controladores industriales y acciones de control

7/18/2019 Controladores Industriales y Acciones de Control

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CONTROLADORES INDUSTRIALES Y ACCIONES DE CONTROL.

Cuando se analiza o diseña un sistema de control retroalimentado (FIG. 1)que debe cumplir con ciertas especifcaciones, se tienen restricciones en loque a ciertos parámetros de los dispositivos que conorman el sistema, tales

como! "# $%&'*C$+% ("#""'$+ -%I&%I+ " "ICI'), "#C+-&%&+% ("$"C$+% " "%%+%), "# &-#IFIC&+% " -+$"'CI&("#""'$+ /*" *I'I$%& #& -+$"'CI&) 0 "' -&%$IC*#&% #& -#&'$&(-%+C"+). $ales restricciones se referen a que las constantes asociadas adicos elementos son f2as 3 recuentemente no alterables, por lo que no esposible usando simplemente las componentes mencionadas cumplir con lasespecifcaciones pedidas.

ESPECIFICACIONES DE DISEÑO PARA SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

*n sistema de control requiere alcanzar en el tiempo tres especifcaciones!

1 PRECISIÓN EN ESTADO ESTABLE. "specifcada en t4rminos del errorpermisible en estado permanente mu3 pequeño o nulo a5n en presenciade perturbaciones importantes (elecci6n de las constantes de error7 8 p, 8 v,8 a, dependiendo del tipo de sistema).

9. RAZÓN DE AMORTIGUAMIENTO. ufcientemente pequeño, menor a 1,

(0.2≤ξ ≤0.7) . + sobretiro, p, para una entrada escal6n.

:. TIEMPO DE ASENTAMIENTO.

-ara un sistema tipo 1 de se;undo orden!

%(s) C(s)

"'+%

-#&'$&&-#IFIC&+%

&C$*&+%

K v

s (τs+1)



C (

s) R (s )=

K v

τ s2+s+ K v

=

K v

τ s

2+1

τ +

K vτ

Comparando con!

C (s) R (s )

= ωn

2

s2+2ξ ωn+ωn

2

+btenemos!

ξ= 1

2√ K v τ ; ωn=

√ K v

τ

Complementando

t s= 4

ξ ωn

;(conerror del 2 )

ess=2ξ

ωn

= 1

K v;( parauna entradarampa)

e las ecuaciones para la raz6n de amorti;uamiento 3 recuencia natural no

amorti;uada, es obvio que solo dos de las tres especifcaciones ( ess , ξ y t s ¿

pueden ser alcanzadas e<actamente mediante una adecuada selecci6n de K v y τ . #a tercera especifcaci6n, (si esta es consistente) puede ser

alcanzada como un l=mite superior o inerior.

"n un sistema de se;undo orden tipo uno, la constante de tiempo es

;eneralmente f2a. &s=

K v

o la ;anancia en lazo abierto es 5nicamente elparámetro a2ustable del sistema (este puede ser a2ustado variando la;anancia del amplifcador). "n base a lo anterior, para este sistema,5nicamente se puede alcanzar una de las especifcaciones e<actamente(usualmente el error en estado estable). -ero cuando la ;anancia en lazoabierto es a2ustada para alcanzar la precisi6n en estado estable, la raz6n de



amorti;uamiento reduce por aba2o del valor especifcado, impactando en larespuesta dinámica del sistema.

&nte la imposibilidad de alterar las caracter=sticas individuales de lascomponentes del sistema, se presenta la posibilidad de a;re;ar elementos

en cascada o en paralelo con al;uno de los componentes iniciales delsistema, bien sea en la tra3ectoria directa o en la de retroalimentaci6n a fnde alterar el comportamiento ;lobal.

*na orma usual de acer esto es conectando un elemento llamadoCONTROLADOR entre el comparador 3 el amplifcador de potencia.

esde el punto de vista operativo, el controlador no debe car;ar alcomparador7 es decir debe tener una impedancia de entrada mu3 ;rande(tendiendo a infnito) 3 una impedancia de salida mu3 pequeña (tendiendo a

G9(sG1(sG(s)GC(s)

GC(>(s

>(s



cero) o nula a fn de no modifcar notablemente el comportamiento delelemento de potencia.

Clasifcación ! l"s c"n#$"la"$!s. #os controladores se clasifcan deacuerdo al procesamiento o acci6n de control que eect5an sobre de la

comparaci6n o error (odos de Control), al;unos de los controladores másempleados son!

1.? D! "s %"sici"n!s (on?o@) c"n " sin &ana i'!$!ncial (bandamuerta)

9.? P$"%"$ci"nal (P):.? Inte;ral (I)A.? erivativa ()B.? -roporcional?erivativa (-).?P$"%"$ci"nal*In#!+$al (PI)

D.? P$"%"$ci"nal*In#!+$al*D!$i,a#i,a (PID)

CONTROL PROPORCIONAL

Este tipo de modo de control proporciona una salida que cambia proporcionalmente con el

error del sistema

eS α

S = G e

Donde G es la ganancia del controlador o ganancia proporcional

Ahora como el error en un momento dado es positivo o negativo, se debe tener un valor

constante, el cual se le sumará o restará el valor del error. Por lo que la ecuación es:

S = G e + C

Donde C es la constante de salida del controlador y es austable dependiendo de la condicióndel sistema

!a ganancia se le denomina proporcional porque esta en "unción de una banda proporcional



La banda proporcional (B.P.) se define como el porcentaje que debe variar la variable

controlada, para que el elemento final de control se desplace de una posición extrema a

la otra y es función inversa de la ganancia.

%..

%100(%)

..

1

P B

G

P B

G ==

Por lo que la ecuación general que rige al modo proporcional es:

C P E P B

S +−= )(..

1

(1)

De la ecuación anterior se deduce que la posición del elemento final de control S es

directamente proporcional al error e inversamente proporcional a la banda proporcional

R!"#N D LA! CARACTR$!TICA! DL CONTROL PROPORCIONAL

• #$A %E!&C'DAD DE (EACC')$ !E$*A PE(+'*E #$A A$DAP(&P&(C'&$A! A$C-A

• !& A*(A& DE *(A$+'')$ / *'E+P& +#E(*& (E0#'E(E #$AA$DA P(&P&(C'&$A! A$C-A.

• #$ CA+'& DE CA(1A 1(A$DE CA#A #$A DE%'AC')$ &*E$'DADE !A %A('A!E.

' E! P(&CE& *'E$E 1(A$ CAPAC'DAD, A*(A& DE *(A$+'')$ /*'E+P& +#E(*& PE0#E2&, !A A$DA P(&P&(C'&$A! AP(&P'ADA

E(3 PE0#E2A 456 ) +E$&(.

E! C&$*(&! P(&P&(C'&$A! E P#EDE AP!'CA( C#A$D&:

4. $& -A/ CA+'& DE CA(1A (3P'D&, $' !E$*&

7. $& -A/ 1(A$DE A*(A& DE *(A$+'')$ / *'E+P&

+#E(*&.



8. !A %E!&C'DAD DE (EACC')$ DE! P(&CE& E !E$*A.

CONTROL D DO! PO!ICION!

Cuando se emplea un control de dos posiciones en un proceso, el elemento "inal de controladopta una de las dos posiciones posibles, dependiendo si la variable controlada está arriba oabao del set9point. Por eemplo: una válvula de control estará completamente abierta ocerrada para que tal cosa suceda el actuador de dicha válvula debe recibir sólo dos valoresdi"erentes de presión, lo cual implica que la salida del controlador sea, o la m;nima presiónposible, o la má<ima. e dice entonces que que el controlador es de dos posiciones o de*&D&9$ADA.

El control de dos posiciones es un caso particular del control proporcional.



El control de dos posiciones se logra de la siguiente "orma, del control proporcional se tieneque

( )

( ) ( )2...........................

0

)1.........(..........

P E GS

C Si

C P E GS

−=

=

+−=

Para satis"acer que E = P produ>ca má<ima salida, se logra si la ganancia

∞→G

, es decir labanda proporcional P ? 5

( )∞→

∞=−=

G

P E GS lim

Cuando: E @ P

( )∞→

∞−=−=G

P E GS lim

#n valor de in"inito se interpreta como la má<ima salida y un valor de menos in"inito seinterpreta como la m;nima salida, por lo que se cumplen las dos posiciones.

!a "igura , muestra este "enómeno, si P ? B56

+á<ima, cuando E=P

A!'DA s ?

+;nima, cuando E@P



1EE

E"- BE "H- 1EE "

1EE

'1#(A (EP#E*A DE! C&$*(&! DE D& P&'C'&$E

Este tipo de control se aplica en : C&$D'C'&$E DE A!A(+A, PA(& & A((A$0#E y esadecuado cuando:

4. $o hay atrasos en la transmisión y tiempos muertos7. !a velocidad de reacción es lenta8. Cuando no hay cambios grandes ni "recuencias de carga

!a principal desventaa de este modo de control es que en procesos c;clicos, en donde serequiere mucha precisión, el "uncionamiento e<cesivo daFa el controlador y al equipo.

Como eemplos de estos controladores se tienen: (elevadores, usibles, %álvulas deeguridad, 'nterruptores, etc.

CONTROL D DO! PO!ICION! CON BANDA #"RTA

Este tipo de control se utili>a para evitar el "uncionamiento e<cesivo del anterior.

En este tipo de control se "ian 7 puntos de auste, o sea un in"erior P 4 , y un superior P7,e<istiendo una banda di"erencial o muerta como se muestra en la "igura G



En este tipo de control se debe cumplir las siguientes condiciones:

+á<ima, cuando E = P7

A!'DA s ? %alor &riginal P4 @ E @ P7

+;nima, cuando E @ P4

'1. G (EP#E*A DE! +&D& DE C&$*(&! DE D& P&'C'&$E C&$ A$DA +#E(*A

!a ecuación que rige el comportamiento de este modo de control es una "unción no continua.

∞→

>∞+=−

G

SUPERIOR ZONA P E P E Ga )()(lim) 22



A!'DA

( ) ( )

00

)(;limlim) 2112

→→

<<−+−+

GG

MUERTA ZONA P E P P E G P E Goriginal Valor b

( )

∞→

<∞−=−

G

INFERIOR ZONA P E P E Gc )(;lim) 11

Como se puede ver en la ecuación anterior, este modo de control es un sistema de ganancia

variable dentro de la banda muerta 1?5 y "uera 1?∞

y memoria del Hltimo valor antes deentrar en la banda muerta

CONTROL INT%RAL (RA&"!T A"TO#ATICO O R!T)

Este modo de control sirve para evitar el corrimiento caracter;stico del modo proporcional. Ele"ecto que produce el reauste automático, es la repetición de la acción proporcional hasta



eliminar el corrimiento, sin importar la posición del elemento "inal de control. !as unidades quenormalmente se usan son repeticiones por minuto. !o que signi"ica el nHmero de veces querepite la acción integral el e"ecto proporcional.

!a ecuación del modo integral es:

( ) )1(0

C dt P E r GS t

+−= ∫

Donde' r 999 reaste atom*tico en repeticiones por minto

Derivando la ecuación 4, se tiene

)2(er Gt d

S d =

egral accióndeteconslaT siendoT

r adoConsideran ii

inttan;1

=

De la ecuación 7 se ve que la acción del elemento "inal de control es:

a.9 Directamente proporcional a r

b.9 Directamente proporcional a G

c.9 Directamente proporcional al error e

Eemplo:

uponga que se tiene un controlador con :P: ? 4556 y un error del 456, un reausteautomático en repeticiones por minuto de 4 y una variación de 5 a 4 minuto:

Por lo tanto:

%)60(6.05.01.05.01.0min)/1(1

1)(

0

1

0==+=+=+=

∫ ∫

t

dt reC dt er GS

e ve aqu; que la acción integral corrige 456 en un minuto. %er "igura I



!

1E

.-. J 1EE

E

C J BE

1E

1 minuto

'1#(A I (EP#E*A DE! +&D& '$*E1(A! A #$A #$C')$ ECA!)$

(esumiendo, el modo integral se utili>a cuando:

• $o hay cambios grandes y "recuentes de carga• !a respuesta del proceso sea rápida, como es el caso de "luo y presión

El modo integral tiende a generar inestabilidad, ya que tiende a saturarse si se usa en procesosdiscontinuos, ya que cuando el proceso es detenido, la variable medida cambia en gran

cantidad de valor haciendo que el controlador detecte un gran error, el cual es integradollevando el controlador a saturación



CONTROL PROPORCIONAL + INT%RAL

1eneralmente el modo integral con su estabilidad en el punto de control se utili>a con el controlproporcional con su estabilidad inherente. !a respuesta de cada uno de estos controles esaustable y la estabilidad de la variable depende del auste del controlador. Este tipo de controles el que se usa con más "recuencia.

!a ecuación que rige este modo es:

++= ∫

t

C dt er eGS 0

i se supone que se usa este control en un proceso con una velocidad de reacción y un atrasode transmisión moderados con un tiempo muerto muy pequeFo.

•

!a banda proporcional tiene un valor constante para todas las curvas.• Cuando la velocidad de auste r es cero, el control se lleva a cabo Hnicamente por elmodo proporcional. !a desviación sostenida de la variable es t;pica del controlproporcional.

• Cuando la velocidad de la acción integral tiene un valor pequeFo, el regreso de lavariable al punto de control es lenta pero al "inal el corrimiento se elimina.

• Con"orme aumenta la velocidad de la acción integral, el regreso de la variable de controles más rápida. Pero una velocidad mucho mayor, produce una oscilación e<cesivaantes de alcan>ar un valor estable algunas veces la oscilación permaneceinde"inidamente.

• !a banda proporcional en este tipo de control se puede austar separadamente, "igura45.

• #n cambio en la banda a"ecta proporcionalmente la velocidad de la acción integral. i labanda se reduce, la variable controlada regresa más rápidamente al punto de control, sila banda se reduce mucho más llega al momento en donde se presentan oscilaciones.

• #na banda amplia trae consigo un retorno gradual y lento de la variable al punto decontrol.

• Aunque la velocidad de la acción integral es idJntica para todas las curvas. El aumentoen la banda, disminuye la velocidad de la acción integral hasta volver la acción delcontrol estable.

• Disminuyendo la banda proporcional, se consigue un más rápido retorno al punto decontrol, pero tambiJn se introduce una oscilación

• En este eemplo la banda proporcional óptima es del B56•

!os atrasos en la transmisión requieren de una disminución de la velocidad de la acciónintegral para evitar e<cesivas oscilaciones.

Cabe aclarar que todas estas grá"icas y las siguientes son de eemplos particulares, nogenerales y sirven para dar una idea de las variaciones que se tienen con los modos de control.En la tabla siguiente se aprecia la in"luencia de las caracter;sticas del sistema controlado



CARACTERISTICAS DEL

PROCESO BANDA PROPORCIONAL VELOCIDAD DE

REAJUSTE,LOCIDAD

RACCI-N(N)

TI#PO

#"RTO(D)PE0#E2& 1(A$DE +&DE(ADA !E$*A

PE0#E2& PE0#E2& A$1&*A (3P'DA

1(A$DE 1(A$DE A$C-A !E$*A

1(A$DE PE0#E2& +&DE(ADA (3P'DA

• El control proporcional9integral usualmente se aplica en procesos que tienencaracter;sticas aplicables a cualquier modo proporcional o integral.

• !a limitación, estriba en el periodo grande y por consiguiente respuesta lenta cuandohay tiempo muerto

• El atraso de la transmisión no es una limitación si el elemento medidor es sensible acambios pequeFos. De otra manera, el atraso de la transmisión se convierte en tiempomuerto, la banda se hace mayor y la velocidad de la acción integral disminuye.

• Para procesos con atrasos pequeFos de cualquier clase, el control se lleva a caboprincipalmente por la acción integral.

• En procesos con una gran capacidad y atrasos en la transmisión y tiempo muertomoderados el control se lleva a cabo principalmente por la acción proporcional, en estecaso el propósito del reset es e"ectuar un pequeFo movimiento en el elemento "inal decontrol para eliminar la desviación sostenida.

• En control de procesos con pequeFa capacidad sin atrasos la parte principal la reali>a laacción integral.



CONTROL DRI,ATI,O (RAT)

Algunos procesos presentan atrasos considerables en la detección y en la transmisión de lavariable controlada, llamados atrasos en el tiempo de respuesta.

Para compensar estos tiempos es necesario que el controlador actHe inmediatamente quesienta un cambio o error y que se anticipe al e"ecto que pudiera producir un cambio de cargaen un proceso con tiempo de respuesta lenta. El modo de control que produce el e"ecto deanticipación es el derivativo

!as unidades en que se mide la acción derivativa es en unidades de tiempo, ya que su "unciónes la de producir el tiempo de estabili>ación de la variable.

Por eemplo, cuando se dice que la acción derivativa tiene un auste de dos minutos, signi"icaque la acción derivativa se anticipará dos minutos en respuesta a la acción proporcional paracontrolar el proceso.

!a ecuación de este modo es:

C t d

ed T GS d +=

onde T d J &delanto en minutos.

upongamos que tenemos un controlador con los siguientes austes:

!-! J 1EE

T d J 1 minuto

min

%10=

t d

ed

t emin

%10=

Ker f;ura 19



( )%60%50%10%50

min

%10min)1(1 =+=+=

t

t d

d S

Instantáneamente

'1#(A 44 (EP#E*A DE! +&D& DE C&$*(&! DE('%A*'%& A #$A #$C')$ (A+PA

Como puede apreciarse en la "igura 44, la acción de la derivada responde con respecto a lapendiente del error, debido a que si el error es una rampa, la salida es un escalón.

(E#+'E$D&:

Este modo de control es adecuado aplicarlo, cuando:

4. E<istan atrasos en la detección y transmisión de la variable medida

7. Cuando los procesos no sean ruidosos como es el caso del "luo o la presión de l;quidos

1 minuto

1E "I+ & #&

e

1E t

e J ??????????



CONTROL PROPORCIONAL+DRI,ATI,O

!a aplicación de la derivada para contrarrestar los e"ectos del tiempo de retraso se ven en la"igura 47.

!a adición del rate en un control proporcional9derivativo reduce la desviación má<ima.

!a ventaa mayor se obtiene al reducir a la mitad, más o menos el periodo del ciclo. !a variablecontrolada vuelve al punto de control en la cuarta parte del tiempo requerido sin la derivada.

!a ecuación que combina las acciones proporcional y derivativa es:

+=

t d

ed T eGS d

Cuando, la banda proporcional se reducida y la velocidad del reauste integral r se aumentadaconsiderablemente, se produce una acción correctiva mucho mayor. Como se ve si se usa laacción derivativa, los austes de control requieren cambios.

El más serio problema en los atrasos es su presencia en la transmisión, ya que produceatrasos en el control o la medición, aumentando el nHmero de capacidad en el sistemacontrolado. En este caso se emplea la acción derivativa para contrarrestar los e"ectos de losatrasos.

!a acción derivativa es e"ectiva cuando hay atrasos en la transmisión, control y medición, yaque es el Hnico medio para hacerlo. !os austes de la acción derivativa deben ser cuidadososya que la acción derivativa grande causa e<cesivas oscilaciones y se opone a cualquier cambiorápido en la variable, ya sea que se alee o acerque al punto de control. Cuando el tiempo de laacción derivativa es pequeFo, se origina una oscilación que es debida a una bandaproporcional angosta y una acción integral grande. El periodo del ciclo es mucho mayor que elperiodo causado por la acción derivativa demasiado largo, esto es un medio para reconocer lacausa de la oscilación e<cesiva.

!as bandas más angostas se logran gracias al e"ecto estabili>ador de la acción derivativa. i sereduce la . P., una disminución del tiempo derivativo *d puede producir una oscilación debidoa lo angosto de la .P. / la ausencia de la in"luencia estabili>adora de este.

Para cambios de carga rápidos es posible austar el tiempo derivativo a un má<imo, de talmanera que la acción correctiva empie>a antes de que la desviación se vuelva e<cesiva.



APLICACI-N D #ODO! D CONTROL

%A('A!E P(&CE& '*E+A DE C&$*(&!

!#K&

+uy rápido

!a mayor parte de los retrasos

están en el sistema de control $o linealcuadrático

(uidoso

Proporcional9(eauste automático

aa ganancia, reauste rápido

!a derivativa no ayuda, daFa

P(E'&$!iquido

(ápido

!a mayor parte de los retrasos

están en el proceso lineal (uidosos

Proporcional9(eauste automático

1anancia alrededor del reauste rápido

!a derivativa no ayuda

P(E'&$gas Capacidad simple

!ineal sin ruido

Proceso sencillo

Controladores auto9operados oproporcionales con ganancia alta

(eauste automático rara ve> necesario.

!a derivativa no es necesaria.

P(E'&$vapor

!a dinámica es variable.

!ento comparado con otros

proceso de presión. !ineal sin ruido.

Controles de 8 modos.

!os austes son variables.

$'%E! Capacidad simple, integrador.

!ineal.

El ruido es poco "recuente.

Control de precisión:

1anancia alta o proporcional L reauste.

Control promedial: Proporcional de ganancia baa L reauste

o controladores especiali>ados.

*E+PE(A*#(A istema de capacidad mHltiple

$o lineal

in ruido

Controladores de 8 modos

!os austes var;an pero generalmente la

ganancia esta arriba de el. !a derivativa tiene un valor limitado si el

tiempo de retraso es largo. !a dinámica de medición es importante

C&+P&'C'&$ !a dinámica es variable. #sualmente lineal.

A veces hay ruido debido a

mala agitación.

Proporcional L reauste automático. 1anancia baa, diversas velocidades de

reauste. !a derivativa a veces es Htil.

!os anali>adores en l;nea son rápidos,

"recuentemente ruidosos. El Ph es lineal.

!os sistemas de muestreo son



complicados. !a medición y el control agregan tiempo de

retraso



!INTONIACI-N D CONTROLADOR!

!a sintoni>ación de un controlador consiste en encontrar los valores óptimos de las constantesinvolucradas en cada uno de los modos de control. Como es sabido, estas constantes son: !a

ganancia 1, el tiempo integral *i y el tiempo de derivación *d.

Para encontrar los valores de estas constantes desde el punto de vista teórico, no es unproblema "ácil, principalmente cuando el sistema que se desea controlar es de orden superior auno, o cuando hay un retardo en el sistema. Este mJtodo en la actualidad encuentra pocaaplicación, debido a que los resultados que se obtienen, dependen "undamentalmente delmodelo matemático, el cual sabemos es apro<imado.

!os mJtodos emp;ricos usados por los operadores en la industria tampoco proporcionanresultados aceptables. Esto es debido a que este mJtodo práctico se desarrolla en un solo tipode proceso y con algHn tipo de instrumentación espec;"ica.

Por lo ha e<puesto, es recomendable emplear mJtodos que a partir de resultadose<perimentales y con optimi>aciones teóricas permitan en "orma consistente, austar osintoni>ar en una "orma más e"iciente los controladores.



I'$+'IL&C"C+'$%+#&

IC%+-%+C"&+%"

C+'$%+#&+%" I$%I*I+

• IC%+C+-*$&+%&

C+-*$&+%& IGI$&#" %"G*#&%"

C%I$"%I+ " ""

I'$"G%&CI'

+CI#&CI+'" +$"'I& (LI"G#"%?'IC>+#)

CI%C*I$+ C"%%&+

• +CI#&CI+'" &+%$IG*&&(>&%%I+$)

CI%C*I$+ &I"%$+ C*%K& "%"&CCI' (LI"G#"%?'IC>+#)

• K&#+% &+#*$+ "# "%%+%• C*&%&+ "# "%%+%• K&#+% &+#*$+ "# "%%+%

-+'"%&+ "' $I"-+

• C*&%&+ "# "%%+%

-+'"%&+ "' $I"-+

-+% *"$%"+ "

P&( +#E*(E& DE DA*&



#TODO D O!CILACION! !O!TNIDA! (I%LR+NIC/OL!)

#no de los primeros mJtodos para la sintoni>ación de controladores "ue Jste, debido a que "uereportado en el aFo de 4MN7, por Oiegler y $ichols.

Este mJtodo es de gran utilidad ya que por medio de Jl, es posible hacer un cálculo estimativo

de los parámetros del controlador como una primera instancia, con el "in de lograr el auste deestos, de tal manera que el sistema cumpla con los requisitos de control impuestos.

Esencialmente este mJtodo está basado en el conocimiento de la frecuencia crítica y

ganancia limite, las cuales se pueden obtener del análisis grá"ico del sistema por medio deun registrador.

Deberá entenderse por "recuencia cr;ticacω

como la "recuencia en la cual la variablecontrolada oscila con amplitud constante y ganancia l;mite como la ganancia para la cual lavariable oscila con amplitud constante. %er "igura 4.

Para determinar la ganancia límite y el período crítico o l;mite, el controlador se conecta

en automático con un registrador de la variable controlada para ver su respuesta con modo

de control proporcional solamente modos de acción derivativa e integral anulados, T i y

T d = .

1radualmente se va aumentando la ganancia hasta que se obtiene una curva como lamostrada en la "igura 4B.

FIG*%& 1B G%MFIC& " #& +CI#&CI' +$"'I&



#na ve> que se logra la oscilación sostenida anotamos los valores de la 1anancia ? # yPeriodo ? *#. Oiegler9$ichols recomiendan para este mJtodo usar los "actores considerados enla tabla.

Es conveniente mencionar que deben darse austes ligeros ya que en campo debido a que loscontroladores convencionales, muchos no resuelven correctamente los modos de control yprincipalmente cuando se hace uso de un P'D

+&D&c

1A$A$C'AC&$*(&!AD&(

*i

*'E+P& '$*E1(A!

*d

*'E+P& DE A$*'C'PAC')$

P(&P&(C'&$A! 5.B u Q Q

P(&P&(C'&$A!9'$*E1(A! 5.NB u 2.1

U T

Q

P(&P&(C'&$A!9DE('%A*'%& 5. u Q 8

U T

P(&P&(C'&$A!9'$*E1(A!9DE('%A*'%& 5. K u 5.B T U 8

U T

(ecordar queiT

rer

1

min==

# ? 1anancia Hltima *# ? Periodo Hltimo



DTR#INACI-N ANALITICA D LA %ANANCIA 0LTI#A DL CONTROLADOR

Eemplo. ea un sistema para el control de temperatura. Determinar la ganancia Hltima yper;odo Hltimo del controlador, o sea el valor de la ganancia proporcional en la cual el sistemase vuelve marginalmente estable.

#TODO DL CRITRIO D RO"T/

Ecuación caracter;stica del sistema:

1+( 1

10 s+1 )( 50

30 s+1 )( 0.016

3 s+1 ) ( K c )=0

900 s3+420 s

2+43 s+1+0.80 K c=0

Arreglo de (outh:s

3900 43

s2

420 1+0.8 K c

s1 ¿ 0

s0

1+0.8 K c 0

¿=( 420) ( 43)−(900 )

(1+0.8 K c

)420 =0

K c=23.833

!A 1A$A$C'A P(&P&(C'&$A! DE! C&$*(&!AD&( $& DEE ERCEDE( A 78.I8 $' (ED#C'(E!A A$DA P(&P&(C'&$A! DE N.76 455S78.I

#TODO D LA !"!TIT"CI-N DIRCTA

ustituyendos= jω

en la ecuación caracter;stica y separando la parte real y la parteimaginaria igualadas a cero, se obtienen las ecuaciones para # y *#.

900 ( jω )3+420 ( jω )2+43 ( jω )+1+0.80 K c=0

−420 ωu2+1+0.80 K u=0(1)



−900 ωu3+43 ωu=0 (2)

De la ecuación 7:

−900ωu2+43ωu=0:ωu=0.2186 (valor positivo)

De la ecuación4:

K u=420ωu

2−1

0.80=

420 (0.2186 )2−1

0.08=23.8

T u=2 π

ωu

=(2 ) (3.1416 )

0.2186=28.7

#TODO D LA! O!CILACION! A#ORTI%"ADA! (/ARRIOT)

Cuando en un proceso las oscilaciones sostenidas no son toleradas, el mJtodo anterior nopuede aplicarse. En este mJtodo se sigue un procedimiento similar al anterior, que consiste encolocar el controlador en la posición de automático y con modo proporcional solamente, e ir austando el valor de la ganancia hasta conseguir una oscilación con Tun cuartoU dedecaimiento, la cual mostrará un per;odo de oscilación * que es un poco mayor que * # .+ediante el cual se calculan los tiempos de acción integral y derivativa utili>ando las siguientesecuaciones:

4

15.1

6

deodecai!ient dera"on#nada$#e gananciade%alor el es &

T T

T T

c

i

d

=

=

=

Ker f;ura 1

4

1

(%)

(%)

4

1

1%

º2%

==

===

a

b R

ositi%o icoer del sobreasode

ositi%o icodel sobreasode Rodecai!ient de Ra"on

d

d



FIG*%& 1 C*%K& " "C&II"'$+ " 1NA

#TODO D !INTONIACI-N N CIRC"ITO ABIRTO

Este mJtodo presenta la ventaa de solo generar una perturbación al proceso para poder sintoni>ar el controlador, en contraste con los mJtodos de sintoni>ación en circuito cerrado, en

los cuales se necesitan generar varias perturbaciones a la variable controlada, lo cual muchosprocesos no lo soportan

#TODO D LA C"R,A D RACCI-N (I%LR NIC/OL!)

Cuando se desconoce la "unción de trans"erencia de un proceso, por medio de este mJtodo esposible determinar usando el procedimiento de causa9e"ecto los parámetros óptimos delcontrolador

Este mJtodo se basa esencialmente en el análisis del proceso en la>o abierto, el cual describelas propiedades dinámicas de este a partir de las cuales se pueden determinar el valor de losaustes de los modos de control del controlador

!a curva de reacción se obtiene por medio de la grá"ica de respuesta de la variable controlada,cuando se alimenta una "unción escalón a la variable manipulada, tal como se muestra en la"igura4G.

Como se puede observar, esta "unción escalón puede ser aplicada e<ternamentedesconectando el controlador de la l;nea, o bien por medio de la operación manual de la salidade la válvula de control.



%"GI$%&+%

C+'$%+#&+%

"' &'*&#

$%&'I+%

"$ -+I'$-%+C"+ 0 K&#K*#&

*

-

'1#(A 4G D'A1(A+A A !&0#E PA(A &*E$E( !A C#(%A DE (EACC')$

Casi todos los procesos industriales presentan la misma curva de reacción de caracter;sticasobreamortiguada. %er "igura 4I

Esta curva puede apro<imarse a la respuesta a un escalón de un proceso que consiste en un

retardo de primer orden y tiempo muerto, con el "in de representarla por medio de losparámetros !r y (4.

El parámetro (4 representa la má<ima pendiente de la curva de reacción y se obtiene tra>andouna curva tangente al punto de in"le<ión TnU

El parámetro !r es el tiempo transcurrido desde la aplicación de la "unción escalón hasta elpunto de que la tangente intersecta al ee del tiempo. Es conveniente mencionar que Jstetiempo muerto es mayor que el tiempo muerto del proceso *&.

Oiegler y $ichols, determinaron emp;ricamente que los valores recomendables para los austesde los modos de control son:

+&D&c

1A$A$C'AC&$*(&!AD&(

*i

*'E+P& '$*E1(A!

*d

*'E+P& DE A$*'C'PAC')$

P(&P&(C'&$A!1

1

R ' r Q Q



P(&P&(C'&$A!9'$*E1(A! 1

19.0

R ' r

1A$A$C'A AD'+E$'&$A!

3.0

r '

E$ +'$#*& P&((EPE*'C')$

Q

P(&P&(C'&$A!9'$*E1(A!9DE('%A*'%& 1

2.1

R ' r

1A$A$C'A AD'+E$'&$A!

2 L r

E$ +'$#*& P&((EPE*'C')$

0.5 Lr

E$ +'$#*&

Comparando estas tres series de valores recomendados, se observa que están de acuerdo conla idea de que la acción integral tiende hacer el sistema más inestable, ya que para la acciónproporcional9integral el valor de c recomendado es solo el M56 del recomendado para unaacción proporcional sola. Por otro lado si se aFade acción derivativa se comprueba el e"ectoestabili>ador de Jsta, ya que se permite aumentar el valor de la ganancia proporcional en un886 y disminuir el tiempo integral en un 6, en relación con los valores recomendados para

la acción proporcional9integral.

K&%I&#"

C+'$%+#&&

%1

$I"-+ *"%$+ $I"-+



FIG*%& 1O C*%K& " %"&CCI'

INTRODUCCIÓN A LA COMPENSACIÓN PASIA O ACTIA.

Cuando se requiere aumentar la Pe<ibilidad de comportamiento en un sistema decontrol, una de las opciones es sustitu3endo el sistema e<istente con un sistemaque cumpla con el diseño deseado. esaortunadamente, esta sustituci6n escostosa 3 contraproducente. #a ma3or parte de los sistemas se seleccionan porcaracter=sticas que no son la respuesta transitoria. #os componentes esco;idos parala respuesta transitoria de estos componentes puede no necesariamente satisacer,por e2emplo, los requerimientos de potencia. "n lu;ar de cambiar el sistemae<istente, otra de las opciones que nos da la teor=a de control, es el aumentar, ocompensar, el sistema con polos 3 ceros adicionales, de modo que el sistemacompensado adquiera las caracter=sticas deseadas para una cierta ;anancia. *nade las venta2as de compensar un sistema en esta orma es que los polos 3 ceros

adicionales se pueden a;re;ar en el e<tremo de ba2a potencia del sistema antes dela planta. #a adici6n de polos 3 ceros de compensaci6n no necesita intererir con lasnecesidades de potencia de salida del sistema, ni presentar problemas adicionalesde car;a o diseño. #os polos 3 ceros de compensaci6n se pueden ;enerar con unared %asi,a " ac#i,a. "l problema a resolver es determinar la /&icación c"$$!c#a! %"l"s 0 c!$"s adicionales en lazo abierto para obtener los polos deseados enlazo cerrado de se;undo orden.



*n 12#"" ! c"1%!nsación %a$a la $!s%/!s#a #$ansi#"$ia, consiste !nins!$#a$ /n i'!$!ncia"$ !n la #$a0!c#"$ia i$!c#a !n %a$al!l" c"n la+anancia. e puede visualizar la operaci6n del dierenciador con el si;uientee2emplo! suponiendo un control de posici6n con una entrada escal6n, observamosque el error e<perimenta un ;ran cambio inicial. erivar este cambio rápido

produce una señal ;rande que mueve la planta. #a salida del dierenciador esmuco ma3or que la salida de la ;anancia pura. "sta ;ran entrada inicial a la plantaproduce una $!s%/!s#a 13s $3%ia. Cuando el error se apro<ima a su valor fnal,su derivada se apro<ima a cero, 3 la salida del dierenciador se ace despreciableen comparaci6n con la salida desde la ;anancia.

'o solo se usan compensadores para me2orar la respuesta transitoria de unsistema7 tambi4n se emplean independientemente para me2orar las caracter=sticasen estado estable. 0a antes la ;anancia del sistema se a2ust6 para satisacer laespecifcaci6n de respuesta transitoria, el desempeño del error en estado estable sedeterior6, puesto que la $!s%/!s#a #$ansi#"$ia 0 la c"ns#an#! ! !$$"$ !n

!s#a" !s#a&l! !s#a&an $!laci"naas c"n la +anancia. Cuanto 1a0"$ !s la+anancia 1!n"$ !s !l !$$"$ !n !s#a" !s#a&l! pero 1a0"$ !s !l s"&$!#i$" !n%"$c!n#a4!. -or otra parte, $!/ci$ la +anancia %a$a is1in/i$ !l s"&$!#i$"a/1!n#a !l !$$"$ !n !s#a" !s#a&l!. i utilizamos c"1%!nsa"$!s in31ic"s,es %"si&l! is!5a$ $!!s ! c"1%!nsación 6/! n"s %!$1i#i$3n sa#is'ac!$si1/l#3n!a1!n#! !s%!cifcaci"n!s ! !$$"$ !n !s#a" !s#a&l! 0 $!s%/!s#a#$ansi#"$ia, sin necesidad de un t4rmino medio entre ellas, 1i!n#$as !l sis#!1a"%!$! !n s/ in#!$,al" lin!al.

"n el estudio de constantes de error se aprendi6 que el !$$"$ !n !s#a" !s#a&l!s! %/!! 1!4"$a$ al a+$!+a$ /n %"l" !n la7" a&i!$#" !n !l "$i+!n !n la#$a0!c#"$ia i$!c#a, a/1!n#an" as8 !l #i%" ! sis#!1a 0 ll!,an" a c!$" !l!$$"$ !n !s#a" !s#a&l! $!laci"na". "ste polo adicional en el ori;en requierede un in#!+$a"$ para su construcci6n.

En $!s/1!n9 !n#"nc!s9 la $!s%/!s#a #$ansi#"$ia s! 1!4"$a c"n la aición !i'!$!nciación9 0 !l !$$"$ !n !s#a" !s#a&l!9 c"n la aición ! in#!+$ación!n la #$a0!c#"$ia i$!c#a.

CONFIGURACIONES.

"n esta parte se estudian dos conf;uraciones de compensaci6n! 1) compensaci6n

en cascada 3 9) compensaci6n mediante retroalimentaci6n. "stos m4todos estánmodelados en la f;ura 9. Con compensaci6n en cascada, la red de compensaci6n,G1(s), se pone en el e<tremo de ba2a potencia de la tra3ectoria directa en cascadacon la planta7 mientras que si >1(s) se pone en la tra3ectoria de retroalimentaci6nse tiene la otra conf;uraci6n. &mbos arre;los cambian los polos 3 ceros en lazoabierto.



Fi+/$a :. T2cnicas ! c"1%!nsación; a) !n cascaa< &) 1!ian#!$!#$"ali1!n#ación

DE COMPENSACIÓN.

#os de compensaci6n que utilizan inte;raci6n para me2orar el error en estadoestable, o dierenciaci6n para poder me2orar la respuesta transitoria, se defnencomo de compensación ideales. #os de compensaci6n ideales deben ponerse enpráctica con redes activas que, en el caso de redes el4ctricas, e<i;en el uso deamplifcadores activos 3 posibles uentes adicionales de ener;=a el4ctrica. *naventa2a de los de compensaci6n inte;rales ideales es que el error en estado estable

se reduce a cero. #os de compensadores electromecánicos ideales, por e2emplotac6metros, se usan con recuencia para me2orar la respuesta transitoria, puestoque pueden colocarse de modo conveniente con la planta.

e pueden adoptar otras t4cnicas de diseño que imposibilitan el uso de dispositivosactivos para compensaci6n. "stos compensadores, que se pueden implementar conelementos pasivos como son resistores 3 capacitores, no usan inte;raci6n 3dierenciaci6n puras 3 no son compensadores ideales. #as venta2as de las redespasivas consisten en que son menos costosas 3 no necesitan de uentes adicionalesde ener;=a el4ctrica para su operaci6n7 la desventa2a que presentan es que el erroren estado estable no se lleva a cero, en casos donde compensadores ideales

producen error cero.

&s=, la selecci6n de un compensador activo o pasivo ;ira alrededor del costo, peso,operaci6n deseada, unci6n transitoria 3 la interase entre el compensador 3 otrosequipos.

MEJORAMIENTO DEL ERROR EN ESTADO ESTABLE POR MEDIO DE COMPENSACIÓN

EN CASCADA.



"n esta secci6n estudiamos dos ormas de me2orar el error en estado estable de unsistema de control retroalimentado usando compensaci6n en cascada. *n ob2etivode este diseño es me2orar el error en estado estable sin aectar en orma apreciablela respuesta transitoria.

#a primera t4cnica es compensaci6n inte;ral ideal, que utiliza un inte;rador puropara poner en el ori;en un polo de tra3ectoria directa, en lazo abierto, aumentandoas= el tipo de sistema 3 reduciendo el error a cero. #a se;unda t4cnica no utilizainte;raci6n pura. "sta t4cnica de compensaci6n coloca al polo cerca del ori;en, 3aun cuando no lle;a el error de estado estable a cero, produce una reducci6nmensurable en error en estado estable.

ientras que la primera t4cnica reduce a cero el error en estado estable, elcompensador debe ser puesto en práctica con redes activas7 por e2emplo,amplifcadores. #a se;unda t4cnica, aun cuando no reduce el error a cero, tiene laventa2a de que puede ponerse en práctica con una red menos costosa que no

necesita de uentes adicionales de ener;=a el4ctrica.

L"s n"1&$!s $!laci"na"s c"n l"s c"1%!nsa"$!s %$",i!n!n 0a s!a!l 12#"" ! i1%l!1!n#a$ !l c"1%!nsa"$ " ! las ca$ac#!$8s#icas!l c"1%!nsa"$. L"s sis#!1as 6/! ali1!n#an !l !$$"$ !n '"$1ai$!c#a a la %lan#a s! lla1an sistemas de control proporcional. L"ssis#!1as 6/! ali1!n#an la in#!+$al !l !$$"$ a la %lan#a s! lla1ansistemas de control integrales. P"$ =l#i1"9 l"s sis#!1as 6/!ali1!n#an la !$i,aa !l !$$"$ a la %lan#a s! lla1an sistemas de

control derivados. As89 lla1a1"s c"1%!nsa"$ in#!+$al i!al a /n

controlador proporcional más integral (PI), %/!s#" 6/! lai1%l!1!n#ación9 c"1" ,!$!1"s9 c"nsis#! !n ali1!n#a$ !l !$$"$(%$"%"$ci"nal) 13s la in#!+$al !l !$$"$ i$!c#" a la %lan#a. Las!+/na #2cnica /#ili7a l" 6/! lla1a1"s /n c"1%!nsa"$ ! a#$as"! 'as!. El n"1&$! ! !s#! c"1%!nsa"$ %$",i!n! ! s/sca$ac#!$8s#icas ! $!s%/!s#a !n '$!c/!ncia. D! !s#! 1""9!1%l!a$!1"s !l n"1&$! c"n#$"la "$ PI inis#in#a1!n#! c"nc"1%!nsa"$ in#!+$al i!al 0 /sa$!1"s !l n"1&$! c"1%!nsa"$ !a#$as" ! 'as! c/an" !l c"1%!nsa"$ !n cascaa n" /#ili7ain#!+$ación %/$a.

C"1%!nsación in#!+$al i!al (PI)

*n error en estado estable se puede me2orar si se coloca un polo en lazo cerrado enel ori;en, porque esto aumenta en uno el tipo de sistema. -or e2emplo, un sistemaque responde a una entrada escal6n con un error fnito responde con error cero si eltipo de sistema se aumenta en uno. "s posible usar circuitos activos en el ori;en.



-ara ver c6mo me2orar el error en estado estable sin aectar la respuesta transitoria,veamos la f;ura (:a). &qu= tenemos un sistema que opera con una respuestatransitoria deseable ;enerada por los polos en lazo cerrado el sistema ori;inal. ia;re;amos un polo en el ori;en para aumentar el tipo de sistema, la aportaci6nan;ular de los polos en lazo abierto en el sistema ori;inal 3a no es de 1OEQ.

-ara resolver el problema tambi4n a;re;amos un cero cerca del polo en el ori;en.&ora la aportaci6n an;ular del compensador se cancela 3 el tipo de sistema se aaumentado. &demás. #a ;anancia necesaria en el polo dominante es casi la mismaque antes de la compensaci6n. &s= emos me2orado el error en estado estable sinaectar de manera apreciable la respuesta transitoria. *n compensador con un poloen el ori;en 3 un cero cerca del polo se llama compensador integral ideal.

MEJORAMIENTO DE LA RESPUESTA TRANSITORIA POR MEDIO DE COMPENSACIÓN

EN CASCADA.

ado que 3a emos resuelto el problema de me2orar el error en estado estable sinaectar la respuesta transitoria, me2oremos aora la respuesta transitoria en s=. "nesta parte estudiamos dos ormas de me2orar la respuesta transitoria de un sistemade control retroalimentado mediante el uso de compensaci6n en cascada. -or lo;eneral, el ob2etivo es diseñar una respuesta que ten;a un sobretiro en porcenta2edeseable 3 un tiempo de asentamiento más corto que el sistema no compensado.

#a primera t4cnica que estudiaremos es la compensación derivativa ideal. Concompensaci6n derivativa ideal, se a;re;a un dierenciador puro a la tra3ectoriadirecta del sistema de control retroalimentado. Keremos que el resultado de a;re;ardierenciaci6n es la adici6n de un cero a la unci6n de transerencia de tra3ectoria

directa. "ste tipo de compensaci6n requiere de una red activa para su construcci6n.&demás, la dierenciaci6n es un proceso de ruido, aun cuando el nivel de ruido esba2o, la recuencia del ruido es alta en comparaci6n con la señal. -or lo tanto,dierenciar ruido de alta recuencia produce una señal indeseable ;rande.

#a se;unda t4cnica no ace uso de dierenciaci6n pura. "n lu;ar de ello, apro<imala dierenciaci6n con una red pasiva al a;re;ar un cero 3 un polo más distante a launci6n de transerencia de tra3ectoria directa. "l cero apro<ima la dierenciaci6npura como se describi6 antes.

&l i;ual que con la compensaci6n para me2orar el error en estado estable,

introducimos nombres relacionados con la implementaci6n de los de compensaci6n.& un compensador derivativo ideal lo llamamos controlador proporcional más

derivativo (PD), 3a que la implementaci6n, como veremos consiste en alimentarel error (proporcional) más la derivada del error directo debido a la planta. #ase;unda t4cnica utiliza una red pasiva llamada compensador de adelanto de

fase. &l i;ual que con el compensador de atraso de ase, el nombre proviene de surespuesta en recuencia. e esta orma, usamos el nombre controlador PD y

compensador derivativo ideal , indistintamente, 3 empleamos el nombre



compensador de adelanto de ase cuando el compensador en cascada no empleadierenciaci6n pura.

C"1%!nsación !$i,a#i,a i!al (PD)

#a respuesta transitoria de un sistema se puede seleccionar si se esco;e una

ubicaci6n apropiada del polo en lazo cerrado en el plano s. i esta posici6n es laadecuada, entonces un simple a2uste de ;anancia es todo lo que se necesita parasatisacer las especifcaciones de respuesta transitoria. i la ubicaci6n del polo enlazo cerrado no está en la posici6n correcta, entonces debe rediseñarse elprocedimiento para lo;rar lo esperado. -ara lo;rar este 5ltimo traba2o, se puedena;re;ar polos 3 ceros en la tra3ectoria directa para producir una nueva unci6n enlazo abierto. *na orma de acelerar el sistema ori;inal, que ;eneralmente traba2a,es a;re;ar un solo cero a la tra3ectoria directa.

"ste cero puede ser representado por un compensador cu3a unci6n de

transerencia esG ( s )=s+ zc

"sta unci6n, la suma de un dierenciador 3 una ;anancia pura, se llama derivativo

ideal o controlador PD. *na 2uiciosa selecci6n de la posici6n del cero delcompensador puede acelerar la respuesta sobre el sistema no compensado. "nresumen, las respuestas transitorias que no se puedan obtener por medio de unsimple a2uste de ;anancia, s= se pueden obtener al aumentar los polos 3 ceros delsistema conun compensador derivado ideal.

MEJORAMIENTO DEL ERROR EN ESTADO ESTABLE Y LA RESPUESTA TRANSITORIA.

& continuaci6n combinamos las t4cnicas de diseño estudiadas anteriormente paraobtener me2or=a en el error en estado estable 3 en la respuesta transitoriaindependientemente. "n esencia, primero me2oramos la respuesta transitoriamediante el uso de los m4todos vistos 3, ense;uida, me2oramos el error en estadoestable de este sistema compensado al aplicar los m4todos tambi4n vistosanteriormente. *na desventa2a de este m4todo es la li;era disminuci6n en lavelocidad de respuesta cuando se me2ora el error en estado estable.

Como alternativa, podemos me2orar primero el error en estado estable 3 lue;o

se;uir con el diseño para me2orar la respuesta transitoria. *na desventa2a de estem4todo es que la me2or=a en respuesta transitoria, en al;unos casos, deteriora lame2or=a del error en estado estable, que se diseñ6 primero. "n otros casos, lame2or=a en la respuesta transitoria da una me2or=a posterior en los errores en estadoestable. &s=, un sistema puede tener un e<ceso de diseño con respecto a los erroresen estado estable. "l e<ceso de diseño suele no ser un problema, a menos queaecte el costo o produzca otros problemas de diseño.



"l diseño puede usar compensadores 3a sea activos o pasivos, como se describel=neas antes. i diseñamos un controlador - activo se;uido de un controlador -Iactivo, el compensador resultante se llama controlador Proporcional más

Integral más Derivativo, PID. i primero diseñamos un compensador pasivo deadelanto de ase 3 lue;o diseñemos un compensador pasivo de atraso de ase, el

compensador resultante se llama compensador de adelanto-atraso de fase.

DISEÑO DE UN COMPENSADOR PID

"n la f;ura : se ilustra un controlador -I. u unci6n de transerencia es

Gc( s )= K

1+

K 2

s + K

3s=

K 1

s+ K 2+ K

3s

2

s =

K 3(s

2+ K

1

K 3

s+ K

2

K 3)

s

que tiene dos ceros más un polo en el ori;en. *n cero 3 un polo en el ori;en sepueden diseñar como el compensador inte;ral ideal7 el otro cero se puede diseñarcomo el compensador derivativo ideal.

Fi+/$a > C"1%!nsa"$ PID P$"%"$ci"nal 13s In#!+$al 13sD!$i,a#i,".

CONSTRUCCIÓN FISICA DE LA COMPENSACIÓN.

&nteriormente se dedu2o la compensaci6n para me2orar la respuesta transitoria 3error en estado estable en los sistemas de control en retroalimentaci6n. edu2imosunciones de transerencia de compensadores empleados en cascada con la planta

o en la tra3ectoria de retroalimentaci6n. "stos compensadores estuvieron defnidospor su conf;uraci6n de polo 3 cero7 eran controladores activos 3a sea -I, -, o -I,o compensadores pasivos de atraso de ase, de adelanto de ase o de adelantoatraso de ase. "n esta secci6n veremos c6mo poner en práctica controladoresactivos 3 compensadores pasivos.

CONSTRUCCIÓN DE UN CIRCUITO ACTIO



Como se sabe, la unci6n de transerencia de un amplifcador operacional inversor

V 0(s)V i(s)

=− 2(s )

1(s)

cu3a conf;uraci6n se presenta en la f;ura A.

-or 2uiciosa selecci6n de 1 (s ) y

2(s) , este circuito se puede usar como elemento

de construcci6n para implementar los de compensaci6n 3 controladores7 pore2emplo, controladores -I estudiados en

Fi+/$a ?. A1%lifca"$ "%!$aci"nal c"nf+/$a" %a$a c"ns#$/cción !/na '/nción ! #$ans'!$!ncia.



Ta&la @. C"ns#$/cción ac#i,a ! c"n#$"la"$!s 0 ! c"1%!nsación9/san" /n a1%lifca"$ "%!$aci"nal.

#a tabla 1 resume la construcci6n de controladores -I, -, 3 -I as= comocompensadores de atraso de ase, de adelanto de ase, 3 de adelanto?atraso dease usando amplifcadores operacionales.

e pueden construir otros compensadores al poner en cascada los compensadoresque se muestran en la tabla 1. -or e2emplo, un compensador de adelanto?atraso dease se puede ormar al poner en cascada el compensador de atraso de ase, con elcompensador de adelanto de ase, como se ve en la f;ura B. Como e2emplo,pon;amos en práctica el uso de los controladores que 3a disertamos en estasecci6n.

Fi+. . C"1%!nsa"$ ! a!lan#"*a#$as" ! 'as! i1%l!1!n#a" c"na1%lifca"$!s "%!$aci"nal!s

"R"-#+. I-#""'$&CI' " *' C+'$%+#&+% -I (-%+-+%CI+'&# M I'$"G%&#

& "%IK&$IK+)

%-+#"&. Conociendo la unci6n de transerencia del diseño de un compensador-I, poner en práctica el controlador -I.

+#*CI'. #a unci6n de transerencia del controlador -I es

Gc ( s )=(s+55.92)( s+0.5)

s

que se puede poner en la orma

Gc (s)=s+56.42+27.96

s

Comparando el controlador -I de la tabla 1 con la ecuaci6n anterior, obtenemoslas si;uientes tres relaciones!

Compensador de atraso de ase compensador deadelanto de ase



R2

R1

+C

1

C 2=56.42

R2

C 1=1

01

R1

C 2

=27.96

Como a3 cuatro inc6;nitas 3 tres ecuaciones, arbitrariamente seleccionamos un

valor práctico para uno de los elementos. eleccionamos C9 J E.1 !" , se

encuentra que los valores restantes son %1 J :BD.B # $ , %9 J

1DO.OS1 # $ 3 C1 J B.BS !" . "l circuito completo se ilustra en la f;ura ,

donde los valores de los elementos del circuito se an redondeado.

Fi;ura . Controlador -I

F*'CI'C+-"'&

+%

F*'CI' "

$%&'F"%"'CI&C&%&C$"%T$IC&

e2orarerror enestadoestable

-I K

s+ zc

s

1. &umenta tipo desistema.

9. "rror se ace cero.:. "l cero en Uzc es

pequeño 3 ne;ativo.A. e requieren circuitos

activos para



implementar

e2orarrespuestatransitori

a

- K (s+ zc)

1. e selecciona un cero enUzc para poner el puntode diseño.

9. Circuitos activos

requeridos paraimplementar.

:. -uede causar ruido 3saturaci6n7 implementarcon retroalimentaci6nde velocidad o con unpolo (adelanto)

e2orarel estadoestable 3

respuestatransitori

a.

-I

K ( s+ zatraso ) ( s+ zadelanto )

s

1. "l cero de atraso en

− zatraso 3 polo en el

ori;en me2orar el error enestado estable.

9. "l cero de adelanto de

ase en − zadelanto me2ora

la respuesta transitoria.:. "l cero de atraso de ase

en − zatraso está cerca 3 a

la izquierda del ori;en.A. e selecciona un cero de

adelanto de ase en

− zadelanto para poner

punto de diseño.B. Circuitos activos

requeridos paraimplementar.

. -uede causar ruido 3saturaci6n7 implementarcon retroalimentaci6n de

velocidad o con un poloadicional.

$abla 9. $ipos de compensaci6n en cascada.



CONTROLADOR ELECTRÓNICO PID

Gc ( s)=% (s) &(s)

= K p [1+ 1

τ i s+τ d s]

donde! K p J Ganancia proporcional

τ i J $iempo inte;ral

τ d J $iempo derivativo

"n el tiempo! i la entrada al controlador -I es e(t)7 la salida u(t) del controladorestá dada por!

u (t )=# p[e (t )+ 1

τ i∫−'

t

e (t )dt +τ dde (t )

dt ]e i;ual manera en base a ;anancias!

Gc ( s )=# p+# i

s

+# d s

donde! # p J ganancia proporcional

# i = ganancia integral

# d = ganancia derivativa



&(s) & i(s)

=

−( R2+

1

C 2 (s ) )

( R

1

C 1

s

R1+ 1

C 1

s ) =

−( R2

C 2

s+1

C 2

s )

[ R

1

C 1 s

( R1

C 1

s+1

C 1s ) ]=−( R2

C 2

s+1 ) ( R1C

1s+1)

R1 C 2 s

&0(s ) &(s)

=− R4

R3

&0(s ) & i(s)=

& (s ) &i(s)

&0(s) & (s) =(

− R4

R3 )(

R 2

R1 )[

−( R2C 2 s+1 )( R 1C 1 s+1 ) R

2C

2s ]

¿ R

4 R

2

R3 R

1 [ R 1

C 1 R

2C

2s

2+ ( R1C

1+ R

2C

2 ) s+1

R2

C 2

s ]= R4 R

2

R3 R

1 [ R1 C 1 s+

R1

C 1+ R

2C

2

R2

C 2

+ 1

R2

C 2

s ]

R4 R2

R3 R

1 [ R1C 1+ R2C 2

R2

C 2

+ 1

R2

C 2

s+ R

1C

1s ]=[ R4 ( R1C 1+ R2C 2 )

R3 R

1C

2 ][1+ 1

( R1C

1+ R

2C

2 ) s+

R1C 1 R2C 2

R1

C 1+ R

2C

2

s]

donde!



# p J R

4 ( R1C

1+ R

2C

2 ) R

3 R

1C

2 7

τ i J ( R1C

1+ R

2C

2 ) 7τ d J

R1

C 1 R

2C

2

R 1C 1+ R 2C 2 7

# i= R

4

R3 R1 C 2 7 # d= R

4 R

2C

1

R3

SISTEMA DE CONTROL PARA CONTROLAR LA POSICIÓN DE UNACARGA CON ROSAMIENTO ISCOSO E INERCIA POR MEDIO DE UN

MOTOR DE CD CONTROLADO POR INDUCIDO. (SEROMECANISMO DEPOSICIÓN)

"l con2unto de potenci6metros constitu3e el detector de error consensibilidad 8 s . "l detector de error manda una señal al amplifcador de c.d.,que es proporcional a la dierencia entre las posiciones an;ulares del e2e deentrada de reerencia 3 del e2e de salida, la salida del amplifcador se utiliza



para el control del inducido de un motor de c.d. #a corriente en el inductordel motor se mantiene constante.

#os parámetros del sistema son los si;uientes!

ensibilidad del detector de error 8 s J 1NBD.: VvN;radoW J V1 vNradWGanancia del amplifcador de c.d. 8 1 (variable)%esistencia del inducido del motor %a J B VXWInductancia del inducido del motor #a J despreciableInercia del rotor del motor Rm J 1.: < 1E?:7 V'.m.se;9WCoefciente de ricci6n del e2e del motor m J despreciableCoefciente de ricci6n de la car;a # J E.1:7 V'.m.se;WInercia de la car;a R# J E.1:7Vn.m.se;9W%elaci6n de en;ranes n J '1N'9 J 1N1E

Constante de par del motor 8 i J E.O7 V.mN&WConstante de cem. del motor 8 b J E.O7 VvolNradNse;W

esarrollo 3 análisis del modelo. "l primer paso es escribir las ecuaciones delsistema!

1.? etector de error!

(e (t )=(r (t )−(c ( t )

e (t )= K s(e(t )

9.? &mplifcador de c.d.

ea (t )= K 1

e (t )

:.? otor de c.d. controlado por inducido!

+&

) m ,



-arte el4ctrica! *a

d ia(t )dt

=− R aia+ea (t )−e-(t )

donde! e- (t )= K -ωm (t ) ;siendo K - laconstante de. /c /e / m/ del motor

-arte mecánica! ) me

d ωm(t )dt

=−+me ωm (t )+T m(t )

donde! T m (t )= K i ia(t )

K i eslala constante de par del motor , e ia la corrientede inducido

) me y + me s on respectivamente los coe.icientes e0uivalentes re.eridos al motor

) me=) m+n2

) *=1 1 10−3+0.01 ( 0.1)=2 1 10

−3 [ / m/ se22 ]

+me=+m+n2

+ *=1 1 10−3[ / m/ se2]

A.? alida!d (m

dt =ωm(t )

(c (t )=n( m(t )

%epresentando al sistema con variables de estado!

JY (r( t )

"n base a su unci6n de transerencia en lazo cerrado!

K 1 K s

*a

E

E

− Ra

*a

− K -

*a

−n K 1 K s

*a

−

ia (t )

¿ωm (t )

d ia(t )dt

d ωm(t )dt

d (m (t )



(c(s)(r(s)

= K s 3 K i n

Ra + me s ( 1+ τ a s ) (1+τ me s )+ K - K i s+ K s 3 K i n

donde!

τ a= *a

R a

=¿

despreciable,τ me=

) me

+ me

=¿

9 se;

de donde la unci6n de transerencia en lazo abierto es!

G ( s )=(c (s)(e(s)

= K s 3 K i n

Ra + me s (1+τ a s ) (1+τ me s )+ K - K i s

0a que La es despreciable, τ a J E, por lo que la unci6n de transerencia en

lazo cerrado resultante queda!

K

Ra ) me s2+(¿¿- K i+ R a +me) s+ K s 3 K i n

( c(s)

( r(s)=

K s 3 K i n

¿

#a cual corresponde a un sistema de se;undo orden, por lo que se puedeescribir en base a la unci6n de transerencia ;eneral de los sistemas dese;undo orden, por lo que!

ωn=4√ K s 3 K i n

Ra ) me

5 = K - K i+ Ra +me

2 Ra ) me ωn

= K - K i+ Ra +me

2√ K s 3 K i Ra ) me n

ubstitu3endo los valores de los parámetros del sistema propuestosinicialmente, en la unci6n de transerencia!

( c(s)(r(s)

= 5 3

s2+34.5 s+5 3

Considerando que el sistema corresponde a un sistema de se;undo orden, serequiere conocer el comportamiento del sistema cuando se var=a la;anancia, para lo cual se proponen tres valores de esta. "l resultadoprimeramente se presenta en la tabla mostrada 3 posteriormente en la



;ráfca correspondiente, para lo cual se considera una entrada escal6nunitario.

$&#& /*" I"'$IFIC& #+ IF"%"'$" -&%M"$%+ "' F*'CI' " #&G&'&'CI&

& (c (s )con(r ( s )=1/s ωn ξ t r 6 p t s %&TC"

1:.B

s

s (¿¿ 2+34.5 s+67.5)67.5

¿

4 8.22 9.1 1.E9 E 1.B1

%"&#" 0IF"%"'$"

1 J? 9.19 J ? :9.A

9EE

s

s (¿¿ 2+34.5 s+1000)1000

¿

4 31.6 E.BA

E.EA

E.1:

E.1DA

C+-#"R&C+'R*G&&

1 J ?1D.9B Y R9.B9J ?1D.9B ? R9.B

1BEE

s

s (¿¿ 2+34.5 s+7500)7500

¿

4 86.6 E.9E.E1

BE.B9

E.1D

C+-#"R&C+'R*G&&1 J ? 1D.B Y R9 J ? 1D.B Y R



G%&FIC& C+%%"-+'I"'$" &# C+-+%$&I"'$+ " (c (t ) vs ωn t C+' A

K&%I&#" "' #& F*'CI' " $%&'F"%"'CI&( c(s)(r(s)

= 5 3

s2+34.5 s+5 3 , C+'

*'& "'$%&& "C&#+' *'I$&%I+

"l estudio del sistema anterior el variar la ;anancia corresponde al de uncontrolador del tipo proporcional en donde el esuerzo corrector que sedesarrolla es proporcionalmente 5nicamente a la señal que act5a, el cualtiene la limitaci6n o desventa2a de que es difcil encontrar un caminoadecuado para me2orar la ;anancia, de manera que el r4;imen permanente3 la respuesta transitoria cumplan sus condiciones respectivas. & menudo,en la práctica, s6lo el parámetro de la ;anancia es insufciente parasatisacer las condiciones de diseño.

EFECTOS DEL CONTROL DERIADO EN LA RESPUESTA TEMPORAL DEUN SEROSISTEMA

%esulta l6;ico llevar a cabo otras operaciones, además del controlproporcional, con la señal de error. "n t4rminos de proceso de señales,podemos realizar la derivaci6n con respecto al tiempo de la señal de error.

ea un sistema representado por su dia;rama de bloques de un t=picosistema de control retroalimentado de se;undo orden, con un control

derivado además del proporcional. "n este caso, τ d es la proporci6n entreel control proporcional ordinario 3 el control derivado. #a unci6n detranserencia en lazo abierto es!

C (s) &(s)

= ωn

2(1+τ d s)s(s+2 ξ ωn)

(Y) (Y)

(?) (Y)

ωn2

s s+2 ω1

τ dd

dt



&nal=ticamente, la unci6n de transerencia indica que el control derivado

equivale a añadir un cero simple para sJ?1N τ d a la unci6n de transerencia

en lazo abierto

"n conclusi6n! #os actores que contribu3en a un sobretiro elevado son!1.? "l par corrector positivo en el intervalo E t t1 es demasiado ;rande9.? "l par de renado en el intervalo t1 t t9 es inadecuado.

e acuerdo a lo anterior, para $!/ci$ !l s"&$!#i$" ! la $!s%/!s#a al!scalón, un intento l6;ico es is1in/i$ !l ,al"$ !l %a$ %"si#i,"c"$$!c#"$ 0 a/1!n#a$ !l ! '$!na". &nálo;amente, en el intervalo t9 t tA, !l %a$ c"$$!c#i," n!+a#i," !&! $!/ci$s! 0 !l ! '$!na"9 6/!a"$a !s ! s!n#i" %"si#i,"9 !&! a/1!n#a$ %a$a !l!,a$ !l 18ni1".

"l control derivado da precisamente el eecto de compensaci6n necesariopara cumplir con lo e<puesto anteriormente

Considerando un sistema de control posicional en donde se reemplaza elamplifcador de c.d. por un control derivado, en donde la unci6n detranserencia en lazo abierto es!

? -ara E t t1, Kalor e<cesivo del parmotor desarrollado, señal de error positivo,la derivada del error es ne;ativa,reduciendo el par ori;inal debido5nicamente al error.

? -ara t1 t t9, el error 3 su derivada sonne;ativos, por lo que el par ne;ativo derenado desarrollado será ma3or que en elcaso del tipo proporcional. Con lo cualtodos estos eectos revertirán en unsobretiro menor.

? -ara t1 t t:, señal de error ne;ativa ali;ual que el par motor correspondiente."ste par ne;ativo tiende a invertir elsentido de movimiento de la salida, esdecir provocando un m=nimo para c(t)durante t: t tB, el par motor esotra vez positivo 3 tiende a reducir elm=nimo en la respuesta provocada por elpar ne;ativo del per=odo anterior.

(c(s)( s

=5 3 (1+τ d s)s s+34.5



& τ d

con(r (t ) escal7n unitario ,

s

s (¿¿2+(34.5+5 3 τ d ) s+5 3 )

(c (s )=5 3 (1+τ d s)¿

1:.B

E

s

s (¿¿ 2+34.5 s+67.5)67.5

¿

E.E1

s

s (¿¿ 2+35.175 s+67.5)67.5 (1+0.01 8)

¿

E.1

s

s (¿¿ 2+41.258+67.5)67.5(1+0.1s)

¿

1.E

s

s (¿¿ 2+102 s+67.5)67.5(1+s)

¿

1BEE

E

ss (¿¿ 2+34.5 s+7500)

7500

¿

E.E1

s

s (¿¿ 2+109.5 s+7500)7500 (1+0.01 s)

¿

E.1

s

s (¿¿ 2+784.5 s+7500)7500 (1+0.1s)

¿

1.E

s

s (¿¿ 2+7534.5 s+7500)7500(1+s)

¿



BSERACIONESara el valor reducido de &, un

umento del valor de τ d tiene el

ecto de retardar la respuesta 3umentar el amorti;uamiento.

amorti;uamiento me2oraubstancialmente con el controlerivado

on &J1BEE! 3 τ d J E, se tiene una

obre oscilaci6n del B9, mientras

ue para τ d J E.E1, el

obretiro se reduce al 1A 3 con τ d

E 1 l b ti li i d

controladores industriales y acciones de control

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