deber 3 tipantuña cristian nrc1666

Deber de Mtodos Numricos

Primer Parcial

Tipantua Cristian

28 de junio de 2015

Deber 3

ndice

1. Ejercicio 1 2

2. Ejercicio 2 2

3. Ejercicio 3 6

4. Ejercicio 4 7

5. Ejercicio 5 8

6. Ejercicio 6 9

7. Ejercicio 7 13

8. Ejercicio 8 15

9. Ejercicio 9 17

10.Ejercicio 10 18

1

Mtodos Numricos

1. Ejercicio 1

Calcular el nmero de operaciones bsicas (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) enfuncin de la dimencin n, necesarias para realizar un remonte para resolver un sistema Au = B;donde Aes una matriz triangular superior.

SUMA MULTIPLICACION DIV ISION TOTAL1 1 1 32 2 1 53 3 1 7...

......

...n 1 n 1 1 2n 1

suma = 1 + 2 + 3 + . . . + n 1 = n(n1)2

multiplicacion = 1 + 2 + 3 + . . . + n 1 = n(n1)2

division = 1 + 1 + 1 + . . . + 1 = n

total = n(n1)2

+ n(n1)2

+ n = n(n 1)

2. Ejercicio 2

En el sistema siguiente, pruebe que Ax = B es equivalente al sistema triangular superiorUx = y que se da y halle su solucin.

4x1 +8x2 + 4x3 + 0x4 = 8

x1 +5x2 + 4x3 3x4 = 4x1 +44x2 + 7x3 + 2x4 = 10

x1 +83x + 0x3 2x4 = 4

4x1 +8x2 + 4x3 + 0x4 = 8

3x2 + 3x3 3x4 = 64x3 + 4x4 = 12

x4 = 2

A =

4 8 4 01 5 4 31 4 7 21 3 0 2

B =

84104

A X = BX = A1B

X =

3112

2 Tipantua Cristian

Mtodos Numricos

Encontramos L1

M21 = M31 = M41 =14

L1 =

1 0 0 01

41 0 0

14

0 1 01

40 0 1

Despues encontramos A(2)

A(2) = L1 A

A(2) =

1 0 0 01

41 0 0

14

0 1 01

40 0 1

4 8 4 01 5 4 31 4 7 21 3 0 2

A(2) =

4 8 4 00 3 3 30 2 6 20 1 1 2

De igual manera encontramos a L2 y A(3)

M32 =23

M42 =13

L2 =

1 0 0 00 1 0 00 2

31 0

0 13

0 1

A(3) =

1 0 0 00 1 0 00 2

31 0

0 13

0 1

4 8 4 00 3 3 30 2 6 20 1 1 2

A(3) =

4 8 4 00 3 3 30 0 4 10 0 2 1

Finalmente L2y A(4)

M32 = 12

L =

1 0 0 00 1 0 00 0 11 00 0 1

21

3 Tipantua Cristian

Mtodos Numricos

A(4) =

1 0 0 00 1 0 00 0 11 00 0 1

21

4 8 4 00 3 3 30 0 4 10 0 2 1

A(4) =

4 8 4 00 3 3 30 0 4 40 0 0 1

A(4) = U

Encontramos L

L = L11 L12 L13

L =

1 0 0 0

14

1 0 0

14

23

1 0

14

13

12

1

L Y = B

1 0 0 0

14

1 0 0

14

23

1 0

14

13

12

1

x1x2x3x4

=

8

4

10

4

y encontramos Y

Y = L1 B

Y =

86122

U X = Y

4 Tipantua Cristian

Mtodos Numricos

4 8 4 00 3 3 30 0 4 40 0 0 1

x1x2x3x4

=

86122

X = U1 Y

X =

3112

Observaciones: Si se comprob que A X = B es igual que U X = Y

5 Tipantua Cristian

Mtodos Numricos

3. Ejercicio 3

Resolver con calculadora (a mano) el siguiente sistema de ecuaciones, aplicando la eliminacingaussiana:x1 + 8x2 5x3 =33x1 2x2 + 3x3 = 12x1 + 3x2 x3 = 4 1 8 53 2 32 3 1

x1x2

x3

= 31

4

3 2 32 3 1

1 8 5

x1x2

x3

= 14

3

M21 =

23;M31 =

13

3 2 3 12 3 1 41 8 5 3

=

3 2 3 1

0 133

3 103

0 263

6 83

M21 =

13/326/3

= 23 2 3 1

0 133

3 103

0 0 0 4

EL SISTEMA NO TIENE SOLUCIN

6 Tipantua Cristian

Mtodos Numricos

4. Ejercicio 4

Halle la solucin del siguiente sistema lineal, con calculadora y a mano

x1 + x2 = 5

2x1 x2 + 5x3 = 93x2 4x3 + 2x4 = 192x3 + 6x4 = 21 1 0 02 1 5 00 3 4 20 0 2 6

x1x2x3x4

=

59192

M21 = 2

1 1 0 0 50 3 5 0 190 3 4 2 190 0 2 6 2

M32 =

33

= 11 1 0 0 50 3 5 0 190 0 1 2 00 0 2 6 2

M34 =

21

= 2

1 1 0 0 50 3 5 0 190 0 1 2 00 0 0 2 2

1 1 0 00 3 5 00 0 1 20 0 0 2

x1x2x3x4

=

519

02

x4 =

22

= 1

x3 = 2(1) = 2

7 Tipantua Cristian

Mtodos Numricos

x2 =195(2)3 = 3

x1 = 5 (3) = 2

Resultados

x1 = 2; x2 = 3; x3 = 2; x4 = 1

5. Ejercicio 5

Demuestre que la inversa de una matriz triangular superior es una matriz triangular superior.a11 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n...

.... . .

...0 0 . . . ann

*

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . . 0

0 0 . . . 1

a11 a12 . . . a1n... 1 0 . . . 0

0 a22 . . . a2n... 0 1 . . . 0

......

. . ....

......

.... . .

...

0 0 . . . ann... 0 0 . . . 1

1 a12a11

. . . a1na11

... 1a11

0 . . . 0

0 1 . . . a2na22

... 0 1a22

. . . 0...

.... . .

......

......

. . ....

0 0 . . . 1... 0 0 . . . 1

ann

1 a12a11

. . . 0... 1

a110 . . .

(a1na11

)(1

ann

)0 1 . . . 0

... 0 1a22

. . . (

a2na22

)(1

ann

)...

.... . .

......

......

. . ....

0 0 . . . 1... 0 0 . . . 1

ann

1 a12a11

. . . 0... 1

a11(

a12a11

)(1

a22

). . .

(a1na11

)(1

ann

)+(

a12a11

)(1

a22

)(a2na22

)(1

ann

)0 1 . . . 0

... 0 1a22

. . . (

a2na22

)(1

ann

)...

.... . .

......

......

. . ....

0 0 . . . 1... 0 0 . . . 1

ann

Observaciones: Si se desmuestra que la inversa de una matriz triangular superior es una matriz

superior

8 Tipantua Cristian

Mtodos Numricos

6. Ejercicio 6

Dada la siguiente matriz, realizar a mano la factorizacin PA = LU y comprobar con unprograma de computacin.

A =

2 3 8 14 0 1 1016 4 2 10 7 1 5

Hallamos el valor de P para reordenar la matriz

P1 =

0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1

Por tanto A(1) = P1 A(1)

A(1)=

16 4 2 14 0 1 102 3 8 10 7 1 5

Encontramos L1

M21 =14;M31 = 18

L1 =

1 0 0 0

14

1 0 0

18

0 1 0

0 0 0 1

A(2) lo obtenemos multiplicando L1*A(1)

A(2) =

16 4 2 1

0 1 32

414

0 72

334

78

0 7 1 5

Encontramos P2

9 Tipantua Cristian

Mtodos Numricos

P2 =

1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

Por tanto A(2) = P2 A(2)

A(2) =

16 4 2 1

0 7 1 5

0 72

334

78

0 1 32

414

Encontramos L2:

M32 = 12 ;M42 = 17

L2 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 12

1 0

0 17

0 1

A(3) = L2 A(2)

A(3) =

16 4 2 1

0 7 1 5

0 0 314

278

0 0 1357210000

9535710000

Como en A(3) no es necesario cambiar las P3 es igual

P3 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Por tanto A(3) = A(3) y encontramos L3

M43 =1357

775500

10 Tipantua Cristian

Mtodos Numricos

L3 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 13571

775001

Por lo tanto:

A(4) = L3 A(3)

U = A(4) =

6 4 2 1

0 7 1 5

0 0 314

278

0 0 0 10126710000

Encontramos nalmente L y P

L = L11 L12 L13

L =

1 0 0 0

14

1 0 0

18

12

1 0

0 142910000

175110000

1

P = P1 P2 P3

P =

0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0

Exposicin de resultados calculados a MANO

L =

1 0 0 0

14

1 0 0

18

12

1 0

0 142910000

175110000

1

;U =

16 4 2 1

0 7 1 5

0 0 314

278

0 0 0 10126710000

;


Mtodos Numricos

P =

0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0

Exposicin de resultados calculados por MATLAB

function [L U P]=fac_LUP(A)

[n n1]=size(A);

if n~=n1

error('No se puede descomponer');

end

L=eye(n);

P=eye(n);

for k=1:n-1

[m1,m2]=max(abs(A(k:n,k)));

if m1==0

disp('la matriz ingresada es singular');

end

p=k+m2-1;

A=Intercambio_Filas(A,k,p);

U=A;

P=Intercambio_Filas(P,k,p);

for k=1:n-1

for j=k+1:n

factor1=(U(j,k)/U(k,k));

U(j,k:n)=U(j,k:n)-(U(j,k)/U(k,k))*U(k,k:n);

L(j,k)=factor1;

end

end

end

end

RESULTADOS AL INGRESAR LA MATRIZ A

>> [L U P]=fac_LUP(A)

L =

1.0000 0 0 0

0 1.0000 0 0

0.1250 -0.5000 1.0000 0


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0.2500 -0.1429 0.1751 1.0000

U =

16.0000 4.0000 -2.0000 1.0000

0 7.0000 -1.0000 5.0000

0 0 7.7500 3.3750

0 0 0 -10.1267

P =

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

NOTA: Se pudo comprobar con el programa de MATLAB los resultados hechos a MANO

7. Ejercicio 7

Considere la funcin f(x) = x2ex2: Se pide calcular un valor aproximado para la integral de

f(x) en el intervalo [-2, 2] usando el polinomio de Lagrange, calculado a mano, que interpola f(x)en los puntos x0 = 2; x1 = 11; x2 = 0; y x4 = 2:

RESOLUCIN A MANO


Mtodos Numricos


Mtodos Numricos

8. Ejercicio 8

Con el siguiente conjunto de nodos:

xi 40 60 80 100 120 140 160yi 0.63 1.36 2.18 3.00 3.93 6.22 8.59

Obtener el valor de la funcin para x = 90, con un polinomio de 2do: grado, utilizando lossiguientes mtodos:a) Por interpolacin polinomial simple.b) Por interpolacin de Lagrange. (Aplicando el programa)c) Construya solo la matriz de diferencias divididas para aproximar todos los puntos de la tabla.d) Evaluar el polinomio interpolador de Newton, de tercer grado, para x=1.75.RESOLUCIN A MANO


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Mtodos Numricos

En el literal b tenemos la Funcin en Matlab

function [ cont ] = interpolLagrange( x,fx )

%UNTITLED2 Summary of this function goes here

% Detailed explanation goes here

s1=length(x);

s2=length(fx);

cont=0;

for k=1:s1

cont=cont+fx(k)*lagrange(x,k);

end

end

y anmente aplicamos a la pantallla de comandos

x=[40 60 80 100 120 140 160]

x =

40 60 80 100 120 140 160

>> fx=[0.63 1.36 2.18 3 3.93 6.22 8.59]

fx =

0.6300 1.3600 2.1800 3.0000 3.9300 6.2200 8.5900

>> [ cont ] = interpolLagrange( x,fx )

cont =

-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0015 -0.0911 2.9206 -37.1100


Mtodos Numricos

9. Ejercicio 9

El polinomio P (x) = 2 (x + 1) + x(x + 1) 2x(x + 1)(x 1) interpola los primeros cuatronodos de la tabla:

x -1 0 1 2 3y 2 1 2 -7 10

Aada un trmino a P de tal forma que el polinomio resultante interpole la tabla entera.

RESOLUCIN A MANO

10. Ejercicio 10

La ecuacin x 9x = 0 tiene una solucin en el intervalo [0; 1]. Utilice la teora de interpola-cin polinomial en los nodos x0 = 0, x1 = 0,5, x2 = 1, para encontrar una solucin aproximada x


Mtodos Numricos

de la ecuacin. (Aplicar los programas)Primero vamos a realizar la tabla con los puntos

x 0 0.5 1y -1 1/6 8/9

Los programas que vamos a utilizar son las siguientes funciones

function [ C ] = newtonInterpolacion2( x,f )

%UNTITLED3 Summary of this function goes here


m=length(x);

A=zeros(m,m);

A(:,1)=f';

for j=2:m

for k=j:m

A(k,j)=(A(k,j-1)-A(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1));

end

end

C=A(m,m);

for k=m-1:-1:1

C=conv(C,poly(x(k)));

mm=length(C);

C(mm)=C(mm)+A(k,k);

end

end

luego para resolver el polinomio de segundo grado un simple programa de ecuaciones de segundogrado.

function [ X1,X2 ] = Ec_2do_grado( a,b,c )

%UNTITLED Summary of this function goes here


X1=(-b+ sqrt(b^2-4*a*c) )/2*a;

X2=(-b- sqrt(b^2-4*a*c) )/2*a;

fprintf('X1= %5.3f \n',X1);

fprintf('X2= %5.3f \n',X2);

end


Mtodos Numricos

y nalmente la ejecucin en Matlab en Command Window es la siguiente

x=[0 0.5 1]

x =

0 0.5000 1.0000

>> f=[-1 1/6 8/9]

f =

-1.0000 0.1667 0.8889

>> [ C ] = newtonInterpolacion2( x,f )

C =

-0.8889 2.7778 -1.0000

>> a=-0.8889

a =

-0.8889

>> b=2.7778

b =

2.7778

>> c=-1

c =

-1

>> [ X1,X2 ] = Ec_2do_grado( a,b,c )

X1= 0.328

X2= 2.141


Mtodos Numricos

X1 =

0.3280

X2 =

2.1412

y nalmente tenemos la solucion en el intervalo [0,1] es la x1 = 0,3280


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