8/8/2019 Demostraci de que tot polinomi amb coeficients enters pren valors compostos

1/1

Aritmetica Grup 2: Beihui Ye , Andreu Correa Tardor 2010

Nombres triangulars

Problema 39.

Sigui f (X ) =n0 a i X

i

un polinomi de coecients enters, de grau n 1. Demostreuque sempre existeix un enter y tal que f (y) es un nombre compost. Indicaci o: Sif (x) = p es primer, aleshores p | f (x + kp ), per a tot k Z .

Soluci o. Suposem que tenim un polinomi f arbitrari de grau n que compleix leshipotesis de lenunciat. Escollim un x enter tal que f (x ) no sigui una unitat de Z(podem fer-ho ja que tot polinomi amb coecients reals de grau nit te un nombrenit de maxims i mnims, i la seva funci o associada es mon otona per tot x situatmes enll a de linterval on son aquests m axims i minims).

Si f (x) fos compost, ja estariem. Si f (x) = p fos primer, podem aplicar el resultatde la indicacio. Aix doncs, nomes hem de demostrar la proposici o de la indicacio.

Suposem, per hip otesi, que f (x) = p, es a dir:

f (x) =n

i =0

a i x i = p

fem y = x + kp i veiem que succeeix:

f (y) = f (x + kp ) =n

i=0

a i (x + kp )i =m

i=0

a ii

j=0

i j

x i j (kp ) j

Com i0 = 1 i N , podem reescriure aix o com:

f (x + kp ) = ni =0 a i xi + ni =0 a i

i j =1

i j x

i j (kp ) j

= p + pQ (x ) = p(1 + Q (x))

on Q (x) es un polinomi amb coecients enters amb variable x . (Es clar que cadaun dels sumands del sumatori te com a minim una p multiplicant amb grau com amnim 1, per tant podem treure factor com u). Aix doncs, queda demostrat, com

volem.

1