darstellungsvernetzung zur integrierten vorstellungs- und...

inMathema*k

DilanŞahin-GürSusannePrediger·VolkerEisen·UdoKietzmann·NadineWilhelm·LenaWessel

DarstellungsvernetzungzurintegriertenVorstellungs-undSprachförderungSprachsensiblerMathema*kunterricht–Workshop

HerkunB:

DieserBausteinwurdeentwickeltaufderBasisvonMaterialvonSusannePredigerausdemProjektMuM(MathemaLklernenunterBedingungenderMehrsprachigkeit,hOp://www.mathemaLk.uni-dortmund.de/~prediger/projekte/mum/home.html)undauseinemDZLM-ModuldesDeutschenZentrumsfürLehrerbildungMathemaLk.ErwirdauchüberdasDZLMweitervertrieben(hOp://dzlm.de).

DerBausteinwurdeopLmiertimRahmendesProjektsSprachsensiblesUnterrichtenfördernvondenaufderTitelfoliegenanntenAutorinnenundAutoren.

Urheberrechtslizenz:

DerBausteinwirdunterderCreaLveCommonsUrheberrechtslizenzCCBY-NC-SAveröffentlicht:Namensnennung–Nicht-kommerziell–WeitergabeuntergleichenBedingungen.(hOps://creaLvecommons.org/licenses/)

Dasbedeutet:AlleFolienundMaterialienkönnenfürnicht-kommerzielleZweckederAus-undFortbildunggernegenutztwerden,unterderVoraussetzung,dassimmerdieQuellenhinweiseaufgeführtbleiben.

2

KooperaLons-undCopyright-Vermerk

Gliederung

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HintergründeundAusgangspunktezuSPRACHEimMathemaLkunterricht

WoraufkommtesspeziellimMATHEMATIK-Unterrichtan?(Selbstversuch)

WaskannichimUnterrichttun?(InputundAkLvität)

Zusammenfassung

Kernak*vität:DerintegraLveAnsatzzurVorstellungs-undSprachförderungdurchdasPrinzipderDarstellungsvernetzungwirdbeispielhaBamGegenstandBrüchevorgestellt,umvielfälLgeVernetzungsakLvitätengezieltanzubahnen.

Gliederung

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Zusammenfassung

SprachkompetenzalswichLgerHeterogenitätsaspekt

SprachealsherkunBsbedingterHeterogenitätsaspektvonzunehmenderBedeutung:

•  30%derLernendenmitMigraLonshintergrund(inGroßstädtenüber50%)

•  1,1Mio.neueFlüchtlingealleinin2015

•  Bildungsverlierersindallerdingsauchin2.und3.GeneraLon

•  undauchvielereindeutschsprachigeKinderverfügennichtüberhinreichendeSprachkompetenzfürerfolgreichesMathemaLklernen(Predigeretal.2015)

•  dennfließendeAlltagsspracheaufdemFußballplatzreichtnicht,notwendigistBildungssprache (Morek&Heller2012;Meyer&Prediger2012)

•  ErwerbderBildungssprachestarkabhängigvonfamiliärenLerngelegenheiten(ßSchlüsselzurVerminderungsozialerUngerechLgkeit)(s.o.)

•  BildungsspracheistLernmedium,oBunterschätzteVoraussetzungunddeswegenerstLerngegenstand(Prediger2013)

6

WarumistSprachkompetenzrelevantfürMU?

•  StaLsLscheGründe:EinflussderSprachkompetenzaufMathemaLkleistungwiederholtstaLsLschnachgewiesen,stärkeralsLesekompetenz,MigraLonshintergrund,sozioökonomischerStatus(SES) (vgl.Stanat2006,Predigeretal.2015,u.v.a)

•  BildungspoliLscheGründe:SprachbildungalsQuerschniOsaufgabeallerFächerfestgelegtinvielenLandes-ErlassenundLehrplänen(z.B.NRWMSW1999,HauptschullehrplanNRW2011)

•  LehrerbildnerischeGründe:SprachbildungfestgelegtalsInhaltvielerLehrerausbildungsgesetze

(z.B.MSW2009Lehrerausbildungsgesetz)•  UnterrichtsprakLscheGründe:

vieleMathemaLk-LehrkräBespürentäglichganzkonkretdieBeschränkungendurchSprachkompetenzàhohesInteresseanHintergründenundAnsätzen

7

WoverortenLehrkräBeProblemevonsprachlichSchwachen?

Erzeugtzuüber70%zweiAntworten:

GeringerWortschatz

Textaufgabenlesen ...könnennichtargumenLeren

(ßDiskurskompetenz)

...könnenmathemaLscheZusammenhängenichtausdrücken

...könnenBedeutungenfürKonzeptenichtausdrückenundfassen

Dagegenfehltmeist:DieSuS...

Kartenabfrage:

•  WotauchenbeiIhrenLernendensprachlichbedingteSchwierigkeitenauf?•  InwiefernbeeinträchLgendieseSchwierigkeitendasMathemaLklernen?

8

FünfKompetenzbereichevonSprache

9

SprachrezepLon SprachprodukLon Sprachreflexion

Mündlich

SchriBlich

(EuropäischerReferenzrahmen,KernlehrplanNRWDeutschu.v.a.)

Hören Sprechen

Lesen Schreiben

ReflekLerenundBeurteilen

KeinFörderbedarffürsHören(ausBest-PracLceVideostudie2002,Begehr2004):

•  75%derRedezeitnutzenLehrkräBe

•  63%derLernendenäußerungennurEinwort-oderHalbsätze

Sprachförderungdurch

•  StrategienfürsLesen

•  AnregungdesSchreibensundSprechensvonmehralseinemSatz!

EbenenderSprache:nichtnurdieWortebene

Wortebene

Satzebene

Textebene

Wörter;Wortbildungsformen

Satzbausteine

syntakLscheKonstrukLonen

ZusammenhängevonSätzen

Textsorten(z.B.Textaufgabe,Stellung-nahme,KonstrukLonsbeschreibung....)

WelcherAnteilistgrößer?

Hintergrund:VerschiedeneSprachregister

11

StudiezurKoordina*onsfähigkeitIneinerGesamtschuleinNordrhein-WesvalenwurdeeineStudiezurKoordinaLonsfähigkeitvonSchülerndurchgeführt,indemuntersuchtwurde,wievieleSchüssebeimSchießenaufeineTorwandinsTorgingen.InsgesamtwurdenvierGruppenundihreTrefferquotenverglichen:

Gruppe1trafbei10Schüssen5mal,währendbeiderzweitenGruppe75%derSchüsseinsTorgingen.InGruppe3,derauchdiemeistenSchülerangehörten,trafman4malbei6Versuchen.InGruppe4wurdebeijedemviertenSchusseinTreffererzielt.WelcherGruppegehörendieSchüleran,dieüberdiehöchsteKoordinaLonsfähigkeitverfügen?

WeristderbesteTorschütze?VierKinderkämpBenumdenTiteldesbestenTorschützenbeimFußball.Paulhatbei10Schüssen5malgetroffen,aberbeiLisagingen75%derSchüsseinsTor.Jandagegentraf4malbei6Versuchen,beiMarawarjedervierteSchusseinTreffer.NungibtesStreit,werambestenwar.WiesolltedieSchiedsrichterinentscheiden?

Wasistgrößer?3oder354

WelchesistdergrößteAnteil?•  bei10Schüssen5mal•  75%derSchüsse•  4malbei6Versuchen•  jedenviertenSchuss

Hintergrund:Alltags-undBildungssprache

12

StudiezurKoordina*onsfähigkeitIneinerGesamtschuleinNordrhein-WesvalenwurdeeineStudiezurKoordinaLonsfähigkeitvonSchülerndurchgeführt,indemuntersuchtwurde,wievieleSchüssebeimSchießenaufeineTorwandinsTorgingen.InsgesamtwurenvierGruppenundihreTrefferquotenverglichen:

Gruppe1trafbei10Schüssen5mal,währendbeiderzweitenGruppe75%derSchüsseinsTorgingen.InGruppe3,derauchdiemeistenSchülerangehörten,trafman4malbei6Versuchen.InGruppe4wurdebeijedemviertenSchusseinTreffererzielt.

WelcherGruppegehörendieSchüleran,dieüberdiehöchsteKoordinaLonsfähigkeitverfügen?

WeristderbesteTorschütze?VierKinderkämpBenumdenTiteldesbestenTorschützenbeimFußball.

Paulhatbei10Schüssen5malgetroffen,aberbeiLisagingen75%derSchüsseinsTor.Jandagegentraf4malbei6Versuchen,beiMarawarjedervierteSchusseinTreffer.NungibtesStreit,werambestenwar.WiesolltedieSchiedsrichterinentscheiden?

Alltagssprach-Typisch•  konzepLonelleMündlichkeit•  flexiblerWortgebrauch•  unvollständigeundeinfacheSätze

•  persönliche,akLveFormen

•  kontextgebunden,vieleunmiOelbareVerweise(dasda,..)

Bildungssprach-Typisch•  konzepLonelleSchriBlichkeit•  präziserWortgebrauch•  vollständigeundkomplexeSätze

(komplexeAOribute,KonjunkLv,verkürzteNebensätze...)

•  unpersönlicheFormen(man,Passiv,SubstanLvierungen)

•  dekontextualisiert,abstrakt,expliziterformuliert

KinderausEinwandererfamilienundsozialbenachteiligtenFamilienerwerbeneherAlltagssprache(BICS),aberkaumBildungssprache(CALP)

(BICS/CALP,Cummins1979)

(Morek&Heller2012,Meyer&Prediger2012,Feilke2012)

• SprachealsLernhürde• SprachealsLernmedium• SprachealsLerngegenstand

VielfälLgeDarstellungenimMathemaLkunterricht

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Bildlich-graphischesRegister

VerbalalltagssprachlichesRegister

VerbalfachsprachlichesRegister

Symbolisch-numerischesRegister


Wasistgrößer3oder354

WeristderbesteTorschütze?VierKinderkämpBenumdenTiteldesbestenTorschützen...

WelchesistdergrößteAnteil?

VerbalbildungssprachlichesRegister StudiezurKoordina*onsfähigkeit

IneinerGesamtschuleinNordrhein-Wesvalenwurde...

(Leisen2005,Prediger&Wessel2012)

Ausblick:flexibleVernetzungderSprachebenenalsLernzielundalsLernweg

Gliederung

14




ZusammenfassungundFazit

Wiesoistdassoschwierig?EinSelbstversuch

15

MagicMulLplicaLon(You-Tube-Video,1:44min)

hOp://www.youtube.com/watch?v=_AJvshZmYPs(IdeeGogolin)

(Fremdsprache,damitSieeingeschränkteSprachkompetenznachfühlenkönnen)

DenkenunderklärenSieinIhrerFremdsprache,warumdasVerfahrenfunkLoniert.SchaltenSienichtzwischendurchaufDeutschum!

Wiesoistdassoschwierig?EinSelbstversuch

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HelpingwordsLineIntersecLonDigitMulLply,AddupCountPlacevaluesDigitsOnesTensCarry(Übertrag)

VocabulairelaLigneuneIntersecLonleChiffreMulLplier,addiLonnerCompterleValeurdeposiLonleChiffredesUnitésleChiffredesDizainesleChiffredesCentaines

MagicMulLplicaLon(You-Tube-Video,1:44min)

hOp://www.youtube.com/watch?v=_AJvshZmYPs(IdeeGogolin)

DenkenunderklärenSieinIhrerFremdsprache,warumdasVerfahrenfunkLoniert.SchaltenSienichtzwischendurchaufDeutschum!

WaslernenwirausdemSelbstversuch?(theoreLscheEinordnung)

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•  Erstaunlichschwierig,obwohlichdachte,ichkanneigentlichganzgutEnglisch(ßnurAlltagssprache,keineFachsprachevorhanden)

•  BeschreibenmitBildistvieleinfachermit„this“,„Look,here“,alsexplizitsprachlichzuformulieren.

•  AnVeranschaulichungsmiOelnkannmandenkenundkommunizieren(zähleichalsSprachmiOel!).

•  „Erstwussteichnichtmal,wieichdarüberdenkensollte,dieHilfe„Ones,Tenths,Hundreds“hatdiemathemaLschePerspekLveeröffnet(ßkogniLveFunkLonderSprache)

•  HauptwörteraufWörterlistenhelfennurwenigumSätzezubilden,ebensowichLgsindVerbenundBeziehungswörterzumHerstellenvonBezügen,z.B.„correspond“;“alinerepresents...“;“turnamulLplicaLonproblemintoacounLngproblem“(ßRelevanzderSatzbausteinestaOisolierteWörter)

•  DenkenaufEnglischwirdgarnichterstversucht(ànormal:GedachtwirdinderMuOersprache,dannerstkommuniziertinzweiterSprache.)

•  RechnenkönnenisteineandereAnforderungalsBedeutungenerklären.DiemeistenBeschreibennurVorgehensweisestaOzuerklären,warumesfunkLoniert.(ßmathemaLschundsprachlicheinfachereSprachhandlung)

HelpingwordsLineIntersecLonDigitMulLply,AddupCountPlacevaluesDigitsOnesTensCarry(Übertrag)

Vocabulaire

laLigneuneIntersecLon

leChiffreMulLplier,addiLonnerCompterleValeurdeposiLon

leChiffredesUnités

leChiffredesDizainesleChiffredesCentaines

EbenenderSprache:nichtnurdieWortebene

Wortebene

Satzebene

Textebene

Wörter;Wortbildungsformen

Satzbausteine

syntakLscheKonstrukLonen

ZusammenhängevonSätzen

Textsorten(z.B.Textaufgabe,Stellung-nahme,KonstrukLonsbeschreibung....)

Sprache

KogniLveFunkLonvonSprache

Wersprachlichschwachist,kannKompetenzenundVorstellungennichtentwickeln

besondersinVerstehensprozessen

WoliegendieProblemefürsprachlichschwacheLernende?

KommunikaLveFunkLonvonSprache

Wersprachlichschwachist,kannseineKompetenzenundVorstellungennichtrichLgzeigen

Denken Denken

Sprache

Denken

Sprache

BeispielefürkommunikaLveHürden:•  Textaufgabenlesen•  präsenLeren•  schreiben

BeispielefürkogniLveHürden:•  (sichselbst)erklären•  Zusammenhängeverstehen

durchverbalisieren•  Denkendurchschreiben

(Maier&Schweiger1999,Morek&Heller2012) 19

Gliederung

20




Zusammenfassung

Kernak*vität:DerintegraLveAnsatzzurVorstellungs-undSprachförderungdurchdasPrinzipderDarstellungsvernetzungwirdbeispielhaBamGegenstandBrüchevorgestellt,umvielfälLgeVernetzungsakLvitätengezieltanzubahnen.

Wasbedeutet„verstehen“?

21(AufgabeHasemann1986,LösungshäufigkeitenausPALMAinWartha2007;InhaltlichesDenkenvorKalkülnachPrediger2009,vomHofe2003)

LösungshäufigkeitenvonLernendenEndeKlasse7

WasglaubenSie,welcheZahlengehörenzuwelcherTeilaufgabe?

b.)FormalesHanLeren a.)InhaltlichDenken

a.) Färbezuerst1/4desKreisesschwarz.Färbedannnoch1/6desKreisesschwarz.WelchenBruchteildesKreiseshastDuinsgesamtschwarzgefärbt?

b.) Berechne1/4+1/6.

BearbeitungvonAnke

zua.)EinZehntel!

zub.)

FAZIT:Darstellungsvernetzung

UNDexpliziteAuseinandersetzungüberBedeutungenderDarstellungen

Wurzeln:DasEIS-PrinzipnachBruner(1971)

22

3 Darstellungsebenen zur Erschließung der Umwelt (Repräsentationen / Modalitäten des Denkens)

S symbolisch durch verbale Mitteilung oder im Zeichensystem

Entwicklung des Denkens:

zunehmend bessere Koordination zwischen den Darstellungsebenen

Prinzip des Wechsels und der Verzahnung

Abstraktion und Konkretisierung

E enaktiv durch eigene Handlung

mit konkretem Material

I ikonisch durch Bilder oder Grafiken

Darstellungsebenenund-wechselimMathemaLkunterricht

23

Wasistgrößer3oder354


𝐹ü𝑟 𝑏>𝑐 :𝑎/𝑏 < 𝑎/𝑐 

VerbalfachsprachlichVerbalbildungssprachlichVerbalalltagsprachlich

WelchesistdergrößteAnteil?

WeristderbesteTorschütze?VierKinderkämpBenumdenTiteldesbestenTorschützen...

StudiezurKoordina*onsfähigkeit

IneinerGesamtschuleinNRWwurde...

(Bruner1971,Lesh1979,Duval2006)

Symbolisch-algebraischeDarstellungen

Symbolisch-numerischeDarstellungen

VerbaleDarstellungen

KonkreteDarstellungen

(Artefakte,Handlungen)

BildlicheDarstellungen

VielfälLgeSprach-undDarstellungsebenenimMU

24

GegenständlicheDarstellungsebene

Symbolisch-algebraischeDarstellungsebene

BildlicheDarstellungsebene

VerbalfachsprachlicheDarstellungsebene

Symbolisch-numerischeDarstellungsebene

(Prediger&Wessel2012nachvonKügelgen1994,Leisen2005)

Vernetzungder

Darstellungs-ebenen

VerbalbildungssprachlicheDarstellungsebene

VerbalalltagssprachlicheDarstellungsebene

Darstellungswechselsymbolischàverbal

26

StelleeineTextaufgabezum

FunkLonstermy=0,2x+5

Quelle:Prediger/Schmerder/Bronzel2007

AntwortenvonRealschülern,9.KlassezeigenhohesdiagnosLschesPotenLal:

SvenFabienne

Klara

Paul

AkLvitätenundArbeitsauBrägezurIniLierung

27

WechselnvoneinerDarstellungineineandere•  StelledenBruchalsBildoderSituaLondar!•  WelcherAnteilistindiesemBild/dieserSituaLondargestellt?

ZuordnenvonvorgegebenenDarstellungen•  VondenBildernundBrüchengehörenimmerzweizusammen.Ordnesieeinanderzu.

16 2

3

13

Prüfen/KorrigierenderPassungzwischenDarstelllungen•  PiahatfolgendeSituaLonaufgeschrieben....ÜberprüfeobsiezuihremBildpasst.

ErmiOeln/ErklärenmathemaLscherBeziehungen&StrukturendurchDarstellungswechsel

•  WelcherderBrücheistgrößer?BesLmmemiteinemBildodermithilfeeinerSituaLon.

•  WiesiehtmanandenBruchstreifen,welcherAnteilgrößerist?SammelnundReflekLeren

•  SammeltverschiedeneAusdrücke,mitdenenAnteilebeschriebenwerden.

(Prediger&Wessel2012)

AkLvitätenundArbeitsauBrägezurIniLierung

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OperaLvesVariieren&BeschreibenderAuswirkungen (Wessel2015)

AkLvität:AufgabenzurDarstellungsvernetzungkonstruieren

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Aktivität BeispielauftragzuBrüchenWechselnvoneinerDarstellungineineandere(freiwählbareodervorgegebene)

• StelledenBruch¾alsBildoderSituationdar.• FindezurSituation...einBild/einenBruch.• HieristeineRechenaufgabe,findeeineTextaufgabedazu.• HieristeinetürkischeAufgabe,kannstdusieübersetzen?• HieristeinrechtkomplizierterZeitungstext.Schreibeihnso

um,dassandereKinderihngutverstehenkönnen.ZuordnenvorgegebenerDarstellungen,auchzurSicherungvonFachwörtern

• VondenKartenmitBrüchen,SituationenundBilderngehörenimmerdreizusammen,ordnesieeinanderzu.Vorsicht,einigeBilderundSituationenfehlen,ergänzesie.

• VerbindedieFachwörterZähler,Nenner,Teil,Anteil,GanzesmitdemBeispielbruch,umdirihreBedeutungzumerken.

Prüfen / Korrigieren der Passung zwischenDarstellungen

• OlehatzumBruch4/5folgendesBild...gemalt.VeränderedasBildso,dassespasst.

• Piahatzu¾>3/5eineSituation....aufgeschrieben.KorrigierePiasFehlerinderBeschreibung.

Erklären der (Nicht-)Passung zwischenDarstellungen

• OlehatzumBruch4/5folgendesBild....gemalt.Erkläreihm,wiesoesnichtpasst.VeränderedasBildso,dassespasst.

ErmittelnmathematischerBeziehungen/StrukturendurchDarstellungswechsel

• WelcherBruchistgrößer,¾oder3/5?BestimmemiteinemBildodermiteinerSituation.

Erklären,wiemathematischeBeziehungen/StruktureninunterschiedlichenDarstellungenzuerkennensind

• WiesiehtmanandemBild,welcherAnteilgrößerist?Erkläre.

SammelnundReflektierenunterschiedlicherMöglichkeiteninnerhalbeinerDarstellung

• SammeltmöglichstverschiedeneBilderfür¾>3/5.• GehtalleAufgabederBuchseiten23-27durchundschreibt

alleAusdrückeheraus,mitdenenAnteilebeschriebenwurden(jeder3.,….).SchreibtsieaufeingroßesPlakat.

OperativesVariiereninDarstellungenundBeschreiben/BegründenderAuswirkungaufweitereDarstellungen

VielfältigesRepertoirevonVernetzungsaktivitäten

Aktivität BeispielauftragzumThema………………………………...WechselnvoneinerDarstellungineineandere(freiwählbareodervorgegebene)

ZuordnenvorgegebenerDarstellungen,auchzurSicherungvonFachwörtern

Prüfen/KorrigierenderPassungzwischenDarstellungen






AkLvität:AufgabenzurDarstellungsvernetzungkonstruieren

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VielfältigesRepertoirevonVernetzungsaktivitäten

Aktivität BeispielauftragzumThema………………………………..…………………..WechselnvoneinerDarstellungineineandere(freiwählbareodervorgegebene)

ZuordnenvorgegebenerDarstellungen,auchzurSicherungvonFachwörtern

Prüfen/KorrigierenderPassungzwischenDarstellungen






Wendepunkt

Gliederung

33




Zusammenfassung

VonderdefensivenzuroffensivenStrategie

DefensiveStrategie:

•  Anforderungen(z.B.derTexte)senken,bissiezurKompetenzderLernendenpassen

•  möglicheFolge:FossilierungderSprachkompetenzstaOWeiterentwicklung

OffensiveStrategie:

•  nurwirklichunnöLgeHürdenvermeiden•  sonstlieberLernendeaufHürdenvorbereiten,

d.h.ihreKompetenzdenAnforderungenanpassen

ßSprachbadherstellen!

(MetapherLeisen2010)

GestaltungsregelnfürSprachspeicher

35

•  mitisoliertenWörternkönnenKindernurschwerSätzebildenàSatzbausteinemitdenfürMathemaLkrelevantenBezugswörternundSatzstellungen

•  dieWortlistealleinklärtdieBedeutungenzuwenigàstrukturierteSprachspeicherauchmitDarstellungen

•  FachwörtersindnichtalleindasProblem,manchenKindernfehltnochGrundlegenderesàbildungssprachlicheSprachmiOeleinbeziehen

(Prediger2016a,b)

der Prozentwert

der Grundwert 9

12

100 %

der Prozentwert

12 GB großer Film

der alte Preis

der Grundwert

schon 9 GB geladen haben

der neue Preis

Geld, das man zahlen muss

0

0 % 75 %

der Prozentsatz

Anteil, den man zahlen muss

schon 75 % geladen haben

der Rabatt (in %)

Anteil, den man spart

noch 25 % laden müssen

noch 3 GB laden müssen

Geld, das man spart

Rabatt (in €)

Alsonichtso:sondernso:

Zusammenfassung

WiebegegnetunsSpracheimMathemaLkunterricht?

•  SprachealsLerngegenstand,Lernmedium,Lernhürde•  SchlüsselzuBildungsgerechLgkeitundLernerfolg

WoraufkommtesspeziellimMUan?

•  Wort-,Satz-undTextebene•  Alltags,Fach-undBildungssprache•  KommunikaLveundkogniLveFunkLonvonSprache

WaskannichimUnterrichttun?

•  OffensiverUmgangmitSprache•  Fach-undsprachintegrierteFörderung•  VernetzungsakLvitäteniniLieren

37

StelleeineTextaufgabezumFunkLonstermy=0,2x+5

VielenDankfürIhreAufmerksamkeit!

38

???

LiteraturdesBasismoduls

39

Basistexte:Leisen,J.(2005).WechselderDarstellungsformen.EinUnterrichtsprinzipfüralleFächer.In:Der

FremdsprachlicheUnterrichtEnglisch78,9-11(onlineverfügbar).Prediger,S.&Wessel,L.(2012).Darstellungenvernetzen–AnsatzzurintegriertenEntwicklungvonKonzepten

undSprachmiOeln.In:PraxisderMathemaLkinderSchule54(45),29-34.WeitereziLerteLiteratur:Bruner,J.S.(1971).ÜberkogniLveEntwicklung,.In:J.Bruneretal.:StudienzurkogniLvenEntwicklung,KleO,

StuOgart:Kohlhammer,21-53.Duval,R.(2006).AcogniLveanalysisofproblemsofcomprehensioninalearningofmathemaLcs.In:EducaLonal

StudiesinMathemaLcs61(1-2),103-131.Hasemann,K.(1986).BruchvorstellungenunddieAddiLonvonBruchzahlen.In:MathemaLklehren16,16-19.vonKügelgen,R.(1994).DiskursMathemaLk.KommunikaLonsanalysenzumreflekLerendenLernen.Frankfurt:

Lang.Lesh,R.(1979).MathemaLcallearningdisabiliLes.In:R.Leshetal.(Hrsg.):AppliedmathemaLcalproblem

solving,Columbus,OH,111-180.Prediger,S.(2009).InhaltlichesDenkenvorKalkül–EindidakLschesPrinzipzurVorbeugungundFörderungbei

Rechenschwierigkeiten.In:A.Fritz&S.Schmidt(Hrsg.):FördernderMathemaLkunterrichtinderSekundarstufeI.Rechenschwierigkeitenerkennenundüberwinden.Weinheim:Beltz,213-234.

vomHofe,R.(2003).GrundbildungdurchGrundvorstellungen.In:MathemaLklehren118,4-8.WarthaS.(2007).LängsschniOlicheAnalysenzurEntwicklungdesBruchzahlbegriffs.Hildesheim:Franzbecker.Wessel,L.(2015).Fach-undsprachintegrierteFörderungdurchDarstellungsvernetzungundScaffolding.Ein

EntwicklungsforschungsprojektzumAnteilbegriff.Heidelberg:SpringerSpektrum.

(PublikaLonenvonS.PredigernacheinemJahraufihrerHomepageöffentlichzugänglich)

darstellungsvernetzung zur integrierten vorstellungs- und...

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