modulo 2 “l’algebra dei polinomi”
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Classi: I IGEA – I LICEO. Modulo 2 “L’algebra dei polinomi”. Mappe, schemi riassuntivi ed esercitazioni Docente: Donatiello Angela. Istituto Superiore “E.Fermi” Castellanza (VA). - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Modulo 2Modulo 2“L’algebra dei “L’algebra dei
polinomi”polinomi”
Modulo 2Modulo 2“L’algebra dei “L’algebra dei
polinomi”polinomi”
Mappe, schemi riassuntivi ed Mappe, schemi riassuntivi ed esercitazioniesercitazioni
Docente: Donatiello AngelaDocente: Donatiello Angela
Istituto Superiore “E.Fermi” Castellanza (VA)
Classi: I IGEA – I LICEO
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Introduzione
Fino ad ora abbiamo operato prevalentemente con i numeri interi o
razionali, utilizzando operazioni aritmetiche, ma abbiamo anche
incontrato alcune regole scritte con l’uso delle lettere. Tale formalismo richiama il
linguaggio simbolico dell’algebra, in quanto oltre ai numeri, compaiono anche simboli letterali. In questo modulo sarai condotto all’interno del calcolo letterale, imparando ad operare con i monomi, i
polinomi e le frazioni algebriche.
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Mappa concettuale del modulo
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Formule letterali: variabili e costanti
Consideriamo un triangolo e chiamiamo b la base ed h
l’altezza. Come ben sapete l’area del triangolo si calcola utilizzando la formula scritta a lato. In questa
formula b ed h sono lettere che possono assumere diversi valori a seconda dei casi, possono dunque variare. Diremo dunque che b ed
h sono variabili. Il numero 2 invece non cambia se variano la base e l’altezza, per cui diremo che 2 è una costante.
h
b
2
hbA
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Assegnazione di valori alle variabili:dal caso generale al caso particolare
Il concetto di variabile è un concetto fondamentale in matematica e viene utilizzato per esprimere proprietà
generali, come ad esempio l’area di un triangolo qualsiasi. Se dovessimo
calcolare l’area per un triangolo particolare, dovremmo assegnare dei valori precisi alle nostre due variabili.
2
hbA
b = 3
h = 2
32
23
A
Proprietà generale
Caso particolare
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Formula letterale Caso generale
Assegnazione di valori alle variabili
Caso particolare
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Il linguaggio dell’algebra è un linguaggio simbolico che ci permette di rappresentare in forma letterale
proprietà generali. Studiare l’algebra non significa quindi acquisire solo tecniche di calcolo, ma soprattutto
affinare le proprie capacità di astrazione, sapendo riconoscere nell’impostazione di un problema, le variabili fondamentali che entrano in gioco e le
relazioni matematiche che le legano.
Linguaggio simbolico dell’algebra
AlgebraLinguaggio simbolico
(si manipolano lettere anziché numeri)
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Nota storica
François Viète, (Fontenay-le Comte 1540 - Parigi 1603), matematico e uomo politico francese. Conseguì il baccalaureato in diritto nel 1560. A partire dal 1602 lavorò alle sue prime opere scientifiche e fu autore di un sistema notazionale di simbolizzazione dell'algebra, grazie al quale fu possibile applicare il formalismo algebrico allo studio della geometria. Viète introdusse inoltre l'uso delle lettere nel calcolo per rappresentare le quantità note e le incognite e portò contributi fondamentali alla teoria delle equazioni.
Raffaele Bombelli, (Bologna 1526 – Roma 1572), matematico italiano, fu uno dei grandi algebristi del Rinascimento. Il suo contributo alla matematica è contenuto in un trattato di algebra in 3 volumi (il progetto originale ne prevedeva 5), pubblicato l’anno della sua morte e intitolato Algebra. Il trattato comprende regole di computo per numeri negativi e relative dimostrazioni. Bombelli però, nel dimostrare proprietà generali, utilizzava ancora numeri, anziché lettere. La vera rivoluzione si ebbe invece nel 1600, grazie a Viète.
Euclide di Alessandria d'Egitto, attivo nel 300 a.C. Matematico greco formatosi probabilmente ad Atene presso l'Accademia platonica, insegnò geometria ad Alessandria d'Egitto, dove fondò una scuola di matematica. Nel suo capolavoro, gli Elementi le proprietà algebriche vengono trattate utilizzando segmenti e figure geometriche. Bisogna aspettare il Rinascimento per veder fiorire l’algebra come disciplina autonoma.
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Differenza tra espressione letterale e valore dell’espressione
Espressione Valore dell’espressione
52
3
a
a 121
353
23
3
con a = 3
Caso particolareCaso generale
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Se cambia il valore della variabile
Cambia il valore dell’espressione
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Esempi esplicativi
1. Consideriamo l’espressione letterale 3 + a – 2 b
Diciamo che a e b sono variabili, mentre 3 e 2 sono costanti.
2. Consideriamo l’espressione letterale x + 2 y . Il valore di tale espressione per x = 1 e y = 5 è:
1 + 2 5 = 1 + 10 = 11
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Convenzione di scrittura
Al posto di Scriveremo
x y xy
2 x 2x
3 (x + y) 3(x + y)
Indicheremo generalmente le variabili con le lettere minuscole
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monomi
Espressione in cui compare solo
l’operazione di moltiplicazione
2x3y4 4xy5z ab3 5ax2yb5
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Grado di un monomio
Somma degli esponenti dei fattori letterali
x xy x2y3z5 x0 5
1 1+1=2 002+3+5=10
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Analizziamo un monomio
Coefficiente numerico
Parte letterale
3 x2 y b5
Grado: 2+1+5 = 8
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Esercitazioni
1. Scrivi le espressioni algebriche che indicano le seguenti operazioni:
a. Sommare alla metà di a il doppio di b.
b. Sottrarre al triplo di a il cubo di b.
2. Calcolare il valore numerico delle seguenti operazioni letterali, assegnando alle lettere i valori indicati:
a. -5a+2b+3ab con a = -2 e b = 4 R: [-6]
b. 3a2-6a+3 con a = 3 R: [12]
c. con x = 2 R: [-3]
d. x2+3y-z con x = -5; y = -3; z = 6 R: [10]
2
2x3
1x
1x2
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Esercitazioni
1. Stabilisci quali delle seguenti espressioni algebriche sono monomi:
x2y; a + b; x3y2z; 5a4 – b; x(-y)(z3a4b2); 4(x-y)
2. Per ognuno dei seguenti monomi indica il coefficiente, la parte letterale e il grado:
xyz2; 5x3y4z; 2abc; 8; -a2b4xy5
3. Scrivi un monomio di ottavo grado che abbia come parte letterale solo tre variabili.
4. Scrivi un monomio di sesto grado che sia di quarto rispetto alla lettera y e che abbia coefficiente uguale ad 1.
5
3
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Monomi simili
Hanno la stessa parte letterale
Monomi simili:
2x3yz2 5x3yz2
Monomi non simili:
4xy7 3x2y
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Somma algebrica di monomi
La loro somma restituisce un unico monomio:
2x3yz2 + 5x3yz2 = (2+5) x3yz2 == 7 x3yz2
La loro somma non è un unico monomio
ma un polinomio4xy7 + 3x2y
Monomi simili:
2x3yz2 5x3yz2
Monomi non simili:
4xy7 3x2y
L’insieme dei monomi non è chiusorispetto alla somma
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La somma di due monomi simili è un nuovo monomio che ha come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti e
come parte letterale la stessa parte letterale
La somma di due monomi simili di grado n è ancora un monomio di grado n
5xy + 3xy = (5 + 3)xy = 8xy
5xy ha grado 23xy ha grado 2
(5 + 3)xy = 8xy ha grado 2
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Moltiplicazione di monomi
1. Si moltiplicano i coefficienti numerici2. Si moltiplicano tra loro i fattori letterali3. Se ci sono fattori letterali comuni: si applicano le proprietà delle potenze
Esempio:
5b2 4b3 = = (5 4) b2 b3 = 20 b2+3 =
= 20 b5
Grado = somma dei gradi5 = 2 + 3
L’insieme dei monomi è chiuso rispetto alla moltiplicazione
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Potenza di monomi
La potenza di un monomio è uguale al prodotto delle potenze dei suoi fattori
(-2x2yz3)2 = (-2)2(x2)2(y)2(z3)2 = 4x4y2z6
Grado = grado del monomio base esponente
Grado (-2x2yz3)2 = grado (-2x2yz3) 2 = = (2 + 1 + 3) 2 = 6 2 = 12
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Esercitazioni
1. Indica tra i seguenti gruppi di monomi quelli simili:
a. 3ab2; ab; -b2a; a2b; 5ab; 3a
b. xy; 5ac; -xy; -x2y; axy; 8ac
2. Calcola le seguenti somme di monomi simili ed indica il loro grado:
a. 5ab3 + 3ab3 = grado =
b. 10xy + (-11xy) = grado =
c. -7ac2 + 7ac2 = grado =
3. Calcola i seguenti prodotti ed indica il grado del monomio risultante:
a. -4a2b(-3ab2) = grado =
b. 3xyz(-x2z)(3z2) = grado =
5
3
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Esercitazioni
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Esercitazioni
1. Calcola le seguenti potenze ed indica il grado del monomio risultante:
a. (3xy2)3= grado =
b. (-2a3bc4)5 = grado =
c. [-(-3x2)3]2 = grado =
2. Esegui le seguenti moltiplicazioni dopo aver sommato i monomi simili:
a. R:
b. R:
bca
11
6ac3
5ac4
1ac8
7 2 23bca4
5
222 xy
3
2xy2xy
3
4ax
20
13ax4
3ax5
3 22yax3
4