cuadernillo 4ºeso b. gallego

________________________________ IES __________________________

IES _______________________

CADERNO Nº 1 NOME: DATA: / /

Os números reais - 1 -

Os números reais

Contidos

1. Números racionais e irracionais Decimais periódicos Fracción xeratriz Números racionais Números irracionais Números reais 2. Calculando con números reais Aproximacións Medida de erros Notación científica 3. A recta real Ordenación dos números reais Valor absoluto Intervalos

Obxectivos

• Clasificar os números reais en racionais e irracionais.

• Aproximar números con decimais ata unha orde dada.

• Calcular a cota de erro dunha aproximación.

• Representar na recta números reais.

• Expresar e representar intervalos de números reais.

• Utilizar a calculadora para facilitar os cálculos. Autor: José R. Galo Sánchez Baixo licenza

Versión en galego: José Manuel Sánchez González Creative Commons Se non se indica o contrario.

IES _______________________



Observa a animación que hai nesta páxina e responde as seguintes preguntas: a) Que é o que se está a representar na animación?

b) Están representadas na imaxe da esquerda todas as cifras decimais que ten o número pi? _____

c) Cal é ou cal podería ser a última cifra do número pi? __________________________ d) Cantas cifras ten o número pi? _________

Se tes dificultades coas operacións con fraccións, podes repasar pulsando o botón.

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

1. Números racionais e irracionais

1.a. Decimais periódicos • Le o texto de pantalla. a) Cando achamos a expresión decimal dunha fracción, cantos tipos obtemos? _______ b) Cales son eses tipos de decimais? ________________, ______________ e __________ c) Por que ao dividir dous números sempre chega o momento en que se repiten as cifras do

cociente?________________________________________________________________ • Con axuda da escena, obtén a expresión decimal das seguintes fraccións:

a) 7

12= b)

15

31= c)

8

17=

b) Escribe diferentes exemplos de fraccións a expresión decimal das cales sexa: Exacta

Periódica pura

Periódica mixta

• Pulsa no botón

para facer uns exercicios.

Pulsa


Antes de empezar

IES _______________________



1.b. Fracción xeratriz • Vexamos agora como obter, a partir dunha expresión decimal exacta ou periódica, a súa

fracción xeratriz. Mira a escena da esquerda e apoiándote nela, determina a fracción xeratriz de tres expresións decimais de cada tipo: Exacta

Periódica pura

Periódica mixta

• Pódense obter tres regras para construír mecanicamente unha fracción xeratriz para cada

tipo de expresión decimal. Esas regras son as seguintes: Exacta

Exemplo:

Periódica pura

Exemplo:

Periódica mixta

Exemplo:

• Pulsa no botón

para facer uns exercicios. Insiste ata que non cometas ningún erro.

Pulsa


1.c. Números racionais e a súa representación gráfica

• Toma regra e compás que imos representar fraccións (números racionais) nunha recta. A cada fracción vaille corresponder un punto da recta. Fai polo menos os exemplos que se indican a continuación: Representación dun decimal periódico o valor da cal está entre 0 e 1.

3

2

5

3

IES _______________________



Representación dun decimal periódico o valor da cal é maior que 1.

4

19

3

22

Representación dun decimal periódico negativo.

-5

23

-3

7

Pulsa


1.d. Números irracionais. Representación gráfica dalgúns deles

• Toma regra e compás e, seguindo o exemplo da escena, representa:

Representación gráfica de 2 .

• Por que 2 non é un número racional? ______________________________________

____________________________________________________________________ • Aos números que non son racionais denomínaselles: ________________

• Le e comprende a demostración de por que 2 non é un número racional.

Pulsa


IES _______________________



1.e. Números reais.

• Toma regra e compás e, seguindo o exemplo da escena, representa:




EXERCICIOS 1. Calcula a fracción xeratriz:

a) 2,3751000

b) 43,666... c) 4,3666...

IES _______________________



Pulsa


2. Representa na recta:

a) 2/3 b) 19/4 =4 + 3/4 c) -23/5 = -5 + 2/5

3. Determina qué tipo de decimais son os seguintes:

36

27)c

22

57)b

73

92)a

4. Representa 17 :

5. Decide se os seguintes números son racionais ou irracionais:

-5,

0,

π/2,

16 ,

7/3,

2,313131….,

15 ,

1,01001000100001… ,

-4/5,

4,65

IES _______________________



2. Calculando con números reais

2.a. Aproximacións • Le o texto da páxina e despois fíxate na descrición que se fai na escena do que é unha

aproximación por defecto e por exceso, e despois a diferenza entre truncar e redondear. a) Na aproximación por defecto dun número, a aproximación é sempre _______ que o

devandito número. Por exemplo: a. Ao aproximar por defecto 1,66666666... ata as dezmilésimas, temos o número:

__________________ b. Ao aproximar por defecto 3,1415926535... ata as milésimas, temos o número:

__________________ b) Na aproximación por exceso dun número a aproximación é sempre _______ que o

devandito número. Por exemplo: a. Ao aproximar por exceso 1,66666666... ata as dezmilésimas, temos o número:

__________________ b. Ao aproximar por exceso 3,1415926535... ata as milésimas, temos o número:

__________________ c) Ao truncar un número, sempre temos unha aproximación por _________. d) Ao redondear un número, obtemos unha aproximación por defecto se a cifra seguinte á

que se aproxima é ______________________ e unha aproximación por exceso se a cifra seguinte á que se aproxima é __________________________.

• Pulsa no botón

para facer os exercicios que aí se propoñen.

O radio dunha circunferencia é de 3,96 metros. Utilizando o valor de π que che dá a

calculadora, descubre: 1. A lonxitude da circunferencia, truncando o resultado aos centímetros.

2. A lonxitude da circunferencia, redondeando o resultado aos centímetros.

3. A área do círculo, truncando o resultado aos centímetros cadrados.

4. A área do círculo, redondeando o resultado aos centímetros cadrados.

Pulsa


IES _______________________



2.b. Medida de erros • Le o texto que se inclúe na parte dereita da páxina e

a) Define que é o erro absoluto que se comete nunha aproximación:

b) Define o erro relativo que se comete nunha aproximación:

c) Que é a porcentaxe de erro?

• Fixándote na escena completa a seguinte táboa para o número974

266

Aproximación por defecto

Erro absoluto

Erro relativo

Aproximación por exceso

Erro absoluto

Erro relativo

1 cifra decimal

2 cifras decimais

3 cifras decimais

4 cifras decimais

Fai o mesmo para o número270

5

Aproximación por defecto

Erro absoluto

Erro relativo

Aproximación por exceso

Erro absoluto

Erro relativo

1 cifra decimal

2 cifras decimais

3 cifras decimais

4 cifras decimais

• Pulsa no botón


Copia o enunciado e os datos para cada exercicio: Exercicio 1:

IES _______________________



Exercicio 2

Pulsa


2.c. Notación científica • Le detidamente a explicación da escena interactiva e vai enchendo o seguinte cadro:

Notación usual Notación científica Diámetro da galaxia de Andrómeda en anos-luz

Distancia á Terra de Andrómeda en anos-luz

Velocidade da luz en km/s Diámetro de Andrómeda en km Distancia á Terra de Andrómeda en km

Tamaño dunha pulga en mm Tamaño da aresta dun cristal de silicio en mm

Tamaño da escama da á dunha bolboreta en mm

Tamaño dunha bacteria do cólera en mm

Tamaño dun virus en mm Tamaño dun átomo de osíxeno en mm

• Por que é conveniente utilizar a notación científica cando traballamos con números moi pequenos ou moi grandes?

• Pulsa no botón


Copia o enunciado e os datos para cada exercicio: Exercicio 1:

IES _______________________



Exercicio 2. Pasar de forma científica a decimal. Realiza cinco exercicios deste tipo: Científica Decimal

Exercicio 3. Pasar de forma decimal a científica. Realiza cinco exercicios deste tipo: Decimal Científica

Exercicio 4. Exercicio 5.

EXERCICIOS

6. radio dunha circunferencia é 3,96 m. Utilizando a calculadora e o valor de π que da, calcula:

a) A lonxitude da circunferencia truncando o resultado a cm.

b) A lonxitude da circunferencia redondeando o resultado a cm.

c) A área do círculo truncando a cm2

d) A área do círculo redondeando a cm2

IES _______________________



Pulsa


3. A recta real 3.a. Ordenación de números reais

Le o texto da páxina e da escena e dende ela accede ao vídeo que nos relata a carreira na determinación das cifras do número pi.

• . Que sentido ten esa carreira?

• . Ten algunha aplicación práctica coñecer cen millóns de cifras de pi?

• . E un googol de cifras de pi?

• . Cada punto na recta real correspóndese cun ________________

• . Cada número real é representable como un punto na _____________________

• Dados dous números reais, a e b, diremos que a é menor que b, a ___ b, se ao representalos a está á _____________________ de b.

• a é menor que b se a diferenza ___________ é ______________.

• Os números á dereita do cero son os _________ e os da esquerda son os ____________.

Preme no botón


Le en primeiro lugar as indicacións, que che facilitarán a resolución dos exercicios Exercicio 1: Comparar números racionais. Fai cinco exercicios deste tipo.

7. Os radares de tráfico miden a velocidade dos coches en rúas e estradas. A lexislación vixente ten en conta que en toda medición se cometen erros, por iso concede unha marxe de erro do 10% (ou un erro relativo de 0,10). Tendo isto en conta, calcula a velocidade máxima á que pode ir un coche sen infrinxir a lei nos casos:

a) Autoestrada con límite de velocidade de 120 km/h b) Estrada con límite de velocidade de 90 km/h c) Vía urbana con límite de velocidade de 50 km/h

8. Escribe en notación científica ou en notación decimal respectivamente:

a) 0,000000002145 = b) 3,589·109 =

b) 1523000000000 = d) 5,267·10-5=

IES _______________________



Exercicio 2: Comparar radicais. Fai cinco exercicios deste tipo. Exercicio 3: Comparar números en notación científica. Fai cinco exercicios deste tipo. Exercicio 4: Ordenar de menor a maior. Fai cinco exercicios deste tipo.

Preme


3.b. Distancias entre números. Valor absoluto.

• Le o texto desta páxina e as diferentes pantallas na escena. Responde as seguintes preguntas:

a) A que denominamos valor absoluto dun número?

b) Como se representa o valor absoluto do número a?

c) A distancia do punto na recta real que representa ao número a é:

d) Dados dous números a e b, a distancia entre os puntos que os representan é:

e) Cal é a desigualdade triangular no valor absoluto?

f) Cando |||||| baba +=+ ?

g) A que é igual o valor absoluto do produto de dous números? E o valor absoluto do

cociente?

• Preme no botón


Exercicio 1. Para tres exemplos que che propoña a escena, escribe e calcula:

a b |a| |b| d(a, b)

Exercicio 2. Para tres exemplos que che propoña a escena, escribe e calcula:

a b |a+b| |a-b| || ba ⋅ ||b

a

Pulsa


IES _______________________



3.c. Intervalos • Le o texto desta páxina e as diferentes pantallas na escena. Responde as seguintes

preguntas: a) A que denominamos intervalo de extremos a e b? __________________________

__________________________________________________________________

b) Escribe matematicamente a definición dos diferentes tipos de intervalos: Intervalo Exemplo Representación gráfica [ ] =b,a

( ) =b,a

[ ) =b,a

( ] =b,a

( ] =∞− b,

[ ) =+∞,a

c) Que é un contorno simétrico de centro c e radio r. Escríbeo matematicamente, pon un exemplo e represéntao.

d) Que é a lonxitude dun intervalo? Pon varios exemplos.

• Pulsa no botón


Repíteos tantas veces como sexa necesario ata que non te equivoques.

Pulsa


EXERCICIOS

9. Ordenar de menor a maior:

6320)f30694)e4605

5952091)d

5560

8243924)c1010314,6)b1097509,5)a 68 −−⋅⋅ −

10. O radio dunha circunferencia é de 4 m. Calcula a súa lonxitude

a) Truncando o resultado primeiro a cm. e logo a m.

b) Redondeando o resultado primeiro a cm. e logo a m.

11. Calcula o valor absoluto dos números a=-3 e b=5, e a distancia entre eles.

12. Calcula |a+b| |a-b| |a·b| e |a/b|

13. Indica qué puntos pertencen ao intervalo en cada caso:

a) Intervalo ( -74,-52]. Puntos: a) -53 b) -74 c) 11

b) Intervalo (-∞,75]. Puntos: a) 32 b) 75 c) 76

IES _______________________



Lembra o máis importante - RESUMO

Os números reais están compostos polos ___________ e polos __________. Os números racionais poden escribirse sempre como unha __________ e a súa expresión decimal é _______________________. A expresión decimal dun número irracional é _____________________________. Un número irracional non pode escribirse como unha ___________. Que diferenza hai nunha aproximación por defecto e unha por exceso? ___________________ ________________________________________________________________________. Que é redondear? ________________________________________________________. Que é truncar? __________________________________________________________. O erro absoluto cometido nunha aproximación é: _______________________________. O erro relativo é: _________________________________________________________. A notación científica utilízase para representar números _______________ e ____________. Con esta notación obsérvase rapidamente a orde de __________ do número representado. Para que un número estea en notación científica ha _________________________________ ________________________________________________________________________. O valor absoluto dun número dános a distancia do punto que representa ese número na recta real ao _____. A distancia entre dous números a e b vén dada polo valor absoluto de ___________. Un intervalo aberto de extremos a e b é _______________________________________. Denótase como ___________ e graficamente represéntase: Un intervalo pechado de extremos a e b é _______________________________________. Denótase como ___________ e graficamente represéntase: Un intervalo semiaberto á esquerda de extremos a e b é ________________________ _________________________. Denótase como ___________ e graficamente represéntase:

Pulsa


IES _______________________



Para practicar

Agora vas practicar resolvendo distintos EXERCICIOS. Nas seguintes páxinas atoparás EXERCICIOS de

Operacións con números racionais Tipos de aproximacións Cálculos aproximados Intervalos

Procura facer polo menos un de cada clase e, unha vez resolto, comproba a solución.

Completa o enunciado cos datos cos que che aparece cada EXERCICIO na pantalla e despois resólveo. É importante que primeiro o resolvas ti e despois comprobes no ordenador se o fixeches ben.

Pulsa


Operacións con números racionais

1. Calcula os valores exactos de A+B e de B+C.

A= ________

B= ________

C= ________

2. Calcula os valores exactos de A-B, C-A e B-C.

A= ________

B= ________

C= ________

3. Calcula os valores exactos de A·B, A·C e B·C.

A= ________

B= ________

C= ________

4. Calcula os valores exactos de A/B, de C/A e de B/C.

A= ________

B= ________

C= ________

Pulsa


IES _______________________



Tipos de aproximacións

5. Aproximar radicais. Considerando como exacto

o valor de _______ = __________ . Escribir as

aproximacións por defecto, por exceso e redondeos de orde primeira, segunda, terceira, cuarta e quinta.

6. Medidas aproximadas. A fita métrica que aparece ten divisións ata o medio centímetro. Utilizámola para medir unha vara e obtemos o valor: ____________. Entre qué valores exactos se atopa a lonxitude real, supoñendo que ese valor é: a) por defecto, b) por exceso, c) redondeo a cm?

7. Poboacións aproximadas. Dinnos que a poboación desta cidade é _____________ habitantes e que as 4 primeiras cifras desta cantidade son significativas. Entre qué valores se acha realmente a poboación da cidade?

Cálculos aproximados

8. Suma e produto. Os valores X=_________ e Y=___________ son senllas aproximacións por defecto de dous números reais descoñecidos A e B. Descubre entre qué valores exactos se achan A+B e A·B e con qué precisión poden darse os resultados.

9. Calcular lonxitude. Debido a unhas obras quérese rodear a fonte da imaxe cunha tea metálica protectora. Utilizando un flexómetro graduado en milímetros, obtense a lonxitude do diámetro da fonte que é: ____________. Calcula a lonxitude da tea metálica usando o número pi coa cantidade de cifras decimais axeitada.

10. Calcular superficie. Copia o enunciado e resolve.

IES _______________________



Intervalos Copia os intervalos e realiza cinco exercicios de cada tipo

11. Do tipo: Intersección

a)

b)

c)

d)

e)

12. Do tipo: unión

a)

b)

c)

d)

e)

13. Do tipo: diferenza

a)

b)

c)

d)

e)

14. Do tipo: -A

a)

b)

c)

d)

e)

Pulsa


IES _______________________



Autoavaliación

Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveo; despois introduce o resultado para comprobar se a solución é correcta.

Escribe a fracción xeratriz do número _________.

A milla inglesa mide 1609,34 m, redondea a km ______ millas

___________________________________ ___________________________________

Calcula o erro absoluto e o relativo (en %) que comentemos cando aproximamos ___________ por ___________.

Coa calculadora escribe un redondeo e un truncamento ás milésimas de ________.

O número ___________ é unha aproximación de x cunha cota de erro absoluto de ______________ entre qué valores está o número exacto x?

Calcula con tres cifras significativas o número de moléculas dun gas que, en condicións normais, cabe nunha pelota de _________ de radio.

Escribe o intervalo da figura debuxándoo previamente.

Escribe o intervalo formado polos números x que cumpren ______________

__________________________________ __________________________________

IES _______________________



Para practicar máis

1. Dados os números:

A=2,7 B=3,292929... C=0,01030303...

Calcula os valores exactos de A+B,C-A e A·C. (Debes calcular as fraccións xeratrices de A, B e C e restar).

2. Considerando 7,4833147735.... como o

valor exacto de 56 , escribe as

aproximacións por defecto, por exceso e redondeos de orde primeira e segunda (décimas e centésimas, respectivamente).

3. A fita métrica que aparece abaixo ten unhas divisións ata o medio cm. Utilizámola para medir unha vara e obtemos o valor que se mostra nela. Entre qué valores exactos se atopa a lonxitude real, supoñendo que ese valor é: a) por defecto; b) por exceso; c) redondeo a cm.?

As aproximacións poden utilizarse tamén con números enteiros. Para xeneralizar esta idea, usaremos o concepto de cifras significativas: "Se un número N é un valor aproximado doutro número P, diremos que N ten n cifras significativas se as primeiras n cifras de N coinciden coas n primeiras cifras de P. (Non se consideran cifras significativas os ceros, a súa única finalidade é situar a coma decimal)". A definición anterior é bastante intuitiva pero non sempre é totalmente correcta; por iso precisamos un pouco máis: "Diremos que N ten n cifras significativas se o número formado coas n primeiras cifras de N difire do número formado coas n primeiras cifras de P (eliminando as comas decimais se as houbese) en menos de 0,5".

4. Dinnos que a poboación dunha cidade é de 1579000 habitantes e que as 4 primeiras cifras desta cantidade son significativas. Entre qué valores se acha realmente a súa poboación?

5. Os valores X=6,235 e Y=92,88 son as aproximacións por defecto de dous números reais descoñecidos A e B. Descubre entre qué valores exactos se achan A+B e A·B e con qué precisión poden darse os resultados.

6. Debido a unhas obras quérese rodear a fonte da imaxe cunha tea metálica protectora. Utilizando un flexómetro graduado en mm, obtense a lonxitude do diámetro que se indica. Calcula a lonxitude da tea metálica usando o número pi coa cantidade de decimais axeitada.

7. A distancia media de Xúpiter ao Sol é de 7,7833·108km. Todas as cifras son significativas e supoñemos que a órbita do planeta arredor do Sol é circular. Calcula: a) A cota de erro en km; b) A área do círculo que describe o planeta.

Dados dous subconxuntos, A e B, de certo conxunto de referencia, E, a súa intersección, A∩B, é o conxunto de elementos comúns a ambos os dous; a súa unión, AUB, é o conxuntos formado por todos os elementos de A e todos os de B; a súa diferenza, A-B, é o conxunto formado por todos os elementos de A que non pertencen a B. O complementario de A, -A, é o conxunto formado por todos os elementos do conxunto de referencia que non pertencen a A.

8. Determina os conxuntos A∩B, AUB, A-B e -A nos casos seguintes:

1. A = [ -11,-9] B = ( -1,6)

2. A = [ -5,5] B = (3,4)

3. A = [ -2,7] B = ( -2,6)

IES _______________________


Potencias e radicais - 1 -

Potencias e radicais

Contidos 1. Radicais

Potencias de expoñente fraccionario Radicais equivalentes Introducir e extraer factores Cálculo de raíces Reducir índice común Radicais semellantes

2. Propiedades

Raíz dun produto Raíz dun cociente Raíz dunha potencia Raíz dunha raíz

3. Simplificación

Racionalizar Simplificar un radical

4. Operacións con radicais

Suma e resta Multiplicación de radicais División de radicais

Obxectivos

• Calcular e operar con potencias de expoñente enteiro.

• Recoñecer as partes dun radical e o seu significado.

• Obter radicais equivalentes a un dado.

• Expresar un radical como potencia de expoñente fraccionario e viceversa.

• Operar con radicais.

• Racionalizar expresións con radicais no denominador.

• Utilizar a calculadora para operar con potencias e radicais. Autor: José R. Galo Sánchez Baixo licenza Versión en galego: José Manuel Sánchez González Creative Commons Se non se indica o contrario.

IES _______________________



É necesario que repasemos as propiedades das potencias. Na escena podes abordar este repaso e ver múltiples exemplos de cada propiedade. Completa a seguinte táboa:

Propiedade (Completa a expresión dada)

Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3

aaa mn =⋅

aa

am

n=

aam

n =

=0a

( )nnn ba =⋅

( )nn

n

b

a=

Fai varios exercicios de potencias de expoñente enteiro pulsando o botón _n

Reflicte quince enunciados e os seus resultados na seguinte táboa:

Pulsa para ir á páxina seguinte.

Antes de empezar

IES _______________________



1. Radicais

1.a. Definición. Expoñente fraccionario • Le o texto de pantalla. a) Que é unha raíz de índice n? _________________________________________________ b) Que é unha potencia de expoñente un número racional ou fraccionario? Pon dous exemplos:

Fai varios exercicios de potencias de expoñente fraccionario pulsando o botón _n



1.b. Radicais equivalentes • Le o texto desta páxina e mira varios exemplos na escena interactiva.

a) Cando dous radicais son equivalentes?

Pon dous exemplos de radicais que sexan equivalentes entre si:

b) De cantas maneiras se pode escribir un mesmo radical? c) Cando diremos que un radical é irreductible? Pon dous exemplos de radicais

irreductibles.

IES _______________________



Fai varios exercicios de radicais equivalentes pulsando o botón:



1.c. Introducir e extraer factores

• Le o texto desta páxina e mira varios exemplos na escena interactiva.

Fai varios exercicios de introducir e extraer factores dun radical pulsando o botón:

Reflicte doce enunciados e os seus resultados na seguinte táboa:


IES _______________________



1.d. Cálculo de raíces


Fai varios exercicios de cálculo de raíces pulsando o botón:

Reflicte dez enunciados e os seus resultados na seguinte táboa:


IES _______________________



1.e. Redución a índice común.


Fai varios exercicios de reducir índice común pulsando o botón:

Reflicte nove enunciados e os seus resultados na seguinte táboa:


1.f. Radicais semellantes. • Le o texto desta páxina e mira varios exemplos na escena interactiva.

a) Cando dous radicais son semellantes? Pon dous exemplos.

b) Dous radicais semellantes, poden ter diferente aparencia? ________. Para observar se dous radicais son semellantes hai que _____________.

Fai varios exercicios de radicais semellantes pulsando o botón:

Reflicte nove enunciados e os seus resultados na seguinte táboa:

IES _______________________



EXERCICIOS 1. Escribe os seguintes radicais como potencia de expoñente fraccionario:

a) 5 3 =

b) 5 3X =

2. Escribe as seguintes potencias como radicais:

a)127 =

b)235 =

3. Escribe un radical equivalente, amplificando o dado:

a) 3 5 =

b) 5 4x =

4. Escribe un radical equivalente, simplificando o dado.

a) 6 49 =

b) 35 28x =

5. Introduce os factores dentro do radical:

a) 4 3·2 =

b) 7 32 xx =

6. Extrae os factores do radical:

a)4 128 =

b) 7 30x =

IES _______________________




2. Propiedades

2.a. Raíz dun produto • Le o texto da páxina.

a) A raíz n-ésima dun produto é igual ao ______________________________. b) Escribe matematicamente a propiedade anterior:

c) Escribe a demostración da propiedade anterior:

• Mira algúns exemplos de aplicación desta propiedade na escena interactiva da esquerda.

Fai nove exercicios pulsando o botón e reflícteos aquí:


7. Calcular as seguintes raíces:

a) 5 1024 =

b) 7 84x =

8. Reduce índice común

a) 33; 5

b) 64 3 5x ; x

9. Indica que radicais son semellantes

a) 4 43;5 3

b) 34 x; x

IES _______________________



2.b. Raíz dun cociente

• Le o texto da páxina.

a) A raíz n-ésima dun cociente é igual ao ______________________________. b) Escribe matematicamente a propiedade anterior:





2.c. Raíz dunha potencia


a) A raíz n-ésima dunha potencia é igual a ______________________________. b) Escribe matematicamente a propiedade anterior:




IES _______________________




2.d. Raíz dunha raíz


a) A raíz n-ésima dunha raíz m-ésima é igual a ______________________________. b) Escribe matematicamente a propiedade anterior:

c) Escribe a demostración da propiedade anterior: • Mira algúns exemplos de aplicación desta propiedade na escena interactiva da esquerda.



IES _______________________



3. Simplificación

3.a. Racionalización • Le o texto da páxina e observa diferentes exercicios da escena. • Que é racionalizar?

• Se no denominador temos un radical. Como podemos racionalizar esa expresión? Pon dous exemplos.

• Se no denominador temos unha suma ou diferenza de raíces cadradas. Como podemos

racionalizar esa expresión? Pon dous exemplos. • Que se entende pola expresión conxugada dun binomio? • Se no denominador se ten unha suma diferenza de raíces que non son cadradas. Podemos

racionalizar coa expresión conxugada? Por que?

Fai oito exercicios pulsando o botón

e reflícteos na seguinte táboa:

IES _______________________




3.b. Simplificar un radical • Le o texto desta páxina e observa diferentes exemplos na escena. • Cando dicimos que un radical está simplificado?



IES _______________________




EXERCICIOS

10. Escribe cunha soa raíz:

a) 5 3 =

b) 47 X x =


a) 44 3· 27 =

b) 5 25 x· x =


a)3

3

16

2 =

b)5 4

5 3

x

x =

13. Racionaliza.

a)5

1

9=

b)3

2

5· 4=

14. Racionaliza:

a)7 4

1

x=

b)72 3

1

x x=

15. Racionaliza:

a)1

3 2−=

b)2

5 2+=

c)1

3 x−=

IES _______________________



4. Operacións

4.a. Suma e resta • Le o texto da páxina e observa diferentes exercicios da escena.

a) Cando se pode expresar de xeito simplificado a suma ou diferenza de radicais?

b) Como se simplifican dous sumandos que son radicais semellantes?

c) Que propiedade é a qué aplicas na regra anterior?




IES _______________________



4.b. Multiplicación de radicais • Le o texto da páxina e observa diferentes exercicios da escena con radicais co mesmo

índice e con distinto índice.




IES _______________________



4.c. División de radicais • Le o texto da páxina e observa diferentes exercicios da escena con radicais co mesmo

índice e con distinto índice.




IES _______________________




EXERCICIOS

16. Calcular a suma:

a) 40 90+ =

b) 2 32 8− =

c) 3 64 16+ =

d)

12 5 8

2+

=

17. Calcular e simplificar:

a) 54 3· 27 =

b) 9 23 x· x =

c) 5 3x x· x =

d) 3 42· 2· 8 =


a)

3

5

16

2 =

b)

7 4

14 3

x

x =


a) 6 4

8 3

8

4

b) 3 4

4

X x

x


a)

3

4

2· 4

8 =

b)

5 32 2· 4

8 =

IES _______________________




• Describe que é a raíz n-ésima dun número con palabras e con notación matemática. Pon

dous exemplos. • Unha raíz é unha potencia de expoñente ______________, onde o denominador é

___________________ e o numerador é ______________. Escríbeo matematicamente. Pon dous exemplos.

• Se o índice e o expoñente dunha raíz se multiplica por un mesmo número obtense un radical ___________. Pon dous exemplos.

• Dados dous radicais calquera, é posible escribilos sempre cun índice común? Pon dous exemplos.

• A qué denominamos radicais semellantes? Pon dous exemplos.

• Representa o mesmo radicais equivalentes e radicais semellantes? Pon dous exemplos.

• Para poder multiplicar ou dividir dous radicais é necesario que teñan o mesmo ______. Se

non o teñen, previamente hai que _________________________. Pon dous exemplos.

• Para poder escribir de xeito máis simplificada a suma ou diferenza de dous radicais é necesario que estes sexan radicais __________________. Pon dous exemplos.

• Racionalizar é un procedemento que busca que no denominador dunha fracción non haxa _______. Pon dous exemplos.


IES _______________________



Para practicar

Agora vas practicar resolvendo distintos EXERCICIOS. Nas seguintes páxinas atoparás EXERCICIOS de

Radicais Operacións con radicais

Procura facer polo menos un de cada clase e, unha vez resolto, comproba a solución. Completa o enunciado cos datos cos que che aparece cada EXERCICIO na pantalla e despois resólveo. É importante que primeiro o resolvas ti e despois comprobes no ordenador se o fixeches ben.


Radicais A escena vaiche propoñer unha serie de exercicios. Copia o enunciado no recadro da esquerda e despois efectúa o cálculo pedido no recadro da dereita. Practica todo o necesario ata que te sintas seguro nas respostas que podes comprobar na escena, pero polo menos fai dez exercicios.

IES _______________________




Operacións con radicais Esta escena tamén che vai propoñer unha serie de exercicios. Copia o enunciado no recadro da esquerda e despois efectúa o cálculo pedido no recadro da dereita. Practica todo o necesario ata que te sintas seguro nas respostas que podes comprobar na escena, pero polo menos fai dez exercicios.

IES _______________________




IES _______________________



Autoavaliación

Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveo; despois introduce o resultado para comprobar se a solución é correcta.

Calcula a seguinte raíz:

Escribe en forma de expoñente fraccionario:

Calcula:

Introduce o factor no radical:

Calcula, simplifica e escribe como un único radical:

Extrae factores do radical:

Racionaliza:

Calcula e simplifica:

Calcula e simplifica

IES _______________________




1. Escribe como potencia de expoñente fraccionario:

a) 5 b) 3 2x

c) 3a d) 5 3a

2. Escribe como un radical:

a)123 b)

325

c)15x d)

53x

3. Simplifica os seguintes radicais:

a) 4 25 b) 8 28

c) 14 6x d) 30 816·x

4. Extraer todos os factores posibles dos seguintes radicais

a) 18 b) 316

c) 39a d) 3 5 798a b c

5. Introducir dentro do radical todos os factores posibles que se atopen fóra del.

a)3· 5 b)2· a

c) 23a· 2a d) 32 2ab a b

6. Reduce ao mínimo común índice os seguintes radicais.

a) 4 3;5 b) 3 44; 3; 2

c) 84 3; 7; 2 d) 36 5;32;3

7. Suma os seguintes radicais indicados.

a) 45 125 20− −

b) 1267514775 −+−

c) 175 63 2 28+ −

d)1

20 45 2 1253

+ +

8. Multiplica os seguintes radicais

a) 3· 6 b) 5· 2·3· 5

c) 3 312· 9 d) 3 2x· 2x

e) 4 32ab· 8a f) 62 3 24 2x y · 5x

9. Multiplica os seguintes radicais

a) ( )2 3 · 2−

b) 32)3557( ⋅+

c) 24)25532( ⋅−+

d) )35()35( −⋅+

10. Divide os seguintes radicais

a)6x

3x b)

2 375x y

5 3xy

c)3

9x

3x d)

3 3

4 2

8a b

4a

e)3

9

9

3 f)

6 5

8 3

x

x

11. Calcula:

a) 5 42 2 b) 5 42 3x x

c) 4 33 2x x x d) 6 32 2 2

12. Racionaliza.

a)2

7 b)

1

3

c)2a

2ax d)

5 3

1

x

13. Racionaliza.

a)13

2

− b)

53

53

−+

c)5

4 11- d)

12

2

+

I.E.S.________________________


Polinomios - 0 -

Polinomios

Contidos 1. Polinomios

Grao. Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio

2. Operacións con polinomios Suma diferenza, produto División.

3. Identidades notables (a+b)2 (a-b)2 (a+b)·(a-b) Potencia dun binomio

4. División por x-a Regra de Ruffini Teorema do resto

5. Descomposición factorial Factor común xn Raíces dun polinomio

Obxectivos

• Achar a expresión en coeficientes dun polinomio e operar con eles.

• Calcular o valor numérico dun polinomio.

• Recoñecer algunhas identidades notables, o cadrado e o cubo dun binomio.

• Regra de Ruffini e Teorema do Resto.

• Achar a descomposición factorial dalgúns polinomios. Autor: José Fernández Gómez Baixo licenza Versión en galego: José Manuel Sánchez González Creative Commons Se non se indica o contrario.

I.E.S.________________________


Polinomios - 1 -

Preme sobre a escena de MAXIA CON POLINOMIOS (non sobre a explicación, nin nos teus dotes de maxia) Nestes momentos debes estar a observar 32 figuras de diferentes cores

A escena pídeche que memorices unha figura. Escríbea á dereita (e non llo digas a ninguén) →

Despois de premer o botón COMEZO. Está a túa figura neste grupo? Escríbeo á dereita (SI ou NON) →

E neste grupo (SI ou NON). Escríbeo á dereita →




Acertouche a figura o ordenador?. Que figura cree o ordenador que ti memorizaches?. Escríbea á dereita →

Seguro que estás a desexar premer no apartado correspondente á EXPLICACIÓN. Pero non o fagas antes de encher o seguinte cadro:

Con cantas figuras distintas traballa a escena?

Pídeche a escena algunha vez que lle digas a cor ou a forma da figura que ti memorizaches, ou simplemente que contestes SI ou NON a se está nun grupo determinado de figuras?

Cantas veces contestaches SI ou NON?

Que vale 25?

Agora si é o momento de ver a EXPLICACIÓN pulsando dentro da escena no apartado correspondente. Imos xogar cun compañeiro. A escena pídelle que memorice unha figura. Loxicamente non a imos escribir porque é un segredo. →

Prememos COMEZO e escribimos SI ou NON. O que nos diga o teu compañeiro →





Temos os nosos 5 SI ou NON. Escribe ao lado o polinomio co que debemos traballar. →

Substituímos 2 no devandito polinomio? O valor da figura sería? Escríbeo á dereita →

Antes de empezar

I.E.S.________________________


Polinomios - 2 -

Preme o botón

que aparece en pantalla baixo o título Sistema Binario e visualiza o vídeo. Pon atención para contestar:

No vídeo aparece un número descomposto en varios sumandos.

NÚMERO= SUMANDOS=

Preme para ir á páxina seguinte.

1. Polinomios

1.a. Grao. Expresión en coeficientes Le o texto de pantalla. CONTESTA ESTAS CUESTIÓNS: RESPOSTAS Cal é o grao do polinomio x3+2x-1? Cantos coeficientes ten un polinomio de grao 4? Escribe á dereita o polinomio asociado aos coeficientes:2 0 -3 1

Fai varios exemplos na escena ata comprender os conceptos de grao, expresión en coeficientes e expresión polinómica dun polinomio.

Preme no botón

para facer o exercicio proposto.


1.b. Valor numérico dun polinomio Le en pantalla detidamente as instrucións para utilizar a escena.

Practica primeiro na escena con varios exemplos da serie 1.

Imos agora a serie 2. EXERCICIO 1: Completa agora a seguinte táboa escribindo á esquerda os teus resultados do (ATENCIÓN) exercicio 5 da serie 2 e á dereita (de forma resumida as instrucións). Resultados Instrucións Cando remates debes resolver os exercicios propostos da páxina seguinte e pasar ao seguinte apartado.


I.E.S.________________________


Polinomios - 3 -

EXERCICIOS 1. Acha a expresión en coeficientes dos polinomios P(x)=5x2+2x+1; Q(x)=x3-3x;

R(x)=0,5x2 –4

2. Escribe as expresións polinómicas dos polinomios a expresión dos cales en coeficientes é: P(x)� 2 1 3 -1; Q(x)� 1 3 0 0; R(x)� 3/4 -1 0 2

3. Completa a táboa: EXPRESIÓN POLINÓMICA EXPRESIÓN EN COEFICIENTES GRAO

-2x3+x5-3x2

x2/3-1

-2 π 0 0

-2 1,3 0 -1/7

3- 2 x2

Estes polinomios son polinomios nunha variable, x, con coeficientes no corpo dos números reais. O conxunto destes polinomios desígnase por lR[x].

4. Acha o valor numérico en 1, 0 e -2 dos polinomios do exercicio anterior

POLINOMIO Valor en 1 Valor en 0 Valor en -2

x5-2 x 3 -3 x 2

x2/3-1

- 2x3+π x2

-2x3+1,3x2-1/7

- 2 x2+3

2. Operacións con polinomios 2.a. Suma, diferenza e produto Observa con atención a escena que se mostra. Non é necesario que contestes por escrito pero, podes elixir na escena os polinomios que se van operar? podes elixir a operación suma, resta ou produto? EXERCICIO 1: Completa a seguinte táboa con 6 exercicios diferentes dos que che achega a escena. Coloca na segunda columna o signo da operación (+, -, x). Escribe a ser posible 2 exercicios de cada operación. Primeiro polinomio Op. Segundo polinomio Resultado

Preme no botón

na parte inferior dereita, para facer os exercicios.

Como verás ábrese un cadro cunha escena na que podes practicar operacións con polinomios. A idea é que practiques cantas veces queiras pero completa a seguinte táboa con 5 exemplos que resolveras CORRECTAMENTE

I.E.S.________________________


Polinomios - 4 -

EXERCICIO 2: P(X) Op. Q(x) Resultado

Cando remates podes pasar ao seguinte apartado. Preme para ir á páxina seguinte.

2.b. División Nesta ocasión preséntase unha escena con tres niveis. Practica coa escena, en cada un dos niveis, ata entender ben os conceptos. EXERCICIO 1: Completa a seguinte táboa coas palabras dividendo, divisor, cociente e resto Fórmula que os relaciona:

EXERCICIO 2: Contesta. Se dividimos un polinomio onde o monomio de maior grao é 6 x 4 entre outro cuxo monomio de maior grao é 2x2, o cociente terá como monomio de maior grado________ Se dividimos un polinomio onde o monomio de maior grao é x4 entre outro cuxo monomio de maior grao é 3x, o cociente terá como monomio de maior grado________ O resto da división de dous polinomios pode ser cero? _______ Qué afirmaremos neste caso do dividendo e do divisor? _____________________________________________ EXERCICIO 3: Completa de novo a táboa, cun exemplo concreto do nivel 2 (atención ao nivel), escribindo no seu lugar P(x), Q(x), cociente e resto. Fórmula que os relaciona:

Aínda que non o escribas neste caderniño, practica coa escena.

I.E.S.________________________


Polinomios - 5 -

Preme no botón

para facer uns exercicios e escribe as túas operacións nos

cadros seguintes. Trátase de realizar 2 divisións de principio a fin. Aproveita a escena para comprobar se os teus resultados son correctos. 1ª División completa 2ª División completa


EXERCICIOS 5. Acha P(x)+Q(x) e 2·P(x)-Q(x)

P(x)=x4+x3+3x Q(x)=2x3+x2-4x+5 6. ¿Cal é o grao do cociente ao dividir un polinomio de grao 5 entre outro de grao 2?

7. Multiplica P(x)=x3+6x2+4x-6 por Q(x)= x3+3x2+5x-2

8. Dados os polinomios P(x)y Q(x) efectúa a división P(x):Q(x)

a. P(x)= 2x3+4x2+7x+3 ; Q(x)= 2x2+x+3 b. P(x)= 7x2-2x+5 ; Q(x)= 8x+7

3. Identidades notables 3.a. (a+b)2 Cadrado dunha suma EXERCICIO 1: ¿Observaches a escena con detemento? Seguro que se. Fixa antes de nada os valores a=4 e b=5 na escena e contesta a seguinte batería de preguntas: Cantos cadriños contén o cadrado azul?_________

Cantos cadriños contén o cadrado rojo?_________

Cal é o valor de a+b?_________

Cantos cadriños contén cada un dos cadrados grises?_________

Como relacionarías 81 cos valores anteriores?___________________________________

Como poderiamos expresar (4+5)2?_______________________________________________

I.E.S.________________________


Polinomios - 6 -

Escribe no seguinte recadro esa fórmula que nunca esquecerás:

Preme no botón

para facer os exercicios correspondentes ao cadrado dunha

suma e escribe as túas operacións en los.2 cadros seguintes. A escena contén 11 series. Deberás transcribir a cuarta e outra que ti inventes. 1ª suma ao cadrado 2ª suma ao cadrado (inventada)


3.b. (a-b)2 Cadrado dunha diferenza EXERCICIO 1:Observa a escena con detemento pero nesta ocasión imos centrarnos no vídeo da dereita. Visualízao e no seguinte recadro realiza os teus cálculos para obter o valor de (a-b)2 Escribe no seguinte recadro esa fórmula que nunca esquecerás:

(a-b)2=(a-b)(a-b)=

I.E.S.________________________


Polinomios - 7 -

Preme no botón

para facer os exercicios correspondentes ao cadrado dunha

diferenza e escribe as túas operacións en los.2 cadros seguintes. A escena contén 11 series. Deberás transcribir a cuarta e outra que o teu inventes. 1ª diferenza ao cadrado 2ª diferenza ao cadrado (inventada)


3.c. (a+b) (a-b) Suma por diferenza EXERCICIO 1: Observaches a escena con detemento? Seguro que si. Fixa antes de nada os valores a=9 e b=3 na escena e pulsa o botón de comezo da animación. Contesta agora ás seguintes preguntas: Cantos cadriños contén o cadrado rojo?_________ Cantos cadriños contén o cadrado azul?_________ Cal é o valor de a+b?_________ Cal é o valor de a-b?_________ Cantos cadriños contén o rectángulo de base a+b e altura a-b?_________ Escribe no seguinte recadro esa fórmula que nunca esquecerás:

Preme no botón

para facer os exercicios correspondentes á suma por

diferenza e escribe as túas operacións nos.2 cadros seguintes. A escena contén 11 series. Deberás transcribir a sexta e outra que ti inventes. 1ª suma por diferenza 2ª suma por diferenza (inventada)


I.E.S.________________________


Polinomios - 8 -

3.d. Potencia dun binomio. Triángulo de Pascal EXERCICIO 1:Observa a escena con detemento pero non esquezas o vídeo da dereita. Visualízao e no seguinte recadro constrúe o Triángulo de Pascal. EXERCICIO 2: Fixa na escena da esquerda como valores de a e b os que figuran na primeira columna. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

Vol cubo vermello Vol verde Vol laranxa

Vol. cubo azul

a=2 e b=4

a=4 e b=2

a=2 e b=2

a=2 e b=8

Preme no botón

para facer uns exercicios variados.

Terás que facer 7 series con 1 EXERCICIO en cada unha. Resólveos fixándote nas propiedades.


I.E.S.________________________


Polinomios - 9 -

EXERCICIOS

9. Desenvolve (x+3)2 aplicando as identidades notables

Descompón o polinomio x2–10x+25 aplicando as identidades notables, Descompón o polinomio 4x2 – 25 aplicando as identidades notables

10. Desenvolve as seguintes expresións

Expresión Solución

Expresión Solución

(x+4)2 x2-4x+4 16x2+24x+9 4 x2-12x+9

(2x/3+5)2 (x/2-3)2

( 2 x+1)2 (x- 3 )2

11. Acha a expresión en coeficientes dos seguintes produtos

Produtos Solución

Produtos Solución

(x+4)·(x-4) (x-1/2)·(x+1/2) (2x+5)· (2 x-5) (3+ 2 x)·(3- 2 x)

12. Resolve aplicando as identidades notables a ecuación x2+10x+16=0

13. Calcula o cubo dun binomio

Binomio ao cubo Solución

Binomio ao cubo Solución

(x+2)3 (x-1)3 (2x-3)3 (3+x/3)3

14. Acha a fila 5 do triángulo de Pascal, e calcula (x+1)5


I.E.S.________________________


Polinomios - 10 -

División por x-a 4.a. Regra de Ruffini EXERCICIO 1: Segundo nos din nesta páxina, Ruffini foi un médico e matemático italiano (1765-1822). Pero, non che gustaría saber algo máis del?. Aproveita as seguintes liñas para contarnos algo máis acerca de Ruffini. ___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Observa na escena como se executa a Regra de Ruffini paso a paso. Se necesitas volver a

ver a animación lembra premer a icona EXERCICIO 2: Completa no seguinte espazo a división do polinomio p(x)= x4+5x3+x+1 entre x-3 repetindo exactamente os pasos que vai facendo a escena. Para facelo correctamente debes usar o botón pausa da escena. Fíxate que xa está colocado o polinomio p(x), pero debes seguir ti.

1 5 0 1 1

1 5 0 1 1

Preme no botón

para realizar varios exercicios.

I.E.S.________________________


Polinomios - 11 -

EXERCICIO 3: Completa na seguinte táboa o polinomio que che ofrece a escena, o divisor e a correspondente regra de Ruffini.

Pol. Entre Pol. Entre Pol. Entre

Debes seguir practicando. Completa esta outra táboa con 3 novas divisións entre x-a

Pol. Entre Pol. Entre Pol. Entre


4.b. Teorema do Resto EXERCICIO 1: Neste apartado a escena ofréceche un dividendo, un divisor e as correspondentes instrucións.

Dividendo. divisor Dividendo. divisor x4-5 x-4 2 x 3-4 x x+4

Fai a división Fai a división

Dividendo=divisor.cociente+resto Dividendo=divisor.cociente+resto

Non che esqueza completar a última fila da táboa (Dividendo=divisor.cociente+resto)

I.E.S.________________________


Polinomios - 12 -

EXERCICIO 2: Completa a seguinte táboa sen axuda do ordenador. Realiza os cálculos no teu caderno.

P(x)=Dividendo Divisor=x-a Cociente Resto P(a)

x3-5x+8 x-4

x2+4 x+2 8

x+1 5x3-5x2+5x-4 3

x3-5x2+6x x-2 0

2x3-mx-24 x-3 0

Escribe no seguinte recadro a conclusión do chamado Teorema do Resto.

Preme no botón

para facer os exercicios correspondentes a este apartado.

EXERCICIOS 15. Aplica a regra de Ruffini para dividir P(x)=x3+5x2-2x+1, Q(x)=2x4-5 e R(x)=x3-4x+3x2

entre x-3

16. Aplica a regra de Ruffini para dividir P(x)=x3+3x2-2x+1, Q(x)=x4-2 e R(x)=x3-4x2-x

entre x+1

17. Aplica a regra de Ruffini para dividir P(x)=3x3+5x2-2x+1 e Q(x)=6x4-2 e entre x+2/3

18. Se o valor numérico dun polinomio en 2 é igual a 3 e o cociente da súa división de entre x-2 é x. Sabes de que polinomio se trata?

19. Acha m para que mx2+2x-3 sexa divisible entre x+1

20. Existe algún valor de m para que o polinomio x3+mx2-2mx+5 sexa divisible por x-2?

I.E.S.________________________


Polinomios - 13 -

4. Descomposición factorial 5.a. Factor común xn EXERCICIO 1: Saca factor común unha potencia de x na seguinte táboa.

Polinomio Descomposición Polinomio Descomposición

x2 +2x 4x5+2x2+x

x4 +2x2-+2x2-3x -x4+2x3

-3x5+2x4+5x3 x5+x4+3+5x3

5.b. Raíces dun polinomio EXERCICIO 1: Copia a continuación a definición de raíz dun polinomio. ___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

EXERCICIO 2: Le con atención o texto que se mostra debaixo de Raíces dun polinomio. Fai fincapé no texto "sombreado". Debes completar os ocos que se mostran a continuación:

As _______ non nulas dun polinomio con coeficientes enteiros, son ___________ do ______________ de menor grao do polinomio.

Preme en Exemplos e escribe o polinomio que se descompón, dita descomposición e realiza a comprobación.

Polinomio Raíces Descomposición Comprobación

(x-2)(x2+x+2) x4=

I.E.S.________________________


Polinomios - 14 -

EXERCICIO 3: Na escena da dereita, podes realizar a Regra de Ruffini. Completa a seguinte táboa co polinomio que mostra a escena.


Espazo para Regra de Ruffini

EXERCICIO 4: recargando a páxina (preme F5) a escena mostrarache un polinomio diferente. Volve completar as seguintes táboas como no exercicio anterior







I.E.S.________________________


Polinomios - 15 -

EXERCICIOS

21. Saca factor común unha potencia de x en cada un dos seguintes polinomios: P(x)=2x3+3x Q(x)= x4+2x6-3 x 5 R(x)=2x6+6x5+8x3

22. Acha a descomposición factorial de x7-x6-4 x 4

. 23. Acha a descomposición factorial de x4+x3-x2-2 x-2

24. Se os coeficientes de P(x)=pnxn

+pn-1 xn-1+...+p1x+p0 son números enteiros, as

posibles raíces racionais de P(x) son da forma

Acha a descomposición factorial de 12x3+4x2-17x+6 .

25. Acha a descomposición factorial de x4-4

26. Acha a descomposición factorial de x3-7x2+4x+12

27. Acha a descomposición factorial de (2x3+x+3/2)2 - (x3+5x-3/2)2

5.c. Fraccións alxébricas Unha fracción alxébrica é o cociente indicado entre dous polinomios. Na escena preséntase unha serie de exercicios para simplificar fraccións. A escena ofréceche 11 tipos diferentes. Copia na seguinte táboa unha fracción de cada tipo, realiza os teus cálculos no teu caderno de traballo e copia na táboa o resultado.

Fracción Resultado Simplificación

Fracción Resultado Simplificación

I.E.S.________________________


Polinomios - 16 -

Preme no botón

para facer os exercicios correspondentes a este apartado.

EXERCICIO 1: A continuación tes espazo para completar a suma ou resta e o cociente de dúas fraccións.

Suma ou resta de dúas fraccións Cociente de dúas fraccións

EXERCICIO 2: A continuación tes espazo para completar a suma ou resta e o cociente de dúas fraccións.

Suma ou resta de dúas fraccións Cociente de dúas fraccións

I.E.S.________________________


Polinomios - 17 -


Completa o triángulo de Pascal ata a súa fila 6ª

Desenvolve (x-3)4

Calcula (x3-x2+1)+(x4-x-1)

Calcula (x3-x2+1)(x4-x)

Calcula (x3+2x2+x-3)-(x3-3x+2)

Desenvolve (a+b)2

Desenvolve (a-b)2

D

Como se chaman os polinomios que interveñen nunha división? Completa

R

Cal é a fórmula que relaciona os polinomios que interveñen nunha división?

Cal é a definición de raíz dun polinomio?

Relaciona os seguintes polinomios coas súas posibles raíces.

1.- x2-1

2.- x2+1

3. - x3-x2+4

4. - x4-x2-6

Posibles raíces:

Posibles raíces:

Posibles raíces:

Posibles raíces:

Descompón x3-5x2+6x


I.E.S.________________________


Polinomios - 18 -

Para practicar

Agora vas practicar resolvendo distintos EXERCICIOS. Nas seguintes páxinas atoparás EXERCICIOS de: Operacións con polinomios Identidades notables Descomposición factorial Procura facer polo menos un de cada clase e unha vez resolto comproba a solución. Completa o enunciado cos datos cos que che aparece cada EXERCICIO na pantalla e despois resólveo. É importante que primeiro resólveas o teu e despois comprobes no ordenador se o fixeches ben. Os seguintes EXERCICIOS son de operacións con polinomios.

1. O número da esquerda __ __ __ __ está en base ___. Acha o seu valor en base decimal, a nosa base usual.

2. Cantidade de azul en hexadecimal __ __.

Acha en decimal a cantidade de azul.

3. P(x)=____________ Q(x)=______________ Acha P(x)+-__Q(x)

4. P(x)=____________ Q(x)=______________ Acha P(x).Q(x)

5. P(x)=____________ Q(x)=______________ Acha o cociente e o resto da división P(x):Q(x)

6. P(x)=____________ Acha a división de P(x) entre x-___ aplicando a Regra de Ruffini

7. P(x)=____________ Acha, aplicando o teorema do resto, o resto da división de P(x) e x-___

I.E.S.________________________


Polinomios - 19 -

8. P(x)=____________ Acha m, aplicando o teorema do resto, para que P(x) sexa divisible entre x-____

Os seguintes EXERCICIOS son de identidades notables.

Verás que en moitos temas vas poder usar a calculadora cando vexas o símbolo:

9. Efectúa a potencia ___________

10. Aplicando as identidades notables, resolve a ecuación ____________________

11. Acha a fila ___ do triángulo de Pascal e calcula o coeficiente de grao ___ de ________

12. Aplicando as identidades notables simplifica a fracción ___________

Os seguintes EXERCICIOS son de descomposición factorial

13. Descompoñer o seguinte polinomio en factores primos ________________________

14. Descompoñer o seguinte polinomio en factores primos ________________________

15. Descompoñer, aplicando as identidades notables, o seguinte polinomio ________________________

16. Acha a descomposición dun polinomio de grao 3 que ten por raíces ___;___;___ e cuxo valor numérico en ___ é ____

I.E.S.________________________


Polinomios - 20 -

Autoavaliación

Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveo, despois introduce o resultado para comprobar se a solución é correcta.

Calcula P(x) Q(x) +P(x) R(x)

Calcula P(x):Q(x)

Calcula (x+1)3.

¿É certa a igualdade?

(4x+3)2=16x2+24x+9

Calcula m para que 7x2+mx+5 dividido entre x+2 teña resto 4

Se P(x)= ax2+bx+4 e a42+b.4=3. Cal é o resto de P(x) entre x-4?

Calcula unha raíz enteira de x3+4x2+7x+12

Calcula unha raíz racional de 3x3+8x2+29x+40

O polinomio 2x3+4x2-10x-12 ten por raíces 2 e -3. Calcula a outra

As raíces dun polinomio de grao 3 son: -3,0 e 5; o seu coeficiente de grao 3 é 4.Calcula o seu valor en 7

I.E.S. _______________________


Ecuacións e sistemas - 1 -

Ecuacións e sistemas

Contidos

1. Ecuacións de segundo grao Completas ax²+bx+c=0 Incompletas ax²+c=0, ax²+bx=0 Discriminante e solucións Bicadradas Racionais Irracionais 2. Sistemas de ecuacións lineais Solución dun sistema Sistemas compatibles Método de substitución Método de igualación Método de redución 3. Sistemas de segundo grao Sistema ax+by=c xy=k Sistema a0x²+b0y²=c0 a1x+b1y=c1 4. Aplicacións prácticas Resolución de problemas

Obxectivos

• Resolver ecuacións de segundo grao completas e incompletas.

• Resolver ecuacións bicadradas e outras que se poden reducir a unha de segundo grao.

• Resolver sistemas de ecuacións lineais utilizando os diferentes métodos.

• Resolver sistemas de ecuacións de segundo grao.

• Aplicar a linguaxe da álxebra á resolución de problemas. Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez Baixo licenza

Creative Commons Se non se indica o contrario.

I.E.S. _______________________



Por que?

Realiza a actividade que se propón na escena sobre adiviñar un número

Escribe os números que vas obtendo

Repite o proceso para un número calquera x

Pensa un número

Duplícao

Engade 5 unidades.

Multiplícao por 5.

Suma 75 unidades.

Multiplica por 10:

O que se obtén ao final é a expresión alxébrica _____________________________________

Como calcularás o valor de x sabendo o resultado final? _____________________________

___________________________________________________________________________

Agora podes premer o botón

Grande cantidade de problemas prácticos na vida real conducen á resolución dunha ecuación ou dun sistema de ecuacións. Traducir á "linguaxe da álxebra" resulta imprescindible nestas ocasións, a linguaxe alxébrica sérvenos para expresar con precisión relacións difíciles de transmitir coa linguaxe habitual.

Preme o botón

para recordar a linguaxe alxébrica con algúns exercicios resoltos.

Agora proba a facer ti un exercicio de cada tipo:

A suma dun número positivo co seu cadrado é 56. Cal é ese número? A suma dun número positivo coa súa raíz cadrada é 90. Cal é ese número? A suma dun número coa súa metade é 12. Cal é ese número? A suma dun número co seu triplo é 24. Cal é ese número? Prem

e para ir á páxina seguinte.

Antes de empezar

I.E.S. _______________________



1. Ecuacións de segundo grao

1.a. Completas ax²+bx+c=0

Observa a escena da esquerda, nela resólvense ecuacións de 2º grao completas (é dicir, non falta ningún termo no polinomio de 2º grao); podes elixir se ten solución enteira ou fraccionaria, radical ou que non teñan solución. Fíxate ben en como aplica a fórmula para cada ecuación e en como se representa graficamente cada ecuación

Que teñen en común todas as gráficas das ecuacións? →

Como se chama esa curva? →

Como é a curva das ecuacións con solución? →

Que teñen en común todas as ecuacións que non teñen solución?

→

As ecuacións de segundo grao son da forma ax2+bx+c=0, onde a incógnita aparece elevada ao cadrado, resólvense aplicando unha fórmula que imos obter paso a paso:

Pasamos c ao outro membro: →

Multiplicamos por 4a: →

Sumamos b2: →

Temos un cadrado perfecto: →

Extraemos a raíz: →

Despexamos x: FFFFÓÓÓÓRMULARMULARMULARMULA→

I.E.S. _______________________



Premendo o enlace aquí poderás comprobar os pasos.

Preme no botón

para resolver unhas ecuacións.

Resolve aquí polo menos 5 das ecuacións que se propoñen, enchendo os ocos cos coeficientes correspondentes (non se che esqueza incluír o signo): __ x2 + __ x + __ =0

__ x2 + __ x + __ =0

__ x2 + __ x + __ =0

__ x2 + __ x + __ =0

__ x2 + __ x + __ =0

Preme


I.E.S. _______________________



1.b. Incompletas ax²+c=0 e ax²+bx=0 Se b ou c, ou os dous son cero diremos que a ecuación é incompleta, nestes casos resulta máis útil que aplicar a fórmula, proceder como se indica a continuación.

Primeiro caso: se b=0 Despéxase x2 e obtense a raíz:

• Se -c/a>0 hai dúas solucións • Se -c/a<0 non hai solución.

Le os exercicios resoltos para comprender mellor o proceso

Preme no botón


__ x2 + __ x + __ =0

__ x2 + __ x + __ =0

__ x2 + __ x + __ =0

__ x2 + __ x + __ =0

__ x2 + __ x + __ =0

I.E.S. _______________________



Segundo caso: se c=0 Sacamos factor común x e queda x.(ax+b) =0, de aí dedúcense as dúas solucións:

• x=0 • ax+b=0, é dicir x=-b/a

Le os exercicios resoltos para comprender mellor o proceso

Preme no botón


__ x2 + __ x + __ =0

__ x2 + __ x + __ =0

__ x2 + __ x + __ =0

__ x2 + __ x + __ =0

__ x2 + __ x + __ =0

Preme


I.E.S. _______________________



1.c. Discriminante e solucións Chámase discriminante da ecuación de segundo grao á expresión: ∆=b2-4·a·c En que lugar aparece esta expresión na fórmula da ecuación de 2º grao?

___________________________________________________________________________ Completa agora esta táboa:

Casos Nº de valores de ∆ → Nº de sols. da ecuación

∆=b2-4·a·c>0 →

∆=b2-4·a·c=0 →

∆=b2-4·a·c<0 →

Na escena adxunta podes ver exemplos dos distintos casos; proba ti a escribir coeficientes para cada caso.

Preme no botón

para ver uns exercicios resoltos.

Colle lapis e papel e fai ti polo menos un exercicio de cada tipo neste caderno; despois comproba a solución na escena. Calcular o valor de m para que a ecuación __ x2 + __ x + m =0 teña dúas raíces iguais

Calcular o valor de m para que a ecuación __ x2 + m x + __= 0 teña dúas raíces iguais, se m>0

Calcular o discriminante da ecuación __ x2 + __ x + __= 0

Preme


I.E.S. _______________________



1.d. Ecuacións bicadradas Son ecuacións da forma: ax4 + bx2+c= 0 Para resolvelas faise o cambio t=x2.A ecuación transfórmase nunha de segundo grao con incógnita t: at2 +bt+c= 0 Ao aplicar a fórmula da ecuación de segundo grao obtemos dúas solucións: t1 e t2. Co que e Na escena podes ver varios exemplos nos que se resolven as ecuacións paso a paso. CONTESTA ESTAS CUESTIÓNS: RESPOSTAS Se t1 e t2 son negativos, cantos valores obtés para x? Se t1 é positivo e t2 negativo, cantos valores obtés para x? Se t1 e t2 son positivos, cantos valores obtés para x?

Preme no botón

para resolver unhas ecuacións bicadradas.

Aproveita a escena para comprobar se os teus resultados son correctos. __ x4 + __ x2 + __ =0

__ x4 + __ x2 + __ =0

__ x4 + __ x2 + __ =0

__ x4 + __ x2 + __ =0

__ x4 + __ x2 + __ =0

I.E.S. _______________________



1.e. Ecuacións racionais Son ecuacións nas que a incógnita aparece no denominador. O proceso que se debe seguir para a súa resolución consiste en quitar en primeiro lugar os denominadores, operamos e resolvemos a ecuación resultante. Convén comprobar que ningunha das solucións obtidas anula o denominador, xa que nese caso non sería válida. Na escena podes ver ecuacións resoltas, fíxate ben nos 4 pasos que debes seguir, en especial non se che esqueza o último!

Preme no botón

para resolver unhas ecuacións racionais, escribindo aquí dúas.

Aproveita a escena para comprobar se os teus resultados son correctos. Ecuación 1 Ecuación 2

Paso 1: Quitar denominadores Paso 1:

Paso 2:Operar Paso 2:

Paso 3:Resolver a ecuación Paso 3:

Paso 4: Ver se algunha solución anula o denominador

Paso 4:

I.E.S. _______________________



1.f. Ecuacións irracionais Son ecuacións nas que a incógnita aparece baixo o signo radical. Para resolvelas déixase a un lado a raíz exclusivamente e elévanse ao cadrado os dous membros. Operando chégase a unha ecuación de segundo grao que resolvemos. Ao elevar o cadrado adoitan introducirse solucións "estrañas" polo que é preciso comprobalas na ecuación de partida. Na escena podes ver ecuacións resoltas, fíxate ben nos 4 pasos que debes seguir, en especial non se che esqueza o último!

Preme no botón

para resolver unhas ecuacións irracionais, escribindo aquí dúas.

Aproveita a escena para comprobar se os teus resultados son correctos. Ecuación 1 Ecuación 2

Paso 1: Deixamos a un lado a raíz: Paso 1:

Paso 2: Elevamos o cadrado e operamos: Paso 2:

Paso 3: Resolvemos: Paso 3:

Paso 4: Comprobamos as solucións: Paso 4:

I.E.S. _______________________



Preme


EXERCICIOS

1. Resolve as ecuacións:

a. x2 + 12x + 32 = 0

b. 9x2 +6x + 1 = 0


a. 2x2 +5x = 0

b. 2x2 -32 = 0

3. Calcula o valor de m para que a ecuación x2 + mx + 9 = 0 teña solución dobre.


a. x4 - 25x2 + 144 = 0

b. x4 + 9x2 - 162 = 0


a. 21

3

31

9 −=−

++−

xx

x

b. 12

8

)1(5

1 =−

−+

−xx

x


a. 0151 =+−+ xx

b. 4243 =++ xx

I.E.S. _______________________



2. Sistemas de ecuacións lineais 2.a. Solución dun sistema Un sistema de ecuacións lineais é un conxunto de ecuacións de primeiro grao que deben satisfacerse simultaneamente.

=+=+

222

111

cybxa

cybxa

onde a1, b1, a2, b2, c1, c son números reais Unha solución dun sistema é un par de números (x, y) que verifica ambas as dúas ecuacións do sistema. Se dous ou máis sistemas teñen a mesma solución chámanse sistemas equivalentes. Na escena podes ver exemplos de sistemas, proba ti a escribir a solución e a escribir sistemas equivalentes ao dado.

Preme no botón

para resolver uns exercicios

Comproba se x= __ e y= __ é solución do sistema __ x + __ e = __ __ x + __ e = __




2.b. Sistemas compatibles

Nun sistema de ecuacións lineais con dúas incógnitas, cada ecuación representa unha recta no plano. Podes premer o enlace aquí se non recordas como se representa unha recta.

Discutir un sistema é estudar a situación destas rectas no plano, que poden ser:

• Secantes, o sistema ten solución única, chámase Compatible determinado. • Coincidentes, o sistema ten infinitas solucións, é Compatible Indeterminado • Paralelas, o sistema non ten solución, chámase Incompatible.

Na escena adxunta podes ver exemplos dos tres tipos de sistemas, mesmo podes escribir ti mesmo o sistema que queiras e comprobar de que tipo resulta.

I.E.S. _______________________



Preme no botón

para resolver uns exercicios:

Resolve graficamente e di se o sistema é compatible. determinado, indeterminado ou incompatible __ x + __ e = __ __ x + __ e = __

__ x + __ e = __ __ x + __ e = __

__ x + __ e = __ __ x + __ e = __

__ x + __ e = __ __ x + __ e = __

Preme


I.E.S. _______________________



2.c. Método de substitución Consiste en despexar unha das incógnitas nunha das ecuacións e substituír a expresión obtida na outra ecuación, chégase así a unha ecuación de primeiro grao cunha soa incógnita; achada esta calcúlase a outra. Na escena podes ver como se aplica o método paso a paso; fíxate que obtemos a mesma solución tanto se despexamos x como y, tanto se o facemos na primeira ecuación como na segunda. Non obstante, a elección da incógnita e da ecuación fará que a resolución sexa máis ou menos sinxela.

Preme no botón

para resolver sistemas por substitución, escribindo aquí dous.

Aproveita a escena para comprobar se os teus resultados son correctos. Sistema 1 Sistema 2

Paso 1: Despexamos __ na __ ecuación: Paso 1:

Paso 2: Substituímos na __ ecuación: Paso 2:


Paso 4: Substituímos e calculamos a __: Paso 4:

Preme


I.E.S. _______________________



2.d. Método de igualación Consiste en despexar a mesma incógnita nas dúas ecuacións e igualar as expresións obtidas. De novo obtemos unha ecuación de primeiro grao cunha soa incógnita. Na escena adxunta podes ver como se aplica o método paso a paso. Fíxate que primeiro debemos elixir que incógnita imos despexar

Preme no botón

para resolver sistemas por igualación, escribindo aquí dous.


Paso 1: Despexamos __ nas 2 ecuacións: Paso 1:

Paso 2: Igualamos: Paso 2:



Preme


I.E.S. _______________________



2.e. Método de redución Consiste en eliminar unha das incógnitas sumando as dúas ecuacións. Para iso multiplícase unha das ecuacións ou ambas as dúas por un número de modo que os coeficientes de x ou de y sexan iguais e de signo contrario. Na escena adxunta podes ver como se aplica o método paso a paso. Fíxate que primeiro debemos elixir que incógnita imos eliminar.

Preme no botón

para resolver sistemas por redución, escribindo aquí dous.


Paso 1: Eliminamos __: Multiplico a 1ª ecuación por __ Multiplico a 2ª ecuación por __

Paso 1:

Paso 2: Achamos a __: Paso 2:

Paso 3: Despejamos__ na __ ecuación e substituímos __ polo seu valor:

Paso 3:

Preme


I.E.S. _______________________



3. Sistemas de segundo grao 3.a. Sistema ax+by=c xy=k

=⋅=+

kyx

cbyax

Para resolver sistemas deste tipo despéxase a x ou a y na segunda ecuación e substitúese na primeira. Redúcese e resólvese a ecuación que queda. Por último substitúense os valores achados na ecuación despexada para calcular a outra incógnita. Na escena adxunta podes ver como se aplica o método paso a paso. Fíxate que primeiro debemos elixir que incógnita imos despexar e en que vai dar a mesma solución sexa cal sexa a incógnita que elixamos.

Preme no botón

para resolver sistemas non lineais, escribindo aquí dous.

Aproveita a escena para comprobar se os teus resultados son correctos.

EXERCICIOS

7. Representa as rectas correspondentes e discute os seguintes sistemas:

a.

=−=+

1

3

yx

yx b.

=−−=−1

322

yx

yx c.

=−=−

1

333

yx

yx

8. Resolve por substitución:

a.

=−−−=+

5510

254

yx

yx b.

−=−−=+

434

4553

yx

yx

9. Resolve por igualación:

a.

=−=+−

096

204

yx

yx b.

=−=−−

1195

3143

yx

yx

10. Resolve por redución:

a.

=+=−

428

25105

yx

yx b.

=+=+

3787

2135

yx

yx

11. Resolve:

=−

=−

287715

22

53yx

yx

I.E.S. _______________________



Sistema 1 Sistema 2

Paso 1: Despexamos __ na 2ª ecuación: Paso 1:

Paso 2: Substituímos na 1ª: Paso 2:

Paso 3: Operamos: Paso 3:

Paso 4: Resolvemos a ecuación: Paso 4:


3.b. Sistema a0x²+b0y²=c0 a1x+b1y=c1

=+=+

111

02

02

0

cybxa

cybxa

Para resolver sistemas deste tipo despéxase a x ou a y na segunda ecuación e substitúese na primeira. Redúcese e resólvese a ecuación que queda. Por último substitúense os valores achados na ecuación despexada para calcular a outra incógnita. Na escena adxunta podes ver como se aplica o método paso a paso. Fíxate que primeiro debemos elixir que incógnita imos despexar procura procura elixir aquela cuxo coeficiente sexa 1.

Preme no botón

para resolver sistemas deste tipo, escribindo aquí dous.


I.E.S. _______________________



Sistema 1 Sistema 2

Paso 1: Despexamos __ na 2ª ecuación: Paso 1:

Paso 2: Substituímos na 1ª: Paso 2:

Paso 3: Operamos: Paso 3:

Paso 4: Resolvemos a ecuación: Paso 4:


EXERCICIOS

12. Resolve:

a.

=−=−20.

1

yx

yx b.

==+

24.

3032

yx

yx

13. Resolve:

a.

−=+=+

1

4122

yx

yx b.

−=+=−

132

72 22

yx

yx

I.E.S. _______________________



Aplicacións prácticas 4.a. Resolución de problemas Para resolver un problema mediante unha ecuación ou un sistema de ecuacións, hai que traducir á linguaxe alxébrica as condicións do enunciado e despois resolver a ecuación ou o sistema formulado. Comeza sempre por ler detidamente o enunciado ata asegurarte de que comprendes ben o que se ha de calcular e os datos que che dan. Unha vez resolta a ecuación ou o sistema comproba que a solución achada cumpre as condicións do enunciado do problema. Coa axuda da escena, completa ti os datos e resolve os problemas: Paso 1: Comprendemos o problema: Nunha reunión cada asistente saúda a todos os demais, se o número de saúdos que se intercambian é __, cantas persoas asisten á reunión?

Paso 4: Resolvemos a ecuación ou sistema:

Paso 2: Identificamos as incógnitas:

Paso 3: Traducimos á linguaxe alxébrica: Paso 5: Comprobamos as solucións:

Paso 1: Comprendemos o problema: Deséxase valar un terreo rectangular un de cuxos lados linda cun río. Se a área do terreo é de ____ m2 e os tres lados a valar miden ___ m, cales son as dimensións do terreo?.




Paso 1: Comprendemos o problema: Dúas persoas encóntranse tendo cada unha delas un capital. Di unha delas á outra: "Se me dás do que tes __ unidades engádoas ao que teño e teremos as dúas igual"; ao que a outra replica: "Se ti me dás do que tes __ unidades engádoas ao que teño e terei o dobre do que che queda". Canto ten cada unha?




Preme


I.E.S. _______________________




Ecuacións de segundo grao

Completas: ax2+bx+c=0

Resólvense coa fórmula

Incompletas: ax2+c=0

Despéxase x

Incompletas: ax2+bx=0

Sácase factor común x

O discriminante dunha ecuación de segundo grao é∆ =

Se ∆>0 a ecuación ten

_____ solucións

Se ∆=0 a ecuación ten

_____ solucións

Se ∆<0 a ecuación ten

_____ solucións

Sistemas de ecuacións lineais

=+=+

222

111

cybxa

cybxa

Nun sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas cada ecuación represéntase cunha recta no plano. O punto de corte (x,y) se existe é a solución do sistema.

Sistemas equivalentes son os que teñen a mesma solución.

Se un sistema ten unha única solución denomínase compatible determinado

As dúas rectas son ________

Se un sistema ten infinitas solucións denomínase compatible indeterminado


Se un sistema non ten solución denomínase incompatible


Métodos de resolución de sistemas

Substitución: Despéxase unha das incógnitas nunha das ecuacións e substitúese na outra.

Igualación: Despéxase a mesma incógnita nas dúas ecuacións e iguálanse as expresións obtidas.

Redución: Multiplícase unha das ecuacións ou as dúas polos números axeitados de maneira que ao sumalas se elimine unha das incógnitas.

Sistemas de ecuacións de 2º grao

Son sistemas nos que unha das ecuacións ou as dúas son de segundo grao nunha das incógnitas ou nas dúas.

Habitualmente resólvense despexando unha das incógnitas na ecuación de primeiro grao e substituíndo na outra o que dá lugar a unha ecuación de 2º grao.

Resolución de problemas

� Comprender o enunciado. � Identificar as incógnitas

� Traducir á linguaxe alxébrica. � Resolver a ecuación ou sistema

� Comprobar as solucións.

Preme


I.E.S. _______________________



Para practicar

Agora vas practicar resolvendo distintos EXERCICIOS. Nas seguintes páxinas atoparás EXERCICIOS de: Ec. de segundo grao Sistemas de ec. lineais Sistemas de ec.de segundo grao Procura facer polo menos un de cada clase e unha vez resolto comproba a solución.

Completa o enunciado cos datos cos que che aparece cada EXERCICIO na pantalla e despois resólveo. É importante que primeiro resólvalo o teu e despois comprobes no ordenador se o fixeches ben. Os seguintes EXERCICIOS son de Ecuacións de segundo grao. 1. Resolve as ecuacións:

a) x8155x7x6 2 −=+−−

b) x514x8x3 2 −=++

c) x8)10x)(6x( −=−−


a) 0144x24x 24 =+−

b) 072x14x 24 =−+

c) 081x4 =−

d) 8)1x)(8x( 22 =−−

I.E.S. _______________________




a) 5x32

4

x2

9 =−

+−

b) 2x34

2

x22

x5 =−

+++

c) 15x7

6x6x3 =

++−−

d) 51x

2x

1x3

x3 =+++−

++


a) 9xx92 =−

b) x42x63 =−+

c) 52xx2 =−−

5. O produto de dous números enteiros é __ e a súa diferenza __. Que números son?

6. A suma dos cadrados de dous números naturais consecutivos é ____, cales son?

7. Ao sumar unha fracción de denominador ___

co seu inversa obtense, cal é a fracción?

I.E.S. _______________________



8. O cadrado dun nº máis __ é igual a __ veces o propio nº, que número é?

9. Busca un número positivo tal que __ veces a súa cuarta potencia máis ___ veces o seu cadrado sexa igual a ___.

10. A idade de Xoan era fai ___ anos a raíz cadrada da que terá dentro de ___. Determinar a idade actual.

11. O numerador dunha fracción positiva é __. Se engadimos __ unidades ao denominador o valor da fracción diminúe nunha unidade. Cal é o denominador orixinal?

12. Dous billas manando xuntos tardan en encher un depósito __ horas, canto tardarán por separado se un deles tarda __ horas máis que o outro?

PISTA: Se unha billa tarda x horas en encher o depósito nunha hora chea 1/x do depósito.

13. Atopa m para que x2-mx+___=0 teña unha solución dobre.

Os seguintes EXERCICIOS son de Sistemas de ecuacións lineais.

14. Resolve os sistemas:

a)

=−

−=−

12y2x45

3

4

y

5

x

b)

=+

−=−

33y5x88

3

8

y

4

x

c)

=+

=+

34y3x73

8

3

y

2

x

I.E.S. _______________________



d)

=−

=−

20y7x59

4

2

y

9

x

15. Dous números suman ___ e o maior é igual a __ veces o menor, que números son?

16. Pomba pagou ____ € por __ entradas para un concerto e __ para o teatro, Luísa pagou ____ € por __ entradas para o concerto e __ para o teatro. Canto custa a entrada a cada espectáculo?

17. Dous números suman ___ e a súa diferenza é ___. Que números son?

18. Dous números suman ___ e o maior é igual a __ veces o menor, que números son?.

19. Pedro ten ___ € en billetes de __€ e de __€; se en total ten ___ billetes, cantos ten de cada clase?.

20. Nun hotel hai ___ cuartos entre dobres e sinxelos. Se o número total de camas é __, cantos cuartos hai de cada tipo?.

21. Deséxase mesturar viño de __ €/litro con viño de __ €/litro para obter unha mestura de __ €/litro. Cantos litros deberemos poñer de cada prezo para obter _____ litros de mestura?.

22. Nun almacén hai dous tipos de lámpadas, as de tipo A e as de tipo B que utilizan __ lámpadas que utilizan __ lámpadas. Se en total no almacén hai ___ lámpadas e ____ lámpadas, cantas lámpadas hai de cada tipo?

I.E.S. _______________________



23. Nun parque de atraccións subir á nora costa __ € e subir á montaña rusa __ €. Ana sobe un total de ___ veces e gasta ____ €, cantas veces subiu a cada atracción?

24. Atopa un número de dúas cifras sabendo que a suma destas é ___ e a diferenza entre o número e o que resulta ao intercambialas é __ PISTA: Se x é a cifra das decenas e e a cifra das unidades o número é 10x+y, e o que resulta ao intercambiar as cifras é 10y+x.

25. Nun curral hai ovellas e galiñas en número de ___ e se contamos as patas obtemos ___ en total. Cantas ovellas e cantas galiñas hai?.

Os seguintes EXERCICIOS son de Sistemas de ecuacións de segundo grao.


a)

−=−=−9y.x

15y6x

b)

=−=+

40y.x

18yx2

c)

=+−=−1y2x

2y3x 22

d)

=+=+3yx

65yx 22

27. A suma de dous números naturais é ___ e o seu produto ____, que números son?.

I.E.S. _______________________



28. Calcula as lonxitudes dos lados dun rectángulo sabendo que a diagonal mide ___ cm e o lado maior excede en ___ cm ao menor.

29. A suma de dous números naturais é ___ e a dos seus cadrados ____, acha os números.

30. A diferenza entre dous números enteiros é __ e o seu produto ____. Que números son?.

31. A suma das idades de dúas persoas é ___ anos e o produto ____. Que idade ten cada unha?.

32. Calcula as lonxitudes dos lados dun triángulo rectángulo de perímetro ___cm., se a suma dos catetos é ____ cm.

33. O produto das dúas cifras dun número é ___ e a suma da cifra das unidades co dobre da das decenas é ___. Acha o número.

34. A suma das áreas de dous cadrados é ____ cm2 e a suma dos seus perímetros é __, canto miden os lados?.

35. Nun triángulo isóscele os lados iguais miden ___ cm e a altura é __ cm máis longa que a base. Calcula a área.

I.E.S. _______________________



Autoavaliación


Resolve a ecuación:




Resolve o sistema:

Resolve o sistema:

Atopa dous números naturais consecutivos tales que a suma dos seus cadrados sexa _____.

Temos ___ € en moedas de __ € e de __ céntimos, se en total hai ___ moedas, cantas hai de cada tipo?

Para valar un terreo rectangular de ___ m2 se han utilizado___ m de preto. Calcula as dimensións do terreo.

Atopa unha ecuación de 2º grao tal que a suma das súas raíces sexa __ e o produto ____

I.E.S. _______________________


Inecuacións - 0 -

Inecuacións

Contidos

1. Inecuacións de primeiro grao cunha incógnita Definicións Inecuacións equivalentes Resolución Sistemas de inecuacións

2. Inecuacións de segundo grao cunha incógnita

Resolución por descomposición Resolución xeral

3. Inecuacións de primeiro grao con dúas incógnitas

Definicións Resolución gráfica Sistemas de inecuacións

4. Problemas con inecuacións Formulación e resolución

Obxectivos

• Resolver inecuacións de primeiro e segundo grao cunha incógnita.

• Resolver sistemas de ecuacións cunha incógnita.

• Resolver de forma gráfica inecuacións de primeiro grao con dúas incógnitas.

• Resolver de forma gráfica sistemas de inecuacións de primeiro grao con dúas incógnitas.

• Formular e resolver problemas con inecuacións.

Autor: José Fernández Gómez Baixo licenza

Versión en galego: Mª Isabel Hermida Rodríguez Creative Commons Se non se indica o contrario.

I.E.S. _______________________


Inecuacións - 1 -

Le con atención o problema do viñateiro e práctica para conseguir unha mestura que se axuste ás condicións esixidas. Escribe na táboa inferior, varias posibilidades válidas.

Unha posibilidade

A= B=

Unha segunda posibilidade A= B=

Unha terceira posibilidade A= B=

Usa a calculadora para intentar aproximar máis os resultados ao valor real da solución

Entre que valores debe estar a cantidade de litros do primeiro tipo de viño para que o prezo final estea no intervalo desexado?

Preme


1. Inecuacións de primeiro grao cunha incógnita

1.a. Definicións Le o texto de pantalla. ESCRIBE DIFERENTES EXEMPLOS DE EXPRESIÓNS CON DESIGUALDADES, CERTAS E FALSAS:

RESPOSTAS

< (menor que) > (maior que) ≤ (menor ou igual que) ≥ (maior ou igual que) ≤ (menor ou igual que) > (maior que) < (menor que)

Preme


Antes de empezar

I.E.S. _______________________


Inecuacións - 2 -

1.b. Inecuacións equivalentes Escribe a continuación cando dúas inecuacións son equivalentes.

EXERCICIO 1: Completa a seguinte táboa escribindo á esquerda unha desigualdade e a dereita a mesma sumándolle, restándolle un número aos dous membros ou multiplicando os seus dous membros polo mesmo número.

Desigualdade inicial Equivalente

Preme no botón

na parte inferior dereita, para facer exercicios dos tres tipos que se propoñen.

Como verás estes exercicios son autoavaliables. Escribe na seguinte táboa algúns deles que resolveras correctamente.

Exercicio Solución

Preme


1.c. Resolución Escribe a continuación que é a resolución dunha inecuación

I.E.S. _______________________


Inecuacións - 3 -

Practica cos exemplos que che propón a escena e copia algúns deles cos seus respectivos pasos na seguinte táboa: Inecuación Paso Paso Solución

Preme no botón

na parte inferior dereita, para facer algúns exercicios dos que se propoñen.

Como verás nestes exercicios dáse a solución. Non copies a solución na táboa sen antes facer os cálculos na túa libreta. Exercicio Solución

Preme


1.d. Sistemas de inecuacións Escribe a continuación que é un sistema de inecuacións de primeiro grao e como se resolve.

Preme no botón

na parte inferior dereita, para facer algúns exercicios dos que se propoñen.

Como verás nestes exercicios dáse a solución. Non copies a solución en táboa sen antes facer os teus cálculos na túa libreta. Exercicio Solución

I.E.S. _______________________


Inecuacións - 4 -

EXERCICIOS

1. Dada a inecuación 5x3x4 −−≤− , indica cál das seguintes inecuacións é equivalente a

ela: I) 5x −≥− II) 5−≤x III) 5x ≤ IV) 5−≤− x

Dada a inecuación 6x9 ≤− , indica cál das seguintes inecuacións é equivalente a ela:

I)9

6−≥x II)9

6x −≤

Dada a inecuación 59

5x6≤

−− , indica cál das seguintes inecuacións é equivalente a ela:

I)6

50−≥x II)6

50x −≤

2. Resolve a inecuación 2

4x8

3

7x6 −>

−+−

3. Resolve o seguinte sistema de inecuacións mostrando as solucións nas formas indicadas na explicación:

5

38

4

47

−−≤

−+ xx

1

5

3

98 xx >+

2. Inecuacións de segundo grao cunha incógnita 2.a. Resolución por descomposición Se o polinomio que caracteriza a inecuación ten raíces reais, pódese usar a súa descomposición en factores para resolvela como un sistema de ecuacións de primeiro grao. Le con atención todos e cada un dos casos que mostra a escena central da páxina. EXERCICIO 1: Completa a seguinte táboa con algúns dos exemplos que se mostran dos casos 1 e 2.

Inecuación Primeiro intervalo sol. ∪ Segundo intervalo sol.

Preme no botón

na parte inferior dereita, para facer os exercicios.

A idea é que practiques cantas veces queiras pero completa a seguinte táboa con 5 exemplos que resolveras CORRECTAMENTE

I.E.S. _______________________


Inecuacións - 5 -

EXERCICIO 2:

Inecuación Primeiro intervalo sol. ∪ Segundo intervalo sol.

Cando remates podes pasar ao seguinte apartado. Preme


2.b. Resolución xeral O procedemento empregado no apartado anterior é válido se o polinomio de segundo grao resultante ten raíces reais. No caso contrario non nos serve.

Practica coa escena central, cada un dos casos, ata entender ben os conceptos.

Preme no botón


EXERCICIO 1: Completa a seguinte táboa debuxando as diferentes parábolas que aparecen nos exercicios. Inecuación 1ª Inecuación 2ª

Inecuación 3ª Inecuación 4ª

EXERCICIOS 4. Resolve a inecuación seguinte por descomposición: 2x2-8x-24 ≤ 0

5. Resolve a inecuación seguinte en forma gráfica: x2-5x>0

I.E.S. _______________________


Inecuacións - 6 -

3. Inecuacións de primeiro grao con dúas incógnitas 3.a. Definicións

EXERCICIO 1: Observaches as diferentes rectas que podes debuxar na escena? Fixa os valores a, b e c seguintes e debuxa a recta.

a=1, b=1; c=1 a=1, b=2; c=1

a=2, b=-1; c=0 a=0, b=2; c=4

LEMBRA

ax + by + c = 0 é a ecuación xeral dunha recta no plano. Usaremos este feito para resolver as inecuacións de primeiro grao con dúas variables.

I.E.S. _______________________


Inecuacións - 7 -

Escribe que é unha inecuación de primeiro grao con dúas incógnitas.


para ir á páxina seguinte..

3.b. Resolución gráfica Recorda que resolver a inecuación equivale a obter todos os puntos do plano cuxas coordenadas fan que se verifique a desigualdade. EXERCICIO 1: Observa a escena con atención. Fixa na escena a=2, b=2 e c=-2. Debuxa no cadro a recta. Completa a seguinte táboa con puntos do plano que substituídos no polinomio 2x+2y-2 den un resultado positivo (azul) ou negativo (verde). Punto resultado Punto resultado

Preme no botón

para facer os exercicios correspondentes.

I.E.S. _______________________


Inecuacións - 8 -

Punto= Inecuación= Punto= Inecuación=

Punto= Inecuación= Punto= Inecuación=



3.c. Sistemas de inecuacións Lembra: Un sistema de inecuacións de primeiro grao con dúas incógnitas é un conxunto formado por dúas ou máis inecuacións de primeiro grao con dúas incógnitas EXERCICIO 1: Observa a escena con detemento. Copia a continuación dous exemplos dos que che ofrece a escena. Escribe a dúas inecuacións, debuxa as rectas asociadas e a solución. Inec= Inec= Inec= Inec=

I.E.S. _______________________


Inecuacións - 9 -

Preme no botón

para facer exercicios de sistemas de inecuacións con dúas incógnitas. Nestes exercicios atoparás 3 inecuacións.

Inec= Inec= Inec=

Inec= Inec= Inec=



EXERCICIOS 6. Descobre se o punto P(-1,-2) é unha solución da inecuación -2 x +3 y≤ 1 e debuxa o

semiplano solución, indicando se inclúe ou non á recta -2 x +3 y =1

7. Descobre se o punto P(-4,-1) é unha solución do sistema de inecuacións:

-2 x-5 y-1 <0

2x+3y-1<0

-x-3<0

Debuxa o conxunto de solucións e se P non pertence a este conxunto atopa algún punto que o faga.

I.E.S. _______________________


Inecuacións - 10 -

4. Problemas con inecuacións 4.a. Formulación e resolución

Formulación e resolución

Para resolver un problema con inecuacións debemos seguir os seguintes pasos: 1. Asignación de variables: poñer nome aos termos descoñecidos. 2. Formulación: establecer relacións entre os datos coñecidos e os descoñecidos,

formulando unha ou varias inecuacións (de primeiro ou de segundo grao, cunha ou con varias incógnitas).

3. Resolución: de entre os métodos explicados aplicar o que se axuste á nosa formulación.

Na escena seguimos este esquema para resolver o problema formulado ao principio.

EXERCICIO 1: Un viñateiro dispón no seu almacén de dous tipos de viño: un a 4€ o litro e outro a 7€ o litro. Quere mesturalos para encher un tonel de 500 litros de capacidade e quere que a mestura non custe máis de 6 € nin menos de 5 € o litro. Descobre entre qué valores debe estar a cantidade de litros do primeiro tipo de viño para que o prezo final estea no intervalo desexado. Asigna variables, formula o problema e resólveo. Variables

Formulación

Resolución

EXERCICIOS 8. Un fabricante de pensos quere obter unha tonelada dun determinado penso, para

vendelo a 0'21€/kg. Para obtelo vai mesturar dous tipos de penso dos que xa dispón e que custan a 0'24€/kg e 0'16€/kg respectivamente.

1) Calcula a cantidade que debe entrar polo menos na mestura do penso máis barato para non perder diñeiro.

2) Cales deben ser as cantidades de cada tipo na mestura se quere gañar polo menos 0'03€/kg?

9. Unha biblioteca ten un presuposto de 600 € para adquirir exemplares de dúas novas

novelas que se editaron. Cada exemplar da primeira costa 25€ e cada exemplar da segunda 30€. Cantos exemplares de cada unha pode adquirir? Representa o problema en forma dun sistema de inecuacións, represéntao graficamente e indica varias posibles solucións.



I.E.S. _______________________


Inecuacións - 11 -


Inecuacións cunha incógnita

As súas solucións exprésanse en forma de intervalos, abertos se as desigualdades son estritas (< , >), pechados no caso contrario (≤, ≥).

x-3≤5 Soluc=

Inecuacións de segundo grao.

Poden resolverse como un sistema ou en forma gráfica, descubrindo se a parábola que a representa corta ao eixe X e se se abre cara a arriba ou cara a abaixo

x2-5x+6>0

Soluc:

Inecuacións de dúas incógnitas

As súas solucións son semiplanos e resólvense en forma gráfica.

x-y≤3

2x+y≤2

Sistemas con dúas incógnitas

Cada inecuación resólvese de forma independente. As solucións do sistema son as comúns a todas elas.

Resólvense de forma gráfica

x-y≤3

2x+y≤2

Preme


I.E.S. _______________________


Inecuacións - 12 -

Para practicar

Agora vas practicar resolvendo distintos EXERCICIOS. Nas seguintes páxinas atoparás EXERCICIOS de:

Inecuacións con valor absoluto Inecuacións de segundo grao Inecuacións racionais Inecuacións con dúas incógnitas

Procura facer polo menos un de cada clase e unha vez resolto comproba a solución.

Completa o enunciado cos datos cos que che aparece cada EXERCICIO na pantalla e despois resólveo. É importante que primeiro resolvas ti e despois comprobes no ordenador se o fixeches ben. Os seguintes EXERCICIOS son de Inecuacións con valor absoluto . 1. | | <

2. | | ≤

3. | | >

4. | | ≥

Os seguintes EXERCICIOS son de Inecuacións de segundo grao.

5.

6.

7.

I.E.S. _______________________


Inecuacións - 13 -

8.

Os seguintes EXERCICIOS son de Inecuacións racionais. 9.

10.

11.

12.

Os seguintes EXERCICIOS son de Inecuacións con dúas incógnitas.

13.

14.

15.

16.

I.E.S. _______________________


Inecuacións - 14 -

Autoavaliación


Indica cal é o intervalo solución da inecuación:

Un móbil desprázase en liña recta a unha velocidade que varía entre ______m/s e ______m/s. Entre que distancias dende o punto de partida se atopa o móbil ao cabo de dez horas?

Indica e debuxa no recadro a gráfica solución do sistema:

Indica e debuxa no recadro a gráfica solución do sistema:

Indica cal é a solución da inecuación:

A que parella de sistemas de inecuacións de primeiro grao é equivalente a inecuación seguinte?

I.E.S. _______________________


Inecuacións - 15 -

Debuxa a imaxe que aparece en pantalla. Esa imaxe é a gráfica do polinomio de segundo grao da inecuación _________________. Indica cal é o conxunto solución da mesma.

A. Non ten solucións

B. Todos os números reais

C. Un intervalo finito

D. A unión de dous intervalos infinitos

Indica cál das imaxes representa o conxunto solución da inecuación:

Fai o debuxo �

Indica cál dos seguintes sistemas de inecuacións con dúas incógnitas ten como conxunto solución esta imaxe:

Fai o debuxo �

Indica cál dos seguintes sistemas de inecuacións con dúas incógnitas ten como conxunto solución esta imaxe:

Fai o debuxo �

I.E.S. _______________________


Semellanza - 1 -

Semellanza

Contidos 1. Semellanza

Figuras semellantes Teorema de Tales Triángulos semellantes

2. Triángulos rectángulos. Teoremas

Teorema do cateto Teorema da altura Teorema de Pitágoras xeneralizado

3. Razón de semellanza

Razón de semellanza en lonxitudes Razón de semellanza en áreas Razón de semellanza en volumes

4. Aplicacións

Escalas Medir distancias inaccesibles

Obxectivos • Recoñecer e debuxar figuras semellantes.

• Aplicar os criterios de semellanza de triángulos.

• Demostrar e utilizar os teoremas do cateto e da altura.

• Aplicar o teorema de Pitágoras xeneralizado.

• Calcular áreas e volumes dunha figura a partir doutra semellante a ela.

• Calcular distancias en planos e mapas.

• Resolver problemas de medida utilizando o Teorema de Tales e a semellanza.

Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

I.E.S. _______________________


Semellanza - 2 -

Premendo sobre esta imaxe, poderás ver un vídeo sobre matemáticas e natureza Investiga xogando

Como facer carambola a unha banda? Se xogaches ao billar, saberás que facer carambola a unha banda significa que a bóla lanzada debe dar unha vez no marco da mesa antes de facer carambola. Abonda aplicar a semellanza para conseguilo, ¿Como? ¿Cara a onde debemos dirixir a bóla amarela para que despois de rebotar na banda

vaia á bóla vermella? Se fas dobre clic na imaxe poderás demostrar a túa puntaría, non falles! Na escena aparecen o sol e a lúa; movendo a lúa podemos simular unha eclipse

Aplicando a semellanza e o teorema de Tales pódese calcular a distancia da terra á lúa, a partir da duración dunha eclipse total. Ou coñecendo os raios da lúa e do sol e a distancia da terra á lúa, pódese achar a distancia da terra ao sol. A semellanza fai accesibles figuras e distancias inaccesibles.


1. Semellanza 1.a. Figuras semellantes Le na pantalla a explicación teórica deste apartado que está á dereita. Completa: As figuras semellantes son as que _____________________________________________ __________________________________________________________________________. Facendo clic sobre a palabra polígono ábrese unha ventá explicativa. E acercando o rato á palabra proporcionais aparece un recadro coa explicación correspondente. Contesta: Para que dous polígonos sexan semellantes: Como teñen que ser os lados homólogos? ___________________________ Como teñen que ser os ángulos? __________________________________

Antes de empezar

Os ángulos iguais α = α’ … Os lados proporcionais b'/b = c’/c …

Baseándose na semellanza, Tales predixo o momento e lugar dunha eclipse

Nunha eclipse total parece que a lúa ten o mesmo diámetro que o sol.

Como os triángulos son semellantes, pódense calcular as distancias.

I.E.S. _______________________


Semellanza - 3 -

Na escena adxunta temos sete casos diferentes de figuras semellantes, nos que tes que facer coincidir as figuras que aparecen; en primeiro lugar debes conseguir que as figuras sexan iguais, mediante os controis Zoom, Xiro ou Simetría e despois facer que coincidan mediante os controis Arriba-Abaixo, Esq-Dta

Preme no botón


Na escena aparecen unha serie de figuras animadas. Espera a que rematen as animacións antes de comezar a facer os exercicios. Completa o cadro adxunto coa axuda da escena (os exercicios 6 e 7 fainos unicamente na pantalla). Como son os ángulos

homólogos? Por que? Comproba se os lados homólogos son proporcionais

Son semellantes? Por que?


I.E.S. _______________________


Semellanza - 4 -

1.b. Teorema de Tales Contesta: Cantas condicións teñen que cumprirse para que dous polígonos sexan semellantes? _____. Cales son?

1. ____________________________ 2. ____________________________

Cantas condicións teñen que cumprirse para que dous triángulos sean semellantes? _____.

Premendo sobre O Teorema de Tales podes ver unha demostración de que:

Tamén se cumpre o recíproco do Teorema de Tales,

Segmentos proporcionais → rectas paralelas. Na escena da dereita tes catro situacións do teorema; escribe ao lado de cada unha a proporción correspondente. Se pulsas en animar verás os triángulos semellantes

Preme no botón

para ver unha comprobación gráfica do teorema.


I.E.S. _______________________


Semellanza - 5 -

1.c. Triángulos semellantes Dous triángulos son semellantes se cumpren algún dos seguintes criterios, chamados criterios de semellanza (completa os criterios e as fórmulas)::

Pulsa no botón

para ver a construción de triángulos semellantes segundo cada criterio

A escena da dereita presenta uns exercicios sobre o que vimos nesta sección. Resólveos no recadro de exercicios seguinte e despois comproba a solución na escena (a numeración que aparece na escena é a que está nos círculos):

EXERCICIOS 1. Para calcular a distancia desde a praia a un barco tomáronse as medidas da figura.

Calcula a distancia ao barco.

2. Aplica o Teorema de Tales para calcular as medidas de x, y, z.

I.E.S. _______________________


Semellanza - 6 -

EXERCICIOS 3. Observa as proporcións que se deducen do Teorema de Tales na figura da escena e

anota as que se cumpren e as que non::

SON CERTAS NON TEÑEN PORQUÉ SER CERTAS

4. Os triángulos da figura son semellantes, acha a medida do lado x. Ñ

5. Realiza primeiro o test que aparece na escena de pantalla... Despois contesta a este

test.

a) Son semellantes?

b) Un triángulo cun ángulo de 30º e outro de 40º, é forzosamente semellante a un triángulo cun ángulo de 30º e outro de 110º?

I.E.S. _______________________


Semellanza - 7 -

EXERCICIOS c) Un triángulo de lados 3, 6 e 7 cm, é semellante a outro cuxos lados miden 9, 36

e 49 cm?

d) Un cuadrilátero de lados 3, 4, 5 e 6 cm, é necesariamente semellante a outro de lados 6, 8, 10 e 12 cm?

e) Dous triángulos que teñen un ángulo de 20º e os lados que o forman nun miden 6 e 15 cm, e noutro, 4 e 10 cm. Son semellantes?

f) Dous polígonos regulares co mesmo número de lados, son semellantes?

g) Os lados de dous triángulos miden 3, 6 e 7 cm, nun, e 18 , 2

12 e 27 noutro.

Son semellantes?

6. Ao cortar a metade unha folla DIN-A, obtense unha semellante. Seguindo as

indicacións da escena calcula a proporción entre o largo e o longo nestas follas.

I.E.S. _______________________


Semellanza - 8 -


EJERCICIOS 7. O rectángulo áureo que aparece no Partenón e na Gioconda, caracterízase, porque ao

cortarlle o cadrado de lado o seu lado menor, obtense outro rectángulo semellante. Calcula a proporción entre as súas lonxitudes.

8. Acha a altura da árbore axudándote das sombras que proxectan a árbore e unha

persoa.

9. Ao dobrar un rectángulo, como indica a escena, obtéñense tres triángulos semellantes,

por que son semellantes?

I.E.S. _______________________


Semellanza - 9 -

2. Triángulos rectángulos. Teoremas 2.a. Teorema do cateto Le na escena da esquerda o enunciado e a demostración deste teorema. Completa: TEOREMA DO CATETO: Nun triángulo rectángulo, ________________________________ __________________________________________________________________________.

Fai clic en “avance” para ver a demostración

TEOREMA DO CATETO:

c = ___________________________ p = ___________________________ h = ___________________________ Unha vez rematada a demostración podes repetila de xeito guiado.

O teorema pódese xeneralizar a triángulos acutángulos e obtusángulos, comparando os triángulos correspondentes.

Completa as fórmulas para os diferentes tipos de triángulos: O Teorema do cateto para triángulos rectángulos:

O Teorema do cateto para triángulos obtusángulos:

O Teorema do cateto para triángulos acutángulos:

Pulsa no botón

para comprobar o teorema mediante un puzle.


I.E.S. _______________________


Semellanza - 10 -

2.b. Teorema da altura Le na escena da esquerda o enunciado e a demostración deste teorema. Completa: TEOREMA DA ALTURA: _______________________________________________________ __________________________________________________________________________.

Fai clic en “avance” para ver a demostración

a = ___________________________ p = ___________________________ q = ___________________________ Unha vez acabada a demostración podes repetila de xeito guiado.

TEOREMA DA ALTURA:

Completa: O Teorema da altura para triángulos rectángulos:

O cadrado da altura __________________________________________________________ __________________________________________________________________________.

Preme: lembra Ábrese unha escena na que podes ver un triángulo rectángulo e se pulsas “avanzar” observarás os outros triángulos en que se divide ao trazar a altura con pé na hipotenusa:

Completa:

Comparando 1 e 2 obtemos o teorema ____________________________.

Comparando 1 e 3 obtemos o teorema ____________________________.

Preme no botón

para ver unha animación na que se aplica o teorema da altura para

calcular raíces cadradas graficamente e para representar graficamente a función xy =


I.E.S. _______________________


Semellanza - 11 -

2.c. Teorema de Pitágoras xeneralizado Na escena podes facer unha demostración gráfica do teorema de Pitágoras.

Arrastrando o punto A (sinalado aquí coa frecha vermella) podes variar a forma do triángulo ABC, ao variar o ángulo C. Seguindo as instrucións da escena obterás distintas fórmulas dependendo da medida de C.

Pulsa Comezar

Podes repetir a demostración pulsando en Inicio

Na escena vemos que c2=M+N e M=b2 ± b · pb (a) Analogamente N= a2 + a · pa(b) Polo tanto:

c2 = a2 + b2 ± b · pa(b) ± a · pb(a)

Pulsando en clic Vemos que:

b · pb(a) = a · pa(b) Completa as fórmulas para o Teorema de Pitágoras xeneralizado:

O enlace Para ampliar pulsa aquí abre unha escena con tres demostracións do Teorema de Pitágoras, así como varios enlaces recomendados nos que poderás ver máis demostracións gráficas.

Pulsa no botón

para resolver exercicios desta sección.

Resólveos nos recadros da páxina seguinte e despois utiliza a escena para comprobar se os teus resultados son correctos.

I.E.S. _______________________


Semellanza - 12 -

Calcula a diagonal dun ortoedro de arestas de ___ dm, de ___ dm e de ___ dm

Escribe os valores ordenados dos tres lados dun triángulo (fai 3 exemplos diferentes):

a = _____ b = _____ c = _____

Valor de a2+b2 = ____ Escribe agora o signo

axeitado: a2+b2___ c2 polo tanto C é _________

a = _____ b = _____ c = _____



a = _____ b = _____ c = _____



No triángulo da figura calcula a hipotenusa, as proxeccións dos catetos e a altura.

Unha terna pitagórica (a, b, c) son tres números que cumpren a2+b2=c2

Escribe 4 ternas Pitagóricas das que aparecen na escena e comproba que cumpren esa relación:

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

Calcula o diámetro da semicircunferencia da figura.

Calcula a medida do cateto x na figura.

I.E.S. _______________________


Semellanza - 13 -

Fai os test Pitagóricos que se propoñen, e anota a túa puntuación final. �


EXERCICIOS 10. Calcula a diagonal dun ortoedro con oito arestas de 2 dm e as outras de 3 dm.

11. Decide se é rectángulo, obtusángulo ou acutángulo un triángulo de lados 3 cm, 6 cm e

8 cm. 12. No triángulo da figura calcula a hipotenusa, as proxeccións dos catetos e a altura.

13. Comproba que se M, N (M>N) son dous valores enteiros (M2-N2, 2MN, M2+N2) é unha

terna pitagórica. 14. Calcula o diámetro da semicircunferencia da figura.

15. Calcula a medida do cateto x na figura.

I.E.S. _______________________


Semellanza - 14 -

3. Razón de semellanza 3.a. Razón de semellanza en lonxitudes Le na pantalla a explicación teórica deste apartado que está á dereita. Completa: Se dúas figuras A e B son semellantes, chámase razón de semellanza da figura B sobre a A __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________.

A razón de semellanza define ________________________________________________.

Na escena da esquerda define un polígono indicando o número de lados e as súas medidas e mesmo as posicións dos vértices. Para iso utiliza os interruptores: Na parte inferior indica a razón de semellanza: Debuxa aquí casos diferentes, co nº de lados que se indican e con distintas razóns:

Polígonos de tres lados Polígonos de catro lados

I.E.S. _______________________


Semellanza - 15 -

Polígonos de cinco lados Polígonos de seis lados

Pulsa no botón

para resolver uns exercicios.


Cal é a razón de semellanza que pasa da figura laranxa á figura verde?

Cal é a razón de semellanza que pasa da figura laranxa á figura verde? Calcula a lonxitude do segmento sinalado cunha interrogante.

I.E.S. _______________________


Semellanza - 16 -

¿Cal é a razón de semellanza que pasa da figura laranxa á figura verde? Calcula a lonxitude do segmento sinalado cunha interrogante:

A partir deste triángulo debuxa outro semellante que se obteña ao aplicar a este unha razón de semellanza igual a ¼. Calcula a lonxitude da hipotenusa en cada triángulo.


3.b. Razón de semellanza en áreas Le na pantalla a explicación teórica deste apartado que está á dereita. Completa: Se dúas figuras A e B son semellantes, ___________________________________________ __________________________________________________________________________.

Na escena da esquerda aparecen dous rectángulos. Indica un valor para a razón de semellanza utilizando o interruptor correspondente:

Observa cál é a relación entre as áreas dos dous rectángulos. Fai clic en

I.E.S. _______________________


Semellanza - 17 -

Pulsa no botón


Aproveita a escena para comprobar se os teus resultados son correctos. ¿Cal é a razón dunha semellanza que converte unha figura noutra de área a cuarta parte?

¿Cal é a área dunha figura que se obtén ao aplicar a outra de área 2 m2, unha semellanza de razón 2,4?

Nunha semellanza de razón 0,6 obtense unha figura de área 7,2 m2 ¿cal é a área da figura inicial?

Debuxa un triángulo semellante de área a cuarta parte deste.


I.E.S. _______________________


Semellanza - 18 -

3.c. Razón de semellanza en volumes Le na pantalla a explicación teórica deste apartado que está á dereita. Completa: Se dúas figuras A e B son semellantes, ___________________________________________ __________________________________________________________________________.

Na escena da esquerda aparecen dous cubos. Indica un valor para a razón de semellanza utilizando o interruptor correspondente:

Observa cál é a relación entre os volumes dos dous cubos. Fai clic en

Pulsa no botón


Aproveita a escena para comprobar se os teus resultados son correctos. ¿Cal é a razón de semellanza que se aplicou para realizar esta maqueta? O volume da casa é de 1200 m3. O volume da maqueta é de 150 dm3.

I.E.S. _______________________


Semellanza - 19 -

¿Cal é o volume da figura da dereita?

¿Cal é o volume da figura da esquerda?


4. Aplicacións 4.a. Escalas Os mapas ou planos de vivendas adoitan indicar a escala deste xeito:

1:2500000 nalgún mapa de estradas 1:250 no plano dunha vivenda.

Para saber aplicar as escalas a lonxitudes áreas e volumes solo hai que lembrar as seguintes fórmulas: Completa:

Escala=1:I

I = ____________________________________

I2 = ____________________________________

I3 = ____________________________________

I.E.S. _______________________


Semellanza - 20 -

A escena da dereita presenta uns exercicios sobre escalas. Resólveos e comproba a solución na escena:

Na imaxe de Google vense os arredores do CNICE, ¿Cal é a escala?. Nota: Non che esqueza ler as indicacións

Medida do percorrido (m)___________

Medida no plano (cm)____________

Esta secuencia de exercicios trata sobre a escala do plano dunha vivenda, utiliza a regra para medir no plano, e despois calcula cales serán as medidas reais do salón. Resolve os cinco exercicios propostos no ordenador e anota aquí tres dos casos.

Exercicio 1 Exercicio 2 Exercicio 3

Escala_ 1: _____

Ancho no plano cm)=____

Ancho real (m)=____

Largo no plano (cm)=____

Largo real (m)=______

Área no plano (cm2)=____

Área real (m2)=______

Escala_ 1: _____


Ancho real (m)=____





Escala_ 1: _____


Ancho real (m)=____





O volume real dunha das torres Kio en Madrid é 139650 m3 se a escala é 1:700, ¿cal é o

volume da maqueta?


I.E.S. _______________________


Semellanza - 21 -

4.b. Medir distancias inaccesibles A semellanza aplícase ao cálculo de distancias inaccesibles, xa indicamos ao comezo, no apartado "antes de empezar", que pode calcular o raio do sol aplicando semellanza nunha eclipse total. Na sección 1 vimos como calcular a distancia a un barco ou a un punto inaccesible. Nesa sección tamén se calculan alturas a partir da súa sombra e da doutro obxecto a altura do cal se pode medir. A escena móstranos un instrumento para calcular medidas inaccesibles e un exercicio para aplicar o Teorema de Pitágoras e a semellanza ao cálculo de distancias.

Aplica o visto nesta escena para facer o seguinte exercicio: Deséxase calcular a distancia entre os puntos A e B, para iso tomaron as medidas da figura: QM=1 m, XM=0,69 m e QB=5,67 m

Con axuda da escena calcula a lonxitude do fío de pescar


I.E.S. _______________________


Semellanza - 22 -


Figuras semellantes

Se se pode pasar dunha a outra mediante zoom (___________) e movementos (_______________________________________).

Polígonos semellantes

Se teñen e os lados _____________________ e os ángulos ____________.

Triángulos semellantes

No caso dos triángulos abonda que se cumpra un dos tres criterios:

Criterio 1 Criterio 2 Criterio 3

Ángulos ____________ Un ángulo_______________ e os lados que o forman _______________________

Lados __________________

Teorema de Tales

Os segmentos que determinan rectas _________________ en dous rectas________________ son ___________________

Teoremas en triángulos rectángulos

Teorema do cateto

Teorema da altura

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras xeneralizado

En triángulos acutángulos

En triángulos obtusángulos

Razón de semellanza

En lonxitudes ________

En áreas ____________

En volúmes _________


I.E.S. _______________________


Semellanza - 23 -

Para practicar


Semellanza e Teorema de Tales Aplicación dos teoremas sobre triángulos rectángulos Razón de semellanza e escalas

Completa o enunciado cos datos cos que che aparece cada EXERCICIO na pantalla e despois resólveo. É importante que primeiro o resolvas ti e despois comprobes no ordenador se o fixeches ben. Semellanza e Teorema de Tales. TEOREMA DE TALES. Calcula x (Catro tipos de exercicios)

1. As rectas azuis (r, s e t) son paralelas, determina o valor de x en cada caso:

I.E.S. _______________________


Semellanza - 24 -

Cuadriláteros semellantes

2. As medidas de tres lados homólogos de dous cuadriláteros semellantes son: cm cm cm

cm cm cm

Acha x e y.

Extensión da base

3. A base dun monte obsérvase a unha distancia de ____ km. Móvese unha regreta de ____ cm ata cubrir con ela visualmente a base e nese momento a distancia da regreta ao ollo do observador é de ____ m. Calcula a anchura da base do monte.

Anchura do río

4. Calcula a anchura do río.

Profundidade do pozo

5. Calcula a profundidade do pozo.

I.E.S. _______________________


Semellanza - 25 -

Por onde corto?

6. Por onde se ten que cortar a folla para que o anaco da esquerda sexa semellante á folla enteira?

Largo _____

Longo ______

¿Triángulos semellantes? (Dous tipos de exercicios)

7. Debuxa un triángulo cun ángulo de ____ e un dos lados que o forman de ____. Son semellantes todos los triángulos que cumpren estas condicións?

8. Debuxa un triángulo cun ángulo de ___ e o cociente dos lados que o forman igual a ___. Son semellantes todos os triángulos que cumpren estas condicións?

Aplicación dos teoremas sobre triángulos rectángulos. Teoremas. Calcula x (Seis tipos de exercicios)

9. Calcula o valor de x en cada triángulo:

I.E.S. _______________________


Semellanza - 26 -

Pirámides (Tres tipos de exercicios)

10. Calcula o lado da base da pirámide regular sabendo que a súa aresta lateral é de ____cm a a altura de cada unha de sus caras laterais é de _____cm.

11. a) Calcula a altura da pirámide sabendo que a súa base é un polígono regular de

apotema ___cm e a altura de cada unha das súas caras laterais é de ____cm.

I.E.S. _______________________


Semellanza - 27 -

b) Calcula a altura da pirámide sabendo que a súa base é un polígono regular inscrito nunha circunferencia de raio ___cm e a súa aresta lateral é de ____cm.

Praza de touros

12. Nunha praza de touros pódese calcular o seu diámetro medindo tan só uns metros. En dirección dun diámetro (defíneo a visual cos espectadores de en fronte) mídense __m e xirando 90º avánzase nesa dirección ata a quella, resultando a medida deste percorrido igual a _____m. Calcula o diámetro da area da praza de touros.

Diámetro e Teorema do cateto

13. Calcula o diámetro da circunferencia da figura.

Distancias en coordenadas

14. a) Hallar la distancia entre los puntos de coordenadas (___, ___) y (___, ___)

I.E.S. _______________________


Semellanza - 28 -

Ecuación da circunferencia

b) Os puntos (x, y) dunha circunferencia distan do centro un radio. Se o centro é o punto (___, ___) e o radio ___. Saberías expresar esta condición cunha ecuación? Pista: Aplica o teorema de Pitágoras no triángulo da figura

Calcula o lado c

15. Aplica o teorema xeneralizado de Pitágoras para calcular a medida do lado c no triángulo da figura.

(Pulsa OUTRO EXERCICIO ata que apareza cada unha das figuras seguintes)

I.E.S. _______________________


Semellanza - 29 -

Razón de semellanza e escalas. Lonxitudes escala?

16. Na figura vese unha copia do debuxo orixinal. Cal é a escala da copia?

Mapa e curvímetro (Dous tipos de exercicios)

17. Ao medir sobre o mapa co curvímetro a distancia por estrada entre dous pobos obtemos _______ cm, a escala do mapa é 1:_________0. Cantos km terá a estrada que une eses dous pobos?

18. Ao observar un mapa de escala 1:________ descubrimos que falta un pobo, B, nunha

estrada. Se sabemos que B dista ______ km doutro pobo A que vemos no mapa, a cántos cm de A pola estrada do mapa colocarán o punto que represente a B?

Áreas e volumes (Seis tipos de exercicios)

19. O volume dunha torre é de ________m3 calcula o volume da súa representación nunha maqueta de escala 1:______.

I.E.S. _______________________


Semellanza - 30 -

20. A área da base dunha torre é de _____m2 calcula a área da mesma nunha maqueta de escala 1:______.

21. A área dunha torre é de _______ m2 e nunha maqueta ocupa unha superficie de

_____cm2 . Acha a escala da maqueta.

22. A área da base dunha torre é de ____cm2 nunha maqueta de escala 1:______. Calcula a

área real da base.

23. O volume dunha torre é de _______m3 e nunha maqueta ocupa un volume de

_______cm3. Acha a escala da maqueta.

24. O volume dunha torre é de _______m3 nunha maqueta de escala 1:______. Calcula o

volume real da torre.

I.E.S. _______________________


Semellanza - 31 -

Autoavaliación


Aplica a semellanza para calcular o valor de x.

Sabendo que os ángulos interiores dun cuadrilátero suman 360º, calcula o valor de x.

Cuadrilátero maior: ángulos ____º e ___º

Cuadrilátero menor: ángulo _____º

Os polígonos da escena, ¿son semellantes? En caso afirmativo introduce un 1 na solución, en caso negativo escribe un -1

Como a ventá da casa de en fronte é igual que a miña podo saber a súa altura, e coa visual dunha vara calcular a anchura da rúa. Calcúlaa.

Se os lados dun triángulo miden ______, ______ e ______ cm, ¿que tipo de triángulo é?

I.E.S. _______________________


Semellanza - 32 -

Calcula o perímetro dun triángulo rectángulo no que as proxeccións dos catetos sobre a hipotenusa miden ______cm e ______ cm

Nun triángulo rectángulo un cateto mide ______cm e a altura sobre a hipotenusa ______cm, ¿canto mide a hipotenusa?.

Calcula a área dun triángulo rectángulo no que as proxeccións dos catetos sobre a hipotenusa miden ______ e ______cm.

A xeratriz dun cono recto mide ______cm e o raio da base ______ cm. Acha a altura dun cono semellante a este realizado a escala 1:_____

Calcula a área en m2 dun piso do que temos un plano a escala 1:_______, se o piso no plano ocupa ______ cm2

I.E.S. _______________________


Trigonometría - 1 -

Trigonometría

Contidos

1. Os ángulos e a súa medida Percorridos na circunferencia Radiáns Graos sesaxesimais De radiáns a graos Medindo ángulos

2. Razóns trigonométricas Razóns trigonométricas Sen e cos na circunferencia Tanxente na circunferencia Razóns de 30º, 45º e 60º

3. Relacións trigonométricas Relacións fundamentais

4. Resolver triángulos rectángulos Cun ángulo e a hipotenusa Dados un ángulo e un cateto Coñecidos dous lados

5. Razóns de ángulos calquera Seno Coseno Tanxente

6. Aplicacións da trigonometría Resolver problemas métricos

Obxectivos

• Calcular as razóns trigonométricas dun ángulo.

• Achar todas as razóns trigonométricas dun ángulo a partir dunha delas.

• Resolver triángulos rectángulos cando se coñecen dous lados ou un lado e un ángulo.

• Resolver situacións relacionadas coa xeometría nas que se precise calcular ángulos e distancias entre dous puntos.

• Utilizar a calculadora para obter razóns ou ángulos. Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

I.E.S. _______________________



Na escena da dereita tes unha presentación na que podes ler a historia da trigonometría;

Premendo as frechas e podes ir pasando as distintas diapositivas. CONTESTA RESPOSTA Cal é o primeiro monumento que se coñece que serve para cálculos astronómicos?

Cita varias civilizacións antigas que utilizasen a trigonometría

Cita varias utilidades da trigonometría na antigüidade

Cita varias utilidades da trigonometría na actualidade

Investiga

Seguramente verías este sinal nas estradas e coñeces o que indica: pendente prolongada. Tamén lembrarás o concepto de pendente dunha recta. Segundo este, o 10% significa que cada 100 m percorridos en horizontal, subimos (ou baixamos) 10 en vertical. Pero algúns interpretan os 100 m como o camiño real recorrido. Ti que opinas?, inflúe moito consideralo dunha ou outra forma? Explica

brevemente a túa opinión

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Preme o botón

para repasar semellanza e o Teorema de Pitágoras.


1. Os ángulos e a súa medida 1.a. Percorridos na circunferencia Trigonometría é unha palabra que deriva do grego Τριγωνοµετρíá, Tri (Τρι) tres, gono (γωνο) ángulo, metría (µετρíα) medida, e dicir, "medida de tres ángulos". Podes consultar a definición de trigonometría que dá o dicionario da R.A.E. Neste curso tratarase unicamente a trigonometría plana. Co obxecto de estudar os ángulos e a súa medida consideraremos que un ángulo é un percorrido na circunferencia con centro a orixe e de raio unidade ou circunferencia goniométrica, o punto de partida destes percorridos situarase no punto de coordenadas (1,0) e a medida dun ángulo será a medida dese percorrido. Os ángulos poden ter sentido positivo ou negativo segundo sexa o do seu percorrido; se é contrario ao das agullas do reloxo será positivo e se é igual, negativo.

Antes de empezar

I.E.S. _______________________



Observa e manipula a escena da dereita: CONTESTA RESPOSTA

Que é un ángulo?

Que significa que un ángulo teña sentido positivo?

Que significa que un ángulo teña sentido negativo?

A que se lle chama circunferencia goniométrica?

Debuxa un ángulo positivo Debuxa un ángulo negativo

Preme no botón

para resolver un exercicio.

Debuxa aquí polo menos 4 dos ángulos que se propoñen, e escribe ao lado a opción correcta que debes escoller na escena:


I.E.S. _______________________



1.b. Radiáns Medir un ángulo é medir o seu percorrido na circunferencia. Como a medida de toda a circunferencia é 2·π·raio, resulta conveniente tomar como unidade de medida o raio. Na páxina anterior, os ángulos representáronse nunha circunferencia de raio 1, iso non significa que o raio mida 1 cm ou 1 pé ou 1 m, senón que o raio é a unidade de medida tomada. Por razóns evidentes a esta unidade chámaselle radián. A escena comeza mostrando o ángulo de medida un radián, aquel cuxo percorrido na circunferencia é igual ao seu raio. Logo, nos exemplos, pídese unha estimación da medida dalgúns ángulos. Escribe aquí a opción correcta en cada caso: Exemplo 1 Exemplo 2

Preme no botón

para Visualizar algúns ángulos en radiáns.


1.c. Graos sesaxesimais Xa coñeces o sistema sesaxesimal de medida de ángulos. Ao dividir a circunferencia en 360 partes iguais, obtemos un grao, á súa vez cada grao componse de 60 minutos e cada minuto de 60 segundos. Así un ángulo mídese en:

graos º minutos ' segundos '' Con axuda da escena da dereita, mide os ángulos que se indican da fotografía

A B C

D E F

Sistema Sesaxesimal Ten base 60. Este sistema de medida herdámolo da antiga Babilonia, observa a semellanza coa forma en que medimos o tempo. Sabes por que?

I.E.S. _______________________



Preme no botón

para resolver un exercicio.

Nas calculadoras usuais adoitan aparecer catro tipos de medida de ángulos, "DEG" ou expresión en graos sesaxesimais; a tecla < º ' " > dá os graos enteiros do ángulo e a parte decimal cóntase en minutos (1/60 de grao) e segundos (1/60 de minuto). Outro tipo denótase con "RAD" é dicir, radiáns. E tamén se adoita ver a expresión do ángulo en graos centesimais "GRAD" cada grao centesimal é a centésima parte do ángulo recto, toda a circunferencia está formada por 400 graos centesimais. 1GRAD=90/100 DEG Intenta completar a seguinte táboa, expresando cada ángulo nos catro sistemas de medida descritos.

GRAD DEG º ' " RAD

-100

180

∏⁄6

60º 30'

-∏⁄4

135


1.d. De graos a radiáns e de radiáns a graos Le a explicación teórica e observa a escena. Completa:

O semiperímetro da semicircunferencia é _________

___ radiáns = ____ graos

é dicir, _____________ = __________________

______ radián = ______ grao

Se despexamos o grao resulta:

1 grao = __________ ~ ________ radiáns

Se despexamos o radián resulta:

1 radián = _______ graos ~ _______ graos

Practica coa escena o paso dun sistema de medida ao outro.

I.E.S. _______________________




1.e. Medindo ángulos Na escena desta páxina pódese medir ángulos con distintas unidades e distinto signo. Practica con ela cambiando o sentido de xiro do ángulo e as unidades de medida.

Preme no botón

para ver catro exercicios resoltos.


EXERCICIOS

1. Debuxa na circunferencia goniométrica os ángulos de 120º, -50º e 315º:

2. Debuxa na circunferencia goniométrica os ángulos de 5π/6, 3π/4, e 3π/2 rad:

3. Pasa a radiáns:

a. 150º, b. 210º c. 270º d. 60º

4. Pasa a graos:

a. 11π/6 rad b. π/4 rad c. 5π/4 rad d. 2π/3 rad

I.E.S. _______________________



2. Razóns trigonométricas

2.a. Razóns trigonométricas Nos triángulos semellantes os ángulos son iguais e os lados homólogos son proporcionais. A razón entre os lados dun triángulo determina a súa forma. Dado un triángulo rectángulo, as razóns trigonométricas do ángulo agudo α defínense:

� O seno é o cociente entre ______________________ e ___________________.

� O coseno é o cociente entre _____________________ e ___________________.

� A tanxente é o cociente entre ___________________ e ___________________.

Na escena podes variar o valor do ángulo α e o tamaño do triángulo e observar que estas razóns non dependen do tamaño do triángulo senón do ángulo α. Tamén se utilizan as razóns inversas a estas, podes velas Premendo o enlace aquí Completa a táboa con estas razóns para un ángulo α


2.b. Seno e coseno na circunferencia Seguindo as instrucións da escena vemos definidos o seno e o coseno na circunferencia goniométrica ou de raio unidade. No triángulo rectángulo que se forma como a hipotenusa é 1,

o cateto oposto é o __________________

o adxacente o ___________________

Observa que (cos α, sen α) son as coordenadas do punto final do ángulo α na circunferencia de raio unidade. Preme para ir á páxina seguinte.

Recorda Chámase razón ou proporción entre dous números ao seu cociente.

I.E.S. _______________________



2.c. Tanxente na circunferencia Na escena compréndese por que ao cociente entre o cateto oposto e o cateto adxacente se lle chama tanxente, o seu valor queda definido sobre unha recta tanxente á circunferencia no punto (1,0). Observa na escena que cando o cateto adxacente vale 1, a hipotenusa é igual a inversa do cos α. Ao cociente: chámaselle _______________________ de α e abreviase con __________________ Completa o triángulo

Preme no botón

para completar os triángulos e recoñecer as razóns

trigonométricas. Aproveita a escena para comprobar se os teus resultados son correctos.


I.E.S. _______________________



2.d. As razóns de 30º, 45º e 60º Os ángulos de 30º, 45º e 60º aparecen con bastante frecuencia, fíxate como se calculan as súas razóns a partir da definición, se buscamos os triángulos axeitados. Con axuda da escena da dereita completa a táboa:

seno coseno tanxente

30º

45º

60º

Memorizar esta táboa é doado se observas a orde que gardan. Unha vez aprendidos os senos coas raíces consecutivas, os cosenos saen en orde inversa.

Preme no botón

para traballar coa escena e practicar con estas razóns.

Coa calculadora Dado un ángulo α obter as súas

razóns trigonométricas.

seno

Dada unha razón obter o ángulo α correspondente

Por exemplo o sen 28º 30 ´

Pon a calculadora en modo

Teclea 28 30 .

Obtemos: 0,477158760

Nalgunhas calculadoras hai que Premer a

tecla antes de introducir o ángulo,

comproba como funciona a túa.

Se queremos obter o cos α ou a tan α

procederemos da mesma forma pero

Premendo as teclas e

respectivamente.

Co mesmo valor que tes na pantalla:

Comproba que a calculadora segue en modo

Teclea

Obtemos: en graos, se queremos

graos, minutos e segundos, prememos

obtendo .


28º 30' º ' '' SHIFT

28,5

sin SHIFT

0,477158760

DEG

tan cos

sin

sin º ' '' º ' ''

DEG

I.E.S. _______________________



3. Relacións trigonométricas 3.a. Relacións fundamentais Se se aplican a semellanza e o teorema de Pitágoras aos triángulos rectángulos "básicos", é dicir, con hipotenusa=1 ou con cateto adxacente=1, obtéñense as relacións fundamentais da trigonometría:

Os triángulos OBA e OB 'OB'A'' son semellantes, polo tanto:

=αα

cossen

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triángulo OBA da figura obtemos:

Ao medir os lados dun triángulo rectángulo pódese tomar como unidade a hipotenusa, ou un dos catetos; obténdose en cada caso os triángulos da figura.

Escribe ti as relacións

Preme no botón

para comprobar se as aprendiches.

I.E.S. _______________________




EXERCICIOS

5. No triángulo da figura calcula:

a) sen α d) sen β

b) cos α e) cos β

c) tan α f) tan β

6. Obtén coa calculadora:

a) sen 30º = b) cos 60º = c) tan 45º =

7. Obtén coa calculadora os ángulos α e β do exercicio 5.

8. Comproba no ángulo α do triángulo da figura que se cumpren as relacións fundamentais

9. Calcula o coseno e a tanxente dun ángulo agudo α tal que sen α=0,3

10. Comproba que se cumpre a relación: 1+ tan2 α=sec2 α

Lembra o triángulo:

I.E.S. _______________________



4. Resolver triángulos rectángulos 4.a. Cun ángulo e a hipotenusa Resolver un triángulo rectángulo é calcular os datos descoñecidos, lados ou ángulos, a partir dos coñecidos..

Para achar os catetos dun triángulo rectángulo do que se coñecen as medidas da hipotenusa e dun ángulo agudo, pensaremos no triángulo que multiplicamos pola hipotenusa.

Se premes podes ver unha animación que o explica.

Completa ti como quedará o triángulo

Na escena vemos un exemplo resolto sobre como calcular a altura dun monte.

Completa a resolución neste recadro

Preme no botón

para facer un exercicio.

PROBLEMA 1: Completa o enunciado e resólveo: Do triángulo rectángulo da figura coñécense un ángulo, _____º, e a hipotenusa _____ cm. Temos que achar os catetos en función das razóns trigonométricas do ángulo dado


I.E.S. _______________________



4.b. Coñecidos un cateto e un ángulo agudo

Para achar os lados dun triángulo rectángulo do que se coñecen as medidas dun cateto e dun ángulo non recto, pensaremos no triángulo que se multiplica polo cateto adxacente:

Se Premes podes ver unha animación que o explica.

Completa ti como quedará o triángulo

Na escena vemos un exemplo resolto sobre como calcular a altura dunha torre

Completa a resolución neste recadro

Preme no botón


PROBLEMA 2: Completa o enunciado e resólveo: Do triángulo rectángulo da figura coñécense un ángulo, ____º, e o cateto adxacente ____ cm. Temos que achar os outros lados en función das razóns trigonométricas do ángulo coñecido.


I.E.S. _______________________



4.c. Coñecidos dous lados do triángulo Para achar o outro lado do triángulo aplicarase o teorema de Pitágoras, o ángulo determinarase como o arco cuxa tanxente é

adxacentecateto

opostocateto

O seu valor obtense na calculadora ao premer a tecla atan, unha vez introducido en pantalla ese cociente ou ben como o arco cuxo seno é

hipotenusa

opostocateto

dependendo dos datos iniciais. Para calcular o outro ángulo abonda restar de 90º. Ao utilizar a calculadora fíxate se estás a traballar en graos ou en radiáns Se usas a que aparece premendo sobre o botón, aparece iluminado RAD, quere dicir en radiáns, preme sobre DEG se queres cambiar a graos sesaxesimais

Na escena da dereita vemos un exemplo resolto sobre isto; se moves o punto laranxa do vértice superior podes modificar o tamaño do triángulo

Coa axuda desta escena, resolve o triángulo de catetos 8 e 6.

==hipotenusa

=

atx

=−º90

Preme no botón

para ver un caso particular do Teorema de Pitágoras

Método de cálculo:

1. Escribe o teorema de Pitágoras

2. Despexa un dos catetos

3. Fíxate que o segundo membro da igualdade correspóndese cunha igualdade notable, que debes escribir a continuación:

4. Aplica esta igualdade notable ao paso 2

5. Despexa o cateto

6. Escribe agora o caso particular de que o cateto e a hipotenusa difiren nunha unidade


I.E.S. _______________________



5. Razóns trigonométricas de ángulos calquera 5.a. Seno dun ángulo calquera Lembra que a circunferencia goniométrica é unha circunferencia de raio unidade e centro a orixe de coordenadas; nela (cosα, senα) son as coordenadas do punto final do ángulo α. Isto que vimos para os ángulos agudos podemos facelo extensible a ángulos calquera. O seno dun ángulo é a coordenada vertical do punto final do percorrido do ángulo sobre a circunferencia goniométrica. Observa que o seu valor está comprendido entre -1 e 1.

� Arrastra a punta da frecha para facer variar o ángulo e con iso o valor do seno.

Fíxate na escena como varía o signo que toma o seno segundo o cuadrante en que estea o ángulo.

Anota ti os signos na circunferencia� Observa tamén que sen(360º-α)=____________ e que sen(180º-α)= ___________

¿Cantos ángulos hai entre 0º e 360º cuxo seno sexa -1/2? ___________________________

Preme no botón

para ver un exercicio resolto


5.b. Coseno dun ángulo calquera Do mesmo xeito que o seno dun ángulo é a ordenada, o coseno é a abscisa do punto final do percorrido que marca o ángulo na circunferencia. O coseno dun ángulo pode tomar todos os valores entre -1 e 1. Fíxate na escena como varía o signo que toma o coseno segundo o cuadrante en que estea o ángulo.

Anota ti os signos na circunferencia� Observa que (360º-α) = ___________ e que cos(180º-α)=. _________

¿Cantos ángulos hai entre 0º e 360º o coseno da cal sexa -1/2?________________________

I.E.S. _______________________



Preme no botón

para ver un exercicio resolto


5.c. Tanxente dun ángulo calquera Coa relación fundamental tan α=senα/cosα amplíase a definición de tanxente en ángulos agudos a un ángulo calquera. Observa que a tanxente se representa na recta tanxente á circunferencia goniométrica no punto onde se inicia o ángulo. Que acontece co valor do coseno para os ángulos de 90º e 270º? _______________________________________ Que acontece entón coa tanxente para eses ángulos? _________________________________________________________ Por que? ___________________________________________

Fíxate na escena como varía o signo que toma a tanxente segundo o cuadrante en que estea o ángulo.

Anota ti os signos na circunferencia�

Cantos ángulos hai entre 0º e 360º cuxa tanxente sexa 2? _____________________

Preme no botón

para ver un exercicio resolto.


EXERCICIOS

11. Debuxa un ángulo do terceiro cuadrante cuxo cos sexa -0,6 e calcula o seno e a tanxente

12. Calcula cosα sendo tan α=-2 y α do cuarto cuadrante.

I.E.S. _______________________



6. Aplicacións da trigonometría 6.a. Resolver problemas métricos A trigonometría é útil para resolver problemas xeométricos e calcular lonxitudes na realidade. Cun teodolito como o da fotografía, pódense medir ángulos, tanto no plano vertical coma no horizontal, que nos permiten, aplicando as razóns trigonométricas, achar distancias ou calcular alturas de puntos inaccesibles. Nestes casos aínda que o triángulo de partida non sexa rectángulo, trazando a súa altura podemos obter dous triángulos rectángulos a resolver cos datos que temos. Na escena podes ver algúns exemplos. Calcular áreas de polígonos regulares A escena permítenos calcular paso a paso a área de polígonos regulares, de 5 a 10 lados, completa a táboa seguinte cos exemplos da escena

Lonxitude do lado

Número de lados

Ángulo central

Tanxente do ángulo

Apotema Perímetro Área

Calcular medidas topográficas Para medir a anchura dun río medíronse os ángulos da figura dende dous puntos dunha beira distantes 160 m. ¿Que anchura ten o río? A anchura do río é a altura do triángulo ACB que non é rectángulo, pero se o son os triángulos ADC e BDC

No triángulo ADC =⇒= aº38,67tg

No triángulo BDC =⇒= aº48,47tg

Temos un sistema de dúas ecuacións que resolvemos por igualación.

==

aa


I.E.S. _______________________




Os ángulos e a súa medida

Para medir ángulos empregamos _____________ ou ____________.

Un radián é _________________________________________________________

De graos a radiáns

De radiáns a graos

Razóns trigonométricas

=αsen

=αcos

=αtan

Relacións fundamentais

Entre o seno e o coseno Entre o seno, o coseno e a tanxente

Razóns de ángulos calquera

(cos α, sen α) son as coordenadas do punto final do ángulo α na circunferencia goniométrica ou de raio unidade

Signos das razóns trigonométricas

Seno Coseno Tanxente

Resolver un triángulo rectángulo

Consiste en ________________________________________________________________

_________________________________________________________________________.


I.E.S. _______________________



Para practicar


Medida de ángulos Relacións fundamentais Resolución de triángulos

Completa o enunciado cos datos cos que che aparece cada EXERCICIO na pantalla e despois resólveo. É importante que primeiro resólvalo ti e despois comprobes no ordenador se o fixeches ben. Medida de ángulos. Pasar de graos a radiáns (fai polo menos catro exercicios)

1. Expresa en radiáns o ángulo de:

a. ______ graos

b. ______ graos

c. ______ graos

d. ______ graos

a.

b.

c.

d.

Pasar de radiáns a graos (fai polo menos catro exercicios)

2. Expresa en graos o ángulo de:

a. ______ radiáns

b. ______ radiáns

c. ______ radiáns

d. ______ radiáns

a.

b.

c.

d.

Relacións fundamentais. Razón coñecida: SENO Calcular: COSENO

3. Se α é un ángulo do cuadrante_________ e sen α =_______, calcula cos α

4. Se α é un ángulo do cuadrante_________ e sen α=_______, calcula cos α

I.E.S. _______________________



Razón coñecida: SENO Calcular: TANXENTE

5. Se α é un ángulo do cuadrante_________ e sen α =_______, calcula tan α

6. Se α é un ángulo do cuadrante_________ e sen α=_______, calcula tan α

Razón coñecida: COSENO Calcular: SENO

7. Se α é un ángulo do cuadrante_________ e cos α =_______, calcula sen α

8. Se α é un ángulo do cuadrante_________ e cos α=_______, calcula sen α

Razón coñecida: COSENO Calcular: TANXENTE

9. Se α é un ángulo do cuadrante_________ e cos α =_______, calcula tan α

10. Se α é un ángulo do cuadrante_________ e

cos α=_______, calcula tan α

Razón coñecida: TANXENTE Calcular: SENO


tan α =_______, calcula sen α


tan α=_______, calcula sen α

I.E.S. _______________________



Razón coñecida: TANXENTE Calcular: COSENO


tan α =_______, calcula cos α

14. Se α é un ángulo do cuadrante_________ e tan α=_______, calcula cos α

Resolución de triángulos. O lado dun polígono

15. A lonxitude do raio dun polígono regular de ____ lados é de _______. Calcula o lado.

16. A lonxitude da apotema dun polígono regular de ____ lados é de _______. Calcula o lado.

A apotema dun polígono

17. A lonxitude do raio dun polígono regular de ____ lados é de _____. Calcula a apotema.

18. A lonxitude do lado dun polígono regular de ____ lados é de _____. Calcula a apotema.

A área dun polígono

19. A lonxitude do lado dun polígono regular de ____ lados é de _____. Calcula a área.

20. A lonxitude da apotema dun polígono regular de ____ lados é de _____. Calcula a superficie.

I.E.S. _______________________



O raio dun polígono

21. A lonxitude da apotema dun polígono regular de ____ lados é de _____. Calcula o raio.

22. A lonxitude do lado dun polígono regular de ____ lados é de _____. Calcula o raio

A altura dun avión

23. Dúas persoas ven un avión, que voa sobre eles a unha altura de _____m, con ángulos de elevación de ____º e ____º. A que distancia se atopan as dúas persoas?

A altura dunha árbore

24. Determina a altura dunha árbore se dende un punto situado a ___:_ da súa base se observa a súa copa cun ángulo de _____grados

A altura dun papaventos

25. A lonxitude do fío que suxeita a un papaventos é de ______m. Se o ángulo de elevación do papaventos é de _____º, que altura alcanza o papaventos?

A altura dun edificio

26. Para medir a altura dun edificio mídense os ángulos de elevación dende dous puntos distantes _______m. Cal é a altura se os ángulos son ______º e _______º?

A altura dunha montaña

27. Para medir a altura dunha montaña mídense os ángulos de elevación dende dous puntos distantes ________m e situados a ______m sobre o nivel do mar. Cal é a altura se os ángulos son _____º e _______º?

I.E.S. _______________________



Autoavaliación


Expresa en radiáns o ángulo da figura __________

Calcula o valor de tan A no triángulo ABC da figura:

Calcula a área do triángulo da figura.

Cun compás de _______ de lonxitude trazamos unha circunferencia de _____cm de raio, ¿que ángulo, en radiáns, forman as ramas do compás?

Se senα = ______, e α é un ángulo _________, calcula a tan α.

Se tan α=______ e α está no _____ cuadrante, calcula o cos α.

A partir das razóns do ángulo de ____, calcula ______ do ángulo de ____________

Se cos α = ________, e α éun ángulo _____, calcula o _______________.

A altura de Torre España é de 231 m, canto mide a súa sombra cando a inclinación dos raios do sol é de _____?

Calcula a área do polígono regular da figura

I.E.S. _______________________




1. Expresa en radiáns:

a) 15º b) 120º

c) 240º d) 345º

13. O sen α =3/5 e α é un ángulo do segundo cuadrante, calcula a tan α.

14. O cos α =3/5 e α é un ángulo do cuarto cuadrante, calcula a tan α.

2. Expresa en graos:

a) 15π

b)103π

c) 127π

d) 6

11π

15. A tan α =3 e α é un ángulo do terceiro cuadrante, calcula o cos a.

16. A apotema dun polígono regular de 9 lados mide 15 cm, calcula o lado.

3. Acha coa calculadora as seguintes razóns trigonométricas redondeando ás centésimas:

a) sen 25º b) cos 67º

c) tan 225º d) tan 150º

17. O lado dun exágono regular mide 30 cm, calcula a apotema.

4. Un ángulo dun triángulo rectángulo mide 47º e o cateto oposto 8 cm, acha a hipotenusa.

18. A apotema dun octógono regular mide

30 cm, calcula a área do polígono.

5. A hipotenusa dun triángulo rectángulo mide 26 cm e un ángulo 66º. Calcula os catetos.

19. A lonxitude do raio dun pentágono

regular é 15 cm. Calcula a área.

6. Un ángulo dun triángulo rectángulo mide 44º e o cateto adxacente 16 cm, calcula o outro cateto.

20. A sombra dunha árbore cando os raios do sol forman coa horizontal un ángulo de 36º, mide 11 m. Cal é a altura da árbore?.

7. Nun triángulo rectángulo os catetos miden 15 e 8 cm, acha os ángulos agudos.

21. O fío dun papaventos mide 50 m de longo e forma coa horizontal un ángulo de 37º, a que altura voa o papaventos?

8. A hipotenusa dun triángulo rectángulo mide 45 cm e un cateto 27 cm, calcula os ángulos agudos.

9. Nun triángulo isóscele os ángulos iguais miden 78º e a altura 28 cm, acha o lado desigual

22. Para medir a altura dun edificio mídense os ángulos de elevación dende dous puntos distantes 100 m. Cal é a altura se os ángulos son 33º e 46º?

10. Os lados iguais dun triángulo isóscele miden 41 cm e os ángulos iguais 72º, calcula o outro lado.

11. O cos dun ángulo agudo é 3/4, calcula o seno do ángulo.

23. Dúas persoas distantes entre si 840 m, ven simultaneamente un avión con ángulos de elevación respectivos de 60º e 47º, a que altura voa o avión?

12. A tanxente dun ángulo agudo é 12/5 calcula o seno.

24. Para medir a altura dunha montaña mídense ángulos de elevación dende dous puntos distantes 480 m e situados a 1200 m sobre o nivel do mar. Cal é a altura se os ángulos son de 45º e 76º?

47º 60º

h

840

33º 46º

h

100

I.E.S. _______________________


Funcións e gráficas - 1 -

Funcións e gráficas

Contidos

1. Funcións reais Concepto de función Gráfico dunha función Dominio e percorrido Funcións definidas a anacos

2. Propiedades das funcións

Continuidade e descontinuidades Periodicidade Simetrías

3. Taxa de variación e crecemento

Taxa de variación Crecemento e decrecemento Máximos e mínimos Concavidade e puntos de inflexión

Obxectivos • Coñecer e interpretar as funcións e as distintas formas de presentalas.

• Recoñecer o dominio e o percorrido dunha función.

• Determinar se unha función é continua ou descontinua.

• Achar a taxa de variación e a taxa de variación media dunha función nun intervalo.

• Determinar o crecemento ou decrecemento dunha función e achar os seus máximos e mínimos.

• Recoñecer os puntos de inflexión.

• Comprobar a simetría dalgunhas funcións respecto á orixe e ao eixe OY.

• Recoñecer se unha función é periódica. Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

I.E.S. _______________________



Investiga Imaxina que montas nunha nora de raio 30 m e para subir hai que ascender 5 m dende o chan. A nora comeza a xirar, Debuxa aquí as gráficas correspondentes

Como é a gráfica da función que dá a altura á que atopas segundo o ángulo de xiro?

Ti vas na cabina laranxa e uns amigos na verde, como será a súa gráfica?

A linguaxe das gráficas Das distintas formas en que pode presentarse unha función, mediante un enunciado, unha táboa, unha expresión alxébrica ou unha gráfica, esta última é a que nos permite ver dun soa ollada o seu comportamento global, de aí a súa importancia. Neste tema aprenderás a recoñecer e interpretar as súas características principais.

Preme en para ver un vídeo ao respecto


Antes de empezar

I.E.S. _______________________



1. Funcións reais

1.a. Concepto de función

Le e completa o texto:

Unha función é unha __________________ entre dous conxuntos numéricos, de tal forma que a cada elemento do conxunto inicial lle corresponde ___________________________ do conxunto final.

Relaciónanse así dúas variables numéricas que adoitan designarse con x e y.

f: x→→→→ y=f(x)

� x é a variable ____________________________

� y é a variable ____________________________

Na escena podes ver representada unha función extraída dunha información gráfica.

O gráfico describe o percorrido da 9ª Etapa da Volta Ciclista 2007, indicando os km totais e a altitude nos puntos principais do traxecto.

Preme para continuar e ver unha versión máis simplificada da gráfica

Á esquerda aparece a gráfica anterior trazada sobre uns eixes cartesianos, para simplificala uníronse os puntos principais mediante segmentos. Trátase dunha función que dá a altitude segundo os km recorrido.

Observa os valores que toma e completa a táboa de valores (podes arrastrar o punto vermello na escena para axudarte a saber a altura en cada punto).

km 0 24 34 87 113 121 153 160

alt 740 1290 1020 1130 1882

Contesta: RESPOSTA

Para que unha gráfica sexa dunha función, cantos valores de e pódenlle corresponder a cada valor de x?

Preme no botón

para comprobalo facendo un exercicio


I.E.S. _______________________



1.b. Gráfica dunha función Para ver o comportamento dunha función, f: x→ y, recorremos á súa representación gráfica sobre os eixes cartesianos, no eixe de abscisas (OX) a variable _______________________ e no de ordenadas (OY) a variable _______________________; sendo as coordenadas de cada punto da gráfica: (___, f(__)). Na escena está representada a función:

f(x)= -0,5x2+3x+3,5

Segue os pasos premendo nas frechas e Comeza por facer unha táboa de valores

x

f(x)

Hai uns puntos que teñen especial interese, os que a gráfica corta aos eixes coordenados. Para calculalos:

� Corte co eixe OY: Os puntos do eixe de ordenadas teñen abscisa 0, abonda facer x=0 na fórmula da función.

� Cortes co eixe OX: Os puntos do eixe de abscisas teñen y=0. Resólvese a ecuación f(x)=0

No noso exemplo son:

x=0

f(x)=0

Represéntanse os puntos obtidos, x no eixe de abscisas (OX), f(x) no de ordenadas (OY). Unha vez representados os puntos, se x pode tomar calquera valor real, unímolos.

Preme no botón


I.E.S. _______________________



En cada caso fai unha táboa de valores e representa os puntos nos eixes de coordenadas, seguindo as instrucións da escena:

2x3)x(f −=

x f(x)

x4x)x(f 2 +−=

x f(x)

1xx4

)x(f2 +

=

x f(x)


I.E.S. _______________________



1.c. Dominio e percorrido Dada unha función y=f(x)

� Chámase dominio de f ___________________________________________________ Indícase como Dom f. O dominio está formado, polo tanto, polos valores de x para os que existe a función, é dicir, para os que hai un f(x).

� O percorrido é _________________________________________________________ isto é o conxunto das imaxes. Represéntase como Im f.

Na escena da dereita vemos varios exemplos de como calcular o dominio dalgunhas funcións, coa súa axuda completa:

Dominio de f: _____________________________________

________________________________________________

Percorrido de f: ____________________________________

_________________________________________________

Dominio de f: _____________________________________

________________________________________________

Percorrido de f: ____________________________________

_________________________________________________

Dominio de f: _____________________________________

________________________________________________

Percorrido de f: ____________________________________

_________________________________________________

Dominio de f: _____________________________________

________________________________________________

Percorrido de f: ____________________________________

_________________________________________________

Dominio de f: _____________________________________

________________________________________________

Percorrido de f: ____________________________________

_________________________________________________

I.E.S. _______________________



Resume ti os distintos casos que se nos poden presentar á hora de calcular o dominio, atendendo á forma da expresión alxébrica

Expresión analítica Dominio

Un polinomio

Un cociente

Unha raíz cadrada

Preme no botón


Copia a continuación dous exercicios de cada tipo:


I.E.S. _______________________



1.d. Funcións definidas a anacos Hai un tipo de funcións que veñen definidas con distintas expresións alxébricas segundo os valores de x, dise que están definidas a anacos. Para describir analiticamente unha función formada por anacos doutras funcións, danse as expresións dos distintos tramos, por orde de esquerda a dereita, indicando en cada tramo os valores de x para os que a función está definida. Na escena podes ver exemplos deste tipo de funcións e a súa representación gráfica. Practica con ela antes de pasar a facer ti os seguintes exercicios:

Preme no botón


Fai a continuación un par de exercicios e comproba na escena o resultado:

Calcula a imaxe dos valores indicados:

f(x)=

f(____) = _____

f(____) = _____

f(____) = _____

f(____) = _____

f(____) = _____

Calcula a imaxe dos valores indicados:

f(x)=

f(____) = _____

f(____) = _____

f(____) = _____

f(____) = _____

f(____) = _____

I.E.S. _______________________



EXERCICIOS

1. Das seguintes gráficas indica as que corresponden a unha función e as que non.

2. Fai unha táboa de valores, debuxa os puntos obtidos e representa a función.

a) f(x)=2x-3 b) f(x)=-x2+4x

x f(x)

c)1x

x4)x(f

2 +=

x f(x)

x f(x)

I.E.S. _______________________



EXERCICIOS 3. Calcula o dominio das seguintes funcións.

a) b)

c) f(x)= x3-2x2+5x d) f(x)=2x

x−

e) f(x)= 5x − f) f(x)= x5 −

g) f(x)=4x

3

+ h) f(x)=

x2

1

−

4. Nas seguintes funcións, definidas a anacos, calcula as imaxes dos valores de x indicados e represéntaas graficamente.

a) f(x)=

>−≤≤−−

−<−−

3xsi5x3x2si2

2xsi1x5,0

b) f(x)=

≥−<<−+−

−≤+

2xsi2x5,02x2si1x

2xsi2x5,0


x f(x) -4

-2

1

3

6

x f(x) -6

-2

0

2

4

I.E.S. _______________________



2. Propiedades das funcións

2.a. Continuidade e descontinuidades

A primeira idea de función continua é a que pode ser representada dun só trazo, sen levantar o lapis do papel.

Cando unha función non é continua nun punto dise que presenta unha ________________ Con axuda da escena da dereita completa a táboa e debuxa un exemplo de cada un dos casos:

Razóns polas que unha función non é continua nun punto:

Exemplo Exemplo

Exemplo Exemplo

Unha función y=f(x) é continua en x=a se: • ______________________________________________

______________________________________________ • ______________________________________________

______________________________________________

I.E.S. _______________________



Preme no botón


Fai a continuación tres exercicios e comproba na escena o resultado: Calcula o valor de K para que a función f(x)= Sexa continua en x= _____

Calcula o valor de K para que a función f(x)= Sexa continua en x= _____

Calcula o valor de K para que a función f(x)= Sexa continua en x= _____


I.E.S. _______________________



2.b. Funcións periódicas Na natureza e no teu ámbito habitual hai fenómenos que se repiten a intervalos regulares, como o caso das mareas, os péndulos e resortes, o son... As funcións que describen este tipo de fenómenos dinse periódicas Na escena da dereita tes un exemplo dunha función periódica Unha cisterna énchese e baléirase automaticamente expulsando 6 litros de auga cada 5 minutos, seguindo o ritmo da gráfica. Cando o depósito está baleiro comeza a enchedura, que leva 1 minuto, permanece cheo 3,5 minutos e baléirase en 0,5 minutos. Este proceso repítese periodicamente.

CONTESTA ESTAS CUESTIÓNS: RESPOSTAS Para coñecer o volume de auga no depósito en cada instante, canto tempo necesitamos observar o depósito?

Cal é a cantidade de auga ao cabo de 14 minutos?

Escribe á dereita a expresión de f(x)

Regula ti o dispositivo, variando a cantidade de auga e o tempo.

Preme no botón

para ver unhas funcións periódicas básicas, a función seno e a

función coseno. Preme para ir á páxina seguinte.

Unha función é periódica cando ___________ ______________________________________________________________________________ O período é ___________________________

f(x+período)=f(___)

I.E.S. _______________________



2.c. Simetrías A gráfica dalgunhas funcións pode presentar algún tipo de simetría que se se estuda previamente, facilita o seu debuxo.

� Unha función é simétrica respecto ao eixe OY, se f(-x)= _______ Neste caso a función dise ____________.

� Unha función é simétrica respecto á orixe de coordenadas cando f(-x)= ______ Neste caso a función dise ____________.

Observa e manipula a escena para recoñecer os gráficos correspondentes a cada tipo.

Preme no botón

para debuxar unhas gráficas de funcións simétricas.

Funcións PARES: Funcións IMPARES:

I.E.S. _______________________




EXERCICIOS

5. Calcula o valor de k para que as seguintes funcións sexan continuas no punto en que cambia a gráfica:

a)

>−≤+

=4x3x4xkx5,0

)x(f b)

>+−≤

=1x1x1xk

)x(f

6. ¿Cal é o período das funcións seguintes?. En cada caso calcula f(45).

a) b)

7. De entre as seguintes gráficas selecciona as que corresponden a funcións pares e a funcións impares.

8. As funcións seguintes (que corresponden ás do ex.7) son pares ou impares?

a) f(x)=x3–3x

b) f(x)=2x2–2x-2

c) f(x)= x6–x4–x2

d) f(x)=-1/x

I.E.S. _______________________



3. Taxa de variación e crecemento

3.a. Taxa de variación dunha función A taxa de variación ou incremento dunha función é _______________________________ ___________________________________________________________________________

De máis utilidade resulta calcular a chamada taxa de variación media, que nos indica ___________________________________________________________________________

Na escena da dereita vemos unha gráfica que representa a distancia en km percorrida dun ciclista en función do tempo, en minutos, empregado. CONTESTA ESTAS CUESTIÓNS: RESPOSTAS A taxa de variación entre dous instantes é

TV[5, 12,] =

TV[12, 15,] =

TV[15, 21,] =

TV[22, 30,] =

Velocidade media [15, 21,]

Velocidade media [22, 30,]

Como é a gráfica nos intervalos [5, 12,], [19, 22,] e [22, 30,]? Por que?

Se trasladamos a calquera función a idea de velocidade media desta gráfica, que obtemos?

Preme no botón


Cando a gráfica da función é unha recta, a TVM é constante. Escribe a continuación catro exercicios e comproba a solución na escena

TVM [ ____, ____ ]= TVM [ ____, ____ ]= f(x)=

TVM [ ____, ____ ]= f(x)=

TVM [ ____, ____ ]=

TVM [ ____, ____ ]= TVM [ ____, ____ ]= f(x)=

TVM [ ____, ____ ]= f(x)=

TVM [ ____, ____ ]=


TV[x1,x2]=

TVM[x1,x2]=----------------------

I.E.S. _______________________



3.b. Crecemento e decrecemento Unha característica das funcións que se pode visualizar doadamente nas gráficas é a monotonía. Cando ao aumentar o valor de x aumenta o valor de y=f(x), a gráfica "ascende" e dise que a función é __________________________. Se pola contra ao aumentar x diminúe e, a gráfica "descende", e dise que a función é __________________________.

As funcións non crecen ou decrecen do mesmo xeito, se premes en Distintos tipos de crecemento ábrese unha escena que o ilustra cuns exemplos.

CONTESTA ESTAS CUESTIÓNS: RESPOSTAS

Cal é a función que crece máis á présa?

Como é o crecemento da función g(x)?

Cal é a función que crece máis lentamente?

Na escena da dereita temos unha función que presenta distintas situacións; segue os pasos

premendo nas frechas e


Como é a función se x<10?

Como é a función se x>15 ?

Como é a función se 10 < x <15 ?

Se a función é crecente, como é o TVM?

Se a función é decrecente, como é o TVM?

Preme no botón



Cando nun intervalo, dados dous puntos calquera deste

• Se x1<x2 e f(x1) < f(x2), entón a función é ____________________

• Se x1<x2 e f(x1) > f(x2), entón a función é ____________________

I.E.S. _______________________



3.c. Máximos e mínimos

Dada unha función continua nun punto x=a, dise que presenta un máximo relativo, se á esquerda do devandito punto a función é _____________________ e á dereita a función é ___________________. E diremos que en x=a ten un máximo absoluto se __________________________ __________________________________________________________________________

Se, pola contra, a función é ______________ á esquerda e é _________________ á esquerda hai un mínimo relativo. E diremos que en x=a ten un mínimo absoluto se __________________________ __________________________________________________________________________

A escena da dereita ilustra estes conceptos. Segue os pasos premendo nas frechas e


Onde crece a función?

Onde decrece a función?

Onde alcanza un máximo relativo?

Onde alcanza un mínimo relativo?

Como é f(x) nun ámbito de x=6? Por que?

Como é f(x) nun ámbito de x=20? Por que?

Preme no botón

para ler un exercicio resolto.

Mínimo absoluto

Máximo absoluto

I.E.S. _______________________



3.d. Concavidade, convexidade e puntos de inflexión Outra característica de interese nas gráficas das funcións é a concavidade, estudar os intervalos nos que a gráfica se curva cara a abaixo ou cara a arriba.

Unha función é cóncava nun intervalo se _________________________________________ ___________________________________________________________________________ Unha función é convexa nun intervalo se _________________________________________ ___________________________________________________________________________ Os puntos de inflexión son aqueles puntos do dominio nos que ____________________ ___________________________________________________________________________. A escena da dereita ilustra estes conceptos. Segue os pasos premendo nas frechas e


Onde queda a corda que une dous puntos da gráfica se a función é cóncava?

Onde queda a corda que une dous puntos da gráfica se a función é convexa?

En que intervalo é cóncava a función? Por que?

En que intervalo é convexa? Por que?

Ten algún punto de inflexión? Cal? Por que?

Preme no botón

para facer un test con preguntas do tema.


Punto de inflexión

(13 , 4) Cóncava (-∞,13)

Convexa (13,+∞)

I.E.S. _______________________




EXERCICIOS

9. Calcula a taxa de variación media das funcións seguintes entre os puntos indicados. Comproba na figura que para as funcións cuxo gráfico é unha recta a TVM é constante.

a) y=2x+3 b) y=0,5x+3

TVM[1,3]= TVM[1,3]=

TVM[-5,-2] = TVM[-3,0] =

10. As gráficas representan a enchedura dos distintos recipientes, ¿que gráfica corresponde a cada un?

1 2 3 4

a e b c d

5

11. Lembra a función que daba o "perfil" dunha etapa da Volta, que viste no primeiro capítulo, a) escribe os intervalos de crecemento ou decrecemento; b) ¿En qué punto quilométrico se alcanzan os máximos relativos?, ¿que valor toman?, ¿e os mínimos?; c) Hai máximo ou mínimo absoluto?

km 0 24 34 71 87 113 121 153 160 168

alt 540 1280 740 1290 630 1020 720 1130 1520 1882

I.E.S. _______________________




Funcións, dominio e percorrido

Unha función é O dominio dunha función é

O percorrido dunha función é

x é a variable y é a variable

Continuidade

Unha función é continua É descontinua nun punto se

Unha función é periódica se

Nese caso cúmprese que f(x)=

Simetrías

Unha función é simétrica par se o é respecto a

cúmprese que f(-x)=

Unha función é simétrica impar se o é respecto a

cúmprese que f(-x)=

Taxa de variación

A taxa de variación dunha función entre dous puntos é

A taxa de variación media nun intervalo é

Monotonía

Unha función é crecente nun intervalo, cando dados dous puntos calquera deste

•Se x1<x2 entón f(x1) f(x2)

Unha función é decrecente nun intervalo, cando dados dous puntos calquera deste

• Se x1<x2 entón f(x1) f(x2)

Extremos relativos

Unha función continua nun punto x=a, presenta un máximo relativo, se á esquerda do devandito punto é e a dereita é

Unha función continua nun punto x=a, presenta un mínimo relativo, se á esquerda do devandito punto é e a dereita é

Concavidade e convexidade

Unha función é cóncava se a gráfica se abre cara a

Unha función é convexa se a gráfica se abre cara a

Os puntos do dominio nos que cambia a concavidade, chámanse


I.E.S. _______________________



Para practicar


Características e propiedades das funcións Interpretación de gráficas

Completa o enunciado cos datos cos que che aparece cada EXERCICIO na pantalla e despois resólveo. É importante que primeiro o resolvas ti e despois comprobes no ordenador se o fixeches ben. Características e propiedades das funcións Escribe a fórmula (Fai polo menos tres exercicios diferentes) 1. Considera a función que _________________

_____________________________________. Escribe a súa expresión analítica e calcula a imaxe de __, __ e __. Calcula tamén os cortes cos eixes.

2. Considera a función que _________________ _____________________________________. Escribe a súa expresión analítica e calcula a imaxe de __, __ e __. Calcula tamén os cortes cos eixes.

3. Considera a función que _________________ _____________________________________. Escribe a súa expresión analítica e calcula a imaxe de __, __ e __. Calcula tamén os cortes cos eixes.

Calcular dominios (Fai cinco exercicios diferentes de cada un dos tipos que se indican) 4. Calcula o dominio das seguintes funcións:

a) f(x)= x2 +

b) f(x)=

c) f(x)= −

d) f(x)=

e) f(x)=

I.E.S. _______________________



Continuidade (Fai polo menos dous exercicios diferentes do primeiro tipo e catro do segundo) 5. Estuda a continuidade das seguintes funcións:

a) f(x)=

b) f(x)=

6. Estuda a continuidade das seguintes funcións nos puntos que se indica:

a) f(x)=

x

x en x = __

b) f(x)=

x

x en x = __

c) f(x)=

x

x en x = __

d) f(x)=

x

x en x = __

Par ou impar? (Fai catro exercicios diferentes de cada un dos tipos que se indican) 7. Estuda a simetría das funcións:

a) f(x)=

b) f(x)=

c) f(x)=

d) f(x)=

I.E.S. _______________________



Par ou impar? (Fai tres exercicios diferentes)

8. En cada caso a gráfica representa un tramo ou período dunha función periódica, representa outros tramos, indica o período e calcula a imaxe do punto de abscisa que se indica:

Período = f( ) = Período = f( ) = Período = f( ) =

Taxa de variación (Fai dous exercicios diferentes, un con rectas e outro con curvas)

9. Calcula as TVM das funcións das funcións correspondentes ás gráficas nos intervalos [0,4] e [2,4].

TVM [0,4] =

TVM [2,4] =

TVM [0,4] =

TVM [2,4] =


I.E.S. _______________________



Interpretación de gráficas Viaxe pola autovía 10. O gráfico mostra como varía a gasolina que hai

no meu coche durante unha viaxe de 520 km por unha autovía.

a) Canta gasolina había ao cabo de 240 km? No depósito caben 40 litros, cando estaba cheo máis de medio depósito?

b) En cantas gasolineiras parei?, en qué gasolineira botei máis gasolina? Se non parase, onde quedaría sen gasolina?

c) Canta gasolina usei nos primeiros 200 km? Canta en toda a viaxe? Canta gasolina gasta o coche cada 100 km nesta autovía?

Comparando o crecemento 11. María e Xurxo son dúas persoas máis ou

menos normais. Na gráfica podes comparar como creceu o seu peso nos seus primeiros 20 anos

a) Canto pesaba Xurxo aos 8 anos?, e María aos 12? Cando superou Xurxo os 45 kg?

b) A qué idade pesaban os dous igual? Cando pesaba Xurxo máis que María?, e María máis que Xurxo?

c) Cal foi a media en kg/ano de aumento de peso de ambos os dous entre os 11 e os 15 anos? En que período creceu cada un máis rapidamente?

I.E.S. _______________________



Dous coches 12. O gráfico dá o espazo percorrido por dous

coches que realizan un mesmo traxecto.

a) Cal é a distancia percorrida? Se o primeiro coche saíu ás 10:00, a qué hora saíu o 2º? Canto lle custou a cada un facer o percorrido? b) Canto tempo e onde estivo parado cada coche? En que km adiantou o 2º ao 1º?, e o 1º ao 2º? c) Que velocidade media levaron no traxecto total?, en qué tramo a velocidade de cada coche foi maior?

As mareas 13. No gráfico represéntase a altura do nivel do

mar no porto da Coruña ao longo do día 17 de xaneiro de 2008.

a) A qué hora se acadan os máximos?, e os mínimos?, que altura acada o nivel do mar en cada caso? b) En qué intervalos do día a función é crecente, isto é, sobe a marea? Entre qué horas o nivel do mar se mantén por enriba dos 300 cm?, e por debaixo de los150 cm? c) Que tempo transcorre entre dúas mareas altas consecutivas? e entre dúas mareas baixas consecutivas tamén? A que hora do día seguinte se producirá a seguinte preamar?

I.E.S. _______________________



Tren de proximidade 14. Vila Baixa e Vila Alta distan 100 km, o tren que

une as dúas cidades realiza o traxecto en 1 h 15 min, incluídas as paradas nos pobos Vinte, Sesenta e Oitenta, situados a eses km respectivos de Vila Baixa.

a) Na gráfica está representado o traxecto, fai un cadro horario.

b) Na tempada turística preténdese ampliar o servizo con máis saídas de Vila Baixa a todas as horas en punto e de forma que o último tren saia de Vila Alta ás 15:30. Cantos trens serán necesarios para conseguilo? Fai un gráfico dos traxectos.

c) Como só hai unha vía, ao ampliar o servizo, a qué distancia de Vila Baixa debe a compañía de ferrocarrís prever os cruzamentos do tren que vai co que volve? Cal será agora o horario?

Gráfica e fórmula

15. A gráfica seguinte corresponde á función f(x)=x3-6x2+9x

Calcula: a) O dominio. b) Os puntos de corte cos eixes.

c) Os valores de x para os que a función é positiva e negativa. d) Os intervalos de crecemento e decrecemento. e) Os máximos e mínimos. f) Cantos puntos de inflexión ten? g) Os intervalos de concavidade e convexidade.

I.E.S. _______________________



16. A gráfica seguinte corresponde á función

f(x)=x

1x2 +−



Dous coches

17. A gráfica seguinte corresponde á función

f(x)=1x

x82 +




I.E.S. _______________________



Autoavaliación


Calcula a imaxe de x = ___ na función:

=)x(f

Calcula o dominio da función:

=)x(f

Cal dos puntos seguintes: ( , ), ( , ), ( , )

non pertence á gráfica da función f(x)=

________________ ?

Calcula os puntos de corte cos eixes

coordenados da recta y= _____________

Se e = f(x) é unha función _____ e f( )= __,

canto vale f(___)?

A gráfica mostra o primeiro tramo dunha

función periódica de período ___ e expresión

f(x)= ______ (0 ≤ x <5). Calcula f(___).

I.E.S. _______________________



Descobre o valor de a para que a función

sexa continua en x= __.

=)x(f

Calcula a TVM[, ] da función

f(x) =

Determina o intervalo en que a función da

gráfica é crecente.

Un ciclista sae dun punto A cara a outro B

distante _____ a unha velocidade constante

de __________. Á vez outro ciclista sae de B

en dirección a A, a ________. Observa a

gráfica e calcula a cantos km do punto A se

cruzan na estrada.

(Redondea ás centésimas)

I.E.S. _______________________


Funcións polinómicas - 1 -

Funcións polinómicas

Contidos 1. Funcións polinómicas

Características

2. Funcións de primeiro grao Termo independente Coeficiente de grao un Recta que pasa por dous puntos Aplicacións

3. Funcións de segundo grao

A parábola y=ax2 Translacións dunha parábola Representar funcións cuadráticas Aplicacións

Obxectivos

• Distinguir entre os distintos tipos de funcións a gráfica das cales é unha recta e traballar con elas.

• Determinar a pendente dunha recta e a súa relación co crecemento.

• Calcular a ecuación dunha recta que pasa por dous puntos dados.

• Recoñecer a gráfica dunha función polinómica de segundo grao calquera.

• Representar graficamente unha función polinómica de segundo grao y = ax2 + bx + c.

• Determinar o crecemento ou decrecemento dunha función de segundo grao e achar o seu máximo ou mínimo.

Autor: Xosé Eixo Blanco Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

I.E.S. _______________________



Na parte inferior aparece unha imaxe e un texto no que se explica o porque se necesitan ou son útiles as funcións polinómicas.

Pulsa o botón...

Ensaia antes de empezar

Ábrese unha ventá cunha escena na que aparecen dúas gráficas, unha azul e outra vermella.

Na parte inferior hai tres interruptores:

Pulsando neles cambias o seu valor e con iso a fórmula correspondente á función de cor vermella, que aparece enriba das gráficas: f(x) =...

O exercicio consiste en ir modificando os valores dos coeficientes: a2, a1 e a0 ata conseguir que a gráfica vermella coincida exactamente coa azul, co cal atopariamos a ecuación que corresponde a esa gráfica.

Repite o exercicio un mínimo de 4 veces


1. Funcións polinómicas 1.a. Características Le na pantalla a explicación teórica deste apartado e manipula a escena. EXERCICIO 1: Completa.

As funcións polinómicas son aquelas a expresión das cales é _______________.

Na escena pódense ver as gráficas das funcións polinómicas de grao menor que 3. Escolle o grao e os coeficientes para ver gráficas de distintas funcións, observa a forma segundo o seu grao. Escribe a continuación un exemplo de cada unha delas e debuxa a súa gráfica.

Grao 0 Grao 1 Grao 2 f(x) =

f(x) =

f(x) =

As gráficas das funcións de grao 0 son ________________



Antes de empezar

I.E.S. _______________________



Pulsa o botón


Aparece unha escena coa gráfica dunha función polinómica e á súa esquerda unha táboa de valores que debes ir completando ata ter 4 puntos situados na gráfica. Fai dúas desas gráficas e as correspondentes táboas de valores.


2. Funcións de primeiro grao 2.a. Termo independente Le na pantalla a explicación teórica deste apartado e na escena varía os coeficientes da función para observar o termo independente. EXERCICIO 1: Completa.

Se f(x) = ax + b, a súa gráfica curta ao eixe OY en __

Pulsa o botón

para facer uns exercicios. Aparece unha escena cunha táboa.

Complétaa no recadro seguinte e despois pulsa "Solución" para ver se o fixeches ben:

f(x) =

x f(x)

f(x) =

x f(x)

EXERCICIOS

1. En cada caso fai unha táboa de valores e comproba que os puntos obtidos son da gráfica.

f(x) = 3

f(x) = -2x + 3

f(x) = x2 -x + 2

I.E.S. _______________________



Funcións Corte da gráfica co eixe de ordenadas

f(x) = -2 x 3 + 1 -3 x 2 ( 0 , )

f(x) =3 x +4 ( 0 , )

f(x) =[ ]2

x + ( 0 , 5 )

f(x) = 2 ·x + 4 ( 0 , )

f(x) =2 x + [ ] ( 0 , 3 )

Pulsa no enlace: Manipula esta escena para trazar rectas. Ábrese unha escena que ten na parte superior a ecuación dunha función de primeiro grao e debaixo unha recta na que se destacan dous puntos. Arrastrando os puntos debes desprazar a recta á posición correspondente á función dada. Unha vez que creas que a situaches correctamente pulsa o botón Comprobación Se o fixeches ben podes pulsar no novo botón Outro exemplo Debes facer polo menos 3 exercicios e debuxar nestes recadros o que fixeches en pantalla.

f(x) =

f(x) =

f(x) =


2.b. Recta que pasa por dous puntos EXERCICIO 1: Le na pantalla a explicación teórica e completa.

Para trazar unha recta basta con dar __________, polo tanto para representar unha función polinómica de primeiro grao, dando valores, abondará con dar _________. Se dous puntos (3, 1) e (5, 7) definen unha recta, determinarán tamén a súa ecuación que podemos achar resolvendo un sistema:

=)x(f

A pendente da recta que pasa por (x0, y0) e (x1, y1) é: =∆∆

xy

� Observa na escena como se calcula a pendente a partir de dous puntos.

I.E.S. _______________________



Pulsa o botón


Ábrese unha escena con 8 gráficas numeradas (de 1 a 8) e á súa dereita 8 funcións de primeiro grao (desde a ata h). O exercicio consiste en emparellar cada gráfica coa súa ecuación elixindo a correcta no menú despregable de cada apartado. Cando as teñas todas ben a escena indicaracho. Debuxa as funcións nos seguintes recadros e escribe a ecuación de cada unha delas:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Aparecerá entón o botón Outro exercicio Ao pulsalo... Ábrese unha escena con 8 parellas de puntos (de 1 a 8) e á súa dereita 8 funcións de primeiro grao (desde a ata h). Agora tes que asociar cada parella coa ecuación da recta que pasa por eses dous puntos, elixindo a correcta no menú. Cando as teñas todas ben a escena indicaracho. Escribe os puntos nos seguintes recadros e escribe a ecuación de cada unha delas:

1)

2)

3)

1 Recta que pasa polos puntos ( , ) ( , )



4 Recta que pasa polos puntos ( , ) ( , ) 4)

5)

6)

7)




8 Recta que pasa polos puntos ( , ) ( , ) 8)


I.E.S. _______________________



2.c. Aplicacións EXERCICIO PROPORCIONALIDADE DIRECTA: y = ___________ · x As funcións polinómicas de _________________ con _____________________________, representan _______________________________________________________________.

Na escena pódense ver un exemplo de aplicación deste tipo de funcións. Observa que ao variar o prezo do quilo de laranxas varía a ecuación de f(x) e con iso a gráfica correspondente. Sitúa o prezo en 1,25 €. Move o punto amarelo da gráfica ata que estea situado en 0,75 kg.

Fíxate na gráfica e contesta: Canto pagaremos por 0,75 kg de laranxas? __________ Completa:

A gráfica da función de proporcionalidade directa é ______________________.

EXERCICIO TARIFA TELEFÓNICA POR SEGUNDO: y = _____________ · x + ________________

Varía o prezo do establecemento de chamada e o custo por segundo. Sitúa eses valores nos que se indican na seguinte imaxe.

Fíxate na gráfica e contesta:

Canto pagaremos por unha chamada de 8 segundos? __________

EXERCICIO VELOCIDADE CONSTANTE: Pto. quilométrico = __________ · t + _________________

Se ás 12 me atopo no quilómetro 5 e mantendo unha velocidade constante ás 12:10 estou no 17. Que velocidade levo?

Calculamos a pendente da recta que pasa polos puntos(, ) e (, )

Pendente =

Velocidade =

I.E.S. _______________________




EXERCICIOS 2. Representa a gráfica de f(x):

a) f(x)= 3x21 +−

b) f(x)= 1x32 −

c) f(x)= 1x3 + 3. Que gráfica corresponde a cada ecuación?

a) y=x/4 +3

b) y=4x+3

c) y=-x/4-3

d) y=-x/4 +3

e) y=-3

f) y=3x+4

g) y=x/4

h) y=-4x

4. Que ecuación corresponde á recta que pasa polos puntos indicados?

1) (-1, 5) (1, -5) a) y=x/5+3

2) (-2, 2,6) (2, 3,4) b) y=5x+3

3) (-2, -0,4) (2, 0,4) c) y=-x/5-3

4) (-2, 3,4) (2, 2,6) d) y=-x/5-3

5) (-2, -2,6) (2, -3,4) e) y=-3

6) (-1, -2) (1, 8) f) y=3x+5

7) (-1, 2) (1, 8) g) y=x/5

8) (-1, -3) (1, -3) h) y=-5x

I.E.S. _______________________



3. Funcións de segundo grao 3.a. A parábola y = ax2 Observa na animación como se constrúe a gráfica de f(x)= a·x2 e varía cos interruptores o coeficiente de x2 para ver como cambia a gráfica segundo os valores e o signo de “a”. EXERCICIO: Completa.

f(x) = ax2

É _______________ respecto do __________

Se a>0 ten un ___________________ en (0,0)

Se a<0 ten un ___________________ en (0,0)

O signo da determina a ____________ da gráfica.

Pulsa o botón


Na escena aparece a ecuación dunha función de 2º grao. Debaixo tes 5 puntos: ●●●● VérticeVérticeVérticeVértice, , , , ● (1,a)(1,a)(1,a)(1,a), ●●●● Simétrico de (1,a)Simétrico de (1,a)Simétrico de (1,a)Simétrico de (1,a), ●●●● (2,a)(2,a)(2,a)(2,a), ●●●● Simétrico de (2,a)Simétrico de (2,a)Simétrico de (2,a)Simétrico de (2,a) Arrástraos á súa posición correcta para que sexan puntos da gráfica da función dada. Fai a gráfica de dúas desas funcións nestes recadros: Pulsa para ir á páxina seguinte.

3.b. Translacións dunha parábola Ao comezo da escena vemos a gráfica de: f(x)=ax2+bx+c Podes variar os valores de "b" e "c" utilizando os interruptores. Pulsando en "Ver translación" observarás unha animación. Obsérvase que a gráfica non cambia de forma, solo trasládase, así a gráfica de y=f(x) ten a mesma forma que y=ax2 trasladada.

f(x) =

x f(x)

Vértice 0

(1,a) 1

Simétrico -1

(2,a) 2

Simétrico -2

f(x) =

x f(x)

Vértice 0

(1,a) 1

Simétrico -1

(2,a) 2

Simétrico -2

I.E.S. _______________________



EXERCICIO 1: Contesta.

Cantas unidades se traslada horizontalmente?

Cantas unidades se traslada verticalmente?

� Para comprendelo mellor podes pulsar no enlace: Explicación

EXERCICIO 2: Completa.

O eixe de simetría da gráfica de f(x) = ax2 + bx + c é x =

O vértice, máximo ou mínimo, da parábola é

,

Pulsa no enlace: Crecemento Ábrese un recadro coa explicación dos intervalos nos que a función y = ax2+bx+c é crecente ou decrecente dependendo do signo de a.


Se a >0, en que intervalo é crecente? ____________ e decrecente? _____________

Se a <0, en que intervalo é crecente? ____________ e decrecente? _____________

Pulsa o botón


Na escena aparece en primeiro lugar unha parábola para a que tes que indicar o valor do coeficiente principal: a. Unha vez escrito o valor da correctamente, pulsa o botón para continuar Agora aparece unha función f(x) co mesmo coeficiente principal. Na escena tes que trasladar a parábola situando o vértice no seu lugar correcto. Fai nestes recadros dous dos exercicios da escena: Pulsa para ir á páxina seguinte.

3.c. Representar funcións cuadráticas Segue os pasos indicados na escena da dereita.

Gráfica de f(x) = _________________

Abscisa do vértice:

x =

Eixe:

x =

Gráfica de f(x) = _________________

Abscisa do vértice:

x =

Eixe:

x =

I.E.S. _______________________



Ao igual que noutras representacións é interesante achar os puntos de corte cos eixes. EXERCICIO 1: Completa.

O punto de corte co eixe de ordenadas é ( , )

Os cortes co eixe de abscisas

Existen se _______________

E veñen dados por ______________________________. Pulsa no enlace: Resumo Ábrese unha recadro coa gráfica da función f(x) = ax2+bx+c distinguindo o caso en que a é positivo (a+) e negativo (a–). EXERCICIO 2: Completa a continuación os datos que faltan.

EXERCICIO 2: Fai a gráfica de dúas das funcións da escena nestes recadros:

f(x) = a = b = c =

x f(x)

Vértice

+1

+2

Simétrico 1

Simétrico 2

f(x) = a = b = c =

x f(x)

Vértice

+1

+2

Simétrico 1

Simétrico 2

Pulsa o botón


Na escena aparece en primeiro lugar unha función cuadrática e catro gráficas de parábolas diferentes. Tes que elixir a correcta e situala na posición que corresponda ao vértice. Unha vez situada pulsa o botón Comprobar Cando resolvas 5 similares aparecerá outro tipo de exercicios diferentes.

I.E.S. _______________________



Verás a gráfica dunha parábola e á dereita tres cadros para escribir os valores dos coeficientes a, b e c da función cuadrática que se corresponda coa gráfica. Unha vez situada pulsa o botón Comprobar Cando resolvas 5 similares finalizaches o exercicio. Pulsa para ir á páxina seguinte.

3.d. Aplicacións Le en pantalla a explicación. Na escena hai tres exemplos de problemas que se resolven utilizando as funcións cuadráticas.

Pulsa sobre Movemento uniformemente acelerado

Le a explicación da escena. Podes variar a velocidade inicial V0 co que varía a función que percorre o obxecto no seu desprazamento: f(t)

Cando consideres pulsa Lanzar para observar a liña que describe o obxecto.

Pon o valor: V0 = 28. Contesta as seguintes cuestións: RESPOSTAS

Cal é a fórmula ou ecuación da función? f(t) =

En que puntos corta a parábola ao eixe de abscisas?

Cal é o vértice?

Cal é a altura máxima que alcanza?

Canto tempo inverte en subir e baixar?

Pulsa "< volver" para volver ao menú.

Pulsa sobre Rectángulo de área máxima

Le a lenda sobre a princesa Dido e a súa solución para encerrar a maior área posible cun perímetro dado.

Resolvamos agora in problema similar pero con rectángulos.

Entre todos os rectángulos dun perímetro dado, que dimensións ten o de área máxima?

Podes variar o perímetro e arrastrando o punto indicado na escena ver como con ese mesmo perímetro pode facer moitos rectángulos con áreas diferentes.

Completa a fórmula: Área = Pulsa

Aparece a gráfica da función que escribiches ao indicar o valor do perímetro.

Completa a fórmula: f(x) =

Podes arrastrar o punto indicado e ver de novo os rectángulos, todos co mesmo perímetro e entre eles podes observar onde se atopa o que ten área máxima.


I.E.S. _______________________



Pulsa sobre Punto de non retorno

Le o enunciado do problema e completa:

Un avión ten combustible para ______, viaxando a velocidade constante de __________ sen vento. Ao despegar o piloto observa que leva vento a favor de _______ o que aumenta a súa velocidade a _______, pero á volta terao en contra e a velocidade será de ________. Cal é a máxima distancia a que pode viaxar coa seguridade de ter suficiente combustible para volver?

x = ____________________ ; y = ________________________

IDA: ___________________ ; VOLTA: ___________________

O punto de non retorno é o de _________________ das dúas rectas.

O piloto deberá volver ao cabo de ______ e percorrería __________.

Podes cambiar a velocidade do avión e observar o resultado Pulsa

Nesta segunda escena podes ver o que acontece se varías a velocidade do vento

Que gráfica describe o punto de non retorno ao variar a velocidade do vento? _____________

Cal é a súa ecuación? y =



EXERCICIOS 5. Debuxa a gráfica das seguintes funcións:

a) f(x)= 1,5x2 b) f(x)=-0,5x2

6. Escribe a ecuación da función que resulta aol trasladar o vértice da parábola ao punto indicado.

a) y= 1,5x2 a A(2, -3) b) y=-0,5x2 a B(-2, 3)

7. Representa graficamente as parábolas seguintes:

a) f(x)=2x2-8x+2 b) f(x)=-x2+4x+3

8. Escribe a ecuación y= ax2+bx+c da parábola da gráfica:

a)

b)

I.E.S. _______________________




Funcións de primeiro grao, rectas.

Ecuación da recta que pasa por dous puntos A(x0, y0) e A(x1, y1):

f(x)=ax+b A gráfica das funcións polinómicas de primeiro grao é unha ________

� a é a _________

• Se a>0 é ______________.

• Se a<0 é ______________.

� Corte eixe OY: ___ Corte eixe OX: _____

=

Funcións de segundo grao, parábolas

Translacións da parábola Para debuxar a parábola y=ax2+bx+c, abonda trasladar _______ levando o seu vértice (0,0)

ao punto

,

f(x)=ax2+bx+c A gráfica das funcións polinómicas de segundo grao é unha parábola.

� a indica a __________

• Se a>0 ten un __________.

• Se a<0 ten un __________.

� Eixe de simetría: x=

� Vértice:

� Corte eixe OY:

� Cortes eixe OX:


I.E.S. _______________________



Para practicar


Funcións polinómicas de primeiro grao Funcións polinómicas de segundo grao Funcións polinómicas definidas a anacos

Completa o enunciado cos datos cos que che aparece cada EXERCICIO na pantalla e despois resólveo. É importante que primeiro o resolvas ti e despois comprobes no ordenador se o fixeches ben. Funcións polinómicas de primeiro grao. Formula a ecuación (hai catro exercicios diferentes)

1. Escribe a ecuación da función que representa o peso dun cabalo se nace con ____ e aumenta a razón de _____ cada _______.

2. Escribe a ecuación da función que representa o nº da páxina do libro que estou a ler, sabendo que todos os días avanzo o mesmo nº de páxinas, o día ___ ía pola _____, e o día ____ pola _____.

3. Escribe a ecuación da función que representa o prezo ao finalizar a conexión nun ciber, se o establecemento da conexión custa _____ e cada minuto vale ______.

4. Escribe a ecuación da función que representa a cantidade total en € (IVE incluído) a pagar nunha factura, en función do prezo sen IVE, sabendo que a porcentaxe de aumento aplicado é do ____.

I.E.S. _______________________



A partir da gráfica (hai dous tipos de exercicios diferentes)

5. Escribe a ecuación da función da gráfica. Determina a pendente da recta e os cortes cos eixes.

(Fai primeiro o debuxo que aparece no ordenador)

Representa graficamente (Fai polo menos tres exercicios sen cambiar de opción)

6. Representa graficamente a función f(x).

a. f(x) =

b. f(x) =

c. f(x) =

I.E.S. _______________________



Rectas paralelas (Fai polo menos dous exercicios sen cambiar de opción)

7. Acha a ecuación da recta paralela á da gráfica que pasa polo punto ( , )

8. Acha a ecuación da recta paralela á da gráfica que pasa polo punto ( , )

Ecuación con dous puntos (Fai polo menos dous exercicios sen cambiar de opción)

9. Acha a ecuación da recta que pasa polos puntos

a. ( , ) e ( , )

b. ( , ) e ( , )

Pendente e corte cun eixe (Fai polo menos dous exercicios sen cambiar de opción)

10. Acha a ecuación da recta de pendente ___, que corta ao eixe de abscisas en ______.

11. Acha a ecuación da recta de pendente ___, que corta ao eixe de ordenadas en ____.

I.E.S. _______________________



Puntos aliñados (Fai polo menos dous exercicios sen cambiar de opción)

12. Están aliñados os tres puntos?

a. ( , ) ; ( , ) e ( , )

b. ( , ) ; ( , ) e ( , )

Oferta máis interesante

13. Xoán recibe unha factura mensual de ____________ de teléfono. Decide que tarifa lle interesará máis:

a) Cota mensual de ____ máis ___ céntimos cada minuto.

b) Sen cota mensual e _______ minuto.

Móbil por dous puntos

X= puntos Y = Prezo en €

14. Certa compañía ofrece un móbil rebaixado segundo puntos conseguidos tal como indica a táboa. Corresponde esta táboa a unha función polinómica de primeiro grao?. En caso afirmativo, cal é a ecuación?

Dous datos puntos

15. Na factura do teléfono vemos que unha chamada de ___ minutos cústanos ____ e outra de ____ minutos _____. Cal é o prezo do establecemento de chamada?. Canto se pagará por unha chamada de ____ minutos?

I.E.S. _______________________



Funcións polinómicas de segundo grao. Calcula o coeficiente (hai tres tipos de exercicios diferentes)

16. Calcula o valor de b para que a gráfica da función f(x)=__x2 + bx __ , pase polo punto

( , ).

17. Calcula o valor de a para que a gráfica da función f(x)=ax2 _______, pase polo punto

( , ).

18. Calcula o valor de c para que a gráfica da función f(x)= ________+ c , pase polo punto

( , ).

Escribe a ecuación (Fai 2 exercicios)

19. Escribe a ecuación da parábola que ten coeficiente a=___, corta ao eixe de ordenadas en (0,__) e o seu vértice é o punto ( , ).

20. Escribe a ecuación da parábola que ten coeficiente a=___, corta ao eixe de ordenadas en (0,__) e o seu vértice é o punto ( , ).

I.E.S. _______________________



Por tres puntos

21. Escribe a ecuación da parábola que pasa polos puntos A( , ), B( , ) e C( , )

Calcula o máximo (hai catro tipos de exercicios diferentes)

22. Ao lanzar verticalmente cara a arriba un obxecto, con velocidade inicial ______ a altura máxima que alcanza ven dada por: f(x)=____________________ (g=10 m/seg2 e x:tempo). Calcula a altura máxima que alcanza.

23. Cun listón de _______ de longo queremos facer un marco para un cadro. Calcula a superficie máxima que se pode enmarcar.

Suxestión: Comeza por calcular a ecuación da recta laranxa.

24. Nun comercio venden ____ unidades dun produto a ____ a unidade. Sábese que por cada euro que aumenta o prezo véndense ____ unidades menos. A canto se deben vender para obter o máximo beneficio?

I.E.S. _______________________



25. Calcula o valor de x para que a área do rectángulo da figura sexa máxima.

Calcula o mínimo (hai tres tipos de exercicios diferentes)

26. Dous números suman ___, calcula cales son se a suma dos seus cadrados é mínima.

27. Nun cadrado de lado ______ inscríbese outro como indica a figura. Canto medirá o lado do cadrado inscrito para que a súa área sexa mínima?

28. Calcula o que debe medir x para que a área coloreada en azul na figura, sexa mínima.

I.E.S. _______________________



Funcións polinómicas definidas a anacos. Continuidade (hai tres tipos de exercicios diferentes, fai dous deles)

29. Decide se a función f(x) é continua.

a)

=xse______________xse______________

)x(f

b)

=xse______________xse______________

)x(f

Gráfica do valor absoluto (Fai dous exercicios diferentes)

30. A gráfica do valor absoluto dunha función trázase facendo a simetría da gráfica da función, respecto do eixe-X, á parte que queda por debaixo deste.

(Fai primeiro o debuxo que aparece no ordenador)

a) Representa graficamente a función f(x)=| x |

b) Representa graficamente a función f(x)=| x2 |

Anacos do valor absoluto (Fai dous exercicios diferentes)

31. O valor absoluto dunha función polinómica pódese expresar como unha función definida a anacos, na que cada anaco é un polinomio. Expresa en anacos de funcións polinómicas as funcións:

a) f(x)=| x | =

xse______________xse______________

b) f(x)=| x2 | =

xse______________xse______________

I.E.S. _______________________



Autoavaliación


Cal é a pendente da recta da gráfica?

Calcula a ecuación da recta paralela á

y = que pasa polo punto ( , ).

Cal é a ecuación da recta que pasa polos puntos A( , ) e B( , )?

Calcula os puntos de corte cos eixes de coordenadas da recta

y =

Calcula o vértice da parábola

y =

Unha parábola curta ao eixe de abscisas en ( , 0) e ( , 0).

Cal é o seu eixe de simetría?

I.E.S. _______________________



Descobre os puntos en que a parábola

f(x)= curta ao eixe de abscisas.

A parábola da gráfica é como a

y = x2.

Introduce os coeficientes da súa ecuación.

A parábola da gráfica é

y =

Que intervalo é a solución da inecuación?

_____________________

Cunha corda de _____ de longo deséxase valar unha parcela rectangular por tres dos seus lados, xa que un linda cun río. Cal é a superficie máxima que se pode valar?

I.E.S. _______________________


Funcións racionais, exponenciais e logarítmicas - 1 -

Funcións racionais,

exponenciais e logarítmicas

Contidos

1. Funcións racionais

Función de proporcionalidade inversa As asíntotas Outras funcións racionais

2. Funcións exponenciais

Características Crecemento exponencial Aplicacións

3. Funcións logarítmicas

Función inversa da exponencial Función logarítmica Logaritmos

Obxectivos

• Coñecer as características da función de proporcionalidade inversa e os fenómenos que describen.

• Achar as asíntotas dunha hipérbole.

• Recoñecer e representar funcións exponenciais.

• Aplicar as funcións exponenciais ao xuro composto e outras situacións.

• Calcular o logaritmo dun número.

• Interpretar as gráficas das funcións logarítmicas.

Autor: Xosé Eixo Blanco Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

I.E.S. _______________________



Investiga Benjamin Franklin, famoso científico e estadista, deixou un legado de 1000 libras ás cidades de Boston e Filadelfia para que se prestasen a novos aprendices ao 5% anual.

Segundo Franklin ao cabo de 100 anos converteríanse en 131000 libras, das cales 100000 serían para obras públicas e as 31000 restantes volverían utilizarse como empréstitos outros 100 anos. Calculou ben? Na escena podes ver a definición de Progresión Xeométrica e varios exemplos. Pulsa o botón para deter a explicación

Pulsa o botón para continuar a explicación

Pulsa os botóns para retroceder / avanzar máis rapidamente EXERCICIO 1: Completa o que falta nos seguintes recadros:

Unha progresión xeométrica está constituída por unha _________________________ na que cada un deles se obtén _______________________ o anterior por unha constante denominada ________________________________.

Exemplo 1 Exemplo 2


1. Funcións racionais 1.a. Función de proporcionalidade inversa Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO 1: Completa.

A función de proporcionalidade inversa relaciona _______________________________ __________________. A súa expresión alxébrica é:

=y

A súa gráfica é unha ___________________.

Antes de empezar

I.E.S. _______________________




• O dominio e o percorrido son ________________________________________.

• É unha función _______: _______________________

• Se k>0 a función é _____________ e a súa gráfica aparece nos cuadrantes_________.

• Se k<0 a función é _____________ e a súa gráfica está no _________ cuadrante.

Na escena podes ver en primeiro lugar unha animación na que se constrúe a gráfica da función

f(x) =xk

para k =1.

Completa a táboa de valores e o debuxo neste

sistema de coordenadas cartesianas: Ao finalizar podes variar o valor de k e observar as gráficas correspondentes.

Representa nos seguintes recadros as gráficas que se indican:

f(x) =x

2 f(x) =

x

1−−−−

x f(x)

x f(x)

f(x) =x

4 f(x) =

x

4−−−−

x f(x)

x f(x)

Pulsa o botón

para facer uns exercicios. Aparece unha escena na que se repasa o

concepto de magnitudes inversamente proporcionais.

I.E.S. _______________________



Contesta:

Cando dúas magnitudes son inversamente proporcionais, se tomamos dúas cantidades correspondentes, que é o que se mantén constante? : ___________________________

Pulsando nos botóns que aparecen nese cadro podes acceder a tres exercicios diferentes. Resólveos nos seguintes recadros e despois pulsa o botón "Comprobar".


EXERCICIOS

Observa a gráfica da figura. Arrastra o punto laranxa para ver como aparecen distintos rectángulos. (Debúxaa nos eixes da dereita fixándote ben na ecuación e nos puntos polos que pasa). Como é a área de todos eses rectángulos? ______________ Canto mide? ____________

A táboa corresponde a cantidades inversamente proporcionais, complétaa e escribe a expresión alxébrica da función y = f(x).

x f(x)

Segundo a Ley de Boyle-Mariotte, a presión que exerce un gas e o volume que ocupa son inversamente proporcionais. A 25º determinada cantidade de gas exerce unha presión de ____ atmósferas e ocupa un volume de ____ litros.

a) Que volume ocupará cando a presión exercida sexa de 1 atmósfera?

b) Que presión exercerá cando o volume sea _____ litros?

Escribe a función que relaciona: presión →→→→ volume

Debuxa a súa gráfica �

y =

I.E.S. _______________________



1.b. As asíntotas Observa a escena da dereita e le na pantalla a explicación teórica deste apartado.

EXERCICIO 1: Na escena da dereita observa a animación na que se ve como se comportan os valores de x e y na gráfica da función f(x) =1/x.

Contesta: RESPOSTAS

Que acontece cos valores de y = f(x) a medida que os valores de x se van aproximando 0 pola dereita (x�0+)?

Que acontece cos valores de y = f(x) a medida que os valores de x se van aproximando a 0 pola esquerda (x�0–)?

Que acontece cos valores de y = f(x) a medida que os valores de x van sendo cada vez máis grandes, é dicir, cando tenden a "máis infinito" (x� +∞)?

Que acontece cos valores de y = f(x) a medida que os valores de x tenden a "menos infinito" (x� -∞)?

EXERCICIO 2: Contesta. RESPOSTA

Cando dicimos que unha recta é asíntota dunha función?


• Asíntotas verticais.

A recta x=a é unha asíntota vertical da función y = f(x) se se verifica que ______ ____________________________________________________________________.

• Asíntotas horizontais.

A recta y=b é unha asíntota horizontal da función y = f(x) se se verifica que _____ ____________________________________________________________________.

Representa nos seguintes recadros as gráficas que se indican:

f(x) =2x

1

−−−− f(x) =

3x

1

++++ ¡ Observa que x-(-3)=x+3 !

x f(x)

3

2,5

2,1

1

1,5

1,9

x f(x)

-4

-3.5

-3.1

-2

-2.5

-2.9

Pulsa o botón

para facer uns exercicios. Na escena aparece unha función para

calcular as súas asíntotas. Podes axudarte das rectas verde e laranxa para localizalas.

I.E.S. _______________________



Completa a táboa seguinte con 4 das funcións e as súas correspondentes asíntotas: Función A.V. A.H. Función A.V. A.H.

=)x(f

=)x(f

=)x(f

=)x(f


1.c. Outras funcións racionais Observa a escena da dereita e le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO 1: Completa.

As funcións racionais son aquelas que a súa expresión alxébrica é ___________________ ___________________________

=)x(f


• O seu dominio son ______________________ agás __________________________.

• Para calcular o punto de corte co eixe OY ___________.

• Para calcular os puntos de corte co eixe OX _______________________________. Na escena podes ver como se calculan as asíntotas e os puntos de corte en varios exemplos con funcións que son cociente de dous polinomios de grao 1. Completa nos seguintes recadros dous dos exemplos que aparecen na escena.

EXERCICIOS

4. Nas seguintes funcións, debuxa as asíntotas e escribe a súa ecuación.

AV: x= AH: y=

AV: x= AH: y=

AV: x= AH: y=

I.E.S. _______________________



f(x) = f(x) =

Asíntota vertical:

Operación para calcular a asíntota horizontal:

Asíntota horizontal: x f(x)

0

0

Asíntota vertical:

Operación para calcular a asíntota horizontal:

Asíntota horizontal: x f(x)

0

0

Pulsa o botón


Na escena aparecen cinco funcións e cinco gráficas. Arrastra cada ecuación ao lugar no que está a gráfica correspondente e pulsa Comprobar para ver se o fixeches ben. Repite o exercicio un mínimo de dúas veces sen fallos.


EXERCICIOS

5. Decide que gráfica corresponde a cada función:

1) 1x

1)x(f

−= →

2) 1x

1)x(f

+= →

3) x

1x)x(f

+= →

4) x

x1)x(f

−= →

5) 1x1x

)x(f−+= →

6) 1x1x

)x(f+−= →

I.E.S. _______________________



2. Funcións exponenciais 2.a. Características da función exponencial Le na pantalla a explicación teórica deste apartado e na escena varía o valor de "a" e pulsa "animar" para observar como se van obtendo os puntos da función e a súa correspondente representación gráfica. EXERCICIO 1: Completa.

A función exponencial é da forma =)x(f con a un número real positivo.


• O dominio son _________________ e o percorrido son ______________________.

• É continua en _______________________.

• Se a>1 a función é __________________________________.

• Se 0 < a <1 a función é _____________________.

• Corta ao eixe OY no punto ( , ).

• O eixe OX é ______________________. A función é inxectiva, é dicir, se an=am entón n=m Representa nos seguintes recadros as gráficas que se indican:

f(x) = x2 f(x) = x3

x f(x)

x f(x)

f(x) = x)5,0( f(x) = x)25,0(

x f(x)

x f(x)

I.E.S. _______________________



Pulsa o botón


Aparece unha escena na que verás outras funcións exponenciais. Por exemplo, o caso no que multiplicamos por un número "k" e o caso no que sumamos unha constante "b". É dicir, veremos as funcións exponenciais do tipo: f(x) = k·ax + b Pulsando nos botóns que aparecen nese cadro podes acceder a tres exercicios diferentes. Resólveos nos seguintes recadros e despois pulsa o botón "Comprobar".

Funcións exponenciais da forma: xak)x(f ⋅⋅⋅⋅====

Exemplos:

Con base maior que 1: x)x(f ⋅⋅⋅⋅====

Con base positiva menor que 1: x)x(f ⋅⋅⋅⋅====

Punto de corte con OY: ( , )

Funcións exponenciais da forma:

pa)x(f x ++++====

Exemplos: Con base maior que 1

Con p >0: ++++==== x)x(f

Con p <0: −−−−==== x)x(f

Punto de corte con OY: ( , )

Con base positiva menor que 1

Con p >0: ++++==== x)x(f

Con p <0: −−−−==== x)x(f

Asíntota horizontal: y =

Representa dúas das funcións que aparecen neste apartado, completando tamén a táboa de valores:

f(x) = f(x) =

x f(x)

x f(x)


I.E.S. _______________________



2.b. Crecemento exponencial Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. A función exponencial preséntase en multitude de fenómenos de crecemento animal, vexetal, económico, etc. En todos eles a variable é o tempo. y=at EXERCICIO 1: Completa.

No crecemento exponencial, cada valor de y obtense ____________________________ ______________________________________________________________________.

y = Onde:

k é __________________________

t é __________________________

a é _______________________________________________________. Se 0 < a <1 trátase dun _______________________________

Na escena aparece o enunciado dun problema. Observa que o crecemento do cultivo bacteriano (número de bacterias por unidade de tempo) segue un crecemento ou decrecemento exponencial. EXERCICIO 2:

Varía o valor inicial "k" e o factor polo que se multiplica "a" e observa as diferentes

gráficas que se obteñen. Contesta: RESPOSTA

Para que valores de "a" se ten un crecemento exponencial?

Para que valores de "a" se ten un decrecemento exponencial?

Como é a función para a =1?

Cal é o punto de corte co eixe OY?

Pulsa o botón


Aparece un resumo no que podes ver as respostas ás preguntas anteriores. Pulsando nos botóns que aparecen nese cadro podes acceder a tres exercicios diferentes. Resólveos nos seguintes recadros e despois pulsa o botón "Comprobar".

Escribe a táboa dunha función exponencial se para x=___ a función vale ___ e a constante de crecemento é ___.

Cal é a expresión alxébrica?

x y

I.E.S. _______________________



A táboa seguinte corresponde a valores dunha función exponencial. Complétaa e escribe a expresión alxébrica da función y=f(x)?

x f(x)


f(x) = f(x) =

x f(x)

x f(x)


2.c. Aplicacións Le na pantalla a explicación teórica deste apartado.


Para que serve a función exponencial?

EXERCICIO 2:

Agora podes resolver o problema do legado de Franklin, formulado ao comezo do tema. Pulsa sobre a imaxe.

Na escena da dereita podes ver tres aplicacións: Xuro composto. Crecemento de poboacións. Desintegración radioactiva.

I.E.S. _______________________



Pulsa sobre Xuro composto

Le a explicación da escena e completa o que falta no seguinte texto:

Xuro composto No xuro composto os xuros producidos por un capital C0 ______________________ a este, de tempo en tempo, para producir novos xuros. Os intervalos de tempo, ao cabo dos cales os xuros se acumulan ao capital, chámanse ________________________________________________.

O Capital Final obtido Cf por un capital inicial C0 ao cabo de t anos a xuro composto do r % anual, determínase pola fórmula:

Se a capitalización non é anual cámbiase t por ___ e r por ____ onde n é o número de períodos que hai nun ano.

Crecemento Continuo Cando os períodos de tempo se fan cada vez máis pequenos, de maneira que os xuros se acumulan ao capital en cada instante, obtense a fórmula do xuro continuo:

EXEMPLO Se colocamos un capital de ____ € ao ______ anual, a xuro composto con abonos cada ___ meses. a) Fai unha táboa do capital

acumulado nos primeiros anos. b) Escribe a expresión alxébrica do

capital acumulado, en función dos anos transcorridos.

c) Canto diñeiro teremos ao cabo de ___ anos?

d) Cantos anos teñen que pasar para ter _____ €?

x y O rédito por período é:

Cada € convértese por período en:

Cada € convértese por ano en:

b) y =

c) y( ) =

d) Continuamos coa táboa

Teñen que pasar:


Pulsa sobre Crecemento de poboacións


Crecemento de poboacións O crecemento vexetativo dunha poboación ven dado por _____________________________ ___________________________________________. Se inicialmente partimos dunha poboación P0 que ten un índice de crecemento anual i (expresado en tanto por un), a poboación despois dun ano será:

E ao cabo e t anos será

Crecemento Continuo

Se se considera o crecemento continuo:

I.E.S. _______________________



EXEMPLO Un pobo ten ____ habitantes. Sábese que a súa poboación crece a un ritmo do ____ anual. a) Fai unha táboa de valores que

relacione tempo e poboación. b) Escribe a expresión alxébrica

da función tempo poboación. c) Cantos habitantes terá dentro

de ____ anos? d) Cantos anos teñen que pasar

para que a poboación sexa de aproximadamente ____ habitantes?

x y

b) y =

c) y( ) =

d) Continuamos coa táboa

Teñen que pasar:


Pulsa sobre Desintegración Roadioactiva


Desintegración Radioactiva As substancias radioactivas desintégranse ____________________. A cantidade dunha certa

substancia radioactiva que vai quedando ao pasar o tempo t, ven dada por

Onde M0 é a cantidade de substancia que había no instante que tomemos como inicial e a unha constante, 0 < a <1, que depende da substancia en cuestión e da unidade de tempo que tomemos.

A rapidez de desintegración das substancias radioactivas mídese polo _______________ _____________, que é _______________________________________________.

EXEMPLO Un gramo de estroncio-90 redúcese á metade en 28 anos. Se no ano 2000, tiñamos ___ gramos e tomamos como orixe de tempo o ano 2000. a) Fai unha táboa coa cantidade

de estroncio que quedará nos anos 2000, 2028, 2056, 2084.

b) Escribe a expresión alxébrica da función anos, masa.

c) Canto estroncio quedará no ano ________?

d) Cantos anos teñen que pasar para que se reduza a _____ g?

ano x y

x = anos que pasaron dende o ano 2000

y = cantidade de masa no ano x

b) y =

c) y( ) =

d) Continuamos coa táboa a partir de x = ____

Teñen que pasar:

I.E.S. _______________________




EXERCICIOS

6. Representa e estuda as funcións

a) f(x) = 4·2x

b) f(x) = 2·3-x+1

7. Constrúe unha táboa de valores dunha función exponencial en cada caso e escribe a expresión alxébrica.

a) f(-2)=2/9 e constante de crecemento 3 b) f(0)=3 e constante de decrecemento ¼

x f(x)

-2 2/9

-1

0

1

2

3

x f(x)

-2

-1

0 3

1

2

3

8. A táboa corresponde, en cada caso, a unha función exponencial. Escribe a fórmula.

x f(x)

-2 1/9

-1 1/3

0 1

1 3

2 9

3 27

x f(x)

-2 25

-1 5

0 1

1 1/5

2 1/25

3 1/125

9. Indica se o gráfico corresponde a unha función con crecemento exponencial ou con decrecemento. Escribe a función.

I.E.S. _______________________



3. Funcións logarítmicas 3.a. Función inversa da exponencial Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO 1: Completa.

Dada unha función inxectiva, y=f(x), chámase ________________ de f a outra función, g, tal que g(y)=x.

Na escena adxunta construímos paso a paso a inversa da función exponencial. Podes variar o valor de "a" e pulsar "animar" para observar como aparecen as gráficas de dúas funcións: A función exponencial y = f(x) = ax e a súa inversa x = g(y).


Esta función inversa chámase _______________ e, como podes observar, é ___________ da ________________________ con respecto a _______________________________.

Representa a continuación as gráficas das funcións que se indican, escribindo en primeiro lugar a táboa de valores:


3.b. A función logarítmica Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO 1: Completa.

A función logarítmica é _________________________________________ e denótase:

y = , con a>0 e a≠ 1.

F. exponencial: f(x) = x2 E a súa inversa: x = g(y)

I.E.S. _______________________



Observa na escena da dereita como construímos a súa gráfica de forma similar a como o fixemos coa exponencial. As súas propiedades son "simétricas". EXERCICIO 2: Completa.

• O dominio é _______ e o percorrido é _____.

• É continua en _______________________.

• Se a>1 a función é __________________________________.

• Se 0 < a <1 a función é _____________________.

• Corta ao eixe OX no punto ( , ).

• O eixe OY é ______________________. A función é inxectiva: se logax = logay entón x=y Representa nos seguintes recadros as gráficas que se indican:

f(x) = log 2 x f(x) = log 0,5 x

x f(x)

x f(x)

f(x) = log 10 x f(x) = log 0,1 x

x f(x)

x f(x)

Pulsa o botón


Aparece unha escena na que verás outras funcións logarítmicas. Por exemplo o caso no que multiplicamos por un número "k" e o caso no que sumamos unha constante "p". É dicir, veremos as funcións exponenciais do tipo: xlogk)x(f a⋅⋅⋅⋅==== ; pxlog)x(f a ++++====

Pulsando nos botóns que aparecen nese cadro podes acceder a tres escenas diferentes. Resólveos nos seguintes recadros e despois pulsa o botón "Comprobar".

I.E.S. _______________________



Funcións logarítmicas da forma: xlogk)x(f a⋅⋅⋅⋅====

Varía os valores de "a" e de "k" e indica se a función é crecente ou decrecente. Con base a >1

Se k>0 ___________________ Se k<0 _______________________ Con base 0 < a <1 (Ten en conta que xlogxlog a

a1 −−−−==== )

Se k>0 ___________________ Se k<0 _______________________

Funcións logarítmicas da forma: pxlog)x(f a ++++====

Varía os valores de "a" e de "k" e indica se a función é crecente ou decrecente. Con base a >1

Se p>0 ___________________ Se p<0 _______________________ Con base 0 < a <1

Se p>0 ___________________ Se p<0 _______________________ Observamos que: Ao variar p, a función trasládase sobre o eixe OY.

Se p>0 Cara ________ e se p<0 Cara _______ Cal é o punto de corte da función pxlog)x(f a ++++==== co eixe OX? ( , )


f(x) = f(x) =

x f(x)

Dominio:

Percorrido:

Asíntota:

Corte OX:

x f(x)

Dominio:

Percorrido:

Asíntota:

Corte OX:


I.E.S. _______________________



3.c. Logaritmos Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO 1: Completa.

Dados dous números reais positivos, a e b (a 1), chamamos logaritmo en base a

de b _______________________________________________________________.


A definición anterior indica que as dúas igualdades seguintes son equivalentes:

Equivale a

Cando a=10 falamos de ___________________________ e non adoita escribirse a base.

log100= porque

Nesta escena da dereita podes ver exemplos e a partir deles podes comprender mellor o concepto de logaritmo. A continuación poderás ver as propiedades dos logaritmos e as súas correspondentes demostracións. Anota os exemplos e as propiedades nos espazos seguintes:

Logaritmos de base maior que 1

Exemplo 1: porque

Exemplo 2: porque

Logaritmos de base positiva menor que 1

Exemplo 1: porque

Exemplo 2: porque

Propiedades dos logaritmos

1) Logaritmo dun produto

Se b e c son dous números reais positivos, cúmprese en calquera base a que:

Demostración

Se chamamos z ao primeiro logaritmo, x ao segundo e y ao terceiro, temos:

Polo tanto:

I.E.S. _______________________



2) Logaritmo dun cociente

Se b e c son dous números reais positivos, cúmprese en calquera base a que:

Demostración

Se chamamos z ao primeiro logaritmo, x ao segundo e y ao terceiro, temos:

Polo tanto:

3) Logaritmo dunha potencia

Se b é un número real positivo e c calquera número, cúmprese en calquera base a que:

Demostración

Se chamamos z ao primeiro logaritmo e x ao segundo, temos:

Polo tanto:

4) Logaritmo da unidade e logaritmo da base

O logaritmo de 1 en calquera base é ___. O logaritmo de a en base a é ___.

porque

porque

Logaritmos decimais

(I) Son os máis usados e por ese motivo non adoita escribirse a base. É dicir, log 3 = log103

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Exemplo 3:

Exemplo 4:

I.E.S. _______________________



(II) Para calcular o logaritmo decimal dun número que non sexa potencia de 10 temos que usar a calculadora. Pero podemos facernos unha idea do seu valor aproximado tendo en conta que a función logarítmica de base maior que 1 é crecente.

Exemplo 1: 1 < < 10 � Entón log =

Exemplo 2: 10 < < 100� Entón log =

Exemplo 3: 100 < < 1000� Entón log =

O logaritmo dun número "n" é __________________________________________.

O logaritmo infórmanos ________________________________.

(III) Se o número é menor que 1 o logaritmo tamén nos informa do seu tamaño:

Exemplo 1: 1 > > 0,1 � Entón log =

Exemplo 2: 0,1 > > 0,01� Entón log =

Exemplo 3: 0,01 > > 0,001� Entón log =

O logaritmo dun número "n" indica __________________________________________.

Logaritmos coa calculadora

As calculadoras normalmente permiten calcular dous tipos de logaritmos: Decimais (base =10) e neperianos ou naturais (base = número e). Se queremos usar a calculadora para obter logaritmos en calquera outra base teremos que recorrer á fórmula de cambio de base:

Pulsa o botón


Pulsando nos botóns que aparecen nese cadro podes acceder a tres exercicios diferentes. Resólveos nos seguintes recadros e despois pulsa o botón "Comprobar".

Escribe un mínimo de 5 enunciados e resólveos á man antes de pulsar "Comprobar"

Exercicio 1:

Exercicio 2:

Exercicio 3:

Exercicio 4:

Exercicio 5:

Sabendo que o log 2 =0,301030, calcula á man o valor de: log 1,6 =

log 0,125 =

log 40 =

I.E.S. _______________________



Escribe un mínimo de 5 enunciados e resólveos coa calculadora:

Exercicio 1:

Exercicio 2:

Exercicio 3:

Exercicio 4:

Exercicio 5:


EXERCICIOS 10. Representa e estuda as funcións

a) f(x) = 2·log3x

b) f(x) = log3x+1

11. Calcula x en cada caso aplicando a definición de logaritmo:

a) log6 (1/6) = x

b) log4 2 = x

c) log5 125 = x

d) log1/8 1 = x

e) log3 81 = x

f) log1/5 25 = x

g) log3 (1/9) = x

h) log1/2 (1/16) = x

12. Sabendo que log2=0,301030 calcula sen axuda da calculadora:

a) log40

b) log1,6

c) log 0,125

13. Coa calculadora acha os seguintes logaritmos:

a) log223,721

b) log325678,34561

c) log50,37906

d) log70,37906

I.E.S. _______________________




(Completa o que falta na descrición das diferentes funcións)

Funcións racionais Son as que a súa expresión alxébrica é o cociente entre dous polinomios.

• Unha función de proporcionalidade inversa, y=k/x, relaciona dúas variables _________________________ _______________________. o A súa gráfica é unha ______________ o É descontinua en __________ o Decrecente se ________ o Crecente se ______.

• Cando a gráfica dunha función se achega cada vez máis a unha recta, confundíndose con ela, dise que a recta é unha ____________.

Que función se obtén se se traslada

o centro da hipérbolex3

y = ao punto

( -3,-2)?

==x

3y

Funcións exponenciais

Son da forma y=ax, con a>0.

• O seu dominio é _____. • É ______________. • É crecente se ______________ • É decrecente se ______________ • Corta ao eixe OY en ( , ) e pasa por ( , ) • O eixe OX é ________________________.

Funcións logarítmicas

Son as que asocian a cada número x o seu logaritmo en certa base, a>0, y=logax.

• O seu dominio son _____________________ • É ______________ • É crecente se ________ • É decrecente se ___________. • Corta ao eixe OX en ( , ) e pasa por ( , ) • O eixe OY é ______________________.

Fai a gráfica das funcións:

y =2 x y= log2 x

LOGARITMOS

O logaritmo en base a>0 dun número b>0 é o expoñente x, ao que hai que elevar a para obter b.

logab=x é equivalente a ________

PROPIEDADES

1. loga(b·c)= _______________

2. loga(b/c)= _______________

3. logabn = ________________


I.E.S. _______________________



Para practicar


Funcións racionais Funcións exponenciais Funcións logarítmicas

Completa o enunciado cos datos cos que che aparece cada EXERCICIO na pantalla e despois resólveo. É importante que primeiro o resolvas ti e despois comprobes no ordenador se o fixeches ben. Funcións racionais. Proporcionalidade inversa (hai tres exercicios diferentes)

1. Envasamos ___ litros de auga mineral en botellas iguais.

Escribe a función que relaciona o número de botellas e a súa capacidade. Debuxa a gráfica.

2. Un móbil percorre unha distancia de ______ con velocidade constante. Escribe a función velocidade→tempo, calcula o tempo invertido a unha velocidade de ____ km/h, e a velocidade se o tempo foi ___ horas.

3. Unha billa cun caudal de ___ litros/min. tarda _____ minutos en encher un depósito. Canto tardaría se o caudal fose de ___ litros/min.?

Escribe a función caudal→tempo.

I.E.S. _______________________



Debuxa a gráfica

4. Calcula as asíntotas e debuxa a gráfica das funcións:

a) =)x(f b) =)x(f

Escribe a ecuación

5. Escribe a ecuación da función que ten por gráfica unha hipérbole como a da figura co centro de simetría desprazado ao punto ( , )

Custo por unidade

6. Os custos de edición, en euros, de x exemplares dun libro veñen dados por y=________ (x>0).

Canto custa editar ___ exemplares?,

e ____ exemplares?

Escribe a función que dá o custo por exemplar.

Por moitos exemplares que se publiquen, cal é o custo unitario como mínimo?


Custo de x exemplares

I.E.S. _______________________



Funcións exponenciais. Xuro composto (hai cinco exercicios diferentes)

7. En que se converte ao cabo de ___ anos un capital de __________ ao ______ anual?

8. Un capital colocado a xuro composto do ___ anual, converteuse en __ anos en ______. Cal era o capital inicial?

9. Un capital de __________ colocado a xuro composto converteuse ao cabo de __ anos en ___________. Cal é o rédito (xuro anual) a que estivo colocado?

10. Un capital de _________, colocado a xuro composto do ____ anual, converteuse ao cabo duns anos en ________. Cantos anos transcorreron?

11. Cantos anos ha de estar colocado certo capital, ao ____ anual, para que se duplique?

I.E.S. _______________________



Decaemento Radioactivo (hai tres exercicios diferentes)

12. O período de desintegración do Carbono 14 é 5370 anos. En que cantidade se converten ___ ao cabo de _____ anos?

13. Cantos anos han de pasar para que unha mostra de ____ de C14 se converta en ____?

(Período de desintegración do C14: 5370 anos).

14. Unha mostra de _____ dunha substancia radioactiva convértese en ______ en __ anos.

Cal é o período de desintegración?

Crecemento de poboacións (hai dous exercicios diferentes)

15. O tamaño de certo cultivo de bacterias multiplícase por __ cada __ minutos. Se supoñemos que o cultivo ten inicialmente __ millóns de bacterias, dentro de cantas horas terá ___ millóns de bacterias?

16. O tamaño de certo cultivo de bacterias multiplícase por __ cada ___ minutos, se ao cabo de __ horas o cultivo ten ____ millóns de bacterias, cantas había no instante inicial?

I.E.S. _______________________



Ecuacións exponenciais

Cando a x está no expoñente

Exemplo 1 Exemplo 2

Resolve a ecuación: 252x-3=125 Calcula x en 3x=14

25 =52 e 125 =53, entón 52(2x-3)=53

igualando os expoñentes 2(2x-3)=3 ⇒ x=9/4

Tomando logaritmos: log 3x = log14

x log3=log14 Entón x= 40,23log14log =

17. Resolve ecuacións exponenciais (escribe 3 enunciados diferentes que aparecen no teu ordenador e resólveos antes de comprobar a solución):

a)

b)

c)


Funcións logarítmicas. Definición de logaritmo (hai tres exercicios diferentes)

18. Calcula o número cuxo logaritmo en base ___ é ___.

19. En que base o logaritmo de 0,001 é -3?

20. Calcula mentalmente o logaritmo en base 2 de 32.

Logaritmos decimais

21. Sabendo que o log2=0,3010 e o log3=0,4771, calcula: (fai polo menos 3 diferentes)

a)

b)

c)

I.E.S. _______________________



Logaritmos con calculadora

22. Utiliza a calculadora para descubrir o valor de: (fai polo menos 3 diferentes)

a) Logaritmo en base __ de __________

b) Logaritmo en base __ de __________

c) Logaritmo en base __ de __________

Ecuacións con logaritmos Exemplo

Resolve a ecuación: 4 · logx =2 · logx + log4 +2

4 · logx -2 · logx = log4 + log100

2 · logx = log400

log x2 = log400

x2 =400 x⇒ ±=20

23. Aplicando as propiedades dos logaritmos resolve as ecuacións (escribe 4 enunciados diferentes que aparecen no teu ordenador, dous de ecuacións cunha incógnita e outros dous de sistemas de dúas ecuacións):

a)

b)

c)

d)


I.E.S. _______________________



Autoavaliación


Cal é a función de proporcionalidade inversa que a x = ____ lle fai corresponder y = ___?

Escribe a expresión alxébrica da función da gráfica.

Calcula as asíntotas da función =)x(f .

Escribe a expresión alxébrica da función exponencial da gráfica.

Calcula en canto se converte un capital de ______ € colocado ao ___ anual durante __ anos.

I.E.S. _______________________



A poboación dunha especie en extinción redúcese á metade cada ano. Se ao cabo de __ anos quedan ____ exemplares, cal era a poboación inicial?

Escribe a expresión da función logarítmica que é a inversa da exponencial da gráfica.

Calcula log

Sabendo que log __ = _______ e sen usar a calculadora, calcula log ________

Coa calculadora acha o valor de x en

___________________

Redondea o resultado a centésimas.

I.E.S. _______________________




1. Envasamos 276 litros de auga en botellas iguais. Escribe a función que relaciona o número de botellas e a súa capacidade.

2. Un móbil percorre unha distancia de 130 km con velocidade constante. Escribe a función velocidade→tempo, calcula o tempo invertido a unha velocidade de 50 km/h, e a velocidade se o tempo foi 5 horas.

3. Unha billa cun caudal de 8 litros/min tarda 42 minutos en encher un depósito. Canto tardaría se o caudal fose de 24 litros/min?. Escribe a función caudal→tempo.

4. Calcula as asíntotas das funcións seguintes:

a)3x4x2

)x(f++= b)

3x1x

)x(f−−=

c)x

1x2)x(f

−= d)2x

x)x(f

+−=

5. Escribe a ecuación da función que ten por gráfica unha hipérbole como a da figura co centro de simetría desprazado ao punto (2,-1).

6. Os custos de edición, en euros, de x exemplares dun libro veñen dados por y=21x+24 (x>0). Canto custa editar 8 exemplares?, e 80 exemplares?. Escribe a función que dá o custo por exemplar. Por moitos exemplares que se publiquen, cal é o custo unitario como mínimo?

7. En que se converte ao cabo de 15 anos un capital de 23000 € ao 5,5% anual?

8. Un capital colocado a xuro composto ao 2% anual, converteuse en 3 anos en 9550,87 €. Cal era o capital inicial?

9. Un capital de 29000€ colocado a xuro composto converteuse ao cabo de 4 anos en 31390,53 €. Cal é o rédito (xuro anual) a que estivo colocado?

10. Un capital de 7000€ colocado a xuro composto do 2% anual, converteuse ao cabo duns anos en 8201,61 €. Cantos anos transcorreron?

11. Cantos anos ha de estar colocado certo capital, ao 3% anual, para que se duplique.

12. O período de desintegración do Carbono 14 é 5370 anos. En que cantidade se converten 10 gr ao cabo de 1000 anos?

13. Cantos anos han de pasar para que unha mostra de 30 gr de C14 se converta en 20,86 gr.? (Período de desintegración do C14 5370 anos).

14. Unha mostra de 60 gr. dunha substancia radioactiva convértese en 35,67 gr en 30 anos. Cal é o período de desintegración?.

15. O tamaño de certo cultivo de bacterias multiplícase por 2 cada 30 minutos. Se supoñemos que o cultivo ten inicialmente 5 millóns de bacterias, dentro de cantas horas terá 320 millóns de bacterias?.

16. O tamaño de certo cultivo de bacterias multiplícase por 2 cada 20 minutos, se ao cabo de 3 horas o cultivo ten 576 millóns de bacterias, cantas había no instante inicial?

I.E.S. _______________________



17. Calcula o número:

a) o logaritmo do cal en base 6 é 3.

b) o logaritmo do cal en base 4 é -3.

c) o logaritmo do cal en base 10 é 2.

d) o logaritmo do cal en base 1/2 é -3.

e) o logaritmo do cal en base 1/5 é 2.

18. En que base?

a) o logaritmo de 0,001 é -3.

b) o logaritmo de 243 é 3.

c) o logaritmo de 8 é 1.

d) o logaritmo de 1/81 é -4.

e) o logaritmo de 49 é 2.

19. Calcula mentalmente:

a) o logaritmo en base 2 de 32.

b) o logaritmo en base 5 de 125.

c) o logaritmo en base 3 de 1/9.

d) o logaritmo en base 7 de 1.

e) o logaritmo en base 6 de 216.

20. Sabendo que o log2=0,3010 e o log3=0,4771, calcula:

a) log 16

b) log 512

c) log(16/81)

d) log 24

e) log 72

21. Utiliza a calculadora para descubrir o valor de:

a) log7 12456,789

b) log5 5123,4345

c) log9 47658,897

d) log3 23,146

e) log6 1235,098

22. Resolve as ecuacións exponenciais:

a) 32-9x+9 = 16

b) 272x+3 = 93

c) 4-3x+8 = 8

d) 98x-7 = 1

e) 25-5x-5 = 1

23. Calcula o valor de x:

a) 7x = 5

b) 5x = 7

c) 2,13x = 4,5

24. Aplicando as propiedades dos logaritmos resolve as ecuacións:

a) log(32+x2) - 2·log(4-x) = 0

b) 2·logx - log(x-16) = 2

c) logx2 - log10

11x10 + = -2

d)932

logxlog33x

log22x

log5 −⋅=⋅+⋅


a)

=+=⋅−⋅

1ylogxlog7ylog3xlog2

b)

=+=+

3ylogxlog70yx

I.E.S. _______________________


Estatística - 1 -

Estatística

Contidos 1. Estatística descritiva

Poboación e mostra Variables estatísticas Gráficos variables cualitativas Gráficos variables cuantitativas discretas Gráficos variables cuantitativas

2. Medidas de centralización

Media, moda e mediana Evolución da media Evolución da mediana Media e mediana comparadas Medidas de posición

3. Medidas de dispersión

Desviación típica e percorrido Cálculo das medidas de dispersión A media e a desviación típica

4. Representatividade das mostras

Mostraxe estratificada Mostraxe aleatoria. Nesgo

Obxectivos

• Distinguir os conceptos de poboación e mostra.

• Diferenciar os tres tipos de variables estatísticas.

• Facer recontos e gráficos.

• Calcular e interpretar as medidas estatísticas de centralización máis importantes.

• Calcular as principais medidas de dispersión.

• Entender a importancia da elección da mostra para que sexa representativa.

Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

I.E.S. _______________________


Estatística - 2 -

Un xogo para empezar Vai premendo en pezas pegadas ao oco para desprazalas e así durante un anaco para desfacer o crebacabezas. Reconstrúeo agora.


1. Estatística descritiva 1.a. Poboación e mostra.

Poboación é ___________________________________________________ sobre o que se fai un estudio estatístico.

A mostra es_______________________________________________________________, de aí que a propiedade máis importante das mostras é a súa ________________________.

O proceso seguido na extracción da mostra chámase ___________________.

Na escena adxunta temos 625 cadradiños que representan os alumnos dun instituto ficticio, se vas premendo nos cadradiños, vas seleccionando parte dos alumnos. Contesta:

a. Cal é a poboación? ____________________________________________________ b. Cal é a mostra? _____________________________________________________ c. Como se chama o proceso no que se pregunta a toda a poboación? ______________


1.b. Variables estatísticas. A característica a estudar nunha poboación é a variable estatística. Completa a seguinte táboa coas características dos distintos tipos de variables estatísticas:

Tipos de variables estatísticas

Cualitativas

Discretas Continuas

Cuantitativas

Na escena da dereita tes exemplos de cada tipo de variable estatística.

Preme no botón


Completa a táboa cos exemplos:

Cualitativas Cuantitativas Discretas Cuantitativas Continuas


Antes de empezar

I.E.S. _______________________


Estatística - 3 -

1.c. Gráficos en variables cualitativas O diagrama de sectores é o mais indicado para este tipo de información. A porcentaxe de datos de cada valor nunha mostra correspóndese coa mesma porcentaxe de sector dun círculo.

Así por exemplo, se os datos son A, A, A, A, A, B, B, B, C, C, completa a táboa cos datos correspondentes:

xi Frecuencia Porcentaxe Ángulo A B C

Fai clic en para ver un vídeo sobre gráficos.

Coa axuda da escena da dereita podes facer un exercicio sobre representación gráfica de variables estatísticas cualitativas. O exercicio simula que temos unha poboación de 30 alumnos e cada un deles elixe unha cor. Pulsando en Xera teremos as 30 cores elixidas aleatoriamente, pulsa axuda e le como a escena che facilita o reconto e completa a táboa, comprobando que é correcto ti reconto. A continuación pulsa o botón de diagramas para ver os gráficos, e debúxaos no lugar correspondente

Color Frecuencia D. de columnas D. de sectores

Vermello

Verde

Azul

Amarelo

Turquesa


I.E.S. _______________________


Estatística - 4 -

1.d. Gráficos en variables cuantitativas discretas Diagrama de barras. Abondará que observes exemplos feitos da escena da dereita para comprender como se fan e o seu significado. Este é o gráfico mais indicado para as variables cuantitativas discretas.

Podes ler un artigo do Instituto Nacional de Estatística, sobre o comportamento ou actuacións do noso país co medio e a enerxías renovables, nel móstranse diversos tipos de diagramas.

Coa axuda da escena da dereita podes facer uns exercicios sobre representación gráfica de variables estatísticas cuantitativas discretas. Na táboa seguinte copia un deles O exercicio simula que temos unha poboación de 30 alumnos e cada un deles dinos o número de irmáns que ten. Pulsando en Xera teremos os 30 datos xerados aleatoriamente, pulsa axuda e le como a escena che facilita o reconto e completa a táboa, comprobando que é correcto ti reconto. A continuación pulsa o botón de diagramas para ver os gráficos, e debúxaos no lugar correspondente

Variable Frecuencia D. de columnas D. de sectores

0

1

2

3

4


I.E.S. _______________________


Estatística - 5 -

1.e. Gráficos en variables cuantitativas continuas Histograma. Le a explicación deste tipo de gráfico estatístico.

Contesta. RESPOSTA

Que figura se utiliza para representar os datos?

Se todos os intervalos son da mesma amplitude, que nos indica a altura?

Se todos os intervalos non son da mesma amplitude, que magnitude é proporcional á frecuencia?

Preme no enlace: Exemplo. Fíxate no exemplo resolto que aparece. Polígono de frecuencias. Uniremos os centros da parte superior de todos os rectángulos para obtelo. Tamén se adoita debuxar o histograma das frecuencias acumuladas, en cada dato acumúlase a frecuencia dos datos anteriores. Coa axuda da escena da dereita podes facer uns exercicios sobre representación gráfica de variables estatísticas cuantitativas continuas. Na táboa seguinte copia un deles: O exercicio simula que temos unha poboación de 30 alumnos e medimos a altura de cada un deles. Pulsando en Preme para empezar teremos os 30 datos xerados aleatoriamente, pulsa axuda e le como a escena che facilita o reconto e completa a táboa, comprobando que é correcto ti reconto. A continuación pulsa o botón de diagramas para ver os gráficos, e debúxaos no lugar correspondente

Intervalo Frecuencia Histograma D. de frec. acumuladas

[150, 160)

[160, 170)

[170, 180)

[180, 190)

[190, 200)


I.E.S. _______________________


Estatística - 6 -


EXERCICIOS 1. Clasifica os seguintes exemplos de variables estatísticas: Lonxitude dun camión, Carga

máxima, n.º de rodas, n.º de eixes, tipo de camión, marcas de pneumáticos, tipo de tapizaría, n.º de portas, altura máxima.

Cualitativas:

C. discretas:

C. continuas: 2. Calcula os graos que corresponden a cada valor nun gráfico de sectores feito a partir

dos datos: R, R , V , V , V , V , V , A, A, A

3. Agrupa os datos seguintes e fai un diagrama de barras axeitado.

Datos = { 0 1 0 2 3 4 1 2 2 1 2 2 3 4 3 2 1 3 }

Marca Frecuencia

0

1

2

3

4

4. Clasifica os datos en intervalos e debuxa un histograma axeitado.

[150, ]

[ , ]

[ , ]

[ , ]

[ , 200 ]

I.E.S. _______________________


Estatística - 7 -

2. Medidas de centralización 2.a. Media, mediana e moda

Un conxunto N de observacións, N números, pode que por se solo non nos diga nada. En cambio, se ademais nos din que están situados ao redor dun ou varios valores centrais xa temos unha referencia que sintetiza a información. Por iso defínense os seguintes parámetros de centralización (porque nos indican o centro da distribución) Media: ________________________________________________________ Moda: _________________________________________________________ No caso de variable continua, consideraremos por moda ____________________________ _________________________________. Tamén pode acontecer que haxa dúas modas ou que non haxa ningunha que destaque. Mediana: ___________________________________________________________________ Na escena da dereita vemos exemplos de como calcular estes parámetros. Copia a continuación un dos exemplos:

Datos Media Moda Mediana

No caso da mediana, para poucos datos o mellor é proceder segundo o exemplo da escena, segundo sexa unha cantidade par ou impar. Para calcular a mediana se a cantidade de observacións é grande, haberá que agrupar os datos primeiro nunha táboa. E determinar segmentos de lonxitude proporcional á súa frecuencia, dispoñelos de forma lineal e marcar o centro como mostra o seguinte exemplo.

Preme no botón

para ver un exercicio resolto.


0 1 2 3 4

I.E.S. _______________________


Estatística - 8 -

2.b Evolución da media. 1 Para os datos 5 e 5 a media é ___.

Se engadimos un 5 ___________________. Se engadimos un 8 _______________________.

2 Se temos 9 datos con media 5

Necesitamos engadir un 6 para que a media pase a ser ____ Se temos 19 datos con media 5 Necesitamos un dato de valor 7 para que a media suba a ____

3 Para un conxunto de datos con media 5,

se engadimos outro con media 5, por exemplo 6 e 4, _________________________________________

Na escena da dereita da páxina podes comprobar como se modifica a media en diversos exemplos.

Elixe o número do exemplo:

A continuación podes modificar o número de veces que aparece un dato premendo as teclas

e observa como varía en cada caso a media

Preme no botón


Nestes exercicios tes que calcular a media, podes elixir se a variable é discreta ou continua e xa che aparece feito o reconto. Fai varios e a continuación copia un exercicio de cada tipo nos recadros seguintes:

Variable cuantitativa discreta Variable cuantitativa continua Marca Frecuencia Marca Frecuencia

xi fi xi.fi xi fi xi.fi

Total Total

Media x Media x


Datos Datos Datos 5 y 5 5, 5 y 5 5, 5 y 8

Datos Datos 1 3 5 5 5 1 3 5 5 5 5 6 7 8 5 6 6 7 8

I.E.S. _______________________


Estatística - 9 -

2.c Evolución da mediana 1 A mediana, para os datos 2, 3 e 4 é Me= ___.

Se cambiamos o 4 por 5 ou por 6 ou por calquera outro valor maior ______________________

2 Se engadimos outro dato e temos 2,3 4 e 4, por

exemplo, Me=_____ E se engadimos un quinto valor, un 4 ou un 5 ou un 6 ou calquera outro maior que 4, a mediana en 2,3, 4, 4 e ??, pasa a ser Me= ____ En cambio.. Dá igual que o valor ?? sexa 5, 10 ou 25.

Na escena da dereita tes exemplos onde a mediana cambia e onde non. Ademais o teu mesmo podes variar o valor ou valores que queiras para observar como evoluciona. Tamén tes a posibilidade de realizar exercicios de cálculo desta, na mesma escena. Pulsando nos botóns Número par de datos e Número impar de datos obtés exemplos de datos e como calcular a mediana. Se pulsas cambiar podes ver como calcular a

mediana, elixe o número do exemplo:


e observar como varía en cada caso a mediana.

Preme no botón


Nestes exercicios tes que calcular a mediana. Podes elixir se a variable é discreta ou continua e xa che aparece feito o reconto. Fai varios e a continuación copia un exercicio de cada tipo. Podes consultar a axuda para resolvelos.

Variable cuantitativa discreta Variable cuantitativa continua Marca Frecuencia Marca Frecuencia

xi fi Fi acumulada xi fi Fi acumulada


Para ver a mediana trázase unha vertical desde o eixe horizontal en N/2

Datos Datos 3 5 7 3 5 10

I.E.S. _______________________


Estatística - 10 -

2.d Media e mediana comparadas Le o texto e completa os valores da media e a mediana en cada caso: Datos Media Mediana 4, 6 4, 6, 8 4, 6, 11 Os valores 8 e 11 considéranse observacións _____________.

Se os datos estivesen repartidos _______________ respecto a un valor, ese valor seria _____________________________. Se os valores a un lado da mediana están máis afastados dela que os do outro lado, a media __________________________ ________________________________. Hai unha ___________.

Xoga coa escena da dereita. Hai tres grupos de exemplos, simétricos, asimétricos e atípicos. Podes observar a evolución da mediana e a media

Elixe o número do exemplo:

Se queres

podes modificar o número de veces que aparece un dato premendo as teclas


2.e Medidas de posición: cuartís e percentís Dado un conxunto de datos numéricos ademais da mediana podemos considerar outras medidas de posición

• O primeiro valor que supera ao 25% é o ________________________ Q1

• O primeiro valor que supera ao 75% é o ________________________ Q3

• Para outros valores como o 10%, ou o 80% falamos de ________________ P10 e P80.

Na escena da dereita tes un exemplo resolto, se pulsas a frecha e premendo no botón xera podes obter moitos exemplos resoltos, elixindo se queres que a variable sexa discreta ou continua.

Preme no botón

para practicar o cálculo das medidas de posición.

Pulsando no botón xera obtés novos datos, e no botón Discreta/Continua intercambias o tipo de datos. Copia dous exercicios na táboa seguinte:

I.E.S. _______________________


Estatística - 11 -

Variable cuantitativa discreta Variable cuantitativa continua Marca Frecuencia Mediana Marca Frecuencia Mediana

xi fi xi fi

Cuartil Q1 Cuartil Q1

Cuartil Q3 Cuartil Q3

Percentil Percentil

Total Total


EXERCICIOS

5. Calcula a media en cada caso:

4, 6, 8 4, 6, 8, 6 100, 120, 180, 200

6. Calcula a media en cada caso: a) Marca Fr b) Marca Fr

10 2 100 2

20 4 200 4

30 3 300 3

40 2 400 2

a) b)

7. Determina a moda e a mediana

5,6,6 1,1,2,3 1,2,3,4,2 3,2,3,2,2,2

8. Calcula a moda e a mediana en cada caso: a) Marca Fr b) Marca Fr 10 2 100 2 20 4 200 3 30 3 300 4 40 2 400 1

9. Calcula a mediana, cuartís primeiro e 3º, e os percentís 30 60 e 90 dos datos.

4 1 3 3 2 3 1 3 3 4 0 0 0 4 4 3 0 3 0 3 2 1 0 0 4 3 0 1

I.E.S. _______________________


Estatística - 12 -

3. Medidas de dispersión 3.a Varianza, Desviación típica e rango "A estatística é unha ciencia segundo a cal, se eu me como un polo e ti non te comes ningún, comemos como media medio polo cada un". A estatística indicará que todos comen o mesmo cando as medidas de dispersión sexan todas nulas. Rango: O intervalo definido por ___________________________________. Tamén se chama rango a _____________________________________. Varianza: A media aritmética dos ______________________________________________________ __________________________________________________________________________ Se pulsas no enlace Fórmulas ábrese unha ventá na que podes ver as dúas fórmulas que nos permiten calcular a varianza e como son equivalentes entre si. Escribe nos cadros esas dúas fórmulas:

Desviación típica: __________________________________________________________________________ Canto maiores son a varianza ou a desviación típica, os datos sepáranse máis da media, é dicir, hai máis dispersión. Se pulsas no enlace Cálculo en distintos exemplos podes xerar exemplos de variables discretas ou continuas nos que verás dous métodos diferentes de cálculo da varianza Cal é o método máis manexable para o cálculo? __________________________________ Por que? ___________________________________________________________________ Na escena da dereita tes varios exemplos das medidas de dispersión e do seu significado, leos con atención.

Preme no botón

para comparar distribucións con iguais medidas de

centralización, nas que cambia a desviación típica. Copia a continuación dúas delas


I.E.S. _______________________


Estatística - 13 -

3.b Cálculo das medidas de dispersión. Percorrido Pulsando no botón Xera obtés novos datos, e no botón Discreta/Continua intercambias o tipo de datos. Copia aquí dous exercicios de cada tipo

Variable estatística discreta Variable estatística continua

Máximo Máximo Máximo Máximo

Mínimo Mínimo Mínimo Mínimo

Percorrido Percorrido Percorrido Percorrido

Desviación típica Na escena da dereita podes xerar uns datos, calcular a desviación típica e ver o diagrama de columnas. Copia a continuación dous exercicios

Intervalo Marca Frecuencia

xi fi xi.fi ( )2ii xxf −⋅

Total

Media Desviación típica

Mínimo Máximo Percorrido



Total

Media Desviación típica

Mínimo Máximo Percorrido

I.E.S. _______________________


Estatística - 14 -

Preme no botón


Pulsando no botón Xera obtés novos datos, e no botón Discreta/Continua intercambias o tipo de datos. Copia aquí dous exercicios de cada tipo

Variable discreta Variable discreta

Marca Frecuencia

Marca Frecuencia

xi fi xi.fi ( )2ii xxf −⋅ fi.xi2 xi fi xi.fi ( )2ii xxf −⋅ fi.xi

2

Total Total

Media Desviación

típica Media

Desviación típica

Variable discreta Variable discreta

Marca Frecuencia

Marca Frecuencia

xi fi xi.fi ( )2ii xxf −⋅ fi.xi2 xi fi xi.fi ( )2ii xxf −⋅ fi.xi

2

Total Total

Media Desviación

típica Media

Desviación típica


I.E.S. _______________________


Estatística - 15 -

3.c Media e desviación típica. Para mostras unimodais (unha soa moda) e case simétricas, arredor da media podemos considerar un intervalo que conteña a maioría dos datos. Por exemplo, para unha mostra con media 100 e desviación típica 10, a maior parte dos datos estarán entre 90 e 110, aproximadamente o 68%; entre 80 e 120 estará o 95% aproximadamente. E case todos entre 70 e 130. Hai unha forma de distribución de datos chamada normal que cumpre co anterior, e dun xeito ou outra, de todas as poboacións grandes se poden extraer datos que se axustan a ela. En cursos superiores verás a importancia destas distribucións. Na escena da dereita tes uns exemplos onde aparece a media e unhas franxas de

cor ao seu arredor. Elixe o número do exemplo:


e observa como varía en cada caso a media e as franxas do seu arredor

Preme no botón


Pulsando no botón xera obtés novos datos. A continuación feixe nas táboas dous deles, e despois comproba o resultado na escena

Marca Frecuencia

xi fi xi.fi ( )2ii xxf −⋅ fi.xi2 Media

Desviación típica

[ x +σ, x -σ] = [ , ]

Nº de datos

[ x +2σ, x -2σ] = [ , ]

Nº de datos

Total

Marca Frecuencia

xi fi xi.fi ( )2ii xxf −⋅ fi.xi2 Media

Desviación típica

[ x +σ, x -σ] = [ , ]

Nº de datos

[ x +2σ, x -2σ] = [ , ]

Nº de datos

Total


I.E.S. _______________________


Estatística - 16 -


EXERCICIOS

10. Calcula a media e a desviación típica en

a) 200, 250 b) 175, 275 c) 250, 250

11. Calcula a media e a desviación típica en:

a) 7, 5 , 3, 2, 4, 5 b) 20, 25, 20, 22, 21

12. Organiza os datos seguintes en intervalos de 10 cm dende 150 a 200. Amplía a táboa con dúas columnas, unha para o produto das marcas coas frecuencias e outra para o produto das frecuencias cos cadrados das diferenzas coa media. Calcula a media e a desviación típica.



Media=

Desviación típica=

Total

I.E.S. _______________________


Estatística - 17 -

4. Representatividade 4.a Representatividade. Mostraxe estratificada Unha mostra é representativa da poboación cando ______________________________

___________________________________________________________________________

De que depende que o estudio dunha poboación sexa ou non representativo? ______________

___________________________________________________________________________

Por exemplo, se queremos estudar o poder adquisitivo dunha poboación, e só eliximos individuos dunha determinada zona, ou principalmente dunha determinada zona, como será a mostra? _________________________________________________________________

Se hai tres zonas con 12.000, 18.000 e 20.000 habitantes, escribe en que porcentaxe debemos elixir aos individuos de cada zona para elaborar unha mostra representativa

Unha mostraxe estratificada é _________________________________________________

Na escena tes 625 cadros que representan os alumnos dun instituto ficticio, seguindo as instrucións podes observar a diferenza entre unha mostraxe representativa e outro que non o é.

Se comparamos os gráficos en ambos os dous exemplos de mostra, en que tipo de mostra parécense máis aos da poboación total? ___________________________________________ Por que? ___________________________________________________________________ Preme para ir á páxina seguinte.

I.E.S. _______________________


Estatística - 18 -

4.b Mostraxe aleatoria. Nesgo Cando se di que a mostra está nesgada? ______________________________________ ___________________________________________________________________________ Explica en que consiste unha mostraxe aleatoria total: ________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Na escena podes animar unha elección totalmente aleatoria ou realizar mostraxes simulando enquisas ao facer clic.

Preme no botón

para facer un exercicio sobre representatividade.

Copia neste caderno un exercicio e compróbao despois na escena Dunha poboación queremos extraer unha mostra de tamaño ________. Se proceden de 5 áreas distintas, A, B, C, D e E con porcentaxes do total da poboación de _____%, _____%, _____%, _____% e _____% A cantos de cada zona hai que entrevistar? A= _____, B= _____, C= _____, D= _____ e E= ______


EXERCICIO

13. Unha grande empresa ten traballadores en catro áreas. Operarios, representantes, administración e dirección. As condicións de traballo son bastantes diferentes en cada área, polo que o grao de satisfacción non é igual en cada unha delas. Para descubrilo, se hai 1000, 500, 300 e 200 traballadores nas áreas de operarios, representantes, administrativos e directivos, cantos hai que seleccionar de cada área para unha mostra de tamaño?

a) 200 b) 100 c) 300

I.E.S. _______________________


Estatística - 19 -


Poboación. Mostra

Variables estatísticas

Tipos

Tipos de gráficos

Media, moda e desviación típica

Media Moda Desviación típica

=X Mo= =σ

Cuartil, mediana, centilo

Cuartís Mediana Percentís

Q1=

Q3= Me= Pi=

Media e desviación típica: Observa o exemplo

[ x +σ, x -σ] = [ , ]

% de datos

[ x +2σ, x -2σ] = [ , ]

% de datos

Representatividade

Unha mostra é representativa da poboación cando _______________________________

___________________________________________________________________________


I.E.S. _______________________


Estatística - 20 -

Para practicar


Medidas de centralización e dispersión. Representatividade Interpretación de gráficos do INE

Completa o enunciado cos datos cos que che aparece cada EXERCICIO na pantalla e despois resólveo. É importante que primeiro resólvalo ti e despois comprobes no ordenador se o fixeches ben. Medidas de centralización e dispersión. Representatividade. 1. Tipo de variable (fai dous exercicios) Clasifica as siguientes variables:

n.º de fillos � flor preferida � peso � temperatura media � sabor � altura �

Velocidade � Aceleración � n.º de valvulas � n.º de prazas � tipo de vehículo � n.º de rodas � carga neta � tipo de tapizaría �

Clasifica as seguintes variables estadísticas dun partido de fútbol: nº de espectadores no campo�

xogador preferido�

nº de goles�

tempo transcorrido�

2. Reconto de datos (fai dous exercicios) Fai un reconto dos datos nunha táboa.

Fai un reconto dos datos nunha táboa

3. Diagrama de sectores Fai un diagrama de sectores para os datos da cor preferida da táboa

Marca Frecuencia

xi fi

Total

I.E.S. _______________________


Estatística - 21 -

4. Diagrama de barras Fai un diagrama de barras para os datos da táboa.

Marca Frecuencia

xi fi

Total

5. Histograma Cos datos da táboa fai un histograma


xi fi Total

6. Moda Cál é a moda en cada grupo?

A={vermello, azul, verde, azul} B= {branco, negro, azul} C= {vermello, verde, amarelo, vermello, azul, vermello, azul, azul}

A�

B�

C�

Cal é a moda en cada grupo? A={1, 2, 3, 4, 1, 1, 2, 3} B= {1, 1, 2, 2, 3, 4, 4} C= {1, 2, 3, 3, 3, 7, 7, 7, 4 l}

A�

B�

C�

7. Mediana Cal é a mediana en cada caso?

A= {1, 2, 3, 4, 5} B= {1, 2, 3, 4} C= {1, 2, 3, 4, 5, 6} D= {1, 2, 3, 3} E= {1, 2, 3, 3, 3}

A�

B�

C�

D �

E �

Cál é a mediana en cada caso? A= {1, 2, 7, 10} B= {3, 6, 7} C= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 1}

A�

B�

C�

8. Igual media ¿Cál é a mediana en cada caso?

A= { , } ; B= { , } ; C= { , } A � B � C�

9. Concepto de media Calcula a media para os datos:

x1 = f1 = x2 = f2 = x3 = f3 =

I.E.S. _______________________


Estatística - 22 -

10. Cálculo da media Calcula a media: Distribución discreta

Marca Frecuencia

xi fi

Total

Calcula a media: Distribución continua Intervalo Marca Frecuencia

xi fi

Total

11. Caso simple de desviación típica Cal é a desviación típica en cada caso?

A= { , } ; B= { , } ; C= { , } A � B � C�

12. Concepto de desviación típica Calcula a desviación típica para os datos:

x1 = f1 = x2 = f2 = x3 = f3 =

13. Cálculo de desviación típica Calcula a desviación típica: Distribución discreta

Marca Frecuencia

xi fi

Total

Calcula a desviación típica: Distribución continua Intervalo Marca Frecuencia

xi fi Total

14. Representatividade Tomamos unha mostra de tamaño 2000 dunha poboación onde a idade inflúe na característica do estudio. O __ % da poboación é maior, o __ % novo e o __ % media. A cantos entrevistarei de cada grupo de idade?

Novos �

Medios �

Maiores �


I.E.S. _______________________


Estatística - 23 -

Interpretación de gráficos do INE. (En cada apartado aparece unha imaxe e no texto preguntas sobre ela. Premendo noutro EXERCICIO aparecen máis preguntas sobre a mesma imaxe)

1. Que facemos? Observa ográfico de sectores del INE e responde ás preguntas: Cal é a variable estudada? e a frecuencia? A que grupo de actividades dedicamos máis tempo os españois? Cal é a moda? Calcula cánto tempo dedicamos ao fogar e a familia: Cantos graos ocupa este sector no diagrama? 2. Canto paseamos? No gráfico é doado ver que somos o europeos que máis paseamos. En que países pasean máis as mulleres que os homes? Calcula o tempo medio que se dedica en cada país a pasear. Que país está no percentil 50?

3. Coidado persoal. Observa o gráfico e responde ás preguntas: Cres que durmir se contou como actividade de coidado persoal? ÁS 15:00 hai un máximo local na gráfica, a que se debe? Á hora da comida o 38% das persoas dedícase ao coidado persoal. Significa isto que un 62% das persoas non come?

4. Vida social. Observa o gráfico e responde ás preguntas: Cales son as comunidades nas que se dedica menos tempo á vida social e á diversión Canto tempo dedican á oudiversión á vida social a maior parte das comunidades? Cal é o tempo medio que se dedica en España a esta actividade?


I.E.S. _______________________


Estatística - 24 -

Autoavaliación


Cantos graos corresponden no diagrama de sectores ao valor de frecuencia______?

A frecuencia maior é _____

Cal é a moda?

Cal é a porcentaxe da mostra que corresponde ás dúas primeiras marcas?

Cal é o percentil máis pequeno que deixa por debaixo os valores menores a 3?

Cal é a media?

Calcula a desviación típica

Cal é a media?

Calcula a desviación típica

Que percentil deixa por debaixo aos individuos de menos de 170 cm?

I.E.S. _______________________


Probabilidade - 1 -

Probabilidade

Contidos 1. Experimentos aleatorios Espazo mostral e sucesos Operacións con sucesos Sucesos incompatibles

2. Probabilidade dun suceso A regra de Laplace Frecuencia e probabilidade Propiedades da probabilidade Calcular probabilidades 3. Experimentos compostos Sucesos compostos Regra da multiplicación Extraccións con e sen devolución

4. Probabilidade condicionada Sucesos dependentes e independentes Diagramas de árbore Probabilidade total Probabilidade "a posteriori"

Obxectivos • Achar os sucesos dun experimento aleatorio e realizar operacións con eles.

• Determinar se dous sucesos son compatibles ou incompatibles.

• Calcular a probabilidade dun suceso mediante a regra de Laplace.

• Coñecer as propiedades da probabilidade.

• Achar a probabilidade dun suceso nun experimento composto.

• Achar probabilidades de sucesos dependentes e independentes.

• Aplicar a probabilidade a situacións da vida cotiá. Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

I.E.S. _______________________


Probabilidade - 2 -

Investiga

Imaxina que estás nun concurso de televisión no que che ofrecen tres portas, a elixir unha. Detrás dunha das portas hai un coche e detrás de cada unha das outras dúas, un burro. Elixes unha porta, pero antes de abrila, o presentador, que sabe o que hai detrás de cada unha, abre unha das dúas que non elixiches tras a que, por suposto hai un burro, e entón dáche a oportunidade de cambiar a túa elección.

Naturalmente queres levar o coche, que farías, cambiar de porta ou non cambiar? Antes de decidir, imos experimentar xogando. Podes xogar ti ou ben facer que xogue en automático; despois de varios intentos anota os resultados:

Manual Cambiando Mantendo Total Intentos Coches % acertos

Automático Cambiando Mantendo Total Intentos Coches % acertos

CONTESTA RESPOSTA

Cando elixes ti, cando consegues máis coches, cambiando ou mantendo?

Cando se elixe automaticamente, cando se conseguen máis coches, cambiando ou mantendo?

Despois do visto, se te queres levar o coche, que farías, cambiar de porta ou non cambiar?

Se fas unha aposta na bonoloto, que probabilidade tes de acertar os 6 números?, ______________________________________

E tres?________________________________


Antes de empezar

I.E.S. _______________________


Probabilidade - 3 -

1. Experimentos aleatorios 1.a. Espazo mostral e sucesos Le as definicións da pantalla e completa: Son experimentos aleatorios, aqueles nos que ___________________________________ Chámase espazo mostral _____________________________________________________ Un suceso elemental é ______________________________________________________ Un suceso é ________________________________________________________________ Hai un suceso que se verifica sempre _______________________ e coincide co ___________ _______________________ Fíxate na escena, nela podemos extraer de forma aleatoria unha carta da baralla. Aparecen varios sucesos, e se moves o rato por enriba deles, aparecen os sucesos elementais que os forman. Con axuda da escena, completa esta táboa: SUCESO SUCESOS ELEMENTAIS

Sacar o rei de ouros

Sacar ouros ou rei

Sacar unha figura


1.b. Operacións con sucesos Le as definicións da pantalla e completa Cos sucesos dun experimento aleatorio pódense realizar distintas operacións. Dados dous sucesos A e B: • A unión de A e B, AUB, é o suceso formado por ________________________________

_______________________ Acontece cando ____________________________________ • A intersección, A∩B, é o suceso formado por _________________________________ e

_____________________ Acontece cando ____________________________________ • A diferenza de A e B, A\B, é o suceso formado por ___________________________

______________________ Acontece cando _____________________________________ • O suceso contrario a un dado A, A , é o suceso formado por _____________________

______________________ Acontece cando ____________________________________ • O suceso contrario do seguro é o suceso _______________, que non se verifica nunca,

indícase con Ø. Na escena podes ver un exemplo de distintos sucesos e os seus contrarios: Nunha urna hai 12 bólas numeradas do 1 ao 12. Sácase unha bóla e mírase o número, consideramos os sucesos A= "saír par" e B= "saír múltiplo de 3". Escribe a continuación os sucesos elementais que forman os sucesos indicados na táboa: A A

B B

AUB BA U

A∩B BA I

A\B B\A

B\A A\B


I.E.S. _______________________


Probabilidade - 4 -

1.c. Sucesos compatibles e incompatibles Le as definicións da pantalla e completa Nun experimento aleatorio hai sucesos que poden acontecer á vez e sucesos que non. • Dous sucesos dinse compatibles se ______________________________________.

Neste caso A∩B ≠ Ø, _________________ acontecer á vez. • Dous sucesos dinse incompatibles se non _________________________________,

neste caso A∩B = Ø, _________________ acontecer á vez Un suceso e o seu contrario son sempre ____________________, pero dous sucesos incompatibles non sempre son ___________________. Dado o Espazo muestral={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, e os sucesos: Vermello={1, 4, 7, 10}, Verde={1, 2, 3}, Azul={3, 6, 9, 12}, Gris={7, 8, 9} e Laranxa={3, 5, 7}, con axuda da escena di se son compatibles ou non os sucesos:

SUCESOS COMPATIBLES /INCOMPATIBLES

SUCESOS COMPATIBLES /INCOMPATIBLES

Verde e Vermello Vermello e azul

Verde e azul Verde e amarelo

Azul e gris Vermello e amarelo

Verde e gris Amarelo e gris

Vermello e gris Amarelo e azul

Preme o botón


Observa os debuxos e razoa qué conxunto é cada un deles. Cando os teñas todos preme "Comprobar" Completa os resultados nesta táboa:


I.E.S. _______________________


Probabilidade - 5 -


EXERCICIOS

1. Nunha bolsa temos tres bólas numeradas como 1, 2 e 3. Consideramos o experimento de extraer unha bóla e anotar o seu número. Escribe todos os sucesos posibles. Indica cales deles son os elementais.

2. Nunha baralla, baixo o experimento de extraer unha carta, considera os sucesos a) par, b) ouros, c) par e ouros, d) par ou ouros, e) par menos ouros, f) ouros menos par e g) non par. Escribe os sucesos elementais que os forman.

3. Ao tirar un dado consideramos os sucesos: A={Par}, B={maior que 3}, e C={impar}. Dos tres pares de sucesos posibles AB, AC e BC, indica cales son compatibles e/ou incompatibles

I.E.S. _______________________


Probabilidade - 6 -

2. Probabilidade dun suceso 2.a. A regra de Laplace Le as definicións da pantalla. CONTESTA ESTAS CUESTIÓNS: RESPOSTAS Cando dicimos que un experimento aleatorio é regular?

Que significa que os sucesos elementais son equiprobables?

Dado un suceso A, a que chamamos casos favorables? e casos posibles?

Podemos aplicar sempre a regra de Laplace? Se a resposta é negativa, indica cando se pode aplicar

A continuación escribe a fórmula da Regra de Laplace Con axuda da escena da dereita, calcula as seguintes probabilidades

SUCESOS PROBABILIDADE

Que sexa dun pau determinado

Que sexa dun nº determinado

Que sexa un ás ou un basto

Que sexa un ás e un basto

Extraemos unha carta dunha baralla de 40

Que non sexa nin ás nin basto

Preme o botón


Considerando os experimentos "tirar un dado" e “extraer unha carta da baralla española” calcula as probabilidades pedidas

P(par)= P(impar)= P(ouros ou espadas)= P(3 de bastos)=

P(>4)= P(2 ou 6) = P(ouros)= P(bastos)=

P(3)= P(>2 e <5) = P(rei)= P(bastos ou copas)=

P(<5 e par)= P(>2 ou <5) = P(rei de ouros)= P(figura)=

P(3 ou par)= P(>3 e <5) = P(Un 3) = P(figura de bastos)=


casos nº casos nº

)A(P =

I.E.S. _______________________


Probabilidade - 7 -

2.b. Frecuencia e probabilidade Le as definicións da pantalla e completa: A frecuencia absoluta dun suceso é __________________________________________ A frecuencia relativa é _____________________________________________________ _________________________________________________. A lei dos grandes números di que cando repetimos un experimento _____________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Como consecuencia da lei dos grandes números, temos unha nova definición de probabilidade dun suceso como ________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Na escena da dereita simúlase o lanzamento de tres moedas; a partir dos resultados dos lanzamentos, compara as probabilidades e as frecuencias dos sucesos:

Nº de lanzamentos >100 >200 >500 >1000

fr(0 caras)= P(0 caras)=




CONTESTA ESTAS CUESTIÓNS: RESPOSTAS Como é a probabilidade de obter cero caras, maior ou menor que a súa frecuencia?

Como é a probabilidade de obter dúas caras, maior ou menor que a súa frecuencia?

Cando se parecen máis as frecuencias e as probabilidades, con 100 lanzamentos ou con máis de 1000? Por que?

Preme o botón


Tiras tres dados e sumas os resultados. Nunha aposta, Cal é o resultado máis vantaxoso? Seguindo as indicacións da escena fai máis de 3000 tiraxes, e observando os resultados, calcula as seguintes probabilidades:

P(3)= P(4)= P(5)= P(6)=

P(7)= P(8)= P(9)= P(10)=

P(11)= P(12)= P(13)= P(14)=

P(15)= P(16)= P(17)= P(18)=


I.E.S. _______________________


Probabilidade - 8 -

2.c. Propiedades da probabilidade Vista a relación entre frecuencia relativa e probabilidade, cúmprese que:

• A probabilidade dun suceso é un número ____________________.

• A probabilidade do suceso seguro é ______ e a do suceso imposible é _______.

• A probabilidade da unión de dous sucesos incompatibles é ______________

E destas dedúcese ademais que:

• A probabilidade do suceso contrario é p(Ā)= ________________

• A probabilidade da unión de dous sucesos compatibles é ____________________

Se pulsas en Aplicacións verás un exemplo no que se calcula a probabilidade da intersección de dous sucesos e outro no que se aplica a probabilidade do suceso contrario Na escena da dereita hai un exemplo resolto: Nunha urna hai 10 bólas numeradas do 1 ao 10. Sácase unha bóla e mírase o número. Consideramos os sucesos: A= {1, 2, 3, 4} e B={4, 5, 6, 7, 8}. Con axuda da escena escribe a probabilidade dos sucesos da táboa:

p(A) p(A∩B)

p( A ) p( BA I )

p(B) p(A\B)

p(B ) p( B\A )

p(AUB) p(B\A)

p( BA U ) p( A\B )

Preme o botón


Se p(A)=0,5, p(B)= 0,4 e p(∩AB)= 0,2; calcula a probabilidade dos seguintes sucesos:


I.E.S. _______________________


Probabilidade - 9 -

2.d. Calcular probabilidades Nesta páxina aparecen dúas escenas para que practiques calculando as probabilidades que se propoñen coa diana e a ruleta.

Preme o botón


Fai ata que o número de acertos sexa superior a 10.


EXERCICIOS 4. Temos un dado de 20 caras {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6} perfectamente

equilibrado Cal é a probabilidade de obter cada un dos resultados posibles?

5. Se lanzamos o dado anterior 1000 veces, Cantas veces se espera que saia cada resultado aproximadamente?

6. Para o dado {1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5} de 20 caras calcula as probabilidades seguintes:

a) P(par)= 8/20 =0,4

b) P(mayor de 3) =11/20 =0,55

c) P(par e maior de 3) =5/20 =0,25

d) P(par ou maior de 3) =14/20 =0,7

e) P(par menos maior de 3) =3/20 =0,15

f) P(mayor de 3 menos par)=6/20=0,3

g) P(no par)=12/20=0,6

7. En Nunha bolsa temos 7 bólas vermellas, 9 bólas azuis e 4 verdes. Extraemos unha bóla, calcula a probabilidade de que

a) Non sexa vermella

b) Sexa verde

c) Sexa vermella ou azul

8. Nun grupo, o 40% xoga baloncesto e o 60% fútbol, sabendo que o 85% practica algún dos dous deportes, que porcentaxe xoga aos dous?

9. No grupo A hai 18 persoas das que 10 falan inglés e 8

non; no B hai 12 persoas das que 3 falan inguas e 9 non; no C hai 10 persoas 3 que falan inglés e 7 que non. Elíxese ao azar unha persoa de cada grupo, calcula a probabilidade de que das tres, polo menos unha fale inglés.

I.E.S. _______________________


Probabilidade - 10 -

3. Experimentos compostos 3.a. Sucesos compostos Un experimento composto é o que ___________________________________________ ___________________________________________________________________________ Para calcular o espazo mostral dun experimento composto convén, en moitas ocasións, facer un diagrama de árbore que represente todas as opcións. Cada resultado vén dado por un camiño do diagrama. Observa na escena como constrúe o diagrama de árbore do exemplo e como se usa para calcular a probabilidade de cada suceso.

Preme o botón


PROBABILIDADE CON N MOEDAS EXPERIMENTO: Lanzar N moedas equilibradas Calcula a probabilidade en cada caso CASO 1: 2 Moedas

CASO 3: 4 Moedas

CASO 2: 3 Moedas

CASO 3: N Moedas


3.b. Regra da multiplicación Se te fixas no exemplo anterior, ao indicar a probabilidade de cada rama do camiño, obtense a probabilidade de cada suceso composto calculando o produto dos respectivos sucesos simples. A probabilidade dun suceso nun experimento composto é _____________________ ___________________________________________________________________ Nas escenas da dereita podes exercitar este principio, observa en primeiro lugar o exemplo e logo practica na outra escena. Anota a continuación polo menos dous exercicios que resolveras ben: EXERCICIO 1 EXERCICIO 2 p(A)= p(N)= p(V)=

p(A)= p(N)= p(V)=

I.E.S. _______________________



Preme o botón


Temos dúas urnas, A e B, con bólas vermellas, verdes e azuis. Lanzamos un dado, se sae 1 ou 2 sacamos unha bóla de A, e se sae 3, 4, 5 ou 6 de B

p(A e R)= =. p(A e V)= =. p(A e A)= =.

p(B e R)= =. p(B e V)= =. p(B e V)= =.


3.c. Extraccións con e sen devolución Un exemplo de experimento composto atopámolo na extracción sucesiva de cartas ou de bólas dunha urna... Nestes casos hai que considerar se se devolve a carta, bóla, etc. antes de sacar a seguinte ou non. Na páxina hai dúas escenas, que corresponden con dous exemplos diferentes, un de extracción de bólas e outro de extracción de cartas; practica con elas antes de facer o exercicio.

Preme o botón


Nunha urna hai 6 bólas brancas e 4 negras. Sacamos dúas bólas, unha tras outra Fai o diagrama de árbore en cada caso

Con devolución Sen devolución

Calcula as seguintes probabilidades: Con devolución Sen devolución

cal é a probabilidade de que as dúas sexan brancas?

cal é a probabilidade de que a 1ª sexa branca e a 2ª negra?

¿al é a probabilidade de que as dúas sexan negras?


I.E.S. _______________________



4. Probabilidade condicionada 4.a. Sucesos dependentes e independentes Cando se realizan observacións de varios sucesos pode que un dependa do outro. Chámase probabilidade condicionada, de B a A, e exprésase p(B/A) á probabilidade de que ________________________________________________________________________

=)A/B(P

Se premes no enlace Por que? verás a demostración desta fórmula Dados dous sucesos, dise que son independentes se ______________________________ ___________________________________________________________________ Dados dous sucesos, dise que son dependentes se ______________________________ ___________________________________________________________________.

• A e B independentes: P(B/A)=_____________ • A e B independentes: P(A∩B)=_____________

Na escena da dereita tes un exemplo de sucesos dependentes; segue as súas instrucións para ver a explicación.

Preme o botón

para facer o exercicio.

Primeiro fai ti os cálculos e comproba na escena despois Fíxate ben nas bólas numeradas que contén a urna. Imos extraer unha bóla, queremos descubrir se terás premio. Segue as instrucións da escena para ver a túa probabilidade de premio

Número Vermella Azul

p(1)= p(1/vermella)= p(1/azul)=

p(2)= p(2/vermella)= p(2/azul)=

p(3)= p(3/vermella)= p(3/ azul)= Explica a continuación que sucesos son independentes e por que

Explica a continuación que sucesos son dependentes e por que


I.E.S. _______________________



4.b. Diagramas de árbore Como puideches ver, nos experimentos compostos pódese facer un diagrama en árbore, e cada resultado vén dado por un camiño na devandita árbore. Para calcular unha probabilidade só hai que debuxar o camiño correspondente, e o produto das probabilidades de todas as ramas que o forman será o valor que buscamos.

• Se acontece A e logo B: P(A e B)=________________

• A suma das probabilidades de todos os camiños é igual a ______ No exemplo da escena da dereita podes comprobar este último resultado, xoga e observa a suma total.

Preme o botón


Á esquerda tes unha ruleta que determina que camiño eliximos entre dous, e unha ruleta en cada camiño para elixir a cor; cada vez que pulsas Novas ruletas, tes un exercicio diferente, e cada vez que pulsas Xirar ruletas, realízase o experimento e calcúlanse as frecuencias absoluta e relativa. Fai a continuación dous exercicios, calculando as probabilidades que se indican en cada caso:


4.c. Probabilidade total

Consideremos os sucesos representados pola imaxe. R=Rojo, V=Verde e A=Azul son tres sucesos incompatibles e tales que a unión forma todo o espazo mostral. Sexa C=Círculo un suceso calquera.

Escribe a fórmula da probabilidade total para este exemplo:

No exemplo da escena da dereita podes practicar este resultado.

p(C)=

I.E.S. _______________________



Preme o botón


A probabilidade de acertar en amarelo na diana da figura é p(A)= ______, en laranxa p(N)= _________ e en verde p(V)= _____. Estas probabilidades suman 1. As probabilidades de brillo ou claro son:

• Se impacta en amarelo: ______ brillo e ____ claro. • Se impacta en laranxa: ______ brillo e ____ claro. • Se impacta en verde: ______ brillo e ____ claro.

Cal é a probabilidade de acertar en brillo?

p(A).p(B/A)= p(N).p(B/N)= p(V).p(B/V)= p(B)=


4.d. Probabilidade "a posteriori" En ocasións interesa coñecer a p(A/S), é dicir cando xa sabemos que aconteceu S na segunda experiencia, preguntámonos a probabilidade de que se chegara a través de A. Trátase dunha probabilidade condicionada coñecida como Fórmula de Bayes:

=)S/A(p

Observa no exemplo da escena como se desenvolve esta fórmula e completa a seguinte táboa de probabilidades 2ª verde 2º negra Total 1ª verde p(VV)= p(VN)= p(1ªV)=

1º negra p(NV)= p(NN)= p(1ªN)=

Total p(2ªV)= p(2ªN)=

A partir da táboa, calcula as seguintes probabilidades condicionadas

p(V/V)=----------------------------= p(V/N)= ----------------------------=

p(N/V)=----------------------------= p(N/V)= ----------------------------=

Preme o botón


A probabilidade de acertar en amarelo na diana da figura é p(A)= ______, en laranxa p(N)= _________ e en verde p(V)= _____. Estas probabilidades suman 1. As probabilidades de brillo ou claro son:

• Se impacta en amarelo: ______ brillo e ____ claro. • Se impacta en laranxa: ______ brillo e ____ claro. • Se impacta en verde: ______ brillo e ____ claro.

Se se acertou en brillo, cal é a probabilidade de que fose sobre amarelo?

p(A).p(B/A)= p(N).p(B/N)= p(V).p(B/V)= p(B)= p(A/B)=


I.E.S. _______________________



EXERCICIOS 10. Lanzamos un dado de 4 caras {1,2,3,4} e outro de 10 {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4}. Cal é a

probabilidade de obter dous tres. E dous catros?.

11. Nunha bolsa temos 5 bólas numeradas do 1 ao 5. Extraemos dúas bólas,

a) ¿Cal é a probabilidade de obter un 2 e un 3 se non devolvemos as bólas sacadas??

b) e cal se as devolvemos?

12. Ao tirar dous dados, Cal é a probabilidade de obter polo menos 10 puntos?

13. Tiramos unha moeda trucada na que P(C)=0,6 e P(X)=0,4. Se sae cara tiramos un dado {1,2,3,4} de 4 caras e se sae cruz un {1,2,3,4,5,6} de seis. Temos a mesma probabilidade de que saia 1 despois de que saia cara ou cruz?. Canto vale en cada caso?. Cal é a probabilidade de que saia 1?

14. Temos un dado {1,1,1,1,2,2,2,2,2,2} de 10 caras. Se sacamos un 1 tiramos unha moeda, e dous se sacamos un 2. Cal é a probabilidade de obter unha cara?

15. Temos un dado {1,1,1,1,2,2,2,2,2,2} de 10 caras. Tiramos o dado, se sae 1 sacamos unha bóla de {RRNNN} e se sacamos un 2 sacamos unha de {RRRRN}. Saíu N, Cal é a probabilidade de que fose cun 1 do dado?

16. A probabilidade de acertar en amarelo na diana da figura é 0,3, en verde 0,4 e en laranxa 0,3. Ademais se se acerta en amarelo a probabilidade de que sexa en brillo é 0,7; a probabilidade de brillo en verde é 0,6 e en laranxa 0,3.

a) Cal é a probabilidade de acertar na zona brillante?

b) Se se acertou na zona brillante, cal é a probabilidade de que fose en amarelo.

I.E.S. _______________________




Experimentos aleatorios Un experimento aleatorio é aquel no que _________________________________________ o resultado por máis que se repita

Espazo mostral ____________________ ____________________________________ Sucesos elementais: ________________ ____________________________________ Un suceso A: ________________________ ___________________________________

Suceso seguro: ______________________ ___________________________________ Suceso imposible: ___________________ ___________________________________ Suceso contrario a un suceso A: ________ ___________________________________

Dous sucesos son compatibles se _________ ______________________________________

Dous sucesos son incompatibles se ________ ______________________________________

Operacións con sucesos Unión A U B: verifícase cando

Intersección A∩ B: verifícase cando

Diferenza A-B: verifícase cando

Regra de Laplace

Pódese aplicar só cando os sucesos elementais son ______________________ casosºN

casosºNp =

Propiedades da probabilidade

A e B son incompatibles A e B compatibles p(S. seguro) = P(E) = ______ p(S. imposible) = P(Ø) = ______ ______≤ P(suceso)≤ _____ p(Ā)= 1- p(____)

p(A ou B) =____________ p(A ou B) =_____________

Experimentos compostos

Están formados por __________________________________________________________. Para calcular a probabilidade ___________________________________________________

Probabilidade condicionada

En sucesos consecutivos poden producirse dúas situacións: Independentes Dependentes

Fórmula de Bayes

Probabilidade total Se se cumpre que P(A)+P(V)+P(R)=1, entón se cumpre que P(C)=______________________________________________


=)A/B(p

I.E.S. _______________________



Para practicar


Aplicación da regra de Laplace e propiedades da probabilidade Probabilidade condicionada, probabilidade total e Bayes

Completa o enunciado cos datos cos que che aparece cada EXERCICIO na pantalla e despois resólveo. É importante que primeiro resólvalo ti e despois comprobes no ordenador se o fixeches ben. Aplicación da regra de Laplace e propiedades da probabilidade 1 dados

1. Tiramos un dado de 10 caras, que probabilidade hai de sacar un número par?

2 dados

2. Tiramos dous dados de 6 caras. que probabilidade hai de sacar máis de 9 puntos?

3 dados

3. Ao tirar dous dados, que probabilidade hai de sacar igual?.

4 cartas (Fai polo menos dous exercicios sen cambiar de opción)

4. Se extraemos unha carta dunha baralla española, a probabilidade de extraer un ____ é?

5. Se extraemos unha carta dunha baralla española, a probabilidade de extraer un ____ é?

I.E.S. _______________________



5 cartas

6. Se extraemos unha carta dunha baralla española, a probabilidade de extraer un 2 ou un 5 é?

6 cartas (Fai polo menos dous exercicios sen cambiar de opción)

7. Se extraemos unha carta dunha baralla española, a probabilidade de non sacar nin un ____ nin un basto é?

8. Se extraemos unha carta dunha baralla española, a probabilidade de non sacar nin un ____ nin un basto é?

7 moedas

9. Se lanzamos 3 moedas, a probabilidade de obter unha cara é


Probabilidade condicionada, probabilidade total e Bayes Dúas cruces de camiños (Fai polo menos dous exercicios sen cambiar de opción)

10. Temos dous camiños I e II con p(I)=___ e p(II)= ___. O camiño I pode rematar en turquesa ou en rosa con probabilidades ___ e ____ respectivamente. O camiño II leva directamente verde. Calcula as probabilidades dos tres destinos.

11. Temos dous camiños I e II con p(I)=___ e p(II)= ___. O camiño I pode rematar en turquesa ou en rosa con probabilidades ___ e ____ respectivamente. O camiño II leva directamente verde. Calcula as probabilidades dos tres destinos.

I.E.S. _______________________



Tres cruces de camiños (Fai polo menos dous exercicios sen cambiar de opción)

12. Temos dous camiños I e II con p(I)=___ e p(II)= ___. O camiño I pode rematar en turquesa ou en rosa con probabilidades ___ e ____ respectivamente. O camiño II en rosa ou en verde con probabilidades ___ e ____ respectivamente. Calcula as probabilidades dos tres destinos.

13. Temos dous camiños I e II con p(I)=___ e p(II)= ___. O camiño I pode rematar en turquesa ou en rosa con probabilidades ___ e ____ respectivamente. O camiño II en rosa ou en verde con probabilidades ___ e ____ respectivamente. Calcula as probabilidades dos tres destinos.

Camiños e Bayes (Fai polo menos dous exercicios sen cambiar de opción)

14. Dous camiños I e II con p(I)=___ e p(II)= ___ O 1º pode rematar en turquesa ou rosa con probabilidades ___ e ____ respectivamente. O camiño 2º pode rematar en rosa ou verde con probabilidades ___ e ____ respectivamente. Concluída rosa, cal é a probabilidade de seguir o 1º?

15. Dous camiños I e II con p(I)=___ e p(II)= ___ O 1º pode rematar en turquesa ou rosa con probabilidades ___ e ____ respectivamente. O camiño 2º pode rematar en rosa ou verde con probabilidades ___ e ____ respectivamente. Concluída rosa, cal é a probabilidade de seguir o 1º?

Praia sur (Fai polo menos dous exercicios sen cambiar de opción)

16. Cunha probabilidade de _____ un habitante dun pobo A vai á praia, e con ______ vai ao campo. E cunha probabilidade ___ vai ao Norte e coa contraria ao Sur. Cal é a probabilidade de ir a unha praia do sur?

I.E.S. _______________________



17. Cunha probabilidade de _____ un habitante dun pobo A vai á praia, e con ______ vai ao campo. E cunha probabilidade ___ vai ao Norte e coa contraria ao Sur. Cal é a probabilidade de ir a unha praia do sur?

Campo norte (Fai polo menos dous exercicios sen cambiar de opción)

18. Cunha probabilidade de _____ un habitante dun pobo A vai á praia, e con ______ vai ao campo. E cunha probabilidade ___ vai ao Norte e coa contraria ao Sur. Cal é a probabilidade de ir ao campo do norte?

19. Cunha probabilidade de _____ un habitante dun pobo A vai á praia, e con ______ vai ao campo. E cunha probabilidade ___ vai ao Norte e coa contraria ao Sur. Cal é a probabilidade de ir ao campo do norte?

Campo praia e Bayes (Fai polo menos dous exercicios sen cambiar de opción)

20. Cunha probabilidade de _____ un habitante dun pobo A vai á praia, e con ______ vai ao campo. E cunha probabilidade ___ vai ao Norte e coa contraria ao Sur. Sabemos que Felipe foi á praia, Cal é a probabilidade de que ademais sexa do norte.

21. Cunha probabilidade de _____ un habitante dun pobo A vai á praia, e con ______ vai ao campo. E cunha probabilidade ___ vai ao Norte e coa contraria ao Sur. Sabemos que Felipe foi á praia, Cal é a probabilidade de que ademais sexa do norte.


I.E.S. _______________________



Autoavaliación


Tiramos un dado de 10 caras. P(obtener <4) =

Nunha bolsa temos ______ bólas vermellas ___ bólas azuis e ____ bólas verdes. Extraemos unha bóla, cal é a probabilidade de obter unha bóla vermella?

Dispoñemos dunha baralla de 100 de catro cores numeradas de 1 ao 25. Cal é a probabilidade de obter un _____?

Sucesos elementais={1, 2, 3, 4, 5, 6, .......48, 49, 50} A={1, 2, 3, 4, 5}, B={4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e C={1, 2, 3, 4,...., 23, 24, 25} p(A unión C)=

Lanzamos dous dados normais e sumamos. Que probabilidade hai de obter menos de 5?

Que probabilidade hai de non sacar nin bastos nin figuras ao extraer unha carta dunha baralla española?

Extraemos unha carta, devolvémola e extraemos outra, dunha baralla española. Que probabilidade hai de sacar un ouro?

Tiramos dúas moedas. Se saen dúas caras extraemos unha bóla dunha urna con ____B e ____N, e en caso contrario dunha urna con ____B e ____N, cal é a probabilidade de sacar unha B?.

Tiramos un dado de 10 caras. Se sae menor que _____ extraemos unha carta, e no caso contrario dúas devolvéndo a 1ª antes de sacar a 2ª Que probabilidade hai de obter algún ouro?

Nun colexio o _____% dos alumnos practican fútbol, o ___% Baloncesto e o ____% un ou outro. Que probabilidade hai de que un estudante practique os dous deportes?

I.E.S. _______________________




1. Existen no mercado varios tipos de dados, aínda que o máis normal sexa o cúbico de seis caras. Hainos de 4, 6, 10, 12, e 20 caras. En xeral, van numerados do 1 ao nº de caras que teñen. Escribe o suceso "Par" para cada un deles.

2. Temos un dado de 4 caras numeradas do 1 ao 4. Tirámolo unha vez. Escribe o suceso seguro, o imposible, e todos os posibles clasificados polo seu tamaño.

3. Temos un dado de 6 caras branco, no que se escribiron nas súas caras os seguintes números {1,1,1,2,2,3}. Escribe todos os sucesos posibles.

4. Na escola municipal dun pobo hai clases para deportes de equipo de baloncesto, fútbol e voleibol. Hai 100 inscritos en deportes de equipo, 70 van a clases de fútbol, 60 de baloncesto e 40 a fútbol e baloncesto. Cantos van só a voleibol?

5. Determina o número de cartas, nunha baralla española de 40, que:

a) Con numeración menor que 4.

b) De bastos e maiores que 4.

c) Figuras de ouros ou bastos.

6. Nunha baralla española, conta as cartas dos sucesos:

a) Ouros e setes b) Ouros ou setes

c) Sete de ouros d) Figuras

e) Ouros ou figuras f) Ouros e figuras

7. Para un dado de seis caras {1,2,3,4,5,6}, escribe os sucesos:

a) Par

b) Non par

c) Par e maior que 3

d) Par ou maior que 3

e) Par menos maior que 3

f) O contrario de (par e maior que 3)

8. Temos un dado cos números {1,1,1,2}. Se o lanzamos 100 veces, arredor de que cantidade de veces sairá cada un dos posibles resultados?.

9. Temos un dado de dez caras numeradas como {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4}. Cal é a probabilidade de cada un dos sucesos elementais?.

10. Temos unha ruleta de 10 posicións, 3 vermellas, 4 verdes, 2 negras e unha azul. Cal é a probabilidade de que ao xirala se obteña cada un das cores?

11. Se lanzamos dúas moedas poderemos obter un destes 4 resultados {OO, XO, OX, XX}. Podes escribir desta forma os posibles para tres moedas. E para 4. Cal é a probabilidade de obter dúas caras en cada un dos experimentos?

I.E.S. _______________________


Probabilidade - 1 -

12. Sabendo que P(A)=0.5, p(B)=0.7 e P(2)=0.3, calcula P(1), P(3), P(4), P(5), P(6), P(7) e P(8),

13. Cál é a probabilidade de obter laranxa, verde, azul ou gris en cada unha das seguintes ruletas?

14. Temos un dado de 10 caras desta forma {1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2}. E dúas urnas, unha A={R, R, R, V, V} e B={R, V, V, V, V}. Lanzamos o dado, se sae 1 extraemos unha bóla de A, e se sae 2 de B. Cal é a probabilidade de extraer unha vermella de A? E unha vermella de B? E unha verde de A?.

15. Nunha bolsa hai as seguintes bólas {1,2,2,3,3}. Extraemos primeiro unha bóla e devolvémola para extraer outra. Calcula a probabilidades seguintes: P(1,1), P(1,2), P(1,3).

16. Se para a segunda extracción do exercicio anterior non devolvemos a 1º bóla, Cal é o valor das probabilidades agora?

17. Calcula as probabilidades de obter 2 ouros ao extraer dúas cartas dunha baralla española nos casos de devolver e de non devolver a 1º carta á baralla antes de extraer a 2ª.

18. Temos un dado de 10 caras da forma {1,1,1,1,2,2,2,2,2,2}, e dúas urnas, unha A={R,R,R,V,V} e outra B={R,V,V,V,V}. Lanzamos o dado, se sae 1 extraemos unha bóla de A, e se sae 2 de B. Cal é a probabilidade de extraer unha R? E unha V?.

19. Temos unha urna con bólas numeradas como se indica {1,1,2,2,2} e dúas urnas I={R,V} e II={N,N,R,V}. Extraemos unha bóla para decidir de que urna escollemos outra. Cal é a probabilidade de obter R ou N?

20. Realizado o experimento do exercicio anterior, resultou ser V. Cal é a probabilidade de que fose extraida da urna A? E da B?

21. Lánzase dúas moedas. Se saen dúas caras tírase o dado {1,1,1,2,2,2} e se non o dado {1,1,2,2,3,3}. Cal é a probabilidade de obter un 1? Cando sae un con que probabilidade saíu tamén dúas caras?

22. Dez amigos organizan unha viaxe e elixe o destino un deles por sorteo. Seis queren ir á costa e catro ao interior. Dos primeiros, dous queren ir ao norte e catro ao sur. Dos de interior, a metade prefiren o norte e a outra metade o sur.

a) Acha a probabilidade de ir á costa do norte.

b) Cal é a probabilidade de ir ao norte?

c) Se van ao norte, cal é a probabilidade de que sexa na costa?

cuadernillo 4ºeso b. gallego

Documents