cuadernillo matemáticas 4ºeso (1)

Colegio San Buenaventura. Curso 2010-2011Cuadernillo de Ejercicios. 4o ESO.

TEMA 1: NÚMEROS REALES1. Di si son racionales o irracionales y expresa en fracción en caso de que

sea posible:

a) 1,235235235...

b) 0,003030303...

c) -2,154154154...

d)√

2 = 1, 14...

e) 1+√

52

f ) -42,21521521...

g) π = 3, 14...

h) 0,01501501501...

2. Expresa en todas las formas que conozcas los siguientes intervalos yentornos:

a) (1, 4)

b) [−1, 5]

c) E[−4, 3]

d) −5 < x < 2

e) |x + 2| ≤ 2

f ) [0, 5)

g) (−5, 1]

h) E(−4, 4)

i) E[−3, 7]

j ) |x− 7| ≤ 1

3. Expresa en notación cientí�ca las siguientes cantidades:

a) 123000000000

b) 0,0000000123

c) 6780000000000

1

d) 299792,4562

e) 0, 003468 · 10−3

4. Expresa en número ordinario:

a) 2, 72 · 106

b) 7, 811 · 103

c) 6 · 10−7

d) 2, 5 · 10−4

e) 2, 37 · 1012

5. Realiza las siguiente operaciones expresando los resultados en notacióncientí�ca:

a) 4, 87 · 104 + 1, 74 · 105 − 9, 54 · 106

b) 3, 76 · 1012 − 8, 53 · 1012 + 4, 98 · 1014

c) 2, 1 · 10−2 − 5, 1 · 10−4

d) (8, 14 · 10−5) · (−4, 103)

e) 4, 3 · 10−4 : 5, 2 · 108

f ) (6, 5 · 107 − 3, 2 · 105) : 1, 28 · 10−2

g) 1, 03 · 10−6 + 5 · 10−8 − 10−5

6. Realiza las siguientes operaciones con radicales:

a)√

125 +√

245 +√

405

b)√

27 +√

108−√

363

c)√

8 +√

75−√

18 +√

27−√

32

d)√

54−√

150 + 2√

6−√

72 + 2√

8

e)√

75 +√

147 +√

45−√

80 +√

27

f )√

2 · 4√

8 · 3√

2 · 3√

4

g)√

2 ·√

12· 3√

16 3√

32

h)√

343· 3√49· 4√73√7· 4√343

i) 9· 5√3· 3√95√3· 3√

13

j ) 514 ·25·5−

13

125

2

k) 3√

8 · 8 · 4− 12

7. Suma radicales, extrayendo siempre que sea posible, factores del radical:√28−

√63 +

√700

8. Opera y simpli�ca las siguientes expresiones:

a)4√

25·√

23

5√23

b)√

8·2−2· 4√16

45· 3√2

9. Extrae todos los factores que sea posible en los siguientes radicales:

a)√

12

b)√

98

c)√

48

d)√

2 · 31 · 55

e)4√

27 · 314 · 54

f )√

x7

g) 3√

x6 · y4

10. Calcula las siguientes sumas de radicales:

a) 2√

2− 4√

2 +√

2

b) 3 4√

5− 2 4√

5− 4√

5

c)√

12− 3√

3 + 2√

75

d) 2√

12− 3√

75 +√

27

e) 2√

22 · 3− 3√

3 · 52 +√

33

f ) 3√

54− 3√

16 + 3√

250

g) 3√

16 + 3√

250 + 6√

4− 13√4

11. Opera y simpli�ca:

a)√

3 · 3√

9 · 4√

27

b)6√

123 · 6√

362

c)√

2563√16

d)√

a· 3√a2· 4√

a3

6√a4

3

e)(

3√12· 4√18√6

)4

f )√

8·2−2· 4√16

45· 3√2

12. Racionaliza:

a) 2 4√74√392

b) 2√

3−4√

5√5+3

√3

c) 3 4√5

2 4√108

d) 2√

3−√

105√

10+3√

3

e) 4√

3−2√

115√

11−2√

3

f ) 2 3√2−4 3√5

5 3√98

g) 1−5 5√21

11 5√144

h) 2√

3−15−

√21

13. Calcula los siguientes logaritmos:

a) log81 3

b) log3(3√

3)

c) log3 (4√39

)

d) log81 3

e) log81 (√

33

)

f ) log 19

4√

39

g) log√33

(81)

h) log√33

(19)

i) log√33

( 4√

3)

14. Toma logaritmos y desarrolla las siguientes expresiones:

a)

√x2·y−3

3√

(xy)4

b)6√

xy3z4

z

c) xy√

zx5y−4

4

d)

√xx−1·yy−1·zz−1

3√

x3x−3·y3y−3·z3z−3

e) (xyz)xyz√x4y−4z8

5

Colegio San Buenaventura. Curso 2010-2011

TEMA 2: POLINOMIOS1. Dados los polinomios P (x) = 4x2 − x + 2, Q(x) = x3 + x− 1 y R(x) =

2x − 1, hallar:

a) P (x) + Q(x)

b) P (x) + R(x)

c) Q(x) · R(x)

d) P (x) · Q(x)

e) P (x) : R(x)

f ) Q(x) : R(x)

g) El resto de dividir P (x) entre x − 1

h) P (−1)

i) P (−2) + [Q(−2)]2

j ) El grado de [P (x)]4

2. Multiplica:

a) (x4 − 2x2 + 2) · (x2 − 2x + 3)

b) (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x + 2)

c) (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5x3 − 6x2 + 4x − 3)

3. Divide:

a) (x4 − 2x3 − 11x2 + 30x − 20) : (x2 + 3x − 2)

b) (x6 + 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)

c) (2x5 + 2x3 − x − 8) : (3x2 − 2x + 1)

4. Divide por Ru�ni:

a) (x3 + 2x + 70) : (x + 4)

b) (x5 − 32) : (x − 2)

c) (x4 − 3x2 + 2) : (x − 3)

5. Halla el resto de las siguientes divisiones:

a) (x5 − 2x2 − 3) : (x − 1)

1

b) (2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x + 10) : (x + 2)

c) (x4 − 3x2 + 2) : (x − 3)

6. Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

a) (x3 − 5x − 1) : (x − 3)

b) (x6 − 1) : (x + 1)

c) (x10 − 1024) : (x + 2)

7. Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los quese indican:

a) (x6 − 1) tiene por factor (x + 1)

b) (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1)

c) (x10 − 1024) tiene por factor (x + 2)

8. Encontrar el valor de k para que al dividir 2x2 − kx + 2 por x − 2 déde resto 4.

9. Encontrar el valor de m para que 3x2 +mx+4 admita x = 1 como unade sus raíces.

10. Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x2 − 4 y seanule para x = 3 y x = 5.

11. Calcula el valor que debemos dar a m en el polinomio x4−mx2+3mx−1para que al dividirlo por x − 2 se obtenga de resto -1.

12. Halla el valor de m para que el resto de la división (2x2 − mx2 + 10) :(x − 2) sea exacta.

13. Halla el valor de a para que el polinomio x4 + ax2 − 5x + 1 tenga deresto 1 al dividirlo por x + 1.

14. Encontrar el valor de k para que el polinomio P (x) = x3 − kx2 + x + 6sea divisible por x + 2.

15. ¾Cuánto debe valer k para que la división (x3 +5x2−20x+k) : (x−3)sea exacta?.

16. Encuentra el valor de a para que P (x) = x4 − 1 sea divisible porQ(x) = x2 + a.

17. Aplica Ru�ni en las siguientes divisiones:

2

a) (3x4 − 3x + 4) : (x − 1)

b) (2x3 − 4x2 + 2x − 1) : (x + 2)

c) (3x4 − 12x2 − 40x − 3) : (x − 3)

d) (2x5 − 7x3 + x2 − 4) : (x + 2)

e) (−x3 + 3x2 + 5x + 6) : (x + 1)

f ) (x4 − 4x3 + 3x − 2) : (x + 3)

g) (6x4 − 5x3 + 8x2 − 7x + 5) : (x − 2)

h) (3x4 − 3x + 4) : (x + 1)

i) (2x4 + 3x2 + 6x − 7) : (x + 1)

18. Desarrolla y opera:

a) (x + 2)2 + (2x − 1) · (2x + 1) + 3x2

b) (1 − 3x)2 + (2 + 3x) · (2 − 3x) + (x + 1)2

c) (2x + 1)2 + (x2 + 2)2

d) (x + y)2 + (3y − 1)2 + y2

e) (x − m)2

f ) (2a + 9b)2

g) (x3 − a2)2

h) (x3y3 + 2) · (x3y3 − 2)

19. Expresa como un producto notable estos polinomios:

a) P (x) = x2 + 25 + 10x

b) Q(x) = 4x2 − 6x + 9

c) R(x) = 9x2 + y2 + 6xy

20. Desarrolla las siguientes identidades notables:

a) (3 − x)2

b) (5 + x)2

c) (x − 3)2

d) (6x + 2)2

e) (7x − 1)2

f ) (8xy − 3)2

g) (4z + 2)2

h) (9xy + 2z)2

i) (6x − 3)2

j ) (5 − x2)2

k) (3x4

+ 1)2

l) (6 − 2x3

)2

m) (7x − 2xy)2

n) (8xz − 1)2

ñ) (x2

+ y3)2

3

o) (xy − x2)2

p) (3x2− 1

5)2

q) (5x3

+ 2)2

r) (6x − 13)2

s) (x3

+ y4)2

t) (3xy− z)2

u) (4x2 − y)2

v) (x3 − x2)2

w) (6x4 − y3)2

x ) (x3 − 1x)2

y) (3x + y4)2

z ) (x2

2− y3)2

21. Desarrolla las siguientes identidades notables:

a) (3x2

4− 1)2

b) (5xy + 3z)2

c) (5x2 − 3)2

d) (9xy2 − z2)2

e) (3x2

+ y3)2

f ) (4x − 3)2

g) (13z − 1)2

h) (9xz3 − 1

x2 )2

i) (7x3− 2u)2

j ) (8xy5

− 3x2)2

k) (2 + 0, 5x)2

l) (6x5− 2x3)2

m) (7x − z4)2

n) (x3 − 1x)2

ñ) (z4 + 1z2 )

2

o) (9x6 − 12x2 )

2

p) (y8 + 2y3)2

q) (x3y2 − 2y)2

r) (a + b)2

s) [a + (b + c)]2

t) [(a + b) − c]2

u) [(a − b) + c]2

v) [(a − b) − c]2

22. Calcula las raíces y factoriza los siguientes polinomios:

a) P1(x) = x3 − x2 − 2x

b) P2(x) = x3 + 3x2 − 10x

c) P3(x) = x3 − 2x2 − x − 2

d) P4(x) = x3 − 3x2 − 4x + 12

e) P5(x) = x3 − 3x2 − x + 3

f ) P6(x) = x3 + 5x2 + 3x − 9

g) P7(x) = x3 − 6x2 + 12x − 8

h) P8(x) = x3 + 3x2 − 13x − 15

i) P9(x) = 3x3 + 18x2 + 27x

j ) P10(x) = −2x3 + 2x2 + 18x − 18

k) P11(x) = x4 − 5x3 + 8x2 − 4x

l) P12(x) = x4 − 5x3 + 2x2 + 8x

m) P13(x) = x4 + x3 − 16x2 − 4x + 48

n) P14(x) = x4 + 2x3 − 7x2 − 8x + 12

ñ) P15(x) = x3 − 3x2 − 9x − 5

4

o) P16(x) = x4 − 2x3 − 3x2 + 4x + 4

p) P17(x) = x4 + x3 − 27x2 − 25x + 50

q) P18(x) = x4 − 5x3 + 5x2 + 5x − 6

r) P19(x) = x4 − 5x3 + 8x2 − 4x

23. Factoriza:

a) P1(x) = x4 − x3 − x2 + x

b) P2(x) = 3x3 + 3x2 − 18x

c) P3(x) = x4 − 2x3 − 13x2 + 38x − 24

d) P4(x) = x4 − 3x3 + 3x2 − 3x + 2

e) P5(x) = x5 − 5x4 + 7x3 − 3x2

f ) P6(x) = 2x3 − 2x2 − 12x

g) P7(x) = 3x4 + 6x3 + 6x2 + 6x + 3

h) P8(x) = x4 + x3 − 7x2 − x − 6

i) P9(x) = x4 + 3x3 + 4x2 + 6x + 4

j ) P10(x) = 4x4 − 6x3 + 2x2

24. Sabiendo que 2, 3 y -1 son ceros de un polinomio de tercer grado y queel coe�ciente del término de mayor grado es 5, escribir el polinomio.

25. Factoriza:

a) P1(x) = 15x4 − 2x3 − 136x2 + 18x + 9

b) P2(x) = 2x4 − 26x2 + 72

c) P3(x) = x4 − x2

d) P4(x) = 3x3 + 9x2 − 12x − 36

26. Dado el polinomio P (x) = (x+1)3−(x−1)2. ¾Es 1 raíz del polinomio?.¾Es -1 raíz del polinomio?. ¾Cuáles son las raíces enteras del polinomio?.Divide P (x) entre (x − 2) utilizando Ru�ni.

27. Dado el polinomio P (x) = x5 − 8x2 + mx − 6x3 + 1, calcula m paraque:

a) P (x) sea divisible entre x − 2.

b) El resto sea 3 al dividirlo entre x + 1.

5

28. Determinar el valor de m para que 3x2 + mx + 4 admita x = 1 comouna de sus raíces.

29. Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x2 − 4 y seanule para x = 3 y x = 5.

30. Calcular el valor de a para que el polinomio x3 − ax + 8 tenga la raízx = −2 y calcular las otras raíces.

31. Calcula el valor que debemos dar a m en el polinomio x4−mx2+3mx−1para que al dividirlo por x − 2 se obtenga de resto -1.

32. Halla el valor de m para que la división (2x3 −mx2 + 10) : (x− 2) seaexacta.

33. Halla el valor de a para que x4+ax2−5x+1 tenga de resto 1 al dividirlopor x + 1.

34. Encontrar el valor de k para que el polinomio x3 − kx2 + x + 6 seadivisible por x + 2.

35. ¾Cuánto debe valer k para que la división (x3 +5x2−20x+k) : (x−3)sea exacta?

36. Encuentra el valor de a para que x4 − 1 sea divisible por x2 + a.

6


TEMA 3: ECUACIONES Y SISTEMAS

1. Resuelve la siguientes ecuaciones de primer grado:

a) 2x + 3(x− 1) = 6(x− 3) + 13

b) x− 4(x− 8) = 3(x− 5) + 5

c) 5(x + 9)− 3(x− 7) = 11(x + 2)− 10

d) 4(5− 6x) = 2(8x + 3) + 4

e) 2(3x− 8) = 6x + 4− 15 · 2xf ) 8 + [3 + 2x− (3x− 9)] = 0

g) [x− (4 + 2x)]− 2(4x + 3) = 1

h) x+22− x+3

3= x+4

4− x−5

5

i) 3−2x5

− 4−5x3

= 7x−52

j ) 4− 3x + 25

= x+32

k) x + 2x3

= 3x− 16

l) 3− 2(5− x) = x3− 2

m) 36− 4−2(x+2)

3= 11x

2− 3(x+1)

5

2. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) 2(3x− 1)− x2 = 4x

b) −3(x− 2) + 2x2 = −3x + 6

c) 2x2 − 3x + 4 = −5x(2x− 1) + 8

d) 2x2 − 3x = 2(x2 − 3x)− 7

e) (3x− 1) · (2x + 3) = −4

f ) x(x− 8)− 3 + 4x = 2 + x− 5

g) x(x− 6) + 3x− 1 = 2 + 4x− 3

3. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x4 − 10x2 + 9 = 0

b) x4 − 13x2 + 36 = 0

c) x6 − 7x3 + 6 = 0

d) 8x4 − 4x2 = −1

1

e) 144x4 − 25x2 + 1 = 0

f ) 9x4 + 5x2 − 4 = 0

g) x4 − 61x2 + 900 = 0

4. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x3 + x2 − 4x− 4 = 0

b) x3 + x2 − 12x = 0

c) x4 − 16 = 0

d) (x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)(x− 5)(x− 6) = 0

e) x3 + x2 − 5x− 5 = 0

f ) x3 − 7x2 + 14x− 8 = 0

g) (3x + 4)(2x2 + 5x− 7) = 0

h) (x2 − 7x + 6)(x2 + 3x + 2) = 0

5. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:

a) 12x

+ 1x+3

= 12+xx

b) 1 + 2x

+ 8x2 = 0

c) x2−324

+ 28x2−9

= 0

d) 3x− x2+3

x= x3

e) 4xx−3

− 2 = 2xx+1

f ) x−1x+3

− 2 = 0

6. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:

a)√

x− 1 + 1 = x− 2

b)√

3− 2x− x = 6

c)√

3x + 1−√

2x− 1 = 1

d)√

9 + x− 5 = 2x+13

e)√

x + 4−√

x− 4 = x+1√x+4

f )√

x2 − 13 + x− 13 = 0

g)√

x +√

x− 14

= 1

h)√

x−√

x + 2 = 6√x

2

i) 2x + 1 +√

x2 − x + 3 = 0

j )√

x + 4 = 3−√

x− 1

7. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) 22x+1 = 8x−1

b) 3x−1 = 3x2−1

c) 23x+1

2x2 = 4x

25

d) 2x+1 = 4x

e) 3x+2 = 9

f ) 3x−1 + 3x − 3x+1 = −45

g) 23x − 22x − 4 = 0

h) 32x+1 − 12 · 3x + 32 = 0

i) 2x · 23−2x + 22 = 23

j ) 5x−1 · 52x−3 = 3125

k) 3x+2 + 2 · 3x − 33 = 0

l) 52x−1 =3√

25x2− 14

m) 2x−1 + 2x−2 + 2x−3 + 2x−4 = 960

n) 2x−1 + 2x + 2x+1 = 0

ñ) 22x + 22x−1 + 22(x−1) + 22x−3 + 22(x−2) = 1984

o) 32(x+1) − 28 · 3x + 3 = 0

8. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) log x + log 50 = 3

b) 5 · log(x + 3) = log 32

c) 2 · log x = log(10− 3x)

d) log(x + 3)− log(x− 6) = 1

e) log(x + 9) = 2 + log x

f ) log√

3x + 5 + log√

x = 1

g) log√

3x + 1− log√

2x− 3 = 1− log 5

h) log 2+log(11−x2)log(5−x)

= 2

i) 5 · log x2

+ 2 · log x3

= 2 · log x− log 329

3

9. Resuele los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

{x3

+ y4

= 1324

3x2− y

3= 19

6

b)

{−4x + 3y = −1

x + 2y = 76

c)

{x+y

2= 8− x−y

42(x+y)

3= 2 + 3(x−y)

4

10. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

{1x

+ 1y

= 56

2x + 3y = 2

b)

{xy = 15xy

= 53

c)

{x2 + y2 − 5x− 5y + 10 = 0

x2 − y2 − 5x + 5y + 2 = 0

d)

{(x + y)(x− y) = 7

3x− 4y = 0

11. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

{y2 − 2y + 1 = x√

x + y = 5

b)

{2√

x + 1 = y + 1

2x− 3y = 1

c)

{√3(x + y) + x = 12

2x− y = 6

d)

{√x + y + 2 = x + y

2x− y = 5

12. Resuelve, utilizando el método de Gauss:

a)

5x− 4y + 3z = 9

2x + y − 2z = 1

4x + 3y + 4z = 1

4

b)

2x− 5y + 4z = −1

4x− 5y + 4z = 3

5x − 3z = 13

c)

x + y + z = 2

x− y + z = 6

x− y − z = 0

d)

2x + 3y = 14

x− 2y + z = −3

2x− y − z = 9

13. ¾Por qué número hay que multiplicar 79para que dé 15 como resultado?

14. En un colegio hay un total de 300 alumnos. Del total asisten a unaexcursión 155 alumnos. Se sabe que a la excursión ha ido el 60% delos chicos y el 40% de las chicas. ¾Cuántos chicos y chicas hay en elcolegio?

15. Dos números enteros suman 494. Si se divide uno por el otro, se obtienecomo cociente 4 y como resto 49. Halla los números.

16. El precio de la entrada a un espectáculo es de 5e para un adulto y3e para un niño. Ayer asistieron 60 personas y la recaudación fue de264e . ¾Cuántos niños había entre las 60 personas?

17. En un rectángulo, la altura mide 3cm menos que la base. Si el primeroes de 26cm, calcula las dimensiones del rectángulo.

18. En un triángulo isósceles la altura mide 2cm más que la base. Sabiendoque el área es de 60cm2, halla la medida de los lados.

19. Tres segmentos miden, respectivamente, 8, 22 y 24cm. Si a los tressegmentos les añadimos una misma longitud, el triángulo construidocon ellos es rectángulo. Hallar dicha longitud.

20. Se quiere aprovechar un antiguo estanque circular de 13m de diámetropara convertirlo en una piscina rectángulo, de forma que un lado tenga7m más que el otro y que la diagonal del rectángulo coincida con eldiámetro del estanque. ¾Cuáles serían las dimensiones de la piscina?

21. En un triángulo rectángulo el lado mayor es 4cm más largo que elmediano, el cual, a su vez es 4cm más largo que el pequeño. Calcula lalongitud de sus lados.

5

22. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide 2cm más que elotro y la hipotenusa mide 2cm más que el cateto mayor. Calcula lalongitud de los tres lados del triángulo.

23. Se tiene un cuadrado cuyo lado es 3cm mayor que el lado de otrocuadrado. Si entre los dos cuadrados tienen 149cm2 de área, calcula elárea de cada uno de ellos.

24. El número de animales de una granja es 9000 entre conejos y gallinas.Tienen sobrepeso 4000 animales, que son el 35% de los conejos y el 60%de las gallinas. Calcular el número de conejos y gallinas de la granja.

6


TEMA 4: INECUACIONES Y SISTEMAS

1. Resuelve la siguientes inecuaciones de primer grado:

a) 3− x + 4x ≤ 1− 2(x− 2)

b) 13− 3(x + 5) ≥ 2− x− 5

6

c) 4(x−2)2

− 3(4−x)6

> 1− 4(x−2)6

d) 3− x− 4(x2 − 1)− 7(1−x)3

≤ −4x2 − 5(x+3)9

e) 1− x− x2 − x3 − x4 − x5 − x6 ≥ 5−2x−2x2−2x3−2x4−2x5

2

f ) 3−x3− 2(x−2)

5< 1

g) 2(4−x)7

− 1 > 4− 1−x49

h) 3(x+1)4

+ 2(x− 3)− 1 ≤ x + 35

i) 2(1−x)5

− 1 ≤ 4 + x−23

j ) 3(1−x)4

+ 2x− 1 ≥ 5(1−x)2

+ x

2. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

a) x2 − x− 6 > 0

b) x2 + 3x− 4 ≤ 0

c) 2x2 − 7x + 3 ≤ 0

d) x2 − 6x + 9 ≥ 0

e) x2 − 10x + 25 < 0

f ) x2 − 18 ≤ 0

3. Resuelve las siguientes inecuaciones de grado superior a 2:

a) x3 − 5x2 + 6x ≥ 0

b) (x + 3)(2 + x)(x− 1) < 0

c) (x2 − 9)(x + 1) ≥ 0

d) (4− x2)(x + 5) ≤ 0

e) (1− x2)(x2 + 9) ≤ 0

4. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales:

a) x−4x+2

≥ 0

1

b) x−5x+5

≤ 0

c) 2x−5x+2

≤ 0

d) x2−9x−1

≥ 0

e) xx+1

> 0

f ) x−2x+2

≤ 0

g) xx−3

+ 1 ≤ 0

h) 1x−2

> 2x+3

i) x2−1x+3

≥ 0

j ) 4−x2

x2−9≤ 0

k) x2−3x+2x+3

≥ 0

l) (x−3)(x+3)x(2−x)(x+1)

≤ 0

m) x2−3x+26−x2+x

≤ 0

n) 9−x2

x2−x−2≥ 0

ñ) x(x−1)(x+3)(x2−4)(x+5)

≥ 0

o) x2+4x2−4

− 1x−2

≥ x+3x+2

5. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) |x− 3| ≤ 4

b) |3x + 7| ≤ 5

c) |2x + 5| ≤ 6

d) |3− 2x| ≤ 3

e) |5− 3x| ≤ 7

f )∣∣x−1x+2

∣∣ ≤ 1

g)∣∣x+2x−2

∣∣ ≤ 2

h)∣∣x−3

x

∣∣ ≤ 5

6. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita:

a)

{x2 − 3x > 0

x− 3x2 < 0

2

b)

{2x2 − 5x + 2 > 0

x2 − 6x + 9

c)

{x2 − x− 2 > 0

12 + x− x2 ≥ 0

d)

{x2 − 5x > 0

x2 − x− 2 ≤ 0

e)

{x2 − 5x + 4 ≤ 0

x2 − 3x− 4 > 0

f )

2x2 + x− 1 ≤ 0

1x+1

< x−62

+ 4

x2 − 4 > 0

7. Resuelve y representa los siguientes sistemas de inecuaciones con 2incógnitas:

a)

{−x + 9 ≥ y

2x− 2 ≤ y

b)

{x + 2y ≥ −6

x− y ≤ 7

c)

{x ≥ 2

x− 2y ≤ 4

d)

{x ≥ −1

y − 2 ≤ 5

e)

{x ≥ 2

2x + y ≤ 7

f )

x ≥ 0

y ≥ 0

y ≤ −x + 7

g)

x ≥ 1

y ≥ 0

y ≤ −2x + 6

3

h)

y ≤ 4

y ≥ 1

y ≥ −x + 3

y ≥ x + 3

i)

x + y − 6 ≤ 0

x + y − 2 ≥ 0

y − 2 ≤ x

x− y − 2 ≤ 0

j )

x ≥ −1

y < 3

y − 2x + 3 ≥ 0

2x < 5− y

4


TEMA 5: Semejanza1. ¿Qué altura alcanza sobre una pared una escalera de 4, 5m de larga que

se apoya en el suelo a una distancia de 230cm de la pared?

2. Un globo cautivo se sujeta al suelo con un cable de 100m de largo. Si elviento lo ha alejado 60m de la vertical sobre el amarre, ¿A qué alturase encuentra el globo?

3. En un triángulo rectángulo las medidas de los lados son 3cm, 4cmy 5cm respectivamente. ¿Cuál debe ser el perímetro de un triángulomayor semejante al anterior cuya razón de semejanza es 3?

4. Halla la altura de un edificio que proyecta una sombra de 35m cuandoel ángulo de inclinación de los rayos del Sol es de 45o.

5. Halla la altura de la torreta eléctrica en la figura:

6. Dos pentágonos semejantes tienen áreas de 7cm2 y 49cm2 respectiva-mente. ¿Cuál es la razón de semejanza entre sus lados?

7. El volumen de dos cubos es de 1cm3 y 1000cm3 respectivamente. Cal-cula la razón de semejanza y la arista de cada uno de ellos.

8. El perímetro de una figura es de 43cm. Si dibujamos otra semejante 5veces mayor. ¿Cuál es su perímetro?

9. Los alumnos de 4o de ESO se han ido de viaje a Madrid. En una de lasexcursiones les surge el problema de calcular la altura de un obelisco.Miguel, que mide 1, 7m, proyecta una sombra de 3m y el obelisco, enese mismo instante proyecta una sombra de 18m. ¿Cuál es su altura?

10. Un rectángulo mide 4cm de largo y 3cm de ancho. ¿Cuál es el perímetroy el área de otro semejante cuyos lados miden el triple?

1

11. En el álbum de fotografías hay una en la que estás tú con tu amigode primaria. En ese tiempo tu altura era de 1m y en la fotografía, tualtura es de 7cm y la de tu amigo de 6cm. ¿Cuál era su altura en aqueltiempo?

12. Dos botellas de agua son semejantes y una es el doble que la otra. Si elvolumen de la pequeña es de 0, 5dm3, ¿Cuál es el volumen de la grande?

13. Un cubo tiene de área 25cm2. Calcula su área si la arista aumenta eldoble.

14. Un cubo de arista 1dm tiene de volumen 1l. ¿Qué volumen tendrá uncubo de 2dm de arista?

15. Verdadero o falso:

a) Los dos triángulos isósceles son semejantes:

b) Los dos triángulos rectángulos son semejantes:

c) El ángulo A mide 50o:

2

d) El valor de x es 9:

16. Explica por qué no hay un triángulo de lados enteros, y más pequeño,semejante a otro de lados 25, 10 y 8.

17. Verdadero o falso:

a) Dos triángulos equiláteros no son semejantes.

b) Dos triángulos rectángulos cualesquiera son semejantes.

c) Un triángulo T con ángulos 80o y 90o es semejante a un triánguloT ′ con ángulos 100o y 70o.

d) Dos rectángulos cualesquiera son semejantes.

e) Un triángulo rectángulo con un ángulo de 30o es semejante a otrotriángulo rectángulo con un ángulo de 60o.

18. Una lata cilíndrica de fabada, que se anuncia para dos raciones, tieneun radio de 5cm y una altura de 15cm. Otra lata de tamaño familiar,semejante a la anterior se anuncia para 6 personas. ¿Qué volumen y quédimensiones deberá tener? ¿Qué relación existe entre las superficies dehojalata de una y otra lata?

19. Un tetraedro regular tiene una arista de 3cm. ¿Qué arista y que super-ficie tiene otro tetraedro que tenga un volumen 8 veces mayor?

20. Las dimensiones de los negativos de una máquina fotográfica son 17x13mm.

a) Si una foto de esa máquina tiene 15cm de ancho, ¿Cuánto midede largo?

b) ¿Puede obtenerse de esa máquina una foto de 30x16cm?

3


TEMAS 6 Y 7: Relaciones trigonométricas yresolución de triángulos.

1. Dadas las siguientes razones trigonométricas, encuentra las que faltanutilizando las fórmulas trigonométricas:

a) sen α = 12, α < π

2

b) cos α = −49, α > π

c) tg α = 92, α < π

d) cosec α = 2, α < π2

e) sec α = −94, α > π

f ) cotg α = 12, α > π

2

g) sen α = 12

y cos β = −37, α < π

2, β < π

h) tg α = −52

y cotg β = 13, α < π, β < 3π

2

i) cosec α = −3 y sec β = −97, α > 3π

2, β > 3π

2

j ) cos α = −49

y tg β = −97, α < π, β > π

2. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen:

a) a = 6m y b = 4m. Resolver el triángulo

b) b = 3m y c = 5m. Resolver el triángulo.

3. Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terrenose observa su copa bajo un ángulo de 30◦ y si nos acercamos 10m, bajoun ángulo de 60◦.

4. Resuelve el triángulo (ángulos y lados) en cada caso:

a) A = 43o, B = 27o y a = 5m.

b) b = 9m, c = 12m y A = 25o.

5. Un poste vertical de 3m proyecta una sombra de 2m; ¿qué altura tieneun árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4, 5m?

6. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que seconoce uno de sus ángulos B = 29o y el cateto opuesto b = 4, 5m.

1

7. Desde un punto A del suelo se observa una torre y se la ve bajo unángulo α = 31o. Se avanza 40m en dirección a la torre, se mira y sela ve, ahora, bajo un ángulo β = 58o. Halla la altura de la torre y ladistancia de A al pie de la torre.

8. De un rombo ABCD se conocen la diagonal que mide AC = 4m y ellado AB = 5m. Halla los ángulos del rombo y su otra diagonal.

9. Desde un cierto punto del terreno se mira a lo alto de una montaña yla visual forma un ángulo de 50o con el suelo. Al alejarse 200m de lamontaña, la visual forma 35o con el suelo. Halla la altura de la montaña.

10. Simplifica:1

cos x− cos x − tg2 x · cos x

11. Simplifica:(1 − cos x) · (1 + cos x)

sen x

12. Simplifica:cos x − cos3 x

sen x − sen3 x

13. Desde un barco se ve el punto más alto de un acantilado con un án-gulo de 74o. Sabiendo que la altura del acantilado es de 200m, ¿a quédistancia se halla el barco del pie del acantilado?

14. Si la sombra de un poste es la mitad de su altura, ¿qué ángulo formanlos rayos del sol con el horizonte?

15. En un triángulo isósceles el lado correspondiente al ángulo desigualmide 7, 4m y uno de los ángulos iguales mide 63o. Halla la altura y elárea.

16. Demuestra las siguientes igualdades:

a) sen α−cosec αcos α−sec α

= cotg3 α

b) 2 sen2 α − 1 = sen4 α − cos4 α

c) 1+sec α1−sec α

= cos α+1cos α−1

d) tg α + cotg α = cosec αcos α

e) 11−sen α

+ 11+sen α

= 2cos2 α

f ) sen α1−cos α

− 1+cos αsen α

= 0

2

g) 1 + 1cotg2 α

= 11− 1

cosec2 α

h) 1sec α+tg α

= sec α − tg α

i) sen3 α+cos3 αsen α+cos α

= 1 − sen α cos α

j ) sen α(1 − cos α)(1 + sec α) = sen α cos α

k) sen α(cos2 α−sen2 α)cos α(1−tg2 α)

= sen3 α+cos3 αsen α+cos α

l) sen2 αcos α

= sen α+tg αcotg α+cosec α

m) 1 − cos6 α = sen2 α(sen4 α + 3 cos2 α)

17. Responde a las siguientes preguntas y razones la respuesta:

a) ¿Puede el coseno de un ángulo del segundo cuadrante valer 12?

b) ¿Puede el seno de un ángulo del segundo cuadrante valer 1312

?

c) ¿Puede la tangente de un ángulo del tercer cuadrante valer 1312

?

d) ¿Puede la tangente de un ángulo del cuarto cuadrante valer 1312

?

e) ¿Puede el seno de un ángulo del segundo cuadrante valer 12?

18. Sin ayuda de la calculadora, indica los valores de las siguientes razonestrigonométricas, pasando a radianes cada uno de los ángulos de cadarazón:

a) sen150o

b) cos−330

c) tg 315o

d) sen 225o

e) tg−315o

f ) tg 150o

g) sen 300o

h) cos 135o

i) tg 1305o

j ) sen−210

k) cos 210o

l) tg 300o

19. Indica qué ángulos cumplen las siguientes relaciones:

3

a) sen x = −√

32

b) cos x = 0

c) tg x =√

33

d) sen x = 1

e) cos x =√

22

f ) tg x = −√

33

20. Dos observadores situados a 70m de distancia ven un globo situadoentre ellos y en el mismo plano vertical bajo ángulos de elevación de25o y 70o. Halla la altura del globo y las distancias que los separan decada uno de los dos observadores.

21. La diagonal de un rectángulo mide 7cm y forma con uno de los ladosun ángulo de 39o. Calcula la medida de los lados del rectángulo, asícomo su área.

22. Calcula el área de un rombo sabiendo que uno de sus ángulos es de 45o

y que su lado mide 2m.

23. Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulode 40o, y si se retrocede 4m se ve bajo un ángulo de 28o. Calcula laaltura del árbol y la anchura del río.

24. Desde un punto del suelo se ve la altura de una torre con un ángulo deelevación de 48o. Si se retrocede 30m, se ve la misma torre pero bajoun ángulo de 24o. Calcula la altura de la torre.

25. La altura de los ojos de un observador es de 1, 6m. El observador veel punto más alto de un poste con un ángulo de elevación de 33o. Ladistancia entre los pies del observador y el pie del poste es de 6m.Calcula la altura del poste.

26. De un triángulo sabemos que a = 6m, B = 45◦ y C = 105◦. Calculalos restantes elementos.

27. De un triángulo sabemos que a = 10m, b = 7m y C = 30◦. Calcula losrestantes elementos.

28. Resuelve el triángulo de datos A = 30◦, a = 3m y b = 8m.


4


31. Resuelve el triángulo de datos a = 15m, b = 22m y c = 17m.

32. Calcular el radio del círculo circunscrito en un triángulo donde A = 45◦,B = 72◦ y a = 20m.

33. El radio de una circunferencia mide 25m. Calcula el ángulo que for-marán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremosde una cuerda de longitud 36m.

34. Las diagonales de un paralelogramo miden 10cm y 12cm, y el ánguloque forman es de 48◦. Calcular los lados.

5


TEMA 8: Geometría analítica.1. Dados los vectores ~u = (−2, 3), ~v = (0,−1) y ~w = (3, 2), calcula:

a) 4~u − 7~v − ~w.

b) |~u| , |~v| , |~w|.c) ~u · ~v − ~u · ~w + ~v · ~w.

d) El ángulo formado por cada par de vectores.

e) x, sabiendo que el vector ~p = (2, x) es paralelo a ~w

f ) x, sabiendo que el vector ~q = (−1, x + 1) es perpendicular a ~v

g) x, sabiendo que el vector ~r = (x, x) es paralelo a ~u

h) x, sabiendo que el vector ~s = (−x, 3) tiene por módulo |~u| + |~v|

2. Halla el punto medio del segmento de extremos P (2, 1) y Q(−4, 3).

3. Halla el simétrico, A′, del punto A(1, 0) respecto de B(2,−8).

4. Determinar si los puntos A(3, 1), B(5, 2) y C(1, 0) están alineados.

5. Halla el valor de k para que los puntos A(1, 1), B(0, 3) y C(2, k) esténalineados.

6. a) Escribe la ecuación general de la recta r que pasa por los puntosA(1, 0) y B(3, 6).

b) Halla la ecuación de la recta s paralela a y = 12x que pasa por el

punto C(4, 4).

c) Calcula el punto de corte de r y s.

7. ¿Es un paralelogramo ABCD si es A(2, 0), B(0,−6), C(2, 2) y D(4, 8).?

8. Sean los puntos A(3, 2), B(−2, 72), C(4,−5

3). Calcular las coordenadas:

a) Del punto D tal que ABCD sea un paralelogramo.

b) Del punto E tal que ABEC sea un paralelogramo.

c) Del punto F tal que ACBF sea un paralelogramo.

d) Calcula las coordenadas de los vectores ~FA y ~AD. ¿Qué deduces?.

9. Calcular todas las ecuaciones de la recta que:

1

a) Pasa por los puntos A(0, 2) y B(−2,−1).

b) Pasa por A(1, 3) y tiene pendiente m = −2.

c) Pasa por A(−1, 3) y tiene por vector director ~u = (2, 1)

d) Es paralela a r : 3x + y + 4 = 0 y pasa por A(1,−2)

e) Es ortogonal a y + 1 = 0 y pasa por A(−3, 2).

f ) Es paralela al eje OX y pasa por el punto A(3,−1)

g) Pasa por A(2,−1) y es paralela a y = 13x + 1.

h) Es paralela a la recta x = 1 y pasa por el origen de coordenadas.

i) Es perpendicular a la recta x = 1 y pasa por el punto de corte de

las rectas r :

{x = 1 − λ

y = 2y s : (x, y) = (1, 1) + λ(1,−4).

j ) Tiene por pendiente m = 5 y su ordenada en el origen es 7.

k) Es perpendicular a una recta de pendiente m = −23

y pasa por elpunto de corte de las rectas de los apartados b) y c).

10. Los puntos A(3,−2), B(−1,−1) y C(1, 1) son los vértices de un trián-gulo. Calcular:

a) Perímetro del triángulo.

b) Ecuaciones de las tres alturas del triángulo.

c) Ecuaciones de las tres medianas del triángulo.

d) Ecuaciones de las tres mediatrices del triángulo.

e) Punto intersección de las alturas (llamado Ortocentro).

f ) Punto intersección de las medianas (llamado Baricentro).

g) Punto intersección de las mediatrices (llamado Circuncentro).

h) Área del triángulo.

11. Los puntos A(0,−2), B(−2, 3) y C(1, 2) son los vértices de un triángulo.Calcular:






2




12. Los puntos A(−4, 0), B(0, 3) y C(2, 0) son los vértices de un triángulo.Calcular:









13. Los puntos A(−3, 2), B(1, 1) y C(−1,−1) son los vértices de un trián-gulo. Calcular:









14. Los puntos A(0,−2), B(0, 0) y C(1,−1) son los vértices de un triángulo.Calcular:






3




15. Los puntos A(5, 2), B(3, 6), C(−1, 4) y D(0, 3) son los vértices de uncuadrilátero. Calcular:

a) Ecuaciones de las diagonales.

b) Ecuaciones de los lados.

c) Longitud de las diagonales y de los lados.

d) Punto de corte de las diagonales.

e) Área del cuadrilátero.

16. Calcula todas las ecuaciones de la mediatriz del segmento determinadopor los puntos A(1,−2) y B(3, 0). ¿Cuál es la distancia de este segmen-to?

4


TEMA 9: Límites de sucesiones. El número e.1. ¿A partir de qué término las diferencias |an − 2| son menores que una

milésima, siendo an = 2nn+1

?

2. ¿A partir de qué término la sucesión de término general an = 1n

seencuentra próxima a cero con error menor que 0,001?

3. ¿Qué términos de la sucesión de termino general an = 2nn+1

se aproximana 2 con un error menor que ε = 10−4?

4. Resuelve los siguientes límites:

a)

lımn→∞

1

2n+

1

3n2+ 1

b)lım

n→∞n10 − n8 − n6

c)lım

n→∞−2n + 5

d)

lımn→∞

5n + 3

n + 4− 3n2 − 7

n2 + 8

e)

lımn→∞

4− 2

n+

3

n2

f )lım

n→∞3n8 − n6

g)lım

n→∞−5n2 + 8n− 6

h)

lımn→∞

(3n2 + 2n− 5

4n2 + n− 6

) n+22n−1

i)

lımn→∞

(n + 9

2n− 7

)n

1

j )

lımn→∞

(n2 − 5n + 9

n + 10

) −nn+1

k)

lımn→∞

(3n2 − 4

2n2 + n− 1

)4n

l)

lımn→∞

(2n + 3

n2

)−n

5. Resuelve los siguientes límites:

a)

lımn→∞

2n + 1

2− 3n2 − 5n

3n + 4

b)

lımn→∞

2n2 − 5n + 7

n + 2− n2 + 5

n + 1

c)

lımn→∞

2n2 − 5n + 7

n + 3− 2n

d)lım

n→∞

√n2 − n− n

e)lım

n→∞

√n2 − 2n−

√n2 + 4

f )lım

n→∞n−

√n2 + 10n

g)lım

n→∞

√n2 − 3n + 1−

√n2 + 1

h)lım

n→∞

√4n2 + 3n + 1− 2n

i)lım

n→∞

√n−

√n2 + 1

2

j )

lımn→∞

√n +

√n−

√n

k)

lımn→∞

1√n + 1− n

l)lım

n→∞

√n2 + 1− n

6. Calcula los siguientes límites:

a)

lımn→∞

(3n2 + 1

3n2 − 1

) n2

n+1

b)

lımn→∞

(2n− 3

2n + 4

)n2−2nn+1

c)

lımn→∞

(2n + 1

2n + 4

) n2

n+5

d)

lımn→∞

(n− 2

n

)−n

e)

lımn→∞

(4n− 3

4n + 2

) 5n2−1n

f )

lımn→∞

(1 +

4

n

)n−3

g)

lımn→∞

(n− 2

n + 1

)n2−1n

3

h)

lımn→∞

(n + 6

n + 3

) 2n5

i)

lımn→∞

(n2 − 5n + 1

n2 − 7n + 3

)n2+5n1+n

j )

lımn→∞

(n2 + 5

n2 − 7n + 1

) 2n3

4


TEMA 10: Funciones.1. Dadas las gráficas de las siguientes funciones, expresa los intervalos

de monotonía, extremos relativos y absolutos, simetría, periodicidad,cortes con los ejes, dominio e imagen:

2. Dada la función f(x) = 1+x2

x2 calcula:

a) Dominio.

b) Simetrías.

c) Periodicidad.

d) Cortes con los ejes.

3. Dada la función f(x) =√

1−x2

3+xcalcula:

a) Dominio.

b) Simetrías.

1

c) Periodicidad.


4. Dada la función f(x) = 3

√√4−x2

x2+3calcula:

a) Dominio.

b) Simetrías.

c) Periodicidad.


5. Dada la función f(x) = x + x3−x√9−x2 calcula:

a) Dominio.

b) Simetrías.

c) Periodicidad.


6. Dada la función f(x) = 2+x8√x4−16

calcula:

a) Dominio.

b) Simetrías.

c) Periodicidad.


7. Dadas las funciones f(x) = 1−x3x+5

, g(x) =√

x2 − 9, h(x) = 15x+8

,j(x) = x2+9

x2 , calcula:

a) Dom(f), Dom(g), Dom(h) y Dom(j).

b) f−1, h−1 y j−1

c) f ◦ h, j ◦ g, f ◦ h ◦ j, j ◦ h ◦ f , f ◦ h−1 ◦ j−1 y f ◦ h ◦ j ◦ g.

8. Calcula f−1, g−1, f ◦g, g ◦f , f ◦g−1, f−1 ◦g, dominio, simetrías, cortescon los ejes y periocidad de los siguientes pares de funciones:

a) f(x) = 3x + 5 y g(x) = 13x+5

b) f(x) =√

1− x2 y g(x) =√

3x2 + 9

c) f(x) = 5x+23x+7

y g(x) = 2x+72

d) f(x) = xx−1

y g(x) = 23x− 5

2

e) f(x) = x y g(x) = 3x−12x+9

f ) f(x) = 3√

x3 − 2 y g(x) = 3√

4x3 + 9

g) f(x) = 1 y g(x) = 2

h) f(x) = x y g(x) = 5−5x5x−5x2

i) f(x) = 1x

y g(x) = x3

j ) f(x) = 2−3xx−9

y g(x) = 7x

3

cuadernillo matemáticas 4ºeso (1)

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