control de procesos - semana 3 - 4

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3.

Tcnicas Matemticas

3.1 La Transformada de LaplaceAnalizando el problema de control del tanque de calentamiento en el Captulo 1, es evidente que la solucin de las ecuaciones diferenciales ser una de nuestras mayores tareas. El mtodo de la transformada de Laplace proporciona una va eficiente para solucionar ecuaciones diferenciales ordinarias, lineales con coeficientes constantes. Transformando una ecuacin diferencial resulta una ecuacin algebraica con la variable s reemplazando al tiempo como variable independiente. Resolviendo esta ecuacin algebraica y haciendo la transformacin inversa da la solucin de la ecuacin original. 3.1.1 El Concepto de una Transformada Un ejemplo familiar de una transformada es un logaritmo. Por ejemplo, considerar la multiplicacin de dos nmeros tales como (643) (2,68) = ... Para resolverlo mediante logaritmos es necesario lo siguiente: 1. Tomar los logaritmos (hacer la transformacin). 2. Sumar los logaritmos (solucionar el problema en un dominio matemtico diferente). Notar que la complejidad del problema se ha reducido: La adicin reemplaza a la multiplicacin. 3. Tomar el antilogaritmo (hacer la transformacin inversa). El problema transformado es resuelto en el paso 2, y luego en el paso 3 esta solucin es convertida al dominio del problema original. Las transformadas de Laplace son transformadas integrales y son transformadas para funciones en lugar de nmeros. Definimos: f(t): una funcin del tiempo t tal que f(t) = 0 para t < 0 s: una variable compleja, s = + i, ( y son variables reales e i = 1 ) L: un smbolo operacional que indica que la cantidad a la que procede debe transformarse por la integral de Laplace F(s) = transformada de Laplace de f(t) Entonces la transformada de Laplace de f(t) est dada por

0

e st dt

L[ f (t )] = F ( s ) = f (t )e st dt 0

(3.1)

donde L es el smbolo para La transformada de Laplace de. As pues, aplicar una transformada de Laplace a una ecuacin diferencial equivale pasar del dominio del tiempo t a la variable compleja + j en el dominio de la s. La recurrencia de esta transformada se presenta en la figura 3.1.

Apuntes de Control de Procesos 2008; Ing. Eder Vicua Galindo FQIQ - UNMSM

Fig. 3.1 Dominios t y s Una vez que se ha obtenido la solucin de la expresin algebraica en funcin de la variable s, bastar buscar la transformada inversa de Laplace (antitransformada) con el fin de obtener la solucin de la ecuacin diferencial en el dominio del tiempo. Se expresa del modo siguiente: L-1 [F(s)] = f(t) Ejemplo 3.1 Encontrar la transformada de Laplace de la funcin: f(t) = 1. De acuerdo a la Ec. 3.1F ( s) = 0 t =

(3.2)

e st (1)e dt = s st

=t =0

1 ; s

entonces

L[1] =

1 s

Anlogamente, la transformada de una constante serL[k ] =

0

ke st (k )e dt = s st

t =

=t =0

k s

(3.3)

En la Tabla 3.1 se encuentran resueltas las transformadas de las funciones ms comunes. 3.1.2 Consideraciones importantes de la Transformada de Laplace Hay varios factores importantes que se deben considerar: 1. La transformada de Laplace F(s) no contiene informacin acerca del comportamiento de f(t) para t < 0. Esto no es una limitacin para el estudio de sistemas de control ya que t representa la variable tiempo y el estudio del comportamiento de sistemas se hace solamente para t > 0. En realidad, las variables y sistemas son definidos usualmente tal que f(t) = 0 para t < 0. 2. Puesto que la transformada de Laplace es definida en la Ec. (3.1) por una integral impropia, esta no existir para todas las funciones f(t). 3. La transformada de Laplace es lineal. En notacin matemtica ser: L[Af1(t) + Bf2(t)] = AL[f1(t)] + BL[f2(t)] Donde A y B son constantes, y f1, f2 son dos funciones de t. Apuntes de Control de Procesos 2008; Ing. Eder Vicua Galindo FQIQ - UNMSM 2 (3.4)

4.

El operador de Laplace transforma una funcin de la variable t a una funcin de la variable s. La variable t es eliminada mediante la integracin.

TABLA 3.1. Tabla de transformadas de Laplace

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3.1.3 Transformada de una Derivada Consideremos hallar la transformada de f (t ) = dv dv tendremos L L[ f (t )] = e st dt . 0 dt dt

dv , usando la definicin de transformada dt

Considerando u = e-st y dv = L[ f (t )] = uv 0

df (t ) dt , e integrando por partes resulta dt

vdu = e st f (t ) 0 f (t ) se st dt =0 0

(

(

)

f (0) + s f (t )e st dt = sF ( s ) f (0)0

(3.5

Esta ltima frmula, aplicada reiteradamente a una derivada ensima, dara L[fn(t)] = snF(s) - sn 1f (0) - sn 2 f(0) - . . . - f n-1(0) y con las condiciones iniciales supuestas nulas resulta: L[f n(t)] = sn F(s) (3.7) (3.6)

Ejemplo 3.2. Encontrar la transformada de Laplace de la funcin x(t) la cual satisface la ecuacin diferencial y las condiciones iniciales siguientes:

d 3x d 2x dx + 4 2 + 5 + 2x = 2 3 dt dt dt

con

x ( 0) =

dx d 2x = 2 =0 dt 0 dt 0

Es permisible matemticamente tomar la transformada de Laplace de una ecuacin diferencial e igualarlos, ya que igualdad de funciones implica igualdad de sus transformadas. Haciendo esto, se obtiene

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s3X(s) s2x(0) sx (0) x (0) + 4[s2X(s) sx(0) - x (0)] +5[sX(s) x(0)] + 2X(s) =

2 s

donde X(s) = L[x(t)]. Se ha hecho uso de la propiedad de linealidad y del hecho de que solamente son de inters valores positivos de t. Insertando las condiciones iniciales y 2 resolviendo para X(s) da X ( s ) = . 3 s (s + 4 s 2 + 5s + 2 ) 3.1.4 Transformada de una Integral Para el caso de una integral se hace uso nuevamente de la definicin de la transformada de Laplace:

t t e st L f (t ) = f (t )dt e st dt = f (t )dt 0 0 0 0 s

0

0

e st F (s) f (t ) = (3.8) s s

Es decir, la transformada de Laplace convierte la operacin de derivar en una multiplicacin por la variable s y la operacin de integrar en una divisin por la misma variable s, siempre que naturalmente las condiciones iniciales sean nulas. 3.1.5 Transformada Inversa En las secciones previas se ha dado f(t) y el problema ha sido determinar su transformada de Laplace F(s). En esta seccin se considera el problema de hallar f(t) cuando se conoce F(s); el proceso es conocido como inversin. Esta operacin es comnmente denotada por: f(t) = L-1[F(s)] (3.9)

En la mayora de los casos, la transformacin inversa se puede obtener de la tabla de transformadas tales como las mostradas en la Tabla (3.1). En esta tabla, dos funciones de t no tienen la misma transformada de Laplace o dos funciones de s no tienen la misma transformada inversa. En general, la transformada inversa es nica si no son tomadas en cuenta las funciones nulas, tales como las funciones cuya integral con respecto al tiempo es cero. 3.1.6 Propiedades de las Transformadas Las propiedades de la transformada de Laplace son las siguientes: Linealidad: Permutabilidad: Derivada: L[f1(t) f2(t)] = F1(s) F2(s) L[kf(t)] = kL[f(t)]L[ f (t )] = +0

(3.10) (3.11) (3.12)

d [ f (t )] st e dt dt

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3.1.6.1 Teorema del valor inicial Permite conocer el valor de una funcin en el origen sin necesidad de calcular su antitransformada y sustituir en ella la variable independiente por 0. Se sabe que, conocida la funcin y(t), la transformada de Laplace de su derivada es: df df L = sF ( s ) f (0) = e st dt 0 dt dt

(3.13)

y tomando los lmites para s , resulta en: lim s [sF ( s ) f (0)] = lim s luego f(0) = lims [sF(s)] 3.1.6.2 Teorema del valor final

0

df st e dt , dt

(3.14)

De una forma anloga a la anterior se desea saber el valor de una funcin en el infinito; esto puede no ser posible o bien no se desea calcular su transformada inversa. Procediendo como antes se busca la transformada de Laplace de su derivada y se toman df lmites para s 0, con lo cual resulta: lim s 0 [sF ( s ) f (0)] = lim s 0 e st dt , luego 0 dt f() = lims0 [sF(s)] 3.1.6.3 Teorema del retardo puro Cumple la igualdad: L[f(t t0)] = e st0 F ( s ) , siendo el retardo puro la funcin f = e st 0 y t0 una constante. En efecto segn el desarrollo de Taylor se verifica:df t 0 d 2 f t 0 d 3 f f (t t 0 ) = f (t ) t 0 + + ... dt 2! dt 2 3! dt 32 3

(3.15)

(3.16)

yt L[ f (t t 0 )] = F ( s ) t 0 [sF ( s ) f (0)] + 0 s 2 F ( s ) sf (0) f (0) . . . 2!2

[

]

(3.17)

Si se impone que las condiciones iniciales son nulas en la funcin primitiva y en sus derivadas, resulta:2 3 t t L[ f (t t 0 )] = F ( s ) 1 t 0 s + 0 s 2 0 s 3 + . . . = F ( s )e t0 s 2! 3!

(3.18)

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La transformada de Laplace de la funcin e-atf(t) es L[e-atf(t)] = F(s + a) o bien deshaciendo la transformacin L-1[F(s + a)] = e-atf(t) = e-atL-1[F(s)] (3.20) (3.19)

que puede considerarse homnima del teorema del retardo puro, cambiando los dominios t y s. Ejemplo 3.3 Hallar los valores inicial y final de una funcin f(t) cuya transformada de 1 Laplace es F ( s ) = s( s + a) Aplicando el teorema del valor inicial y final se tiene: y (0) = lim s s 1 = 0 , el valor inicial s( s + a) 1 1 = , el valor final s( s + a) a

y () = lim s 0 s

3.2 Solucin de Ecuaciones DiferencialesEn el mtodo de la transformada de Laplace para la solucin de ecuaci