Universidad Tecnologica Nacional

Teorıa

Analisis Matematico II

Damian Silvestre

17 de diciembre de 2013

Resumen

Este es un apunte teorico cuyo proposito es ser de utilidad alos alumnos que esten cursando la materia Analisis Matematico II.Esta dirigida

El mismo puede ser descargado desde el blog http://analisis2.wordpress.com.Se trata de un trabajo en proceso, es decir que no esta terminado,

y ademas no pretende sustituir la bibliografıa, solo complementarla.Cualquier error, comentario o sugerencia que pueda mejorar estas

notas seran bien recibidas. Pueden escribirme en la seccion Teorıa endicho blog (preferentemente), o a mi direccion de correo electronicodsilvestre@frba.utn.edu.ar.

Historial de versiones:

(Version 1) 24 de Mayo de 2013: Primera version.

(Version 2) 17 de Agosto de 2013: Correcciones varias. Se agradecela lectura del apunte al profesor Victor Carnevali.

(Version 3) 17 de Diciembre de 2013: Varios cambios. Mejore elformato del documento utilizando el paquete de LATEX amsthm.Agregue el metodo de variacion de parametros y la demostracioncartesiana de que las lineas de campo son ortogonales a las lineasequipotenciales en R2. Agrupe las formulas de masa, momentosy centro en un par de tablas.

Indice

1. Nociones previas 41.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Igualdad de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6. Cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.7. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.8. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.9. Estructuras algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1

2. Ecuaciones diferenciales 1o parte 122.1. Ecuaciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3. Soluciones de una EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4. Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables . . . 142.5. Ecuacion Diferencial Ordinaria Lineal de 1o Orden . . 152.6. Familias de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.6.1. Familias de curvas ortogonales . . . . . . . . . 18

3. Nociones de Topologıa 213.1. Espacio euclıdeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2. Entorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3. Clasificacion topologica de puntos de Rn . . . . . . . . 223.4. Clasificacion topologica de subconjuntos de Rn . . . . 233.5. Conjunto acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.6. Conjunto conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.6.1. Conjunto arco-conexo . . . . . . . . . . . . . . 243.6.2. Conjunto conexo por poligonales . . . . . . . . 253.6.3. Conjunto convexo . . . . . . . . . . . . . . . . 253.6.4. Conjunto sımplemente conexo . . . . . . . . . . 26

3.7. Clasificacion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 263.8. Conjuntos de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. Lımite y Continuidad 274.1. Lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.1. Como probar que un lımite no existe . . . . . . 284.1.2. Como probar que un lımite existe . . . . . . . . 29

4.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2.1. Propiedades de funciones contınuas . . . . . . . 31

5. Derivabilidad 325.1. Derivada de funcion vectorial . . . . . . . . . . . . . . 32

5.1.1. Interpretacion geometrica . . . . . . . . . . . . 325.2. Derivadas parciales, direccionales, y respecto a un vector 33

5.2.1. Propiedad de homogeneidad . . . . . . . . . . . 355.2.2. Derivadas parciales sucesivas . . . . . . . . . . 375.2.3. Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . 375.2.4. Funcion clase C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3. Curvas y Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2

6. Diferenciabilidad 406.1. Definicion de funcion diferenciable . . . . . . . . . . . 436.2. Diferenciabilidad implica Derivabilidad . . . . . . . . . 436.3. Diferenciabilidad implica Continuidad . . . . . . . . . 456.4. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.5. El gradiente es normal al conjunto de nivel . . . . . . 466.6. Direcciones de derivada maxima, mınima y nula . . . . 476.7. C1 implica diferenciable . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7. Funciones Compuestas e Implıcitas 497.1. Funcion definida implıcitamente . . . . . . . . . . . . . 497.2. Teorema de Cauchy-Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.3. Funcion Compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.4. Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8. Polinomio de Taylor y Extremos 528.1. Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528.2. Maximos y mınimos de una funcion . . . . . . . . . . . 53

8.2.1. Criterio de la derivada primera . . . . . . . . . 548.2.2. Criterio de la derivada segunda . . . . . . . . . 56

8.3. Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

9. Integral de Lınea y Funcion Potencial 629.1. Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.2. Curva regular a trozos, curva de jordan . . . . . . . . 639.3. Integral de lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.4. Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649.5. Teorema de la independencia del camino . . . . . . . . 659.6. Condicion necesaria para la existencia de funcion po-

tencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.7. Condicion de suficiencia para la existencia de funcion

potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

10.Integrales Multiples 6810.1. Teorema de Fubini en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . 7210.2. Teorema de cambio de variables . . . . . . . . . . . . . 7210.3. Coordenadas cartesianas y polares en R2 . . . . . . . . 7210.4. Coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas en R3 . 74

3

11.Integrales de Superficie y Flujo 7611.1. Definicion para superficie parametrica . . . . . . . . . 7611.2. Caso superficie grafica de campo escalar . . . . . . . . 7711.3. Caso superficie definida implıcitamente . . . . . . . . . 78

12.Calculo de Masa, momentos, y centro 79

13.Teoremas de Green, Stokes y Gauss 8213.1. Campos irrotacionales, solenoidales, y armonicos . . . 83

14.Ecuaciones Diferenciales 2o parte 8314.1. Ecuacion diferencial ordinaria homogenea . . . . . . . 8314.2. Ecuacion diferencial total exacta . . . . . . . . . . . . 85

14.2.1. Convertible a exacta con factor integrante . . . 8514.3. Ecuacion diferencial lineal de 2o orden . . . . . . . . . 87

14.3.1. Resolucion de la homogenea asociada . . . . . . 8914.3.2. Como encontrar una solucion particular . . . . 92

14.4. Lıneas de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1. Nociones previas

1.1. Conjuntos

Definicion 1. Un conjunto1 es una coleccion de objetos. Un ele-mento puede pertenecer o no a un conjunto.

Ejemplo 1. Algunos ejemplos de conjuntos son

1. A = {casa, arbol, vaca}2. B = {x ∈ R : x ≤ 23}3. C = {2, 4, 77}4. D = {−1, 1}

1Al definir un conjunto como una coleccion, tengo que definir que es una coleccion. Enrealidad no vamos a definir un conjunto, sino que los vamos a manejar de manera intuitivacomo una agrupacion de objetos.

4

El conjunto A se describio por extension, mientras que el conjunto Bpor comprension.

Si un elemento pertenece a un conjunto se lo denota con ∈

Siguiendo con el ejemplo: casa ∈ A, 11 ∈ B.

1.2. Subconjuntos

Definicion 2. Si todos los elementos de un conjunto B pertenecentambien a otro conjunto A, decimos que el primero es un subconjuntodel segundo, y denotamos dicha relacion por B ⊆ A

Siguiendo con el ejemplo: D ⊆ B

1.3. Igualdad de conjuntos

Definicion 3. Si A ⊆ B y B ⊆ A decimos que A = B.

1.4. Operaciones con conjuntos

Definicion 4. La union de dos conjuntos A y B, se denota A ∪ B,y es el conjunto cuyos elementos pertenecen a A o a B o a ambos.

La interseccion de dos conjuntos A y B, se denota A ∩ B, y es elconjunto de elementos que pertenecen tanto a A como a B

La diferencia de dos conjuntos A y B, se denota A − B, y es elconjunto de los elementos de A que no estan en el conjunto B.

Si interpretamos un conjunto A como subconjunto de otro conjunto Udado (universal), la diferencia U −A la denominamos complementode A y lo denotamos por Ac,

Ejemplo 2. Algunos ejemplos de operaciones entre conjuntos

E = A ∪BF = B ∩ C = {2, 4}

5

B − C = {x ∈ R : (x ≤ 23) ∧ (x 6= 2) ∧ (x 6= 4)}Considerando D ⊆ B tenemos Dc = {x ∈ R : x ≤ 23 ∧ x 6=−1 ∧ x 6= 1} = {x ∈ B : x 6= −1 ∧ x 6= 1}

1.5. Producto cartesiano

Definicion 5. Dados dos conjuntos A y B, el conjunto de todos lospares ordenados (a, b) con a ∈ A y b ∈ B, se lo llama producto carte-siano de A con B, y se lo denota A×B.

Siguiendo con el ejemplo:

A×D = {(casa,−1), (arbol,−1), (vaca,−1),

(casa, 1), (arbol, 1), (vaca, 1)}

1.6. Cardinal

Definicion 6. Si un conjunto A tiene una cantidad finita de elemen-tos, decimos que es un conjunto finito, y llamamos cardinal a lacantidad de elementos que posee. En caso contrario decimos que es unconjunto infinito.

Lo denotamos por |A| o por #A

Ejemplo 3. Siguiendo con nuestros ejemplos

|A| = 3

|C ∪D| = 5

|B| =∞#R =∞

1.7. Relaciones

Definicion 7. Una relacion entre un conjunto A y otro conjuntoB es sımplemente un subconjunto del producto cartesiano A × B. Si(x, y) ∈ R lo denotamos xRy.

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Ejemplo 4. Por ejemplo, una relacion de A en D podrıa ser:

R = {(casa,−1), (arbol,−1), (casa, 1)}

Definicion 8. Una relacion R de A en sı mismo se dice que es

reflexiva, si xRx para todo x ∈ Asimetrica, si xRy implica yRx para todos x, y ∈ Aantisimetrica, si xRy y yRx implica que y = x para todosx, y ∈ Atransitiva, si xRy y yRz implica que xRz para todos x, y, z ∈ A

Definicion 9. Una relacion R de A en sı mismo que es reflexiva,simetrica y transitiva, se dice que es una relacion de equivalencia,y se suele denotar ≡.

Si R es una relacion de equivalencia en A, dado x ∈ A, el conjuntode los los y ∈ A tales que xRy se llama la clase de equivalencia dex, y se denota

[x] = {y ∈ A : yRx}

Ejemplo 5. Por ejemplo, en Z, la relacion xRy sii 3|y − x es unarelacion de equivalencia. Bajo esta relacion de equivalencia se tieneque 5 ≡ 11, pues 3|(11 − 5) = 6. Esta relacion de equivalencia tienetres clases de equivalencias

0 = {0 + 3k : k ∈ Z}1 = {1 + 3k : k ∈ Z}2 = {2 + 3k : k ∈ Z}

Uniendo todas las clases de equivalencias, obtenemos el conjunto com-pleto

Z = 0 ∪ 1 ∪ 2

7

Definicion 10. Una relacion R de A en sı mismo que es reflexiva,antisimetrica y transitiva, se dice que es una relacion de orden, yse suele denotar ≤.

Ejemplo 6. Por ejemplo en Z la relacion xRy sii x|y (x divide a y)es una relacion de orden.

Definicion 11. Si ≤ es una relacion de orden en A, y si x, y ∈ A,entonces decimos que x e y son comparables si se cumple que x ≤y o bien que y ≤ x. En caso contrario decimos que x e y son nocomparables.

Ejemplo 7. Por ejemplo, si en Z tomamos la relacion x ≤ y sii x|y,entonces 3 y 5 son elementos no comparables, pues 3 6 |5 y 5 6 |3.

Definicion 12. Una relacion de orden en la que x ≤ y o y ≤ x paratodo x, y ∈ A se dice que es una relacion de orden total.

Es decir que un orden total es una relacion de orden en la que todopar de elementos es comparable.

Ejemplo 8. Por ejemplo, en R la relacion xRy sii x ≤ y es unarelacion de orden total.

Definicion 13. Sea ≤ una relacion de orden en A, y sea x ∈ A.Entonces

si y ≥ x implica que y = x, decimos que x es un elementomaximal de A.

si y ≤ x implica que y = x, decimos que x es un elementominimal de A.

si x ≥ y para todo y ∈ A, decimos que x es el maximo de A.

si x ≤ y para todo y ∈ A, decimos que x es el mınimo de A.

1.8. Funciones

Definicion 14. Una relacion R entre A y B se dice que es unarelacion funcional si cumple que

1. Para todo a ∈ A existe b ∈ B tal que (a, b) ∈ R. Es decir todoelemnto del dominio se relaciona con uno del codominio.

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2. Si (a, b) y (a, c) pertenecen a R, entonces b = c. Es decir que elelemento con el que se relaciona es unico.

Definicion 15. Dados dos conjuntos A y B, y una relacion funcionalR entre ellos, a la terna (A,B,R) se la llama funcion de A en B,y se la denota f : A → B. Al conjunto A se lo llama dominio de lafuncion, y al conjunto B codominio.

En vez de escribir (a, b) ∈ R se suele escribir b = f(a).

Ejemplo 9. Siguiendo con los mismos conjuntos de los ejemplos an-teriores, podemos definir una funcion

f : A → B

f(casa) = −1

f(arbol) = 21

f(arbol) = 21

f(vaca) = 12

Definicion 16. Se denomina conjunto imagen de la funcion f alconjunto

f(A) = {b ∈ B : ∃a ∈ A tal que f(a) = b}

Si X ⊆ A llamamos imagen de X por f al conjunto

f(X) = {b ∈ B : ∃x ∈ X tal que f(x) = b}

Si Y ⊆ B llamamos preimagen de Y por f al conjunto

f−1(Y ) = {a ∈ A : f(a) ∈ Y }

Observamos que en ningun momento en la definicion de funcion se re-quiere tener una expresion tipo formula para calcular los elementos dela imagen. Comprender esto es importante para los temas de deriva-da de funcion definida implıcitamente por una ecuacion, y ecuacionesdiferenciales, que vienen luego en la materia.

9

Definicion 17. Sean f : A→ B y g : B → C dos funciones. Observarque existe una unica funcion h : A → C tal que h(x) = g(f(x)).Decimos que h es la funcion compuesta de f con g y la denotamosh = g ◦ f .

1.9. Estructuras algebraicas

Definicion 18. Un grupo es un conjunto G con una funcion · :G×G→ G tal que

1. Es asociativa, para todo a, b, c ∈ G se tiene (a · b) · c = a · (b · g)

2. Existe elemento neutro e ∈ G tal que e · g = g · e = g (para todog ∈ G)

3. Existe elemento inverso g−1 ∈ G para cada g ∈ G de forma talque g · g−1 = g−1 · g = e

Si ademas cumple ser conmutativa, es decir que para todo a, b ∈ Gse tiene a · b = b · a, se dice que es un grupo abeliano o conmutativoy se suele usar la notacion aditiva (+ para la funcion, −a para elinverso).

Un monoide, es como la definicion de grupo, pero solo satisface 1. y2. (no requiere 3, es decir no requiere inversos)

Ejemplo 10. (Z,+) y (R− {0}, ·) son grupos conmutativos.

(R2×2, ·) es un monoide (no conmutativo), donde R2×2 representa lasmatrices de 2 × 2 con coeficientes reales, y · es la multiplicacion dematrices.

Definicion 19. Un anillo es un conjunto R con dos funciones + :R×R→ R y · : R×R→ R, tales que

1. (R,+) es grupo conmutativo.

2. (R, ·) es un monoide.

3. La multiplicacion se distribuye sobre la suma, es decir dadosa, b, c ∈ R se tiene a · (b+ c) = ab+ ac y (b+ c) · a = ba+ ca

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Si ademas resulta que la multiplicacion es conmutativa, se dice que esun anillo conmutativo.

Ejemplo 11. Algunos ejemplos de anillos

1. (R2×2,+, ·) es un anillo no conmutativo.

2. (Z,+, ·) es un anillo conmutativo.

Definicion 20. Un cuerpo es un conjunto K con dos funciones + :K × K → K, y · : K × K → K tales que (K,+, ·) es un anilloconmutativo y ademas (K − {0}, ·) es grupo conmutativo.

Ejemplo 12. Algunos ejemplos de cuerpos

(Q,+, ·)(R,+, ·)(C,+, ·)

Observar que (Z,+, ·) no es un cuerpo, en particular 2 no tiene inversomultiplicativo en Z.

Definicion 21. Un espacio vectorial es un conjunto V y un cuerpoK con una funcion + : V × V → V y una funcion · : K × V → V talque

1. (V,+) es grupo conmutativo.

2. 1 · v = v para todo v ∈ V3. a(bv) = (ab)v para todo a, b ∈ K y v ∈ V4. k(v + w) = kv + kw para todo k ∈ K y v, w ∈ V5. (k + q)v = kv + qv para todo k, q ∈ K y v ∈ V

Ejemplo 13. V = (Rn,+,R, ·) es un espacio vectorial. Es el principalespacio vectorial con el que trabajamos en esta materia.

Definicion 22. Un espacio con producto interno es un espaciovectorial V sobre el cuerpo K (que debe ser R o C) y con una funcion〈−,−〉 : V × V → K tal que para todo u, u′, v ∈ V y λ ∈ K se tiene

1. 〈u+ u′, v〉 = 〈u, v〉+ 〈u′, v〉

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2. 〈λu, v〉 = λ〈u, v〉3. 〈u, v〉 = 〈v, u〉4. 〈v, v〉 > 0 si v 6= 0

Ejemplo 14. En Rn podemos definir el producto interno usual como

u · v =

n∑i=1

uivi = u1v1 + u2v2 + . . .+ unvn

donde u = (u1, . . . , un) y v = (v1, . . . , vn) ∈ Rn.

Tambien se lo conoce como producto punto, o producto escalar.

Luego Rn con el producto · forma un espacio con producto interno.

2. Ecuaciones diferenciales 1o parte

2.1. Ecuaciones Diferenciables

Definicion 23. Una ecuacion diferencial (ED) es una ecuacion enla que intervienen una o mas variables independientes, una variabledependiente y sus derivadas hasta un cierto orden.

Se las clasifica como EDO o EDP de la siguiente forma:

Si interviene mas de una variable independiente, se dice que esuna ecuacion diferencial a derivadas parciales (EDP).

Si solo interviene una variable independiente, se dice que es unaecuacion diferencial ordinaria (EDO).

En este curso solo vamos a trabajar con ecuaciones diferencialesordinarias. Las mismas pueden expresarse genericamente como

F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0

Llamamos orden de una EDO al orden de la derivada de mayororden que interviene en la ecuacion diferencial.

Ejemplo 15. y′′ + 8xy′ − 13y = 1 es una EDO de 2o orden.

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2.2. Grado

Definicion 24. Decimos que una EDO tiene forma polinomica sila podemos expresar de la siguiente forma:

pn(x)(y(n))an + . . .+ p1(x)(y′)a1 + p0(x)ya0 = q(x)

donde an, . . . , a0 ∈ N

En dicho caso, el grado de la EDO es el del exponente de la derivadade mayor orden.

Por ejemplo, (y′′′)2 + y′′ + (y′)3 = x tiene grado 2.

2.3. Soluciones de una EDO

Definicion 25. Una solucion de una EDO es una funcion que satis-face dicha ecuacion.

Podemos clasificar tres grupos de soluciones

1. La solucion general (SG) de una EDO, es una familia de fun-ciones que verifican la EDO y que posee tantas constantes arbi-trarias como el orden de la EDO.

Simbolicamente la podemos expresar como

F (x, y, c1, . . . , cn) = 0

2. Una solucion particular (SP) es una funcion que verifica laEDO y que se puede obtener asignando valores a las constantesarbitrarias de la SG.

3. Una solucion singular (SS) es una funcion que verifica la EDOpero no se deduce de la SG asignando valores a sus constantes.

Ejemplo 16. En el siguiente grafico representamos las soluciones dela ecuacion diferencial xy′ = y + x cos2(y/x), y resaltamos en azul lasolucion particular que satisface y(1) = π

4

13

2.4. Ecuaciones Diferenciales de Variables Sep-arables

Definicion 26. Una EDO se dice que es de variables separables simediante operaciones algebraicas se la puede llevar a la forma

y′ =p(x)

q(y)

o, usando la notacion de Leibniz

q(y)dy = p(x)dx

Para resolverla, es decir encontrar su SG, basta con integrar ambosmiembros (es decir hallar una primitiva), y agregar una constantearbitraria en un lado de la igualdad.

∫q(y)dy =

∫p(x)dx+ C

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2.5. Ecuacion Diferencial Ordinaria Lineal de1o Orden

Definicion 27. Una ecuacion diferencial se dice que es una ecuaciondiferencial lineal de orden n si se puede expresar de la forma

y(n) + an−1yn−1 + . . .+ a1(x)y′ + a0(x)y = g(x)

Si g(x) ≡ 0 es la funcion constante 0, se dice que la EDO es linealhomogenea.

Un caso particular es la ecuacion diferencial lineal de 1o orden

Definicion 28. Una ecuacion diferencial se dice lineal de 1er ordense puede expresar como

y′ + p(x)y = q(x)

Proposicion 2.1. Dada la ecuacion diferencial lineal de 1o orden

y′ + p(x)y = q(x)

Su solucion general es

y = e−∫p(x)dx

∫q(x)e

∫p(x)dxdx+ Ce−

∫p(x)dx

Demostracion. Hay varios metodos de resolucion para una EDO linealde 1o orden.

Uno facil es el siguiente: empezamos por realizar la sustitucion

y = uv

con lo cual nos queda

y′ = u′v + uv′

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reemplazamos

u′v + uv′ + p(x)uv = q(x)

Ahora sacar factor comun v (o u, la relacion es en principio simetrica)

v[u′ + p(x)u] + uv′ = q(x)

Imponemos la condicion de que lo que multiplica a v sea cero

u′ + p(x)u = 0

Nos queda una EDO en u de variables separables

∫du

u=

∫−p(x)dx

Buscamos una SP de la misma (no hace falta la constante arbitraria),obtenemos

u = e−∫p(x)dx

Ahora reemplazamos la SP de u encontrada en la EDO y nos queda

e−∫p(x)dxv′ = q(x)

Y nos quedo una EDO en v de variables separables, la resolvemos

∫dv =

∫q(x)e

∫p(x)dxdx

Esta vez queremos la SG de v (por eso va la constante arbitraria)

v =

∫q(x)e

∫p(x)dxdx+ C

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Finalmente reemplazamos u y v (no olvidar distribuir el parentesis)

y = uv

y = e−∫p(x)dx

∫q(x)e

∫p(x)dxdx+ Ce−

∫p(x)dx

Como se podra imaginar, no es sencillo recordar dichar formula, espor eso que se aconseja en cambio recordar el metodo de resolucion,es decir recordar sustituir y = uv y hacer los mismos pasos.

2.6. Familias de curvas

Definicion 29. Dada una ecuacion en la que interviene una variableindependiente, una variable dependiente, y n constantes arbitrariasc1, . . . , cn ∈ R, llamamos familia de curvas (de orden n) a las cur-vas que se obtienen de asignarle valores a las constantes arbitrarias.

Simbolicamente la podemos expresar una familia de curvas de la forma

F (x, y, c1, . . . , cn) = 0

Cuando encontramos la SG de una EDO E de orden n, la misma vieneexpresada por una familia de curvas F de orden n.

Las funciones que son solucion, quedan expresadas por una ecuacionque define a y implıcitamente en funcion de x.

No siempre es posible o conveniente explicitar dichas funciones.

Recıprocamente, dada una familia de curvas F de orden n, podemosbuscar una EDO E de orden n tal que dicha familia sea su SG.

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2.6.1. Familias de curvas ortogonales

Definicion 30. Sean C1 y C2 en R2 dos curvas que se cortan enA = (x0, y0), es decir tal que A ∈ C1 ∩ C2. Decimos que C1 y C2

son curvas ortogonales en A si admiten vector tangente en dichopunto, y los mismos son ortogonales (o equivalentemente, si admitenrectas tangentes en dicho punto, y las mismas son ortogonales).

Es decir, si g1 : [a, b] → R2 y g2 : [c, d] → R2 son parametrizacionesregulares de C1 y C2 respectivamente, tal que g1(t1) = g2(t2) = A,entonces g′1(t1) · g′2(t2) = 0

Dos familias de curvas F1 y F2 se dicen familias de curvas ortogo-nales, si para toda C1 ∈ F1, C2 ∈ F2, resultan ser curvas ortogonalespara todo punto de interseccion A ∈ C1 ∩ C2.

Los siguientes graficos representan familias de curvas ortogonales.

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Proposicion 2.2. Dos familias de curvas F1,F2 son ortogonales siisus respectivas ecuaciones diferenciales E1, E2 estan relacionadas porla ecuacion

y′2 =−1

y′1

Demostracion. (Enfoque Cartesiano)

Sabemos que si tenemos dos rectas que pasan por (x0, y0) de ecua-ciones

y1 − y0 = m1(x− x0)

y2 − y0 = m2(x− x0)

entonces las mismas son ortogonales sii m2 = −1/m1.

Sean las curvas C1 ∈ F1, C2 ∈ F2 de ecuacion

y1 = y1(x)

y2 = y2(x)

Las mismas admiten recta tangente en (x0, y0)

y = y1(x0) + m1︸︷︷︸y′1(x0)

(x− x0)

y = y2(x0) + m2︸︷︷︸y′2(x0)

(x− x0)

19

y luego las mismas son ortogonales sii se cumple

y′2(x0) = − 1y′1(x0)

Demostracion. (Enfoque parametrico)

Dadas las curvas C1 ∈ F1, C2 ∈ F2 de ecuaciones

y = y1(x)

y = y2(x)

Las podemos parametrizar como

g1(t) = (t, y1(t))

g2(t) = (t, y2(t))

Luego podemos encontrar vectores tangentes a cada una derivando

g′1(t) = (1, y′1(t))

g′2(t) = (1, y′2(t))

y estos son ortogonales sii su producto escalar es cero

g′1(t) · g′2(t) = 0

(1, y′1(t)) · (1, y′2(t)) = 0

1 + y′1(t)y′2(t) = 0

Finalmente,

y′2(t) = − 1y′1(t)

20

3. Nociones de Topologıa

3.1. Espacio euclıdeo

Definicion 31. Llamamos espacio euclıdeo, a un espacio vectorialsobre R con un producto interno.

Definicion 32. Definimos el producto interno usual de Rn (oproducto escalar) de la siguiente manera: dados v, w ∈ Rn, su productointerno usual es

~v · ~w = v1w1 + v2w2 + . . .+ vnwn

El espacio euclıdeo en el que vamos a trabajar en esta materia esRn con el producto interno usual. De ahora en mas cada vez que semencione Rn lo vamos a pensar como un espacio euclıdeo.

El producto interno nos permite definir las nociones de norma de unvector, distancia entre dos vectores, y angulo entre dos vectores, comomostramos a continuacion

Definicion 33. Dado v ∈ Rn, definimos su norma como

||~v|| =√~v · ~v =

√v2

1 + v22 + . . . v2

n

y dados v, w ∈ Rn, definimos su distancia como

d(v, w) = ||w − v|| =√

(w1 − v1)2 + (w2 − v2)2 + . . .+ (wn − vn)2

y su angulo como

cos(φ) =~v · ~w||~v|| ||~w||

3.2. Entorno

Definicion 34. Dados x ∈ Rn y r > 0

21

Llamamos entorno (o entorno abierto) de centro x0 y radio r al con-junto

E(x, r) = {y ∈ Rn : d(x, y) < r}

Llamamos entorno cerrado de centro x0 y radio r al conjunto

E[x, r] = {y ∈ Rn : d(x, y) ≤ r}

Llamamos entorno reducido de centro x y radio r a

E′(x, r) = E(x, r)− {x}

3.3. Clasificacion topologica de puntos de Rn

Definicion 35. Sea A ⊆ Rn, y x ∈ Rn, entonces decimos que xrespecto de A es

Punto interior: Si existe E(x, δ) ⊆ A.

Punto exterior: Si existe E(x, δ) ⊆ Rn −A. EquivalentementeE(x, δ) ∩A = ∅.Punto frontera: Si no es punto interior ni exterior. Es decirque para todo δ > 0 se tiene E(x, δ)∩A 6= ∅ y E(x, δ)∩(Rn−A) 6=∅Punto clausura (o adherencia): Si existe un entorno tal queE(x, r) ∩A 6= ∅Punto de acumulacion (o punto lımite): Si para todo entornodel punto, E(x, r) ∩ (A− {x}) 6= ∅.Equivalentemente, si para todo entorno reducido del punto, E′(x, r)∩A 6= ∅Punto aislado: Si existe un entorno tal que E(x, r) ∩A = {x}

Definicion 36. Sea A ⊆ Rn. Entonces definimos

El interior de A como el conjunto de sus puntos interiores, lo deno-tamos A◦

22

La clausura de A como el conjunto de sus puntos de clausura, lodenotamos A

El conjunto derivado de A como el conjunto de todos sus puntosde acumulacion, lo denotamos A′

Observacion 3.1. Dado A ⊆ Rn, se cumple que A◦ ⊆ A ⊆ A.

3.4. Clasificacion topologica de subconjuntosde Rn

Definicion 37. Sea A ⊆ Rn, decimos que A es un conjunto

Abierto: Si A = A◦. Es decir si todos los puntos del conjunto soninteriores.

Cerrado: Si A = A. Es decir si todos los puntos de clausurapertenecen al conjunto. Equivalentemente

• El conjunto contiene a todos sus puntos frontera.

• El conjunto contiene a todos sus puntos de acumulacion.

• El complemento del conjunto es abierto.

Observacion 3.2. Un conjunto puede no ser ni abierto ni cerrado.Por ejemplo [0, 1) ⊂ R.

Ademas un conjunto puede ser abierto y cerrado a la vez. Por ejemplo∅ y Rn.

3.5. Conjunto acotado

Definicion 38. Un conjunto A ⊆ Rn se dice que es un conjuntoacotado si el mismo esta contenido en algun entorno del origen, esdecir si A ⊆ E(0, r) para algun r > 0.

3.6. Conjunto conexo

Intuitivamente, un conjunto conexo es aquel formado por una sola’pieza’, que no se puede ’dividir’.

23

Definicion 39. Una escision de un conjunto X ⊆ Rn son dos con-juntos disjuntos abiertos A,B tales que X ⊆ A ∪ B. Decimos que lamisma es no trivial si A ∩X 6= ∅ y B ∩X 6= ∅.

Un conjunto X ⊆ Rn es un conjunto conexo si no admite escisionesno triviales.

En caso contrario decimos que es disconexo.

Ejemplo 17. Para ejemplificar esta parte vamos a utilizar estos tresconjuntos

A = Rn

B = S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}C = D2(4, 4) = {(x, y) ∈ R2 : (x− 4)2 + (y − 4)2 ≤ 1}

Los tres conjuntos A, B y C son conjuntos conexos.

En cambio D = B ∪ C es disconexo, pues si X = E((0, 0), 2)) yY = E((4, 4), 2) se tiene X e Y abiertos, y disjuntos, D ⊆ X ∪ Y ,X ∩D 6= ∅, Y ∩D 6= ∅, luego se trata de una escision no trivial y elconjunto D es disconexo.

3.6.1. Conjunto arco-conexo

Definicion 40. Si a, b ∈ Rn, un camino de a a b es una funcionα : [0, 1]→ Rn contınua, tal que α(0) = a y α(1) = b

Por ejemplo, si a, b ∈ Rn el camino recto entre a y b es la funcionα : [0, 1]→ Rn tal que

α(t) = ta+ (1− t)b

La imagen de dicho camino es el segmento de recta

[a, b] = {ta+ (1− t)b : t ∈ [0, 1]}

Definicion 41. Un conjunto A ⊆ Rn se dice que es un conjuntoarco-conexo si para todos los a, b ∈ A existe un camino α que une acon b dentro del conjunto, es decir tal que α([0, 1]) ⊆ A.

24

Ejemplo 18. Siguiendo con el ejemplo, los conjuntos A,B,C sontodos arco-conexos.

Observacion 3.3. Todo conjunto arco-conexo es conexo, pero no valela vuelta, es decir hay conjuntos conexos que no son arco-conexos.

Definicion 42. Si α es un camino de a a b, y β es un camino de ba c, definimos la yuxtaposicion de α y β como el camino α ∧ β :[0, 1]→ Rn de a a c definido por

(α ∧ β)(t) =

{α(t) t ∈ [0, 1

2 ]

β(2t− 1) t ∈ [12 , 1]

3.6.2. Conjunto conexo por poligonales

Definicion 43. Una poligonal π es la yuxtaposicion de una cantidadk ∈ N finita de caminos rectos πi : [xi−1, xi]→ Rn con 1 ≤ i ≤ k.

Definicion 44. Un conjunto A ⊆ Rn se dice que es un conjuntoconexo por poligonales si para todo a, b ∈ A existe una poligonal πque comienza en a, termina en b, y esta contenida en A.

Observacion 3.4. Una poligonal es un caso particular de un camino.Por lo tanto si un conjunto es conexo por poligonales, entonces tam-bien es arco-conexo, pero no vale la vuelta.

Ejemplo 19. En los ejemplos, los conjuntos A y C son conexos porpoligonales, aunque el conjunto B (que es arco-conexo) no es conexopor poligonales.

3.6.3. Conjunto convexo

Definicion 45. Un conjunto A ⊆ Rn se dice que es un conjuntoconvexo si para todo a, b ∈ A el camino recto que los une no se saledel conjunto, es decir [a, b] ⊆ A.

Observacion 3.5. Un camino recto es un caso particular de unapoligonal, por lo tanto un conjunto convexo tambien es conexo porpoligonales.

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3.6.4. Conjunto sımplemente conexo

Esta es la nocion mas compleja de conexidad que vemos. Intuitiva-mente, un conjunto es sımplemente conexo si toda curva cerrada sim-ple (curva de Jordan) se puede ”deformar contınuamente”hasta llegara un punto. En R2 esto serıa equivalente a decir que el conjunto notiene agujeros.

Mas formalmente, si denotamos S1 al cırculo unitario de R2 y D2 aldisco unitario de R2, es decir

S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}

D2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}

entonces se tiene la siguiente

Definicion 46. Un conjunto X es un conjunto sımplemente conexosi es arco-conexo, y ademas toda funcion contınua f : S1 → X sepuede extender a una funcion contınua F : D2 → X tal que F re-stringida a S1 es f , y tal que la imagen de F no se sale del conjunto,es decir F (D2) ⊆ X.

3.7. Clasificacion de funciones

Definicion 47. Sea f una funcion de la forma f : A ⊆ Rn → Rm.

Entonces

Si n = m = 1 decimos que f es una funcion escalar.

Si n = 1 y m > 1 decimos que f es una funcion vectorial.

Si n > 1 y m = 1 decimos que f es un campo escalar.

Si n > 1 y m > 1 decimos que f es un campo vectorial.

Tiene sentido decir que las funciones mas generales que estudiamos sonlos campos vectoriales, y que las otras son casos particulares, y quela funcion escalar es la que se estudio en Analisis 1. En esta materia

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generalizamos a mas de una dimension tanto en el dominio como elcodominio de las funciones.

3.8. Conjuntos de nivel

Definicion 48. Sea f : A ⊆ Rn → R un campo escalar, y sea k ∈ R

El conjunto de nivel k de f es la preimagen de k por f , es decir

Ck(f) = f−1(k) = {x ∈ A : f(x) = k}

Analogamente, definimos el conjunto de positividad

Definicion 49. Sea f : A ⊆ Rn → R un campo escalar.

El conjunto de positividad de f es la preimagen del conjunto detodos los reales positivos, es decir

C+(f) = f−1((0,+∞)) = {x ∈ A : f(x) > 0}

4. Lımite y Continuidad

4.1. Lımite

Definicion 50. Dado el campo vectorial f : A ⊂ Rn → Rm y x0

punto de acumulacion de A, si existe l ∈ Rm tal que para todo entornoE(l, ε) existe un entorno reducido E∗(x0, δ), tal que f(E∗(x0, δ)∩A) ⊂E(L, ε), entonces decimos que el lımite de f cuando x tiende a x0

es l, y lo denotamos escribiendo

lım~x→ ~x0

f(~x) = l

Observacion 4.1. La definicion anterior es equivalente a la defini-cion clasica de lımite, que expresa que existe lımite l ∈ Rm si paratodo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ A, si

27

0 < ||x− x0|| < δ

entonces||f(x)− l|| < ε

Esta definicion nos interesa solo a nivel teorico, pues en la practica losejercicios de lımites los podemos resolver usando las propiedades delas funciones contınuas.

Para funciones vectoriales y campos vectoriales es util el siguienteteorema:

Teorema 4.2. Sea f : A ⊆ Rn → Rm con funciones coordenadasf = (f1, . . . , fm) y x0 ∈ A′, entonces el lımite lımx→x0 f(x) existe siy solo si existen todos los lımites lımx→x0 fi(x) = li con 1 ≤ i ≤ m, yen dicho caso el lımite de f es lımx→x0 f(x) = (l1, . . . , lm)

4.1.1. Como probar que un lımite no existe

Primero necesitamos esta

Definicion 51. Sea A ⊆ Rn y sea x ∈ A′. Un camino que pasapor x0 es un subconjunto B ⊆ A tal que x0 ∈ B′ (es decir el punto x0

es punto de acumulacion tambien de B).

Dada una funcion f , para probar que no existe el lımite cuando xtiende a x0, suele resultar muy util la siguiente

Proposicion 4.3. Sea f : A ∈ Rn → R, si existe el lımite lımx→x0 f(x) =l y si B ⊆ A es un camino que pasa por x0, y si g : B ∈ Rn → R esla restriccion de f a B, entonces tambien existe lımx→x0 g(x) = l.

Esto nos da un criterio para determinar cuando un lımite no existe:podemos probar por distintos caminos, y si por alguno de ellos ellımite no existe, o por dos de ellos existen pero dan valores distintos,entonces el lımite de la funcion original no existe, ya que de otra formadeberıa existir y ser iguales.

Observacion 4.4. Aunque pruebe por 727 caminos y todos coinci-dan en el lımite, esto no alcanza para asegurar que el lımite de la

28

funcion original exista. Es decir dicha condicion es necesaria pero nosuficiente. Siempre podrıa haber otro camino por el cual el lımite dedistinto o no exista. Por lo tanto este criterio sirve para probar queun lımite no existe, pero no sirve para probar que un lımite exista.

Claro, a no ser que tome por camino a todo A, o a B(x0, r) ∩ A porejemplo.

Otra herramienta para determinar cuando un lımite no existe son loslımites laterales: si estos no coinciden el lımite de la funcion originalno existe.

Ejemplo: Sea f(x, y) = sin(x2+y4)x2+y2

. Analizar la existencia de lımite de

f en (0, 0).

lımx→0

[lımy→0

sin(x2+y4)x2+y2

]= lımx→0

sin(x2)x2

= 1 = Lyx

lımy→0

[lımx→0

sin(x2+y4)x2+y2

]= lımy→0

sin(y4)y2

= lımy→04y3 cos(y4)

2y

= lımy→04y2 cos(y4)

2 = 0 = Lxy

Como Lyx 6= Lxy no existe el lımite pedido.

4.1.2. Como probar que un lımite existe

Una forma que funciona a veces es utilizar el siguiente teorema, famil-iar desde Analisis 1

Proposicion 4.5. Sean f, g, h : A ⊆ Rn → R, y x0 ∈ A′.

Si f = g · h con g acotada, es decir g(A) un conjunto acotado, y hinfinitesimo, es decir lımx→x0 h(x) = 0 entonces el lımite de f cuandox→ x0 existe y es cero, es decir lımx→x0 f(x) = 0

Tambien es util la siguiente

29

Proposicion 4.6. Supongamos que existen los lımites lımx→x0 g(x) =l1 y lımx→x0 h(x) = l2.

Entonces si f = g ± h, se tiene que lımx→x0 f(x) = l1 ± l2.

Y si f = g · h, se tiene que lımx→x0 f(x) = l1 · l2.

Otra tecnica que puede servir es la de relizar un cambio de varibles que

reduzca la cantidad de variables. Por ejemplo, si f(x, y) = sin(x2+y2)x2+y2

,

entonces el lım(x,y)→(0,0) f(x, y) = 0, pues realizando la sustitucionu = x2 + y2 se tiene que cuando (x, y) → (0, 0) entonces u → 0(pues x2 + y2 es contınua), y por lo tanto el lımite pedido equivale a

lımu→0sin(u)u = 1

4.2. Continuidad

Definicion 52. Dado un campo vectorial f : A ⊂ Rn → Rm, y unpunto x0 ∈ A, decimos que f es contınua en x0 si para todo E(f(x0), ε)existe un E(x0, δ) tal que f(E(x0, δ) ∩A) ⊆ E(f(x0), ε)

Observacion 4.7. La definicion anterior es equivalente a la defini-cion clasica de continuidad: Para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal quepara todo x ∈ A, si

||x− x0|| < δ

entonces||f(x)− f(x0)|| < ε

Observacion 4.8. Tambien es equivalente a la siguiente definicion:Si x0 es punto aislado, entonces f es contınua en x0 (basta tomar elδ que hace que el punto sea aislado).

De lo contrario, x0 es un punto de acumulacion de A, en este caso fes contınua en x0 sii se cumplen las siguientes

1. Existe f(x0) (en realidad esto ya lo estamos pidiendo cuandodecimos x0 ∈ A)

2. Existe ∃ lımx→x0

f(x) = l

3. f(x0) = l

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4.2.1. Propiedades de funciones contınuas

Las siguientes funciones son contınuas en todo su dominio

Funciones polinomicas, de cualquier cantidad de variables. Ejem-plo: x2 + 3xy + z3 es una funcion contınua en R3

La funcion exponencial f(x) = ex es contınua en RLas funciones trigonometricas sin(x) y cos(x) son contınuas enR

Proposicion 4.9. Supongamos que las funciones g, h : A ⊆ Rn → Rmson contınuas en x0 ∈ A.

Entonces son contınuas en x0 las siguientes funciones

f = g ± h

Si ademas m = 1, es decir se trata de campos escalares, tiene sentidomultiplicarlos, y es contınua la funcion

f = g · h

y tambien tiene sentido dividirlos en los puntos donde no se anula eldenominador, y en dichos puntos el cociente es una funcion contınua,es decir en los puntos donde h(x0) 6= 0 es contınua la funcion

f = g/h

Para analizar la continuidad de una funcion vectorial o de un campovectorial, suele ser util la siguiente

Observacion 4.10. Si f : A ⊆ Rn → Rm tiene funciones coordenadasf = (f1, f2, . . . , fm) entonces f es contınua en x0 si y solo sı cadacomponente fi es contınua en x0 para todo 1 ≤ i ≤ m.

Tambien resulta muy util el siguiente

Teorema 4.11. Si f : A ⊆ Rn → Rm es contınua en x0 y g : B ⊆Rm → Rp es contınua en y0 = f(x0), y si existe la funcion compuestah = g ◦ f (es decir f(A) ⊆ B), entonces h es contınua en x0.

31

5. Derivabilidad

5.1. Derivada de funcion vectorial

Definicion 53. Dada la funcion vectorial f : A ⊂ R→ Rn y t0 ∈ A◦,entonces la derivada de f en t0 se define como

f ′(t0) = lımh→0

f(t0 + h)− f(t0)

h

si dicho lımite existe. Sino, se dice que f no es derivable en dichopunto.

Si es derivable en todo el dominio tiene sentido definir la funcionderivada f ′(t) que a cada punto t0 le asigna la derivada de la fun-cion f . Cuando decimos que f es derivable, sin aclarar el punto, nosreferimos a que es derivable en todo su dominio.

Para calcular la derivada suele ser util la siguiente

Observacion 5.1. Si f(t) = (f1(t), f2(t), . . . , fn(t)) entonces f esderivable si y solo si todas sus funciones coordenadas fi son deriv-ables, y en ese caso el valor de la derivada viene dada por g′(t) =(g′1(t), g′2(t), . . . , g′n(t))

5.1.1. Interpretacion geometrica

Si f : [a, b]→ Rn es la parametrizacion de una curva C, y si ademas fes derivable en t0, entonces f ′(t0) es un vector tangente a dicha curvaen el punto f(t0).

32

En este caso tiene sentido la siguiente

Definicion 54. Sea f : [a, b]→ Rn parametrizacion de una curva C,y derivable en t0. Entonces la recta tangente a C en x0 = f(t0) esde ecuacion parametrica

x = f(t0) + λf ′(t0)

con λ ∈ R.

Ademas el plano normal a C en x0 es de ecuacion cartesiana

(x− f(x0)) · f ′(t0) = 0

5.2. Derivadas parciales, direccionales, y re-specto a un vector

Definicion 55. Sea f : A ⊆ Rn → Rm y x0 ∈ A◦, y sea v ∈ Rn.Entonces definimos la derivada de f en x0 respecto al vector vcomo

f ′v(x0) = lımh→0

f(x0 + hv)− f(x0)

h

si dicho lımite existe.

33

Si ademas v es un versor, es decir si ||v|| = 1, decimos que dicholımite es la derivada direccional de f respecto a la direccion v.

Si ademas v es un versor canonico de Rn, es decir si

v = ei = δij =

{1 i = j

0 i 6= j,

decimos que dicho lımite es la derivada parcial de f respecto a xi

Otras notaciones equivalente son

f ′v(x0) = f ′(x0, v) = Dvf(x0) = ∂f∂v (x0)

Ejemplo 20. Dada f(x, y) =√

3− x2 − y2. Calculemos las derivadasparciales de f en (1, 0)

Cuando queremos hacer una derivada parcial, y pensamos las demasvariables como constantes, si podemos aplicar la regla de la cadenade Analisis 1 (verificar hipotesis), decimos que estamos aplicando laregla practica. En este caso

f ′x(x, y) =−2x

2√

3− x2 − y2

f ′y(x, y) =−2y

2√

3− x2 − y2

Luego

f ′x(1, 0) =−1√3− 1

=−1√

2

f ′y(1, 0) =−0√3− 1

= 0

Podemos interpretar la derivadas direccional respecto a v como la pen-diente de una recta tangente a la grafica de z = f(x, y) en la direccionde v.

En el siguiente grafico se representa la grafica de z = f(x, y), y surecta tangente en (1, 0, f(1, 0)) en la direccion de y. Vemos que la

34

recta resulta ser horizontal, lo que concuerda con que f ′y(1, 0) = 0 esdecir que tiene pendiente nula.

Definicion 56. Dada f : A ⊆ Rn → Rm,

Decimos que f es derivable respecto a v ∈ Rn, sin aclarar el punto,si lo es para todo x ∈ Rn.

Decimos que f es derivable en x0 ∈ A◦, sin aclarar el vector, si loes respecto a todo v ∈ Rn.

Decimos que f es derivable, sin aclarar ni el punto ni el vector, silo es para todo x ∈ A◦ y respecto a todo v ∈ Rn.

El siguiente teorema es util para derivar funciones vectoriales o camposvectoriales coordenada a coordenada.

Teorema 5.2. Sea f : A ⊆ Rn → Rm con x0 ∈ A◦ y v ∈ Rn, tal quef = (f1, . . . , fm). Entonces f es derivable en x0 respecto a v si y solosı cada funcion coordenada es derivable en x0 respecto a v, y en dichocaso se tiene f ′v(x0) = (f ′1v(x0), f ′2v(x0), . . . , f ′mv(x0)).

5.2.1. Propiedad de homogeneidad

Llamamos propiedad de homogeneidad de la derivada a la siguienteproposicion

Proposicion 5.3. Si existe la derivada direccional f ′(x0, v) y k ∈ R,k 6= 0, entonces

35

f ′(x0, kv) = kf ′(x0, v)

Demostracion. Por definicion

f ′(x0, kv) = lımh→0

f(x0 + hkv)− f(x0)

h

multiplico y divido por k 6= 0

= k lımh→0

f(x0 + hkv)− f(x0)

hk

Sustituyo u = hk y cuando h→ 0 se tiene que u→ 0, luego

= k lımu→0

f(x0 + uv)− f(x0)

u

Finalmente

= kf ′(x0, v)

De la propiedad de homogeneidad se desprende facilmente el siguiente

Corolario 5.4. Sea f derivable en x0, entonces

f ′(x0,−v) = −f ′(x0, v)

f ′(x0, v) = ||v||f ′(x0, v) (donde v = v||v||)

Demostracion. Para el primero basta tomar k = −1. Para el segundok = ||v||.

36

5.2.2. Derivadas parciales sucesivas

Definicion 57. Sea f : A ⊆ Rn → Rm. Supongamos esta funcion esderivable respecto a xi, entonces podemos definir la funcion derivadaparcial f ′xi : A → Rn. Supongamos ahora que esta nueva funcion esderivable respecto a xj. Podemos definir entonces la funcion derivadasegunda parcial

f ′′xixj : A→ Rm

A la misma tambien la llamamos la derivada sucesiva respecto axixj.

Analogamente, si f es k veces derivable, podemos definir la funcionderivada sucesiva respecto a xi1xi2 . . . xik

f (k)xi1xi2 ...xik

: A→ Rm

Si estan definidas las funciones derivadas sucesivas f ′′xixj y f ′′xjxi, dec-imos que estas son derivadas sucesivas mixtas.

Analogamente, si f es k veces derivable, y φ : {1, 2, . . . , k} → {1, 2, . . . , k}es una permutacion, decimos que f

(k)xi1xi2 ...xik

y f(k)xiφ(1)xiφ(2) ...xiφ(k)

son

derivadas sucesivas mixtas de orden k.

5.2.3. Teorema de Schwarz

En palabras sencillas, lo que dice el teorema de Schwarz es que ba-jo ciertas condiciones, no importa en que orden derivemos va a darlo mismo. Es decir que bajo esas condiciones nos garantiza que lasderivadas sucesivas mixtas son iguales.

Teorema 5.5. Sea el campo escalar f : A ⊂ Rn → R, si existenf ′′xixj , f

′′xjxi y son contınuas en un entorno del punto x0 ∈ A◦ entonces

f ′′xixj (x0) = f ′′xjxi(x0)

es decir las derivadas sucesivas mixtas son iguales.

37

No es facil encontrar ejemplos de funciones cuyas derivadas sucesivasmixtas no sean iguales.

En 1873 el matematico H.A. Schwarz produjo el siguiente ejemplo

f(x, y) =

{x2 arctan(y/x)− y2 arctan(x/y) x 6= 0, y 6= 0

0 en otro caso

Para esta funcion en (0, 0) se tiene que

f ′′xy(0, 0) = −1 6= f ′′yx(0, 0) = +1

5.2.4. Funcion clase C1

Definicion 58. Si f : A ⊂ Rn → Rm con A abierto, es tal que poseetodas sus derivadas parciales y son contınuas en A, entonces decimosque f es de clase C1 y lo denotamos

f ∈ C1

Del mismo modo si tiene todas sus derivadas parciales segundas y soncontınuas decimos que f ∈ C2.

Analogamente se dice que f ∈ Ck si sus derivadas parciales de ordenk existen y son contınuas en el abierto A.

Observacion 5.6. Si f : A ⊂ Rn → R, f ∈ C2, para cualquierx ∈ A se cumplen las hipotesis del teorema 5.5 (de Schwarz), es decirf ′′xixj (x) = f ′′xjxi(x).

Mas generalmente, si f ∈ Ck, y φ : {1, 2, . . . , k} → {1, 2, . . . , k} esuna permutacion, entonces

f (k)xi1xi2 ...xik

= f (k)xiφ(1)xiφ(2) ...xiφ(k)

Es decir las derivadas sucesivas mixtas de orden k son iguales.

38

5.3. Curvas y Superficies

Definicion 59. Un subconjunto C ⊆ Rn decimos que es una curva siexiste una funcion vectorial contınua g : [0, 1]→ Rn, tal que g([0, 1]) =C. A la funcion g se la llama parametrizacion de la curva.

Sea g(t) la parametrizacion de una curva, si ademas g ∈ C1 y existeg′(t0) 6= ~0 decimos que x0 = g(t0) es un punto regular de la cur-va C. Si todos los puntos x0 ∈ C de la curva son puntos regulares,decimos que C es una curva regular.

Un subconjunto Σ de R3 decimos que es una superficie si existe uncampo vectorial contınuo g : A ⊂ R2 → R3, con A conexo, tal queg(A) = S. A la funcion g se le dice la parametrizacion de la superficieΣ.

Sea g(u, v) la parametrizacion de una superficie, si ademas g ∈ C1

y existe g′u(u0, v0) ∧ g′v(u0, v0) 6= 0 decimos que x0 = g(u0, v0) es unpunto regular de la superficie Σ. Si todos los puntos x0 ∈ Σ de lasuperficie son regulares, decimos que Σ es una superficie regular.

Ejemplo 21. La cicloide es la curva que se genera al hacer girar unacircunferencia de radio a > 0 sobre el eje de las x, como se ilustra enla siguiente imagen.

Dicha curva puede parametrizarse por

39

g : R → R2

g(t) = a(t− sin(t), 1− cos(t))

la cual es derivable en todo su dominio, su derivada es

g′(t) = a(1− cos(t), sin(t))

Calculemos algunos puntos de la curva

X0 = g(0) = (0, 0)

X1 = g(π/2) = a(π/2− 1, 1)

X2 = g(π) = a(π, 2)

X3 = g(2π) = a(2π, 0)

Veamos cuales de ellos son regulares

g′(0) = a(0, 0)

g′(π/2) = a(1, 1)

g′(π) = a(2, 0)

g′(2π) = a(0, 0)

Por lo tanto los puntos X1 y X2 son regulares, y los puntos X0 yX3 no lo son (se dice que son singulares). Ademas en X2 el vectortangente es horizontal, de hecho la recta tangente en dicho punto esla recta horizontal de ecuacion y = 2a

6. Diferenciabilidad

En Analisis 1, si una funcion era derivable en un punto, entoncestambien era contınua en el.

40

En Analisis 2, nuestra definicion de funcion derivable en un punto,para funciones de mas de una variable, es tal que puede ser derivableen un punto (en toda direccion y sentido), y aun ası no ser contınuaen el.

Hay muchos ejemplos donde esto ocurre, veamos uno sencillo:

Dada f(x, y) =

{x2/y y 6= 0

0 y = 0, veamos si es derivable en (0, 0). Sea

v = (a, b), luego

lımh→0

f((0, 0) + h(a, b))− f(0, 0)

h

lımh→0

f(ha, hb)− f(0, 0)

h

Si b = 0

lımh→0

0− 0

h= 0

Si b 6= 0

lımh→0

(h2a2

hb

)− 0

h=a2

b

Luego la funcion es derivable en (0, 0) y sus derivadas valen

f ′((0, 0), (a, b)) =

{a2

b b 6= 0

0 b = 0

Pero esta funcion no es contınua en (0, 0) pues f(0, 0) = 0, pero si nosrestringimos al camino y = x2 tenemos

lımx→0 y=x2

f(x, y) = lımx→0

x2

x2= 1 6= 0

41

Por lo tanto la funcion no es contınua en (0, 0).

La idea de esta seccion es generalizar la idea de derivada de Analisis 1en un nuevo concepto que vamos a llamar diferenciabilidad, de formatal que este nuevo concepto implique continuidad, ası como lo hacıael concepto de derivabilidad en una variable.

Primero recordemos la definicion de funcion derivable en un punto deAnalisis 1.

Definicion 60. Una funcion escalar f : A ⊂ R → R es derivable enx0 ∈ A◦ si existe el siguiente lımite

f ′(x0) = lımh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h

Pero esto equivale a pedir

lımh→0

f(x0 + h)− f(x0)− hf ′(x0)

h= 0

O sea es derivable sii existe una funcion escalar µ : A→ R tal que

f(x0 + h)− f(x0)− f ′(x0)h = hµ(h)

con

lımh→0

µ(h) = 0

Por otro lado, la expresion f ′(x0)h es una transformacion lineal T :R→ R, h→ T (h).

Por lo tanto podemos decir que f es derivable sii existe una trans-formacion lineal T : R → R y un campo escalar µ : A → R talesque

f(x0 + h)− f(x0) = T (h) + hµ(h)

con

42

lımh→0

µ(h) = 0

Ahora sı estamos en condiciones de definir funcion diferenciable en unpunto:

6.1. Definicion de funcion diferenciable

Definicion 61. Un campo vectorial f : A ⊆ Rn → Rm se dice que esuna funcion diferenciable en x0 ∈ A◦ si existe una trasnformacionlineal T : Rn → Rm y un campo vectorial µ : B(x0, δ) ∩A→ Rm talesque

f(x0 + h)− f(x0) = T (h) + ||h||µ(h)

con

lımh→0

µ(h) = 0

A la transformacion lineal asociada T la llamamos el diferencial def en x0.

Esta definicion tiene concecuencias importantes. Veremos algunas deellas en las siguientes secciones.

6.2. Diferenciabilidad implica Derivabilidad

Teorema 6.1. Sea el campo vectorial f : A ⊂ Rn → Rm diferenciableen x0, entonces f es derivable en x0, y ademas las derivadas valen

f ′(x0, v) = Df(x0) · v

Demostracion. Como f es diferenciable en x0 existen una transforma-cion lineal T : Rn → Rm y un campo vectorial µ : Rn → Rm talesque

43

f(x0 + h)− f(x0) = T (h) + ||h||µ(h)

Considerando h = kv

f(x0 + kv)− f(x0) = T (kv) + ||kv||µ(kv)

f(x0 + kv)− f(x0) = kT (v) + |k|µ(kv)

dividiendo por k y tomando lımite k → 0

lımk→0

f(x0 + kv)− f(x0)

k= lım

k→0T (v) +

|k|kµ(kv)

Y como T (v) no depende de k, y como |k|k es acotada y µ→ 0, se tiene

f ′(x0, v) = T (v)

Corolario 6.2. Sea un campo vectorial f : A ⊂ Rn → Rm diferen-ciable en x0 ∈ A◦, y sea T una transformacion lineal que cumple lopedido, entonces dicha transformacion lineal es unica, y ademas

T (ei) = f ′( ~x0, ei)

Demostracion. Por el teorema anterior f ′( ~x0, v) = T (v). Haciendov = ei tenemos f ′( ~x0, ei) = T (ei).

Para ver que la transformacion lineal es unica, como {ei}1≤i≤n es unabase de Rn, cualquier vector x ∈ Rn lo puedo escribir en forma unicacomo combinacion lineal x =

∑ni=1 λiei, luego si T : Rn → Rm es

una transformacion lineal debe cumplir T (x) =∑n

i=1 λiT (ei), y porlo visto recien debe cumplir T (x) =

∑ni=1 λif

′(x0, ei), con lo cualquedo completamente determinada, es decir la transformacion lineales unica.

Definicion 62. Sea f : A ⊆ Rn → Rm diferenciable en x0 ∈ A◦, dela forma f = (f1, f2, . . . , fm), y sea T : Rn → Rm el diferencial de fen x0.

Sea [T ] la matriz asociada a la transformacion lineal T respecto a lasbases canonicas de Rn y Rm. La misma se expresa poniendo en suscolumnas los transformados de la base canonica, es decir las derivadasparciales de f en x0, es decir que

44

[T ] =

f ′1,e1 f ′1,e2 . . . f ′1,enf ′2,e1 f ′2,e2 . . . f ′2,en. . .f ′m,e1 f ′m,e2 . . . f ′m,en

Al diferencial T de f en x0 lo vamos a denotar tambien df . Y a lamatriz [T ] asociada al diferencial la vamos a llamar la matriz jaco-biana de f en x0, y la denotamos Df .

6.3. Diferenciabilidad implica Continuidad

Teorema 6.3. Sea el campo vectorial f : A ⊂ Rn → Rm diferenciableen x0 ∈ A◦, entonces f es contınuo en x0.

Demostracion. Como f es diferenciable en x0 existen una (unica)transformacion lineal T : Rn → Rm y un campo vectorial µ : A→ Rmtales que

f(x0 + h)− f(x0) = T (h) + ||h||µ(h)

Tomando lımite h→ 0

lımh→0

f(x0 + h)− f(x0) = lımh→0

T (h)︸ ︷︷ ︸→0

+ ||h||︸︷︷︸→0

µ(~h)︸︷︷︸→0

O sea

lımh→0

f(x0 + h)− f(x0) = 0

lımh→0

f(x0 + h) = f(x0)

Sustituyendo x = x0 + h queda h = x − x0, y cuando h → 0 se tienex→ x0, reemplazando:

45

lımx→x0

f(x) = f(x0)

lo cual nos dice que el lımite existe y es igual al valor de la funcion enel punto, o sea que f es contınua en x0.

6.4. Gradiente

Definicion 63. Sea el campo escalar f : A ⊂ Rn → Rm, y x0 ∈A◦, si existen las derivadas parciales de f en x0, definimos el vectorgradiente ∇f(x0) de f en x0 como el vector cuyas coordenadas sonlas derivadas parciales de f en x0, es decir como

∇f(x0) = (f ′e1(x0), f ′e2(x0), . . . , f ′en(x0))

Observacion 6.4. Sea el campo escalar f : A ⊂ Rn → Rm, diferen-ciable en x0 ∈ A◦, y sea v ∈ Rn. El teorema 6.1 nos dice en este casoque

f ′v(x0) = ∇f(x0) · v

6.5. El gradiente es normal al conjunto de niv-el

Observacion 6.5. Sea el campo escalar f : A ⊂ Rn → R diferenciableen x0 ∈ A◦, y sea k ∈ R, entonces ∇f(x0) es perpendicular al conjuntode nivel k de f .

Demostracion. El conjunto de nivel k de f son los x ∈ A tales que

f(x) = k

Sea g : [a, b] → Rn la parametrizacion de una curva incluıda en elconjunto de nivel, es decir que g([a, b]) ⊆ Ck(f), tal que g(t0) = x0 yg′(t0) 6= 0.

46

Entonces podemos componer g con f y obtenemos

f(g(t)) = k

Aplicando el teorema 7.2 (la regla de la cadena, que vamos a verdespues) se tiene

∇f(g(t)) · g′(t) = 0

Es decir que ∇f(x0) · g′(t0) = 0, o sea que f(x0) ⊥ g′(t0).

Pero g′(t0) es un vector director de la recta tangente una curva queesta incluıda en el conjunto de nivel, es decir es paralelo al conjuntode nivel, y por lo tanto el gradiente es normal al conjunto de nivel.

6.6. Direcciones de derivada maxima, mınimay nula

Proposicion 6.6. Sea f : A ⊂ Rn → R es diferenciable en x0 y∇f(x0) 6= 0. Entonces:

Existe una unica direccion de maxima derivada direccional y esrmax = ∇f(x0)

||∇f(x0)|| . El valor de dicha derivada es ||∇f(x0)||.Existe una unica direccion de mınima derivada direccional y esrmin = −rmax. El valor de dicha derivada es −||∇f(x0)||.Si ademas n = 2, entonces existen exactamente dos direccionesde derivada direccional nula, y si ∇f(x0) = (a, b) entonces las

mismas son r1 = (−b,a)||(−b,a)|| y r2 = −r1

Demostracion. Como f es diferenciable en x0, por la observacion 6.4sabemos que f es derivable en x0 y

f ′v(x0) = ∇f(x0) · v

47

Pero

∇f(x0) · v = ||∇f(x0)||︸ ︷︷ ︸cte

||v||︸︷︷︸=1

cos(φ)︸ ︷︷ ︸∈[−1,1]

donde φ es el angulo entre ∇f(x0) y v.

Para que dicha derivada sea maxima se requiere cos(φ) = 1, por lotanto el valor maximo que toma es ||∇f(x0)||, y esto ocurre cuando el

angulo es 0, es decir cuando v = rmax = ∇f(x0)||∇f(x0)||

Por la propiedad de homogeneidad, la mınima derivada direccional es−||∇f(x0)|| y ocurre en la direccion v = rmin = −rmax

Finalmente, supongamos que n = 2, y buscamos las direcciones dederivada direccional nula, es decir tales que

f ′v(x0) = 0 = ∇f(x0) · v

Es decir estamos buscando los versores normales a ∇f(x0).

Dado el vector ∇f(x0) = (a, b), una forma facil de encontrar un vectornormal es intercambiar las coordenadas y cambiarle el signo a una.Luego dividimos por la norma y obtuvimos un versor normal. El otroes sımplemente el opuesto aditivo. Es decir las direcciones de derivadadireccional nula son

vnul1 =(−b, a)

||(a, b)||

y

vnul2 = −vnul1

48

6.7. C1 implica diferenciable

Teorema 6.7. Sea el campo escalar f : A ⊂ Rn → Rm con A abierto.Si f ∈ C1, entonces f es diferenciable en todo x ∈ A.

Observacion 6.8. Una funcion f puede ser diferenciable y aun ası f 6∈C1.

Por ejemplo, la siguiente funcion es diferenciable en R, pero su deriva-da f ′(x) no es contınua en el origen.

f(x) =

{x2 sin( 1

x) si x 6= 0

0 si x = 0

7. Funciones Compuestas e Implıcitas

7.1. Funcion definida implıcitamente

Definicion 64. Dada una funcion F : A ⊆ Rn+1 → R, decimos que laecuacion F (x1, x2, . . . , xn, y) = 0 define implıcitamente a y comofuncion de x1, . . . , xn en B si existe una funcion f : B ⊆ Rn → Rtal que F (x1, . . . , xn, f(x1, . . . , xn)) = 0, para B ⊆ Ay donde Ay es laproyeccion de A sobre x1, . . . , xn

Ejemplo: F : R3 → R, F (x, y, z) = x2 +y2−z. La ecuacion correspon-diente es x2 +y2−z = 0. Como existe f : R2 → R, f(x, y) = x2 +y2 talque F (x, y, f(x, y)) = 0, la ecuacion define implıcitamente a z comofuncion de x, y.

Otro ejemplo: F : R3 → R, F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1. La ecuacioncorrespondiente es x2 + y2 + z2 = 1.

Sea D2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}. Como existe f : D2 ⊆ R2 → R,f(x, y) =

√1− x2 + y2 tal que F (x, y, f(x, y)) = 0, la ecuacion define

implıcitamente a z como funcion de x, y.

Notar que globalmente la relacion entre x, y y z no es funcional,pues por ejemplo tanto el (0, 0, 1) como el (0, 0,−1) satisfacen la

49

ecuacion, pero f(0, 0) debe tener una unica imagen. En particular,la funcion definida implıcitamente no tiene porque ser unica, otra fun-cion definida implıcitamente por la misma ecuacion es g : D2 → R2,g(x, y) = −

√1− x2 − y2

7.2. Teorema de Cauchy-Dini

Teorema 7.1. Teorema de Cauchy-Dini Sea F : A ⊆ Rn+1 → R conA abierto y F ∈ C1, y sea la ecuacion F (x1, . . . , xn, y) = 0.

Sea ademas P = (a1, . . . , an, y0) ∈ A, tal que F (P ) = 0, y F ′y(P ) 6= 0.

Entones la ecuacion define implıcitamente a y como funcion de x1, . . . , xnen un entorno de Py = (a1, . . . , an), y resulta que f es diferenciableen Py, y ademas

f ′xi(Py) = −F ′xi(P )

F ′y(P )

Este teorema nos garantiza bajo ciertas condiciones la existencia deuna funcion definida implıcitamente, es decir que exista f : Ay ∩E(Py, δ) ⊂ Rn → R tal que F (x1, . . . , xn, f(x1, . . . , xn)) = 0

En particular, esto nos permite el gradiente ∇f(Py) de la siguientemanera

∇f(Py) =

(−F ′x1(P )

F ′y(P ),−

F ′x2(P )

F ′y(P ), . . . ,−

F ′xn(P )

F ′y(P )

)

= − 1

F ′y(P )

(F ′x1(P ), F ′x2(P ), . . . , F ′xn(P )

)

7.3. Funcion Compuesta

Definicion 65. Sean f : A ⊂ Rn → Rm y g : B ⊂ Rm → Rp tales quef(A) ⊆ B.

50

Entonces existe una unica la funcion h : A → Rp tal que h(x) =g(f(x)).

A dicha funcion h la llamamos la funcion compuesta de f con g,y la denotamos como

h = g ◦ f

Notar que esta definicion es un poco mas general que la definicion17, por cuanto no se pide que el codominio de la primera sea igual aldominio de la segunda, solo que la imagen de la primera este incluıdoen el dominio de la segunda.

Al mismo tiempo es mas particular que aquella definicion, pues laprimera se refiere funciones entre conjuntos en general, mientras quela segunda es entre subconjuntos de Rn.

7.4. Regla de la Cadena

Teorema 7.2. Sean f : A ⊂ Rn → Rm diferenciable en x0 ∈ A◦,y g : B ⊂ Rm → Rp diferenciable en y0 = f(x0) ∈ B◦, tales quef(A) ⊆ B

Entonces la funcion compuesta h : A → Rp es diferenciable en x0,y ademas el diferencial de h en x0 es igual a la composicion de losdiferenciales de f en x0 con el de g en y0, de la siguiente manera

dh(x0) = dg(y0) ◦ df(x0)

O lo mismo expresado matricialmente, la matriz jacobiana de la com-puesta es igual al producto de las matrices jacobianas de la siguientemanera

Dh(x0) = Dg(y0) ·Df(x0)

51

8. Polinomio de Taylor y Extremos

8.1. Polinomio de Taylor

Sea f : A ⊆ R2 → R, f ∈ C2, (x0, y0) ∈ A.

Sabemos que el diferencial de f en cada punto (x0, y0) ∈ A es de laforma

df(x0,y0)(x− x0, y − y0) = f ′x(x0, y0)(x− x0) + f ′y(x0, y0)(y − y0)

O escribiendo (u, v) = (x− x0, y − y0)

df(x0,y0)(u, v) = f ′x(x0, y0)u+ f ′y(x0, y0)v

En cada punto (x, y) su diferencial es

df(x,y)(u, v) = f ′x(x, y)u+ f ′y(x, y)v

Ahora definimos el diferencial segundo de f en (x, y), como el difer-encial del diferencial, es decir

d2f(x,y)(u, v) = d(df(x,y)(u, v)) = d(f ′x(x, y)u+ f ′y(x, y)v)

= f ′′xx(x, y)u2 + f ′′xy(x, y)uv + f ′′yx(x, y)vu+ f ′′yy(x, y)v2

= f ′′xx(x, y)u2 + 2f ′′xy(x, y)uv + f ′′yy(x, y)v2

donde en el ultimo paso usamos el teorema 5.5 (de Schwarz).

Con esta notacion vamos a definir entonces el polinomio de Taylor

Definicion 66. Sea f : A ⊆ R2 → R, f ∈ C2, (x0, y0) ∈ A.

El polinomio de Taylor de primer grado de f en (x0, y0) es

T1(u, v) = f(x0, y0) + df(x0,y0)(u, v)

= f(x0, y0) + f ′x(x0, y0)u+ f ′y(x0, y0)v

52

Y el polinomio de Taylor de segundo grado de f en (x0, y0) es

T2(u, v) = f(x0, y0) + df(x0,y0)(u, v) +1

2!d2f(x0,y0)(u, v)

= f(x0, y0) + f ′x(x0, y0)u+ f ′y(x0, y0)v +

+1

2!

[f ′′xx(x0, y0)u2 + 2f ′′xy(x0, y0)uv + f ′′yy(x0, y0)v2

]Mas generalmente, si f : A ⊆ Rn → R, f ∈ Ck, x0 ∈ A, y llamandou = x− x0, el polinomio de Taylor de f de grado k en x0 es

Tk(u) = f(x0) + dfx0(u) +1

2!d2fx0(u) + . . .+

1

k!dkfx0(u)

El polinomio de Taylor sirve para aproximar la funcion en un entornodel punto donde fue calculada. Es decir si f ∈ Ck y Tk(u) es el poli-nomio de grado k de f en x0, entonces

f(x) ≈ Tk(x− x0)

para x cerca de x0.

8.2. Maximos y mınimos de una funcion

Sabemos que R es un conjunto totalmente ordenado (ver definicion12), y por lo tanto cualquier subconjunto B ⊆ R tambien hereda unorden total.

Tiene sentido entonces para B ⊆ R preguntar si tiene un maximo oun mınimo.

Por ejemplo, si A = (0, 1], entonces A tiene un maximo y es el elemento1 ∈ A, pero no tiene ningun mınimo.

Definicion 67. Sea f : A ⊆ Rn → R un campo escalar, y sea Y =Im(f) ⊆ R el conjunto imagen de f .

Si Y tiene un maximo, decimos que es el maximo absoluto de f .

Si Y tiene un mınimo, decimos que es el mınimo absoluto de f .

53

Definicion 68. Sea f : A ⊆ Rn → R un campo escalar, x0 ∈ A,E = E(x0, δ) un entorno de x0 de radio δ > 0, y g = f |E, es decir lafuncion f restringida al entorno E, y sea YE = Im(g) la imagen dela funcion ası restringida.

Si YE tiene un maximo, decimos que es un maximo relativo de frelativo a x0.

Si YE tiene un mınimo, decimos que es un mınimo relativo de frelativo a x0.

Definicion 69. Llamamos extremos a los maximos y mınimos (ab-solutos y relativos) de f .

Observacion 8.1. Las definiciones anteriores las podemos expresartambien de la siguiente manera.

Sea el campo escalar f : A ⊂ Rn → R, y x0 ∈ A, entonces:

f(x0) es el maximo absoluto de f si f(x) ≤ f(x0) para todo x ∈ A

f(x0) es el mınimo absoluto de f si f(x) ≥ f(x0) para todo x ∈ A

f(x0) es maximo relativo de f relativo a x0 si f(x) ≤ f(x0) paratodo x ∈ A ∩ E(x0, δ) para algun δ > 0

f(x0) es mınimo relativo de f relativo a x0 si f(x) ≥ f(x0) paratodo x ∈ A ∩ E(x0, δ) para algun δ > 0

Observacion 8.2. Todos los extremos se definieron en sentido am-plio. La definicion en sentido estricto es analoga pero cambiando≤ por < y ≥ por >, y analizando A − {x0} para extremos absolutos,y (A− {x0}) ∩ E(x0, δ) para extremos relativos.

8.2.1. Criterio de la derivada primera

Antes de enunciar el criterio, vamos a necesitar esta

Definicion 70. Sea f : A ⊂ Rn → R. Un punto crıtico de f es unelemento x0 ∈ A tal que o bien f no es diferenciable en x0, o bien esdiferenciable en x0 pero ∇f(x0) = 0.

Si x0 es punto crıtico, pero f(x0) no es extremo, decimos que (x0, f(x0))es punto silla.

54

Ahora si enunciamos el criterio de la derivada primera

Teorema 8.3. Criterio de la derivada primera

Sea f : A ⊂ Rn → R, f ∈ C1, entonces una condicion necesaria paraque f(x0) sea extremo, es que x0 sea punto crıtico.

Es decir que el criterio de la derivada primera nos dice que si x0 ∈ Aes punto crıtico, entonces o bien f(x0) es extremo, o bien (x0, f(x0))es punto silla.

Demostracion. Sea g(t) = x0 + tv para un versor v ∈ Rn, y considerola composicion

h(t) = f(g(t))

Como g(0) = x0 y f presenta un extremo en x0, entonces h presentaun extremo en 0.

Ademas como f es diferenciable en x0 y g es diferenciable en 0, en-tonces por la regla de la cadena h es diferenciable en 0 y

h′(0) = ∇f(g(0))g′(0)

Y por el criterio de la derivada primera (de Analisis 1) sabemos quedebe cumplirse

h′(0) = 0

O sea que

∇f(g(0)) · g′(0) = 0

Pero g′(0) = v, luego nos queda

∇f(x0) · v = 0

y como f es diferenciable en x0

55

∇f(x0) · v = f ′v(x0) = 0

En particular tomando v un versor canonico de Rn vemos que todaslas derivadas parciales son nulas, y por lo tanto ∇f(x0) = 0 comoquerıamos probar.

8.2.2. Criterio de la derivada segunda

Antes de enunciar el criterio de la derivada segunda nos va a ser utilla siguiente

Definicion 71. Sea f : A ⊂ Rn → R, f ∈ C2.

La matriz Hessiana es la matriz jacobiana del gradiente de f . Esdecir:

Hf =

f ′′x1x1 f ′′x1x2 . . . f ′′x1xnf ′′x2x1 f ′′x2x2 . . . f ′′x2xn. . .f ′′xnx1 f ′′xnx2 . . . f ′′xnxn

Observacion 8.4. Por el teorema 5.5 (de Schwarz), la matriz Hes-siana debe ser simetrica.

Teorema 8.5. Sea M ∈ Rn×n una matriz cuadrada y simetrica.

Entonces M tiene autovalores λ1, λ2, . . . , λn ∈ R, es decir tiene todossus autovalores y son reales.

Definicion 72. Sea M ∈ Rn×n una matriz cuadrada y simetrica concoeficientes reales.

Sabemos por el teorema 8.5 que todos sus autovalores λ1, . . . , λn sonreales.

Decimos que M es una matriz definida positiva, si todos sus au-tovalores son positivos, es decir λi > 0 para 1 ≤ i ≤ n.

Decimos que M es una matriz semidefinida positiva, si todos susautovalores son no negativos, es decir λi ≥ 0 para 1 ≤ i ≤ n.

56

Decimos que M es una matriz definida negativa, si todos sus au-tovalores son negativos, es decir λi < 0 para 1 ≤ i ≤ n.

Decimos que M es una matriz semidefinida negativa, si todos susautovalores son no positivos, es decir λi ≤ 0 para 1 ≤ i ≤ n.

Decimos que M es una matriz no definida, si no es definida pos-itiva, ni semidefinida positiva, ni definida negativa, ni semidefinidanegativa. Es decir si tiene autovalores tanto positivos como negativos.

Teorema 8.6. Criterio de Sylvester

Sea M ∈ Rn×n una matriz cuadrada y simetrica.

Sean las n submatrices Mp = (aij)1≤i,j≤p con 1 ≤ p ≤ n.

A sus determinantes det(Mp) con 1 ≤ p ≤ n se los conoce somo susmenores principales.

El criterio de Sylvester dice que

M es definida positiva sii todos sus menores principales son pos-itivos, es decir det(Mp) > 0 para 1 ≤ p ≤ nM es definida negativa sii sus menores principales son de laforma det(M1) < 0, det(M2) > 0, det(M3) < 0, . . ., es decir(−1)pdet(Mp) > 0 para 1 ≤ p ≤ n. Es decir van intercambiandosigno empezando por negativo.

No lo encontre en la bibliografıa, y no estoy seguro de si sera cierto,pero se me ocurre que a lo mejor tambien es cierto lo siguiente:

M es semidefinida positiva sii todos sus menores principales sonno negativos, es decir det(Mp) ≥ 0 para 1 ≤ p ≤ nM es semidefinida negativa sii sus menores principales son dela forma det(M1) ≤ 0, det(M2) ≥ 0, det(M3) ≤ 0, . . ., es decir(−1)pdet(Mp) ≥ 0 para 1 ≤ p ≤ n.

M es no definida sii tiene menores principales tanto positivoscomo negativos.

Ahora si enunciamos el criterio de la derivada segunda

57

Teorema 8.7. Criterio de la derivada segunda

Sea f : A ⊂ Rn → R, f ∈ C2 y x0 ∈ A punto crıtico. Entoncessi la matriz hessiana de f en x0 es definida positiva (Ver 72), lafuncion presenta un mınimo relativo f(x0), y si es definida negativa,la funcion presenta un maximo relativo f(x0).

Si la matriz esta semidefinida (positiva o negativa), el criterio no de-cide.

Si la matriz no esta definida, no hay extremo, es decir que (x0, f(x0))es punto silla.

Combinando el criterio 8.6 de Sylvester con el criterio 8.7 de la deriva-da segunda, podemos construir el criterio del Hessiano

Teorema 8.8. Criterio del Hessiano

Sea f : A ⊂ Rn → R, f ∈ C2 y x0 ∈ A punto crıtico.

Sean las n submatrices Mp = (aij)1≤i,j≤p con 1 ≤ p ≤ n, y seandet(Mp) sus menores principales.

Entonces

Si det(Mp) > 0 para 1 ≤ p ≤ n, f(x0) es mınimo relativo.

Si (−1)pdet(Mp) > 0 para 1 ≤ p ≤ n, f(x0) es maximo relativo.

Si algun det(Mp) = 0, el criterio no decide.

En cualquier otro caso, el punto (x0, f(x0)) es un punto silla.

Ejemplo 22. Veamos el caso particular n = 3. Sea f : A ⊆ R3 → R,f ∈ C2 y x0 ∈ A punto crıtico de f . Queremos saber si f(x0) esextremo relativo. Sea Hf(x0) la matriz hessiana de f en x0

Hf(x0) =

f ′′xx(x0) f ′′xy(x0) f ′′xz(x0)

f ′′yx(x0) f ′′yy(x0) f ′′yz(x0)

f ′′zx(x0) f ′′zy(x0) f ′′zz(x0)

Calculamos los menores principales de f , es decir los siguientes de-terminantes (se entiende, todas las funciones evaluadas en x0)

58

H1 =∣∣f ′′xx∣∣

H2 =

∣∣∣∣f ′′xx f ′′xyf ′′yx f ′′yy

∣∣∣∣H3 =

∣∣∣∣∣∣f ′′xx f ′′xy f ′′xzf ′′yx f ′′yy f ′′yzf ′′zx f ′′zy f ′′zz

∣∣∣∣∣∣Entonces si H1, H2, H3 > 0 la matriz esta definida positiva, y por lotanto f(x0) es mınimo relativo.

Y si H1 < 0, H2 > 0, H3 < 0 la matriz esta definida negativa, y porlo tanto f(x0) es maximo relativo.

Si algun Hi = 0, el criterio no decide. En cualquier otro caso el punto(x0, f(x0)) es punto silla.

Ejemplo 23. Ahora veamos el caso particular n = 2. Sea f : A ⊆R2 → R, f ∈ C2 y x0 ∈ A punto crıtico de f . Queremos saber si f(x0)es extremo relativo. Sea Hf(x0) la matriz hessiana de f en x0

Hf(x0) =

(f ′′xx(x0) f ′′xy(x0)

f ′′yx(x0) f ′′yy(x0)

)Los menores principales de f son H1 = f ′′xx(x0) y H2 = det(Hf(x0)).

Si det(Hf(x0)) > 0 hay extremo, pues el producto de los dosautovalores es positivo, es decir que son ambos positivos o ambosnegativos.

En este caso si f ′′xx(x0) > 0, f(x0) es mınimo relativo, y sif ′′xx(x0) < 0, f(x0) es maximo relativo.

El caso f ′′xx(x0) = 0 no puede darse, pues si det(H(fx0)) =f ′′xxf

′′yy − (f ′′xy)

2 > 0, entonces f ′′xxf′′yy > (f ′′xy)2 > 0, lo cual

implica que f ′′xx 6= 0

Si det(Hf(x0)) < 0 entonces (x0, f(x0)) es punto silla, pues elproducto de los dos autovalores es negativo, es decir que son designo contrario.

59

Si det(Hf(x0)) = 0 entonces el criterio no decide, habra queaveriguar de otra forma si se produce extremo o punto silla.

8.3. Extremos condicionados

Supongamos que queremos maximizar un campo escalar f(x, y), sujetoa una restriccion g(x, y) = 0.

Un metodo consiste, cuando es posible, en despejar x o y (o algunaexpresion) de la ecuacion g(x, y) = 0 de forma tal de reemplazarla enla funcion f(x, y) para que quede en funcion de una variable.

Otra posibilidad serıa parametrizar la curva g(x, y) = 0, digamos me-diante la funcion vectorial r(t), luego componer h = f ◦r y maximizardicha compuesta h(t) = f(r(t)) que es una funcion de una variable.

Pero si ninguno de los metodos anteriores funciona, debemos recurrira los multiplicadores de Lagrange:

Definimos la funcion de Lagrange:

L(λ, x, y) = λg(x, y) + f(x, y)

Los puntos crıticos (restringidos) los hallamos calculando su gradientee igualando a cero:

∇L(λ, x, y) = (0, 0, 0)

de donde

g(x, y) = 0

λg′x + f ′x = 0

λg′y + f ′y = 0

Para cada punto crıtico restringido podemos analizar si es extremoanalizando geometricamente la funcion, o usando el hessiano restringi-do:

60

H =

0 g′x g′yg′x f ′′xx f ′′xyg′y f ′′yx f ′′yy

El criterio del hessiano restringido en este caso dice que

Si H3 < 0 hay mınimo relativo

Si H3 > 0 hay maximo relativo.

En general, si hay m restricciones, se consideran los menores princi-pales de tamano i ≥ 2m+ 1.

Si m es par y Hi > 0 para todo i hay mınimo relativo. Y si Hi <0, Hi+1 > 0, Hi+2 < 0, . . . hay maximo relativo.

Si m es impar y Hi < 0 para todo i hay mınimo relativo. Y si Hi >0, Hi+1 < 0, Hi+2 > 0, . . . hay maximo relativo.

Ejemplo 24. Analizar los extremos de f(x, y) = x2 + y2 sujeto ax = 0.

Primero definimos la funcion de Lagrange

L(λ, x, y) = λx+ x2 + y2

Ahora buscamos los puntos crıticos

∇L(λ, x, y) = (x, λ+ 2x, 2y) = (0, 0, 0)

de donde

x = 0

λ+ 2x = 0

2y = 0

El unico punto crıtico es (λ, x, y) = (0, 0, 0). Ahora veamos el hessiano

61

H =

0 1 01 2 00 0 2

Como H3 = −2 < 0 hay mınimo relativo f(0, 0) = 0

9. Integral de Lınea y Funcion Poten-

cial

9.1. Integral de Riemann

Recordemos la definicion de la integral de Riemann

Definicion 73. Sea [a, b] ∈ R un intervalo compacto, y sea P = {a =x0 < x1 < . . . < xn = b} una particion de [a, b]. Sea f una funcionacotada en [a, b].

Notamos

mi = ınfx∈[xi−1,xi]

f(x)

Mi = supx∈[xi−1,xi]

f(x)

4xi = xi − xi−1

Las sumas superior e inferior de Riemann son

Sp(f) =n∑i=1

Mi4xi

sp(f) =

n∑i=1

mi4xi

62

Luego definimos

∫ b

afdx = ınf

p partSp(f)

∫ b

afdx = sup

p partsp(f)

donde el ınfimo y el supremo se calcula sobre todas las particionesposibles.

Si son iguales, se nota∫ ba fdx y se dice que f es Riemann-integrable

en [a, b], y lo denotamos f ∈ R

9.2. Curva regular a trozos, curva de jordan

Definicion 74. Una curva C ∈ Rn decimos que es regular a trozossi puede escribirse como C = ∪ki=1Ci donde cada Ci es una curvaregular, y el extremo final de una coincide con el inicial de la siguiente.

Es decir si cada curva Ci esta parametrizada por gi : [ai, bi] → Rn,entonces gi(bi) = gi+1(ai+1)

Una curva C es simple si admite una parametrizacion inyectiva.

Una curva C es cerrada si admite una parametrizacion g : [a, b]→ Rntal que g(a) = g(b)

Una curva C se dice cerrada simple, o curva de Jordan, si admiteuna parametrizacion g : [a, b] → Rn tal que es inyectiva en [a, b) yg(a) = g(b)

9.3. Integral de lınea

Definicion 75. Dada una curva C ∈ Rn con parametrizacion g :[a, b] → Rn, y dado un campo escalar f : A ⊆ Rn → R contınuo, talque C ∈ A◦, definimos el diferencial de curva escalar como

63

dc = ||g′(t)||dt

y definimos la integral de f sobre C como

∫Cfdc =

∫ b

af(g(t))||g′(t)||dt

Definimos la longitud de C como la integral de la funcion constante1, es decir

Long(C) =

∫Cdc =

∫ b

a||g′(t)||dt

Dada la misma curva C con misma parametrizacion g, y dado el campovectorial f : A ⊆ Rn → Rn contınuo, tal que C ∈ A◦, definimos eldiferencial de curva vectorial como

dc = g′(t)dt

y definimos la integral de f sobre C en este caso tambien llamadocirculacion como

∫Cf · dc =

∫ b

af(g(t)) · g′(t)dt

En ambos casos decimos que se trata de la integral sobre la curva Cdesde g(a) hasta g(b)

9.4. Campos conservativos

Dado un campo vectorial f : A ⊆ Rn → Rn, con A abierto y f ∈C1, podemos preguntarnos si en realidad se trata del gradiente de uncampo escalar φ : A ⊆ Rn → R, φ ∈ C2, tal que ∇φ = f . Esto motivala siguiente

64

Definicion 76. Dado f : A ⊆ Rn → Rn, con A abierto y f ∈ C1.

Si existe φ : A ⊆ Rn → R, φ ∈ C2, tal que

∇φ = f

decimos que f es un campo conservativo, y que φ es su funcionpotencial.

Ejemplo 25. No todos los campos vectoriales son conservativos

Por ejemplo f(x, y) = (−y, x) no es conservativo. Si lo fuera, comof ∈ C1 se tendrıa una φ ∈ C2 tal que ∇φ = f , pero en ese casoserıa φ′x = −y y φ′y = x. Se cumplen las hipotesis del teorema deSchwarz, por lo tanto φ′′xy = φ′′yx con lo cual llegamos a −1 = 1 lo cuales absurdo, y por lo tanto f no es un campo conservativo.

Es facil construir ejemplos de campos conservativos, sımplemente elegi-mos un campo escalar φ ∈ C2, y su gradiente es un campo con-servativo. Por ejemplo si φ(x, y) = x2 + y2 entonces se tiene que∇φ(x, y) = f(x, y) = (2x, 2y) es un campo conservativo, cuya fun-cion potencial es φ.

9.5. Teorema de la independencia del camino

Teorema 9.1. Sea el campo vectorial conservativo f : A ⊂ Rn → Rn,y sea φ : A ⊂ Rn → R su funcion potencial.

Sea C ⊂ A◦ una curva regular con parametrizacion g : [a, b]→ Rn.

Entonces

∫Cf · dc = φ(g(b))− φ(g(a))

Demostracion. Queremos calcular

∫Cf · dc =

∫ b

af(g(t)) · g′(t)dt

65

Como f = ∇φ se tiene

∫Cf · dc =

∫ b

a∇φ(g(t)) · g′(t)dt

Ahora consideramos la funcion compuesta h = φ ◦ g, h(t) = φ(g(t)).La misma existe puesto que la curva esta en el dominio de φ.

Como g ∈ C1 por ser la parametrizacion de una curva regular, yφ ∈ C2 por ser funcion potencial de f , ambas son diferenciables, ypodemos aplicar el teorema de la regla de la cadena

h′(t) = ∇φ(g(t)) · g′(t)

reemplazando en la integral

∫Cf · dc =

∫ b

ah′(t)dt

y por el teorema fundamental del calculo de Analisis 1

∫ b

ah′(t)dt = h(b)− h(a)

Pero h = φ(g(t)), finalmente

∫Cf · dc = φ(g(b))− φ(g(a))

Es decir que la integral de f sobre la curva C no depende del camino,sino solamente de los puntos inicial g(a) y final g(b) de la curva.

Corolario 9.2. Si f es conservativo, la integral sobre cualquier curvacerrada da cero.

Demostracion. Como C es cerrada g(a) = g(b), y como f es conser-vativo se tiene

66

∫Cf · dc = φ(g(b))− φ(g(a)) = φ(g(a))− φ(g(a)) = 0

9.6. Condicion necesaria para la existencia defuncion potencial

Teorema 9.3. Sea f : A ⊂ Rn → Rn conservativo con f ∈ C1,entonces su matriz jacobiana Df es contınua y simetrica.

Dicho de otra forma, si f ∈ C1 tiene matriz jacobiana Df que o bienno es continua, o bien no es simetrica (o ninguna de las dos), entoncesf no puede ser un campo conservativo.

Demostracion. Como f ∈ C1 es claro que su matriz jacobiana debeser contınua, pues sus columnas son sus derivadas parciales.

Como f es conservativo, existe φ : A ⊂ Rn → R, φ ∈ C2 tal que∇φ = f .

Luego la matriz jacobiana de f debe ser la matriz hessiana de φ.

Luego por la observacion 8.4, la matriz jacobiana de f debe ser simetri-ca.

9.7. Condicion de suficiencia para la existen-cia de funcion potencial

Teorema 9.4. Sea f : A ⊂ Rn → Rn tal que cumple la condicionnecesaria para que exista funcion potencial (es decir tiene Df contınuay simetrica). Si ademas A es sımplemente conexo, entonces f es con-servativo.

Observacion 9.5. La condicion de suficiencia (A sımplemente conexo),junto con la necesaria me garantizan que el campo es conservativo.

67

Pero que no se cumpla que A sea sımplemente conexo no me garanti-za que el campo f no sea conservativo. Hay funciones que no cumplenla condicion de suficiencia y aun ası son conservativos.

Ejemplo 26. Dado A = R2 − {(0, 0)}. Claramente A no es sımple-mente conexo. Ahora definimos

f : A → R2

f(x, y) = (2x, 2y)

Existe el siguiente φ ∈ C2

φ : A → Rφ(x, y) = x2 + y2

de forma que f = ∇φ, es decir que el campo f es conservativo.

10. Integrales Multiples

Definicion 77. Sea f : R ⊆ R2 → R, con R = [a, b] × [c, d] y facotada.

Sean Px = {a = x0 < x1 < . . . < xn = b} y Py = {c = y0 < y1 <. . . < ym = d} particiones de [a, b] y [c, d]

Notamos

m(i,j) = ınf(x,y)∈[xi−1,xi]×[yj−1,yj ]

f(x, y)

M(i,j) = sup(x,y)∈[xi−1,xi]×[yj−1,yj ]

f(x, y)

4xi = xi − xi−1

68

4yj = yj − yj−1

Las sumas superior e inferior de Riemann son

Sp(f) =m∑j=1

n∑i=1

M(i,j)4xi4yj

sp(f) =m∑j=1

n∑i=1

m(i,j)4xi4yj

Luego definimos

∫∫Rfdxdy = ınf

p partSp(f)

∫∫Rfdxdy = sup

p partsp(f)

donde el ınfimo y el supremo se calcula sobre todas las particionesposibles.

Si son iguales, se dice que f es Riemann-integrable en R = [a, b]×[c, d],se nota

∫∫R fdxdy, y se dice que es la integral doble de f sobre R.

La definicion para funciones de la forma f : R ⊆ R3 → R es analoga.

Definicion 78. Sea f : A ⊆ R2 → R, con A acotado y f acotada.

Por ser A acotado, el mismo se encuentra dentro de un rectanguloR = [a, b]× [c, d], es decir A ⊆ R.

Definimos la funcion h : R→ R como

h(x, y) =

{f(x, y) si (x, y) ∈ A0 si (x, y) 6∈ A

Luego definimos la integral de f sobre A como

69

∫∫Afdxdy =

∫∫Rhdxdy

si dicha integral existe.

La definicion para funciones de la forma f : A ⊆ R3 → R es analoga.

Definicion 79. Sea A ⊆ R2 acotada. Definimos su area como

area(A) =

∫∫Adxdy

Sea H ⊆ R3 acotada. Definimos su volumen como

vol(H) =

∫∫∫Hdxdydz

Definicion 80. Una region elemental tipo I de R2 es un subcon-junto R ⊆ R2 de la forma

R = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, f1(x) ≤ y ≤ f2(x)}

Esto tambien lo vamos a escribir como

R =

{a ≤ x ≤ bf1(x) ≤ y ≤ f2(x)

Analogamente, una region elemental tipo II es de la forma

R =

{a ≤ y ≤ bf1(y) ≤ x ≤ f2(y)

En ambos casos f1, f2 son funciones contınuas en el compacto [a, b].

Una region elemental de R2, es una region elemental tipo I o bientipo II.

Una region elemental tipo I de R3 es un subconjunto R ⊆ R3 dela forma

70

R =

a ≤ x ≤ bf1(x) ≤ y ≤ f2(x)

g1(x, y) ≤ z ≤ g2(x, y)

En total hay 3! = 6 tipos de regiones elementales en R3, que se cor-responden con las permutaciones de las tres variables x, y, z ya quebasicamente consiste en ordenar las variables.

De nuevo f1, f2, g1, g2 son funciones contınuas, y por lo tanto aco-tadas.

Ejemplo 27. En R2, supongamos que tenemos la region R definidapor

R =

{0 ≤ x ≤ 2π

cos(x) ≤ y ≤ 2 + sin(x)

La podemos representar graficamente de la siguiente manera

Esta region R es una region elemental tipo I.

Observacion 10.1. Como todas las funciones que definen una regionelemental R son contınuas en un compacto, resultan ser acotadas, porlo tanto R es un conjunto acotado, y como R es cerrado, resulta queademas R es compacto.

71

10.1. Teorema de Fubini en R2

El siguiente teorema nos permite calcular ciertas integrales dobles re-alizando dos integrales simples iteradas.

Teorema 10.2. Sea f : A ⊂ R2 → R contınua, con A region elemen-tal tipo I, de la forma A = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g(x)}entonces

∫∫Af(x, y)dxdy =

∫ b

adx

∫ g(x)

f(x)f(x, y)dy

Observacion 10.3. Si A es una region elemental tipo I y II, entoncespuedo cambiar el orden de integracion.

10.2. Teorema de cambio de variables

Primero lo enunciamos en R2

Teorema 10.4. Sea f : A ⊂ R2 → R contınua, y g : U ⊆ R2 → R2

biyectiva, g ∈ C1, y (x, y) = g(u, v), y sea A = g(B), entonces

∫∫A=g(B)

f(x, y)dxdy =

∫∫Bf(g(u, v))||det(Dg(u, v))||dudv

Ahora enunciamos la version del teorema para R3

Teorema 10.5. Sea f : A ⊂ R3 → R contınua, y g : U ⊆ R3 → R3

biyectiva, g ∈ C1, y (x, y, z) = g(u, v, w), y sea A = g(B), entonces

∫∫∫A=g(B)

f(x, y, z)dxdydz =

∫∫∫Bf(g(u, v, w))||det(Dg(u, v, w))||dudvdw

10.3. Coordenadas cartesianas y polares en R2

Son los cambios de variables mas utilizados en R2

72

Definicion 81. Las coordenadas cartesianas corresponde a la fun-cion identidad de R2

g : R2 → R2

g(u, v) = (u, v)

En este caso se tiene

|det(Dg)| = 1

Las lıneas coordenadas son rectas paralelas a los ejes cartesianos.

Definicion 82. Las coordenadas polares corresponde al campo vec-torial

g : [0,+∞)× [0, 2π) → R2

g(ρ, φ) = (ρ cos(φ), ρ sin(φ))

En este caso se tiene

|det(Dg)| = ρ

Las lıneas coordenadas son circunferencias con centro en el origen, ysemirectas que parten del origen.

73

10.4. Coordenadas cartesianas, cilındricas y esferi-cas en R3

Son los cambios de variables mas utilizados en R3

Definicion 83. Las coordenadas cartesianas corresponde a tomarla funcion identidad de R3

g : R3 → R3

g(u, v, w) = (u, v, w)

En este caso se tiene

|det(Dg)| = 1

Las superficies coordenadas son planos paralelos a los planos coorde-nados.

Definicion 84. Las coordenadas cilındricas sobre el eje z corre-sponde a la funcion

74

g : [0,+∞)× [0, 2π)× R → R3

g(ρ, φ, z) = (ρ cos(φ), ρ sin(φ), z)

En este caso se tiene

|det(Dg)| = ρ

Las superficies coordenadas son cilindros sobre el eje z, semiplanosque parten del eje z, y planos paralelos al xy.

Ejemplo 28. Calcular el volumen del cuerpo H definido como

H =

{x2 + y2 ≤ 1

0 ≤ z ≤√x2 + y2

A continuacion representamos graficamente el cuerpo H. Observar queson los puntos dentro de un cilındro de radio 1 sobre el eje z, y entreel plano z = 0 y el cono z =

√x2 + y2

75

Calculamos su volumen

V ol(H) =

∫∫∫HdV =

∫ 2π

0dφ

∫ 1

0ρdρ

∫ ρ

0dz =

2

3π

Definicion 85. Las coordenadas esfericas sobre el eje z corre-sponde a la funcion

g : [0,+∞)× [0, 2π)× [0, π] → R3

g(ρ, α, β) = (ρ cos(α) sin(β), ρ sin(α) sin(β), ρ cos(β))

En este caso

|det(Dg)| = ρ2 sin(β)

Las superficies coordenadas son esferas centradas en el origen, conoscentrados en el origen sobre el eje z, y semiplanos que parten del ejez.

11. Integrales de Superficie y Flujo

11.1. Definicion para superficie parametrica

Definicion 86. Dada una superficie Σ ∈ R3 con parametrizaciong : B ⊆ R2 → R3, y dado un campo escalar f : A ⊆ R3 → R contınuo,tal que Σ ∈ A◦, definimos el diferencial de superficie escalar como

76

ds = ||g′u(u, v) ∧ g′v(u, v)||dudv

y la integral de f sobre Σ como

∫∫Σfds =

∫∫Bf(g(u, v))||g′u(u, v) ∧ g′v(u, v)||dudv

Definimos el area de la superficie Σ como la integral de la funcionconstante 1, es decir

area(Σ) =

∫∫Σds =

∫∫B||g′u(u, v) ∧ g′v(u, v)||dudv

Dada la misma superficie Σ (orientable) con misma parametrizaciong, y dado el campo vectorial f : A ⊆ R3 → R3 contınuo, tal queΣ ∈ A◦, definimos el diferencial de superficie vectorial como

ds = (g′u(u, v) ∧ g′v(u, v))dudv

y definimos la integral de f sobre Σ en este caso tambien llamadoflujo como

∫∫Σf · ds =

∫∫Bf(g(u, v)) · (g′u(u, v) ∧ g′v(u, v))dudv

En este caso decimos que se trata de la integral sobre la superficie Σen la orientacion con vector normal g′u(u, v) ∧ g′v(u, v).

11.2. Caso superficie grafica de campo escalar

Sea f : A ⊂ R2 → R, su conjunto grafica consiste en el conjunto

Σ = {(x, y, z) ∈ A× R : z = f(x, y)}

La misma la podemos parametrizar como

77

g(x, y) = (x, y, h(x, y))

Luego

g′x = (1, 0, h′x)

g′y = (0, 1, h′y)

g′x ∧ g′y = (−f ′x,−f ′y, 1)

Por lo tanto, el diferencial de superficie vectorial es

ds = (−f ′x,−f ′y, 1)dxdy

y el diferencial de superficie escalar es

ds =√

1 + (f ′x)2 + (f ′y)2dxdy

11.3. Caso superficie definida implıcitamente

Sea el campo escalar G : A ⊂ R3 → R, G ∈ C1 y supongamos lasuperficie Σ corresponde al conjunto de nivel 0 de G. Es decir es lasuperficie de ecuacion

G(x, y, z) = 0

y supongamos ademas que G′z(x, y, z) 6= 0

Entonces por el teorema 7.1 de Cauchy-Dini, la ecuacion define im-plıcitamente a z = w(x, y), con w diferenciable. Luego podemos parametrizarΣ de la siguiente forma

g(x, y) = (x, y, w(x, y))

78

g′x = (1, 0, w′x)

g′y = (0, 1, w′y)

g′x ∧ g′y = (−w′x,−w′y, 1)

Pero

w′x = −G′x

G′z

w′y = −G′yG′z

reemplazando

g′x ∧ g′y = (G′xG′z

,G′xG′z

, 1) =1

G′z∇G

Por lo tanto, el diferencial de superficie vectorial es

ds =∇GG′z

dxdy

y el diferencial de superficie escalar es

ds =||∇G|||G′z|

dxdy

12. Calculo de Masa, momentos, y cen-

tro

Veamos algunas formulas para el calculo de masa, momentos y centro,sobre curvas y regiones planas.

Sea C ⊂ R2 una curva, y A ⊆ R2 una region plana.

Sea δ : R2 → R contınua la densidad de masa.

79

Concepto Curvas Region plana

M : Masa∫C δdc

∫∫A δdxdy

Mx: Momento estaticorespecto al eje x

∫C yδdc

∫∫A yδdxdy

My: Momento estaticorespecto al eje y

∫C xδdc

∫∫A xδdxdy

G: Centro de masa 1M (My,Mx) 1

M (My,Mx)

Ix: Momento de inerciarespecto al eje x

∫C y

2δdc∫∫A y

2δdxdy

Iy: Momento de inerciarespecto al eje y

∫C x

2δdc∫∫A x

2δdxdy

Ahora en R3. Veamos algunas formulas para el calculo de masa, mo-mentos y centro, sobre curvas en el espacio, regiones solidas, y super-cicies.

Sea C ⊂ R3 una curva, A ⊆ R3 una region solida, y Σ ⊆ R3 unasuperficie.

Sea δ : R3 → R contınua la densidad de masa.

80

Concepto Curvas Region solida Superficie

M : Masa∫C δdc

∫∫∫A δdxdydz

∫∫Σ δds

Mxy: Momento estaticorespecto al plano xy

∫C zδdc

∫∫∫A zδdxdydz

∫∫Σ zδds

Mxz: Momento estaticorespecto al plano xz

∫C yδdc

∫∫∫A yδdxdydz

∫∫Σ yδds

Myz: Momento estaticorespecto al plano yz

∫C xδdc

∫∫∫A xδdxdydz

∫∫Σ xδds

G: Centro de masa 1M (Myz,Mxz,Mxy)

1M (Myz,Mxz,Mxy)

1M (Myz,Mxz,Mxy)

Mx: Momento estaticorespecto al eje x

∫C

√y2 + z2δdc

∫∫∫A

√y2 + z2δdxdydz

∫∫Σ

√y2 + z2δds

My: Momento estaticorespecto al eje y

∫C

√x2 + z2δdc

∫∫∫A

√x2 + z2δdxdydz

∫∫Σ

√x2 + z2δds

Mz: Momento estaticorespecto al eje z

∫C

√x2 + y2δdc

∫∫∫A

√x2 + y2δdxdydz

∫∫Σ

√x2 + y2δds

Ixy: Momento de inerciarespecto al plano xy

∫C z

2δdc∫∫∫

A z2δdxdydz

∫∫Σ z

2δds

Ixz: Momento de inerciarespecto al plano xz

∫C y

2δdc∫∫∫

A y2δdxdydz

∫∫Σ y

2δds

Iyz: Momento de inerciarespecto al plano yz

∫C x

2δdc∫∫∫

A x2δdxdydz

∫∫Σ x

2δds

Ix: Momento de inerciarespecto al eje x

∫C(y2 + z2)δdc

∫∫∫A(y2 + z2)δdxdydz

∫∫Σ(y2 + z2)δds

Iy: Momento de inerciarespecto al eje y

∫C(x2 + z2)δdc

∫∫∫A(x2 + z2)δdxdydz

∫∫Σ(x2 + z2)δds

Iz: Momento de inerciarespecto al eje z

∫C(x2 + y2)δdc

∫∫∫A(x2 + y2)δdxdydz

∫∫Σ(x2 + y2)δds

Mas generalmente:

El momento estatico respecto a una recta (o plano) es la integralde la distancia a la recta (o plano) por la densidad de masa.

El momento de inercia respecto a una recta (o plano) es la integralde la distancia al cuadrado a la recta (o plano) por la densiad de masa.

81

13. Teoremas de Green, Stokes y Gauss

Definicion 87. Sea f : A ⊂ R2 → R2, f ∈ C1, f = (P,Q), entoncesdefinimos el green de f como

green(f) = Q′x − P ′y

El operador nabla corresponde a ∇ =(∂∂x ,

∂∂y ,

∂∂z

).

Sea f : A ⊂ R3 → R3, f ∈ C1, f = (P,Q,R), entonces definimos elrotor de f como

rot(f) = ∇∧ f = (R′y −Q′z, P ′z −R′x, Q′x − P ′y)

y la divergencia de f como

div(f) = ∇ · f = P ′x +Q′y +R′z

Teorema 13.1. Teorema de Green

Dada una region elemental A ⊂ R2 con curva frontera C = ∂A regularo regular a trozos (automaticamente cerrada y simple, o sea de Jor-dan), y sea el campo vectorial f : B ⊂ R2 → R2, f ∈ C1, f = (P,Q),y con A ⊂ B, entonces

∮C+=∂A

f · dc =

∫∫AQ′x − P ′ydxdy

Teorema 13.2. Teorema de Stokes

Dada una superficie (orientable) abierta Σ ⊂ R3 y su curva bordeC = ∂Σ regular/a trozos (automaticamente cerrada y simple), y seaf : A ⊂ R3 → R3, f ∈ C1 con f = (P,Q,R), y con Σ ⊂ A, entonces

∮C+=∂Σ

f · dc =

∫∫Σrot(f) · ds

Teorema 13.3. Teorema de la divergencia

82

Dada una region elemental del espacio H ⊂ R3, y su superficie fronteraΣ = ∂H una superficie regular/a trozos (automaticamente cerrada ysimple), y sea f : A ⊂ R3 → R3, f ∈ C1, con f = (P,Q,R), y H ⊂ A,entonces

∫∫Σ+=∂H

f · ds =

∫∫∫Hdiv(f)dxdydz

13.1. Campos irrotacionales, solenoidales, y armonicos

Definicion 88. Sea A ⊂ Rn un conjunto abierto.

Un campo vectorial f : A ⊂ R3 → R3, f ∈ C1 se dice irrotacional sirot(f) = 0

Un campo vectorial f : A ⊂ R3 → R3, f ∈ C1 se dice solenoidal sidiv(f) = 0

Un campo escalar f : A ⊂ R3 → R, f ∈ C1 se dice armonico sidiv(grad(f)) = 0

Teorema 13.4. Sea el campo escalar f : A ⊂ R3 → R, f ∈ C2,entonces rot(grad(f)) = 0, es decir los campos de gradientes son ir-rotacionales.

Sea el campo vectorial f : A ⊂ R3 → R3 con f ∈ C2, entoncesdiv(rot(f)) = 0, es decir los campos de rotores son solenoidales.

14. Ecuaciones Diferenciales 2o parte

14.1. Ecuacion diferencial ordinaria homogenea

Definicion 89. Una funcion f : A ⊆ Rn → Rm se dice homogeneade grado k si

F (λx) = λkF (x)

Definicion 90. Una ecuacion diferencial ordinaria se dice homogeneasi se puede expresar en la forma

83

y′ = F (x, y)

donde F es una funcion homogenea de grado cero, es decir siF (tx, ty) = F (x, y)

Para resolverla se hace la sustitucion y = zx, donde z depende dex. Queda una ecuacion diferencial de variables separables en z que laresolvemos, y finalmente volvemos a reemplazar z = y

x .

Ahora con mas detalle, para resolverla hacemos la sustitucion

y = zx

y′ = z′x+ z

la reemplazamos en la ecuacion diferencial

z′x+ z = F (x, zx)

como F es homogenea de grado 0

z′x+ z = F (1, z)

restamos z de ambos lados

z′x = F (1, z)− z

separo variables e integro

∫dz

F (1, z)− z=

∫dx

x+ C

Esa es la solucion general de z, para obtener la solucion general de yse reemplaza z = y

x y listo.

84

14.2. Ecuacion diferencial total exacta

Definicion 91. Una ecuacion diferencial total exacta, es aquella quese puede expresar como

P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0

con P y Q definidos sobre A ⊆ R2 sımplemente conexo, y tal queQ′x − P ′y = 0.

Para resolverla, empezamos por notar que por la condicion 9.4 (sufi-ciente para la existencia de funcion potencial), sabemos que f = (P,Q)es conservativo, y por lo tanto existe

φ : A ⊆ R2 → R

con φ ∈ C2 y tal que

dφ(x, y) = P (x, y)dx+Q(x, y)dy

Luego la solucion general es de la forma

φ(x, y) = C

14.2.1. Convertible a exacta con factor integrante

Supongamos que queremos resolver una ecuacion diferencial de la for-ma

P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0

con P y Q definidos sobre A ⊆ R2 sımplemente conexo, pero tal queQ′x − P ′y 6= 0.

La ecuacion diferencial no es total exacta, pero a lo mejor la podemosconvertir en total exacta multiplicando la ecuacion por una funcion µ

85

que llamaremos factor integrante, que la convierta en una ecuaciondiferencial total exacta. Luego la resolvemos como cualquier ecuaciondiferencial total exacta.

El problema ahora es como encontrar un factor integrante. Vamosa trabajar solo con factores integrantes que dependen de una solavariable, o bien x o bien y.

Proposicion 14.1. Si Q′x − P ′y 6= 0 pero al dividirla por P o por Qdepende solamente de una variable, hay un factor integrante respectode esa variable.

Si hay factor integrante respecto a x el mismo es

µ(x) = e∫ P ′y−Q

′x

Qdx

Si hay factor integrante respecto a y el mismo es

µ(y) = e∫ Q′x−P

′y

Pdy

Demostracion. Vamos a ver el caso de factor integrante respecto a y.

Supongamos que exite µ(y) tal que al multiplicar por la ecuacion difer-encial la convierte en total exacta, por lo tanto

µ(y)P (x, y)dx+ µ(y)Q(x, y)dy = 0

es total exacta, teniendo en cuenta que µ depende solo de y tenemos

µQ′x − [µ′P + µP ′y] = 0

µQ′x − µ′P − µP ′y = 0

µ(Q′x − P ′y) = µ′P

86

µ′

µ=Q′x − P ′y

P

ComoQ′x−P ′yP depende solo de y, esto es una ecuacion diferencial de

variables separable en µ, con µ′ = dµ/dy, lo resolvemos

∫dµ

µ=

∫Q′x − P ′y

Pdy

µ(y) = e∫ Q′x−P

′y

Pdy

que es el factor integrante respecto a y.

El caso de factor integrante respecto a x es analogo.

14.3. Ecuacion diferencial lineal de 2o orden

Recordemos que en 27 habıamos visto la definicion de la ecuaciondiferencial lineal de orden n. Y en 2.1 aprendimos a resolver la ecuaciondiferencial lineal de primer orden.

Ahora vamos a trabajar con las lineales de segundo orden.

Definicion 92. Una ecuacion diferencial se dice lineal de segundoorden si se la puede expresar como

y′′ + a(x)y′ + b(x)y = g(x)

La misma se dice homogenea si g(x) es la funcion constante cero.

En cualquier caso, la ecuacion diferencial homogenea asociadaes

y′′ + a(x)y′ + b(x)y = 0

87

Si a(x) = a y b(x) = b son funciones constantes, nos queda

y′′ + ay′ + by = g(x)

y se dice que la ecuacion diferencial es a coeficientes constantes.

Nos proponemos resolver las ecuaciones diferenciales lineales de se-gundo orden a coeficientes constantes. Para ello nos va a ser de muchaayuda la siguiente

Proposicion 14.2. Dada la ecuacion diferencial lineal de segundoorden a coeficientes constantes

y′′ + ay′ + by = g(x)

La solucion general viene dada por

y = yh + yp

donde yh es la solucion general de la homogenea asociada, y yp es unasolucion particular.

Demostracion. La familia y = yh + yp ya tiene dos constantes ar-bitrarias (las que provienen de yh), y la ecuacion diferencial es desegundo orden. Por lo tanto si satisface la EDO entonces debe ser suSG.

Reemplazamos y = yh + yp y veamos que satisface la ecuacion difer-encial.

y = yh + yp

y′ = y′h + y′p

y′′ = y′′h + y′′p

Reemplazo en

88

y′′ + ay′ + by = g(x)

y obtengo

(y′′h + y′′p) + a(y′h + y′p) + b(yh + yp) = g(x)

y′′h + ay′h + byh︸ ︷︷ ︸0

+ y′′p + ay′p + byp︸ ︷︷ ︸g(x)

= g(x)

Por lo tanto satisface la ecuacion diferencial, y debe ser su soluciongeneral.

14.3.1. Resolucion de la homogenea asociada

Veamos ahora como podemos resolver la ecuacion diferencial homogeneaasociada, que es de la forma

y′′ + ay′ + by = 0

La solucion general de la homogenea asociada resulta ser un subespaciode dimension dos del espacio vectorial de las funciones C2 de R en R.Por lo tanto alcanza con encontrar una base de dicho subespacio, por lotanto si f1, f2 son soluciones particulares y {f1, f2} es LI (linealmenteindependiente), entonces la solucion general son sus combinacioneslineales, es decir

y = C1f1 + C2f2

Definicion 93. Dadas f1, f2 : A ⊆ R → R, f1, f2 ∈ C1. El wron-skiano de f1 y f2 es el siguiente determinante

W =

∣∣∣∣f1 f2

f ′1 f ′2

∣∣∣∣89

Proposicion 14.3. Dadas f1, f2 : A ⊆ R→ R, f1, f2 ∈ C1

Si el wronskiano de f1 y f2 es W 6= 0 entonces {f1(x), f2(x)} es LI.

Para resolver la ecuacion diferencial homogenea asociada

y′′ + ay′ + by = 0

primero proponemos como solucion

y = eαx

y′ = αeαx

y′′ = α2eαx

ahora reemplazamos en la ecuacion homogenea asociada y obtenemos

α2eαx + aαeαx + beαx = 0

sacamos factor comun eαx

eαx[α2 + aα+ b] = 0

y puesto que eαx > 0 lo dividimos y obtenemos lo que se llama laecuacion caracterıstica

α2 + aα+ b = 0

Al resolverla puede darse solo uno de tres casos posibles

1o Caso: α1, α2 reales y distintas. En este caso {eα1x, eα2x} ya eslinealmente independiente, y la SG es

y = c1eα1x + c2e

α2x

90

2o Caso: α1 = α2 = α reales e iguales. En este caso {eαx, xeαx}resulta linealmente independiente la SG es

y = c1eα1x + c2xe

α1x

3o Caso: α1 = r+ si, α2 = r− si complejas conjugadas. En estecaso {eα1x, eα2x} ya es linealmente independiente. En principiola SG es

y = c1eα1x + c2e

α2x

y = c1e(r+si)x + c2e

(r−si)x

y = erx[c1esix + c2e

−six]

Recordemos la Formula de Euler que establece que

eis = cos(s) + i sin(s)

reemplazando en la SG

y = erx[c1(cos(sx) + i sin(sx)) + c2(cos(−sx) + i sin(−sx))]

usando que cos(x) es par (es decir cos(x) = cos(−x)) y que sin(x)es impar (es decir sin(x) = − sin(−x))

y = erx[c1(cos(sx) + i sin(sx)) + c2(cos(sx)− i sin(sx))]

y reagrupando

y = erx[(c1 + c2) cos(sx) + i(c1 − c2) sin(sx)]

Llamando C1 = (c1 + c2) y C2 = i(c1− c2) obtenemos finalmentela SG del tercer caso

y = arx[C1 cos(sx) + C2 sin(sx)]

91

14.3.2. Como encontrar una solucion particular

Ahora nos faltarıa aprender a encontrar una solucion particular de laecuacion diferencial lineal no homogenea

y′′ + ay′ + by = g(x)

El metodo de coeficientes indeterminados sirve cuando la funciong(x) es relativamente sencilla, que en este contexto significa combi-nacion lineal de polinomios, exponenciales o trigonometricas.

Consiste en tratar de adivinar la forma que debe tener la solucion, pro-poniendo como solucion una familia de funciones acorde al problema,y luego se determinan los coeficientes.

Si la funcion es polinomica, se propone una combinacion linealde polinomios generico, en principio del mismo grado.

Por ejemplo si g(x) = 2x2, propongo yp = ux2 + vx+ w

Si la funcion es exponencial, se propone una combinacion linealde exponenciales.

Por ejemplo si g(x) = e2x + 2ex, propongo yp = ue2x + vex

Si la funcion es trigonometrica, se propone una combinacion lin-eal de trigonometricas.

Por ejemplo si g(x) = cos(2x), propongo yp = u cos(2x)+v sin(2x)

Por ejemplo

g(x) propongo yp2x2 ux2 + vx+ w

e2x + 2ex ue2x + vex

cos(2x) u cos(2x) + v sin(2x)

Se reemplazan en la EDO y se averiguan los coeficientes indetermina-dos u, v, w, . . ..

En algunos casos puede pasar que la solucion propuesta ya sea solucionde la homogenea asociada, en ese caso se va a llegar a un absurdo.En ese caso lo que se puede hacer es multiplicar por x la solucion

92

propuesta y volver a intentar. Si sigue pasando puedo multiplicar porx2 y volver a intentar, y ası sucesivamente.

Veamos ahora el otro metodo, conocido como variacion de paramet-ros, para encontrar una solucion particular de la ecuacion diferenciallineal no homogenea

y′′ + ay′ + by = g(x)

y supongamos que la solucion general de la homogenea asociada es

y = c1y1(x) + c2y2(x)

Este metodo consiste en buscar una solucion particular y que verifiquelo siguiente

y = λ(x)y1(x) + µ(x)y2(x) (1)

y′ = λ(x)y′1(x) + µ(x)y′2(x) (2)

derivando la ecuacion (1) obtenemos

y′ = λ′y1 + λy′1 + µ′y2 + µy′2

para que se cumpla la ecuacion (2) pedimos

λ′y1 + µ′y2 = 0 (3)

derivando (2)

y′′ = λ′y′1 + λy′′1 + µ′y′2 + µy′′2

Reemplazando en la ecuacion diferencial

y′′ + ay′ + by = g(x)

93

obtenemos

λ′y′1 + λy′′1 + µ′y′2 + µy′′2 + a(λy′1 + µy′2) + b(λy1 + µy2) = g(x)

λ′y′1 + µ′y′2 + λ(y′′1 + ay′1 + by1︸ ︷︷ ︸0

) + µ(y′′2 + ay′2 + by2︸ ︷︷ ︸0

) = g(x)

lo cual impone

λ′y′1 + µ′y′2 = g(x) (4)

juntando (3) y (4) obtenemos

λ′y1 + µ′y2 = 0 (5)

λ′y′1 + µ′y′2 = g(x) (6)

que es un sistema de ecuaciones lineales en λ′ y µ′.

Resumiendo, estamos buscando λ(x) y µ(x) para encontrar una solu-cion particular de la forma

y = λ(x)y1(x) + µ(x)y2(x)

y para ello imponemos

{λ′y1 + µ′y2 = 0

λ′y′1 + µ′y′2 = g(x)

Lo resolvemos por cualquier metodo, por ejemplo lo escribo en formamatricial

(y1 y2

y′1 y′2

)(λ′

µ′

)=

(0

g(x)

)94

y lo resuelvo con la regla de Cramer

λ′ =

∣∣∣∣ 0 y2

g(x) y′2

∣∣∣∣∣∣∣∣y1 y2

y′1 y′2

∣∣∣∣

µ′ =

∣∣∣∣y1 0y′1 g(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣y1 y2

y′1 y′2

∣∣∣∣Luego se integran ambos parametros para encontrar una primitiva decada una, y se reemplazan para obtener la solucion particular

y = λ(x)y1(x) + µ(x)y2(x)

14.4. Lıneas de campo

Definicion 94. Dado un campo vectorial f : A ∈ Rn → Rn, f ∈C1, una lınea de campo es una curva regular C ⊆ A que admite unaparametrizacion g : [a, b]→ Rn tal que

g′(t) = f(g(t))

para todo a < t < b

Observacion 14.4. En R2, dada f : A ⊆ R2 → R2.

Si C es una lınea de campo de f = (P,Q) con la parametrizaciong(t) = (x(t), y(t)), entonces debe cumplir

g′(t) = (x′(t), y′(t)) = (P,Q) = f(g(t))

en notacion de Leibniz

95

(dx, dy) = (P,Q)dt

y por lo tanto

y′ =Q

P

Otra forma de pensarlo: las lıneas de campo son las curvas que en cadapunto tiene la misma pendiente que el campo (P,Q) que es ∆y/∆x =Q/P , por lo tanto satisfacen la ecuacion diferencial

y′ =Q

P

Esto quiere decir que para encontrar la familia de las lıneas de campode f , basta encontrar la solucion general de dicha ecuacion diferencial.

Teorema 14.5. Si f : A ⊆ Rn → Rn es un campo conservativo, yφ : A ⊆ Rn → R es una funcion potencial de f , es decir ∇φ = f ,entonces las lıneas de campo de f son ortogonales a los conjuntos denivel de φ.

Demostracion. Consideremos el conjunto de nivel k de φ

Ck(φ) = {x ∈ A : φ(x) = k}

Sea C1 ⊂ A una curva incluıda en Ck(φ) parametrizada por

h : [a, b]→ Rn

Sea C2 ⊂ A una lınea de campo del campo f = ∇φ, parametrizadapor

g : [c, d]→ Rn

Supongamos que ambas curvas se cruzan en h(t0) = g(u0) = x0 ∈ A

96

Consideremos la compuesta w = φ ◦ h, se tiene que

w(t) = φ(h(t)) = k

Como ambas son diferenciables, por el teorema de la regla de la cadena

w′(t0) = ∇φ(h(t0)) · h′(t0) = 0

como f = ∇φ, y h(t0) = g(u0)

f(g(u0)) · h′(t0) = 0

Y como g es una lınea de campo, f(g(u0)) = g′(u0), y por lo tanto

g′(u0) · h′(t0) = 0

Lo que muestra que estos vectores tangentes son ortogonales.

Tanto las lıneas de campo como el conjunto de nivel eran genericos.Es decir que las lıneas de campo de f y los conjuntos de nivel de φson ortogonales en todo punto de interseccion.

En R2 tenemos el siguiente caso particular, que podemos demostrarde una forma mas cartesiana.

Teorema 14.6. Sea f : A ⊆ R2 → R2 un campo conservativo, y φuna funcion potencial de f , es decir tal que ∇φ = f .

Entonces las lıneas de campo de f son ortogonales a las lıneas equipo-tenciales de φ.

Demostracion. Por la observacion 14.4, las lıneas de campo de f sonla familia de curvas cuya ecuacion diferencial es

y′ =Q

P(1)

97

Por otro lado, si φ es una funcion potencial de f , es decir tal que∇φ = f , entonces las lıneas equipotenciales son la familia de curvas

φ(x, y) = C

Buscamos su ecuacion diferencial, diferenciando ambos miembros

φ′x(x, y)dx+ φ′y(x, y)dy = 0

usando que ∇φ = (φ′x, φ′y) = (P,Q)

Pdx+Qdy = 0

Qdy = −Pdx

o equivalentemente su ecuacion diferencial es

y′ = −PQ

(2)

De (1) y (2) vemos que dichas familias de curvas son ortogonales. Esdecir las lıneas de campo de f y las lıneas equipotenciales de φ sonfamilias de curvas ortogonales.

98