dÃy sỐ - cẤp sỐ

GIẢI TÍCH 11

GV: PHAN NHẬT NAM

DÃY SỐ - CẤP SỐ


GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

A. Cơ sở lý thuyết :

1. Mục đích : Phương pháp quy nạp dùng để chứng minh các mệnh đề chứa biến P(n), với

biến n là các số nguyên dương.’

Bước 1: Chứng minh P(n) là mệnh đề đúng với n = p

Bước 2: Từ giả thuyết P(n) là mệnh đề đúng với n = k, ta phải chứng minh P(n)

cũng là mệnh đề đúng với n = k + 1

2. Các cách chứng minh quy nạp thông dụng :

Loại 1: Chứng minh đẳng thức )()( ngnf : Từ đẳng thức )()( kgkf ta thêm

một vài đại lương để có được )()1( khkf . Ta cần chứng minh

)1()( kgkh

Loại 2: Chứng minh bất dẳng thức )()( ngnf : Từ bất đẳng thức )()( kgkf

ta thêm một vài đại lương để có được )()1( khkf . Ta cần chứng minh

)1()( kgkh

Loại 3: Chứng minh nu chia hết cho số a. Từ giả thuyết ku chia hết cho a, biến đổi

biểu thức 1ku về dạng )(..1 kfaubu kk trong đó a, b là các số nguyên suy ra

1ku cũng chia hết cho a.

B. Bài tập áp dụng :

câu 1 : CMR: *Nn

a. 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n2

b. 1 4 7 10 ... (3 2) (3 1)2

nn n

c. 12 + 2

2 + 3

2 + ... + n

2 =

6

)12)(1( nnn

d. 13 + 2

3 + 3

3 + ... + n

3 =

4

)1( 22 nn

e. 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) = 3

)2)(1( nnn.

câu 2 : CMR: *Nn

a. 2n > 2n + 3 (n 4)

http://www.toanhocdanang.com/



b.

( 1)

2 22 ... sin

2

nx n xsin sin

sinx sin x nxx

sin

c. (1 + a)n > 1 + na (a > 0, n 2) c.

1 11 ... 2

2n

n

câu 3 : CMR: *Nn

a. (13n - 1) chia hết cho 12

b. (19n - 1) chia hết cho 9.

c. 2 2 2 17.2 3n n chia hết cho 5 ( 1n ).

d. 3 2 3 15.3 2n n chia hết cho 19. ( 1n ).

câu 4 : Chứng minh rằng với số tự nhiên 1n ta có :

)12.....(5.3.12))...(2)(1( nnnnnT n

n

câu 5 : Chứng minh rằng với số tự nhiên 0n ta có :

sin2

2sin2cos....2cos.2cos.cos

1

12

n

nn

nS

câu 6 : Chứng minh rằng với số tự nhiên 2n , và 1x thì bất đẳng thức sau luôn

đúng : nnn xx 2)1()1(

câu 7 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương 5n , ta đều có: 22 nn

câu 8 : Cho a > 0 , b > 0. Chứng minh 22

nnnbaba

với *Nn

câu 9 : Cho naaa ,...,, 21 cùng dấu, niai ,1,01 Chứng minh rằng :

nn aaaaaaaa ...1)1)...(1)(1)(1( 321321

câu 10 : Tính tổng : ôsn

S

2...22...222222

câu 11 : Daõy soá (an) ñöôïc cho nhö sau: 1 12, 2

n na a a

vôùi n = 1, 2, …

Chöùng minh raèng vôùi moïi n N* ta coù: 1

2cos

2n na

.

câu 12 : Chöùng minh raèng soá ñöôøng cheùo cuûa moät ña giaùc loài n caïnh laø ( 3)

2

n n .




DÃY SỐ

A. Cơ sở lý thyết :

1. Định nghĩa : nun

RNu

*:

2. Tính chất :

a. Tính đơn điệu của dãy số :

i. Dãy nu được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n, ta có : 1 nn uu

ii. Dãy nu được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n, ta có : 1 nn uu

b. Tính chất bị chặn của dãy số :

i. Dãy số nu được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

*Nn thì Mun

ii. Dãy số nu được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

*Nn thì mun

iii. Dãy số nu được gọi là dãy số bị chặn , nếu vừa bị chặn trên và vừa bị chặn

dưới, tức là tồn tại hai số M, n sao cho *Nn thì muM n


câu 1 : Sáu số hạng đầu tiên của một dảy số là :

70;37;20;11;6;3 654321 uuuuuu

a. Lập số hạng tổng quát của một dãy số thỏa 6 số dạng đầu cho ở trên .

b. 935, 1034 có thuộc dãy số trên không.

câu 2 : Cho dãy số :

nacn

n uuuu 2...22...;;222;22;2: 321 Chứng minh rằng :

nu là dãy số tăng và bị chặn.

câu 3 : Cho dãy số nu với số hạng tổng quát :

n

nn

u

11

Chứng minh nu là dãy số tăng .

câu 4 : Cho dãy số nacn

nu 6...66 . Chứng minh nu là dãy tăng và bị chặn




câu 5 : Xét tính đơn điệu của dãy số :

a. n

nun

12 c. n

nu 31

b. nn

nu

3 d.

nn

nun

2

2 13 e.

2n n

nu

câu 6 : Xét tính bị chặn của dãy số :

a. nn

nun

2

2 13 c.

nun

.2cos

b. 2

n n

nu d.

n

nu

5

2

câu 7 : Cho dãy số nu :

nn uu

u

.2

3

1

1

Xác định công thức tổng quát của nu


1.2

1

1

1

nn uu

u Xác định công thức tổng quát của nu


1.2

2,1

21

21

nnn uuu

uu Xác định công thức tổng quát của nu


21

21

.2.3

3,2

nnn uuu



3

4

3

1

1

nn

uu

u

Xác định công thức tổng quát của nu từ đó

suy ra dãy số nu giãm và bị chặn dưới.


4

3

0

1

1

nn

uu

u

Xác định công thức tổng quát của nu từ đó

suy ra dãy số nu giãm và bị chặn dưới


2.2

1,0

11

21

nnn uuu





CẤP SỐ CỘNG


1. Định nghĩa cấp số cộng : nu là cấp số công duun nn 1,2 (d là hằng số )

2. Tính chất :

a. Số hạng tổng quát của cấp số cộng : *,)1(1 Nndnuun

b. nu là cấp số công và nk 2 ta có : 2

11 kk

k

uuu

c. Tổng của n số hạng đầu tiên :

2

.)1(2

2

)( 11

1

ndnunuuuS n

n

i

in

B. Các dạng bài tập cơ bản :

Loại 1: Xác định cấp số cộng thỏa mãn các điều kiện cho trước :

Phân tích giả thuyết để tìm được 2 giả thuyết có liên quan đến cấp số cộng cần tìm

Gọi u1 và d lần lượt là số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng cần tìm. Từ 2 dử

kiện ở bước 1 sử dụng các công thức ở phần A để thiết lập một hệ phương trình gồm

2 biến u1 và d

Giải hệ phương trình ở bước 2 ta có được u1 và d. Khi đó cấp số cộng cần tìm là :

Ví dụ 1: Giả sử nu là cấp số cộng. Tìm cấp số cộng đó nếu biết :

1170

60

2

12

2

4

157

uu

uu

Giải :

Loại này ta chỉ cần sử dụng công thức :

Ta có : duu 617 duu 14115 duu 314 duu 11112

Gt

063365

1030

1170)730()730(

1030

1170)11()3(

60202

2

1

22

1

2

1

2

1

1

dd

du

dd

du

dudu

du

3

01

d

u hoặc

5

3

361

d

u

Vậy có hai cấp số cộng thỏa yêu cầu bài toán là : 3)1( nun và 5

3)1(36 nun

*,)1(1 Nndnuun

*,)1(1 Nndnuun




Ví dụ 2: Hãy xen vào giữa hai số 2 và 37 sáu số ,để tám số đó lập thành cấp số cộng

Giải :

Giả sử cấp số cộng thỏa yêu cầu là dnuun )1(1 (với u1 : số hạng đầu d: công sai)

Theo giả thuyết ta có : 21 u và 378 u . Khi đó ta có :

57237718 ddduu

Vầy 6 sô được xen vào giữa thủa yêu cầu bài toán là : 7, 12, 17, 22, 27, 32

Ví dụ 3: Hãy tìm cấp số cộng thỏa tính chất :

*,3 2 NnnnSn trong đó nn uuuuS ...321

Giải :

Bình luận : Trong bài toán này người ta chỉ cho một giả thuyết, thế nhưng muốn tìm ra

công thức tổng quát ta cần có ít nhất 2 giả thuyết .

Ta lại để ý giả thuyết trên đúng *Nn nên với mỗi số tự nhiên 0n cụ thể ta thu

được một phương trình , thế nhưng với cách nghĩ đó thì ta chỉ kiểm tra được bài toán

đúng với vài giá trị cụ thể của n chứ không đúng vì vậy ta phải giải bài toán

trên theo phương pháp điều kiện cần và điều kiện đủ, cụ thể như sau:

Điều kiện cần :

Vì bài toán đúng *Nn nên với n = 1 và n = 2 thì bài toán đúng tức là ta có:

411.31 2

11 uSn (1)

1422.32 2

212 uuSn (2)

Từ (1) và (2) ta có : 6)1(46

4

10

4

10

4 1

1

1

2

1

nu

d

u

du

u

u

un

Điều kiện đủ :

Xét cấp số cộng có công thức tổng quát : 6)1(4 nun *Nn ta có :

nnSnnnnndnu

S nn

21 3)1(342

)1(68

2

)1(2

Vậy cấp số cộng 6)1(4 nun thỏa yêu cầu bài toán

*Nn




Loại 2: Các bài toán chứng minh ba số a, b, c nào đó lập thành cấp số cộng :

Phân tích giả thuyết để có được một đẳng thức theo a, b, c : 0),,( cbaf (1)

dùng các phép biến đổi đại số để đưa (1) về dẳng thức bcabcacba 20)2)(,,(

từ đó theo tính cấp số cộng ta có : a, b, c theo thứ tự đó tạo thành cấp số cộng (đpcm)

Chú ý : nn uuuuu ,,...,, 1321 là cấp số cộng duuuuuuuu nn 1342312 ...

Ví dụ 1: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng ba số a, b, c lập thành cấp số cộng khi và

chỉ khi abcacb

1;

1;

1 cũng lập thành cấp số cộng.

Giải :

Ta có : là cấp số cộng

caab

bc

cacb

ab

bcabcabbcbcabab 2

a, b, c lập thành cấp số cộng (đpcm)

Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong tam giác ABC nếu 2

tan,2

tan,2

tanCBA

lập thành cấp số

cộng thì CBA cos,cos,cos cũng lập thành cấp số cộng :

Bình luận : Với các bài toán lượng giác trong tam giác thì ngoài các chú ý trên phương

pháp ta cần phải luôn để ý các tính chất của hệ thức lượng cơ bản trong tam giác:

Trong tam giác ABC ta có các công thức sau

Định lý hàm số sin : RA

BC

B

AC

C

AB2

sinsinsin

Định lý hàm số cosin : BCABCACBCACAB ˆcos..222

CBABCABBCABAC ˆcos..222

BACABACABACBC ˆcos..222

abcacb

1;

1;

1

caabcbca

1111




2

)22

()2

(B

SinB

SinCA

Sin

, 2

)22

()2

(B

SinB

CosCA

Cos

BBCASin sinsin , CosBBCosCACos

Giải :

Vì lập thành cấp số cộng nên ta có : 2

tan22

tan2

tanBCA

2

cos2

cos2

sin22

cos2

sin

2cos

2sin

2

2cos

2cos

2sin

2cos

2cos

2sin

CABBCA

B

B

CA

CACA

2cos

2cos

2sin

2cos

22sin

CACABBB

2

cos2

sin22

cos2

sin2

cos2 CABBBB

2

cos2

coscos2

cos22

sin2

sin2

cos 22 CACAB

CACABB

BCACAB cos2coscoscoscos2

1cos là cấp số cộng

Loại 3: Các bài toán chứng minh tính chất của cấp số cộng :

Phân giả thuyết theo u1 và d : f(u1, d) = 0 (1)

Sử dụng các công thức để biến đổi một về của đẳng thức cần chứng minh:

VT = g(u1, d) (2)

Thay (1) vào (2) ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ : Giả sử nu là cấp số cộng có tính chất : 2

2

n

m

S

S

n

m với nm .

Chứng minh rằng : 12

12

n

m

u

u

n

m

Giải :

Theo giả thuyết ta có :

n

m

dnu

dmu

n

m

ndnu

mdmu

n

m

S

S

n

m

)1(2

)1(2

2

)1(22

)1(2

1

1

2

2

1

1

2

2

1111 202)1(2)1(2 udmndudmnmudnmnu {vì nm }

2tan,

2tan,

2tan

CBA

CBA cos,cos,cos




12

12

]2)1(1[

]2)1(1[

)1(

)1(

1

12

1

11

n

m

nu

mu

dnu

dmu

u

u ud

n

m(đpcm)

Loại 4: Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm tạo thành cấp số cộng :

Bài toán 1: Tìm điều kiện để phương trình 023 dcxbxax có ba nghiệm lập

thành cấp số cộng :

Cách giải 123 0 dcxbxax Giả sử (1) có 3 nghiệm 321 ;; xxx

Khi đó ta có ĐNT : Rxxxxxxxadcxbxaxxf ,))()(()( 321

23

Rxxxaxxxxxxxxaxxxxaaxdcxbxax ,)()( 321133221

2

321

323

(*)321a

bxxx

Đều kiện cần : Để đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm 321 ;; xxx lập thành cấp số cộng

thì 231 2xxx thay vào (*) ta có a

bx

32 là một nghiệm của (1) điều kiện của

m.

Đều kiện đủ : Thay m tìm được ở trên vào phương trình một để kiểm tra lại :

Với m nào mà phương trình (1) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng thì được

chọn . Khi giải lại (1) với m cụ thể cần để ý (1) đã có sẵn một nghiệm a

bx

32

Ví dụ : Tồn tại hay không m để phương trình sau có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng:

01223 23 mxxx .

Giải

Giả sử phương trình (1)

có 3 nghiệm 321 ;; xxx

Khi đó ta có ĐNT : Rxxxxxxxmxxxxf ,))()((1223)( 321

23

Rxxxxxxxxxxxxxxxxmxxx ,)()(1223 321133221

2

321

323

01223 23 mxxx




(*)3321 xxx

Đều kiện cần : Để phương trình có 3 nghiệm 321 ;; xxx lập thành cấp số cộng thì

231 2xxx thay vào (*) ta có 12 x là một nghiệm của (1)

0121.21.31 23 m m = 2

3

Đều kiện đủ : Với m = 2

3 ta có : phương trình (1) trở thành 0423 23 xxx

5151042

10421

2

2

xvàxxx

xxxx

Vậy khi m = 2

3 thì phương trình đã cho có 3 nghiệm: 51 , 1, 51 lập thành cấp

số cộng có công sai là d = 5

Bài toán 2: Tìm điều kiện để phương trình : 024 cbxax có 4 nghiệm lập thành

cấp số cộng :

Cách giải : 224 0 cbxax

Đặt 02 xt khi đó (2) )3(2 0 cbtat

(2) có 4 nghiệm phân biệt (3) có 2 nghiệm dương phân biệt 21; tt

(*)

0

0.

04

21

21

2

m

a

btt

a

ctt

acb

Khi đó (2) có 4 nghiệm : 24131221 ;;; txtxtxtx (trong đó 210 tt )

Để 4321 ;;; xxxx lập thành cấp số cộng 342312 xxxxxx

121212112 932 ttttttttt

Kết hợp Viét cho phương trình (3) ta có được giá trị m sau đó kiểm tra điều kiện (*)




Ví dụ : Tìm m để PT: 01)55( 24 mxmx có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng.

Giải

Đặt 02 xt khi đó (2) )3(2 01)55( mtmt

(2) có 4 nghiệm phân biệt (3) có 2 nghiệm dương phân biệt 21; tt

(*)25

21

055

01.

0214625

21

21

2

m

mtt

mtt

mm

Khi đó (2) có 4 nghiệm : 24131221 ;;; txtxtxtx (trong đó 210 tt )

Để 4321 ;;; xxxx lập thành cấp số cộng

121212112 932 ttttttttt (a)

Theo viét cho phương trình (3) ta có

)(1

)(55

21

21

cmtt

bmtt

Thay (a) vào (b) ta có )1(2

9)1(

2

121 mtmt thay vào (c) ta có :

9

5

1

1)1(4

9 2

m

m

mm { m = - 1 bị loại so với (*)}

Khi m = - 9

5 thì (3) trở thành 2

9

204209 21

2 tvàttt

Vậy m = - 9

5 thì phương trình đã cho có 4 nghiệm 2;

3

2;

3

2;2 lập thành cấp

số cộng có công sai là d = 3

22

342312 xxxxxx




C. Bài tập áp dụng :

câu 1 : Giả sử nu là cấp số cộng. Tìm cấp số cộng đó nếu biết :

17

10

61

351

uu

uuu

câu 2 : Giả sử nu là cấp số cộng. Tìm cấp số cộng đó nếu biết :

2

45

9

6

4

S

S

câu 3 : Tính tổng : 9932 2.288...2.102.72.41 S


2;12

2

11

21

nuuu

uu

nnn

1. Chứng minh rằng : nnn uuv 1 là cấp số cộng.

2. Từ đó suy ra công thức thính nu theo n

câu 5 : Giả sử nu là cấp số cộng có tính chất : n

m

u

u

n

m với nm .

Chứng minh rằng : )1(

)1(

nn

mm

S

S

n

m

câu 6 : Hỏi ba số 1, 3 , 3 có đồng thời thuộc cấp số cộng nào không

câu 7 : Cho 3 cạnh a, b, c của tam giác ABC lập thành cấp số cộng.

Chứng minh rằng : 2

sin3sin.sin 2 BCA

câu 8 : Cho nu là cấp số cộng có các số hạng đều dương. Tính tổng :

nn uuuuuuuuS

1433221

1...

111 theo 1u và n

câu 9 : (BT vui) Cho 10 hàng gạch, mỗi hàng gồm 10 viên. Bề mặt ngoài giống hệt

nhau. Trong 10 hàng gạch này thì có đúng một hàng sai quy cách (đúng quy cách là

mọi viên trong hàng đều nặng 1kg, sai quy cách là mọi viên trong hàng đều nặng 0,9kg

). Hỏi bằng cách nào để từ một lần cân có thể phát hiện được hàng gạch sai quy cách .

câu 10 : Tính tổng các nghiệm thuộc 2008,1 của phương trình

câu 11 : Chứng minh rằng nếu 222 ,, cba lập thành cấp số cộng thì abcacb

1,

1,

1

theo thứ tự đó cũng lập thành cấp số cộng




CẤP SỐ NHÂN


1. Định nghĩa cấp số nhân : nu là cấp số nhân quun nn .,2 1 (q là hằng số )

2. Tính chất :

a. Số hạng tổng quát của cấp số nhân : *,1

1 Nnquu n

n ( 1p )

b. nu là cấp số nhân và nk 2 ta có : 11

2 . kkk uuu

c. Tổng của n số hạng đầu tiên : 1

)1(1

1

q

quuS

nn

i

in )0,1( qq


Loại 1: Xác định cấp số nhân thỏa mãn các điều kiện cho trước :

Phân tích giả thuyết để tìm được 2 giả thuyết có liên quan đến cấp số nhân cần tìm

Gọi u1 và d lần lượt là số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân cần tìm. Từ 2 giả

thuyết ở bước 1 sử dụng các công thức ở phần A để thiết lập một hệ phương trình

gồm 2 biến u1 và d. ta cần để ý them công thức :

nkNnquu kn

kn 1*,,

Giải hệ phương trình ở bước 2 ta có được u1 và d. Khi đó cấp số cộng cần tìm là :

*,1

1 Nnquu n

n

Ví dụ : Bốn số lập thành một cấp số nhân.Nếu theo thứ tự ta bỏ bớt ở 4 số đó đi 2,1,7,27

thì được một cấp số cộng.Tìm cấp số nhân.

Giải

Gọi cấp số cộng về sau là dududuu 3,2,, 1111 ; thì cấp số nhân ban đầu là

273,72,1,2 1111 dududuu

Theo tính chất của cấp số nhân suy ra hệ sau đây :


http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=122








Với d=8 ta có cấp số nhân phải tìm là : 7, 14, 28, 56 ;

Với d=-6 ta có cấp số nhân phải tìm là : 7, 0, 0 , 14 (loại )

Vậy chỉ có duy nhất một cấp số nhân thỏa mãn yêu cầu đề ra là :7, 14 , 28 , 56 .

Loại 2: Các bài toán chứng minh các số lập thành cấp số nhân, tính chất của cấp số nhân :

Cách giải tương tự như ở loại 2, 3 trong bài cấp số cộng :

Ví dụ : Cho ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Chứng minh rằng : 222))(( cbacbacba

Giải

222))(( cbacbacba (1)

VT(1) = 22222 2)()()( bcacabcabcabca (2)

Theo giả thuyết : a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có : 2. bca (3)

Thay (3) vào (2) ta có : VT(1) 2222222 2 cbabcba (đpcm)

Loại 3: Các bài toán tính tổng :

Ví dụ : Tính tổng : 992 2.100...2.32.21 S

Giải

Từ giả thuyết ta có : 1009932 2.1002.99...2.32.222 S

9921009932 2.100...2.32.212.1002.99...2.32.222 SSS

1009932 2.1002).99100(...2).43(2).23(2)12(1

= 10099

10099432 2.10012

)12(.212.1002...22221

12.99122.100 100100100







Ví dụ : Giả sử nu là cấp số nhân. Trong đó niui ,1,0

Biết rằng : nuuuu ...321 nuuuu

1...

111

321

Chứng minh rằng : n

n

nuuuu

...... 321

Giải

Gọi u1 , q là số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân theo giả thuyến khi đó ta có

Dãy số

nu

1 cũng là cấp số nhân có công bội là

q

1 và số hạng đầu là

1

1

u

Thật vậy : Vì nu là cấp số nhân nên ta có : 1

1. n

n quu

Xét : quuqqu

qu

qu

qu

u

u

nn

n

n

n

n

n

n 1.

111

.

.

.

1

.

1

1

1

1

1

1

2

1

2

1

1

1

1

vì q không đổi nên q

1 . Vậy theo định

nghĩa của cấp số nhân ta có

nu

1 cũng là cấp số nhân có công bội là

q

1

Khi đó ta có :

)1(

)1(

)1(

)1(

11

)11

(1

1...

111'

1

)1(...

1

1

1

11

321

1321

qqu

q

qq

qu

q

qu

uuuuS

q

quuuuuS

n

n

n

nn

n

n

n

nn

2

)1(

1

)1(2

1

12

1

1

11

)1(

)1(.

1

)1(

nnnnnn

n

nn

n

nn

quququq

qqu

q

qu

(1)

Mặt khác ta có : 1

1

3

1

2

111321 .............. n

n ququququuuuuu

2

)1(

1

)1(...4321

1

nn

nnnququ (2)

Từ (1) và (2) ta có : n

n

nuuuu

...... 321 (đpcm)




Loại 4: Tìm điều kiện để phương trình 023 dcxbxax có ba nghiệm lập thành cấp

số nhân :

Cách giải : 123 0 dcxbxax Giả sử (1) có 3 nghiệm 321 ;; xxx

Khi đó ta có ĐNT : Rxxxxxxxadcxbxaxxf ,))()(()( 321

23

Rxxxaxxxxxxxxaxxxxaaxdcxbxax ,)()( 321133221

2

321

323

(*).. 321a

dxxx

Đều kiện cần : Để phương trình có 3 nghiệm 321 ;; xxx lập thành cấp số nhân thì

2

231. xxx thay vào (*) ta có 32

a

dx là một nghiệm của (1) điều kiện của m.

Đều kiện đủ : Thay m tìm được ở trên vào phương trình (1) để kiểm tra lại :

Với m nào mà phương trình (1) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân thì được chọn

Khi giải lại (1) với m cụ thể cần để ý (1) đã có sẵn một nghiệm 32

a

dx

Ví dụ : Tìm m để phương trình : 08)45()13( 23 xmxmx có 3 nghiệm lập thành

cấp số nhân.

Giải

Cách giải : 08)45()13( 23 xmxmx (1)

.Giả sử (1) có 3 nghiệm 321 ;; xxx

Khi đó ta có ĐNT : Rxxxxxxxxmxmxxf ,))()((8)45()13()( 321

23

Rxxxxxxxxxxxxxxxxxmxmx ,)()(8)45()13( 321133221

2

321

323

(*)8.. 321 xxx

Đều kiện cần : Để phương trình có 3 nghiệm 321 ;; xxx lập thành cấp số nhân là

2

231. xxx thay vào (*) ta có 2832 x là một nghiệm của (1)




2024082)45(2)13(2 23 mmmm

Đều kiện đủ : Khi m = 2 thì phương trình (1) trở thành :

4,2,10)45)(2(08147 223 xxxxxxxxx

Vậy khi m = 2 thì (1) có 3 nghiệm là 1 ; 2 ; 4 theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân có

công bội là q = 2

C. Bài tập áp dụng :

câu 12 : Giả sử nu là cấp số nhân. Tìm cấp số cộng đó nếu biết :

21

168

654

321

uuu

uuu

câu 13 : CMR với mọi cấp số nhân với công bội 1q ta có : nn

nn

nn

n

SS

SS

SS

S

23

2

2

câu 14 : Cho cấp số nhân a, b, c, d. Chứng minh : 2222 )()()( dabdaccb

câu 15 : Cho tam giác ABC có 3 góc A,B,C lập thành cấp số nhân có công bội q = 2.

Chứng minh rằng : cba hhh ( cba hhh ,, là các đường cao kẻ từ A, B, C)

câu 16 : Tìm một cấp số nhân có 4 số hạng đầu thỏa mãn hệ thức :

85

15

2

4

2

3

2

2

2

1

4321

uuuu

uuuu

câu 17 : Dãy nu xác định như sau :

11

21

23

3,2

nnn uuu

uuhãy xác định số hạng tổng

quát nu của dãy số trên. Tính tổng nuuu ...21

câu 18 : Tính tổng : 7

7..77...777777ôsn

S

câu 19 : Cho x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình : 032 axx và x3 , x4 là hai

nghiệm của phương trình : 0122 bxx . Biết x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số nhân.

Tìm a, b

câu 20 : Giả sử nu là cấp số cộng có tính chất : nm SS với nm

Chứng minh rằng : 0nmS




câu 21 : Cho cấp số cộng nu trong đó niui ,1,0

Chứng minh rằng : nnn uu

n

uuuuuu 113221

11...

11

câu 22 : Giả sử nu là cấp số nhân. Trong đó niui ,1,0

Biết rằng : nuuuu ...321 nuuuu

1...

111

321

Chứng minh rằng : n

n

nuuuu

...... 321

câu 23 : Cho dãy số nu : với c

banun

(a, b, c là các hệ số và c 0).

Chứng minh rằng nu là một cấp số cộng

câu 24 : Cho dãy số nu định bởi : *

1

2

1

1

Nn

u

uu

u

n

n

n

Đặt n

n

nu

uv

1 . Chứng minh rằng nu là một cấp số cộng

câu 25 : Chứng minh rằng 3 số a, b, c lập thành cấp số cộng thì 3 số :

)();();( 222222 bcbccacababa theo thứ tự đó tạo thành cấp số cộng.

câu 26 : Cho dãy số nu định bởi : *

5

8

1

1

1

Nnuu

u

nn

1. Xác định số hạng tổng quát của dãy số nu

2. Chứng minh rằng dãy số nv được định bởi 8 nn uv là cấp số nhân

câu 27 : xác định cấp số nhân biết rằng cấp số nhân đó có 5 số hạng,công bội bằng số

hạng thứ nhất ,hiệu số hạng thứ hai và số hạng đầu bằng 48






câu 28 : Cho cấp số nhân nu thỏa mã 1042 uu và 21531 uuu .Tìm số

hạng đầu tiên và công bội

câu 29 : Xác định cấp số nhân gồm bốn số hạng. Biết rằng tích các số hạng bằng 210

và

hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ hai là bằng 4.

câu 30 : Cho một dãy gồm 4 số nguyên.Biết rằng ba số hạng đầu lập thành một cấp số

cộng ,ba số hạng cuối lập thành một cấp số nhân..Tổng số hạng đầu và cuối là 37,còn

tổng hai số hạng giữa là 36.Tìm 4 số ấy.

câu 31 : Ba số dương mà tổng là 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một cấp số

nhân,hoặc là số hạng thứ nhất ,thứ tư và thứ hai mươi lăm của một cấp số cộng .Tìm ba

số ấy.

câu 32 : Ba số có tổng là 15 lập thành một cấp số cộng .Nếu lần lượt thêm 1,1,4 vào

chúng thì ta được một cấp số nhân.Tìm cấp số cộng ấy.



http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=14#12










dÃy sỐ - cẤp sỐ

Education