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Corso diProgetto di Strutture

POTENZA, a.a. 2012 – 2013

Le piastre in grandi spostamenti

Dott. Marco VONAScuola di Ingegneria, Università di Basilicata

[email protected] http://www.unibas.it/utenti/vona/

l

y

IPOTESI DI BASE

Se gli spostamentinon possono essere considerati infinitesimi lateoria alla base delle piastre deve essere modificata

STUDIO DELLE PIASTRE IN GRANDI SPOSTAMENTI

xz

Come conseguenza le forze contenute nel piano della piastra

nx , ny

nxy , nyx

Non possono esseretrascurate

PIASTRE RETTANGOLARI

Se gli spostamenti non possono essere considerati piccoli bisognarivedere l’equazioneLAGRANGE includendo la deformazionedel piano medio


D

b

y

w

yx

w

x

w z=∂∂+

∂∂∂+

∂∂

4

4

22

4

4

4

2Dyyxx

=∂

+∂∂

+∂ 4224

2

( )D

bww z=∆=∆∆ 2

considerando anche le sollecitazioni (per unità di lunghezza) nelpiano della piastra

xyyx nnn ,,

PIASTRE RETTANGOLARI

Considerando un elemento infinitesimodx, dy


dyy

nn y

y ϑϑ

+dy

y

nn yx

yx ϑϑ

+

dxn

n xϑ+

x

y

yn xyn

dxx

nn x

x ϑϑ+

dxx

nn xy

xy ϑϑ

+xn

xyn

È possibile scriverel’equilibrio allatraslazione lungogli assi x e y


0

0

=+

=+

nn

y

n

x

n

yxy

xyx

ϑϑϑ

ϑϑϑ

Equilibrio allatraslazione assi x e y

y

dyy

nn y

y ϑϑ

+

n

dyy

nn yx

yx ϑϑ

+

dxx

nn x

x ϑϑ+

dxx

nn xy

xy ϑϑ

+xn

xyn

0=+x

n

y

n yxy

ϑϑ

ϑϑ

Inoltre, se le deformazioni del piano medio non sono piùtrascurabili dobbiamo aggiungere le componenti relative alleproiezioni sui piani xz e yz

x

ynxyn xxy ϑ


xn x

w

ϑϑ

dxx

nn x

x ϑϑ+

x

z

dyn

n yy ϑ

ϑ+

dyn

n yxϑ+

x

y

dyy

ny ϑ+

ynxyn

dyy

nn yx

yx ϑϑ

+

dxx

nn x

x ϑϑ+

dxx

nn xy

xy ϑϑ

+xn

xyn


Componente sull’asse z

xn x

w

ϑϑ

dxx

nn x

x ϑϑ+

x

z

dydxx

w

x

wdx

x

nn

x

wdyn x

xx

+

++2

2

ϑϑ

ϑϑ

ϑϑ

ϑϑ

dxdyx

w

x

ndxdy

x

wn x

x ϑϑ

ϑϑ

ϑϑ +

2

2

Trascurando i contributi di ordine superiore al secondo:


yn y

w

ϑϑ

dyy

nn y

y ϑϑ

+

y

z

considerandoanchele sollecitazioni (per unità di lunghezza)in


dxdyy

w

y

ndxdy

y

wn y

y ϑϑ

ϑϑ

ϑϑ +

2

2

considerandoanchele sollecitazioni (per unità di lunghezza)indirezione y

yn


xyn y

w

ϑϑ

dxx

nn xy

xy ϑϑ

+

y

z

considerandoanchele sollecitazioni (per unità di lunghezza)in


dxdyx

w

y

ndxdy

y

w

x

ndxdy

yx

wn xyxy

xy ϑϑ

ϑϑ

ϑϑ

ϑϑ

ϑϑϑ ++

2

2

Sommando con la risultante del carico esterno: pdxdy

considerandoanchele sollecitazioni (per unità di lunghezza)indirezione y

xyn


Ricordando che:

Si ottiene quindi l’equazione di Lagrange nella forma

+++−=++

yx

wn

y

wn

x

wnpMMM xyyxyyyxyxx ϑϑ

ϑϑϑ

ϑϑ 2

2

2

2

2

,,, 22

M ν 01 w

In cui: ( )2

3

112 ν−⋅⋅= hE

D

⋅−=

D

M

M

M

xy

y

x

−νν

ν

100

01

01

xy

yy

xx

w

w

w


Introducendo le equazioni di congruenza ed il legame elasticotensionideformazioni:

Si ottiene

+++=++

yx

wn

y

wn

x

wnp

Dy

w

yx

w

x

wxyyx ϑϑ

ϑϑϑ

ϑϑ

ϑϑ

ϑϑϑ

ϑϑ 2

2

2

2

2

4

4

22

4

4

4

21

2

tensionideformazioni:

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

y

w

x

w

y

v

x

u

y

w

y

v

x

w

x

u

xy

y

x

γ

ε

ε

2

2

2

1

2

1( )

( )

( ) xyxy

xyy

yxx

nEs

nnEs

nnEs

νγ

νε

νε

+=

−=

−=

12

1

1

2

2


Derivando due volte le equazioni di congruenza e combinandolecon le equazioni costituitive:

2

2

2

2222

2

2

2

22

2

2

2

2

221

y

w

x

w

yx

w

yx

n

x

n

y

n

yx

n

x

n

y

n

Esxyxyxyyx

∂∂

∂∂−

∂∂∂=

∂∂∂

−∂∂+

∂∂

−

∂∂∂

−∂∂

+∂∂ ν

Il sistemadi equazionipuò essererisolto medianteuna stressIl sistemadi equazionipuò essererisolto medianteuna stressfunction F (funzione di Airy)

+++=++

yx

wn

y

wn

x

wnp

Dy

w

yx

w

x

wxyyx ϑϑ

ϑϑϑ

ϑϑ

ϑϑ

ϑϑϑ

ϑϑ 2

2

2

2

2

4

4

22

4

4

4

21

2

2

2

2

2222

2

2

2

22

2

2

2

2

221

y

w

x

w

yx

w

yx

n

x

n

y

n

yx

n

x

n

y

n

Esxyxyxyyx

∂∂

∂∂−

∂∂∂=

∂∂∂

−∂∂+

∂∂

−

∂∂∂

−∂∂

+∂∂ ν

PIASTRE CIRCOLARI

Consideriamo una piastra circolare appoggiata soggetta ad unmomentom ripartito


R

m

R

M

Consideriamo unapiastra circolareappoggiatasoggetta ad unmomento Mripartito


nrMrnr Mr

tr tr

Per effetto delle condizioni di carico e geometriche la superficieelastica della piastra e dotata di assialsimmetria rispetto al centro Oper cui il campo di spostamenti è descritto da due componenti:

u in direzione radiale

w in direzione perpendicolare al piano medio della piastra


Le relazioni di congruenza diventano:

r

udr

dw

dr

dur

=

+=

ϑε

ε2

1 deformazione in direzione radiale

deformazione in direzione perpendicolare alpiano medio della piastra

In regime elastico dalle equazioni costitutive le sollecitazioni perunità di lunghezza nel piano della piastra diventano:

( )

+

+−

=+−

=2

22 2

1

11 r

u

dr

dw

dr

duEsEsrr ν

ννεε

νσ ϑ


( )

++−

=+−

=2

22 211 dr

dw

dr

du

r

uEsEsr

ννν

νεεν

σ ϑϑ

Se consideriamo l’equilibrio di un elemento infinitesimo


Se consideriamo l’equilibrio nella direzione radiale di un elementoinfinitesimo

M t

0=+−dr

d rr

σσσ ϑ dr

d rr

σσ +

dθθθθ

M t

Mr

trσϑσ

rq


Se consideriamo l’equilibrio alla rotazione di un elementoinfinitesimo

0=−+− rtdr

dMrMM r

rr ϑ

Mdr

d rr

σσ +

dθθθθMt

Mr

Mt

trσϑσ

rt

dr


Si ottiene quindi la forza di taglio

dr

dwt rr σ−=

Sostituendo nell’equazione di equilibrio e utilizzando la relazioneottenuta si ricava un sistema di due equazioni che risolvono ilproblema della piastra circolare in grandi spostamenticon unproblema della piastra circolare in grandi spostamenticon unmomento ripartito al contorno:

++++−=

−

−−+−=

2

222

2

3

3

2

22

22

2

2

11211

2

11

dr

dw

r

u

dr

du

dr

dw

sdr

dw

rdr

dw

rdr

dw

dr

dw

dr

dw

dr

dw

rr

u

dr

du

rdr

du

ν

ν


Sistema di equazioni differenziali non lineari

++++−=

−

−−+−=

223

2

22

22

2

11211

2

11

dwududwdwdwdw

dr

dw

dr

dw

dr

dw

rr

u

dr

du

rdr

du

ν

ν

++++−=2223 2

11211

dr

dw

r

u

dr

du

dr

dw

sdr

dw

rdr

dw

rdr

dw ν

Per la soluzione di tale sistema esistono svariate proposte (es.Timoschenko)


In presenza di un carico esterno uniformemente ripartito siaggiunge il contributo dovuto al carico:

∫−−=r

rr prdrrdr

dwnt

0

1

Tale contributo è aggiunto alla seconda delle equazioni di

++++−=2

222

2

3

3

2

11211

dr

dw

r

u

dr

du

dr

dw

sdr

dw

rdr

dw

rdr

dw ν

Tale contributo è aggiunto alla seconda delle equazioni diequilibrio


222 −ν

Nel caso in cui lo spessore sia molto grande la resistenzaflessionale si può trascurare considerando solo la componentemembranale

La prima delle equazioni diviene pari a zero

02

112

22

22

2

=−

−−+−=dr

dw

dr

dw

dr

dw

rr

u

dr

du

rdr

du ν

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