curso de nivelamento

Curso de Nivelamento: Teoria Bsica

2014Curso de Nivelamento: Teoria Bsica

ApresentaoA elaborao do presente material tem como objetivo principal revisar contedos do ensino fundamenta de matemtica. Os contedos sugeridos para reviso contidos nesse material so pr-requisitos essenciais a outros contedos que sero ministrados nas disciplinas de matemtica, fsica e qumica em todo perodo letivo de 2014. Com isso pretendemos fornecer subsdios suficientes que sejam capazes de desenvolver habilidades e competncias que faam parte da formao profissional tcnica, qualquer que seja a rea do conhecimento tecnolgico. Prefcio Ns, professores que lecionamos no ensino mdio ou no ensino superior, nos deparamos com alunos com muitas deficincias em matemtica do ensino bsico. Isso faz com que tenhamos bastante dificuldade de lecionarmos a nossa disciplina, tornando quase que impraticvel o seu ensino. Visando amenizar essa problemtica elaboramos um material contendo os principais tpicos a serem abordados e, esperamos com isso, facilitar o ensino-aprendizagem no ensino mdio e superior. Usamos uma linguagem simples para cativar a ateno do aluno, tendo cada contedo acompanhado de exemplos e com bastantes exerccios a resolver. Esperamos, ao final desse curso, que ns professores e alunos possamos nos entender melhor. Esse curso ter durao de 1 ms e ser ministrado por todos os professores de matemtica do 1 ano do IFPB-JP (no inicio do 1 bimestre) onde, ao final do curso, ser feito uma avaliao de aprendizagem, atravs de uma prova individual que servir como uma das avaliaes do 1 bimestre.Para concluir, estamos disposio dos colegas professores para que atravs de suas crticas possam apontar erros e sugerir modificaes. Antecipadamente, agradecemos a colaborao.

Elaborao Ambrsio Elias Prof. Mestre em Matemtica pela Universidade Federal da Paraiba.Hlder Aves de Oliveira - Prof. Mestre em Educao Matemtica pela Universidade Estadual da Paraiba

Captulo i - Conjuntos Numricos

Uma breve apresentao

Os conjuntos numricos so considerados como uma parte integrante e fundamental da matemtica devido sua aplicao em vrios campos do conhecimento cientfico. No obstante sua importncia no se d apenas a esse fato, mas pela necessidade do homem em utiliz-lo em muitas situaes prticas do seu cotidiano. Desde os primrdios as civilizaes sempre utilizaram de alguma forma um mtodo prtico que lhes permitissem a representao de determinadas quantidades, fossem elas animais, objetos ou at mesmo quantidades de alimentos. Os processos de contar e medir utilizados pelo homem e a necessidade de resolver problemas contriburam para criao dos nmeros. Um dos registros mais antigos sobre a ideia de nmero foi encontrado no Egito, conhecido como Papiro de Ahmes. Por volta de 1900 a 1600 a.C os babilnios efetuavam clculo de reas, tal afirmao comprova-se atravs de descobertas arqueolgicas, as tabelas Plimpton-322, por exemplo, descrevem processos para determinar trs nmeros tais que, a soma dos quadrados de dois deles seja igual ao quadrado do terceiro, hoje, essa ideia associada a geometria plana conhecida como teorema de Pitgoras no tringulo retngulo.O conhecimento matemtico desenvolvido pelos babilnios foi transmitido aos gregos. Esses deram grande contribuio ao estudo dos nmeros. Os gregos perceberam que os nmeros existiam independente do mundo real, eles perceberam tambm que os nmeros inteiros e as fraes eram insuficientes para fazer medies. A teoria da comensurabilidade, desenvolvido pelos gregos, estabeleceu fundamentos para construo do conjunto dos nmeros reais.A ideia de nmero est associada ideia de conjunto, quase impossvel falar em conjunto sem falar em nmero. Em busca de uma representao simblica para representar os nmeros os Hindus criaram os algarismos 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e o sistema de numerao posicional baseado em potncias de dez. A noo de representar quantidades utilizando esses smbolos criados pelos Hindus foi levada para Arbia pelo matemtico mulumano Al-Khwarizmi e, por volta de 1200, para Europa pelo matemtico Italiano Leonardo Fibonacci.Com esse pequeno comentrio histrico finalizamos destacando que a importncia do estudo dos conjuntos est associada a ideia de representar quantidades e de resolver problemas. Assim, nesse item sugerido para reviso apresentaremos o conjunto dos nmeros naturais, considerando sua importncia na representao de quantidades, o conjunto dos nmeros inteiros que so empregados em vrias situaes prticas envolvendo lucro e prejuzo e, por fim, o conjunto dos nmeros racionais, importante na representao de partes de um inteiro dentre outras utilizaes.

Conjuntos Numricos

So conjuntos formados por nmeros, dos quais destacaremos aqui, o conjunto dos nmeros naturais, inteiros e os racionais.

Conjunto dos nmeros naturais (IN)

IN = {0, 1, 2, 3, 4, ... }

Subconjunto de IN

IN* = IN {0} = {1, 2, 3, 4, ...}

Conjunto dos nmeros inteiros (Z)

Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...}

Alguns Subconjuntos dos nmeros inteiros

Z* = {..., 3, 2, 1, 1, 2, 3, ...}Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} = IN (inteiros no negativos)Z = {0, 1, 2, 3, ...} (inteiros no positivos)

= {1, 2, 3, ...} (inteiros positivos)

= {1, 2, 3, ...} (inteiros negativos)

Operaes com nmeros inteiros (regra dos sinais)

I. Adio e subtrao

Sinais iguais: somam-se os mdulos dos nmeros e repete-se seus sinais.Exemplos: a) +5 + 3 = + 8b) 2 4 = 6

Sinais diferentes: subtraem-se os mdulos dos nmeros e mantm-se o sinal do maior nmero em mdulo.Exemplos: a) + 5 4 = +1 b) 8 + 5 = 3

II. Multiplicao: na multiplicao segue-se a seguinte regra:( + ) . ( + ) = ( + )( + ) . ( ) = ( )( ) . ( + ) = ( )( ) . ( ) = ( + )

Exemplos: a) (2).(+3) = 6b) (5).( 4) = +20

III. Diviso: segue-se a mesma regra da multiplicao

Exemplos: a) b)

IV. Potenciao:Sendo a um nmero inteiro e n um nmero natural, ento:

n fatoresExemplo: 25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2=32

5 fatores

Define-se: a1 = a a0 = 1 (a 0)

Regras ou propriedades da potenciao

a) am . an = am + nExemplo: 23.22.2 = 23+2+1 = 26

b)

Exemplo:

c)

Exemplo:

d) (a.b)n=an.bnExemplo: (3.5)2= 32. 52

e)

b 0Exemplo:

Observao: No se define 00.

V a m o s e x e r c i t a r !!!

1) Efetue as operaes nas seguintes alternativas:

a) b) 12.879 + 3.980c) 34.625 + 1.465d) -128 + 103e) +47.980 14.687f) -271 -798g) +795 +628

2) Calcule o produto nas alternativas abaixo:

a) b) (-12.870).(+53)c) (-528).(-213)d) (+564).(+132)e) (-675).(-34)f) (-78.904).(+675)g) (-942).(-45)

3) Calcule o quociente em cada uma das seguintes alternativas:

a) b) (-265)(-5)c) (+675)(+5)d) (-12.360)(+3)e) (-15.891)(-3)f) (+678) (-6)g) (-864) (-6)

4) Simplifique as expresses abaixo utilizando as regras da potenciao:

a) b) c) d) e) f) g)

5) Determine a potncia que representa y =

6) (PUC - RS) Em uma escola, em uma turma de 20 alunos, 16 jogam futebol, 12 jogam voleibol e 2 no jogam esporte algum. Quantos alunos dessa turma jogam somente futebol:

a) b) 4c) 6d) 10e) 12

7) (Fuvest-SP) Um caixa automtico de banco s trabalha com notas de 5 e 10 reais. Um usurio fez um saque de R$ 100,00. Pode-se concluir que dentre as notas retiradas:

a) o nmero de notas de R$ 10,00 par;b) o nmero de notas de R$ 10,00 mpar;c) o nmero de notas de R$ 5,00 par;d) o nmero de notas de R$ 5,00 mpar;e) o nmero de notas de R$ 5,00 par e o nmero de notas de R$ 10,00 mpar.

8) (PUC-RJ) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos A ou B. Sabendo que 10 dessas pessoas no usam o produto B e que 2 dessas pessoas no usam o produto A, qual o nmero de pessoas que utilizam os produtos A e B?

9) (FCC TRF 2006) Ao dividir o nmero 762 por um nmero inteiro de dois algarismos, Natanael enganou-se e inverteu a ordem dos dois algarismos. Assim, como resultado, obteve o quociente 13 e o resto 21. Se no tivesse se enganado e efetuasse corretamente a diviso, o quociente e o resto que ele obteria seriam, respectivamente, iguais a:

a) b) 1 e 12c) 8 e 11d) 10 e 12e) 11 e 15f) 12 e 11

10) (FCC) No caixa de uma lanchonete h apenas moedas de 10, 25 e 50 centavos, sendo 15 unidades de cada tipo. Usando essas moedas, de quantos modos distintos uma pessoa pode receber de troco a quantia de R$ 1,00?

a) b) 9c) 8d) 7e) 6f) 5

Mltiplos de um nmero

Sejam a, b Z. Dizemos que a mltiplo de b se

a = k.b , k Z

Exemplo: 10 mltiplo de 2 pois 10 = 5.2, k = 5

Para encontrar os mltiplos naturais de um nmero, basta multiplic-lo por 0, 1, 2, 3, 4, ...

Exemplo: a) M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, ...}b) M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, ...}

Observaes:1. 0 (zero) mltiplo de qualquer nmero2. Todo nmero mltiplo de si prprio 3. O conjunto dos mltiplos de um nmero infinito.

Mnimo Mltiplo Comum (mmc)O mnimo mltiplo comum entre dois nmeros naturais o menor mltiplo natural, no nulo, comum aos dois nmeros.

Exemplo: Vamos achar o mmc(4, 6)

M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...}M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...}M(4) M(6) = {0, 12, 24, 36, ...}Assim, o mmc(4, 6) = 12

Regra prtica para encontrar o mmc

Mtodo da decomposio simultnea 1. Agrupe os nmeros na mesma linha e separe-os com virgulas (no importa a ordem) e colocando um trao vertical ao lado do ltimo2. Divida todos os nmeros que podem ser divisveis por 2.3. Repita o processo sucessivamente com os primos 2, 3, 5, ... at que a ltima linha s contenha o algarismo 1.Finalizando, multiplique todos os fatores primos encontrados na coluna da direita. Esse produto ser o mmc dos nmeros.Exemplo: Vamos calcular o mmc (6,8,15)

6, 8, 15 23, 4, 15 23, 2, 15 23, 1, 15 31, 1, 5 51, 1, 1 2.2.2.3.5 = 120

Assim, o mmc (6,8,15) = 120

Divisores de um nmero Sejam a, b Z. Dizemos que a divisor de b se

b = k.a, k Z

Exemplo: 2 divisor de 10 pois 10 = 5.2, k = 5

Observaes: ( I ) Se a divisor de b, dizemos tambm que b divisvel por a. ( II ) 0 (zero) s divisor dele prprio ( III ) O maior divisor natural de um nmero ele mesmo e o menor 1

Nmeros primosUm nmero chamado primo quando possui apenas dois divisores naturais distintos: 1 e ele prprio Exemplo: 7 primo pois os nicos divisores naturais de 7 so 1 e 7 Nmeros Compostos Um nmero que no primo chamado de compostoExemplo: 10 composto pois 10 tem mais de dois divisores naturais: 1, 2, 5 e 10 Observao: O nmero 0 (zero) e o nmero 1 (um) no so primos nem composto.Para reconhecermos se um nmero natural primo, basta dividir esse nmero pelos primos 2, 3, 5, 7, .... at encontrarmos um quociente menor ou igual ao divisor.Exemplo: Vamos verificar de 137 primo:

Como na ltima diviso o quociente(10) menor do que o divisor(13) e ainda no obtivemos diviso exata, ento o nmero 137 primo. Decomposio de um nmero natural em fatores primosTodo nmero composto pode ser escrito como um produto de nmeros primosExemplo: 210 = 2.3.5.7 Nmero de divisores naturais Para determinar a quantidade de divisores naturais de um nmero, basta seguir as seguintes etapas:I. Decompor o nmero em fatores primosII. A cada expoente soma-se o nmero 1III. Multiplica-se os expoentes j acrescidos do nmero 1

Exemplo: Vamos encontrar o nmero de divisores naturais do nmero 60

60 = 22.31.51. Logo n[D(60)] = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3.2.2 = 12

Vejamos: D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} (12 divisores)Note que a quantidade de divisores inteiros de um nmero o dobro da quantidade de divisores naturais desse nmero Mximo Divisor ComumO mximo divisor comum entre dois nmeros naturais o maior dos divisores comuns a esses nmeros.

Exemplo: Vamos achar o mdc(12, 40) Vejamos: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} e D(40) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} D(12) D(40) = {1, 2, 4} Assim, mdc(12, 40) = 4 Regra prtica para achar o mdc

Mtodo da decomposio simultnea Para encontrar o mdc de dois nmeros naturais basta fazer o produto dos nmeros que dividem os dois nmeros simultaneamente.Exemplo: Vamos achar o mdc (24, 36) pela regra prtica.

Assim, mdc(24, 36) = 2.2.3 = 12 Propriedade do mmc e mdc de dois nmerosSendo a e b dois nmeros naturais e no nulos, ento

mmc(a, b) . mdc(a, b) = a.b

Observao: essa propriedade s vlida para exatamente dois nmeros Exemplo: o mmc(4, 6) = 2 e o mmc(4, 6) = 12. Observem que mmc(4, 6).mdc(4, 6) = 2.12 = 4.6 Critrios de Divisibilidades Vamos enunciar alguns critrios que agilizam saber se um nmero divisvel por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 e 10. Por 2: Um nmero divisvel por 2 se for parExemplo: 2358 Por 3: Um nmero divisvel por 3 se a soma dos seus algarismos divisvel por 3.Exemplo: 2316 divisvel por 3 pois 2 + 3 + 1 + 6 = 12 , que divisvel por 3. Por 4: Um nmero divisvel por 4 quando terminar em dois zeros, ou quando o nmero formado pelos seus dois ltimos algarismos for divisvel por 4.Exemplo: 561716 divisvel por 4 pois 16 divisvel por 4 Por 5: Um nmero divisvel por 5 quando termina em 0 ou em 5.Exemplo: 235 divisvel por 5 pois termina em 5. Por 6: Um nmero divisvel por 6 quando for divisvel por 2 e por 3 ao mesmo tempo.Exemplo: 126 divisvel por 6 pois divisvel por 2(par) e divisvel por 3, j que 1 + 2 + 6 = 9 que divisvel por 3. Por 8: Um nmero divisvel por 8 quando terminar em trs zeros, ou quando o nmero formado pelos seus trs ltimos algarismos for divisvel por 8. Exemplo: 357080 divisvel por 8 pois 080 divisvel por 8. Por 9: Um nmero divisvel por 9 quando a soma dos seus algarismos for divisvel por 9.Exemplo: 31239 divisvel por 9 pois 3 + 1 + 2 + 3 + 9 = 18 que divisvel por 9. Por 10: Um nmero divisvel por 10 quando termina em 0.Exemplo: 61780 divisvel por 10 pois termina em zero.V a m o s e x e r c i t a r !!!

1) Calcule o mmc entre os nmeros em cada uma das alternativas abaixo:

a) b) 36 e 48c) 64 e 82d) 34 e 60e) 38 e 62f) 35 e 85g) 45 e 105

2) Calcule o mdc entre os nmeros em cada uma das alternativas abaixo:

a) b) 84 e 36c) 128 e 86d) 675 e 365e) 363 e 120f) 72 e 51g) 81 e 54

3) Calcule o nmero de divisores dos seguintes nmeros:

a) b) 86c) 130d) 324e) 156f) 532g) 925

4) Qual dos nmeros abaixo divisvel por 3?

a) b) 464c) 1.236d) 13.786e) 562f) 1.112

5) Qual dos nmeros abaixo divisvel por 8?

a) b) 12.640c) 397d) 13.589e) 37.641f) 1.161

6) Qual dos nmeros abaixo divisvel por 3 e 5 simultaneamente?a) b) 125c) 200d) 145e) 175f) 185

7) Trs navios A, B e C ancoram num determinado porto. Os trs navios seguem viagem desse porto no mesmo dia. O navio A volta ao mesmo porto 20 dias depois de sua partida, o navio B volta ao mesmo porto depois de 25 dias de sua partida e o navio C volta ao mesmo porto depois de 30 dias de sua partida. Depois de quantos dias os navios A, B e C se encontram nesse mesmo porto?8) Um carro de formula-1 d uma volta completa num autdromo em 142, outro carro de formula-1 d uma volta completa nesse mesmo autdromo em 136. Se largarem juntos de um mesmo ponto, depois de quanto tempo os dois carros se encontraram de novo nesse mesmo ponto?

9) Qual dos nmeros abaixo divisvel por 9 e 10 simultaneamente?

a) b) 13.870c) 32.900d) 125.340e) 153.270f) 154.27010)

10) Maria comprou 33m de fita para enfeitar uma festa de aniversrio, mas no foi suficiente, ento ela resolveu comprar mais 12m para concluir o trabalho. Sabendo que Maria dividiu os dois pedaos em pedaos menores, com quantos metros ficou cada um desses pedaos sabendo que todos ficaram com a mesma medida?

Nmeros primos entre si.Dois nmeros naturais so primos entre si quando possui o nmero 1 como nico divisor comumExemplo: 10 e 27 so primos entre si, pois apenas o nmero 1 divisor comum de 10 e 27 Observao: Se dois nmeros so primos entre si, ento o mdc entre eles o produto dos dois nmeros.

Exemplo: Como 10 e 27 so primos entre si, ento mdc(10, 27) = 10.27 = 270. Regra para encontrar os divisores naturais de um nmero

I. Decompor o nmero em fatores primosII. Colocar direita dessa fatorao um trao verticalIII. Colocar direita desse trao e acima do primeiro fator o nmero 1IV. Multiplicar cada fator que est esquerda do trao pelos nmeros que esto direita e acima dele, eliminando as repeties. Esses nmeros so os divisores naturais do nmero dado.Exemplo: vamos achar os divisores naturais de 120.

Assim, D(120) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}Note que para obter os divisores inteiros, basta acrescentar a esse conjunto os seus simtricos.V a m o s e x e r c i t a r !!!

1) Encontre os divisores de naturais dos seguintes nmeros:

a) b) 126c) 220d) 300e) 250f) 130g) 405

2) Encontre os nmeros primos de 1 a 50.

Nmeros racionaisSo nmeros que podem ser expressos na forma de frao, com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero. Representamos o conjunto dos nmeros racionais pela letra Q, que representa a palavra quociente.

Existem quatro maneiras de se apresentar um nmero racionalh) Atravs de frao-Exemplo: i) Atravs de nmero misto-Exemplo: j) Atravs de nmeros decimais com representao finita-Exemplo: k) Atravs de uma dzima peridica-Exemplo: Vale observarmos quer todo nmero inteiro pode ser escrito na forma de frao de denominador igual a 1, portanto, todo nmero inteiro racional. Dzima peridica

Um nmero chamado de dzima peridica quando escrito na sua forma decimal apresentar uma sequncia finita de algarismos que se repetem indefinidamente.

Numa dzima peridica, o(s) algarismos(s) que se repete(m) (so) chamado(s) de perodo Classificao: As dzimas peridicas podem ser simples ou compostas1. Simples: quando o perodo aparece logo aps a vrgula

Exemplo: 2. Composta: quando o perodo no aparece logo aps a vrgula, ou seja, entre o perodo e a vrgula existe uma parte no peridica (anti-perodo)

Exemplo: Podemos representar uma dzima peridica colocando um barra sobre seu perodo.

Exemplo: a) 0,444 ... = b) 2,34545... = Geratriz de uma dzima peridoca

Dzima peridica simplesA frao geratriz encontrada escrevendo para numerador o perodo e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do perodo.

Exemplo: 0,314314... = Dzima peridica compostaA frao geratriz encontrada escrevendo para numerador a parte no peridica, seguida da parte peridica menos a parte no peridica, e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do perodo, seguindo de tantos zeros quantos so os algarismos da parte no peridica (anti-perodo).

Exemplo: 0,2343434... = Operaes com fraes

a) Multiplicao Numerador multiplica numerador e denominador multiplica denominador

Exemplo: b) Diviso Multiplica a primeira frao pela segunda frao invertida

Exemplo: c) Adio Para efetuar a adio de duas fraes necessrio que elas tenham o mesmo denominador. Caso os denominadores no sejam iguais, preciso encontrar o mmc entre eles. Feito isso, divide-se o mmc pelos denominadores e multiplica-se o resultado pelos numeradores. Agora, sendo os denominadores iguais, que ser o mmc, basta adicionar os numeradores, repetindo-se o denominador.

Exemplo: d) SubtraoSegue-se os mesmo procedimento da adio

e) Potenciao

,com b 0Exemplo:

f) Radiciao

, com b 0Exemplo:

g) Potncia com expoente negativo

, com a, b 0Exemplo:

Exemplo:

h) Potncia com expoente fracionrio

Exemplo:

i) Simplificao de fraoSimplificar uma frao dividir numerador e denominador pelos mesmo nmero

Exemplo:

Nmeros decimaisSo nmeros que possuem vrgula. A parte situada antes da vrgula chamada de parte inteira e a parte situada aps a vrgula chamada de parte decimal (ou fracionria)

Exemplo: 2, 34

L-se: 2 inteiros e 34 centsimos

Note que todo inteiro pode ser escrito na forma decimal, bastando colocar a vrgula aps o ltimo algarismo e acrescentar zerosExemplo: 7 = 7,0 = 7,00

Propriedadesa) Multiplicao por potncia de 10Para multiplicar um nmero decimal por uma potncia de 10, basta andar a vrgula para direita tantas casas quantos zeros tenha a potncia de 10.Exemplo: 5,234.100 = 523,4

b) Divisor por potncia de 10Para dividir um nmero decimal por uma potncia de 10, basta andar a vrgula para esquerda tantas casas quantos zeros tenha a potncia de 10.

Exemplo:

c) Zeros aps o ltimo algarismoUm nmero decimal no se altera quando se acrescenta ou retira um ou mais zeros do ltimo algarismo de sua parte decimal.

Exemplos: a) 2,35 = 2,350 = 2,3500b) 5,0400 = 5,040 = 5,04

Transformao de um nmero decimal em uma frao decimal

Basta escrever para numerador o nmero sem a vrgula e para o denominador o nmero 1 seguido de tantos zeros quantos forem as casas decimais.

Exemplo:

Transformao de uma frao decimal em um nmero decimal.

Basta escrever o numerador com tantas casas decimais quantos zeros tiver o denominador.

Exemplo:


1) Determine a frao geratriz dos seguintes nmeros decimais peridicos:

a) b) 3,555...c) 21,444...d) 6,323232...e) 0,6666...f) 4,312312312...g) 5,414141...

2) Efetue as seguintes operaes:a) b) c) d) e) 3,12 . 100f) 56,563 . 1000g) 2,34 : 10

3) Transforme em frao decimal os seguintes nmeros decimais:a) b) 3,78c) 12,398d) 9,1e) 34,98f) 7,123g) 2,5451

4) Sabendo que a frao gerou o nmero 1,2323232323..., calcule o valor de a + b.5) Os nmeros a e b quando escritos na forma de frao geram o nmero 2,414141..., nessas condies determine os nmeros a e b.6) Sabendo que a frao gerou o nmero 3,6666..., calcule o valor da expresso 2a+b.7) Sabendo que a frao gerou o nmero 2,13131313..., calcule o valor da expresso 3a-2b.8) Sabendo que a frao gerou o nmero 3,461461461..., calcule o valor da expresso a-b.9) Marcos e Rita receberam um prmio em dinheiro na escola por terem feito trabalhos de matemtica. Sabendo que o prmio de Rita foi maior do que o de Marcos e que o quociente dos valores entre os referidos prmios o nmero 4,352352352..., quanto ganhou cada um?10) Se x = , calcule o valor de x? Operaes com nmeros decimais

I. Adio e subtrao

Para fazer essas operaes, devemos realizar a seguinte regra prtica:1) Igualemos o nmero de casa decimais, acrescentando zeros2) Coloquemos os nmeros um abaixo do outro fazendo coincidir as vrgulas.3) Efetuamos a operao colocando a vrgula da soma (ou subtrao) alinhada com as demais.

Exemplos: a)2,35+31,4b) 28,3 14,13 2,35 28,30 + 31,40 - 14,13 33,75 14,17

II. Multiplicao Faamos a seguinte regra prtica:1) Multipliquemos os nmeros ignorando as virgulas.2) O produto ter tantas casas decimais quantos forem a soma dos nmeros de casas decimais dos fatores. Exemplo: 31,43 x 2,1

31,43 2 casas decimais x 2,1 1 casa decimal 3143 6286__ 66,003 2 + 1 = 3 casas decimais

III. DivisoRegra prtica para diviso1) Igualemos o nmero de casas decimais dos nmeros acrescentando um ou mais zeros2) Efetuemos a diviso com os nmeros naturais obtidos

Exemplo: Vamos dividir 3,27 por 2,4


1) Efetue as adies abaixo:

a) b) 2,87 + 1,386c) 98,548 + 35,78d) 8,34.+ 2,13e) 4,187 + 7,2f) 6,4 + 0,8g) 1,21 + 1,1h) 2 + 4,8i) 5 + 3,134

2) Efetue os produtos abaixo:

a) 4,45 3,9

b) 7,123 5,95

c) 6,812 4,25

d) 8,32 2,1

e) 9,87 3,987

f) 34,1 2,185

g) 3,763 7

h) 0,0020,0031

3) Efetue os quocientes abaixo:

a) 3,25 : 1,4b) 4,45 : 0,01c) 4 : 0,23d) 12 : 0,45e) 5,52 : 4,12f) 8,65 : 0,52g) 4,644 : 3,12h) 25,541 : 8,213

i) Captulo II Equaes de 1 e 2 graus e Inequaes

O objetivo dessa unidade o estudo das Equaes de 1 grau e 2 graus com resolues de problemas que envolvam esses contedos

Equao do 1 grau


Como vimos no captulo 1, conjuntos numricos, a matemtica uma das mais antigas cincias da historia da humanidade. Os babilnios e egpcios mesmo sem sistematizar cientificamente a matemtica j dominavam regras para o clculo de determinados problemas. Durante muito tempo o estudo das equaes algbricas foi um dos principais objetos de estudo para muitos matemticos. Por volta do ano 415 d.C, no Egito, mais especificamente em Alexandria, sbios reuniam-se no museu da cidade, nessa poca o interesse pela matemtica j era muito grande, a partir da surge alguns personagens que destacam-se como verdadeiros protagonismo na construo do conhecimento cientifico matemtico, dentre eles Hipatya e Diofanto. Hipatya era grega, filha do filsofo Teon, considerada como a primeira mulher matemtica da histria da humanidade, era muito admirada por Diofonto, autor das famosas equaes diofantinas. Diofanto dedicou-se ao estudo da lgebra e deu grandes contribuies nesse campo. No tmulo de Diofanto encontrou-se uma carta dedicada a ele e escrita por Hipatya que dizia o seguinte:

Caminhei! Aqui foram sepultados os restos de Diofanto. E os nmeros podem mostrar ___ oh, milagre ___ quo longa foi a sua vida, cuja sexta parte constituiu a sua famosa infncia. E mais um duodcimo pedao da sua vida havia transcorrido, quando de plos se cobriu o rosto. E a stima parte de sua existncia transcorreu em um matrimnio sem filhos Passou-se um qinqnio mais e deixou-o muito feliz o nascimento do seu primeiro filho, que entregou a terra seu corpo, sua formosa vida, que durou somente a metade da vida de seu pai. E com profundo pesar desceu sepultura, tendo sobrevivido apenas quatro anos ao descanso de seu filho.

A dedicatria de Hipatya mais tarde foi interpretada por Mohamed inb Mus que traduzida resulta na equao , a qual significa a trajetria da vida de Diofanto ora escrita por Hipatya.Nesse captulo destacaremos a importncia das equaes de primeiro grau associada resoluo de problemas prticos do cotidiano. Tais problemas sero propostos nos exerccios que apresentaremos depois do contedo didtico que se segue.

EQUAO DO 1GRAU

Define-se como equao de 1 grau com uma incgnita a toda sentena aberta do tipo ax + b = 0com a, b , a 0 e x a incgnita.

Na equao do 1 grau, tudo que antecede a igualdade chamado de 1 membro, e o que sucede a igualdade chamado de 2 membro.

Exemplos:a) 2x = 6b) 5x 1 = 0c) 3x + 5 = 2x + 7

No so equaes do 1 grau:a) x = 4b) 5x 7 + 1 = 0c) 2x + x 8 = 0

Resoluo de uma equao do 1 grau

Para resolver uma equao do 1 grau de suma importncia conhecer as propriedades da igualdade:

(P1) Principio aditivo

Somando (ou subtraindo) um mesmo nmero aos membros de uma equao, a igualdade permanece vlida

Exemplos:a) Se 2 + 3 = 5 (2 + 3) + 4 = 5 + 4b) Se 2 + 3 = 5 (2 + 3) 1 = 5 1

por causa dessa propriedade que podemos passar um termo de um membro da equao para outro, desde que troquemos o sinal.

(P2) Principio multiplicativo

Multiplicando (ou dividindo) por um mesmo nmero os membros de uma equao, a igualdade permanece vlida

Observao: No caso da diviso, esse nmero tem que ser diferente de zero.

Exemplos:

a) Se 3 + 5 = 8 2.(3 + 5) = 2.8b) Se 3 + 5 = 8 Raiz ou zero de uma equao o nmero que ao ser colocado no lugar da incgnita deixa a igualdade verdadeira.Exemplo: 2 raiz da equao 5x 3 = 7, pois 5.2 3 = 10 3 = 7 Resoluo de uma equao do 1 grauPara resolver uma equao do 1 grau temos que isolar a incgnita x, usando para isso as propriedades da igualdade citadas.Exemplo:Vamos resolver a equao 8x 2 = 5x + 71 passo: Colocar no 1 membro os termos que tem x e no segundo membro os termos que no tem x, usando a propriedade (P1)8x 5x = 7 + 22 passo: Juntar os termos de cada membro3x = 93 passo: Usar a propriedade (P2)

x = x = 3Logo, 3 raiz da equao 8x 2 = 5x + 7V a m o s e x e r c i t a r !!!

1) Resolva as seguintes equaes do primeiro grau:

a) b) 2x + 4 = 0c) 3x 15 = 0d) 3(x 1) = 6e) 5x 10 = 20f) 3x = x + 12g) 3x 1 = 2x + 5

2) Calcule o zero de cada uma das seguintes equaes do primeiro grau:

a) 3(x + 5) = 2(x 1)b) 5x 12 = 183) O dobro de um nmero racional mais o nmero 8 igual a 30. Que esse nmero racional?

4) Sabendo que o permetro de um quadrado tem 36m. Calcule o valor da medida do lado desse quadrado.

5) Uma caixa dagua est completamente cheia. Deixando-se escoar 32 litros ela fica com a quinta parte de sua capacidade. Nessas condies, qual a capacidade dessa caixa dgua?

6) Sabendo que a rea de um terreno retangular igual a 480m e uma de suas dimenses igual a 12m, calcule a medida da outra dimenso.

7) Pedro e Joo so irmos. Pedro mais velho que Joo. Todo ms o pai deles d um valor, em dinheiro, correspondente a uma mesada. O valor que Joo recebe metade do que Pedro recebe mais R$ 12,00. Sabendo que os dois juntos recebem R$ 480,00 por ms, quanto recebe cada um de mesada de seu pai?

8) Eduardo e Mnica casaram-se e tiveram um filho, Lucas. Eduardo quatro anos mais velho que Mnica e Lucas tem um tero da idade de sua me, Monica. Sabendo que atualmente a soma das idades dos trs igual a 74 anos, qual a idade de cada uma?

9) Numa maratona de rua foi estabelecido um prmio de R$ 120.000,00 que seria dividido para os trs primeiros colocado proporcionalmente com o tempo de prova de cada um. O primeiro colocado completou a prova em uma hora, o segundo colocado completou a prova em uma hora e vinte minutos e o terceiro colocado completou a prova em uma hora e quarenta minutos. Quanto recebeu de prmio cada um dos trs atletas?

10) Um nmero acrescido de duas unidades e somado com a sua tera parte igual a 18. Quem esse nmero?Inequao do primeiro grau Chama-se inequao do primeiro grau a uma incgnita, toda desigualdade que pode ser reduzida forma

com a 0ax < bax bax > b ax b

Exemplos:a) 5x > 2 b) 3x 7

Resoluo de uma inequao do primeiro grau

A resoluo de uma inequao do primeiro grau se d de maneira semelhante a de uma equao do primeiro grau. A nica diferena quando precisamos multiplicar (ou dividir) essa inequao por um nmero negativo pois esta faz o sentido da desigualdade inverter.

Exemplos:a) Vamos resolver a inequao 2(x 1) 7 52(x 1) 7 5 2x 2 7 5 2x 9 5 2x 5 + 9 2x 14

x 7.

b) Vamos resolver a inequao 5 + 3(2 x) < x + 1

5 + 3(2 x) < x + 1 5 + 6 3x < x + 1 3x x < 1 5 6 4x < 10 .(1)

4x > 10 x >

Equao do 2 grau


Em cada apresentao que fizemos nos captulos anteriores procuramos mostrar um pouco da histria de cada um dos contedos a fim de mostrarmos que a matemtica sempre esteve presente no cotidiano do homem durante sua evoluo histrica. Assim, a nossa preocupao em fazer tal comentrio se d ao fato de que a matemtica uma cincia que no deve ser esquecida ou deixada de lado pelos discentes. Pois em algumas situaes comum vermos alunos questionando a respeito da cincia, matemtica, como se ela no fizesse parte de sua vida ou no fosse servir a eles em sua vida profissional no futuro. Cada contedo matemtico foi desenvolvido ao longo do tempo dentro de um contexto histrico onde os grandes nomes que apareceram contriburam para isso em detrimento de situaes que vistas na ocasio tal vez no tivesse significado, um exemplo a lgebra de Boole, que hoje tm muita aplicao no campo da eletrnica. O que relevante no contexto histrico sabermos que cada contedo matemtico surgiu, em determinados casos, a partir de um problema e resolv-lo era o grande desafio da poca. Andr Perez Y Marin, autores do livro Elementos de Algbra, de 1911, mostram dentro do contexto histrico trs mtodos de soluo para as equaes de 2 grau, um atribudo aos rabes, um atribudo a Bhskara e o terceiro atribudo Vite. Tanto o mtodo atribudo aos rabes quanto o mtodo atribudo a Bhskara consiste em completar quadrados obtendo-se por fim a mesma soluo, embora partindo de estratgias diferentes. Em seguida Girard apresentou um mtodo relacionando a soma e o produto das solues de uma equao do segundo grau aos seus coeficientes. Nesse captulo mostraremos os dois mtodos, o de completar quadrados e as relaes de Girard.

Define-se como equao do 2 grau com uma incgnita a toda sentena aberta do tipo ax + bx + c =0com a, b, c , a 0 e x a incgnita.

Exemplos de equaes do 2 graua) 3x 5x + 4 = 0 (a = 3, b = 5 e c = 4), equaes completab) x + 7x = 0 (a = 1, b = 7 e c = 0), equao incompleta c) 7x 9 = 0 (a = 7, b = 0 e c = 9), equao incompleta

Resoluo de uma equao do 2 grau

Para resolver a equao do 2 grau ax + bx + c = 0 podemos usar a conhecida frmula de Bhaskara.

, onde = b 4ac (discriminante)

Conforme o valor de , temos trs possibilidades para as razes:(1) Se > 0, temos duas razes reais e diferentes(2) Se = 0, temos duas razes reais e iguais(3) Se < 0, no temos razes reais

Exemplo:

Vamos resolver a equao x x 6 = 0

Temos a = 1, b = 1 e c = 6, assim,

= b 4ac = (1) 4.1.( 6) = 1 + 24 = 25 (duas razes reais e distintas)

Logo, S = {3, 2}

Observao:

Se a equao for incompleta do tipo ax + c = 0, podemos usar a frmula de Bskara, ou simplesmente isolar o x.

Exemplo: Vamos resolver a equao 2x 8 = 0

2x 8 = 0 2x = 8 x = 4 x = 2 ou x = 2

Se a equao for incompleta do tipo ax + bx = 0, podemos tambm usar a frmula de Bhaskara, ou resolver colocando x em evidncia.

Exemplo: Vamos resolver a equao 3x 7x = 0

3x 7x = 0 x(3x 7) = 0 x = 0 ou

3x 7 = 0 3x = 7 x =

Relaes entre os coeficientes e as razes de uma equao do 2 grau (Relaes de Girard)

Em toda equao do 2 grau ax + bx + c = 0, temos Soma das razes: S = x + x =

Produto das razes: P = x. x =

Vejamos o exemplo:

Na equao 2x 4x + 7 = 0, temos que

S=x+x== e P=x . x=

Obteno de uma equao do 2 grau

Conhecendo-se a soma das razes (S) e o produto das razes (P) de uma equao do 2 grau, escrevemos sua equao como

x Sx + P = 0

Vejamos um exemplo:

Se 2 e 3 so as razes de uma equao do 2 grau, ento, sua equao ser:

x Sx + P = 0 x (2 + 3)x + (2 . 3) = 0 x 5x + 6 = 0


1) Resolva as equaes abaixo:

a) b) x - 5x + 6 = 0c) -2x + 10x 15 = 0d) x - 8x + 12 = 0e) -3x + 24x + 36 = 0f) x - x 20 = 0g) x - x 30 = 0

2) Sabendo que a e b so as razes da equao 2x + 7x -12 = 0, calcule o valor numrico da expresso 3) Uma bola de futebol lanada descrevendo uma trajetria segundo a equao x-12x=0, onde x distncia em metros. Dessa forma, calcule a distncia horizontal atingida por essa bola de futebol.4) Determine os valores de p, para que a equao (p-6p+8)x+2x-7x+12=0 seja uma equao do segundo grau.5) Calcule as dimenses de um retngulo de 16cm de permetro e 15cm de rea.6) Na equao 3x2 - x +k -3 = 0, o produto das duas razes 5/6. Nessas condies, calcule o valor de k.7) Na equao 3x2 - 10x +2k -1 = 0, a soma das duas razes igual ao produto. Nessas condies, calcule o valor de k.8) A metade do quadrado de um nmero positivo menos o dobro desse nmero igual a 30. Determine esse nmero.9) Comprei 4 lanches a um certo valor unitrio. De outro tipo de lanche, com o mesmo preo unitrio, a quantidade comprada foi igual ao valor unitrio de cada lanche. Paguei com duas notas de cem reais e recebi R$8,00 de troco. Qual o preo unitrio de cada produto?10) Uma tela retangular com rea de 9600cm2 tem de largura uma vez e meia a sua altura. Quais so as dimenses desta tela?

Captulo III - Sistemas de Equaes do 1 grau


No captulo VIII do livro Nove captulos sobre a arte matemtica escrito a aproximadamente 200 a.C, encontra-se um dos primeiros registros histricos sobre os sistemas de equaes lineares. O problema tem o seguinte enunciado:

Trs feixes de uma colheita de boa qualidade, dois feixes de uma de qualidade regular e um feixe de uma de m qualidade so vendidos por 39 dou. Dois feixes de boa, trs de regular e um de m qualidade so vendidos por 34 dou. Um feixe de boa, dois de regular e trs de m so vendidos por 26 dou. Qual o preo do feixe para cada uma das qualidades? (EVES, 1997, p.268).

fcil verificar que o problema est associado a uma situao prtica do cotidiano de um povo. O objetivo principal do estudo de sistemas lineares no campo da lgebra aplica-lo a problemas cotidianos, como o exposto acima. Nesse exemplo que apresentamos o sistema linear que fornece a soluo do problema um sistema linear com trs equaes a trs incgnitas, os sistemas que estudaremos nesse captulo sero mais simples, com apenas duas equaes a duas incgnitas.

Equao Linear com duas incgnitas

toda equao do 1 grau do tipo ax + by = c, com a, b, c , a e b no nulos simultaneamente e x e y as incgnitas.

Exemplo: 2x + 3y = 5

Um par ordenado (x1, y1) soluo da equao ax + by = c se, e somente se, ax1 + by1 = c

Exemplo: (2, 3) soluo da equao 5x + y = 13, pois 5.2 + 3 = 13

Chama-se Sistema Linear do 1 grau com duas incgnitas ao sistema formado por equaes lineares com duas incgnitas.

Exemplo:

Soluo de um Sistema Linear com duas incgnitasUm par ordenado (x, y) soluo de um Sistema Linear com duas incgnitas se for soluo de cada equao.

Exemplo:

O par (4, 3) soluo do sistema pois

Resoluo de um Sistema Linear

Existem vrios mtodos para resolver um Sistema Linear. Veremos os dois mais usados: o mtodo de adio e o mtodo de substituio. Mtodo de substituioEsse mtodo consiste em isolar uma das incgnitas em uma das equaes e substituir na outra equao, recaindo numa equao de 1 grau com apenas uma incgnita.

Vejamos:

1 passo Vamos isolar y na primeira equao 3x + y = 2 y=2 3x

2 passo Substituir o valor encontrado na outra equao e resolver a equao do 1 grau em x

x + 2y = 1 x + 2(2 3x) = 1 x 4 6x = 1 5x = 5 x = 1

3 passo De posse do valor de x = 1, vamos encontrar y em qualquer uma das equaes.

x + 2y = 1 1 + 2y = 1 2y = 2 y = 1Assim, S = {(1, 1)}

Mtodo da adio

Esse mtodo consiste em adicionar as duas equaes desde que uma das incgnitas desaparea. Para que isso acontea preciso que essas incgnitas tenham coeficientes simtricos. Caso os coeficientes no sejam simtricos podemos multiplicar as duas equaes ou apenas uma por nmeros convenientes.

Vejamos um exemplo:

1 passo Vamos multiplicar a 1 equao por (2) para que os coeficientes de x fiquem simtricos. Assim, teremos:

2 passo Adicionando as equaes, teremos

9y = 9 y = 1

3 passo Substituindo y = 1 em uma das duas equaes, teremos:

2x + 3.1 = 11 2x = 8 x = 4

Logo, S = {(4, 1)}V a m o s e x e r c i t a r !!!

1) Resolva os seguintes sistemas de equaes:

a) b) c) d) e) f) g)

2) Pedro e Joo foram a uma lanchonete. Pedro comeu dois salgados e tomou um refrigerante e pagou pelo lanche R$ 5,00. Joo comeu um salgado e tomou um refrigerante e pagou pelo lanche R$ 3,50. Sabendo que o preo dos salgados e dos refrigerantes foram iguais tanto para Pedro quanto para Joo, responda as alternativas:

a) Construa um sistema para representar essa situao.b) Quanto custa um salgado e um refrigerante nessa lanchonete?

3) Dois casais foram a um barzinho. O primeiro pagou R$ 5,40 por 2 latas de refrigerante e uma poro de batatas fritas. O segundo pagou R$ 9,60 por 3 latas de refrigerante e 2 pores de batatas fritas. Nesse local e nesse dia, a diferena entre o preo de uma poro de batas fritas e o preo de uma lata de refrigerante era de:

a) R$ 2,00 b) R$ 1,80 c) R$ 1,75 d) R$ 1,50 e) R$ 1,20

4) Um pacote tem 48 balas: algumas de hortel e as demais de laranja. Se a tera parte do dobro do nmero de balas de hortel excede a metade do de laranjas em 4 unidades, ento nesse pacote h: a) igual nmero de balas dos dois tiposb) duas balas de hortel a mais que de laranjac) 20 balas de horteld) 26 balas de laranjae) duas balas de laranja a mais que de hortel5) Num bar paga-se R$ 5,80 por 5 pastis e 3 copos de refrigerante. No mesmo local, 3 pastis e 2 copos de refrigerante custam R$ 3,60. Nesse caso, cada copo de refrigerante custa:a) R$ 0,70. b) R$ 0,50. c) R$ 0,30 a menos do que o preo de cada pastel. d) R$ 0,20 a mais do que o preo de cada pastel. e) R$ 0,20 a menos do que o preo de cada pastel6) Numa determinada livraria, a soma dos preos de aquisio de dois lpis e um estojo R$ 10,00. O preo do estojo R$ 5,00 mais barato que o preo de trs lpis. A soma dos preos de aquisio de um estojo e de um lpis a) R$ 3,00. b) R$ 4,00. c) R$ 6,00. d) R$ 7,00. e) R$ 12,00. 7) Considere o seguinte problema: Determinar dois nmeros inteiros tais que a diferena entre seus dobros seja igual a 4 e a soma de seus triplos seja igual a 9. Esse problema pode ser resolvido por meio do sistema de equaes

e a concluso correta a que se chega que esse problema: a) no admite solues. b) admite infinitas solues. c) admite uma nica soluo, com valores de x e y menores que 5. d) admite uma nica soluo, com valores de x e y compreendidos entre 5 e 10. e) admite uma nica soluo, com valores de x e y maiores que 10.

Captulo IV - Expresses Algbricas

Expresses algbricas ou expresses literais so expresses que apresentam nmeros e letras, ou simplesmente letras.

Exemplos:a) 2xy + 4xb) xyz + xy + z

Uma expresso algbrica pode ser racional ou irracional

Expresso algbrica racional: quando no apresenta varivel (letra) dentro do radical.

Exemplos: a) 2xy + 3y + 5zb) 2a + 3b +

Expresso algbrica irracional: quando apresenta varivel (letra) dentro do radical

Exemplos: a) 3x + + z

b)

Valor Numrico o valor que se encontra quando substitumos as variveis de uma expresso algbrica por nmeros e efetuamos as operaes indicadas.

Exemplo: O valor do numrico de 3xy + 5x 8y para x = 2 e y = 1 :3.2(1) + 5.2 8.( 1) = 3.4.( 1) + 10 + 8 = 12 + 10 + 8 = 6


1) Calcule o valor numrico das expresses algbricas em cada alternativa:

a) 2xy + 3y z; para x=2, y=1 e z= -3b) 4x 2y + 3z; para x=-1, y=3 e z=5c) y + 2x + 1; para y=3 e x=4d) M +2MN P; para M=3, N=-3 e P=-2e) y - 4y+ 4; para y=2 e y=-2f) x + 5x 12, para x=4 e x=-3

2) Escreva a expresso algbrica que representa o permetro de cada um dos seguintes polgonos:

3) Calcule o valor numrico das expresses algbricas:

a) para

b) para

c) para e

d) para e

4)

Se , calcule o valor de para .

5) Calcule o valor numrico das expresses algbricas:

a) para e

b) para , e

c) para e

6)

Calcule o valor numrico de para e .

7)


8)


9)

Existe o valor numrico da expresso para e ? Por qu?

Monmios

Chama-se monmio ou termo algbrico a expresso algbrica que apresenta apenas um nmero, apenas variveis ou produto entre nmero e variveis.

Exemplos: a) 2xy b) 5 c) x6

Destaca-se num monmio:

a) O coeficiente: o nmerob) A parte literal: varivel ou um produto de variveis com seus expoentes

Exemplos:a) 5xy b)x

Grau de um monmio O grau de um monmio de coeficiente no nulo dado pela soma dos expoentes das variveis.

Exemplos:a) 5xy de grau 2 + 3 = 5

b) de grau 1 + 1 = 2

c) 6x7 de grau 7

d) 5 de grau zero

Monmios semelhantesDois ou mais monmios so semelhantes quando possuem a mesma parte literal.

Exemplo:3xy, 5xy e 6xy pois possuem a mesma parte literal, ou seja, xy

Adio e subtrao de monmios semelhantesPara somar ou subtrair monmios semelhantes basta somar ou subtrair seus coeficientes, mantendo sua parte literal.

Exemplos:a) 3xy + 5xy + 8xy = (3 + 5 + 8)xy = 16xyb) 10ab 7ab = (10 7)ab = 3ab

Observao: S podemos somar e subtrair monmios semelhantes.

Multiplicao de monmios:Para multiplicar dois ou mais monmios, basta multiplicar seus coeficientes e suas partes literais.

Exemplo:(2x3y4).(5xy2).(3x4a5) =(2.5.3).(x3.x.x4).(y4.y2).a5 = 30x3+1+4.y4+2.a5 = 30x8.y6.a5

Diviso de monmios:Para dividir dois monmios, basta dividir seus coeficientes e suas partes literais

Exemplo: (20x5y4) : (2x2.y3) = =10.x5 2 . y4 3 = 10x3y Potenciao de monmiosA potenciao de um monmio dado pela potenciao de seu coeficiente e da sua parte literal

V a m o s e x e r c i t a r !!!1) O volume de um cubo dado pelo produto de suas dimenses, ou seja, comprimento da largura e a altura. Qual o monmio que representa o volume do cubo da figura abaixo?

2) Qual o grau do monmiom x yem relao varivel m?

3) Observe a figura ao lado e responda:a) Qual o monmio que representa a rea da regio A1?b)Qual o monmio que representa a rea da regio A2?c)Qual o monmio que representa a rea total?4) Um sorvete custaxreais. Andria comprou 3 sorvetes, Joana comprou 5 sorvetes, e Lusa comprou 4 sorvetes. Qual o monmio que representa a quantia que as trs gastaram juntas?5) Observe os monmios.3x;- 1/2 x;4xy;- 1/5 xy;10xDentre os monmios apresentados acima, circule os que so semelhantes.6) Calcule o quadrado do monmio (-4xy), em seguida, divida o resultado obtido pelo monmio (8xy)Que monmio voc obteve?7) Em uma partida de basquete, um jogador acertouxcestas de 2 pontos eycestas de 3 pontos. Qual o polinmio que representa o nmero de pontos que o jogador marcou nessa partida?

Captulo v - Polinmios

qualquer monmio ou uma soma de monmios

Exemplos: a) 6xyb) 5x3y4+ 3x2y 7x + 8xy7 + 10

Forma reduzida de um polinmioUm polinmio est na forma reduzida quando no tem termos semelhantes

Observaes: 1) Os monmios que formam um polinmio so chamados de termos do polinmio.2) Se um polinmio tem termos semelhantes devemos somar ou subtrair esses termos para que o polinmio fique na foram reduzida.

Exemplo: 3xy + 5xy + 7xy + 8xy 9xy = (3xy 9xy) + (5xy + 8xy) + 7xy = 6xy + 13xy + 7xy

3) Um polinmio na forma reduzida que possui dois termos chamado de binmio. Exemplo: 3x + 5y

4) Um polinmio na forma reduzida que possui trs termos chamado de trinmio. Exemplo: 5x + 3x 7

5) Um polinmio na forma reduzida com mais de trs termos no tem nome especial. Exemplo: 5xy 3x + 4y 8 Grau de um polinmio O grau de um polinmio dado pelo grau do seu maior termo

Exemplo: 5xy 7xy + 4x6 9x6y3

grau 5 grau 2 grau 7 grau 9 Esse polinmio tem grau 9

Multiplicao de polinmiosPara multiplicar dois polinmios, basta multiplicar cada monmio de um deles por todos os monmios do outro e escrev-lo na forma reduzida.

Exemplo: (2x + 5y)(3xy + 2y4 + 6) = = (2x)(3xy) + (2x).(2y4) + (2x).(6) + (5y)(3xy) + (5y)(2y4) + (5y).(6) = = 6x5y + 4xy4 + 12x + 15xy + 10y5 + 30y

Diviso de polinmiosA diviso de polinmios se d de maneira anloga a diviso de nmeros

Acompanhe o exemplo:

Vamos dividir o polinmio 2x 5x + 3x 1 por x 2x + 4

1 passo: divide-se o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor. O resultado coloca-se no quociente.

2 passo: multiplica-se o valor encontrado por todos os termos do divisor e colocam-se os resultados no dividendo com sinal trocado.

3 passo: Somam-se esses termos

Se o grau do resto for maior ou igual ao grau do divisor, a diviso continua repetindo o processo. Caso o grau do resto seja menor do que o grau do divisor ou a diviso seja exata, o processo se encerra. Neste caso, a diviso continua:

Como o grau do resto menor do que o grau do divisor, a diviso encerra. Ento, temos: quociente igual a 2x 1 e como resto 3x + 3.

V a m o s e x e r c i t a r !!!1) Calcule o produto dos polinmios nas alternativas abaixo:

a) b) (2x+5x-x+1).(3x+2)c) (5x-2x+4x-6).(x-1)d) (x+3).(x+3x-8)e) (x-2x+1).(x+2x-x-4)

2) Calcule o quociente e o resto nas seguintes divises:

a) (4x+6x-12x+10) : (x-3)b) (12x+8x-18) : (x+2)c) (x-5x+4) : (x-1)d) (9x-7x+6) : 3x

3) Escreva os seguintes polinmio na forma reduzida:a)5x+4x-1+2x-x-x+7x-1b)8x-6x+1+7x-6x-3-3xc)x+xy+xy+x+xy4) Dados os polinmios A=3x-2x+3x-5 e B=-x+3x+2x-4. Determine:a)A + Bb)A B5) Dado o polinmio 3x-5x+7x-x+5x+2x-2x+6.a)Escreva-o na forma reduzida;b)Determine o grau desse polinmio;6) Qual o grau do polinmio -5a-ax+x?7) Dados os polinmios P=2x +a-2ax e Q=3x+3a+3ax. Determine:a)P + Qb)O valor numrico deP + Q,paraa=3ex=2;8) Efetue as multiplicaes a seguir.a)12a(3a-3x)b)(a+4).(a+2)c)(2-a).(a-3a+2a)9) Qual o quociente de 12x + 5x - 2 por 3x + 2?Captulo VI - Produtos Notveis

So produtos que se notabilizam por ter regras para o resultado sem precisar fazer as operaes indicadas.

Vejamos alguns casos:

II. Quadrado da soma de dois termos O quadrado da soma de dois termos a e b dado pelo quadrado do 1 termo, mais duas vezes o 1 termo pelo 2 termo, mais o quadrado do 2 termo.

(a + b)= a+2ab+b

Exemplo: (3x + 2) = (3x) + 2(3x).2 + 2 = 9x4 + 12x + 4

III. Quadrado da diferena de dois termos:O quadrado da diferena de dois termos a e b dado pelo quadrado do 1 termo, menos duas vezes o produto do 1 termo pelo 2 termo, mais o quadrado do 2 termo.

(a b) = a 2ab + b

Exemplo: (x y) = (x) 2.(x).y + (y) = x4 2xy + y

(a b) = a 2ab + bI. Produto da soma pela diferena de dois termos:O produto da soma pela diferena de dois termos dado pelo quadrado do 1 termo menos o quadrado do 2 termo.

(a + b).(a b) = a b

Exemplo: (2x - 5y)(2x + 5y) = (2x) (5y) = 4x4 25y6

II. Cubo da soma de dois termosO cubo da soma de dois termos a e b dado pelo cubo do 1 termo, mais duas vezes o quadrado do 1 termo pelo 2 termo, mais trs vezes o 1 termo pelo quadrado do 2 termo, mais o cubo do 2 termo.

(a + b) = a + 3ab + 3ab + b

Exemplo: (2x + y) = (2x) + 3.(2x).(y) + 3.(2x)(y) + (y) = 8x + 10xy + 6xy4 + y6

III. Cubo da diferena de dois termos:O cubo da diferena de dois termos a e b dado pelo cubo do 1 termo, menos trs vezes o quadrado do 1 termo pelo 2 termo, mais trs vezes o 1 termo pelo quadrado do 2 termo, menos o cubo do 2 termo.

(a b) = a 3ab + 3ab b

Exemplo: (x 2) = (x) 3(x)(2) + 3(x).2 (2) = x9 6x6 + 12x3 8


1) Desenvolva os seguintes produtos notveis:

a) b) (2x-y)c) (2x+y)d) (3x+y).(3x-y)e) (x-2y).(x+2y)f) (3x+2y)g) (x-3y)

2) Desenvolva o quadrado da diferena de dois termos:a) b) (m 3)2 =c) (2a 5)2 =d) (7 3c)2 =e) (4m2 1)2 =f) (2 x3)2 =g) (a3 3c2)2=h) (5a 3)2 =i) (p5 10)2 =j) (3m2 a)2 =k) ( a5 c3)2 =

3) Desenvolva o produto da soma pela diferena de dois termos:a) b) (x + 9).(x 9) =c) (m 1).(m + 1) =d) (3x + 5).(3x - 5) =e) (2 7x).(2 + 7x) =f) ( m2 5). (m2 + 5) =g) (p3 + 3).(p3 3) =h) (2a + 5).(2a 5) =i) (1 x5). (1 + x5) =j) (a2 + b3). (a2 b3) =k) (m2 n5). (m2 + n5) =

4) Desenvolva o cubo da soma de dois termos:a) b) (x + 2)3 =c) (2x + 1)3 =d) (1 + x2)3 =e) (x2 + 2)3 =f) (2 + 3z2)3 =

5) Desenvolva o cubo da diferena de dois termos:a) b) (a 1)3 =c) (2x 3)3 =d) (2a b)3 =e) (1 3a2)3 =e) ( 5 x)3 =6) A soma de uma sequncia de nmeros mpares, comeando do 1, sempre igual a um nmero quadrado perfeito. Com base nessa informao, responda:a) Qual ser a soma dos dez primeiros nmeros mpares?

possvel demonstrar esse truque por meio de um desenho. Observe:

Para formar um novo quadrado, sempre acrescentada uma camada com quantidades mpares de bolinhas, o que mostra visualmente que a soma dos n primeiros nmeros mpares sempre um quadrado perfeito.

b) Como voc explica o resultado da soma dos nmeros mpares com base no desenho.7) Algumas potncias e multiplicaes de nmeros podem ser resolvidas com os produtos notveis.

Usando esses padres, determine o resultado das operaes a seguir.a) 232 = (20 + 3)2 =b) 312 = (30 + 1)2 =c) 382 = (40 2)2 =d) 29 . 31 = (30 1)(30 + 1) = e) 102 . 98

Captulo VI - Fatorao

Fatorar um polinmio transform-lo em um produto de dois ou mais polinmios.

Vejamos alguns casos:

I. Fatorao por evidncia: Esse tipo de fatorao usado quando todos os termos da expresso algbrica possui um ou mais fatores em comum. Nesse caso, a fatorao dada pelo produto do fator comum por uma expresso obtida dividindo-se a expresso dada pelo fator comum.

Exemplos: 1) am + an = a(m + n) fator comum

2) 2x 6x = 2x(x 3)

fator comum

II. Agrupamento:Esse caso uma recorrncia do fator comum. O agrupamento ocorre quando usamos o fator comum duas vezes na fatorao.

Exemplo: Vamos fatorar o polinmio am + an + bm + bnObserve que no existe um fator comum nos quatro termos do polinmio porm am + an tem fator comum a e bm + bn tem fator comum b. Assim, fatorando por evidncia esses termos, temos

am + an + bm + bn = (a(m + n) + b(m + n)

Veja que esse binmio tem um fator comum que e m + n. Logo, vamos novamente fatorar por evidncia. Assim,

a(m + n) + b(m + n) = (m + n).(a + b)

Exemplo: Vamos verificar se o trinmio 9x4 + 24x3 + 16x2 um trinmio quadrado perfeito.

= 3x

2(3x)(4x) = 24xAssim, o trinmio dado quadrado perfeito.

Sendo assim, vamos fator-lo

9x4 + 24x3 + 16x2 = Os prximos casos de fatorao se relacionam com os produtos notveis

III. Diferena de dois quadradosDos produtos notveis temos que (a + b)(a b) = a b, assim a fatorao de a b feita da seguinte maneira:

a b = ,

observe que nesse caso a parte literal tem que ter expoente par.

Exemplo: 9xy4 1 =

IV. Trinmio quadrado perfeitoJ sabemos dos produtos notveis que

(a + b) = a + 2ab + b(a b) = a 2ab + b

Assim, para identificar se um trinmio um quadrado perfeito basta ver se esse trinmio tem dois termos quadrados e em seguida verificar se o terceiro termo o duplo produto das razes quadradas desses dois termos. Se o duplo produto for positivo temos o quadrado de uma soma, caso contrrio, temos o quadrado de uma diferena.

A fatorao se d da seguinte forma:

Captulo vii - Estudo dos Radicais

Radiciao Seja a um nmero real e n um nmero natural no nulo. Define-se a raiz n-sima de a, caso exista, ao nmero real b tal que elevado a n resulta o nmero a

Temos:

Exemplos: a) pois 3=27

b) pois 24 = 16

Observaes: 1) Sempre que a 0, a raiz sempre existir independente do ndice2) Se a < 0, a raiz s existir se o ndice for mpar

Exemplos: a) pois (-2) = -8

b) no est definido, pois no existe nenhum nmero real que elevado a um expoente par resulte um nmero negativo.

3) Quando o ndice for 2 no necessrio escrev-lo

Exemplo:

Potncia com expoente fracionrio: Todo nmero escrito como raiz pode ser transformado numa potncia de expoente fracionrio, da seguinte forma

Exemplos: a)

b)

Consequncia Quando o ndice for igual ao expoente do radicando a raiz ser a base da potncia do radicando.

Exemplo:a)

b)

Propriedade dos radicais

1. Quando multiplicamos (ou dividimos) o ndice de um radical e o expoente do radical por um mesmo nmero natural positivo, obtemos um radical equivalente ao inicial.

Pois,

Exemplos:a)

b)

2. A raiz de um produto o produto das razes dos fatores, quando estes forem definidos.

Pois,

Exemplo:

3. A raiz de um quociente o quociente das razes, quando estes forem definidos.

Pois,

Exemplo:

4. A raiz de uma raiz obtida por outro radical, cujo ndice ser o produto dos ndices dos radicais iniciais

Pois,

Exemplo:

Simplificao de radicais Se um ou mais fatores do radicando possurem o expoente igual ao ndice do radical, esses fatores podero ser retirados, sem o expoente, e escritos como fatores externos.

Exemplo:a)

b)

Essa simplificao importante pois facilita as operaes com radicais como veremos adiante.

Observao: Raiz de ndice 1 igual ao prprio radicando. Exemplo:

Como processo inverso, temos que para introduzir um fator externo no radicando, basta introduzi-lo com expoente igual ao ndice do radical.

Exemplo: a)

b)

Radicais semelhantes Dois ou mais radicais so semelhantes quando possuem o mesmo ndice e o mesmo radicando.

Exemplos: a) so semelhantes

ndice 2 e radicando 3

b) so semelhantes pois Assim os radicais possuem 3 como ndice e 5 como radicando, portanto so semelhantes.

Operaes com radicais

I. Adio e subtrao

Para somar (ou subtrair) radicas semelhantes, basta somar (ou subtrair) os termos externos dos radicais.

Exemplos:a)

b)

II. Multiplicao e diviso

Para multiplicar (ou dividir) radicais de mesmo ndice, basta multiplicar (ou dividir) os radicandos, mantendo o ndice dos radicais iniciais.

Exemplo: a)

b)

c)

Nesse caso, devemos igualar os ndices para depois fazer o produto.

Regra para igualar os ndices Para reduzir dois ou mais radicais ao mesmo ndice, vamos seguir a seguinte regra:

I. Achar um mltiplo comum dos ndices (de preferncia o menor, o mmc entre eles) que ser o novo ndice dos radicais.II. Dividir o novo ndice encontrado pelos ndices dos radicais iniciais e multiplicar pelos expoentes dos radicandos.

Exemplo: Vamos reduzir os radicais ao mesmo ndice.

1. Encontrar o mmc (3, 2, 8)

2, 3, 8 21, 3, 4 21, 3, 2 2 1, 3, 1 3 mmc (3, 2, 8) = 2.2.2.3 = 241, 1, 1

2. Dividir o novo ndice 24 pelos ndices iniciais 3, 2, e 8 e multiplicar os resultados pelos expoentes dos radicandos 2, 3 e 8. Assim ficaremos:

, ou ainda,

Vamos, agora, fazer o produto

Inicialmente, como os ndices so diferentes, vamos reduzi-los as mesmo ndice para em seguida fazer a multiplicao.

mmc(3, 2, 6) = 6

Racionalizao de denominadores Quando deparamos com uma frao cujo denominador um nmero irracional com radical, devemos racion-lo, ou seja, torn-lo um nmero racional, sem alterar o valor da frao. Embora, com o advento da mquina de calcular esse processo no seja mais necessrio, ele ainda importante no meio acadmico. Para efeito didtico vamos considerar dois casos de racionalizao.1 caso A frao tem para denominador apenas um radical.Exemplos:a) Racionalizar o denominador da frao .

Observe que . Logo, o fator racionalizante . Assim, devemos multiplicar o numerador e o denominador da frao inicial por . Logo,

b)

Racionalizar o denominador da frao , com x > 0. Nesse caso, para achar o fator racionalizante devemos ter um pouco mais de cuidado. Veja que, x3.x2 = x5. Assim, o fator racionalizante ser , pois

Logo,

2 caso - A frao tem para denominador uma soma ou subtrao que envolva um ou dois radicais. Nesse caso, devemos lembrar do produto notvel:

Exemplo: Racionalizar o denominador da frao Usando o produto notvel citado acima, temos que:

.

Logo,

exerccios complementares!!!

01. Efetue as operaes com nmeros inteiros:a) 5 + 2 e) 3 + 2 5 + 4 i) (+2).(+4)b) 3 7 f) 2 + 3 6 8 + 5 3 + 4 7 j) (2).(+3).( 5).( 6).(+3)c) 4 + 2g) (2).( 3)k) (+3).(+2).( 3).( 4).( 5)d) 6 + 8h) (+2).(+4)

02. Efetue as potncias de nmeros inteiros com expoentes positivos:a) 23 d) 110g) (2)3j) (1)100b) 42 e) 90h) (3)2k) (1)107c) 21 f) 35i) (5)203. Efetue os produtos com nmeros inteirosa) 352 x 25c) 10023 x 5004e) 20000 x 3000b) 5604 x 231d) 10002 x 5000

04. Efetue as divises de nmeros inteirosa) 345 : 3c) 561784 : 7e) 410056 : 314b) 21348 : 2d) 32451 : 23f) 2130203 : 2013

05. Efetue as operaes com nmeros decimaisa) 2,34 + 5,1 d)431,2 0,43 g) 321,52 x 4,213j) 312,45 : 2,3b) 32,45 + 126,234 e) 2 0,04 h) 0,321 x 1,2k) 3 : 1,321c) 5,24 2,3 f) 2 x 3,14 i) 2,4 : 0,21

06. Escreva os nmeros decimais na forma de frao:a) 2,3b) 51,62c) 0,431d) 321,4789e) 0,31

07. Escreva as fraes na forma de nmeros decimais

a) b) c) d) e)

08. Escreva as dizimas peridicas em fraes:a)

0,4545...c) e) g) 0,61333...i) 32,5666...b) 0,222...d) 2,333...f) 0,45252... h) 1,23434...

09. Escreva os nmeros na forma de potncia com expoente negativo

a) b) c) d) e)

010. Calcule as potncias com expoentes negativosa) 23 b) 52c) 34 d) 61e) 72 f) 112

011. Escreva na forma de potncia de base 10:a) 100c) 1000000e) 0,0001g) 0,0000001b) 10000d) 0,1f) 0,00001 h) 0,001

012. Efetue os produtos por potncia de 10. a) 3,42 x 10 d) 0,00456 x 10000 g) 241,0234 x 104j) 321,34 x 103b) 5,678 x 100 e) 3,2225 x 106 h) 623,1 x 102k) 100325,67 x 105c) 32 x 1000 f) 42,1 x 105 i) 5,6 x 101

013. Efetue os produtos e divises de fraes

a) c) e) g)

b) d) f) h)

014. Determine o mmc dos nmeros :a) 6 e 4c) 10, 40 e 80e) 40, 50 e 60b) 5, 20 e 25d) 16, 36 e 80

015. Efetue as operaes com fraes:a)

c) e)b)

d)

016. Efetue as potncias:

a)c)e)

b)d)f)017. Ache o MDC dos nmeros:a) 20 e 12c) 100, 40 e 25e) 210, 50 e 30b) 6, 4 e 2d) 22, 10,6 e 4f) 125, 100 e 80

018. Reduza a uma nica potncia:

a) 23.24c) 26.2.23.25 e) g) i)

b) d) 34.32.36.3 f) h)

019. Escreva na forma de potncia com expoente fracionrio:

a) c) e) g)

b) d) f)

020. Escreva na forma de raiz:

a) c) e) g)

b) d) f)

021. Calcule:

a) c) e) g) i)

b) d) f) h)

022. (FCC-CEF) Qual o menor nmero pelo qual se deve multiplicar 84 para se obter um quadrado perfeito?a) 18b) 21c) 27d) 35e) 42

023. (CEFET-PR) Assinale a alternativa correta:

a) b) c) d) e)

024. Se b > 0 e se n, p e q so inteiros positivos ento igual a:

a) b) c) d) e)

025. (CESCEM-SP) Simplificando a expresso [29 : (22 . 2)3]3 , obtemos:a) 230 b) 1c) 26 d) 236e) 2

026. (UFBA) Simplificando a expresso , obtemos:a) 100b) 101 c) 102 d) 103 e) 104

027. (CESGRANRIO-RJ) O nmero de algarismos do produto 517 x 49 igual a:a) 17 b) 18c) 26d) 34e) 35

028. (CESGRANRIO) O mximo divisor comum de 20 e 32 :a) 1b) 2c) 4d) 8e) 16

029. (MAPOFEI-SP) O mdc dos nmeros 36, 40 e 56 :a) 4b) 6c) 8d) 9e) 2030. Se n um inteiro positivo, o mdc (n, 20) = 4 e mmc(n, 20) = 160, podemos afirmar que:a) 10 < n < 20b) n < 10c) n > 20d) no se pode determinar n e) n.d.a.

031. (FUVEST-SP) Sabendo-se que mdc(360, 300) = a e mmc(360, 300) = b, ento o produto a.b igual a: Observao: mmc(x, y) . mdc(x, y) = x.ya) 1080000b) 108000c) 1080d) 10800e) 108

032. Dividindo-se 49 por n, n 0, encontra-se quociente 5 e resto 9. Ento:a) n um nmero primoc) n uma potncia de 2e) tal diviso impossvel b) n mltiplo de 3d) n maior que 11

033. (UEL-PR) Calculando-se , obtm-se:a) 81b) 9 c) 9 d) 81 e) um nmero no real

034. (CESGRANRIO-RJ) A representao decimal de (0,01) :a) 0,03b) 0,0001c) 0,001d) 0,000001e) 0,003

035. (EFOA-MG) Qual dos nmeros abaixo igual a 0,000000375?

a) (0,175 + 0,2).107 b) c) d) e) 375.109

036. (UEL-PR) Efetuando-se (0,1)3 x (0,2 : 0,04), obtm-se a) 0,005b) 0,015c) 0,05d) 0,1e) 0,5

037. (UFMG) A expresso , com a 0, equivalente a:

a) b) c) d) e)

038.

(EPCAR-MG) Se e , ento , onde k e igual a:a) 250 b) 72c) 72d) zeroe) 178

039. (UFES) igual a:a) 1/16b) 1/8c) 1/6d) 6e) 16

040. (FGV-SP) O valor da expresso :a) 0,1b) 0,2 c) 0,01d) 0,02e) 1

041. O valor de 102 x [(3)2 (2)3] : :a) 17b) 1,7c) 0,1d) 0,1e) 1,7

042. (FCC-2011) Simplificando a expresso , obtm-se a) 0,0607 b) 0,607c) 6,07 d) 60,7e) 607

043. (FATEC-SP) Considere que a massa de um prton 1,7x1027 kg, o que corresponde a cerca de 1800 vezes a massa de um eltron. Dessas informaes, correto concluir que a massa de um eltron , aproximadamente:a) 9 x 1030 kg b) 0,9 x 1030 kg c) 0,9 x 1031 kg d) 2,8 x 1031 kg e) 2,8 x 1033 kg044. (UFRN) O valor de :a) 0,333... b) 1,333... c) 3,333... d) 3 e) 12

045. Indique a alternativa de resposta que completa corretamente a igualdade: 2,713343434... 0,898989... =

a) b) c) d) 1,814254 e)

046. (UFPE) Seja A/B, com A e B inteiros primos entre si, a frao geratriz da dzima peridica 4,373737... . Indique a soma dos algarismos de A.

047. O 754 algarismo, depois da vrgula, na representao decimal de :a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9

048. Resolva as equaes do 1 grau:a) x 3 = 4 d) 3x = 7 g) 3x 2 = 5x 7 j) b) x + 5 = 7 e) 2x = 5 h) 2.(x 1) + 3 = 3x 6 k) c) 2x = 8 f) 2x 3 = 4 i) l)

049. Resolva as equaes do 2 grau completas:a) x 5x + 6 = 0 c) x + 3x 4 = 0 e) 4x 4x 35 = 0b) x 6x + 9 = 0 d) 3x + x + 2 = 0 f) 2x x 1 = 0

050. Resolva as equaes do 2 grau incompletas:a) x 9 = 0d) 2x 32 = 0 g) x 4x = 0j) 3x 5x = 0b) x 16 = 0e) 3x + 27 = 0 h) x + 3x = 0k) 7x + 14x = 0c) x + 25 = 0f) x + 1 = 0 i) 2x 6x = 0l) x + 2x = 0

051. Resolva os sistemas de equaes do 1 grau:a) c) e) g) b) d) f) h)

052. (UFMG) A raiz da equao pertence ao intervalo:a) [0, 2]b) [3, 1]c) [2, 0]d) [6, 3]e) [2, 6]

053. (UTESC-SC) Se , ento o valor de x 9 :a) 9b) 9c) 0d) 2e) 2

054. (PUC-PR) A soma e o produto das razes da equao x + x 1 = 0 so respectivamente:a) 1 e 0b) 1 e 1c) 1 e 1d) 1 e 1e) 0 e 0055. (ESPM-SP) O valor de x na proporo :a) 28/15 b) 48/13c) 51/3d) 63/5e) 73/23

056. Quantas razes tem a equao x 6x + 9 = 0?a) 1b) 2c) 3d) 4e) 6

057. (PUC-SP) Uma das razes da equao 0,1x 0,7x + 1 = 0 :a) 0,5b) 0,2c) 7d) 2e) 9

058. (FUVEST-SP) Se x(1 x) = , ento :a) x = 0b) x = c) x = 1d) x = e) x = 5

059. (CESGRANRIO) A maior raiz da equao 2x + 3x + 5 = 0 vale:a) 1b) 2c) 1d) 5/2e) 3/5

060. (UFCE) Se x1 e x2 so razes da equao 3x 2x 8 = 0, sendo x1 < x2 ento 3x22 2x1 8 :a) 2/3b) 8/3c) 16/3d) 20/3e) 1/3

061. (UFFRJ) Uma das solues da equao um nmero inteiro mltiplo de:a) 2b) 3c) 5d) 7e) 11

062. (MACK-SP) Sendo x1 e x2 as razes da equao 6x x 1 = 0, o valor de (x1 + 1).(x2 + 1) :a) 2b) 3c) 1d) 1/3e) 1/2

063. (PM/PB) Sendo a e b as razes da equao 2x 5x + m = 3, se , o valor de m :a) 4/7b) c) 0d) 4/3e) 27/4

064. (PUC-SP) A soluo do sistema :

a)

b)

c)

d)

e)

065. (UEL-PR) Se o par (a; b) a soluo do sistema ento verdade que:a) a = 3b) a = 3c) a.b = 1d) ab = 8 e) a.b = 9

066. (UNITAU-SP) A soluo do sistema de equaes algbricas lineares dada por:a) x = 1, y = 1 b) x = 1, y = 1c) x = 1, y = 1 d) x = 1, y = 1 e) x = y = 0

067. Se uma pea de fita de 8 metros for dividida em laos de 16 cm, quantos laos vamos obter?a) 2 laosb) 4 laos c) 10 laos d) 30 laos e) 50 laos

068. Quantos ladrilhos de 0,2 m por 0,2 m so necessrios para revestimento de uma sala de 5 m de comprimento por 6 de largura?a) 600b) 650c) 700d) 750e) 800

069. Um terreno foi dividido em trs lotes: o primeiro com uma rea de 26 dam, o segundo com uma rea de 7.450 dm e o terceiro com uma rea de 0,681 hm. A rea total do terreno, em metros quadrados, :a) 1452,00b) 1452,50c) 9.475,50d) 9.484,50

070. Quantos lotes de 360 m so obtidos ao se dividir um sitio cuja rea 6 hectares e 84 ares?a) 180b) 190c) 200d) 210e) 220

REFERNCIASMARIN, Andr Perez Y. Elementos de algebra. So Paulo: 2. ed. Escolas ProfissionaisSalesianas, 1911.BOYER, C.B. Histria da Matemtica. So Paulo: Edgar Blucher, 1974.EVES, H. Introduo histria da matemtica. Traduo: Hygino H. Domingues. 2. ed. Campinas: UNICAMP, 1997.

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