dÃy sỐ giáo viên: nguyễn tiến Đạt - hoc24h.vn file thầy nguyỄn tiẾn ĐẠt 1 dÃy...

http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan

1

DÃY SỐ

Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. DÃY SỐ

Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương N* được gọi là một dãy

số vô hạn ( hay gọi tắt là là dãy số). Mỗi giá trị của hàm số u được gọi là một số

hạng của dãy số, được gọi là số hạng thứ nhất ( hay số hạng đầu), được

gọi là số hạng thứ hai… Người ta thường kí hiệu các giá trị …tương ứng

bởi ,…

2. KÍ HIỆU

Người ta thường kí hiệu dãy số là và gọi là số hạng tổng quát của dãy số

đó. Người ta cũng thường viết dãy số dưới dạng khai triển:

3. CÁC CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát.

Ví dụ: Cho dãy với 2nu 2n 3n 2

Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi ( hay quy nạp):

Ví dụ: Cho dãy số xác định bởi 1

3

n 1 n

u 1 n 1.

u u n

Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.

Ví dụ: Cho đường tròn bán kính R. Cho dãy với là độ dài cung tròn có số đo

là của đường tròn

1) Dãy số tăng: là dãy số tăng ( Số sau to hơn số trước)

2) Dãy số giảm: là dãy số giảm (Số sau nhỏ hơn số trước)

3) Sự tăng giảm gọi là tính đơn điệu.

4) Dãy số bị chặn trên: được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

.

u 1 u 2

u 1 ,u 2

1 2,u ,u

nu

nu

nu

1 2 nu ,u ,...,u ,...

nu

nu

O nu

nu

2

n

O .

nu

n n 1.n N*,u u

nu

n n 1.n N*,u u

nu

nn N*,u M


2

5) Dãy số bị chặn dưới: được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

.

6) Dãy số bị chặn: được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn

dưới. Nghĩa là tồn tại một số M và một số m sao cho

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

VẤN ĐỀ 1: Tính tăng, giảm của dãy số.

PHƯƠNG PHÁP

Cách 1: Xét dấu của biểu thức

Nếu thì là dãy số tăng;

Nếu thì là dãy số giảm.

Cách 2: Khi thì có thể so sánh với 1

Nếu thì là dãy số tăng;

Nếu thì là dãy số giảm.

Cách 3: Nếu dãy số được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương

pháp chứng minh quy nạp để chứng minh (hoặc )

Chú ý:

Nếu thì dãy số không giảm.

Nếu thì dãy số không tăng.

Cách 4: Sử dụng Casio, Vinacal – Chức năng: TABLE MODE 7 để nhìn ra tính tăng giảm

của nó.

Ví dụ 1: Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số không tăng không giảm?

A. n n

nu ( 1) 2 1 . B.

n

1u 2

n . C.

n

n 1u

n 1

. D.

n

n n 1

3u

2 .

Hướng dẫn giải:

Với n n

nu ( 1) 2 1

nu

nn N*,u m

nu

nn N*,m u M

n 1 nu u

n 1 nn N*,u u 0

n

u

n 1 nn N*,u u 0

n

u

nn N*,u 0 n 1

n

u

u

n 1

n

u1

u n

u

n 1

n

u1

u n

u

nu

n 1 nu u

n 1 nu u

k 1 kk N* : u u

n

u

k 1 kk N* : u u

n

u


3

Ta có 1 2 3

u 3,u 5,u 9 , từ đó suy ra dãy số nu là dãy không tăng không giảm.

Ví dụ 2: Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số tăng?

A. 2

n 2

n n 1u

2n 1

. B. . C. n

nu 3 n. . D.

n 2

nu

n 1

.


Dãy số nu với n

nu 3 n.

Với mỗi n N , ta có: n 1 n

n 1 nu u 3 n 1 3 n .

n n3.3 n 1 3 n

n n n n2.3 3 3 1 2.3 1 0 (đúng) (vì n 1. )

Kết luận dãy số nu là một dãy số tăng.

Ví dụ 3: Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số giảm?

A. n

7n 5u

5n 7

. B. n

n 1 1u

n

. C. . D.

2

n

3n 2n 1u

n 1

.



n 1 1u

n

Ta có:

n

n 1 1 1u

n 1 1n n 1 1

Dễ dàng ta có: n 1 1 1 n 1 1

1 1

n 1 1n 1 1 1

n 1 nu u .

Vậy dãy số

nu là dãy số giảm.

Vấn đề 2: Thiết lập công thức tính số hạng tổng quát theo n

PHƯƠNG PHÁP:

Nếu có dạng (kí hiệu ) thì biến đổi thành hiệu

của hai số hạng, dựa vào đó thu gọn .

n

1u 2

n

n

n 1u

n 1

nu

nu

n 1 2 k nu a a ... a ... a

n

n kk 1

u a

ka

nu


4

Nếu dãy số được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số (

chẳng hạn tính ), từ đó dự đoán công thức tính theo n. Ngoài ra cũng có thể tính

hiệu dựa vào đó để tìm công thức tính theo n.

Ví dụ 1: Cho dãy số Un với 1

n

nUn .Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Năm số hạng đầu của dãy là :6

5;

5

5;

4

3;

3

2;

2

1 .

B. 5 số số hạng đầu của dãy là :6

5;

5

4;

4

3;

3

2;

2

1

.

C. Là dãy số tăng.

D. Bị chặn trên bởi số 1.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Thay n lần lượt bằng 1,2,3, 4,5 ta được 5 số hạng đầu tiên là 1 2 3 4 5

; ; ; ;2 3 4 5 6

.

Ví dụ 2: Cho dãy số nu với 1

1

2

2n n

u

u u

. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này :

A. 1n

nu n . B. 2n

nu . C. 12n

nu . D. 2nu .

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

1

2 1

3 2

1

2

2

2

...

2n n

u

u u

u u

u u

. Nhân hai vế ta được 1

1 2 3 1 2 1. . ... 2.2 . . ... 2n n

n n nu u u u u u u u

Ví dụ 3 : Cho dãy số nu với 2

1n

au

n

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số có 1 2

1

1n

au

n

. B. Dãy số có :

1 2

1

1n

au

n

.

nu

1 2u ,u ,...

nu

n 1 nu u

nu


5

C. Là dãy số tăng. D. Là dãy số tăng.


Chọn B.

Ta có

1 2

1

1n

au

n

.

Ví dụ 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là:5;10;15;20;25;... Số hạng tổng quát của dãy

số này là:

A. 5( 1)nu n . B. 5nu n . C. 5nu n . D. 5. 1nu n .


Chọn B.

Ta có:

5 5.1

10 5.2

15 5.3

20 5.4

25 5.5

Suy ra số hạng tổng quát 5nu n .

Ví dụ 5 : Tìm công thức tính số hạng tổng quát n

u theo n của các dãy số sau :

1

n 1 n

u 3

u u 2

A. n

u 2n 1 B. n

u n 2

C. n

u n 4 D. Đáp án khác


1

n 1 n

u 3

u u 2

Ta có:

2 1

u u 2 3 2 5.


6

3 2

u u 2 5 2 7.

4 3

u u 2 7 2 9.

5 4

u u 2 9 2 11.

Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát n

u có dạng:

nu 2n 1 n 1

VẤN ĐỀ 3: Dãy số bị chặn.

PHƯƠNG PHÁP

1. Nếu thì:

Thu gọn , dựa vào biểu thức thu gọn để chặn .

Ta cũng có thể chặn tổng bằng một tổng mà ta có thể biết được chặn trên, chặn dưới

của nó.

2. Nếu dãy số ( ) ho bởi một hệ thức truy hồi thì:

Dự đoán chặn trên, chặn dưới rồi chứng minh bằng phương pháp chứng minh quy nạp.

Ta cũng có thể xét tính đơn điệu ( nếu có) sau đó giải bất phương trình dựa vào

đó chặn ( ).

Ví dụ: Cho dãy số nu với 1

nun

.Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Năm số hạng đầu của dãy là :5

1;

4

1;

3

1;

2

1;1

.

B. Bị chặn trên bởi số 1M .

C. Bị chặn trên bởi số 0M .

D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m 1M .


Chọn B.

Nhận xét : 1 1

11

nun

.

Dãy số nu bị chặn dưới bởi 1M .

n

n kk 1

u a

nu

nu

n

kk 1

a

nu

n 1 nu u

nu


7

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Tìm công thức tính số hạng tổng quát n

u theo n của các dãy số sau : 1

n 1 n

u 3

u u 2

A. n

u 2n 1 B. n

u n 2

C. n


Câu 2. tìm công thức tính số hạng tổng quát n


n 1 n

u 2

u 2u .

A. n 1

nu 2 . B. n

nu 1 2 . C. n

nu 2 D. Đáp án khác.

Câu 3. Dãy số nu được xác định bằng cộng thức: 1

3

n 1 n

u 1 n 1.

u u n

Tính số hạng thứ 100

của dãy số ?

A. 132143432. B. 76661312.

C. 191213214. D. 24502501.

Câu 4. Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số không tăng không giảm?

A. n n

nu ( 1) 2 1 . B.

n

1u 2

n . C.

n

n 1u

n 1

. D.

n

n n 1

3u

2 .

Câu 5. Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số giảm?

A. . B. . C. . D. .

Câu 6. Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số tăng?

A. . B. . C. n

n n 1

3u

2 . D. 2

nu 2n 4n 1 .


A. . B. . C. . D. .


A. . B. 2

nu 2n 4n 1 . C. . D. .


A. . B. . C. 2

n 1 n

u 2

u 2u 3, n N

. D. 1

nn 1

n

u 3

2uu

3 u

.

n n

nu ( 1) 2 1

n

1u 2

n

n

n 1u

n 1

n

n n 1

3u

2

n n

nu ( 1) 2 1

n

1u 2

n

n n

nu ( 1) 2 1

n

1u 2

n

n

n 1u

n 1

2

nu 2n 4n 1

n n

nu ( 1) 2 1

n

n 1u

n 1

n

n n 1

3u

2

n n

nu ( 1) 2 1

n

1u 2

n


8


A. . B. 1

nn 1

n

u 3

2uu

3 u

.

C. . D. 2

n 1 n

u 2

u 2u 3, n N

.


A. . B. . C.

n

2n 1u

n 3. D.

1

nn 1

n

u 3

2uu

3 u

.



A. n

nu 10 n B.

nu 10n 1

C. n



A. 2

n 2

n n 1u

2n 1

. B. . C. 3

nu 2n 5n 1 . D. n

n 1 1u

n

.


A. 2

n 2

n n 1u

2n 1

. B. . C. n

nu 3 n. . D.

n 2

nu

n 1

.


A. n

n 1 1u

n

. B. . C.

2

n

3n 2n 1u

n 1

. D. 2

nu n n 1 .


A. . B. 2

n 2

n n 1u

2n 1

. C.

n

7n 5u

5n 7

. D.

n n

nu

2 .


A. 2

nu n n 1 . B. . C. 1

n 1 n

u 5

u u 3n 2.

. D.

n n

nu

2 .


A. n

7n 5u

5n 7

. B. n

n 1 1u

n

. C. . D.

2

n

3n 2n 1u

n 1

.

n n

nu ( 1) 2 1

n

n 1u

n 1

n

n n 1

3u

2

n n

nu ( 1) 2 1

n

1u 2

n

1

n 1 n

u 11

u 10u 1 9n, n

n

1u 2

n

n

1u 2

n

n

1u 2

n

n n

nu ( 1) 2 1

n

1u 2

n

n

n 1u

n 1


9


A. 2

n

3n 2n 1u

n 1

. B. 2

nu n n 1 . C. n

nu 3 n. . D. .


A. . B. 2

n 2

n n 1u

2n 1

. C. . D. n

nu 3 n. .


A. n

nu 3 n. . B.

n 2

nu

n 1

. C.

2

n

3n 2n 1u

n 1

. D. .


A. . B. n n

nu

2 . C. . D.

2

n

3n 2n 1u

n 1

.

Câu 23. Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số bị chặn?

A. . B. n

7n 5u

5n 7

. C. 2

nu n 4n 3. . D. 3

nu n n 1 .

Câu 24. Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số không bị chặn?

A.

n

2n 1u

3n 4. B. 2

nu n 4n 3. C.

n

7n 5u

5n 7

. D.

n

n

1u 1

n.

Câu 25. Dãy số 2

1: 2 ( 1)n n nu u u n . Câu nào dưới đây sai?

A. 2

2 1u 2 u . B.

2u 2 2 C.

3 1u 2 2 u . D. 2 2

3 2 2 1u u u u .

Câu 26. Cho dãy số ( )nu xác định bởi: 2 2... 2nu ( n dấu căn số)

A. 1

u 2 . B.

2

n n 1u 2u C.

4u 2 2 2 2 . D.

3 54

4u 2 2 2 2

Câu 27. Trong các dãy số sau, dãy số nào giảm:

A. n

1u 1

n. B.

n

n n

2u 1

3 C.

n

u sinn

. D. n

u 2 2... 2

Câu 28. Trong các dãy số sau, dãy số nào không bị chặn trên?

A.

2

n

nu sin ( )

n 1 n. B.

n 1

n

1u 1 sin

n C.

nu n . D.

2

n 2

nu

n 1

Câu 29. Xét 2 dãy số cho bởi:

n 1

n 2

1u

n 1 và

n 2

1v

n 1. Câu nào sai?

A. n n

u v ;

B. nu không tăng, không giảm, còn

n(v ) giảm;

C. Hai dãy đều bị chặn trên bởi ½;

n

n n 1

3u

2

n n

nu ( 1) 2 1

n

n 1u

n 1

n

n n 1

3u

2

n n

nu ( 1) 2 1

n

n 1u

n 1

n n

nu ( 1) 2 1


10

D. Hai dãy đều bị chặn dưới bởi 0.


A. . B.

n

n

1u 1

n. C. 2

nu n 4n 3. . D. 3

nu n n 1 .

III. ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A C D A B C C B C B C A C C C C C B B B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

B B B B B D A C D B

IV. ĐAP AN CHI TIÊT



n 1 n

u 3

u u 2

A. n

u 2n 1 B. n

u n 2

C. n



1

n 1 n

u 3

u u 2

Ta có:

2 1u u 2 3 2 5.

3 2u u 2 5 2 7.

4 3u u 2 7 2 9.

n n

nu ( 1) 2 1


11

5 4u u 2 9 2 11.

Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát n

u có dạng:

nu 2n 1 n 1

Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức đúng.

Với 1

n 1;u 2.1 1 3 (đúng). Vậy đúng với n 1.

Giả sử đúng với n k. Có nghĩa ta có: ku 2k 1 2

Ta cần chứng minh đúng với n k 1. Có nghĩa là ta phải chứng minh:

k 1u 2 k 1 1 2k 3.

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo 2 ta có:

k 1 ku u 2 2k 1 2 2k 3.

Vậy đúng khi n k 1. Kết luận đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 2. tìm công thức tính số hạng tổng quát n


n 1 n

u 2

u 2u .

A. n 1

nu 2 . B. n

nu 1 2 . C. n

nu 2 D. Đáp án khác.


1

n 1 n

u 2

u 2u .

Ta có:

2

2 1u 2u 2.2 4 2

3

3 2u 2u 2.4 8 2

4

4 3u 2u 2.8 16 2

5

5 4u 2u 2.16 32 2

Từ các số hạng đầu tiên, ta dự đoán số hạng tổng quát n

u có dạng: n

nu 2 n 1

Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh cộng thức đúng.


12

Với n 1, có: 1

1u 2 2 (đúng). Vậy đúng với n 1

Giả sử đúng với n k , có nghĩa ta có: k

ku 2 2

Ta cần chứng minh đúng với n k 1. Có nghĩa là ta phải chứng minh:

k 1

k 1u 2

.

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo 2 ta có:

k k 1

k 1 ku 2.u 2.2 2 .

Vậy đúng với n k 1. Kết luận đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 3. Dãy số nu được xác định bằng cộng thức: 1

3

n 1 n

u 1 n 1.

u u n

Tính số hạng thứ 100

của dãy số ?

A. 132143432. B. 76661312.

C. 191213214. D. 24502501.


Ta có: 3 3

n 1 n n 1 nu u n u u n .

Từ đó suy ra:

1u 1

3

2 1u u 1

3

3 2u u 2

3

4 3u u 3

..............

3

n 1 n 2u u n 2

3

n n 1u u n 1

Cộng từng vế n đẳng thức trên:


13

3 33 3 3

1 2 1 3 2 n 1 n 2 n n 1u u u u u ... u u u u 1 1 2 3 ... n 2 n 1

3 33 3 3

nu 1 1 2 3 ... n 2 n 1 .

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được:

2 233 3 3

n 1 .n1 2 3 ... n 1

4

Vậy

22

n

n n 1u 1

4

2 2

100

100 .99u 1 24502501.

4

Câu 4. Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số không tăng không giảm?

A. n n

nu ( 1) 2 1 . B.

n

1u 2

n . C.

n

n 1u

n 1

. D.

n

n n 1

3u

2 .


Với n n

nu ( 1) 2 1

Ta có 1 2 3

u 3,u 5,u 9 , từ đó suy ra dãy số nu là dãy không tăng không giảm.


A. . B. . C. . D. .


Với

n 1 n

1 1 1 1 1u u 2 2 0 n *

n 1 n n 1 n n(n 1)

Kết luận dãy số nu là dãy số giảm.


A. . B. . C. n

n n 1

3u

2 . D. 2

nu 2n 4n 1 .


n n

nu ( 1) 2 1

n

1u 2

n

n

n 1u

n 1

n

n n 1

3u

2

n

1u 2

n

n n

nu ( 1) 2 1

n

1u 2

n


14

Với

n

n 1 2u 1

n 1 n 1

Ta có n 1 n

2 2 1 1 1u u 1 1 0 n *

n 2 n 1 n 1 n 2 (n 1)(n 2)

Kết luận dãy số nu là dãy số tăng.


A. . B. . C. . D. .


Với . Dễ thấy nu 0 n N

Xét tỉ số:n n 2

n

n 1 n 1n 1

u 3 2 2. 1.

u 32 3

n n 1

u u

. Vậy nu là một dãy số tăng.


A. . B. 2

nu 2n 4n 1 . C. . D. .


2

nu 2n 4n 1

Ta có: 2 2

2

n2 2

4n 4n 1 1u 2n 4n 1

2n 4n 1 2n 4n 1

Ta có:

n 1 n

2 2

1 1u u ; n N *

2n 4n 12 n 1 4 n 1 1

Vì: 2 22 n 1 4 n 1 1 2n 4n 1; n N*

2 2

1 10; n N *

2n 4n 12 n 1 4 n 1 1

n 1 n

u u 0, n N*

. Vậy: dãy số nu giảm.


A. . B. . C. 2

n 1 n

u 2

u 2u 3, n N

. D. 1

nn 1

n

u 3

2uu

3 u

.

n

n 1u

n 1

n n

nu ( 1) 2 1

n

1u 2

n

n

n 1u

n 1

2

nu 2n 4n 1

n

n n 1

3u

2

n n

nu ( 1) 2 1

n

n 1u

n 1

n

n n 1

3u

2

n n

nu ( 1) 2 1

n

1u 2

n


15


2

n 1 n

u 2

u 2u 3, n N

Vì 2 1 1

u 2u 3 7 u , ta dự đoán n 1 nu u

với mọi n 1.

Ta có đúng với n 1.

Giả sử ta có: k k 1

u u .

Khi đó ta có:

k 1 k k 1 ku 2u 3 2u 3 u

( do

k k 1u u

)

Suy ra đúng với mọi n N , suy ra nu là dãy số tăng.


A. . B. 1

nn 1

n

u 3

2uu

3 u

.

C. . D. 2

n 1 n

u 2

u 2u 3, n N

.


1

nn 1

n

u 3

2uu

3 u

Từ hệ thức truy hồi đã cho, dễ thấy n

u 0 với mọi n N

Ta có: 12 1

1

2u 6u 1 u .

3 u 6

Ta dự đoán n 1 nu u

với mọi n N .

Ta có đúng khi n 1. Giả sử có k k 1

u u

Khi đó k kk 1

k k k

2u 2u 6 6 6u 2 .

3 u 3 u u 3

Vì k k 1

u u

nên k 1 k

k k 1 k 1

6 6 6u 2 u .

u 3 u 3 u 3

n n

nu ( 1) 2 1

n

n 1u

n 1

n

n n 1

3u

2


16

Suy ra đúng với mọi n N . Vậy nu là dãy số giảm.


A. . B. . C.

n

2n 1u

n 3. D.

1

nn 1

n

u 3

2uu

3 u

.


n

2n 1u

n 3

Ta có:

2 2

n 1 n

2n 1 2n 1 2n 7n 3 2n 7n 4 7u u 0; n N *

n 4 n 3 n 4 n 3 n 4 n 3

Vậy: nu là dãy số tăng.



A. n

nu 10 n B.

nu 10n 1

C. n



Ta có

.

Từ đó dự đoán . Chứng minh:

Với ta có (đúng).

Giả công thức (1) đúng với , ta có .

Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh .

Thật vậy .

Kết luận .


n n

nu ( 1) 2 1

n

1u 2

n

1

n 1 n

u 11

u 10u 1 9n, n

1u 11 10 1

22u 10.11 1 9 102 100 1 10 2

33u 10.102 1 9.2 1003 1000 3 10 3

nnu 10 n (1)

n 1 11u 10 1 11

n k kku 10 k (2)

n k 1 k 1k 1u 10 (k 1)

k k 1k 1u 10 10 k 1 9k 10 (k 1)

nnu 10 n, n


17

A. 2

n 2

n n 1u

2n 1

. B. . C. 3

nu 2n 5n 1 . D. n

n 1 1u

n

.


Dãy số nu với 3

nu 2n 5n 1

Với mỗi n N , ta có: 3 3

n 1 nu u 2 n 1 5 n 1 1 2n 5n 1

3 2 32n 6n 6n 2 5n 5 1 2n 5n 1

2 26n 6n 3 6n 3n 3n 3 0 ( đúng ) do n 1.

Vì thế dãy số nu là một dãy số tăng.


A. 2

n 2

n n 1u

2n 1

. B. . C. n

nu 3 n. . D.

n 2

nu

n 1

.



nu 3 n.

Với mỗi n N , ta có: n 1 n

n 1 nu u 3 n 1 3 n .

n n3.3 n 1 3 n

n n n n2.3 3 3 1 2.3 1 0 (đúng) (vì n 1. )

Kết luận dãy số nu là một dãy số tăng.


A. n

n 1 1u

n

. B. . C.

2

n

3n 2n 1u

n 1

. D. 2

nu n n 1 .


Dãy số nu : Với

2

n

3n 2n 1u

n 1

Ta có: n

6u 3n 5

n 1

Với mọi n N ta có:

n

1u 2

n

n

1u 2

n

n

1u 2

n


18

n 1 n

6 6u u 3 n 1 5 3n 5

n 2 n 1

6 63

n 2 n 1

n 1 n 2 2 n 1 2 n 23

n 2 n 1

23 n 3n0. n 1.

n 2 n 1

Kết luận nu là dãy số tăng.


A. . B. 2

n 2

n n 1u

2n 1

. C.

n

7n 5u

5n 7

. D.

n n

nu

2 .


Công thức n

u được viết lại: n

7 24u

5 5 5n 7

Xét hiệu số: n 1 n

7 24 7 24u u

5 5 5 5n 75 5 n 1 7

24 1 1

0 n 1.5 5n 7 5 n 1 7

n 1 n

u u

. Vậy dãy số nu là dãy số tăng.


A. 2

nu n n 1 . B. . C. 1

n 1 n

u 5

u u 3n 2.

. D.

n n

nu

2 .


Ta có:n 1 n n 1 n

u u 3n 2 u u 3n 2. Từ đó suy ra:

1u 5.

2 1u u 3.1 2.

3 2u u 3.2 2.

4 3u u 3.3 2.

............

n 1 n 2u u 3 n 2 2.

n n

nu ( 1) 2 1

n

1u 2

n


19

n n 1u u 3 n 1 2.

Cộng từng vế của n đẳng thức trên và rút gọn, ta được:

nu 5 3 1 2 3 ... n 1 2 n 1 .

n

3 n 1 .n 3 n 1 .n 4 n 1u 5 2 n 1 5

2 2

n

n 1 3n 4u 5

2

Vậy :

n

n 1 3n 4u 5 .

2

Ta có: n 1 n

u u 3n 2 0 n 1.

n 1 nu u n 1.

Kết luận dãy số n

u là một dãy số tăng.


A. n

7n 5u

5n 7

. B. n

n 1 1u

n

. C. . D.

2

n

3n 2n 1u

n 1

.



n 1 1u

n

Ta có:

n

n 1 1 1u

n 1 1n n 1 1

Dễ dàng ta có: n 1 1 1 n 1 1

1 1

n 1 1n 1 1 1

n 1 nu u .

Vậy dãy số n

u

là dãy số giảm.


A. 2

n

3n 2n 1u

n 1

. B. 2

nu n n 1 . C. n

nu 3 n. . D. .


Dãy số nu với 2

nu n n 1

n

n 1u

n 1

n

n n 1

3u

2


20

Ta có: 2 2

2

n2 2

n n 1 1u n n 1

n n 1 n n 1

Dễ dàng ta có: 2 2n 1 n 1 1 n n 1

n 1 n

2 2

1 1u u

n n 1n 1 n 1 1

Từ đó suy ra dãy số nu là dãy số giảm.


A. . B. 2

n 2

n n 1u

2n 1

. C. . D. n

nu 3 n. .


Dãy số nu với

2

n 2 2

3n

n n 1 1 2u22n 1 2n 1

Với mọi n N , xét hiệu số:

n 1 n 2 2

3 3n 1 n

1 12 2u u2 2 2n 12 n 1 1

2 2

5 3n n

2 22n 2n 3 2n 1

2 2

2 2

5 3n 2n 1 n 2n 2n 3

2 2

2n 2n 3 2n 1

2 2

5n 20 n 1.

2n 2n 3 2n 1

Vậy dãy số nu là dãy số giảm.


A. n

nu 3 n. . B.

n 2

nu

n 1

. C.

2

n

3n 2n 1u

n 1

. D. .


n n

nu ( 1) 2 1

n

n 1u

n 1

n

n n 1

3u

2


21

Dãy số nu với

n 2

nu

n 1

.

Với mỗi n N , ta có:

22

n 1 n 2 2 2 2

n 1 n 1 n n 1 1n 1 nu u

n 1n 1 1 n 1 1 n 1

3 2 3 2

2 2

n n n 1 n 2n 2n

n 1 1 n 1

2

2 2

n n 10.

n 1 1 n 1

Vì 2n n 1 0 n 1 , và 2 2n 1 1 n 1 0 n 1.

Kết luận: dãy số nu là một dãy số giảm.


22


A. . B. n n

nu

2 . C. . D.

2

n

3n 2n 1u

n 1

.


Dãy số nu với

n n

nu

2

Dễ thấy nu 0 n N . Xét tỉ số: n

n 1

u

u

Ta có: n 1

n

nn 1

u n 2 2 n. 1 n 1

u 2 n 1 n 1

Thật vậy:2 n 4n

1 1 4n n 1 3n 1n 1n 1

( đúng n 1 )

Kết luận: nu là một dãy số giảm.


A. . B. n

7n 5u

5n 7

. C. 2

nu n 4n 3. . D. 3

nu n n 1 .


Công thức n

u được viết lại: n

7 24u

5 5 5n 7

Xét hiệu số: n 1 n

7 24 7 24u u

5 5 5 5n 75 5 n 1 7

24 1 1

0 n 1.5 5n 7 5 n 1 7

n 1 n

u u

. Vậy dãy số nu là dãy số tăng.

Ta có:1 1

0 n 15n 7 12

24 20

55 5n 7

7 7 24 7 2

5 5 5 55 5n 7

n

71 u .

5 Suy ra n

u là một dãy số bị chặn.

Kết luận nu là một dãy số tăng và bị chặn.

Câu 24. Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số không bị chặn?

n n

nu ( 1) 2 1

n

n 1u

n 1

n n

nu ( 1) 2 1


23

A.

n

2n 1u

3n 4. B. 2

nu n 4n 3. C.

n

7n 5u

5n 7

. D.

n

n

1u 1

n.


Ta có: 22

nu n 4n 4 1 n 2 1 1 n 1.

Vậy dãy số bị chặn dưới, nhưng không bị chặn trên.


A. . B.

n

n

1u 1

n. C. 2

nu n 4n 3. . D. 3

nu n n 1 .


Ta có: n

n

1u 1 0; n N *

n

nên nu bị chặn dưới (1).

Lại có:

n kn n

k

n n kk 0 k 0

1 1 n!u 1 C

n n k! n k !n

n n

k 0 k 0

n k 1 n k 2 n k k1 1. . ... ; n N*

k! n n n k!

Mà:

n

k 0

1 1 1 1 11 1 ...

k! 1.2 2.3 3.4 n 1 .n

1 1 1 1 1 12 1 ... 3 3; n N *

2 2 3 n 1 n n

Suy ra: n

u 3, n N* nên dãy số n

(u ) bị chặn trên (2).

Từ (1) và (2) dãy số

n n

nu ( 1) 2 1

dÃy sỐ giáo viên: nguyễn tiến Đạt - hoc24h.vn file thầy nguyỄn tiẾn ĐẠt 1 dÃy...

Documents