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Matematica Finanziaria

Corso di

a.a. 2012/2013 Testo a cura del Prof. Sergio Bianchi

Programma

• Operazioni finanziarie in condizioni di certezza– L’operazione finanziaria elementare

– Operazioni a pronti e a termine

• Regimi finanziari– Della capitalizzazione composta

– Della capitalizzazione semplice

– Dello sconto commerciale

• Operazioni finanziarie complesse– Rendite

– Obbligazioni– Obbligazioni

• Indici temporali e di variabilità– Maturity

– Scadenza media aritmetica

– Scadenza media finanziaria

– Durata media finanziaria (duration e convexity)

• Costituzione di capitali e ammortamenti– Ammortamento italiano

– Ammortamento francese

– Ammortamento tedesco

– Ammortamento americano

Definizioni introduttive

Operazione finanziaria (o.f.)

Ogni atto che produce una variazione di capitale per effetto

Matematica Finanziaria

Branca della matematica applicata che

modellizza le operazioni finanziarie

Ogni atto che produce una variazione di capitale per effetto

dello scambio non contemporaneo di almeno due importi.

⇒ Oggetto di studio è la coppia (I, t) - Importo, Epoca

⇒ Più in generale, un’operazione finanziaria può scriversi

come insieme di coppie F = {(I1, t1), (I2, t2),..., (In, tn)}

Notazione:

Rispetto al soggetto che valuta l’o.f., l’importo ha segno negativo se

costituisce un’uscita e segno positivo se costituisce un’entrata.

Elementare, se #(F) = 2(se lo scambio è fra una sola prestazione eduna sola controprestazione)

Complessa, se #(F) > 2(se lo scambio riguarda più prestazioni e/ocontroprestazioni)

Classificazione delle operazioni finanziarie

A prontise il prezzo dell’o.f. viene pagato nel momentoin cui esso viene concordato tra le parti

L’operazione finanziaria è

Certase entrambi gli elementi della coppia (I,t) sonodeterministici (decisioni finanziarie in condizionidi certezza)

Aleatoriase tale è almeno uno degli elementi della coppia (I,t)(decisioni finanziarie in condizioni di incertezza)

in cui esso viene concordato tra le parti

A terminese il prezzo dell’o.f. viene pagato in un’epocasuccessiva a quella in cui esso è concordato

Il mercato dei capitali

Le transazioni che hanno ad oggetto operazioni finanziarie avvengono nel

Mercato dei capitali

inteso come luogo di incontro della domanda (finanziamenti con vincolo di

credito [obbligazioni] e/o di capitale [azioni]) e dell’offerta (emissioni e/o

negoziazioni di titoli relativi prestiti monetari).

Analisi del mercatodei capitali

TeoriaFormulazione di ipotesi sul comportamento degli

partecipanti al mercato per definire un modello:

il mercato ideale

PraticaValutazione della convenienza finanziaria delle

opportunità sulla base delle transazioni nel

mercato reale

Caratteristiche del mercato dei capitali ideale

Competitività (competitive)

• Ogni operatore:

a) usufruisce gratuitamente delle stesse informazioni

b) ignora le conseguenze delle proprie azioni sul mercato

c) è un massimizzatore di profitti (mira a conseguire il maggior risultato economico

con il minimo costo

Non frizionalità (frictionless)

• Le transazioni sono libere da costi aggiuntivi (di intermediazione, fiscali ecc.)

• Le operazioni:

a) sono divisibili (possono cioè avere ad oggetto importi qualsiasi)

b) possono essere effettuate in ogni istante

• Sono ammesse vendite allo scoperto (short sales) (è cioè possibile vendere titoli che

non si possiedono)

• Non c’è rischio di insolvenza (default risk)

Assenza di arbitraggi

Caratteristiche del mercato dei capitali ideale (segue)

Definizione di arbitraggio

Un arbitraggio è un'operazione finanziaria che consente al soggetto che la pone

in essere di conseguire un profitto certo senza correre alcun rischio.

Distinguiamo tra:

Arbitraggio di tipo ASi ha quando l’o.f.:

• ha un costo nullo o negativo e• ha un costo nullo o negativo e

• genera un flusso di importi tutti non negativi, con almeno un pagamento

positivo

Arbitraggio di tipo BSi ha quando l’o.f.:

• ha un costo negativo e

• genera un flusso di importi tutti non negativi

Caratteristiche del mercato dei capitali ideale (segue)

«Con il termine arbitraggio si intende indicare un'operazione che consente di ottenere

un profitto certo, senza che il soggetto che la mette in essere corra alcun rischio.

Solitamente l'arbitraggio consiste nell'acquisto/vendita di uno strumento finanziario(ma anche non finanziario, come una commodity) e in una contemporanea operazione

di segno opposto sullo stesso strumento negoziato su un mercato diverso dal

precedente, oppure su uno strumento diverso ma avente le stesse caratteristiche a

livello di payout del primo.

Appare evidente che una siffatta operazione può generare un profitto solo nel caso in Appare evidente che una siffatta operazione può generare un profitto solo nel caso in

cui esista un differenziale di prezzo tra due strumenti pressochè identici, differenziale determinato da una inefficienza di tipo informativo (o normativo): questo è il

presupposto fondamentale perché si creino opportunità di questo tipo.

Un altro presupposto è rappresentato dalla esistenza di strumenti finanziari perfettamente sostituibili. Questo può avvenire nel caso in cui si prendono in

considerazione strumenti identici ma scambiati su mercati diversi, oppure in quello

relativo a strumenti diversi ma aventi lo stesso payout (ad es. un paniere di titoli azionari

ed il future avente lo stesso paniere come sottostante), o ancora in quello di cui uno

strumento può essere replicato sinteticamente (triangolazioni sul mercato valutario).»

Da “www.borsaitaliana.it”

Il mercato dei capitali reale

Mercato

dei capitali

Diretto

Le negoziazioni avvengono mediante

accordi diretti tra le parti, che determinano

autonomamente le condizioni di scambio.

Es.: operazioni bancarie

Mercato monetario(negoziazione di strumenti a breve scadenza, convenzio-nalmente non superiori a 18

Aperto

Le negoziazioni sono di tipo impersonale

ed hanno caratteristiche (taglio degli

importi, scadenze, tassi, ecc.) standar-

dizzate.

Es: operazioni di cambio

nalmente non superiori a 18 mesi)

Mercato finanziario(negoziazione di mezzi finanziari – obbligazioni e/o azioni – generalmente a medio e lungo termine)

Mercato dei cambi(negoziazione di valute estere)

L’operazione finanziaria elementare

Schema:A conferisce a B all’epoca x l’importo P in cambio dell’importo

M che B conferirà ad A all’epoca y, con y > x.

x y

A → B A ← BP M

Accordo che scambia le coppie (P, x) ed (M, y), con y ≠ x ; x ≥ 0,y ≥ 0

x y

Esempio 1:Acquisto oggi (epoca t) un BOT (Buono Ordinario del Tesoro) al prezzo di € 95,817 ed

incasserò tra un anno €100.

Assumendo l’anno come unità di misura del tempo, l’o.f. può scriversi come

F = { (−95,817, t), (100, t+1)}

Esempio 2:Presento oggi (epoca t) all’incasso un credito per € 1.000 che maturerà tra 30 giorni.

Ricevo dalla controparte € 995.

Assumendo il giorno come unità di misura del tempo, l’o.f. può scriversi come

F = { (995, t), (−1.000, t+30)}

L’operazione finanziaria elementare (segue)

Ipotesi:

1. Gli importi P ed M sono espressi nella stessa unità di misura

2. I soggetti che attuano lo scambio sono razionali:

a) se I1 > I2

b) se x < y

1 2( , ) ( , )I x I xf

( , ) ( , )I x I yf

Criteri di preferenza assoluta

Principio di equivalenza finanziaria

«E’ finanziariamente equivalente ricevere [corrispondere] un importo

immediatamente oppure riceverlo [corrisponderli] in un’epoca

successiva purché — in questa seconda eventualità — all’importo si

aggiunga un interesse per il differimento della transazione.»

b) se x < y( , ) ( , )I x I yf

L’operazione finanziaria complessa (esempi)

Esempio 3:Acquisto oggi (epoca t) un BTP (Buono del Tesoro Poliennale) con scadenza tra tre anni

al prezzo di € 101,25 che paga cedole semestrali in base al tasso annuo del 4%.

Assumendo l’anno come unità di misura del tempo, l’o.f. può scriversi come

{ }3 512 2 2( 101.25, ), (2, ), (2, 1), (2, ), (2, 2), (2, ), (102, 3)F t t t t t t t= − + + + + + +

Esempio 4:Acquisto oggi (epoca t) un’auto del valore di € 15.000 e la pago con rate mensili di € 300

per i prossimi 5 anni (numero di rate = 12×5 = 60).

Assumendo il mese come unità di misura del tempo, l’o.f. può scriversi come

{ }(15.000, ), ( 300, 1), ( 300, 2),...,( 300, 60)F t t t t= − + − + − +

L’o.f. elementare: investimento e anticipazione

{( , ),( , )}F P x M y=L’operazione finanziaria elementare è detta

di investimento (o impiego)

se, noto P, deve determinarsi M(…se P rappresenta un’uscita)

In questo caso:

x è l’epoca di investimento

di anticipazione (o sconto o

finanziamento)

se, noto M, deve determinarsi P(…se P rappresenta un’entrata)

In questo caso:

x è l’epoca di anticipazionex è l’epoca di investimento

y è l’epoca di scadenza

P è il capitale impiegato (o investito)

all’epoca x

M è il montante alla data y del capitale

investito alla data x.

x è l’epoca di anticipazione

y è l’epoca di scadenza

P è il valore attuale all’epoca x

dell’importo M disponibile all’epoca y

M è l’importo disponibile all’epoca y

x y

P M (incognita)

x y

P M(incognita)

M P y x≥ ∀ ≥

In entrambi i casi, per il principio di equivalenza finanziaria, deve aversi

L’o.f. elementare: esempi di investimento e anticipazione

Esempi di operazioni di investimento

A presta a B la somma P in cambio della restituzione, tra un mese, della

somma M > P (da determinare nell’accordo che intercorre tra A e B).

A effettua un versamento di importo P su un conto corrente bancario e, senza movimentare il conto, preleva a fine anno l’importo M > P.movimentare il conto, preleva a fine anno l’importo M > P.

Esempio di operazioni di anticipazione

A cede all’epoca x un credito a B di importo M che scade all’epoca y ed ottiene

in cambio l’importo P < M.

L’o.f. elementare: interesse e sconto

nelle operazioni di investimento,interesse (sul capitale investito P) ed

è indicata come Ix,y.

l’interesse Ix,y è la somma che frutta

La differenza (non negativa) M – P è detta

nelle operazioni di anticipazione,sconto (sul capitale dovuto M) ed è

indicata come Dx,y.

lo sconto Dx,y è la somma che frutta

Pertanto

l’interesse Ix,y è la somma che frutta

l’investimento dell’importo P tra le

epoche x ed y

lo sconto Dx,y è la somma che frutta

l’anticipazione all’epoca x dell’impor-

to M dovuto all’epoca y

Il montante dell’importo P è pari alla somma dello

stesso importo P e dell’interesse da questo prodotto., , x y x yM P I M P I− = ⇔ = +

Il valore attuale dell’importo M è pari alla differenza

tra lo stesso importo M e lo sconto., , x y x yM P D P M D− = ⇔ = −

Osservazione. Si consideri che per definizione è, ,x y x yI D=

L’o.f. elementare: la funzione valore

Le assunzioni alla base del mercato dei capitali ideale garantiscono che esiste una sola funzione f che, nota la terna x, y e P, individua univocamente M, cioe’:

: ( , , ) ( , , )f P x y M M f P x y→ ⇔ =

Ipotesi sulla funzione f

Assumeremo che la funzione f sia:

• continua su un insieme costituito da opportuni intervalli di definizione delle variabili

• derivabile parzialmente rispetto alle tre variabili• derivabile parzialmente rispetto alle tre variabili

Stante il significato finanziario della funzione f, dovrà anche essere

•

• (f crescente al crescere di P)

• (f crescente al crescere di y)

• (f decrescente al crescere di x)

0f

P

∂>

∂

0f

y

∂>

∂

0f

x

∂<

∂

( , , ), 0,P f P x x x P= ∀ ≥

L’o.f. elementare: la funzione valore (segue)

Ipotesi sulla funzione f (segue)

• (Ipotesi di proporzionalità o indipendenza dall’importo)

essendo detta f(1, x, y) funzione di importo unitario.

Osservazioni

( , , ) (1, , )M f P x y P f x y= = ⋅

Osservazioni

• Dal punto di vista economico, l’ipotesi assume che l’utilità marginale del denaro sia

costante

• L’assunto è realistico nel caso di importi contenuti o di periodi non molto lunghi.

• Si può interpretare f(1, x, y) come il prezzo all’epoca y di una unità di capitale (p.es.: un

euro) disponibile all’epoca x

L’o.f. elementare: invertibilità della funzione valore (segue)

RichiamoData la funzione y = f(x) continua e strettamente crescente (decrescente) nell’intervallo I

esiste la sua funzione inversa f −1 che risulta continua e strettamente crescente (decre-

scente) nell’intervallo J, con J = f(I).

f

y

f

f

f −1

f −1

x

y = f(x)

x = f −1(y)

L’o.f. elementare: invertibilità della funzione valore (segue)

Per ipotesi, la funzione f è continua e strettamente crescente rispetto all’importo P.

Esiste dunque la sua funzione inversa (rispetto a P) che indichiamo con g.

Pertanto

M = f(P, x, y) restituisce l’importo M disponibile all’epoca y in cambio dell’importo P

disponibile all’epoca x

P = g(M, x, y) restituisce l’importo P disponibile in x in cambio dell’importo M

disponibile all’epoca ydisponibile all’epoca y

Valendo l’ipotesi di proporzionalità si ha anche che

Per definizione poniamo r(x, y) = f(1, x, y).

Per definizione poniamo v(x, y) = g(1, x, y).

(1, , ) (1, , )M

M P f x y f x yP

= ⋅ ⇔ =

(1, , ) (1, , )P

P M g x y g x yM

= ⋅ ⇔ =

L’o.f. elementare: significato della funzione valore

r(x, y) può interpretarsi come:

1. il numero di unità di capitale disponibili all’epoca y in

cambio di una unità di capitale disponibile all’epoca x.

2. il prezzo all’epoca y di un importo unitario disponibile

all’epoca x.

3. Il fattore di capitalizzazione in quanto fornisce il

montante all’epoca y per ogni unità di capitale P

investito all’epoca x

x y

r(x,y)1

investito all’epoca x

x y

v(x,y) 1

v(x, y) può interpretarsi come:

1. il numero di unità di capitale disponibili all’epoca x in

cambio di una unità di capitale disponibile all’epoca y.

2. il prezzo all’epoca x di un importo unitario disponibile

all’epoca y.

3. Il fattore di attualizzazione in quanto fornisce ilvalore attuale all’epoca x per ogni unità del capitale M

dovuto all’epoca y

L’o.f. elementare: relazione tra r e v

Osservazione

Essendo per definizione

seguono banalmente le

( , ) e ( , )M P

r x y v x yP M

= =

( , ) ( , ) 1r x y v x y⋅ =

1( , )r x y =( , )

( , )r x y

v x y=

1( , )

( , )v x y

r x y=

L’o.f. elementare: Esempi

Esempio 5Investo il 02.03.2008 un capitale di € 100 ed ho in restituzione il 02.08.2008 un capitale

di € 102,5.

M = P ⋅ r(02.03.08, 02.08.08)

x = 02.03.08 y = 02.08.08

P = 100 M = 102,5

M02.08.08 = P02.03.08 ⋅ r(02.03.08, 02.08.08)

102,5 = 100 ⋅ r(02.03.08, 02.08.08)

da cui

102,5(02.03.08,02.08.08) 1,025

100r = =

Fattore di capitalizzazione

L’o.f. elementare: Esempi

Esempio 6Disporrò il 02.12.2008 un importo di € 100 e cedo tale disponibilità in cambio di € 90

che mi vengono corrisposti il 02.10.2008

P = M ⋅ v(02.10.08, 02.12.08)

x = 02.10.08 y = 02.12.08

P = 90 M = 100

P02.10.08 = M02.12.08 ⋅ v(02.10.08, 02.12.08)

90 = 100 ⋅ v(02.10.08, 02.12.08)

da cui

90(02.10.08,02.12.08) 0,90

100v = =

Fattore di attualizzazione

L’o.f. elementare: tasso di interesse (periodale)

Nelle operazioni di investimento, si è definito l’interesse Ix,y come

Ix,y = M − P (1)

essendo M il montante all’epoca y dell’importo P investito all’epoca x.

Dividendo entrambi i membri della (1) per P si ottiene

,1

x yI M P M

P P P

−= = −

Per definizione poniamo

Il numero puro i(x,y) rappresenta l’interesse prodotto tra le epoche x ed y da ogni unità

di capitale investito P e prende il nome di

tasso effettivo di interesse

OsservazioneSi tenga ben presente che il tasso sopra definito è un tasso periodale, relativo cioè al

periodo di tempo che intercorre tra le epoche x ed y.

,( , )

x yIi x y

P=

L’o.f. elementare: tasso di sconto (periodale)

Analogamente, nelle operazioni di anticipazione, si è definito lo sconto Dx,y come

Dx,y = M − P (2)

essendo M il capitale disponibile all’epoca y e P l’investito anticipato all’epoca x.

Dividendo entrambi i membri della (2) per M si ottiene

,1

x yD M P P

M M M

−= = −

Per definizione poniamo

Il numero puro d(x,y) rappresenta lo sconto corrisposto per ogni unità di capitale M

che, disponibile all’epoca y, viene anticipata all’epoca x. Esso prende il nome di

tasso effettivo di sconto

OsservazioneCome osservato in precedenza, si rammenti che quello sopra definito è un tasso

periodale, relativo cioè al periodo di tempo che intercorre tra le epoche x ed y.

,( , )

x yDd x y

M=

L’o.f. elementare: relazioni tra grandezze finanziarie

Definiti il

tasso effettivo di interesse i(x, y)

ed il

tasso effettivo di sconto d(x,y)

è necessario esplicitare:

1. le relazioni che legano tali quantità alle altre grandezze già introdotte

(fattore di capitalizzazione, fattore di sconto)

2. la relazione esistente tra i(x, y) e d(x, y)


1) Relazione tra tasso effettivo di interesse e fattori di capitalizzazione e sconto

Per definizione

Concludendo

Ma è anche

,( , ) = = 1 ( , ) 1

x yI M P Mi x y r x y

P P P

−= − = −

( , ) ( , ) 1 ( , ) 1 ( , )i x y r x y r x y i x y= − ⇔ = +

1( , )r x y =Ma è anche

da cui segue

ed anche

1( , )

( , )r x y

v x y=

1 1 ( , )( , ) 1

( , ) ( , )

v x yi x y

v x y v x y

−= − =

1( , )

1 ( , )v x y

i x y=

+


1) Relazione tra tasso effettivo di sconto e fattori di capitalizzazione e sconto

Per definizione

Concludendo

Ma è anche

,( , ) = =1 1 ( , )

x yI M P Pd x y v x y

M M M

−= − = −

( , ) 1 ( , ) ( , ) 1 ( , )d x y v x y v x y d x y= − ⇔ = −

1( , )r x y =Ma è anche

da cui segue

ed anche

1( , )

( , )r x y

v x y=

1 ( , ) 1( , ) 1

( , ) ( , )

r x yd x y

r x y r x y

−= − =

1( , )

1 ( , )r x y

d x y=

−


2) Relazione tra tasso effettivo di interesse e tasso effettivo di sconto

Abbiamo appena dedotto che (1)

e che (2)

Sostituendo la (2) nella (1) segue immediatamente che

( , ) 1( , )

( , )

r x yd x y

r x y

−=

( , ) 1 ( , )r x y i x y= +

( , )( , )

1 ( , )

i x yd x y

i x y=

+( , )

1 ( , )d x y

i x y=

+

Analogamente abbiamo anche dedotto che (3)

e che (4)

Sostituendo la (4) nella (3) segue immediatamente che

1 ( , )( , )

( , )

v x yi x y

v x y

−=

( , ) 1 ( , )v x y d x y= −

( , )( , )

1 ( , )

d x yi x y

d x y=

−

L’o.f. elementare: significato finanziario della relazione tra i e d

Si consideri la catena di uguaglianze

L’uguaglianza tra primo e ultimo membro

( , ) 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 ( , ) 1 ( , ) ( , )

i x yd x y i x y i x y i x y v x y

i x y i x y r x y= = ⋅ = ⋅ = ⋅

+ +

( , ) ( , ) ( , )d x y i x y v x y= ⋅

consente di interpretare finanziariamente

il tasso di sconto come valore attuale del tasso di interesse.

x y

d(x, y) i(x, y)

i(x, y)⋅v(x, y)

L’o.f. elementare: significato finanziario della relazione tra i e d

Analogamente si consideri la catena di uguaglianze

L’uguaglianza tra primo e ultimo membro

( , ) 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 ( , ) 1 ( , ) ( , )

d x yi x y d x y d x y d x y r x y

d x y d x y v x y= = ⋅ = ⋅ = ⋅

− −

( , ) ( , ) ( , )i x y d x y r x y= ⋅

consente di interpretare finanziariamente

il tasso di interesse come montante del tasso di sconto.

x y

d(x, y) i(x, y)

d(x, y)⋅r(x, y)

L’o.f. elementare: tavola riepilogativa delle relazioni fondamentali

r(x, y) v(x, y) i(x, y) d(x, y)

r(x, y) r(x, y)1

( , )r x y

Queste funzioni

in funzione di queste

( , ) 1r x y −( , ) 1

( , )

r x y

r x y

−

1v(x, y) v(x, y)

i(x, y) i(x, y)

d(x, y) d(x, y)

1

( , )v x y

1 ( , )

( , )

v x y

v x y

−1 ( , )v x y−

1 ( , )i x y+1

1 ( , )i x y+

( , )

1 ( , )

i x y

i x y+

1

1 ( , )d x y−1 ( , )d x y−

( , )

1 ( , )

d x y

d x y−

L’o.f. elementare: esempi

Nell’esempio 5 era

Quindi sarà

102,5(02.03.08,02.08.08) 1,025

100r = =

r(x, y) v(x, y) i(x, y) d(x, y)

Queste funzioni

in funzione r(x, y) v(x, y) i(x, y) d(x, y)

r(x, y)

r(x, y)

1,025 0,9756… 0,025 0,02439…

1

( , )r x y


( , ) 1r x y −( , ) 1

( , )

r x y

r x y

−


Nell’esempio 6 era

Quindi sarà

r(x, y) v(x, y) i(x, y) d(x, y)

90(02.10.08,02.12.08) 0,90

100v = =

Queste funzioni

in funzione r(x, y) v(x, y) i(x, y) d(x, y)

v(x, y)

1,1

v(x, y)

0,90 0,1 0,10

1

( , )v x y


1 ( , )v x y−1 ( , )

( , )

v x y

v x y

−

__


EsempioSi deve corrispondere alla scadenza y l’importo di €1.000. Il tasso effettivo di

interesse periodale è del 2,5%. Si determini all’epoca x (con x < y) la somma

da anticipare, lo sconto ed il tasso effettivo di sconto dell’operazione.

1( , )

1 ( , )

11.000 975,61

1 0,025

P M v x y Mi x y

= ⋅ = ⋅ =+

= =+

x y

975,61 1.000

1 0,025+

,1.000 975,61 24,39

x yD M P= − = − =

, 24,39( , ) 0,02439

1.000

x yD

d x yM

= = =

Contratti a pronti e contratti a termine

Nell’operatività finanziaria la regolazione del prezzo avviene solitamente in

epoche successive a quella in cui il prezzo stesso viene concordato dalle parti.

EsempioSi acquista oggi un bene che si inizierà a pagare tra sei mesi.

Il prezzo del bene è contrattualmente stabilito oggi dalle parti. L’esborso per

l’acquirente è differito rispetto alla data di stipula del contratto.

ConseguenzaE’ necessario ampliare lo schema fin qui adottato per descrivere le o.f. semplici.E’ necessario ampliare lo schema fin qui adottato per descrivere le o.f. semplici.

D’ora in avanti indicheremo con

• u l’epoca in cui viene pattuito il prezzo dell’operazione finanziaria (è

generalmente l’epoca nella quale si stipula il contratto);

• x l’epoca in cui viene regolato il prezzo dell’operazione finanziaria (è

generalmente x > u)

• y l’epoca in cui ha termine l’operazione finanziaria

Contratti a pronti e contratti a termine (segue)

u yx

Epoca in cui viene

pattuito il prezzo

Epoca in cui viene

regolato il prezzo

Epoca in cui ha

termine il contratto

durata del contratto

durata dell’o.f.

Si osservi che

• y − u : durata del contratto (rileva l’epoca di accordo sul prezzo)

• y − x : durata dell’operazione finanziaria (rileva l’epoca di regolamento del

prezzo)

Contratti a pronti e contratti a termine: esempio

Esempio 8Il 1°.11.08 (epoca u) il soggetto A stipula un contratto con il soggetto B in base

al quale si impegna a corrispondere a B un importo pari a € 870 il 1°.01.09 (epoca x) in cambio di un importo di € 1000 che B riconoscerà ad A il 1°.06.09

(epoca y).

− €870 + €1.000

Schema dell’operazione

01/11/08 01/06/0901/01/09

durata del contratto (7 mesi)

durata dell’o.f. (5 mesi)

( )01/11/08, 01/01/09, 01/06/091.000 870 r= ⋅

( )01/11/08, 01/01/09, 01/06/09870 1.000 v= ⋅

v(01/11/08, 01/01/09, 01/06/09) = 0,87 è il prezzo a termine di una unità di capitale

che sarà disponibile il 1°giugno 2009.

Contratti a pronti e contratti a termine: Proprietà

Enunciamo le proprietà della funzione v(u, x, y) (date le relazioni fondamentali, proprietà

analoghe possono essere desunte per le funzioni d(u, x, y), r(u, x, y), i(u, x, y)).

1. E’ ovviamente u ≤ x ≤ y

2. Se u = x si ottiene il caso particolare v(u, x, y) = v(x, x, y) = v(x, y), prezzo a pronti

3. La funzione v(u,x,y) rappresenta il prezzo, concordato all’epoca u, da pagarsi all’epoca

x di un importo unitario disponibile all’epoca y. Pertanto è

0 < v(u, x, y) ≤ 1 ∀ u ≤ x ≤ y0 < v(u, x, y) ≤ 1 ∀ u ≤ x ≤ y

4.Se x = y la durata dell’operazione finanziaria è nulla. Pertanto

v(u, y, y) = 1

5. Il prezzo di un importo unitario esigibile in y aumenta all’avvicinarsi alla scadenza

dell’istante in cui il prezzo viene regolato. Formalmente

6. Tra due importi unitari disponibili in epoche future diverse ha prezzo maggiore quello dei

due che è disponibile prima. Formalmente

1 2 1 2( , , ) ( , , ) se v u x y v u x y u x x y≤ ≤ ≤ ≤

1 2 1 2( , , ) ( , , ) se v u x y v u x y u x y y≥ ≤ ≤ ≤

Contratti a pronti e contratti a termine: terminologia

Contratti

a pronti a termine

Il prezzo viene corrisposto nel

momento in cui esso è pattuito.

Il prezzo viene corrisposto in un’epoca

successiva a quella in cui esso è pattuito.

Nelle operazioni di capitalizzazione

1 r(x, y)

Nelle operazioni di capitalizzazione

1 r(u, x, y)

Nelle operazioni di attualizzazione

x y

x y

v(x, y) 1

r(x, y) è il fattore di capitalizzazionea pronti (spot)

v(x, y) è il fattore di attualizzazionea pronti o prezzo a pronti(prezzo spot)

Nelle operazioni di attualizzazione

r(u, x, y) è il fattore di capitalizzazionea termine

v(u, x, y) è il fattore di attualizzazionea termine o prezzo a termine

u yx

u y

v(u, x, y) 1

x

Contratti a pronti e contratti a termine: terminologia (segue)

Con riferimento al prezzo v(u, x, y), fissando…

… u e y [v(u, x, y) diviene funzione della sola epoca x]

Evoluzione del prezzo (dei contratti che, stipulati in u,

hanno scadenza in y)

… u e x [v(u, x, y) diviene funzione della sola epoca y]

Evoluzione per scadenza (dei contratti che, stipulati in u, Evoluzione per scadenza (dei contratti che, stipulati in u,

vengono regolati in x)

… x e y [v(u, x, y) diviene funzione della sola epoca u]

Evoluzione delle strutture dei prezzi (dei contratti che, regolati in x, hanno scadenza in y)

Operatività a pronti ed a termine

Stanti le ipotesi formulate circa il mercato dei capitali, in ogni epoca gli

operatori possono decidere se effettuare un’operazione a pronti o a termine.

Ci poniamo pertanto tre obiettivi:

1. Costruire uno schema che descriva la struttura a pronti

2. Costruire uno schema che descriva la struttura a termine

3. Chiarire la relazione (fondamentale) che intercorre tra operatività a pronti e

a termine

PremessaPer semplificare la notazione supporremo che il tempo sia rappresentato da un variabile discreta. Denoteremo con t l’epoca iniziale e con il naturale n il numero

di periodi unitari (orizzonte) a partire da t. Lo scadenzario di riferimento sarà

dunque:

t t+1 t+2 t+k t+n−1 t+n. . . . . .

Schema della struttura a pronti

Lo schema della struttura a pronti è particolarmente semplice.

All’epoca t si osservano nel mercato gli n prezzi a pronti:

v(t, t+1), v(t, t+2), ..., v(t, t+n)

Come ormai chiaro, v(t, t+k) è il prezzo pattuito e corrisposto all’epoca t che

garantisce la disponibilità di un importo unitario in t + k (k = 1, 2,…, n)

Sullo scadenzario avremo:Sullo scadenzario avremo:

t t+1 t+2 t+k t+n−1 t+n. . . . . .

t t+1 t+2 t+k t+n−1 t+n. . . . . .

t t+1 t+2 t+k t+n−1 t+n. . . . . .

v(t, t+1) 1

v(t, t+2) 1

v(t, t+n) 1

::

Schema della struttura a termine

Lo schema della struttura a termine è più articolato.

Per dedurlo, nel generico prezzo a termine v(u, x, y), fissiamo u = t, x = t+1 e

lasciamo che y assuma il valore di ciascuna delle n−1 epoche rimanenti.

Ripetiamo il procedimento fissando x = t + 2, valore in corrispondenza del

quale y assumerà il valore di ciascuna delle n−2 epoche rimanenti. Procediamo

identicamente finché sarà x = t + n−1, valore in corrispondenza del quale y

potrà valere solo t+n.

v(u, x, y)

u = t ; x = t+1 ; y = t+2 , y = t+3 , . . . , y = t + n (n− 1) prezzi

x = t+2 ; y = t+3 , y = t+4 , . . . , y = t + n (n− 2) prezzi

x = t + n−2 ; y = t + n− 1 , y = t + n 2 prezzi

x = t + n−1 ; y = t + n 1 prezzo

::

Schema della struttura a termine (segue)

Sullo scadenzario avremo

t t+1 t+2 t+k t+n−1 t+n. . . . . .

t t+1 t+2 t+k t+n−1 t+n. . . . . .

v(t, t+1, t+2) 1

::

v(t, t+1, t+k) 1

v(t, t+1, t+n−1) 1

t t+1 t+2 t+k t+n−1 t+n. . . . . .

v(t, t+1, t+n−1) 1

t t+1 t+2 t+k t+n−1 t+n. . . . . .

v(t, t+1, t+n) 1

n−1 prezzi a termine il cui prezzo è regolato all’epoca t +1:

( , 1, 2), ( , 1, 3),..., ( , 1, )v t t t v t t t v t t t n+ + + + + +


Sullo scadenzario avremo

t t+1 t+2 t+3 t+n−1 t+n. . . . . .

t t+1 t+2 t+k t+n−1 t+n. . . . . .

v(t, t+2, t+3) 1

::v(t, t+2, t+n−1) 1

t t+1 t+2 t+k t+n−1 t+n. . . . . .

v(t, t+2, t+n) 1

n−2 prezzi a termine il cui prezzo è regolato all’epoca t +2.

( , 2, 3), ( , 2, 4),..., ( , 2, )v t t t v t t t v t t t n+ + + + + +

…e così via


Prezzi N°

v(t, t+1, t+2), v(t, t+1, t+3), ..., v(t, t+1, t+n) n −1

v(t, t+2, t+3), v(t, t+2, t+4), ..., v(t, t+2, t+n) n −2

v(t, t+3, t+4), v(t, t+3, t+5), ..., v(t, t+3, t+n) n −3

: :

v(t, t+n−2, t+n−1), v(t, t+n−2, t+n) 2v(t, t+n−2, t+n−1), v(t, t+n−2, t+n) 2

v(t, t+n−1, t+n) 1

( 1)( 1) ( 2) ... 3 2 1

2

n nn n

−− + − + + + + =

Il numero di prezzi a termine che si osserva nel mercato all’epoca t su un orizzonte

di n periodi unitari è

Per ogni epoca t, l’insieme di tali prezzi definisce la struttura a termine del mercato.

Relazione tra operazioni a pronti e a termine

Quindi, un operatore che all’epoca t voglia assicurarsi un importo unitario all’epoca

t + i (1 ≤ i ≤ n) può combinare operazioni a termine con operazioni a pronti con

l’unico vincolo rappresentato dalle scadenze dell’orizzonte temporale sul quale

opera.

In particolare può scegliere se:

stipulare in t un contratto a pronti con scadenza t+i

oppureoppure

stipulare uno dei possibili contratti a termine regolandone il prezzo,in rapporto al contratto scelto, in una delle epoche t +1, t + 2,..., t + i −1

ProblemaChe tipo di relazione esiste tra i due tipi di operatività?

Più precisamente, le caratteristiche del mercato ideale consentono di stabilire delle

“condizioni di coerenza” tra i prezzi a pronti e a termine?


Per rispondere ragioniamo sul caso semplificato di un orizzonte di due periodi,

cioè sullo scadenzario

in relazione al quale l’obiettivo finanziario dell’operatore, che agisceall’epoca t, è di assicurarsi un importo unitario all’epoca t+2.

Come può procedere l’operatore?

t t+1 t+2

1. Può stipulare un contratto a pronti che scade in t+2, pagando in t l’importo1. Può stipulare un contratto a pronti che scade in t+2, pagando in t l’importo

v(t, t+2)

2. Può stipulare un contratto a termine che scade in t+2, pagando in t+1

l’importo v(t, t +1, t +2)

• In questo caso, qual è la somma che l’operatore deve investire all’epocat per assicurarsi la disponibilità della somma v(t, t +1, t +2) all’epoca t +1?

• La somma è v(t, t+1, t+2) attualizzata dall’epoca t+1 all’epoca t, cioèmoltiplicata per il fattore di attualizzazione v(t, t+1)

v(t, t +1, t +2) ⋅ v(t, t +1)


t t+1 t+2

v(t, t+1, t+2) ⋅ v(t, t+1) 1v(t, t+1, t+2)

Equivalente finanziario (prezzo) all’epoca t +1 di un importo unitario

all’epoca t +2

Equivalente finanziario (prezzo) all’epoca t dell’importo

v(t, t+1, t+2) all’epoca t +1

Riassumendo:Riassumendo:

Per disporre di un importo unitario all’epoca t+2, l’operatore all’epoca t deve

investire

v(t, t + 2) in un’operazione a pronti

o

v(t, t + 1, t + 2) ⋅ v(t, t + 1) in un’operazione a termine

Possono i due importi differire ?


…NO

perché entrambe le operazioni finanziarie danno luogo allo stesso risultato (unimporto unitario) all’epoca t+2. Per le ipotesi che reggono il mercato dei capitali

ideale, esiste un solo prezzo per l’insieme delle operazioni che producono il

medesimo risultato finanziario.

Vale pertanto la seguente relazione

v(t, t + 2) = v(t, t + 1) ⋅ v(t, t + 1, t + 2) (5)

che deriva dal principio di assenza di arbitraggio.

Dalla (5) segue immediatamente

la quale sottolinea come il prezzo della struttura a termine possa essere calco-

lato noti i prezzi a pronti. La struttura a termine è dunque implicita nellastruttura a pronti.

( , 2)( , 1, 2)

( , 1)

v t tv t t t

v t t

++ + =

+


EsempioSul mercato all’epoca t :

• un BOT con scadenza un anno (t+1) quota V(t, t+1) = 95,69(*);

• un CTZ con scadenza due anni (t+2) quota V(t, t+2) = 91,57.

In ipotesi di assenza di arbitraggio si vuole determinare il prezzo a termine del titolo che, acquistato all’epoca t e regolato all’epoca t+1, paga 100 all’epoca t+2.

Dalla( , 2)

( , 1, 2)( , 1)

v t tv t t t

v t t

++ + =

+

Dalla

segue

91,57( , 1, 2) 0,95684

95,69v t t t+ + = =

Pertanto il prezzo richiesto è 95,684.

(*) Con v indichiamo il prezzo unitario. Per indicare il prezzo di importi non unitari si è soliti

utilizzare la lettera maiuscola.

Esempio 9 (arbitraggio)

Si supponga che nel mercato si osservino i seguenti prezzi:

v(t, t+1) = 0,98 v(t, t+1, t+2) = 0,96 v(t, t+2) = 0,958

La relazione v(t, t + 2) = v(t, t + 1) ⋅ v(t, t + 1, t + 2) non vale, essendo

0,958 > 0,98 ⋅ 0,96 = 0,9408

Come si sfrutta concretamente l’incoerenza tra prezzi che il mercato presenta?

t t+1 t+2

Devo coprire questo esborsoDevo coprire questo esborso

t t+1 t+2

Vendo in t il contratto a pronti

che scade in t+2+0,958 −1

Compro in t il contratto a

termine (che regolo in t+1)−0,96 +1

Compro in t 0,96 unità del

contratto a pronti che scade in t+1

−0,96×0,98 =

− 0,9408+0,96

+0,0172 0 0Profitto unitario

Esempio 10 (arbitraggio)

Si supponga che nel mercato si osservino i seguenti prezzi:

v(t, t+1) = 0,98 v(t, t+1, t+2) = 0,96 v(t, t+2) = 0,938

La relazione v(t, t + 2) = v(t, t + 1) ⋅ v(t, t + 1, t + 2) non vale, essendo

0,938 < 0,98 ⋅ 0,96 = 0,9408

Come si sfrutta concretamente l’incoerenza tra prezzi che il mercato presenta?

t t+1 t+2

Devo azzerare questa entrataDevo azzerare questa entrata

t t+1 t+2

Compro in t il contratto a pronti

che scade in t+2−0,938 +1

Vendo in t il contratto a termine

(che viene regolato in t+1)+0,96 −1

Vendo in t 0,96 unità del contratto

a pronti che scade in t+1+0,96×0,98 =

+ 0,9408−0,96

+0,0028 0 0Profitto unitario

Principio di assenza di arbitraggio

Dagli esempi prima visti, sullo scadenzario dato dalle epoche t ≤ T ≤ s,

deduciamo lo schema generale.

Se fosse v(t, s) > v(t, T) v(t, T, s) la strategia

t T s

Vendo allo scoperto il contratto

a pronti che scade in s−1

Compro il contratto a termine

+v(t, s)

Compro v(t,T,s) unità del con-

tratto a pronti che scade in T−v(t,T,s)v(t,T)

Compro il contratto a termine

che scade in s +1

0 0Profitto unitario

+v(t,T,s)

−v(t,T,s)

v(t,s)−v(t,T,s)v(t,T)

darebbe luogo ad arbitraggio con un profitto unitario pari a v(t, s) − v(t, T) v(t, T, s).

Principio di assenza di arbitraggio

In maniera analoga, se fosse v(t, s) < v(t, T) v(t, T, s) la strategia

t T s

Compro il contratto a pronti

che scade in s+1

Vendo il contratto a termine

che scade in s −1

−v(t, s)

+v(t,T,s)

Vendo v(t,T,s) unità del contrat-

to a pronti che scade in T+v(t,T,s)v(t,T)

0 0Profitto unitario

−v(t,T,s)

v(t,T,s)v(t,T)−v(t,s)

darebbe luogo ad arbitraggio con un profitto unitario pari a v(t, s) − v(t, T) v(t, T, s).

Condizione di non arbitraggio: osservazioni

Osservazione 1In generale, come implicitamente appena visto, nel mercato ideale deve valere la

seguente relazione, di facile verifica

(p ≤ q ≤ s) (6)( , ) ( , ) ( , , )v t p t s v t p t q v t p t q t s+ + = + + ⋅ + + +

( , ) ( , , )

( , )

v t p t sv t p t q t s

v t p t q

+ ++ + + =

+ +

Osservazione 2

Ricordando che la relazione (6), scritta in funzione dei tassi di interesse, diviene

(7)

essendo i(t + p, t + s) e i(t + p, t + q) i tassi di interesse a pronti ed i(t + p, t + q, t + s) il

tasso di interesse a termine (entrambi periodali).

( , ) [1 ( , )][1 ( , , )] 1i t p t s i t p t q i t p t q t s+ + = + + + + + + + −

1 ( , ) ( , , ) 1

1 ( , )

i t p t si t p t q t s

i t p t q

+ + ++ + + = −

+ + +

1

1v

i=

+

Condizione di non arbitraggio: osservazioni

Osservazione 3

Si consideri che nella (6) e nella (7) figurano rispettivamente i prezzi ed i tassi effettivi di

interesse periodali.

Nella (6) il prezzo v(t + p, t + q) è quello che osserviamo sul mercato per l’o.f. di durata

q − p [= t + p − (t + q)], il prezzo v(t + p, t + q, t + s) è quello relativo all’o.f. di durata s − q

[= t + s − (t + q)], il prezzo v(t + p, t + s) è relativo all’o.f. di durata s − p [= t + s − (t + p)].

Analogamente nella (7), in termini di tassi effettivi di interesse periodali.

Tasso periodale e tasso effettivo di interesse per periodo unitario

Con i(x, y) si è finora denotato il tasso effettivo di interesse periodale, cioè relativo al

periodo che intercorre tra le epoche x ed y. Così i(t, t+n) indica il tasso periodale che

caratterizza l’operazione che si sviluppa per n periodi unitari a partire dall’epoca t.

ProblemaIl tasso periodale non può essere utilizzato per confrontare la convenienza finanziaria di

operazioni che hanno durate diverse.

Esempio

Si ha la possibilità di investire un importo:

Si potrebbe pensare che l’operazione (B) sia più redditizia dell’operazione (A), ma il

confronto tra i due tassi non è possibile direttamente, a causa della diversa durata delle

operazioni finanziarie. Se si riferiscono entrambi i tassi ad una stessa base, per esempio

all’anno, si realizza che l’operazione (A) è al tasso effettivo di interesse annuo iA = 7,61%

e l’operazione (B) è effettuata al tasso effettivo di interesse annuo iB = 7,51%. A dispetto

dell’intuizione, l’operazione (A) risulta più redditizia dell’operazione (B).

Si ha la possibilità di investire un importo:

(A) per tre mesi al tasso periodale i(0, 3) = 1,85%, oppure

(B) per tre mesi e dieci giorni al tasso periodale

Quale operazione “appare” più conveniente?

( )10

30,4160,3 2,03%i + =

Tasso effettivo di interesse per periodo unitario

ProblemaOccorre stabilire una relazione che, dato un tasso effettivo di interesse periodale,

consenta di “trasformare” il tasso riferendolo ad una diversa base temporale, per esempio

al periodo unitario.

Fissata l’unità di misura del tempo (p.es. l’anno), indichiamo con

i1(x, y)

il tasso effettivo di interesse riferito al periodo unitario dedotto dalle condizioni vigenti

sul mercato tra le epoche x ed y.

Ci interessa stabilire

• quale relazione deve esistere tra i1(x, y) e iy−x(x, y);

• Più in generale, come si possa trasformare il periodo cui è riferito il tasso effettivo di

interesse (periodale).

Adottando questa notazione, oltre che semplicemente come i(x, y), il tasso effettivo di

interesse periodale potrebbe anche scriversi come

iy−x(x, y)

a sottolineare che il periodo cui il tasso è relativo è quello compreso tra le epoche x ed y.

In genere l’omissione del pedice indicherà che il tasso è periodale, a meno che non sia

altrimenti precisato.

Tassi periodale e tasso effettivo di interesse per periodo unitario

Ragioniamo a ritroso.

Il prezzo all’epoca t dell’o.f. di durata pari a n periodi unitari è v(t, t+n).

Data la struttura a pronti che vige all’epoca t+n−1, il prezzo che in t+n−1 assicura

all’epoca t+n un importo unitario è

v(t+n−1, t+n)


all’epoca t+n−1 l’importo v(t+n−1, t+n) [equivalente finanziariamente all’importo unitario

in t+n] èin t+n] è

v(t+n−2, t+n−1)⋅ v(t+n−1, t+n)


all’epoca t+n−2 l’importo v(t+n−2, t+n−1)⋅v(t+n−1, t+n) [equivalente finanziariamente

all’importo unitario in t+n] è

v(t+n−3, t+n−2)⋅v(t+n−2, t+n−1)⋅ v(t+n−1, t+n)

e così via fino all’epoca t.

Quindi…

Tassi periodali e tasso effettivo di interesse per periodo unitario

Fissiamo l’unità di misura del tempo (p.es. un anno) e consideriamo un’o.f. che si sviluppa

su un orizzonte di n periodi unitari (n anni). In particolare, consideriamo il prezzo all’epoca

t di un importo unitario disponibile all’epoca t + n, v(t, t+n).

Ipotesi

L’operazione finanziaria (unica) tra t e t + n

• può scomporsi in n operazioni la cui durata è pari al periodo unitario;

• le n operazioni vengono effettuate tutte allo stesso tasso di interesse;

• conducono allo stesso risultato finanziario.

Obiettivo

Dato il prezzo (e quindi il tasso effettivo di interesse) periodale, si vuole caratterizzare

l’operazione finanziaria attraverso un tasso effettivo di interesse per periodo unitario.

t t+1 t+2 t+n. . .

v(t, t+n)

1

t+n−1

v(t, t+1) v(t+1, t+2) v(t+2, t+3) v(t+n−1, t+n)


… all’epoca t, il prezzo che assicura un importo unitario all’epoca t+n attraverso una

successione di n operazioni a pronti che hanno tutte durata pari al periodo unitario

(roll-over) è

(8)

Ovvero, scritto in forma compatta

(9)

( , 1) ( 1, 2) ... ( 1, )v t t v t t v t n t n+ ⋅ + + ⋅ ⋅ + − +

1

0

( , 1)n

s

v t s t s−

=

+ + +∏

OsservazioneSi noti che tutti i prezzi che figurano nella (8) [(9)] sono riferiti al periodo unitario. Usando laSi noti che tutti i prezzi che figurano nella (8) [(9)] sono riferiti al periodo unitario. Usando la

notazione prima introdotta, potrebbero anche scriversi come

1

1 1 1 1

0

( , 1) ( 1, 2) ... ( 1, ) ( , 1) n

s

v t t v t t v t n t n v t s t s−

=

+ ⋅ + + ⋅ ⋅ + − + + + +

∏

Conclusione

L’unica operazione di durata pari a n periodi unitari il cui prezzo all’epoca t è v(t, t+n) ed il

roll-over delle n operazioni, ciascuna di durata pari a un periodo unitario il cui prezzo al-

l’epoca t è danno come esito finale la disponibilità di un importo uni-

tario all’epoca t+n. Pertanto esse devono avere lo stesso valore anche all’epoca t.

1

1

0

( , 1)n

s

v t s t s−

=

+ + +∏


Pertanto

(10)

dalla quale, ricordando che , segue

(11)

Se nel periodo compreso tra le epoche t e t+n tutti i tassi effettivi di interesse a

1

1

0

( , ) ( , 1) n

s

v t t n v t s t s−

=

+ = + + +∏

1

1v

i=

+

[ ]1

1

0

( , ) 1 ( , 1) 1 n

s

i t t n i t s t s−

=

+ = + + + + −∏

Se nel periodo compreso tra le epoche t e t+n tutti i tassi effettivi di interesse a

pronti riferiti al periodo unitario fossero uguali, la (11) si ridurrebbe alla

(13)

avendo indicato con i1(t, t+n) il tasso effettivo di interesse per periodo unitario osservato

sull’orizzonte di n periodi unitari a partire dall’epoca t.

Ricavando dalla (13) i1(t, t+n) si ottiene

(14)

[ ]1 ( , ) 1 ( , ) 1

ni t t n i t t n+ = + + −

[ ]1

1 ( , ) 1 ( , ) 1 ni t t n i t t n+ = + + −

Tasso di interesse medio per periodo unitario

OsservazioneLa (14) esprime la relazione tra il tasso effettivo di interesse riferito al periodo unitario ed il

tasso effettivo di interesse periodale di un’operazione che si sviluppa su un orizzonte di nperiodi unitari, nell’ipotesi che nell’intero arco di tempo considerato il tasso perperiodo unitario rimanga invariato.

La relazione è tuttavia suscettibile di un’altra interpretazione: se la successione dei tassi a

pronti che figura al secondo membro della (11) viene rimpiazzata da una successione in

cui figura un tasso medio per periodo unitario, denotato con , si giunge al

medesimo risultato.

[ ]1

1 ( , ) 1 ( , 1) 1

n

i t t n i t s t s−

+ = + + + + − =∏

1( , )t t nι +

da cui segue banalmente:

(15)

Benché formalmente la (15) equivalga alla (14), l’interpretazione finanziaria è differente: al

suo primo membro figura il tasso di interesse medio per periodo unitario.

[ ]

[ ]

[ ]

1

0

1

1

0

1

( , ) 1 ( , 1) 1

1 ( , 1) 1

1 ( , ) 1

s

n

s

n

i t t n i t s t s

t s t s

t t n

ι

ι

=

−

=

+ = + + + + − =

= + + + + − =

= + + −

∏

∏

[ ]1

1( , ) 1 ( , ) 1 nt t n i t t nι + = + + −

Tasso di interesse medio per periodo unitario

EsempioPago € 87,6 oggi che mi assicurano la disponibilità di € 100 tra tre anni. Qual è il tasso

medio su base annua (avente cioè per periodo di riferimento l’anno)?

87,6(0,3) 0,876

100v = =

1 1(0,3) 1 1 0,141553

(0,3) 0,876i

v= − = − =

[ ]1

ι = + − =

Essendo n = 3 anni, si ha

[ ]13

1(0,3) 1 0,141553 1 0,045118ι = + − =

Il tasso di interesse medio per periodo unitario (approssimato alla seconda cifra

decimale) è pari al 4,51%.

Attenzione, si tratta di un tasso medio! Lo stesso risultato (a meno di un

errore dell’ordine di 6,3×10−6) si sarebbe raggiunto utilizzando, per esempio,

la seguente successione di tassi a pronti

i1(0,1) = 0,045118 i1(1,2) = 0,039250 i1(2,3) = 0,051000

Tassi equivalenti

OsservazioneRiconsideriamo la (13) e la (14)

che abbiamo dedotto a partire da un’operazione della durata di n periodi unitari.

Se anziché un multiplo del periodo unitario, n rappresentasse una frazione dello stesso,

[ ]1 ( , ) 1 ( , ) 1

ni t t n i t t n+ = + + −

[ ]1

1 ( , ) 1 ( , ) 1 ni t t n i t t n+ = + + −

cioè fosse n = 1/m con m>1, sostituendo nella (13) e nella (14) si avrebbe, rispettivamente

(16)

(17)

nelle quali, per evitare ambiguità, il tasso periodale è stato precisato anche attraverso il

pedice.

1

1

1 11

( , ) 1 ( , ) 1 m

mm m

i t t i t t+ = + + −

1

1 11( , ) 1 ( , ) 1

m

m

m mi t t i t t + = + + −

Tassi equivalenti (segue)

Nel caso in cui il tasso effettivo di interesse riferito all’m-esima parte del periodo unitario

sia sempre lo stesso, è possibile omettere l’indicazione dell’intervallo di tempo cui lo stesso

è riferito e scrivere semplicemente

(18)

(19)

( )1

1 1 1 1 m

m

i i= + −

( )11 1 1

m

m

i i= + −

La (16) e (17) [(18) e (19)] definiscono le relazioni tra tassi equivalenti.

1m

i1m

i

0 1

m2m

1mm− 1m

m=

1m

i

1i

Rappresentando sullo scadenzario, si ha


Osservazioni

1) Tutte le relazioni di equivalenza tra i tassi fin qui dedotte si basano sul principio di

assenza di arbitraggio. Come si vedrà in seguito, poiché tale principio vale per uno

specifico regime finanziario – che chiameremo della capitalizzazione composta – le

relazioni di equivalenza tra tassi sopra desunte valgono nell’ambito di tale regime. Per

gli altri regimi finanziari si possono ricavare relazioni di equivalenza analoghe a quelle

viste, seguendo lo stesso schema di ragionamento.

2) La (19) può essere scritta in una forma più generale, che consente di modificare la

base temporale di riferimento del tasso senza necessariamente riferirla al periodo

unitario (p.es. all’anno). Infatti, se questo è frazionato una volta in m1-esimi (p.es.

dalle quali, uguagliando e risolvendo, si ottiene

(20)

La (20) consente di modificare il periodo di riferimento del tasso di interesse da una

qualsiasi base ad una qualsiasi altra base (ivi inclusa, ovviamente, quella riferita al

periodo unitario), nelle ipotesi sopra richiamate.

( )2

1

1 1

1 2

1 1

m

m

m m

i i= + −

( )1

1

11

1 1 m

m

i i= + − ( )2

12

1 1 1

m

m

i i= + −

unitario (p.es. all’anno). Infatti, se questo è frazionato una volta in m1-esimi (p.es.

trimestri) ed una volta in m2-esimi (p.es. quadrimestri), vale sempre la (19)


EsempioIl tasso effettivo di interesse quadrimestrale è pari all’1,8%. Determinare il tasso

trimestrale, il tasso semestrale e quello annuale equivalenti al tasso dato.

Numero di quadrimestri in un anno: m2 = 3

Numero di trimestri in un anno: mt = 4

Numero di semestri in un anno: ms = 2

Numero di anni in un anno: ma = 1

Pertanto, utilizzando la (20)

( ) ( )3

344

1 14 3

1 1 1 0,018 1 0,013469851 (1,35%)i i= + − = + − =

( ) ( )3

311

1 11 3

1 1 1 0,018 1 0,054977832 (5,50%)i i= + − = + − =

( ) ( )3

322

1 12 3

1 1 1 0,018 1 0,027121138 (2,71%)i i= + − = + − =

Tasso equivalente trimestrale

Tasso equivalente semestrale

Tasso equivalente annuale

I regimi finanziari

Capitalizzazione composta (con struttura piatta)

Riconsideriamo la relazione (15) nella forma

ovvero, ricordando la relazione tra r ed i, come

Se per ogni t e per ogni n risulta , cioè il tasso di interesse è costante o – co-

me anche si dice – la struttura dei tassi di interesse è piatta, allora (omettendo per

semplicità di notazione di indicare il pedice 1) si ha

[ ]11 ( , ) 1 ( , )

ni t t n t t nι+ + = + +

[ ]1( , ) 1 ( , )

nr t t n t t nι+ = + +

1 1( , )t t n iι + =

(21)

da cui, sfruttando le relazioni fondamentali

(22)

(23)

(24)

( , ) ( ) (1 ) n n

r t t n r n i r+ = = + =

( )

1 1 1 ( , ) ( )

( ) 1

n

nnv t t n v n v

r n r i+ = = = = =

+

( , ) ( ) ( ) 1 1 (1 ) 1 n n

i t t n i n r n r i+ = = − = − = + −

( , ) ( ) 1 ( ) 1 1 (1 ) n n

d t t n d n v n v i−

+ = = − = − = − +


Le leggi (21)−(24) non dipendono dall’epoca t ma dalla sola durata n dell’operazione. Se

anziché limitarsi alla durata si considera una durata qualsiasi le (21)−(24)

diventano

(25)

(26)

(27)

( ) (1 ) r r iτ τ

τ = = +

( )

1 ( )

1v v

i

τ

ττ = =

+

τ ττ = − = + −

n∈� τ+

∈�

(27)

(28)

Le relazioni (25)−(28) individuano il regime finanziario della capitalizzazione compostain ipotesi di struttura piatta dei tassi di interesse.

( ) 1 (1 ) 1 i r iτ τ

τ = − = + −

( ) 1 1 (1 ) d v iτ τ

τ−

= − = − +

OsservazioneSi noti la natura esponenziale della legge (25), una volta fissato il tasso di interesse. Dal

punto di vista finanziario, tale caratteristica significa assumere che gli interessi producano

a loro volta interessi (cd. anatocismo).


5

6

7

8

5

6

7

Grafico della funzione r(τ ) = (1 + i)τ Grafico della funzione i(τ ) = (1+i)τ − 1

i = 10,0% i = 10,0%

Grafici delle leggi finanziarie del regime della capitalizzazione composta

al variare del tasso di interesse (i = 2,5%; 5,0%; 7,5%; 10,0%)

0

1

2

3

4

0 5 10 15 20

0

1

2

3

4

0 5 10 15 20

τ τ

r(τ

)

i(τ

)i = 7,5%

i = 5,0%

i = 2,5%

i = 7,5%

i = 5,0%

i = 2,5%


0.6

0.7

0.8

0.9

0.8

1

1.2

Grafico della funzione v(τ ) = (1+i)−τ Grafico della funzione d(τ ) = 1−(1+i)−τ

i = 2,5%

i = 10,0%

i = 7,5%

Grafici delle leggi finanziarie del regime della capitalizzazione composta


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 5 10 15 20

0

0.2

0.4

0.6

0 5 10 15 20

τ τ

v(τ

)

d( τ

)

i = 10,0%

i = 7,5%

i = 5,0%

i = 2,5%

i = 5,0%

i = 2,5%

Capitalizzazione composta (Esempio)

EsempioIn regime di capitalizzazione composta si investe un importo di € 1.500 al tasso effettivo

annuo i = 4,7% per 3 anni e due mesi. Calcolare il montante, il fattore di attualizzazione, il

tasso di interesse ed il tasso di sconto periodali relativi alla durata dell’operazione.

212

3( ) (1 0,047) 1,15655021r t

+= + =Essendo

38212 12

31.500 (1 0,047) 1.500 (1 0,047) € 1.734,825M

+= ⋅ + = ⋅ + =

segue

212

3

1( ) 0,864640368

(1 0,047)v t

+= =

+

212

3( ) (1 0,047) 1 0,15655021 (15,66%)i t

+= + − =

( )212

3( ) 1 (1 0,047) 0,135359632 (13,54%)d t

− += − + =

Tassi periodali

Capitalizzazione semplice

Abbiamo visto che nel regime della capitalizzazione composta in ipotesi di struttura piatta

del tasso di interesse (e quindi con leggi finanziarie dipendenti dalla sola durata dell’o.f.) il

fattore di capitalizzazione di un’operazione di durata pari a t periodi unitari è

( ) (1 ) t t

r t r i= = +

Sviluppando in serie di potenze di i, con i<1, si ottiene

2 3( 1) ( 1)( 2)(1 ) 1 ...

2! 3!

t t t t t ti t i i i

− − −+ = + ⋅ + + +

2! 3!

Per t<1 (cioè per operazioni aventi durata inferiore al periodo unitario), la serie risulta a

termini di segno alterno e decrescenti

2 3( 1) ( 1)( 2)...

2! 3!

t t t t tt i i i

− − −⋅ > > >

(1 ) 1t

i i t+ ≅ + ⋅

Pertanto, arrestando lo sviluppo ai primi due addendi, si ha

e si commette un errore per eccesso inferiore a( 1) 2

2!

t ti

−


Il regime finanziario definito dalle leggi

(29)

(30)

(31)

(32)

( ) 1 r t i t= + ⋅

( ) i t i t= ⋅

1 ( )

1v t

i t=

+ ⋅

( ) i t

d t⋅

=

prende il nome di capitalizzazione (o interesse) semplice.

(32) ( ) 1

i td t

i t

⋅=

+ ⋅

OsservazioneLa relazione (29) è stata derivata dal regime della capitalizzazione composta in maniera

esclusivamente analitica, sviluppandone in serie il fattore di capitalizzazione.

E’ opportuno definire il regime della capitalizzazione semplice anche a partire da ipotesi

finanziarie.


Con riferimento allo scadenzario

il regime della capitalizzazione semplice può dedursi in via finanziaria assumendo che

l’interesse prodotto tra t + k e t + k + 1, It+k, t+k+1, sia proporzionale:

• al capitale investito all’epoca t;

• alla durata (su base unitaria) dell’operazione;

t t+k t+k+1 t+nt+1 t+2 . . . . . .

r(t, t) r(t, t+1) r(t, t+2) r(t, t+k) r(t, t+k+1) r(t, t+n)

• alla durata (su base unitaria) dell’operazione;

• al tasso di interesse del periodo (t + k, t + k + 1)

cioè

da cui

ovvero, essendo r(t, t) = 1, (qui si considera un importo iniziale unitario)

(33)

, 1: ( , 1) ( , ) ( , ) 1 ( , 1)

t k t kI r t t k r t t k r t t i t k t k

+ + += + + − + = ⋅ ⋅ + + +

( , 1) ( , ) ( , ) 1 ( , 1)r t t k r t t k r t t i t k t k+ + = + + ⋅ ⋅ + + +

( , 1) ( , ) ( , 1), 0,..., 1r t t k r t t k i t k t k k n+ + = + + + + + = −


Dalla (33), procedendo iterativamente

( , 1) ( , ) ( , 1) 1 ( , 1)r t t r t t i t t i t t+ = + + = + +

( , ) ( , 1) ( 1, ) 1 ( , 1) ( 1, 2) ... ( 1, )r t t k r t t k i t k t k i t t i t t i t k t k+ = + − + + − + = + + + + + + + + − +

( , 2) ( , 1) ( 1, 2) 1 ( , 1) ( 1, 2)r t t r t t i t t i t t i t t+ = + + + + = + + + + +

M( , ) ( , 1) ( 1, )r t t n r t t n i t n t n+ = + − + + − + =

M

OsservazioneSi noti che la (34), che esprime il fattore di capitalizzazione nel regime della

capitalizzazione semplice attraverso la successione dei tassi a pronti, è una relazionelineare. Dalla (34), assumendo una struttura piatta dei tassi, si ricavano banalmente le

(29)−(32).

1

0

( , ) ( , 1) ( 1, )

1 ( , 1) ( 1, 2) ... ( 1, )

1 ( , 1)n

k

r t t n r t t n i t n t n

i t t i t t i t n t n

i t k t k−

=

+ = + − + + − + =

= + + + + + + + + − + =

= + + + +∑ (34)


2

2.5

2.5

3

3.5

Grafico della funzione r(τ ) = 1+i⋅τ Grafico della funzione i(τ ) = i⋅τ

i = 10,0%

i = 7,5%

i = 10,0%

i = 7,5%

Grafici delle leggi finanziarie del regime della capitalizzazione semplice


0

0.5

1

1.5

0 5 10 15 20

0

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15 20

τ τ

r(τ

)

i(τ

)

i = 5,0%

i = 2,5%

i = 7,5%

i = 5,0%

i = 2,5%


0.5

0.6

0.7

0.8

0.8

1

1.2

Grafico della funzione v(τ ) = (1+i⋅τ )−1 Grafico della funzione d(τ ) = i⋅τ /(1+ i⋅τ )

i = 2,5%

i = 10,0%

i = 7,5%

Grafici delle leggi finanziarie del regime della capitalizzazione semplice


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 5 10 15 20

0

0.2

0.4

0.6

0 5 10 15 20

τ τ

v(τ

)

d(τ

)i = 10,0%

i = 7,5%

i = 5,0%

i = 2,5%

i = 5,0%

i = 2,5%


Osservazioni

1. E’ immediato verificare che per la linearità della legge del tasso di interesse (i(t)=i⋅t)del regime finanziario della capitalizzazione semplice, il tasso effettivo di interesse

riferito all’m-esima parte del periodo unitario in ipotesi di struttura piatta [v. la (18)],

diventa

Questa osservazione sarà utile in seguito, quando tratteremo il tasso convertibile.

1

1

m

ii i

m m= ⋅ =

2. Il regime finanziario della capitalizzazione semplice può applicarsi ad operazioni di

durata qualsiasi, ma viene per lo più utilizzato in operazioni finanziarie di durata non

superiore all’anno. E’ comodo esprimere il tempo in giorni, distinguendo tra anno

commerciale (360 giorni) ed anno solare (365 giorni). Così, l’ interesse prodotto dal

capitale P impiegato per g giorni al tasso i, utilizzando l’anno commerciale, è

(35)

Il rapporto è detto generalmente divisore fisso.

, 360360t t g

g P gI P i

i

+

×= × × =

360D

i=

Capitalizzazione semplice (esempi)

EsempioI Buoni Ordinari del Tesoro (BOT) costituiscono un esempio di titoli obbligazionari a

cedola nulla con rendimento calcolato secondo il regime della capitalizzazione semplice.

Più precisamente il rendimento è pari alla differenza tra il valore di rimborso ed il prezzo

di acquisto (o, nel caso il titolo sia acquistato all’emissione, il prezzo di sottoscrizione).

Il tasso di interesse netto (periodale, a partire dalla data di acquisto fino a scadenza) dei

BOT è dato dalla:

(36)( )(1 ) 360

(1 )

M p a ci

p a aM c g

− − −= ×

− + +

essendo:

i il tasso di interesse

M il valore nominale

p il prezzo di acquisto

a l’aliquota fiscale (attualmente 12,5% applicato alla sottoscrizione)

c la commissione applicata dall’intermediario finanziario

g i giorni a scadenza

Come si ricava la (36)?

Capitalizzazione semplice (esempi, segue)

In regime di capitalizzazione semplice il montante M è dato dalla

M = p(1 + i⋅t) (37)

Si denoti con a l’aliquota fiscale applicata al reddito generato dal titolo obbligazionario e

con c la commissione applicata dall’intermediario finanziario. Il prezzo di acquisto

comprensivo dell’imposta e della commissione è allora

pac = p + a(M − p) + c (38)

Combinando la (37) e la (38) si ha

M = pac(1 + i⋅t) M = pac(1 + i⋅t)

dalla quale segue

(39)

Sostituendo la (38) nella (39)

1ac ac

ac

M p M pi

t t p

− −= =

⋅

[ ( ) ]

[ ( ) ] ( )

(1 ) (1 ) ( )(1 )

[ (1 ) ] [ (1 ) ]

M p a M p c M p aM ap ci

p a M p c t p aM ap c t

M a p a c M p a c

p a aM c t p a aM c t

− + − + − − + −= = =

+ − + ⋅ + − + ⋅

− − − − − − −= =

− + + ⋅ − + + ⋅

Capitalizzazione semplice (esempi, segue)

Esprimendo il tempo in frazione d’anno, cioè come t = g/360 essendo g il numero dei

giorni, si ha infine la (36):

( )(1 ) 360

(1 )

M p a ci

p a aM c g

− − −= ×

− + +

EsempioSi acquista in asta un BOT con scadenza tra 180 giorni al prezzo di 98,20 e si paga una

commissione pari allo 0,2%. Calcolare il rendimento netto.

Calcoliamo la ritenuta fiscale: 12,5% × (100 − 98,20) = 0,225

Allo stesso risultato si perviene applicando la (36) con M=100, p=98,20, g=180,

a=0,125 e c=0,2.

Calcoliamo il prezzo netto di aggiudicazione (prezzo di

acquisto+commissioni+ritenuta fiscale):98,20 + 0,2 + 0,225 = 98,625

Calcoliamo l’interesse netto: 100 – 98,625 = 1,375

Calcoliamo il rendimento semplice: 360 1,375 3600,027883

98,625 180

Ii

p g= × = × =

Sconto commerciale

Ricordiamo che nel regime della capitalizzazione composta in ipotesi di struttura piatta del

tasso di interesse (e quindi con leggi finanziarie dipendenti dalla sola durata dell’o.f.) il

fattore di attualizzazione di un’operazione di durata pari a t periodi unitari è

( ) (1 ) (1 ) t t t

v t v i d−

= = + = −

Sviluppando in serie di potenze di d, con d<1, si ottiene

2 3( 1) ( 1)( 2)(1 ) 1 ( ) ( ) ( ) ...

2! 3!

t t t t t td t d d d

− − −− = + ⋅ − + − + − +

2! 3!

Per t<1 (cioè per operazioni aventi durata inferiore al periodo unitario), la serie risulta a

termini di segno negativo e decrescenti

2 3( 1) ( 1)( 2)0 ( ) ( ) ( ) ...

2! 3!

t t t t tt d d d

− − −> ⋅ − > − > − >

Pertanto, arrestando lo sviluppo ai primi due addendi, si ha (con un errore per eccesso)

(1 ) 1t

d d t− ≅ − ⋅

Sconto commerciale

Il regime finanziario definito dalle leggi

(40)

(41)

(42)

(43)

( ) 1 v t d t= − ⋅

( ) d t d t= ⋅

1 ( )

1r t

d t=

− ⋅

( ) d t

i t⋅

=

prende il nome di sconto (o capitalizzazione) commerciale

(43) ( ) 1

d ti t

d t

⋅=

− ⋅

OsservazioneLa relazione (40) è stata derivata dal regime della capitalizzazione composta in maniera

esclusivamente analitica, sviluppandone in serie il fattore di attualizzazione.

E’ opportuno definire il regime dello sconto commerciale anche a partire da ipotesi

finanziarie.

Sconto commerciale

Il regime dello sconto commerciale (impiegato per lo più in operazioni di anticipazione

bancaria di breve durata) è definito richiedendo che lo sconto relativo all’anticipazionedi un capitale disponibile in un’epoca futura risulti proporzionale:

• al capitale da scontare;

• al tasso di sconto;

• alla durata dell’anticipazione.

In altri termini

D = M⋅d(t) = M ⋅ d ⋅ t (41’)

essendo (con notazione solita) M il capitale da anticipare, d il tasso di sconto e t la durata

dell’operazione di anticipazione.

Il capitale scontato è quindi

P = M − D = M − M⋅d⋅t = M(1 − d⋅t) = M⋅v(t) (40’)

Dalle (40‘) e (41‘) è immediato ricavare le relazioni (40)−(43).

Sconto commerciale

Osservazioni

1. E’ immediato verificare che per la linearità della legge del tasso di sconto (d(t) = d⋅t)del regime finanziario dello sconto commerciale, il tasso effettivo di sconto riferito

all’m-esima parte del periodo unitario, in ipotesi di struttura piatta [v. la (18)], diventa

Questa osservazione sarà utile in seguito, quando tratteremo il tasso convertibile

1

1

m

dd d

m m= ⋅ =

1 11 0

id t t

d i

+− ⋅ > ⇔ < =

2. Si noti che per conservare significato finanziario, nella (40) [o (40’)] deve essere

(44)

La (44) costituisce pertanto un vincolo logico nelle relazioni che definiscono il regime

dello sconto commerciale.

Sconto commerciale

Grafici delle leggi finanziarie del regime dello sconto commerciale


120

140

160

180

200Grafico della funzione r(τ ) = (1−d⋅τ )−1

i = 10,0%

d = 0,0909

i = 7,5%

d = 0,0697

60

70

80

90

100Grafico della funzione i(τ ) = d⋅τ /(1− d⋅τ )

i = 10,0%

d = 0,0909

i = 7,5%

d = 0,0697

i = 5,0%

d = 0.0476

τ

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

τ

r(τ

)

i = 5,0%

d = 0.0476

i = 2,5%

d = 0,0244

τ < 1/ 0,0909=11

τ <1/ 0,0697≅14,3 τ < 1/ 0,0244=41

τ < 1/ 0,0476=21

i(τ

)

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

i = 2,5%

d = 0,0244

0.8

1

1.2Grafico della funzione d(τ ) = d⋅τ

i = 10,0%

d = 0,0909

i = 7,5%

d = 0,0697

i = 5,0%

d = 0.0476 i = 2,5%

Sconto commerciale

Grafici delle leggi finanziarie del regime dello sconto commerciale


0.8

1

1.2Grafico della funzione v(τ ) = 1−d⋅τ

i = 7,5%

d = 0,0697

0

0.2

0.4

0.6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

τ

d(τ

)

d = 0.0476 i = 2,5%

d = 0,0244

0

0.2

0.4

0.6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

τ

v(τ

)

i = 10,0%

d = 0,0909

i = 5,0%

d = 0.0476

i = 2,5%

d = 0,0244

τ < 1/ 0,0909=11

τ <1/ 0,0697≅14,3 τ <1/ 0,0244=41

τ <1/ 0,0476=21

Confronto tra regimi finanziari

Grafico del fattore di capitalizzazione dei tre regimi finanziari analizzati

Capitalizzazione

composta

Sconto

commerciale

( t)

t < 1

A chi investe conviene il regime

della capitalizzazione semplice

A chi si finanzia conviene il regime

dello sconto commerciale

1 + i

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Capitalizzazione

semplice

t

r(

t > 1

A chi investe conviene il regime

dello sconto commerciale

A chi si finanzia conviene il regime

della capitalizzazione semplice

Confronto tra regimi finanziari

Grafico del fattore di attualizzazione dei tre regimi finanziari analizzati

1

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Capitalizzazione

semplice

Capitalizzazione

compostaSconto

commerciale

t

v(t

)

1

1 i+

Tasso convertibile ed intensitàistantanea di interesseistantanea di interesse

Tasso convertibile

Riconsideriamo il tasso effettivo di interesse riferito all’m-esima parte del periodo unitario in

ipotesi di struttura piatta, definito dalla (18).

Ricordiamo che la relazione (18) è stata dedotta da considerazioni basate sul principio di

assenza di arbitraggio che, come si vedrà più avanti, valgono per il regime finanziario della

capitalizzazione composta.

( )1

1 1 1 1 m

m

i i= + −

Definiamo

tasso nominale (per periodo unitario) rinnovabile

(o convertibile) m volte nel periodo unitario

il prodotto

1( )

m

j m m i= ⋅

Definiamo

tasso nominale (per periodo unitario) rinnovabile

(o convertibile) m volte nel periodo unitario

il prodotto

(45)1( )

m

j m m i= ⋅

Tasso convertibile

1

1 11

(numero puro)( )

(tempo )

m

mm

ij m m i

−= ⋅ =

Osservazioni

1. Il tasso convertibile j(m) esprime un’intensità. Infatti, dimensionalmente

2. Analogamente a quanto fatto per il tasso di interesse, è possibile definire il tasso

nominale di sconto per periodo unitario rinnovabile m volte nel periodo unitario

semplicemente sostituendo nella (45) d a i , cioèsemplicemente sostituendo nella (45) d1/m a i1/m, cioè

(46)

essendo, nell’ambito del regime della capitalizzazione composta, il tasso di sconto

relativo all’m-esima parte del periodo unitario

1( )m

m m dρ = ⋅

1

1 1 (1 )m

m

d d= − −

Tasso convertibile

Il tasso nominale j(m) “converte” il tasso effettivo di interesse relativo all’m-esima parte del

periodo unitario, i1/m, riferendolo al periodo unitario stesso.

Benché il tasso convertibile sia spesso impiegato nella pratica (è il tasso tipicamente usato

per le obbligazioni), la conversione non è finanziariamente corretta perché equivale a

sommare m volte il tasso i1/m relativo a sottoperiodi diversi del periodo unitario.

Si consideri l’esempio seguente:

m volte

In regime di capitalizzazione composta su base pari ad un m-esimo di periodo unitario, la

conversione significa che ad ogni scadenza l’investitore di un capitale unitario (P=1) riscuo-

te come interesse l’ammontare i1/m, cosicché – nell’intero periodo unitario – viene riscosso

complessivamente l’interesse m⋅i1/m. La scorrettezza finanziaria nasce dal fatto che ogni

importo i1/m matura in un’epoca differente del periodo unitario e quindi non potrebbe

essere sommato ai rimanenti, se non dopo essere stato riferito ad una stessa epoca.\

P = 1

t 1

mt + 2

mt + 1m

mt −+ 1m

mt t+ = +

1m

i1m

i 1m

i 1m

i

Tasso convertibile

Il tasso convertibile è definito come .

L’espressione si particolarizza in rapporto al regime finanziario:

1( )m

j m m i= ⋅

1

1 (1 ) 1m

m

i i= + −1. Nel regime della capitalizzazione composta, ricordando che è , si ha

(47)

2. Nel regime della capitalizzazione semplice, ricordando che , si ha

(48)

1

( ) (1 ) 1mj m m i = ⋅ + −

1m

ii

m=

( )i

j m m i= ⋅ = (48)

3. Nel regime dello sconto commerciale, ricordando che , si ha

(49)

( )i

j m m im

= ⋅ =

1m

dd

m=

( )d

m m dm

ρ = ⋅ =

Per cogliere il significato finanziario del tasso convertibile analizzeremo nel dettaglio la (47).

Assumeremo cioè in primo luogo che il regime finanziario sia quello della capitalizzazione

composta. Solo successivamente generalizzeremo i risultati.

Tasso convertibile (esempio)

EsempioCon riferimento al regime finanziario della capitalizzazione composta, si calcoli il tasso

nominale annuo j(m) per un frazionamento:

• semestrale (m = 2)

• quadrimestrale (m = 3)

• trimestrale (m = 4)

• mensile (m = 12)

equivalente al tasso effettivo annuo di interesse del 5%.

12

13

14

112

(2) 2 (1 0,05) 1 0,04939015 (4,939%)

(3) 3 (1 0,05) 1 0,04918907 (4,919%)

(4) 4 (1 0,05) 1 0,04908894 (4,909%)

(12) 12 (1 0,05) 1 0,048889

j

j

j

j

= ⋅ + − =

= ⋅ + − =

= ⋅ + − =

= ⋅ + − =

49 (4,889%)

Tasso convertibile

Tassi effettivi annui → 1,0000% 2,0000% 3,0000% 4,0000% 5,0000%

m Tasso nominale annuo

Annuale 1 1,0000% 2,0000% 3,0000% 4,0000% 5,0000%

Semestrale 2 0,9975% 1,9901% 2,9778% 3,9608% 4,9390%

Quadrimestrale 3 0,9967% 1,9868% 2,9705% 3,9478% 4,9189%

Trimestrale 4 0,9963% 1,9852% 2,9668% 3,9414% 4,9089%

Mensile 12 0,9954% 1,9819% 2,9595% 3,9285% 4,8889%

Settimanale 52 0,9951% 1,9806% 2,9567% 3,9236% 4,8813%Settimanale 52 0,9951% 1,9806% 2,9567% 3,9236% 4,8813%

Giornaliero 365 0,9950% 1,9803% 2,9560% 3,9223% 4,8793%

Continuo ∞ 0,9950% 1,9803% 2,9559% 3,9221% 4,8790%

∆tra giorn. e continuo 0,0000001 0,0000005 0,0000012 0,0000021 0,0000033

Osservazione

Al crescere del frazionamento m il tasso convertibile decresce e tende ma stabilizzarsi ad

un valore che dipende dal tasso effettivo annuo. Per dedurre la relazione analitica che

esiste, nel regime della capitalizzazione composta, tra i e j(m) quando m cresce

indefinitamente è necessario studiare la funzione j(m).

Tasso convertibile ed intensità istantanea di interesse

Studio della funzione j(m)

Insieme di definizione: : 0 (finanziariamente ha senso 0)m m m∀ ∈ ≠ >�

1

1

1

1

0 0

(1 ) 1Limiti: lim ( ) lim (1 ) 1 lim log(1 ) ( . )

lim ( ) lim (1 ) 1 0 ( )

lim

m

m

m

m m mm

m m

m

ij m m i i l notevole

j m m i immediato− −

→±∞ →±∞ →±∞

→ →

+ − = ⋅ + − = = +

= ⋅ + − =

1

0 0

( ) lim (1 ) 1 ( ' )m

m

j m m i de L Hospital+ +

→ →

= ⋅ + − = +∞ m 0 0m→ →

Segno: ( ) 0 . .j m m I D> ∀ ∈

1 1d ( ) 1Derivata prima: (1 ) 1 (1 ) log(1 )

d

m mj m

i i im m

= + − − + +

0 0

d ( ) d ( ) d ( ) d ( )lim 0 , lim 0 , lim 1 , lim

d d d dm m m m

j m j m j m j m

m m m m− +→−∞ →+∞ → →

= = = − = −∞

d ( )Segno della derivata prima: 0 . . ( ( ) decrescente per . .)

d

j mm I D j m m I D

m< ∀ ∈ ∈

Tasso convertibile ed intensità istantanea di interesse

Studio della funzione j(m) (segue)

2

2

2

2

d ( )Segno della derivata seconda: 0 0 ( ( ) convessa per 0)

d

d ( ) 0 0 ( ( ) concava per 0)

d

j mper m j m m

m

j mper m j m m

m

> > >

< < <

12

2

2 3

d ( ) 1Derivata seconda: (1 ) log (1 )

d

mj m

i im m

= + +

j(m)Grafico della funzione: j(m)

m

Grafico della funzione:

log(1+i)

Intensità istantanea di interesse

Consideriamo il lim ( ) log(1 )m

j m i→±∞

= +

Per definizione poniamo δ = log(1+ i) e chiamiamo δ

Tasso nominale di interesse per periodounitario rinnovabile istante per istante

o, più sinteticamente

Intensità istantanea di interesseIntensità istantanea di interesse

L’intensità istantanea di interesse δ esprime con quale intensità la legge di

capitalizzazione accresce l’interesse, nell’ipotesi che il regime finanziario sia quello della

capitalizzazione composta (istantanea poiché m → ∞).

Tasso di sconto convertibile ed intensità istantanea

Oltre al tasso di interesse convertibile, è stato definito anche il tasso di sconto convertibile

come [cfr. (46)]

Ricordando che nel regime della capitalizzazione composta è

segue che, in tale regime,

1 1 1

1 1 1 1 (1 ) 1 (1 )m m m

m m m

v v d d d d= ⇒ − = − ⇒ = − −

1( )m

m m dρ = ⋅

1

( ) 1 (1 )mm m dρ = ⋅ − −

( ) 1 (1 )m m dρ = ⋅ − −

Per rappresentare graficamente la funzione ρ(m) è sufficiente osservare che

( )

( )

1 1

1 1

( ) 1 (1 ) 1

1 (1 ) (1 ) 1 ( )

m m

m m

m m d m v

m i m i j m

ρ

− −

= ⋅ − − = ⋅ − =

= ⋅ − + = − ⋅ + − = −

Questo è il motivo per cui si è studiata la funzione j(m) sull’intero asse reale (con m≠0)

anziché solo per valori positivi di m.

Tasso di sconto convertibile ed intensità istantanea

ρ(m)= j(−m)Pertanto, il grafico della funzione è:

−log(1−d)

m

Osserviamo in particolare che

e poniamo per definizione

ρ = −log(1 − d)

ρ è detto tasso nominale di sconto per periodo unitario rinnovabile istante peristante o, più sinteticamente, intensità istantanea di sconto.

1 1

1 01 1

1 (1 ) 1 (1 )lim ( ) lim lim log(1 ) (limite notevole)

m m

mm m

m m

d dm dρ

→±∞ →±∞ →

− − − −= = = − −

Significato finanziario

OsservazioneConfrontiamo le due espressioni

(50)

(51)

log(1 )

log(1 )

i

d

δ

ρ

= +

= − −

1

id

i=

+Ricordando che è , segue, sostituendo nella (51)

[ ]1

log(1 ) log 1 log log1 log(1 ) log(1 )1 1

id i i

i iρ δ

= − − = − − = − = − − + = + =

+ + 1 1i i+ +

cioè

δ = ρ

L’intensità istantanea di interesse è uguale all’intensità istantanea di sconto.

Infatti, dato il significato finanziario di intensità istantanea di interesse e di sconto, non ha

senso distinguere l’inizio e la fine di un intervallo di tempo di ampiezza infinitesima.

Generalizzazione

OsservazioneLo studio dei tassi di interesse e di sconto convertibili ha riguardato finora il caso

particolare del regime finanziario della capitalizzazione composta, per il quale le definizioni

di j(m) e ρ(m) si particolarizzano – come ampiamente visto – nelle:

Il comportamento al limite dei tassi di interesse e di sconto convertibili ha condotto a

definire l’intensità istantanea (di interesse e di sconto), sempre nell’ambito del regime della

1 1

( ) (1 ) 1 e ( ) 1 (1 )m mj m m i m m dρ = ⋅ + − = ⋅ − −

capitalizzazione composta.

L’obiettivo diviene quindi la generalizzazione di tale risultato, vale a dire la definizione di

un’intensità istantanea a prescindere dallo specifico regime finanziario.

L’importanza di tale estensione risiede nel fatto che – come si vedrà – l’espressione che

dedurremo in generale, scritta per ciascuno specifico regime finanziario, permetterà di

stabilire se il regime stesso consente o meno opportunità di arbitraggio.

Consideriamo il fattore di capitalizzazione come dipendente dalla sola durata dell’operazio-

ne finanziaria e valutiamo l’interesse prodotto tra le epoche t0 e t0+∆t da un importo unitario

investito all’epoca 0.

Generalizzazione (il caso di leggi dipendenti dalla sola durata)

r(t )

r(t0 + ∆t)

It0, t0 + ∆t

Moltiplicando e dividendo per r(t0), l’interesse può essere scritto

in modo equivalente come

(52)

0 t0t0 + ∆t

1

r(t0)

0 0, 0 0( ) ( )t t tI r t t r t

+∆= + ∆ −

0 0

0 0

, 0

0

( ) ( )( )

( )t t t

r t t r tI r t

r t+∆

+ ∆ −=

Generalizzazione (il caso di leggi dipendenti dalla sola durata)

Poiché per ipotesi la funzione r(t) è continua e derivabile, l’incremento r(t0+∆t) − r(t0) può

essere approssimato dal differenziale r’(t0)⋅∆t, quando ∆t→0.

r(t )

r(t0 + ∆t)

r(t0+∆t)−r(t0)

r’(t0)⋅∆t

Sostituendo nella (52) si ha

0 0

0 0 0 0

, 0 0 0

0 0 0

( ) ( ) '( ) '( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( 0)

t t t

r t t r t r t t r tI r t r t r t t

r t r t r t

t

+∆

+ ∆ − ⋅ ∆= ⋅ ≅ ⋅ = ⋅ ⋅ ∆

∆ →

0 t0t0 + ∆t

1

r(t0)

y = r(t0) + r’(t0)⋅∆t

Forza di interesse (per leggi dipendenti dalla sola durata)

Ovvero, per t qualsiasi

Concludendo, un capitale unitario investito all’epoca 0 determina tra t e t+∆t un interesse

proporzionale:

• al capitale r(t) disponibile in t ;

• all’intervallo di tempo ∆t ;

• alla funzione

,

'( )( ) ( 0)

( )t t t

r tI r t t t

r t+∆

≅ ⋅ ⋅ ∆ ∆ →

'( )r t• alla funzione

'( )

( )

r t

r t

La funzione δ(t) prende il nome di forza di interesse o Intensità istantanea di interesse.

Ricordando che , poniamo per definizione'( )

log ( )( )

r tD r t

r t=

'( )( ) log ( )

( )

r tt D r t

r tδ = = (53)


Integrando entrambi i membri della (53), si ha

[ ]0

0 0 0

0 0

( ) log ( ) ; ( ) log ( ) ;

log ( ) log (0) ( ) ; log ( ) ( )

t t tt

t t

s ds D r s ds s ds r s

r t r s ds r t s ds

δ δ

δ δ

= =

− = =

∫ ∫ ∫

∫ ∫cioè infine

( )

0( )

ts ds

r t e

δ∫

= (54)

Sfruttando le relazioni fondamentali, segue

Data la forza di interesse, la (54) consente di ricavare il fattore di capitalizzazione.

( )r t e=

0

( )

( )

01 1

( )( )

t

s ds

ts ds

v t er t

eδ

δ− ∫

= = =

∫

(55)

Data la forza di interesse, la (55) consente di ricavare il fattore di attualizzazione.


OsservazioneRiconsideriamo la relazione , dalla quale segue

Sostituendo il risultato nella (53) si ha

1( )

( )r t

v t=

Nella forma espressa dalla (56), la funzione δ(t) prende il nome di forza di sconto o

2

'( )'( )

( )

v tr t

v t= −

(56)2 2

'( ) '( ) 1 '( ) '( )( ) ( ) log ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

r t v t v t v tt v t D v t

r t v t r t v t v tδ = = − ⋅ = − ⋅ = − = −

Nella forma espressa dalla (56), la funzione δ(t) prende il nome di forza di sconto o

intensità istantanea di sconto.

Si osservi che, integrando entrambi i membri della (56), si perviene sempre alla (55).

[ ]0

0 0 0

0 0

( ) log ( ) ; ( ) log ( ) ;

log ( ) log (0) ( ) ; log ( ) ( )

t t tt

t t

s ds D v s ds s ds v s

v t v s ds v t s ds

δ δ

δ δ

= − = −

− + = = −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( )

0( )

ts ds

v t e

δ− ∫

=da cui infine , cioè la (55).


Esempio

Sia data la forza di interesse δ(t) = 1 + t2. Calcolare il fattore di capitalizzazione

corrispondente.

Osserviamo che sono verificate le condizioni perché r(t) sia un fattore di capitalizzazione:

0

32 3

0

( )

(1 )3

0 3

( )

t

t

s ds

tss ds s tt

r t e

e e e

δ

+ + +

∫= =

∫= = =

10

3

32

( ) 0 ,

(0) 1

'( ) (1 ) 0 ,

( ( ) è crescente)

tt

r t t

r

r t t e t

r t

+

> ∀ ∈

=

= + > ∀ ∈

� �

�

� �

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

1. Nel regime della capitalizzazione composta è r(t) = (1 + i)t, per cui

Si osservi che, in questo regime, la forza di interesse non dipende dal tempo. Si osservi

inoltre che la (53) generalizza la (50), nel senso che recupera il valore di δ già calcolato

come limite del tasso di interesse convertibile al tendere di m ad infinito.

Si consideri

'( ) (1 ) log(1 )( ) log(1 )

( ) (1 )

t

t

r t i it i

r t iδ δ

+ += = = + =

+


log(1 ) 1 (1 )t t

i e i e iδ δ

δ = + ⇔ = + ⇔ = +

Pertanto, nel regime della capitalizzazione composta, il fattore di capitalizzazione puòscriversi come

Dalla (57), attraverso le relazioni fondamentali, seguono le

log(1 ) 1 (1 )i e i e iδ = + ⇔ = + ⇔ = +

( )t

r t eδ

= (57)

1 1( )

( )

t

tv t e

r t e

δ

δ

−= = =

( ) ( ) 1 1t

i t r t eδ

= − = −

( ) 1 ( ) 1t

d t v t eδ−

= − = −

(58)

(59)

(60)


2. Nel regime della capitalizzazione semplice è r(t) = 1 + i⋅t, per cui

'( )( )

( ) 1

r t it

r t i tδ = =

+ ⋅

Si osservi che, in questo regime, la forza di interesse dipende dal tempo.

1

( )2

21

11

'( )( ) (1 )

( ) (1 ) 1

d

d t

d t

r t d dt d t

r t d t d tδ

− ⋅

− ⋅

= = = − ⋅ =− ⋅ − ⋅

Si noti che, in questo regime, la forza di interesse dipende dal tempo.

1( )

1r t

d t=

− ⋅3. Nel regime dello sconto commerciale è

Per definire la forza di interesse anche in relazione a leggi dipendenti dall’epoca iniziale e

finale dell’operazione finanziaria, consideriamo il fattore di capitalizzazione r(x, y). Si avrà che

l’interesse prodotto tra le epoche y ed (y + ∆y) da un importo unitario investito all’epoca x è

dato da

Tale differenza, fatte le opportune ipotesi sulla funzione r, potrà approssimarsi mediante il

differenziale, calcolato derivando parzialmente rispetto alla variabile y.

Forza di interesse (per leggi dipendenti da epoca iniziale e finale)

,( , ) ( , )

y y yI r x y y r x y

+∆= + ∆ −

( , )( , )

r x yr x y

∂∂ ⋅

,

( , )

( , )

( , )( , ) ( 0)

y y y

r x y

y

r x y

r x yI y r x y y y

y+∆

∂

∂∂ ⋅≅ ∆ = ⋅ ⋅ ∆ ∆ →

∂La funzione

definisce la forza di interesse per operazioni finanziarie dipendenti dall’epoca inizialee finale.

E’ immediato verificare che la (61) può scriversi anche in termini di fattore di attualizzazione

come

( , )

( , )( , ) log ( , )

r x yy

r x yx y r x y

yδ

∂

∂∂= =

∂(61)

( , )

( , )( , )

v x yy

v x yx yδ

∂

∂= − (62)


Analogamente a quanto fatto per la forza di interesse nel caso di leggi dipendenti dalla sola

durata, integrando ambo di membri della (61) rispetto alla variabile y e sviluppando, si ha

[ ]( , ) log ( , ) ( , ) log ( , )

( , ) log ( , ) log ( , ) ( , ) log ( , )

y y yy

x

x x x

y y

x x

x s ds r x s ds x s ds r x ss

x s ds r x y r x x x s ds r x y

δ δ

δ δ

∂= ⇒ = ⇒

∂

= − ⇒ =

∫ ∫ ∫

∫ ∫

y

∫da cui infine

Con la (63), nota la forza di interesse, ricaviamo la legge di capitalizzazione.

Al solito, ricordando la relazione si ha anche1

( , )( , )

r x yv x y

=

Con la (64), nota la forza di interesse, ricaviamo la legge di attualizzazione.

(63)

( , )

( , ) x

x s ds

r x y eδ∫

=

da cui infine

(64)

( , )

( , )

1( , )

y

x

y

x

x s ds

x s ds

v x y e

e

δ

δ

−∫= =

∫


OsservazioneLa definizione della forza di interesse anche per leggi di due variabili consente di

sottolineare come in un mercato ideale il prezzo del contratto a termine dipende dalla

forma che la forza di interesse ha all’epoca u di stipula del contratto stesso.

Infatti nel mercato ideale si ha

Sostituendo la (64) segue

y

( , )( , , )

( , )

v u yv u x y

v u x=

( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

yy yx x xu s ds

u s ds u s ds u s ds u s ds u s dsuu u u x u

xu s ds

u

ev u x y v u x y e v u x y e

e

δδ δ δ δ δ

δ

− ∫− + − − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

− ∫

= = =

( , )

( , , )

yu s ds

xv u x y e

δ− ∫

=

da cui infine

La forma della forza di interesse

viene definita all’epoca u


L’osservazione precedente può essere formulata in termini di forza di interesse.

Dalla

passando ai logaritmi, si ha

Derivando rispetto a y ambo i membri segue

log ( , ) log ( , ) log ( , , )v u y v u x v u x y= +

( , ) ( , ) ( , , )v u y v u x v u x y= ⋅

da cui

All’epoca u si fissa la forma della forza di interesse, quale che sia l’epoca x nella quale

viene regolato il prezzo.

log ( , ) log ( , ) log ( , , )v u y v u x v u x yy y y

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂

( , ) ( , , )u y u x yδ δ=

Scindibilità (per leggi di due variabili)

Ricordiamo che in un mercato ideale, per u ≤ x ≤ y, vale la (5), ovvero la

r(u, y) = r(u, x) ⋅ r(u, x, y)

[ v(u, y) = v(u, x) ⋅ v(u, x, y) ]

nella quale r(u, x,y), fattore di capitalizzazione a termine, sottolinea la natura prospettiva

della relazione (si guarda cioè ai prezzi che le condizioni di mercato all’epoca u implicano

per il futuro).

In termini retrospettivi, cioè dall’epoca x in poi – quando è noto il prezzo a pronti futuro

r(x,y) – la relazione può scriversi come:r(x,y) – la relazione può scriversi come:

r(u, y) = r(u, x) ⋅ r(x, y) (65)

[ v(u, y) = v(u, x) ⋅ v(x, y) ]

La (65) stabilisce che un capitale unitario investito all’epoca u produce all’epoca y un

montante uguale a quello che si otterrebbe investendo all’epoca u un capitale unitario,

disinvestendo lo stesso ad una qualsiasi epoca intermedia x e proseguendo l’investimento

dell’importo ottenuto fino all’epoca y.

Una legge finanziaria che verifica la (65) si dice scindibile.

In altri termini, la condizione di scindibilità implica che il montante generato da un

investimento non sia alterato da una capitalizzazione intermedia degli interessi


OsservazioneCome si è visto, in un mercato ideale in condizioni di certezza vale sia la

r(u, y) = r(u, x) ⋅ r(u, x, y)

[v(u, y) = v(u, x) ⋅ v(u, x, y)]

che la

r(u, y) = r(u, x) ⋅ r(x, y)

[v(u, y) = v(u, x) ⋅ v(x, y)]

e pertanto deve essere

r(x, y) = r(u, x, y) (66)

[v(x, y) = v(u, x, y)]

Il futuro fattore di capitalizzazione [ prezzo ] a pronti deve essere uguale al fattore di

capitalizzazione [ prezzo ] a termine.

La relazione (66), che costituisce una definizione alternativa di scindibilità, è una

condizione molto più forte dell’assenza di arbitraggio (cioè della (5)) e raramente è

verificata nelle situazioni di mercato reali.


Due teoremi fondamentali sulla scindibilità

Scindibilità (per leggi di due variabili)Scindibilità (per leggi di due variabili)

Teorema

La legge finanziaria in due variabili r(u, y) è scindibile se e solo se esiste una legge di una

variabile f tale che

(67)

Dim.

a) La condizione è sufficiente. Infatti, posto che valga la segue

( )

( )( , )

f y

f ur u y =

( )

( )( , )

f y

f ur u y =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( , )

f x f y f y

f u f x f ur u x r x y r u y⋅ =⋅ = =

( , ) ( , ) ( , )r u y r u x r x y= ⋅

non dipendendo il primo membro da x, poniamo x = x0 e scriviamo i fattori al secondo

membro come funzioni di una variabile, cioè r(u, x0) = g(u) e r(x0, y) = f(y). Segue

(68)( , ) ( ) ( )r u y g u f y= ⋅

Se y = u, r(u, u) = 1 e la (68) diviene

1( ) ( ) 1 da cui ( )

( )g u f u g u

f u⋅ = =

Sostituendo nella (68) segue , cioè la (67). (c.v.d.)( )

( )( , )

f y

f ur u y =

b) La condizione è necessaria. Dalla condizione di scindibilità


Significato finanziarioIl teorema appena dimostrato è suscettibile della seguente interpretazione finanziaria:

una legge in due variabili (dipendente dall’epoca iniziale e finale dell’operazione finanziaria)

è scindibile se e solo se, nell’arco di tempo considerato (u, y), essa può essere

rappresentata come montante di proseguimento di un importo unitario investito

all’epoca u.

Per chiarire il senso di quanto sopra si consideri lo schema

dal quale risulta evidente il significato finanziario della funzione f, fattore di capitalizzazione

dipendente dalla sola durata dell’operazione finanziaria.

0 u y

11( )f u

1 ( )( )

f yf u

r(u,y)


Teorema (di Cantelli)

La legge finanziaria in due variabili r(u, y) è scindibile se e solo se la corrispondente forza di

interesse dipende al più dall’epoca di disinvestimento.

Dim.

a) La condizione è necessaria [ r(u, y) = r(u, x)⋅r(x, y) ⇒ δ(u, y) = δ(y) ]

Dalla scindibilità

passando ai logaritmi, si ha

( , ) ( , ) ( , )r u y r u x r x y= ⋅

Derivando rispetto a y

da cui

ovvero

log ( , ) log ( , ) log ( , )r u y r u x r x y= +

log ( , ) log ( , ) log ( , )r u y r u x r x yy y y

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂

( , ) ( , ) ( ( ) )u y x y yδ δ δ= =

log ( , ) log ( , )r u y r x yy y

∂ ∂=

∂ ∂


b) La condizione è sufficiente [ δ(u, y) = δ(y) ⇒ r(u, y) = r(u, x)⋅r(x, y) ]

Dalla

integrando la forza di interesse, per l’additività dell’operatore integrale si ha

Per definizione, una primitiva della funzione δ è log r(u, s), per cui segue

( , ) ( )u y yδ δ=

( ) ( ) ( )

y yx

u u x

s ds s ds s dsδ δ δ= +∫ ∫ ∫

da cui

ovvero

ed infine

(c.v.d.)

[ ] [ ] [ ]log ( , ) log ( , ) log ( , )y x y

u u xr u s r u s r x s= +

( , ) ( , ) ( , )log log log

( , ) ( , ) ( , )

r u y r u x r x y

r u u r u u r x x= +

( )log ( , ) log ( , ) ( , )r u y r u x r x y= ⋅

( , ) ( , ) ( , )r u y r u x r x y= ⋅


Significato finanziario

Il teorema di Cantelli appena dimostrato è interpretabile finanziariamente nel senso che

segue:

una legge in due variabili (dipendente dall’epoca iniziale e finale dell’operazione finanziaria)

è scindibile nell’intervallo (u, y) se e solo se la redditività dell’operazione all’epoca y non

dipende dall’epoca nella quale l’operazione stessa ha avuto inizio. La redditività dell’o.f.

dipende al più dall’epoca nella quale viene calcolata.

È come se il mercato stesso fosse regolato da un unico contratto, descritto, in ogni istanteÈ come se il mercato stesso fosse regolato da un unico contratto, descritto, in ogni istante

u, dalla forza d’interesse δ(y)


Esempi

1) Le leggi finanziarie del regime della capitalizzazione composta sono scindibili. Per

verificarlo si può procedere direttamente dalla condizione (65)

In alternativa si può verificare la condizione di Cantelli, calcolando la forza di interesse

δ(u, y)

( , ) ( , )=(1 ) (1 ) =(1 ) =(1 ) ( , ) y x x u y x y ux u

r u x r x y i i i i r u y− − + − −−

⋅ + ⋅ + + + =

(1 ) log(1 )( , ) log ( , ) log(1 ) = log(1 )

(1 )

y uy u

y u

i iu y r u y i i

y y iδ

−−

−

∂ ∂ + += = + = +

∂ ∂ +(1 )y uy y i

−∂ ∂ +

Essendo la forza di interesse costante, la condizione è verificata.

2) Le leggi finanziarie del regime della capitalizzazione semplice non sono scindibili.Infatti, dalla condizione (65)

[ ] [ ] [ ]( , ) ( , )= 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( , ) r u x r x y i x u i y x i y u r u y⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ≠ + ⋅ − =

In alternativa si può verificare la condizione di Cantelli

[ ]( , ) log ( , ) log 1 ( )1 ( )

iu y r u y i y u

y y i y uδ

∂ ∂= = + ⋅ − =

∂ ∂ + ⋅ −

La forza di interesse dipende da y e da u, pertanto la condizione non è verificata.


3) Le leggi finanziarie del regime dello sconto commerciale non sono scindibili. Per

verificarlo si può procedere direttamente dalla condizione (65)

Come in precedenza, si può in alternativa verificare la condizione di Cantelli,calcolando la forza di interesse

1 1 1( , ) ( , )= ( , )

1 ( ) 1 ( ) 1 ( )r u x r x y r u y

d x u d y x d y u⋅ ⋅ ≠ =

− ⋅ − − ⋅ − − ⋅ −

[ ]

1( , ) log ( , ) log

du y r u yδ

∂ ∂= = =

∂ ∂ − ⋅ − − −[ ]( , ) log ( , ) log

1 ( ) 1 ( )

u y r u yy y d y u d y u

δ = = =∂ ∂ − ⋅ − − −

La forza di interesse dipende da y e da u, pertanto la condizione non è verificata.

Scindibilità (per leggi di una variabile)

Definizione di uniformità (o traslabilità)

La legge finanziaria r(x, y) [ v(x,y) ] è detta uniforme se

( , ) ( )r x y r y x= −

E’ stata analizzata la forza di interesse nel caso di leggi finanziarie di due variabili. Interessa

ora stabilire come è possibile riformulare il teorema di Cantelli nel caso di leggi dipendenti

dalla sola durata. Per far ciò premettiamo la seguente

[ ( , ) ( ) ]v x y v y x= −

(una legge è dunque uniforme se dipende dalla sola durata dell’operazione finanziaria).

EsempioLe leggi finanziarie del regime della capitalizzazione composta in ipotesi di struttura piatta

dei tassi di interesse sono uniformi. Infatti:

Allo stesso modo si può verificare che tali sono anche le leggi del regime della

capitalizzazione semplice e dello sconto commerciale (sempre in ipotesi di struttura piatta).

( , ) ( ) (1 )y x

r x y r y x i−

= − = +


La condizione scindibilità per leggi di due variabili è espressa dalla (66)

r(u, y) = r(u, x) ⋅ r(x, y)

Se la legge r è uniforme, ponendo

t = x − u

s = y − x

u yx

st

segue

r(u, x) = r(x−u) = r(t)

r(x, y) = r(y−x) = r(s)

r(u, y) = r(y−u) = r(y−x+x−u) = r(s+t) = r(t+s)

Con le posizioni fatte, la condizione di scindibilità (66) diviene

r(t + s) = r(t) ⋅ r(s) (69)

u yx


Con riferimento alla (69), il teorema di Cantelli può essere riformulato come segue

Teorema di Cantelli (per leggi di una sola variabile)

La legge r(t) è scindibile se e solo se la corrispondente forza di interesse è costante.

Dim.

a) La condizione è necessaria ( r(t + s) = r(t) ⋅ r(s) ⇒ δ(t + s) = δ(s) = δ )

Infatti, dalla

( ) ( ) ( )r t s r t r s+ = ⋅

passando ai logaritmi

e derivando

da cui

( ) ( ) ( )r t s r t r s+ = ⋅

log ( ) log ( ) log ( )r t s r t r s+ = +

log ( ) log ( ) log ( )d d d

r t s r t r sds ds ds

+ = +

( ) ( ) ( )t s sδ δ δ+ = =


b) La condizione è sufficiente (δ(s) = δ ⇒ r(t + s) = r(t) ⋅ r(s) )

Infatti, integrando ambo i membri della δ(s) = δ , si ha

(70)

[ ]

0 0 0

0

( ) log ( )

log ( ) log ( )

( )

t t t

t

t

ds ds ds r s ds t

ds

r s t r t t

r t e conδ

δ δ δ

δ δ

δ

= =

= =

= ∈

∫ ∫ ∫

� (70)( ) t

r t e conδ

δ= ∈�

Pertanto, la costanza della forza di interesse implica il fattore di capitalizzazione (70).

E’ immediato osservare che la funzione (70) verifica le seguenti condizioni:

i. é continua e derivabile

ii.

iii.

Si noti che la (iii) altro non è che la forza di interesse δ.

L’analisi funzionale elementare dimostra che se esiste una funzione che gode delle (i)-

(iii), essa è unica ed è tale da verificare la (69).

Infatti:

(0) 1r =

'( ) ( )r t r tδ=

'( )( ) log ( )

( )

r tt D r t

r tδ = =


Unicità

Supponiamo esista una funzione g(t) che soddisfa le (i)-(iii). Allora

cioè, la derivata prima della funzione rapporto g(t)/r(t) è nulla e pertanto la funzione

g(t)/r(t) è costante. Poiché g(0)/r(0) = 1, segue che g(t)/r(t) = 1, cioè che g(t) = r(t).

r(t + s) = r(t)⋅⋅⋅⋅r(s) ∀∀∀∀ t, s ∈∈∈∈

Sia s un arbitrario numero reale. Consideriamo la funzione

2 2

' '0

d g g r gr gr g r

dt r r r

δ δ− − = = =

�

Sia s un arbitrario numero reale. Consideriamo la funzione

e osserviamo che h(0) = r(s). Calcoliamo la derivata di h:

La derivata prima è nulla, pertanto la funzione h(t) è costante. Ma h(0) = r(s), per cui

h(t) = r(s). Segue quindi che

( )( )

( )

r t sh t

r t

+=

2 2

'( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( )'( ) 0

( ) ( )

r t s r t r t s r t r t s r t r t s r th t

r t r t

δ δ+ − + + − += = =

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

r t sr s r t s r t r s

r t

+= ⇔ + = ⋅

c.v.d.


Osservazioni

1. La (70) è finanziariamente consistente se δ > 0. In questo caso infatti r(t) > 1 per t > 0

(si ricordi che δ indica qui la forza d’interesse).

Si osservi anche che la (70) è già stata dedotta dalla relazione che lega il fattore di

capitalizzazione all’intensità istantanea di interesse nel regime della capitalizzazione

composta [cfr. la (57)].

2. (Equità finanziaria) Consideriamo l’operazione finanziaria elementare consistente nella

consegna da parte di un contraente di un capitale P all’epoca x, in cambio della

consegna – dalla controparte – di un capitale M all’epoca successiva y.consegna – dalla controparte – di un capitale M all’epoca successiva y.

L’operazione si dice equa rispetto ad un’assegnata legge finanziaria (valida in un

periodo di tempo contenente le due epoche x ed y) se M risulta uguale al montante di P

(o, equivalentemente, se P risulta uguale al valore attuale di M).

Se la legge finanziaria è scindibile, allora la condizione di equità può essere anche

enunciata nel seguente modo: un’operazione è equa se riportando finanziariamente

ad una qualsiasi epoca u gli importi dovuti dai contraenti si ottengono valori

uguali. Ne consegue che un’operazione finanziaria costituita da un numero finitodi operazioni finanziarie elementari eque è equa.

Tale proprietà non vale per una legge non scindibile.

Operazione finanziaria composta

Finora abbiamo analizzato il caso di operazioni finanziarie elementari.

Se la prestazione ha ad oggetto l’importo P all’epoca x e la controprestazione l’importo M

all’epoca y, l’operazione è definita dal confronto di due coppie del tipo

F = { (P, x), (M, y) }

Se invece,

a fronte di una prestazione, hanno luogo più controprestazioni

F = { (P, x), (M1, y1) , (M2, y2),…, (Mn, yn) }

oppure, più prestazioni danno luogo ad una controprestazioneoppure, più prestazioni danno luogo ad una controprestazione

F = { (P1, x1) , (P2, x2),…, (Pn, xn), (M, y) }

oppure, più prestazioni danno luogo a più controprestazioni

F = { (P1, x1) , (P2, x2),…, (Pn, xn), (M1, y1) , (M2, y2),…, (Mr, yr) }

allora si hanno operazioni finanziarie composte, per analizzare le quali occorre costruire

adeguati schemi di valutazione che consentano di riferire ad una stessa epoca (epoca divalutazione) gli importi distribuiti sullo scadenzario. Concettualmente la valutazione non èdissimile da quella delle operazioni elementari; la difficoltà risiede nel fatto che occorre

valutare più importi.

Rendita finanziaria

Consideriamo l’operazione finanziaria composta che si sviluppa come segue

In corrispondenza di ciascuna delle n + 1 epoche (scadenze) t0,t1,...,tn maturano gli n + 1

importi R0, R1,..., Rn.

t0 t1 t2 tk−1 tk tk+1 tn

R0 R1 R2 Rk−1 Rk Rk+1 Rn

Definiamo:

{ }• rendita la successione di importi {Rk}k = 0,...,n

• rata (della rendita) il singolo importo Rk (k = 0,…, n)

• cash flow (dell’operazione) la successione (R0, t0), (R1, t1),…, (Rn, tn)

• valore capitale (della rendita) all’epoca T la somma delle rate finanziariamente riferite

all’epoca di valutazione T

Assumiamo che sia:

• Rk > 0 se la rata è dovuta al soggetto che valuta l’operazione finanziaria

• Rk < 0 se la rata è dovuta dal soggetto che valuta l’operazione finanziaria

• Rk = 0 altrimenti (il senso di questa assunzione sarà chiaro tra breve)

Classificazione delle rendite

In rapporto all’intervallo di tempo tra le rate

Rendita periodica

se tk − tk−1 = u (k = 1,…, n)

u è il periodo

Rendita non periodica

In rapporto al periodo unitario

Rendita frazionataSe la rata è riferita a frazioni (1/m) del

periodo unitario

Es.

u = 1 anno, rata riferita a ½⋅u

(m = 2) → Rendita frazionata

semestrale

Se m → ∞ la rendita è detta continua

Rendita interaSe la rata è riferita al

periodo unitario

Es.

u = 1 anno → Rendita annuale

u = 1 semestre → Rendita semestrale

u = 1 mese → Rendita mensile

Classificazione delle rendite (segue)

In rapporto alle rate

Rendita costanteSe tale è la rata

Rendita variabileSe la rata non è costante

In rapporto al numero delle rate

Rendita temporaneaSe il numero delle rate

è finito

Rendita perpetuaSe il numero delle rate è una

infinità numerabileè finito infinità numerabile

In rapporto all’istante di pagamento della rata(fissato il periodo unitario)

Rendita anticipataSe la rata viene corrisposta

all’inizio del periodo cui è relativa

Rendita posticipataSe la rata viene corrisposta alla

fine del periodo cui è relativa

t0 t1 t2 tntn−1

R1 R2 R3 Rn

t0 t1 t2 tntn−1

R1 R2 Rn−1 Rn

Classificazione delle rendite (segue)

In rapporto all’orizzonte temporale

Rendita immediataSe la prima rata è riferita al

primo periodo dell’orizzonte

temporale

Esempio di rendita immediata (posticipata)

Rendita differitaSe la prima rata è differita rispetto

al primo periodo dell’orizzonte

temporale

Esempio di rendita differita di tperiodi unitari (anticipata)

t0 t1 t2 tntn−1

R1 R2 Rn−1Rn

0 t tnt1

R1 R2Rn

tn−1

Valore capitale della rendita finanziaria

Data la rendita

l’obiettivo primario è valutarne il valore capitale alla generica epoca T.

t0 t1 t2 tk−1 tk tk+1 tn

R0 R1 R2 Rk−1 Rk Rk+1 Rn

Evidentemente

• se T ≤ t0, si dovranno attualizzare tutti gli importi ed il valore capitale AT sarà

0 0 1 1

0

( , ) ( , ) ... ( , ) ... ( , ) ( , )=

= + + + + + =∑n

T k k n n k k

k

A R v T t R v T t R v T t R v T t R v T t (71)

• se T ≥ tn, si dovranno capitalizzare tutti gli importi ed il valore capitale ST sarà

• se è un’epoca intermedia, p.es. tk−1 ≤ T ≤ tk, si dovranno capitalizzare tutti gli importi

che precedono T ed attualizzare tutti gli importi che seguono T. In questo caso, il

valore capitale VT sarà

0=k

0 0 1 1

0

( , ) ( , ) ... ( , ) ... ( , ) ( , )=

= + + + + + =∑n

T k k n n k k

k

S R r t T R r t T R r t T R r t T R r t T

0 0 1 1 1 1

1

0

( , ) ( , ) ... ( , ) ( , ) ... ( , )

( , ) ( , )

T k k k k n n

k n

j j j j

j j k

V R r t T R r t T R r t T R v T t R v T t

R r t T R v T t

− −

−

= =

= + + + + + + =

= +∑ ∑

(72)

(73)

Valore capitale della rendita finanziaria. Rendite periodiche

Osservazioni1. E’ evidente che concretamente il calcolo del valore capitale di una rendita dipende dal

regime finanziario attraverso il quale si esplicitano i fattori di attualizzazione e

capitalizzazione delle (71)-(73).

Così, per esempio, ipotizzando una struttura piatta dei tassi di interesse, la (71) si

particolarizza come segue (si ricordi che T ≤ t0)

[ ]

0

1

(1 ) (nel regime della capitalizzazione composta)

( , ) 1 ( ) (nel regime della capitalizzazione semplice)

=

−

−

+

= + ⋅ −

∑

∑ ∑

n

k

k

n n

T tkR i

R v T t R i t T

[ ]

[ ]

0 0

0

1( , ) 1 ( ) (nel regime della capitalizzazione semplice)

1 ( ) (nel regime dello sconto commerci

= =

=

−= + ⋅ −

− ⋅ −

∑ ∑

∑

k k k k

k k

n

k k

k

R v T t R i t T

R d t T ale)

Analoghe considerazioni valgono per la (72) e la (73).

2. Dato lo scadenzario t0< t1 < ... < tk < ... < tn (tk∈ ) è sempre possibile determinare

un’unità di misura tale che risulti

cioè è sempre possibile equintervallare le scadenze, eventualmente inserendo rate

nulle.

�

11 ( 1,..., )k kt t k n

−− = =

Rendite periodiche

Esempio

Denominiamo R1 ← R3 ; R2 ← R5; R3 ← R7 t1 ← t3 ; t2 ← t5; t3 ← t7

Introduciamo R1 = 0 ; R2 = 0 ; R4 = 0 ; R6 = 0 t1 ; t2 ; t4; t6

R3

t0 t1 t2

R0 R1 R2

t3

t0 t1 t2

R0 R1 R2

t3

R3

t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6

R0 R1 R2 R3 R4 R5 R6

t7

R7

Poiché ogni rendita può essere resa periodica, le relazioni che svilupperemoriguarderanno solo il caso di rendite periodiche di periodo unitario.

Ci riferiremo quindi in generale a scadenzari del tipo

t t+1 t+2 t+k

R0 R1 R2 Rk

t+n

Rn

il che consentirà di semplificare le formule per la valutazione delle rendite.

Valori attualie

MontantiMontanti

Valore attuale di una rendita

Esplicitiamo AT (cioè la (71)) ed ST (cioè la (73)) – quando necessario e/o possibile –

specificando le assunzioni circa:

a) Il regime finanziario,

che assumeremo essere quello della capitalizzazione composta;

b) Il tipo di fattore di attualizzazione:

PeriodaleA pronti per periodo unitarioA termineMedioCon struttura piatta del tasso.Con struttura piatta del tasso.

c) L’epoca cui è riferita la valutazione, che sarà T = t per il valore attuale e T = t + n per

il montante

a) Il tipo di rata (variabile o costante)

Si osservi che la c) consente di separare, nel calcolo del valore attuale, la rata R0 che,

maturando all’epoca T, non necessita di essere attualizzata. Nel caso in cui sia R0 ≠ 0

sarà sufficiente sommare R0 al valore capitale della rendita definita a partire dalla rata R1.

Ove opportuno, nelle formule che seguono si utilizzerà questa possibilità.

Valore attuale di una rendita (tasso periodale)

Prezzo (tasso) a pronti periodale

[ ]1

0 0

( , ) 1 ( , )−

= =

= + = + +∑ ∑n n

T k k

k k

A R v T t k R i T t k

[ ]1

0 0

( , ) 1 ( , )−

= =

= + = + +∑ ∑n n

T

k k

A R v T t k R i T t k

A rata variabile

A rata costante

(74)

(75)

T=t t+1 t+2 t+k

R0 R1 R2 Rk

t+n

Rn

R1v(T, t+1)

R2v(T, t+2)

Rkv(T, t+k)

Rnv(T, t+n)

Schema

Montante di una rendita (tasso periodale)

Fattore di capitalizzazione (tasso) a pronti periodale

[ ]0 0

( , ) 1 ( , )= =

= + = + +∑ ∑n n

T k k

k k

W R r t k T R i t k T

[ ]0 0

( , ) 1 ( , )= =

= + = + +∑ ∑n n

T

k k

W R r t k T R i t k T

A rata variabile

A rata costante

(74.1)

(75.1)

t t+1 t+n−2 t+n−1

R0 R1 Rn−2 Rn−1

t+n=T

Rn

Rn−1t(t+n−1, T)

Rn−2r(t+n−2, T)

Rkr(t+1, T)

R0r(t, T)

Schema

Valore attuale di una rendita (tasso a pronti)

[ ]1

0 0

1 11 1

( 1, ) 1 ( 1, )−

= == =

= + + − + = + + + − +∑ ∑∏ ∏k kn n

T k k

k ks s

A R R v t s t s R R i t s t s

Prezzo (tasso) a pronti per periodo unitario

A rata variabile

A rata costante

(76)

(77)[ ]1

1 11 1

( 1, ) 1 1 ( 1, )−

= == =

= + + − + = + + + − +

∑ ∑∏ ∏

k kn n

T

k ks s

A R R v t s t s R i t s t s

Schema

T=t t+1 t+2 t+k

R0 R1 R2 Rk

t+n

Rn

R1v(t, t+1)

R2v(t, t+1)v(t+1, t+2)

Rkv(t, t+1)v(t+1, t+2)…v(t+k−1, t+k)

Rnv(t, t+1)v(t+1, t+2)…v(t+n−1, t+n)

Montante di una rendita (tasso a pronti)

[ ]1 11 1

0 0

( , 1) 1 ( 1, )n nn n

T k n k n

k ks k s k

S R r t s t s R R i t s t s R− −− −

= == =

= + + + + = + + − + +∑ ∑∏ ∏

Fattore di capitalizzazione (tasso) a pronti per periodo unitario

A rata variabile

A rata costante

(76.1)

(77.1)[ ]1 11 1

0 0

1 ( , 1) 1 1 ( 1, )n nn n

T k

k ks k s k

S R r t s t s R R i t s t s− −− −

= == =

= + + + + = + + + − +

∑ ∑∏ ∏

Schema

t t+1 t+n−1t+k

R0 R1 Rn−1Rk

t+n=T

Rn

R0r(t, t+1)r(t+1, t+2)…r(t+n−1, t+n)

R1r(t+1, t+2)r(t+2, t+3)…r(t+n−1, t+n)

Rn−1r(t+n−1, t+n)

Rkr(t+k, t+k+1) …r(t+n−1, t+n)

Valore attuale di una rendita (tasso a termine)

OsservazioneIn un mercato ideale il prezzo (tasso) a termine è uguale al futuro prezzo (tasso) a pronti.

Pertanto la (76) [(77)] può essere riscritta utilizzando il prezzo (tasso) a termine.

[ ]1

0 0

1 11 1

( , 1, ) 1 ( , 1, )−

= == =

= + + − + = + + + − +∑ ∑∏ ∏k kn n

T k k

k ks s

A R R v t t s t s R R i t t s t s

A rata variabile

A rata costante

(78)

(79)[ ]1

( , 1, ) 1 1 ( , 1, )−

= + + − + = + + + − + ∑ ∑∏ ∏k kn n

TA R R v t t s t s R i t t s t s (79)

Schema

[ ]1 11 1

( , 1, ) 1 1 ( , 1, )= == =

= + + − + = + + + − +

∑ ∑∏ ∏T

k ks s

A R R v t t s t s R i t t s t s

T=t t+1 t+2 t+k

R0 R1 R2 Rk

t+n

Rn

R1v(t, t+1)

R2v(t, t+1)v(t, t+1, t+2)

Rkv(t, t+1)v(t, t+1, t+2)…v(t, t+k−1, t+k)

Rnv(t, t+1)v(t, t+1, t+2)…v(t, t+n−1, t+n)

Montante di una rendita (tasso a termine)

[ ]1 11 1

0 0

( , , 1) 1 ( , 1, )n nn n

T k n k n

k ks k s k

S R r t t s t s R R i t t s t s R− −− −

= == =

= + + + + = + + − + +∑ ∑∏ ∏

A rata variabile

A rata costante

(78.1)

(79.1)[ ]1 11 1

0 0

1 ( , , 1) 1 1 ( , 1, )n nn n

T k

k ks k s k

S R r t t s t s R R i t t s t s− −− −

= == =

= + + + + = + + + − +

∑ ∑∏ ∏

Schema

t t+1 t+n−1t+k

R0 R1 Rn−1Rk

t+n=T

Rn

R0r(t, t+1)r(t,t+1, t+2)…r(t,t+n−1, t+n)

R1r(t,t+1, t+2)r(t,t+2, t+3)…r(t,t+n−1, t+n)

Rn−1r(t,t+n−1, t+n)

Rkr(t,t+k, t+k+1) …r(t,t+n−1, t+n)

Valore attuale di una rendita (tasso medio)

Trattando il regime della capitalizzazione composta, abbiamo denotato (cfr. la (15)) con

ī1(t, t+k) quel tasso di interesse medio riferito al periodo unitario che − applicato alle

operazioni che iniziano in t e terminano in t+k − produce lo stesso risultato finanziario

che si consegue attraverso la successione dei tassi a pronti operanti tra le epoche t e

t+k. Si è visto che

cioè, equivalentemente

[ ]1

1

( , ) 1 ( , ) 1 kt t k i t t kι + = + + −

[ ]1 1

1

( , ) 1 ( , ) kv t t k t t kι−

+ = + +

[ ]1 1

0 0

( , ) 1 ( , )ι−

= =

= + = + +∑ ∑n n

kk

T k k

k k

A R v t t k R t t k

Prezzo (tasso) medio per periodo unitario

A rata variabile

A rata costante

(80)

(81)[ ]1 1

0 0

( , ) 1 ( , )ι−

= =

= + = + +∑ ∑n n

kk

T

k k

A R v t t k R t t k

Ne consegue che in questo caso il valore attuale della rendita è

[ ]1 1

0 0

( , ) 1 ( , )n n

n kn k

T k k

k k

S R r t k t n R t k t nι−−

= =

= + + = + + +∑ ∑

Fattore di capitalizzazione (tasso) medio per periodo unitario

A rata variabile

(80.1)

mentre il montante della rendita è

Montante di una rendita (tasso medio)

A rata costante

(81.1)[ ]1 1

0 0

( , ) 1 ( , )n n

n kn k

T

k k

S R r t k t n R t k t nι−−

= =

= + + = + + +∑ ∑

Valore attuale di una rendita a tasso e rata costanti

Le (74)-(81) consentono di calcolare il valore capitale (attuale) all’epoca T = t di una

rendita periodica temporanea.

I montanti possono ottenersi capitalizzando per n periodi i valori attuali determinati.

Ciò sarà fatto ove possibile nei casi che saranno esaminati di seguito.

Interessa ora stabilire come si semplificano le relazioni appena dedotte se:

a) Il tasso di interesse per periodo unitario è costante (struttura piatta);

b) la rata è costante.b) la rata è costante.

E’ evidente che il caso a) può formalmente scriversi come la (80), sostituendo al tasso

medio ī1(t, t+k) il tasso costante i ed ottenendo semplicemente

( )0 0

1−

= =

= = +∑ ∑n n

kk

T k k

k k

A R v R i (82)

( )0 0

1−

= =

= = +∑ ∑n n

kk

T

k k

A R v R i (83)

Altrettanto immediato è scrivere il valore attuale della rendita se anche la rata è

costante. Sostituendo R in luogo delle Rk nella (82) segue semplicemente

Valore attuale di una rendita a tasso e rata costanti (segue)

La (83) può scriversi in forma compatta osservando che gli addendi della sommatoria

sono in progressione geometrica di ragione v. Pertanto

0

21 ...

nk

k

nv v v v

=

= + + + +∑

0

2 3 1...

=

+= + + + +∑

nk

k

nv v v v v v

Moltiplicando per v

(84)

(85)

e sottraendo membro a membro la (85) dalla (84)

0

11

1

nk

k

nv

vv=

+−

=−

∑

da cui infine

e sottraendo membro a membro la (85) dalla (84)

0 0

0

2 2 3 1

1

1 ... ...

(1 ) 1

= =

=

+

+

− = + + + + − − − − −

− = −

∑ ∑

∑

n nk k

k k

nk

k

n n

n

v v v v v v v v v v

v v v

(86)

Osservazione

La (86) è stata ottenuta attualizzando le n+1 rate della rendita (R0 , R1 , …, Rn), la prima

delle quali – maturando all’epoca T = t cui è riferita la valutazione – è stata moltiplicata

per v0 = 1. Pertanto, per valutare il valore attuale della rendita nel caso in cui, anziché

dall’epoca t, n rate decorrano dall’epoca t+1 (R1 , R2 , …, Rn), nella (86) occorrerà

sottrarre 1.

0 1

1 11 1 1 1

1 11 1 1= =

+ +− − − + −

− = = − = =− − −

∑ ∑n n

k k

k k

n n nv v v v

v v vv v v

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

ovvero

11

1 1 1

11=

− − −= = =

−−∑

nk

k

n n n

v

v v vv

r i(87)

1−=

n

n i

va

i

La (87) rappresenta il valore attuale di una rendita intera, temporanea n,

posticipata, immediata, di rata unitaria, valutata al tasso di interesse costante i.

L’importanza della (87) è tale che ad essa viene riservata la notazione , che si legge

“ a figurato n al tasso i ”, cioè per definizione è n i

a

(88)

Avendo dedotto la (88), possiamo scrivere il valore attuale di una rendita intera,

temporanea n, posticipata, immediata, di rata pari a R, valutata al tasso di interesse

i:

(89)

= ⋅T n iA R a

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

1 (1 ) 1− + −n n

v i

Il montante della rendita può essere calcolato semplicemente capitalizzando la (88)

(90)

1 (1 ) 1(1 ) (1 )

− + −+ = + =

n nn n

n i

v ia i i

i i

La (90) rappresenta il montante di una rendita posticipata unitaria di durata pari a n

periodi unitari valutata al tasso di interesse costante i.

Alla (90) è riservata la notazione , che si legge “ s figurato n al tasso i ”. E’ per

definizione n i

s

(91)

1 (1 ) 1− + −= =

n n

n i

r is

i i

La (88) [(89)] può essere rappresentata sullo scadenzario come(*)

t t+1 t+2 t+k

R1 R2 Rk

t+n

Rn

Se, anziché posticipata, la rendita fosse anticipata, lo scadenzario sarebbe

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

t t+1 t+2 t+k

R1 R2 Rk+1

t+n

Rn

t+n−1

R3

cioè tutte le rate risultrebbero traslate indietro di un periodo.

Come si traduce analiticamente la traslazione nella (89) (ovvero nella (84)) ?

(*) Benché le rate siano assunte come costanti, nello scadenzario le distinguiamo con il pedice perrendere più esplicita la “traslazione” delle stesse tra posticipata ed anticipata.

Analiticamente, la traslazione equivale a scrivere la (84) fino al penultimo addendo, cioè1

0

2 11 ...

−

=

−= + + + +∑

nk

k

nv v v v

1

0

2 3...

−

=

= + + + +∑n

k

k

nv v v v v v

Come prima, moltiplicando per v e sottraendo membro a membro

1 1 1

0 0 0

2 1 2 31 ... ... ; (1 ) 1

− − −

= = =

−− = + + + + − − − − − − = −∑ ∑ ∑

n n nk k k

k k k

n n nv v v v v v v v v v v v v

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

1

0

1 1

1

−

=

− −= =

−∑n

k

k

n nv v

vv d

cioè

(92)

1−=&&

n

n i

va

d

La (92) rappresenta il valore attuale di una rendita intera, temporanea n, anticipata,

immediata, di rata unitaria, valutata al tasso di interesse i.

L’importanza della (92) è tale che ad essa viene riservata la notazione , che si legge

“ a anticipato figurato n al tasso i ”, cioè per definizione è

&&n i

a

(93)

Si osservi che la (93), dedotta analiticamente dalla (84), può anche scriversi come

1

1 1 1(1 ) (1 )

+

− − −= = = + ⋅ = + ⋅&&

n n n

in i n ii

v v va i i a

d i


temporanea n, anticipata, immediata, di rata pari a R, valutata al tasso di interesse

i.

(94)

= ⋅&& &&T n i

A R a

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

cioè in funzione del valore attuale della corrispondente posticipata.

(1 )= + ⋅&&n i n i

a i a (95)

1+i

La relazione appena dedotta può interpretarsi finanziariamente, osservando che nello

schema posticipato R1 è attualizzata di un periodo, R2 di due e così via fino a Rn, che è

attualizzata di n periodi. Nello schema anticipato, R1 non è attualizzata, R2 è attualizzata

di un periodo e così via, fino ad Rn che è attualizzata di n−1 periodi unitari. Quindi

(1 ) (1 )= ⋅ + ⋅ = + ⋅&&T Tn i

A R i a i A (96)

ovvero

Osserviamo anche che

11 11 1

− −−− − −= = = = =

⋅&&

n n nv

n i

n vv v r va

d i v i i

11

−= +&&

n i n ia a (97)

Infatti

( ) 1

1 −

= ⋅ + &&

T n iA R a

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

Una rendita anticipata

immediata su n rate può

considerarsi formata da una

prima rata immediata, più una

rendita posticipata immediata su

n – 1 rate.

1 1

1

1 1 1 1

− −

−

⋅

+ − −= = + = +

n n

n i

d i v i i

i v va

i i

Il significato finanziario della (97) è evidente: con riferimento allo scadenzario, il primo

addendo rappresenta la prima rata unitaria, alla quale è sommato il valore attuale di una

rendita intera, immediata, posticipata, di rata unitaria, di durata pari a n−1 periodi unitari

al tasso i.

t t+1 t+2 t+n−1

1 1 1

t+n

1

1 1−n i

a+

(98)

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

1 (1 ) 1(1 )

n nn

n i

v is i

d d

− + −= + =&&

Capitalizzando la (93) per n periodi, otteniamo il montante di una rendita intera,

temporanea n, anticipata, immediata, di rata unitaria, valutata al tasso di interesse i.

dalla quale il montante di una rendita intera, temporanea n, anticipata, immediata, di

rata pari a R, valutata al tasso di interesse i.rata pari a R, valutata al tasso di interesse i.

(99)

T n iS R s= ⋅&& &&

OsservazioneSi sarebbe potuto derivare il montante anche a partire dai valori attuali (95) o (97)

pervenendo a relazioni equivalenti alla (98).

(1 )n i n i

s i s= +&&

11

n i n is s

+= −&&

Finora sono stati calcolati i valori attuali ed i montanti relativi a rendite periodiche intere,temporanee, immediate. E’ facile calcolare i valori attuali (ed i montanti) dellecorrispondenti rendite differite. Infatti, se la rendita è differita di t periodi unitari, unavolta calcolato il valore attuale della corrispondente rendita immediata sarà sufficienteattualizzare tale valore di t periodi.

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

t t+1 t+2 t+n−1

1 1 1

t+n

1

0

n ia

⋅t

n iv a

t n i

a

(101)

Il simbolo riservato al differimento è . Per definizione è:

t t+1 t+2 t+n−1 t+n0

=t

t n i n ia v a

= ⋅t t n iA R a


temporanea n, posticipata, differita di rata pari a R, valutata al tasso di interesse i.

(100)

Analogamente, il valore attuale di una rendita unitaria intera, temporanea n, anticipata e

differita di t periodi unitari è ottenibile dalla corrispondente rendita immediata, il cui

valore attuale va attualizzato di t periodi.

&&aIl simbolo è in questo caso . Per definizione è:

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

t t+1 t+2 t+n−1

1 1 1

t+n

1

0

&&n i

a

⋅ &&t

n iv a

&&t n ia

(103)

Il simbolo è in questo caso . Per definizione è:

=&& &&t

t n i n ia v a

= ⋅&& &&t t n iA R a


temporanea n, anticipata, differita, di rata pari a R, valutata al tasso di interesse i.

(102)

1(1 )

−= = + =&& &&

t t tt n i n i n i n i

a v a v i a v a

OsservazioneLa (102) può anche scriversi come

(104)

Il valore attuale delle rendite perpetue è ottenuto mediante il passaggio al limite, per ntendente ad infinito, del valore attuale della corrispondente rendita tempoanea. Così, ilvalore attuale di una rendita intera, perpetua, posticipata, immediata, di rataunitaria, valutata al tasso di interesse i risulta

da cui, con notazione ormai nota, il valore attuale di una rendita intera, perpetua,

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

1 1 (1 ) 1lim lim lim

−

∞ →∞ →∞ →∞

− − += = = =

n n

i n in n n

v ia a

i i i(105)

∞ ∞= ⋅ =

i

RA R a

i

posticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di interesse i risulta

(106)

Procedendo come nel caso appena analizzato, il valore attuale di una rendita intera,perpetua, anticipata, immediata, di rata unitaria, valutata al tasso di interesse irisulta


anticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di interesse i risulta

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

1 1 (1 ) 1 1 1lim lim lim (1 ) 1

−

∞ →∞ →∞ →∞

− − += = = = = + = +&& &&

n n

i n in n n

v ia a i

d d d i i(107)

11

∞ ∞

= ⋅ = +

&& &&

iA R a R

i

anticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di interesse i risulta

(108)

( ) 1 1

1lim 1 1 lim 1

∞ − −→∞ →∞= + = + = +&&

i n i n in na a a

i

OsservazioneLa (107) avrebbe potuto equivalentemente essere dedotta ricordando che

(cfr. la (97)), da cui segue: 1

1−

= +&&n i n i

a a

Procedendo in modo analogo, il valore attuale di una rendita intera, perpetua,posticipata, differita di t periodi unitari, di rata unitaria, valutata al tasso di interessei può essere calcolato come


posticipata, differita di t periodi unitari, di rata R, valutata al tasso di interesse i può

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

1lim lim lim

∞ →∞ →∞ →∞= = = =

t t t

t ti n i n i n in n na a v a v a v

i(109)

∞ ∞= ⋅ =

tt t i

RA R a v

i

posticipata, differita di t periodi unitari, di rata R, valutata al tasso di interesse i può

(110)

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

Procedendo in modo analogo, il valore attuale di una rendita intera, perpetua,anticipata, differita di t periodi unitari, di rata unitaria, valutata al tasso di interesse ipuò essere calcolato come


anticipata, differita di t periodi unitari, di rata R, valutata al tasso di interesse i

11 1lim lim lim 1

−

∞ →∞ →∞ →∞

= = = = + =

&& && && &&

t t t t

t ti n i n i n in n na a v a v a v v

i i(111)

1−

∞ ∞= ⋅ =&& &&

tt t i

RA R a v

i

anticipata, differita di t periodi unitari, di rata R, valutata al tasso di interesse irisulta

(112)

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

Per determinare il valore attuale delle rendite frazionate inquadriamo il problema sulloscadenzario.

t

R1 R2

. . .

1−+ mm

t

II 1+

+ mm

t

t

2+m

t

1+m

t

11 −+ + mm

t

2

1

+

+ + mm

t

t21+ +m

t

11+ +m

t

II

Rn−1 Rn

II 1

2

+ −

+ − + mm

t n

t n

11 −+ − + mm

t n

1

+

+ − + mm

t n

t n21+ − +m

t n

11+ − +m

t n

II

Ogni periodo unitario viene suddiviso in m parti di uguale ampiezza; ad ogni scadenza

così determinata viene associata una rata pari all’m-esima parte della rata riferita alperiodo unitario, che per semplicità supponiamo inizialmente unitaria. Ne risulta unarendita composta da n⋅m rate, ciascuna pari a 1/m.

t. . .

1−+ mm

t

II 1+

+ mm

t

t

2+m

t

1+m

t

11 −+ + mm

t

2

1

+

+ + mm

t

t21+ +m

t

11+ +m

t

II II 1

2

+ −

+ − + mm

t n

t n

11 −+ − + mm

t n

1

+

+ − + mm

t n

t n21+ − +m

t n

11+ − +m

t n

II

1 m/ 1 m/ 1 m/ 1 m/1 m/ 1 m/ 1 m/ 1 m/ 1 m/ 1 m/ 1 m/1 m/

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

Poiché ciascun periodo unitario è stato suddiviso in m parti, il tasso di interesse da

utilizzare per il calcolo del valore attuale è quello equivalente relativo all’m-esima parte diperiodo unitario, cioè

( )1

1 1 1= + −m

m

i i

Disponiamo di tutti gli elementi (numero di rate, rata, tasso) per calcolare il valore attualedi una rendita unitaria, frazionata m, temporanea n, posticipata, immediata, valutataal tasso di interesse i. Tale valore è denotato con il simbolo , che si legge “a figurato

n al tasso i frazionato m”, è dato dalla

( )

m

n ia

( ) ( ) ( )111

1

( )

1 11 11 1 11 1

( ) ( ) ( ) ( )

−− ⋅

⋅ −

− +− +− − + − = ⋅ = = = =

mmm

m

nm

n mn m n n

m

n i

iiv i va

m i j m j m j m j m

essendo j(m) il tasso nominale di interesse convertibile m volte nel periodo unitario.

(113)

Data la (113) è immediato calcolare Il valore attuale di una rendita frazionata m,temporanea n, posticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di interesse i

( ) ( )

= ⋅

m m

n iA R a (114)

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

Osservazioni

1) Si consideri la

(115)

Pertanto, la

( )

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

− − −= = ⋅ = ⋅ = ⋅

n n nm

n i n i

v i v i v ia a

j m i j m j m i j m

consente di ricavare il valore attuale della rendita frazionata a partire dal valore attualedella corrispondente rendita intera (e viceversa).

( )

( )= ⋅

m

n i n i

ia a

j m

della corrispondente rendita intera (e viceversa).

2) La (113) è il valore attuale nel caso in cui la rata corrisposta ad ogni scadenza di m-

esimo di periodo unitario sia pari all’m-esima parte della rata unitaria. Ciò significa che

se ad ogni scadenza viene corrisposto l’importo Rm, la (114) è correttamente calcolata

con R = m⋅Rm. In alternativa, se nella (114) si vuole impiegare l’importo Rm, la formulada utilizzare è

1

( ) ( )

1

m

m m

n

m mn i

vA R m a R

i

−= ⋅ ⋅ = ⋅ (116)

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

Data la (115), il montante di una rendita unitaria, frazionata m, temporanea n,posticipata, immediata, valutata al tasso di interesse i è

(117)

Dalla quale segue, come di consueto, che il montante di una rendita frazionata m,temporanea n, posticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di interesse i è

( ) ( )

1 (1 ) 1(1 ) (1 )

( ) ( ) ( )

n nm m n n

n i n i n i

v i is a i i s

j m j m j m=

− + −= ⋅ + = ⋅ + =

( ) ( )m m= ⋅

( ) ( )

m m

n iS R s= ⋅ (118)

OsservazioneSi noti che vale anche per la (118) l’osservazione 2) precedente. Se ad ogni scadenzaviene corrisposto l’importo Rm, la (118) è correttamente calcolata con R = m⋅Rm.

Diversamente, se nella (118) si vuole impiegare l’importo Rm, la formula da utilizzare è

1

( ) ( )

(1 ) 1

m

m m

n

m mn i

iS R m s R

i

+ −= ⋅ ⋅ = ⋅ (119)

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

( ) ( ) ( )111

1

( )

1 11 11 1 11 1

( ) ( ) ( ) ( )ρ ρ ρ ρ

−− ⋅

⋅ −

− +− +− − + − = ⋅ = = = =&&

mmm

m

nm

n mn m n n

m

n i

iiv i va

m d m m m m

Il valore attuale di una rendita unitaria, frazionata m, temporanea n, anticipata,immediata, valutata al tasso di interesse i è denotato con il simbolo , che si legge

“a anticipato figurato n al tasso i frazionato m”, ed è dato dalla

( )

&&

m

n ia

essendo ρ(m) il tasso nominale di sconto convertibile m volte nel periodo unitario.

(120)


Data la (120) è immediato calcolare Il valore attuale di una rendita frazionata m,temporanea n, anticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di interesse i

( ) ( )

= ⋅&& &&

m m

n iA R a (121)

nella quale R = m⋅Rm se Rm è la rata corrisposta in corrispondenza della frazione m-esimadi periodo unitario.

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

( ) ( )

(1 ) 1(1 )

( )

n

m m n

n i n i

is a i

mρ

+ −= ⋅ + =&& &&

Il montante di una rendita unitaria, frazionata m, temporanea n, anticipata,immediata, valutata al tasso di interesse i è denotato con il simbolo , che si legge

“s anticipato figurato n al tasso i frazionato m”, ed è dato dalla

( )

m

n is&&

(122)

Data la (122) è immediato calcolare Il montante di una rendita unitaria, frazionata m,Data la (122) è immediato calcolare Il montante di una rendita unitaria, frazionata m,temporanea n, anticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di interesse i

( ) ( )

m m

n iS R s= ⋅&& && (123)

nella quale, come già precisato in precedenza, R = m⋅Rm se Rm è la rata corrisposta in

corrispondenza della frazione m-esima di periodo unitario.

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

Il valore attuale di una rendita unitaria, frazionata m, temporanea n, posticipata,differita t, valutata al tasso di interesse i è dato dall’attualizzazione per t periodi delvalore attuale della corrispondente rendita immediata. E’ cioè:


(124)( ) ( )

1

( )

−= ⋅ = ⋅

n

m m

t

t t

n i n i

va v v a

j m

( ) ( )

1

( )

−= ⋅ = ⋅

n

m m

t

t t

n i n i

va v v a

j m

Data la (124) è immediato calcolare Il valore attuale di una rendita frazionata m,temporanea n, posticipata, differita t, di rata R, valutata al tasso di interesse i

( ) ( )

= ⋅

m m

t t n iA R a (125)( ) ( )

= ⋅

m m

t t n iA R a

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

Il valore attuale di una rendita unitaria, frazionata m, temporanea n, anticipata,differita t, valutata al tasso di interesse i può facilmente dedursi attualizzando per tperiodi quello della corrispondente rendita immediata. E’ cioè


(126)( ) ( )

1

( )ρ

−= ⋅ = ⋅&& &&

n

m m

t

t t

n i n i

va v v a

m

Data la (126) è immediato calcolare Il valore attuale di una rendita frazionata m,temporanea n, anticipata, differita t, di rata R, valutata al tasso di interesse i

(127)( ) ( )

= ⋅&& &&

m m

t t n iA R a

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

Il valore attuale di una rendita unitaria, frazionata m, perpetua, posticipata,immediata, valutata al tasso di interesse i può facilmente dedursi come limite di quellodella corrispondente rendita temporanea. E’ cioè

( ) ( )

1lim lim

( ) ( )∞ →∞ →∞= = =

m m

i n i n in n

ia a a

j m j m


(128)

Data la (128) è immediato calcolare Il valore attuale di una rendita frazionata m,perpetua, posticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di interesse i

( ) ( )

( )∞ ∞= ⋅ =

m m

i

RA R a

j m(129)

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

Il valore attuale di una rendita unitaria, frazionata m, perpetua, anticipata,immediata, valutata al tasso di interesse i è calcolata come limite per n tendente adinfinito della corrispondente rendita temporanea. E’ cioè

( ) ( )

1 1lim lim

( ) ( )ρ ρ∞ →∞ →∞

−= = =&& &&

n

m m

i n in n

va a

m m


(130)

OsservazioneUna diversa formulazione della (130) può ottenersi considerando che il valore attualericercato è pari alla somma dell’m-esima parte di una rata unitaria e del valore attualericercato è pari alla somma dell’m-esima parte di una rata unitaria e del valore attualedella corrispondente rendita posticipata.

(131)( ) ( )

1 1 1

( )∞ ∞= + = +&&

m m

i ia a

m m j m

Si osservi che la (131) è equivalente alla (130). Infatti

( )

1

1 1

1

11

1(1 ) 1 1 1

1

+

− = + − = − = −

−

m

mm

d m

di i

d

da cui

( )

( )

( ) ( ) ( )

1

1

1

1 1 1 1

1

1 11 ( )( ) 1

1 1 1

ρ

−

⋅ − −= ⋅ = ⋅ − = ⋅ = =

− − −

m

m

m

m m m md

m dd mj m m i m m

d d d

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

Sostituendo nella (131)

cioè la (130).

Data la (130) [(131)] è immediato calcolare Il valore attuale di una rendita frazionata m,

( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 1

1( )

11 1 1 11 1

( ) ( ) ( ) ( )ρ ρ ρ ρ∞

+ −− − − + −= + = = =&&

mm m m

mm

i

d dd d da

m m m m m

Data la (130) [(131)] è immediato calcolare Il valore attuale di una rendita frazionata m,perpetua, anticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di interesse i

( ) ( )

∞ ∞= ⋅&& &&

m m

iA R a (132)

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

Il valore attuale di una rendita unitaria, frazionata m, perpetua, posticipata, differitat, valutata al tasso di interesse i può facilmente dedursi attualizzando per t periodiquello della corrispondente rendita immediata. E’ cioè

( ) ( )

1

( )∞ ∞= ⋅ = ⋅

m m

t

t t

i ia v a v

j m


(133)

Data la (133) è immediato calcolare Il valore attuale di una rendita frazionata m,perpetua, posticipata, differita t, di rata R, valutata al tasso di interesse i

( ) ( )

1

( )∞ ∞= ⋅ = ⋅ ⋅

m m

t t

t

iA R a R v

j m(134)

Rendita

intera

frazionata

temporanea

perpetua

anticipata

posticipata

immediata

differita

Il valore attuale di una rendita unitaria, frazionata m, perpetua, anticipata, differita t,valutata al tasso di interesse i può facilmente dedursi attualizzando per t periodi quellodella corrispondente rendita immediata. E’ cioè

( ) ( )

1

( )ρ∞ ∞= ⋅ = ⋅&& &&

m m

t

t t

i ia v a v

m


(135)

In alternativa, come già osservato (cfr. la (131)), il valore attuale può anche scriversi comeIn alternativa, come già osservato (cfr. la (131)), il valore attuale può anche scriversi come

(136)( ) ( )

1 1

( )∞ ∞

= ⋅ = ⋅ +

&& &&

m m

t

t t

i ia v a v

m j m

Data la (135) [la (136)] è immediato calcolare Il valore attuale di una rendita frazionatam, perpetua, anticipata, differita t, di rata R, valutata al tasso di interesse i

( ) ( )

1 1 1

( ) ( )ρ∞ ∞

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ +

&& &&m m

t t

t t

iA R a R v R v

m m j m(137)

Rendita

intera

frazionata continua

( ) ( ) 1 1lim lim lim

n n

m m v va a a

− −= = = =&&

n ia

Per esempio, il valore attuale di una rendita unitaria continua, temporanea n,

posticipata, immediata (valore che indichiamo con la notazione ) è dato dalla: n i

a

Come si è visto, una rendita si dice continua se il numero dei frazionamenti di ciascuna

rata tende ad infinito. Pertanto, il valore attuale di una rendita continua è ottenibile

come risultato del limite per m→∞ del valore attuale della corrispondente rendita

frazionata.

( ) ( )

1 1lim lim lim

( )

m m

n i n i n im m m

v va a a

j m δ→∞ →∞ →∞

− −= = = =&&

1n

n i

ea

δ

δ

−−

=

(138)

Ricordando che in capitalizzazione composta , la (138) può anche scriversi comen nv e

δ−=

1n

n i

ea

δ

δ

−−

= (139)

Rendita

intera

frazionata continua

Osservazioni

1) Si noti nella (138) l’uguaglianza che ha una semplice spiegazione:

per m→∞ l’ampiezza dell’intervallo di frazionamento tende a zero e non ha più senso

distinguere tra rata anticipata e posticipata.

( ) ( )

lim lim

m m

n i n im ma a

→∞ →∞= &&

2) La (139) è stata ottenuta mediante un passaggio al limite ma il medesimo risultato può

essere conseguito in maniera alternativa attraverso l’operatore integrale. Infatti, data

una rendita unitaria frazionata, temporanea n,

dtvt⋅dt . . .

a) Nell’intervallo infinitesimo (t, t + dt) la frazione di rata unitaria corrisposta è pari a dt

(la rata è infatti unitaria tra t e t + 1);

b) Il valore attuale all’epoca 0 dell’importo dt è vt⋅ dt, ma in capitalizzazione composta

è vt = e−δt. Pertanto il valore attuale all’epoca 0 della frazione di rata è e−δt⋅ dt;

c) Poiché l’intervallo (t, t + dt) è infinitesimo, la somma di tutte le frazioni di rata

attualizzate coincide con l’integrale, tra 0 ed n, di e−δt⋅ dt. Cioè

0 t t + dt t + 1

v ⋅dt

t + n. . .

0

0

1n

nt n

t

n i

e ea e dt

δ δδ

δ δ

− −−

−= = − =

∫ …ovvero la (139).

Tasso interno di rendimento

(Internal rate of return)(Internal rate of return)


Riconsideriamo la (71)

che, come noto, restituisce il valore attuale – anche detto Valore Attuale Netto (VAN) o

Net Present Value (NPV) – della rendita composta dalle n+1 rate R0, R1,…, Rn.

0

( , )n

T k k

k

A R v T t=

=∑

0

(1 )n

k

k

T tkT

A R i=

−= +∑

Nel regime della capitalizzazione composta a tasso costante la (71) si particolarizza nella

Definiamo tasso interno di rendimento (T.I.R.) il tasso della legge di sconto

esponenziale che annulla il valore attuale dell’operazione, cioè il tasso i* (con i*> −1) che

risolve la

0

(1 ) 0n

k

k

T tkR i=

−+ =∑

OsservazioneLa definizione di tasso interno di rendimento non è in realtà del tutto ben posta in quanto

l’esistenza, l’unicità e la significatività finanziaria della soluzione non è garantita quale

che sia l’operazione finanziaria.

(140)


Esempio 1Si consideri l’operazione finanziaria descritta dal seguente scadenzario

t t+1 t+2

−385 +423 +100

2385 423 100 0v v− + × + × =

Risolvendo la

si hasi ha

12

1,2

2

5423 423 4 100 385

2000,77

v

v

v

= −− ± + × ×

= = =

da cui

1

1

1 11 1 1,2

5i

v= − = − = −

−2

2

1 11 1 0,2987

0.77i

v= − = − =

Come si vede, le soluzioni sono due: tuttavia la prima (i1= −1,2) è priva di significato

finanziario; la seconda è accettabile. Il tasso interno di rendimento dell’operazione è

dunque pari in questo caso al 29,87%.


Esempio 2Si consideri ora l’operazione finanziaria descritta dal seguente scadenzario

t t+1 t+2

73,15 −172 +100

273,15 172 100 0v v− × + × =

Risolvendo la

si hasi ha

12

1,2

2

0,77172 172 4 100 73,15

2000,95

v

v

v

=± − × ×

= = =

da cui

1

1

1 11 1 0,2987

0,77i

v= − = − =

2

2

1 11 1 0,0526

0,95i

v= − = − =

Come si vede, le soluzioni in questo caso sono due, 5,26% e 29,87%, ed entrambe

finanziariamente accettabili.


Gli esempi suggeriscono che:

a) apparentemente nulla garantisce l’esistenza e l’unicità della soluzione

finanziariamente accettabile(*). Può infatti accadere che la (140) abbia più soluzioni

finanziariamente accettabili, nel qual caso l’utilizzo del tasso interno di rendimento al

fine di valutare l’operazione diviene problematico;

b) quasi mai il calcolo del tasso interno di rendimento è agevole come negli esempi visti.

Per operazioni che si sviluppano su n ≥ 4 periodi unitari non possono applicarsi

formule risolutive ma bisogna procedere attraverso procedimenti numerici, come

meglio si vedrà più avanti.

(*) In realtà esistono delle condizioni che assicurano, limitatamente al caso i > 0, l’unicità

del tasso in base all’alternanza di segno delle rate (condizione di Levi) o alla sequenza

temporale dei saldi dell’operazione (condizione di Norstrøm).

Problemi sulle renditeProblemi sulle rendite

Problemi sulle rendite: rata

Riconsideriamo il valore attuale ed il montante di una rendita (periodica) intera,

immediata, temporanea n, posticipata, di rata R, valutata al tasso di interesse i (nella

quale, per semplicità, omettiamo il pedice T)

1n

n i

vA R a R

i

−= ⋅ = ⋅

Intendiamo esplicitare ciascuna delle variabili, note tutte le rimanenti.

1n

n i

rS R s R

i

−= ⋅ = ⋅

1

n

n i

A A iR

a v

⋅= =

−

1

n

n i

S S iR

s r

⋅= =

−

Intendiamo esplicitare ciascuna delle variabili, note tutte le rimanenti.

Dati

• ( A, i, n ) ricaviamo R

• ( S, i, n ) ricaviamo R

(141)

(142)

ln 1

1 ; 1 ; ln

n n

A i

A i A i Rv v n

R R v

⋅ −

⋅ ⋅ = − = − =

(Dati)

• ( A, i, R ) ricaviamo n

(143)

Problemi sulle rendite: annualità

ln 1

ln(1 )

A i

Rn

i

⋅ −

= −

+

cioè in ultimo

(143)ln(1 )

ni

= −+

OsservazionePerché la (143) risulti definita occorre che sia

11 0

i

A iA R R a

R i ∞

⋅− > ⇔ < ⋅ = ⋅

Il cui significato finanziario è evidente: il valore attuale della rendita deve essere inferiore

a quello di una rendita perpetua. Vista diversamente, e cioè come R > A⋅ i, la relazione

suggerisce che la rata deve essere superiore al solo interesse (dato dal valore attuale

moltiplicato il tasso di interesse).

(Dati)

• ( S, i, R ) ricaviamo n

1; 1n nS i S i

r rR R

⋅ ⋅= − = +

(144)

ln 1

ln(1 )

S i

Rn

i

⋅ +

=

+

cioè in ultimo

Problemi sulle rendite: annualità

(144)ln(1 )

ni

=+

Determinare quanti anni occorrono per estinguere un debito di € 7.000 al tasso effettivo diinteresse annuo del 6.5% pagando una rata annuale posticipata di € 600.

600 7.000 0.065 455> ⋅ =

R A i> ⋅Anzitutto verifichiamo che sia

Esempio

Quindi calcoliamo la (143)

7.000 0.065ln 1 ln 1

600

A i

R

⋅ ⋅ − −

ln 1 ln 1

60022,55181329

ln(1 ) ln(1 0.065)

Rn

i

− −

= − = − =+ +

Convertiamo il risultato in anni, mesi e giorni:

22,55181329 − [22,55181329] = 0,55181329 [ 22 anni ]

0,55181329 × 12 = 6,621759506

6,621759506 − [6,621759506] = 0,621759506 [ 6 mesi ]

0,621759506 × 30,41666(*) = 18,91185165 [ 18 giorni… quasi 19! ]

(*) 30,41666 è il valore del mese medio, ottenuto dividendo 365 per 12 (solitamente i

contratti disciplinano le modalità di calcolo del tempo).

(Dati)

• ( A, n, R ) come calcoliamo i (il TIR) ?

Problemi sulle rendite: ricerca del tasso

1 (1 )n

A i

R i

−− +

=

A differenza dei casi precedenti il calcolo del tasso di interesse non è immediato e

comporta i problemi già in parte segnalati quando si è trattato del tasso interno di

rendimento.

Il problema risiede nel fatto che la (89) non è invertibile rispetto al tasso di interesse.Dalla

A/R = aponendo A/R = a e sviluppando, abbiamo

1

1

1 11

1 1

( 1) 1

1 0

( 1) 1 0

n

n n

n n

n n n

n n

r

r rar r

a r r r

a r a r r

a r a r

+

+

−−

= =− −

⋅ − = −

⋅ − ⋅ − + =

⋅ − + + = (145)

La (145) è un’equazione trinomia di grado n+1 nella incognita r che, per n ≥ 4, non può

essere risolta con metodi elementari. Per determinare il fattore di capitalizzazione r che la

verifica si ricorre a metodi numerici che forniscono soluzioni approssimate.

Saranno esaminati in particolari tre metodi numerici:

1) Metodo iterativo

2) Metodo per interpolazione lineare

3) Metodo delle approssimazioni successive

I tre metodi possono essere combinati per migliorare l’approssimazione del tasso di

interesse.

Problemi sulle rendite: ricerca del tasso

interesse.

Avendo posto A/R = a, dalla (89) isolando i si ha

Ricerca del tasso. Metodi iterativo

1 (1 )n

ii

a

−− +

=

Consideriamo i due membri dell’uguaglianza come due funzioni e rappresentiamole

graficamente. Cioè:

1 2

1 (1 )( ) e ( )

ni

f i i f ia

−− +

= =

La f1(i) è la funzione identica (bisettrice Studiamo sommariamente la f2(i).f1(i)del primo e terzo quadrante) e pertanto

non necessita di ulteriori considerazioni

f2(i).

• f2(0) = 0

•

•

•

•

2

1 (1 ) 1lim ( ) lim

n

i i

if i

a a

−

→∞ →∞

− += =

( 1)'

2

(1 )( ) 0

nn i

f i ia

− ++

= > ∀

'

2(0) 1

nf

a= >

( 2)''

2

( 1)(1 )( ) 0

nn n i

f i ia

− +− + +

= < ∀

Rappresentiamo graficamente le due funzioni, indicando sull’asse delle ascisse la

soluzione i* ricercata.


f2(i)

f1(i)

ii*

Il metodo iterativo opera attraverso con i seguenti passi:

1) Si fissa il tasso i = i0

2) Si calcola il valore f2(i)

3) Si assume f2(i), come nuovo tasso di calcolo i1

4) Si pone i = i1 e si itera il passo 2)

Rappresentiamo graficamente le due funzioni, indicando sull’asse delle ascisse la

soluzione i* ricercata.


f2(i)

f1(i)

ii*i0 i1 i2 i3 i4

i5i6

La successione {ik} converge verso il valore ricercato i*.


EsempioSi acquista un bene al prezzo di € 100.000 e lo si paga in 20 rate annuali da € 8.000.

Determinare il TIR annuale con il metodo iterativo.

E’ A/R = a = 100.000/8.000 = 12,5

1) Calcoliamo

2) … ed assumiamo f2(0.039) come nuovo tasso

3) iterando il passo 1).

20

2

1 (1 0.039)(0,039) 0,0427798

12,5f

−− +

= =

3) iterando il passo 1).

1 0.039 0.04278 11 0.049584 0.049609

2 0.04278 0.045387 12 0.049609 0.049623

3 0.045387 0.047073 13 0.049623 0.049632

4 0.047073 0.048118 14 0.049632 0.049637

5 0.048118 0.048747 15 0.049637 0.049639

6 0.048747 0.049120 16 0.049639 0.049641

7 0.049120 0.049339 17 0.049641 0.049642

8 0.049339 0.049467 18 0.049642 0.049642

9 0.049467 0.049541 19 0.049642 0.049643

10 0.049541 0.049584 … … …

30 0.049643 0.049643

Risultati delle iterazioni


OsservazioneIl metodo iterativo non è applicabile sempre. Per esempio non converge nel caso della

funzione derivata dal montante

Una condizione sufficiente per l’applicabilità del metodo iterativo all’equazione x = f(x) –

con f: x∈[a,b] → f(x), f∈C1[a,b] – è la seguente:

2

(1 ) 1( )

ni

f is

+ −=

essendo, in analogia a quanto sopra, s = S/R.

con f: x∈[a,b] → f(x), f∈C1[a,b] – è la seguente:

Se � esiste un x* tale che x* = f(x*)

� in (a,b) è f ’(x*)< 1

allora x* è l’unica soluzione in (a,b) dell’equazione x = f(x) e la successione {xn} converge

quale che sia x0∈(a,b)

Se � esiste un x* tale che x*=f(x*)

� in (a,b) è f ’(x*)> 1

allora x* è l’unica soluzione in (a,b) dell’equazione x=f(x) ma la successione {xn} non

converge a x* a meno che sia x0=x*.

Ricerca del tasso. Interpolazione lineare

Riconsideriamo il valore attuale (89), che riscriviamo sottolineando la dipendenza dal tasso

di interesse

1 (1 )( )

ni

a ii

−− +

=

Dati due valori del tasso di interesse, siano i0 e i1, possiamo calcolare attraverso la (146) i

valori a0=a(i0) e a1=a(i1).

Calcoliamo l’equazione della retta tangente passante per i punti (i0, a0) e (i1, a1)

(146)

0 0a a i i

a a i i

− −=

− −1 0 1 0

a a i i=

− −

1 00 0

1 0

( )a a

a a i ii i

−= + −

−

cioè

1 00 0

1 0

( )i i

i i a aa a

−= + −

−

ma anche

(147)

(148)

Se a1 < a(i) < a0 allora la rappresentazione è la seguente


1 00 0

1 0

( )a a

a a i ii i

−= + −

−

a0

1 (1 )( )

ni

a ii

−− +

=

i0 i1

a1

a

i* ι̂

stima i*ι̂


Esempio

Si determini, per interpolazione lineare, il TIR annuo per un debito di € 20658.28 che

viene rimborsato in 10 rate posticipate di € 2582.28 ciascuna.

E’

da cui:

Consideriamo i due tassi i =0,03 e i =0,06 e calcoliamo a(i ) e a(i ). Si ha

1020.658,28 2582,28

ia= ⋅

10

20.658,288

2582,28ia = =

Consideriamo i due tassi i0=0,03 e i1=0,06 e calcoliamo a(i0) e a(i1). Si ha

Quindi

e pertanto possiamo calcolare il tasso approssimato mediante la (148), cioè come

10

0

1 1,038,530203

0,03a

−−

= =

10

1

1 1,067,360087

0,06a

−−

= =

1 010 ia a a< <

0,06 0,03ˆ 0,03 (8 8,530203) 0,043594

7,360087 8,530203ι

−= + − =

−


Osservazioni

1) E’ evidente che l’approssimazione può migliorarsi scegliendo convenientemente i due

tassi i0 ed i1, in modo cioè che i valori a0 ed a1 siano quanto più prossimi possibile al

valore a(i) calcolato dai dati del problema. Così, scegliendo per esempio i0= 0,04 ed

i1 = 0,043 si avrebbe a0 = 8,110895779 e a1 = 7,99107391 da cui segue

2) In alternativa, per migliorare l’approssimazione, si può procedere iterativamente una

volta stimato il tasso attraverso il metodo per interpolazione. In questo caso si ha

0,043 0,04ˆ 0,04 (8 8,110895779) 0,042774

7,99107391 8,110895779ι

−= + − =

−

volta stimato il tasso attraverso il metodo per interpolazione. In questo caso si ha

Iterazioni Tasso Iterazioni Tasso0 0,043594 …1 0,043418 21 0,042782 0,04328 22 0,0427793 0,043172 23 0,0427784 0,043088 24 0,0427785 0,043021 25 0,0427776 0,042969 26 0,0427777 0,042928 27 0,0427768 0,042895 28 0,0427769 0,04287 29 0,04277610 0,04285 30 0,04277611 0,042834 31 0,042775

Ricerca del tasso. Approssimazioni successive

che può equivalentemente scriversi come

Osserviamo che per v ≥ 0 (finanziariamente privo di significato sarebbe considerare il

caso v < 0) la funzione f(v) = v + v2 + … + vn è:

Riconsideriamo il valore attuale di una rendita (periodica) intera, immediata, temporanea

n, posticipata, di rata R, valutata al tasso di interesse i nella forma

2( ... )

nA R v v v= ⋅ + + +

2...

n Av v v

R+ + + =

caso v < 0) la funzione f(v) = v + v2 + … + vn è:

• continua

• positiva per v > 0

• monotòna crescente

• divergente positivamente per v → +∞


Grafico della funzione f(v, n)

Per il teorema di Darboux(*) e la sua monotonìa, la f(v) assume una sola volta ogni valore

positivo...

(*)Se la funzione f: X ⊆ R → R è continua nell’insieme X, essa assume ogni valore

compreso tra il suo estremo inferiore ed il suo estremo superiore.


…dal che segue che assume una sola volta anche il valore (positivo) .

Conseguenza: l’equazione

ha una sola radice reale positiva (e dunque finanziariamente significativa).

A

R

( )A

f vR

=

Per calcolare la radice reale positiva applichiamo il procedimento del teorema di esistenza

degli zeri alla funzione

2( ) ( ) ...

nA Av f v v v vϕ = − = + + + −

(149)

(150)( ) ( ) ...v f v v v vR R

ϕ = − = + + + −

Richiamo

Teorema di esistenza degli zeri: Sia f: X ⊆ R → R continua nell’insieme X. Se

per a, b ∈ X si ha f(a)⋅f(b) < 0 allora esiste almeno un punto c ∈ (a, b) in cui

risulta f(c) = 0.

Osservazione

Sappiamo che – per la monotonìa della funzione ϕ(v) – il punto c di cui alla tesi del teorema

di esistenza degli zeri è unico.

(150)

Ricerca del tasso. Approssimazioni successive: algoritmo

Si fissano due valori di v ≥ 0, siano a e

b, tali che ϕ(a) < 0 e ϕ(b) > 0 (non

potrebbe essere il contrario in quanto ϕ

– come f – è strettamente crescente)

ϕ(c) = 0 ?Determinato lo zero della funzione ϕSI

Si calcola il punto

medio tra a e b

2

a bc

+=

NO

ϕ(c) < 0 ?Poiché ϕ(b) > 0 la radice ricercata è

nell’intervallo (c, b): ( a ← c )

SI

NO

NO

Poiché ϕ(a) < 0 la radice ricercata è

nell’intervallo (a, c): ( b ← c )

Ad ogni passo l’ampiezza dell’intervallo si dimezza e la successione formata dai punti medi

converge verso la radice ricercata. Determinata la radice, cioè il valore di v che verifica la

(149), calcoliamo il relativo tasso usando la nota relazione i = v−1 − 1.

Ricerca del tasso. Approssimazioni successiveEsempio Determinare il TIR annuo con il metodo delle approssimazioni successive relativamente alla

rendita di cui sono noti i seguenti dati: annualità 10, rata € 77,47, valore attuale € 517.48.

Calcolato ,517,48

6,67992177,47

A

R= =

1) Poniamo a = 0,90 e b = 0,93. Si ha

ϕ(0.90) = −0.818026961 ϕ(0.93) = 0.175742633 Quindi ϕ(0.90)⋅ ϕ(0.93) < 0

2) Calcoliamo c0 = (0,90 + 0,93)/2 = 0.915

ϕ(0.915) = −0.343271163 < 0 per cui la radice è nell’intervallo (0.915, 0.93)

6) Calcoliamo c4 = (0.924375 + 0.92625)/2 = 0.9253125

ϕ(0.9253125) = 0.008544833 > 0 per cui la radice è nell’intervallo (0.924375, 0.9253125)

….

3) Calcoliamo c1 = (0,915 + 0,93)/2 = 0.9225


4) Calcoliamo c2 = (0,9225 + 0,93)/2 = 0.92625

ϕ(0.92625) = 0.041611868 > 0 per cui la radice è nell’intervallo (0.9225, 0.92625)

5) Calcoliamo c3 = (0,9225 + 0,92625)/2 = 0.924375


Per v ≅ 0.9253125 otteniamo un tasso i ≅ 0.080715974

Indici temporali e di variabilitàIndici temporali e di variabilità

Indici temporali e di variabilità

ObiettivoCi prefiggiamo di riassumere in indici sintetici le caratteristiche fondamentali, in particolare

la struttura delle scadenze e degli importi, delle operazioni finanziarie composte in modo da

consentire di confrontare tra loro operazioni differenti.

Tali indici risultano generalmente utili nella valutazione delle operazioni finanziarie se, oltre

a sintetizzare durata ed importi, riescono a fornire informazioni circa la “distribuzione” degli

importi nel tempo.

Come ormai consueto, ci riferiremo allo scadenzarioCome ormai consueto, ci riferiremo allo scadenzario

t t+1 t+2 t+k

R1 R2 Rk

t+n

RnR0

t+n−1

Rn-1

L’intervallo [t, t + n] prende il nome di orizzonte temporale del contratto mentre, fissata

l’epoca intermedia t + k, la differenza (t + n) − (t + k) = n − k prende il nome di vita a

scadenza o vita residua del contratto.

L’epoca di scadenza t + n è detta maturity.

Indici temporali e di variabilità: scadenza media finanziaria

Il primo indice che analizziamo è la scadenza media finanziaria, definito come

La (151) è dedotta dall’uguaglianza

che consente di interpretare finanziariamente l’indicatore: z è l’epoca nella quale, in ipotesi

1 1

log log (1 )

log(1 )

n n

k k

k k

kR R i

zi

= =

−− +

=+

∑ ∑(151)

1 1

(1 ) (1 )n n

k k

z k

k ki R R i

= =

− −+ = +∑ ∑ (152)

che consente di interpretare finanziariamente l’indicatore: z è l’epoca nella quale, in ipotesi

di capitalizzazione composta con struttura piatta del tasso, devono essere concentrati tutti

gli importi scambiati nell’operazione affinché il valore attuale in t sia uguale a quello

generato dal flusso degli importi, ciascuno opportunamente attualizzato.

t t+1 t+2 t+k

R1 R2 Rk

t+n

Rn

R1(1+i)−1

R2(1+i)−2

Rk(1+i)−k

Rn(1+i)−n

1

(1 )n

k

k

kR i

=

−+∑ 1

n

kk

R=

∑

1

(1 )n

k

z

ki R

=

−+ ∑

z

Indici temporali e di variabilità: scadenza media finanziaria

Problemi

La scadenza media finanziaria presenta due svantaggi:

1) può essere calcolata solo in ipotesi di struttura piatta dei tassi

2) è un indice finanziariamente scorretto: contiene la somma degli importi R1, . . .,Rn

che maturano in epoche diverse e che non vengono riportati finanziariamente alla

stessa epoca prima di essere sommati.

Indici temporali e di variabilità: scadenza media aritmetica

Il secondo indice che analizziamo è la scadenza media aritmetica (average term to

maturity).

Tale indice è definito come la media aritmetica, ponderata con le rate Rk, delle epoche in cui hanno luogo i pagamenti, cioè:

[ ]1 1

1

1 1 1

( )n n

nk k

n n nk

k k k

k kk

k k k

t k t R kRR

t k

R R R

= =

=

= = =

+ −

= = =

∑ ∑∑

∑ ∑ ∑(153)

1 1 1k k k= = =

Osservazione

Si può dimostrare che, se le rate Rk non sono tutte uguali tra loro, si ha . t z>

Anche la scadenza media aritmetica, come la scadenza media finanziaria, èscorretto da una prospettiva finanziaria in quanto somma importi che maturano inepoche diverse.


EsempioCalcoliamo la scadenza media finanziaria e la scadenza media aritmetica per le seguenti

obbligazioni, di valore nominale pari a 100.

Obbligazione A) Durata 5 anni, cedola annuale al tasso effettivo di interesse del 4% e

rimborso del valore nominale a scadenza

Obbligazione B) Durata 5 anni, cedola annuale al tasso effettivo di interesse pari al 4% e

t t+1 t+2 t+4

4 4 4

t+5

104

t+3

4−100

Obbligazione B) Durata 5 anni, cedola annuale al tasso effettivo di interesse pari al 4% e

rimborso di una frazione del valore nominale ad ogni scadenza, come da schema

t t+1 t+2 t+4

24 23,2 21,6

t+5

20,8

t+3

22,4−100

24 = 20 + 100×0,04

23,2 = 20 + 80×0,04

22,4 = 20 + 60×0,04

21,6 = 20 + 40×0,04

20,8 = 20 + 20×0,04


Piano dei calcoli

t R k R k (1+i )-k kR k

1 4 3.846154 4

2 4 3.698225 8

3 4 3.555985 12

4 4 3.419217 16

5 104 85.48042 520

∑ 120 100 560

Obbligazione A

t R k R k (1+i )-k kR k

1 24 23.07692 24

2 23.2 21.4497 46.4

3 22.4 19.91352 67.2

4 21.6 18.46377 86.4

5 20.8 17.09608 104

∑ 112 100 328

Obbligazione B

1 1

log log (1 )log112 log100

2,889log(1 ) log(1,04)

n n

k k

k kB

kR R i

zi

= =

−− +

−= = =

+

∑ ∑

1

1

3282,928

112

n

B nk

k

k

k

Rt k

R=

=

= = =∑∑

1 1

log log (1 )log120 log100

4,649log(1 ) log(1,04)

n n

k k

k k

A

kR R i

zi

= =

−− +

−= = =

+

∑ ∑

1

1

5604,667

120

n

A nk

k

k

k

Rt k

R=

=

= = =∑∑

Indici temporali e di variabilità: la duration

Il terzo indice è la durata media finanziaria (duration), introdotta

“… to signify the essence of the time element in a loan”

F. Macaulay, 1938 (Hicks, 1939)

Come la scadenza media aritmetica, la duration è una media aritmetica delle epoche di

pagamento degli importi ponderata con le rate Rk attualizzate in base ai fattori

v(t, t+k) dedotti dalla struttura a pronti per scadenza vigente all’epoca t. Quindi:

( , )n

k R v t t k⋅ ⋅ +∑1

1

( , )

( , )

k

k

n

k

k

t

k R v t t k

D

R v t t k

=

=

⋅ ⋅ +

=

⋅ +

∑

∑(154)

OsservazioneLa (154) tiene conto dei valori degli importi attualizzati ed esprime un’epoca media, cioè

una combinazione convessa delle scadenze k. Pertanto, per Rk ≥ 0 (k=1,2,...,n), sarà

ovviamente 1≤Dt≤n.


In rapporto all’esplicitazione del fattore di attualizzazione la (154) si particolarizza come

segue

1

1 1

1

[1 ( 1, )]

[1 ( 1, )]

kn

k

k s

knt

k R i t s t s

D

R i t s t s

−

= =

−

⋅ ⋅ + + − +

=

⋅ + + − +

∑ ∏

∑ ∏

Tassi a prontiper periodo unitario

1

1

1

1

[1 ( , )]

[1 ( , )]

n

k k

k

n

k k

k

t

k R i t t k

D

R i t t k

−

=

−

=

⋅ ⋅ + +

=

⋅ + +

∑

∑Tasso periodale (155)

(156)

1

1 1

1

1 1

[1 ( , 1, )]

[1 ( , 1, )]

kn

k

k s

kn

k

k s

t

k R i t t s t s

D

R i t t s t s

−

= =

−

= =

⋅ ⋅ + + − +

=

⋅ + + − +

∑ ∏

∑ ∏

1

1 1

[1 ( 1, )]k

k s

t

R i t s t s−

= =

⋅ + + − +∑ ∏

Evidentemente, la formula si semplifica se la struttura per scadenza a pronti è piatta, cioè

se ī(t, t + k) = i (k =1,…,n).

per periodo unitario

Tassi a termineper periodo unitario

(157)


Si ha in questo caso

essendo i il tasso effettivo di interesse (costante) riferito al periodo unitario.

1

1

(1 )

(1 )

n

k

k

n

k

k

k

tk

k R i

D

R i

=

=

−

−

⋅ ⋅ +

=

⋅ +

∑

∑(158)

La (158) è detta flat yield curve duration.

OsservazioneBenché dia luogo a risultati diversi da quelli che si ottengono utilizzando la successione dei

tassi a pronti (a termine), è molto frequente il calcolo della duration in modo approssimato

attraverso la (158), nella quale il tasso di valutazione i è assimilato – se esiste unico – al

T.I.R. del cash-flow dell’operazione finanziaria.


Esempio

Si calcoli in t = 0 la durata media finanziaria (duration) di un’obbligazione emessa alla pari

alla stessa epoca, di valore nominale uguale a € 100 che paga cedole annuali in base ai

tassi di interesse di mercato

i(0,1) = 3% i(1,2) = 4% i(2,3) = 4,5% i(3,4) = 4,8% i(4,5) = 5%

e che viene estinta al suo valore nominale.

t t+1 t+2 t+4

3 4 4,8

t+5

5+100

t+3

4,50−100

0 i -100 vk Rkvk kRkvk

1 0.030 3.00 0.970874 2.9126 2.9126

2 0.040 4.00 0.933532 3.7341 7.4683

3 0.045 4.50 0.893333 4.0200’ 12.0600

4 0.048 4.80 0.852417 4.09160 16.3664

5 0.050 105.00 0.811825 85.24165 426.2083

Totale 100 465.0155

4.650155

Anni 4

Mesi 7

Giorni 24

1(0,1)

1 0,03v =

+1

(0,2)(1 0,03)(1 0,04)

v =+ +

1(0,3)

(1 0,03)(1 0,04)(1 0,045)v =

+ + +

1(0,4)

(1 0,03)(1 0,04)(1 0,045)(1 0,048)v =

+ + + +

1(0,5)

(1 0,03)(1 0,04)(1 0,045)(1 0,048)(1 0.05)v =

+ + + + +


Si calcoli ora in t = 0 la durata media finanziaria (duration) della stessa obbligazione ma

attualizzando gli importi al tasso medio dedotto dalla struttura a pronti data.

Calcoliamo il tasso medio

0 Tasso -100 vk Rkvk kRkvk

1 0.03 3 0.959163 2.87749 2.8775

2 0.04 4 0.919994 3.67998 7.3600

3 0.045 4.5 0.882424 3.97091 11.9127

[ ]15(1 0,03)(1 0,04)(1 0,045)(1 0,048)(1 0,05) 1 0,042575ι = + + + + + − ≅

3 0.045 4.5 0.882424 3.97091 11.9127

4 0.048 4.8 0.846389 4.06267 16.2507

5 0.05 105 0.811825 85.24165 426.2083

tasso medio = 0.042575 99.8327 464.6091

4,653877

Anni 4

Mesi 7

Giorni 25

Osservazione

Si noti che Dt in questo caso è 4,653877, valore più grande di 4,650155.


Si calcoli ora in t = 0 la durata media finanziaria (duration) della stessa obbligazione ma

considerando che ad ogni scadenza oltre alla cedola (calcolata ai tassi di mercato) viene

rimborsato un quinto del valore nominale.

0 Tasso -100 vk Rkvk kRkvk

1 0.03 23.00 0.970874 22.33010 22.33010

2 0.04 23.20 0.933532 21.65795 43.31591

3 0.045 22.70 0.893333 20.27865 60.83594

4 0.048 21.92 0.852417 18.68497 74.73988

5 0.05 21.00 0.811825 17.04833 85.24165

100 286.4635

2.864635

Anni 2

Mesi 10

Giorni 11

Osservazione

Si noti che Dt in questo caso è 2,864635, valore molto più contenuto dei precedenti. Ciò

avviene perché le “masse” finanziarie sono distribuite lungo tutto lo scadenzario anziché

essere concentrate nell’ultima scadenza, come nell’esempio precedente.


Proprietà

1. Dt = n se e solo se il rimborso avviene in un’unica soluzione e non ci sono cedole (zero

coupon bond).

Infatti in questo caso è

1

1

( , )1 0 ( , 1) ... ( 1) 0 ( , 1) ( , )

0 ( , 1) ... 0 ( , 1) ( , )( , )

n

k

k nt n

nk

k

kR v t t kv t t n v t t n n R v t t n

D nv t t v t t n R v t t n

R v t t k

=

=

+⋅ ⋅ + + + − ⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ +

= = =⋅ + + + ⋅ + − + ⋅ +

+

∑

∑

2. Sia Dt = τ. La duration decresce al crescere di ciascuno degli importi Rk con k < τ

(antecedenti l’epoca τ ) e cresce al crescere di ciascuno degli importi R con k > τ(antecedenti l’epoca τ ) e cresce al crescere di ciascuno degli importi Rk con k > τ

(seguenti l’epoca τ ), tendendo alla maturity al crescere di Rn (titoli a bassa cedola, cd.

deep discount bonds)

3. La duration decresce al crescere del tasso di calcolo. Infatti, considerando la flat yield

curve duration ed assumendo la derivabilità rispetto al tasso i, si ha:

1 1

1 1

22

n n

i i

n n

i i

k k

k k

k k

k k

k R v kR vD

vi

R v R v

= =

= =

∂ = − − ∂

∑ ∑

∑ ∑


Proprietà (segue)

Osserviamo che la quantità tra parentesi quadre è del tipo M(X2) − M2(X) (formalmente

ha l’espressione della varianza σ 2) e pertanto è

20

Dv

iσ

∂= − <

∂

Dalla negatività della derivata prima segue la decrescenza della duration rispetto al tasso

di calcolo.

4. La duration misura la sensitività del valore attuale del contratto rispetto alle variazioni del

tasso i.tasso i.

Per dimostrarlo, consideriamo – in ipotesi di struttura piatta dei tassi – il valore attuale del

flusso degli importi Rk (che è anche il prezzo di non arbitraggio dell’operazione)(*)

(*) Scrivendo V(i) si è inteso sottolineare la dipendenza del valore attuale dal tasso i. Più rigorosamente, si sarebbe dovuto

scrivere V(i, Rk) (k = 1,…, n)

1 2

1 2( ) (1 ) (1 ) ... (1 )

n

nV i R i R i R i

− − −= + + + + + +

Rappresentiamo la funzione V(i), limitandoci ad osservare quanto segue:

a) V(i) > 0 per i > 0

b)1

(0)n

k

k

V R=

=∑


c)

d)

1

( 1)(1 ) 0

n

k

k

kdVkR i

di =

− += − + <∑

2

21

( 2)( 1) (1 ) 0

n

k

k

kd Vk k R i

di =

− += + + >∑

Graficamente

V(i)

∑Rk

i

∑Rk

Il prezzo del contratto decresce al crescere del tasso di interesse


Analizziamo la derivata prima del prezzo del contratto

1 1

( 1) 1(1 ) (1 ) (1 )

n n

k k

k k

k kdVkR i i kR i

di = =

− + − −= − + = − + +∑ ∑

Dalla definizione di flat yield curve duration abbiamo

(160)

(159)

1 1

(1 ) (1 )n n

k k

k k

k kkR i D R i

= =

− −+ = +∑ ∑

Sostituendo il secondo membro della (160) nella (159) segue

ndV D

Il rapporto

prende il nome di duration modificata o volatilità (del prezzo).

( )

(1 )

m DD

i=

+

1

(1 )1

n

k

k

kdV DR i

di i =

−= − +

+∑

(161)( )1

dV DV i

di i= −

+

ovvero in ultima analisi

(162)


Osserviamo che la (161), per incrementi non infinitesimi, può scriversi come

essendo o(∆i) un infinitesimo di ordine superiore a ∆i.

Trascurando la quantità o(∆i), dalla (163) segue

(163)

( )( )

mVD V i

i

∆≅ − ⋅

∆

( )

( ) ( )1

( ) ( )m

V DV i o i

i i

D V i o i

∆= − + ∆

∆ +

= − + ∆

cioè, ricordando che ∆V = V(i + ∆i) − V(i)

La (164), che fornisce un’approssimazione del prezzo (valore attuale) V(i+∆i) del

contratto conseguente la variazione ∆i del tasso di interesse, mostra come il valore

della duration modificata influenza il prezzo del contratto, nel senso che:

- tanto più D(m) è contenuta tanto più modesta è la variazione del prezzo

- tanto più D(m) è grande tanto maggiore è la variazione del prezzo.

( )D V ii

≅ − ⋅∆

( )( )( ) ( ) 1

mV i i V i D i+ ∆ ≅ − ⋅ ∆ (164)


La (164) fornisce:

a) una stima del prezzo del contratto conseguente una variazione del tasso di interesse

b) una indicazione nella scelta delle obbligazioni da preferire in rapporto alle aspettative

sul futuro andamento dei tassi

Si vedrà come la stima fornita dalla (164) può essere migliorata aggiungendo un

termine di secondo grado che tiene conto della convessità della funzione valore

attuale.

sul futuro andamento dei tassi

Si vedrà come la duration rappresenta l’epoca alla quale il cash-flow risulta

immunizzato rispetto alle conseguenze sul prezzo del contratto che derivano da una

variazione del tasso di interesse.


a) Stima del prezzo del contratto conseguente una variazione del tasso di interesse

V(i)

∑Rk

( )( ) ( )(1 )

mV i i V i D i+ ∆ ≅ − ⋅ ∆

ii

V(i)

i+∆i

V(i+∆i)

( )( )(1 )

mV i D i− ⋅ ∆

Osservazione

La stima V(i)(1 − D(m)⋅∆i) del prezzo del contratto ottenuta attraverso la duration

modificata è per difetto. Ciò consegue dal fatto che V(i) è una funzione decrescente e

convessa.


Esempio

Si abbia l’operazione finanziaria descritta dal seguente cash-flow. Il tasso iniziale i = 8%.

La duration e la duration modificata sono, rispettivamente

D = 4,156892754 (4 anni, 1 mese, 27 giorni)

D(m) = 3,848974772

t t+1 t+2 t+4

100 200 400

t+5

500

t+3

300

t+6

600

Il valore attuale del contratto (equivalentemente, il prezzo di non arbitraggio) è

V(0,08) = 1.514,615345

Si supponga che il tasso subisca un incremento di un punto percentuale (passi cioè

dall’8% al 9%). Qual è il nuovo valore attuale (prezzo di non arbitraggio) del contratto?

Per rispondere, possiamo:

1) Calcolare V(0,09)… ed ottenere V(0,09) = 1.457,8303

2) Calcolare V(0,08+0,01) ≅ V(0,08)⋅(1−D(m)⋅0,01) =

≅ 1.514,615345⋅(1−3,848974772⋅0,01) = 1.456,3182

valore molto prossimo al valore esatto 1.457,8303.


La tabella mostra l’approssimazione che si consegue calcolando attraverso la (164) ilprezzo del contratto conseguente una variazione di tasso di interesse

TASSOi

Prezzo effettivoV(i)

Prezzo approssimatoV(0,08)×(1−D(m)∆i)

∆(eff.−appr.) [V(i+∆i) -V(i)]/ V(i)

% (*)

0.0550 1670.563 1660.358 10.20444 10.30%

0.0575 1654.003 1645.784 8.219211 9.20%

0.0600 1637.668 1631.210 6.457902 8.12%

0.0625 1621.552 1616.635 4.916816 7.06%

0.0650 1605.653 1602.061 3.592335 6.01%

0.0675 1589.968 1587.487 2.480909 4.98%

0.0700 1574.492 1572.913 1.579054 3.95%

0.0725 1559.222 1558.338 0.883356 2.95%0.0725 1559.222 1558.338 0.883356 2.95%

0.0750 1544.154 1543.764 0.390462 1.95%

0.0775 1529.287 1529.190 0.097086 0.97%

0.0800 1514.615 1514.615 0 ----

0.0825 1500.137 1500.041 0.096041 −−−−0.96%

0.0850 1485.849 1485.467 0.382102 −−−−1.90%

0.0875 1471.748 1470.892 0.855136 −−−−2.83%

0.0900 1457.830 1456.318 1.512153 −−−− 3.75%

0.0925 1444.094 1441.744 2.350219 −−−−4.66%

0.0950 1430.536 1427.170 3.366452 −−−−5.55%

0.0975 1417.153 1412.595 4.558027 −−−−6.43%

0.1000 1403.943 1398.021 5.922169 −−−−7.31%

0.1025 1390.903 1383.447 7.456155 −−−−8.17%

0.1050 1378.030 1368.872 9.157312 −−−−9.02%

(*) Variazione percentuale misurata sul prezzo effettivo


OsservazioneSi noti nella tabella precedente che – in valori assoluti – la variazione percentuale del

prezzo dell’obbligazione è asimmetrica rispetto alle variazioni (positive o negative) del

tasso. In altri termini al decrescere del tasso il prezzo aumenta percentualmente piùdi quanto non diminuisca al crescere del tasso, rispetto al valore centrale dell’8%.

Tale effetto non è specifico dell’esempio analizzato, ma è conseguenza della convessitàdella funzione valore attuale rispetto al tasso di interesse; esso suggerisce che

l’approssimazione del prezzo dell’obbligazione attraverso la (164)

può essere migliorata considerando termini aggiuntivi di grado superiore al primo.

( )( )( ) ( ) 1

mV i i V i D i+ ∆ ≅ − ⋅ ∆

può essere migliorata considerando termini aggiuntivi di grado superiore al primo.

i

V(i)

∑Rk

( )( ) ( )(1 )

mV i i V i D i+ ∆ ≅ − ⋅ ∆

Indici temporali e di variabilità: la convexity

Richiamo (approssimazione di una funzione mediante il polinomio di Taylor)

Data la funzione f(x), derivabile n volte nel punto x0 ed n−1 volte in un intorno di x0, per x

“prossimo” a x0 sussiste la

( )

20 0

0 0 0 0 0

''( ) ( )( ) ( ) '( )( ) ( ) ... ( )

2! !

n

nf x f xf x f x f x x x x x x x

n≅ + − + − + + −

( )

0

0

0

( )( ) ( )

!

knk

n

k

f xP x x x

k=

= −∑

essendo Pn(x) il polinomio di Taylor di grado n centrato nel punto x0.

Arrestando l’approssimazione al termine di secondo grado si può scrivere

20

0 0 0 0

''( )( ) ( ) '( )( ) ( )

2!

f xf x f x f x x x x x− ≅ − + −

Utilizziamo questo risultato per migliorare l’approssimazione che si commette attraverso

la (164) nel calcolare il prezzo del contratto conseguente una variazione del tasso di

interesse.

Banalmente la funzione f sarà la funzione valore attuale (prezzo) del contratto e la

variabile x sarà il tasso di interesse.


Già sappiamo che

1

( 1)(1 )

n

k

k

kdVkR i

di =

− += − +∑

2

21

( 2)( 1) (1 )

n

k

k

kd Vk k R i

di =

− += + +∑

che può anche scriversi come

e che la derivata seconda della funzione valore attuale è positiva e data dalla

Pertanto l’approssimazione può scriversi

( )( )

mdVD V i

di= −

20

0 0 0 0

''( )( ) ( ) '( )( ) ( )

f xf x f x f x x x x x− ≅ − + −

La quantità C, rapporto tra la derivata seconda del valore attuale ed il valore attuale

stesso, prende il nome di convexity (del prezzo) e misura la convessità della funzione

valore attuale per unità di capitale.

2( ) 1

2

mV D V i C V i∆ ≅ − ⋅ ⋅ ∆ + ⋅ ⋅ ∆

1

( 2)1( 1) (1 )

n

k

k

kC k k R i

V =

− += + +∑

avendo posto

Pertanto l’approssimazione può scriversi

come0 0 0 0

( ) ( ) '( )( ) ( )2!

f x f x f x x x x x− ≅ − + −

(165)

(166)


La convexity può essere impiegata per stimare in modo più accurato la variazione del

prezzo del contratto. Per verificarlo, riprendiamo l’esempio precedente, nel quale l’operazio-

ne {(100,t+1),(200,t+2),(300,t+3),(400,t+4),(500,t+5),(600,t+6)} era valutata al tasso i=8%.

Abbiamo già calcolato la duration e la duration modificata, rispettivamente pari a

D = 4,156892754 (4 anni, 1 mese, 27 giorni) D(m) = 3,848974772

k Rk vk Rk vk k(k+1)Rk(1+0.08)−(k+2)

1 100 0.92593 92.59259 158.766

2 200 0.85734 171.4678 882.036

Dalla tabella dei conti calcoliamo C = 20,40082.

2( )

2

1( ) ( ) 1

2

1(0,08 0,01) 1.514,615 1 3,84897 0,01 20,40082 0,01 1.457,863

2

mV i i V i D i C i

V

+ ∆ ≅ − ⋅ ∆ + ⋅ ∆

+ ≅ − ⋅ + ⋅ =

2 200 0.85734 171.4678 882.036

3 300 0.79383 238.1497 2450.100

4 400 0.73503 294.0119 5041.357

5 500 0.68058 340.2916 8752.356

6 600 0.63017 378.1018 13614.780

Somma 1514.615 30899.390

A fronte di una variazione positiva di un punto percentuale del tasso, la stima del nuovoprezzo è


(1)

Tasso i

(2)

Prezzo effettivo

(3)

Approx 1°ordine

(4)

Approx 2°ordine

(5)

(2)-(3)

(6)

(2)-(4)

0.055 1670.563 1660.358 1670.014 10.205 0.549

0.058 1654.003 1645.783 1653.605 8.220 0.398

0.060 1637.668 1631.209 1637.389 6.459 0.279

0.063 1621.552 1616.635 1621.366 4.917 0.186

0.065 1605.653 1602.061 1605.537 3.592 0.116

0.068 1589.968 1587.486 1589.900 2.482 0.068

0.070 1574.492 1572.912 1574.457 1.580 0.035

0.073 1559.222 1558.338 1559.207 0.884 0.015

La Tabella mostra – colonne (5) e (6) – il miglioramento della stima del prezzo usando la convexity

0.075 1544.154 1543.764 1544.150 0.390 0.004

0.078 1529.287 1529.189 1529.286 0.098 0.001

0.080 1514.615 1514.615 1514.615 0.000 0.000

0.083 1500.137 1500.041 1500.137 0.096 0.000

0.085 1485.849 1485.466 1485.853 0.383 -0.004

0.088 1471.748 1470.892 1471.761 0.856 -0.013

0.090 1457.830 1456.318 1457.863 1.512 -0.033

0.093 1444.094 1441.744 1444.158 2.350 -0.064

0.095 1430.536 1427.169 1430.646 3.367 -0.110

0.098 1417.153 1412.595 1417.327 4.558 -0.174

0.100 1403.943 1398.021 1404.201 5.922 -0.258

0.103 1390.903 1383.447 1391.268 7.456 -0.365

0.105 1378.030 1368.872 1378.528 9.158 -0.498


ConclusioneCome la duration, anche la convexity indica come il prezzo del contratto si modifica rispetto

alle variazioni del tasso di interesse: se il tasso si riduce il prezzo aumentapercentualmente più di quanto non si riduca se il tasso aumenta. Tale effetto,

desiderabile per l’investitore, è tanto maggiore quanto maggiore è la convexity del titolo.

Pertanto, l’investitore preferirà i titoli che presentano convexity più elevata.


b) Indicazione nella scelta delle obbligazioni da preferire in rapporto alle aspettative sul

futuro andamento dei tassi

Dalla (164) si deduce che:

• un operatore con aspettative ribassiste circa il futuro andamento dei tassi di interesse

preferisce operazioni di investimento con duration più elevata

• un operatore con aspettative rialziste circa il futuro andamento dei tassi di interesse

preferisce operazioni di investimento con duration minore.

Scelte opposte intervengono se l’operazione è di finanziamento.

Infatti,

se l’operatore investe ha convenienza che la variazione di tasso ∆i accresca (o non

eroda troppo) il prezzo del contratto.

Pertanto, stante la

• ∆i < 0 (ribasso del tasso) ⇒ ∆V > 0 e la differenza è tanto maggiore quanto maggiore

è la D(m), cioè la duration

• ∆i > 0 (rialzo del tasso) ⇒ ∆V < 0 e la differenza è tanto minore quanto minore è la

D(m), cioè la duration.

( )( )( ) ( ) 1

mV i i V i D i+ ∆ ≅ − ⋅ ∆


Pertanto, la duration fornisce indicazioni strategiche:

Nelle operazioni di investimento

se si hanno aspettative di riduzione dei tassi di interesse si preferiranno titoliobbligazionari con duration più elevata (al ridursi dei tassi di interesse cresce il prezzo

dell'obbligazione e i guadagni sono maggiori sui titoli più sensibili alle oscillazioni dei

tassi);

se si hanno aspettative di aumento dei tassi di interesse si preferiranno titoliobbligazionari con duration più bassa (all'aumento dei tassi di interesse diminuisce il

prezzo di un'obbligazione e le perdite sono minori sui titoli meno sensibili alle oscillazioni

dei tassi).

Nelle operazioni di finanziamento le posizioni sono speculari.

Indici temporali e di variabilità: duration e immunizzazione

Abbiamo analizzato le variazioni del prezzo del titolo al variare del tasso di interesse,

osservando che esiste un legame inverso tra le due grandezze.

Il fatto che il tasso di interesse vari nel tempo espone gli operatori finanziari ad un rischio, il

cd. rischio di tasso, consistente nell’eventualità di non conseguire i risultati che – inassenza di variazioni del tasso – l’operazione finanziaria avrebbe garantito.

Ci proponiamo pertanto di:

1) analizzare in dettaglio il rischio di tasso, scomponendolo in:1) analizzare in dettaglio il rischio di tasso, scomponendolo in:

a) rischio di reimpiego (o di reinvestimento)

b) rischio di prezzo (o di realizzo)

2) comprendere in che modo la duration svolga un ruolo protettivo (immunizzante) rispetto

alle variazioni del tasso.


1) Il rischio di tasso

Per comprendere la natura di tale rischio, consideriamo l’operazione finanziaria descritta

dal seguente schema

t t+1 t+2

10 10

t+3

110−100

1 2 31 10 1,10 2 10 1,10 3 110 1,10

2,7355100

D− − −

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= ≅

Ipotizzando che il tasso sia i = 10%, la duration è

(2 anni, 8 mesi, 25 giorni)2,7355100

D = ≅ (2 anni, 8 mesi, 25 giorni)

t t+1 t+2

10 10

t+3

110−100

3110 1,10 82,64

−⋅ ≅

110 1,10 9,09

−⋅ ≅ 2

10 1,10 8,26−

⋅ ≅

D = 2,7355


Dopo aver riscosso la seconda cedola dell’obbligazione, l’investitore decide di terminare

anticipatamente l’operazione.

Quanto vale l’investimento all’epoca t+2?

k RkValore all’epoca del disinvestimento

t+1 10 10 × 1,10 = 11

t+2 10 10

t+3 110 110 × 1,10−1 = 100

121

Valore del cash-flow all’epoca t+2 se il tasso sul mercato si è mantenuto al 10%

Problema

Cosa accade se all’epoca t+2 il tasso vigente non è più il 10% ?


Rischio di reimpiego (o di reinvestimento): il tasso passa dal 10% all’8%


t+1 10 10 × 1,08 = 10,80

t+2 10 10

t+3 110 110 × 1,08−1 = 101,85

122,65

Rischio di reimpiego: 10,80 < 11Rischio di prezzo: 101,85 > 100

Rischio di prezzo (o di realizzo): il tasso passa dal 10% al 12%


t+1 10 10 × 1,12 = 11,20

t+2 10 10

t+3 110 110 × 1,12−1 = 98,21

119,41

Rischio di reimpiego: 11,20 > 11Rischio di prezzo: 98,21 < 100


OsservazioneLa variazione del tasso (10% → 8%, nel primo esempio) (10 → 12%, nel secondo

esempio) ha prodotto effetti opposti: positivi nel primo caso (122,65>121) e negativinel secondo caso (119,41<121).

I rischi di rempiego e di prezzo non si cumulano, ma – almeno parzialmente – sicompensano.

Ciò induce la domanda:

E’ possibile proteggersi (“immunizzarsi”) dal rischio di tasso mediante laE’ possibile proteggersi (“immunizzarsi”) dal rischio di tasso mediante lacompensazione delle due componenti?

In altri termini, esiste un’epoca disinvestendo alla quale si è immunizzati dal rischiodi tasso?

Supponiamo che nell’esempio appena visto l’investitore decida di interrompere

l’operazione all’epoca coincidente con la duration (D = 2,7355). Qual è il valore del cash-

flow a tale epoca?



t+1 10 10 × 1,08D−1 = 11,4290


t+1 10 10 × 1,10D−1 = 11,7988

t+2 10 10 × 1,10D−2 = 10,7262

t+3 110 110 × 1,10D−3 = 107,2620

129,7870

Il tasso rimane il 10%

t+1 10 10 × 1,08D−1 = 11,4290

t+2 10 10 × 1,08D−2 = 10,5824

t+3 110 110 × 1,08D−3 = 107,7838

129,7952

Il tasso passa dal 10% al 12%


t+1 10 10 × 1,12D−1 = 12,1736

t+2 10 10 × 1,12D−2 = 10,8693

t+3 110 110 × 1,12D−3 = 106,7521

129,7950

Il tasso passa dal 10% all’8%


Pertanto,

l’esempio mostra che la duration immunizza dalle variazioni del tasso di interesse

Formalizziamo il risultato, considerando l’operazione finanziaria descritta dal seguente

scadenzario

E’ noto che il valore del contratto all’epoca d – valore che denotiamo con V(i0, d) per

sottolineare la dipendenza sia dal tasso i che dall’epoca di valutazione d – è dato dalla

t0 t1 t2

R1 R2

tn

Rn

tn−1

Rn−1

d

sottolineare la dipendenza sia dal tasso i0 che dall’epoca di valutazione d – è dato dalla

0 0 0

0

1

( )( , ) (1 ) (1 )

(1 )

k k

k k

t d t d

n

k

k

d t t dk k

d tk

V i d R i R i

R i

≤ >

=

− − −

−

= + + + =

= +

∑ ∑

∑

Il problema di immunizzazione consiste nello stabilire se, dati i due tassi i0 e i, esiste

un’epoca d tale che

tale cioè che il valore del contratto in d, calcolato al tasso i, risulti non inferiore al valore

del contratto in d, calcolato sulla base del tasso i0.

0 0( , ) ( , ) , V i d V i d i i≥ ∀ (167)


La (165) richiede che la funzione V abbia un minimo in i0. Se tale funzione è derivabile

rispetto al tasso di interesse (e noi assumiamo che lo sia), condizione necessaria perché

abbia un minimo in i0 è che sia

Calcoliamo dunque la derivata prima della funzione V rispetto al tasso i

0( , ) 0V i d

i

∂=

∂

1

1( , ) ( ) (1 )

n

k k

k

d tkV i d d t R ii =

− −∂= − +

∂∑

0 0

1

1( , ) ( ) (1 ) 0

n

k k

k

d tkV i d d t R ii =

− −∂= − + =

∂∑

da cui

0 0

1

0 0

1

0 0

1

1

1

1

( , ) ( ) (1 ) 0

= ( ) (1 ) (1 ) 0

(1 ) ( ) (1 ) 0

n

k k

k

n

k k

k

n

k k

k

d tk

t dk

td k

Vi d d t R i

i

d t R i i

i d t R i

=

=

=

− −

− −

−−

∂= − + =

∂

− + + =

= + − + =

∑

∑

∑

Cioè, sviluppando opportunamente


0 0 0

1

0

1

0 0

1

1( , ) (1 ) ( ) (1 ) 0

se e solo se

( ) (1 ) 0

(1 ) (1 ) 0

(1 ) (1 ) 0

n

k k

k

n

k k

k

n

k k k

k

n n

td k

tk

t tk k

t tk k

Vi d i d t R i

i

d t R i

dR i t R i

dR i t R i

=

=

=

−−

−

− −

− −

∂= + − + =

∂

− + =

+ − + =

+ − + =

∑

∑

∑

∑ ∑

(168)

0 0

1 1

0 0

1 1

(1 ) (1 ) 0

(1 ) (1 )

k k k

k k

n n

k k k

k k

t tk k

t tk k

dR i t R i

d R i t R i

= =

= =

− −

− −

+ − + =

+ = +

∑ ∑

∑ ∑

0

1

0

1

(1 )

(1 )

k

k

nt

k k

k

nt

k

k

t R i

d

R i

−

=

−

=

+

=

+

∑

∑

dalla quale infine segue


La (168) altro non è che la definizione di duration, per cui si ha la seguente

Conclusione

La durata d per la quale la funzione V ha un minimo rispetto al tasso di interesse

coincide con la duration.

Osservazione

Posto che la funzione V sia derivabile, la condizione è solo necessaria.

Per individuare il punto di minimo occorre anche calcolare la derivata seconda della

0( , ) 0V i d

i

∂=

∂

funzione V e verificare che risulti .2

02( , ) 0V i d

i

∂>

∂

Si ha infatti .

2

0 021

22( , ) ( ) (1 ) 0

n

k k

k

d tkVi d d t R i

i =

− −∂= − + >

∂∑

come si verifica immediatamente essendo positivi tutti i fattori .

(169)


k Rk Rkvk kRkv

k

EsempioSi acquista in t=0 una obbligazione alla pari con le seguenti caratteristiche:

- Valore nominale: € 100

- Durata: 8 anni

- Cedola annuale al tasso i = 6%;

- Rimborso del valore nominale: €50 al 4°ed €50 all’8°anno

La valutazione avviene al tasso del 6%.

La duration del titolo è calcolata attraverso il seguente piano dei conti

0 -100

1 6 5.660377 5.660377

2 6 5.339979 10.67996

3 6 5.037716 15.11315

4 56 44.35725 177.429

5 3 2.241775 11.20887

6 3 2.114882 12.68929

7 3 1.995171 13.9662

8 53 33.25286 266.0228

100 512.7697

Duration 5.127697


85.127697

1

4.127697 3.127697 2.127697 1.127697

0.127697 0.8723 1.8723

( , 5.127697) (1 )

6 (1 ) 6 (1 ) 6 (1 ) 56 (1 )

3 (1 ) 3 (1 ) 3 (1 )

k

k

k

V i R i

i i i i

i i i

−

=

− −

= + =

= ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + +

+ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + +

∑

2.872353 (1 )i

−⋅ +

Calcoliamo il valore dell’obbligazione all’epoca coincidente con la duration (d=5.127697)

al variare del tasso di interesse.

Il punto di minimo coincide con il

tasso di valutazione iniziale


Si è finora esplorato il ruolo protettivo svolto dalla duration in relazione ad un titolo

obbligazionario.

Poiché:

a) la duration indica l’epoca alla quale l’investimento risulta immunizzato;

b) l’epoca in corrispondenza della quale si desidera che l’investimento sia immunizzato

è generalmente determinata dagli impegni e/o dagli obiettivi dell’investitore;

c) non è detto che il mercato offra titoli con duration esattamente uguale a quella

desiderata da ciascun investitore che vuole immunizzarsi,

è rilevante chiedersi se sia possibile immunizzarsi per un’epoca qualsiasi e nonsoltanto per quelle corrispondenti alle duration dei titoli offerti sul mercato.

La risposta è affermativa sotto una condizione molto debole: è possibile immunizzarsi

per l’epoca D qualsiasi se il mercato offre titoli con duration D1 e D2 tali che (*)

1 2D D D< <

(*) Si sono considerate disuguaglianze forti perche, in caso di uguaglianza, il problema sarebbe risolto

acquistando il titolo tra i due la cui duration coincide con D.


Dimostriamo il risultato

Consideriamo i due titoli T(1) e T(2), caratterizzati come segue:

( ) ( ) ( ){ }1 1

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)

1 1 2 2, , , ,..., ,

n nT R t R t R t=

( ) ( ) ( ){ }2 2

(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)

1 1 2 2, , , ,..., ,

n nT R t R t R t=

R1 Rn1R3

t1(1) t2

(1) t3(1) tn1

(1)

(1)R2(1) (1) (1)

R1 Rn2R3

t1(2) t2

(2) t3(2) tn2

(2)

(2)R2(2) (2) (2)

Indicando con V(1) e V(2) i valori attuali dei due titoli, le relative duration sono

1

(1) (1) (1)

(1) 1

(1)

( , )

n

k k k

k

t R v t t

DV

==

∑

2

(2) (2) (2)

(2) 1

(2)

( , )

n

k k k

k

t R v t t

DV

==

∑

Consideriamo ora un portafoglio composto dai due titoli. Gli importi e le epoche del

portafoglio sono date dall’unione degli importi e delle epoche che caratterizzano ciascuno

dei due titoli, cioè – denotando con Π il portafoglio – si ha


Cioè, sullo scadenzario

( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }1 1 2 2

(1) (2)

1 1 2 2

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2)

1 1 2 2 1 1 2 2

, , , ,..., ,

, , , ,..., , , , , ,..., ,

n n

n n n n

T T R t R t R t

R t R t R t R t R t R t

Π = ∪ = =

= ∪

R1 Rn1R3

t1(1) t2

(1) t3(1) tn1

(1)

(1)R2(1) (1) (1)

R1 RnR3(2)R2

(2) (2) (2)R1 Rn2

R3

t1(2) t2

(2) t3(2) tn2

(2)

(2)R2(2) (2)

R1 RnR5

t1 t2 t5 tn

R2 R4

t3 t4

R3

1 2

(1) (2) (2) (1) (1) (2) (1) (2)

1 1 1 2 2 3 2 4 3 5 3; ; ; ; ; .... ; n n nR R R R R R R R R R R R R R= + = = = = = +

1 2

(1) (2) (2) (1) (1) (2) (1) (2)

1 1 1 2 2 3 2 4 3 5 3; ; ; ; ; .... ;

n n nt t t t t t t t t t t t t t= = = = = = = =

essendo


La duration del portafoglio è pertanto

segue

1 2

(1) (1) (1) (2) (2) (2)

1 1 1

(1) (2) (1) (2)

( , ) ( , ) ( , )

n nn

k k k k k k k k k

k k k

t R v t t t R v t t t R v t t

DV V V V

Π = = =

+

= =+ +

∑ ∑ ∑

ovvero, essendo

e1

(1) (1) (1) (1) (1)

1

( , )

n

k k k

k

t R v t t D V=

=∑2

(2) (2) (2) (2) (2)

1

( , )

n

k k k

k

t R v t t D V=

=∑

segue(1) (1) (2) (2)

(1) (2)

D V D VD

V V

Π +=

+

Se denotiamo con V l’importo che l’operatore investe complessivamente nell’acquisto dei

due titoli, il problema si traduce nel seguente sistema in due equazioni lineari e due

incognite, V(1) e V(2):

(1) (2)

(1) (1) (2) (2)

(1) (2)

(vincolo di bilancio)

(vincolo di duration)

V V V

D V D VD

V V

+ = +

=+


Quindi, affinché il portafoglio risulti immunizzato per l’epoca D, occorre acquistare

la quota V(1) del primo titolo e la quota V(2) del secondo titolo.

(2)

(1)

(2) (1)

(1)

(2)

(2) (1)

D DV V

D D

D DV V

D D

−= −

− =

−

la cui soluzione è immediata


Esempio

All’epoca t = 0, si vuole immunizzare l’importo di € 5.000 per l’epoca t = 2,2 (2 anni, 2

mesi e 12 giorni). Sul mercato non sono trattati titoli aventi duration D = 2,2 ma tra le altre

sono scambiate le due seguenti obbligazioni, entrambe di valore nominale pari a € 100 e

valutate al tasso di interesse effettivo annuo i = 6,75%:

Titolo 1

Prezzo € 92,196. Rimborso del valore nominale: € 75 alla fine del primo anno, € 25 alla

fine del secondo anno.

Titolo 2

Prezzo € 82,105. Rimborso del valore nominale: € 10 alla fine del primo anno, € 15 allaPrezzo € 82,105. Rimborso del valore nominale: € 10 alla fine del primo anno, € 15 alla

fine del secondo anno, € 35 alla fine del terzo anno, € 40 alla fine del quarto anno

k Rk Rkvk kRkv

k

0 -92.196

1 75 70.25761 70.25761

2 25 21.93836 43.87673

∑∑∑∑ 92.19598 114.1343

Duration 1.237954

k Rk Rkvk kRkv

k

0 -82.105

1 10 9.367681 9.367681

2 15 13.16302 26.32604

3 35 28.77163 86.31488

4 40 30.80268 123.2107

∑∑∑∑ 82.105 245.2193

Duration 2.986655

Titolo 1 Titolo 2


Essendo(1) (2)

1,237954 2,2 2,986655D D D= < = < =

è possibile costruire, con le due obbligazioni date, un portafoglio immunizzato per la

scadenza D.

In primo luogo occorre determinare quale somma impiegata all’epoca t = 0 potrà garantire

allo smobilizzo in t = 2,2 la somma di € 5.000.

2,25.000 (1 0.0675) 4.330,72553V

−= ⋅ + =

Di tale somma si dovranno investire

(1)

(2)

(2) (1)

2,2 1,2379544.330,72553 2.382,544729 €

2,986655 1,237954

D DV V

D D

− −= = =

− −

(2)

(1)

(2) (1)

2,986655 2,24.330,72553 1.948,180801 €

2,986655 1,237954

D DV V

D D

− −= = =

− −

nel titolo 1 e

nel titolo 2.

Tenendo conto del prezzo delle due obbligazioni, si dovranno acquistare rispettivamente

(1) 1.948,18080121,13087

92,196n = =

(2) 2.382,54472929,01827

82,105n = =

21 contratti del titolo 1 e 29 contratti del titolo 2.

Ammortamenti e prestiti

Ammortamenti e prestiti: generalità

Consideriamo un’operazione finanziaria conforme allo schema seguente:

all’epoca t0 un soggetto (mutuante o creditore) cede ad un secondo soggetto

(mutuatario o debitore) un importo S (importo del mutuo o prestito), che viene suddi-

viso negli importi non negativi C1, C2, …, Cn (quote capitale), con , che vengo-

no corrisposti alle scadenze t0< t1< t2 <…< tn.1

n

i

i

C S=

=∑

Attraverso le quote capitale si definisce il debito residuo Dk

all’epoca tk.

Evidentemente saràEvidentemente sarà

0

1 ( 1,..., )

k k k

D S

D D C k n−

=

= − =

Combinando le (173) si ottiene

(173)

1

k

i

ik

D S C=

= −∑

che costituisce la relazione retrospettiva del debito residuo.

(174)


Dato il debito residuo Dk all’epoca tk, la quantità

1 1 1

n n k

k k i i i

i i k i

E S D C C C= = + =

= − = − =∑ ∑ ∑

1 1 1 1

k n k n

k i i i i

i i i i k

D S C C C C= = = = +

= − = − =∑ ∑ ∑ ∑ (175)

La (175) costituisce la relazione prospettiva del debito residuo.

Dalla (174), ricordando il significato di S, si ha

(176)

ha il significato di debito estinto all’epoca tk.

Per il debito estinto Ek è immediato osservare che valgono le relazioni:

1 1 1i i k i= = + =

0

1

0

( 1,..., )k k k

n

E

E E C k n

E S

−

=

= + =

=

(177)


Ad ogni epoca tk il mutuatario deve onorare due obbligazioni, versando al mutuante

1) la k-esima quota capitale Ck

2) la k-esima quota interessi Ik, che riguarda gli interessi maturati sul debito residuo

tra le epoche tk−1 e tk

Pertanto, all’epoca tk il debitore corrisponde un importo Rk (rata di ammortamento) pari

alla somma delle due componenti, cioè

(178)

1

n

i

i kk

D C=

−=∑

R C I= + (178)k k k

R C I= +

Premesse le grandezze finanziarie sopra definite, il problema consiste nell’esplicitare i

metodi di ammortamento del mutuo, cioè le procedure che consentono al debitore di

corrispondere alle varie scadenze gli importi Rk in modo che il debito residuo risulti

azzerato all’epoca tn (equivalentemente, in modo che il debito estinto sia pari a S in tn). In

altri termini il metodo di ammortamento garantisce l’equità (cioè il rispetto della condizione

di chiusura) dell’operazione finanziaria attraverso la quale il mutuo è rimborsato


Le modalità di rimborso del mutuo e le grandezze fondamentali

{tk} successione delle scadenze

{Rk} » delle rate

{Ck} » delle quote capitali

{Ik} » delle quote interesse

{Dk} » del debito residuo

{Ek} » del debito estinto

che lo caratterizzano vengono ordinatamente riportate nel piano di ammortamento, cioè

in una tabella, ogni colonna della quale è intestata ad una delle grandezze fondamentaliin una tabella, ogni colonna della quale è intestata ad una delle grandezze fondamentali

t Rk Ck Ik Dk Ek

t0 R0 = 0 C0 = 0 I0 = 0 D0 = S E0 = 0

t1 R1 C1 I1 D1 E1

⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞

tn Rn Cn In Dn=0 En= S

Piano di ammortamento


Per inquadrare le problematiche relative ai piani di ammortamento assumiamo di operare

in regime di capitalizzazione composta con tasso costante su uno scadenzario del tipo

{ t0 = 0, t1 = 1, ... , tk = k , ... , tn−1 = n −1, tn= n }

Si hanno le seguenti relazioni

1

(1 ) (1 )n

j

j

n jnS i R i

=

−⋅ + = ⋅ +∑Condizione di equivalenza retrospettiva (179)

1 1

(1 )n n

j j

j j

j jS R i R v

= =

−= ⋅ + = ⋅∑ ∑Condizione di equivalenza prospettiva (180)

1k kI i D

−= ⋅Quota interessi (181)

1(1 )

k k kD D i R

−= ⋅ + −

Equazione ricorrente del debitoresiduo in funzione delle rate

(182)

1

(1 ) (1 )n

k k j

k j

j

D S i R i−

=

= ⋅ + − ⋅ +∑Equazione esplicita retrospettiva deldebito residuo in funzione delle rate (183)

Equazione esplicita prospettiva deldebito residuo in funzione delle rate

1 1

( )(1 )

n n

k j j

j k j k

j k j kD R i R v

= + = +

− − −= ⋅ + = ⋅∑ ∑ (184)

1 1(1 ) ( )k k k kD D i C i D− −

= ⋅ + − + ⋅


Schemi tipici di ammortamento di un prestito sono:

a) rimborso unico di capitale ed interessiL’ammortamento si riduce in questo caso ad un’operazione finanziaria semplice in cui,

contro l’importo S prestato all’epoca t0, viene corrisposto l’importo S⋅(1+i)t1−t0

all’epoca t1.

c) Rimborso graduale

I) metodo progressivo (anche detto francese)

b) Pagamento periodico degli interessi e rimborso unico del capitale

I) metodo progressivo (anche detto francese)

II) metodo uniforme (anche detto italiano)

III) metodo a due tassi (anche detto americano)

IV) metodo degli interessi anticipati (anche detto tedesco)

Piani di ammortamento:

pagamento periodico degli interessi e rimborso unico del capitale

E’ esaustivamente descritto dal seguente piano di ammortamento

t Rk

Ck

Ik

Dk

Ek

0 R0= 0 C

0= 0 I

0= 0 D

0= S E

0= 0

1 R1= I

1C

1= 0 I

1D

1= S E

1= 0

⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞

n−1 R1= I

n−1C

1= 0 I

n−1D

n−1= S E

n−1= 0

n Rn= S + I

nC

n = S I

nD

n= 0 E

n= S

essendo evidentemente 1 ( 1)(1 ) 1 (1 ) 1k k

k

t t k kI S i S i Si−− − − = + − = + − =

Piani di ammortamento: metodo progressivo (francese)

Tale metodo, probabilmente il più usato nella pratica finanziaria, prevede che le rate

siano costanti, cioè Rk = R.

Denotato con i il tasso di interesse per periodo unitario, la condizione di equivalenza

prospettiva in funzione delle rate (cfr. la (180))

1 1

(1 )n n

j j

j j

j jS R i R v

= =

−= ⋅ + = ⋅∑ ∑

può scriversi come

1 (1 ) 1n i

n ni v

S R a R Ri i

−− + −

= ⋅ = ⋅ = ⋅i i

1

1n i

n

iR S S

a v= ⋅ = ⋅

−

ovvero, esplicitando rispetto ad R

(185)

2

1

( ... )n

n k

k j n k ij k

j kD R v R v v v R a

−

−= +

−= ⋅ = + + + = ⋅∑

Poiché per il debito residuo si ha

(186)

sostituendo la (185) nella (186) segue\

1 1 1

1 1k n k i n k i

n i

n k n k

n n

i v vD R a S a S S

a iv v− −

− −− −

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅− −

(187)

che fornisce il valore del debito residuo all’epoca k.


La quota interessi è data dalla

( )1 1

11

k k n k i

n kI i D i R a R v

− − +

− += ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ −

mentre la quota capitale è data dalla

( )1 11

k k k

n k n kC R I R R v R v

− + − += − = − − = ⋅

(188)

OsservazioneSi noti che

(189)

Si noti che

Le quote capitale sono pertanto in progressione geometrica di ragione v−1 = (1+i) (da qui

la progressività del metodo di ammortamento in questione).

1

11 2 1

2(1 )k

k

n kn k n k

n k

C R vv v i

C R v−

− +− + − + − −

− +

⋅= = = = +

⋅

Sono state definite tutte le grandezze che consentono di redigere il piano di

ammortamento seguendo il metodo progressivo

(190)


k Rk

Ck

Ik

Dk

Ek

0 - - - D0= S E

0= 0

1 C = Rvn I = R(1−vn) E = Rvni

R S= ⋅ D Ra=

Piano di ammortamento

1 C1= Rvn I

1= R(1−vn) E

1= Rvn

⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞

n−1 R Cn−1

= Rv2 In−1

= R(1−v2)

n R Cn = Rv I

n= R(1−v) D

n= 0 E

n= S

1n

R Sv

= ⋅− 1 1n i

D Ra−

=

1 1n iD Ra

−=

1 1

n

n n iE Rv s

− −=


EsempioAmmortamento, con metodo progressivo (francese) di un mutuo di € 150.000 al tasso

effettivo annuo del 6% attraverso il pagamento di 10 rate annuali posticipate.

k Rk Ck Ik Dk Ek

0 150000,00 0

1 20380.19 11380.19 9000.000 138619.80 11380.19373

2 20380.19 12063.01 8317.188 126556.80 23443.199092 20380.19 12063.01 8317.188 126556.80 23443.19909

3 20380.19 12786.79 7593.408 113770.00 36229.98477

4 20380.19 13553.99 6826.201 100216.00 49783.97759

5 20380.19 14367.23 6012.961 85848.79 64151.20998

6 20380.19 15229.27 5150.927 70619.52 79380.47631

7 20380.19 16143.02 4237.171 54476.50 95523.49862

8 20380.19 17111.60 3268.590 37364.90 112635.1023

9 20380.19 18138.30 2241.894 19226.60 130773.4021

10 20380.19 19226.60 1153.596 0 150000.0000


OsservazioneSi è finora esaminato il caso in cui le rate hanno la stessa periodicità del tasso di interesse

(p.es. tasso di interesse annuo 6%, ammortamento dell’importo S=150.000€ in 10 rate con

cadenza annuale).

E’ rilevante analizzare come deve scriversi il piano di ammortamento se le rate hannoperiodicità diversa da quella cui viene riferito il tasso di interesse.

In questa eventualità, dati:

a) il tasso annuale determinato sulla base del contratto di mutuo (i);

b) Il numero di anni (n) in cui si richiede venga rimborsato il capitale;

c) il numero di rate da corrispondere nell’anno (m),

si calcolano:

EsempioAmmortamento, con metodo progressivo (francese) di un mutuo di € 150.000 al tasso

effettivo annuo del 6% attraverso il pagamento di 20 rate semestrali posticipate.

S = € 150.000

i = 0,06 ⇒ i½ = (1+0,06)½ −1 = 0.02956301

n × m = 2×10 = 20

si calcolano:

i) il tasso di interesse equivalente riferito alla periodicità delle rate del mutuo

ii) il numero di annualità, pari a n×m

La rata viene determinata sulla base della relazione

1

1 (1 ) 1m

m

i i= + −

1

11 (1 )

m

m

n m

iR S

i− ×

= ⋅− +


k Rk Ck Ik Dk Ek

0 150000.0000 0.000000

1 10041.67 5607.2138 4434.452115 144392.7862 5607.213796

2 10041.67 5772.97994 4268.685974 138619.8063 11380.19373

3 10041.67 5943.64662 4098.019287 132676.1596 17323.84036

4 10041.67 6119.35873 3922.307178 126556.8009 23443.19909

5 10041.67 6300.26542 3741.40049 120256.5355 29743.46451

6 10041.67 6486.52026 3555.145654 113770.0152 36229.98477

7 10041.67 6678.28135 3363.384564 107091.7339 42908.26612

8 10041.67 6875.71147 3165.954439 100216.0224 49783.977598 10041.67 6875.71147 3165.954439 100216.0224 49783.97759

9 10041.67 7078.97823 2962.687683 93137.04418 56862.95582

10 10041.67 7288.25416 2753.41175 85848.79002 64151.20998

11 10041.67 7503.71692 2537.94899 78345.0731 71654.9269

12 10041.67 7725.54941 2316.116501 70619.52369 79380.47631

13 10041.67 7953.93994 2087.725975 62665.58376 87334.41624

14 10041.67 8189.08238 1852.583536 54476.50138 95523.49862

15 10041.67 8431.17633 1610.489578 46045.32505 103954.675

16 10041.67 8680.42732 1361.238594 37364.89773 112635.1023

17 10041.67 8937.04691 1104.618998 28427.85082 121572.1492

18 10041.67 9201.25296 840.4129545 19226.59786 130773.4021

19 10041.67 9473.26973 568.3961836 9753.328134 140246.6719

20 10041.67 9753.32813 288.3377771 0 150000.0000

Piani di ammortamento: metodo uniforme (italiano)

In questo schema di ammortamento si assume che la quota capitale sia costante, cioè

Ck = C.

Poiché, per la condizione di equità, è necessario che sia1

n

j

j

C S=

=∑

segue immediatamente

SC

n=

In via altrettanto immediata si deduce che

(191)

S( ) ( )

k

SD n k n k C

n= − ⋅ = − ⋅ (192)

e pertanto che

( )k k

SE S D S n k C nC nC kC kC k

n= − = − − = − + = = ⋅ (193)

Utilizzando la relazione Ik = i⋅Dk−1, la quota interesse può scriversi come

1

1( 1)

k k

n kI i D i n k C S i

n−

− += ⋅ = ⋅ − + ⋅ = ⋅ ⋅

e quindi, essendo Rk = Ck + Ik (Rk = C + Ik), scriviamo la rata come

( 1) [1 ( 1)]k k

S S SR C I i n k i n k

n n n= + = + ⋅ − + ⋅ = + ⋅ − +

(194)

(195)

Piani di ammortamento: metodo uniforme (italiano)

Osservazione

Nel metodo uniforme (italiano) le successioni {Dk}, {Ek}, {Ik}, {Rk} sono in progressione

aritmetica.

EsempioAmmortamento, con metodo uniforme (italiano) di un mutuo di € 72.000 al tasso di

interesse annuo del 7% in 8 rate.

k Rk Ck Ik Dk Ek

0 72000 00 72000 0

1 14040 9000 5040 63000 9000

2 13410 9000 4410 54000 18000

3 12780 9000 3780 45000 27000

4 12150 9000 3150 36000 36000

5 11520 9000 2520 27000 45000

6 10890 9000 1890 18000 54000

7 10260 9000 1260 9000 63000

8 9630 9000 630 0 72000

Piani di ammortamento: metodo a due tassi (americano)

Il metodo prevede

1) il pagamento periodico alle scadenze tk della quota interesse Ik, che viene calcolata al

tasso i (tasso di remunerazione)

2) la costituzione del capitale prestato S attraverso il versamento periodico, a scadenze

che possono coincidere o meno con quelle di versamento delle quote interesse

(supporremo che coincidano), degli importi Ck che, capitalizzati al tasso j (tasso di

accumulazione), garantiscono la disponibilità dell’importo S all’epoca tn.

Se gli importi C sono costanti (C =C) allora è immediato calcolare il valore della quota

(1 ) 1n

jC S

j=

+ −

Se gli importi Ck sono costanti (Ck=C) allora è immediato calcolare il valore della quota

capitale come

ed altrettanto immediato è scrivere la rata (costante):

(1 ) 1 (1 ) 1n n

j jR C I C i S S i S S i

j j

= + = + ⋅ = + ⋅ = +

+ − + −

(196)

(197)


Rk Ck Ik Dk Ek

t0 S 0

t1 C + i⋅ S C i⋅ S S 0

t2 C + i⋅ S C i⋅ S S 0

⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞

tk C + i⋅ S C i⋅ S S 0

⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞

Siamo in grado di redigere il piano di ammortamento

⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞

tn C + i⋅ S C i⋅ S 0 S

con riferimento al quale sono necessarie le seguenti precisazioni:

1. nonostante il mutuatario versi la quota capitale al termine di ciascuna scadenza, il

debito residuo rimane S per tutte le scadenze intermedie perché l’ipotesi è che la

quota capitale non sia direttamente versata al mutuante ma “girata” aquest’ultimo solo all’epoca finale del periodo di ammortamento. Ciò spiega anche

perché la quota interesse rimane costantemente uguale a i⋅ S per l’intero periodo e

perché il debito estinto sia sempre pari a 0 fino all’epoca precedente la fine del piano

di ammortamento.

2. E’ altresì chiaro che il piano di ammortamento sopra redatto costituisce un caso

particolare, nel senso che si assume che le quote capitale e interesse vengano

corrisposta alle stesse scadenze, ciò che non è affatto necessario.


Osservazioni

1. Sempre nell’ipotesi di rata costante, con quota capitale e quota interesse corrisposte

alla stessa scadenza, se fosse anche i = j la rata dell’ammortamento americano

coinciderebbe con quella dell’ammortamento progressivo (o francese). Infatti sarebbe

(1 )

(1 ) 1 (1 ) 1

(1 ) 1

(1 ) 1 1 (1 )

n

n n

n

n n

n i

i i i i iR C I S i S S

i i

i i iS S S

i i a−

+ + −= + = + ⋅ = =

+ − + −

+= = =

+ − − +

2. Poiché viceversa nel metodo a due tassi di norma risulta i > j, il mutuatario è

(198)

2. Poiché viceversa nel metodo a due tassi di norma risulta i > j, il mutuatario è

esposto a condizioni peggiori rispetto al caso del metodo progressivo, essendo

costretto ad incrementare – rispetto a questo – la quota capitale necessaria a

ricostituire l’importo S (è infatti per i > j). n j n i

s s<

Per comprendere a quale tasso x si indebita il mutuatario che contragga un prestito

che preveda un ammortamento a due tassi è sufficiente risolvere l’equazione diequità prospettiva delle rate

1 1

(1 ) 1

n n

j nn x n xj j

x x jS R v R v R a S S i S a

j= =

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⇒ = + ⋅

+ − ∑ ∑

1 0

(1 ) 1n n x

ji a

j

+ − =

+ −

cioè, equivalentemente

(199)


E’ facile verificare che il tasso x di indebitamento è maggiore del tasso i. Infatti la funzione

( ) 1

(1 ) 1n n x

jf x i a

j

= + −

+ −

1. per x > 0 è continua;

2. è strettamente decrescente, tale essendo (ricordiamo che i, j e n sono costanti)

3. è tale che

a)

n xa

0

1 (1 )lim 1

(1 ) 1

n

n

x

j xi

j x

j

−

+→

− ++ − =

+ −

f(x)

1 (1 )lim 1 1

(1 ) 1

n

nx

j xi

j x

−

→+∞

− ++ − = −

+ − b)

1 0(1 ) 1

n

ji n

j

= + − >

+ −

pertanto la (199) ha un’unica radice.x

x*


Una volta stabilito che la f(x) ha un unico zero x*, mostriamo che x* è maggiore di i.

Calcoliamo f(i)

1( ) 1

n i

n j

f i i as

= + −

Osservando che è una funzione decrescente di j e ricordando che è i > j, segue

1

n js

1 1 1 (1 )( ) 1 1 1

ni i

f i i a i a i− − +

= + − > + − = + − =

1 1 1 (1 )( ) 1 1 1

(1 ) 1

(1 ) 1

1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) (1 )

(1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1

nn i n i

n j n i

n

n n nn n n

n n n

i if i i a i a i

s s i i

i

i i ii i i

i i i

− −

− − −

− + = + − > + − = + − = + −

+ −

− + − + += + − + − = − + = − + =

+ − + − + −

1 (1 ) 0

(1 )

n

ni

i

−= − + =

+

Pertanto, essendo f(i) > 0 e f(x*) = 0 ed essendo la funzione f(x) decrescente con x,

segue che x* > i, cioè il tasso di indebitamento del metodo americano è maggiore

del maggiore tra il tasso di remunerazione ed il tasso di accumulazione.

Piani di ammortamento: metodo ad interessi anticipati (tedesco)

Il metodo prevede che

1) la prima rata di ammortamento venga corrisposta contestualmente alla

erogazione del mutuo di importo S;

2) gli interessi siano corrisposti in via anticipata, applicando il tasso di sconto aldebito residuo corrente.

In termini di debito residuo, dalla 1) consegue la condizione iniziale

0 0D S C= −

Poiché la legge di aggiornamento del debito residuo è sempre

(200)

Poiché la legge di aggiornamento del debito residuo è sempre

1 ( 1..., )k k kD D C k n

−= − =

combinando la (200) e la (201) si ha

(201)

0 0

1 1

( 1,..., )k k

k i i

i i

D S C C D C k n= =

= − − = − =∑ ∑ (202)

Evidentemente, essendo per definizione S = C0 + C1 + …+ Cn, la condizione di chiusura è

0

1 0

0n n

n i i

i i

D S C C S C= =

= − − = − =∑ ∑ (203)


La prima quota interesse è pertanto

I0 = d⋅ D0 = d(S−C0)

mentre l’ultima quota interesse è

In = d⋅Dn = d ⋅ 0 = 0

Dalla 2) consegue che la quota interesse è

( 0,..., )k k

I d D k n= ⋅ = (204)

essendo d il tasso di sconto riferito al periodo unitario.

In = d⋅Dn = d ⋅ 0 = 0

Stanti la 1) e la 2), il mutuatario all’atto dell’erogazione incassa l’importo

0 0 0 0 0( ) (1 )( )S C I S C d S C d S C− − = − − − = − −

mentre corrisponde ad ogni scadenza la rata

0

( 1..., )k

k k k k i

i

R C I C d S C k n=

= + = + − =

∑

Dalla (205) e dalla (206) consegue che il tasso di interesse al quale il mutuatario siindebita è dato dalla soluzione dell’equazione

(205)

(206)

0

1

(1 ) (1 )( )n

k

k

k

R i d S C−

=

+ = − −∑ (207)


Si dimostra che la soluzione (unica) della (207) è

1

di

d=

−

In altri termini, il metodo ad interessi anticipati può interpretarsi come l’ammortamento di

un mutuo pari a S − C0 al tasso di interesse per periodo unitario (annuo) i, dato dalla

(208).

(208)

F I N EF I N E

1

Rendite vitalizie

Matematica finanziaria – seconda parte

Prof. Massimo Angrisani

a.a. 2012/2013

http://www.economia.uniroma1.it/base.php?DURL=/didattica/schedadettinsegnamento&iddocente=12&idcanale=0&IDMOD=&annoac=2010/2011&idass=15614&data=20-03-2012&ritorno=/didattica/schedadocente

Cos’è una rendita vitalizia

Un individuo di età x si “assicura”, a partire da tale età, il pagamento di un importo (rata) unitario alla fine di ciascun anno finché rimane in vita. L’assicuratore richiede un compenso, detto “premio”.

Struttura tradizionale: sono fissate le somme assicurate.

Prof. Massimo Angrisani – Matematica finanziaria – a.a. 2012/2013

2

Cos’è una rendita

Supponiamo che all’epoca 0 l’assicurato di età x (intera, esatta) paghi un premio unico U. Se con certezza, a partire da tale epoca, l’assicurato percepisce le prime n rate unitarie alla fine di ciascun anno, si deve tener conto solo dell’aspetto finanziario di tale operazione.

Sia i il tasso annuo effettivo di interesse considerato in regime di capitalizzazione composta.

Il valore attuale della prima rata unitaria di rendita calcolato all’inizio del primo anno (epoca 0) è


3

11

vi

=+

v è il fattore di sconto.

Rendita finanziaria


4

vv2

v3

vn

.

.

.

U 1 1 1 1…

0 1 2 3 n

Rendita finanziaria

In tale caso


5

1

1 0

1n n

h h

h h

U v v v−

= =

= ⋅ =∑ ∑

Somma di n-1 termini in progressione geometrica

1 11

n nv vU vv i

− −= =

−Operazione finanziaria certa. U (valore attuale) dipende da n e da i (tasso di attualizzazione).

Esempio

Valore attuale rendita certa posticipata i 0% 1% 2% 3% 4% 5%

n1 1 0,990099 0,980584 0,971431 0,962616 0,954122 2 1,970395 1,942317 1,915636 1,890237 1,866023 3 2,940985 2,885741 2,833873 2,785045 2,7389654 4 3,901966 3,811382 3,727328 3,649039 3,5758765 5 4,853431 4,719745 4,597112 4,484057 4,3793766 6 5,795476 5,61132 5,444274 5,291787 5,1518277 7 6,728195 6,486579 6,269799 6,073782 5,8953618 8 7,651678 7,345977 7,074617 6,83148 6,6119099 9 8,566018 8,189954 7,859607 7,566204 7,303227

10 10 9,471305 9,018936 8,625595 8,279184 7,970909… … … … … … …15 15 13,86505 12,95283 12,19645 11,55504 11,0016920 20 18,04555 16,56802 15,3934 14,42818 13,6158225 25 22,02316 19,90398 18,28066 16,98144 15,9096730 30 25,80771 22,99432 20,90827 19,27543 17,95045… … … … … … …40 40 32,83469 28,54899 25,53485 23,25686 21,45457

6

La base finanziaria


7

BASE DEMOGRAFICA -OSSERVAZIONI

Notazioni attuariali (1)


9

1t x t xp q= − Probabilità di sopravvivenza per t anni all’età x

t xq Probabilità di decesso entro t anni all’età x

Probabilità di decesso tra le età x+t e x+t+uvalutata all’età x ; risulta pari al prodotto della probabilità di sopravvivenza per t anni per la probabilità di decesso entro u anni all’età x +t

/t u x t x u x tq p q += ×

ω

0,1,2,...x ω=x variabile età generalmente si considerano solo le età intere con “età estrema” ω

Probabilità di decesso e di sopravvivenza (2)


10

In particolare, se t =1

/1 /t x t xq q=

xq Probabilità di decesso entro un anno all’età x (“tasso annuo di decesso”)

1x xp q= − Probabilità di sopravvivenza per un anno all’età x (“tasso annuo di sopravvivenza ”)

Risulta anche Probabilità differita di decesso tra l’età x+t ex+t+1 ; probabilità che la durata (residua troncata) di vita all’età x sia uguale a t, con xe t valori interi

Probabilità di decesso e di sopravvivenza (3)


11

In particolare, se x =0

/1 0t q Probabilità “differita” di decesso entro un anno all’età t (valutata alla nascita), con

1

/1 00

1tt

qω−

=

=∑

Curva dei decessi


12

0,000000

0,005000

0,010000

0,015000

0,020000

0,025000

0,030000

0,035000

0,040000

0,045000

0 20 40 60 80 100 120

Age

t/1q0 popolazione italiana maschi 2006 (fonte HMD)

Probabilità annua di decesso


13

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 20 40 60 80 100 120Age

qx popolazione italiana maschi 2006 (fonte HMD)

Valori sintetici della durata di vita


14

1x h x

h

e p+∞

=

=∑Vita attesa incompleta

Vita attesa completa

12

ox xe e= +

Tavola di sopravvivenza (da HMD)


15

Age lx dx qx Age lx dx qx0 100000 386 0,00386 60 91271 757 0,00831 99614 27 0,00027 61 90514 817 0,009032 99587 13 0,00013 62 89697 903 0,010073 99574 13 0,00013 63 88794 989 0,011134 99561 13 0,00013 64 87805 1030 0,011735 99547 10 0,0001 65 86775 1143 0,01318… … … … … … … …50 95895 281 0,00293 70 80100 1685 0,0210351 95615 316 0,00331 71 78415 1815 0,0231552 95298 353 0,0037 72 76600 2097 0,0273853 94945 383 0,00403 73 74503 2172 0,0291554 94562 419 0,00443 74 72331 2313 0,0319855 94143 477 0,00507 75 70017 2578 0,03683… … … … … … … …57 93150 560 0,00601 108 10 5 0,504958 92590 634 0,00685 109 5 3 0,5192659 91956 684 0,00744 110+ 2 2 1,000

Life table - Italy 2006 - Males (period 1x1). Last modified: 06-Feb-2009, MPv5 (May07)

Tavola di sopravvivenza (mortalità)

E’ una rappresentazione tabulare della mortalità . La determinazione delle probabilità di morte esprimenti il rischio che una

persona di età x muoia prima del compimento del compleanno x+n, consente la determinazione delle ulteriori funzioni biometriche contenute nella tavola di mortalità.

l0 degli individui in vita all’età 0 (generalmente l0 =100000) – radice dellatavola

Numero (atteso) degli individui in vita all’età x : lx+1=lx*(1-qx)

Numero (atteso) dei decessi tra l’età x e x+1: dx=lx*qx=lx-lx+1

Numero (atteso) dei decessi tra l’età x e x+n:

ndx=lx-lx+n


16

lx popolazione italiana maschi 2006 (fonte HMD)


17

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

100000

0 20 40 60 80 100 120

Age

Size

ofpo

pula

tion

dx popolazione italiana maschi 2006 (fonte HMD)


18

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

Age

Size

ofpo

pula

tion

Mortalità maschile e femminile


19

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

dx popolazione italiana 2006 (fonte HMD)

maschi

femmine

Age

Size

ofpo

pula

tion

Probabilità di decesso e di sopravvivenza


20

1x nn x n x

x

lp ql+= = − Probabilità di sopravvivenza per n

anni all’età x

x x n n xn x

x x

l l dql l

+−= = Probabilità di decesso entro n anni

all’età x

xx

x

dql

= Probabilità di decesso entro un anno all’età x (“tasso annuo di decesso”)

11 xx x

x

lp ql+= − = Probabilità di sopravvivenza

per un anno all’età x (“tasso annuo di sopravvivenza ”)

Esempi


21

50 50 5150

50 50

281 0,00293028895895

d l lql l

−= = = =

599/1 50

50

684 0,00713280195895

dql

= = =

6515 50

50

86775 0,9048959895895

lpl

= = =

Tavola di mortalità di riferimento: Life table HMD - Italy 2006 - Males

0 6578,62 17,82o oe e= =

Evoluzione nel tempo


22

-20000

0

20000

40000

60000

80000

100000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Age

lx popolazione italiana maschi (fonte HMD)

2006

1996

1986

1966

1946

1926

1906

Size

ofpo

pula

tion

Evoluzione nel tempo


23

86; 4267

72; 2158

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

dx popolazione italiana maschi (fonte HMD)

2006

1996

1986

1966

1946

1926

1906

Size

ofpo

pula

tion

Age


24

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

1906 1926 1946 1966 1986 2006

aspettativa di vita popolazione italiana maschi (fonte HMD)

età 0

età 60

Evoluzione nel tempoA

ge

Year

Mortalità dinamica

tempo … t-1 t t+1

età

0 … q0(t-1) q0(t) q0(t+1)

1 q1(t-1) q1(t-1) q1(t-1)

…. …. …. …. …. …. ….

x qx(t-1) qx(t-1) qx(t-1)

x+1 qx+1(t-1) qx+1(t-1) qx+1(t-1)… …. …. …. …. …. ….


25

Tavola di sopravvivenza RG4826

Maschi Femmine Maschi Femminex lx lx x lx lx50 96406,3620 97475,6339 80 66765,14 85091,6551 96217,8875 97375,3314 81 63386,56 83157,9552 96019,0052 97272,6005 82 59729,47 80888,953 95807,8594 97167,157 83 55802,2 78231,754 95582,0402 97058,5241 84 51623,01 75132,3155 95338,8795 96946,5186 85 47221,22 71542,1256 95072,312 96830,4736 86 42633,68 67427,1657 94778,1583 96710,1133 87 37911,65 62773,7458 94455,0595 96584,4869 88 33139,79 57596,2959 94103,8756 96452,5524 89 28427,98 51947,0160 93728,6835 96313,7572 90 23902,95 45924,3861 93320,6825 96164,5672 91 19702,56 39747,7362 92873,0232 96003,5877 92 15853,72 33492,3663 92380,4247 95828,8612 93 12441,02 27444,9864 91836,2116 95637,8743 94 9510,935 21844,8865 91233,7661 95427,6622 95 7075,241 16867,7566 90565,7524 95194,9142 96 5115,683 12618,1567 89824,0189 94935,6984 97 3590,324 9131,32868 88998,5362 94647,4736 98 2442,598 6382,45169 88077,1343 94325,7669 99 1608,4 4301,48570 87046,3676 93964,2162 100 1023,499 2790,13771 85891,2623 93554,3443 101 628,2848 1738,33972 84595,335 93085,5435 102 373,4399 1042,51773 83139,8722 92545,6473 103 214,6906 600,91874 81504,5941 91919,6686 104 119,2435 332,368475 79668,1326 91189,6426 105 63,90734 176,085876 77603,7719 90334,2837 106 33,00559 89,1842777 75290,0155 89327,5081 107 16,40312 43,0913478 72715,0969 88139,9882 108 7,832488 19,8160779 69873,0274 86739,6201 109 3,587436 8,650746

110 1,573234 3,57486

Age –shifting


27

MASCHI FEMMINE

Anno di nascitaCorrezione

dell’etàAnno di nascita

Correzione

dell’età

Fino al 1941 +1 Fino al 1943 +1

Dal 1942 al 1951 0 Dal 1944 al 1950 0

Dal 1952 al 1965 -1 Dal 1951 al 1964 -1

Oltre il 1966 -2 Oltre il 1965 -2

lx popolazione italiana maschi (fonte HMD e RG48)


28

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

100000

40 50 60 70 80 90 100 110

Age

2006 1986 1966 RG48

Size

ofpo

pula

tion

RENDITE VITALIZIE

Cos’è una rendita vitalizia definizione del concetto di valore attuariale

Le rate unitarie sono percepite dall’assicurato finché questo è in vita (incertezza).


30

x x+1 x+2 x+3 x+n

.

.

.

P 1 1 1 1…

se in vitaaltrimenti 0

v

2se in vitaaltrimenti 0

v

3se in vitaaltrimenti 0

v


nv

…


Si tratta di un’operazione finanziaria aleatoria di cui sono note le determinazioni possibili degli importi.

Non è nota la durata di vita all’età x dell’assicurato, l’importo da erogare a ciascuna epoca è dipendente dall’evento “essere in vita” a tale epoca.

Problema: quantificare l’incertezza assegnare la probabilità alle determinazioni possibili dei

diversi importi Esempio: con quale probabilità l’assicurato di età 65

percepirà 1 euro di rendita all’età 75?


31


Consideriamo ogni singola rata a partire dalla prima.

Il valore attuale Y di un euro di rendita percepibile dopo un anno è aleatorio e risulta pari a


32

x x+1 x+2 x+3 x+n

1


v

U1

se l'assicurato è in vita all'età 10 altrimentiv x

Y+

=


Sia p la probabilità che l’assicurato di età x sia in vita all’età x+1.

Il valore atteso di Y (valore attuariale o valore attuale atteso) è

Il valore attuariale dipende dal tasso di attualizzazione i e dalla probabilità p.

(i,p) base della valutazione


33

( ) ( )0 1E Y v p p v p= + − =

Fattore di sconto demografico finanziario

Il valore attuariale di un euro di rendita percepibile dopo 1anno da un individuo di età x se in vita si indica con


34

1 1x xE v p=1 xp Probabilità di sopravvivenza per un anno per un individuo di

età x

Il valore attuariale di un euro di rendita percepibile dopo n anni da un individuo di età x se in vita si indica con

nn x n xE v p=

n xp Probabilità di sopravvivenza per n anni per un individuo di età x


Consideriamo tutte le ulteriori possibili rate


35

x x+2 x+3 x+h

1 1

hx h x h x

h h

a E v p+∞ +∞

= =

= =∑ ∑

.

.

.

U 1 1 1 1…

x+11 xv p

22 xv p

33 xv p

hh xv p

…


36

n 10i 3%

vn 0,7440939Tavola Italia Maschi 2006 HMD

età nEx30 0,73778240 0,73019050 0,70821460 0,65302170 0,51310080 0,243945

Esempi numerici


37

Rendita vitalizia posticipata – Tavola IT maschi 1992

i = 3%età ax età ax età ax età ax età ax

0 28,865 30 45,212 50 17,4214 60 13,295 70 9,206

1 29,000 31 44,292 51 17,0218 61 12,877 71 8,811

2 28,884 32 43,366 52 16,6200 62 12,462 72 8,408

3 28,761 33 42,433 53 16,2127 63 12,047 73 8,049

4 28,631 34 41,504 54 15,8026 64 11,629 74 7,635

5 28,496 35 40,571 55 15,3918 65 11,221 75 7,256… … … … … … … … … …

Esempi numerici


Per la valutazione attuariale di una rendita vitalizia due concetti fondamentali

1. Attualizzazione delle somme future – aspetto puramente finanziario

2. Quantificazione dell’incertezza - aspetto probabilistico


38

Il principio per il calcolo del premio

Sia Y il valore attuale aleatorio delle prestazioni fornite dall’assicuratore

ed U il premio unico (certo) richiesto dall’assicuratore.Per l’assicuratore la perdita è aleatoria pari a

L=Y-U .


39

Il principio per il calcolo del premio

Principio di equità


40

( ) ( ) 0E L E Y U= − =

Valore atteso della perdita dell’assicuratore

e quindi ( )U E Y=

Premio equo(unico puro)

Valore attuariale delle prestazioni

Calcolo del premio


41

x x+1

.

.

.

1

1 xv p

U

Pertanto il premio unico per un euro di capitale percepibile dopo un anno da un individuo di età x se in vita è pari a

1 1x xU E v p= =

Calcolo del premio


42

Il premio unico per la rendita vitalizia unitariaimmediata posticipata per un individuo di età x è pari a

xU a=

.

.

.

U 1 1 1 1…

x+11 xv p

22 xv p

33 xv p

nn xv p

x+2 x+3 x+nx

Osservazioni sulla probabilità di sopravvivenza e sul tasso tecnico


43

Il premio relativo alla generica n-sima rata unitaria di rendita è pari a

nn x n xU E v p= =

x x+n

.

.

.

1

nn xv p

U

Per tale valutazione sono stati fissati il tasso di interesse i ela probabilità di sopravvivenza n xp

Osservazioni sulla probabilità di sopravvivenza e sul tasso tecnico


44

Siano * *

* *

e tali che n x

n x n x

i p

i i e p p> <

Risulta( ) ( ) ( )* * *, , , n x n x n xU i p U i p U i p< <

Il premio risulta funzione decrescente del tasso di interesse e funzione crescente della probabilità di sopravvivenza .


45

Sia* * tale che .i i i>

n 10tasso 3% 5%età x 10Ex 10Ex

40 0,723384 0,59682750 0,689551 0,56891360 0,600773 0,49566770 0,439933 0,362966

Il premio calcolato con la base (3%,1992) è più favorevole all’assicuratore rispetto a quello calcolato con la base (5%,1992).

Si considera la tavola di sopravvivenza Italia Maschi 1992.

Esempi numerici


46

n 10i 3%

vn 0,7440939

Tavole Italia maschi HMD 1992 1995 2000 2002 2006

età nEx nEx nEx nEx nEx

30 0,732086 0,731148 0,735474 0,736145 0,73778240 0,723384 0,724987 0,727557 0,727977 0,73019050 0,689551 0,694283 0,700603 0,703295 0,70821460 0,600773 0,610678 0,632324 0,639885 0,65302170 0,439933 0,449614 0,473437 0,483657 0,51310080 0,183008 0,191969 0,213057 0,222448 0,243945

Esempi numerici

Esempi numerici


47

Siano(i*, p*)=(5%, IT maschi 1992) (i, p)=(3%, IT maschi 2006)

* * * * e tali che e i p i i p p> <

n 10tasso 5% 3% 3%tavola 1992 1992 2006

età 10Ex 10Ex 10Ex

40 0,596827 0,723384 0,73019050 0,568913 0,689551 0,70821460 0,495667 0,600773 0,65302170 0,362966 0,439933 0,513100

Il premio calcolato con la base (3%,2006) è più favorevole all’assicuratore rispetto a quello calcolato con la base (5%,1992)

Rendite vitalizie


48

Sapendo che per un individuo di età x una rendita unitaria immediata e posticipata (a rate di importo unitario) al tasso tecnico i ha un costo (premio unico) pari a

quanto costa una rendita di rata R?Si ha

1

1hx h x

h

U a v p+∞

=

= = ⋅∑

1 1

h hR h x h x x

h h

U v p R R v p R a+∞ +∞

= =

= ⋅ = =∑ ∑

Rendite vitalizie


49

Un individuo di età x ha disponibile un capitale (montante) M. Qual è la rata della rendita vitalizia immediata che può comprare con tale somma (premio unico) ? La risposta si ottiene risolvendo l’equazione che uguaglia la disponibilità economica M al costo della rendita di rata R, cioè da

xM R a=

si ottiene 1

x

R Ma

=

Coefficiente di conversione


50

Si definisce coefficiente di conversione e fornisce l’importo della rata di rendita vitalizia unitaria immediata posticipata che si acquisisce con un montante unitario, come risulta dalla relazione

1x

x

ca

=

1

x

R Ma

=

ponendo M=1.

1

Teoria delle collettività



a.a. 2012/2013


Dispense Corso di Matematica finanziaria – seconda parte Prof. Angrisani – Anno Accademico 2012/2013

1

I) TEORIA DELLA COLLETTIVITA’

Consideriamo le seguenti funzioni della variabile temporale t appartenente all’intervallo ]T,0[ con

+∞≤T relative ad una assegnata popolazione o collettività:

=)t(P numero di individui della popolazione al tempo t ;

=)t(M numero di individui della popolazione morti tra 0 e t (con M(0)=0);

=)t(I numero di individui della popolazione divenuti invalidi tra 0 e t (con I(0)=0);

=)t(W numero di individui eliminati dalla popolazione per altre cause tra 0 e t (con W(0)=0);

=)t(N numero di individui “entrati” nella popolazione tra 0 e t (con N(0)=0).

Definiamo inoltre le intensità di variazione:

)t(n)t(N)t(w)t(W

)t(i)t(I)t(m)t(M

)t(p)t(P

=′=′

=′=′=′

e definiamo i seguenti tassi istantanei:

α(t)P(t)m(t)

= tasso istantaneo di mortalità,

β(t)P(t)i(t)

= tasso istantaneo di invalidità;

γ(t)P(t)w(t)

= tasso istantaneo di uscita della popolazione per altre cause;

(t)P(t)n(t) ν= tasso istantaneo di ingresso nella popolazione.


2

I.I) POPOLAZIONE SOGGETTA ALLA SOLA CAUSA DI ELIMINAZIONE PER MORTE

Consideriamo una popolazione soggetta alla sola causa di eliminazione per morte.

L’equazione di evoluzione della popolazione chiusa (non soggetta ad ingressi) è la seguente:

)0(P)r(P = − )r(M 0)0(M = , Tr0 ≤≤ .

Supposte derivabili le funzioni P(r) e M(r), nel generico istante r, risulta:

);r(M)r(P ′−=′

da cui:

α(r)P(r)

(r)MP(r)

(r)P−=

′−=

′.

Considerata quindi assegnata la funzione α(r) , 0≤r≤T, che fornisce il tasso istantaneo di mortalità,

funzione che supponiamo continua, possiamo considerare l’equazione differenziale lineare

omogenea del primo ordine:

α(r)P(r)

(r)P−=

′, 0 ≤ r ≤T , (1)

ovvero cercare una funzione P(r), il cui tasso istantaneo di variazione in ogni istante r, cioè )r(P)r(P′

,

sia pari (a meno del segno) a quello di mortalità.


3

Tale equazione differenziale, assegnata la condizione iniziale )0(P , ammette come soluzione la

seguente funzione della variabile temporale (che indichiamo con t):

∫−

⋅=

t

0α(r)dr

eP(0)P(t) . )2(

L’equazione differenziale lineare omogenea del primo ordine:

α(r)P(r)

(r)P−=

′

con assegnata la condizione iniziale )0(P , si risolve facilmente per integrazione:

[ ]

.

t

0α(r)dr

t

0

t

0

t0

t

0

t

0

eP(0)P(t)

drα(r)P(0)P(t)log

drα(r)logP(r)

α(r)drdrP(r)

(r)P

∫−

⋅=

−=

−=

−=′

∫

∫

∫∫

Osservazione importante

Se la funzione α(r) definita nell’intervallo 0 ≤ r ≤ T è ivi continua a tratti, cioè presenta al più un

numero finito di discontinuità di prima specie (salti) in ogni intervallo finito, allora la funzione α(t)

risulta comunque integrabile in ogni intervallo limitato e l’integrale ∫−t

0

α(r)dr è una funzione

continua dell’estremo superiore di integrazione t.


4

La funzione definita dalla (2) è derivabile negli intervalli di continuità della α(t) ed è ancora

soluzione della equazione differenziale (1) in tali intervalli mentre nei punti di discontinuità della

funzione α(r) la funzione espressa dalla (2) è continua ma non derivabile.

Sebbene supponiamo, per semplicità di trattazione, che i tassi istantanei siano funzioni definite e

continue nell’intervallo 0 ≤ r ≤ T, in effetti tutte le conclusioni che traiamo permangono valide

anche nella ipotesi che tali tassi siano forniti da funzioni definite e continue solo a tratti in tale

intervallo. In quest’ultimo caso le funzioni espresse mediante tali tassi risultano derivabili nei punti

in cui le relative funzioni che forniscono i tassi istantanei sono continue, mentre nei rimanenti punti

risultano funzioni solo continue.

Dalla )2( si ha, per il rapporto )0(P)t(P , la seguente espressione:

∫−

=

t

0α(r)dr

eP(0)P(t)

.

Dunque tale rapporto rappresenta la quota della popolazione iniziale )0(P che “sopravvive” al

tempo t . Possiamo pertanto interpretare tale rapporto come la probabilità che un individuo presente

nella popolazione iniziale al tempo 0 sopravviva al tempo t , cioè esplicitamente possiamo definire

la probabilità:

∫−

==

t

0α(r)dr

m eP(0)P(t)t)(0,p . )3(


5

Evidentemente a tale definizione di probabilità è implicitamente associata l’ipotesi che tutti gli

individui presenti nella popolazione al tempo 0, siano esposti nella stessa misura al rischio di

eliminazione per morte.

Dati due istanti u e v con vu ≤ dalla )2( segue:

∫−

=

v

uα(r)dr

eP(u)P(v)

.

Pertanto ragionando per gli istanti u e v in modo analogo a quanto già fatto per gli istanti 0 e t ,

possiamo definire:

∫−

=

v

uα(r)dr

m ev)(u,p (4)

e considerare )v,u(pm come la probabilità che un generico individuo presente nella popolazione

all’istante u sopravviva all’istante v .

Considerati gli istanti u, z, v con 0 ≤ u ≤ z ≤ v risulta:

∫−∫−∫−∫−∫−

⋅===

v

zα(r)dr

z

uα(r)dr

v

zα(r)dr

z

uα(r)dr

v

uα(r)dr

m eeeev)(u,p

da cui la proprietà moltiplicativa per la probabilità di sopravvivenza rispetto alla decomposizione

temporale:

)v,z(p)z,u(p)v,u(p mmm ⋅= . (5)


6

Esempio n. 1

Consideriamo una popolazione esposta al tasso istantaneo annuo di eliminazione costante del

2%.

La probabilità che un individuo presente al tempo iniziale 0 sopravviva dopo 3 anni è pari a:

0,942eee(0,3)p 0,0630,02m

3

00,02dr

==== −×−− ∫

.

Si osservi che tale probabilità è superiore al 94%.

La probabilità che un individuo presente nella popolazione dopo 5 anni, sopravviva al decimo

anno è:

0,905ee(5,10)p 0,1

10

50,02dr

m === −∫−

.


7

Esempio n. 2

Sia 000.100)0(P = individui. Supponiamo che dopo 2 anni 000.94)2(P = e supponiamo che gli

individui siano “usciti” dalla popolazione per la sola causa di eliminazione per morte e che tale

causa abbia agito con un tasso istantaneo annuo costante. Si vuole calcolare tale tasso.

∫−

⋅=

2

0αdr

eP(0)P(2)

da cui:

3,09%.0,030910094log

21α

10094log2α

e100.00094.000

eP(0)P(2)

2α

2α

≅=−=

=−

=

⋅=

−

−


8

Si supponga ora che il tasso sia stato costante nel primo anno e che nel secondo anno tale tasso

sia stato altresì costante ma superiore del 10% rispetto a quello dell'anno precedente.

Si vogliano calcolare tali tassi.

%.95,20,029510094log

2110α

10094log,12

eP(0)P(r)

eP(0)P(r)

eeP(0)P(r)

eP(0)P(r)

1α,2

1α,2

1α,1α

2

1dr1,1

1

0αdr

≅=−=

α−

=

⋅=

⋅⋅=

⋅=

−

−

−

−

−

∫ α+∫

Il tasso nel primo anno è stato del 2,95% e nel secondo del 3,24%.


9

Esempio n. 3

Con )t(P indichiamo la numerosità di una popolazione al variare del tempo t. Sia

000.100)0(P = individui e dopo 10 anni 000.62)10(P = . Supponiamo che abbia agito un tasso

istantaneo di eliminazione per morte α(r) , costante in ciascun anno e che tale tasso risulti

crescente del 10 % ogni anno.

Si vuole calcolare tale tasso:

α 0≤r<1

αγ ⋅ 1≤r<2

α(t) = …………………..

…………………..

αγ9 ⋅ 9≤r≤10

dove 1,1γ = è il fattore di crescita annuale del tasso istantaneo di eliminazione.

Si ha:

∫−

⋅=

t

0α(r)dr

eP(0)P(t)

e quindi:


10

∫ ∫ ∫ ⋅++⋅+−

⋅=

1

0

2

1

10

9αdr9γ........αdrγαdr

eP(0)P(10)

da cui:

⋅++⋅+⋅+−

⋅=9γα.............2γαγαα

eP(0)P(10)

( )9γ...........2γγ1αeP(0)P(10) ++++−⋅=

1γ110γα

eP(0)P(10) −−

⋅−

⋅= .

Pertanto:

1γ110γα

eP(0)P(10) −

−⋅−

=

1γ1γα

P(0)P(10)log

10

−−

⋅−=

1γ1γ

P(0)P(10)log

α 10

−−

−=


11

3%15,93740,4780α ≅= .

Da cui si ricava immediatamente il valore della funzione α(r) per 10r0 ≤≤ .

Dalla )2( , indicata con s la variabile indipendente al posto di t e derivando si ottiene l’espressione:

( )( )sαeP(0)(s)Ps

0α(r)dr

−⋅⋅=′∫−

.

Integrando tra 0 e t si ottiene:

ds)s(e)0(Pds)s(P)0(P)t(Pt

0

s

0dr)r(t

0

α⋅⋅−=′=− ∫∫∫α−

. (6)


12

Quindi dalla equazione di evoluzione della popolazione, cioè )t(M)0(P)t(P −= , con M(0)=0,

nell’intervallo Tt0 ≤≤ , segue per il numero )t(M di individui eliminati dalla popolazione

nell’intervallo [ ]t,0 , la seguente espressione:

α(s)dseP(0)M(t)t

0

s

0α(r)dr

⋅⋅= ∫∫−

. (7)1

Considerando ancora l’equazione di evoluzione della popolazione, e dalla (2) si ha altresì che:

−⋅=

∫−t

0α(r)dr

e1P(0)M(t) . ( )7′

Con riferimento all’osservazione a pag. 4, si ha che nell’ipotesi che la funzione α(r) sia definita e

continua solo a tratti nell’intervallo [0, T], la funzione M(t), definita dalla (7), risulta continua

nell’intervallo [0,T] e derivabile nei punti in cui la α(r) è continua.

1 Si osservi inoltre che l’integrale (7) può essere approssimato dalla sommatoria ottenuta dividendo l’intervallo [0,t] in

n sottointervalli uguali di ampiezza nts =∆ , ,00 =s ,1 ss ∆= ,2 2 ss ∆= , ,tsnsn =∆= cioè

[ ]sin 1 n 1 n 1 n 1α(r)dr0

i i i i 1 i 1 ii 0 i 0 i 0 i 0

P(0) e α(s )Δs P(s ) α(s )Δs ΔM(s ) M(s ) M(s ) M(t) M(0) M(t).− − − −− ∫

+ += = = =

⋅ ⋅ = ⋅ ≅ = − = − =∑ ∑ ∑ ∑


13

Si osservi che, in base alla )2( , il prodotto ∫−

⋅

s

0α(r)dr

eP(0) all’interno dell’integrale nella (7)

rappresenta la numerosità della popolazione sopravvissuta all’istante s a cui si applica il tasso

istantaneo di mortalità α(s) .

Dalla (2), derivando sempre rispetto al tempo ed integrando tra due istanti u e v, 0 ≤ u ≤v,

otteniamo:

α(s)dseP(u)P(v)P(u)v

u

s

uα(r)dr

⋅⋅=− ∫∫−

(8)

relazione che utilizziamo per definire la probabilità di eliminazione per morte tra gli istanti u e v:

( ) α(s)dseP(u)

P(v)P(u)vu,qv

u

s

uα(r)dr

m ⋅=−

= ∫∫−

. (9)

Risulta ovviamente, in base alle definizioni:

)v,u(p1)u(P)v(P1

)u(P)v(P)u(P)v,u(q mm −=−=

−= .

Dalla (4) e dalla (9) si ha dunque la relazione tra gli integrali, che può essere altresì verificata

direttamente:

∫−∫−

−=⋅∫v

uα(r)dr

s

uα(r)dr

e1α(s)dsev

u. )10(


14

Si osservi che considerati gli istanti 0 ≤ u ≤ z ≤ v risulta:

v).(z,qz)(u,pz)(u,q

α(s)dsez)(u,pz)(u,qα(s)dsez)(u,q

α(s)dseα(s)dseα(s)dsev)(u,q

mmm

s

zα(r)dr

zmm

z

s

zα(r)dr

z

uα(r)dr

m

z

s

uα(r)dr

u

s

uα(r)dr

u

s

uα(r)dr

m

vv

vzv

⋅+=

=⋅⋅+=⋅+=

=⋅+⋅=⋅=

∫−∫−∫−

∫−∫−∫−

∫∫

∫∫∫

Cioè la decomposizione temporale della probabilità di morte:

)v,z(q)z,u(p)z,u(q)v,u(q mmmm ⋅+= . (11)


15

Esempio n. 4

Sia data una popolazione su cui agisce la sola causa di eliminazione per morte con tasso

istantaneo annuo costante α . Si calcoli la probabilità di eliminazione nell’intervallo temporale

[u, v].

( )( )

( )αuvαus

αuss

uαdr

e1α

eααdseαdsev)(u,qv

u

v

u

v

um

−−−

−∫−−=

−=⋅=⋅=

−−∫∫ .

P.e. se:

u = anno 1, v = anno 6, =α 0,01

0,0487e1e1(1,6)q 0,050,015m =−=−= −⋅− .

Si osservi che, in base alla (11), posto =z anno 4, risulta:

)6,4(q)4,1(p)4,1(q)6,1(q mmmm ⋅+= ,

ovvero:

)e1(ee1e1 02,003,003,005,0 −−−− −⋅+−=− .


16

I.II) POPOLAZIONE SOGGETTA A DUE CAUSE DI ELIMINAZIONE: MORTE ED

INVALIDITA’

L’equazione di evoluzione della popolazione nell’ipotesi che agiscano due cause indipendenti di

eliminazione, morte ed invalidità, è la seguente:

[ ])r(I)r(M)0(P)r(P +−= con M(0)=I(0)=0.

Da cui, se le funzioni P(r), M(r) e I(r) sono derivabili, la relazione nel generico istante r tra le

derivate:

[ ])r(I)r(M)r(P ′+′−=′ .

E quindi la relazione tra la funzione P(r) ed i tassi istantanei di mortalità ed invalidità:

[ ] [ ]β(r)α(r)P(r)

(r)I(r)MP(r)

(r)P+−=

′+′−=

′. )12(


17

Assegnate le funzioni α(r) e β(r) che supponiamo definite e continue per 0≤r≤T, la (12) è una

equazione differenziale dello stesso tipo della (1), cioè lineare ed omogenea del primo ordine, la cui

soluzione è:

[ ]∫ +−

⋅=t

0drβ(r)α(r)

eP(0)P(t) . )13(

Abbiamo quindi, al variare del tempo t, la numerosità della popolazione esposta alle due cause di

eliminazione, morte ed invalidità, in funzione dei corrispondenti tassi istantanei.

Se le funzioni α(r) e β(r) sono definite in [0, T] e ivi continue solo a tratti valgono le

considerazioni già svolte per il caso di una sola causa di eliminazione.

Analogamente al caso in cui si abbia una sola causa di eliminazione possiamo definire la probabilità

di sopravvivenza alle due cause di eliminazione morte ed invalidità tra l’istante 0 e l’istante t:

[ ]∫ +−

=

t

0drβ(r)α(r)

im, et)(0,p ,

cioè la probabilità che un individuo presente nella popolazione all’istante 0 , sopravvivendo alle due

cause di eliminazione, sia ancora presente nella popolazione all’istante t .


18

Più in generale, dati due istanti u e v , con vu0 ≤≤ , dalla (13) segue:

[ ] ( ) ( )

∫ ∫ +++−∫ +−

⋅=⋅=u

0

v

udrβ(r)α(r)drβ(r)α(r)

v

0drβ(r)α(r)

eP(0)eP(0)P(v)

cioè:

( )∫ +−⋅=

v

udrβ(r)α(r)

eP(u)P(v) . (14)

Possiamo quindi definire la probabilità:

[ ]∫ +−=

v

udrβ(r)α(r)

im, ev)(u,p (15)

che un individuo presente nella popolazione all’istante u , sopravvivendo alle due cause di

eliminazione morte ed invalidità, sia ancora presente nella popolazione all’istante v .


19

Per la probabilità di non eliminazione )v,u(p i,m , dalla (15) segue, per le note proprietà

dell’integrale e della funzione esponenziale, che:

[ ]v)(u,pv)(u,peeev)(u,p im

v

uβ(r)dr

v

uα(r)dr

v

udrβ(r)α(r)

im, ⋅=⋅==∫−∫−∫ +−

con

∫−

∫−

=

=

v

uβ(r)dr

i

v

uα(r)dr

m

ev)(u,p

ev)(u,p

dove )v,u(pm rappresenta la probabilità assoluta di non eliminazione dalla collettività per morte

nell’intervallo [ ]v,u , cioè la probabilità di non eliminazione per la causa morte in presenza di

questa sola causa di eliminazione nella collettività e )v,u(pi rappresenta la probabilità assoluta di

non eliminazione dalla collettività per la causa invalidità nell’intervallo [ ]v,u .

La relazione

)v,u(p)v,u(p)v,u(p imi,m ⋅=

è nota come secondo teorema di Karup.


20

Dalla )13( , indicata con s al posto di t la variabile temporale e derivando, si ottiene la relazione:

( )[ ]β(s)α(s)eP(0)(s)P

s

0drβ(r)α(r)

+⋅⋅−=′∫ +−

.

Integrando quest’ultima relazione tra u e v, con 0 ≤ u ≤ v, si ottiene:

( )[ ]dsβ(s)α(s)eP(0)(s)dsP

v v

u u

s

0drβ(r)α(r)

+⋅⋅−=′∫ ∫∫ +−

e quindi:

[ ] [ ][ ]dsβ(s)α(s)eP(0)P(v)P(u)

v

u

u

0

s

udrβ(r)α(r)drβ(r)α(r)

+⋅⋅=− ∫∫ ∫ +−+−

,

da cui:

[ ][ ]dsβ(s)α(s)eP(u)P(v)P(u)

v s

udrβ(r)α(r)

u

+⋅⋅=− ∫∫ +−

. (16)


21

La (16) fornisce dunque il numero di individui che sono stati eliminati dalla popolazione per morte

o per invalidità nell’intervallo [ ]v,u .

Dalla (16) si ottiene:

[ ][ ]dsβ(s)α(s)e

P(u)P(v)P(u) v

u

s

udrβ(r)α(r)

+⋅=−

∫∫ +−

(17)

espressione che fornisce il rapporto tra il numero di individui che sono stati eliminati nell’intervallo

[ ]v,u per una delle due cause, morte o invalidità, e la popolazione al tempo u. Espressione che

possiamo interpretare come la probabilità che un individuo presente nella popolazione al tempo u

ne sia stato eliminato, per una delle due predette cause, entro il tempo v .

Possiamo cioè definire:

[ ][ ]dsβ(s)α(s)ev)(u,q

v

u

s

udrβ(r)α(r)

im, +⋅= ∫∫ +−

. (18)


22

Tenendo presente che per l’equazione di evoluzione della popolazione risulta:

[ ] [ ])u(I)v(I)u(M)v(M)v(P)u(P −+−=− ,

dalla relazione (16) segue, per la proprietà di linearità dell’integrale:

[ ] [ ][ ] [ ]

β(s)ds;eP(u)α(s)dseP(u)

I(u)I(v)M(u)M(v)P(v)P(u)vv

u

s

udrβ(r)α(r)

u

s

udrβ(r)α(r)

⋅⋅+⋅⋅=

=−+−=−

∫∫∫ +−∫ +−

e quindi possiamo distinguere gli eliminati dalla popolazione in base alla causa di eliminazione,

morte o invalidità. Si ha infatti:

[ ]α(s)dseP(u)M(u)M(v)

v

u

s

udrβ(r)α(r)⋅⋅=− ∫

∫ +−

(19a)

[ ]β(s)dseP(u)I(u)I(v)

v

u

s

udrβ(r)α(r)⋅⋅=− ∫

∫ +−

, (19b)

da cui ricaviamo sia la quota di popolazione rispetto a quella presente all’istante u, che è stata

eliminata entro l’istante v per morte, sia la quota di popolazione rispetto a quella presente all’istante

u, che è stata eliminata entro l’istante v per invalidità, cioè:

[ ]α(s)dse

P(u)M(u)M(v) v

u

s

udrβ(r)α(r)⋅=

−∫

∫ +−

(20a)

[ ] β(s)dse

P(u)I(u)I(v) v

u

s

udrβ(r)α(r)⋅=

−∫

∫ +−

. (20b)


23

La (20a) ci fornisce la quota della popolazione presente al tempo u che è stata eliminata per morte,

in presenza anche dell’azione dell’altra causa di eliminazione, l’invalidità, nell’intervallo temporale

[ ]vu, .

Si osservi che nella (19a), dalla quale deduciamo la (20a), il prodotto:

[ ]∫ +−⋅

s

udrβ(r)α(r)

eP(u)

rappresenta, per la (14), la popolazione residua rispetto a quella presente all’istante u ovvero non

eliminata per alcuna delle due cause dall’istante u sino all’istante s, popolazione sulla quale agisce il

tasso istantaneo di eliminazione per morte α(s) .

Possiamo quindi considerare l’espressione fornita dalla (20a) come la probabilità che un individuo

presente nella popolazione al tempo u sia eliminato per morte entro il tempo v in presenza anche

dell’altra causa di eliminazione: l’invalidità. Poniamo quindi:

[ ]α(s)dsev)(u,q

v

u

s

udrβ(r)α(r)

im ⋅= ∫

∫ +−

(21)

e definiamo )v,u(qim come la probabilità relativa (dipendente o parziale) di eliminazione per

morte nell’intervallo [ ]v,u in quanto nella sua determinazione si è tenuto anche conto della

presenza dell’altra causa di eliminazione: l’invalidità.


24

Analogamente possiamo definire dalla (20b):

[ ]β(s)dsev)(u,q

v

u

s

udrβ(r)α(r)

mi ⋅= ∫

∫ +−

(22)

come la probabilità relativa di eliminazione per invalidità nell’intervallo [ ]v,u in quanto nella sua

determinazione si tiene conto che sulla popolazione agisce anche la causa di eliminazione per

morte.

Dalla (18), (21) e (22) segue, per la proprietà di linearità dell’integrale, la relazione:

)v,u(q)v,u(q)v,u(q mi

imi,m +=

che indica la proprietà additiva delle probabilità relative di eliminazione, nota come primo

teorema di Karup.


25

I.III) POPOLAZIONE SOGGETTA A DUE CAUSE DI ELIMINAZIONE E IN PRESENZA DI

TASSI ISTANTANEI COSTANTI

Consideriamo ora il caso di una popolazione su cui agiscono due cause indipendenti di

eliminazione, morte ed invalidità, con tassi istantanei di eliminazione costanti α e β . Calcoliamo,

in tale situazione, le probabilità relative di eliminazione nell’intervallo temporale [ ]v,u . Risulta:

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( ).e1βα

αeβα

α

αdseαdsev)(u,q

βαuvβαus

u

βαus

u

s

udrβα

im

v

u

vv

+−−+−−

+−−∫ +−

−⋅+

=

⋅

+−=

=⋅=⋅= ∫∫

Analogamente risulta:

( )( )( )βαuve1βα

βv)(u,qmi

+−−−⋅+

=

Si osservi che:

( )( )βαuvim,

mi

im e1v)(u,qv)(u,qv)(u,q +−−−==+ .


26

Dalla (21) e dalla (22), tenuto conto della (20a) e della (20b), seguono le relazioni:

( )( )( )

( )( )( ) .P(u)

I(u)I(v)e1βα

β

P(u)M(u)M(v)e1

βαα

βαuv

βαuv

−=−⋅

+

−=−⋅

+

+−−

+−−

(*)

Dalle (*) sommando membro a membro segue la relazione:

( )

P(u)P(v)P(u)e1 βαu)(v −

=− +−− (**)

da cui:

P(u)P(v)logβ)u)(α(v

P(u)P(v)e β)u)(α(v

=+−−

=+−−

e quindi:

P(u)P(v)log

uv1β)(α ⋅−

−=+ . (***)


27

Dalla prima delle (*), tenuto conto di (**), segue:

P(u)M(u)M(v)

P(u)P(v)P(u)

βαα)e(1

βαα β)u)(α(v −

=−

⋅+

=−⋅+

+−−.

Dalla seconda uguaglianza, tenendo conto di (***), segue, per il tasso istantaneo di mortalità,

l’espressione:

P(u)P(v)log

uv1

P(v)P(u)M(u)M(v)β)(α

P(v)P(u)M(u)M(v)α ⋅

−⋅

−−

−=+⋅−−

=

ed analogamente si ottiene l’espressione per il tasso istantaneo di invalidità β, cioè

P(u)P(v)log

uv1

P(v)P(u)I(u)I(v)β ⋅

−⋅

−−

−= .

Queste relazioni, nell’ipotesi che sulla popolazione agiscano le due cause di eliminazione, morte ed

invalidità, con tassi di eliminazione costanti, esprimono tali tassi in funzione del numero degli

individui che sono morti o diventati invalidi nell’intervallo temporale [u, v] e della numerosità della

popolazione agli estremi di tale intervallo.


28

II) RELAZIONE TRA PROBABILITA’ ASSOLUTE E RELATIVE DI ELIMINAZIONE

Consideriamo una popolazione la cui numerosità sia espressa dalla funzione P(t). Supponiamo che

su tale popolazione agisca solo la causa di eliminazione per morte con tasso istantaneo di

eliminazione fornito dalla funzione α(t) .

Nell’intervallo di tempo [ ]v,u risulta che il numero degli eliminati per morte si ottiene

moltiplicando P(u) per la probabilità assoluta di eliminazione per morte, ossia P(u) )v,u(q m⋅ .

Se su tale popolazione supponiamo che agisca anche la causa di eliminazione per invalidità, in tal

caso il numero degli eliminati per morte si ottiene moltiplicando P(u) per la probabilità relativa

(relativa all’altra causa di eliminazione invalidità) di eliminazione per morte e risulta pari a:

)v,u(q)u(P im⋅ .

La relazione che intercorre tra il numero degli eliminati per morte nei due casi in oggetto è la

seguente:

∫ ⋅⋅+⋅=⋅v

um

imm v)ds(s,qβ(s)P(s)v)(u,qP(u)v)(u,qP(u) (23)

ovvero:

∫ ⋅⋅+=v

umim,

imm v)ds(s,qβ(s)s)(u,pv)(u,qv)(u,q . (23′)


29

La (23) risulta interpretabile nel seguente modo: consideriamo il numero degli eliminati per morte

nell’ipotesi che agisca solo tale causa di eliminazione. Tale numero, nell’ipotesi che sulla

popolazione agisca anche la causa di eliminazione per invalidità, è ottenibile dalla somma di due

addendi. Il primo )v,u(q)u(P im⋅ è dato dal numero degli eliminati per morte in presenza anche

della causa di eliminazione per invalidità ed è pari, per quanto già visto, al prodotto della

numerosità della popolazione al tempo u, P(u), per la probabilità relativa di eliminazione per morte.

Per capire il senso della (23) è opportuno osservare che l’integrale ∫ ⋅⋅v

um v)ds(s,qβ(s)P(s) può

essere approssimato tanto quanto si vuole al crescere di n (n ∞→ ), nell’ipotesi di continuità, anche

solo a tratti, della funzione integranda, dalla seguente sommatoria:

( ) ( ) ( )n

uvv,uvnkuquv

nkuβuv

nkuP m

1

0k

n −⋅

−+⋅

−+⋅

−+∑

−

=

.

Si osservi altresì che n è il numero di sottointervalli di uguale ampiezza n

uv − , individuati dai punti

( )uvuku −+ , k=0,1, ..., n, in cui suddividiamo l’intervallo [ ]v,u .


30

Ciascun addendo della sommatoria che approssima l’integrale è individuato da un particolare valore

di k ed è il prodotto di quattro fattori, dei quali possiamo raggrupparne tre:

( ) ( )n

uvuvnkuβuv

nkuP −

⋅

−+⋅

−+ ;

questo prodotto fornisce una approssimazione del “pacchetto” di individui che vengono eliminati

dalla popolazione per invalidità nell’intervallo temporale di ampiezza n

uv − , successivo all’istante

)uv(nku −+ . Moltiplicando tale prodotto per ( )

−+ v,uv

nkuq m , probabilità assoluta di

eliminazione per morte nell’intervallo

−+ v),uv(

nku , otteniamo il numero degli individui di tale

“pacchetto” che sarebbero usciti per morte nell’intervallo di tempo considerato se non fossero usciti

per invalidità.

Deduciamo ora formalmente la (23).

Dalla (12), segue:

β(s)P(s)α(s)P(s)(s)P ⋅−=⋅+′

e quindi moltiplicando per )sv,(qm e sommando e sottraendo α(s)P(s) ⋅ , si ottiene:

( ) s)(v,qβ(s)P(s)α(s)P(s)α(s)P(s)s)(v,qα(s)P(s)(s)P mm ⋅⋅−=⋅+⋅−⋅⋅+′ .


31

Si osservi che risulta:

( ) s)(v,qP(s)dsdα(s)P(s)s)(v,qα(s)P(s)(s)P mm ⋅=⋅−⋅⋅+′

Infatti se si tiene presente che:

∫−−=

s

vα(r)dr

m e1s)(v,q

e quindi che:

α(s)s)(v,qα(s)α(s)α(s)α(s)eα(s)es)(v,qdsd

m

s

vα(r)dr

s

vα(r)dr

m −⋅=−+⋅−=⋅−=∫−∫−

si ottiene:

( )

[ ]. α(s)s)(v,qα(s)P(s)s)(v,q(s)P

s)(v,qdsdP(s)s)(v,q(s)Ps)(v,qP(s)

dsd

mm

mmm

−⋅⋅+⋅′=

=⋅+⋅′=⋅


32

Risulta pertanto:

( ) s)(v,qβ(s)P(s)α(s)P(s)s)(v,qP(s)dsd

mm ⋅⋅−=⋅+⋅ .

Se integriamo tale relazione rispetto ad s tra gli istanti u e v si ottiene:

( )∫ ∫∫ ⋅⋅−=⋅+⋅v vv

u um

um s)ds(v,qβ(s)P(s)α(s)dsP(s)dss)(v,qP(s)

dsd

e quindi dalla (21) e dalla (14):

∫ ⋅⋅−=⋅+⋅−⋅v

um

immm s)ds(v,qβ(s)P(s)v)(u,qP(u)v)(u,qP(u)v)(v,qP(v)

da cui la (23):

∫ ⋅⋅+⋅=⋅v

us)ds(v,qβ(s)P(s)v)(u,qP(u)v)(u,qP(u) m

imm (23)

Analoga relazione vale, ovviamente, tra la probabilità assoluta e relativa di invalidità:

∫ ⋅⋅+⋅=⋅v

ui

mii s)ds(v,qα(s)P(s)v)(u,qP(u)v)(u,qP(u) . (24)

Relazione quest’ultima che ha valore formale.


33

III) PROBABILITA’ DI ELIMINAZIONE PER COLLETTIVITA’ APERTE

Consideriamo una popolazione soggetta oltre alle due cause di eliminazione già considerate, morte

ed invalidità, ad una ulteriore causa di eliminazione che raggruppa tutte le altre possibili cause di

eliminazione differenti da quelle considerate.

Consideriamo pertanto le tre funzioni α(r), β(r), γ(r) , non negative, che forniscono i relativi tassi

istantanei al variare del tempo r, r∈[0, T].

Supponiamo inoltre che in tale popolazione possano entrare “nuovi” individui. Equipariamo tale

possibilità ad una causa di eliminazione a tasso istantaneo negativo (r)ν− , 0(r) ≥ν . Si parla in tal

caso di collettività aperta.

L’equazione di evoluzione di tale popolazione è dunque:

[ ] )r(N)r(W)r(I)r(M)0(P)r(P +++−= 0 ≤ r ≤ T con M(0)=I(0)=W(0)=N(0)=0

dove W(r) e N(r) rappresentano rispettivamente il numero di individui eliminati dalla popolazione

per cause diverse da mortalità ed invalidità e quello degli individui entrati a far parte della

popolazione tra gli istanti 0 ed r.

Derivando e dividendo per P(r):

)r(P)r(N

)r(P)r(W

)r(P)r(I

)r(P)r(M

)r(P)r(P ′

+′

−′

−′

−=′

cioè:

(r)γ(r)β(r)α(r)P(r)

(r)P ν+−−−=′

. (25)


34

Supposto che le funzioni α(r), ,β(r) γ(r) e (r)ν siano definite e continue in [0, T], la precedente

relazione è una equazione differenziale lineare omogenea del primo ordine, la cui soluzione è:

[ ]∫ ν−++−

⋅=t

0dr(r)γ(r)β(r)α(r)

eP(0)P(t) . (26)

Possiamo anche scrivere la funzione P(t) utilizzando le probabilità assolute di sopravvivenza, cioè:

∫⋅⋅⋅⋅=

t

0(r)dr

et)(0,pt)(0,pt)(0,pP(0)P(t) wim

ν

.

Dati due istanti u e v, con 0≤u≤v, risulta:

[ ]∫ −++−⋅=

v

udr(r)γ(r)β(r)α(r)

eP(u)P(v)ν

(27)

da cui:

∫⋅⋅=

v

u(r)dr

ev)(u,pP(u)P(v) wm,i,ν

.

v)(u,p wi,m, è la probabilità di sopravvivenza alle tre cause di eliminazione tra gli istanti u e v. Si

osservi che tale probabilità è pari al prodotto delle probabilità assolute di eliminazione relative allo

stesso intervallo temporale, cioè:

v)(u,pv)(u,pv)(u,pv)(u,p wimwi,m, ⋅⋅= .


35

Possiamo altresì scrivere:

[ ]∫ −++⋅−=v

u

ds(s)γ(s)β(s)α(s)P(s)P(u)P(v) ν (28)

da cui, ricavando P(s) dalla (27), risulta:

[ ][ ]ds(s)γ(s)β(s)α(s)eP(u)P(u)P(v)

v

u

s

udr(r)γ(r)β(r)α(r)

νν

−++⋅⋅−= ∫∫ −++−

. (29)

Quindi per la linearità dell’integrale e tenuto conto dell’equazione di evoluzione della popolazione,

[ ] [ ] [ ] [ ])u(N)v(N)u(W)v(W)u(I)v(I)u(M)v(M)v(P)u(P −−−+−+−=− , si ottiene:

[ ]α(s)dseP(u)M(u)M(v)

v

u

s

udr(r)γ(r)β(r)α(r)⋅⋅=− ∫

∫ −++− ν

(29.1)

[ ]β(s)dseP(u)I(u)I(v)

v

u

s


∫ −++− ν

(29.2)

[ ]γ(s)dseP(u)W(u)W(v)

v

u

drs

u(r)γ(r)β(r)α(r)

⋅⋅=− ∫∫ −++− ν

(29.3)

[ ]ν(s)ds.eP(u)N(u)N(v)

v

u

s


∫ −++− ν

(29.4)

Le prime tre relazioni forniscono il numero di individui eliminati dalla popolazione nell’intervallo

temporale [u, v] per le cause di morte, invalidità, o di altro tipo e l’ultima il numero dei nuovi

entrati nella popolazione nello stesso intervallo.


36

III.I) PROBABILITA’ DI ELIMINAZIONE PER COLLETTIVITA’ APERTE IN PRESENZA DI

TASSI ISTANTANEI COSTANTI

Supponiamo costanti nell’intervallo temporale [ ]v,u le funzioni che definiscono i tassi istantanei,

α,α(r) = β,β(r) = γγ(r) = , .(r) νν =

Consideriamo dapprima il caso 0γβα ≠−++ ν (in cui risulta quindi P(u)≠P(v)).

In tale caso dalle (29.1)-(29.4) risulta che:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ])γβu)(α(v

)γβu)(α(v

)γβu)(α(v

γβu)(α(v

e1γβα

νP(u)

N(u)N(v)

e1γβα

γP(u)

W(u)W(v)

e1γβα

βP(u)

I(u)I(v)

e1γβα

αP(u)

M(u)M(v) )

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

−++−

−++−−

−++−

−++−

−

−

−

−⋅−++

=−

−⋅−++

=−

−⋅−++

=−

−⋅−++

=−

(30)

Sommando le prime tre uguaglianze del sistema (30) membro a membro e sottraendo l’ultima si

ottiene:

)γβu)(α(ve1P(u)

P(v)P(u) ν−++−−−=−

. (◊)


37

Da cui si ricava per la somma delle intensità istantanee l’espressione:

P(u)P(v)log

uv1γβα ⋅−

−=−++ ν . (◊◊)

Dalle relazioni (30), utilizzando (◊) e (◊◊), possiamo ricavare i quattro tassi istantanei α, β, γ e ν:

⋅

−−⋅

−−

=P(u)P(v)log

uv1

P(v)P(u)M(u)M(v)α

⋅

−−⋅

−−

=P(u)P(v)log

uv1

P(v)P(u)I(u)I(v)β

(31)

⋅

−−⋅

−−

=P(u)P(v)log

uv1

P(v)P(u)W(u)W(v)γ

⋅

−−⋅

−−

=P(u)P(v)log

uv1

P(v)P(u)N(u)N(v)ν


38

Sempre nell’ipotesi di tassi istantanei costanti, nel caso in cui però si ha 0γβα =−++ ν e risulta

quindi P(v)=P(u), il valore di tali tassi si ottiene direttamente dalle (29.1) - (29.4) ed è pari a:

uv1

P(u)M(u)M(v)α

−⋅

−=

uv1

P(u)I(u)I(v)β

−⋅

−=

(32)

uv1

P(u)W(u)W(v)γ

−⋅

−=

uv1

P(u)N(u)N(v)

−⋅

−=ν


39

Esempio n. 5

Consideriamo una collettività aperta. Nell’intervallo temporale [u, v], con v−u=1 anno, supponiamo

che abbiano agito tre cause di eliminazione, ed una di ingresso, con i seguenti tassi istantanei annui

costanti:

α=0,3%; β=0,2%; γ=0,1%; ν =0,2%.

Supponiamo inoltre che risulti:

P(u)=100.000.

In base alle relazioni (30) (si osservi che 0γβα ≠−++ ν ) il numero degli eliminati per singola causa

e degli “ingressi” nell’intervallo temporale [u, v] è pari a:

( )( )[ ]

( )( )[ ]

( )( )[ ]

( )( )[ ] 199,60e1γβα

P(u)N(u)N(v)

99,80e1γβα

γP(u)W(u)W(v)

199,60e1γβαβP(u)I(u)I(v)

299,40e1γβα

αP(u)M(u)M(v)

γβαuv

γβαuv

γβαuv

γβαuv

=−⋅−++

⋅=−

=−⋅−++

⋅=−

=−⋅ν−++

⋅=−

=−⋅−++

⋅=−

−++−−

−++−

−++−

−++−

−

−

−

ν

ν

ν

ν

νν

ν

ν

ν

ed inoltre al tempo v, cioè dopo un anno a partire dal tempo u, la popolazione P(v) è pari a:

[ ] [ ] [ ] [ ] 99.600,8399,2100.000N(u)N(v)W(u)W(v)I(u)I(v)M(u)M(v)P(u)P(v) ≅−=−+−−−−−−=


40

Esempio n. 6

Sia data una collettività aperta di individui esposta alle cause di eliminazione per morte, invalidità e

“varie”.

Supponiamo siano stati rilevati i seguenti “movimenti” nell’intervallo temporale [u, v] con v-u=2 anni.

50.N(u)N(v)

40W(u)W(v)

30I(u)I(v)

20M(u)M(v)

960P(v)

1.000P(u)

=−

=−

=−

=−

=

=

Supposti costanti i tassi istantanei annui di eliminazione α, β, γ, ed il tasso istantaneo annuo di

ingresso ν, si calcolino tali tassi in base ai dati rilevati. Per la (31) (si osservi che )v(P)u(P ≠ )

risulta:

α= 0102,0000.1

960log21

4020

=

−⋅

β= 0153,0000.1

960log21

4030

=

−⋅

γ= 0204,0000.1

960log21

4040

=

−⋅

ν = 0255,0000.1

960log21

4050

=

−⋅ .


41

Le precedenti formule (31) e (32) consentono di stimare, a partire dall’analisi di una “popolazione

storica”, i tassi istantanei di eliminazione e il tasso istantaneo di entrata nell’ipotesi che,

nell’intervallo temporale in considerazione, tali tassi risultino costanti. I tassi così stimati si possono

utilizzare per l’analisi previsionale di una popolazione similare.

Supponiamo quindi di avere a disposizione una popolazione storica.

Tracciamo in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico, le “storie” o traiettorie

dei singoli individui della popolazione.

In tale sistema di riferimento riportiamo in ascissa il tempo “assoluto” o di calendario riferito al

Periodo di Osservazione, P.O., ed in ordinate l’età degli individui (vedi “Figura 1”).

La storia di ogni individuo della popolazione è rappresentata quindi da un segmento, inclinato di

45°, il cui punto iniziale ha coordinate che corrispondono al tempo (di calendario) di entrata e

all’età di entrata dell’individuo nella popolazione storica ed il cui punto terminale ha coordinate che

corrispondono al tempo e all’età di uscita dell’individuo dalla “popolazione storica”.

Si osservi che parliamo di punto iniziale e di punto terminale del segmento in quanto lo

consideriamo orientato secondo il verso di crescita delle coordinate dei punti (tempo di calendario,

età dell’individuo).

Definiamo come “pareti temporali” le rette perpendicolari all’asse temporale negli istanti IT e FT ,

istanti che delimitano il periodo o finestra di osservazione.

Consideriamo come traiettorie entranti nel P.O. quelle relative a segmenti che “entrano” nella

finestra di osservazione in corrispondenza della “parete temporale” IT (tagliano cioè la relativa retta

perpendicolare nell’istante IT ) e come traiettorie uscenti dal P.O. quelle relative a segmenti che

“escono” dalla finestra di osservazione in corrispondenza della “parete temporale” FT (tagliano

cioè la relativa retta perpendicolare all’asse temporale nell’istante FT ).


42

Con riferimento alla Figura 1 il segmento r corrisponde ad un individuo che “entra” nella

popolazione storica al tempo 1T con una età di poco inferiore a 34 anni e ne esce ad un tempo

compreso tra 5T e 6T con una età di poco inferiore a 39 anni per una delle possibili cause di

eliminazione.

Il segmento s corrisponde ad un individuo che “entra” nel P.O. con una età di poco superiore ai 35

anni, mentre il segmento t corrisponde ad un individuo che esce dal P.O. con una età compresa tra

36 e 37 anni.

Definiamo come “piani temporali” le rette orizzontali corrispondenti a valori interi dell’età degli

individui.

Applichiamo il principio delle “pareti e dei piani temporali sottili”. Supponiamo cioè che una

traiettoria non possa avere né punto iniziale né punto finale in corrispondenza delle “pareti

temporali” o dei “piani temporali” o “attraversamenti” in corrispondenza delle intersezioni tra pareti

e piani.

Studiamo la numerosità della popolazione ottenuta dalla popolazione storica “schiacciando” l’asse

temporale: indichiamo cioè con )u(P∗ , dove u è l’età dell’individuo, il numero di individui della

popolazione storica che nel P.O. hanno raggiunto l’età u. Da un punto di vista grafico si tratta di

“contare” tutte le traiettorie che intercettano la quota di età u durante il Periodo di Osservazione.

Possiamo quindi studiare la numerosità )u(P∗ di individui al variare della variabile temporale età

u, che è la variabile in funzione della quale verranno valutati i successivi tassi istantanei di entrata e

di uscita per le varie cause. In effetti è come se avessimo creato una popolazione fittizia di individui

coetanei, “contata” da )u(P∗ , per i quali quindi l’evolversi del tempo coincide con l’evolversi della

età uguale per tutti.


43

Si osservi che alle naturali cause di ingresso e di uscita (morte, invalidità, altre) dalla popolazione

storica, per la popolazione "contata" da )u(P∗ , sono altresì da aggiungere la causa di ingresso

relativa alle traiettorie entranti nel P.O. e la causa di uscita relativa alle traiettorie uscenti dal P.O.

Studiamo quindi al variare della variabile temporale età la numerosità della popolazione “contata”

da )u(P∗ considerando in aggiunta alle naturali cause di ingresso e di uscita dalla popolazione

queste altre due cause fittizie.

49

Figura 1

Età u

39 38 r 37 s

36

t P*(35) = 3 35 34 T = tempo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 TI TF


50

Indichiamo con ,mu ,ui uw , un , rispettivamente il numero di eliminati per morte, invalidità ed

altre cause e gli ingressi nell'intervallo temporale di età (u, u+1), con u età intera. Vale la seguente

relazione (per valori interi dell'età u):

uuuuuu esn)wi(m(u)P1)(uP −++++−=+ ∗∗,

dove con us ed ue si indicano rispettivamente gli ingressi e le uscite dal P.O., cioè gli individui che

rispettivamente all’inizio ed alla fine del Periodo di Osservazione hanno età nella classe u, cioè

compresa tra u e u+1.

Per ricorsività si ha inoltre:

( ) ( )∑∑−

=

−

=

∗∗ +++−++=1u

axxxxx

1u

axxx ewimsn)(P)u(P a

essendo a la "soglia" di età assunta come iniziale per gli individui della popolazione storica.

Se supponiamo che, nell’intervallo di età (u, u+1), tutte le cause di ingresso e di uscita dalla

popolazione contata da )u(P∗ agiscono con intensità costante, comprese le due di ingresso e di

uscita dal P.O., allora possiamo applicare a tale popolazione le formule (31) o (32).


51

I) Se )u(P)1u(P ∗∗ ≠+ , si ha per i tassi istantanei:

(u)P1)(uPlog

1)(uP(u)Ps

σ

(u)P1)(uPlog

1)(uP(u)Pn

(u)P1)(uPlog

1)(uP(u)Pe

ε

(u)P1)(uPlog

1)(uP(u)Pw

γ

(u)P1)(uPlog

1)(uP(u)Pi

β

(u)P1)(uPlog

1)(uP(u)Pm

α

uu

uu

uu

uu

uu

uu

∗

∗

∗∗

∗

∗

∗∗

∗

∗

∗∗

∗

∗

∗∗

∗

∗

∗∗

∗

∗

∗∗

+⋅

+−−=

+⋅

+−−=

+⋅

+−−=

+⋅

+−−=

+⋅

+−−=

+⋅

+−−=

ν

dove uε e uσ indicano i tassi istantanei rispettivamente di ingresso e di uscita dal Periodo di

Osservazione.


52

II) Se ),u(P)1u(P ∗∗ =+ si ha per i tassi istantanei:

(u)Ps

σ

(u)Pn

(u)Pe

ε

(u)Pw

γ

(u)Pi

β

(u)Pm

α

uu

uu

uu

uu

uu

uu

∗

∗

∗

∗

∗

∗

=

=

=

=

=

=

ν

.


53

Esempio

Consideriamo una “popolazione storica” per la quale in un Periodo di Osservazione siano stati

accertati i valori di ,mu ui , uw , ue , un ed us forniti, al variare di u, dalla seguente matrice:

u 18 19 20 21 22 23 24

um 10 11 12 12 ….. ….. …..

ui 5 4 3 3 ….. ….. …..

uw 2 1 1 0 ….. ….. …..

ue 5 6 4 5 ….. ….. …..

un 11 12 12 9 ….. ….. …..

us 10 9 10 11 ….. ….. …..

S(u) -1 -1 +2 0 ….. ….. …..

)u(P∗ 1000 999 998 1000 ….. ….. …..

)1u(P +∗ 999 998 1000 1000 ….. ….. …..

( ) )u(P1uP)u(S ∗∗ −+=


54

Supposto che in ciascuna classe di età le cause di “ingresso” e di “uscita” agiscano con intensità

costante si hanno, per ciascuna classe di età, i seguenti tassi istantanei corrispondenti alle singole

cause di “entrata” e di “uscita” dalla popolazione:

18 19 20 21 22 23

uα 1% 1,1% 1,2% 1,2% ….. …..

uβ 0,5% 0,4% 0,3% 0,3% ….. …..

uγ 0,2% 0,1% 0,1% 0,0% ….. …..

uε 0,5% 0,6% 0,4% 0,5% ….. …..

uν 1,1% 1,2% 1,2% 0,9% ….. …..

uσ 1,0% 0,9% 1% 1,1% ….. …..


55

TAVOLE DI MORTALITA’ SULLA POPOLAZIONE ITALIANA PRODOTTE DALL’ISTAT.

Facendo riferimento a quanto precedentemente detto si considera un Periodo di Osservazione di un

anno, l’anno t. Indichiamo con )u(P*t gli individui della popolazione italiana che hanno raggiunto

l’età u nel corso dell’anno t (dal 1° gennaio al 31 dicembre), con )t(um gli individui morti nel corso

dell’anno t e con )t(ue gli individui che al 1° gennaio dell’anno t hanno età compresa nella classe u.

Il tasso grezzo di mortalità è fornito dal rapporto:

( ))u(Pe21

m

t)t(

u

u)t(u

∗+⋅=Π

Tale tasso si ottiene come rapporto tra il numero di decessi di individui di classe di età u, cioè età

compresa nell’intervallo (u,u+1), verificatisi nell’anno t ed il numero di individui esposti al rischio

di eliminazione per morte.

Vediamo come si determina il “denominatore” del rapporto cioè il numero di individui esposti al

rischio di eliminazione per morte.

Si suppone l’equidistribuzione nell’anno t degli “ingressi” nella classe di età u e l’equidistribuzione

degli individui nella classe di età u al 1° gennaio dell’anno t.

In tale caso ciascuno degli individui esposti al rischio di eliminazione per morte, sia se “entra” nella

classe di età u nel corso dell’anno t e quindi viene “contata” da )u(P*t , sia se appartiene alla classe

u all’inizio dell’anno t, e quindi viene contata da )t(ue , permane mediamente esposto al rischio di

eliminazione per morte per “mezzo anno”.

Infatti il tempo medio di esposizione al rischio di morte di un individuo appartenente alla prima

categoria di individui e cioè quelli contati da )u(P*t è fornito da:

( )21

211τ

21τdττ11

1

0

1

0

2 =−=

−=−⋅∫

dove la funzione 1 è la densità costante della distribuzione di individui entranti nella classe di età u

nel corso dell’anno t e 1- τ rappresenta il tempo residuo di permanenza nella classe di età nel

Periodo di Osservazione di un individuo entrato al tempo di calendario t+ τ .


56

In termini discreti, avendo diviso l’anno in n intervalli di tempo uguali ( )1n,.....,0k,nk

−==τ ,

l’integrale è approssimato dalla seguente sommatoria:

21

n21

21

n21

211

21

n1n1

2)1n(n

n11k

n11

n1

nk11 n

1n

0k22

1n

0k →+=+−=⋅

−−=

−⋅−=−=⋅

−⋅ ∞→

−

=

−

=∑∑

Pertanto ciascun individuo è esposto al rischio di eliminazione per morte per 21 anno.

Allora anziché considerare )u(Pt∗ individui esposti al rischio di eliminazione ciascuno mediamente

per 21 anno, si considerano in modo equivalente, )u(P

21

t∗ individui esposti al rischio di

eliminazione per 1 anno.

Analogamente si ragiona sugli individui che all’inizio dell’anno t già appartengono alla classe di età

u, cioè quelli “contati” da )t(ue .

Per la classe di età 0 si considera come tasso grezzo il rapporto )0(P

m

t

)t(0

∗ .

A tali tassi grezzi di mortalità si applica una doppia perequazione. La prima perequazione è fornita

dalla formula:

( ))()1()2()( 3261 t

ut

ut

ut

uΠ+Π+Π⋅=Π −− .

Per la seconda perequazione(per le classi di età tra 5 e 86 anni) si adotta la formula:

21)(2)(3)(67 332211 +−+−+−

Π+Π⋅−Π+Π⋅+Π+Π⋅+Π⋅= uuuuuuu

uq

La prima perequazione “regolarizza” il valore del tasso rispetto alla stessa classe di età u per periodi

di osservazione “vicini” a quello in considerazione t, mentre la seconda perequazione “regolarizza”

il valore del tasso rispetto a classi di età vicine ad u.

1

Sistema pensionistico



a.a. 2012/2013



Prof. Massimo Angrisani – Matematica finanziaria – seconda parte – a.a. 2012/2013 2

Definizione

Un sistema pensionistico percepisce contributi dall’iscritto durante la fase di

attività ed eroga pensioni nella fase di quiescenza.

Si stabilisce un “patto” tra l’Ente e il singolo iscritto in relazione alla contribuzione

e alla pensione.


3

Sistema pensionisticoCiclo vitale dell’iscritto

Maturazione della pensione

Principi a tutela dell’iscritto

Attivo Pensionato

Pagamento della pensione

Tutela dei diritti acquisiti

Non modificabilità delle pensioni

t

Anno di pensionamento

Prof. Massimo Angrisani – Matematica finanziaria – seconda parte – a.a. 2012/2013


4

Tasso di sostituzione

Rappresenta il rapporto tra la prima rata annua di pensione e l’ultima retribuzione(reddito), al momento della cessazione dell’attività lavorativa.Fornisce una misura del mantenimento del tenore di vita raggiunto nell’ultima fasedella vita lavorativa, nel periodo successivo del pensionamento .Più esattamente, una misura del livello di adeguatezza delle prestazioni:

Prima rata annua di pensioneUltima retribuzione (reddito)



5

Classificazione

I sistemi pensionistici si distinguono, sulla base delle modalità di gestionefinanziaria, in sistemi a ripartizione e sistemi a capitalizzazione, ai qualipossono essere associati criteri diversi di determinazione delle prestazioni(metodo retributivo e metodo contributivo).

Modalità di gestione

finanziaria

Modalità di calcolo della

pensione



6

65Parziale Capitalizzazione

ContributiCorrenti+Accumulo risorse: Riserva differenziale

43Ripartizione

21

RetributivaContributivaGestione finanziaria

Modalità di calcolo della pensione

Accumulando risorse Capitalizzazione

Contributi correnti



7

Gestione finanziaria a ripartizione

Si tratta di una modalità di gestione basata sul pagamento delle prestazionipensionistiche correnti mediante i contributi correnti.

Gestione finanziaria a capitalizzazione

Si tratta di una modalità di gestione basata sul pagamento delle prestazionipensionistiche correnti mediante l’accumulo di risorse.



8

Metodo di calcolo retributivo

La pensione annuale è pari a una fissata percentuale (coefficiente di rendimento,in termini della retribuzione pensionabile, di un anno di contribuzione) dellaretribuzione pensionabile moltiplicata per il numero di anni di contribuzione .

La retribuzione pensionabile può essere pari a:

Ultima retribuzione:

Media delle retribuzioni degli ultimi M anni, rivalutate all’inflazione:

inflazione costante:

inflazione non costante:

con:

= retribuzione dell’anno L-j ;

= tasso d’inflazione;

= tasso d’inflazione dell’anno L-k ;

per , la produttoria è sostituita dal valore 1.



9

Metodo di calcolo contributivo

La pensione annuale è pari al prodotto del montante contributivo individuale per ilcoefficiente di trasformazione relativo all’età di pensionamento:

Il montante contributivo individuale, data l’aliquota contributiva costante α, siottiene rivalutando i contributi versati nel regime della capitalizzazione composta:

tasso di rivalutazione costante:

tasso di rivalutazione non costante:kr

rcontributi computati posticipati

contributi computati posticipati,

per , la produttoria è sostituita dal valore 1


corso di - · programma • operazioni finanziarie in condizioni di certezza – l’operazione...

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