Semana 1 • Ejercicios

Estrategia de Articulación Educativa SEC-COVID-19 Cuaderno de trabajo de Matemáticas 3.º de secundaria

1Cuaderno de trabajo de Matemáticas • Secundaria

TEMA DE LA SEMANAAgrupación y jerarquía de operaciones

INTRODUCCIÓNLas matemáticas son fundamentales para comprender losfenómenos que observamos día a día y resolver problemasen contextos reales. En particular, siempre hay que tenerpresentes las operaciones básicas de aritmética (suma,resta, multiplicación y división), ya que son el eje de todaactividad o decisión.

Por ejemplo, imagina que hay una cooperativa en una es-cuela. Primero, se necesita conocer cuántos estudiantes hayen cada grupo de la escuela (suma) para repartirles lasganancias de la cooperativa (división). Estas ganancias secalcularon al sustraer la inversión inicial del ingreso recau-dado por las ventas (resta), mientras que la inversión inicialse obtuvo de una cantidad fija de dinero que aportó cadamiembro de la cooperativa (multiplicación).

Así pues, cuando un problema cotidiano se plantea en tér-minos numéricos, éste se puede resolver mediante unaserie de pasos ordenados. En este proceso, es importanteque recuerdes las leyes de los signos, los símbolos de agru-pación y el orden en que se realizan las operaciones combi-nadas.

Tener claras las operaciones básicas de aritmética y ellenguaje matemático que se usa para resolverlas es indis-pensable para comprender los procedimientos en otrasáreas más complejas, como álgebra, trigonometría y es-tadística. Por este motivo, a continuación repasaremos al-gunos temas de primero de secundaria que te prepararánpara adquirir conocimientos más avanzados.

DÍA 1

TEMA Ley de los signos en la agrupación

EXPLICACIÓNLos signos se refieren a la propiedad que tienen losnúmeros de ser positivos (+) o negativos (–) según su posi-ción imaginaria en la recta numérica. No obstante, el + y el –también son los símbolos de la suma y la resta, respectiva-mente. Al agrupar cantidades, es importante incluir el signo(positivo + o negativo –) de cada número, ya que éste inter-viene al momento de desagrupar los valores. Para que unnúmero conserve su signo (positivo + o negativo –) al re-alizar una suma (+) o una resta (–), se usan los paréntesis,por ejemplo:

✔ Sumar −6 a −3 se escribe: −6+(−3)✔ Restar −3 a −6 se escribe: −6−(−3)

En las operaciones de suma y resta con números positivos ynegativos, se utiliza la ley de los signos de la multiplicaciónpara eliminar el paréntesis, tomando en cuenta el símboloque lo antecede. Posteriormente, se hace la operación queindiquen los símbolos resultantes.

Ley de los signos de la multiplicación:

Ejemplo: −6+(−3+4)

1. Observa el símbolo que antecede al paréntesis.

−6+(−3+4)

+×+=+−×−=++×−=−−×+=−

2. Observa el o los signos que están entre paréntesis.−6+(−3+4)

3. Aplica la ley de los signos.+×−=−+×+=+

4. Elimina los paréntesis y coloca el o los símbolos de la operación resultante.

−6−3+45. Realiza la operación.

−6−3+4=−5EJERCICIOS

1. ¿Cuál es el resultado correcto de la siguiente operación?

a)b)c)d)

2. ¿Cuál es el procedimiento correcto para resolver la si-guiente operación?

a)b)c)d)

2Cuaderno de trabajo de Matemáticas • Secundaria

3. ¿Cuál es el procedimiento correcto para resolver la si-guiente operación?

a)b)c)d)

19+ (!25)+19

!6363!1313

8! (14+2)! (!3+5)

8!14!2+3!58!14+2!3+58+14!2+3+58+14+2!3!5

!5! (!8)+7+ (9!2)

!5!8+7+9!2 =1!5+8!7+9+2 =7!5+8+7+9!2 =17!5!8!7+9+20!9

DÍA 2

TEMASímbolos de agrupación

EXPLICACIÓNLos símbolos son el conjunto de trazos que se utilizan parafacilitar la manipulación de los números. Los símbolos deagrupación precisan el orden en que deben realizarse lasoperaciones aritméticas cuando éstas se combinan. Lossímbolos de agrupación son:Paréntesis ( ). Encierran las operaciones aritméticas mássencillas, como la suma y la resta. Su eliminación dependede los elementos que tengan a su alrededor, por ejemplo,signos y otros símbolos.Corchetes [ ]. Contienen los números que están dentro deun paréntesis, así como otros valores y operaciones quepertenecen a un mismo grupo.Llaves { }. Delimitan varios conjuntos de operaciones com-binadas con operaciones o números diferentes. Los símbolos de agrupación se pueden utilizar tantas vecescomo se requiera en una operación, pero no siempre esnecesario que se usen todos.

El orden de los símbolos de agrupación es {[( )]}. Por tanto,los paréntesis son los símbolos “más internos” y las llaveslos “más externos”. Por ejemplo:

4+5−{3+2−[3+3−(4+9)]} =

1. Desagrupa las operaciones ubicadas entre paréntesis. −(4+9) [3+3−4−9]

2. Desagrupa las operaciones ubicadas entre corchetes. −[3+3−4−9] {3+2−3−3+4+9}

3. Desagrupa las operaciones ubicadas entre llaves. −{3+2−3−3+4+9} −3−2+3+3−4−9

4. Identifica las operaciones no agrupadas e intégralas a laoperación.

−3−2+3+3−4−9 4+5−3−2+3+3−4−9

5. Haz las operaciones de izquierda a derecha. 4+5−3−2+3+3−4−9 = −3

EJERCICIOS

1. ¿En cuál de las siguientes opciones se usan correcta-mente los símbolos de agrupación?

a)b)c)d)

3Cuaderno de trabajo de Matemáticas • Secundaria

2. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?

a)b)c)d)

3. En la siguiente operación, ¿qué símbolo puede omitirsesin afectar el resultado?

a)

b)

c)

d)

DÍA 3

TEMAOperaciones aritméticas combinadas

EXPLICACIÓNLas operaciones aritméticas que se usan de manera inde-pendiente o agrupada son: Suma o adición (+) Resta o sustracción (−) Multiplicación o producto (×) División o cociente (÷) Potencia (^) Raíz (√)

6+(2! [13]+[5]! {12})(8+9)! [9+2]+{6+5}!12+{[(9+3+8)+7!6+8!4)]}7+{5[!4+2(5+2)(3!2)!4]+8}

{[(12!8)+5! (1+3)]+8!6} =

137

!13!7

{25! [5+9! ( !11)]}!8! (6-7) = !7

{ }

( )=

En las operaciones agrupadas, cada operación se resuelvede manera independiente en el orden que establecen lasreglas matemáticas. Por tanto, el primer paso es identificarlas operaciones aritméticas, los números, las cantidades olos subgrupos que integran la operación global, por ejemplo:

Cuando un símbolo de operación aritmética (suma, resta odivisión) no está entre dos símbolos de agrupación o entreun símbolo y un número, se da por entendido que la opera-ción es una multiplicación. Por ejemplo:

5(−63) → Multiplicación de 5 por − 216

(−6−8)(3+5) → Multiplicación de −14 por 8

EJERCICIOS

1. ¿Cuál de las siguientes opciones tiene dos sumas y dosdivisiones?

a)

b)

c)

d)

4Cuaderno de trabajo de Matemáticas • Secundaria

2. ¿Cuál de las siguientes opciones tiene tres multiplica-ciones y una raíz?

a)

b)

c)

d)

3. ¿Cuál de las siguientes opciones NO es correcta?a)b)c)d)

15+ !8 5 !63( )÷ !6!8( ) 3+5( )

! 9{ }

15+ !8 5 !63( )÷ !6!8( ) 3+5( )

! 9{ }Resta

MultiplicaciónSuma

Potencia

División

Raíz

6÷ 2!13( )÷5

!12 !7( )

8+9( )! 9+23( )+ 6+5( )!32

2+ 9+3+8÷7!6∗8!4( )

{ }

7÷ 5 !4!2 5+2( ) 3!2( )÷4

+8{ }

21+ 32∗142 " 18+3( )3

+ 4( )

21+ 32∗14( ) "18+3( )

4( )

21( )+ 32+14( )" 18( )"3

+ 4

21 32+14" 84 +3( )3

+ "4( ) 2( )

6+3( ) 5+3( )=9∗8 =72

4+ 2∗6( )= 4+12 =16

7 3"1( )=7"2 =5

5"2( )7= 3∗7=21

DÍA 4

TEMAJerarquía de operaciones

EXPLICACIÓNPara resolver operaciones agrupadas, se deben aplicarestos criterios en el siguiente orden:

1. Resolver las operaciones queestán entre signos de agrupación(del interior al exterior).2. Resolver las operaciones conpotencias y/o raíces.3. Resolver las multiplicacionesy/o divisiones en el orden en quese presentan (de izquierda aderecha).4. Hacer todas las sumas y/orestas en el orden en que se pre-sentan (de izquierda a derecha).

{[( )]}

mn √b

∗ • × ÷ : /

+ −

Criterio 1

Criterio 2

Criterio 3

Criterio 4

Ejemplo:

5Cuaderno de trabajo de Matemáticas • Secundaria

EJERCICIOS

1. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?

a) 39

b) 42

c) 45

d) 56

2. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?

a) 78

b) 28

c) −55

d) −82

3. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?

a) 24

b) 0

c) −6.28

d) −20

9+1356÷ !6 4 !25( )! !12!4( )

+ 36{ }

9+1356÷ !6 4 !32( )+12+4

+6{ }

9+1356÷ !6 !128+12+4 +6{ }9+1356÷ 768!72!24+6{ }

9+1356÷6789+211

4 5! 6+2( ) 5( )

!12

2 3! 2+32( )

!28{ }÷ 49

25+7 12!22( ) /4

DÍA 5

TEMASimplificación de operaciones

EXPLICACIÓNPara simplificar una expresión de operaciones combinadas,es necesario que recuerdes las leyes de los exponentes, lasoperaciones de números fraccionarios y los criterios de lajerarquía de operaciones. Ejemplo:

1. Ubica los símbolos de suma y resta que separan cada tér-mino.

2. Identifica y resuelve las operaciones de manera indepen-diente tomando en cuenta el signo que antecede a cada op-eración.

6Cuaderno de trabajo de Matemáticas • Secundaria

3. Realiza la operación. Lo puedes hacer de dos maneras: a) Sumar y restar en el orden en que están los términos dela operación resultante.

4−9+36+3−24 = 10

b) Agrupar los números positivos y los números negativos ysumar sus valores absolutos por separado. Luego, restar lasuma de menor magnitud a la de mayor magnitud y, en elresultado, usar el signo del valor de mayor magnitud.

suma de positivos → 4+36+3=43 ← mayor magnitud

suma de negativos → 9+24=33 ← menor magnitud43−33=10

EJERCICIOS

1. ¿Cuál es la forma correcta de separar los términos de lasiguiente expresión?

a)

b)

c)

d)

6 23

+9 '70( )' 65

63+ 6

'4∗ '6

3

' '12 18

'9

=

6 23+9 70( ) 6

5

63+ 6463

12 189=

6 23

61∗23= 12

3= 4

+9 !70( )+9 !1( )= !9

!65

66

!65!3

= !62

+ 6!4

∗ !63

+ !36!12

= 3

! !12 18!9

! !12 !2( )

! +24 = !24

+4 −9 +36 +3 −24

126

+ 186

+2 53( )' 9 ' 14+17( )

126

+ 186

+2 53( )! 9 !14+17

126

+ 186

,2 53( ), 9,14+17

126

,186

,2, 53( ), 9,14,17

126

,186

,2 53( ), 9,14,17

2. ¿Cuál es el resultado de la expresión anterior?a) −5

b) 1

c) 221

d) 255

3. ¿Cuál es el resultado de la siguiente expresión?

a) −58

b) −43

c) −41

d) −34

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!5+ 3+2( )2 + 25 !3( )!12 8÷2( )