Confección de tablas de verdad

UBA XXI

Proposiciones atómicas

El sauce perdió sus hojas.

Hoy es jueves

Todos los perros son mamíferos

He visto la luna.

Las proposiciones que no pueden ser divididas en partes que seantambién proposiciones, se denominan proposiciones atómicas. A cada unade ellas se la traduce, reescribe o formaliza asignándoles una letra.

p

q

r

s

Valores de verdad

p

q

r

s

verdadero

Falso

Hay dos valores de verdad: verdadero y falso

Valores de verdad para una proposición atómica

pVerdadero

Falso

Si consideramos sólo una proposición atómica hay dos posibilidades:que sea verdadera o que sea falsa.

Tabla de verdad

pVF

Una tabla de verdad representa posibilidades. Para una proposición atómicahay dos posibilidades. Cada posibilidad ocupa una línea de la tabla.

Tabla de verdad

pVF

Una tabla de Verdad representa posibilidades. Para una proposición atómicahay dos posibilidades. Cada posibilidad ocupa una línea de la tabla.

Posibilidad 1

Posibilidad 2

Para tablas de verdad de proposiciones complejas formadas por más de unaproposición el primer paso es la asignación de valores de verdad.

Tabla de verdad

Asignación de valores de verdad: dos proposiciones.

p

Considerando dos proposiciones, las posibilidades son cuatro.

Posibilidad 1

Posibilidad 2

q

Posibilidad 3

Posibilidad 4

Asignación de valores de verdad: dos proposiciones.

pVF

Considerando dos proposiciones, las posibilidades son cuatro. Las dosposibilidades antes consideradas, siendo la segunda proposición verdadera.Y esas mismas dos posibilidades siendo la segunda proposición falsa.

Posibilidad 1

Posibilidad 2

qVV

Posibilidad 3

Posibilidad 4

VF

FF

Asignación de valores de verdad: tres proposiciones.

p q r

Considerando tres proposiciones, las posibilidades son ocho.

Posib. 1Posib. 2Posib. 3Posib. 4Posib. 5Posib. 6Posib. 7Posib. 8

Asignación de valores de verdad: tres proposiciones.

p q r

Considerando tres proposiciones, las posibilidades son ocho. Las cuatroposibilidades antes consideradas siendo la tercer proposición verdadera yesas mismas posibilidades siendo falsa la tercer proposición.

Posib. 1 V V VPosib. 2 F V VPosib. 3 V F VPosib. 4 F F VPosib. 5 V V FPosib. 6 F V FPosib. 7 V F FPosib. 8 F F F

Asignación de valores de verdad: más de tres proposiciones.

Considerando una proposición, las posibilidades son 2

Considerando dos proposiciones, las posibilidades son 4

Considerando tres proposiciones, las posibilidades son 8

Considerando cuatro proposiciones, las posibilidades son 16

Considerando un número N de proposiciones, las posibilidades son: 2x2 n veces

Es decir 2n

El número de posibilidades y, en consecuencia, el número de filas de la tablade verdad que las representa, es función de la cantidad de valores de verdad(que son dos, V y F) y del número de proposiciones considerado (que puedeser cualquier número n que elijamos).

Tablas de verdad de las conectivas

Para solucionar las tablas de verdad deben recordar las tablas de verdad delas conectivas.

p q ~ p p . q p v q p →q p ↔ q

v v f v v v v

f v v f v v f

v f f f v f f

f f v f f v v

Resolución de una tabla de verdad de dos proposiciones

El primer paso para resolver una tabla de verdad consiste, como decíamos,en asignar los valores de verdad de acuerdo al número de proposiciones.

( p . q ) v ~ p

Resolución de una tabla de verdad de dos proposiciones

p q ( p . q ) v ~ p

v v

f v

v f

f f

En este caso tenemos dos proposiciones, con lo cual la tabla de verdadtendrá 4 filas.

Resolución de una tabla de verdad de dos proposiciones

p q ( p . q ) v ~ p

v v

f v

v f

f f

Ahora comenzamos a resolver la tabla, apelando a las tablas de lasconectivas. Empezamos por lo que se encuentra dentro de los paréntesis ylas proposiciones negadas.

Resolución de una tabla de verdad de dos proposiciones

p q ( p . q ) v ~ p

v v v

f v f

v f f

f f f

Ahora comenzamos a resolver la tabla, apelando a las tablas de losconectivos, empezando por lo que se encuentra dentro de los paréntesis ylas proposiciones negadas.

Resolución de una tabla de verdad de dos proposiciones

p q ( p . q ) v ~ p

v v v f

f v f v

v f f f

f f f v

Ahora comenzamos a resolver la tabla, apelando a las tablas de losconectivos, empezando por lo que se encuentra dentro de los paréntesis ylas proposiciones negadas.

Resolución de una tabla de verdad de dos proposiciones

p q ( p . q ) v ~ p

v v v f

f v f v

v f f f

f f f v

Una vez hecho esto, debemos solucionar la disyunción final, que es laconectiva principal de la proposición. Para esto comparamos los valores deverdad de las proposiciones complejas: la conjunción por una parte y lanegación de p por otra (marcadas con azul).

Resolución de una tabla de verdad de dos proposiciones

p q ( p . q ) v ~ p

v v v V f

f v f V v

v f f F f

f f f V v

Una vez hecho esto, debemos solucionar la disyunción final, que es laconectiva principal de la proposición. Para esto comparamos los valores deverdad de las proposiciones complejas: la conjunción por una parte y lanegación de p por otra (marcadas con azul).

Resolución de una tabla de verdad de dos proposiciones

p q ( p . q ) v ~ p

v v v V f

f v f V v

v f f F f

f f f V v

El resultado de la tabla de verdad (marcado en rojo) se encuentra debajo dela conectiva principal de la proposición, que en este caso es una disyunción.Como el resultado tiene los dos tipos de valores de verdad, esta forma deproposición es una contingencia.

Resolución de una tabla de verdad de tres proposiciones

La mecánica para resolver una tabla de tres proposiciones es la misma.Primero, entonces, asignamos los valores de verdad a las diferentesproposiciones. En este caso serán 8 filas.

[ ( ~ p → q ) v r ] → p

Resolución de una tabla de verdad de tres proposiciones

p q r [ ( ~ p → q ) v r ] → pv v v

f v v

v f v

f f v

v v f

f v f

v f f

f f f

Se distribuyen los valores según vimos antes en esta presentación.

Resolución de una tabla de verdad de tres proposiciones

p q r [ ( ~ p → q ) v r ] → pv v v f v v v

f v v v v v f

v f v f f v v

f f v v f v f

v v f f v f v

f v f v v f f

v f f f f f v

f f f v f f f

Luego ponemos los valores de verdad en las proposiciones simples negadas(en rojo). Pueden copiar los valores asignados debajo de cada proposición siles parece más facil (en azul).

Resolución de una tabla de verdad de tres proposiciones

p q r [ ( ~ p → q ) v r ] → pv v v f v v v v

f v v v v v v f

v f v f v f v v

f f v v f f v f

v v f f v v f v

f v f v v v f f

v f f f v f f v

f f f v f f f f

Ahora solucionamos lo que se encuentra dentro del paréntesis apelando, eneste caso, a la tabla del condicional (en azul).

Resolución de una tabla de verdad de tres proposiciones

p q r [ ( ~ p → q ) v r ] → pv v v f v v v v

f v v v v v v f

v f v f v f v v

f f v v f f v f

v v f f v v f v

f v f v v v f f

v f f f v f f v

f f f v f f f f

Ahora debemos solucionar la conectiva principal de la proposición entrecorchetes, comparando los valores de verdad de la disyunción (en azul). Parano confundirse, pueden ir tachando lo que ya utilizaron.

Resolución de una tabla de verdad de tres proposiciones

p q r [ ( ~ p → q ) v r ] → pv v v f v v v v v

f v v v v v v v f

v f v f v f v v v

f f v v f f v v f

v v f f v v v f v

f v f v v v v f f

v f f f v f v f v

f f f v f f f f f

La solución de la disyunción se encuentra en rojo.

Resolución de una tabla de verdad de tres proposiciones

p q r [ ( ~ p → q ) v r ] → pv v v f v v v v v

f v v v v v v v f

v f v f v f v v v

f f v v f f v v f

v v f f v v v f v

f v f v v v v f f

v f f f v f v f v

f f f v f f f f f

Ahora debemos solucionar el valor de verdad de la conectiva principal de laproposición, que en este caso es un condicional. Para eso debemos compararlos valores en azul.

Resolución de una tabla de verdad de tres proposiciones

p q r [ ( ~ p → q ) v r ] → pv v v f v v v v v v

f v v v v v v v f f

v f v f v f v v v v

f f v v f f v v f f

v v f f v v v f v v

f v f v v v v f f f

v f f f v f v f v v

f f f v f f f f v f

El resultado de la tabla se encuentra en rojo. Como puede verse, también setrata de una contingencia. Si en el resultado fuesen todos verdaderos, seríauna tautología, si fuesen todos falsos, una contradicción.

Importante!

Es importante distinguir entre estas proposiciones. En la primera, la negaciónafecta solo a p, mientras que en la segunda se niega toda la conjunción.Realicemos las tablas de verdad.

~ p . q ~ ( p .  q)

Importante!p q ~ p . q ~ ( p .  q)

v v

f v

v f

f f

Primero asignamos los valores.

Importante!p q ~ p . q ~ ( p .  q)

v v f v

f v v v

v f f f

f f v f

Resolvamos primero la primera proposición. Empezamos resolviendo lasproposiciones atómicas negadas (en azul).

Importante!p q ~ p . q ~ ( p .  q)

v v f f v

f v v v v

v f f f f

f f v f f

Ahora resolvemos la conjunción. El resultado de la tabla es una contingencia(en rojo). Pasemos a resolver la segunda tabla.

Importante!p q ~ p . q ~ ( p .  q)

v v f f v v v v

f v v v v f f v

v f f f f v f f

f f v f f f f f

Noten que en este caso no hay ninguna proposición simple negada. Loprimero que hay que resolver en este caso es la conjunción (en rojo).

Importante!p q ~ p . q ~ ( p .  q)

v v f f v v v v

f v v v v f f v

v f f f f v f f

f f v f f f f f

Recién ahora podemos resolver la negación. Luego de tachar lo que yausamos, aplicamos la negación al resultado de lo que se niega, en este caso,lo negado es una conjunción (en azul).

Importante!p q ~ p . q ~ ( p .  q)

v v f f v f v v v

f v v v v v f f v

v f f f f v v f f

f f v f f v f f f

Como se puede ver, aunque ambas proposiciones son contingencias, la tablaes distinta y se resuelve de manera diferente. En la confección de una tabla,siempre hay que prestar atención al alcance de la negación.