda:4∑
i=1
xi =4∑
r=1
xr =4∑
λ=1
xλ = x1 + x2 + x3 + x4.
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Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
A variável do somatório é muda:4∑
i=1
xi =4∑
r=1
xr =4∑
λ=1
xλ = x1 + x2 + x3 + x4.
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Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Troca de variáveis:4∑
i=1
xi+1(j = i + 1)=
∑j=
xj
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Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Troca de variáveis:4∑
i=1
xi+1(j = i + 1)=
∑j=
xj
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Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Troca de variáveis:4∑
i=1
xi+1(j = i + 1)=
∑j=
xj
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Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Troca de variáveis:4∑
i=1
xi+1(j = i + 1)=
∑j=
xj
Aula 8 Fundamentos de Matemática 28
Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Troca de variáveis:4∑
i=1
xi+1(j = i + 1)=
∑j=2
xj
Aula 8 Fundamentos de Matemática 29
Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Troca de variáveis:4∑
i=1
xi+1(j = i + 1)=
5∑j=2
xj =5∑
i=2
xi .
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Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Troca de variáveis:4∑
i=1
xi+1(j = i + 1)=
5∑j=2
xj =5∑
i=2
xi .
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Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Propriedades:
b∑i=a
(xi + yi) =b∑
i=a
xi +b∑
i=a
yi eb∑
i=a
constante · xi = constante ·b∑
i=a
xi .
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Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Exemplo:
7∑i=1
1 = 7,7∑
i=2
1 = 6,b∑
i=a
1 = b − a + 1 (para a ≤ b).
Aula 8 Fundamentos de Matemática 33
Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Exemplo:
7∑i=1
1 = 7,7∑
i=2
1 = 6,b∑
i=a
1 = b − a + 1 (para a ≤ b).
Aula 8 Fundamentos de Matemática 34
Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Exemplo:
7∑i=1
1 = 7,7∑
i=2
1 = 6,b∑
i=a
1 = b − a + 1 (para a ≤ b).
Aula 8 Fundamentos de Matemática 35
Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Exemplo:
7∑i=1
1 = 7,7∑
i=2
1 = 6,b∑
i=a
1 = b − a + 1 (para a ≤ b).
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Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Exemplo:
7∑i=1
1 = 7,7∑
i=2
1 = 6,b∑
i=a
1 = b − a + 1 (para a ≤ b).
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Somas
b∑i=a
f (i) =
0, se b < a,
f (a), se b = a,
f (a) +b∑
i=a+1
f (i), se b > a.
Exemplo:
7∑i=1
1 = 7,7∑
i=2
1 = 6,b∑
i=a
1 = b − a + 1 (para a ≤ b).
Aula 8 Fundamentos de Matemática 38
Somas (n ≥ 1)n∑
i=1
i = 1 + · · ·+ n = ?
Resposta:
n∑i=1
i2 + 2n∑
i=1
i +n∑
i=1
1 =∑i=1
(i2 + 2 i + 1) =n∑
i=1
(i + 1)2 = (n + 1)2 +n−1∑i=0
(i + 1)2 − 1
⇓n∑
i=1
i2 + 2n∑
i=1
i +n∑
i=1
1 = (n + 1)2 +n∑
i=1
i2 − 1
⇓
2n∑
i=1
i + n = n2 + 2 n + 1− 1
⇓
2n∑
i=1
i = n2 + n
⇓n∑
i=1
i = n(n + 1)/2.
Aula 8 Fundamentos de Matemática 39
Somas (n ≥ 1)n∑
i=1
i = 1 + · · ·+ n = ?
Resposta:
n∑i=1
i2 + 2n∑
i=1
i +n∑
i=1
1 =∑i=1
(i2 + 2 i + 1) =n∑
i=1
(i + 1)2 = (n + 1)2 +n−1∑i=0
(i + 1)2 − 1
⇓n∑
i=1
i2 + 2n∑
i=1
i +n∑
i=1
1 = (n + 1)2 +n∑
i=1
i2 − 1
⇓
2n∑
i=1
i + n = n2 + 2 n + 1− 1
⇓
2n∑
i=1
i = n2 + n
⇓n∑
i=1
i = n(n + 1)/2.
Aula 8 Fundamentos de Matemática 40
Somas (n ≥ 1)n∑
i=1
i = 1 + · · ·+ n = ?
Resposta:
n∑i=1
i2 + 2n∑
i=1
i +n∑
i=1
1 =∑i=1
(i2 + 2 i + 1) =n∑
i=1
(i + 1)2 = (n + 1)2 +n−1∑i=0
(i + 1)2 − 1
⇓n∑
i=1
i2 + 2n∑
i=1
i +n∑
i=1
1 = (n + 1)2 +n∑
i=1
i2 − 1
⇓
2n∑
i=1
i + n = n2 + 2 n + 1− 1
⇓
2n∑
i=1
i = n2 + n
⇓n∑
i=1
i = n(n + 1)/2.
Aula 8 Fundamentos de Matemática 41
Somas (n ≥ 1)n∑
i=1
i = 1 + · · ·+ n = ?
Resposta:
n∑i=1
i2 + 2n∑
i=1
i +n∑
i=1
1 =∑i=1
(i2 + 2 i + 1) =n∑
i=1
(i + 1)2 = (n + 1)2 +n−1∑i=0
(i + 1)2 − 1
⇓n∑
i=1
i2 + 2n∑
i=1
i +n∑
i=1
1 = (n + 1)2 +n∑
i=1
i2 − 1
⇓
2n∑
i=1
i + n = n2 + 2 n + 1− 1
⇓
2n∑
i=1
i = n2 + n
⇓n∑
i=1
i = n(n + 1)/2.
Aula 8 Fundamentos de Matemática 42
Somas (n ≥ 1)n∑
i=1
i = 1 + · · ·+ n = ?
Resposta:
n∑i=1
i2 + 2n∑
i=1
i +n∑
i=1
1 =∑i=1
(i2 + 2 i + 1) =n∑
i=1
(i + 1)2 = (n + 1)2 +n−1∑i=0
(i + 1)2 − 1
⇓n∑
i=1
i2 + 2n∑
i=1
i +n∑
i=1
1 = (n + 1)2 +n∑
i=1
i2 − 1
⇓
2n∑
i=1
i + n = n2 + 2 n + 1− 1
⇓
2n∑
i=1
i = n2 + n
⇓n∑
i=1
i = n(n + 1)/2.
Aula 8 Fundamentos de Matemática 43
Somas (n ≥ 1)n∑
i=1
i = 1 + · · ·+ n = ?
Resposta:
n∑i=1
i2 + 2n∑
i=1
i +n∑
i=1
1 =∑i=1
(i2 + 2 i + 1) =n∑
i=1
(i + 1)2 = (n + 1)2 +n−1∑i=0
(i + 1)2 − 1
⇓n∑
i=1
i2 + 2n∑
i=1
i +n∑
i=1
1 = (n + 1)2 +n∑
i=1
i2 − 1
⇓
2n∑
i=1
i + n = n2 + 2 n + 1− 1
⇓
2n∑
i=1
i = n2 + n
⇓n∑
i=1
i = n(n + 1)/2.
Aula 8 Fundamentos de Matemática 44
Somas (n ≥ 1)n∑
i=1
i = 1 + · · ·+ n = ?
Resposta:
n∑i=1
i2 + 2n∑
i=1
i +n∑
i=1
1 =∑i=1
(i2 + 2 i + 1) =n∑
i=1
(i + 1)2 = (n + 1)2 +n−1∑i=0
(i + 1)2 − 1
⇓n∑
i=1
i2 + 2n∑
i=1
i +n∑
i=1
1 = (n + 1)2 +n∑
i=1
i2 − 1
⇓
2n∑
i=1
i + n = n2 + 2 n + 1− 1
⇓
2n∑
i=1
i = n2 + n
⇓n∑
i=1
i = n(n + 1)/2.
Aula 8 Fundamentos de Matemática 45
Somas (n ≥ 1)n∑
i=1
i = 1 + · · ·+ n = ?
Resposta:
n∑i=1
i2 + 2n∑
i=1
i +n∑
i=1
1 =∑i=1
(i2 + 2 i + 1) =n∑
i=1
(i + 1)2 = (n + 1)2 +n−1∑i=0
(i + 1)2 − 1
⇓n∑
i=1
i2 + 2n∑
i=1
i +n∑
i=1
1 = (n + 1)2 +n∑
i=1
i2 − 1
⇓
2n∑
i=1
i + n = n2 + 2 n + 1− 1
⇓
2n∑
i=1
i = n2 + n
⇓n∑
i=1
i = n(n + 1)/2.
Aula 8 Fundamentos de Matemática 46
Somas (n ≥ 1)n∑
i=1
i = 1 + · · ·+ n = ?
Resposta:
n∑i=1
i2 + 2n∑
i=1
i +n∑
i=1
1 =∑i=1
(i2 + 2 i + 1) =n∑
i=1
(i + 1)2 = (n + 1)2 +n−1∑i=0
(i + 1)2 − 1
⇓n∑
i=1
i2 + 2n∑
i=1
i +n∑
i=1
1 = (n + 1)2 +n∑
i=1
i2 − 1
⇓
2n∑
i=1
i + n = n2 + 2 n + 1− 1
⇓
2n∑
i=1
i = n2 + n
⇓n∑
i=1
i = n(n + 1)/2.
Aula 8 Fundamentos de Matemática 47
Somas (n ≥ 1)n∑
i=1
i = 1 + · · ·+ n = ?
Resposta:
n∑i=1
i2 + 2n∑
i=1
i +n∑
i=1
1 =∑i=1
(i2 + 2 i + 1) =n∑
i=1
(i + 1)2 = (n + 1)2 +n−1∑i=0
(i + 1)2 − 1
⇓n∑
i=1
i2 + 2n∑
i=1
i +n∑
i=1
1 = (n + 1)2 +n∑
i=1
i2 − 1
⇓
2n∑
i=1
i + n = n2 + 2 n + 1− 1
⇓
2n∑
i=1
i = n2 + n
⇓n∑
i=1
i = n(n + 1)/2.
Aula 8 Fundamentos de Matemática 48
Números Naturais (Continuação)
Aula 8 Fundamentos de Matemática 49
Números naturais como números cardinais
X Y
Aula 8 Fundamentos de Matemática 50
Números naturais como números cardinais
X Y
Aula 8 Fundamentos de Matemática 51
Números naturais como números cardinais
X Y
Aula 8 Fundamentos de Matemática 52
Números naturais como números cardinais
X Y
Aula 8 Fundamentos de Matemática 53
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 8 Fundamentos de Matemática 54
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 8 Fundamentos de Matemática 55
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 8 Fundamentos de Matemática 56
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}.
O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 8 Fundamentos de Matemática 57
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X .
Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 8 Fundamentos de Matemática 58
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 8 Fundamentos de Matemática 59
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito.
Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 8 Fundamentos de Matemática 60
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 8 Fundamentos de Matemática 61
Números naturais como números cardinais
X Y
Aula 8 Fundamentos de Matemática 62
Números naturais como números cardinais
X Y
Aula 8 Fundamentos de Matemática 63
Números naturais como números cardinais
Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?
(Ir para o GeoGebra)
Aula 8 Fundamentos de Matemática 64
Números naturais como números cardinais
Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?
(Ir para o GeoGebra)
Aula 8 Fundamentos de Matemática 65
Números naturais como números cardinais
O Hotel Infinito de Hilbert
Aula 8 Fundamentos de Matemática 66
Um pequeno comentário gramatical
Quando dizemos “o número um”, “o número dois” ou o “número três”, aspalavras “um”, “dois” e “três” são substantivos, pois são nomes de objetos.Isto contrasta com o uso destas palavras em frases como “um ano, doismeses e três dias”, onde elas aparecem para dar a ideia de número cardinal,isto é, como resultados de contagens. Nesta frase, “um”, “dois” e “três” nãosão substantivos. Pertencem a categoria gramatical que, noutras línguas(como francês, inglês e alemão, por exemplo) é chamada adjetivo numerale que os gramáticos brasileiros e portugueses, há um par de décadas,resolveram chamar numeral apenas. Este comentário visa salientar adiferença entre números naturais, olhados como elementos do conjunto N, eo seu emprego como números cardinais.
[Lima, Carvalho, Morgado e Wagner, 2003]
Aula 8 Fundamentos de Matemática 67
Semelhança dos nomes dos números
SânscritoGrego
AntigoLatim Alemão Inglês Francês Russo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100
1000
eka
dva
tri
catur
panca
sas
sapta
asta
nava
daca
cata
sehastre
en
duo
tri
tetra
pente
hex
hepta
octo
ennea
deca
ecaton
xilia
unus
duo
tres
quatuor
quinque
sex
septem
octo
novem
decem
centum
mille
eins
zwei
drei
vier
fünf
sechs
sieben
acht
neun
zehn
hundert
tausend
one
two
three
four
�ve
six
seven
eight
nine
ten
hundred
thousand
un
deux
trois
quatre
cinq
six
sept
huit
neuf
dix
cent
mille
odyn
dva
tri
chetyre
piat
shest
sem
vosem
deviat
desiat
sto
tysiaca
Aula 8 Fundamentos de Matemática 68
Giuseppe Peano
Matemático italiano (27 de agosto de 1858 – 20 de abril de 1932)
Aula 8 Fundamentos de Matemática 69
David Hilbert
Matemático alemão (23 de janeiro de 1862 – 14 de feveriro de 1943)
Aula 8 Fundamentos de Matemática 70
Existem “infinitos” diferentes!
Aula 8 Fundamentos de Matemática 71
Existem “infinitos” diferentes!
Os conjuntos
N = {1,2,3, . . .} e (0,1) = {x ∈ R | 0 < x < 1}
são infinitos, mas não possuem o mesmo número cardinal.
Em um certo sentido, o intervalo (0,1) é “mais infinito” do que oconjunto N dos números naturais!
Aula 8 Fundamentos de Matemática 72
Existem “infinitos” diferentes!
Os conjuntos
N = {1,2,3, . . .} e (0,1) = {x ∈ R | 0 < x < 1}
são infinitos, mas não possuem o mesmo número cardinal.
Em um certo sentido, o intervalo (0,1) é “mais infinito” do que oconjunto N dos números naturais!
Aula 8 Fundamentos de Matemática 73
Existem “infinitos” diferentes!
Os conjuntos
N = {1,2,3, . . .} e (0,1) = {x ∈ R | 0 < x < 1}
são infinitos, mas não possuem o mesmo número cardinal.
Em um certo sentido, o intervalo (0,1) é “mais infinito” do que oconjunto N dos números naturais!
Aula 8 Fundamentos de Matemática 74
Existem “infinitos” diferentes!
Os conjuntos
N = {1,2,3, . . .} e (0,1) = {x ∈ R | 0 < x < 1}
são infinitos, mas não possuem o mesmo número cardinal.
Em um certo sentido, o intervalo (0,1) é “mais infinito” do que oconjunto N dos números naturais!
Aula 8 Fundamentos de Matemática 75
O argumento da diagonal de Cantor
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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Aula 8 Fundamentos de Matemática 76
O argumento da diagonal de Cantor
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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Aula 8 Fundamentos de Matemática 77
O argumento da diagonal de Cantor
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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Aula 8 Fundamentos de Matemática 78
O argumento da diagonal de Cantor
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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Aula 8 Fundamentos de Matemática 79
O argumento da diagonal de Cantor
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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Aula 8 Fundamentos de Matemática 80
O argumento da diagonal de Cantor
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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O argumento da diagonal de Cantor
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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O argumento da diagonal de Cantor
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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O argumento da diagonal de Cantor
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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O argumento da diagonal de Cantor
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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O argumento da diagonal de Cantor
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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O argumento da diagonal de Cantor
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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O argumento da diagonal de Cantor
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
Aula 8 Fundamentos de Matemática 89
O argumento da diagonal de Cantor
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
Aula 8 Fundamentos de Matemática 90
O argumento da diagonal de Cantor
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
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O argumento da diagonal de Cantor
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
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O argumento da diagonal de Cantor
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
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O argumento da diagonal de Cantor
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
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O argumento da diagonal de Cantor
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
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O argumento da diagonal de Cantor
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
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O argumento da diagonal de Cantor
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
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O argumento da diagonal de Cantor
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
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O argumento da diagonal de Cantor
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
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O argumento da diagonal de Cantor
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
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O argumento da diagonal de Cantor
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
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O argumento da diagonal de Cantor
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
Aula 8 Fundamentos de Matemática 102
O argumento da diagonal de Cantor
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
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O argumento da diagonal de Cantor
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
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O argumento da diagonal de Cantor
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
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O argumento da diagonal de Cantor
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
Aula 8 Fundamentos de Matemática 106
O argumento da diagonal de Cantor
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
Aula 8 Fundamentos de Matemática 107
Georg Cantor
Matemático alemão (3 de março de 1845 – 6 de janeiro de 1918)
Aula 8 Fundamentos de Matemática 108
Seção de Exercícios
Aula 8 Fundamentos de Matemática 109