das rÖssler-system ist nicht dissipativ im sinne von levinson

Math. Nschr. 129 (1986) 31-43

Das ROSSLER-System ist nicht dissipativ im Sinne von LEVINSON

Von G. A. LEONOV in Leningrad und V. REITMANN in Dresden

(Eingegangen am 13.2. 1985)

Neben dem bekannten LORENZ-System [3, 8, 161 werden in der Literatur auch andere autonome Systeme aus drei gewohnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung diskutiert, die wegen der Existenz eines seltsamen Attraktors besonderes Interesse hervorrufen. Zu ihnen ziihlen die von ROSSLER in [5 , 61 angegebenen ab- strakten Reaktionssysteme, die zur Erklarung von Oszillationserscheinungen in chemischen Experimenten benutzt werden ([4]). Eines dieser Systeme, das in [l, 21 als ,7das" ROSSLER-System zitiert wird, lautet

( li) x = - y - 2 , (lii) g = x + a y , (liii) i= bx-cz+xz ,

wobei a, b und c positive Zahlen sind. Bekanntlich 1aBt das LORENZ- System Phasenvolumen ,,schrumpfen", da das

dem System entsprechende Vektorfeld im gesamten Raum eine (konstante) nega- tive Divergenz besitzt. Das ROSSLER-System (1) dagegen entspricht einem Vektor- feld mit der Divergenz a-c+x, so daB es sich, mit der Terminologie aus [9, lo], bei (1) um ein ,,System mit Aufpumpen" handelt. In dieser Arbeit wird gezeigt, daB auch vom Standpunkt des globalen Verhaltens der Trajektorien sich die Systeme von LORENZ und ROSSLER (1) stark unterscheiden. Das LoRENz-System ist im reellen und komplexen Fall immer dissipativ im Sinne von LEVINSON. Das ROSSLER-System (1) ist, wie in der vorliegenden Arbeit gezeigt wird, nicht dissipativ im Sinne von LEVINSON bei beliebigen Parametern a z 0, b == 0 und c =- 0.

Definition. System ( 1 ) heiIjt dissipativ irn Sinne von LEVINSON, wenn im Phasenraum von (1) eine kompakte Menge existiert, in die alle Trajektorien von (1) gelangen und in der sie fur alle t z O verbleiben.

Damit wird nachgewiesen, daB Trajektorien mit hinreichend groBen Aniangs- bedingungen gar nicht in den Bereich des seltsamen Attraktors gelangen lronnen, der numerisch ermittelt wurde und in [ l , 111 beschrieben wird. In den Arbeiten [7,12,14] werden zahlreiche Kriterien fur Dissipativitat bzw. Nichtdissipativitgt autonomer Differentialgleichungssysteme angegeben, die allerdings auf daa ROssLEa-System (1) nicht anwendbar sind.

32 Math. Nachr. lgl9 (1986)

Der Nachweis der fehlenden Dissipativitat fur das ROSSLER-System (1) wird in der vorliegenden Arbeit mit einer Hilfsfunktion gefuhrt, die im allgemeinen keine vorzeichenkonstante Ableitung beziiglich System (1) besitzt, die es aber gestattet, die Untersuchungen auf ein- bzw. zweidimensionale Systeme zu reduzieren. Damit konnen die Methode der Phasenebene und die Methode der Ver- gleichssgsteme [7, 10, 151 wirkungsvoll eingesetzt werden. Die Ergebnisse fiir System (1) lassen sich, wie in Abschnitt 4 gezeigt wird, leicht auf ein anderes Sy- stem von R~SSLER iibertragen.

AbschlieBend sei bemerkt, daB die Lokalisierung der Dissipativitatsgebiete von autonomen Systemen gewohnlicher Differentialgleichungen und der Nachweis der Instabilitat der Losungen dieser Systeme eine wesentliche Rolle bei der analy- tischen Ermittlung seltsamer Attraktoren fur das vorliegende System spielen konnen ([13]).

2. Konstruktion einer Hilfsfunktion und der Fall c = ab

Das Hauptergebnis der Arbeit ist im folgenden Satz zusammengefaBt.

Satz 1. System (1) ist far beliebige a 2 0 , b 2 0 , c w 0 nicht dissipativ im Sinne von

Bevor wir zum Beweis dieses Satzes kommen, formulieren und beweisen wir

Lemma 1. Die Funktion V : R3 -. R sei definiert durch

LEVINSON.

einige Hilfsaussagen.

1

2 V ( X , y , z)=-(x2+y2)+Z-bby-cz, (2)

wobei die Parameter b und c am System (1) stammen. Dann gilt far eine beliebige Lo- sung x ( t ) , y ( t ) , x(t) von (1) die Bexiehung

(3)

far alle t aus dem Existenxbereich der Losung. Beweis. Formel (3) ist die Ableitung von V bezuglich (1):

P = x ( - y - X ) + y ( x + ay) + bx - cz + xx - bz - aby + cy + cz

=ayz+ (C -ab) y . Bemerkung 1. Mit Hilfe der Funktion

V ~ ( Z , y , 2 ) =ay’+ (Chub) y (x, yt zE R) erhalt man die folgende Zerlegung des Phasenraumes (z. B. fur den Pall ab -CS 0 ) :

mit R ’ = 17, u I T 2 u I73

r+{x, y, 2 : y<o) ,

Leonov/Reitmann, Das Rossler- System 33

x, y, 2: 0 z y 5-- a

x , y, 2 : yz-- a

Diese Zerlegung ist dadurch charakterisiert, daB P nichtnegativ ist, wenn sich die Trajektorie von ( 1 ) in IT, oder 113 aufhalt und P nichtpositiv ist, wenn die Tra- jektorie in 112 liegt. Wie man leicht sieht, hat System ( 1 ) die Gleichgewichtszu- stande

Diese Gleichgewichtszuatande liegen also gerade an den Grenzen dieser Gebiete. Deshalb ist in gewissem Sinne die Wahl von V in der Form (2) fur das System (1) optimal.

Im folgenden Lemma behandeln wir den einfachen Fall, wenn das Gebiet IT2 nur aus der Ebene y=O besteht, d. h., wenn c=ab ist.

Lemma 2. E's sei c=ab. Dann ist System (1) nicht dissipativ im Sinne von LEVINSON.

Beweis. Es sei RwO eine beliebige Zahl. Wir wahlen a>O so grol3, daB gilt

L?={x, y, 2 : V(X, y, x)>.}c{x, y, x : 22+y:!+z:!=-R2}.

Entlang einer beliebigen Trajektorie x( t ) , yf t ) , zft) mit den Anfangsbedingungen (xo, yo, x o ) ~ 9 bei t = O erhalt man PsO, was V ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) =-a fur alle t aus dem Existenzintervall impliziert. Folglich gelangt die betrachtete Trajektorie nie in die Menge {x, y, z : x?+y'+z2sR2). w

Benierkung 2. Offensichtlich hat die Linearisierung von ( 1 ) um 0, die Gestalt

a(i;)=(; -: 0 - c , -") i'l) z:\

Das charakteristische Polynom der Systemmatrix lautet

p( l )=1'+3.2 ( c - a ) + l ( l+b-ac )+c-ab ,

Die Funktion (2) besitzt also genau dann eine vorzeichenkonstante Ableitung bezuglich (1) (und ist damit LJAPuNow-Funktion), wenii die Matrix der Linearisie- rung von (1) um (0, 0, 0) den Eigenwert 0 besitzt.

3. Beweis des allgerneinen Falls

Dem Beweis gehen zwei Hilfsaussagen voraus.

Lemma 3. Wir setxen ab -c>O voraus und legen mit xwei Zahlen A , < O zmd :1 Math. Nadir., Bd. 129

34 Math. Nachr. 129 (1986)

ab - c Az=-max (T-, 2b/ den Streifen

17[A*,J2]={x,y, 2 : d,sysd,} fest.

Dann existieren Zuhlen N o =-0, D =- 0, H =- 0 , so clap eine beliebige Trajektorie z ( t ) , y ( t ) , z(t) von ( I ) , die xum Zeitpunkt toZO auf DIA1,A?l mit V(x(to) , y(to), to)) =

= N & N o trifft, in 17L4,,A,1 eine Verweilzeit kleiner __ besitzt und die A’nderung D m

won V ( z ( t ) , y ( t ) , z( t ) ) beim Durchlaufen des Streifens 17[d,,A21 durch die Trajektorie

groper als __ ist. - H

w Trifft die Trajektorie dabei mit x(to) < 0 , y(to) = A 2 auf den Streifen, so verlupt

sie 17[di,Azl wieder, indem sie in y-= A l iibergeht. B e w ei s. Wir geben eine beliebige positive Zahl N vor (die noch konkretisiert

wird), betrachten eine Trajektorie x( t ) , y ( t ) , z ( t ) von ( l ) , fur die bei einem t o z O V(to) = N und y(to) =dl oder y( to) = A z gelten und untersuchen zunachst die Tra- jektorie bei t~ [to, to+ I] auf dem Stuck, fur das y( t ) € [ A A, ] ist. Laut Mittelwert- satz ist

(4) V ( t ) = V(t0) + V ( W ) ( t - to) mit t,sZ(t) s t zto+ 1. Wegen (3) gilt innerhalb von [A,, A, ] die Abschatzung

(5)

1 2

Abkurzend schreiben wir f l ( t ) = P( f ( t ) ) (t-tt,) und f2 ( t )= -~ y?(t)+by(t). Fur

f z ( t ) liil3t sich auf [ A l, A,] die Abschatzung

angeben. Mit den eingefuhrten Funktionen erhalten wir aus (2) und (4) die Darstellung

1 1 2 2

z( t )= --(x( t ) -c)Z+N+- CZ+fi(t)+f,(t) . Wir setzen dies anstelle von z ( t ) in (li) und erhalten

1 1

2 2 j .( t)=- (x(t)-c)2--N-y(t)-- cZ-f&)-f2(t)

1

2 Fur die Funktion f(t)= -y(t)-- c2-fl(t)-f2(t) gilt fur y( t )EIAl , A,] die Ab- schatzung

(6) If(t)l-Q,

Leonov/Reitmann, Das Rossler- System 35

1 2

mit Ci >inax { - 3 1, A , } +C, + C13 + --- c2. Damit ist eine Differentialgleichung erster Ordnung

(7) 1 2

i ( t ) = -x+- ( x ( t ) - c ) , + f ( t )

gewonnen, die fur t c [to, to + 11 und y ( t ) E [ A ,, A , ] anstelle von ( 1 ) betrachtet werden kann.

Die weiteren uberlegungen werden nun in Abhlngigkeit von z(t,) durchge- fuhrt. Dabei besteht unser Ziel darin, zii zeigen, daB sich bei hinreichend groBem N fur die Trajektorie, die bei bestimmtem to mit V( t , ) = N auf den Streifen 17Ld,,d,J

auftrifft, eine Verweilzeit der GroBenordnung = ergibt. Zu diesem Zwecke

unterscheiden wir bezuglich der Anfangsbedingungen x(to) zwei Falle, die sich aus der topologischen Losungsstruktur von (7) ergeben, indem als Vergleichssysteme die durch die Schranken von f ( t ) implizierten Differentialgleichungen herangezo- gen werden : \Vir betrachten einmal Losungen von ( l ) , die oberhalb von ]/%A7 + + C,) + c oder unterhalb von - 1 2 ( N - C,) + c liegen. Weiterhin untersuchen wir Losungen innerhalb von [ - 1 2 ( N - C , ) + c , 12 ( N + C,) +el, wobei willkurlich ein

const

13

_ _ _ _ _ _ _ ~

Streifen der Form abgesondert wird. 2

_ _ ~ _ _ _ _

Fall 1: x(t,) > 1/2 ( N + C , ) + c. Mit dem Vergleichsprinzip fur Differeiitialgleichungeii [ 10, 151 ergibt sich x ( t ) =- =-v?(N+Cl)+c fur alle tzt, aus dem Existenzintervall der Losung und dem Gultigkeitsbereich von ( 7 ) . Dann gilt mit (lii) fur diese t

~ -.

4 = ay + x =-ay + 1/2 ( N + C,) + c z A ,a + 1/2 (K + C,) + e .

Fur die Verweilzeit T in 17LA,,d21 fordern wir einen Wert kleiner ~ d. h. es sol1 1

2

sein. Das ergibt fur .X die Forderung

(2 ( A , - A , ) - A , a - c ) ~ 2

-C',+ SAT .

Diese Ungleichung garantiert erst einmal die Anwendbarkeit von ( 7 ) . In \+'irklichkeit wahlen wir das N so groB, daB

~ D, .- ~~

A , - A , T 2 -

> 0 eine Konstante ist.

1 ,N + 1/q(N+C,)+ C - 1'; gilt, wobei 3*

36 Math. Nachr. le9 (1986)

Fall 2: x(to)-=c-1/2 ( N - C , ) . Dann folgt aus dem Vergleichsprinzip fur Differentialgleichungen

( 8 )

fur alle t z t o , fur die x( t ) existiert und fur die x( t ) , y ( t ) , z ( t ) innerhalb von 17[A,,dzl liegt.

Folglirh ist mit (lii) fj=ay+x<ad,+c - d 2 ( N - C , ) fur dieset.DieGultigkeit der Darstellung (7) ist somit gewahrleistet bei

x ( t ) < c - 1/2(h' - C,)

- __ -

was die Forderung fur N 1

2 ( 2 (d?- r_11)+ad . ,+c )2+C1~~r

impliziert. Auch hier 1a5t sich eine Konstante D2>0 angeben, so da5 fur hinreichend groBe N gilt

Wir zeigen zunachst, daB die Trajektorie x( t ) von (7) das Intervall I , schnell nach links verlaBt und auBerhalb verbleibt, solange die Trajektorie x ( t ) , y(t), x ( t ) von (1) innerhalb von 17,A,,421 liegt. Es sei T die Verweilzeit im Interval1 I-\.. Dann gilt wahrend dieser Zeit wegen (6) und (7 ) die Ungleichung

N 7 8 8 i-= - N + - +C,= -- N+C,VtE[t0, t ,+T] *

Die Integration dieser Ungleichung von to bis t E [ to , to + TI liefert unter Beach- tung der Zugehorigkeit der Trajektorie zum Interval1 IAT

Offensichtlich ist dann ab einem bestimmten t =to+ T

Fruheatens ist dies fur T = I N gewahrleistet. 7 - N - C I 8

Leonov/Reitmann, Das Roasler-System 37

1 N 4 s

2 8 31/N 2 Damit T <- ist, reichen die Forderungen - =- C, und --=- aus. Tn

N’irklichkeit konnen wir dann auch hier eine T-Zeit der Ordnung --:- reali- const

sieren : VN

Offensichtlich folgt aus (g), daB die Trajektorie x( t ) nicht wieder zuruckgeht in __ ~

solange die Trajektorie x( t ) , y ( t ) , x ( t ) in 17,A,,A21 liegt. 2

Die weitere SchluBweise ist wie im Fall 2, nur daB nun anstelle der Unglei- chung (8) die Beziehung

I/-v x ( t ) s - + c

2 fur alle t s t , RUS dern Existenzbereich der Liisung, fur die auch x( t ) , y ( t ) , z ( t ) innerhalb von Z7c3,,32, liegt, betrachtet wird.

Hezuglich des j’erhaltens der Trajektorie fur t zto unterscheiden wir weiter : I-

ViV 4.1. + c s x ( t ) fur alle die t c , fur die x( t ) , y ( t ) , x ( t ) innerhalb

2 von Z7,,,,d21 liegt. Dann verlauft die weitere Untersuchung wie im Fall 1

1 VZ 4.2. Fur ein t , rnit t , st,+- ist x(tl) < + c . Dies fiihrt zurn Fall 3.

2 2 -.._____ 1

2 4.3. Fur ein t , st,+- ist x( t , )>1/2 ( N + C , ) + c . Dies fuhrt zum Fall 1 . 1 )

.-

Auch hier unterscheiden wir bezuglich des weiteren Verlaufs fur t zt,:

, fur die x(t) , y(t), z ( t ) innerhalb von 12 5.1. ~ ( t ) Z - __ 2

Z7Ld,,d,l liegt. Dann verlauft die weitere Behandlung wie irn Fall 2. 1 2

5.2. Fur ein t i mitt , st,+- ist x(t,) < c -12 ( N -C1). Dies fuhrt zum Fall 2.

1 VN 5.3. Fur ein t , mit t i st,+- ist x ( t J =- - - + c . Dann fuhrt das zum Fall 3. 2 2

I) Auf die Hrrvorhebung der Falle 4.3 und 5.2 kann man auch verzichten.

38 Math. Nachr. 129 (1986)

Die Falle 1--5 lassen sich zusammenfassen, indem man die endliche Anzahl von Forderungen an N durch Wahl eines hinreichend groBen N o gewahrleistet und die

in den Ausdriicken ~ vorkommenden D durch den Maximalwert ersetzt.

Folglich gilt dann, daB fur alle X s N O Trajektorien mit V(x(t,), y( to) , ~ ( t , ) ) =

= N , y(to) = A , in IT13,,4,, eine Verweilzeit nicht groBer als besitzen. Damit

laBt sich auch leicht die Anderung der Funktion V entlang der Trajektorie x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) beim Durchlaufen des Streifens 17~dr,A21 abschatzen. Man erhalt namlich fur diese Anderung auf IlLd,,d21

D

I N

D

I N

wobei sich C2 aus ( 5 ) berechnet.

Lemma 4: Gegeben sei das System

$=x+ay 1

wobei a , b, c dieKonstanten aus ( 1 ) sind und N>O ebenfalls eine Konstante ist. Weiter sei f ( t ) eine stetige Funktion mit der Eigenschaft

( 1 1)

f u r alle f , fur die (10) betrachtet wird, und es sei lim E ( N ) = 0. Dann existiert eine

Zahl N o =- 0, so dap fur alle N z N o jede Trajektorie von ( lo) , die aus y =- 0 in y < 0 und zurfick in y =- 0 gehl, in y -= 0 mindestens eine Verweilxeit von VElvZ besitzt oder nach Paspieren dcr Achse y=O ffir aEEe weiteren t aus dem Existenzbereich der Losung im Gebiet x s 0 , y z 0 verbleibt.

Beweis. Wir betrachten eine Trajektorie x ( t ) , y ( t ) , die aus y>O in y-=O und zuruck in y =-o geht. Es sei t i der Moment des ersten Uberschreitens der x-Achse durch die Trajektorie. Offensichtlich ist wegen y ( t l ) = 0 und wegen der zweiten Gleichung von (10) auch x ( t l ) <o. Die Trajektorie befindet sich nach dem ober- schreiten der x-Achse also zunachst im Gebiet x +ay 5 0. Da die betrachtete Trajektorie in y =-O zuriickgehen soll, muB sie zunachst die Menge M = {x, y : x 5 0, y S O , (x, y) E KN} mit

If(4 I -== 4 X )

N - -

1 1 c2 1 2 2 2

( x - c ) 2 + - ( Y - ( l + b ) ) 2 S - +- ( l + b ) 2 + N - ~ ( N )

(N 2 N 0 , N o hinreichend groB) verlassen, da ansonsten die Trajektorie nicht am x ~ 0 , y S O herauskommt. Der obergang der Trajektorie aus X S O , y z o in

Leonov/Reitmann, Das Rossler-System 39

y=-O kann nur durch das Gebiet xs0, y S O erfolgen. Dabei kann die Traiek- torie vor Passieren der y-Achse nicht wieder in K , gelangen, da dies voraussetzen wiirde, da13 i = O im Gebiet (x 5 0 , y 5 0 , (x, y)c K,) wird, was aber nicht moglich ist. Die Trajektorie passiert also die y-Achse au13erhalb von K , , bevor sie in positiver y-Richtung (nach Schnitt mit x +ay = 0 ) die Halbebene y i 0 wieder verla13t. Dazu mu5 die Trajektorie mindestens die Entfernung 111.9 v% in positiver Richtung zurucklegen, wobei der Wert r1.9 I N fur alle J z N , ( N , wird, wenn notig, vergro5ert) gilt. Auf dem Weg in y e 0 sind zwei Situationen moglich. Einmal kann die Trajektorie noch vor Passieren der x-Achse in KN gelnngen. Dann schneidet die Trajektorie bei x-=1/2.1 N (auch hier fur N 2 A',,, So im Bedarfsfalle vergroBert) die x-Achse und hat auch hier wahrend des gesamten Aufenthaltes in y<O keine groBeren x-Werte. Dann la5t sich aus der zweiten Gleichung von ( 1 0) die Ungleichung

(12)

ableiten. Damit ist fur den Weg in y<O mindestens eine Zeit v1.9 N/1/2.1 N erforderlich.

Die zweite Moglichkeit besteht darin, daB die Trajektorie oberhalb f2 . l N die x-Achse schneidet. Dann kann in x z 0 , y 2 0 die Trajektorie nicht wieder in KA; gelangen und sowohl x(t) als auch y( t ) wachsen nur noch an. W

Beweis d e s Satzes . Wegen Lemma 2 bleibt nur der Fall ab-c+O zu betrachten. \Yir setzen im weiteren ohne Beschrankung der Allgemeinheit ab -c>O

voraus. Es seien A , -= 0 and A , >max rbi'. 2b} zwei beliebige Zahlen, durch die

ein Streifen IZl,,i,,,21 = (x, y, z : d 5 y 5 A,} im Phasenraum festgelegt wird. Wir geben uns eine Kugel mit beliebig groljem fixiertern Radius vor und zeigen,

da13 es Trajektorien von System (1) gibt, die nicht in diese Kugel gelangen. Aus dieser Eigenschaft folgt sofort die Aussage des Satzes.

Mit dem genannten Ziel wird eine Trajektorie x( t ) , y( t ) , z ( t ) von ( 1 ) mit (x(O), y(O), z(O))€I7,,,,,,,,, betrachtet, fur die der Wert V(x(O), y(O), z ( O ) ) = N , ( V ist die Funktion ( 2 ) ) so groB ist, darj wir uns in den Bedingungen von Lemma 3 und 4 befinden, die Menge {x, y, z : V ( x , y, z ) s N , } aul3erhalb der eingefuhrten Kugel liegt und die Ungleichungen

- ~-

l j 4 2 . 1 iv -- __

H fur alle A' s N l und N - :- 2 N o erfullt sind. Dabei sind N o , D , H die Konstan-

ten, uber die in Lemma 3 gesprochen wird, wahrend E definiert wird durch

(14)

VN -

1 -yi- ~ - - , -

aAi+(C-ab) Ud:j+(c-ab) 42

40 Math. Nachr. 129 (1986)

Gelangt die Trajektorie z(t), y( t ) , z ( t ) nicht in l T I A 1 , A z l , so befindet sie sich standig in einem Gebiet, in dem die Ableitung P aus (3) nichtnegativ ist. Also wird der Wert der Funktion V( t ) (wir kurzen dsmit den Ausdruck V(x(t) , y( t ) , z ( t ) ) ab) nicht kleiner und die Trajektorie gelangt nicht in die fixierte Kugel. Es werde nun angenommen, daIj die betrachtete Trajektorie bei t =to mit

V(to) = N z N 0 in lTIAl,dal gelangt. Dann gilt laut Lemma 3, daB die Trajektorie

den Streifen JT[d,,d21 nach einer Verweilzeit nicht groBer als - wieder ver1aBt.

Unser Ziel besteht darin zu zeigen, daB bei einem erneuten Eintritt der Tra- jektorie in 17[4,,A,1 der Wert von V nicht kleiner als N ist, d. h. nicht kleiner als der vorhergehende V-Wert beim Eintritt in den Streifen ~ [ A 1 , ~ , ] .

Damit werden wir erhalten, daB trotz wiederholten Eindringens der Trajek- torie in lTldl,d,, und trotz der damit verbundenen Abnahme von V entiang der Trajektorie innerhalb eines Teils des Streifens, sich der Wert V bei aufeinander- folgenden Momenten des Eindringens nicht verringert und damit die Trajektorie zu diesen Zeitpunkten auBerhalb der eingefuhrten Kugel liegt.

Wir wollen annehmen, daB diese Aussage falsch ist, d. h., daB die Trajektorie bis zum Wiedereintritt in lTL,,,,d21 eine Zunahme des Funktionswertes V impli-

D

I N

7- H ziert, die kleiner ist als -=. Als Konsequenz dieser Annahme erhalt man, daB

VN T;r lil

die Aufenthaltsdauer At 'der Trajektorie in R 3 \ n [ ~ 1 , ~ z , nicht groBer a18 __ ist,

wobei E eine Konstante ist, die von D, A i und A 2 abhangt. Sie 1aBt sich folgender- maBen bestimmen. Angenommen, die Trajektorie befindet sich in y -=A I. Laut ( 3 ) ist P = a y 2 ( t ) + ( c - a b ) y( t ) . Damit ist ~ z a A ~ + ( c - a b ) A , ~ O . Mit dem Mittel- wertsatz ist dann die Funktionswertiinderung von V beschriinkt durch

Somit erhalt man

Nun sei die Trajektorie in y>A2. Dann ist analog

Fur die Konstante E konnen wir deshalb die Festlegung (14) verwenden. Die Trajektorie, die sich in R \lTLAi,d,l aufhalt, kann entweder in y > A 2

oder in y A liegen. Fiir unsere Belange ist der zweite Fall giinstig; der erste l a B t sich auf ihn

zuruckfiihren. Wenn die Trajektorie, die sich in y > A 2 befindet, dort fur alle


weiteren t-Werte verbleibt, erhiilt man mit (16) die Aussage des Satzes. Also moge die Trajektorie wieder in .ZIIA,,A21 gelangen. Der Wert der Funktion V hat sich dabei gegeniiber N - H / d N nicht mehr verkleinert. Angenommen, die Trajektorie trifft zum Zeitpunkt ti auf 1 7 ~ d , , A 2 1 . Dann ist offensichtlich z(t ,) +ay(t,) -=O, was naturlich x(ti) -= 0 impliziert. Nach Lemma 3 verlal3t die Trajektorie xf t ) , y(t), x(t) den Streifen Z71Al ,A, l wieder nach einer Verweilzeit kleiner - D / v N - H/I /N und

Funktionswertverringerung von V(t ) kleiner H l l N - H I I N und geht dabei in y < d i uber, Wenn nun V ( t ) wahrend des Aufenthaltes der Trajektorie in y-=d nicht mindestens um H/vN + H I I N - H/I /N wachst (falls die Trajektorie sofort nach t=to aus n L A , , A , l in y-=d ubergeht, ware H / I N als Zuwachs ausreichend), so gilt die Beziehung (17) V ( i ) = N + f ( t ) mit

____-

___ ~

fur alle t bis nach der nachsten Durchquerung des Streifens I l L A , , A 2 1 . Wir elimi- nieren aus (2) x und erhalten

(19) 1 2

X = V - - (X2+Y2)+b?/+cx.

Mit dieser Darst,ellung reduzieren wir die Dimension des Differentialgleichungs- systems (l) , indem wir nur (ii) und (iii) betrachten, wobei x in (li) durch (17 ) und (19) ersetzt wird. Wir erhalten das nichtautonome Differentialgleichungssystem der Dimension 2 (10) rnit F ( N ) aus (18) und konnen also Lemma 4 anwenden. Die ersteMogIichkeit, dieLemma 4 bezuglich der Trajektorie zulafit, besteht darin,

dal3 deren Aufenthaltszeit in y < A i groBer als 11.9/2.1 -D/1/N - H I I N ist. Das ergibt aber mit (13) sofort einen Widespruch zu (15). Die zweiteMoglichkeit, die in Lemma 4 zugelassen wird, fuhrt zum Verletzen der Ungleichung (1 6).

~~

a

4. Fehlende Dissipativitat eines benaehbarten Systemes

Anstelle von (1) wird haufiger ([5.11]) das nur in (liii) veranderte System (20) z= -y-2 ,

g = x + a y , S = b - C Z + X Z

mit positiven Parametern a , b , c betrachtet. Die bisherigen Untersuchungen lassen sich leicht auf (20) ubertragen. Lemma 6. Die Funktion W : R3 -* R1 sei definiert durch

1

2 W(X, y, z)=- (zz+y2)+z-cz,

42 Math. Nachr. 1'29 (1986)

wobei c aus (20) ist. Dann gilt fur eine beliebige Lowng x ( t ) , y ( t ) , z(t) von (20) die Beziehung

(22) a d

W = - W ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) = ay V) + cy(t) + b . at Beweis. Er verlauft wie der von Lemma 1.

c2 Lemma 6. Es sei b z - . Dann ist System (20) nicht dissipativ im Sinne von

4a

Beweis. Er folgt sofort aus der Darstellung LEVINSON.

und weiteren uberlegungen wie im Beweis von Lemma 2. Satz 2: System (20) ist nicht dissipativ im Sinne von LEVINSON. Beweis. Er verlauft vollkommen analog zum Beweis von Satz 1 mit folgender

c2

4a Zerlegung des Phasenraumes fur b 4- :

R3=n1~.U2UIT3,

rr,=Ix, z , y: y" --- 2a

Damit kann

mit entsprechenden ,4,-=0 und A 2 > 0 eine Rolle wie im Beweis von Satz 1 iiber- nehmen. rn

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Leninyrnder Staatliche Universitat Technische Universitat Dresden iMathematisch-Mechanische Fakultat Sektion Nathematik UdSSR - 199164 Leningrad D D R - 8027 Dresden Unirersitetaknja Nabereschnnja 719 MonimsenstraJle 13

das rÖssler-system ist nicht dissipativ im sinne von levinson

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